‫نظریه گراف‬
‫مدرس‪ :‬امین هاشمی‬
‫دانشگاه لرستان‬
‫‪0‬‬
‫ رنگ آمیزی گراف‬:4 ‫فصل‬
1
Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi
Department of Computer Engineering, Lorestan University
‫مقدمه‬
‫• در نظریه گراف‪ ،‬رنگ آمیزی گراف یکی از حالت های خاص مسأله های برچسب گذاری در گراف است‪.‬‬
‫• رویکرد کلی آن استفاده از نظیر کردن رنگ هایی به یال ها یا رأس هاست که این رنگ آمیزی محدودیت خاصی را رعایت کند‪.‬‬
‫• در ساده ترین حالت‪ ،‬رنگ آمیزی مورد نظر است که در آن هیچ دو رأس مجاوری هم رنگ نباشند (رنگ آمیزی رأس ها)‪.‬‬
‫• رنگ آمیزی یال ها نیز به همین صورت تعریف می شود‪.‬‬
‫• رنگ آمیزی گراف کاربردهای زیادی در زمینه های عملی و تئوری گوناگون دارد‪ .‬عالوه بر مسأله های کالسیک تعریف شده در این‬
‫زمینه‪ ،‬با درنظر گرفتن محدودیت های مختلفی روی نوع گراف ها‪ ،‬روش رنگ آمیزی و حتی تعداد و رنگ عناصر گراف مسأله های‬
‫متنوعی با کابردهای وسیع در صنعت و علوم تعریف و حل می شود‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪2‬‬
‫مسئله رنگ آمیزی‬
‫• فرض کنید یک گراف ‪ G‬با ‪ n‬رأس داده شده است و از شما درخواست می شود که رئوس آن را طوری رنگ آمیزی کنید که هیچ دو‬
‫رأس مجاور در آن دارای رنگ مشابه نباشد‪ .‬حداقل تعداد رنگ های مورد نیاز چه خواهد بود؟‬
‫• این مسئله یک مسئله رنگ آمیزی را شکل می دهد‪.‬‬
‫• با رنگ آمیزی رئوس‪ ،‬شما می توانید آن ها را در مجموعه های متفاوت‪ ،‬مثال یک مجموعه شامل تمامی رئوس قرمز و مجموعه دیگر‬
‫شامل رئوس آبی و غیره گروه بندی کنید‪.‬‬
‫• رنگ آمیزی تمام رئوس یک گراف به طوری که هیچ دو رأس مجاور آن با یکدیگر همرنگ نباشند‪ ،‬رنگ آمیزی درست (یا به طور‬
‫ساده رنگ آمیزی) یک گراف نامیده می شود‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪3‬‬
‫مسئله رنگ آمیزی‬
‫• نمونه ای از رنگ آمیزی صحیح یک گراف‬
4
Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi
Department of Computer Engineering, Lorestan University
‫عدد رنگی‬
‫• ‪ -K‬رنگ آمیزی های (‪ )k-colorings‬گراف ‪ G‬عبارت است از رنگ آمیزی گراف ‪ G‬با ‪ k‬رنگ‪ .‬اگر گراف ‪ G‬را بتوان با ‪ k‬رنگ‪ ،‬رنگ‬
‫آمیزی کرد‪ ،‬آنگاه به گراف ‪ ،G‬یک گراف قابل رنگ آمیزی با ‪ k‬رنگ گفته می شود‪.‬‬
‫• به این گونه گراف ها‪ ،‬گراف های ‪-k‬رنگی یا ‪-k‬کروماتیک گفته می شود‪.‬‬
‫• عدد رنگی یک گراف ‪ G‬معموال با نماد 𝐺 𝜒 نمایش داده می شود‪.‬‬
‫• تعدادی از قوانین در این مورد را بیان می کنیم‪:‬‬
‫•‬
‫𝑉 ≤ 𝐺 𝜒 می باشد که در آن 𝑉 تعداد رئوس گراف ‪ G‬می باشد‪.‬‬
‫• به طور کلی 𝑛 = 𝑛𝐾 𝜒 می باشد که در آن 𝑛𝐾 گراف کامل با ‪ n‬رأس می باشد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪5‬‬
‫عدد رنگی‬
‫• ‪ -3‬اگر بعضی از زیرگراف های ‪ G‬نیازمند ‪ k‬رنگ باشند‪ ،‬آنگاه 𝑘 ≥ 𝐺 𝜒 می باشد‪.‬‬
‫• ‪ -4‬اگر 𝑑 = 𝑣 𝑔𝑒𝑑 باشد‪ ،‬آنگاه حداکثر ‪ d‬رنگ جهت رنگ آمیزی رئوس مجاور با ‪ v‬نیاز است‪.‬‬
‫• ‪ -5‬هر گراف ‪-k‬کروماتیک دارای حداقل ‪ k‬رأس مانند ‪ v‬می باشد به طوری که ‪ 𝑑𝑒𝑔 𝑣 ≥ 𝑘 − 1‬است‪.‬‬
‫• ‪ -6‬برای هر گراف ‪ ،G‬داریم 𝐺 ∆ ‪ 𝜒 𝐺 ≤ 1 +‬که در آن 𝐺 ∆ بزرگترین درجه ی هر رأس از گراف ‪ G‬می باشد‪.‬‬
‫• ‪ -7‬اگر 𝐺 𝛿 ‪ ،‬حداقل درجه ی هر رأس از گراف ‪ G‬باشد‪ ،‬آنگاه داریم‪− 𝛿 𝐺 :‬‬
‫𝑉‬
‫𝑉‬
‫≥ 𝐺 𝜒 که در آن 𝑉 تعداد رئوس گراف‬
‫‪ G‬می باشد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪6‬‬
‫چند جمله ای رنگی‬
‫• یک گراف مفروض ‪ G‬با ‪ n‬رأس می تواند به روش های مختلفی با استفاده از تعداد رنگ های به اندازه کافی زیاد به درستی رنگ‬
‫آمیزی شود‪ .‬این ویژگی از یک گراف به زیبایی توسط یک چند جمله ای بیان می شود‪ .‬این چند جمله ای‪ ،‬چندجمله ای رنگی گراف‬
‫‪ G‬نامیده می شود‪.‬‬
‫• مقدار چندجمله ای رنگی 𝜆 𝑣𝑃 از یک گراف با ‪ v‬رأس‪ ،‬تعداد روش هایی را که می توان گراف را با 𝜆 یا تعداد کمتری رنگ به‬
‫درستی رنگ آمیزی کرد‪ ،‬نشان می دهد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪7‬‬
‫چند جمله ای رنگی‬
‫• فرض کنید می خواهیم یک چندجمله ای رنگی برای گراف کامل زیر بدست آوریم‪.‬‬
‫• می خواهیم ببینیم که با داشتن 𝜆 رنگ‪ ،‬به چند طریق می توان گراف باال را رنگ آمیزی کرد‪ .‬در واقع چندجمله ای رنگی آن را‬
‫محاسبه کنیم‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪8‬‬
‫چند جمله ای رنگی‬
‫• حال اگر از رأس ‪ P‬شروع کنیم‪ ،‬همه رنگ را در اختیار داریم‪ .‬بنابراین تعداد انتخاب های ممکن‬
‫• برای رأس ‪ P‬برابر با 𝜆 است‪ .‬برای رأس ‪ Q‬این مقدار ‪ 𝜆 − 1‬است‪ .‬برای ‪ S‬برابر ‪ 𝜆 − 2‬است‪.‬‬
‫• این فرآیند به همین صورت ادامه می یابد و در نهایت آخرین رأس به تعداد ‪ 𝜆 − 𝑣 + 1‬رنگ می تواند انتخاب کند‪.‬‬
‫• با استفاده از اصل ضرب‪ ،‬در یک گراف کامل 𝑣𝐾 ‪ λ 𝜆 − 1 𝜆 − 2 𝜆 − 3 … 𝜆 − 𝑣 + 1 ،‬روش برای رنگ آمیزی گراف‬
‫با 𝜆 رنگ وجود دارد‪ .‬پس داریم‪:‬‬
‫‪𝑃𝑣 𝜆 = λ 𝜆 − 1 𝜆 − 2 𝜆 − 3 … 𝜆 − 𝑣 + 1‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪9‬‬
‫چند جمله ای رنگی‬
‫• مثال ‪ )1‬چندجمله ای رنگی و عدد رنگی گراف نشان داده شده در شکل زیر را بیابید‪.‬‬
‫• با توجه به این که گراف داده شده یک گراف کامل با ‪ 3‬رأس است پس چند جمله ای رنگی برابر است با‪:‬‬
‫𝜆‪𝑃3 𝜆 = λ 𝜆 − 1 𝜆 − 2 = 𝜆3 + 3𝜆2 + 2‬‬
‫•‬
‫حال که چند جمله ای رنگی را بدست آوردیم‪ ،‬به دنبال عدد رنگی می رویم‪ .‬عدد رنگی برابر با کمترین مقدار 𝜆 در چند جمله ای‬
‫رنگی است به طوری که مقدار چندجمله ای رنگی را بزرگتر از صفر کند‪ .‬بنابراین عدد رنگی یا عدد کروماتیک گراف باال برابر ‪3‬‬
‫است‪ .‬پس گراف داده شده یک گراف ‪ -3‬کروماتیک است‪.‬‬
‫‪𝜒 𝐺 =3‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪10‬‬
‫چند جمله ای رنگی‬
‫• مثال ‪ )1‬چندجمله ای رنگی و عدد رنگی گراف نشان داده شده در شکل زیر را بیابید‪.‬‬
‫• از رأس ‪ v1‬شروع می کنیم که می تواند 𝜆 رنگ بگیرد‪.‬‬
‫• رأس ‪ v3‬و ‪ v4‬هر کدام ‪ 𝜆 − 1‬رنگ می گیرند‪.‬‬
‫• رئوس ‪ v2‬و ‪ v5‬نیز هر کدام ‪ 𝜆 − 2‬رنگ می گیرند‪ .‬پس داریم‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝜆−2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑃5 𝜆 = λ 𝜆 − 1‬‬
‫• در رابطه باال ‪ 3‬اولین عددی است که موجب مثبت شدن معادله می شود‪ .‬پس گراف یک ‪-3‬کروماتیک است‪.‬‬
‫‪𝜒 𝐺 =3‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪11‬‬
‫حذف یال ( ‪)Edge Deletion‬‬
‫• اگر یک گراف مانند ‪ G‬داشته باشیم و ‪ e‬یک یال از این گراف باشد‪ ،‬آنگاه گراف ‪ G-e‬برابر است با همه گراف ‪ G‬به غیر از یال ‪.e‬‬
‫• به عنوان مثال در شکل زیر‪ ،‬اگر قسمت ‪ a‬نشان دهنده گراف ‪ G‬باشد‪ ،‬آنگاه قسمت دوم گراف ‪ 𝐺 − 1,3‬را نشان می دهد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪12‬‬
‫اختصار یا انقباض یال ( ‪)Edge Contraction‬‬
‫• اگر یک گراف مانند ‪ G‬داشته باشیم و ‪ e‬یک یال از این گراف باشد که به رئوس ‪ x‬و ‪ y‬متصل است‪𝑒: 𝑥,𝑦 :‬‬
‫• آنگاه ما یک گراف ‪ G/e‬معرفی می کنیم که به صورت زیر تعریف می شود‪.‬‬
‫• همه رئوس گراف به غیر از ‪ x‬و ‪ y‬را قرار می دهیم‪.‬‬
‫• رئوس ‪ x‬و ‪ y‬را به یک رأس ‪ z‬تبدیل می کنیم‪.‬‬
‫• همه یال ها به غیر از آنهایی که به ‪ x‬و ‪ y‬متصل هستند را به همان صورت قرار می دهیم‪.‬‬
‫• اگر یالی بین یک رأس و رأس ‪ x‬یا ‪ y‬وجود داشته باشد‪ ،‬آنگاه یک یال بین آن رأس و رأس ‪ z‬رسم می کنیم‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪13‬‬
‫اختصار یا انقباض یال ( ‪)Edge Contraction‬‬
‫• در شکل زیر عمل اختصار بر روی یال ‪ 1,4‬انجام شده است‪.‬‬
‫• از دو تعریف گفته شده می توان برای محاسبه چندجمله ای رنگی یک گراف استفاده کرد‪ .‬که به نام قضیه تجزیه معروف است‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪14‬‬
‫قضیه تجزیه‬
‫• اگر ‪ G‬یک گراف ساده و ‪ e‬یالی از آن باشد‪ ،‬آنگاه رابطه زیر برقرار است‪:‬‬
‫• به این معنی که چند جمله ای رنگی گراف ‪ G‬را می توان از تفریق بین چند جمله رنگی گراف ‪ G-e‬و ‪ G/e‬بدست آورد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪15‬‬
‫قضیه تجزیه‬
.‫ از یال برای کاهش استفاده کنید‬.‫ چندجمله ای رنگی را با استفاده از قضیه تجزیه محاسبه کنید‬،‫• مثال) در گراف زیر‬
16
Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi
Department of Computer Engineering, Lorestan University
‫قضیه تجزیه‬
‫• مثال) در گراف زیر‪ ،‬چندجمله ای رنگی را با استفاده از قضیه تجزیه محاسبه کنید‪ .‬از یال برای کاهش استفاده کنید‪.‬‬
‫• ابتدا گراف های ‪ G-e‬و ‪ G/e‬را بدست می آوریم‪.‬‬
‫‪G/e‬‬
‫‪G-e‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪17‬‬
‫قضیه تجزیه‬
‫• مثال) در گراف زیر‪ ،‬چندجمله ای رنگی را با استفاده از قضیه تجزیه محاسبه کنید‪ .‬از یال برای کاهش استفاده کنید‪.‬‬
‫• در نهایت خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪G/e‬‬
‫‪G-e‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪18‬‬
‫چندجمله ای رنگی در گراف های حلقه‬
.‫• چند جمله ای رنگی در گراف های حلقه را می توان بر اساس رابطه زیر محاسبه کرد‬
19
Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi
Department of Computer Engineering, Lorestan University
‫قضیه تجزیه‬
‫• مثال) در گراف زیر‪ ،‬چندجمله ای رنگی را با استفاده از قضیه تجزیه محاسبه کنید‪ .‬از یال برای کاهش استفاده کنید‪.‬‬
‫• در نهایت خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪20‬‬
‫قضیه‬
‫• برای هر گراف ‪ ،G‬جمله ثابت در چندجمله ای رنگی برابر با صفر است‪.‬‬
‫• اثبات‪ :‬برای هر گراف عدد رنگی بزرگتر از صفر است‪ .‬زیرا تعداد رئوس تهی نیستند‪.‬‬
‫• بنابراین اگر داشته باشیم که در جمله ثابت ‪ a‬باشد‪ ،‬آنگاه ‪ 𝑃 𝐺,0 = 𝑎 ≠ 0‬می باشد‪.‬‬
‫• این رابطه بیان می دارد که روش هایی برای رنگ آمیزی درست گراف ‪ G‬با صفر رنگ وجود دارد که یک تناقض است‪.‬‬
‫• به عنوان مثال چند جمله ای ‪ 𝜆3 + 5𝜆2 − 𝜆 + 5 = 0‬یک چند جمله ای رنگی نیست چرا که جمله ثابت آن برابر با ‪ 5‬است‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪21‬‬
‫مسئله زمان بندی امتحانات پایانی‬
‫• چگونه امتحانات پایانی در یک دانشگاه می توانند به گونه ای زمانبندی شوند به طوری که هیچ دانشجویی‪ ،‬در یک روز دو امتحان‬
‫نداشته باشد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪22‬‬
‫مسئله زمان بندی امتحانات پایانی‬
‫• چگونه امتحانات پایانی در یک دانشگاه می توانند به گونه ای زمانبندی شوند به طوری که هیچ دانشجویی‪ ،‬در یک روز دو امتحان‬
‫نداشته باشد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪23‬‬
‫قضایا‬
‫• ‪ -1‬یک گراف ‪-2 ،G‬کروماتیک است اگر و تنها اگر دوبخشی باشد‪.‬‬
‫• ‪ -2‬قضیه کونیگز‪ :‬یک گراف با حداقل یک یال ‪-2‬کروماتیک است اگر و تنها اگر هیچ دوری به طول فرد نداشته باشد‪.‬‬
‫• ‪ -3‬یک گراف ‪ n‬رأسی‪ ،‬یک درخت است اگر و تنها اگر چندجمله ای رنگی آن به صورت‬
‫‪𝑛−1‬‬
‫‪ 𝜆 𝜆 − 1‬باشد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪24‬‬
‫قصیه تطابق‬
‫• در یک گراف بدون جهت‪ ،‬تطابق برابر با مجموعه ای از یال ها است به طوری که هیچ دو یالی رأس مشترک نداشته باشند‪.‬‬
‫•‬
‫به عبارت دیگر تطابق یک گراف برابر یک زیرگراف است که هر گره از آن دارای صفر یا یک یال است‪.‬‬
‫• هر رأس منطبق یا اشباع شده نامیده می شود اگر یال متصل به آن در مجموعه تطابق گراف وجود داشته باشد‪.‬‬
‫• در گراف کامل زیر چند تطابق را می بینیم‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪25‬‬
‫تطابق کامل‬
.‫ هستند‬G ‫ دو تطابق کامل از گراف‬M2 ‫ و‬M1 ‫ در شکل زیر‬.‫• تطابق کامل حالتی است که هر رأس دقیقا به یک یال متصل باشد‬
26
Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi
Department of Computer Engineering, Lorestan University
‫تطابق بیشینه‬
‫• تطابق بیشینه تطابقی با حداکثر تعداد یال های ممکن است‪ .‬به این معنا که در صورت اضافه کردن یک یال دیگر به آن تطابق از‬
‫دست می رود‪.‬‬
‫• هر تطابق کامل یک تطابق بیشینه است‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪27‬‬
‫تطابق در گراف های دوبخشی‬
‫• تطابق در گراف های دوبخشی به این صورت است که هیچ دو یالی دارای رأس مشترک در ‪ X‬یا ‪ Y‬نباشد‪ .‬در صورتی که ‪ X‬و ‪ Y‬دو‬
‫مجموعه رئوس گراف دوبخشی هستند‪.‬‬
‫• تطابق کامل در گراف دو بخشی‪ :‬تطابق کامل در حالتی رخ می دهد که همه رئوس ‪ X‬دارای دقیقا یک یال باشند‪ .‬یعنی رئوس سمت‬
‫چپ همگی به آنها یال متصل باشد ولی اگر به برخی رئوس سمت راست هیچ یالی متصل نبود‪ ،‬مشکلی ایجاد نمی شود‪.‬‬
‫• اگر تعداد رئوس سمت چپ بزرگتر از تعداد رئوس سمت راست باشد‪ ،‬تطابق کامل وجود ندارد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪28‬‬
‫مثال‬
‫• گراف زیر را در نظر بگیرید‪:‬‬
‫• یال ‪ bc‬یک تطبیق است‪ .‬که رئوس ‪ b‬و ‪ c‬در آن اشباع شده هستند‪.‬‬
‫• مجموعه }‪ {bc,bd‬یک تطبیق نمی باشد زیرا رأس ‪ b‬متعلق به دو یال است‪.‬‬
‫• مجموعه }‪ {ab,cd‬یک تطابق کامل است چون هر رأس دقیقا به یک یال متصل است‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪29‬‬
‫مثال‬
‫• گراف زیر را در نظر بگیرید‪:‬‬
‫• مجموعه ‪ 𝑢1 𝑣2 ,𝑢2 𝑣4 ,𝑢3 𝑣1‬یک تطابق غیرکامل می باشد‪.‬‬
‫• در گراف زیر نمی توان یک تطابق کامل داشت چون که تعداد رئوس در دو بخش گراف با هم برابر نیست و یکی از رئوس بدون یال‬
‫باقی می ماند‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪30‬‬
‫قضیه هال‬
‫• فرض کنید )‪ G=(V,E‬یک گراف دوبخشی بوده که مجموعه رئوس آن یعنی ‪ V‬به صورت 𝑌 ∪ 𝑋 افراز شده است‪ .‬یک تطبیق کامل از‬
‫‪ X‬به ‪ Y‬موجود است اگر و تنها اگر برای هر زیرمجموعه از ‪ X‬داشته باشیم ‪:‬‬
‫𝐴 𝑅 ≤ 𝐴 که در آن 𝐴 ‪ R‬برابر است‬
‫زیرمجموعه ای از ‪ Y‬که متشکل از رئوسی است که هر یک با حداقل یک رأس در ‪ A‬مجاور می باشند‪ .‬به عنوان مثال در شکل زیر‬
‫داریم‪:‬‬
‫•‬
‫‪ 𝐴 = 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3‬و } ‪𝑅 𝐴 = {𝑦1 ,𝑦3‬‬
‫• در این حالت ‪= 2‬‬
‫𝐴 𝑅 و ‪ 𝐴 = 3‬است که با قضیه هال 𝐴 𝑅 ≤ 𝐴 در تناقض است‪.‬‬
‫• پس نتیجه می گیریم که تطابق کاملی بین رئوس این گراف وجود ندارد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫• برای این که تطابق کامل وجود داشته باشد باید رابطه باال برای هر زیرمجموعه از ‪ X‬صدق کند‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫قضیه‬
‫• فرض کنید )‪ G=(V,E‬یک گراف دوبخشی بوده که مجموعه رئوس آن یعنی ‪ V‬به صورت 𝑌 ∪ 𝑋 افراز شده است‪ .‬اگر یک عدد‬
‫صحیح و مثبت ‪ m‬وجود داشته باشد که در شرط ‪ 𝑑𝑒𝑔𝐺 𝑣1 ≥ 𝑚 ≥ 𝑑𝑒𝑔𝐺 𝑣2‬به ازای تمامی رئوس ‪ 𝑣1 ∈ 𝑉1‬و ‪𝑣2 ∈ 𝑉2‬‬
‫صدق کند‪ ،‬آنگاه یک تطبیق کامل از ‪ 𝑉1‬به ‪ 𝑉2‬وجود دارد‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪32‬‬
‫پوشش ها‬
‫• یک رأس و یال یکدیگر را می پوشانند اگر آنها با هم مجاور باشند‪:‬‬
‫• پوشش رأسی‪ :‬پوشش رأسی یک گراف شامل زیرمجموعه ای از رئوس است که همه یال های گراف را می پوشانند‪ .‬یعنی همه یال‬
‫های گراف به آن متصل هستند‪.‬‬
‫• در گراف روبرو مجموعه های پوشش رأسی نشان داده شده اند‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪33‬‬
‫پوشش ها‬
‫• پوشش رأسی مینیمال‪ :‬مجموعه ای از رئوس پوششی است که نتوان هیچ عضوی را از آن حذف کرد‪.‬‬
‫• در گراف زیر‪K1 ،‬مینیمال هستند ولی ‪ K3 ,K2‬مینیمال نیست‪ .‬چون می توان رأس ‪ d‬و ‪ a‬را از آن حذف کرد و همچنان یک مجموعه‬
‫پوشش رأسی داشته باشیم‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪34‬‬
‫پوشش ها‬
‫• پوشش رأسی مینیمم‪ :‬مجموعه ای از رئوس پوششی است که کمترین عضو ممکن را از میان تمام مجموعه های پوشش رأس داشته‬
‫باشد‪.‬‬
‫• در گراف زیر‪ K1 ،‬مینیمم است ولی ‪ K2,K3‬مینیمم نیستند‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪35‬‬
‫پوشش ها‬
‫• یک رأس و یال یکدیگر را می پوشانند اگر آنها با هم مجاور باشند‪:‬‬
‫• پوشش یال‪ :‬پوشش یال یک گراف شامل زیرمجموعه ای از یال ها است که همه رئوس گراف را می پوشانند‪ .‬یعنی یال هایی که همه‬
‫رئوس گراف به آن ها متصل هستند‪.‬‬
‫• در گراف روبرو مجموعه های پوشش یال نشان داده شده اند‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪36‬‬
‫پوشش ها‬
‫• پوشش یال مینیمم‪ :‬پوشش یال یک گراف شامل زیرمجموعه ای از یال ها است که همه رئوس گراف را می پوشانند به صورتی که‬
‫تعداد اعضای زیرمجموعه حداقل باشد‪.‬‬
‫• در گراف روبرو مجموعه های پوشش یال نشان داده شده اند‪.‬‬
‫• زیرمجموعه های ‪ M1‬و ‪ M2‬مینیمم هستند‪.‬‬
‫‪Introduction to Algorithms: Presented by Amin Hashemi‬‬
‫‪Department of Computer Engineering, Lorestan University‬‬
‫‪37‬‬
‫پایان فصل ‪4‬‬
‫سالم و شاد باشید‬
‫امین هاشمی‬
‫‪38‬‬