Tích phân xác định
Bài toán tính quãng đường đi được biết vận tốc tức thời:
Một vận động viên chạy marathon. Huấn luyện viên của anh
ấy chạy xe đạp phía sau và nhìn đồng hồ tốc độ của mình cứ
15 phút một lần. Anh ấy khởi đầu khá tốt, nhưng sau đó kiệt
sức và dừng lại sau một tiếng rưỡi (Giả sử tốc độ của anh ấy
không tăng). Dữ liệu từ đồng hồ tốc độ của huấn luyện viên
như sau:
Thời gian (phút)
0
15
30
45
Vận tốc (km/h)
20
18,4
16,7
16,7 10,8
60
75
90
8,4
0
a. Ước tính quãng đường anh ấy đã chạy trong nửa giờ đầu.
b. Ước tính toàn bộ quãng đường mà anh ấy đã chạy.
Tốc độ của vận động viên giảm nên trong 15 phút đầu, anh
ấy sẽ chạy được quãng đường ít hơn: 20(km/h).0,25(h)=5(km)
Và nhiều hơn: 18,4(km/h).0,25(h)=4.6(km)
Tích phân xác định
Bài toán tính quãng đường đi được biết vận tốc tức thời:
Thời gian (phút)
0
15
30
45
Vận tốc (km/h)
20
18,4
16,7
16,7 10,8
60
75
90
8,4
0
Trong 15 phút kế tiếp, anh ấy sẽ chạy được quãng đường ít
hơn: 18,4.0,25=4.6(km) và nhiều hơn: 16,7.0,25=4.175(km)
Suy ra, trong 30 phút đầu tiên, quãng đường s sẽ được tính:
smin = 4.175 + 4.6  s  smax = 4.6 + 5
Ta ước tính quãng đường s bằng cách lấy trung bình cộng:
1
s  ( smax + smin ) = 9.1875(km)
2
Tương tự, ước tính cả quãng đường:
1 91 + 71
s
= 20.25(km)
2 4
Tích phân xác định
Bài toán tính quãng đường đi được biết vận tốc tức thời:
Thời gian (phút)
0
15
30
45
Vận tốc (km/h)
20
18.4
16.7
16.7 10.8
Vẽ biểu đồ cho bảng trên
Smax là tổng diện tích các
h.c.n màu đỏ
60
75
90
8.4
0
km/h
Smin là tổng diện tích các
h.c.n màu xanh
Nối đường màu xanh lá, ta
có đường xấp xỉ với đường
cong biểu diễn vận tốc tức
thời của vận động viên
h
0.5
1
1.5
Tích phân xác định
Bài toán tính diện tích hình thang cong:
Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Miền D giới hạn
bởi đừơng cong y=f(x) và 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0
được gọi là hình thang cong
Yêu cầu: tính diện
tích hình thang
Chia
đoạn
[a,b]
thành n-phần tùy ý
bởi các điểm
y=f(x)
a = x0  x1  ...  xn = b
Ta tính diện tích từng
hình thang cong nhỏ rồi
cộng lại để được diện
tích hình thang cong lớn
S1 S2 S3
a x1 x2 x3
Sn-1 Sn
xn-1 b
Tích phân xác định
Ta tính gần đúng diện
tích hình thang cong
thứ i bằng cách lấy 1
điểm tùy ý xi*   xi −1, xi 
Vẽ hình chữ nhật cạnh
f ( xi *), xi = xi − xi −1
Lúc đó, diện tích hình thang cong nhỏ xấp xỉ với diện tích
hình chữ nhật tức là xấp xỉ với f ( xi *).xi
Với n- điểm chia ta có n-hình thang cong nhỏ với diện tích
được tính xấp xỉ như trên nên diện tích hình thang cong D
được tính xấp xỉ với:
n
Sn =  f ( xi *).xi , xi = xi − xi −1
i =1
Tích phân xác định
Rõ ràng, công thức xấp xỉ trên càng chính xác nếu số các hình
thang cong nhỏ càng nhiều. 4 hình vẽ dưới đây được vẽ khi ta
lấy xi* là điểm bên phải (xi* trùng với xi).
Tích phân xác định
Ta cho
max xi → 0 (khi n → , xi → 0, i = 1, n)
Nếu Sn tiến đến một giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc
cách chia [a,b] và cách lấy điểm xi* thì giới hạn đó được gọi là
diện tích của hình thang cong D
S ( D) =
n
lim
*
f
(
x
 i ).xi
max xi →0 i =1
Nếu ta tính xấp xỉ diện tích hình thang cong, ta quay trở lại bài
toán tính quãng đường biết vận tốc tức thời.
Như vậy, ta đang làm bài toán ngược với bài toán tìm vận tốc
tức thời ở chương 3.
Trong trường hợp tổng quát, để tính xấp xỉ diện tích hình
thang cong, ta có thể không cần tính 2 tổng mà chỉ cần chọn
xi* là trung điểm của [xi-1,xi] và chia đoạn [a,b] thành n phần
bằng nhau rồi tính tổng là đủ.
Tích phân xác định
Định nghĩa tích phân xác định: Cho hàm f(x) xác định trên [a,b]
Chia [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểm chia (ta gọi là một
phân hoạch của đoạn [a,b]):
a = x0  x1  ...  xn = b
*
Lấy điểm bất kỳ xi   xi −1, xi  , lập tổng tích phân
n −1
Sn =  f ( xi* ).xi , xi = xi − xi −1 (Tổng tích phân Riemann)
k =0
Ta cho max xi* → 0 , nếu Sn tiến đến một giới hạn hữu hạn mà
không phụ thuộc cách chia [a,b] và cách lấy điểm x*i thì giới
hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a,b]
và kí hiệu là:
b
 f ( x)dx
a
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b]
Tích phân xác định
n −1
Sn =  f ( xi* ).xi , xi = xi − xi −1
k =0
(Tổng tích phân Riemann)
Đặc biệt: Điểm xi* không lấy tùy ý mà lấy đặc biệt
xi = xi −1 : Tổng Sn sẽ gọi là tổng tp Riemann trái
xi = xi : Tổng S sẽ gọi là tổng tp Riemann phải
n
1

xi = xi = ( xi −1 + xi )
2
: tổng Sn sẽ gọi là tổng tp Riemann trung
Từ định nghĩa, ta có Ứng dụng hình học đầu tiên của tpxđ:
b
 f ( x)dx = S ( D ) , f ( x )  0x   a, b 
a
Tích phân xác định
Nhắc lại: Nếu chỉ cần tính xấp xỉ diện tích miền D hoặc xấp xỉ
tích phân, ta sẽ chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau và
chọn x*i là trung điểm của đoạn [xi-1,xi]. Khi đó:
b
n
a
i =1
( )
S ( D) =  f ( x ) dx   f xi xi
Ví dụ: Chiều rộng (tính bằng mét)
của một bể bơi được đo tại các điểm
cách nhau 2 mét như được chỉ ra
trong hình. Sử dụng công thức trên
để tính xấp xỉ diện tích mặt cắt bể.
Tích phân xác định
Ví dụ: Một chất điểm chuyển động dọc
theo 1 đường thẳng có vận tốc được
mô tả theo đồ thị hình bên. Dùng tổng
tích phân ước tính quãng đường chất
điểm đi được trong 8 phút đầu tiên (viết
rõ phân hoạch và cách chọn điểm để
tính vận tốc trên từng đoạn chia)
Tính tổng Riemann phải tại các điểm x1=i, i=1,..,8.
Ví dụ: Tính diện tích quận 3, TPHCM bằng cách sử dụng
phân hoạch đều như ví dụ trước.
Làm theo từng bước như trong file Hướng dẫn tính diện tích
1 khu vực cụ thể từ Google Maps, tỉ lệ 1km=1 đơn vị
Tích phân xác định
Điều kiện khả tích: (Điều kiện tồn tại tp xác định)
Định lý 1: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm f(x) có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì
khả tích trên [a,b]
Tính chất của tích phân xác định
b
b
1/  cdx = c ( b − a )
b
a
a
b
a
a
3 /  ( f ( x) + g ( x) ) dx =  f ( x)dx +  g ( x )dx
a
a
b
b
2 /  cf ( x ) dx = c  f ( x ) dx
Tích phân xác định
b
a
a
b
4 /  f ( x)dx = −  f ( x)dx
b
b
a
a
b
c
b
a
a
c
5 /  f ( x)dx   g ( x)dx, f ( x)  g ( x)x  [a, b]
6 /  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx
f(x) khả tích trên [a,c], [c,b], [a,b]
b
b
a
a
7 /  f ( x)dx   f ( x) dx
0, f ( x) là hàm lẻ
a

8 /  f ( x)dx =  a
−a
2  f ( x)dx, f ( x) là hàm
 0
chẵn
Tích phân xác định
a +T
T
a
0
9 /  f ( x)dx =  f ( x)dx,
f ( x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T
b
10 / m(b − a)   f ( x)dx  M (b − a )
a
M, m là GLNN, GTNN của
f(x) trên [a,b]
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b],
tồn tại điểm x* trong [a,b] sao cho
b
1 b
 f ( x)dx = (b − a) f ( x*)  f ( x *) =
 f ( x)dx
b−aa
a
Ta gọi f(x*) là giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a,b]
Tích phân xác định
Định lý cơ bản của giải tích: Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b].
 g ( x ) lt /  a, b  , kv / ( a, b ) ,
1.g ( x ) =  f ( t ) dt , x   a, b   
 g  ( x ) = f ( x )
a
x
b
2.F  ( x ) = f ( x )   f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
a
b
Ta viết lại đẳng thức 2. như sau:  F  ( x ) dx = F ( b ) − F ( a )
a
Nhắc lại rằng F’(x) là tốc độ biến thiên của y=F(x) và F(b)-F(a)
là độ biến thiên của y khi x biến thiên từ a đến b. Vậy công
thức trên có nghĩa là:
a/ Tích phân từ a đến b của tốc độ biến thiên là độ biến thiên
của hàm tương ứng với độ biến thiên của biến từ a đến b.
b/ Tích phân xác định của hàm f bằng hiệu nguyên hàm của f
tại 2 cận tích phân (CÔNG THỨC NEWTON-LEBNITZ)
Tích phân xác định
VD 1: Nếu V(t) là khối lượng nước (m3) trong hồ tại thời điểm t
(phút), thì V (t0 ) là lưu lượng nước chảy vào hồ tại thời điểm
t0, đvt là m3/phút, . Vậy khối lượng nước chảy vào hồ từ thời
điểm t1 đến thời điểm t2 là: t2
 V (t )dt = V ( t2 ) − V ( t1 )
t1
VD 2: Dân số của Mỹ được dự đoán là P(t)=309e0.0087t triệu
người, trong đó t là số năm kể từ năm 2010. Dự đoán số dân
trung bình trong khoảng từ năm 2020 đến năm 2030.
P ( 20 ) − P (10 )
1 20

 P ( t ) dt =
10 10
10
Tích phân xác định
VD 3: Nếu chi phí cận biên là C’(n), thì chi phí để có (b-a) sản
b
phẩm từ sản phẩm thứ (a+1) đến b sản phẩm là:  C (n)dn
a
Chi phí để có 0 đơn vị sản phẩm C(0) gọi là chi phí cố định
b
Chi phí lưu động để có b sản phẩm là:  C (n)dn
0
Tổng chi phí để có 500 đơn vị sản phẩm là:
500
2000 +  C ( x)dx
0
Tích phân xác định
Doanh thu trung bình trong 6 tháng là:
16
Stb =  S (t )dt = 250
60
Tồn tại thời điểm t0 sao cho S(t0)=Stb
S ( t0 ) = 250  t0 = 5  2.236
Tích phân xác định
Nhắc lại: Từ định lý cơ bản của giải tích, ta có công thức
(thường được gọi là CT Newton – Leibnitz)
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm
của f(x) thì ta có
b
 f ( x )dx = F (b) − F ( a )
a
2ln 2 dx
Ví dụ: Tính tích phân I 2 =  x
ln 2 e − 1
e x dx
1  x
=  
−  de
I2 = 
x
x
x x
e
−
1
e

ln 2 
ln 2 e (e − 1)
2ln 2
1
3
x ln 4
= ln(e − 1)
− ln(e )
= ln 3 − ln 4 + ln 2 = ln
ln 2
ln 2
2
x
ln 4
2ln 2 
Tích phân xác định
Ví dụ:
Tích phân xác định (Tự đọc)
Ví dụ : Một vật di chuyển dọc theo 1 đường thẳng với vận tốc
là
v (t ) = t 2 − t − 6 ( m / s )
a. Tìm sự thay đổi vị trí của vật trong thời gian: 1  t  4
b. Tìm khoảng cách vật đi được trong thời gian trên
Giải:
4
4
1
1
(1
)
a. Ta tính s(4) − s(1) =  s(t )dt =  v (t )dt
4
=  t 2 − t − 6 dt = −
Tức là vật chuyển dịch 4,5 m về bên trái
9
(m)
2
Tích phân xác định (Tự đọc)
b. Quãng đường vật đi được là
4
 | v (t ) | dt
1
4
=  | t 2 − t − 6 | dt
1
(1
3
)
(3
4
)
=  −t + t + 6 dt +  t 2 − t − 6 dt
2
61
=
(m)
6
Tích phân xác định (Tự đọc)
Phương pháp đổi biến
Nếu
Thì
 f ( x) liên tục trên [a,b]

 (t ) khả vi, liên tục trên [t1,t2]
 [t , t ]  [a, b],  (t ) = a, (t ) = b
1
2
 ( 1 2 )
b
t2
a
t1
 f ( x)dx =  f ( (t )) (t )dt
Tích phân xác định (Tự đọc)
6
dx
1 1 + 3x − 2
2t
x = 1, t = 1
3x − 2 = t  dx = dt ,
3
x = 6, t = 4
Ví dụ: Tính I3 = 
Đặt
4 2tdt 1
I3 = 
1 3 1+ t
2 4
1 
=  1 −
 dt
3 1 t +1
2
4
= ( t − ln t + 1 )
1
3
2
5
=  3 − ln 
3
2
Tích phân xác định (Tự đọc)
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì
b
b
b
 u ( x)v( x)dx = u ( x)v( x) a −  u( x)v( x)dx
a
a
1 arcsin xdx
Ví dụ: Tính I 4 = 
0
1
1+ x
1
1
I 4 = 2  arcsin xd ( 1 + x ) = 2 arcsin x 1 + x − 2  1 + x d (arcsin x)
0
=

2
0
1
1+ x
0
1
dx = 2 + 4 1 − x = 2 − 4
0
2
0 1 − x2
2
. 2 − 2
Tích phân xác định
Lưu ý 2: Các tích phân không áp dụng được công thức
Newton – Leibnitz
e dx

−e x
e
= ln | x | −e = 0
Cách tính này sai vì hàm dưới dấu tp không liên tục trên
đoạn [-e,e]
Để tính đúng tp trên, ta phải chia tp ra làm 2 với điểm chia là
điểm gián đọan của hàm: x=0
e dx

0 dx
= 
e dx
+
−e x
−e x 0 x
Hai tp thành phần ta gọi là tp của hàm không bị chặn hay là
tp suy rộng lọai 2
ƯD của tích phân – Diện tích phần nằm giữa 2 đường cong
b
S ( A) =  ( f ( x) − g ( x) ) dx
a
Ví dụ: Các đường cong trong hình
bên thể hiện tốc độ sinh sản và tốc độ
tử vong (triệu người/năm) ở một đất
nước trong khoảng thời gian 50 năm.
Phần nằm giữa 2 đường cong là số
dân tăng lên trong 50 năm từ năm
1960 đến năm 2010 của đất nước đó
ƯD của tích phân – Diện tích phần nằm giữa 2 đường cong
Ví dụ: Các đường cong trong hình
bên thể hiện vận tốc của 2 xe cùng
xuất phát và cùng chạy trên 1 con
đường.
Phần nằm giữa 2 đường cong là
khoảng cách giữa 2 xe khi chạy trong
khoảng thời gian từ khi cùng xuất phát
đến thời gian T.
x2 y 2
+ 2 1
Ví dụ: Tính diện tích hình ellipse
2
a
b
Ta tính diện tích phần
nằm giữa 2 đường cong
x2
S =  2b 1 − 2 dx =  ab
a
−a
a
x2
y = b 1 − 2
a
ƯD của tích phân – Diện tích phần nằm giữa 2 đường cong
Ví dụ:
Ví dụ:
ƯD của tích phân – Diện tích phần nằm giữa 2 đường cong
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y=x và y=5x-x2
Ta tìm giao điểm 2
đường cong để có cận
tích phân
x = 5x − x 2  x 2 − 4 x = 0
 x = 0, x = 4
Vậy
4
(
)
S ( D) =  (5 x − x 2 ) − x dx = 32
3
0
ƯD của tích phân – Diện tích phần nằm giữa 2 đường cong
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x2+y2=8, 2x=y2, x>0
Giao điểm
y2 = 2 x = 8 − x2
 x = 2, x = −4
Ta loại nghiệm x=-4 vì x>0
Từ hình vẽ suy ra
2
8
S ( D ) = 2  2 xdx + 2  8 − x 2 dx
0
2
Hoặc tính theo y
2
2
y
4
2
S ( D) =   8 − y −
 dy = 2 +

2 
3
−2 
ƯD của tích phân – Diện tích phần nằm giữa 2 đường cong
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x2+y2 = 2x, y = x, y = 0
Giao điểm của đường thẳng y=x và đường tròn:
x = 0
x + x = 2x  
x = 1
2
2
Có 3 cách tính:
1
2
0
1
S ( D ) =  xdx +  2 x − x 2 dx
1
(
)
S ( D ) =   1 + 1 − y 2 − y  dy


0
S ( D ) = Stamgiac + S 1
4
hinhtron
ƯD của tích phân – Diện tích phần nằm giữa 2 đường cong
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi
y = sin x, y = 0, −  x  

S ( D ) =  sin x dx
−
0

−
0
=  − sin xdx +  sin xdx
0

= cos x − − cos x 0
=4
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Vật thể V tạo bởi hình thang cong D : a  x  b,0  y  f ( x )
quay quanh trục Ox
Chia V thành n phần bởi các mặt
phẳng x=xk: a=x0<x1<…<xn=b.
f xk
Trong mỗi đoạn [xk,xk+1] lấy điểm tùy
Mk
ý M k xk , xấp xỉ thể tích phần nằm
giữa 2 mặt phẳng x=xk và x=xk+1
bằng hình trụ với đường cao
Δxk=xi+1-xi và đáy là thiết diện tạo bởi mp x = xk với khối V
(hình tròn bán kính f xk ).
( )
( )
( )
( )
( )
S(Mk) là diện tích hình tròn bán kính f xk : S ( M k ) =  . f 2 xk
Suy ra, thể tích hình trụ nhỏ là
( )
Vk = S ( M k ) .xk =  . f 2 xk .xk
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Khi đó, tương tự như cách tính diện tích hình thang cong, ta có
thể tích V được tính bằng cách tính giới hạn tổng
Vx =
n−1
b
max{xk }→0 k =0
a
lim
2
2

.
f
x
.

x
=

f
(
)

k
k
 ( x ) dx
Tổng quát: nếu D (nằm phía trên hoặc phía dưới trục Ox) giới
hạn bởi
( 0  ) g ( x )  y  f ( x )(  0 ) , a  x  b
thì vật thể tạo ra khi quay
D quanh trục Ox có thể tích
là:
b
(
)
Vx =   f 2 ( x) − g 2 ( x ) dx
a
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn
bởi x + y = 2, y = −2 x, x = y quanh trục Ox
Vẽ hình miền D
Ta coi miền D được tạo từ hình thang
ABCD rồi bỏ đi tam giác ABO và tam
giác cong CDO
Vậy:
1
Vx =   ( 2 − x ) dx −
2
−2
0
(0 )
1
−  ( −2 x ) dx −   x
−2
2
2 2
dx =
152

15
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay (Tự đọc)
Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn
1
bởi
y = 1 + 0.5 x; y = x 2 + 2 x; y = x 2 + x
2
phần ứng với x  0 quay quanh trục Ox
x
1 + = x 2 + 2 x  x = 0.5, y = 1.25;
2
x 1 2
1 + = x + x  x = 1, y = 1.5;
2 2
1
x 2 + 2 x = x 2 + x  x = 0, y = 0
2
0.5 
1 
2
2
2
2
2
Vx =    x + 2 x − 0.5 x + x  dx +   (1 + 0.5 x ) − 0.5 x 2 + x

0 
0.5 
(
) (
)
(
)  dx
2
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Quay hình thang cong D quanh trục Oy (0 ≤ a hoặc b ≤ 0):
Tương tự như khi quay quanh trục
Ox, ta cũng chia miền D thành n
hình thang cong nhỏ, xấp xỉ với 1
hình chữ nhật và đem quay quanh
trục Oy để được các hình trụ thể tích
là:

2
2
( ) (
Vk = f xk . xk − xk −1
)
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay

Lại chọn xk là trung điểm đoạn
 xk −1, xk 
Thay vào thể tích trên:
( )

thì xk
1
= ( xk + xk −1 )
2
( )
Vk = f xk . ( xk + xk −1 )( xk − xk −1 ) = f xk .2 xk . k
Tổng thể tích các hình trụ nhỏ xấp xỉ với thể tích vật thể nên:
n
( )
V   2 xk f xk xk
k =1
Vậy thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D (chỉ nằm bên trái
hoặc bên phải trục Oy) giới hạn bởi
x = a, x = b, y = 0, y = f ( x )( 0  a  b  0 )
quanh trục Oy được tính bởi
b
Vy = 2  xf ( x) dx
a
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay (Tự đọc)
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi
các đường cong sau quanh trục Oy: y = e−2 x − 1, y = e− x + 1, x = 0
Tìm giao điểm:
e−2 x − 1 = e− x + 1
 e −2 x − e − x − 2 = 0
 x = − ln 2
V y = 2
0
 (
− ln 2
1
= 2 (ln 2 − )
4
2
)
x (e − x + 1) − ( e −2 x − 1) dx
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi
y=x2+1, y=5 quay quanh
a. Trục Oy
b. Đt y=5
a. Quay quanh trục Oy:
Miền D nhận Oy là trục
đối xứng nên chỉ cần lấy
nửa trái hoặc phải rồi
quay là đủ
2
(
)
V y = 2  x 5 − ( x 2 + 1) dx = 8
0
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
b. Quay quanh đt y=5
Ta đổi hệ trục tọa độ để trục quay trùng với 1 trong 2 trục tọa
độ
Đặt X=x, Y=y-5 thì x=X, y=Y+5
Miền D giới hạn bởi : Y=0, Y=X2-4
2
VX =   ( X 2 − 4)2 dX =
−2
512

15
ƯD của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ 3:
Ta tính thể tích phần ly có chiều cao 2cm rồi
trừ đi thể tích hình cầu đường kính 2cm.
2

x2 
4
Vy = 2 x  2 −  dx − 


2
3


0
8
=   8.38 cm3
3

( )
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung phẳng
Cho hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b].
Độ dài phần đường cong
y=f(x), a≤x≤b là L xấp xỉ
độ dài đường gấp khúc
P0P1…Pn
Ta cũng định nghĩa khi
mỗi đoạn nhỏ PiPi+1
dần về 0 (n→∞) thì
n−1
L = lim  Pi Pi +1
n→ i =0
Đặt Δy=yi+1-yi thì :
Pi +1Pi = ( xi +1 − xi )2 + ( yi +1 − yi )2 = x 2 + y 2
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung phẳng
Theo định lý giá trị trung bình: tồn tại c trong đoạn [xi,xi+1]
sao cho
xi +1
1
f (c) =
f ( x )dx

xi +1 − xi
xi
 f ( c ) ( xi +1 − xi ) = f ( xi +1 ) − f ( xi )
 f (c)x = y
Thay vào đẳng thức tính L ở trên:
L = lim
n→
n −1
 Pi +1 − Pi = lim
n→
i =0
n −1
 x 1 + ( f (c) )
2
i =0
Dựa vào định nghĩa tích phân xác định, ta được:
b
L =  1 + f ( x )2 dx
a
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung phẳng
Ta gọi vi phân cung C có phương trình y=f(x) là
dl = 1 + f ( x )2 dx
thì công thức tính độ dài cung C từ a đến b là:
b
b
a
a
L =  dl = 
2

1 + f ( x ) dx
Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x2 nằm dưới đt y=1
Phần parabol nằm dưới đt y=1 ứng với -1≤x≤1
1
L =  1 + 4 x 2 dx
−1
ln( 5 + 2)
=
+ 5
2
Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung phẳng
Ví dụ: Tính độ dài phần đường cycloid ứng với 0≤t≤2π
x = a ( t − sin t ) , y = a (1 − cos t )
x ( t ) = a (1 − cos t ) , y ( t ) = a sin t → y ( x ) =
2
L=

0
1 + y ( x )
2
2
( x ( t ) dt ) = 
0
sin t
1 − cos t
2sin t 2
a (1 − cos t ) dt
1 − cos t
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b không có phần nào đối
xứng nhau qua trục Ox trên [a,b], khi quay quanh trục Ox sẽ
tạo thành 1 mặt cong.
Xây dựng công thức tính
diện tích mặt cong giống
như công thức tính thể tích
Vy ta sẽ được:
b
b
a
a
S x = 2  | y | dl = 2  | y | 1 + y 2 dx
Khi quay quanh trục Oy, ta đổi vai trò của x và y bằng cách
tính x=x(y) từ pt y=f(x)
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay ellipse
x2
+ y 2 = 1 quanh trục Ox
4
Đường
ellipse
cũng nhận Ox là
trục đối xứng nên
ta cũng chỉ cần lấy
nửa phía trên hoặc
dưới quay như khi
tính thể tích vật thể
tròn xoay
Áp dụng công thức trên cho nửa trên ellipse tức là đường
cong :
2
y = 1 − x / 4, −2  x  2
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
y = 1 − x 2 / 4, −2  x  2
−x
y =
16 − 3x 2
2  1 + y 2 =
4 − x2
2 4 − x2
2
S = 2 
−2
 4 3 
4 − x 2 16 − 3 x 2
dx = 2 .
+ 1
2
2
2 4− x
 9

Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Một phao cứu sinh khi bơm căng có hình dạng và kích
thước trong hình dưới đây. Tính diện tích bề mặt phao.
Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
2 phần nằm bên phải trục Oy quay quanh trục Oy
x = 4− y
2
S y = 2  | x | 1 + x 2 dy
−2
=

65ln
(
16
17 + 124 17
)
Ứng dụng của tích phân – Tự đọc
Các công thức ứng dụng khi đường cong được cho bởi
phương trình tham số
Cho hình thang cong D giới hạn bởi trục Ox, 2 đường thẳng
x=a<b=x và đường cong tham số x=x(t), y=y(t)
Giả sử a = x (t1 ), b = x ( t2 ) thì
t2
S ( D ) =  y ( t ) x  ( t ) dt
t1
t2
Vx =   y
t1
2
( t ) x  ( t ) dt
t2
V y = 2  y ( t ) x ( t ) x  ( t ) dt
t1
Ứng dụng của tích phân – Tự đọc
Cho đường cong C có phương trình tham số
x = x ( t ) , y = y ( t ) , t1  t  t2
t2
S x = 2  y ( t )
( x ( t ) )2 + ( y  ( t ) )2 dt
t1
L=
t2
2
2


x
t
+
y
t
dt
(
)
(
)
(
)
(
)

t1
Ứng dụng của tích phân – Tự đọc
x2 y2
Ví dụ: Tính diện tích ellipse 2 + 2  1
a
b
Phương trình tham số của
ellipse
x = a cos t , y = b sin t
Do đường ellipse có trục đối
xứng là Ox nên ta tính diện
tích nửa trên rồi nhân với 2
x = −a  cos t = −1  t =  ; x = a  cos t = 1  t = 0
0
 S ( D ) = 2  b sin t ( −a sin t ) dt =  ab

Ứng dụng của tích phân – Tự đọc
2
2
x
y
Ví dụ: Cho ellipse
. Tính thể tích vật thể tạo
+

1
a 2 b2
ra khi quay ellipse quanh trục Ox, Oy
Khi quay ellipse quanh 1 trong 2 trục đối xứng của nó ta sẽ
được vật thể có tên là ellipsoid
Quay quanh Ox: Ta chỉ quay nửa phía trên
0
Vx = 2  ( b sin t )

2
4
( −a sin t ) dt =  ab2
3
Ứng dụng của tích phân – Tự đọc
2
2
x
y
Ví dụ: Cho ellipse
. Tính thể tích vật thể tạo
+

1
a 2 b2
ra khi quay ellipse quanh trục Ox, Oy
Quay quanh Oy: Ta chỉ quay nửa bên phải hoặc trái


y = −b → t = − ; y = b → t =
2
2

V y = 2
2

−
2
4 2
( x ( t ) ) ( y (t ) ) dt =  a b
3
2
Ứng dụng của tích phân – Tự đọc
Ví dụ: Cho 1 phần đường xycloid:
x = a ( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) ,0  t  2
Tính diện tích mặt cong tạo ra khi quay C quanh trục Ox, Oy
và độ dài đường cong
Quay quanh Ox:
S x = 2
2

a (1 − cos t )
0
64 a 2
=
3
( a (1 − cos t ) ) + ( a sin t ) dt
2
2
Ứng dụng của tích phân – Tự đọc
Quay quanh Oy:
S y = 2
2
 a ( t − sin t ) ( a (1 − cos t ) ) + ( a sin t )
2
0
= 16 2a 2
Độ dài đường cong:
2
LC =
 ( a (1 − cos t ) ) + ( a sin t )
0
2
2
dt = 8a
2
dt
Ứng dụng của tích phân – Bài tập
1/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi
D1 : y = ln ( x + 2 ) , y = 2ln x, y = 0
1
D2 : xy = 5, y = 6 − x. D3 : y = x , y = x, y = 9
2
D4 : y = x 2 + 2 x, y = 3 + 3x − x 2 ,0  x  2
D5 : y = x3 + 1, y = 3x − 1, −2  x  2
3
6
D6 : y = x + 1, y = x − 1, x =
2
5
2
2
9ln x
3
6
2
2
D7 : y = x ln x, y =
.D8 : y − x = 1, y = x − 1, x =
x
2
5
D9 : y  0, y  x 2 + 2 x + 1, y  − x 2 + 2 x + 3
Ứng dụng của tích phân – Bài tập
2/ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay miền D
quanh đường thẳng d tương ứng
D : y = ln x, y = 0, x = 2; d : x = 0
D : y = − x 2 + 6 x − 8, y = 0; d1 : y = 0; d1 : x = 0
D : y = 4 x − x 2 , y = 3; d : x = 1
D : y = 2 − x , x = y, y = 0; d : x = 0
D : 0  y  3x, x2 + y 2  4; d : y = 0
D : x = 2 − y 2 , x = 0, y = 0 ( y  0 ) ; Oy
D : y = 2 − x , y = x, y = 0; Oy
D : 0  y  x 3, x 2 + y 2  4; Ox
Ứng dụng của tích phân – Bài tập
3/ Tính diện tích mặt cong tạo ra khi quay đường cong
sau quanh trục tương ứng
C1 : y 2 = 2 x, x  1; d : y = 2
C2 : x + ( y − 2 ) = 1; d : y = 0
2
2
C3 : y 2 = 4 x,0  x  2; d : y = 0
4/ Tính độ dài đường cong
C1 : x
2
3
+y
2
3
2
= a 3,a  0
C2 : y = x ,1  x  3
2
Tích phân suy rộng lọai 1
Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1:
Cho hàm f(x) khả tích trên [a,b] , b  a
+
b
 f ( x)dx = lim  f ( x)dx
Tích phân
b→+ a
a
Được gọi là tp suy rộng lọai 1 hoặc tp với cận vô tận của hàm
f(x) trên [ a, +)
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp hội tụ, tp
không hội tụ thì gọi là tp phân kỳ
Tương tự, ta có thêm 2 dạng tp suy rộng lọai 1:
b
b
+
+
a
a →− a
−
a
−
 f ( x)dx = lim  f ( x)dx
−
 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx
Tích phân suy rộng lọai 1
Ví dụ: Các tp dưới đây, tp nào chỉ là tp suy rộng loại 1
+ 1
I1 = 
1 x
dx
Hàm f ( x ) = 1
xác định nên ôô
hàm liên tục x  1
x
Do vậy, f(x) khả tích x . 1
+
I2 = 
x +1
2
x
− 4x + 3
2
I1 chỉ là tpsr loại 1
dx
= 3  [2, +)
Hàm f(x) không xác định tại xôô
Hơn nữa: lim f ( x ) = .
x →3
I2 không chỉ là tpsr loại 1
Tích phân suy rộng lọai 1
Ví dụ: Các tp dưới đây, tp nào chỉ là tp suy rộng loại 1
+ 1
I3 = 
0 x
Hơn nữa:
Hàm f ( x ) = 1
dx
x
1
.
lim
=
x →0+ x
+ sin x
I4 = 
0
không xác định tại x=0
x
Tuy nhiên :
ôô
I3 không chỉ là tpsr loại 1
dx Hàm f(x) không xác định tại x=0
lim f ( x ) = 1ôô
 .
x →0
I4 chỉ là tp suy rộng loại 1
Tích phân suy rộng lọai 1
Ví dụ: Tính các tích phân
+
dx
I1 = 
x
2x
ln 2 e 1 − e
(
)
I3 =
I2 =
+

2
+

0
dx
x2 x2 − 1
dx
1 + ex
Sử dụng CT Newton – Leibnitz để tính tp suy rộng
Nếu hàm f(x) có nguyên hàm là G(x) trên [a,+∞) thì
+
b
b
 f ( x)dx = lim  f ( x)dx = lim G ( x) a
b→+ a
b→+
a
+
= lim G (b) − G (a) = G ( x) a
b→+
Tích phân suy rộng lọai 1
+ dx
Ví dụ: Xét tp sau
I1 = 

x
1
b dx
b
Nếu α=1: I1 = lim 
= lim ln x 1 = lim ln b = +
b→+ 1 x
b→+
b→+
Tp phân kỳ
1− b
x
b1−
1
Nếu α≠1: I1 = lim   = lim
= lim
−
b→+ 1 x
b→+ 1 − 
b→+ 1 −  1 − 
1
I1 = + Tp phân kỳ
Nếu 1- α>0 :
b dx
Nếu 1- α<0 :
+ dx
Vậy I1 = 

x
1
1
I1 = −
1−
Tp hội tụ
hội tụ nếu α>1 và phân kỳ nếu α≤1
Tích phân suy rộng lọai 1
Sự hội tụ của tổng 2 tp suy rộng
Cho f, g khả tích trên [a, b],  b  a.
+

f
(
x
)
dxHT
+
a

  ( f + g ) dx HT

a
+
a g ( x)dxHT 
+

f
(
x
)
dxHT
a
  + f + g dx PK
(
)


a
+
a g ( x)dxPK 
Tích phân suy rộng lọai 1
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi
y=
1
1 + x3
, x = 0, y = 0, x  0
+ dx
S ( D) = 
3
1
+
x
0
D
+
1
x +1
1
2 x − 1
2 3
S ( D) =  ln
+
arctan
 =
3
3 
9
 3
x2 − x + 1
0
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
Giả sử hàm f(x)≥0, khả tích trên [a, +∞).
b
g (b) =  f ( x )dx Ta có:
Ta đặt
g (b +  ) =
b +
a

b
f ( x )dx =  f ( x )dx +
b +
a
a
b

b
f ( x )dx   f ( x )dx = g (b),   0
a
tức là hàm g(b) không giảm trên [a, +∞).
Suy ra:
 lim g (b)  M  0 : g (b)  M , b  a
b→
Vậy:
+

a
b
f ( x )dx hội tụ khi và chỉ khi M :  f ( x )dx  M , b  [a, +)
a
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
Khảo sát sự HT của tp suy rộng lọai 1 với hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1 (So sánh lớn nhỏ):
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞) thỏa
f(x) ≥ g(x) ở lân cận của ∞. Ta có:
+
+
a
a
+
+
a
a
 f ( x)dx HT   g ( x)dx HT
 g ( x)dx PK   f ( x)dx PK
1
Ta thường so sánh hàm f(x) với hàm g ( x ) =  ; sau đó sử
x
dụng kết quả :
+ dx   1: HT
  
  1: PK
a 0 x
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
+ ln(1 + x)
Ví dụ: KS sự HT của I 2 = 
x
1
dx
Khi x > e-1 thì ln(1+x)>1, suy ra ln(1 + x)  1
Mà
+ 1

1 x
x
Vậy I2 PK
dx PK
+ 3 + sin2x
Ví dụ: KS sự HT của I 3 = 
2
x
+
1
3 + sin2x
2
x + x

4
2
x + x
Suy ra tp I3 HT
x

4
x
2
Vì
dx
x
+ 4
 2 dx HT
1 x
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 2 (So sánh giới hạn):
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)
f ( x)
=K
x → g ( x)
Nếu lim
+
thì ta có các kết luận sau:
+
 g ( x)dx HT   f ( x)dx HT
K=0:
a
+
a
+
a
a
K=+:  f ( x)dx HT   g ( x)dx HT
0<K<+: 2 tp trên cùng HT hoặc cùng PK
Nhận xét: Cả 2 tiêu chuẩn so sánh, ta đều chỉ so sánh các
hàm không âm với nhau và so sánh khi x dần ra vô cực
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
+
1
Ví dụ: KS sự HT của I 4 =  (1 − cos )dx
x
1
Khi x→∞ , hàm đã cho không âm và
1
1
f ( x ) = 1 − cos ~
= g ( x)
2
x 2x
Tức là
f ( x)
lim
= 1 = K , 0  K  +
x → g ( x)
Đây là trường hợp 2 tp cùng HT hoặc cùng PK
+ 1
Do 
dx HT nên tp I4 HT
2
x
1
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
+
Ví dụ: KS sự HT của I5 = 
3
Với x≥3,
f ( x) =
Khi x → +: f ( x ) =
+
1
0
x( x − 1)( x − 2
1
1
~
= g ( x)
x ( x − 1)( x − 2) x 3/2
+ 1
Do  g ( x)dx = 
dx HT
3/2
3
3 x
Vậy tp I5 HT
1
dx
x( x − 1)( x − 2)
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
+ ln x
Ví dụ: KS sự HT của I 6 =  2 dx
1 x
+
Ta có I = − ln x
6
x 1
+ 1
+ 1
+  d (ln x) = 
dx Vậy Tp I6 HT
2
x
1 x
1
+ 
1
1
Ví dụ: KS sự HT của I 7 =   tan − sin dx
x
x
1 
Khi x→+ ∞ thì 1/x →0 nên ta thay VCB tương đương
1
1
1
1
x → + : f ( x ) = tan − sin = tan 1 − cos   0
x
x
x
x
+ 1
1 1 1
Do 
dx HT nên TP I7 HT`
f ( x) ~ .
3
x 2 x2
x
1
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
+ arctan x
Ví dụ: KS sự HT của
I8 = 
dx
x
2
+
e
1
x →+

arctan x ⎯⎯⎯⎯
→+
2
arctan x x →+


f ( x) =
~
x
x ~
2+e
2(2 + e ) 2e x
+
+  dx


Tp này HT nên Tp I8 cũng HT
=−
=

x
x
2
e
2
e
1
1 2e
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
Ví dụ: Tìm m để tp sau HT và tính tp khi m = -1
+
I9 = 
1 3
Hàm
f ( x) =
3
x
(
xm
)
x +1
Khi x → + : f ( x ) ~
xm
x
1
x m dx
x
(
)
x +1
 0, x  1
=
2
Suy ra, tp I9 HT khi và chỉ khi
1
1 −m
x 2
1
1
−m 1 m  −
2
2
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
Khi m = −1: f ( x ) =
x3 x
(
1
)
x +1
=x
(
− 1+ 1
1 
)

3 1+ x 2




−1
3
m +1
4
1
1
Tức là m = − , n = , p = −

+ p = −1  Z
n
3
2
3
−1
4
1
3
−


−1
3
3
2
,  1 + x  , dx theo t
Ta đặt: t = x 2 + 1 rồi tính x


−1
1
8
1  3
4
−
2
−

−1 3
3
3
3
3 1+ x 2
3
=
t
t
−
1
,
x
=
t
−
1
,
x = t −1 ,




−
3
dx = −2.3t 2 t 3 − 1 dt , x = 1 → t = 3 2 ; x = + → t = 1
(
)
(
)
1
(
)
Vậy: I 9 =  −6tdt = −3 + 33 4
3
2
(
)
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm có dấu bất kỳ
Tích phân hàm có dấu bất kỳ
Nếu
+
+
a
a
 f ( x) dx HT Thì
Khi đó, ta nói tp
+
 f ( x)dx HT
 f ( x)dx là tp hội tụ tuyệt đối
a
Nếu là tp của hàm có dấu bất kỳ, ta sẽ KS sự HT của tp hàm
+
không âm  f ( x) dx bằng 1 trong 2 tiêu chuẩn so sánh
a
Tp trên HT thì Tp cần khảo sát là tp HTTĐ
Tp trên PK thì chưa có kết luận cho tp cần khảo sát
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm có dấu bất kỳ
+ cos x
Ví dụ: KS sự HT của I9 = 
1
x
dx
Trước tiên, ta tính tp từng phần
+ +
+
d (sin x) sin x
I9 = 
=
x
x 1
1
+ sin x
1
−  sin xd ( ) = − sin1 + 
dx
2
x
1
1 x
= − sin1 + J
sin x
x2

1
x2
+ 1
 2 dx
1 x
là Tp HT
Suy ra J là tp HTTĐ
Mặt khác, sin1 là hằng số hữu hạn nên I9 HT
Tích phân suy rộng loại 1
+
dx
Ví dụ: Tìm α để tp sau HT I10 = 
3

1 x + sin x x
(
)
Hàm không xác định với x=0, I10 chỉ là tpsr loại 1
Khi x→∞ thì x3 là VCL, sinx là hàm bị chặn nên
(x
3
)

+ sin x x ~ x
3+
1
1
 3
~ 3+

x
x + sin x x
(
)
+
Suy ra, Tp I10 HT khi và chỉ khi tp
dx
 3+ HT
1 x
Vậy I10 HT khi và chỉ khi 3 +   1    −2
Tích phân suy rộng loại 1
+
sin xdx
Ví dụ: KS sự HT của I11 = 
2
x
+ ln 2
0
sin x
1
1
f ( x) = 2
 2
 2
x + ln 2 x + ln 2
x
+ 1
+
1
dx HT  I11 HT
 2 dx HT   2
0 x
0 x + ln 2
Cách làm này SAI
vì tp mà ta so sánh không chỉ là tp suy rộng lọai 1
Tích phân suy rộng loại 1
x →+ 1
sin x
1
f ( x) = 2
 2
~ 2
x + ln 2 x + ln 2
x
+
1
Ta xét tp J=  2 dx
0 x
Tp J là tp suy rộng lọai 1 vì có cận vô tận, tuy nhiên hàm
dưới dấu tp còn là hàm không bị chặn tại đầu dưới x = 0
Ta sẽ tách tp J thành tổng
+
+ 1
1 1
1
J=  2 dx =  2 dx +  2 dx
0 x
1 x
0x
Tp thứ nhất là tp suy rộng lọai 1 HT, còn tp thứ hai ta sẽ xét
tiếp ở phần tp suy rộng lọai 2 (Tp PK)
Tích phân suy rộng lọai 1 –Tp hàm không âm
+
Cách khảo sát sự HT của tpsr
 f ( x)dx
a
1. Tìm MXĐ của hàm f(x), nếu tồn tại những điểm
xi  D f , xi  [a, +)
thì ta phải tính lim f ( x ) = c
x → xi
a. Nếu c =  thì xem tiếp phần tpsr loại 2
b. Nếu c   thì tp trên chỉ là tpsr loại 1, ta làm tiếp bước 2
2. Khi x→∞, tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hoặc so sánh
f(x) lớn hay nhỏ hơn hàm g(x)v
3. Nếu thay tương đương thì dùng t/c so sánh 2, nếu so
sánh nhỏ lớn hơn thì dùng t/c so sánh 1
Tích phân suy rộng loại 2
Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định và khả tích trong [a,c] với
mọi c: a≤c<b và lim f ( x) = 
x →b−
Ta viết tích phân trên [a,b]
b
c
a
c →b a
 f ( x)dx = lim−  f ( x)dx
Được gọi là tp suy rộng lọai
2 (tp của hàm không bị
chặn) của hàm f(x) trên [a,b]
a
c
b
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp là HT, tp không
HT thì gọi là tp PK
Tích phân suy rộng loại 2
Nếu
b
b
a
c →a c
lim+ f ( x) =  Thì  f ( x)dx = lim+  f ( x)dx
x →a
c   a, b : lim f ( x ) = 
Nếu
x →c
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx
Thì
Tổng hai tpsr lọai 2 HT nếu hai tpsr bên phải cùng HT
Ta cũng có công thức tính tpsr loai 2:
b
c
a
c →b a
 f ( x)dx = lim−  f ( x)dx = lim− G (c) − G (a)
c →b
Trong đó G(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a,b]
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Tính diện tích mặt tròn xoay tạo ra khi quay đường
tròn x2+(y-2)2=1 quanh trục Ox
1
dx
−1
1− x
S x = 4.2 
= 8
2
2
Tích phân suy rộng loại 2
b
dx
I2 = 

(
b
−
x
)
a
Ví dụ: Khảo sát sự HT của
b
Nếu α = 1:
dx
b
I2 = 
= − ln(b − x ) a = 
ab− x
1− b
(b − x)
Nếu α ≠ 1: I 2 =
−1 + 
Nếu α>1:
Nếu α<1:
Vậy
b
a
Tp PK
(b − x)1− (b − a)1−
= lim
+
1−
x →b− −1 + 
I 2 = , Tp PK
(b − a)1−
I2 = −
, Tp HT
1−
b
dx
dx
,

 

a (b − x )
a ( x − a)
HT nếu α<1 và PK nếu α≥1
Tích phân suy rộng loại 2
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b), không bị
chặn tại b và f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc lân cận của b. Ta có:
b
b
a
a
b
b
a
a
 g ( x)dx HT   f ( x)dx HT
 f ( x)dx PK   g ( x)dx PK
Để khảo sát sự HT của tp
b
 f ( x)dx ta sẽ so sánh f(x) với
a
C
C
hay

(b − x)
( x − a)
rồi sử dụng kết quả trên
Tích phân suy rộng loại 2
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b),
không bị chặn tại b và lim f ( x) = K
x →b −
Ta có:
g ( x)
b
b
a
a
K = 0 :  g ( x)dx HT   f ( x)dx HT
b
b
a
a
K =  :  f ( x)dx HT   g ( x)dx HT
0 K  :
2 tp cùng HT hoặc cùng PK
Ta cũng tìm hàm g(x) để so sánh như khi khảo sát tp suy
rộng lọai 1 khi x→b-
Tích phân suy rộng loại 2
Tích phân hàm có dấu bất kỳ - Hội tụ tuyệt đối
Với hàm f(x) khả tích trên [a,b) và không bị chặn tại b
b
b
a
a
Nếu  f ( x) dx HT thì  f ( x)dx HT
1
ln x
Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 4 = 
dx
2
01− x
Xét tại 2 điểm hàm không xác định: x=0, x=1.
ln x
1
1
lim−
= lim−
=−
2
x →1 1 − x
x →1 ( −2 x ) x
2
ln x
lim
= −
2
x →0 + 1 − x
Tức là hàm không bị chặn tại x=0 nên ta chỉ so sánh khi x→0
Tp này HT
Tích phân suy rộng loại 2
b
Cách xác định và khảo sát tpsr loại 2: I =  f ( x ) dx
a
Tìm Df để có các giá trị x0  D f , x0  [a, b]
Tính giới hạn lim f ( x ) = c
x → x0
Nếu c  : I là tp xác định (luôn HT)
Nếu c = : I là tpsr loại 2 tức là tp của hàm không
bị chặn tại x0, khi đó ta so sánh hàm f(x) khi x → x0
bằng cách biến đổi hàm f(x) để xuất hiện dạng
C

(  ( x − x0 ) )
rồi sử dụng tp cơ bản
Tích phân suy rộng loại 2
1
xdx
0
1 − x3
Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 3 = 
Hàm không xác định tại 1 điểm x = 1, tại đó hàm không bị
chặn và đó là điểm duy nhất trên đọan lấy tp mà hàm không
bị chặn.
Ta sẽ chỉ xét x → 1-,
f ( x) =
x
=
x
x →1−
~
1
= g ( x)
1/2
3(1 − x )
1− x
1− x 1+ x + x
f ( x)
=
1
Tức là: lim
(2 tp cùng HT hoặc cùng PK)
x →1− g ( x )
1
1
dx
Vậy:  g ( x )dx = 
HT  I 3 HT
1/2
0
0 3(1 − x )
3
2
Tích phân suy rộng loại 2
3x3 − 2 x5
Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 5 = 
dx
0 sin x − x
1
3x 3 − 2 x 5
Hàm f ( x ) =
không xđ tại x0=0 trong đoạn [0,1]
sin x − x
Ta chỉ xét khi x→0+:
f ( x) ~
1
− 2.x5/2
1 3
( x − x + 0( x3 )) − x
6
16
Do  g ( x )dx = 
0
0
2
1/2
x
dx HT
6 2
~ 1/2 = g ( x )
x
 I5 HT
Tích phân suy rộng loại 2
2
dx
Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 6 = 
0 x(2 − x)
Hàm dưới dấu tp không bị chặn tại cả 2 cận
1
2
dx
dx
I6 = 
+
0 x(2 − x) 1 x(2 − x)
+
Khi x → 0 : f ( x ) =
−
Khi x → 2 : f ( x ) =
1
~
x(2 − x )
1
2. x1/2
1
dx
,
HT
1/ 2
0 2. x
1
1
~
x(2 − x )
2.(2 − x )1/2
Như vậy, I6 là tổng của 2 tp HT nên I6 HT
2
dx
,
HT
1/ 2
1 2.(2 − x )
Tích phân suy rộng loại 2
+
dx
Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 7 = 
x
0 e − cos x
Tp trên vừa là tpsr lọai 1, vừa là tpsr loại 2
+
1
dx
dx
I7 =  x
+ x
1 e − cos x 0 e − cos x
1
+ dx
1
−1
+
1
Khi x → + : f ( x ) =
~
, 
=
= HT
x
x
x
x
e
e 1
e − cos x e
1 e
+
Khi x → 0 : f ( x) =
1
e x − cos x
=
1
(e x − 1) + (1 − cos x)
1
1 , dx PK
~
 1
x 0x
Như vậy, I7 là tổng của 1 tp HT và 1 tp PK nên I7 PK
Tích phân suy rộng loại 2

2
Ví dụ: Tính I8 =  ln(sin x)dx (1)
0
t = − x
2
Đặt

0
2

I8 =  ln(sin(
− t ))(−dt ) =  ln(cos t )dt (2)
2

0
2
Cộng 2 vế (1) và (2):

2


2
2
sin 2t
2 I8 =  ln(sin t )dt +  ln(cos t )dt =  ln
dt
2
0
0
0

2

2
=  ln(sin 2t )dt −  ln 2dt
0
0
Đặt u = 2t
Tích phân suy rộng loại 2
1

2 I8 =  ln(sin u )du − ln 2
20
2

1 2
1 

=  ln(sin u )du +  ln(sin u )du − ln 2
2 0
2
2
Đặt x = u − 
2
2

1

1 2
2 I8 = I8 − ln 2 +  ln(sin( x +  ))dx
2
2
2
2 0

1

1 2

= I8 − ln 2 +  ln(cos x)dx = I8 − ln 2
2
2
2 0
2

Vậy:
2

I8 =  ln(sin x)dx = − ln 2
2
0
Tích phân suy rộng loại 2
1 x − ln(1 + x)
Ví dụ: Tìm α để tp sau HT I9 = 
0
x
dx
Ta tính khi x→0
(
1 x 2 + O( x 2 )
x
−
x
−
x − ln(1 + x)
2
f ( x) =
=
x
x
1
)
~
1
= g ( x)
 −2
2x
1
1
dx HT
Tp I9 HT khi và chỉ khi tp  g ( x)dx = 
 −2
0
0 2x
Vậy I9 HT khi và chỉ khi
 − 2 1   3
Tích phân suy rộng loại 2
+
Ví dụ: Tìm α để tp sau HT I10 = 
0
1
+
0
1
I10 =  f ( x)dx +  f ( x)dx, f ( x) =
+
Khi x → 0 : f ( x ) ~
1
x5 + 2
1
(
(
dx
)
x 4 + ln(1 + x 2 ) x5
1
)
x 4 + ln(1 + x 2 ) x5
−1 
1
   f ( x)dx HT   < 
5 
0
+
−
3


Khi x → + : f ( x ) ~

5 + 4    f ( x)dx HT   
x
5
1

HT+PK -3/5
-1/5
HT+PK
 −3 −1 
Rõ ràng, chỉ với    ,  tp I10 là tp HT
 5 5 
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Tìm α để các tp dưới đây HT
+
I11 =

0
x + e− x − 1

x
x +x
3
+
I13 =

0

0
I12 =
dx

0
1

x  ln 1 + x 2 + 3 1 + x 2


(
+
I14 =
+
(
1 + x
)
) (
1
3
x 2 + sin x
dx
)
5

−1

x 2 + arctan 1
(
x 2 −3 1 + x 2
dx
x 2 dx
 +1
)
Tích phân suy rộng - Phụ lục
Tính các tp
3
dx
I1 = 
4 x − x2 − 3
+ dx
I2 =  3
0 x +1
+ dx
I3 =  3
0 x −1
+ arctan x
I4 = 
dx
2 3/2
0 (1 + x )
1
+
I 5 =  xe
− x2
dx
0
x+2
I6 = 
dx
0 2− x
2
dx
I7 = 
2
0 ( x − 1) x − x + 1
2
+
dx
3
2
0 x + 2x − x − 2
+
dx
1
I9 = 
,t = 1 + 2
2
2
x
0 (1 + 4 x ) 1 + x
+
dx
I10 = 
2
2 ( x − 1) x − 2
I8 = 
+
I11 = 
x3 arcsin xdx
0
|1 − x 2 |
+1
x 4 dx
I12 = 
(1 + x 2 ) 1 − x 2
+
dx
I13 = 
1 x x2 + 2x − 1
−1
3
x 2 dx
−3
9 − x2
I14 = 
Tích phân suy rộng - Phụ lục
Tính các tp
+
x
L15 =  arcsin
dx
x +1
0
2
L16 = 
x3
dx
4 − x2
+
dx
L17 = 
1 x x2 + 8x + 1
0
0
1
e x
L18 =  3 dx
−1 x
+
dx
L19 = 
2 ( x − 1) x 2 − 1
+
dx
e
x ln 3 x + ln 2 x + ln x
L20 = 
(
)
Tích phân suy rộng - Phụ lục
Tìm α để các tp sau HT
+
dx
I1 = 

2
0 1 + x sin x
I2 = 
0 3
I6 = 
0

2
x dx
( x − 1)( x − 2)
2
2x + 3
+
(4 + x )

+
I7 = 
(
3
x +1
3− x + 4 x
)
  −1
4
dx
5+ x
1
I3 = 
dx,  0,min
3

+ ( 4 x + 1)  2 − x
0 (1 + x )(1 + x )
I8 = 
dx


1
x +4
0
I4 = 
dx
3
2
+
1 x
1+ x
I 9 =  e − x x −1dx
+
0
dx
I5 = 
+ x dx

2
2 x +1
x −1
I10 = 
3
1
+
x
0
4

(
)
dx
Tích phân suy rộng - Phụ lục
Tìm α để các tp sau HT
(
) dx
+
x 2 + sin x 2 + 1
1
x + ( ln x + 1)
L11 = 
+
I12 = 
(
0
+
I13 = 
I14 = 
2x −1
3 + x
)
4 5
x +1
x 2 + arcsin 1
1 + x 3 x
0
1

arcsin x
x (1 − x )
+
arctan x
0
(1 + x )
2 
I17
1+ x −
x +1
=
sin5x
0
dx
x 2 dx
1


x
I18 = 
0
0
I15 = 
I16
2

x
+ 3x + 2 

=  x ln  2
 dx
1
 x + x +1 
+
dx
3
dx,  =
2
1
I19 = 
0
3
1 − cos 2 x
ln x

x (1 − x )
dx
dx
Đề thi từ 2013
+ arctan
I= 
0
(
(sin x + x )
2
)
x2 + x3 dx
2 m
+
;I = 
1 + x dx
2
(
xm 1 + x1+ m
0
)
2
x +x 3
, m  0; I =  2
dx, m  0;
m
0 x + arctan x
3
1
(
)
 e− x + ln 1 + 1
 dx
1

+
+ x + sin
dx +
2m 
dx
x 
x ;I = 
I= 
;I = 
, m  0;

m
−
3
m −3
m

2 x −1
0 m
1
1
2
2 5
3
x
1
+
x
x  ln 1 + x + 1 + x − 1


(
(
) (
)
m
(
)
x2 + x + 1
+ ln 2
+
+
+
dx
dx
xdx
x
−
x
+
1
I= 
dx, m  0; I = 
;I = 
;I =  3 ;
m
m +1
2x x
x
e
0 x 1+ x
0 1+ e
ln 2 1 − e
0 x +1
+
I= 
0
(
(e
)
2x
)
+ 4e x dx
e3x + 6e2 x + 11e x + 6
(
;I = 
(1 + ln x ) dx ; I = 4
0
2
1
3
x

)
3dx
( x − 1)
6 x − x2 − 8
)
+ arctan
I1 = 
0
J1 : f
J2 : f
(sin
2
(x
2
+ x3
x+x
)
2 m
) dx =
1 arctan

0
(sin
2
(x
2
+ x3
x+x
)
2 m
) dx +
+ arctan

1
(sin
2
(x
2
+ x3
x+x
)
2 m
) dx = J
1
+ J2
x2
1
3
= 2m−2 .2m − 2  1  m  
2m
2  −1
2x
2x
3
→

m



2
2

2 .2m  1  m  − 1

2
x 2m

+
1
+
1 + x2
1 + x2
1 + x2
I1 =  2
dx, m  0.I 2 =  2
dx +  2
dx = J1 + J 2
m
m
m
0 x + arctan x
0 x + arctan x
1 x + arctan x

m  2 : f
J1 : 
m  2 : f

1
: PK
m
x
.J 2 : f
1
, HT  m  1
m
x
x 1
= : PK .VËy I 2 HT khi vµ chØkhi m <1
2
x
x
( x0 + x, y0 + y, f ( x0 + x, y0 + y ) )
Mặt cong
( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ) )
f ( x0 , y0 )
( x0 + x, y0 + y, 0)
( x0 , y0 , 0)
Tiếp diện: z − f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 )