11-mavzu
Bul funksiyalari. Bul ayniyatlari. Formulalarning teng kuchliligi. Predikatlar.
Umumiylik va mavjudlik kvantorlari
1.
2.
3.
4.
Reja:
Bul funksiyalar, ularning usullari. Bul funksiyalari soni. Bul algebrasi.
Ahamiyatli va ahamiyatsiz o’zgaruvchilar
Bul funksiyalarning formulalar orqali amalga oshirilishi
Ikkilamchi funksiyalar. Ikkilamchi prinsipi
Kalit so’zlar:Bul funksiyalar, Bul algebrasi, ahamiyatli va ahamiyatsiz
o’zgaruvchilar, formula, ikkilamchi funksiya, ikkilamchi prinsipi.
Ma’lumki, mantiqiy amallar mulohazalar algebrasi nuqtai nazardan chinlik
jadvallari bilan to’liq xarakterlanadi. Agarda funskiyaning jadval shaklda berilishini
esga olsak, u vaqtda mulohazalar algebrasida ham funksiya tushunchasini
aniqlashimiz mumkin.
Ta’rif. x1, x2, … ,xn mulohazalar algerbasining x1, x2, … ,xnargumentli f(x1, x2,
… ,xn) funksiyasi deb nol va bir qiymat qabul funksiyaga aytiladi va uning x1, x2, …
,xnargumentlari ham nol va bir qiymatlar qabul qilinadi.
Ta’rif. F:{0,1}n -> {0,1} funksiya mantiqiy algebraning funksiyasi yoki Bul
funksiyasi deyiladi. N-o’zgaruvchili Bul funksiyalar to’plamini Pn orqali belgilaymiz,
ya’ni
𝑃𝑛 = {𝑓; 𝑓: {0,1}𝑛 → {0,1}}
Bir o’zgaruvchili funksiyalar 4 ta bo’lib, ular quyidagilar
1. f0(x)=0 – aynan nolga teng funksiya yoki aynan yolg’on funksiya
2. f1(x)=x – aynan funksiya
3. 𝑓2(𝑥 ) = 𝑥̅ = ¬𝑥 = 𝑥′ - inkor funksiya
4. f3(x)=1 – aynan birga teng funksiya yoki aynan chin funksiya
Argument
0
𝑓𝑜 (𝑥)
0
0
x
1
0
Bul funksiyalar
x
𝑥̅ , ¬𝑥, 𝑥′
𝑓1(𝑥)
𝑓2 (𝑥 )
1
0
0
1
1
𝑓3 (𝑥)
1
1
Barcha ikki o’zgaruvchili funksiyalarni sanab o’tamiz.
x
Y
1
1
0
1
0
1
0 ⋀
1
1
↓ x ⨁ 𝑥̅ ↔ 𝑦 𝑦̅
⋁
→
𝑔0 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝑔4 𝑔5 𝑔6 𝑔7 𝑔8 𝑔9 𝑔10 𝑔11 𝑔12 𝑔13 𝑔14 𝑔15
0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0
1
0
1
1
1
0 0 1 0 0 1 1 0 0 0
1
1
1
0
1
1
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Hammasi bo’lib 16 ta har xil iki o’zgaruvchili funksiyalar mavjud. Ularning
ko’pchiligi maxsus nomlanadi:
𝑔1 (𝑥, 𝑦) = 𝑥⋀𝑦 – konyunksiya
𝑔4 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 ↓ 𝑦 - Pirs strelkasi
𝑔6 (𝑥, 𝑦) = 𝑥⨁𝑦 - 2 modul bo’yicha qo’shish yoki Jegalkin yig’indisi
Bul funksiyalarining qiymatlar jadvaliga chinlik jadvali deyiladi. Har qanday n
o’lchovli f(x1, x2, … ,xn) Bul funksiyani chinlik jadvali orqali berish mumkin:
𝑥 𝑦 𝑥⨁𝑦
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
𝑥⨁𝑦 = ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥↔𝑦
1⨁1 = 2 = 2 ∙ 1 + 0
1⨁0 = 1 = 2 ∙ 0 + 1
0⨁1 = 1 = 2 ∙ 0 + 1
0⨁0 = 0 = 2 ∙ 0 + 0
𝑔8 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑦 – ekvivalentlik
𝑔11 (𝑥, 𝑦) = 𝑥⋁𝑦 – dizyunksiya
𝑔12 (𝑥, 𝑦) = 𝑥|𝑦 - Sheffer shtrixi
𝑔13 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 → 𝑦 – implikatsiya
Bul funksiyalarining qiymatlar jadvaliga chinlik jadvali deyiladi. Har qanday n
o’lchovli f(x1,x2,...,xn) Bul funksiyani chinlik jadvali orqali berish mumkin:
x1
x2
...........
xn
f(x1,x2,...,xn)
0
0
...........
0
λ1
1
0
...........
0
λ2
0
1
...........
0
λ3
...........
...........
...........
...........
...........
1
1
...........
1
λ2n
𝑛
bu yerda λiϵ{0,1},i=1,2,...,2n. Bu jadval 2n ta satr bo’lib, ularga 22 ta har xil ustunlar
mos qo’yish mumkin. Lekin bunday har bir ustun biror n o’zgaruvchili Bul
funksiyaga mos keladi. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
𝑛
Teorema. N o’zgaruvchili har xil Bul funksiyalarining soni 22 ga teng, ya’ni
𝑛
|Pn|=22
Bul algebrasi
Teorema. Konyunksiya (𝑥⋀𝑦), dizyunksiya (𝑥⋁𝑦), inkor (𝑥̅ ) amallari va
0,1ϵM elementlari uchun quyidagi amallar:
𝑥̿ = 𝑥
𝑥⋀𝑦 = 𝑦⋀𝑥
𝑥⋀(𝑦⋀𝑧) = (𝑥⋀𝑦)⋀𝑧
̅̅̅̅̅̅ = 𝑥̅ ⋀𝑦̅
𝑥⋁𝑦
𝑥⋁𝑦 = 𝑦⋁𝑥
𝑥⋁(𝑦⋁𝑧) = (𝑥⋁𝑦)⋁𝑧
̅̅̅̅̅̅
𝑥⋀𝑦 = 𝑥̅ ⋁𝑦̅
𝑥⋁𝑦 = 𝑥
𝑥⋁(𝑦⋀𝑧) = (𝑥⋁𝑦)⋀(𝑥⋁𝑥)
𝑥⋀𝑥 = 𝑥
1⋀𝑥 = 𝑥
0⋁𝑥 = 𝑥
bajarilsa, bunday M to’plamga Bul algebrasi deyiladi.
Mulohazalar to’plami uchun konyunksiya (⋀), dizyunksiya(⋁), inkor(¬, −)
amallari va {0,1} elementlari aniqlangani uchun, bu to’plam Bul algebrasi bo’ladi.
Ta’rif. Agar o’zgaruvchining shunday a1, a2,...,ai-1,ai,...,an qiymatlar majmuasi
mavjud bo’lib, f(a1, a2,...,ai-1,1,ai,...,an)=f(a1, a2,...,ai-1,0,ai,...,an) munosabat bajarilsa, u
vaqtda xi o’zgaruvchiga f(x1,x2,...,xn) funksiyaning ahamiyatsiz (sohta) o’zgaruvchisi,
agar f(a1, a2,...,ai-1,1,ai,...,an)≠f(a1, a2,...,ai-1,0,ai,...,an) munosabat bajarilsa, u vaqtda xi
o’zgaruvchiga f(x1,x2,...,xn) funksiyaning ahamiyatli (sohta emas) o’zgaruvchisi deb
ataladi.
Misol. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥⋁(𝑥⋀𝑦) funksiyada 𝑦 o’zgaruvchi sohta bo’ladi.
Haqiqatdan,
𝑥 = 1, 𝑦 = 0 𝑑𝑎𝑓 (1,0) = 1⋁(1⋀0) = 1
𝑥 = 1, 𝑦 = 1 𝑑𝑎𝑓 (1,0) = 1⋁(1⋀0) = 1
𝑦𝑎′ 𝑛𝑖𝑓 (1,0) = 𝑓(1,1)
Misol. f1,f2 va f3 funksiyalar quyidagi chinlik jadvali orqali berilgan bo’lsin:
𝑥
1
1
0
0
𝑦
1
0
1
0
𝑓1
0
0
1
1
𝑓2
1
1
1
1
𝑓3
1
0
0
0
Ko’rinib turibdiki, f1 funksiya uchun x o’zgaruvchi ahamiyatli o’zgaruvchi, u esa
ahamiyatsiz, f2 uchun ikkala o’zgaruvchi ham ahamiyatsiz, f3 uchun ikkala
o’zgaruvchi ham ahamiyatli.
Ф={f1,f2,...,fn} Bul funksiyalar to’plami berilgan bo’lsin.
Ta’rifФ to’plam ustida aniqlangan formula deb, F(Ф)=f(t1,t2,...,tn) ifodaga
aytiladi, bu yerda fϵФ va tiФ ustidagi yoki o’zgaruvchi, yoki formula.
Ф to’plam bazis, f tashqi funksiya, ti lar esa qism formulalar deyiladi. Har
qanday F formulaga bir qiymatli biror f Bul funksiyasi mos keladi. Bu holda F
formula f funksiyani ifodalaydi deyiladi va f=funcF ko’rinishida belgilanadi.
Bazis funksiyalarini chinlik jadvalini bilgan holda, bu formula ifodalaydigan
funksiyaning chinlik jadvalini hisoblashimiz mumkin.
Misol. Ф = {⋀, →} 𝑣𝑎𝐹 = (𝑥⋀𝑦) → 𝑥
𝑥
𝑦
𝑥⋀𝑦 𝐹 = (𝑥⋀𝑦) → 𝑥
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
F formulaga mos keluvchi f funksiyani Ф dan olingan funksiyalarning
superpozitsiyasi, f funksiyani Ф dan hosil qilinish jarayonini superpozitsiya amali deb
ataymiz.
((𝑥1 ⋀𝑥2 )⋁𝑥1 ) → 𝑥3 formula berilgan bo’lsin. ((𝑥1 ⋀𝑥2 )⋁𝑥1) → 𝑥3 formula
uchta qadamda ko’riladi. Haqiqatdan, biz quyidagi uchta qism formulalarga ega
bo’lamiz:
(𝑥1 ⋀𝑥2 ), ((𝑥1 ⋀𝑥2)⋁𝑥1), ((𝑥1 ⋀𝑥2 )⋁𝑥1) → 𝑥3
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥1⋀𝑥2 (𝑥1 ⋀𝑥2 )⋁𝑥1 ((𝑥1 ⋀𝑥2 )⋁𝑥1 ) → 𝑥3
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
Biz yuqorida ko’rdikki, Ф to’plamdan hosil qilingan har bir formulaga mantiq
algebrasining formulasi mos keladi, biroq har xil formulalarga teng funksiyalar mos
kelishi mumkin.
Ta’rif Bitta Bul funksiyasini ifodalovchi formulalar ekvivalent deyiladi, ya’ni
𝐹1 = 𝐹2 ⇔ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝐹1 = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝐹2
Teorema. Ixtiyoriy f,g,h Bul funksiyalar uchun quyidagi ekvivalentliklar o’rinli:
1. 𝑓 ̿ = 𝑓
2. Konyunksiya, dizyunksiya va ikki modul bo’yicha qo’shishning idempotentligi:
𝑓⋀𝑓 = 𝑓,
𝑓⋁𝑓 = 𝑓,
𝑓⨁𝑓 = 𝑓
3. Konyunksiya, dizyunksiyava ikki modul bo’yicha qo’shishning
kommunikativligi:
𝑓⋀𝑔 = 𝑔⋀𝑓, 𝑓⋁𝑔 = 𝑔⋁𝑓,
𝑓⨁𝑔 = 𝑔⨁𝑓
4. Konyunksiya, dizyunksiya va ikki modul bo’yicha qo’shishning assotsiativligi:
𝑓⋀(𝑔⋀ℎ) = (𝑓⋀𝑔)⋀ℎ, 𝑓⋁(𝑔⋁ℎ) = (𝑓⋁𝑔)⋁ℎ, 𝑓⨁(𝑔⨁ℎ) = (𝑓⨁𝑔)⨁ℎ
Distributivlik qonunlari:
𝑓⋀(𝑔⋀ℎ) = (𝑓⋀𝑔)⋁(𝑓⋀ℎ), 𝑓⋁(𝑔⋀ℎ) = (𝑓⋁𝑔)⋀(𝑓⋁ℎ),
(𝑓⋀𝑔)⨁(𝑓⋀ℎ)
5. Yutish qonuni:
𝑓⋀(𝑓⋁𝑔) = 𝑔, 𝑓⋁(𝑓⋀𝑔) = 𝑓
6. De Morgan qonuni:
7. ̅̅̅̅̅̅
𝑓⋁𝑔 = 𝑓 ̅⋀𝑔̅ , ̅̅̅̅̅̅
𝑓⋀𝑔 = 𝑓 ̅⋁𝑔̅ ,
8. 𝑓⋁𝑓 ̅ = 1, 𝑓⋀𝑓 ̅ = 0
9. 𝑓 → 𝑔 = 𝑔̅ → 𝑓 ̅
10. Implikatsiyani yo’qotish qonuni:
𝑓 ↔ 𝑔 = 𝑓 ̅⋁𝑔
11. Ekvivalentlikni yo’qotish qoidasi:
𝑓 ↔ 𝑔 = (𝑓 → 𝑔)⋀(𝑔 → 𝑓)
12. 𝑓 ̅ = 𝑓|𝑓 = 𝑓 ↓ 𝑓 = 𝑓⨁1
(𝑓⋀𝑔), 𝑓 ↓ 𝑔 = ̅̅̅̅̅̅
13. 𝑓|𝑔 = ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑓⋁𝑔
(
)
14. 𝑓⋁𝑔 = (𝑓|𝑓)| 𝑔|𝑔 , 𝑓⋀𝑔 = (𝑓 ↓ 𝑓 ) ↓ (𝑔 ↓ 𝑔), 𝑓 → 𝑔 = 𝑓|(𝑔|𝑔)
15. 𝑓⨁𝑔 = ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑓↔𝑔
Ta’rif. f(x1,x2,...,xn)ϵPn bul funksiya bo’lsin, unda
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑓 ∗(𝑥
̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅)
𝑥𝑛 funksiya, f bul funksiyaga ikkilamchi bo’lgan
1 ̅̅̅,
funksiya deyiladi.
Bu ta’rifdan bevosita, ixtiyoriy f bul funksiyasi uchun f**=f ekanligi kelib
chiqadi. Haqiqatdan,
∗ (̅̅̅,
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑓 ∗∗ = (𝑓 ∗ )∗ = (𝑓
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 ))∗ = ̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿
𝑓 ∗(𝑥
̿̿̿,
𝑥2 … , ̿̿̿)
𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑓.
1 ̿̿̿,
∗
∗
Misol. a)𝑓 = 𝑥⋁𝑔, 𝑓 =? 𝑏)𝑔 = 𝑥, 𝑔 =? 𝑐)ℎ = 𝑥,
̅ ℎ ∗ =?
Yechish.
𝑎)𝑓 ∗ = 𝑥̅̅̅̅̅̅̅
⋁𝑔̅ = 𝑥̿ ⋀𝑔̿ = 𝑥⋀𝑔;
∗
̅̅̅̅
𝑏)𝑔 = (𝑥̅ ) = 𝑥 = 𝑔,
𝑔∗ = 𝑔
𝑐)ℎ∗ = ̅̅̅̅
(𝑥̿ ) = 𝑥̅ = ℎ
Ta’rif. Agar f*=f bo’lsa, f funksiya o’z-o’ziga ikkilamchi deyiladi.
Yuqoridagi misoldan ko’rinadiki, inkor va aynan funksiya o’z-o’ziga
ikkilamchi, dizyunksiya funksiya o’z-o’ziga ikkilamchi emas.
∗(
Teorema. Agar φ(x1,x2,...,xn) bul funksiya
f(f1(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fn(x1,x2,...,xn)) formula ko’rinishida ifodalangan
bo’lsa, bu yerda f1,f2,...,fn lar bul funksiyalar, unda
f*(f*1(x1,x2,...,xn),f*2(x1,x2,...,xn),...,f*n(x1,x2,...,xn)) formula φ*(x1,x2,...,xn) funksiyani
ifodalaydi.
Isbot. 𝜑∗(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝜑̅(̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 ) =
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑓 ̅(𝑓1(̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 ), … , 𝑓𝑛 (̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 )) =
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑓 ̅ (𝑓̿1(̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 ), … 𝑓̿𝑛 (̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 )) =
̅̅̅∗(̅̅̅,
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑓 ̅ (𝑓
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 ), … ̅̅̅
𝑓𝑛∗(̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 )) =
1 𝑥1 ̅̅̅,
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑓 ∗(𝑓1∗(̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 ), … 𝑓𝑛∗(̅̅̅,
𝑥1 ̅̅̅,
𝑥2 … , ̅̅̅
𝑥𝑛 )).
Teorema isbotlandi.
Keyingi teorema “ikkilamchi prinsipli” deb nomlanadi va matematik induksiya
usuli bilan isbotlanadi. Bunda induksiya o’tishlar yuqoridagi isbotlangan teorema
asosida amalga oshiriladi.
Teorema. (Ikkilamchi prinsipli)
Ф={f1,f2,…,fn} va Ф∗ = {𝑓1∗ , 𝑓2∗, … , 𝑓𝑚∗ } - bazislar bo’lsin. U holda, agar F formula Ф
bazisda f funksiyani ifodalasa, unda F formuladan fi ni uni ikkilamchi 𝑓𝑖∗ funksiyaga
almashtirish natijasida hosil qilingan F* formula Ф bazisda f* funksiyani ifodalaydi,
ya’ni
𝑓 = 𝑓𝑢𝑛𝑐[Ф]𝑢 ⇒ 𝑓 ∗ = 𝑓𝑢𝑛𝑐𝐹 ∗[Ф∗ ], 𝑏𝑢 𝑦𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐹 ∗ [Ф∗ ] = 𝐹[Ф]{𝑓𝑖∗|𝑓𝑖 }𝑚
𝑖=1
Nazoatsavollar:
1.Mulohazalaralgebrasiningfunksiyasita’rifiniayting.
2.Biro’zgaruvchifunksiyalarkeltiring.
3.N o’zgaruvchilarsoninimagateng?
4.Bulalgebrasi deb nimagaaytiladi?
5.Ahamiyatlio’zgaruvchi deb nimagaaytiladi?
6.Ahamiyatsizo’zgaruvchi deb nimagaaytiladi?
7. Formula ta’rifinikeltiring.
8.Qandayformulalarekvivalentdeyiladi?
9.Qandayekvivalentliklarnibilasiz?
10. Ikkilamchifunksiyata’rifiniayting.
11. Ikkilamchiprinsipinikeltiring.
ASOSIY ADABIYOTLAR
1. Тураев Х. Математик мантиқвадискрет математика. Т.: “Ўқитувчи”, 2003.
2. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Элементы дискретной математики – М.: «Инфра-М», 2002 г.
3. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика. – Ростов – на-Дону, «Феникс»,
2003 г.
4. Кулабухов С.Ю. Дискретная математика – Таганрогский радиотехнический университет, Таганрог,
2001 г.
5. Гаврилов Г.П. , Сапожченко А.А. Задачии упражнения по дискретной математики.М.:Наука.2005.
6. Еруссалимский Я.М. Дискретная математика теория , задачи , приложения.- М.«Вузовскаякнига» ,
2002 г.
7. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и пратических занятий. Санкт-Петербург«БХВПетербург» 2009 г.
8. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Теория графов. М.: «Наука» 1991.
ҚЎШИМЧА АДАБИЁТЛАР
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: “Наука”, 1979.
2. Куратовский К. Мостовский А. Теория множеств. М.: “Мир”, 1970.
3. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. М.
Просвешение.1986.
4. Зыков А.А. Основы теории графов.-М., «Наука» 1987 г.
5. Ершов Ю.Л. и др. Математическая логика. .-М., «Наука» 1987 г.
INTERNET SAHIFALARI
1. www.intuit.ru/department/ds/discrmath/
2. http://www.uni-dubna.ru/~mazny/kurses/odm/lekcii/
3. http://www.lvf2004.com/dop_t2r1part2.html
4. http://www.mielt.ru/dir/cat14/subj266/file292.html
5. http://window.edu.ru/window/catalog?p_rid=28455
6. http://lib.rus.ec/b/259478
7. www.doc.ic.ac.uk/~iccp/papers/discrete94.pdf
8. http://calvino.polito.it/~tilli/matdiscreta/Discrete%20Mathematics.html