These BM membranes

ACADEMIE DE MONTPELLIER UNIVERSITE MONTPELLIER II SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC THESE présentée à l'Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc pour obtenir le diplôme de DOCTORAT SPECIALITE : Formation Doctorale : Ecole Doctorale : MECANIQUE, GENIE MECANIQUE, GENIE CIVIL Mécanique des Matériaux, Structures et Génie des Procédés SCIENCES POUR L'INGENIEUR MORPHOGENESE DES MEMBRANES TEXTILES ARCHITECTURALES par Bernard MAURIN Soutenue le 30 Janvier 1998 devant le Jury composé de : MM. O. MAISONNEUVE M. LEMAIRE K. LINKWITZ J.M. DELARUE H. NOOSHIN R. MOTRO Professeur Université Montpellier II Professeur IFMA Aubière Professeur Université Stuttgart Professeur Ecole d'Architecture Paris-Villemin Professeur Université Guildford Professeur Université Montpellier II Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur de Thèse Avant-propos III Avant-Propos Ce travail est l'aboutissement de trois années de recherche effectuées au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil de l'Université Montpellier II. En acceptant de présider le jury de soutenance de cette thèse, Monsieur Olivier MAISONNEUVE, Professeur, Directeur du Laboratoire de Mécanique et Génie Civil de l'Université Montpellier II, me fait un honneur auquel je suis très sensible. Je tiens à lui exprimer ici l'expression de ma vive gratitude. Je remercie très sincèrement Monsieur Maurice LEMAIRE, Professeur à l'Institut Français de Mécanique Avancée de Clermond Ferrand et Monsieur Klaus LINKWITZ, Professeur à l'Université de Stuttgart, qui ont accepté d'être rapporteurs de ce travail. Qu'ils trouvent ici l'expression de ma profonde reconnaissance. Je suis très sensible à la présence dans ce jury de Monsieur Jean Marie DELARUE, Professeur à l'Ecole d'Architecture de Paris Villemin, et de Monsieur Hoshyar NOOSHIN, Professeur à l'Université de Guildford, ainsi qu'à l'attention dont ils ont su faire preuve à l'égard de mes travaux. Cette étude a été réalisée sous la direction de Monsieur René MOTRO, Professeur au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil, Responsable de l'équipe Conception en Structures. De part la qualité et la perspicacité de ses enseignements, se situant bien au-delà de simples considérations scientifiques, cette rencontre restera un évènement marquant à mes yeux. Je tiens à lui exprimer toute ma reconnaissance et ma sincère amitié. J'adresse le témoignage de ma sympathie à tous les membres du Laboratoire de Mécanique et Génie Civil de l'Université Montpellier II. Leur accueil, leurs conseils et encouragements m'ont été d'une aide certaine. IV Résumé Résumé Le développement des structures à base de toiles textiles tendues souligne l'insuffisance des approches conceptuelles traditionnelles et nécessite de nouvelles méthodes. Les travaux présentés dans ce mémoire se rapportent ainsi à l'étude des procédés de recherche de forme des Membranes Textiles Architecturales et à la découpe de laizes. Nous mettons tout d'abord en évidence l'insuffisance d'une représentation discrète des toiles tendues (réseaux de câbles) et proposons la méthode de recherche de forme des Densités de Contraintes Surfaciques qui s'appuie sur une modélisation continue du domaine. Cet aspect est complété par une étude de la stabilité ainsi que des mécanismes des structures tendues. L'attention se porte ensuite sur les procédés destinés à l'investigation de formes minimales : réseaux de câbles de longueur minimale et surfaces d'aire minima. Deux méthodes sont présentées, une première fondée sur l'utilisation des méthodes de Densités et une seconde approche liée à la minimisation de fonctionnelles selon la méthode du Gradient Conjugué (problèmes d'optimisation). Nous proposons également un outil autorisant le calcul des caractéristiques géométriques des surfaces (valeurs des courbures moyennes et gaussiennes en tout point du milieu). Enfin, la méthode de Composition des Contraintes dédiée à la détermination des formes de découpe du tissu permet de prendre en considération les paramètres de géométrie, état de prétension du domaine et rhéologie du matériau, tout en atténuant les erreurs inhérentes à toute découpe de laizes (minimisation selon des méthodes de moindres carrés). Ces développements visent à apporter des réponses concrètes aux problèmes posés, directement utilisables par les concepteurs. Abstract The development of fabric structures points out the traditional approaches' inadequacy and requires new processes. These works deal, thus, with the study of form-finding methods and cutting pattern. Firstly, we emphasize on the lacks of a discrete representation for tensile membranes (cable net) and put forward the Surface Stress Density Method as a form-finding tool based upon a continuous modelling of the domain. A study of stability and mechanisms for tensile structures brings additional considerations. The attention is then focused on processes associated with the investigation of minimal configurations : minimal length cable nets and minimal area surfaces. Two methods are proposed, related to Density methods and also to the minimization of nonlinear functions with Conjugate Gradient method (optimization problems). Surface geometric properties (main curvature radii) are calculated according to specific procedures. Next, the Stress Composition method devoted to the cutting pattern allows to take into account the membrane characteristics (geometry and stress distribution, material constitutive laws), while reducing inherent errors (minimization with least squares methods). V Mots-clés MOTS-CLES ARCHITECTURE TEXTILE STRUCTURES TENDUES RECHERCHE DE FORME METHODE DES DENSITES DE CONTRAINTES SURFACIQUES STABILITE COURBURES DES SURFACES RESEAUX DE CABLES DE LONGUEUR MINIMALE SURFACES D'AIRE MINIMALE DECOUPE DE LAIZES METHODE DE COMPOSITION DES CONTRAINTES KEY-WORDS FABRIC MEMBRANES TENSILE STRUCTURES FORM-FINDING SURFACE STRESS DENSITY METHOD STABILITY SURFACE CURVATURES MINIMAL LENGTH CABLE NETS MINIMAL AREA SURFACES CUTTING PATTERN STRESS COMPOSITION METHOD Table des matières VII Table des matières Introduction générale............................................................................................................... 1 Partie I : Recherche de Forme et Stabilité des Membranes Textiles Architecturales Introduction .......................................................................................................................... 7 Hypothèses fondamentales .................................................................................................. 8 I-1 Réseaux de câbles tendus et Recherche de Forme....................................................... 9 I-1-1 Les réalisations marquantes....................................................................................... 9 I-1-2 La Méthode des Densités de Forces ........................................................................ 10 I-2 Etude des états d'autocontrainte et validité du Principe d'Equivalence................. 12 I-2-1 Recherche des états d'autocontrainte ....................................................................... 12 I-2-2 Validité du Principe d'Equivalence ......................................................................... 13 I-2-3 Etude d'un système hybride ..................................................................................... 15 I-3 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales ............................... 17 I-3-1 Quelques réalisations............................................................................................... 17 I-3-2 Les différents procédés de Recherche de Forme ..................................................... 18 I-3-3 La Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques............................................. 19 I-3-3-1 Expression des efforts internes dans le cas d'une prétension isotrope ............. 19 I-3-3-2 Etude de la convergence................................................................................... 21 I-3-3-3 Applications ..................................................................................................... 23 I-3-3-4 Combinaison avec la Méthode des Densités de Forces.................................... 25 I-3-3-5 Etude de Structures Gonflables........................................................................ 26 I-4 Stabilité des Membranes Textiles Architecturales .................................................... 28 I-4-1 Rappels sur la stabilité des équilibres...................................................................... 28 I-4-2 Recherche des mécanismes ..................................................................................... 29 I-4-3 Détermination des énergies de déformation élémentaires sur l'espace des mécanismes ...................................................................................................................... 29 I-4-3-1 Cas d'un élément de câble ................................................................................ 29 I-4-3-2 Cas d'un élément de membrane........................................................................ 30 I-4-4 Etude de la stabilité sur les différents espaces......................................................... 32 I-4-4-1 Stabilité lorsque les mécanismes ne sont pas excités....................................... 32 I-4-4-2 Stabilité lorsque seulement les mécanismes sont excités................................. 33 I-4-4-2 Stabilité au voisinage des déplacements orthogonaux ..................................... 34 I-4-4-2 Stabilité au voisinage des mécanismes ............................................................ 34 Conclusion................................................................................................................................ 37 VIII Table des matières Partie II : Recherche de Forme de Configurations Minimales Introduction ........................................................................................................................ 37 II-1 La Nature et les Formes Minimales........................................................................... 41 II-2 Recherche de Formes Minimales par les Méthodes de Densités............................. 43 II-2-1 Etude de réseaux de câbles de longueur minimale................................................. 43 II-2-1-1 Réseau avec coefficients de densités de forces identiques ............................. 43 II-2-1-2 Réseau de longueur minimale......................................................................... 44 II-2-1-3 Applications .................................................................................................... 45 II-2-2 Etude des surfaces d'aire minimale ........................................................................ 47 II-2-2-1 Surface avec coefficients de densités de contraintes identiques ..................... 47 II-2-2-2 Surface d'aire minimale................................................................................... 49 II-2-2-3 Applications .................................................................................................... 50 II-3 Recherche de Formes Minimales par la Méthode du Gradient Conjugué............ 53 II-3-1 Formes minimales et forces internes...................................................................... 53 II-3-2 La Méthode du Gradient Conjugué ........................................................................ 54 II-3-2-1 Considérations générales ................................................................................ 54 II-3-2-2 Les procédures de Recherche de Ligne........................................................... 55 II-3-3 Applications numériques........................................................................................ 57 II-3-3-1 Présentation des exemples .............................................................................. 58 II-3-3-2 Comparaison des résultats .............................................................................. 60 II-3-3-3 Quelques autres configurations....................................................................... 61 II-3-4 Approche combinée : Méthodes de Densités et du Gradient Conjugué................. 62 II-4 Détermination des Caractéristiques Géométriques des surfaces ........................... 63 II-4-1 Principe de la méthode ........................................................................................... 63 II-4-2 Applications ........................................................................................................... 64 Conclusion........................................................................................................................... 67 Table des matières IX Partie III : Découpe de Laizes et Mise en Prétension des Membranes Textiles Architecturales Introduction ........................................................................................................................ 69 III-1 Découpe de Laizes des Membranes Textiles Architecturales................................ 71 III-1-1 Etude des différents procédés ............................................................................... 71 III-1-1-1 Les méthodes de détermination des lisières................................................... 71 III-1-1-2 La recherche des formes planes ..................................................................... 71 III-1-2 La Méthode de Composition des Contraintes ....................................................... 73 III-1-2-1 Objectifs et principes généraux ..................................................................... 73 III-1-2-2 Etude des transformations ............................................................................. 74 III-1-2-3 Détermination du domaine Ω 0 ..................................................................... 76 III-1-2-4 Méthodologie................................................................................................. 79 III-1-2-5 Mise en oeuvre du procédé ............................................................................ 80 III-1-3 Applications .......................................................................................................... 80 III-2 Mise en Prétension des Membranes Textiles Architecturales ............................... 86 III-2-1 Modélisation de la Mise en Prétension ................................................................. 86 III-2-2 Applications .......................................................................................................... 90 Conclusion........................................................................................................................... 93 Conclusion générale ............................................................................................................... 95 Annexes Annexe A : Méthode des Densités de Forces....................................................................... 97 Annexe B : Principes Variationnels - Discrétisation par Eléments Finis............................. 99 Annexe C : Lois de comportement du matériau textile...................................................... 105 Annexe D : Interpolation cinématique et des déplacements .............................................. 109 Annexe E : Convergence de la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques ........... 115 Annexe F : Etude de la définie-positivité des matrices de caractérisation énergétique ..... 119 Annexe G : Calcul des dérivées des fonctions de forme pour les éléments T6 et T10 ...... 121 Annexe H : Résolution de systèmes par Méthodes de Moindres Carrés............................ 125 Annexe I : A propos des abeilles ... ................................................................................... 127 Bibliographie .......................................................................................................................... 129 Notations XI Notations Symboles [ ] { } et [ ]T et [ ]−1 det ([ ]) [ ]n ([ ]) i ([ A])ij = Aij ({ X})i = Xi l Matrice Vecteur colonne et ligne Matrice transposée et inverse Déterminant d'une matrice Matrice carrée à la puisssance n i eme vecteur ligne d'une matrice Terme (ij) de la matrice [ A] i eme composante du vecteur colonne { X} Norme métrique l ( = 2 correspond à la norme euclidienne) [ Idn ] et [ 0 n ] Matrice identité et nulle d'ordre n Im A Ker A Sous-espace vectoriel image de [ A ] Sous-espace vectoriel noyau de [ A ] r r u ⋅ u ou u, u ∧ ⊗ ⊕ Valeur absolue Produit scalaire Produit vectoriel Produit tensoriel Somme directe Sommation ∑ Ωi dV i ∫ Configuration i d'une structure Element de volume sur Ω i Intégrale sur V i Vi ∀ ∃ ∈ 0r r ≈ ∂v = v, X ∂X δu δ 2u Quel que soit Il existe Qui appartient Ordre r 1 Egalité limitée à l'ordre O r ( ≈ correspond à ≈ ) Dérivée partielle de la variable v par rapport à la variable X Première variation de la quantité u Seconde variation de la quantité u Notations XII Notations pour tous les éléments (e=m pour les membranes et e=c pour les câbles) r rv (X Y Z) Repère global lié à la structure N et N {Xi } et { X} (xre yre zre ) Nombre total de noeuds et de degrés de liberté de la structure Vecteur élémentaire et généralisé des coordonnées nodales Repère local lié à un élément {d e } et {d} {ue } Champ de déplacement élémentaire [ F] [ R] et [U ] Tenseur gradient de transformation Tenseur de rotation et d'élongation pure [S ] {S } et {S } [σ ] {σ } et {σ } {σ } {σ } e e e loc e e e loc Vecteur élémentaire et généralisé des déplacements nodaux Tenseur élémentaire des contraintes de Piola-Kirchhoff 2 (PK2) Vecteur élémentaire PK2 en repère global et local Tenseur élémentaire des contraintes de Cauchy Vecteur élémentaire des contraintes de Cauchy en repère global et local e 0 loc Vecteur élémentaire de précontrainte en repère local 0 loc Vecteur généralisé de précontrainte [ε ] [ ε ] et [ ε ] {ε } et {ε } [e ] Tenseur élémentaire des déformations d'Almansi-Euler wte et Wt Energie potentielle totale élémentaire et généralisée de la structure wde wee et Wd Energie de déformation élémentaire et généralisée de la structure et We Travail élémentaire et généralisé des forces extérieures de la structure e Tenseur élémentaire des déformations de Green-Lagrange (GL) e L e NL Partie linéaire et non linéaire du tenseur de Green-Lagrange e e loc Vecteur élémentaire des déformations de GL en repère global et local e {fie } et {Fint } [ ψ inte ] {fee } et {Fext } {feeυ } et {fees } {feepi } {Re } et {R} Vecteur élémentaire et généralisé des efforts internes Matrice élémentaire de caractérisation des efforts internes Vecteur élémentaire et généralisé des forces extérieures Vecteur élémentaire des forces extérieures de volume et de surface Vecteur élémentaire des forces extérieures ponctuelles Vecteur résidu élémentaire et généralisé Notations XIII [b ] [b ] e L Matrice élémentaire d'interpolation des déformations linéaires e NL Matrice élémentaire d'interpolation des déformations non linéaires [ k ] et [K ] [ k ] et [K ] [ k ] et [ K [ k ] et [ K ] [ a ] et [A ] e T T Matrice de rigidité tangente élémentaire et généralisée e L L Matrice de rigidité linéaire élémentaire et généralisée e NL NL e σ σ e ] Matrice de rigidité non linéaire élémentaire et généralisée Matrice de rigidité géométrique élémentaire et généralisée Matrice d'équilibre élémentaire et généralisée [ E ] et [ E ] [T ] [T ] [T ' ] ξ et η Coordonnées intrinsèques e e loc Matrice élémentaire d'élasticité en repère global et local e ε Matrice de passage des déformations du repère global au repère local e σ Matrice de passage des contraintes du repère global au repère local e σ Matrice de passage des contraintes du repère local au repère global [N ] [ J ] et [ j ] e e e r r g0i et g0i Matrice des fonctions de forme Matrice jacobienne et son inverse i eme vecteur de la base covariante et de la base contravariante Notations pour les éléments de membrane M mi sm et ep m qs Nombre total d'éléments de membrane de la structure Nombre d'éléments de membrane reliés avec le noeud i Aire et épaisseur d'un élément Coefficient de densité de contrainte surfacique d'un élément σ 0m S S l bm et l hm Précontrainte Somme totale des aires des éléments élevées au carré Somme totale des aires des éléments Longueurs de la base et de la hauteur d'un élément [d ] Matrice élémentaire de caractérisation énergétique m Emt et Emc Modules de Young selon la direction de la trame et de la chaîne Gmct , ν ct et νtc Module de Coulomb et coefficients de Poisson [E ] m ort Matrice élémentaire d'élasticité en repère d'orthotropie Notations XIV [T ] m ε,ort m θ ort Matrice de passage des déformations du repère d'orthotropie au repère local r Angle orienté direct entre la direction de la trame et le vecteur x m Notation pour les éléments de câble C ci sc et vc lc ql Nombre total d'éléments de câble de la structure Nombre d'éléments de câble reliés avec le noeud i Section et volume du câble Longueur d'un câble dans la configuration d'équilibre Coefficient de densité de force d'un élément t0c et σ c0 L L dc Prétension et précontrainte dans un élément Somme totale des longueurs des câbles élevées au carré Somme totale des longueurs des câbles Matrice élémentaire de caractérisation énergétique Ec [C] et [ D] [ Cl ] et [Cf ] Module de Young Matrice de connectivité et matrice de connexion [ ] [Ql ] { Xl } et { Xf } Parties de la matrice [C ] liées au noeuds libres et fixes Matrice des coefficients de densités de force r Vecteur des coordonnées des noeuds libres et fixes selon X Abréviations CAO FLA FLT MCC MEF MMC MDCS MDF MTA NF NL Conception Assistée par Ordinateur Formulation Lagrangienne Actualisée Formulation Lagrangienne Totale Méthode de Composition des Contraintes Méthode des Elements finis Méthode des Moindres Carrés Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques Méthode des Densités de Forces Membrane Textile Architecturale Noeud entièrement fixe Noeud entièrement libre Introduction générale Introduction générale 1 Introduction générale Il n'est plus nécessaire d'insister sur le succès grandissant que connaissent les structures à base de Toiles Textiles depuis ces dernières années. Cette nouvelle composante du paysage architectural se trouve en effet en étroite correspondance avec les besoins et les attentes des concepteurs. Toutefois, leur créativité est dans ce domaine plus que jamais tributaire des avancées technologiques ainsi que des procédés de réalisation et de calcul mis à leur disposition. C'est donc dans une optique d'extension de ces moyens d'expression que se situent les travaux réalisés dans le cadre de ce mémoire de thèse. Les applications des membranes tendues ont été multipliées depuis des temps éloignés : protection contre les intempéries (tentes nomades, foraines, militaires), asservissement de l'énergie éolienne (marine à voile, aérostats, ailes d'avions). Notre milieu de siècle a vu alors se dessiner les contours d'un changement progressif mais néanmoins radical. Des besoins nouveaux apparaissent : grandes surfaces couvertes et aires de stockage provisoires ou lieux d'expositions et de manifestations culturelles, désir de mobilité de ces structures imposant une édification ainsi qu'un démontage rapides et devant donc allier légèreté avec facilité de mise en place et résistance. A cela s'ajoutent la recherche d'une grande souplesse d'utilisation des bâtiments permettant agrandissements ou autres modifications ainsi que la nécessité de réduire les coûts de construction [MAL 89]. Parallèlement à ces nouveaux besoins, on assiste également à l'émergence de nouvelles approches de la conception architecturale et même de la finalité d'un ouvrage. Désirant rompre avec une orientation vers des édifices à géométrie massive ou parfois agressive, certains estiment qu'il est grand temps de se tourner à nouveau vers la nature et les formes souples et agréables qu'elle offre dont l'équilibre structurel répond souvent à des critères d'économie d'effort et de matière. Pour d'autres, il est nécessaire de redéfinir la notion de durée de vie d'un ouvrage à la lumière de son utilisation présente ou à venir et par là-même offrir à leurs successeurs la possibilité de le modifier ou de le supprimer à moindres frais. Tous ces éléments favorisent par voie de conséquence le développement accru de l'Architecture Textile. Cet aspect ne peut être que renforcé par la mise au point de nouvelles fibres synthétiques aux performances élevées et donc par l'utilisation d'un matériau conjuguant légèreté et résistance. Toutefois, le principe constructif même des membranes textiles est source de nouvelles problématiques; des distorsions apparaissent lorsque l'on compare les aspirations des concepteurs avec les connaissances actuelles. L'utilisation de la précontrainte pour assurer à la structure la rigidité et stabilité nécessaires se traduit en effet par une forte interdépendance entre sa géométrie et la distribution des contraintes au sein du domaine. La détermination de ces paramètres (forme et tension de la toile) répond à l'appellation de Recherche de Forme et constitue de fait l'étape première de toute étude. La prédominance de telles considérations mécaniques est ici généralement éloignée de la culture des architectes et inhabituelle au regard des ingénieurs. 2 Les différents procédés de Recherche de Forme à ce jour proposés reposent sur des différentes approches : utilisation de modèles physiques (films de savon), méthodes géométriques, procédés numériques fondés sur des considérations mécaniques de natures différentes. On peut néanmoins regretter qu'ils se traduisent soit par une restriction de la gamme des formes possibles, soit par des incertitudes trop élevées ou bien par la complexité des approches mécaniques utilisées, ces éléments incitant ainsi à proposer de nouvelles méthodes. Une fois que la géométrie et l'état de prétension de la structure sont déterminés, le concepteur s'intéresse dans un second temps à sa réalisation. Il s'agit dans le cas présent de spécifier les formes de découpe de la toile, c'est à dire les pièces de tissu dont l'assemblage permettra de concevoir au mieux, après mise en tension sur le site, la membrane envisagée. Cette étape, désignée sous le terme de Découpe de Laizes, doit être conduite de façon à minimiser les erreurs obtenues à cette occasion. La pertinence et les performances des procédés utilisés sont ainsi en relation directe avec l'étendue des possibilités offertes à l'architecte. Enfin, c'est seulement dans un dernier temps que l'attention se portera sur l'analyse du comportement de l'édifice soumis à des actions extérieures (généralement de type climatique : vent, neige ...). Cette analyse mécanique est de fait moins prépondérante dans la conception des Structures Légères que dans celle des structures classiques. L'ensemble des problèmes posés peut être analysé en replaçant par exemple l'étude des Membranes Textiles Architecturales dans le contexte plus général de la conception de systèmes. Le schéma retenu permet de proposer un mode organisationnel reposant sur quatre paramètres principaux de la conception : Formes, Forces, Matériaux et Structures. Le concept de Forces s'interprète, au sens large, selon les diverses actions extérieures susceptibles d'être mises en jeu ainsi que selon les caractéristiques de prétension existant au sein de l'ouvrage. Dans le cas des structures tendues, ces dernières actions ont un caractère permanent et elles seules seront prises en compte dans le cadre de ces travaux. La notion de Matériau est pour sa part clairement définie en se référant à l'élément constitutif en tant qu'entité mécanique, elle correspond en ce sens à ses lois rhéologiques de comportement. Les analyses sont plus complexes lorsqu'il s'agit d'aborder les concepts de Formes et Structures tant ces deux éléments sont intimement liés. Cette thématique trouve un écho dans la Morphologie Structurale, témoignant à cette occasion de la richesse du langage des Formes. Cet aspect a été source de multiples développements et le propos n'est pas de s'y consacrer à nouveau. Nous nous limiterons à une définition où la Forme permet de caractériser l'existence spatiale d'un objet, soit entendue comme la projection du système étudié dans l'espace géométrique. Introduction générale 3 La notion de Structure doit de son côté être comprise en tant que Structure Relationnelle des éléments constructifs, ce qui implique simultanément l'énoncé de leurs liaisons avec l'environnement extérieur (conditions d'appuis, méthodes et technologies d'accrochage) et celui de leurs liaisons et modes de schématisation internes (topologie structurale du maillage) [MOT 92] et [REN 92]. Marquons ici une pause afin de clarifier le propos et, au travers d'une brève étude historique, de dégager ce qui constituera une des lignes directrices de ces travaux de thèse. Le développement des structures légères se distingue en effet par quelques dates charnières. Elles correspondent à l'édification d'ouvrages marquants ou à la mise au point de nouveaux outils de calcul, éléments tous deux à l'origine d'avancées majeures. L'histoire nous apprend ainsi que les constructions à base de réseaux de câbles tendus ont joué un rôle majeur. Citons immédiatement, et à juste titre, la couverture des installations des Jeux Olympiques de Munich réalisée dans les années 70. Cet ouvrage, de par son importance et la nature des innovations apportées, a servi de catalyseur en démontrant de façon spectaculaire la faisabilité de tels projets et a inscrit dans l'imaginaire collectif les Structures Légères en tant que perspective d'avenir. Une autre étape, d'ordre numérique cette fois, a été franchie durant cette même période grâce à l'apport de la Méthode des Densités de Forces s'agissant de l'étude et du calcul des structures en réseaux de câbles tendus. Cette méthode s'est révélée tellement perspicace et efficace que certains ont dès lors envisagé de l'étendre au calcul des toiles textiles, se fondant alors sur une hypothèse d'équivalence entre un réseau de câbles et une membrane tendue. Cette approche est d'ailleurs toujours d'actualité et de nombreux outils d'analyse utilisés en Architecture Textile s'y réfèrent encore. D'autres ont cependant souhaité aborder les problèmes posés dans leur entière complexité en délaissant ce Principe d'Equivalence. Quoi qu'il en soit, ces techniques d'étude des réseaux de câbles tendus représentent pour le concepteur de membranes une étape essentielle car elles permettent d'entrevoir les pistes à suivre à partir d'une écriture simplifiée. Pour revenir au concept morphologique de Structure Relationnelle, nous distinguons à présent les deux approches topologiques envisageables : une toile tendue sera considérée comme un réseau de câbles et nous emploierons le vocable de représentation linéaire (ou de schématisation discrète), ou bien elle conservera son intégrité en tant que membrane et nous parlerons de représentation surfacique (ou schématisation continue). Cette double approche sera présente tout au long de cette thèse où les deux formalismes seront abordés en parallèle, non sans avoir pris soin d'étudier leurs relations et tout particulièrement la réalité d'une possible équivalence. Après avoir exposé les quatre concepts de Formes, Forces, Matériaux et Structures, l'attention se porte à présent sur les aspects fondamentaux que représentent les liens qui les unissent, se situant bien au-delà de simples dépendances pour devenir constitutifs du système en lui-même. 4 La déclinaison Formes-Structures ayant déjà été évoquée, consacrons nous à celle de Formes-Forces. L'Architecture Textile, et de façon plus générale tout type de système constructif présentant des caractéristiques de précontrainte, se caractérise par une forte corrélation entre ces deux concepts, les relations possibles dérivant nécessairement de la notion d'équilibre mécanique du domaine. Si les Forces s'entendent seulement au sens d'efforts internes ou au cas particulier de forces extérieures servant à mettre l'ouvrage en prétension (à l'image des Structures Gonflables), l'étude de ces correspondances peut s'inscrire dans le contexte plus général de la Recherche de Forme. Le couplage entre les concepts de Formes, Forces, Structures et celui de Matériaux n'intervient que par la suite. Il reflète en effet le passage d'un modèle théorique auparavant spécifié lors du processus de Recherche de Forme vers sa réalisation. Il correspond en ce sens à la détermination d'une configuration géométrique et relationnelle de départ qui, une fois mise en place sur le site selon les modes de liaisons avec l'environnement extérieur énoncés par la notion de Structure, devra respecter le plus fidèlement possible ceux issus des concepts de Formes et de Forces. Dans le cas particulier des membranes textiles, il s'agit de spécifier les éléments de tissu de forme plane (appelés laizes) dont l'assemblage constitue cette configuration de départ. Nous avons ainsi vu apparaître en filigrane, tout au long de cette introduction, ce qui va constituer l'ossature de ces travaux. La première partie de ce mémoire a en effet pour objet la Recherche de Forme et la Stabilité des Membranes Textiles Architecturales. Il s'agit d'aborder la relation Formes-Forces dans le cadre d'une représentation linéaire puis d'une approche surfacique, non sans avoir débattu d'une possible correspondance. L'étude de la stabilité de ces structures vient ensuite en complément indispensable. Elle permet de statuer sur l'existence et l'ordre d'éventuels mécanismes pour mener vers l'énoncé de critères de stabilité et en tirer les conclusions qui s'imposent. La seconde partie s'oriente vers l'étude de systèmes naturels avec une approche mécanique et se trouve ainsi consacrée à la Recherche de Forme de Configurations Minimales. Plus précisément, le propos consiste à étudier ces surprenantes et exceptionnelles notions que représentent les Réseaux de Longueur Minimale et les Surfaces d'Aire Minimale puis à découvrir les répercussions qu'elles peuvent avoir dans le domaine des Structures Légères. En dernier lieu, la troisième partie est dédiée à la Découpe de Laizes et à la Mise en Prétension des Membranes Textiles Architecturales. Faisant ici intervenir le paramètre Matériau, il s'agit de déterminer une configuration de départ non tendue qui, une fois mise en place sur le site, répondra au plus près aux exigences du concepteur. L'étude de cette corrélation s'envisage d'après une modélisation du Processus de Déploiement et permet alors de prononcer un jugement sur les procédés de Découpes de Laizes auparavant spécifiés. Introduction générale 5 Comme annoncé précédemment, l'analyse statique ou dynamique du comportement des structures tendues sous actions extérieures n'est volontairement pas abordée dans le cadre de ce travail. Afin de conférer un maximum de lisibilité à ce mémoire, les différentes parties s'inscrivent dans un schéma délibérément simplifié : après un chapitre introductif et une description de l'état de l'art, le texte est consacré aux nouvelles approches et méthodes proposées ainsi qu'aux résultats obtenus. Les considérations d'ordre théorique déjà connues et étayant le raisonnement sont développées en annexes ou font l'objet de références bibliographiques. Il en est de même pour des démonstrations mathématiques qui, sinon, surchargeraient le propos. Nous invitons toutefois le lecteur à s'y reporter, et ce dans l'optique d'une meilleure compréhension des thèmes abordés. Partie I Recherche de Forme et Stabilité des Membranes Textiles Architecturales Introduction 7 Introduction La première partie de ce mémoire a pour objectif de proposer une nouvelle méthode de Recherche de Forme pour les membranes textiles tendues puis d'étudier la Stabilité mécanique des structures ainsi réalisées. Après avoir posé les hypothèses d'ordre mécanique qui nous suivront tout au long de ces travaux, l'intérêt se porte en premier lieu sur le mode de représentation linéaire que définissent les ouvrages à base de réseaux de câbles tendus. Les réalisations majeures sont mises en avant, suivies par la présentation de la Méthode des Densités de Forces. Dans le cadre d'un formalisme permettant de caractériser les sous-espaces vectoriels des états d'autocontrainte, on montre que l'hypothèse du Principe d'Equivalence entre un réseau de câbles et une membrane tendue n'est pas toujours vérifiée. Afin de pallier les inconvénients de la schématisation discrète, un nouveau processus de Recherche de Forme fondé sur une approche surfacique est ainsi proposé. Répondant à l'appellation de Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques, elle apparaît comme une extension de la Méthode des Densités de Force et, de par son écriture, autorise des formulations mixtes ainsi que la Recherche de Forme de structures gonflables. De nombreuses applications sont exposées et soulignent sa légitimité. Le dernier chapitre traite de la Stabilité des structures tendues. Réseaux de câbles ou toiles textiles, il s'agit de vérifier si cette notion fondamentale est respectée. La détermination de l'ordre des mécanismes du système ainsi que l'énoncé de critères de stabilité permet de répondre à cette question positivement. 8 Partie I Hypothèses fondamentales Avant de commencer l'exposé de ces travaux de thèse, il est nécessaire de présenter les hypothèses qui nous accompagneront durant ce parcours. Hypothèse H1 : L'étude se situe dans le cadre des petites déformations élastiques. Cette considération interviendra dans la partie III dédiée à la découpe de Laizes ainsi qu'à la mise en prétension des Membranes Textiles Architecturales. Hypothèse H2 : Exprimées dans un repère local lié à un élément de membrane, les contraintes de Cauchy de cet élément vérifient les relations suivantes : m m m m σ loc z << σ loc x et σ loc z << σ loc y m m m m σ loc xz << σ loc xy et σ loc yz << σ loc xy Cela signifie que l'on se situera, pour un élément de membrane, dans un contexte de Contraintes Planes. De plus, le cadre des déformations sera celui des Déformations Planes. Pour un élément de câble, seules les composantes de contraintes et de déformations relatives à son axe longitudinal sont non nulles. Hypothèse H3 : Les éléments de câble et de membrane suivent une loi de comportement rhéologique de type solide élastique linéaire. Cette loi n'est valide que dans le domaine des tractions, seules sollicitations compatibles avec la rigidité unilatérale des câbles et membranes. Hypothèse H4 : Dans un système constructif comportant un seul type d'éléments, tous les câbles ont même section et tous les éléments de membrane une épaisseur identique. Cela n'est pas forcément valable dans le cas de structures hybrides, c'est à dire comprenant des éléments de natures différentes. 9 Réseaux de câbles tendus et Recherche de Forme I-1 Réseaux de câbles tendus et Recherche de Forme I-1-1 Les réalisations marquantes Il est toujours difficile d'extraire quelques noms dans une liste dont chacune des composantes représente en soi une pierre ajoutée à l'édifice architectural des constructions à base de réseaux de câbles. Cependant, il apparaît évident qu'une majorité des personnes interrogées mettra en premier lieu l'accent sur la réalisation de la couverture des installations accueillant les Jeux Olympiques de Munich en 1972 [HOL 97]. Répondant au souhait formulé par les autorités de la RFA d'une solution innovante et légère, le choix proposé par les architectes Behnish & Partner fut retenu. Fait majeur, les problèmes posés par la réalisation technique des couvertures furent l'occasion de réunir quelque uns des plus grand spécialistes de l'époque : on citera volontiers F. Otto (suite à son expérience acquise lors d'une précédente réalisation dans le cadre de l'Exposition Universelle de Montréal), F. Leonhardt et J. Schlaich. Constitué par une succession de structures indépendantes fondées sur l'utilisation de réseaux de câbles à double courbure inverse, l'ensemble occupe une surface totale de 74 000 m2 et se distingue par des élévations atteignant jusqu'à 80m. La couverture au sens propre du terme est réalisée par l'intermédiaire de panneaux plexiglas disposés entre les éléments de câble. Fig. I-1 Stade Olympique de Munich (vue d'ensemble) Cette réalisation se distingue par l'ensemble des innovations techniques qui ont été apportées : de façon non exhaustive, nous pouvons mettre en exergue les études portant sur la résistance en fatigue des éléments de câble, la conception des noeuds et autres pièces de liaison en acier. La détermination des dimensions du maillage et le calcul des découpes de câble fut d'abord envisagée par utilisation de maquettes. Les risques d'erreur étant toutefois trop importantes, de nouvelles méthodes de calcul ont été employées (méthode des Densités de Forces entre autres, K. Linkwitz Université de Stuttgart [LIN 76]). Fig. I-2 Détail du réseau 10 Partie I Le second choix est beaucoup plus personnel; il s'agit de la tour de la centrale nucléaire de Schemehausen (Allemagne). D'une hauteur de 146m pour un diamètre à sa base de 141m, elle est conçue sur le principe des tours de refroidissement à sec et possède ainsi des dimensions supérieures à celles des tours de refroidissement humides de même capacité. Une réalisation en béton armé aurait été certainement des plus problématiques compte tenu de ces Fig. I-3 Tour de Schemehausen caractéristiques. Un habillage en tôle d'aluminium est ensuite placé sur la face interne du treillis. Construite en 1974 par J. Schlaich [HOL 97], cette tour fut cependant démolie en 1991 suite à la décision de réduire puis de stopper le programme nucléaire allemand. I-1-2 La Méthode des Densités de Forces L'étude de la géométrie d'équilibre des réseaux de câbles prétendus a été envisagée selon diverses procédures : réalisation de maquettes [OTT 73], Recherche de Forme par approche géométrique [KNE 92] ou mécanique (Méthode des Eléments Finis [HAU 72]-[LEO 88] ou bien Relaxation Dynamique [BAR 75]). Si la difficulté posée est essentiellement d'ordre numérique (résolution d'équations non linéaires), une étape importante a toutefois été franchie en 1970 lorsque la Méthode des Densités de Forces fut proposée. D'après une idée originale de K. Linkwitz [LIN 71] ensuite reprise par H.J. Sheck [SHE 74], elle apporte une simplification dans l'écriture des équations d'équilibre et permet un calcul rapide de la position des noeuds du réseau. Le principe en est le suivant. On isole un noeud i du maillage où ci éléments de câble sont connectés, chacun étant de longueur l j , soumis à une tension t0 j et relié au noeud 2 j (figure I-4). La somme des actions exercées par les câbles sur le noeud i est égale à : ci r ci r r c fi fi = = t0 j x cj ∑ ∑ i j l 1i j j =1 j =1 2j r X2 j i r x cj r r La composante de x sur l'axe global X étant x = cj cjX Z r lj r Y X (avec X2 j i = X2 j − X1i ) il vient : Fig. I-4 Equilibre du noeud i ci fi iX = t0 j ∑l j =1 j X2 j i (I-1) (I-2) L'équilibre du noeud i imposant fi iX = 0 , on obtient une relation non linéaire pour déterminer la valeur de Xi . L'idée consiste à linéariser cette équation en considérant le rapport : ql j = t0 j lj Le terme qlj est appelé coefficient de densité de force pour l'élément de câble j. (I-3) 11 Réseaux de câbles tendus et Recherche de Forme A partir de là, on peut calculer Xi selon la forme simple : Xi ci ci j =1 j =1 ∑ ql j = ∑ ( ql j (I-4) X2 j ) L'extension de cette démarche à l'ensemble du réseau permet d'écrire une relation matricielle de la forme : où { Xl } (I-5) [ D] { Xl } = {DX } r désigne les coordonnées en X des noeuds libres de la configuration d'équilibre; [ D] est fonction des coefficients qlj , {DX } également mais dépend aussi des coordonnées des r r noeuds fixes. Une telle écriture se retrouve par analogie selon les axes Y et Z de la structure. La résolution de cette équation peut être effectuée par inversion de [ D] ou bien selon une méthode itérative. Des relations plus détaillées sont présentées en annexe A. La forme d'équilibre obtenue étant directement en relation avec les différents coefficients de densités de force choisis, le concepteur peut ainsi la modifier à volonté sans changer les conditions d'appui de la structure. De la même façon, il peut aussi gérer la courbure des câbles de ralingue situés sur les côtés en faisant d'autres choix pour ces coefficients. Fig. I-5a Maillage plan Fig. I-5b Conditions d'appui Fig. I-5c Forme calculée Les figures I-5 illustrent la démarche suivie où, à partir d'un maillage initial plan auquel sont spécifiées des conditions d'accrochage, la Méthode des Densités de Forces détermine une possible géométrie d'équilibre. Les tensions dans les éléments de câbles sont ensuite calculées d'après les relations (I-3). Cette méthode se distingue par sa rapidité et sa facilité d'intégration au sein d'un logiciel CAO de Recherche de Forme [PAU 94]. Une des répercussions immédiates a été d'envisager de l'étendre à l'étude des Membranes Textiles Architecturales. Cette approche se fonde dès lors sur une hypothèse d'équivalence entre un réseau de câbles tendus (représentation linéaire) et une toile tendue (représentation surfacique). Dès lors, une telle démarche suscite les questions suivantes : - Une géométrie d'équilibre d'un réseau de câbles tendus peut-elle aussi correspondre à une configuration d'équilibre d'une membrane tendue ? - Connaissant les tensions existant dans les différents éléments de câble, comment évaluer la distribution des contraintes de prétension au sein de la toile ? Si ces aspects peuvent paraître de façon trompeuse secondaires aux yeux de l'architecte, ils sont primordiaux pour le mécanicien. 12 Partie I Il est en effet possible d'imaginer que, si ce Principe d'Equivalence n'est pas vérifié, des zones de la membrane peuvent être localement détendues et ainsi susceptibles de posséder des plis. Outre un préjudice esthétique certain, ces zones critiques présentent un risque potentiel de formation de poches d'eau stagnante et ainsi porter atteinte à l'intégrité de l'édifice. Ces problèmes sont abordés dans le chapitre suivant où il s'agit d'étudier la relation Formes-Forces au sens univoque, c'est à dire poser la question suivante : quel état de prétension correspond à une géométrie donnée ? I-2 Etude des états d'autocontrainte et validité du Principe d'Equivalence Avant toute chose, il convient de préciser ce que l'on entend par le vocable "membrane tendue". En considérant les valeurs principales σ1e et σ e2 du tenseur des contraintes de Cauchy défini dans le repère local de l'élément, il faut que : - σ1c = σxc > 0 pour tout élément de câble (approche linéaire) (I-6a) - σ1m > 0 et σ 2m > 0 pour tout élément de membrane (approche surfacique) Dans ce second cas, on montre que ces relations sont vérifiées si [MAU 95] : m m m 2 σxm > 0 , σ m y > 0 et σ x σ y > (σ xy ) (I-6b) I-2-1 Recherche des états d'autocontrainte En l'absence de forces extérieures, l'équilibre mécanique d'un domaine Ω 0 se traduit par la relation : {Fint }0 = { 0 } (I-7) où {Fint }0 représente le vecteur généralisé des efforts internes sur la structure. En description eulérienne sur Ω 0 , on peut calculer le vecteur élémentaire des efforts internes fi e d'après la relation (B-11) établie en annexe B où sont mis en place les { }0 différents opérateurs et les grandeurs mécaniques utilisées. T {fie }0 = ∫ [ bLe ]0 {σe }0 dV 0 (I-8) V0 Si on exprime le vecteur précontrainte de Cauchy dans le repère local de l'élément, il vient (en considérant la matrice de passage relative aux contraintes définie en C-20) : T {fie }0 = ∫ [ bLe ]0 [ Tσe' ]0 {σ eloc }0 dV 0 V 0 (I-9) 13 Réseaux de câbles tendus et Recherche de Forme T T { }0 = {σ 0mloc } = σ 0mx c un élément de câble {σ loc }0 = {σ 0cloc } = {σ c0x } = σc0 , nous écrivons : {fie }0 = v0e [ a e ]0 {σ 0eloc } m En considérant pour un élément de membrane σ loc σ 0my σ 0mxy et pour (I-10) où v 0e représente le volume de l'élément sur Ω 0 . Après assemblage des relations élémentaires (I-10), il vient : {Fint }0 = [A ]0 {σ 0 loc } (I-11) La matrice [ A ]0 prend le nom de matrice d'équilibre du système; elle permet de déterminer { une base des vecteurs d'autocontrainte possibles, c'est à dire l'ensemble des vecteurs σ 0loc } pour lesquels il est vérifié : [A ]0 {σ 0 loc } = { 0 } (I-12) Pour cela, il suffit de rechercher le noyau de la matrice d'équilibre Ker A . Si le sous-espace vectoriel ainsi engendré est vide, cela signifie que la configuration étudiée ne possède aucun état d'autocontrainte. Dans le cas contraire, il faut vérifier qu'il existe au moins un vecteur d'autocontrainte non nul compatible, soit une combinaison linéaire des vecteurs de la base d'autocontrainte pour laquelle tous les éléments de la structure sont en état de tension (relations I-6). Si l'on considère que le domaine Ω 0 est représenté de façon discrète (réseau de câbles caractérisé par un sous-espace vectoriel d'autocontrainte Ker Ac ) ou selon une schématisation continue (éléments de membrane), le Principe d'Equivalence suppose que : cmp ∃ {σ cmp 0 loc } ≠ { 0 } ∈ Ker Ac et ∃ {σ 0 loc } ≠ { 0 } ∈ Ker Am (I-13) Nous allons à présent, sur un exemple concret, étudier si cette hypothèse est toujours vérifiée. I-2-2 Validité du Principe d'Equivalence La configuration proposée se compose de 9 noeuds, 8 éléments de câble en représentation linéaire et 8 éléments triangulaires de membrane en mode surfacique. Le tableau ci-contre donne les caractéristiques de quelques noeuds (les autres s'en déduisant par symétrie selon les axes X et Y, se rapporter à la figure I-6a). Les cases en grisé correspondent à un blocage du noeud selon la direction considérée. Noeuds 1 2 X 0 0 Y 0 1 2 Z −2 3 2 3 0 4 −2 1 0 0 1 14 Partie I r Z 8 r Y 9 6 2 1 4 4 7 7 5 8 5 7 5 1 3 6 8 r X 3 2 3 1 2 4 6 Fig. I-6b Eléments de membrane Fig. I-6a Réseau de câbles La configuration liée à la représentation discrète possède de façon évidente un état d'autocontrainte compatible décrit par : σ 0c1à4 = 1 et σ c0 5à 6 = 3 17 c1 5 σ 0 ; σ c0 7à 8 = σ c01 2 37 2 37 (I-14) On recherche maintenant une base des états d'autocontrainte liée à une représentation surfacique de la structure en tenant compte de ses symétries (figure I-6b). L'étude numérique de Ker A m nous précise une base formée de quatre vecteurs {1} à {4} : Ker A m {1} {2} {3} {4} 1à 4 σm σ 0my1à 4 0x 2.611165 0 1.565305 0 0.144649 0 0.484849 1 1à 4 σm 0xy 1 0 0 0 5à 8 σm 0x 0 1 0 0 σ 0my5à 8 0 0 1 0 σ 0mx5ày8 0 2.115763 -0.086411 0 (I-15) Nous remarquons que quelque soit la combinaison linéaire des vecteurs {1} à {4} choisie, les éléments de membrane 5 à 8 ne peuvent posséder un état de précontrainte compatible selon les relations (I-6). Dans cet exemple, la condition formulée en (I-13) n'est donc pas vérifiée. Une telle application, pourtant simple de réalisation, montre qu'il existe des situations où le Principe d'Equivalence est mis en défaut. Une Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales fondée sur une approche linéaire par réseau de câbles est insuffisante. Il faut ainsi envisager d'autres méthodes utilisant une représentation surfacique de la toile. Avant d'aborder cette question de façon détaillée, le procédé de recherche des états d'autocontrainte développé nous permet d'ouvrir ici un bref aparté. Il s'agit de l'appliquer au cas d'un système comportant à la fois des éléments de câble, de membrane mais aussi de barre. 15 Réseaux de câbles tendus et Recherche de Forme I-2-3 Etude d'un système hybride Le vocabulaire architectural s'est enrichi des dernières années d'un nouveau terme : les Systèmes de Tenségrité. Ces structures se caractérisent également par l'utilisation de la précontrainte en tant que principe constructif. Les configurations les plus courantes sont fondées sur l'association de plusieurs modules de base, le plus simple d'entre eux étant appelé Simplex [VAS 97]. Ce système comporte 3 éléments de barre soumis à de la compression, des nappes supérieure et inférieure de câbles de longueurs identiques (6 éléments au total) ainsi que 3 autres câbles dits "d'entretoisement". Il possède bien entendu une géométrie d'équilibre Ω 0 avec un état d'autocontrainte compatible (figure I-7a). L'idée consiste à remplacer les deux nappes de câbles par deux éléments de membrane et à déterminer alors les éventuels états d'autocontrainte (figure I-7b). Fig. I-7a Simplex Afin de simplifier les calculs nous allons envisager un cas particulier où : T T {σ 0mloc }0 = {σ 0miso }0 = m m m m σ 0m σ 0m 0 = σ m 0 (soit σ 0 x = σ 0 y = σ 0 et σ 0 xy = 0 ) (I-16) Un tel vecteur élémentaire de prétension est dit isotrope, il est aussi forcément compatible si σm 0 >0. On formule à nouveau (I-9) en utilisant (C-21), il suit : {fie }0 = v0 m [ aisom ]0 {σ 0miso } r Z 4 Noeuds 6 X 8 Y 5 1 2 1 −1 2 2 −1 −1 2 3 2 3 0 3 6 1 Z r Y 2 4 3 7 r X 2 Fig. I-7b Structure hybride 0 0 m σ iso 0 0 4 −1 3 1 3 0 0 1+ 3 3 3 5 1 m T L 0 [ ] = [ b ] {T ' } m avec aiso (I-17) 5 1 6 1 2 3 −1 2 1+ 3 3 2 3 1 2 1+ 3 3 Les caractéristiques des noeuds sont données dans le tableau ci-dessus (en m). Dans le cas particulier des structures hybrides, on doit spécifier les dimensions des éléments, soit une section sc = 1 cm 2 pour les barres ainsi que les câbles et une épaisseur ep m = 1 mm pour les membranes. 16 Partie I Pour le Simplex avec des nappes horizontales de câbles (éléments 7 à 12 non représentés), la base d'autocontrainte est bien connue; elle est de la forme : σ c01à3 Ker Ac = {1} 1 σ 0b 4à 6 2 − 1+ ≈ −1.467 3 σ c0 7à12 1 ≈ 0.578 3 (I-18) Après assemblage des relations (I-17) et en tenant compte des éléments linéaires, on étudie Ker Acmiso . La base d'autocontrainte ne comporte qu'un vecteur et on vérifie qu'il est compatible avec tous les éléments (membranes et câbles tendus, barres comprimées). Ker Acmiso = σ c01à3 σ b0 4à 6 σ 0m 7à 8 {1} 1 −1.467 0.200 (I-19) Remarque : Une vérification peut être effectuée au regard de la relation (I-22) qui permet de calculer les efforts internes de tension sur les côtés d'un élément de membrane à précontrainte isotrope. r ep m σ 0m l bj il vient : Avec tg α j = 3 , l bj = 1 et ti mj = 2 tg α j rm s 1 1 0.200 = ti j = c ≈ 0.578 3 ep m 2 3 (I-20) Bien qu'appliquée ici sur un exemple simple, cette approche montre qu'il est possible de déterminer numériquement les états d'autocontrainte de structures hybrides. On a également effectué d'autres calculs portant sur des systèmes plus complexes. Les résultats obtenus se résumant à l'énumération de valeurs ne sont volontairement pas exposés. Des applications très concrètes sont dès lors envisageables, s'agissant par exemple de l'étude de dômes-câble avec couverture toile (figure I-8) [ISH 95]. Fig. I-8 Dôme-câble avec membrane textile 17 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales I-3 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales I-3-1 Quelques réalisations Forcé de constater, une fois de plus, que ce ne sont pas forcément les édifices les plus difficiles à concevoir qui sont aussi les plus agréables à nos sens, et qu'il est des ouvrages bien plus simples en totale harmonie avec leur environnement et leurs impératifs fonctionnels, c'est toutefois avec le regard du technicien que le choix s'est porté sur quelques réalisations significatives. Fig. I-9 Haj Terminal La première structure illustre, de par ses dimensions imposantes, le potentiel des constructions légères. Tous ceux pensant cantonner ce type de réalisation dans des rôles mineurs seront surpris par la couverture en toile du Haj Terminal de l'aéroport de Djeddah en Arabie Saoudite (figure I-9). Conçu en 1981 par H. Berger, cet ouvrage fut l'occasion d'apporter de nombreux éléments de réponse à des problèmes d'ordre mécanique ou thermique [HOL 97]. La couverture du stade de Tokyo représente, dans un pays où l'Architecture Textile est largement implantée, la figure de proue des réalisations à base de membranes gonflables. D'une surface supérieure à 28 000 m2, le toit allie une structure en câbles avec une toile de type fibre de verreTéflon; il fut conçu en 1988 par N. Sekkei [ISH 95]. Fig. I-10 Tokyo dôme La France, de son côté, se distingue par une certaine frilosité en la matière. Cette situation semble néanmoins évoluer de façon progressive et quelques constructions apparaissent à nos yeux, certains regretteront toutefois que leur financement repose essentiellement sur des fonds publics. On citera volontiers la couverture des salles de spectacle de type Zénith (figure I-11) [PIC 97]. Fig. I-11 Couverture du Zénith 18 Partie I I-3-2 Les différents procédés de Recherche de Forme Les premières approches que l'on pourrait qualifier de vraiment rigoureuses ont fait leur apparition vers ce milieu de siècle. Elles étaient fondées sur l'étude de modèles physiques tels que des maquettes en voile léger ou bien des films de savon censés décrire la géométrie ainsi que la distribution des contraintes au sein de la toile. Menés en majeure partie sous l'impulsion de F. Otto, ces travaux ont par ailleurs apporté bien des éclaircissements et permis de construire avec succès de nombreux ouvrages [OTT 73]. Les développements rapides de l'informatique ont par la suite entraîné la prédominance du calcul par l'apparition de modèles et méthodes numériques. Nous laissons bien entendu de côté toute les formulations faisant appel à une représentation linéaire du problème à l'image de la Méthode des Densités de Forces [NGU 79]. E. Haug et G. Powell ont les premiers mis en évidence en 1972 un procédé de Recherche de Forme par utilisation de la Méthode des Eléments Finis dans un contexte d'analyse statique non linéaire d'ordre géométrique [HAU 72]. Peu de temps après (1975), M.R. Barnes a défini une approche fondée sur la méthode dite de Relaxation Dynamique auparavant proposée par A. DAY [BAR 75 et 80], [DAY 65]. Formulée d'après l'écriture des équations d'équilibre de la structure en dynamique, cette démarche peut toutefois se résumer elle aussi en une analyse non linéaire. Ces deux approches présentent cependant de nombreux inconvénients. Pour l'ingénieur tout d'abord, car elles ne permettent pas de contrôler l'état de prétension de la toile ainsi calculée et certaines zones peuvent alors se retrouver en compression. La géométrie d'équilibre est en effet obtenue par déformations successives d'une configuration initiale en agissant sur ses conditions aux limites. L'architecte sera également sensiblement dérouté par ces méthodes où la forme créée n'est que très peu prévisible à l'avance. Si elle ne lui convient pas, il devra alors redéfinir un nouveau maillage initial. Il faut également souligner que ces approches réclament l'utilisation de logiciels souvent complexes et de temps de calcul élevés, sauf recours à de puissants outils informatiques. Cela dit, excepté les méthodes liées à une représentation linéaire qui sont majoritaires, elles constituent la quasi totalité des autres codes de calcul que l'on rencontre dans les bureaux d'étude ou autres cabinets d'ingénierie. Désirant pallier ces inconvénients, R. Haber et J. Abel ont suggéré en 1982 un procédé alors réputé apporter réponse sur de nombreux points. La démarche se veut en effet être indépendante du matériau et permettre au concepteur de spécifier la distribution des contraintes sur la membrane [HAB 82]. Les exemples présentés par les auteurs de la méthode semblent d'ailleurs aller dans ce sens. On constate toutefois que les applications sont restées très marginales. Beaucoup plus récents, les travaux menés par K.U. Bletzinger sur des méthodes dites d'Homotopie ou d'URS (Updated Reference Strategy) sont porteurs de beaucoup de promesses. Mis à part une certaine complexité des calculs à effectuer, l'approche mécanique est innovante, audacieuse et ouvre ainsi de nombreuses perspectives [BLE 97]. 19 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales Ayant la volonté de présenter une nouvelle méthode de Recherche de Forme pour les Membranes Textiles Architecturales, nous avons retenus les critères suivants : - Il faut avoir un contrôle suffisant du champ de prétension engendré dans la toile pour éviter toutes zones en compression. - La possibilité de gérer de façon rapide et interactive les différentes formes obtenues doit être offerte au concepteur. Nous remarquons immédiatement que le premier aspect est validé si l'on a des vecteurs de précontraintes compatibles pour chaque élément de membrane, et tout particulièrement si il { s'agit de tenseurs isotropes de la forme σ 0miso } T m m = σm 0 σ 0 0 avec σ 0 > 0 . Cette condition est à la base de la méthode suggérée et que nous allons décrire dans le chapitre suivant. I-3-3 La Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques I-3-3-1 Expression des efforts internes dans le cas d'une prétension isotrope -a- Equilibre d'un élément de membrane Si l'on écrit la relation (I-9) pour un élément de membrane dans son repère local (figure I-12a), il suit : r fi1m   0  1 rm r m  ep m m   m fi loc = fi 2  avec fi1 = σ 0  x23  (I-21) 0 0 rm 2 rm fi   0   0 r fi1  3 0 ym rm rm fi 2 fi 3  y13   y21  rm rm ep ep     m m m m 3 2 r fi 2 = σ 0  x31  et fi 3 = σ 0  x12  xm 0 0 2 2 0  0   0  0 Fig. I-12a Efforts internes rm Il est possible de projeter les vecteurs fi j sur les côtés du triangle (figure I-12b); on calcule { } { } { } { } les valeurs des tensions ti j par : rm ep m ti j = σ 0m l bj (I-22) 2 tg α j r En considérant les vecteurs normés n j associés aux hauteurs du triangle (figure I-12c) : rm ep r fi j = − m σ 0m l bj n j 2 (I-23) r Remarques : - Si l'on désire exprimer la composante des efforts internes fi mj dans le repère r global lié à la structure, il suffit d'écrire le vecteur n j dans celui-ci. - Au cours des parties I et II de ce mémoire, la configuration d'équilibre sera toujours Ω 0 ; aussi le terme 0 n'apparaitra plus en indice des quantités exprimées. 20 Partie I 1 ti 3 α1 l b3 ti 3 2 r n3 l b2 α2 ti1 1 ti 2 ti 2 α3 l b3 3 l b1 r l h1 n2 2 ti1 lt r n1 4 l b2 l b1 3 Fig. I-12c Projection orthogonale Fig. I-12b Tensions sur les côtés Avec le point 4, intersection de la hauteur l h1 associée au noeud 1 et à son côté opposé, on peut écrire : r m ep m m l b1 → ep m 2 σ 0m → fi1 = l b1 σ0 14 = 14 l h1 2 4 sm (I-24) σ 0m est le rapport entre la contrainte isotrope de l'élément et son aire. Cette sm considération est au coeur de la nouvelle approche proposée où, par extension de la Méthode de Densités de Forces, nous désignons le rapport : Le terme qsm = σ 0m sm (I-25) comme le coefficient de densité de contrainte surfacique associé à l'élément. -b- Equilibre nodal r X r Z r Y 1i rm fi1j l bj Si l'on étudie maintenant une configuration avec mi éléments de membrane reliés au même noeud i (figure I-13), la résultante des efforts internes en ce point s'interprète selon : mi r r → ep mi (I-26) fi i = ∑ fi1mj = m ∑ qsj l 2bj 1i 4 j 4 j =1 j =1 3j 4j 2j Fig. I-13 Equilibre du noeud i Comme l'on peut calculer : X 4 j = X2 j + l tj l bj X3 j 2 j où l tj = 1 → → 2 3 ⋅2 1 l bj j j j i (I-27) Nous définissons alors les quantités : mi N Xi = ∑ qsj l2bj j =1 mi X4 j et Di = ∑ qsj l2bj (I-28) j =1 Ce qui permet d'écrire les composantes de la résultante des efforts internes appliqués sur le noeud i : rm rm rm ep ep ep fi iX = ( N Xi − Di Xi ) m ; fi iY = ( NYi − Di Yi ) m et fi iZ = ( N Zi − Di Zi ) m (I-29) 4 4 4 21 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales La recherche de la position d'équilibre du noeud i s'effectue en considérant qu'elle r r correspond à fi i = 0 , soit les relations : Xi = N Xi N N ; Yi = Yi et Zi = Zi Di Di Di (I-30) On détermine ainsi une nouvelle position du noeud i pour laquelle on recalcule les r composantes de fi i selon (I-29). La procédure itérative est arrétée lorsque ce vecteur est suffisamment proche du vecteur nul, ce qui suppose bien entendu une convergence du processus. I-3-3-2 Etude de la convergence Nous allons à présent établir de façon détaillée les équations qui traduisent l'évolution des paramètres tout au long du procédé itératif. A l'itération (p+1) on peut écrire : mi X (pi +1) = (p) N Xi Di ∑ qsj l2bj = j =1 mi ∑ X (p) 4j (I-31) qsj l 2bj j =1 En considérant Qsj = qsj mi ∑ il suit : qsj l 2bj j =1 (p) (p) X (pi +1) = AXXi X (p) i + AXYi Y i + AXZi Z i + BXi (I-32) mi  2  AXXi = ∑ Qsj ( X3 j 2 j ) j =1  mi  A =  XYi ∑ Qsj ( X3 j 2 j Y3 j 2 j )  j =1 avec :  mi A = ∑ Q ( X XZi sj 3 j 2 j Z3 j 2 j )  j =1  mi  B = Q (Y ( X Y − X Y ) + Z 2 j3 j 3j 2 j 2 j 3j 2 j 3 j ( X3 j Z2 j − X2 j Z3 j )) sj  Xi ∑ j =1  (I-33) De façon identique, on peut calculer les autres coordonnées du noeud i pour l'itération (p+1) : +1) (p) (p) Y (p = AYXi X (p) i i + AYYi Y i + AYZi Z i + BYi  (p+1) (p) (p) = AZXi X (p)  Z i i + AZYi Y i + AZZi Z i + BZi (I-34) 22 Partie I mi  2  AYYi = ∑ Qsj (Y3 j 2 j ) j =1  mi   AYZi = ∑ Qsj (Y3 j 2 j Z3 j 2 j )  j =1 mi   AZZi = ∑ Qsj ( Z32 2 ) j j où l'on définit :  (I-35) j =1 A = A ; A = A ; A = A XZi ZYi YZi  YXi m XYi ZXi i  =  BYi ∑ Qsj ( X 2 j 3 j ( X 2 j Y3 j − X 3 j Y2 j ) + Z 2 j 3 j (Y3 j Z 2 j − Y2 j Z3 j )) j =1  mi  = B Qsj ( X 2 j 3 j ( X 2 j Z3 j − X 3 j Z 2 j ) + Y2 j 3 j (Y2 j Z3 j − Y3 j Z 2 j )) ∑ Zi  j =1  Ces équations peuvent se mettre sous la forme matricielle :  X (pi +1)   AXXi  (p+1)   Y i  =  AYXi  Z (p+1)   A  i   ZXi AXZi   X i   BXi      (p +1) AYZi   Y (p) = [ Ai ] X (p) + {Bi } (I-36) i  +  BYi  ou X i i (p)     B AZZi  Z i    Zi  (p) AXYi { AYYi AZYi } { } { } Si le vecteur X (i0 ) caractérise la position initiale du noeud i, il vient : { } X (pi +1) = [ Ai ] p +1 p { } X (i0 ) + ( ∑ [ Ai ] k ) {Bi } avec [ Ai ]k = [ Id3 ] pour k = 0 (I-37) k =0 {X } − {X } = [ A ] (p +1) i (p) i p i ( ( [ Ai ] − [ Id3 ] ) {X (i0 ) } + {Bi } ) (I-38) p L'annexe E montre que les termes de [ Ai ] vérifient lim [ Ai ] = [ 0 3 ] , ce qui signifie que le p→∞ processus converge vers la position d'équilibre du noeud i. Nous emploierons à ce propos la terminologie de convergence locale. A partir de (I-37) il vient : { X } = [ A ] {X } + ( [ Id ] − [ A ] p +1 (p +1) i {X } = [ A ] (p +1) i (0) i i i p +1 3 p +1 i −1 ) [[ Id3 ] − [ Ai ]] {Bi } −1 −1 ( {X (i0) } − [[ Id3 ] − [ Ai ]] {Bi } ) + [[ Id3 ] − [ Ai ]] {Bi } (I-39) (I-40) qui tend à l'inifini vers : { } [ lim X (p) = [ Id3 ] − [ Ai ] i p→∞ ]−1 {Bi } (I-41) Nous avons ainsi la relation fondamentale d'équilibre nodal : −1 {Xi } = [[ Id3 ] − [ Ai ]] {Bi } (I-42) 23 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales Cette équation qui permet de déterminer la position d'équilibre du noeud i est à la base de la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques. Son écriture simplifiée (la seule opération "complexe" réside dans l'inversion d'une matrice 3x3) autorise un calcul rapide du vecteur {Xi } . Deux éventualités se présentent alors : - Soit le concepteur souhaite utiliser la démarche itérative définie en (I-30) et a ainsi la possibilité de l'arrêter lorsque le vecteur des efforts internes est inférieur à un seuil demandé. - Soit il désire obtenir une précision maximale, ce qui suppose une poursuite des itérations à l'infini, et il peut dans ce cas utiliser la relation d'équilibre à l'infini (I-42). Le choix relève en fait d'un compromis entre le temps de calcul imparti et la précision voulue. Lorsque la position d'équilibre est atteinte, les aires des différents éléments sont évaluées et permettent de calculer les valeurs des contraintes isotropes par : σ 0 j = qsj s j (I-43) Cette procédure est appliquée à chaque noeud libre de la structure jusqu'à ce que la forme de l'ensemble atteigne une position de convergence. Si c'est le cas, nous parlerons de convergence globale du processus. L'équation (I-42) montre que cette géométrie finale est obtenue directement en relation avec les différentes valeurs attribuées aux coefficients de densités de contraintes surfaciques qsj par l'intermédiaire des matrices [ Ai ] et des vecteurs {Bi } . Comme dans la Méthode des Densités de Forces, le concepteur a ainsi la possibilité de modifier la forme d'équilibre en agissant sur les coefficients qsj , et ce sans modifier les conditions d'appui du système. I-3-3-3 Applications Le premier exemple illustre le cas où, partant d'un maillage initial plan pour lequel on a spécifié des conditions d'appui (figure I14a), une première Recherche de Forme est effectuée avec des coefficients de densités de contraintes surfaciques identiques (figure I14b). Dans un second temps, le concepteur impose qsj = 2 pour les éléments situés au centre de la structure et qsj = 1 pour les autres (figure I-14c). Fig. I-14b Forme finale avec qsj = 1 Fig. I-14a Configuration initiale Fig. I-14c Forme avec différents coefficients qsj 24 Partie I Figs. I-15 Quelques configurations calculées par la MDCS Les figures I-15 mettent en évidence d'autres applications où différentes variétés de formes sont obtenues. C'est aussi l'occasion de signaler que toutes les géométries initiales employées tout au long de ces travaux de thèse ont été conçues par utilisation de la Formex Algèbre. Cet outil (comprendre Algèbre des Formes) s'avère en effet parfaitement adapté à la génération de telles structures spatiales, alliant à la fois des qualités de rapidité, simplicité et efficacité [NOO 93]. Le processus de conception repose sur l'utilisation de schémas paramétrés et offre une grande diversité dans les géométries et Structures Relationnelles engendrées. La parole peut ainsi être donnée en toute confiance à l'Architecte, sachant que les configurations qu'il va déterminer par la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques offrent toutes les garanties souhaitées en termes de mécanique. Il est d'ailleurs possible d'illustrer ce propos avec un exemple simple. La figure I-16a représente une toile plane fixée sur ses côtés et sur un noeud central en position haute. Le calcul de la position d'équilibre du système dans le cadre d'une schématisation discrète (Méthode des Densités de Forces) mène à une géométrie d'autocontrainte (figure I-16b). Fig. I-16a Maillage initial Fig. I-16b Représentation linéaire Fig. I-16c Mode surfacique Cependant, ce résultat peut paraître assez troublant à toute personne ayant déjà été confrontée à la réalisation de toiles tendues, ne serait-ce que par l'intermédiaire de maquettes en tissu. Nous savons en effet qu'une telle configuration entraîne forcément l'apparition de plis au sein de la toile. Si l'on effectue maintenant une Recherche de Forme selon une représentation 25 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales continue du milieu, en l'occurrence d'après la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques, nous remarquons que le processus ne peut converger globalement vers une position d'équilibre. Cela traduit le fait qu'il ne peut exister une base d'autocontrainte fondée sur l'utilisation de tenseurs de prétension isotropes et qu'il serait alors nécessaire de prendre en considération des termes de cisaillement avec bien entendu un risque potentiel de zones de la membrane en état de compression. Il est ainsi constaté que ce simple exemple met en défaut, une fois de plus (cf I-2-2), le Principe d'Equivalence formulé en (I-13). La divergence globale de la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques sert heureusement dans le cas présent de garde-barrière en évitant au concepteur de commettre des erreurs préjudiciables. I-3-3-4 Combinaison avec la Méthode des Densités de Forces Cette partie traite le cas pour lequel des câbles de ralingue sont situés sur les côtés de la toile. Nous allons considérer une configuration avec mi éléments de membranes et ci éléments de câble reliés au noeud i et aux noeuds repérés 5 (figure I-17). r X r Z r Y rc fi1 j 5j 1i rm fi1 j l bj 3j 4j 2j Fig I-17 Eléments de câble La somme des efforts internes exercés au noeud i s'écrit : mi r ci r ci r → → ep mi fi i = ∑ fi1mj + ∑ fi1cj = m ∑ qsj l b2j 1i 4 j + ∑ qlj 1i5 j (I-44) 4 j =1 j =1 j =1 j =1 r r Les équations d'équilibre ( fi i = 0 ) nous donnent les mêmes relations (I-30) mais avec : mi ci  2  N Xi = ∑ qsj l bj X4 j + ∑ qlj X5 j  j =1 j =1 mi ci  2  NYi = ∑ qsj l bj Y4 j + ∑ qlj Y5 j et Di = j =1 j =1  mi ci  2  N Zi = ∑ qsj l bj Z4 j + ∑ qlj Z5 j  j =1 j =1 mi ci j =1 j =1 ∑ qsj l2bj + ∑ qlj (I-45) Dans ce cas aussi, on peut déterminer la position du noeud i de façon itérative ou par résolution du système (I-42). Il est en effet possible de montrer que les termes de la matrice [ Ai ] sont tels que lim [ Ai ] p = [ 03 ] est toujours vérifié (cf. annexe E). p→∞ Cette approche combinée permet au concepteur de gérer tout à la fois la courbure des câbles de ralingue situés en périphérie (en agissant sur les coefficients qlj ) ainsi que de modifier localement la forme de la toile (coefficients qsj ). 26 Partie I Nous allons illustrer cette possibilité par l'exemple suivant. Il s'agit d'une structure de 20 par 10 dont les noeuds positionnés sur les côtés de plus grande longueur sont fixes et décrivent un arc de cercle avec une hauteur maximale de 5 (noeuds repérés o ). Des ralingues sont également disposées sur les côtés transversaux (entre les noeuds extrêmes marqués • ). Fig. I-18b qsj = 1 et qlj = 25 Fig. I-18a qsj = 1 et qlj = 6 Fig. I-18c qsj = 1 et qlj = 100 Une première forme est calculée avec tous les coefficients qsj égaux à 1 et les coefficients qlj à 6. Dans ce cas, la flèche résultante au niveau des câbles de ralingue est de 2 (figure I-18a). Si l'on précise maintenant que qlj = 25 elle devient égale à 1 (figure I-18b) puis chute à une valeur de 0.5 si qlj = 100 (figure I-18c). I-3-3-5 Calcul de Structures Gonflables Le propos est à présent consacré au cas particulier des structures pneumatiques dont la position d'équilibre dépend de l'action d'efforts extérieurs de pression. La détermination des efforts internes exercés en chaque noeud s'effectue en ajoutant à (I-26) un terme supplémentaire dû aux composantes normales à chaque élément de membrane (axe r local zm ) et proportionnel à sa surface ainsi qu'à la valeur de la pression P. On écrit alors : r fi i = mi r mi mi → P sj r P sj r ep zmj = ∑ ( m qsj l b2j 1i 4 j + zmj ) 4 3 j =1 3 j =1 ∑ fi1mj + ∑ j =1 (I-46) Nous sommes toutefois confrontés ici à un problème nouveau car, si jusqu'à présent le procédé de Recherche de Forme nous permettait d'obtenir une base relative à un état d'autocontrainte (les unités pouvant être considérées comme "libres"), le fait d'introduire des termes de pression (avec des unités précises) implique une définition rigoureuse des unités choisies. La démarche proposée est la suivante : (1) - On estime tout d'abord sur le maillage plan initial la surface moyenne des éléments smoy et, en considérant une valeur de précontrainte de la toile σ 0m , les coefficients de densités de contraintes surfaciques par : σm q (sj1) = (10) smoy (I-47) - Un premier calcul est réalisé; la forme obtenue permet d'avoir une seconde estimation de la (2) surface moyenne élémentaire smoy et ainsi d'attribuer de nouvelles valeurs aux coefficients q(sj2) selon (I-47). 27 Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales La convergence locale du procédé est également assurée car l'introduction de forces de pression ne fait qu'ajouter des termes supplémentaires aux vecteurs {Bi } explicités dans les équations d'équilibre (I-42). Nous allons illustrer cette démarche en effectuant une Recherche de Forme sur une structure bien connue : la couverture des Arènes de Nîmes (figure I-19a). La toile supérieure décrit sur sa base une ellipse d'axes 90m x 65m et la pression relative à l'intérieur de l'édifice est P = 2.5 10 −4 MPa (soit 0.0025 bars). Son épaisseur est d'environ 1.5mm. Fig. I-19a Arènes de Nîmes 20 MPa ≈ 3 MPa. m −2 donne 6.8 m 2 une flèche centrale égale à 7.1 m (figures I-19b et c). Si l'on réactualise ces valeurs avec q (sj2 ) = 2.5 MPa. m −2 nous obtenons alors une flèche de 8.3m. . Un premier calcul effectué avec des coefficients q (sj1) ≈ Fig. I-19b Vue en perpective Fig. I-19c Vue de côté Même si il est difficile d'estimer l'état de précontrainte réel de la membrane construite (prétension de type isotrope ?), nous remarquons toutefois que cette valeur est en adéquation avec la flèche maximale mesurée sur le terrain et égale à 8.2m. Cette cohérence de résultat permet ainsi de valider en partie le modèle proposé. A présent que nous avons mis en évidence un procédé de Recherche de Forme pour les Membranes Textiles Architecturales, il reste cependant un point crucial sur lequel le débat doit se porter. Un système mécanique en état d'équilibre n'est en effet intéressant, au sens constructif du terme, seulement si cet état d'équilibre est effectivement réalisable, c'est à dire si sa stablilité est assurée. Cette notion implique avant tout de déterminer de façon précise les différents mécanismes susceptibles d'être mis en jeu au sein de l'ouvrage puis d'étudier leurs répercussions sur l'équilibre de l'ensemble. Tel est l'objet du chapitre suivant où, d'abord dans le cadre d'une représentation discrète de la structure puis à partir d'une schématisation continue, des éléments de réponse vont être apportés. 28 Partie I I-4 Stabilité des Membranes Textiles Architecturales I-4-1 Rappels sur l'étude de la stabilité des équilibres L'étude de la stabilité d'un système conservatif peut s'envisager en utilisant le théorème de Lejeune-Dirichlet où il est démontré que, si l'énergie potentielle du système admet un minimum strict en une position d'équilibre, alors cette position d'équilibre est stable [BAM 81]. Dans le cas considéré, les sollicitations extérieures étant considérées comme nulles, l'écriture de l'énergie potentielle du système se résume à celle de son énergie de déformation Wd provenant des efforts internes. La configuration d'équilibre dont on désire tester la stabilité, déterminée selon un procédé de Recherche de Forme, prend l'appellation de position de référence. Comme les déplacements des noeuds sont nuls dans cette position, son énergie de déformation est également nulle. Aussi suffit-il que Wd ({d}) soit définie positive selon un déplacement {d} pris dans un voisinage de la position de référence pour que l'énergie potentielle du système admette un minimum strict. De plus, il a déjà été démontré que la définition et l'indéfinition d'une fonction analytique dépendait des termes de plus bas degré de son développement [CAP 90]. Cela signifie ainsi que si la partie principale de cette fonction est une forme définie positive, alors cette fonction est elle même définie positive. Aussi, suffira t-il par la suite de considérer seulement les termes liés à la partie principale de l'énergie de déformation Wd , c'est à dire ses termes de plus petit ordre. Lorsqu'il est précisé que les déplacements {d} appartiennent au voisinage de la position de référence, cela implique que cette étude de stabilité se situe dans le cadre de l'hypothèse des petites perturbations. De fait, le vecteur déplacement est d'ordre inférieur ou égal à un, soit d ≤ 01 . De façon générale l'ordre r noté 0 r est défini selon 0 r = ζ 01 = ζ r 0 0 où ζ est un réel strictement positif très petit devant l'unité. r Si on limite l'écriture d'une quantité à son développement à l'ordre r on utilisera le signe ≈ 1 (pour simplifier les expressions on emploiera de préférence ≈ au lieu de ≈ ). En guise de conclusion, nous pouvons dire que le critère de stabilité se résume de la façon suivante : ( ) ∀{d} ∈ R N − {0} avec d ≤ 01 , la stabilité est assurée si Wd ({d}) > 0 29 Stabilité des Membranes Textiles Architecturales I-4-2 Recherche des mécanismes Si l'on considère un déplacement généralisé {d} des noeuds de la structure, on peut écrire le tenseur linéarisé des déformations de Green-Lagrange associé à chaque élément selon (D-6) sous la forme : (I-48) {ε Le loc } = [ Tεe ] {εeL } = [ Tεe ][ bLe ] {d e } T D'après (C-20) nous avons [ Tεe ] = [ Tσe' ] et ainsi, en utilisant la définition de la matrice élémentaire d'équilibre [ a e ] en (I-10) : T T ve {ε Le loc } = ve {ε Le loc } [ Tσe' ] [ bLe ] {d e } = ve [ a e ] {d e } (I-49) v soit après assemblage des relations élémentaires (I-49) avec {ε Le loc } = ve {ε Le loc } : (I-50) {ε Lv loc } = [A ]T {d} Le noyau de A T , soit Ker A T , définit ainsi le sous-espace vectoriel des mécanismes; c'est à { } { } v dire l'ensemble des vecteurs pour lesquels ε Le loc = ε Le loc = { 0 } . Il est possible de démontrer que Ker A T et Im A forment deux sous-espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux dans l'espace R N , soit R N = Ker A T ⊕ Im A . De façon générale tout vecteur déplacement peut alors se décomposer de façon unique en [VAS 98] : {d} = {d I } + {dK } où {dK } ∈Ker A T et {d I } ∈ Im A (I-51) I-4-3 Détermination des énergies de déformations élémentaires sur l'espace des mécanismes On considère la situation où la structure possède au moins un mécanisme, c'est à dire {d} = {dK } d'ordre r ≥1 en occultant les déplacements orthogonaux {d I } . Il s'agit de proposer une écriture matricielle de l'énergie de déformation élémentaire ({ }) pour chaque élément lorsque ses noeuds se déplacent selon un mécanisme {d } . wdeK d Ke e K I-4-3-1 Cas d'un élément de câble Le vecteur élémentaire des déplacements nodaux des noeuds 1 et 2 extrémités du câble considéré s'écrit : r r T d Kc = d K1 d K 2 = d K1X d K1Y d K 1Z d K 2 X d K 2Y d K 2 Z (I-52) { } 30 Partie I r r r En notant d K 21 = d K 2 − d K1 , la longueur après déformation se détermine par (figure I-20) : 1' →2 r r → 2 r (I-53) l'c = 1' 2' = l 2c + d K221 + 2 d K 21 ⋅12 2 d K1 r lc Z r Comme dr ⋅ xr = 0 sur Ker A T , il suit : r K 21 c r Y r r xc 1 X d K221 0.5 2 r d K221 ' (I-54) l c = lc (1 + 2 ) ≈ le + Fig. I-20 Déformation d'un élément de 2 lc lc l'c 2' r dK 2 câble sur Ker A T r d K221 La variation de longueur de l'élément étant ∆ c = , la déformation du câble ≈ 2 lc exprimée dans son repère local s'écrit selon la forme quadratique : r 2r d 2 K ε NLx ≈ K 21 (I-55) 2l 2c l 'c − l c 2r On peut ainsi définir l'énergie élémentaire de déformation par : ( { }) wdcK d Kc 4 r −1 2r 1 ≈ vc σ c0 ε KNLx + vc σxc ε KNLx ≈ vc σ c0 ε KNLx 2 (I-56) Si l'on choisit une écriture matricielle il vient : 2r wdcK ≈ avec t0 c = [ ] La matrice symétrique d c 1 c dK d c 2 [ ] {d } c K σ c0 t [ Id ] et d c = 0 c  3 sc l c  sym [ ] (I-57) sym  [ Id3 ] (I-58) prend le nom de matrice de caractérisation énergétique (sous-entendu des mécanismes). I-4-3-2 Cas d'un élément de membrane Le vecteur des déplacements nodaux d'un élément s'exprime par : r r r T d Km = d K1 d K 2 d K 3 = d K1X d K 1Y d K 1Z d K 2 X d K 2Y d K 2 Z d K 3X d K 3Y d K 3Z (I-59) { } 1 l r b3 zm r ym 2 ψ l b2 θ3 r xm l b1 r X r Z r Y θ2 3 Fig. I-21 Elément de membrane Les variations de longueurs des trois côtés de l'élément se déterminent par (figure I-21) : r r r 2r d 2 2r d 2 2r d 2 K 23 K 13 ∆ m1 ≈ ; ∆ m2 ≈ et ∆ m 3 ≈ K12 (I-60) 2 l b1 2 l b2 2 l b3 Les déformations relatives de ces mêmes i côtés ont alors 2r ∆ pour valeurs ε mi ≈ mi . l bi 31 Stabilité des Membranes Textiles Architecturales Dans le repère local lié à l'élément on peut écrire les composantes du tenseur des déformations selon l'expression : { ε KNLmloc }  ε KNLx    2r 1 =  ε KNLy  ≈ ε K  b2 c3 − c2 b3  NLxy   b2 c3 − c2 b3 a c − a c 2 3  3 2 a2 b3 − a3b2 0 c3 − b3 0   ε m1    − c2  ε m 2  b2  ε m 3  (I-61) r où θi représente l'angle orienté direct situé entre le côté i et l'axe x m et : ai = cos2θ i ; bi = sin 2θ i ; ci = cosθ i sinθi (I-62) De plus avec l'angle ψ = θ 2 − θ3 , on montre que : b2 c3 − c2 b3 = sinθ 2 sinθ 3 sinψ > 0 (I-63) Nous arrivons ainsi à la forme réduite : 1  2 ε KNLx  2 r 1  l b1  K ≈  1  ε NLy  2  2  l b1 tgθ 2 tgθ 3 [ ] en choisissant la matrice m m  dr 2    rK223  1 m −1   drK 13  = 2 m  2  2 sm tgθ 2  dK12  0 0 [ ] 1 2 sm tgθ 3 m  m11 0 = m m  m21 m2 r d K223  r 2   drK13  (I-64) d 2   K12  0  . m3m  L'énergie de déformation élémentaire sur l'espace de ses mécanismes Ker A T d'un élément de membrane en état de prétension est définie par : ( { }) wdmK d Km 4 r −1 ≈ vm σ 0mloc {ε Km NL loc } + 12 v m m σ loc {ε Km NL loc 2r }≈ v m σ 0mloc {ε Km NL loc } (I-65) Si la configuration d'équilibre est déterminée selon la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques, nous avons σ 0mloc = σ 0miso = σ 0m par extension d'écriture. Il vient alors : { } { } 2r wdmK ≈ vm σ 0m ( ε KNLx + ε KNLy ) = m m avec le terme m1m = m11 + m21 = r r r 1 vm σ 0m ( m1m d K223 + m2m d K213 + m3m d K212 ) 2 (I-66) 1 . 2 sm tgψ De plus les relations précédentes permettent de vérifier que : m1m + m2m = ( l b3 2 sm )2 > 0 ; m1m + m3m = ( lb2 2 sm )2 > 0 et m2m + m3m = ( l b1 2 sm )2 > 0 (I-67) Ainsi, il est possible d'écrire l'énergie élémentaire de déformation de façon analogue à l'équation (I-57) : 2r wdmK ≈ 1 m dK d m 2 [ ] {d } m K (I-68) 32 Partie I [ ] avec d m = vm σ m 0 2 ( )  m1m + m3m [ Id3 ]   − m1m [ Id3 ]  m  − m3 [ Id3 ] sym   sym   m2m + m3m [ Id3 ]  sym (m1m + m2m ) [ Id3 ] ( − m2m [ Id3 ] (I-69) ) qui représente la matrice élémentaire de caractérisation énergétique. I-4-4 Etude de la stabilité sur les différents espaces Cette étude se situe à présent dans le cas général d'une représentation discrète ou continue de la structure. La démarche retenue vise à définir les critères de stabilité sur le sous-espace vectoriel orthogonal aux mécanismes Im A puis sur le sous-espace vectoriel des mécanismes Ker A T . Par la suite, on considérera l'éventualité d'un déplacement appartenant simultanément à ces deux sous-espaces vectoriels. I-4-4-1 Stabilité lorsque les mécanismes ne sont pas excités (sur Im A ) Selon la décomposition {d} = {d I } + {d K } , on considère le cas où {d K } = { 0 } , c'est à dire {d} = {d I } d'ordre r ≥ 1 . { } e En négligeant les termes ε INLloc d'ordre 2r , l'énergie de déformation élémentaire est : r wdeI ≈ ve σ 0eloc {ε ILeloc } + 12 ve {ε ILeloc } e σ loc (I-70) [ ] e Si Eloc représente la matrice élémentaire des constantes élastiques du matériau, il suit r −1 r −1 e {ε ILeloc } = [ bLe ] {dIe } et ainsi {σloce } ≈ [ Eloce ] {ε ILloc } ≈ [ Eloce ][ bLe ] {dIe } (I-71) Nous avons alors les développements : 2 r −1 [ ] {d } + 12 v T (I-72) [ ] [ E ][ b ] {d } En introduisant la matrice élémentaire de rigidité linéaire [ k ] établie dans l'annexe B (voir wdeI ≈ ve σ 0eloc bLe e I e d Ie bLe e loc e L e I e L équation B-37), on obtient : 2 r −1 wdeI ≈ ve σ 0eloc [ a ] {d } + 12 e T e I [ ] {d } d Ie k Le e I (I-73) [ K L ] {dI } (I-74) Après assemblage des relations (I-73) il vient : 2 r −1 Wd I ≈ σ 0 loc [ A ]T {d I } + 1 dI 2 33 Stabilité des Membranes Textiles Architecturales L'équilibre de la structure en position de référence se traduisant selon (I-12) par [A ] σ 0 loc = { 0 } , il reste donc : { } 2 r −1 Wd I ≈ 1 dI 2 [ K L ] {d I } (I-75) La matrice de rigidité linéaire généralisée [ K L ] étant définie positive après introduction des conditions d'appui de la structure, la forme Wd I ( {d I }) l'est alors également. Ceci nous permet de conclure : Un système tendu est toujours stable lorsque ses mécanismes ne sont pas excités. I-4-4-2 Stabilité lorsque seulement les mécanismes sont excités (sur Ker A T ) Dans le cas présent {d} = {d K } d'ordre r ≥ 1 . L'énergie de déformation élémentaire est définie par : e {ε KNLloc } + 12 ve e (I-76) {ε KNLloc } e Comme {σ loc } = [ Eloce ] {ε KNLeloc } et que l'écriture des composantes de {ε KNLeloc } se réfère à des r e termes quadratiques d K2 d'ordre 2r, alors le produit σ loc {ε KNLeloc } est d'ordre 4r − 1 . wdeK = ve σ 0eloc σ eloc En se limitant à sa partie principale, on obtient donc : 2r wdeK ≈ ve σ 0eloc {ε KNLeloc } = 12 [ ] {d } d Ke d e e K (I-77) Soit après assemblage des relations (I-77) : 2r Wd K ≈ 1 dK 2 [ D] {dK } (I-78) Dans cette équation, [ D] représente la matrice généralisée de caractérisation énergétique; si elle est définie positive alors Wd K ( {d K }) l'est également. Le critère de stabilité peut ici se formuler selon : Un système tendu est stable lorsque seulement ses mécanismes sont excités si et seulement si sa matrice généralisée de caractérisation énergétique [ D] est définie positive. Nous démontrons en annexe F que cette propriété est toujours vérifiée. De plus, il est montré que d K [ D] {d K } ≠ 0 pour un déplacement {d K } ≠ { 0 } . Cela signifie qu'il n'est pas nécessaire de considérer les termes de {d K } d'ordre supérieur à un, c'est à dire que la structure admet seulement des mécanismes d'ordre un. Cette remarque est bien entendue valable dans le cadre d'une caractérisation de type énergétique des mécanismes [SAL 92]. 34 Partie I I-4-4-3 Stabilité au voisinage des déplacements orthogonaux Après avoir défini les critères de stabilité sur les deux sous-espaces vectoriels Ker A et Im A , étudions à présent leurs voisinages. Il est en effet exceptionnel qu'un déplacement se situe uniquement sur l'un de ces sous-espaces. T On considère que {d} = {d I } + {d K } avec {d I } d'ordre un et {d K } d'ordre r ≥ 1 . 2r { } { } { } { } e Comme ε eloc ≈ ε ILloc + ε INLe loc + ε KNLeloc , l'énergie de déformation élémentaire s'écrit : 2r { } { } { } e wde ≈ ve σ 0eloc ε IL eloc + ve σ 0eloc ε INLloc + ve σ 0eloc ε KNLeloc 1442443 1442443 1442443 ordre 1 + ordre 2 ordre 2 r (I-79) ve e v v e σ loc ε IL eloc + e σ loc ε INLe loc + e σ eloc ε KNLeloc 2 144244 3 2 1442443 2 1442443 { } { ordre 1 } { ordre 2 } ordre 2 r En ne retenant que les termes principaux lors de l'assemblage et d'après (I-12), il vient : Wd ≈ 1 dI 2 [ K L ] {dI } (I-80) On remarque que Wd ({d}) est toujours définie positive car la matrice [ K L ] l'est également. Cela ne signifie pas pour autant que le système soit stable dans le voisinage de Im A . En effet, lorsqu'on amène puis relâche la structure dans ce voisinage, celle-ci peut "passer" dans le voisinage d'un mécanisme et sa stabilité dépend alors de ce nouveau voisinage. Pour cela, étudions à présent ce qu'il peut advenir au voisinage de Ker A T . I-4-4-4 Stabilité au voisinage des mécanismes Dans ce cas {d} = {d I } + {d K } avec {d I } d'ordre r ≥ 1 et {d K } d'ordre un. Selon un raisonnement similaire on a: 3r −1 { } { } { } wde ≈ ve σ 0eloc ε IL eloc + ve σ 0eloc ε INLe loc + ve σ 0eloc ε KNLeloc 1442443 1442443 1442443 ordre r + ordre 2 r ordre 2 ve e v v e σ loc ε IL eloc + e σ eloc ε INLloc + e σ eloc ε KNLeloc 2 144244 3 2 1442443 2 1442443 { } { ordre 2 r −1 } { ordre 3r −1 } (I-81) ordre r +1 Soit, en ne retenant que les termes principaux : 2 r −1 Wd ≈ 1 1 d I [ K L ] {d I } + d K [ D] {d K } 3 2 144244 3 2 144244 ordre 2 r −1 ordre 2 (I-82) Stabilité des Membranes Textiles Architecturales 35 Il est possible d'observer que, quelque soit l'ordre r de {d I } alors Wd ({d}) est toujours définie positive car la matrice [ D] l'est également (se reporter à l'annexe F). Cette étude nous permet ainsi d'aboutir à la conclusion suivante : Les membranes tendues faisant l'objet d'une Recherche de Forme selon une représentation linéaire (Méthode des Densités de Forces) ou par la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques (schématisation continue) sont toujours dans une position d'équilibre stable. Ce résultat n'est certes pas des plus surprenants, le contraire l'eut été tout autrement, car il paraît intuitif qu'un système mécanique en état de prétension et sans aucune zone en compression soit stable. L'étude réalisée se justifie toutefois pleinement, ne serait-ce que par la discussion menée sur l'énergie de déformation de la structure selon les différents sous-espaces considérés ou bien la mise en évidence de l'ordre de ses mécanismes. Conclusion de la Partie I 37 Conclusion Dédiée à l'étude des relations existant entre les paramètres de Formes et de Forces, cette première partie a été consacrée aux procédés de Recherche de Forme des Membranes Textiles Architecturales. L'introduction des matrices d'équilibre du système a permis d'effectuer en premier lieu une recherche des états d'autocontrainte de la structure selon une forme donnée. C'est dans le cadre d'une telle approche qu'il a été possible de mettre en évidence, dans certains cas, l'absence de correspondance entre la géométrie d'un réseau de câbles tendus (représentation linéaire) et celle d'une membrane en état de prétension (représentation surfacique). Concluant alors à la nécessité de mettre en place un nouveau procédé de Recherche de Forme fondé sur une approche continue du domaine, cet aspect a été abordé selon une volonté première de répondre aux exigences fondamentales des concepteurs. La solution est apportée par la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques. Ce procédé se réfère à l'utilisation de tenseurs de précontrainte isotropes sur toute la surface et aboutit à une écriture relativement simple des équations d'équilibre, autorisant par là même son intégration au coeur d'un logiciel CAO de Recherche de Forme tout en conjuguant des qualités de rapidité, d'interactivité ainsi que de respect des diverses considérations mécaniques. Le concepteur peut de plus envisager des distributions de précontraintes isotropes différentes, ce qui laisse la porte ouverte à une gamme très large de formes. La formulation employée permet de plus une approche combinée avec la Méthode des Densités de Forces (gestion des courbures de câbles de ralingue par exemple) et offre la possibilité de déterminer des structures de type gonflable. De nombreuses applications sont présentées afin de souligner le propos. L'attention s'est par la suite portée sur l'étude de la stabilité des formes ainsi définies. La démarche retenue a d'abord consisté à décomposer l'espace en une somme directe d'un sous-espace lié aux mécanismes de la structure et d'un autre sous-espace orthogonal à celui-ci. L'application du théorème de Lejeune-Dirichlet selon des déplacements appartenant à ces sous-espaces ainsi qu'à leurs voisinages respectifs a alors permis de formuler les critères de stabilité nécessaires. L'introduction et l'étude de matrices dites de caractérisation énergétique dans le cadre d'une représentation linéaire puis surfacique montrent que les structures considérées n'admettent que des mécanismes du premier ordre et, remarque pour le moins importante, que leur stabilité est toujours assurée. Partie II Recherche de Forme de Configurations Minimales Introduction 39 Introduction Si la première partie a pour objet les divers procédés de Recherche de Forme des structures tendues, nous nous proposons à présent d'envisager une étude des relations FormesForces selon une déclinaison particulière. En fait, ces termes devraient ici s'accorder au singulier car le thème abordé concerne les Formes Minimales où, nous le verrons par la suite, il y a unicité de Forces pour une Forme alors elle aussi unique. La dénomination de configuration minimale regroupe en fait les notions de Réseau de Longueur Minimale et de Surface d'Aire Minimale. Ces structures ont ceci de singulier que, passant inaperçues aux yeux du non-averti, elles se dévoilent alors à l'initié qui se ravira d'une telle diversité et profusion d'exemples naturels. Au delà de considérations purement géométriques, on peut les caractériser par d'intrinsèques propriétés mécaniques qui leurs confèrent un intérêt immédiat pour tout concepteur de Membrane Textile Architecturale. A cet effet, cette deuxième partie met en exergue plusieurs procédés de Recherche de Forme destinés à l'étude des configurations minimales. Une première approche est fondée sur les outils déjà mis en place, à savoir les différentes Méthodes de Densités (de Forces ou bien de Contraintes Surfaciques). Toujours désireux d'élargir la palette des instruments de l'ingénieur concepteur, un autre procédé est par la suite présenté. Sa formulation repose sur la minimisation de fonctionnelles par la Méthode du Gradient Conjugué. Une démarche associant ces deux approches est ensuite suggérée, elle permet de mettre en avant la stratégie la plus efficace à retenir. Cette partie est également l'occasion de porter une attention toute particulière sur la détermination des caractéristiques géométriques des surfaces, à savoir les valeurs des courbures principales en un point donné. Pour cela, nous développons une méthode autorisant de tels calculs par dérivation des fonctions de forme. 41 Nature et Formes Minimales II-1 La Nature et les Formes Minimales Si l'on trouve trace de problèmes isopérimétriques dans la plus haute antiquité, à l'image du poète Virgile dans l'Enéide [HIL 85], l'étude mathématique au sens plus large des configurations minimales ne fut ouvert que suite à l'apparition du calcul différentiel et variationnel au XVIIIe siècle sous l'impulsion d'Euler et de quelques uns de ses contemporains. La géométrie a dès lors incorporé ces notions pour donner naissance à la géométrie différentielle qui s'intéresse à une configuration spatiale pour sa forme et non plus seulement par des conditions imposées aux coordonnées de ses points. L'observation de formes naturelles a également permis d'obtenir des résultats significatifs. La vision microscopique de créatures unicellulaires appelées radiolaires et s'appuyant sur des supports polyédriques par d'Arcy Thompson, à l'occasion de ses travaux exposés dans le brillant ouvrage 'On Growth and Form', souligne l'existence on ne peut plus répétitive de configurations hexagonales (figure II-1) [DAR 17]. Fig II-1 Squelette de radiolaire Fig II-2 Bulles de savon Cette observation est renouvelée lorsque l'on emprisonne un réseau de films de savon entre deux lames de verre parallèles et proches ou bien par agrandissement d'une aile d'insecte (figures II-2 et 3). Fig II-3 Aile d'insecte Les exemples peuvent en fait se multiplier à l'infini, tant ils semblent reposer sur un principe d'économie des moyens, suggérant que la nature procède toujours de la façon la plus simple et la plus efficace [COI 87] et [GOR 78]. Ces formes naturelles, caractérisées par des angles de 120 o entre les diverses branches, trouvent en effet leur fondement lorsqu'il s'agit d'aborder selon un contexte plus général les problèmes de plus courts chemins, autrement dit de longueurs minimales. Nous passerons sous silence toute la littérature mathématique consacrée à ce thème pour prêter attention à ses répercussions dans le domaine des structures à base de réseaux de câbles tendus. Il a en effet été montré qu'un réseau est de longueur minimale si tous ses éléments possèdent une tension identique. Cette propriété mécanique s'avère des plus attractives lorsque 42 Partie II le concepteur envisage le dimensionnement des câbles ou désire déterminer des courbes géodésiques sur le maillage. On notera seulement à cet égard qu'il existe également des applications dans d'autres secteurs d'activités, de l'étude de l'implantation de composants sur une carte électronique à la détermination de réseaux aériens reliants plusieurs villes. Autre objet de surprise et de fascination, les surfaces d'aire minimale ont suscité de nombreux développements. Une définition simplifiée peut en être donnée : l'aire d'une surface minimale est plus petite que celle de toute autre surface voisine s'appuyant sur le même contour. Lagrange établit en 1760 leur équation caractéristique pendant que Meusnier (1770) montra qu'elles se distinguent par une courbure moyenne constante en tout point [LAW 92]. Par la suite, on vérifia qu'une membrane tendue est d'aire minimale si sa tension est identique en tout point et selon toutes directions. Il est possible de visualiser rapidement de telles formes en utilisant des films de savon (figure II-4). Cette représentation physique met en lumière une autre spécificité des surfaces minimales en révélant qu'il existe en fait certaines géométries de courbure moyenne constante ne pouvant être matérialisées [ISE 78]. Dans ce cas particulier, il est en effet impossible de créer un film de savon correspondant à la forme envisagée. Nous devons ainsi introduire le concept de stabilité de ces géométries d'équilibre et considérer que la condition de courbure moyenne constante est nécessaire mais pas forcément suffisante pour obtenir une forme stable, donc physiquement réalisable. Par opposition, la propriété mécanique de tension uniforme vérifie toujours ce critère et sera ainsi à nos yeux la condition fondamentale à respecter. Fig II-4 Surface minimale L'étude des formes minimales a été initialement conduite à l'aide de maquettes et autres modèles physiques [OTT 73] avant de céder le pas à des investigations numériques par ordinateurs. Au chapitre des procédés fondés sur la considération géométrique de courbure moyenne constante, nous citons les travaux liés à la résolution de l'équation de Lagrange (principalement par Méthodes de Différences Finies [MAR 93]) ou bien reposant sur la représentation mathématique de Weierstrass par l'intermédiaire de fonctions dites holomorphes (études de D. Hoffman [HOF 93]). Ces approches n'offrent cependant pas toute satisfaction car elles ne garantissent pas la stabilité des configurations ainsi déterminées. Par suite, de nombreuses méthodes utilisant la propriété de tension uniforme ont été proposées. On retrouve les travaux de E. Haug portant sur la Méthode des Eléments Finis [HAU 87] ainsi que ceux envisagés selon la Méthode de Relaxation Dynamique (M. Barnes et W. Lewis [BAR 76] et [LEW 96]). L. Gründig a également suggéré un procédé de minimisation par utilisation de la Méthode des Moindres Carrés [GRÜ 88] et K.U. Bletzinger un formalisme dit de "continuité numérique" qui permet d'obtenir certaines formes minimales [BLE 95]. Les travaux de P. Singer sont également consacrés à cette thématique et offrent de nombreuses applications [SIN 95]. Ces diverses méthodes se caractérisent cependant par la complexité des approches employées et la nécessité de recourir à des procédés de résolution "lourds", peu conviviaux et réclamant des temps de calcul élevés. 43 Formes Minimales et Méthodes de Densités II-2 Recherche de Formes Minimales par les Méthodes de Densités Puisque notre désir est ici d'appréhender la Recherche de Forme des configurations minimales en ne retenant que des géométries d'équilibre stables, les diverses considérations rencontrées au cours de la première partie de ce mémoire nous ont offert un précieux outil allant dans cette direction et constitué par les différentes Méthodes de Densités. II-2-1 Etude de réseaux de câbles de longueur minimale Le chemin emprunté durant cette étude des formes minima va suivre plusieurs directions. Nous allons en premier lieu nous orienter vers cette classe particulière de structures que constituent les réseaux de câbles de longueur minimale. Plusieurs étapes sont envisagées, d'abord fondées sur la considération d'égalité des coefficients de densités de forces du système puis sur celle d'une distribution uniforme des tensions au sein de réseau. L'écriture simplifiée liée au mode de schématisation discret va nous permettre de mettre en lumière quelques principes directeurs ainsi que les démarches à envisager. II-2-1-1 Réseau avec coefficients de densités de forces identiques Si l'on considère la somme des longueurs des éléments élevées au carré, il vient : L= C C k=1 k=1 ∑ l2ck = ∑ ( X12k 2k + Y1k22k + Z12k 2k ) (II-1) L est minimale si il est vérifié en tout noeud du maillage que : ∂L ∂L ∂L = = =0 ∂Xi ∂Yi ∂Zi (II-2) r Sur l'axe X global on peut de plus écrire : ci ∂L = 2 ∑ Xi 2 j ∂Xi j=1 (II-3) En supposant que le réseau fait l'objet d'une Recherche de Forme par la Méthode des Densités de Forces avec des coefficients de densités identiques ( qlk = ql ), il suit, au regard de la relation d'équilibre nodal (I-4) : ci ci Xi = ∑ X2 j j=1 et ainsi ci 1 ∂L = ci Xi − ∑ X2 j = 0 2 ∂Xi j=1 (II-4) r r ∂L ∂L Une démarche équivalente selon les directions Y et Z mène aussi à = = 0. ∂Yi ∂Zi Nous vérifions alors la propriété suivante : Un réseau de câbles calculé avec des coefficients de densités de forces identiques minimise la somme des longueurs des éléments au carré. Cette remarque avait par ailleurs déjà été formulée par Sheck dans le cadre de ses travaux de thèse [SHE 76] et à l'issue de la présentation de la Méthode des Densités de Forces [SHE 74]. 44 Partie II II-2-1-2 Réseau de longueur minimale C Il s'agit ici de d'envisager une configuration avec L = ∑ l ck minimale. k=1 Cela se traduit en tout noeud du maillage par : r ∂L ∂L ∂L ∂L = = = 0 avec, sur l'axe X , = ∂Xi ∂Yi ∂Zi ∂Xi ci Xi 2 j j=1 lj ∑ (II-5) Comme il est possible d'évaluer les tensions dans chaque élément de câble par (I-3), soit la relation t0 k = qlk l k , il suit : ∂L = ∂Xi ci ql j X i 2 j j=1 t0 j ∑ (II-6) Si l'on considère le cas particulier d'un réseau de câbles possédant une tension uniforme, c'est à dire que t0 k = t0 , on écrit alors : ci ∂L 1 ci = (( ∑ qlj ) Xi − ( ∑ qlj X2 j )) = 0 ∂Xi t0 j=1 j=1 (II-7) Nous retrouvons ainsi la propriété suivante : Un réseau de câbles de longueur minimale est également un réseau uniformément tendu. Cette remarque met en évidence un des problèmes liés à l'utilisation de la Méthode des Densités de Force. Bien que le concepteur ait un contrôle direct sur les différents coefficients de densités, les tensions obtenues après calcul dans les éléments sont en effet difficiles à déterminer à l'avance. Si l'on désire obtenir une distribution uniforme de celles-ci, une autre approche est par conséquent à envisager. Nous allons ainsi proposer un procédé itératif dans lequel les coefficients de densités de forces sont modifiés jusqu'à ce que la spécification t0 k = t0 soit respectée (réseau minimal). Si l'on considère la somme des longueurs des éléments à l'itération (p) on a : L(p) = C (p) (p) (p) (p) (p −1) (p −1) (p −1) (p) (p) , Z N )) ∑ l(p) ck = L ( XN , YN , ZN ) = L ( qlk ( X N , Y N (II-8) k=1 A l'itération (p + 1) il vient L(p+1) (ql(pk +1) ) = C ∑ l(pck+1) et l'on recherche : k=1 (p +1) ∂L(p +1) ∂ ci (p+1) ∂ ci t0 j ( ∑ lcj ) = ( ∑ (p +1) ) = 0 = ∂Xi ∂Xi j=1 ∂Xi j=1 qlj (II-9) Si les tensions sont identiques cela signifie que : ∂L(p +1) ∂ ci t = ( ∑ (p0+1) ) = 0 ∂Xi ∂Xi j=1 qlj (II-10) 45 Formes Minimales et Méthodes de Densités En supposant que ∂ ci (p) ( ∑ l ) = 0 , nous écrivons alors : ∂Xi j=1 cj ci ∑ j=1 t0 ql(pj +1) ci ci t0(p)j j=1 j=1 ql(p) j = ∑ l(p) cj = ∑ (II-11) Il en découle la relation fondamentale : ql(pk +1) = ql(p) k t0 t0(p) k (II-12) Nous proposons de fait la démarche itérative DE min l qui suit : DE1l : Initialiser les coefficients de densités de forces ql(pk=1) ( ql(pk=1) = 1 est recommandé). (p) DE 2l : Calculer la configuration d'équilibre (p) et les tensions résultantes t0(p)k = ql(p) k l ck . DE 3l : Si pour tous les éléments on vérifie t0 − t0(p)k < ζ , où ζ est une valeur de tolérance choisie à l'avance, alors le processus se termine. Sinon, modifier les coefficients qlk selon (II-12) et retourner à DE 2l avec p = p + 1 . Remarque : t0 = 1 C (p =1) peut être choisi afin de minimiser les temps de calcul. ∑t C k=1 0 k II-2-1-3 Applications -a- Le premier exemple illustre le problème dit de Steiner à trois points. Il s'agit de relier trois noeuds donnés par un réseau de longueur totale minimale. Nous allons pour cela considérer un maillage plan comportant trois éléments de câble reliés à ces points ainsi qu'avec un noeud libre numéroté 1. 2d l1 r Y r X 4 d 3 1 l1 l2 l3 1 l2 120 o 2d Fig. II-5a Réseau avec L minimal d (2 − 1 ) 3 l3 Fig. II-5b Réseau avec L minimal 46 Partie II Si l'on effectue une recherche de la position d'équilibre avec des coefficients de densités de forces identiques ( ql1 = ql 2 = ql3 , voir figure II-5a), on obtient : 4 4 13 d= l1 et t01 = t02 = t03 . 3 13 4 4 + 2 13 14 De plus L = ( ) d ≈ 3.737 d et L min = d 2 ≈ 4.666 d 2 . 3 3 l3 = L'application du processus itératif nous conduit à des tensions égales ( t01 = t02 = t03 ) où 1 2 3 −1 2 3 −1 )d =( ) l1 avec ql1 = ql2 = ( ) ql3 ainsi que : 3 2 2 21 − 4 3 2 ) d ≈ 4.690 d 2 . L min = (2 + 3 ) d ≈ 3.732 d et L = ( 3 Ce réseau de longueur minimale se caractérise par un angle de 120o entre les différents éléments de câble. Nous retrouvons à cette occasion une configuration bien connue et présentée au cours du chapitre introductif. l 3 = (2 − -b- L'exemple suivant souligne l'existence de ce type de structure hexagonale avec le calcul d'un système dit en "nid d'abeilles". Fig. II-6a Maillage initial Fig. II-6b Forme minimale Fig. II-6c Structure en nid d'abeilles Les figures II-6a et b représentent le maillage de départ et la forme de longueur minimale obtenue après calcul. On peut effectuer un rapprochement avec l'image d'une structure en nid d'abeilles observée dans la nature (figure II-6c). Il est d'ailleurs peut être temps d'ouvrir une parenthèse pour mettre en avant un débat d'un tout autre ordre. Ce type de structure fut en effet à la base de nombreuses digressions, certains voyant là une preuve formelle de l'influence d'un Etre Suprême sur ces insectes à l'intelligence toutefois limitée (par comparaison avec notre ordinateur qui a mis quelques minutes pour effectuer ce calcul) et expliquant que la nature "sait" alors minimiser ses contingences (comment réaliser un maximum de nids avec un minimum de cire); d'autres estiment plus sage d'en référer à d'autres explications. Sans préjuger d'une quelconque réponse, nous invitons le lecteur à prendre connaissance du texte situé en annexe I. Il s'agit d'un extrait du remarquable ouvrage de d'Arcy Thompson 'On Growth and Form' où il reprend la pensée du naturaliste Buffon [DAR 17]. 47 Formes Minimales et Méthodes de Densités -c- Une dernière application est à présent suggérée. Le propos est d'effectuer une Recherche de Forme d'un réseau spatial à double courbure inverse en forme de "selle de cheval". Une première géométrie est obtenue avec considérant des coefficients de densités de forces identiques (figure II-7a). Nous notons au passage que les éléments de câble appartiennent à des plans verticaux perpendiculaires entre eux et réalisent ce que F. Otto a appelé un réseau orthogonal. Un autre calcul selon le procédé itératif suggéré détermine un réseau de tension uniforme (et ainsi minimal) qui n'est plus de type orthogonal (figure II-7b). Fig. II-7a Selle avec réseau orthogonal Fig. II-7b Selle de tension uniforme De façon plus générale, nous pouvons mettre en exergue la propriété suivante : Comme un réseau de câbles réglé possède une tension uniforme, il est alors de longueur minimale (attention, ceci ne signifie pas pour autant qu'un maillage de longueur minimale est aussi réglé!). Cette remarque dissipe un lieu commun éminemment répandu qui consiste à considérer une forme réglée comme étant aussi de surface minimale. Il est d'ailleurs possible de s'interroger sur la persistance d'une telle pensée, et ce d'autant plus que Meusnier et Catalan avait déjà démontré en 1842 que les seules surfaces minima réglées sont les hélicoïdes droits à plan directeur [VAL 48]. II-2-2 Etude des surfaces d'aire minimale La démarche s'inspire de celle suggérée à l'occasion de l'étude des réseaux de longueur minimale. Nous allons ainsi envisager deux contextes particuliers et liés soit à l'hypothèse d'égalité des coefficients de densités de contraintes du système, soit à celle d'uniformité des contraintes au sein du milieu. II-2-2-1 Surface avec coefficients de densités de contraintes identiques Si l'on considère la somme des aires des éléments élevées au carré on a (II-13) : M S= ∑ s2mk = k=1 M ∑ (Y1k 2k Z3k 2k − Z1k 2 k Y3k 2k )2 + ( Z1k 2k X3k 2k − X1k 2k Z3k 2 k )2 + ( X1k 2k Y3k 2k − Y1k 2k X3k 2k )2 ) k=1 Cette valeur est minimale si tout noeud du maillage vérifie : ∂S ∂S ∂S = = =0 ∂Xi ∂Yi ∂Zi r ∂S Sur la direction X l'équation = 0 se traduit par : ∂Xi (II-14) 48 Partie II mi mi mi j=1 j=1 j=1 ( ∑ (l b2j − X32j2 j )) Xi − ( ∑ X3 j 2 j Y3 j 2 j )Yi − ( ∑ X3 j 2 j Z3 j 2 j )Zi (II-15) mi ∑ (Y2 j3 j ( X3 j Y2 j − X2 j Y3 j ) + Z2 j3 j ( X3 j Z2 j − X2 j Z3 j )) = j=1 ∂S ∂S = = 0 , il vient une écriture matricielle : ∂Yi ∂Zi Si l'on écrit les relations pour [ Mi ] {Xi } = {Ni } mi avec [ Mi ] = ∑ j=1 mi ainsi que  l2 − X 2 3 j2 j  bj  − X3 2 Y3 2 j j j j  − X3 j 2 j Z3 j 2 j  sym l b2j − Y32j 2 j −Y3 j 2 j Z3 j 2 j (II-16)   sym  =  l b2j − Z32j 2 j   sym mi ∑ [ mij ] (II-17) j=1 Y2 3 ( X3 Y2 − X2 Y3 )+ Z2 3 ( X3 Z2 − X2 Z3 ) j j j j j j j j j j  j j  mi  X2 j3 j ( X3 j Y2 j − X3 j Y2 j )+ Z2 j 3 j (Y3 j Z2 j −Y2 j Z3 j ) =∑ nij  X ( X Z − X Z )+Y (Y Z −Y Z )  j=1 2 j3 j 3 j 2 j 2 j 3j   2 j3 j 2 j 3 j 3 j 2 j { } {Ni }=∑ j=1 (II-18) Envisageons à présent une structure calculée par la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques avec des coefficients de densités identiques ( qsk = qs ), les relations suivantes sont alors respectées : mi ( ∑ l b2j ) Qsj = 1 j=1 où l b2j = ( X32j 2 j + Y32j 2 j + Z32j 2 j ) (II-19) Nous pouvons dès lors formuler les équivalences : [ Id3 ] − [ Ai ] = 1 mi ∑ j=1 {Bi } = 1 mi ∑ j=1 mi ∑ l b2j j=1 mi ∑ l b2j j=1  l2 − X 2 3 j2 j  bj  − X3 2 Y3 2 j j j j  − X3 j 2 j Z3 j 2 j  sym l b2j − Y32j 2 j −Y3 j 2 j Z3 j 2 j   sym  =  l b2j − Z32j 2 j   sym 1 mi ∑ [ Mi ] (II-20) l b2j j=1 Y2 3 ( X3 Y2 − X2 Y3 ) + Z2 3 ( X3 Z2 − X2 Z3 ) j j j j j j j j j j  j j  X ( X Y − X Y ) + Z ( Y Z − Y Z  2 j3 j 3 j 2 j 3j 2 j 2 j3 j 3 j 2 j 2 j 3j )  =  X ( X Z − X Z ) + Y (Y Z − Y Z )  3j 2 j 2 j3 j 3 j 2 j 2 j 3j   2 j3 j 2 j 3 j 1 mi ∑ {Ni } (II-21) l b2j j=1 L'équation (II-16) est ainsi vérifiée et par voie de conséquence (II-14) également. Il est possible de mettre en avant la remarque suivante : Une surface calculée avec des coefficients de densités de contraintes surfaciques identiques minimise la somme des aires des éléments au carré. Nous confirmons à ce propos la position de la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques en tant que généralisation de la Méthode des Densités de Forces au cas bidimensionnel. 49 Formes Minimales et Méthodes de Densités II-2-2-2 Surface d'aire minimale M Il s'agit à présent d'envisager la fonction S = ∑ smk qui sera minimale si tout noeud k=1 respecte les conditions : ∂S ∂S ∂S = = =0 ∂Xi ∂Yi ∂Zi (II-22) Ces relations peuvent aussi s'écrire sous la forme matricielle : [ M ' ] {X } = { N ' } i [ ] avec Mi' = mi 1 ∑( s j=1 [mij ] ) mj i (II-23) i { } Ni' = ainsi que mi 1 j=1 mj ∑( s {nij } ) (II-24) Comme on a σ 0k = qsk smk , si la surface est uniformément tendue ( σ 0k = σ 0 ), il suit : mi mi j=1 j=1 ( ∑ ( qsj [ mij ] ) ) {Xi } = ∑ ( qsj {nij } ) (II-25) Cette égalité est de toute évidence respectée car : mi mi ∑ ( qsj [ mij ] ) = ( ∑ ( qsj l b2j ) )( [ Id3 ] − [ Ai ] ) j=1 j=1 et mi mi j=1 j=1 ∑ ( qsj {nij } ) = ( ∑ ( qsj l b2j ) ) {Bi } (II-26) On retrouve ainsi la propriété d'uniformité des tensions propre aux surfaces d'aire minimale. De façon analogue à la démarche utilisée s'agissant de l'étude des réseaux de câbles de longueur minimale, nous allons mettre en place une stratégie itérative fondée sur l'utilisation de la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques dans laquelle les coefficients sont redéfinis à chaque étape selon la relation : (p +1) (p) qsk = qsk σ0 σ k0(p) (II-27) Ces remarques conduisent au procédé DE min s dédié à l'investigation de surfaces minima : (p =1) DE1s : Initialiser les coefficients de densités de contraintes surfaciques qsk =1. (p) (p) smk . DE 2s : Calculer la configuration d'équilibre (p) et les contraintes résultantes σ k0(p) = qsk DE 3s : Si pour tous les éléments on vérifie σ 0 − σ k (p) < ζ , alors le processus s'arrête. 0 (p +1) Sinon, modifier les coefficients qsk selon (II-27) et retourner à DE 2s avec p = p + 1 . Si l'on désire réduire les temps de calcul, nous conseillons d'adopter la valeur moyenne 1 M k (p =1) . σ0 = ∑σ M k =1 0 50 Partie II II-2-2-3 Applications -a- Une première application se propose de vérifier quelques propriétés géométriques des surfaces minimales. Un cadre tétraédrique sert de support à la formation d'un système comprenant six films raccordés par quatre arêtes liquides (figure II-8). Les coordonnées des points situés aux extrémités de ces dernières sont fournies dans le tableau ci-dessous. X Y 1 2 3 −1 / 2 1/ 2 0 −1 / 2 3 −1 / 2 3 1 / 3 Z 0 0 0 4 0 0 5 0 0 2/3 0 Fig. II-8 Tétraèdre Le calcul de la forme minimale d'équilibre nous donne une position finale avec Z5 = 0.204 . A partir de là, on peut déterminer l'angle situé entre chaque couple d'arêtes qui est égal à −0.204 −1 acos( ) ≈ acos( ) , ce qui permet de vérifier une valeur caractéristique bien connue 0.612 3 des surfaces minima (angle de 109o28'16'' ) [HIL 85]. De plus, on montre également que les surfaces se raccordent entre elles le long de leur arête commune selon un angle de 120 o . -b- Le second exemple est dû au mathématicien Gergonne (1816) qui formula le problème suivant : quelle est la surface minimale partageant un cube en deux volumes, sachant qu'elle est fixée à deux diagonales orthogonales et situées sur deux faces opposées du cube [ISE 78] ? Schwarz démontra en 1872 qu'il existe en fait une infinité de surfaces avec une courbure moyenne nulle s'appuyant sur ce contour, mais qu'une seule d'entre elles est stable. Il s'agit de la forme représentée figure II-9 et calculée par la méthode des densités de contraintes. La seule difficulté a résidé dans le fait qu'il a fallu considérer des conditions d'appui mixtes pour les noeuds situés sur les deux faces verticales. Fig. II-9 Surface de Gergonne La forme obtenue nous permet aussi de vérifier qu'un film de savon se raccorde toujours à angle droit sur une surface support lisse. 51 Formes Minimales et Méthodes de Densités -c- L'application suivante traite un cas parmi des plus classiques où une surface minima est engendrée entre deux supports carrés parallèles et proches (figures II-10). Fig.II-10a Configuration de départ Fig.II-10b Forme minimale -d- L'intérêt se porte à présent sur un exemple riche en enseignements. Il s'agit de calculer un film minimal entre deux cercles parallèles de rayon r dont l'éloignement h cat est variable. Les expériences montrent en effet qu'à partir d'une certaine hauteur il n'est plus possible de générer une forme minimale à double courbure inverse entre ces supports. cat est bien connue. Pour cela, il suffit de considérer le Cette valeur de hauteur maximale hmax ∂f(C) ) ∗ = 0 , et on ∂C C = f(C ∗ ) ≈ 1.325 r . Elle correspond en fait au maximum de la fonction maximum de la fonction f(C) = 2 C ach(1 / C ) , soit le point C ∗ avec cat peut en déduire hmax S(h cat ) − S où S représente l'aire de la surface susceptible de se former et S= 2πr 2 l'aire des deux disques parallèles. Un premier calcul réalisé avec h cat = 1.3 r et r = 1 conduit à une forme minimale d'équilibre prenant le nom de caténoïde (figure II-11a) avec S= 7.431 . La valeur théorique ω 2 h cat h cat étant S( h cat ) = 2 πω (h cat + sh( )) avec r = ω ch( ) , soit S= 7.439 , il s'ensuit 2 ω ω juste une erreur de 0.1%. Par contre, si l'on prend h cat = 1.4 r alors le processus ne peut converger vers une forme stable et vérifie les remarques précédentes (figure II-11b). Fig.II-11a Catenoïde Fig.II-11b Calcul divergent 52 Partie II -e- Nous allons à présent effectuer une Recherche de Forme sur un exemple de structure à courbure moyenne constante et au cas non nulle. Il s'agit en fait d'adapter l'algorithme DE min s Fig.II-12a Forme initiale des systèmes gonflables. Pour cela, il suffit de procéder comme décrit au chapitre I-3-3-5 où les efforts internes sont déterminés d'après l'équation (I-46), faisant ainsi intervenir les composantes de pression dans le calcul de la géométrie d'équilibre. Figs.II-12b Influence de la pression interne Partant d'un maillage initial plan (figure II-12a), on constate que la forme minimale obtenue est en fait une portion de sphère dont le diamètre dépend de la valeur de pression interne spécifiée (figures II-12b). -f- Une dernière application illustre la possibilité de calculer des configurations mixtes en combinant les procédures DE min et DE min l s . L'exemple choisi représente un film de savon créé entre un cadre extérieur fixe et un fil circulaire intérieur de tension variable (figures II-13a et b). Si le ratio α = σ 0m / σ c0 diminue, on constate que le rayon du fil diminue également (figures II-13c et d). Fig.II-13b Maillage de départ Fig.II-13c Forme avec α = 1 Fig.II-13a Vue en perspective Fig.II-13d Forme avec α = 0.8 Les différents exemples présentés nous permettent de souligner la cohérence des résultats obtenus et légitiment ainsi l'usage des procédés de Densités en tant qu'instrument d'investigation des formes minima. 53 Formes Minimales et Gradient Conjugué II-3 Recherche de Formes Minimales par la Méthode du Gradient Conjugué Après avoir mis en évidence la possibilité d'effectuer une Recherche de Forme des configurations minimales au moyen des méthodes de Densités, l'étude est à présent envisagée selon une démarche fondamentalement différente mais respectant la condition d'uniformité des tensions, c'est à dire la stabilité des systèmes calculés. L'approche découle des considérations décrites dans le chapitre suivant. II-3-1 Formes minimales et forces internes Pour un réseau de câbles nous allons considérer la fonction L = f ( X ) où {X} est le vecteur généralisé des coordonnées des noeuds de la structure. En considérant la relation d'équilibre (I-2) et sachant que la répartition des tensions est uniforme ( t0 k = t0 ), on a : ∂f ( X ) = ∂Xi ci ∑ j=1 X2 j i lj = 1 t0 ci ∑ fi jXc = j=1 fi iX t0 (II-28) Il est alors possible de dire que les équations suivantes sont équivalentes : ∂L ∂L ∂L = = = 0 et fi iX = fi iY = fi iZ = 0 ∂Xi ∂Yi ∂Zi (II-29) M Dans le cas d'une surface d'aire minimale on envisage S = ∑ smk = f ( X ) avec k =1 1 l bk l hk . Si la précontrainte est uniforme ( σ 0k = σ 0 ), il vient selon la relation 2 d'équilibre surfacique (I-26) : smk = ∂f ( X ) 1 mi l bj ∂l hj 1 mi l 1 = ∑( ) = ∑ ( bj X4 j i ) = ∂Xi 2 j =1 2 l hj ∂Xi 2 j =1 l hj ep m σ 0 mi ∑ fi1mjX (II-30) j =1 Il apparaît également les équivalences : ∂f ( X ) ∂f ( X ) ∂f ( X ) = = = 0 et fi iX = fi iY = fi iZ = 0 ∂Xi ∂Yi ∂Zi (II-31) En considérant que les termes constants sont pris égaux à un ( σ 0 = t0 = 1 avec ep m = 1) et en définissant le vecteur g = {g( X )} qui correspond au vecteur généralisé des efforts internes, nous pouvons ainsi formuler que g est en fait le gradient de la fonction f ( X ) = L ou S selon le cas étudié. La recherche d'une forme minimale d'équilibre se comprend dès lors comme étant également un problème de minimisation de f. Comme le calcul de son gradient est possible par l'intermédiaire de l'évaluation des efforts internes de la structure, ce problème d'optimisation peut être abordé selon la Méthode du Gradient Conjugué. 54 Partie II II-3-2 La Méthode du Gradient Conjugué II-3-2-1 Considérations générales Ce procédé peut être envisagé pour minimiser la fonctionnelle non linéaire f en considérant son gradient g selon une démarche itérative de la forme [MAG 52] : pour p = 1 − gp Xp +1 = Xp + α p d p avec d p =  − gp + β p d p −1 pour p ≥ 2 (II-32) Le facteur β p est un scalaire et α p correspond à la longueur de pas obtenue d'après une recherche unidimensionnelle pour la direction de descente d p et appelée Recherche de Ligne exacte. Le vecteur d p est un vecteur de descente si gp , d p < 0 . Cette relation peut s'écrire : fp' (0 ) < 0 (II-33) où fp' (α p ) = gp (α p ), d p en définissant les fonctions du scalaire α p telles que : fp (α p ) = fp ( Xp + α p d p ) et gp (α p ) = gp ( Xp + α p d p ) (II-34) Nous notons au passage que fp (0) = fp ainsi que gp (0) = gp . Toutefois, la spécification fp+1 < fp signifiant que la fonction décroît à chaque étape n'est pas complètement satisfaisante car elle peut autoriser de faibles réductions de f relativement à la réduction optimale qui pourrait être obtenue par une Recherche de Ligne exacte. Les conditions sur α p vérifiant cette volonté sont formulées par les conditions Fortes de Wolfe (FW) [MOR 90] : 1 fp (α p ) ≤ fp (0 ) + µ α p fp' (0) et fp' (α p ) ≤ η fp' (0) avec 0 < µ < η < 2 (II-35) Différentes valeurs de β p ont été proposées par Fletcher et Reeves (FR) ainsi que par Polak et Ribière (PR); elles sont données par les formules [FLE 72] : β FR p = gp , gp gp−1 , gp −1 ≥ 0 et β PR p = gp , gp − gp−1 gp−1 , gp−1 (II-36) Bien que les performances numériques de la méthode FR soient souvent inférieures à celles de la méthode PR, A. Baali a démontré que si le procédé FR remplit les conditions Fortes de Wolfe (II-35) alors il vient gp , d p ≤ −τ gp , gp où τ est un réel positif et par voie de conséquence la contrainte fp' (0 ) < 0 est respectée [BAA 85]. De plus, Zoutendendijk a souligné la convergence globale sur des fonctions générales de la méthode FR et prouvé qu'elle ne pouvait échouer [ZOU 70]. 55 Formes Minimales et Gradient Conjugué Gilbert et Nocédal ont porté un intérêt tout particulier sur la méthode PR; leurs études ont mis en évidence deux points majeurs [GIL 92]. En premier lieu, la spécification FR β PR p ≤ β p entraîne la convergence globale du procédé. Cette démarche est appelée "méthode PR contrainte par la méthode FR". Le second commentaire est relatif à la condition de Descente Suffisante (DS) qui impose : gp , d p ≤ −ω gp , gp La spécification avec 0 < ω ≤ 1 et gp , gp−1 ≤ gp , gp gp , d p ≤ − gp , gp + β PR p gp , d p −1 (II-37) d'après (II-36) pendant que les conditions DS sont respectées conduit vers une limite inférieure nulle lim gp , gp = 0 et ainsi vers la convergence inf globale du processus. Les exemples numériques que nous allons présenter vont permettre de comparer ces deux approches : la méthode FR et une version optimisée de la méthode PR dans laquelle les remarques de Gilbert et Nocédal sont vérifiées, c'est à dire : { FR PR β OP p = min β p , β p + } avec β PR + p { } = max β PR p ,0 (II-38) II-3-2-2 Les procédures de Recherche de Ligne Le principal problème est ici de trouver une longueur de pas acceptable α p qui respecte les conditions FW. Plusieurs méthodes ont été proposées; elles reposent principalement sur des algorithmes de Recherche de Ligne qui génèrent des séquences de valeurs estimées α p et k se terminent lorsqu'un point acceptable satisfait aux conditions requises. Gilbert et Nocédal ont insisté sur l'efficacité de l'approche suggérée par More et Thuente [MOR 90]. Cette méthode a pour objectif de trouver un acceptable α p k dans le sens qu'il appartient à l'ensemble Tp (µ ) défini selon : { ∈[α Tp (µ ) = α p > 0 : fp (α p ) ≤ fp (0 ) + µ α p fp' (0) et fp' (α p ) ≤ µ fp' (0) A partir de α p 0 d'intervalles p min , α p max {I } emboîtés { } [ ], pk } (II-39) l'algorithme de recherche engendre une séquence et une séquence de valeurs itératives ] α p k ∈ I p k ∩ α p min , α p max jusqu'à ce que α p k appartienne à Tp (µ ) . La limite inférieure α p min est donnée par l'utilisateur pendant que la limite supérieure α p max peut être évaluée par la relation : αp max = 1 fp (0) − fp min µ − fp' (0) (II-40) 56 Partie II Elle correspond ainsi au point d'intersection entre la µ−ligne d' équation fp (0 ) = −µ α p fp' (0) et la ligne fp (α p ) = fp min où fp min est la plus basse valeur de fp (α p ) également spécifiée par l'utilisateur. Le procédé itératif réclame de plus la définition de la fonction auxiliaire : Ψp (α p ) = fp (α p ) − fp (0) − µ α p fp' (0) et de sa dérivée Ψp' (α p ) Avec α p i) min { } [ ] [ (II-41) ] = 0 et ainsi I p = α pi , α ps = 0, α p , l'algorithme est pour k = 1,2,.. : 0 0 0 max [ Choisir une valeur test entre les bornes de l'intervalle α pt k ∈ α pi k −1 , α ps k −1 ] si α pt vérifie les conditions FW (II-35) alors α MT p = α pt (arrêt de la procédure) k k ii) Cas MT1 : si Ψp (α pt k ) > Ψp (α pi k −1 ) alors α pi k = α pi k −1 et α ps k = α pt k (II-42) Cas MT2 : si Ψp (α pt k ) ≤ Ψp (α pi k −1 ) et Ψp' (α pt k ) (α pi k −1 − α pt k ) > 0 alors α pi = α pt et α ps = α ps k k k (II-43) k −1 Cas MT3 : si Ψp (α pt ) ≤ Ψp (α pi ) et Ψp' (α pt ) (α pi − α pt ) < 0 k k −1 k k −1 k alors α pi = α pt et α ps = α pi k k k (II-44) k −1 Cette démarche appelle plusieurs commentaires : - C1 - Si la situation MT2 se perpétue, la séquence α pt , α pt .. augmente tout autant que l'on 1 2 [ ] continue à choisir des valeurs test dans α pi , α p , il faut ainsi que α p puisse k −1 max max éventuellement être requise comme valeur test; cela s'effectue en considérant : { α pt k = min α pi k −1 + δ max (α pt k −1 − α pi k −1 ) , α p max } avec δ max ∈[11 . , 4] (II-46) L'algorithme se termine à α p max si Ψp (α p max ) ≤ 0 et Ψp' (α p max ) < 0 . - C 2 - Si le cas MT1 se répète, la séquence des valeurs test décroît et l'on peut forcer la procédure à utiliser α p min comme valeur par : [ α pt ∈ α p k min { , max δ min α pi k −1 ,αp min }] avec δ min < 1 More et Thuente recommandent après plusieurs développements δ min = L'algorithme s'arrête à α p min (II-47) 7 . 12 si Ψp' (α p ) > 0 et Ψp (α p ) ≥ 0 . min min [ - C3 - Le choix de α pt k ∈ α pi k −1 , α ps k −1 ] peut être fait librement, cependant une valeur optimale existe et serait telle qu'elle minimiserait dans l'intervalle donné une fonction polynomiale cubique interpolant fp (α pt ) , fp' (α pt ) , fp (α pt ) et fp' (α pt ) . k k k −1 k −1 57 Formes Minimales et Gradient Conjugué Dans l'objectif de réduire les calculs, nous prendrons par la suite le point situé au milieu de l'intervalle. - C 4 - Comme nous ne sommes pas forcément en mesure de spécifier la valeur de fp , le min choix fait selon fp min = 0.8 fp (0) paraît acceptable. L'utilisation de l'algorithme de Recherche de Ligne proposé par More et Thuente dans le cadre de l'investigation de formes minimales nous a démontré des qualités d'efficacité et toute confiance peut être accordée quant aux résultats obtenus. Toutefois, le propos est à présent de mettre en avant une approche optimisée, et ce dans l'objectif de réduire les temps de calcul nécessaires à la détermination d'une valeur acceptable de longueur de pas. La première proposition se rapporte à la spécification de α p max . Comme les valeurs de fp' (0) décroissent pendant que p augmente, α p max est susceptible d'atteindre des valeurs élevées. Pour diminuer celle ci, nous suggérons de prendre : α OP p max = fp (0) − fp min ' − fp ( 0 ) (II-48) Cette valeur correspond en fait au point auquel la µ−ligne avec µ = 1 intersecte la droite d'équation fp (α p ) = fp min . Si l'on vérifie que fp' (α OP p max ) > 0 alors cette valeur est acceptée; dans le cas contraire nous considèrerons α p max défini par More et Thuente. { } La seconde suggestion concerne la phase itérative d'encadrement des intervalles I p k . Au lieu de recourir au cas MT1 à MT3 , nous envisageons : ' Cas MT OP 1 : si fp (α pt k ) ≥ 0 alors α pi k = α pi k −1 et α ps k = α pt k (II-49) ' Cas MT OP 2 : si fp (α pt k ) < 0 alors α pi k = α pt k et α ps k = α ps k −1 (II-50) Les remarques C1 à C 4 sont toujours prises en considération; la valeur finale sera alors α OP p . II-3-3 Applications numériques Plusieurs exemples vont être présentés afin de comparer les différentes approches que nous avons rencontrées. Le calcul du scalaire β p sera envisagé selon la proposition de OP Fletcher et Reeves ( β FR p à partir de II-36) ou bien en utilisant la valeur optimisée β p sugérée dans les relations (II-38). De plus, l'évaluation de la longueur de pas sera effectuée par l'algorithme de More et Thuente OP ( α MT p ) ou selon la méthode modifiée que nous venons de mettre en exergue ( α p ). 58 Partie II Tous les tests sont réalisés avec µ = 10 −3 et η = 10 −1 s'agissant des conditions Fortes de Wolfe (II-35). Nous considérerons également que la forme minimale recherchée est obtenue si pour chaque noeud i de la structure il est vérifié que ( fii , fi i )0.5 ≤ 10 −3 . II-3-3-1 Présentation des exemples -a- Le premier test reprend le problème de Steiner exposé en II-2-1-3 mais en considérant quatre points au lieu de trois (figure II-14a). d 1 2 d 1 2 120 o r Y r X Fig. II-14a Problème de Steiner à 4 points Fig. II-14b Réseau minimal La forme minimale d'équilibre est représentée par la figure II-14b, elle fait apparaître l'angle caractéristique de 120o des réseaux de longueur minimale. -b- L'application suivante illustre le calcul d'une autre structure minima. Cette configuration porte le nom de selle de Schwarz (du nom du célèbre mathématicien). Elle est représentée en figure II-15. Fig. II-15 Selle de Schwarz -c- Le prochain exemple se propose de déterminer la forme d'une configuration surfacique bien connue et improprement appelée Paraboloïde Hyperbolique. Fig. II-16a Configuration de départ Fig. II-16b Pseudo PH 59 Formes Minimales et Gradient Conjugué La définition mathématique du PH correspond en fait à celle d'une surface réglée selon Z = k XY qui ne peut pas être de courbure moyenne nulle. Nous choisirons ainsi de dénommer "pseudo PH" la surface d'aire minimale obtenue. Le maillage initial et la forme calculée apparaissent en figures II-16. -d- Toujours dans le cadre de la Recherche de Forme de configurations connues, nous proposons ensuite de procéder au calcul de la surface dite de Scherk. Cette forme typique (figure II-17a) est engendrée à partir du maillage spatial figure II-17b. Fig. II-17a Surface de Scherk Fig. II-17b Maillage initial -e- Le dernier exemple a pour volonté d'illustrer un cas de non convergence du procédé lorsque les conditions d'appui ne permettent pas de créer une forme minimale stable. Un film est calculé entre deux cercles parallèles de rayon 10 et 2, distants d'une hauteur h = 4 . Pour ces valeurs, partant du maillage défini dans la figure II-18a, on obtient la forme en "chapeau chinois" représentée figure II-18b. Par contre, si h = 6 , le processus diverge et nous pouvons formuler les mêmes remarques qu'au chapitre II-2-2-3 relatif à la détermination d'une caténoïde. Fig. II-18b Chapeau chinois Fig. II-18a Forme de départ Fig. II-18c Calcul divergent 60 Partie II II-3-3-2 Comparaison des résultats Nous allons présenter dans le tableau suivant une évaluation des performances liées aux différentes approches possibles à partir des tests précédemment décrits. Les résultats sont donnés sous la forme : procédé de calcul de β p / procédé de calcul de α p . MT Par exemple OP/MT se réfère à une procédure selon β OP p et α p . Le critère de performance retenu correspond au temps de calcul nécessaire pour atteindre la forme minimale d'équilibre. On peut en effet considérer que plus une méthode sera rapide, plus il sera possible de demander une précision élevée pour un temps de calcul équivalent. Les résultats sont normalisés de telle sorte que le procédé le plus rapide (en fait l'approche effectuée d'après OP/OP) ait un coefficient de performance égal à un. Procédé βp FR OP FR OP de calcul αp MT MT OP OP 2.3 5.3 3.0 4.6 4.4 3.92 1.9 3.8 2.2 3.6 2.5 2.8 1.2 1.4 1.3 1.5 1.4 1.35 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.00 Steiner 4 points Selle de Schwarz Pseudo PH Surface de Sherk Chapeau chinois PERFORMANCES Tabl. II-1 Méthode du Gradient Conjugué : comparaison des performances Ces résultats amènent aux commentaires suivants. Les méthodes reposant sur l'utilisation de β FR p apparaissent clairement moins efficaces que les procédures fondées sur β OP (dans un facteur proche de 1.4). Cette tendance ne fait que p confirmer les résultats obtenus par exemple par Gilbert et Nocédal sur un ensemble de divers problèmes tests portant sur des fonctionnelles de différentes natures à minimiser. De plus, l'utilisation de la méthode optimisée de Recherche de Ligne permet de réduire de façon significative les temps de calcul par comparaison avec l'approche suggérée par More et Thuente (facteur d'environ 2.8). Cette réduction se comprend en considérant que l'on spécifie des intervalles de départ plus étroits (avec α OP p max au lieu de α p max ) et que les évaluations des fonctions Ψp (α p ) et Ψp' (α p ) sont évitées durant la phase d'encadrement des valeurs. Bien qu'il soit ici prématuré de poser des conclusions définitives, il est toutefois possible de noter que les approches optimisées se distinguent par une plus grande rapidité et ainsi une bonne adaptabilité dans le calcul des formes minimales. 61 Formes Minimales et Gradient Conjugué II-3-3-3 Quelques autres configurations Il s'agit à présent, à l'instar de l'exemple de structure mixte présentée lors de l'investigation des configurations minimales par les méthodes de Densités, d'envisager une stratégie mixte où un système comportant simultanément des éléments de câble et de membrane est déterminé. Pour cela, nous considérons une forme plane représentant un film créé entre un cadre rectangulaire dont un côté est réalisé par l'intermédiaire d'un fil uniformément tendu (figure II19a). Fig. II-19a Maillage initial Fig. II-19b Film avec fil circulaire La géométrie finale d'équilibre permet de vérifier que les éléments de câbles sont disposés selon un arc de cercle (figure II-19b). Le dernier exemple de surface minimale calculée par la méthode du Gradient Conjugué n'est ici qu'à titre illustratif et souligne la beauté ainsi que la régularité de ces formes bien particulières. Cette configuration porte le nom de Surface de Schwarz (figure II-20). Fig. II-20 Surface de Schwarz Un rapide bilan effectué à ce stade de l'étude nous permet de mettre en avant l'utilisation de la méthode du Gradient Conjugué comme outil de Recherche de Forme des configurations minima. On peut dès lors songer à comparer ce procédé avec celui auparavant mis en place et se référant aux méthodes de Densités. Cet aspect est en partie l'objet du prochain chapitre où la possibilité de recourir à un formalisme combinant ces deux méthodologies est également suggérée. 62 Partie II II-3-4 Approche Combinée : Méthodes de Densités et du Gradient Conjugué L'idée directrice consiste à envisager une démarche itérative associant les spécificités des méthodes de Densités et celles du Gradient Conjugué. A cet effet, il est possible d'imaginer un procédé selon lequel les étapes DE 2l et DE 3l utilisées par les méthodes de Densités sont remplacées par la minimisation de la fonction f ( X ) = L ainsi que les étapes DE 2s à DE 3s en considérant f ( X ) = S pour la recherche des surfaces minima. Pour cela, nous utiliserons une approche fondée sur l'utilisation des formulations optimisées OP (c'est à dire avec β OP p et α p ) qui sont apparues comme étant les plus rapides. L'évaluation des performances est effectuée d'après les exemples tests déjà considérés lors du chapitre précédent. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous; ils concernent également les temps de calcul nécessaires, normalisés selon un coefficient de un pour l'approche mixte méthodes de Densités/ méthode du Gradient Conjugué. Steiner 4 points Selle de Schwarz Pseudo PH Surface de Sherk Chapeau chinois PERFORMANCES GC 1.2 1.8 1.4 2.7 2.6 1.94 DE 1.0 0.8 1.0 0.9 1.1 0.96 DE/GC 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.00 Tabl. II-2 Méthodes du Gradient Conjugué et de Densités Le premier commentaire se rapporte aux problèmes de Steiner et du Pseudo PH. Les méthodes de Densités et les approches combinées possèdent dans ce cas précis des performances équivalentes. Ce résultat peut être interprété lorsque l'on considère que les formes calculées lors des étapes DE1l et DE1s sont géométriquement très proches de la configuration minimale recherchée. Pour les autres tests, les performances des méthodes de Densités et combinées apparaissent comparables, avec toutefois un léger avantage pour les premières. Une explication peut être suggérée et concerne la perte de temps liée au stockage informatique des vecteurs gp , gp −1 , d p et d p −1 alors que les procédés de Densités ne réclament que le stockage du vecteur qs(p,l−k1) . Cette remarque explique également de façon partielle les faibles performances de la méthode du Gradient conjugué. En fait, les résultats numériques accentuent la nécessité de procéder à des investigations plus poussées selon différentes directions telles que l'influence du maillage de départ ou la possibilité de recourir à des procédures de redémarrage à l'image des propositions effectuées par Powell dans le cadre de ses études sur la méthode du Gradient Conjugué [POW 77] et [POW 86]. En l'absence de tels résultats, nous ne pouvons émettre de conclusion définitive. Les premières expériences menées semblent toutefois indiquer que les approches combinées constituent les méthodes les plus performantes. 63 Caractéristiques Géométriques des Surfaces II-4 Détermination des Caractéristiques Géométriques des surfaces. L'objectif est de proposer une méthode de maillage des surfaces qui va permettre de calculer leurs principales caractéristiques de forme. II-4-1 Principe de la méthode Pour cela, nous allons tout d'abord supposer que la surface décrit un graphe selon la relation Z = f ( X , Y ) ; c'est à dire que toute droite verticale (X et Y = cstes) coupe le domaine en un seul et unique point où il est possible de définir des directions principales de courbure ainsi que les courbures principales ρ1 et ρ2 associées à ces directions. En considérant les dérivées partielles : p= ∂2 Z ∂2 Z ∂2 Z ∂Z ∂Z t = , q= , r= , s = et ∂X ∂Y ∂X ∂Y ∂X 2 ∂Y 2 (II-51) Nous pouvons calculer la courbure moyenne H selon : H= 1 (1 + p 2 ) t − 2 pqs + (1 + q 2 ) r (ρ1 + ρ2 ) = 2 2 (1 + p 2 + q 2 )3/2 (II-52) ainsi que la courbure totale (ou gaussienne) G par : G = ρ1ρ2 = rt − s 2 (1 + p 2 + q 2 ) 2 (II-53) Le problème rencontré se réfère bien sûr au calcul des différentes dérivées partielles. Pour cela, on va imaginer que chaque élément triangulaire à trois noeuds (T3) et subdivisé en un élément à six noeuds (T6, figure II-21a) ou à dix noeuds (T10, figure II-21b). Un triangle primaire T6 (T10) va alors pouvoir être considéré comme la somme de quatre (neuf) triangles secondaires. η η ξ Fig. II-21a Triangle T6 ξ Fig. II-21b Triangle T10 Il est alors possible d'effectuer une Recherche de Forme de la surface en considérant tous ces triangles secondaires comme entités indépendantes. Une fois la configuration d'équilibre obtenue, nous disposons des coordonnées des noeuds de chaque triangle T6 ou T10 et le calcul des dérivées partielles peut dès lors s'envisager par l'intermédiaire de leurs fonctions de forme respectives. 64 Partie II Un triangle T6 utilisant une interpolation quadratique de sa géométrie, les termes de dérivées secondes sont constants sur toute sa surface. Par contre, le triangle T10 reposant sur une interpolation cubique, il s'ensuit que r, s, t dépendent des coordonnées intrinsèques ξ et η choisies et l'on dispose ainsi d'une meilleure précision dans les diffférents calculs. Nous noterons par la suite que deg = 6 ( deg = 10 ) pour un élément T6 (T10). En effectuant un calcul de Z ( X , Y ) par l'intermédiaire des fonctions de forme de deg l'élément, soit Z = ∑ Nim Zi , les dérivées partielles s'expriment alors par : i =1 deg p= ∑ Ni,mX Zi deg , q= ∑ Nim,Y Zi i =1 i =1 Les différents termes Nim,X , Nim,Y deg , r= ∑ Nim, XX Zi deg , s= i =1 ∑ Ni,mXY Zi i =1 deg et t = ∑ Ni,mYY Zi (II-54) i =1 etc.. sont déterminés selon les relations fournies en annexe G consacrée à l'étude des dérivations des fonctions de forme (formules G-8 et G-11). La connaissance de H et de G permet également de calculer les valeurs des rayons de courbure principaux R1 et R2 . II-4-2 Applications Afin d'illustrer les diverses possibilités offertes par cette démarche, nous allons considérer une forme proche de celle d'un Pseudo Paraboloïde Hyperbolique et évaluer l'évolution des caractéristiques géométriques sur deux éléments triangulaires primaires. Partant d'une forme initiale plane composée de triangles primaires T3 (figure II-22a), on divise le domaine en éléments secondaires T6 (figure II-22b) ou T10 (figure II-22c) pour lesquels sont spécifiées les conditions d'appui requises. Les dimensions de la structure sont définies par une base carrée de 10x10 avec une différence maximale de niveau entre noeuds égale à 5. Fig. II-22a Maillage initial Fig. II-22b Subdivision en T6 Fig. II-22c Subdivision en T10 Un premier calcul détermine la surface d'aire minimale s'appuyant sur le contour précédemment défini; la figure II-23 représente la géométrie obtenue avec une subdivision T6. Afin de comparer à nouveau les différences qui existent entre une approche surfacique et une représentation linéaire d'un domaine, un second calcul envisage la structure en tant que réseau 65 Caractéristiques Géométriques des Surfaces de câbles et détermine la forme de longueur minimale prenant naissance à partir de conditions d'appui équivalentes (figure non représentée car très proche de la forme II-23). Fig. II-24 Forme avec différents coefficients de densités de contraintes surfaciques (T6) Fig. II-23 Surface minimale(T6) En dernier lieu, une troisième Recherche de Forme est effectuée par la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques. Pour cela, tous les coefficients de densités des triangles primaires sont pris égaux à un à l'exception des huit éléments situés au centre de la structure pour lesquels il est choisi qsk = 2 . Deux de ces éléments sont représentés sur la figure II-23 (en grisé foncé pour celui numéroté 1 et grisé clair pour le numéro 2). Il faut souligner que dans ce cas particulier, tous les triangles secondaires héritent du même coefficient de densité que celui de l'élément primaire dont ils dérivent. La géométrie d'équilibre obtenue est représentée figure II-24 dans le cas d'une subdivision T6. Les deux éléments primaires repérés 1 et 2 vont en fait être pris comme témoins des modifications des caractéristiques géométriques de la surface. Remarquons au passage que les calculs des différentes dérivées partielles sont réalisés à leurs 1 centres de gravité ( ξ = η = ). 3 Le tableau ci-dessous donne les valeurs des courbures moyenne H et totale G ainsi que les rayons de courbure correspondants pour les deux triangles primaires témoins. H T6 (.10 ) T10 G T6 −3 (.10 ) T10 −3 R1 R2 T6 T10 T6 T10 Smin Elément 1 L min Smin Elément 2 L min ≠ qsk ≠ qsk 0.480 0.018 -11.122 -11.170 15.308 14.848 -0.216 0.071 -17.679 -18.050 -8.913 -9.227 -1.331 -1.330 -0.870 -0.860 -0.757 -0.753 -1.300 -1.297 -1.143 -1.153 -1.317 -1.325 27.053 27.398 -27.775 -27.426 49.009 50.312 -23.448 -23.109 21.368 21.720 -61.796 -61.182 27.565 27.711 -27.896 -27.822 48.835 49.012 -17.909 -17.698 35.141 35.296 -21.606 -21.374 Tabl. II-3 Evolution des caractéristiques géométriques 66 Partie II Ces résultats appellent plusieurs commentaires. Tout d'abord, la prise en considération d'éléments T10 au lieu de T6 offre une précision accrue dans les calculs effectués, on remarque par exemple que la courbure moyenne associée à la surface minima est quasiment nulle. Nous vérifions également qu'une géométrie représentative d'un réseau d'éléments linéaires de longueur minimale n'est pas obligatoirement d'aire minimale. La différence est notable pour les rayons de courbure dont les valeurs varient presque du simple au double. Enfin, on peut souligner que la méthode des Densités de Contraintes Surfaciques permet effectivement de modifier localement les courbures d'une surface en choisissant des coefficients de densités adaptés. Ce procédé de détermination des caractéristiques géométriques constitue également un outil essentiel pour le concepteur de Membranes Textiles Architecturales. Nous savons en effet que les informations relatives aux valeurs des courbures totales sont d'un intérêt certain car elles sont directement liées aux difficultés rencontrées lors du développement de la surface sur un plan, c'est à dire à l'occasion du processus de Découpe de Laizes. La méthode proposée permettant d'obtenir une cartographie des courbures gaussienne de la structure, elle représente ainsi une aide potentielle à la décision en mettant en évidence les zones de la surface les plus problématiques et où le concepteur pourra par exemple envisager de réduire les dimensions des laizes correspondantes. Notons au passage que le procédé n'est pas spécifiquement limité au cas de systèmes géométriquement décrits par l'intermédiaire de graphes sur toute leur surface. En effet, un simple changement de repère où s'écrivent les différentes grandeurs permet toujours de se ramener à l'échelle d'un élément triangulaire T6 ou T10 à une telle représentation (ne serait ce qu'en considérant le repère local lié à ce dernier). Conclusion de la Partie II 67 Conclusion Notre volonté était d'appréhender la Recherche de Forme de configurations minimales selon de nouvelles approches. Le critère retenu pour l'investigation des réseaux de câbles de longueur minimale et des surfaces minima s'exprime par une tension uniforme au sein du système, spécification garantissant la stabilité mécanique des configurations ainsi déterminées. En premier lieu, une démarche fondée sur l'utilisation des méthodes de Densités précédemment définies selon une procédure itérative répond à cette attente. Les considérations mécaniques mises en jeu permettent de retrouver des résultats théoriques connus et soulignent l'étroite correspondance existant entre la méthode des Densités de Forces et celle des Densités de Contraintes Surfaciques. Les exemples numériques traités sont en accord avec l'observation des diverses formes minimales naturelles et vérifient les principes géométriques fondamentaux associés à ces systèmes. Toutefois, dans une optique de diversification du thème abordé, nous suggérons dans un second temps une approche différente reposant sur l'utilisation de la méthode du Gradient Conjugué. Cet instrument permet en effet de minimiser les fonctionnelles adéquates et d'obtenir ainsi les configurations recherchées. Sa mise en place réclame cependant de nombreux développements à l'image de la détermination des directions de descente et des longueurs de pas à adopter. On propose à cet effet des méthodologies simplifiées qui offrent une réduction significative des temps de calcul. Le débat reste néanmoins ouvert et il est possible d'envisager certaines études complémentaires allant dans ce sens. Nous mettons par ailleurs en avant la possibilité de combiner les deux approches citées; cette démarche semble prometteuse et mérite également de faire l'objet d'attentions futures. Le dernier thème abordé est l'occasion de proposer une méthode autorisant le calcul des caractéristiques géométriques d'une surface. Les applications présentées soulignent sa validité et laissent entrevoir de nombreux débouchés, notamment une aide à la détermination des laizes constitutives d'une membrane textile. Partie III Découpe de Laizes et Mise en Prétension des Membranes Textiles Architecturales Introduction 69 Introduction A l'image de tout processus de création, la conception des Membranes Textiles Architecturales s'envisage comme une succession d'étapes auxquelles sont attachées des problématiques particulières devant faire l'objet de réponses adaptées. Le premier stade de l'étude se réfère ainsi aux procédés de Recherche de Forme où est abordée l'analyse des relations constitutives associées aux paramètres de Formes et de Forces. Les deux premières parties de ce mémoire sont consacrées à cette thématique et ont permis d'apporter des solutions appropriées aux différents problèmes posés. Plusieurs déclinaisons ont été envisagées, s'agissant de l'investigation de configurations minimales ou bien de Recherche de Forme de structures tendues dans un contexte plus large. Il est à présent temps d'élargir le domaine de l'étude en intégrant au débat un nouveau paramètre, en l'occurrence celui qui représente le concept de Matériaux. La démarche n'est en fait que le reflet de l'étape suivante du processus de conception où l'attention se porte sur la réalisation d'une toile tendue à partir d'un modèle théorique issu du procédé de Recherche de Forme. Plus précisément, l'objectif est de déterminer une configuration géométrique et relationnelle initiale constituée par un assemblage d'éléments discontinus de forme plane dénommés laizes. L'ensemble des procédés mis en oeuvre à cette occasion constitue ainsi un processus dit de Découpe de Laizes. Son principe repose en premier lieu sur la spécification des lignes de partage et donc de découpe de la surface appelées lisières. Cette opération peut s'effectuer selon diverses considérations d'ordre géométrique, mécanique ou esthétique. Chaque laize ayant été ainsi identifiée, le concepteur doit alors déterminer les formes planes associées à chacune d'entre elles. De façon générale, les méthodes jusqu'à présent proposées se décomposent en deux étapes dissociées. La première consiste à projeter la laize tridimensionnelle considérée sur un plan; cette phase répond couramment à l'appellation de développement. L'étape suivante vise à prendre en considération les caractéristiques de prétension de celle-ci. La démarche dépend nécessairement des propriétés rhéologiques du matériau; elle constitue l'opération de réduction. Si tout procédé de Découpe de Laizes est forcément source d'erreurs, nous montrerons qu'il est toutefois possible d'atténuer ces imperfections en envisageant une démarche fondamentalement différente de celle venant d'être exposée. Une majeure partie des erreurs engendrées s'avérant en effet directement liée au découplage du processus en deux opérations de développement et de réduction, ces travaux de thèse sont l'occasion de proposer une nouvelle méthode de Découpe de Laizes fondée sur un support théorique de nature différente et considérant ces étapes comme indissociables. La réponse apportée est dénommée Méthode de Composition des Contraintes. Par la suite, l'intérêt se porte sur la modélisation de la Mise en Prétension d'une laize. Le propos consiste à valider le procédé de découpe proposé en comparant les caractéristiques ainsi obtenues avec celles recherchées par le concepteur. Découpe de Laizes des MTA 71 III-1 Découpe de Laizes des Membranes Textiles Architecturales III-1-1 Etude des différents procédés Ce chapitre suit le fil conducteur de toute méthode de Découpe de Laizes. Nous présenterons ainsi en premier lieu les méthodes liées à la détermination des lisières puis, dans un second temps, ceux en corrélation avec les processus de recherche des formes planes. III-1-1-1 Les méthodes de détermination des lisières Débutons le propos en notant que ce thème ne fera l'objet d'aucun développement dans le cadre de ces travaux. On se limitera ainsi à l'exposé des principales considérations sur lesquelles reposent les divers procédés. Ce type de processus s'avère en fait être le fruit de plusieurs compromis établis entre des exigences d'ordres variés et parfois antagonistes. -a- Aspects technologiques : Il s'agit ici de préciser que le concepteur doit avant tout tenir compte d'une largeur maximale des laizes en relation avec les produits disponibles auprès des fabricants de toiles textiles. Généralement, les tissus sont fournis sous forme de rouleaux larges d'environ deux mètres [FER 89]. -b- Aspects géométriques : On peut envisager de positionner les lignes de découpe sur des courbes géodésiques de la surface [LIN 87] et [BAR 88]. Cette démarche permet entre autre de générer des lisières de longueur minimale et certains considèrent qu'elle rejoint des préoccupations économiques où le concepteur désire réduire les chutes de toile inhérentes. Le débat reste toutefois ouvert. Nous savons de plus que tout développement sur un plan de surface à double courbure se traduit inévitablement par des distorsions. Il est alors judicieux de recourir à laizes de faibles dimensions sur une portion de la toile présentant des valeurs de courbure totale élevées. Soulignons à cet égard que les outils de détermination des caractéristiques géométriques des surfaces précédemment proposés (chapitre II-4) constituent une aide potentielle à la décision dans un tel cas. -c- Aspects esthétiques : Les cartes peuvent toutefois se brouiller lorsque la parole est donnée aux architectes. Leur créativité trouvera un possible terrain d'expression dans la réalisation sur la toile de motifs géométriques à partir d'échantillons aux couleurs différentes. De plus, il est manifeste que le rythme visuel apporté par le choix des lisières constitue une composante architecturale à part entière et peut ainsi être à l'origine de politiques de découpe différentes. III-1-1-2 La recherche des formes planes Avant de se livrer à un exposé des diverses méthodes de découpe proposées à ce jour, nous souhaitons tout d'abord mettre en lumière quelques principes directeurs associés à cette thématique. Tout procédé de découpe a pour objet la détermination d'une configuration de départ (laize découpée) destinée à être mise en place sur le site selon des conditions d'appui requises. 72 Partie III Cette opération de mise en oeuvre s'accompagne par une déformation de chaque laize qui définit en final une forme d'équilibre liée à un certain état de prétension. Le concepteur peut dès lors songer à effectuer pour chacune d'entre elles une comparaison d'après les concepts morphologiques de Formes et de Forces : - Si la géométrie de la laize mise en oeuvre avoisine celle théoriquement précisée par une méthode de Recherche de Forme, nous dirons qu'il y a équivalence géométrique entre ces entités. - De manière équivalente, si le champ de prétension créé au sein de la laize est proche de celui recherché par le concepteur, l'appellation d'équivalence sthénique sera retenue. Remarquons incidemment que cela implique une maîtrise totale de l'état d'autocontrainte du milieu déterminé lors de sa Recherche de Forme (Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques par exemple). Ces deux notions intimement liées ne traduisent en fait qu'une réalité virtuelle tant il est illusoire d'espérer qu'elles soient parfaitement respectées sauf cas exceptionnel. Il est cependant clair qu'un procédé de Découpe de Laizes ne prenant pas en compte toutes les données géométriques et sthéniques disponibles sera dans l'impossibilité d'offrir une solution optimale au problème posé. Il en est de même si ces informations ne sont pas considérées comme indissociables et ainsi à traitées comme deux opérations séparées (développement puis réduction). Force est de constater, à notre connaissance bien entendu, que les seules méthodes proposées à ce jour reposent sur un tel support théorique. Regardons de façon plus détaillée les diverses techniques de développement rencontrées. (a) (b) (c) Fig. III-1 Triangulation Simple Le premier procédé décrit est dit de Triangulation Simple (figure III-1). Il s'agit de diviser la laize (a) en une série de triangles s'appuyant sur ses lisières (b). Ceux-ci sont ensuite projetés sur un plan par conservation des longueurs des côtés (c). Cette méthode est certainement la plus répandue de nos jours et à la base de nombreux outils de CAO. Il est cependant évident qu'elle occulte les données concernant tous les points situés à l'intérieur de la laize (a) ainsi qu'une partie de ses points extérieurs. Son utilisation réclame donc la grande prudence afin d'éviter de regrettables erreurs. Désirant surmonter cet obstacle, plusieurs auteurs ont alors suggéré certaines améliorations. L. GRÜNDIG propose à cet effet une méthodologie qui permet de prendre en considération la totalité des points appartenants aux lisières [GRÜ 90]; cet objectif est également retenu par H. TSUBOTA [TSU 89]. Dans ces deux cas, le calcul de la géométrie du contour de la laize projetée est effectué en faisant appel à des procédures de minimisation des erreurs. On regrettera cependant que soient passées sous silence toutes les informations relatives aux noeuds internes. La méthode proposée par T. Shimada ([SHI 89] et [ALL 92]) apporte à ce propos quelques avancées notoires. Elle consiste à déterminer un domaine plan constitué d'éléments surfaciques triangulaires dont le passage vers la laize tridimensionnelle entraîne une énergie de déformation minimale. Les caractéristiques rhéologiques du matériau interviennent à ce titre dans la formulation du problème. Les données relatives à l'état de prétension du milieu ne sont malheureusement pas prises en compte. On peut également citer les travaux de N. Felgendreher axés sur la méthode EDV [FEL 79]. 73 Découpe de Laizes des MTA Dans tous les cas, les procédés de développement de la laize doivent être suivis par une opération de réduction. On effectue généralement un simple changement d'échelle de la forme développée selon un facteur choisi par le concepteur. Son expérience joue ici un rôle prépondérant et la plus grande prudence est de rigueur. Laissons donc de côté tout procédé où les paramètres géométriques et sthéniques sont découplés. Un nouvel éclairage s'impose; une lecture du problème à sa lumière conduit vers un début de réponse dénommée Méthode de Composition des Contraintes. III-1-2 La Méthode de Composition des Contraintes III-1-2-1 Objectifs et principes généraux Considérons une Membrane Textile Architecturale ayant fait l'objet d'une Recherche de Forme selon une approche continue, sa géométrie est alors entièrement déterminée ainsi que l'état de prétension de tous ses éléments surfaciques constitutifs. Le concepteur a déjà divisé ce système en spécifiant ses lignes de découpes On isole à présent une laize composée de m éléments définissant une configuration Ω L . Les points situés sur ses lisières seront appelés noeuds "frontières" (repérés • sur la figure III2), les autres noeuds étant désignés comme "internes" (noeuds ). Chaque vecteur élémentaire σ mlocRdF est précisé à l'issue de la Recherche de Forme. o { }L Le principe de la Découpe de Laizes consiste à déterminer une forme plane Ω 0 telle que la transformation de Ω 0 en Ω L induise pour chaque élément un état de tension proche de celui recherché σ mlocRdF (équivalence sthénique). { }L On construit tout d'abord un plan de projection Pr à partir de trois points distants non alignés rrr de Ω L ; il sert de support à un repère global ( X Y Z ) . Nous définissons ensuite une configuration Ω* dite intermédiaire située sur ce plan. Sa géométrie est dans un premier temps déterminée en projetant orthogonalement la laize Ω L sur Pr . La transformation de Ω* en Ω L se caractérise par la création d'un champ de contraintes m σ loc au sein du milieu (figure III-2). { }L { }L = {σ mlocRdF }L , l'objectif visé est atteint. m Si pour tous les éléments on vérifie alors σ loc Dans le cas contraire, nous allons envisager la transformation (réduction par abus de langage) de Ω* en un autre domaine plan Ω 0 de telle sorte que ce passage engendre des contraintes m th m σ loc compensant au mieux la différence existant entre σ loc et σ mlocRdF . red { }* { }L { }L On suppose de plus que cette déformation s'effectue dans le cadre de l'Hypothèse des Petites Perturbations (HPP). Remarque : nous insistons à ce niveau de l'étude sur le fait que cette réduction est purement théorique et à ce titre différente de celle qui sera réellement prise en compte. 74 Partie III Laize 3D ΩL {σ mlocRdF }L { } m σ loc L Plan parallèle au plan Pr r Z Ω r Y { m th σ loc red * Ω0 }* HPP r X Fig. III-2 Représentation des différentes configurations Par extrapolation, il est alors possible d'assimiler le passage de Ω 0 vers Ω L par l'intermédiaire de Ω* comme une composition de deux transformations successives, chacune d'entre elles entrainant une évolution des contraintes au sein du milieu. Cette démarche constitue en fait une première estimation du domaine plan recherché Ω . Il sera en effet nécessaire d'envisager différentes procédures itératives pour atteindre cet objectif. L'ensemble de ces opérations définissent ce que l'on dénommera Méthode de Composition des Contraintes. 0 III-1-2-2 Etude des transformations Ce chapitre vise à définir les différentes quantités mises en jeu à l'occasion des transformations successives. ΩL {σ locm }L L {d m }* r Z r Y r X { }L m -a- Passage Ω* → Ω L : calcul de σ loc Si l'on suppose que Ω* se transforme en Ω L selon un contexte de petites déformations (cf hypothèse H1) mais de grands déplacements, chaque tenseur élémentaire de Green-Lagrange peut être déterminé selon la relation (D-24) : L L 1 m L ε m = ( bLm + bNL ) dm (III-1) * * 2 * * Ω* { } * Fig. III-3 Transformation Ω → Ω L [ ] [ ] { } 75 Découpe de Laizes des MTA [ ] m En considérant la matrice d'élasticité Eort définie dans le repère d'orthotropie associé à rrr chaque élément de Ω* , on écrit dans le repère global ( X Y Z ) en se référant à (C-12 et 15) : m T ε * * m T ε,ort * [ E ] = [T ] [T ] [ E ] [T ] [T ] m * m ort * m ε,ort * m ε * (III-2) Nous pouvons ainsi calculer les tenseur élémentaire PK2 par (C-7) : L L {S m }* = [ E m ]* {ε m }* (III-3) [ ] Les tenseurs élémentaires gradients de transformation F m L * entre Ω* et Ω L s'expriment d'après les repères covariants et contravariants associés à ces configurations (précisés en D-3 et D-5) selon le produit tensoriel : m L * [F ] = gLi ⊗ g*i (III-4) Il est alors possible de déterminer le tenseur des contraintes de Cauchy sur l'élément par (B-4): [σ ] m L [ ] = (det ( F m L * L ))−1 [ F m ]* m L * m LT * [S ] [F ] (III-5) Soit, dans le repère local de l'élément et sous forme vectorielle (C-18) : {σlocm }L = [ Tσm ]L {σ m }L (III-6) Cette démarche permet de calculer les vecteurs de prétension élémentaires {σlocm }L induits par la transformation de Ω* en Ω L ; on les assemble pour former le vecteur généralisé σ loc . { }L 0 Ω * Ω0 0 -b- Passage Ω* → Ω 0 : relation entre {dl }* et {df }* Le passage de Ω* à Ω 0 s'effectue en agissant sur r les conditions aux limites des noeuds frontières de Ω* . Yr Pour éviter tout mouvement de solide rigide, un noeud r r X frontière est totalement fixe selon les axes X et Y (noeud * 0 Fig. III-4 Transformation Ω → Ω de Ω* repéré • sur la figure III-4) et un autre astreint à r rester sur l'axe Y = 0 . Bien entendu, tous les noeuds sont bloqués selon l'axe Z . Ce système comprend alors nl degrés de "liberté" (noeuds internes de Ω* ) et nf autres degrés associés aux noeuds frontières non fixés. 0 Le vecteur { d } * est ainsi décomposé en : r Z { d } *0 = {dl }*0 ⊕ {df }*0 (III-7) 76 Partie III Nous effectuons la transformation de Ω* vers Ω 0 en considérant un déplacement {df }*0 des noeuds frontières de Ω* . La position des noeuds libres dans Ω0 dépend alors de 0 celui-ci; il est possible de déterminer {dl }* selon le raisonnement suivant. [ ] Les matrices élémentaires de rigidité linéaire k Lm * définies sur Ω* (relations B-37) peuvent être assemblées pour former la matrice de rigidité généralisée du système [ K L ]* . On la décompose alors en considérant ses termes relatifs aux nl degrés de liberté et ceux associés aux nf autres degrés : [ [  KL l K = [ L ]*   K L fl ] [ K L lf ]  ] [ K L f ] * [ avec K L l ]* [ et K L lf ( nl .nl ) ]* (III-8) ( nl .nf ) Le vecteur déplacement généralisé associé aux noeuds internes dépend alors des déplacements des noeuds frontières selon : −1 ~ (III-9) {dl }*0 = − K L l K L lf {df }*0 = Kf {df }*0 [ ]* [ [ ] ]* * Nous avons ainsi la relation : {d } 0 * ~ 0  K f {dl } =  =  {df }*  Idnf  [ ]  {d } [ ]  0 f * 0 = [ Mf ]* {df }* (III-10) * Dans le cadre de l'HPP, la transformation de Ω* en Ω 0 se traduit par les vecteurs élémentaires de contraintes de Cauchy : 0 0 {σlocm red }* = [ Tσm ]* [ E m ]* [ bLm ]* {d m }* = [nσ ]* {d m }* (III-11) Ces relations s'assemblent pour aboutir à l'écriture généralisée : {σloc red }* = [ Nσ ]* {d}*0 (III-12) De fait, le vecteur généralisé de réduction des contraintes provenant du passage de Ω* à Ω 0 est égal à : {σloc red }* = [ Nσ ]* [ Mf ]* {df }*0 = [Aσ ]* {df }*0 (III-13) III-1-2-3 Détermination du domaine Ω 0 { }L Nous pouvons à présent calculer l'état de prétension σ loc généré dans le milieu lorsque Ω* se déforme en Ω L . Il est ainsi possible de le comparer avec celui spécifié à l'issue du procédé de Recherche de Forme σ RdF et évaluer la différence : loc { }L {σlocdif }L = {σloc }L − {σ RdF loc } L (III-14) 77 Découpe de Laizes des MTA L'idée consiste à imaginer que le passage de Ω* à Ω 0 dans le cadre de l'hypothèse des Petites Perturbations correspond à la création d'un champ de contraintes σ locthred caractérisé par : { }* (III-15) {σlocthred }* = {σlocdif }L 0 Nous cherchons alors un vecteur déplacement noté {dfth } des noeuds frontières de Ω* qui * th assure la relation {σ loc red } = {σ loc red } . * * th La notation {σ loc red } se comprend comme se référant à une variation théorique des * contraintes de telle sorte que la transformation de Ω 0 en Ω L par l'intermédiaire de Ω* engendre une contrainte voisine de σ mlocRdF , c'est à dire en final que { {σloc ( Ω 0 → Ω L }L } { }L − {σlocthred }* ≈ {σ mlocRdF }L . ) = σ loc Cette démarche prend ainsi le nom de Composition des Contraintes. En considérant le vecteur généralisé {Bσ }* défini par : {Bσ }* = {σ locthred }* = {σ loc } L − {σ RdF loc } L (III-16) Il vient la relation fondamentale (soit un système à 3m équations et nf inconnues) : 0 [ A σ ]* {dfth }* = {Bσ }* (III-17) Comme sur toute laize on a 3m > nf , ce système est inconsistant et n'admet pas, en général, de solution. Sa résolution est ainsi envisagée par une méthode de Moindres Carrés qui permet de déterminer le vecteur généralisé 0 0 fonctionnelle Θ ({df }* ) = [ A σ ]* {df }* − {Bσ }* 2 0 {d f }* qui réalise le minimum de la . Si plusieurs solutions vérifient cette condition, les méthodes de Moindres Carrés considérées 0 { }* . identifient celle de plus petite norme euclidienne, soit d cal f Notre attention s'est portée sur deux procédés numériques : la résolution par Factorisation de Householder et celle par Inverses Généralisés. Des commentaires et explications plus détaillées sont disponibles en annexe H. Après avoir mis en évidence le vecteur généralisé des déplacements des noeuds 0 { }* , il est possible de préciser la variation calculée (et non frontières de Ω* vers Ω 0 , soit d cal f plus théorique) du vecteur généralisé de réduction des contraintes avec : 0 {σloccalred }* = [ Aσ ]* {d calf }* (III-18) 78 Partie III On peut alors définir un taux d'erreur initiale ∆σ∗L traduisant le passage de Ω* à Ω L par : ∆σ ∗L {σ RdF loc } L − {σ loc } L {σ RdF loc } L = (III-19) ainsi qu'un taux d'erreur finale ∆σ 0L illustrant la transformation de Ω 0 en Ω L par l'intermédiaire de Ω* selon la relation : ∆σ 0L cal {σ RdF loc } L − {σ loc } + {σ loc red } L * RdF {σ loc }L = (III-20) Ces deux quantités témoignent de l'importance de la déformation du domaine ayant eu lieu lors du passage de Ω* vers Ω 0 . En effet, si ∆σ∗L est très grand devant ∆σ 0L cela signifie que {σloccalred }* est important et par voie de conséquence le tenseur généralisé 0 {ε calred }* également. L'hypothèse initiale de petites perturbations entre Ω* et Ω 0 ne peut plus être émise dans cette situation. A cet effet, nous proposons de modifier (réduire) le vecteur généralisé des déplacements 0 {d calf }* selon la correction : { d mod f 0 }* = ∆σ 0L cal df ∆σ∗L { Il convient ensuite de reprendre les calculs de σ loc red { et ∆σ 0L en considérant à présent d mod f 0 { }* (III-21) }* par (III-18) ainsi que ceux de ∆σ∗L 0 }* afin d'évaluer si une autre réduction s'impose. Cette démarche se poursuit jusqu'à obtenir un rapport : ∆σ L0 ≈τ ∆σ ∗L (III-22) Les différents tests entrepris ont mis en évidence la cohérence des résultats obtenus en choisissant une valeur τ = 0.8 . 0 { }* Une fois que le vecteur d f 0 { }* est déterminé, on calcule d géométrie de la configuration Ω 0 est alors entièrement précisée. avec la relation (III-10); la 79 Découpe de Laizes des MTA III-1-2-3 Méthodologie Les chapitres précédents illustrent une démarche où, partant d'un premier domaine intermédiaire Ω* (soit Ω* (1) ) on a déterminé une première configuration Ω 0 (c'est à dire une évaluation notée Ω 0 (1) ) relative à la laize tridimensionnelle Ω L . Nous voyons dès lors se dessiner le schéma directeur du procédé de Découpe de Laizes proposé et dénommé Méthode de Composition des Contraintes. La méthode consiste à réitérer le procédé en considérant une seconde configuration intermédiaire définie par Ω* ( 2 ) = Ω 0 (1) . On obtient alors une autre estimation du domaine plan Ω 0 ( 2 ) à partir de laquelle il est possible de spécifier Ω* (3) = Ω 0 ( 2) et ainsi de suite (figure III-5). ΩL projection orthogonale Ω* (1) Ω 0 (1) Ω * ( 2) convergence Ω 0 (2) Ω0 Fig. III-5 Méthode de Composition des Contraintes Plus généralement, le procédé se répète de façon itérative et trois situations distinctes peuvent se présenter à l'itération p : -a- Les taux successifs d'erreurs initiales ∆σ ∗L (p) ne cessent d'augmenter ou bien restent proches d'une valeur élevée. Dans ce cas là, on considère que le processus est divergent et l'on conclue à l'impossibilité de déterminer la laize plane associée au domaine Ω L par cette méthode. -b- On observe que la suite des ∆σ ∗L (p) décroit et converge vers zéro. Dans cette situation, le procédé est arrété lorsque ∆σ∗L(p) < ζ avec ζ petit devant l'unité (nous prendrons ζ = 10 −2 ). -c- Les valeurs ∆σ ∗L(p) diminuent mais convergent vers une valeur ∆σ ∗L( ∞ ) ≠ 0 . ∆σ ∗L(p) − ∆σ∗L(p−1) On arrète le processus à l'itération p si <ζ. ∆σ∗L(p) Il faut ici spécifier un taux d'erreur maximale acceptable ∆σ ∗L max . Si la configuration Ω* (p) vérifie ∆σ ∗L(p) < ∆σ∗L max , elle est dénommée laize optimale. Dans le cas contraire, nous estimons que le procédé a échoué et ne permet pas de déterminer la forme plane associée à Ω L . La valeur de ∆σ ∗L max fera l'objet d'une discussion à l'occasion des exemples présentés. 80 Partie III La méthode de Composition des Contraintes (MCC) peut être décrite d'après l'algorithme itératif suivant : MCC1 : Spécifier une configuration intermédiaire de départ Ω* (p=1) . MCC 2 : Calculer le taux d'erreur initiale ∆σ ∗L(p) . Si ∆σ ∗L (p) < ζ ou ∆σ ∗L(p) − ∆σ∗L(p−1) < ζ , aller à l'étape MCC 4 . L(p) ∆σ∗ Sinon, passer à l'étape suivante MCC 3 . 0(p) . MCC3 : Déterminer le domaine plan Ω * (p +1) 2 Retourner à MCC en posant Ω = Ω 0 (p) puis p = p + 1 . MCC 4 ∆σ∗L(p) < ∆σ ∗L max Si 0 Ω =Ω * (p) on a obtenu la géométrie plane recherchée selon . Dans le cas contraire le procédé ne permet pas de déterminer Ω 0 . III-1-2-4 Mise en oeuvre du procédé Il s'agit de préciser tout d'abord les diverses modalités qui seront suivies à l'occasion des exemples présentés. Les caractéristiques rhéologiques du matériau envisagé sont celles d'un complexe commercialisé [FER 89] et mesurées par différents essais de caractérisation [TRO 92] : Emc = 23000 daN / m ; Emt = 24 900 daN / m et ν ct = 0.097 . On calcule νtc selon la relation de symétrie (C-10), soit νtc = 0.090 . Nous remarquons que les valeurs de modules d'élasticité font directement intervenir l'épaisseur de la toile. Il suffira alors de ne pas prendre en compte ce terme lors de l'intégration des différentes quantités (matrices de rigidité par exemple) sur les volumes élémentaires. L'orientation des repères d'orthotropie du matériau est laissée au libre choix du concepteur. Cependant, elle s'effectue habituellement en disposant la direction de la chaîne du tissu selon les côtés de plus grande longueur de la laize. Cette mesure tient au procédé de fabrication de la toile ainsi qu'à son conditionnement. r Nous orienterons donc la trame du tissu sur l'axe X du plan de projection et la chaîne sur r l'axe Y . III-1-2-5 Applications L'objectif n'est pas de traiter exhaustivement le sujet mais plutôt d'initier la réflexion à partir de quelques exemples simples. A cet effet, les laizes étudiées seront issues de formes minimales; c'est à dire caractérisées par un état de prétension uniforme et isotrope de la forme σ mlocRdF = σ0 σ0 0 L . L La valeur de σ 0 est liée aux caractéristiques mécaniques du matériau utilisé et fait l'objet d'indications de la part du fabricant. Dans le cas présent, nous prendrons σ 0 = 250 daN / m . 81 Découpe de Laizes des MTA - Pseudo PH Le premier exemple proposé illustre le calcul d'une laize Ω en forme de pseudo paraboloïde hyperbolique. Il s'agit d'une surface d'aire minimale discrétisée par 40 éléments triangulaires et comportant 33 noeuds (dont 9 noeuds internes, voir figure III-6). L Les dimensions choisies correspondent à une base du pseudo r r PH de 1m (axe X ) par 5m (axe Y ). Le point d'élévation r maximale est fixé selon une hauteur de 1m (axe Z ). Fig. III-6 Pseudo PH Le calcul par la méthode de Composition des Contraintes converge en sept itérations et se traduit par un taux d'erreur initiale selon ∆σ ∗L (p = 7) = 3.70 % . La laize plane ainsi déterminée est représentée sur la figure III-7. Nous devons à présent évaluer si cette valeur peut être compatible avec un taux d'erreur maximale acceptable ∆σ ∗L max . Pour cela, on se propose de calculer les valeurs des contraintes m obtenues lors de la transformation de principales de Cauchy σ loc { }L Contraintes principales (daN/m) Ω 0 = Ω* ( 7) en Ω L . Le tableau ci-dessous représente les valeurs de σ1m et σ 2m pour chacun des 40 éléments. La solution "idéale" est figurée par la droite horizontale σ1m = σ 2m = σ 0 = 250 daN / m (tableau III-1). Nous observons une distribution des contraintes régulière sur toute la surface et la réponse apportée semble être des plus satisfaisantes. 300 σ1 290 σ2 Fig. III-7 Laize MCC 280 270 260 250 240 230 220 210 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Eléments Tabl. III-1 Pseudo PH : Contraintes principales obtenues par Méthode de Composition des Contraintes 82 Partie III A titre de comparaison, nous allons envisager à présent un mode de calcul différent pour la même laize. La méthode consiste à diviser le domaine par un procédé de Triangulation Simple (TS) tel que celui présenté au chapitre II-1-2-2. Les données géométriques relatives aux noeuds internes ne sont alors plus prises en compte par le concepteur. Le maillage L effectué définit une configuration Ω TS ne comportant plus que 20 éléments (figure III-8). Nous supposerons que la spécification σ mlocRdF L = σ0 σ0 0 L est toujours respectée. Fig. III-9 Laize TS Fig. III-8 Triangulation Simple du pseudo PH L La laize plane associée à Ω TS est calculée par la méthode de Composition des Contraintes. Le processus converge rapidement vers une erreur nulle, il est arrêté au bout de = 4) 0 (4) quatre itérations avec ∆σ∗L(p = 0.06 % ; la forme obtenue Ω TS = Ω*TS est représentée TS figure III-9. L'idée consiste à remailler ce domaine plan en 40 éléments triangulaires par addition de noeuds internes sans modifier la géométrie du contour. On construit ainsi une (1) configuration de départ Ω*mod ; il est alors possible de calculer les contraintes engendrées par le passage de celle-ci vers le domaine réel Ω L . Nous obtenons un taux d'erreur initiale élevé Contraintes principales (daN/m) (1) car ∆σ ∗Lmod = 26.62 % . Les valeurs des contraintes principales induites sont les suivantes : σ1 σ2 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Eléments Tabl. III-2 Pseudo PH : Contraintes principales obtenues par décomposition selon une simple triangulation 83 Découpe de Laizes des MTA Cette expérience appelle plusieurs commentaires. Nous remarquons que la non prise en considération de la géométrie totale du domaine réalisée à l'occasion du maillage par simple triangulation conduit à des erreurs beaucoup plus importantes. Ce résultat ne constitue cependant pas une surprise en soi. r La numérotation des éléments triangulaires a été effectuée de la gauche vers la droite (axe X ) r et du bas vers le haut (axe Y ). Les numéros de rang plus élevé sont par conséquent attribués aux éléments proches du point de hauteur maximale. Une lecture plus détaillée du graphe III-2 nous permet ainsi d'observer que l'écart entre les contraintes principales augmente significativement selon la position de l'élément. Plus ils sont éloignés du point origine (numéros croissants), plus cet écart s'accroit. On peut apporter une ébauche de réponse en remarquant que ces éléments sont également ceux qui subissent les taux de déformation les plus élevés. Cela semble se traduire par l'apparition de termes de cisaillement et donc de différences entre σ1m et σ 2m . Il faut néanmoins tempérer le propos en signalant que de multiples possibilités sont 0 envisageables lors du remaillage du domaine plan Ω TS (positions attribuées aux noeuds internes). Nous insistons tout de même sur la cohérence et la bonne adéquation des résultats obtenus par la méthode de Composition des Contraintes. Cet aspect doit être confirmé à l'occasion d'autres applications. - Chapeau chinois - Fig. III-10 Laize sur chapeau chinois L'exemple suivant se propose de déterminer une laize Ω L située sur une forme minimale de type Chapeau chinois (figure III10). Cette surface est calculée entre deux cercles parallèles de diamètres 20m et 4m éloignés d'une hauteur de 4m. La laize est disposée comme indiqué figure III-11a, les r r traits forts désignant les axes X et Y . Le procédé converge en neufs itérations avec un taux d'erreur initiale ∆σ ∗L( 9) = 10.48 % . La laize obtenue est représentée figure III-11b. r Y r X Fig. III-11a Disposition de projection Fig. III-11b Laize MCC 84 Partie III r Y r X Fig. III-12a Triangulation simple de la laize L Ω TS Un second calcul réalisé en considérant un maillage du domaine par simple triangulation détermine une = 5) laize plane en cinq itérations où ∆σ∗L(p = 0.09 % . TS Fig. III-12b Laize TS Si cette configuration (figure III-12b) est remaillée en tenant compte de noeuds internes, on (1) définit de façon analogue à l'exemple précédent une géométrie Ω*mod alors caractérisée par un (1) taux d'erreur initiale ∆σ∗Lmod = 45.20 % . Les remarques auparavant formulées s'appliquent toujours dans le cas présent. On peut toutefois s'interroger sur la valeur de l'erreur obtenue (10.48 %); cela revient à définir plus précisément le seuil d'acceptabilité ∆σ ∗L max . Force est de constater que cette donnée relève en majeure partie de l'expérience des concepteurs, concept délicat à appréhender dans le contexte de travaux de thèse essentiellement théoriques. Nous souhaitons cependant ne pas éluder la question et avancer, sous réserve d'analyses et discussions complémentaires, qu'un tel taux d'erreur est acceptable. Si tel n'était pas le cas, cette entreprise a le faible mérite d'ouvrir le débat. Un autre commentaire s'impose à ce niveau de l'étude. Cette application a été en fait l'occasion de préciser quelques éléments d'ordre numérique. Nous avons en effet constaté un problème de divergence du procédé lorsque la résolution des équations (III-17) se référait à la méthode des Inverses Généralisés (voir annexe H). L'utilisation du processus par factorisation de Householder s'est avérée plus appropriée aux calculs requis. Il a cependant fallu envisager la décomposition des matrices [ A σ ]* = [Q][ R ] par permutations de lignes et de colonnes, technique permettant d'augmenter la stabilité du procédé dans le cadre d'un mauvais conditionnement de [ A σ ]* . Nous allons maintenant présenter un exemple de nature différente permettant d'évaluer les possibilités de la méthode lorsque des difficultés apparaissent. 85 Découpe de Laizes des MTA - Laize à courbure totale positive La forme minimale considérée s'inspire de l'application présentée en partie II (page 52) où une géométrie à courbure totale G positive est déterminée par prise en compte de termes de pression à l'intérieur du système (structure gonflable). Dans l'exemple envisagé ici, le rayon de courbure est sensiblement constant sur toute la surface et égal à environ 8m. Une laize Ω L est disposée sur le domaine selon la représentation ci-contre (figure III-13). Fig. III-13 Laize avec G>0 r Y r X Fig. III-14a Mise en place pour projection La méthode de Composition des Contraintes atteint un seuil de convergence à partir de huit itérations; le taux d'erreur initiale est alors ∆σ ∗L (8) = 32.09 % (figure III-14b). Fig. III-14b Laize MCC La première remarque venant à l'esprit se rapporte au niveau élevé de courbure totale préconisé qui, mis en parallèle avec les dimensions de la laize, ne peut être qu'à l'origine de fortes distorsions lorsque celle-ci est projetée sur une surface plane. Nous sommes néanmoins dans l'obligation de reconnaître que le procédé révèle ses limites dans le cas présent. La situation n'est pas pour autant figée et plusieurs pistes de réflexion se présentent. Il est tout d'abord certain que la minimisation des écarts de contraintes recherchée est fondée sur des considérations établies au sens de la norme euclidienne (méthodes de Moindres Carrés). Rien ne suppose que cette attitude soit totalement fondée, on pourrait presque supposer le contraire. D'autres normes vectorielles sont par conséquent à envisager. De plus, les procédés de Moindres Carrés utilisés identifient, dans le cas de solutions minimisantes multiples, celle de norme minimale. Là aussi, on ne peut certifier qu'il s'agit de la réponse la mieux appropriée à notre problème. En guise de conclusion (temporaire), nous insistons sur les performances potentielles de la méthode proposée tout en gardant à l'esprit les développements ultérieurs à prévoir. 86 Partie III III -2 Mise en Prétension des Membranes Textiles Architecturales Le chapitre précédent nous a permis de mettre en évidence une méthode de Découpe de Laizes et de l'illustrer au travers de quelques applications. Partant d'une laize tridimensionnelle Ω L dont les caractéristiques (géométrie et état de prétension) ont été précisées à l'issue d'un procédé de Recherche de Forme, nous avons ainsi pu déterminer un domaine plan Ω 0 qui répond au mieux des exigences théoriques considérées. L'objectif consiste à présent à compléter la démarche en envisageant une cinématique inverse, c'est à dire le passage de Ω 0 vers une configuration tendue en imposant des déplacements à ses conditions aux limites (noeuds frontières). Ce processus de mise en tension permet d'obtenir un domaine Ω P qui devra être en adéquation avec Ω L , ceci tout autant au niveau de sa forme (équivalence géométrique) que s'agissant de son état de prétension (équivalence sthénique). Si une telle correspondance est vérifiée, nous pourrons en conclure sur la bonne adaptabilité du domaine plan Ω 0 dans le cas du problème considéré. Découpe de laize et mise en prétension constituent ainsi un mouvement "d'aller-retour"; il témoignera de la pertinence de la méthode de mise à plat utilisée. Après avoir précisé les modélisations mécanique et numérique liées au processus de déploiement, nous illustrerons le propos selon le support fourni par les exemples précédemment envisagés. III-2-1 Modélisation de la Mise en Prétension Nous avons défini dans le cadre de l'annexe A l'incrément de la première variation de l'énergie potentielle totale δWt20−1 d'une structure lorsqu'un incrément des déplacements 2 { }1 nodaux d m relie des configurations Ω1 et Ω 2 supposées très proches (figure III-15). En formulation lagrangienne totale (FLT) et par rapport à une configuration de référence Ω 0 il vient : δWt20−1 = δd 2 K d 2 =∑ 0 [ T ]0 { }1 δd m el 0 m 2 T 0 m 2 1 [ k ] {d } 2 [ ] se décomposent selon (B-40) : [k ] = [k ] + [k ] + [k ] Les matrices de rigidité tangente élémentaires kTm m 2 T 0 m L 0 (III-23) 0 m 2 NL 0 m 2 σ 0 (III-24) Si nous supposons que la configuration Ω 0 est en équilibre et l'on souhaite après correction 2 { }1 que le domaine Ω2 soit également du vecteur généralisé des déplacements nodaux par d en équilibre, ceci implique (théorème des Travaux Virtuels) : δWt 10 = δWt 20 = 0 (III-25) 87 Mise en Prétension des MTA Le caractère non linéaire de ce problème se traduit généralement par l'impossibilité de déterminer une solution telle que la relation δWt20−1 = 0 soit satisfaite. Il sera donc nécessaire de recourir à un procédé itératif pour trouver la configuration d'équilibre Ω 2 ; on procédera dans le cadre de cette étude par utilisation de la méthode de Newton-Raphson (NR). Le domaine de référence considéré est celui associé à la laize plane Ω 0 déterminée selon un procédé de Découpe de Laize (Méthode de Composition des Contraintes dans le cas présent). Nous allons mettre celle-ci en état de prétension en imposant des déplacements à ses noeuds frontières jusqu'à ce qu'ils coïncident parfaitement avec ceux de la laize théorique Ω L calculée par Recherche de Forme. Les vecteurs généralisés des déplacements nodaux {d } 0 sont décomposés en une partie relative aux noeuds frontières {df }0 (termes imposés) et en un second membre associé aux noeuds libres du domaine {dl }0 (noeuds internes); soit la relation : { d } 0 = {df }0 + {dl }0 (III-26) ΩP Ω2 1 Ω Ω0 Ωp r Z r Y r X {df }0P Ω p−1 Fig. III-15 Mise en prétension de la laize Ω 0 Afin d'assurer la proximité des configurations d'équilibre calculées, on va de façon usuelle procéder par "pas" successifs de déplacements imposés. Il y aura au total P "pas" repérés "p". On exprime alors le vecteur déplacement généralisé des noeuds frontières entre Ω 0 et Ω L : {df }0P = {XfL } − {Xf0 } (III-27) La configuration d'équilibre déterminée au pas p sera notée Ω p ; ce domaine correspond à un p P déplacement imposé {df }0 = λ p {df }0 . 88 Partie III p Entre deux pas consécutifs p-1 et p, nous imposerons un incrément {∆df } p −1 selon le facteur P de déplacement ∆λ p dans la direction de {df }0 : p {∆ df }pp−1 = ∆ λ p {df }0P avec λ p = ∑ ∆ λ i P P p ∑ {∆ df }p−1 En final, il doit être vérifié que {df }0 = (III-28) i =1 P (c'est à dire p =1 ∑ ∆λ p = 1 ). p=1 Selon la décomposition (III-26), nous avons au pas p : p p i =1 i =1 { d} 0p = {df }0p + {dl }0p = ∑ {∆ df }ii−1 + ∑ {∆ dl }ii−1 Si le vecteur {df }0p (III-29) est connu, il est par contre nécessaire de procéder à plusieurs itérations (repérées j) pour déterminer {∆dl }pp−1 et ainsi {dl }0p . Elles définissent des domaines intermédiaires notés Ω p j . j Chaque itération permet d'effectuer une correction des déplacements {δdl } p associés aux noeuds libres. On réactualise la somme de ces incréments à l'itération j par : { ∆~ d } = { ∆~ d } j l l p j −1 p j + {δ dl } p (III-30) Lorsque la convergence est assurée (domaine Ω p j en équilibre), nous posons alors : ~ j {∆ dl }pp−1 = { ∆ dl } p (III-31) j La détermination du vecteur {δ dl } p repose sur le raisonnement suivant. On se place au pas p et à l'itération j où les équations d'équilibre ne sont pas vérifiées. Cela p j −1 signifie que le vecteur résidu généralisé est différent de zéro, soit { Rl }0 ≠ { 0} . j pj Il faut que le déplacement {δdl } p soit tel que { Rl }0 = { 0 } . Entre ces deux itérations, la variation du vecteur résidu peut s'écrire : pj Rl 0 { } ={ p j −1  ∂ Rl 0 + ∂ }  p j −1 {Rl }  j δ dl } p {  {dl }  0 (III-32) Par définition de la matrice généralisée de rigidité tangente (B-22) nous avons ainsi: [ KTl ]0p j −1 {δ dl }pj = {Rl }0p j −1 j Cette relation permet de calculer l'incrément cherché {δdl } p . (III-33) 89 Mise en Prétension des MTA En l'absence de forces extérieures, le vecteur résidu correspond ici au vecteur des efforts p j −1 { }0 internes; soit pour chaque élément Rlm p j −1 { }0 = − fi lm . Il est déterminé en considérant la matrice généralisée de caractérisation des efforts internes [ Ψint l ]0p j−1 définie en annexe B (B-12). Dans la situation présente, on écrit : ~ {Rl }0p j −1 = − Fint ( {df }0p + {dl }0p−1 + { ∆ dl } p ) p j −1 ~ ∆ dl j −1 j −1  = −[ 0 Ψint l 0p j −1 ] p df 0 ({ } p −1 dl 0 + +{ } { } p (III-34) ) p j −1 Remarque : Il n'est parfois pas nécessaire de recalculer la matrice tangente [ KTl ] 0 à chaque itération d'un même pas. On peut par exemple la déterminer une seule et unique fois en début du pas d'incrémentation et considérer qu'elle varie peu ensuite; cela revient à p j −1 p1 considérer que [ KTl ] 0 = [ KTl ] 0 quelle que soit la valeur de j (méthode de NewtonRaphson modifiée ou NRM). Cette technique peut se traduire par un gain notable au niveau des temps de calcul et n'affecte pas la convergence vers la solution sous réserve d'effectuer des pas d'incrémentation modérés. Lorsque la convergence est atteinte au dernier pas, nous pouvons préciser la géométrie de la laize Ω P ainsi mise en tension en considérant les déplacements : { d } 0P = {df }0P + {dl }0P (III-35) Il est alors possible de les comparer avec ceux correspondants au passage du domaine de départ Ω 0 vers la laize théorique Ω L : {dl }0L = {XlL } − {Xl0 } (III-36) On définit ainsi un taux d'erreur géométrique ∆gLP lié aux positions des noeuds libres (internes) du domaine : ∆gLP = {dl }0L − {dl }0P {dl }0L (III-37) L'état de prétension de la configuration Ω P peut également être déterminé en calculant les m tenseurs élémentaires σ loc (il suffit de reprendre les procédures explicitées au chapitre III- { }P 1-2-2); il permet de préciser un taux d'erreur sthénique ∆σ LP : ∆σ PL = {σ RdF loc } L − {σ loc } P {σ RdF loc } L (III-38) 90 Partie III Ces deux taux indiquent si les considérations d'équivalence géométrique et d'équivalence sthénique entre la configuration théorique Ω L et le domaine mis en prétension Ω P à partir de Ω 0 sont respectées. III-2-2 Applications Les exemples traités s'inscrivent dans la continuité de deux applications présentées lors de l'étude de la Découpe de Laizes par la méthode de Composition des Contraintes. Les caractéristiques du matériau sont identiques à celles auparavant retenues (c'est à dire Emc = 23000 daN / m , Emt = 24 900 daN / m , ν ct = 0.097 , Ω L νtc = 0.090 ) et l'état de prétension du domaine Ω L correspond à σ mlocRdF où σ 0 = 250 daN / m . r r La direction de la chaîne du tissu est toujours orientée selon l'axe X et la trame sur l'axe Y . L = σ0 σ0 0 L Remarques : - Les configurations de départ Ω 0 étant planes, la matrice généralisée de rigidité tangente 10 calculée au premier pas et à la première itération [ KTl ] 0 présente des singularités (semi définie positive donc non inversible). Afin de pallier cette situation, nous considérerons que ~ 0 ~ 0 L ∆ dl = ∆ λ1 {dl }0 . Pour les autres étapes, on aura par contre ∆ dl = { 0} . { } { } 1 p >1 - On estime que l'équilibre du domaine est vérifié au pas p et à l'itération j si pour tous les noeuds libres pj {film }0 ≤ 0.01 daN . - Pseudo PH La figure III-16 représente la laize tridimensionelle Ω (surface minimale en forme de pseudo PH) et le domaine plan associé Ω 0 déterminé par la Méthode de Composition de Contraintes. Sa mise en prétension s'effectue en dix pas d'incrémentation ( P = 10 ). L Nous obtenons ainsi une configuration Ω P = Ω(10 ) possèdant une forme très proche de celle de Ω L , il est en effet vérifié ∆g(L10 ) = 0.21 % . Fig. III-16 Pseudo PH : mise en prétension La différence entre les contraintes théoriques et ) déterminées se traduit par ∆σ (10 L = 3.81 % . On remarque de plus que la distribution des contraintes principales sur Ω P est similaire à celle exposée dans le tableau III-1 (page 81). 91 Mise en Prétension des MTA - Chapeau chinois La même démarche est à présent appliquée au cas de la laize Ω L appartenant à la forme minimale de type Chapeau chinois. Le déploiement est réalisé en quinze pas d'incrémentation et l'on aboutit aux valeurs : 15 15 ∆g (L ) = 0.92 % ainsi que ∆σ (L ) = 10.47 % . Fig. III-17 Chapeau chinois : mise en prétension Il est possible de formuler différents commentaires à partir de ces deux résultats. La mise en prétension du domaine plan Ω 0 détermine une forme d'équilibre caractérisée par une géométrie voisine de celle spécifiée par Recherche de Forme. Nous pouvons ainsi considérer qu'il y a équivalence géométrique entre ces deux configurations; la forme de départ paraissant alors répondre favorablement au problème posé ( ∆gLP faible). L'erreur relative entre l'état de prétension recherché et celui obtenu après déploiement est en corrélation avec le taux d'erreur minimal déterminé lors du processus de mise à plat de la laize tridimensionnelle. La notion d'équivalence sthénique se trouve de fait liée au critère d'accceptabilité défini par ∆σ ∗L max à cette occasion. Les taux d'erreur obtenus (supérieur à 10 % pour la seconde application) accentuent en fait la nécessité d'amender le procédé de Découpe de Laize utilisé selon les directions déjà envisagées (minimisation selon d'autres normes). Conclusion de la partie III 93 Conclusion Etape essentielle de la réalisation des Membranes Textiles Architecturales, l'opération de Découpe de Laizes doit être menée en respectant le plus fidèlement possible les exigences du concepteur. Cette restriction ne fait que traduire l'impossibilité de déterminer une solution exacte pour le problème posé, les diverses méthodes utilisées se devant alors d'identifier celle qui conduit à des erreurs minimales. A cet effet, l'objectif de cette troisième partie était de mettre en avant un procédé de Découpe de Laizes fondé sur une démarche différente de celles jusqu'alors suggérées. La Méthode de Composition des Contraintes se propose en effet de mener à bien cette opération en prenant en considération de façon combinée toutes les données relatives à la géométrie du domaine ainsi qu'à son état de prétension. Une fois le cadre théorique mis en place, plusieurs applications viennent illustrer le propos tout en révélant les possibilités et les limites de la méthode. Nous mettons ainsi en évidence la cohérence des résultats obtenus lors de l'étude d'exemples fréquemment rencontrés. Il apparaît toutefois que de nombreuses améliorations pourraient être apportées à l'occasion d'une réflexion approfondie menée sur ce thème. On ne peut cependant aborder la problématique liée à la Découpe de Laizes sans en considérer une vision plus étendue. La modélisation de la Mise en Prétension s'inscrit dans une telle logique en autorisant une démarche d'aller-retour entre une configuration recherchée et une autre déterminée par transformations successives de mise à plat puis de déploiement. Le cadre de l'étude se situe dans un contexte de grands déplacements et le support théorique retenu repose sur une modélisation du processus en description lagrangienne totale. Les exemples traités montrent ainsi la correspondance géométrique existant entre la laize mise en prétension et la configuration recherchée. Si l'attention se porte sur les contraintes engendrées au sein du milieu, les résultats obtenus reflètent toutefois les erreurs rencontrées lors du procédé de Découpe de Laizes. Cet aspect ne fait qu'appuyer les remarques auparavant formulées et laisse le champ libre à de futures recherches. Conclusion générale Conclusion générale 95 Conclusion générale Il n'est plus nécessaire de souligner la part grandissante qu'occupent les structures à base de Membranes Textiles prétendues dans l'Architecture contemporaine. Cet essor met cependant en relief de nombreux et divers aspects problématiques, les aspirations des concepteurs révèlent les limites des approches conceptuelles traditionnelles qui se doivent d'être alors dépassées, voire redéfinies à la lumière de nouvelles considérations. La Morphologie Structurale nous permet ici de décliner une réponse selon trois modes principaux : Formes, Forces et Matériaux. Le premier thème abordé dérive ainsi de l'étude des relations associant les concepts de Formes et de Forces, analyse regroupée sous le terme générique de Recherche de Forme. Nous avons tout d'abord mis en évidence l'insuffisance des solutions apportées par une modélisation linéaire (réseau de câbles) des Membranes Textiles Architecturales et ainsi la nécessité de recourir à une représentation surfacique de ces systèmes. La réponse retenue à cet effet constitue la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques. Fondée sur une formulation alliant les exigences du mécanicien et du concepteur, elle autorise une gestion efficace de la géométrie et de l'état de prétension du milieu ainsi déterminé. Les possibilités offertes s'étendent sur plusieurs domaines : calcul de structures gonflables, prise en compte de câbles de ralingue. On s'est par ailleurs assuré de la stabilité mécanique des systèmes calculés selon cette méthode. Ce fut également l'occasion de préciser l'ordre de leurs mécanismes. Nous avons ensuite porté notre attention sur un type bien particulier de configurations dites minimales : les réseaux de câbles de longueur minimale et les surfaces d'aire minima. Deux procédés d'investigation sont mis en avant. Le premier repose sur l'utilisation des Méthodes de Densités selon un schéma itératif. Des modifications appropriées des coefficients de densités permettent au processus de converger vers la configuration recherchée. Le second procédé se réfère à la minimisation de fonctionnelles selon la méthode du Gradient Conjugué. Nous proposons à cet égard d'effectuer l'évaluation des directions et longueurs de descente selon des approches optimisées. Dans ces deux cas, de nombreux exemples viennent illustrer le propos et soulignent la cohérence des résultats obtenus. Néanmoins la porte reste ouverte à de multiples perspectives : amélioration des performances numériques, définition d'approches combinées. 96 Conclusion générale Cette partie est par ailleurs l'occasion de proposer une méthodologie de maillage qui permet de déterminer les caractéristiques géométriques principales des surfaces. La démarche s'appuie sur la dérivation des fonctions de forme associées aux éléments du domaine. La réflexion est élargie à ce stade de l'étude en y intégrant la notion de Matériaux. Partant d'une configuration déterminée selon un procédé de Recherche de Forme, il s'agit d'envisager à présent sa réalisation. L'opération mise en jeu à ce niveau répond à l'appellation de Découpe de Laizes. L'objectif retenu dans le cadre de ces travaux consiste à proposer une nouvelle méthodologie à partir d'un support théorique qui associe des étapes jusqu'alors considérées comme distinctes (développement puis réduction). La Méthode de Composition des Contraintes apporte à ce titre de nombreux éléments de réponse; les applications présentées traduisent en effet la pertinence de la formulation utilisée tout en mettant en relief ses limites et par là-même les futurs développements à envisager. La modélisation de la Mise en Prétension permet par la suite de compléter le propos en vérifiant la correspondance des formes de découpe spécifiées avec les exigences du concepteur. Nous observons à cet égard que les configurations mises en état de prétension ont une géométrie voisine de celle recherchée. Les considérations relatives aux champs de prétension confirment les remarques précédemment émises. ANNEXES 97 Annexe A Annexe A Méthode des Densités de Forces Cette section complète la description de la Méthode des Densités de Forces effectuée au chapitre I-1-2 (page 11). A-1 Définition des opérateurs Considérons une configuration Ω avec C éléments de câble, N noeuds se répartissant en r r r nl noeuds libres (NL) selon les axes X , Y , Z et nf noeuds totalement fixes (NF). Cette configuration est en état d'équilibre autocontraint en l'absence de forces extérieures si l'on vérifie les équations suivantes : [ D] { Xl } = {DX } , [ D] {Yl } = {DY } , [ D] {Zl } = {DZ } où { Xl } , {Yl } et {Zl } (A-1) r r r sont les vecteurs coordonnées des noeuds libres selon X , Y et Z . De plus la matrice [D ](nl X nl ) dite de connection est définie par : T [ D] = [ Cl ] [ Ql ] [ Cl ] (A-2) [ Cl ] provient de la décomposition de la matrice de connectivité [C] selon : [C] = [ [ Cl ] [Cf ] ] avec [ Cl ](C nl ) et [Cf ]( C nf ) X X (A-3) On a de plus Cij = 0 sauf si il existe un élément de câble i en relation avec le NL j et le noeud k alors : Cij = 1 et Cik = −1 (A-4) On définit aussi la matrice [ Ql ]( C C ) des coefficients de densités de force par : X Qlii = qli et Qlij (i ≠ j ) = 0 (A-5) Il suit la décomposition de [ D] selon : Dii = ∑ qlki pour les éléments ki connectés au NL i ki Dij = − ∑ qlri pour les éléments ri connectés au NL i et au NL j ri { Xf } En considérant le vecteur {DX }( nl 1) X (A-6) r des coordonnées des noeuds fixes selon X on écrit d'après : {DX } = − [ Cl ]T [ Ql ] [Cf ] {Xf } (A-7) avec la décomposition : DXi = 0 sauf DXi = ∑ qlti Xfu pour les éléments ti reliés avec le NL i et le NF u (A-8) ti 98 Méthode des Densités de Forces A-2 Résolution de l'équation [ D] {Xl } = { DX } La détermination de la position d'équilibre Ω s'effectue par résolution des équations linéaires (A-1). Il s'agit du principe fondamental de la Méthode des Densités de Forces. Plusieurs approches sont envisageables : une résolution directe par calcul de la matrice inverse [ D]−1 ou une résolution de type itérative. Dans cette seconde situation, la méthode de Gauss-Seidel appliquée au système [ A] { X} = { B} suit la procédure : X (pi +1) = N A Bi ij −∑ X (p) Aii j =1 Aii j (A-9) j ≠i Dans le cas présent on a : nl +1) m (p) X (p = X (1) li li + ∑ D ij X lj (A-10) j =1 j ≠i où : X (1) li D = Xi = Dii ∑ qlti Xfu ti ∑ qlri et D m ij = ∑ qlki ki ri (A-11) ∑ qlki ki r Soit, à la seconde itération, la coordonnée du NL i selon X s'écrit : nl ∑ ((∑ qlri ) X (1) lj ) ∑ qlti Xfu X (l2i ) = ti ∑ qlki + j =1( j ≠ i ) ri (A-12) ∑ qlki ki ki Le numérateur du second terme de (A-12) étant forcément égal à ∑ qlri ri ∑ qlti Xfu + ∑ qlri ti X (l2i ) = ri X (1) lri , il vient : X (1) lri ∑ qlki (A-13) ki En extrapolant la procédure à l'étape p, nous obtenons la relation suivante : ∑ qlti Xfu + ∑ qlri X (plri−1) X (p) li = ti ri ∑ qlki ki (A-14) 99 Annexe B Annexe B Principes Variationnels en Mécanique des Solides Discrétisation par Eléments Finis B-1 Mécanique des solides déformables, généralités On considère une configuration de référence Ω 0 à l'instant t0 (en notant la configuration d'équilibre d'un solide Ω à l'instant ti selon Ω i ) qui se déforme en Ω1 . r r Un élément différentiel de longueur dR 0 de Ω 0 se transforme en dR1 dans Ω1 . On a la relation : r r dR1 = [ F ]10 dR0 (B-1) où [ F ]10 est le tenseur gradient de transformation entre Ω 0 et Ω1 . On peut dès lors définir les tenseurs de déformations de Green-Lagrange [ ε ]10 et d'Almansi-Euler [e]10 par : [ε]10 = [e]10 = 1 [ F ]10T [ F ]10 − [ Id3 ] 2 ( 1 Id3 ] − [ F ]10T [ F ]10 [ 2 ( ) ) (B-2) ( ) avec [ F ]10 = [ F ]10 −1 (B-3) De même, il est possible d'écrire la relation existant entre les tenseurs de contraintes de Cauchy [σ]1 et de Piola-Kirchhoff de seconde espèce [ S ]10 selon : [ S]10 = det ([ F]10 ) [ F]10 [σ]1 [ F]10T (B-4) B-2 Principe des travaux virtuels Il s'agit de mettre en place la formulation variationnelle associée aux équations d'équilibre du solide relativement aux configurations Ω 0 et Ω1 . La première variation de l'énergie potentielle totale de la structure δWt01 est égale à la différence entre la première variation de son énergie de déformation δWd01 (soit le travail virtuel des efforts internes) et de la première variation du travail des forces extérieures appliquées à la structure δWe10 (ou encore travail virtuel des forces extérieures). Soit la relation : δWt01 = δWd01 − δWe10 (B-5) Le principe des travaux virtuels stipule que l'énergie potentielle totale de la structure est minimale dans sa configuration d'équilibre réelle Ω. 100 Principes Variationnels - Dicrétisation par Eléments Finis Parmi tous les déplacements cinématiquement admissibles, les déplacements réels rendent Wt extrémale. De plus, le principe de l'extremum implique que : ∀{δd} δWt = 0 (B-6) B-2-1 Calcul de δWd01 : La première variation de l'énergie de déformation élémentaire δwde10 est définie selon (formulation eulérienne ou lagrangienne) : δwde10 = ∫1 δe V e 0 1 1 1 {σ e }1 dV 1 = ∫ δε e 0 {Se }0 dV 0 (B-7) V0 Soit après sommation sur tous les éléments de la structure : δWd01 = ∑ ∫1 δe el V e 0 1 {σ e }1 dV 1 = ∑el ∫0 V δε e 1 1 {Se }0 dV 0 0 (B-8) B-2-2 Calcul des efforts internes : 1 { }0 : On a par définition du vecteur élémentaire des efforts internes fi e δwde10 = δd e 1 {fie }0 0 (B-9) D'après l'expression de la première variation du vecteur des déformations mise en évidence en annexe D (relation D-27), on peut écrire : δwde10 = δd e 1T T 0 1 e e e 0 ∫0 ( [ bL ] 0 + [ bNL ] 0 ) {S }0 dV (B-10) V Soit par identification et avec la loi de comportement du matériau précisée en annexe C (C-7): {fie }0 = ∫ ( [ bLe ]0 + [ bNLe ]0 ) [ E e ]0 ( [ bLe ]0 + 12 [ bNLe ]0 ) {d e }0 dV 0 1 T V 1T 1 1 (B-11) 0 Cette écriture se simplifie en considérant la matrice élémentaire de caractérisation des efforts internes ψ eint en formulation lagrangienne : [ ] 0 1 1 1 {fie }0 = [ ψ inte ]0 {d e }0 (B-12) B-2-3 Calcul de δWe10 : Selon les différents types de chargements, on écrit en formulation eulérienne : δWe10 = ∑ ∫1 δu el V e 0 {feeυ }1 dV 1 + ∑el ∫ V 1 δu e 0 {fees }1 dV 1 + ∑el ∑i δue 0 {fe pie }1 (B-13) 101 Annexe B { } { } et {fe pie } représentant les vecteurs des forces volumiques, surfaciques et avec fe eυ , fe es ponctuelles (forces concentrées aux points matériels i). On peut transcrire sous la forme réduite : δWe10 = ∑ δu e ∫1 el D 0 {fee }1 dD1 (B-14) 0 {fee }0 dD0 (B-15) De la même façon, en formulation lagrangienne : δWe10 = ∑ δu e ∫0 el D B-2-4 Calcul de la première variation de l'énergie potentielle totale δWt01 : D'après (B-5) et les équations (B-8) et (B-14) on obtient : δWt01 = ∑ ∫1 δe el V δWt10 = ∑ e 0 1 δε e ∫0 {σe }1 dV 1 − ∑el ∫ δu e 1 D 1 1 {Se }0 dV 0 − ∑el ∫ 0 δu e D0 el V 0 {fee }1 dD1 (B-16-a) 0 {fee }0 dD0 (B-16-b) B-3 Formulation incrémentale et matrice de rigidité tangente En considérant l'écriture : δWt01 = δd 0 ({ F } − {Fint }10 ) ext 0 (B-17) D'après (B-6) l'équation d'équilibre devient : ∀{δd} 0 δWt10 = 0 (B-18) Soit en définissant le vecteur résidu des efforts généralisés de la structure : { R}10 = {Fext }0 − {Fint }10 = {0} (B-19) [ ] La matrice tangente élémentaire kTe relie un incrément du vecteur des déplacements nodaux à l'incrément correspondant du vecteur résidu. En utilisant un déplacement différentiel élémentaire δd e { }0 on écrit : 1 1 ∀{δd e } [ kTe ] {δd e } = −{δRe } 0 0 0 0 (B-20) avec la relation : 1 1 {δRe }0 = {δfee }0 − {δfie }0 (B-21) 102 Principes Variationnels - Dicrétisation par Eléments Finis Soit encore l'expression : 1 { } [ ] = − ∂{d e } 0 0 ∂ Re 1 kTe 0 (B-22) En différentiant l'expression de la première variation de l'énergie potentielle élémentaire (B-5) il vient en considérant δ 2 d e = {0} par définition d'un déplacement différentiel { }0 {δd e }0 : δ 2 wte0 = δ 2 wde 0 − δ 2 wee0 = δd e 0 {δfie }0 − δd e 0 {δfee }0 (B-23) D'où la relation : δ 2 wte0 = δd e 0 [ k ] {δd } e T 0 e (B-24) 0 Considérons à présent un incrément de déplacement {u}12 en un point d'un élément fini entre les configurations Ω1 et Ω 2 supposées très proches et dû à un incrément des déplacements nodaux 2 {d e }1 . A cet incrément est associé un incrément de la première variation de l'énergie potentielle totale δWt20−1 si l'on se réfère à la configuration Ω 0 . Cet incrément se défini selon : δWt20−1 = δWt20 − δWt10 (B-25) Si Ω1 et Ω 2 sont très proches, cet incrément de la première variation de δWt 0 égal à δWt20−1 peut être comparé à sa deuxième variation mise en place en (B-24) : δWt20−1 = δd 0 [ KT ]20 {d}12 = ∑ δd e el 0 e 2 T 0 e 2 1 [ k ] {d } (B-26) En formulation lagrangienne totale (FLT) référée à Ω 0 on obtient : δWt20−1 = ∑ ∫0 ( δε e el V 2 −1 2 {S e } 0 0 + δε e 2 −1 0 1 {Se }0 ) dV 0 −∑el ∫ D δu e 0 2 −1 {fee } 0 0 dD0 (B-27) Avec la relation (D-27) et selon : 2 2 2 −1 {δεe }0 = {δεe }0 + {δεe } 0 e 2 NL 0 [ ] + [ b ] ) {δd } = ( bLe 0 e 0 (B-28) il s'ensuit que : 2 −1 2 −1 2 −1 {δεe } 0 = {δε eNL } 0 = [ bNLe ] 0 {δd e }0 (B-29) De plus, en utilisant les propriétés de forme quadratiques de chacune des composantes de ε eNL (cf D-22) : { } 2 −1 {εe } 0 e 2 NL 0 e 2 1 [ ] + [ b ] ) {d } = ( bLe 0 (B-30) 103 Annexe B D'après la loi de comportement retenue (C-7) il vient : 2 −1 2 −1 {Se } 0 = [ E e ]0 {ε e } 0 (B-31) Ceci conduit à l'expression (B-32) : ∑∫ 2 δε e 0 el V 0 2 −1 {S e } 0 dV 0 = ∑ e ( [ bLe ] 0 + [ bNL ]0 )[ E e ]0 [ bLe ]0 + [ bNLe ]0  {d e }1 dV 0 2T T δd e ∫0 0 el V 2 −1 { }0 Si l'on se réfère à (D-23), la i eme composante de δε e 2 −1 ( {δε e } 0 )i = δd e 0 2 2 est égale à : e 2 1 [ b ] {d } e,i q 0 (B-33) D'où la relation (B-34) : ∑∫ 2 −1 δε e 0 el V 0 6 1 T 1 T 2 {Se }0 dV 0 = ∑el δd e 0 ∫ i∑=1( {Se }0 )i ( [bξe ]0 [bξe ]0 [ Fξi ][bξe ]0 [bξe ]0 ) dV 0 {d e }1 V0 Soit en écriture simplifiée : ∑∫ δε e el V 0 2 −1 0 T 1 T {Se }0 dV 0 = ∑el δd e 0 ∫ [bξe ]0 [bξe ]0 [ FξeS ]0 [bξe ]0 [bξe ]0 dV 0 {d e }1 1 2 (B-35) V0 avec : 1 [ ] FξeS 0 6 1 { }0 )i [ Fξi ] = ∑ ( Se i =1 (B-36) Le second terme de l'équation (B-27) correspond à la variation de l'énergie potentielle virtuelle totale lorsque le chargement varie au cours de la déformation (cas de forces suiveuses par exemple). Dans le cadre de cette étude un tel comportement ne sera pas envisagé et le terme correspondant sera ainsi considéré comme nul. En identifiant (B-26) avec les autres membres de (B-27) et d'après les relations (B-32) et (B-35) nous définissons les matrices élémentaires de rigidité suivantes : [k ] e L 0 = e T ∫0 [ bL ] 0 [ E e V ] [b ] 0 e L 0 dV 0 (B-37) dite matrice de rigidité linéaire. e 2 NL 0 [k ] = 2T ∫0 [ bNL ] 0 e e 2 NL 0 [ E ] ([b ] + [b ] V e e L 0 0 2 T e ) dV 0 + ∫ [ bLe ] 0 [ E e ] 0 [ bNL ]0 dV 0 0 (B-38) V appelée matrice de rigidité non linéaire (ou encore des déplacements initiaux). e 2 σ 0 [k ] =∑ e T e T e 1 ∫0 [bξ ]0 [qξ ]0 [ FξS ]0 [qξ ]0 [bξ ]0 dV el V dite matrice de rigidité géométrique. e e 0 (B-39) 104 Principes Variationnels - Dicrétisation par Eléments Finis [ ] On remarque que kσe 2 0 ne dépend que des configurations Ω 0 et Ω1 en FLT; cela traduit le fait que les contraintes ne s'expriment pas dans les mêmes référentiels entre ces deux [ ] systèmes. Cette matrice permet en fait de corriger la matrice de rigidité tangente kTe 2 0 en référant les contraites à la configuration Ω1 sans avoir pour autant réactualisé la géométrie 1 [ ] entre Ω1 et Ω 0 ; on pourra ainsi noter indifférement kσe 0 [ ] 2 ou kσe . 0 La matrice de rigidité tangente élémentaire s'écrit en final : e 2 T 0 e 2 NL 0 e 2 σ 0 [k ] = [k ] + [k ] + [k ] e L 0 Remarque : Des considérations plus détaillées sont exposées dans les références suivantes : [BAT 82], [BAT 92], [CIA 78], [DRO 96], [GER 86], [IMB 84], [ZIE 79]. (B-40) 105 Annexe C Annexe C Lois de comportement du matériau textile C-1 Contexte de l'étude Dans le cadre de l'hypothèse H1 (petites déformations élastiques), le théorème de décomposition polaire du tenseur gradient de transformation [ F ]10 entre les configurations Ω 0 et Ω1 permet d'écrire : [ F ]10 = [ R]10 [U ]10 ≈ [ R]10 (C-1) [ R]10 est le tenseur orthogonal de rotation pure avec dans le cas général de petites déformations : [U ]10 ≈ [ Id3 ] et det ([ F]10 ) ≈ 1 (C-2) D'après (B-4) on peut ainsi préciser : [ S]10 = [ R]10T [σ]1 [ R]10 (C-3) Cela signifie que le tenseur PK2 [ S ]10 mesuré dans Ω1 relativement à Ω 0 est identique au tenseur de Cauchy mesuré dans Ω1 et exprimé dans un repère correspondant à la configuration Ω1 (repère corotationnel), soit : [ S]10 = [σ loc,Ω 1]1 (C-4) Cette égalité, en regard de l'hypothèse H2 de membrane permet ainsi d'obtenir les mêmes relations pour les contraintes PK2 que pour les contraintes de Cauchy : m m Sloc z << Sloc x et m m Sloc z << Sloc y (C-5-a) m m Sloc xz << Sloc xy et m m Sloc yz << Sloc xy (C-5-b) C-2 Le matériau toile textile Le matériau employé en architecture textile est un composite multicouche orthotrope réalisé d'un tissé orthogonal de fibres synthétiques (fibre de verre, polyester, nylon ...) et d'une enduction plastique (PVC, PTFE ...). Les directions de la trame et de la chaîne du tissu définissent un repère orthogonal local dit d'orthotropie. Les essais réalisés sur différents matériaux ont mené aux conclusions suivantes [TRO 92] : - Le premier cycle de chargement/déchargement entraîne une déformation résiduelle permanente de la toile; ceci est appelé phénomène d'embuvage. - Les cycles suivants décrivent un comportement de type hystérétique stable pouvant s'interpréter en première approximation comme un comportement pseudo élastique linéaire. 106 Lois de comportement - Les essais biaxiaux mettent en évidence les différences de comportement de la toile selon le rapport existant entre sa tension en trame et sa tension en chaîne. - Sur un moyen terme, le matériau présente des phénomènes de relaxation des contraintes. Sur un plus long terme, ses caractéristiques mécaniques sont sensibles au vieillissement. La deuxième remarque est à la base de l'hypothèse H3 de solide élastique linéaire. On montre qu'il est possible dans le cadre de l'hypothèse H1 de généraliser la loi de Hooke en une loi linéaire générale reliant les tenseurs [ S]10 et [ ε]10 . Elle fait intervenir le tenseur d'élasticité [ E ] et, en l'absence de contraintes et déformations initiales : S01 ij = E0 ijkl ε10 kl (C-6) Soit, pour un élément, sous forme matricielle en formulation lagrangienne par rapport à Ω 0 : 1 1 {Se }0 = [ E e ]0 {εe }0 (C-7) C-3 Mise en place des opérateurs matriciels Nous écrivons la relation (C-7) dans le repère d'orthotropie trame-chaîne d'un élément de membrane; d'après les relations (C-5) et s'agissant ainsi d'un repère local, il vient [GAY 91]: 1 1 {Sortm }0 = [ Eortm ]0 {ε ortm }0 (C-8) avec les quantités : 1 1 {Sortm }0 Stm    m = Scm  , ε ort S m   ct  m ort 0 1 { }0 0 [E ] 1 ε tm    m = ε cm  et Eort ε m   ct  [ ] 0 0  Em t 1 − υ υ tc ct   υ ct Em c = 1 − υtc υ ct   0  υtc Em t 1 − υ tc υct Em c 1 − υ tc υct 0  0    0  (C-9)   Gm ct   0 est symétrique si : υ tc Em t = υ ct Em c (C-10) Le repère local de l'élément est calculé d'après sa base covariante associée (cf D-3) par : r g r r r r v v x m = r01 , zm = g03 et ym = x m ∧ zm (C-11) g01 107 Annexe C [ ] par la relation : [ E ] = [T ] [ E ] [T ] m On peut écrire la matrice d'élasticité Eloc T m ε,ort 0 m loc 0 [ où Tεm,ort ] 0 0 m ort 0 m ε ,ort 0 (C-12) désigne la matrice de passage des déformations du repère d'orthotropie au repère local : 1 1 {ε ortm }0 = [ Tεm,ort ]0 {εlocm }0 [T ] m ε,ort 0  C2 S2 −CS  m  2  C = cos θ ort 2 C CS  ,  =S m 2CS −2CS C 2 − S 2   S = sin θ ort   (C-13) (C-14) 0 r m avec θ ort angle orienté direct entre la direction de la trame de l'élément et x m . [ ] De plus, on peut exprimer E m 0 en repère global par : m T ε 0 [ E ] = [T ] [ E ] [T ] m 0 [T ] m ε 0 m loc 0 m ε 0 (C-15) désignant la matrice de passage des déformations du repère global au repère local : 1 1 {εlocm }0 = [ Tεm ]0 {ε m }0  a12 a22 a32 a1a2 a2 a3 a1a3   2  m 2 2 Tε =  b1 b2 b3 b1b2 b2 b3 b1b3  0 2 a1b1 2 a2 b2 2 a3b3 a1b2 + a2 b1 a2 b3 + a3b2 a1b3 + a3b1   0 r r avec x m = a1 a2 a3 0 et ym = b1 b2 b3 0 exprimés dans le repère global. [ ] (C-16) (C-17) Nous définissons la matrice de passage des contraintes du repère global au repère local par : 1 1 {Slocm }0 = [ Tσm ]0 {S m }0 et {σlocm }0 = [ Tσm ]0 {σ m }0 (C-18) ainsi que : {σ m }0 = [ Tσm' ]0 {σlocm }0 (C-19) avec la relation : m T ε 0 [T ' ] = [T ] m σ 0 { }0 est isotrope, on écrit : {σ m }0 = {Tσm'iso } 0 σ 0m (C-20) m De plus, si σ loc (C-21) 108 Lois de comportement C-4 Cas des éléments de câble c c Dans le cas d'un élément de câble, on considère que seuls σ loc x et Sloc x sont non nuls ainsi que ε cloc x , il suit : [E ] [T ] c ε 0 r g r avec x c = r01 = a1 a2 g01 a3 = a12 0 a22 c loc 0 = Ec a32 a1a2 en repère global. (C22) a2 a3 a1a3 0 (C23) (C24) 109 Annexe D Annexe D Interpolation cinématique et des déformations [ ] [ ] e Cette partie vise à mettre en place les opérateurs nécessaires bLe et bNL . Nous traiterons plus particulièrement le cas des éléments de membranes T3 (e=m); les résultats concernant les éléments de câble (e=c) seront également donnés. D-1 Interpolation cinématique 1 { }0 Si l'on considère un déplacement des noeuds d'un élément d m relativement à une 1 { }0 sera obtenu en tout point de cet élément; 1 il est relié à {d m } par l'intermédiaire de la matrice des fonctions de forme [ N m ] par : 0 0 1 1 (D-1) {u m }0 = [ N m ]0 {d m }0 La matrice [ N m ] dépend des fonctions de forme sur l'élément T3 définies selon les 0 configuration Ω 0 , le champ de déplacement u m coordonnées intrinsèques ξ et η : [N ] = [ N m m 1 0 [ Id3 ] N2m [ Id3 ] N3m [ Id3 ]  N1m = 1 − ξ − η  avec  N2m = ξ N m = η  3 ] 0 (D-2-a) (D-2-b) r En considérant le vecteur R0 = X Y [ ] Z 0 , on peut définir la matrice jacobienne J m 0 r associée à l'élément en calculant sa base covariante g0i selon : r r r r g ∧g r r ∂Ro r ∂Ro , g02 = et g03 = r01 r02 (D-3) g01 = g01 ∧ g02 ∂ξ ∂η [J ] m 0 r  g01  r =  g02  r  g03  0 (D-4) r L'inverse de la matrice jacobienne est relié à la base contravariante g0i associée à l'élément : [ j ] = [ J ] = [ gr m 0 m −1 0 1 0 r r g02 g03 ] 0 (D-5) 110 Interpolation cinématique et des déformations [ ] D-2 Interpolation des déformations linéaires (matrice bLm ) 0 [ ] La matrice d'interpolation des déformations linéaires bLm 1 0 est définie par : 1 {ε mL }0 = [ bLm ]0 {d m }0 (D-6) r 1 {ε mL }0 est le vecteur colonne des déformations linéaires en repère global ( X 1 r Z : ) 1 1 {ε mL }0 r Y  u, X   εX   v   ε  ,Y    Y   w, Z   εZ  =  = u + v   ,Y , X  2 ε XY  2 ε XY   v, Z + w,Y      2 ε XZ 0 w, X + u, Z 0 (D-7) 1 { }0 vecteur des déplacements nodaux entre Ω0 et Ω1 . Avec d m dm 1 0 r r = d1 d2 On peut écrire le vecteur r d3 m 1 ξ 0 {ε } 1 0 = d1X d1Y d1Z d2 X d2Y d2 Z d3 X d3Y d3Z 1 0 (D-8) des dérivées partielles par rapport aux coordonnées 1 { }0 puis : intrinsèques du champ de déplacement u m 1 {ε mL }0 = [aξm ]0 {ε ξm } 0 où les termes de [ aξm ] dépendent des valeurs de [ j m ] : 0 0 1 [a ] m ξ 0  j11 0  0 =  j21 0   j31 (D-9) j12 0 0 j21 0 j22 0 0 0 0 0 j31 j22 j11 j12 0 0 j31 j32 j21 j32 0 0 j11 0  0   j32   0  j22   j12  0 (D-10) De plus, d'après l'interpolation cinématique choisie on a : m 1 ξ 0 { ε } = [ b ] {d } m ξ 0 m 1 0 (D-11) 111 Annexe D [ ] avec bξm 0 de la forme : [b ] m ξ 0 0 0  N1,ξ   N1,η 0  0  0 N  0 Idem Idem  1,ξ =  0 N1,η 0 N1 ↔ N2 N1 ↔ N3   0  0 N1,ξ   0 N1,η  0  (D-12) 0 Il suit donc : [ b ] = [ a ] [b ] m L 0 m ξ 0 m ξ 0 (D-13) 1 [ ] m D-3 Interpolation des déformations non linéaires (matrice bNL ) 0 La matrice d'interpolation des déformations non linéaires est définie selon : {ε mNL }0 = 12 [ bNLm ]0 {d m }0 1 1 1 (D-14) 1 {ε mNL }0 est le vecteur colonne des déformations non linéaires en repère global : 1 {ε mNL }0 1  1 u2 + v 2 + w 2  ,X   2 ,X ,X  1 2  u,Y + v,2Y + w,2Y    12  =  u,2Z + v,2Z + w,2Z  2  u, X u,Y + v, X v,Y + w, X w,Y   u,Z u, Z + v,Y v, Z + w,Y w, Z    u, X u, Z + v, X v, Z + w, X w, Z 0 ( ( ( ) ) ) (D-15) 1 { }0 . Chaque composante est une forme quadratique fonction de u m Pour la i eme composante il suit : 1 ( {ε mNL }0 )i = 1 m u, X 2 1 0 [ F ] {u } m 1 ,X 0 i ξ (D-16) avec les relations : 1 {u,mX }0 = [qξm ]0 {ε ξm } 0 1 [ ]  fi  ξ i Fξ = [ 0 3 ]  [ 0 3 ]  [ ] [ 0 3 ] [ 0 3 ] [ fξi ] [ 03 ] [ 0 3 ] [ fξi ] (D-17) (D-18) 112 Interpolation cinématique et des déformations 1 0 0  0 0 0  0 0 0  fξ1 = 0 0 0  , fξ2 = 0 1 0  , fξ3 = 0 0 0  0 0 0  0 0 0  0 0 1  [ ] [ ] [ ] 0 1 0  0 0 0  0 0 1  fξ4 = 1 0 0  , fξ5 = 0 0 1  , fξ6 = 0 0 0  0 0 0  0 1 0  1 0 0  [ ] [ ] [ ] (D-19) 1 { }0 selon (D-11) il vient : En écrivant u,mX {u,mX }0 = [qξm ]0 [bξm ]0 1 1 m d 2 m T ξ 0 m T ξ 0 (D-20) [b ] [q ] [ F ][q ] [b ] {d } Soit la définition de la i ligne de [ b ] : ( [ b ] ) = d [b ] [q ] [ F ][ q ] [b ] 1 ( {ε mNL }0 )i = 1 0 i ξ m ξ 0 m ξ 0 m 1 0 (D-21) m 1 NL 0 eme m T ξ 0 m 1 0 m 1 NL 0 i 1 m ( [ bNL ]0 )i = d m 1 0 [b ] m,i q 0 m T ξ 0 i ξ [ ] avec bqm,i m ξ 0 0 m ξ 0 (D-22) symétrique (D-23) D-4 Expression de la première variation du vecteur des déformations On considère une configuration Ω 0 qui se déforme en Ω1 . (D-24) {ε m }0 = {ε mL }0 + {ε mNL }0 = ( [ bLm ]0 + 12 [ bNLm ]0 ) {d m }0 Si on envisage un déplacement différentiel virtuel nodal {δd m } entrainant des déplacements 0 1 et des déformations virtuelles dans la structure, en différentiant l'expression de {ε m } on 0 1 obtient la déformation virtuelle {δε m } : 0 1 1 1 1 1 {δε m }0 = δ[ bLm ]0 {d m }0 + [ bLm ]0 {δd m }0 + 12 δ[ bNLm ]0 {d m }0 + 12 [ bNLm ]0 {δd m }0 (D-25) 1 1 1 1 1 1 m 1 0 [ ] {d } s'écrit par symétrie (cf D-23) : ( δ[ b ] {d } ) = δd [ b ] {d } = d [ b ] {δd } = ( [ b ] ) {δd } (D-26) Comme [ b ] ne dépend pas de {d } il suit : (D-27) {δε } = ( [ b ] + [ b ] ) {δd } m La i eme composante de δ bNL m 1 NL 0 m 1 0 i m L 0 m 0 0 m 1 0 m ,i q 0 m 1 0 m,i q 0 m 0 m 1 0 m 1 0 m L 0 m 1 NL 0 m 0 m 1 NL 0 i m 0 113 Annexe D D-5 Résultats sur les éléments de câble Dans le cas d'un élément de câble (e=c), la démarche reste la même avec : [ ] [ Nc dc 0 1 0 = N1c [ Id3 ] N2c [ Id3 ] r r = d1 d2 1 0 ] 0 N c = 1 − ξ où  1c  N2 = ξ = d1X d1Y d1Z d2 X d2Y d2 Z 1 0 r r r g ∧g ∂R0 r r r r r g01 = , g01 ⋅ g02 = 0 avec g02 = 1 et g03 = r01 r02 g01 ∧ g02 ∂ξ (D-30) (D-31) 0  N1,ξ 0   0  0 0  0 N 0 Idem  1,ξ =  0 0 N1 ↔ N2   0 0 N1,ξ  0   0  0 0 0 (D-32) c ξ 0 c ξ 0 (D-29)  j11 0 0   0 j21 0   0 0 j31  = j j 0  021 j11 j  31 21  j  31 0 j11  0 [a ] [b ] (D-28) 115 Annexe E Annexe E Convergence de la Méthode des Densités de Contraintes Surfaciques p lim [ Ai ] = [ 0 3 ] , ce qui signifie également que Nous allons montrer que p→∞ lim ( p→∞ { X (pi +1) } −{ } ) = {0} ; X (p) i c'est à dire que le processus converge vers la position d'équilibre du noeud i (convergence locale) [MAU 98]. Ceci est vérifié si une des propriétés suivantes est satisfaite : - (P1) Toutes les valeurs propres de [ Ai ] sont positives et strictement inférieures à 1. - (P2) Tous les termes de [ Ai ] sont positifs et inférieurs à 1 avec, comparés un à un, tous les 2 coefficients de [ Ai ] inférieurs à ceux de [ Ai ] . En notant pour simplifier ∆ Xj = X3 j 2 j , ∆ Yj = Y3 j 2 j et ∆ Zj = Z3 j 2 j , il vient : mi mi AXXi = ∑ qsj ∆ 2Xj qsj ∆ 2Xj mi ∑ Qsj ∆ 2Xj = ∑ j =1 j =1 mi ∑ = qsk l b2k k =1 mi ∑ qsj ∆ 2Xj j =1 mi +∑ j =1 (E-1) 2 qsj ∆ Yj ( + ∆ 2Zj ) j =1 On a ainsi 0 < AXXi < 1 (également 0 < AYYi < 1 ; 0 < AZZi < 1 ) avec AXXi + AYYi + AZZi = 1 . De plus nous pouvons écrire : mi mi ∑ qsj (∆ Xj ∆Yj ) ( ) AXYi = ∑ Qsj ∆ Xj ∆Yj = j =1 j =1 mi ∑ ( qsj ∆2Xj + ∆2Yj j =1 ( mi )+ ∑ (E-2) qsj ∆2Zj j =1 ( ) ) Comme pour tout noeud i il est vérifié que qsj ∆ Xj ∆Yj ≤ qsj ∆2Xj + ∆2Yj , il suit : AXYi < 1 ( et aussi AXZi < 1 ; AYZi < 1) (E-3) En partant des relations suivantes : mi mi mi j =1 j =1 j ,k ( j ≠ k ) ( ∑ qsj ∆ Xj ∆ Yj )2 = ∑ qsj2 ∆ 2Xj ∆ Yj2 + 2 ∑ qsj qsk ( ∆ Xj ∆ Xk ∆ Yj ∆ Yk ) mi mi mi mi j =1 j =1 j =1 j ,k ( j ≠ k ) 2 2 ( ∑ qsj ∆ 2Xj ) ( ∑ qsj ∆ Yj2 ) = ∑ qsj2 ∆ 2Xj ∆ Yj2 + ∑ qsj qsk ( ∆ 2Xj ∆ Yk + ∆ 2Xk ∆ Yj ) (E-4) (E-5) 116 Convergence de la MDCS Il résulte : mi mi mi mi j =1 j =1 j =1 j ,k ( j ≠ k ) ( ∑ qsj ∆ 2Xj ) ( ∑ qsj ∆ Yj2 ) − ( ∑ qsj ∆ Xj ∆ Yj )2 = ∑ qsj qsk ( ∆ Xj ∆ Yk − ∆ Xk ∆ Yj )2 > 0 (E-6) Nous montrons ainsi que : 2 2 2 AXYi < AXXi AYYi (et AXZi < AXXi AZZi ; AYZi < AYYi AZZi ) (E-7) L'inéquation suivante est alors satisfaite : 2 2 2 2 AXXi + AXYi + AXZi < AXXi + AXXi ( AYYi + AZZi ) = AXXi (E-8) 2 Ce qui montre que le premier terme diagonal de [ Ai ] est inférieur au premier terme diagonal de [ Ai ] . En suivant une démarche identique, cette considération s'applique également aux autres termes diagonaux. Les relations précédentes permettent de poser : AXYi AXZi AYZi < AXXi AYYi AZZi (et AXZi AYZi < AXYi AZZi ) (E-9) AXYi (1 − AZZi ) + AXZi AYZi < AXYi (E-10) AXYi ( AXXi + AYYi ) + AXZi AYZi < AXYi (E-11) Soit : Ce qui aboutit à : 2 Cette inéquation démontre que le premier terme non diagonal XY de [ Ai ] est inférieur à sa valeur dans la matrice [ Ai ] . p Nous voyons ici que les conditions (P2) sont satisfaites et dès lors lim [ Ai ] = [ 0 3 ] . p→∞ Dans le cas où il existe des éléments de câbles (ralingue), on écrit à l'itération p+1 : X (pi +1) = mi ∑ Qscj l b2j j =1 avec Qscj = ∑ k =1 qsk l b2k (E-12) j =1 qsj mi ci X4(p)j + ∑ Qcsj X5(p)j ci et Qcsj = qlj mi + ∑ qlk ∑ k =1 k =1 qsk l b2k ci + ∑ ql k k =1 (E-13) 117 Annexe E D'où la relation : mi ∑ qsj ∆ 2Xj AXXi = mi ∑ j =1 qsj ∆ 2Xj j =1 mi +∑ j =1 ( 2 qsj ∆ Yj + ∆ 2Zj ci <1 (E-14) ) + ∑j =1qlj il vient aussi : 0 < AYYi < 1 ; 0 < AZZi < 1 et AXXi + AYYi + AZZi < 1 (E-15) Un raisonnement identique à celui développé ci-dessus permet de démontrer que tous p les termes de [ Ai ] tendent vers zéro lorsque p tend vers l'infini. 119 Annexe F Annexe F Etude de la définie-positivité des matrices de caractérisation énergétique Il s'agit de démontrer que les matrices généralisées de caractérisation énergétique sont définies positives, condition nécessaire à la stabilité mécanique des structures calculées. F-1 Cas d'une structure à base de câbles [ D] est définie positive sur Ker A T si il est vérifié que ∀{d K } ∈( Ker A T − {0} ) alors Wd K ( {d K }) = d K [ D] {d K } > 0 N ∑ Dij = − Dii + Dii* > 0 . Pour un réseau de câbles, nous avons Dij = D ji < 0 par symétrie et j =1( j ≠ i ) Les termes Dii* > 0 proviennent de l'élimination des lignes et colonnes de [ D] par assemblage [ ] des matrices élémentaires d c suivant les conditions aux limites requises. En notant pour simplifier di = d Ki et en développant il vient : N N N N N j =1( j ≠ i ) i =1 j =1( j ≠ i ) j =1( j ≠i ) Wd K = ∑ ( di2 Dii + di i =1 avec et ∑ ( d j Dij ) ) = ∑ ( − di2 ∑ Dij + di ∑ ( d j Dij ) + di2 Dii* ) N N i =1 j =1( j ≠ i ) N N ∑ ( − di 2 ∑ Dij ) = ∑ ( ∑ ( Dij ( − di 2 − d 2j ) ) ) N N i =1 j =1( j ≠ i ) (F-1) (F-2) i =1 j =i +1 N N ∑ ( di ( ∑ ( d j Dij ) ) ) = 2∑ ( ∑ ( di d j Dij ) ) car Dij = Dji (F-3) i =1 j =i +1 D'où la relation : N Wd K = ∑ ( N ∑ ( Dij ( − di 2 + 2 di dj − d 2j ) ) + di2 Dii* ) (F-4) i =1 j = i +1 Nous en déduisons : N Wd K = ∑ ( N ∑ ( − Dij ( di − d j )2 ) + di2 Dii* ) > 0 (F-5) i =1 j = i +1 La matrice généralisée de caractérisation énergétique [ D] est par conséquent définie positive. Cette étude permet de plus de vérifier que d K [ D] {d K } ≠ 0 pour un déplacement {dK } ≠ { 0 } . On peut donc en déduire que les mécanismes d'une structure tendue sont d'un ordre égal à un. 120 Définie-positivité de [D] Remarque : Si les conditions d'appui ne sont pas prises en considération lors de l'assemblage (soit Dii* = 0 ), on vérifie Wd K ( {d K }) = 0 pour di = d j (mouvement de solide rigide) et [ D] devient alors seulement semi définie positive. F-2 Cas d'une structure à base de membranes L'étude est ici abordée différemment et utilise la remarque que nous venons de formuler s'agissant des systèmes de câbles tendus. Une analyse des déplacements sur un élément de membrane permet d'écrire que : r r r r r d 2 = d 2 + d 2 − 2 d K 23 K13 K12 K13 d K12  r r2 r2 r r 2 d K13 = d K 23 + d K12 − 2 d K 23 d K12 r2 r2 r r r 2 d K12 = d K 23 + d K13 − 2 d K 23 d K13 [ ] La discussion porte sur les valeurs possibles de la matrice m m (F-6) définie page 31 (relation I-64). Si m1m > 0 et m3m < 0 , l'énergie de déformation élémentaire se met sous la forme : 2r wdmK ≈ r r r r 1 vm σ 0m ( ( m1m + m2m ) d K213 + ( m1m + m3m ) d K212 − 2 m1m d K13 d K12 2 ) ≥ 0 (F-7) Selon les relations (I-67), il est alors évident que wdmK ≥ 0 De même si m1m < 0 et m3m > 0 , on a : 2r wdmK ≈ r r r r 1 vm σ 0m ( ( m1m + m2m ) d K213 + ( m1m + m3m ) d K212 − 2 m1m d K13 d K12 2 ) ≥ 0 (F-8) Dans tous les cas, il est possible de montrer de façon similaire que wdmK ≥ 0 et par [ ] conséquent que les matrices élémentaires de caractérisation énergétique d m sont semi définies positives. En se référant à la remarque précédente, l'assemblage des matrices d m par prise en compte [ ] des conditions aux limites de la structure conduit alors vers une matrice généralisée de caractérisation énergétique [ D] également définie positive. 121 Annexe G Annexe G Calcul des dérivées des fonctions de forme pour les éléments T6 et T10 Cette section apporte les éléments nécessaires à la détermination des caractéristiques géométriques des surfaces. G-1 Définition des fonctions de forme Pour le Triangle T6 (deg=6) on a : η avec λ = 1 − ξ − η 5 ( 0,1)  N1m = λ ( 2 λ − 1)  N 4m = 4 ξη   m ,  N5m = η ( 2 η − 1)  N2 = 4 ξλ  N3m = ξ (2 ξ − 1)  N6m = 4 ηλ   4 6 ξ 1( 0,0) (G-1) 3 (1,0) 2 Pour le Triangle T10 (deg=10) il vient : η 3 ( 0,1) 7 8 9 10 6 ξ 1( 0,0) 4 5 2 (1,0) N m  1  m  N2  m  N3   N 4m  N m  5 = = = = = 9 3 9 2 27 2 9 λ − λ + λ  N6m = ηξ − ξη  2 2 2 2  m 27 2 9 9 3 9 2 ξ − ξ + ξ  N7 = ξη − ξη 2 2 2 2  9 3 9 2  m 27 2 9 η − η + η ,  N8 = λη − λη 2 2 2 2  27 2 9 27 2 9 m  ξλ − ξλ N = ηλ − λη 2 2  9 2 2 m 27 2 9  N = 27 λξη λξ − ξλ  10 2 2 (G-2) G-2 Dérivées des fonctions de forme par rapport aux coordonnées intrinsèques Pour le Triangle T6 : Nim Nim,ξ Nim,η N1m 1 − 4 λ 1− 4 λ m N2 4 ( λ − ξ) −4 ξ m N3 4 ξ −1 0 m N4 4η 4ξ N5m 0 4 η −1 N6m −4 η 4(1 − ξ − 2 η) Nim,ξξ Nim,ξη Nim,ηη 4 −8 4 0 0 0 4 −4 0 4 0 −4 4 0 0 0 4 −8 (G-3) 122 Dérivation des fonctions de forme Pour le Triangle T10 (G-4) : Nim ,ξ N im N1m N 2m 27 2 λ + 9λ − 1 2 27 2 ξ − 9ξ + 1 2 − N 3m 0 N 4m 27 2 9 9 λ − 27ξλ − λ + ξ 2 2 2 27 2 9 9 − ξ + 27ξλ − λ + ξ 2 2 2 9 27ξη − η 2 27 2 9 η − η 2 2 27 2 9 − η + η 2 2 9 − 27λη + η 2 27ηλ − 27ηξ N 5m N 6m N 7m N8m N 9m m N10 Nim ,η − 27 2 λ + 9λ − 1 2 0 27 2 η − 9η + 1 2 9 − 27ξλ + ξ 2 27 2 9 − ξ + ξ 2 2 27 2 9 ξ − ξ 2 2 9 27ξη − ξ 2 27 2 9 9 − η − 27ηλ − λ + η 2 2 2 27 2 9 9 η + 27ηλ − λ + η 2 2 2 27λξ − 27ηξ Nim ,ξξ Nim ,ξη Nim ,ηη 27λ − 9 27λ − 9 27λ − 9 27ξ − 9 0 0 0 0 27η − 9 − 54λ + 27ξ + 9 − 27λ + 27ξ + 9 27ξ 2 − 54ξ + 27λ + 9 27η 0 0 27η − 54η − 27ξ + 27ξ − 27η − 9 0 2 9 0 2 9 27ξ 2 9 − 27η + 2 − 27λ + 27η + − 54η + 27λ + 9 9 − 54λ + 27η + 9 2 27λ − 27η − 27ξ − 54ξ G-3 Calcul du jacobien et de ses dérivées On calcule le déterminant du jacobien Dξ selon : deg Dξ = ∑ Nim,ξ N mj ,η ( XiYj − X j Yi ) (G-5) i , j =1 Puis ses dérivées : deg  −1 − Dξ,ξ  m m m m  Dξ,ξ =  Dξ,ξ = ∑ ( Ni,ξξ N j ,η + Ni,ξ N j ,ηξ ) ( Xi Yj − X j Yi ) Dξ2   i, j =1 et   deg − Dξ,η D = ∑ ( N m N m + N m N m ) ( X Y − X Y )  D −1 = j ,η j , ηη i j j i ξ ,η ξ ,η i ,ξη i ,ξ   Dξ2 i , j =1   (G-6) 123 Annexe G G-4 Calcul des dérivées des fonctions de forme G-4-1 Calcul des dérivées premières : En considérant les éléments de l'inverse de la matrice jacobienne : aξ = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η , bξ = , cξ = et dξ = ∂X ∂X ∂Y ∂Y (G-7) On peut calculer les dérivées partielles : Nim, X = Nim,Y ∂Nim ∂Nim ∂ξ ∂Nim ∂η = + = aξ Nim,ξ + bξ Nim,η ∂X ∂ξ ∂X ∂η ∂X ∂N m ∂N m ∂ξ ∂Nim ∂η = i = i + = cξ Nim,ξ + dξ Nim,η ∂Y ∂ξ ∂Y ∂η ∂Y (G-8) avec : deg  m −1 a D =  ξ ξ ∑ Ni, η Yi  i =1  deg b = − D −1 ∑ N m Yi i ,ξ ξ  ξ i =1 et deg  −1 m c = − D  ξ ξ ∑ Ni ,η Xi  i =1  deg d = D −1 ∑ N m Xi ξ i ,ξ  ξ i =1 (G-9) G-4-2 Calcul des dérivées secondes : Avec les coefficients (G-10) : deg deg deg deg   m m m m −1 −1 −1 −1 a = D N Y + D N Y c = − D N X − D  ξ ,ξ  ξ,ξ ξ ,ξ ∑ i , η i ξ ∑ i , ηξ i ξ ,ξ ∑ i ,η i ξ ∑ Ni ,ηξ Xi i =1 i =1 i =1 i =1   deg deg deg deg   m m m m −1 −1 −1 −1 a = D N Y + D N Y c = − D N X − D ∑ ∑ ∑ i, η i i, ηη i i,η i ξ ,η ξ ξ, η ξ ∑ Ni ,ηη Xi  ξ,η  ξ,η i =1 i =1 i =1 i =1 et   deg deg deg deg b = − D −1 ∑ N m Yi − D −1 ∑ N m Yi d = D −1 ∑ N m Xi + D−1 ∑ N m Xi ξ ,ξ i ,ξ ξ i ,ξξ ξ ,ξ i ,ξ ξ i,ξξ  ξ ,ξ  ξ ,ξ i =1 i =1 i =1 i =1   deg deg deg deg bξ,η = − Dξ−,1η ∑ Nim,ξ Yi − Dξ−1 ∑ Nim,ξη Yi dξ,η = Dξ−,1η ∑ Nim,ξ Xi + Dξ−1 ∑ Nim,ξη Xi   i =1 i =1 i =1 i =1 Il vient les relations (G-11) :  Nim, XX = aξ2 Nim,ξξ + bξ2 Nim,ηη + 2 aξ bξ Nim,ξη + ( aξ aξ,ξ + bξ aξ,η ) Nim,ξ + ( aξ bξ,ξ + bξ bξ,η ) Nim,η  m m m m m m  Ni, XY = aξ cξ Ni,ξξ + bξ dξ Ni,ηη + ( cξ bξ + aξ dξ ) Ni,ξη + ( cξ aξ,ξ + dξ aξ,η ) Ni,ξ + ( cξ bξ,ξ + dξ bξ,η ) Ni,η N m = c2 N m + d 2 N m + 2 c d N m + ( c c + d c ) N m + ( c d + d d ) N m i,η ξ i ,ξξ ξ i ,ηη ξ ξ i ,ξη ξ ξ,ξ ξ ξ ,η ξ ξ ,ξ ξ ξ, η i ,ξ  i,YY 125 Annexe H Annexe H Résolution de systèmes par méthodes de Moindres Carrés 0 { }* tel que : 0 [A σ ]* {d thf }* = {Bσ }* On recherche le vecteur des déplacements d thf ( 3m.nf ) (H-1) ( 3 m.1) (nf .1) Si 3m > nf ce système ne possède pas en général de solution, ce qui conduit à chercher le 0 { }* qui réalise le minimum de Θ ({df }*0 ) = [A σ ]* {df }*0 − {Bσ }* vecteur d cal f 2 . H-1 Résolution par Factorisation de Householder On utilise la factorisation de [ A σ ]* selon [THE 86] : [A σ ]* = [Q] [ R] ( 3 m.3m ) ( 3 m.nf ) [ ]  R  avec [ R ] =   où  [ 0]  [R] (H-2) (rA .nf ) [ R] est une matrice triangulaire supérieure et [Q] une matrice orthogonale. Il faut de plus définir le vecteur {C} par : {C1}   où {C 2 } {C} = [Q]T {Bσ }* =  {C1} (H-3) (rA .1) Deux cas peuvent se présenter selon la valeur du rang rA de la matrice [ A σ ]* . Cas 1 : on a rA = nf 0 { }* est unique et se détermine avec la matrice triangulaire Dans cette situation, la solution d cal f [ R] par : 0 [ R] {d calf }* = {C1} (H-4) Cas 2 : on a rA < nf Il existe ici une infinité de solutions. La méthode suivante permet de déterminer celle de norme euclidienne minimale. Il faut construire la matrice orthogonale [ P] telle que : [ R] = [V][P] (H-5) 126 Méthodes de Moindres Carrés La matrice [V ] est calculée par transformations successives de Givens [LAW 92]. Pour cela, on considère la procédure suivante : [ V~ ] i ( 1≤ i ≤ rA ) 3m =( ∏ [G j = rA +1 j , rA +1−i ] )[ V~ ] (H-6) i −1 [ ] où tous les coefficients de la matrice de Givens G j , rA +1−i sont nuls sauf : ( [ G j, rA +1−i ] )k ( [ G j , rA +1−i ] ) j j k = 1 pour k ≠ j et k ≠ rA + 1 − i (H-7) [ = cosϑ (H-8) = sinϑ (H-9) = ( G j , rA +1−i ( [ G j , rA +1−i ] )rA +1−i j ]) rA +1−i rA +1−i [ = −( G j , rA +1−i ]) j rA +1− i avec l'angle ϑ défini par : ~ tgϑ ( Vi −1 [ ]) rA +1−i rA +1−i ~ = ( Vi −1 [ ]) (H-10) j rA +1− i En final, on obtient : [ V ]T ~ = VrA [ ] avec l'écriture [ V] = [[S] [0]] où [S] (H-11) (rA .rA ) { } La résolution s'effectue en considérant le vecteur U$ f tel que : { } { }  U$  U$ f =  1  où  {0}  (nf .1) {U$ 1} = [S]−1{C1} (H-12) (rA .1) 0 { }* est ensuite calculé selon : Le vecteur déplacement d cal f 0 {d calf }* = [P ]−1{U$ f } (H-13) H-2 Résolution par Inverses Généralisés + On considère la matrice inverse généralisée (ou pseudo-inverse) [ A σ ]* de [ A σ ]* . 0 { }* de (H-1) de plus petite norme Pour les systèmes inconsistants, on identifie la solution d cal f euclidienne par l'équation [CIA 82] : 0 {d calf }* = [A σ ]*+ {Bσ }* (H-14) 127 Annexe I Annexe I A propos des abeilles ... "Dirai-je encore un mot: ces cellules des abeilles, tant vantées, tant admirées, me fournissent: une preuve de plus contre l'enthousiasme et l'admiration; cette figure, toute géométrique et toute régulière qu'elle nous paraît, et qu'elle est en effet dans la spéculation, n'est ici qu'un résultat mécanique et assez imparfait qui se trouve souvent dans la nature, et que l'on remarque même dans les productions les plus brutes, les cristaux et plusieurs autres pierres, quelques sels, etc., prennent constamment cette figure dans leur formation. Qu'on observe les petites écailles de la peau d'une roussette, on verra qu'elles sont hexagones, parce que chaque écaille croissant en même temps se fait obstacle et tend à occuper le plus d'espace qu'il est possible dans un espace donné: on voit ces mêmes hexagones dans le second estomac des animaux ruminants, on les trouve dans les graines, dans leurs capsules, dans certaines fleurs, etc. Qu'on remplisse un vaisseau de pois, ou plutôt de quelque autre graine cylindrique, et qu'on le ferme exactement après y avoir versé autant d'eau que les intervalles qui restent entre ces graines peuvent en recevoir, qu'on fasse bouillir cette eau, tous ces cylindres deviendront de colonnes à six pans. On y voit clairement la raison, qui est purement mécanique; chaque graine, dont la figure est cylindrique, tend par son renflement à occuper le plus d'espace possible dans un espace donné, elles deviennent donc toutes nécessairement hexagones par la compression réciproque. Chaque abeille cherche à occuper de même le plus d'espace possible dans un espace donné, il est donc nécessaire aussi, puisque le corps des abeilles est cylindrique, que leurs cellules sont hexagone par la même raison des obstacles réciproques. On donne plus d'esprit aux mouches dont les ouvrages sont les plus réguliers; les abeilles sont, dit-on, plus ingénieuses que les guêpes, que les frelons, etc., qui savent aussi l'architecture, mais dont les construction sont plus grossières et plus irrégulières que celles des abeilles: on ne veut pas voir, ou l'on ne se doute pas, que cette régularité, plus ou moins grande, dépend uniquement du nombre et de la figure, et nullement de l'intelligence de ces petites bêtes; plus elles sont nombreuses, plus il y a des forces qui agissent également et s'opposent de même, plus il y a par conséquent de contrainte mécanique, de régularité forcée, et de perfection apparente dans leurs productions." G.L. Buffon, Histoire Naturelle, IV, p.99, Paris 1753. 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Nous mettons dans la première partie en évidence l'insuffisance d'une représentation discrète des toiles tendues (réseaux de câbles) et proposons la méthode de recherche de forme des Densités de Contraintes Surfaciques qui s'appuie sur une modélisation continue du domaine. Cet aspect est complété par une étude de la stabilité ainsi que des mécanismes des structures tendues. La deuxième partie est consacrée à l'investigation de formes minimales : réseaux de câbles de longueur minimale et surfaces d'aire minima. Deux méthodes sont présentées, une première fondée sur l'utilisation des méthodes de Densités et une seconde approche liée à la minimisation de fonctionnelles selon la méthode du Gradient Conjugué (problèmes d'optimisation). Nous proposons également un outil autorisant le calcul des caractéristiques géométriques des surfaces (valeurs des courbures moyennes et gaussiennes en tout point du milieu). La méthode de Composition des Contraintes dédiée à la détermination des formes de découpe du tissu est présentée en troisième partie. Elle permet de prendre en considération les paramètres de géométrie, état de prétension du domaine et rhéologie du matériau, tout en atténuant les erreurs inhérentes à toute découpe de laizes (minimisation selon des méthodes de moindres carrés). Mots-clés : Architecture textile - Structures tendues - Recherche de forme - Méthode des densités de contraintes surfaciques - Stabilité - Courbure des surfaces - Réseaux de longueur minimale - Surfaces d'aire minimale - Découpe de laizes - Méthode de composition des contraintes Date et lieu de soutenance : le 30 janvier 1998 à l'Université Montpellier II Jury : MM. O. MAISONNEUVE Président M. LEMAIRE Rapporteur K. LINKWITZ Rapporteur J.M. DELARUE Examinateur H. NOOSHIN Examinateur R. MOTRO Directeur de Thèse Thèse préparée au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil, Université Montpellier II cc. 034, place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5

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