LIMIT
(PENDEKATAN)
A SUMMARY
Oleh:
Kemal Adristya Aunurrahim
Dibuat:
11 Desember 2022 - 17 Desember 2022
Daftar Isi
LIMIT DAN FUNGSI ………………………………………………………………………………
3
PIECE-WISE FUNCTION ……………………………………………………………………….
8
MENGHITUNG NILAI LIMIT MENGGUNAKAN GRAFIK ..………………..………..
TEKNIK MENGHITUNG LIMIT ALJABAR ……….………………………………………
LIMIT TRIGONOMETRI …………………..……………………………………………………
5
10
12
LIMIT DI KETAKHINGGAAN …………………………………………………………………
14
e ………………………………….………………………………………………………………………
21
LIMIT X TURUNAN ………………………………………………………………………………
EPSILON-DELTA DEFINITION …………………….………………………………………..
RIEMANN SUMMATION ON LIMIT AT INFINITY ………………………………….
19
22
24
LIMIT DAN FUNGSI
Limit merupakan nilai yang mendekati dari sebuah fungsi. Limit bukan
hasil sebenarnya dari perhitungan melainkan sebuah perkiraan yang mendekati
hasil sebenarnya. Limit sangat berguna untuk suatu fungsi yang apabila dihitung
secara normal maka hasilnya tidak dapat didefinisikan. Limit ditulis dengan cara
berikut:
lim f(x) , dengan a adalah suatu angka
x→a
Contoh:
lim x − 1
x→0
Dalam limit akan ditemukan lambang ∞ yang disebut dengan tak hingga.
Selain itu ada yang disebut dengan bilangan tak tentu atau “indeterminate”.
Disebut demikian karena nilai limitnya yang tidak pasti apabila disubstitusi
langsung. Untuk mendapat nilai limitnya, perlu dilakukan manipulasi terhadap
fungsi sebelum disubstitusi. berikut macam-macamnya:
0 ∞
, , 0 × ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞
0 ∞
Kalau dalam komputasi/perhitungan selain limit, bilangan yang dibagi nol atau
0
nol pangkat nol (0 , 00 ) disebut dengan tidak terdefinisi, bukan tak tentu.
Contoh:
Misal ada fungsi f(x) =
Jawab:
f(2) =
lim
x→2
x
22 −4
2−2
�2 −4
�−2
f(x)
4−4
�2 −4
�−2
0
, tentukan f(2) dan limitnya!
= 2−2 = 0 tidak terdefinisi. Karena tidak terdefinisi, maka ubah jadi limit.
, buat tabel nilai: (tulis nilai x yang mendekati 2)
1,9
1,99
3,9
3,99
1,999
3,999
2
-> 4
2,001
4,001
2,01
4,01
2,1
4,1
Lihat tabel di atas, ketika x mendekati 2, nilai fungsinya mendekati 4. Maka nilai
dari lim
x→2
�2 −4
�−2
Kesimpulan:
=4
f(2) = tidak terdefinisi karena pembagian nol.
lim
x→2
�2 −4
�−2
0
= 4, tadinya 0 berubah menjadi 4.
Limit memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
a. lim k = k
x→a
b. lim x = a
x→a
c. lim k × f(x) = k × lim f(x)
x→a
x→a
d. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), berlaku juga untuk pengurangan.
x→a
x→a
x→a
e. lim (f(x) × g(x)) = lim f(x) × lim g(x)
f.
x→a
lim
f(x)
x→a g(x)
=
lim f(x)
x→a
lim g(x)
x→a
x→a
g. lim (f(x))n = (lim f(x))n
x→a
x→a
x→a
MENGHITUNG NILAI LIMIT MENGGUNAKAN GRAFIK
Sebelum masuk ke grafik perlu diketahui bahwa limit dibagi menjadi dua macam:
a. Limit yang nilainya didekatkan dari kanan
lim+ f(x) ,
x→a
lambangnya + dan
ditulis di angka yang
sebelah tanda panah
3+
5
3
Grafik di atas dapat ditulis menjadi lim+f(x) = 5
x→3
Note: Angka yang diberi tanda + seperti 3+ maksudnya angka tersebut berada di
sebelah kanan angka 3 tapi hanya berjarak sedikit. Misal 3,001 atau 3,01 atau 3,1.
b. Limit yang nilainya didekatkan dari kiri
lim− f(x) ,
x→a
5
lambangnya - dan
ditulis di angka yang
sebelah tanda panah
3-
3
Grafik di atas dapat ditulis menjadi lim−f(x) = 5
x→3
Note: Angka yang diberi tanda - seperti 3- maksudnya angka tersebut berada di
sebelah kiri angka 3 tapi hanya berjarak sedikit. Misal 2,999 atau 2,99 atau 2,9.
Untuk mendapatkan nilai limit, maka limit yang didekatkan dari kanan
nilainya harus sama dengan limit yang didekatkan dari kiri.
lim f(x) = lim+ f(x)
x→a
x→a
= lim− f(x)
x→a
Apabila nilai limit kanan dengan kiri berbeda maka
lim f(x) = tidak ada
x→a
Contoh:
f(x) = x+5, tentukan nilai fungsi ketika x mendekati 2!
Jawab:
Buat tabel nilai dan gambar grafiknya
x
x+5
-5
0
0
5
7
21,9
6,9
5
1,99 6,99
1,999 6,999
2
7
2,001 7,001
-5
0
2,01 7,01
2,1
7,1
2+
2
Dari grafik di atas didapat lim+ x + 5 = 7 dan lim− x + 5 = 7 .
x→2
x→2
Maka dapat disimpulkan bahwa lim x + 5 = 7
x→2
Contoh lain: (lebih sulit)
�+1
f(x) = �−2 , tentukan nilai fungsi ketika x mendekati 2!
Jawab:
Buat tabel nilai dan gambar grafiknya
x
f(x)
0
-1/2
1
-2
1,9
-29
1,99 -299
1,999 -2999
2
?
2,001 3001
2,01
301
2,1
31
3
4
4
5/2
2+
1
0
asimtot datar pada y = 1
1
2-
2
3
4
5
6
Asimtot tegak pada x = 2
7
8
Grafik memiliki sebuah asimtot tegak di x = 2, maka nilai limit ketika x mendekati
2 antara tak hingga maupun negatif tak hingga. Perhatikan grafik dan tabel, pada
limit kiri (2-) grafik terus menuju ke bawah dan nilainya semakin mengecil, maka
dapat dikatakan bahwa
�+1
lim−
= −∞
x→2 � − 2
Pada limit kanan (2+) grafik terus menuju ke atas dan nilainya semakin
membesar, maka dapat dikatakan bahwa
�+1
lim+
=∞
x→2 � − 2
Unfortunately, nilai limit kanan dan kiri tidak sama, maka dari itu dapat
disimpulkan
�+1
lim
= tidak ada (does not exist) :(
x→2 �−2
Note:
Asimtot tegak dan asimtot datar ada kalau fungsinya berbentuk pecahan.
Cara mencari asimtot tegak -> Penyebut = 0
Cara mencari asimtot datar -> limit ketika x mendekati tak hingga dari fungsi
Contoh:
1
f(x) =
, ���� ����������!
�+1
�+1 = 0
�= −1
Asimtot tegak terdapat pada x = -1.
1
=0
x→∞ � + 1
Asimtot datar terdapat pada y = 0
y = lim
PIECE-WISE FUNCTION
Fungsi terpotong-potong maksudnya fungsi yang memiliki rumus yang
berbeda-beda pada interval tertentu.
ax+b, x>0
f(x) =
cx, x<0
Lihat interval dari fungsi, untuk x>0 (x positif) maka fungsi yang dipakai ax+b.
Contoh f(1) = a*1+b = a+b.
Untuk x<0 (x negatif) gunakan rumus fungsi yang cx.
Contoh f(-1) = c*-1 = -c
Interval yang digunakan bebas, tidak mesti sama dengan contoh yang di atas.
Contoh:
2
f(x) = x3+1, x≥0
x -1, x<0
Cari nilai f(0) dan f(-0.1), lalu tentukan nilai fungsi ketika x mendekati 0!
Jawab:
Karena 0≥0, maka f(0) menggunakan rumus x2+1.
f(0) = 02+1 = 1
Karena -0.1<0, maka f(-0,1) menggunakan rumus x3-1.
f(-0.1) = (-0.1)3-1 = -0.001 - 1 = -1.001
lim+ f(x) = 02 + 1 = 0 + 1 = 1
lim− f(x) = (0)3 − 1 = 0 − 1 = − 1
x→0
x→0
Karena nilai limit kanan dengan kiri berbeda maka,
lim f(x) = tidak ada
Contoh dengan grafik:
x→0
03
0+
2
0
2
2
-
2
+
Tentukan nilai dari f(0), f(2) dan fungsi ketika x mendekati 0 dan 2 (jika ada)!
Jawab:
Untuk menghitung nilai f(x), perhatikan bulat yang penuh di grafik.
f(0) = 2
f(2) = 3
lim− f(x) = 3
x→0
lim f(x) = 2
x→0+
Karena limit kanan berbeda dengan limit kiri, maka dapat disimpulkan bahwa
lim f(x) = tidak ada.
lim− f(x) = 2
x→2
lim f(x) = 2
x→2+
x→0
Karena limit kanan dan kiri sama, berarti
lim f(x) = 2
x→2
TEKNIK MENGHITUNG LIMIT ALJABAR
1. Substitusi langsung
Cara ini bisa dipakai kalau x disubstitusi ke fungsi, hasil limitnya berupa angka
pasti bukan tak tentu.
lim x − 7 = 7 - 7 = 0
x→7
2. Faktor dan coret
Kalau disubstitusi langsung hasilnya tak tentu, maka bisa difaktorkan dulu jika
fungsinya dalam bentuk polinom.
lim
x→5
x2 −25
= lim
x−5
x→5
(x+5)(x−5)
x−5
= lim x + 5 = 5 + 5 = 10
x→5
3. Pembagian panjang/bersusun
Cara ini juga digunakan untuk fungsi yang berbentuk polinom, tetapi fungsinya
dibagi bukan difaktorkan.
lim
x→−2
lim
x→−2
x3 −5x−2
x+2
x3 −5x−2
x+2
->
x2 - 2x - 1
x + 2 x3 + 0x2 - 5x - 2
x3 + 2x2 -2x2 - 5x
-2x2 - 4x -x - 2
-x - 2 0 (berhenti saat 0 dan hasil
pembagiannya adalah x2 - 2x - 1)
= lim x2 − 2x − 1 = 4 + 4 - 1 = 7
x→−2
4. Kali sekawan (soal yang ada akar)
lim
x−1
x→1 x−1
= lim
x−1
x→1 x−1
×
x+1
= lim
x+1
x−1
x→1 (x−1)(
= lim
x+1)
x→1
1
1
=2
x+1
5. Uraikan lalu faktor dan coret (typical soal yang pangkat-pangkatan)
lim
x→0
(x+1)2 −1
(x+1)3 −1
= lim
x→0
x+2
= lim
x2 +3x+3
x→0
=
2
3
x2 +2x+1−1
x3 +3x2 +3x+1−1
= lim
x→0
x2 +2x
x3 +3x2 +3x
= lim
x(x+2)
2
x→0 x(x +3x+3)
6. Hilangkan pecahan yang bertumpuk dengan mengalikan kpk nya (kode soal
pecahan yang absurd)
lim
x→5
1
1
−
x+2 7
x−5
, hilangkan x+2 dan 7 supaya penyebutnya hanya x-5. caranya kalikan
atas bawah dengan 7(x+2).
lim
x→5
1
1
7
(x+2 − )(7(x+2))
(x−5)(7(x+2))
= lim
x→5
−1
−1
= 49
7(x+2)
= lim
7−(x+2)
x→5 (x−5)(7(x+2))
= lim
x→5
5−x
=lim
(x−5)(7(x+2))
−(x−5)
x→5 (x−5)(7(x+2))
LIMIT TRIGONOMETRI
Dasar untuk menentukan nilai dari limit trigonometri adalah:
lim
sinx
lim
sinx
x→0
lim
x
x
x→0 sinx
=1
sinx
x→0 tanx
lim
tanx
lim
tanx
x→0
=1
dan
lim
=1
dan
lim
=1
x→0 sinx
lim
dan
x
x
x→0 tanx
dan
x→0 tanx
tanx
x→0 sinx
=1
=1
=1
=1
Rumus di atas juga berlaku untuk koefisien x selain 1. Contoh:
sin�x �
lim
=
x→0 tan�x
�
lim
tan�x
x→0 sin�x
=
�
�
Jadi, kalau nemu limit dalam bentuk seperti di atas maka jawabannya adalah
koefisien x pembilang dibagi koefisien x penyebut.
Bagaimana kalau ada cos, sec, csc, cot?
Diubah trigonometri nya menjadi sin atau tan. Rumus untuk mengubah
trigonometri:
cos(ax) = 1-2sin2(
secx =
cscx =
Contoh:
cotx =
lim
x→0
lim
x→0
1
tanx
1
cosx
1
ax
2
)
sinx
cosx
=
sinx
xsin3x
1 − cos3x
xsin3x
1 − (1 − 2sin2 (
3x
))
2
xsin3x
3x
x→0
2sin2 ( )
2
1
x
sin3x
lim ×
×
3x
3x
x→0 2
sin( ) sin( )
2
2
1 1 1
× ×
3
2 3
2
2
2
9
lim
Jadi, lim
x→0
xsin3x
2
=9
1−cos3x
LIMIT DI KETAKHINGGAN
Limit di ketakhinggan adalah limit yang mendekati tak hingga atau negatif
tak hingga. Tipe-tipe limit tak hingga:
1. Grafik
�
2
∞
f(x) = arctan(x)
-∞
�
−2
Lihat asimtot datar untuk menentukan nilai dari limit tak hingga:
Kalau x nya menuju positif tak hingga, maka lihat garis yang terus menerus ke
kanan. Apabila ada asimtot datar, maka itu nilai limitnya.
lim arctan(x)=
�
lim arctan(x)=
−
x→∞
2
Kalau x nya menuju negatif tak hingga, maka lihat garis yang terus menerus ke
kiri. Apabila ada asimtot datar, maka itu nilai limitnya.
x→−∞
�
2
Bagaimana kalau tidak ada asimtot datar?
Tergantung kondisi grafik:
Jika grafik semakin ke kanan/kiri semakin naik, maka nilainya positif tak hingga.
Jika grafik semakin ke kanan/kiri semakin turun, maka nilainya negatif tak hingga.
Contoh:
lim ln(x) = ∞
x→∞
lim ln(x) =− ∞
x→0+
-∞
∞
f(x) = lnIxI
lim ln(x) = ∞
x→−∞
lim ln(x) =− ∞
x→0−
0
FYI:
ln adalah logaritma natural maksudnya logaritma dengan basis e (loge) dan e≈2,718
2. Pecahan
axn + bxn−1 + cxn−2 + . . .
lim
x→∞ dxm + exm−1 + fxm−2 + . . .
Perhatikan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut, maka ada tiga kondisi:
- jika n>m maka nilai limitnya ∞ atau -∞
- jika n=m maka nilai limitnya a/d
- jika n<m maka nilai limitnya 0
Contoh:
lim
x→∞
lim
lim
x→∞
−2x4 +5x
lim
x→∞
2x4 +5x
lim
x→∞
lim
−2x3 +5x
x3 +1
lim
x→∞
Misal ada
lim
5x
3
x→∞ x +1
−2x3 +5x
x3 +1
lim
x→∞
= -2/1 = -2
5x
x3 +1
=0
, berarti n>m. Lalu bagi atas bawah dengan pangkat terbesar.
x→∞
Misal ada
=∞
= -∞ (karena ada negatif di pangkat terbesar pembilang)
x3 +1
x3 +1
x3 +1
x→∞
Pembuktian rumus di atas:
Misal ada
2x4 +5x
2x4 5x
+
x4 x4
x3 1
+
x4 x4
= lim
x→∞
5
2+ 3
x
1 1
+
x x4
=
5
2+ 3
∞
1 1
+
∞ ∞4
=
2+0
0+0
=∞
, berarti n=m. Lalu bagi atas bawah dengan pangkat terbesar.
−2x3 5x
+ 3
x�
x
x3 1
+
x3 x3
= lim
x→∞
5
−2+ 2
x
1
1+ 3
x
=
5
−2+ 2
∞
1
1+ 3
∞
=
−2+0
1+0
= -2
, berarti n<m. Lalu bagi atas bawah dengan pangkat terbesar.
lim
x→∞
5x
x3
3
x
1
+
x3 x3
= lim
x→∞
5
x2
1
1+ 3
x
=
5
∞2
1
1+ 3
∞
=
0
1+0
=0
3. Akar
lim ax + b − cx + d
x→∞
Ada tiga kondisi:
- jika a<c maka hasilnya -∞
- jika a=c maka hasilnya 0
- jika a>c maka hasilnya ∞
lim ax2 + bx + c − dx2 + ex + f
x→∞
Ada tiga kondisi:
- jika a<d maka hasilnya -∞
�−�
- jika a=d maka hasilnya 2 �
- jika a>d maka hasilnya ∞
Contoh beserta pembuktian:
lim
x→∞
4x2
+ 16 −
lim
x→∞
4x2
x→∞
lim
x→∞
4x2 + 16 + 4x2 + 8x
16 − 8x
4x2 + 16 + 4x2 + 8x
16 8x
−
x
x
4x2 16
4x2 8x
+
+
+ 2
x2
x2
x2
x
lim
x→∞
16
4+ 2+
∞
4x2 + 16 + 4x2 + 8x
4x2 + 16 − (4x2 + 8x)
lim
16
−8
∞
+ 8x ×
4x2 + 16 + 4x2 + 8x
8
4+∞
=
4+
16
−8
x
16
8
+
4
+
x2
x
0−8
4+0+ 4+0
=
−8
4+ 4
= -2
4. Trigonometri
Langkah-langkah:
1. Lakukan pemisalan untuk input trigonometri atau bisa dimisalkan y = 1/x.
2. Ubah limit dalam dunia y.
3. Buat sebuah limit yang bentuknya sama dengan aturan dasar limit
trigonometri, seperti siny/y.
4. Buat kesimpulan.
Contoh:
2
lim xsin( )
x→∞
x
Lakukan pemisalan untuk input trigonometri,
Misal y = 2/x, maka x = 2/y
Ketika x->∞ (masukkan nilai x ke y, maka y =2/∞ = 0)
maka y->0
Ubah limit dalam dunia y,
2
���(�)
lim sin(y) = lim 2 ×
=2�=2
y→0 y
y→0
�
Jadi,
2
lim xsin( ) = 2
x
x→∞
THE LIST
Contoh:
Aturan untuk mempermudah perhitungan limit di ketakhinggaan.
Ketika x->∞ maka berlaku aturan sebagai berikut:
ln(x) ≪ xp ≪ qX ≪ x! ≪ xx
Dengan p>0 dan q>1.
Cari nilai lim
Jawab:
lim
x→∞
x!
xp
lim
x!
x→∞ x
p , lim
3x
xx
x , lim
2
2
x→∞ x +2 x→∞ xx
!
dengan aturan the list, maka xp dianggap tidak ada karena nilainya sangat
3x
2
x
x→∞ x +2
kecil dibanding x!, maka:
x!
lim p = limx! = ∞
x→∞ x
x→∞
, dengan aturan the list x2 < 3x dan 2x < 3x , maka x2 dan 2x tidak
lim
x→∞
dianggap. Jadi:
3x
x2 +2x
lim
xx
x2
x→∞ x
= lim3x = ∞
x→∞
2
= limxx−x
x→∞
Diketahui x = elnx
2
lim (elnx )(x−x )
x→∞
2 lnx
lim exlnx−x
x→∞
Ketika x->∞ diketahui xlnx < x2 lnx, jadi xlnx dianggap tidak ada.
2
lim e−x lnx
x→∞
−∞2 ln∞
e
e−∞
1
=0
�∞
LIMIT X TURUNAN
1. Definisi turunan dalam limit
f(x+h)−f(x)
, dengan f '(x) adalah turunan pertama f(x)
 f '(x) = lim
h
h→0
Contoh:
f(x) = x2, cari turunan pertama f(x)!
Jawab:
f ’(x) = lim
h→0
f ’(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
h(2x+h)
Jadi, f’(x) = 2x.
h
 f '(a) = lim
x→a
= lim
h→0
(x+h)2 −x2
h
= lim
h→0
x2 +2xh+h2 −x2
= lim 2x + h = 2x + 0 = 2x
h→0
f(x)−f(a)
x−a
h
= lim
h→0
2xh+h2
h
, rumus ini digunakan untuk mencari nilai turunan
tanpa mencari f ’(x) nya.
Contoh:
f(x) = x3+4, cari nilai f ’(1)!
Jawab:
f ’(1) = lim
x→1
f(x)−f(1)
Jadi, f ’(1) = 3
x−1
= lim
x→1
x3 +4−5
x−1
= lim
x→1 x−1
2. Aturan-aturan untuk mencari turunan
 Aturan perpangkatan
f(x) = xn , n ∈ ℝ maka f’(x) = nxn−1
 Aturan rantai
f(x) = un , maka f’(x) = nun−1 × u’
 Aturan perkalian
f(x) = uv, maka f’(x) = vu’+uv’
 Aturan pembagian
u
vu'−uv'
f(x) = , maka f’(x) = v2
v
x3 −1
=lim x2 + x + 1= 1+1+1 = 3
x→1
Contoh:
Cari turunan pertama dari fungsi berikut!
a) x2
b) (10x-20)2
c) 5x(x+1)
x
d) x+1
Jawab:
a) f(x) = x2, dengan menggunakan aturan perpangkatan, didapat
f ’(x) = 2x2-1 = 2x
b) f(x) = (10x-20)2
Misal u = 10x-20 (dimisalkan yang di dalam kurung dengan u)
u’ = 10 × 1x1-1 - 20 × 0x0-1
u’ = 10
f ’(x) = nun-1 × u’ = 2(10x-20)2-1 × 10 = 20(10x-20)
c) f(x) = 5x(x+1)
Misal u = 5x, v = x+1
u’ = 5, v’ = 1
f ’(x) = vu’+uv’ = (x+1) × 5 + 5x × 1 = 5x+5+5x = 10x+5
x
d) f(x) =
x+1
Misal u = x, v = x+1
u‘ = 1, v’ = 1
f ’(x) =
vu'−uv'
v2
=
(x+1)×1−�×1
3. Aturan L’Hospital
0
Ketika nilai limit 0 atau
f'(x)
(x+1)2
∞
∞
=
(x+1)−�
x2 +2x+1
=
1
x2 +2x+1
(jika disubstitusi langsung), maka lim
f(x)
x→a g(x)
f'(x)
= lim
f'(x)
x→a g'(x)
jika lim g'(x) hasilnya suatu angka pasti atau ±∞ . Apabila lim g'(x) hasilnya tetap
0
x→a
∞
x→a
atau , maka aturan ini bisa digunakan lagi hingga didapat angka pasti atau ±
∞
∞.
Contoh:
0
lim
x5 −2x4
x→2 x−2
=
25 −2×24
2−2
0
0
=0
Karena hasilnya 0 maka bisa menggunakan aturan L’Hospital
lim
x5 −2x4
x→2 x−2
=lim
x→2
� 5
(x −2x4 )
��
�
(x−2)
��
= lim
x→2
5x4 −8x3
1
= lim 5x4 − 8x3 = 5× 24 - 8× 23 = 16
x→2
Jadi, ���
�→�
�� −���
�−�
= 16
e
e adalah bilangan euler yang nilainya berkisar 2,718. e bisa dinyatakan
dalam bentuk limit:
a
lim (1 + )bx = eab
x
x→∞
Contoh:
1
lim (1 + )x = e1×1 = e
x
x→∞
EPSILON-DELTA DEFINITION
Salah satu pembuktian dari limit adalah dengan menggunakan
definisi epsilon-delta. Definisi ini menyatakan:
∀ε > 0, ∃δ > 0 so that 0 < x − a < δ and f(x) − L < ε
“untuk semua epsilon lebih dari 0, pasti ada delta lebih dari 0, sehingga
nilai mutlak dari jarak kurang dari delta, dan nilai mutlak dari selisih fungsi
dengan limitnya kurang dari epsilon”
Biar tidak bingung langsung aja ke contoh:
1. lim 6� − 2 = 6 × 1 − 2 = 4
�→1
Buktikan limit di atas dengan definisi epsilon-delta!
Jawab:
a=1
L=4
f(x) = 6x-2
Diketahui ε > 0
�
Pilih
δ=
*
�
Anggap 0 < Ix-1I < δ
Cek
I(6x-2) - 4I < ε
= I6x-6I < ε
= I6(x-1)I < ε
= 6Ix-1I < ε
< 6δ ≤ ε
�
=6×
�
*** = ε ≤ ε
≤ε
----------------->
** δ ≤
�
�
Footnote:
Jangan ditulis bintang dan tanda panahnya.
*biarin kosong delta untuk sementara, ntar didapat nilainya setelah masuk
ke bagian “cek”.
**Setelah didapat nilai delta, baru masukkan ke atas yang tadi dibiarkan
kosong.
***Kalau sudah tertulis ε ≤ ε maka sudah terbukti dan pembuktian selesai.
Contoh lain:
lim �2 − 5� + 9 = 32 − 5 × 3 + 9 = 3 buktikan!
�→3
Jawab:
a=3
f(x) = �2 − 5� + 9
L=3
Diketahui ε > 0
�
δ = min{1, }*
Pilih
2
Untuk δ=1
Anggap 0 < Ix-3I < δ ---------------------------------->
(�2 − 5� + 9) − 3
Cek
= �2 − 5� + 6 < ε
= (� − 2)(� − 3) < ε
= �−� × �−� <ε
≤ ε --------------------->
<2×δ
�
≤ε
=2×
2
=ε≤ε
Ix-3I < 1
-1 < x-3 < 1 I+1I
0 < x-2 < 2
Ix-2I < 2
2×δ≤ε
�
δ≤
2
Footnote:
*untuk fungsi kuadrat delta nya ditulis di awal min{1, }. kalau sudah dapat
�
nilai sebenarnya baru masukkan ke bracket, jadi min{1, }.
2
RIEMANN SUMMATION ON LIMIT AT INFINITY
(PENJUMLAHAN RIEMANN PADA LIMIT DI KETAKHINGGAAN)
lim
�−>∞
Contoh:
�
�=1
�
Δx�(�� ) =
�
Dengan:
�(�)��
b−a
k
,x=
n
n
Δx =
1 1
1 2
1 3
1 �
lim ( ( )( )2 + ( )( )2 + ( )( )2 + . . . + ( )( )2 )
�−>∞
� �
� �
� �
� �
Ubah deret menjadi notasi sigma:
lim
�−>∞
Δx =
�
�=1
1 �
( )( )2
� �
Didapat:
b−a 1
= , � − � = 1.
n
�
����ℎ �������� ����� ����� � ��� � ���� ������ℎ��� 1.
���������� � = 0 ��� � = 1.
�
�(�� ) = ( )2 = �2 , �(�) = �2
�
Setelah didapat a, b dan f(x), masukkan ke bentuk integral:
1
0
=(
�3
2
� �� =
3
3
3
1
0
1
0
)−( )
3
3
1
=
3
QFY
(Question For You)
Find the value of:
1
4
7
3� − 2
lim
+
+
+
.
.
.
+
�−>∞ �2
�2 �2
�2
lim
�−>∞
�
�=1
Answer:
3� − 2
= lim
�−>∞
�2
�
�=1
1
�
3� − 2
�
Given:
b−a 1
Δx =
= , b−a=1
n
n
Let a = 0 and b = 1
�(�� ) =
3� − 2 �� 2
2
2
=
− = �� − , ��� ��� ��
�
� �
�
�
as n-> ∞ �(�� ) =3x so that �(�) =3x
lim
�−>∞
�
�=1
1
�
3� − 2
=
�
=
3�2
2
1
0
3(1)2 3(0)2
=
−
2
2
3
=
2
1
0
3���