미적분학 해설서 정오표
n+1
1
1. 연습문제 2.1, 2번, f) an+1 − an =
> 0 이므로 주어진 수열은 증가수열이다.
2
2. 연습문제 2.1, 2번, g)
n
n n+1
1
1
1
3
−
an+1 − an = −
− −
=
2
2
2
2
이다. 이제 n 이 홀수일 때 an+1 − an 는 음수값을 가지고 n 이 짝수일 때 양수값을 가지므로 주어진
수열은 증가수열도, 감소수열도 아니다.
−n2 + 2n + 1
.
2n+1
4. 연습문제 2.3, 5번 proof ) α ∈ R 에 대해
3. 연습문제 2.1, 2번, h) an+1 − an =
√
[nα]
,
xn =
n
yn =
2
+ xn
n
라 하면 {xn }은 유리수열이고 {yn }은 무리수열이다 (단, [x]는 x보다 작은 최대의 정수). 또한,
1
≤ xn ≤ α
n
α−
이므로 조임정리 혹은 비교정리에 의해 n → ∞일 때 xn → α,
√
2
+ lim xn = α
lim yn = lim
n→∞
n→∞
n→∞ n
이므로 yn → α 이다.
d3 y
= −2(ex sin x + ex cos x).
dx3
n m−1
X
Y
n
(m)
k
6. 연습문제 3.1, 7번, a) f (x) =
(−1)
(3k − t) · (x)3k−m
k
5. 연습문제 3.1, 6번, f)
t=0
k=0
7. 연습문제 3.1, 7번, b)
f (k) (x) = (−1)k
(n + k − 1)!
(x − 1)−n−k
(n − 1)!
임을 알 수 있다. 따라서 함수 f 의 n계도함수는
f (n) (x) = (−1)n
이다.
1
(2n − 1)!
(n − 1)!(x − 1)2n
8. 연습문제 3.2, 2번, e)
f (−1) = f (1) = 0,
3
9. 연습문제 3.3, 1번, g) x = 에서 f 0
2
가진다.
f
1
±√
2
1
=± .
2
3
3
513
3
00
= 0, f
= 225 > 0 이므로 극솟값 f
=−
을
2
2
2
16
10. 연습문제 3.3, 1번, h) f 가 연속이고 R−{0} 의 모든 점 x에 대해 f 0 (x) ≤ 0 이므로 f 는 R에서 감소한다.
또한, f 는 극댓값과 극솟값을 가지지 않는다.
11. 연습문제 3.3, 1번, i) (−∞, −1]∪[0, 1] 의 내부 (−∞, −1)∪(0, 1) 에서 f 0 (x) < 0 이므로 f 는 (−∞, −1]∪
[0, 1] 에서 순감소하고 [−1, 0] ∪ [1, ∞) 의 내부 (−1, 0) ∪ (1, ∞) 에서 f 0 (x) > 0 이므로 [−1, 0] ∪ [1, ∞)
에서 순증가한다.
12. 연습문제 3.3, 1번, j) 그리고
1
, 1 에서 순감소한다.
3
13. 연습문제 3.3, 2번, f) f 는 x =
1
1
, 1 의 내부
, 1 안의 모든 점 x에 대하여 f 0 (x) < 0 이므로 f 는
3
3
1
에서 극댓값 f
2
1
1
= 을 가진다.
2
16
14. 연습문제 3.4, 1번, d) (보충설명)
1
1
3
1
1
2
+ x)− 2 − (1 − x)− 2 }x 5 − {(1 + x) 2 + (1 − x) 2 } 35 x− 5
y =
x6/5
p
√
√
√
x( x + 1 − 1 − x) − 6( 1 − x + x + 1)
√
.
=
10x8/5 1 − x2
0
1
2 {(1
dy
2
= 3x 2x ln 3.
dx
√
√
π
3
π
16. 연습문제 3.5, 2번, a) sin − = −
이므로 arcsin(− 3/2) = − 이다.
3
2
3
15. 연습문제 3.5, 1번, r)
17. 연습문제 3.5, 4번, d) 구하는 접선의 방정식은
y=−
1
(1 + 5 ln 5 + 3 ln 3)(x − 1) + 1
3 ln 3
이다.
18. 연습문제 3.5, 7번 a) (오타수정)
k
k
dk−1
dk−1
2
k −x2 d
−x2
k x2 d
→
,
+2(k+1)(−1)
e
(e
)
→
+2(k+1)(−1)
e
(e−x )
dxk−x
dxk−1
dxk
dxk
2
proof ) n = 1 일 때,
d2 −x2
2 d
2
2
2
(e ) − 2x(−1)ex
(e−x ) + 2 · ex · e−x
2
dx
dx
= (4x2 − 2) − 4x2 + 2
2
(−1)2 ex
=0
이으로 주어진 등식이 성립한다.
19. 연습문제 3.5, 7번, b) (풀이수정) proof )
n+1
n
d
2
2 d
−x2
n x2 d
(e
)
+
(−1)
e
(e−x )
Hn (x) = (−1)n 2xex
n
n+1
dx
dx
dx
= 2xHn (x) − Hn+1 (x)
이다. 즉,
Hn0 (x) = 2xHn (x) − Hn+1 (x)
이다. 이제 a) 에 의하여 2xHn (x) − Hn+1 (x) = 2nHn−1 (x) 이므로 Hn0 (x) = 2nHn−1 (x) 이다.
ex + x − 1
x→0
x2
20. 연습문제 3.6, 1번, a) lim
21. sol) 함수 f, g : (−1, 1) − {0} → R를 각각 f (x) = ex + x − 1 와 g(x) = x2 로 정의하면
lim f (x) = 0,
x→0+
lim g(x) = 0
x→0+
이다. 또한 f 와 g는 (−1, 1) − {0}에서 미분가능하고 f 0 (x) = ex + 1 이며 g 0 (x) = 2x이다. 그리고 모든
x ∈ (−1, 1) − {0}에 대해 |g 0 (x)| > 0이다. 이제
lim f 0 (x) = 1,
x→0+
lim g 0 (x) = 0,
x→0+
f 0 (x)
= +∞
x→0+ g 0 (x)
lim
이다. 따라서, 로피탈 법칙에 의해
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
= +∞
x→0+ g (x)
x→0+ g(x)
lim
이다. 같은 방법으로
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
= −∞
x→0− g(x)
x→0− g (x)
lim
이다. 따라서 구하고자 하는 극한은 존재하지 않는다.
22. 연습문제 3.6, 1번,c)
arctan x + x/(1 + x2 )
lim
= lim
x→0
x→0
sin x
3
2
(1+x2 )2
cos x
!
= 2.
23. 연습문제 3.6, 1번, w)
p
3
x3 + 2x + 5 − x)
p
3
= lim ( x3 + 2x + 5 − x)
lim (
x→∞
x→∞
(x3 + 2x + 5)2/3 + x(x3 + 2x + 5)1/3 + x2
· 3
(x + 2x + 5)2/3 + x(x3 + 2x + 5)1/3 + x2
x3 + 2x + 5 − x3
= lim
x→∞ (x3 + 2x + 5)2/3 + x(x3 + 2x + 5)1/3 + x2
2 + x5
=0
= lim 1 3
x→∞ (x + 2x + 5)2/3 + (x3 + 2x + 5)1/3 + x
x
이다.
24. 연습문제 3.6, 2번, a) x를 고정하고 위 식을 다시 쓰면
1
lim (1 + hx)1/h = lim e h ln(1+hx) = elim
h→0
ln(1+hx)
h
h→0
이다. 한편 로피탈 법칙을 사용하면
ln(1 + hx)
x
= lim
=x
h→0
h→0 1 + hx
h
lim
이므로
elim
ln(1+hx)
h
= ex
이다.
25. 연습문제 3.6, 4번, a)
f (x + h) − f (x − h)
f 0 (x + h) + f 0 (x − h)
= lim
= f 0 (x)
h→0
h→0
2h
2
lim
26. 연습문제 4.2, 1번 a), d) ln x 를 ln |x| 로 변경.
27. 연습문제 4.3, 1번, c)
Z
x
dx =
2
2x (1 + ln x)
Z
1
du
2u
1
ln |u| + C
2
1
= ln |1 + ln x| + C
2
=
이다.
28. 연습문제 4.3, 1번, e) (u)−2 + C = sec2 x + C.
4
29. 연습문제 4.3, 1번, h)
f (x) = x, g 0 (x) = sin(2x)라고 두면,
Z
Z
1
1
x sin 2xdx = − x cos 2x +
cos 2x dx
2
2
1
1
= − x cos 2x + sin 2x + C ∗
2
4
30. 연습문제 4.3, 1번, i)
−x
I = −e
sin x + (−e
−x
Z
cos x −
e−x sin xdx)
= −e−x sin x − e−x cos x − I
=⇒ 2I = −e−x sin x − e−x cos x
1
=⇒ I = − e−x (sin x + cos x) + C
2
이다.
31. 연습문제
4.3, 3번 b) (계산 과정 추가/변경)
Z 1/√2 p
b)
1 − x2 dx
−1
sol)
x = sin t로 두고 치환하면 다음이 성립한다.
Z
Z 1/√2 p
2
1 − x dx =
π/4
|cos t| cos tdt
−π/2
Z π/4
−1
cos 2t + 1
dt
2
−π/2
1 π/4
1
sin 2t + t
=
4
2 −π/2
=
=
1 3π
+
.
4
8
32. 연습문제 4.5, 2번, f) case 2) 그 외의 경우
Z 1
Z 1
1
1
dx = lim
dx
p
→0+ xp
0 x
1
= lim [
x1−p ]1
→0+ 1 − p
1
lim (1 − 1−p )
=
1 − p →0+
이다. 0 < p < 1일 경우 0 < 1 − p < 1이 되므로 주어진 극한은 1/(1 − p)로 수렴하며, p > 1일 경우
1 − p < 0이 되어 발산한다. 따라서 0 < p < 1인 경우에만 특이적분이 수렴한다.
5
33. 연습문제 4.6, 1번, a) f (x) = x3 으로 두면
x
f (x)
1
1
1.875
6.5917968
2.75
20.796875
3.625
47.634765
4.5
91.125
5.375
155.2871093
6.25
244.140625
7.125
361.7050781
8
512
이다. 사다리꼴 방법으로 계산한 방법은
f (1) + 2f (1.875) + · · · + 2f (7.125) + f (8) 7
· = 1035.80859305,
2
8
이고, 심슨 방법으로 계산한 방법은
f (1) + 4f (1.875) + 2f (2.75) + · · · + 2f (6.25) + 4f (7.125) + f (8) 7
· = 1023.7499990,
3
8
이다.
34. 연습문제 5.1, 2번, a) lim an = 2 6= 0.
n→∞
35. 연습문제 5.3, 1번, k) n ≥ 1에 대해
6 + 2n + ln n
6 + 2n + ln n
≤
2
2
(1 + 3n + n )
(n2 )2
6n + 2n + n
≤
n4
9
= 3
n
∞
∞
X
X
9
6 + 2n + ln n
이고 급수
이 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수
은 수렴한다.
3
n
(1 + 3n + n2 )2
n=1
n=1
36. 연습문제 5.3, 1번, l)(오타)(i → l)
37. 연습문제 5.4, 1번, b)
함수 f : [2, ∞) → R을 f (x) =
2x2
로 정의하면 f 는 미분가능하고 정의역에서
5x3 + 4
f 0 (x) =
2x(8 − 5x3 )
≤0
(5x3 + 4)2
6
가 되어 f 는 단조감소한다. 따라서 an 은 n = 2 부터 단조감소하므로 교대급수판정법에 의해 급수
∞
X
2n2
(−1)n 3
은 수렴한다. (따라서 n = 1일 때에도 수렴)
5n + 4
n=2
38. 연습문제 5.4, 2번, c) sol) an =
n!
으로 두면
nn
|an+1 |
nn
(n + 1)!
·
= lim
n→∞ |an |
n→∞ (n + 1)n+1
n!
n
n
= lim
n→∞ n + 1
n
1
= e−1 < 1
= lim 1 −
n→∞
n+1
lim
이므로 비율판정법에 의해 급수
∞
X
n!
은 수렴한다.
nn
n=2
39. 연습문제 5.4, 2번, g)
1
n
n→∞ 31/n −
lim
1
=
1
.
ln 3
40. 연습문제 6.1, 1번, g) 급수의 수렴반지름은 R = 1.
41. 연습문제 6.1, 1번, h) 그리고 x = 2일 때
∞
X
(x − 1)n
n=1
n2 + 3
=
∞
X
n=1
∞
X 1
1
≤
n2 + 3
n2
n=1
∞
X
1
가 수렴하므로 비교판정법에 의해 수렴한다.
이고 급수
n2
n=1
√
√
42. 연습문제 6.1, 1번, n) x = − 2 일때 및 x = 2 일때
43. 연습문제 6.1, 1번, p) 또, x = −1일 때
∞ ∞ X
2 n n X
2 n
1+
x =
1+
(−1)n
n
n
n=1
n=1
2 n
이고 lim 1 +
(−1)n 은 그 극한값이 존재하지 않으므로 급수는 발산한다.
n→∞
n
44. 연습문제 6.1, 2번, 주어진 멱급수는 수렴반지름을 가지는 급수이다. 이제 급수
지름을 R이라 하자.
∞
X
an 4n 이 수렴하므로 R ≥ 4 이고
n=0
n=0
4 ≤ R ≤ 5 이다.
b) sol) R < 5 <
∞
X
11
이므로 주어진 급수는 발산한다.
2
7
∞
X
an xn 의 수렴 반
n=0
an 5n 이 발산하므로 R ≤ 5 이다. 따라서
45. 연습문제 6.2, 1번, g)(오타)(적분상수 →상수)
46. 연습문제 6.3, 3번, 마지막 f 0 (x) 삭제
47. 연습문제 6.3, 5번, f (4) (x) = 16 tan x sec4 x + 8 tan3 x sec2 x
48. 연습문제 6.3, 6번, f (4) = sec x tan4 x+3 sec3 tan2 x+6 sec3 x tan2 x+2 sec5 x+9 sec3 x tan2 x+3 sec5 x
√
√
2
3
49. 연습문제 6.3, 12번, (e의 차수
→
)
2
2
50. 연습문제 6.4, 1번, (오타)(나머지 : (2n + 2)! → (2n + 1)!, cos(c) → sin(c))
√
51. 연습문제 6.4, 3번, sol) x = 0에서 x + 1 의 2차 테일러 다항식은
1
1
1 + x − x2
2
8
이고 이를 이용하여 구한
√
1.1의 근삿값은 1.04875 이다. 그리고 테일러 정리에 의하여
√
5
1
1
1
2
| 1.1 − 1 + (0.1) − (0.1) | = (c + 1)− 2 (0.1)3
2
8
16
을 만족시키는 c ∈ (0, 0.1) 이 존재한다. c ∈ (0, 0.1) 이므로
5
1
1
(c + 1)− 2 (0.1)3 < (0.1)3 = 6.25 × 10−5
16
16
√
√
이다. 그러므로 x = 0에서 x + 1의 2차 테일러 다항식을 이용하여 구한 1.1의 근삿값의 오차의
크기는 6.25 × 10−5 보다 작다.
52. 연습문제 6.4, 4번, sol) x = 0 에서 ex 의 3차 테일러 다항식은
1
1
1 + x + x2 + x3
2
6
이고 이를 이용하여 구한 e0.1 의 근삿값은 1.105166 . . . 이다. 테일러 정리에 의하여
1
1
ec
x
2
3
|e − 1 + (0.1) + (0.1) + (0.1) | = (0.1)4
2
6
24
을 만족하는 c ∈ (0, 0.1) 가 존재한다. c ∈ (0, 0.1) 이므로
ec
e0.1
(0.1)4 <
(0.1)4 ≈ 4.6 × 10−6
24
24
이다. 따라서 x = 0 에서 ex 의 3차 테일러 다항식을 이용하여 구한 e0.1 의 근삿값의 오차는 4.6 × 10−6
보다 작다.
53. 연습문제 6.4, 5번 a) (오타)
Rn (x) =
f (n+1) (c) n+1
x
(n + 1)!
8
54. 연습문제 6.4, 5번 b) (오타)
√
3
n
X
27 − x =
k
1
3
(−1)
k
k=0
√
3
26 =
√
3
(27)
27 − 1 ≈
1−3k
3
3 1
X
3
k
k=0
xk + Rn (x)
31−3k (−1)k
55. 연습문제 6.5, 2번, f) (오타)
a3 =
3 cos 1 − 2 sin 1
48
56. 연습문제 6.5, 3번 (글 수정)
이제 몇몇 n차 테일러 다항식에 대해 =⇒ 이제 n에 자연수를 넣어 나온 테일러 다항식에 대해
57. 연습문제 6.5, 3번 a) (답 수정)
F (1) = 0.309524
58. 연습문제 6.5, 3번 b) (오타)
cos
√
t=
∞
X
(−1)n
(2n)!
n=0
tn
59. 연습문제 6.5, 3번, a),b) (−1)n+1 을 (−1)n 으로 변경.
60. 연습문제 6.5, 3번, c) F (x) =
∞
X
(−1)n
n=0
61. 연습문제 6.5, 4번, a) 극한값은
x2n+1
.
(2n + 1)(n!)
32
이다.
3
62. 연습문제 6.5, 4번, c) 극한값은 −
1
이다.
24
63. 연습문제 6.5, 5번, b) (수정)
n+1
(−1)
1
3
n+1
− 3n+2
n+1
3
(27 − c)
x
≤
1
3
1
1
1
·
· 3n+2 < 0.00005 ⇐⇒ n ≥ 3
3 n+1 2
r = 4 sin θ
65. 연습문제 7.1, 5번, b) (오타) (0 ≤ θ ≤ π/2)
9
3n+2
3
n+1
1
1
1
≤
·
· 3n+2
3 n+1 2
이고
64. 연습문제 7.1, 4번, d) (오타)
8−
66. 연습문제 7.1, 7번, b) 주어진 두 곡선의 식을 연립하면
sin θ = cos(2θ) =⇒ sin θ = 1 − 2 sin2 θ
=⇒ 2 sin2 θ + sin θ − 1 = 0
1
=⇒ sin θ = , sin θ = −1
2
이므로 r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π인 범위에서 표현된 교점 3개
1 π
1 5π π ,
, 1,
,
,
2 6
2 6
2
을 얻을 수 있다.
67. 연습문제 7.1, 7번 c) 주어진 두 곡선의 식을 연립하면
1 − sin θ = 1 + cos θ =⇒ tan θ = −1
이므로 r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π인 범위에서 표현된 교점 2개
1 7π
1 3π
√
√
,
,
, 1+
1−
2 4
2 4
를 얻을 수 있다.
68. 연습문제 7.2, 2번, a) (그림 수정)
θ=
π
2
는 zy평면을 나타낸다.
69. 연습문제 7.2, 5번, c) (답 수정)
0≤z≤
p
3(x2 + y 2 ) ≤
√
3
70. 연습문제 7.2, 6, a) (답 수정)
0 ≤ r ≤ 2,
0 ≤ r2 ≤ z ≤ 16 − 3r2 ,
71. 연습문제 7.3, 1) (답 수정)
√
3, cos
−1
1
√
3
π
,
4
0 ≤ θ < 2π
72. 연습문제 7.3, 3번 c) (답 수정)
ρ2 = ρ(cos φ + sin φ(cos θ + sin θ))
73. 연습문제 7.4, 4번 b) (답 수정)
p
p
x2 + y 2 ≤ z ≤ 9 − x2 − y 2
10
74. 연습문제 8.2, 3 (답 수정)
2
1
c = − (1, 2, −2), d = (14, −8, −1)
3
3
=⇒ 4c + d = (2, −8, 5)
75. 연습문제 8.3, 3번 ) (글 수정)
−−→
구하고자 하는 평면의 법선벡터는 교선의 방향벡터와 벡터 P Q = (2, 1, −2)에 동시에 수직
76. 연습문제 8.3, 5번 ) (답 수정)
√
70
14
77. 연습문제 8.4, 1, c) (답 수정)


−1


−5 −5 10 −4


A−B =

7

0
0
3


−3 7
3 −5
−1
2
3
78. 연습문제 8.4, 4번) (오타) 괄호 순서 정리
79. 연습문제 8.5, 1번 e) det(A) = 0(1 · 0 − 3 · 3) − 1(1 · 0 − 3 · 2) + 2(1 · 3 − 2 · 1) = 8
80. 연습문제 9.2 2번 a), b)
a) i77
sol)
π
77π
= i.
i77 = (i sin )77 = i sin
2
2
b)
1+i
1−i
77
.
sol)
1+i
1−i
77
√
!77
2 cos π4 + i sin π4
= √
2 cos − π4 + i sin − π4
√ 77
77π
2 cos 77π
4 + i sin 4
= √ 77
77π
2 cos − 77π
+
i
sin
−
4
4
−1 − i
=
= i.
−1 + i
3
81. 연습문제 10.1, 3번, c) C 00 (t) = (−π 2 sin πt, −π 2 cos πt, t−1/2 ).
2
11
82. 연습문제 10.1, 8번, b) (t ∈ R).
83. 연습문제 10.2, 3),
√
2τ ->
√
2t 로 변경.
84. 연습문제 10.3, 4번 b) (풀이 수정)
3π √
√
2
θ
θ
θ
θ 2π
2 2 sin − cos
− 2 2 sin − cos
=8
2
2 0
2
2 3π
2
85. 연습문제 11.2, 1번 b) (답 수정)
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6= 25}
86. 연습문제 11.2, 1번, c) R2 에서 연속이다.
87. 연습문제 11.4, 7번, 수직인 접평면을 가지려면 ∇f (x0 , y0 ) = (0, 0) 이어야 하므로
88. 연습문제 11.5, 5번, 문제
∂z
∂z
(y0 , z0 ) ->
(y0 , z0 ) 로 변경.
∂y
∂y
89. 연습문제 11.5, 8번 (답, 풀이 수정)
r과 θ를 x, y에 관해 표현하면 다음과 같다.
p
r(x, y) = x2 + y 2 ,
y
θ(x, y) = arctan( )
x
연쇄법칙을 사용하면
∂r
x
=p
= cos θ,
∂x
x2 + y 2
∂r
y
=p
= sin θ,
2
∂y
x + y2
y
1
y
sin θ
∂θ
=
=−
,
y 2 − 2 =− 2
∂x
1 + (x)
x
x + y2
r
∂θ
1
1
x
cos θ
=
=
=
2
2
2
∂y
x
x +y
r
1 + xy
임을 알 수 있다. 따라서
∂r
 ∂x
 ∂θ
∂x

 
∂r
∂y  =  cos θ
sin θ
∂θ 
−
r
∂y
이다.
12

sin θ
cos θ 
r
90. 연습문제 11.5, 9번 (답, 풀이 수정)
r, φ, θ를 x, y, z에 관해 표현하면 다음과 같다.
r(x, y, z) =
p
x2 + y 2 + z 2 ,
φ(x, y, z) = arcsin p
z
x2 + y 2 + z 2
y
θ(x, y, z) = arctan
.
x
,
연쇄법칙을 사용하면
x
∂r
=p
= cos φ cos θ,
2
∂x
x + y2 + z2
∂r
y
= cos φ sin θ,
=p
2
∂y
x + y2 + z2
∂r
z
=p
= sin φ
2
∂z
x + y2 + z2
이다. 또한
∂φ
=s
∂x
1−
x
x2 +y 2 +z 2
x2 + y 2 + z 2
−z √
1
z2
x2 + y 2 + z 2
1
(−1)
=p
cos φ sin φ
cos θ
r
1 − sin2 φ
sin φ cos θ
=−
,
r
∂φ
=s
∂y
1−
y
x2 +y 2 +z 2
x2 + y 2 + z 2
−z √
1
z2
x2 + y 2 + z 2
1
(−1)
=p
cos φ sin φ
sin θ
2
r
1 − sin φ
sin φ sin θ
=−
,
r
∂φ
=s
∂z
1−
p
x2 + y 2 + z 2 − z √
1
z2
x2 + y 2 + z 2
1
r2 − z 2
=p
3
1 − sin2 φ r
cos φ
=
.
r
13
x2 + y 2 + z 2
z
x2 +y 2 +z 2
이며
y
∂θ
y
sin θ
1
=−
=
,
y 2 − 2 =− 2
2
∂x
1 + (x)
x
x +y
r cos φ
1
∂θ
x
cos θ
1
= 2
=
=
2
y 2
∂y
x
x
+
y
r
cos φ
1+ x
∂θ
= 0.
∂z
임을 알 수 있다. 따라서

∂r
 ∂x
 ∂φ


 ∂x
 ∂θ
∂x
∂r
∂y
∂φ
∂y
∂θ
∂y
 
∂r
cos φ cos θ
∂z 



∂φ   sin φ cos θ
= −
r
∂z  

sin θ
∂θ 
−
r cos φ
∂z
cos φ sin θ
sin φ sin θ
−
r
cos θ
r cos φ

sin φ

cos φ 

r 

0
이다.
91. 연습문제 11.5, p
13번 (답, 풀이 수정)
한편 r(x, y) = x2 + y 2 , θ(x, y) = arctan(y/x) 이므로
∂r
x
=p
,
2
∂x
x + y2
y
∂θ
1
y
=
y 2 − 2 =− 2
∂x
1 + (x)
x
x + y2
이다. 따라서
1
x
−y
1
∂f
= p
+i 2
= 2 (x − iy)
2
∂x
r x2 + y 2
x +y
r
이다.
92. 연습문제 12.1, 6번 a) 점 P (5, 4, 3) 에서 벡터 v = i − j − k 방향으로 전위 V 의 방향미분계수를 구하
시오.
v
1
1
1
sol) u =
= √ , −√ , −√
이고
kvk
3
3
3
∇f (x, y, z) = (20x − 6y + 2yz, −6x + 2xz, 2xy)
이므로 점 P 에서 u 방향으로의 V 의 방향미분계수는
Du f (P ) = u · ∇f (P )
1
1
1
√
√
√
=
,−
,−
· (100, 0, 40)
3
3
3
√
= 20 3
이다.
b) 점 P 에서 전위 V 가 가장 빠르게 변하는 방향을 구하시오.
sol) ∇f (P ) = (100, 0, 40) 이므로 온도 T 가 가장 빠르게 변하는 방향은 ±(5, 0, 2)이다.
14
c) 점 P 에서 전위 V 의 최대 방향미분계수를 구하시오.
sol)
k∇f (P )k = k(100, 0, 40)k
p
= 1002 + 402
√
= 20 29
√
이므로 점 P 에서의 T 의 최대 방향미분계수는 20 29이다.
93. 연습문제 12.2, 2번 c,d (풀이 수정) e−1 → e−2


−2
0
 = 4e−2 > 0
e−2 det 
0 −2
94. 연습문제 12.2, 3번 c (풀이 수정)
√ √
√ 끝점에서는 f 0, − 2 = f 0, 2 = 6 + 2 2이다.
95. 연습문제 12.2, 6번 b (답 수정)
극대값 : 6
96. 연습문제 12.3, 2번 b (풀이 수정)
(a) λ = 0이면 x = y = z = 0인데 이는 제약조건을 만족하지 않는다.
(b) z = 0 이면 −
2x
2y
= λ = − 이다. 즉, x2 = y 2 이다.
y
x
i. x = −y이면 x = ±2, y ∓ 2이다.
ii. x = y이면 이는 제약조건을 만족시킬 수 없다.
(c) z 6= 0, λ = 1이면 xy = 0 이므로 z = ±2 이고 또한 x, y = 0 이다.
97. 연습문제 12.3, 2번 d (풀이 수정)
식을 정리하면
1 = λyz 4
2y = λx2 z 2
1 = λx2 y
이다. 각 식에다가 x2 , y, z 2 을 곱하면
4λ = 2y 2 = x2 = z 2
이다.
98. 연습문제 12.3, 3번 b (풀이 수정)
15
(a) z = 0인 경우 λ = 0이므로
2x = µ2x,
2y = µ2y
이다. µ = 0이면 x = y = 0인데 이는 제약조건을 만족하지 않는다. µ 6= 0이면 x = −y이고 따라서
p
p
x = ± 1/2, y = ∓ 1/2
이다.
99. 연습문제 12.3, 3번, c)
1
µ = − 인 경우
4
2x = λ +
x
,
2
2z = 4λ −
z
2
3x
5z
=
=λ
2
8
=⇒
√
60
5 119
25
=⇒ 12x = 5z =⇒ x = , z = , y = ±
53
53
106
100. 연습문제 12.3, 3번, e) (풀이, 답 수정)
sol) g(x, y, z) = 2x + y − 2z − 8, h(x, y, z) = x2 + y 2 − 1로 두면 두 곡면과 xy평면 에서의 가장
가까운 점 및 제일 먼 점은 함수
f (x, y, z) = z 2
에 제약조건 g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0이 주어진 경우의 최대 및 최소인 점과 같다. 조건 g(x, y, z) =
0, h(x, y, z) = 0을 만족하는 점들의 집합을 D로 두면 (x, y, z) ∈ D에 대해
∇g(x, y, z) = (2, 1, −2) 6= (0, 0, 0),
∇h(x, y, z) = (2x, 2y, 0) 6= (0, 0, 0),
이므로 라그랑주 승수법에 의해
∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z)


0 = λ · 2 + µ · 2x,
=⇒ 0 = λ · 1 + µ · 2y,


2z = λ · (−2) + µ · 0
를 만족하는 λ, µ ∈ R이 존재한다. 제약조건과 위 연립방정식으로부터
(a) z = 0인 경우 2x + y = 8, x2 + y 2 = 1을 연립하면 방정식 5x2 − 32x + 63 = 0을 얻는다. 하지만
이 방정식은 실근을 가지지 않으므로 모순이다.
(b) z = −λ 6= 0이면
0 = 2λ + µ2x,
0 = λ + µ2y
=⇒ 2y = x
√
1√
± 5−8
2√
5, y = ±
5, z =
=⇒ x = ±
5
5
2
이다.
16
따라서, 살펴볼 점들은
!
√
2√
1√ ± 5 − 8
±
5, ±
5,
5
5
2
이고,
√
!
√
5−8
69
=
− 4 5,
2
4
!
√
√
2√
1√ − 5 − 8
69
−
5, −
5,
=
+4 5
5
5
2
4
2√ 1√
5,
5,
5
5
f
f
이므로 원점에서 두 곡면까지의 가장 가까운 점, 가장 먼 점은 각각
!
!
√
√
2√ 1√
5−8
2√
1√ − 5 − 8
5,
5,
−
5, −
5,
5
5
2
5
5
2
이다.
101. 연습문제 13.2, 3번, f) (계산 과정 추가/변경)
ZZ p
Z 2Z 2 p
x y 3 + 1dA =
x y 3 + 1dydx
D
0 x
Z 2Z y p
=
x y 3 + 1dxdy
0 0
Z 2
1 2p 3
=
y y + 1dy
0 2
102. 연습문제 13.3, 2번, d) (풀이 수정)
Z
1
Z
1−x2
=
x2 −1
−1
Z
!
5 2
x + 5x + 2xy + 4y dy dx
2
1
(−5x4 − 10x3 + 5x2 + 10x)dx
=
−1
4
=
3
이다.
103. 연습문제 13.5, 1번, c)
Z 2Z
ZZ
−1
xydxdy =
−2 −3
D
= −3
104. 연습문제 13.5, 1번, d)
Z 4Z
1
1
2
u
5
dvdu = ln 2.
3v
2
17
u2 − v 2
dvdu
8
105. 연습문제 13.5, 2번, a) (답 수정)
Z 4Z 1Z
ZZZ
xydxdydz =
0
D
0
0
1
uw + uv
5
dudvdw =
4
4
106. Z
연습문제
13.5, 2번, b) (문제,답 수정)
ZZ
(x + y)dxdydz, D는 여섯 개의 평면 z = 0, z = 1, y − z = 0, y − z = 1, x − z = 0, x − z = 1
D
로 둘러싸인 평행육면체
Z 1Z 1Z
1
(u + v + 2w)dudvdw = 2
0
0
107. 연습문제 13.6, 2번 (풀이, 답 수정)
(case1) 1 − p < −1인 경우.
Z 2πZ
0
0
1
2π 2−p 1
r
2−p
2π
=
(1 − 2−p )
2−p
r1−p drdθ =
이다. 2 < p이므로 2 − p < 0이며 따라서 → 0+ 일 때 적분값은 발산한다.
(case2) 1 − p = −1인 경우.
Z 2πZ 1
r1−p drdθ = 2π [ln(r)]1 = −2π ln()
0
0+ 일
이다. 따라서 →
때 적분값은 발산한다.
(case3) −1 < 1 − p인 경우.
Z 2πZ 1
2π 2−p 1
r1−p drdθ =
r
2−p
0
2π
(1 − 2−p )
=
2−p
2π
으로 수렴한다.
2−p
따라서 이중적분이 수렴하는 p의 범위는 0 < p < 2이다.
이다. 0 < 2 − p 이므로 적분값은
108. 연습문제 13.6, 4번, c) (풀이 수정)
ZZZ
ydxdydz
Z
D
πZ π/2Z 2
=
0
0
Z πZ
=
π/2
(
0
0
(ρ3 sin2 φ sin θ)dρdφdθ
1
15
sin2 φ sin θ)dφdθ
4
15π
=
8
18
이다.
√
109. 연습문제 14.1, 1번, d) sol) 문제의 매개변수 곡면은 x2 + y 2 + z 2 = 16 중 x ≤ 0 이고 |z| ≤ 2 2 인
부분을 나타낸다.
110. 연습문제 14.1, 2번, d)
X(u, v) = (4 sin u, 4 + 4 cos u, v),
(0 ≤ u ≤ 2π)
111. 연습문제 14.1, 2번, h) (문제 수정)
h) y = −2와 y = 2사이에 있는 원기둥면 x2 + z 2 = 9
sol) 문제에서 주어진 곡면을 매개변수곡면으로 표현하면
X(u, θ) = (3 cos θ, u, 3 sin θ)
0 ≤ θ ≤ 2π,
−2 ≤ u ≤ 2
이다.
112. 연습문제 14.2, 2번, j) (오타)
sol) 문제에서 주어진 곡면을 매개변수곡면으로 표현하면
√
√
√
X(φ, θ) = ( 6 sin φ cos θ, 3 sin φ sin θ, 2 cos φ),
π
0 ≤ φ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π
2
이다.
113. 연습문제 14.1, 3번, d) 주어진 점에서 접평면의 방정식은 −4(x − 1) − 8(z + 1) = 0 즉,
x + 2z = −1
이다.
114. 연습문제 14.1, 3번, e) 주어진 점에서 접평면의 방정식은
y=0
이다.
115. 연습문제 14.2, 1 16번
ZZ
dS로 첫 적분식 변경.
X
116. 연습문제 15.2, 2번, 문제
Z
2
Z
2
x dx − xy dy + dz →
C
C
19
x2 dx − xy 3 dy + dz 로 변경.
117. 연습문제 15.2, 5번, 선적분
Z
ydx + (3y 2 − x)dy + zdz 를 계산하시오. 여기서 C(t) = (t, t5 , 0) (0 ≤
C
t ≤ 1) 이다.
sol)
Z
1
Z
2
t5 dt + (3t10 − t) · (5t4 dt)
ydx + (3y − x)dy + zdz =
0
C
1
Z
=
0
1
(15t14 − 4t5 )dt = .
3
118. 연습문제 15.3, 1번, 문제오타 f ⇐⇒ ∇f .
119. 연습문제 15.3, 3번, b)
Z
F · ds = f (C(2)) − f (C(0))
C
= f (2, 1, 2) − f (0, 1, 0)
= 9 − cos 2
120. 연습문제 16.2, 2번, a) (오타수정) 법선벡 → 법선벡터, n! → n1 .
121. 연습문제 16.2, 2번, b) (풀이오류/추가)
F (x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ); D는 세 좌표평면과 평면 x = 1, y = 2, z = 3으로 둘러싸인 영역
∂D2 에서는 F · n2 = y 2 이며 ∂D2 를
X(u, v) = (u, 2, v) (0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 3)
로 매개화 할 수 있다. 그러면
ZZ
ZZ
y 2 dS
F · n2 dS =
∂D2
Z
∂D2
3Z 1
=
4dudv = 12
0
0
이다.
∂D3 에서는 F · n3 = −x2 이며 ∂D3 를
X(u, v) = (0, u, v) (0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 3)
로 매개화 할 수 있다. 그러면
ZZ
ZZ
F · n3 dS =
∂D3
−x2 dS = 0
∂D3
이다.
∂D4 에서는 F · n4 = −y 2 이며 ∂D4 를
X(u, v) = (u, 0, v) (0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 3)
20
로 매개화 할 수 있다. 그러면
ZZ
ZZ
−y 2 dS = 0
F · n4 dS =
∂D4
∂D4
이다.
∂D5 에서는 F · n5 = z 2 이며 ∂D5 를
X(u, v) = (u, v, 3) (0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2)
로 매개화 할 수 있다. 그러면
ZZ
ZZ
z 2 dS
F · n5 dS =
∂D5
Z
∂D5
2Z 1
=
9dudv = 18
0
0
이다.
∂D6 에서는 F · n6 = −z 2 이며 ∂D6 를
X(u, v) = (u, v, 0) (0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2)
로 매개화 할 수 있다. 그러면
ZZ
ZZ
F · n6 dS =
∂D6
−z 2 dS = 0
∂D6
이다.
122. 연습문제 16.3, 1번, c) (풀이 수정)
∂S 1 , ∂S 2 를 각각 매개화 하면
∂S 1 (t) = (2 cos t, 2, −2 sin t),
∂S 2 (t) = (3 cos t, 3, 3 sin t),
0 ≤ t ≤ 2π,
0 ≤ t ≤ 2π
이다.
123. 연습문제 16.3, 5번)
sol) (문제오류) 벡터장 F 의 curl이 (0, 0, 0)이 아니다. 따라서 임의의 곡면을 잡아야 하는데 이는 일반
수학의 수준을 넘어간다.
21