Joe Foster
Calculus I
Fall 2023
Precalculus Recap
The goal of this worksheet is to make you aware of some of the basic Precalculus topics that are a prerequisite for this
class. If you aren’t comfortable with any of the topics outlined today, you should consider switching into a Precalculus
section. Below are the details for the sections of Precalculus being offered this semester.
• MATH-UA 9 - Algebra, Trigonometry and Functions - Section 001 with Professor Majmudar
Mon/Wed 9:30 am - 10:45 am in 19W4 101
• MATH-UA 9 - Algebra, Trigonometry and Functions - Section 006 with Professor Flek
Mon/Wed 12:30 pm - 1:45 pm in SILV 207
• MATH-UA 9 - Algebra, Trigonometry and Functions - Section 011 with Professor Flek
Tue/Thu 4:55 pm - 6:10 pm online
• MATH-UA 9 - Algebra, Trigonometry and Functions - Section 016 with Professor Stine
Tue/Thu 4:55 pm - 6:10 pm online
This document contains practice problems related to some of the concepts covered in a typical Precalculus course. Do
note that this is by no means comprehensive, and there are still many more topics not covered here. If you struggle
with them, then you should consider what is written above.
The topics and concepts you need to be familiar with fall into three main groups; Algebra, Trigonometry and
Functions. If you are viewing these notes on a computer, you can click the section title below to take you to those
specific problems. If you are viewing these notes irl, then that won’t happen.
Algebra
Exponent Properties | Logarithm Properties | Factoring Expressions | Completing the Square
Simplifying Rational Expressions | Combining Expressions | Polynomial Long Division
Solving Equations | Solving Inequalities
Trigonometry
Angles
| Sin, Cos, Tan, Sec, Csc and Cot
Functions
Domain and Range | Essential Functions | Linear | Power and Reciprocal | Polynomial
Rational
| Exponential
| Logarithmic
| Trigonometric
| Piece-wise Functions
Combining Functions
| Inverse Functions
MATH-UA 121: Calculus I - Fall 2023 - Precalculus Recap
Algebra
Exponent Properties
Simplify the expression.
1)
−3
a2
2
a3 b
4
b3
q
5) 3 (x3 y)2 y 4
2)
3
3xy 2
2 −1
x y
3
2
x2 (2x)4
3)
x3
4)
8r1/2 s−3
7)
2r−2 s4
p
6) x2 y 4
r2 s4/3
r1/3 s
8)
!6
ab2 c−3
2a3 b−4
−2
Logarithm Properties
Evaluate the logarithmic expression.
13) ln e6
14) log4 (8)
11) 10log(45)
1
15) log3
27
17) log5
√ 5
18) 22 ln(7)
19) log (25) + log (4)
22) log5 (250) − log5 (2)
23) log8 (6) − log8 (3) + log8 (2)
9) log2 (128)
21) log2 1623
10) log8 (1)
12) log (0.000001)
16) 2log2 (13)
20) log3
√
243
Expand the logarithmic expression.
24) log
AB 2 C 3
27) log
4x3
y 2 (x − 1)5
r
√
25) log2 x x2 + 1
28) log5
x2 (1 − 5x)3/2
√
x3 − x
26) ln
x2 − 1
x2 + 1
√
3
!
29) ln
!
x4 + 12
√
(x + 16) x − 3
!
Combine the logarithmic expression.
1
log5 (3x + 7)
3
30) log (6) + 4 log (2)
31) log5 (2) + log5 (x + 1) −
32) log (x) + log x2 y + 3 log (y)
33) log (x − 2) + log (x + 2) −
34)
3
log2 (x − y) − 2 log2 x2 + y 2
2
35)
1
log x2 + 4
2
1
ln (x − 4) + 5 ln x2 + 4x
2
Factoring Expressions
Factor the expression completely.
36) x2 + 5x − 14
37) 12x2 + 10x − 8
38) x4 − 2x2 + 1
39) 12x2 y 4 − 3xy 5 + 9x3 y 2
40) 16 − 4t2
41) 2y 6 − 32y 2
42) x6 − 1
43) 16a4 b2 + 2ab5
46) 4x3 − 8x2 + 3x − 6
47) w3 − 3w2 − 4w + 12
44) −3x−1/2 + 2x1/2 + 5x3/2 45) 7x−3/2 − 8x−1/2 + x1/2
48) (a + b)2 − 3 (a + b) − 10 49) (x + 2)2 − 7 (x + 2) + 6
2
MATH-UA 121: Calculus I - Fall 2023 - Precalculus Recap
Completing the Square
Complete the square. That is, write the expression ax2 + bx + c in the form a (x − k)2 + h.
50) x2 + 6x + 5
51) x2 + 8x − 9
52) x2 − 6x + 9
53) x2 + 4x − 7
54) x2 − 5x − 24
55) x2 − 8x + 15
56) 4x2 − 4x + 17
57) 9x2 − 12x + 13
58) 4x2 − 12x + 13
59) 4x2 − 4x + 5
60) 4x2 − 8x + 1
Simplifying Rational Expressions
Simplify the expression completely.
61)
3x − 9
2
x −x−6
62)
−2x − 4
2
x − 3x − 10
63)
10a − 8b
12b − 15a
64)
a2 − b2
b−a
65)
a3 b6
a2 b3 − a4 b2
66)
18u6 v 5 + 24u3 v 3
42u2 v 5
67)
x4 y 5 z 2
x7 y 3 z
68)
a3 − b3
a2 − b2
69)
9y 2 − 6y + 1
1 − 9y 2
70)
6 − y − y2
y 2 − 4y + 4
Rationalise the denominator and simplify.
71)
1
√
5− 3
2 (x − y)
76) √
√
x− y
72)
3
√
2− 5
77) √
5
√
r+ 2
2
√
73) √
2+ 7
74) √
1
x+1
1
78) √
2
x +1−x
79) √
1
√
x+1− x
75) √
y
√
3+ y
Combining Expressions
Perform the indicated operation and simplify.
80) (2y − 7) (2y + 7)
82) (2x + 5)2
85) 3x3 − 2 5x3 + 6
81) (4x − 6y) (4x + 6y)
84) 2x2 + 4 3x2 + 5
83) (5x − 3)2
86)
a2 − 9
a2 − 4
· 2
3a − 6 a − a − 6
87)
6x2 + x − 1
15
· 2
6x + 3
9x − 1
88)
x2 − y 2 3y − 2x
÷
−3xy
6x2 y 3
89)
b2 − b − 6 b2 + 6b + 8
÷
9 − b2
6 + 2b
90)
7
2
+
3x − 6 3x − 6
91)
7
3
−
2x − 4 2x − 4
Polynomial Long Division
Find the quotient and remainder.
92)
x2 − 5x + 2
x−3
93)
3x2 + x − 5
x+2
94)
2x3 − x2 + 3x − 4
x+5
95)
−x3 + 2x + 4
x−7
96)
x4 − 8x2 + 2x + 7
x+5
97)
2x4 + 3x3 − 12
x+4
98)
2x3 + x2 − 8x + 15
x2 + 2x − 1
99)
x4 − 2x2 + 7x
x2 − x + 3
3
MATH-UA 121: Calculus I - Fall 2023 - Precalculus Recap
Solving Equations
Find all real solutions to the equation.
x+1
3x
=
x−1
3x − 6
100) 7x − 6 = 4x + 9
101) 8 − 2x = 14 + x
102)
104) x2 − 9x + 14 = 0
105) x2 + 24x + 144 = 0
106) 2x2 + x = 1
108) 4x3 − 25x = 0
109) x3 − 2x2 − 5x + 10 = 0 110) 3x2 + 4x − 1 = 0
112) x3 − 8 = 0
113) x3 − 3x2 − 13x + 15 = 0 114) 2x3 + 5x2 − 6x − 9 = 0
103) (x + 2)2 = (x − 4)2
107) 3x2 + 5x − 2 = 0
111) x3 − x2 + x − 1 = 0
115) x4 + 6x3 + 17x2 + 28x + 20 = 0
116) x4 + 7x3 + 9x2 − 17x − 20 = 0
117) x5 − 3x4 − x3 + 11x2 − 12x + 4 = 0
118) 18x3 + 3x2 − 4x − 1 = 0
119) 6x4 − 18x3 + 6x2 − 30x + 36 = 0
120) x4 + 15x2 + 54 = 0
121) x4 − 8x2 − 9 = 0
122)
y−3 y
y+1
+ =3−
2
5
6
123)
y−3 y−4
−
=5
5
2
124)
1
2
+
=3
x x−1
125)
3
4
7x − 2
+
= 2
x−2 x+2
x −4
126)
x
1
8
+
= 2
x−2 x+2
x −4
127)
2
3
8−x
−
= 2
x−1 x+2
x +x−2
128)
3
4
7x − 3
−
= 2
x 1−x
x −x
129)
4
3
7x + 1
−
= 2
x+3 2−x
x +x−6
130)
x−2
x−3
=
x−3
x−4
131)
y−1
y+1
=
y+4
y−2
132) |x − 7| = 4
136)
1
|x − 9| = 16
2
140) 8 |3x − 2| = 0
√
144) x + 1 = x − 5
√
148) x2 − 2x − 25 = 3
√
√
152) n + 4 + n − 1 = 5
156) 54−x =
1
125
160) e3x/4 = 10
133) |2x − 5| = 9
134) |x + 8| = −3
135) |3x + 4| = 12
138) 2 |x + 5| − 10 = 0
139) 6 − 4 |x + 3| = −2
141) 5 |6 − 3x| = 0
√
145) x − 1 = x − 7
√
149) 3x2 + 5x − 3 = x
√
√
153) 2x + 5 + x + 6 = 9
142) 2 |x| + 7 = 6
√
146) x − 2 = x − 22
143) 5 + 3 |x − 4| = 0
√
147) 3 + x = 1 + x
157) 23x−5 = 7
158) 106−3x = 18
161) x2 e2x + 2xe2x = 8e2x
162) 32x − 3x − 6 = 0
137)
2
|x + 4| = 8
3
150)
154)
√
√
x + 40 −
3x − 2 −
√
√
x=4
151)
√
√
x + x − 36 = 2
x − 2 = 2 155) 32x−7 = 27
159) 41−x = 32x+5
163) log (x) + log (x + 1) = log (12)
164) ln (x − 2) + ln (3) = ln (5x − 7)
165) log2 (1 − x) = 4
166) ln (2x − 3) + 1 = 0
167) log3 (x − 8) + log3 (x) = 2
168) log8 (x + 5) − log8 (x − 2) = 1
4
MATH-UA 121: Calculus I - Fall 2023 - Precalculus Recap
Solving Inequalities
Solve the inequality.
1
2
x− >2
2
3
169) 3x − 2 > −11
170) −1 < 2x + 5 ≤ 3
171) 2x − 7 < 8 + 9x
172)
173) 4 − 3x ≤ − (1 + 8x)
174) 2 ≤ x + 5 < 4
175) −2 < 8 − 2x ≤ −1
176) (x + 2) (x − 3) < 0
177) (x − 5) (x + 4) ≥ 0
178) x (2x + 7) ≥ 0
179) x (2 − 3x) ≤ 0
180) x2 − 3x − 18 ≤ 0
181) x2 + 5x + 6 > 0
182) x2 + 4x − 12 > 0
183) x2 ≤ 1
184) (x + 2) (x − 1) (x − 3) ≤ 0
185) (x − 5) (x − 2) (x + 1) > 0
186) (x − 4) (x + 2)2 < 0
188) (x + 3)2 (x − 2) (x + 5) ≥ 0
187) (x + 3)2 (x + 1) > 0
189)
x−4
≤0
x2 − 4
190)
x−3
≥0
x+1
191)
2x + 6
<0
x−2
192)
193)
x−4
<5
2x + 1
194)
2x + 1
≤3
x−5
195)
5
<0
x3 − x2 − 4x + 4
196) |x − 5| ≤ 3
197) |3x + 2| < 4
201)
198) |5x − 2| < 8
x−2
<2
3
202)
199) |3x − 2| ≥ 5
x
>3
x+1
200) |8x + 3| > 12
x+1
≥4
2
Trigonometry
Angles
Sketch the angle.
11π
203) θ =
6
209) θ =
13π
4
204) θ =
2π
3
205) θ = −
4π
3
206) θ =
5π
3
207) θ = −
2π
3
208) θ = −
7π
6
210) θ =
17π
4
211) θ = −
11π
3
212) θ =
16π
3
213) θ =
31π
6
214) θ = −
41π
4
Sin, Cos, Tan, Sec, Csc and Cot
Find the values of the six trigonometric ratios of θ.
215)
216)
217)
218)
7
5
4
θ
8
θ
3
25
15
θ 24
5
8
θ
7
MATH-UA 121: Calculus I - Fall 2023 - Precalculus Recap
Find the trigonometric value.
3π
3π
219) sin
220) cos
4
4
5π
5π
225) tan
226) cot
2
2
231) cos
π 237) csc
232) sin
3
8π
3
221) tan
π
222) tan −
3
3
223) cos
227) sin (2π)
228) csc (2π)
9π
233) csc
4
23π
239) tan
4
π 6
13π
238) sec
6
π π
π
242) 2 sin
cos
12
12
3
245) tan 2 arccos
7
243)
cos2
π 240) sin
2
− sin
5π
6
5π
12
π 8
3
5
246) sin arctan
+ arccos
4
13
247) tan (2 arctan (x))
8
234) cos
229) tan
9π
2
5π
6
9π
2
5π
6
224) sec
230) cot
22π
22π
235) cot −
236) sec
3
3
241) tan
π 8
π √3
π
1
244) cos
+
sin
2
12
2
12
248) cos (arcsin (x) + arccos (y))
Functions
Domain and Range
Find the domain of the function.
249) f (x) = 7x + 15
252) f (x) = 3x − √
255) h (x) =
√
250) f (x) =
√
251) f (x) =
1
1
1
+
+
x x+1 x+2
√
3
2x + 1
256) f (x) = √
3
2x + 2
2
x+1
4−x+
2x + 1
2x − 1
253) f (x) =
x2 − 1
Find the domain and range of the function.
√
257) f (x) = x + 3
258) F (t) = t2 + 2t + 5
260) g(x) = log 2 + x − x2
261) h (x) = ln x2 − 4
254) g(x) =
√
x+4
2x2 + 5x + 3
2x2 − 5x − 3
2
259) f (x) = 10x + log (1 − 2x)
262) k (x) = ln |x|
Essential Functions
Sketch each of the following functions.
263) f (x) = 1
268) f (x) =
273) f (x) =
√
265) f (x) = x2
264) f (x) = x
x
1
x2
269) f (x) =
274) f (x) =
√
3
x
1
x3
270) f (x) =
275) f (x) =
6
√
4
x
1
x4
266) f (x) = x3
271) f (x) =
√
5
x
276) f (x) = ex
267) f (x) = x4
272) f (x) =
1
x
277) f (x) = ln (x)
MATH-UA 121: Calculus I - Fall 2023 - Precalculus Recap
Linear Functions
Sketch the linear function.
278) f (x) = 3x + 1
279) f (x) = 4 − x
280) f (x) = 5x − 9
281) f (x) = 3 (x − 1) + 4
284) f (x) = (x − 1)2
285) f (x) = − (x + 4)3
Power and Reciprocal Functions
Sketch the power function.
282) f (x) = x17
286) f (x) =
1
x7
283) f (x) = (x + 3)3
287) f (x) =
1
x−3
288) f (x) =
2
(x + 1)4
289) f (x) =
−1
(x − 4)3
Polynomial Functions
Sketch the polynomial function.
290) P (x) = x2 + 6x + 2
291) P (x) = 2x2 − 8x + 4
293) P (x) = −2x2 + 12x
294) P (x) = (x − 3) (x + 1) (x − 5)
295) P (x) = x3 (x − 2)2
297) P (x) = − (x − 5) x2 − 9 (x + 2)
296) P (x) = x (x + 1)3 (x − 1)2
298) P (x) = x2 x2 − 4 x2 − 9
292) P (x) 1 − 10x − x2
299) P (x) = − (x − 1)2 (x − 4) (x + 2)2
300) P (x) = x3 − 16x
301) P (x) = x3 − 3x2 − 4x
302) P (x) = x4 + x3 − 2x2
303) P (x) = x4 − 5x2 + 4
304) P (x) = 2x4 + x3 + 2x3 + 2x2 − 3x − 2
305) P (x) = x4 − 2x3 − 7x2 + 8x − 8 306) P (x) = 9x5 − 21x4 + 10x3 + 6x2 − 3x − 1
Rational Functions
Sketch the rational function.
307) f (x) =
1
x2 − 3x + 2
308) f (x) =
2x + 1
x−1
309) f (x) =
3x − 1
x+1
310) f (x) =
x−3
x+2
311) f (x) =
4x
x2 − 2x + 1
312) f (x) =
−2x
x2 + 6x + 9
313) f (x) =
8 − x2
x2 − 9
314) f (x) =
2x2 + x − 8
x2 − 4
315) f (x) =
2x2 + 8x + 2
x2 + 2x + 1
316) f (x) =
−x2 + 7x − 9
x2 − 6x + 9
Exponential Functions
Sketch the exponential function.
317) f (x) = 3x−2
318) f (x) = 2−x+1
319) g(x) = 3 + 2x
320) g(x) = 5−x − 5
321) F (x) = ex−1 + 1
322) G (x) = −ex+1 − 2
7
MATH-UA 121: Calculus I - Fall 2023 - Precalculus Recap
Logarithmic Functions
Sketch the logarithmic function.
323) f (x) = log3 (x − 1)
324) g(x) = log (−x)
326) f (x) = 3 + log5 (x + 4)
327) 2 ln (x)
325) f (x) = 2 − log2 (x)
328) g(x) = ln x2
Trigonometric Functions
Sketch the trigonometric function.
1
329) y = 10 cos
x
330) y = 4 sin (2πx)
2
π 333) y = 3 sin (2x − 2)
334) y = cos 2 x −
2
337) y = 3 tan (x)
338) y = tan (πx)
341) y = 4 csc (2x + π)
π
342) y = tan x +
6
331) y = − sin
1
x
2
π
2
6
π
339) y = 2 cot x −
2
1
π
343) y = tan
x−
2
8
335) y = − cos
π
x+
π
332) y = 2 sin x −
4
π
336) y = 10 sin 2x −
2
π
1
340) y = sec
x−
2
2
344) y = −4 sec (4πx)
Piece-wise Functions
Sketch the piece-wise function.
(
3, x > 2
345) f (x) =
1, x ≥ 2
(√
−x,
√
− x,
348) f (x) =
(√
(
x + 1, x ≥ 3
346) f (x) =
x + 2, x < 3
347) f (x) =
x + 2, −2 ≤ x ≤ 2
4 − x,
x>2




x + 3,
x ≤ −2
√
8 + 2x, x ≤ −2
349) f (x) =
4 − x2 , −2 < x < 2 350) f (x) = x2 ,
−2 < x < 2




−x + 3, x ≥ 2
8 − 2x, x ≥ 2
x<0
x≥0
Combining Functions
Let f (x) =
√
351) f + g
x, g (x) = x − 4 and h (x) =
353) f − h
352) f + h
Let f (x) = x − 2, g (x) =
359) f (g (−1))
√
x and h (x) =
360) g (f (−1))
1
. Find each of the following functions and state their domains.
x−2
354) h − g
355) g · h
356) f · h
357)
g
f
358)
f
g
1
. Evaluate each expression.
x
361) (f ◦ h) (5)
362) (h ◦ f ) (−7)
363) (g ◦ h ◦ f ) (2) 364) (h ◦ f ◦ g) (3)
Inverse Functions
Find the inverse of f (x).
365) f (x) = 5x + 1
369) f (x) =
√
3
x−1+5
√
3
366) f (x) = 3x − 7
1
367) f (x) x − 9
2
368) f (x) =
370) f (x) = −x3 + 4
371) f (x) = 3x3 − 7
√
372) f (x) = 2 3 x − 7
8
x−9