Uploaded by lo.mar.e.spi.o

Diskretna matematika: Bulove funkcije i algebra

advertisement
Bu yerda Diskret fanidan javoblar:
Bir o’zgaruvchili funksiyalar 4 ta bo’lib, ular quyidagilar
1. f0(x)=0 – aynan nolga teng funksiya yoki aynan yolg’on funksiya
2. f1(x)=x – aynan funksiya
3. 𝑓2
(π‘₯) = π‘₯Μ…= ¬π‘₯ = π‘₯′ - inkor funksiya
4. f3(x)=1 – aynan birga teng funksiya yoki aynan chin funksiya
Argument Bul funksiyalar
x
0 x π‘₯Μ…, ¬π‘₯, π‘₯′ 1
π‘“π‘œ(π‘₯) 𝑓1(π‘₯) 𝑓2
(π‘₯) 𝑓3(π‘₯)
10101
00011
Barcha ikki o’zgaruvchili funksiyalarni sanab o’tamiz.
xY
0 β‹€ ↓ x ⨁ π‘₯Μ… ↔ 𝑦 𝑦̅ ⋁ 1 → 1
𝑔0 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝑔4 𝑔5 𝑔6 𝑔7 𝑔8 𝑔9 𝑔10 𝑔11 𝑔12 𝑔13 𝑔14 𝑔15
110100010011010111
100010011000111011
010001001101011101
000000100110101111
Hammasi bo’lib 16 ta har xil iki o’zgaruvchili funksiyalar mavjud. Ularning
ko’pchiligi maxsus nomlanadi:
𝑔1
(π‘₯, 𝑦) = π‘₯⋀𝑦 – konyunksiya
𝑔4
(π‘₯, 𝑦) = π‘₯ ↓ 𝑦 - Pirs strelkasi
𝑔6
(π‘₯, 𝑦) = π‘₯⨁𝑦 - 2 modul bo’yicha qo’shish yoki Jegalkin yig’indisi
Bul funksiyalarining qiymatlar jadvaliga chinlik jadvali deyiladi. Har qanday n
o’lchovli f(x1, x2, … ,xn) Bul funksiyani chinlik jadvali orqali berish mumkin:
π‘₯ 𝑦 π‘₯⨁𝑦
110
101
011
000
Μ…Μ…
Μ… 𝑦̅
Μ…
π‘₯⨁𝑦 = π‘₯Μ…Μ…↔Μ…
1⨁1 = 2 = 2 βˆ™ 1 + 0
1⨁0 = 1 = 2 βˆ™ 0 + 1
0⨁1 = 1 = 2 βˆ™ 0 + 1
0⨁0 = 0 = 2 βˆ™ 0 + 0
𝑔8
(π‘₯, 𝑦) = π‘₯ ↔ 𝑦 – ekvivalentlik
𝑔11(π‘₯, 𝑦) = π‘₯⋁𝑦 – dizyunksiya
𝑔12(π‘₯, 𝑦) = π‘₯|𝑦 - Sheffer shtrixi
𝑔13(π‘₯, 𝑦) = π‘₯ → 𝑦 – implikatsiya
Bul funksiyalarining qiymatlar jadvaliga chinlik jadvali deyiladi. Har qanday n
o’lchovli f(x1,x2,...,xn) Bul funksiyani chinlik jadvali orqali berish mumkin:
x1 x2 ........... xn f(x1,x2,...,xn)
0 0 ........... 0 λ1
1 0 ........... 0 λ2
0 1 ........... 0 λ3
........... ........... ........... ........... ...........
1 1 ........... 1 λ2n
bu yerda λiΟ΅{0,1},i=1,2,...,2n
. Bu jadval 2n
ta satr bo’lib, ularga 2
2
𝑛
ta har xil ustunlar
mos qo’yish mumkin. Lekin bunday har bir ustun biror n o’zgaruvchili Bul
funksiyaga mos keladi. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
Teorema. N o’zgaruvchili har xil Bul funksiyalarining soni 2
2
𝑛
ga teng, ya’ni
|Pn|=2
2
𝑛
Bul algebrasi
Teorema. Konyunksiya (π‘₯⋀𝑦), dizyunksiya (π‘₯⋁𝑦), inkor (π‘₯Μ…) amallari va
0,1Ο΅M elementlari uchun quyidagi amallar:
π‘₯ΜΏ= π‘₯ π‘₯⋀𝑦 = 𝑦⋀π‘₯ π‘₯β‹€(𝑦⋀𝑧) = (π‘₯⋀𝑦)⋀𝑧
Μ… ̅𝑦̅ = π‘₯̅⋀𝑦̅ π‘₯⋁𝑦 = 𝑦⋁π‘₯ π‘₯⋁(𝑦⋁𝑧) = (π‘₯⋁𝑦)⋁𝑧
π‘₯̅̅⋁̅
π‘₯̅̅̅⋀̅̅𝑦̅ = π‘₯̅⋁𝑦̅ π‘₯⋁𝑦 = π‘₯ π‘₯⋁(𝑦⋀𝑧) = (π‘₯⋁𝑦)β‹€(π‘₯⋁π‘₯)
π‘₯β‹€π‘₯ = π‘₯ 1β‹€π‘₯ = π‘₯ 0⋁π‘₯ = π‘₯
bajarilsa, bunday M to’plamga Bul algebrasi deyiladi.
Mulohazalar to’plami uchun konyunksiya (β‹€), dizyunksiya(⋁), inkor(¬, −)
amallari va {0,1} elementlari aniqlangani uchun, bu to’plam Bul algebrasi bo’ladi.
Ta’rif. Agar o’zgaruvchining shunday a1, a2,...,ai-1,ai,...,an qiymatlar majmuasi
mavjud bo’lib, f(a1, a2,...,ai-1,1,ai,...,an)=f(a1, a2,...,ai-1,0,ai,...,an) munosabat bajarilsa, u
vaqtda xi o’zgaruvchiga f(x1,x2,...,xn) funksiyaning ahamiyatsiz (sohta) o’zgaruvchisi,
agar f(a1, a2,...,ai-1,1,ai,...,an)≠f(a1, a2,...,ai-1,0,ai,...,an) munosabat bajarilsa, u vaqtda xi
o’zgaruvchiga f(x1,x2,...,xn) funksiyaning ahamiyatli (sohta emas) o’zgaruvchisi deb
ataladi.
Misol. 𝑓(π‘₯, 𝑦) = π‘₯⋁(π‘₯⋀𝑦) funksiyada 𝑦 o’zgaruvchi sohta bo’ladi.
Haqiqatdan,
π‘₯ = 1, 𝑦 = 0 π‘‘π‘Žπ‘“(1,0) = 1⋁(1β‹€0) = 1
π‘₯ = 1, 𝑦 = 1 π‘‘π‘Žπ‘“(1,0) = 1⋁(1β‹€0) = 1
π‘¦π‘Ž
′𝑛𝑖𝑓(1,0) = 𝑓(1,1)
Misol. f1,f2 va f3 funksiyalar quyidagi chinlik jadvali orqali berilgan bo’lsin:
π‘₯ 𝑦 𝑓1 𝑓2 𝑓3
11011
10010
01110
00110
Ko’rinib turibdiki, f1 funksiya uchun x o’zgaruvchi ahamiyatli o’zgaruvchi, u esa
ahamiyatsiz, f2 uchun ikkala o’zgaruvchi ham ahamiyatsiz, f3 uchun ikkala
o’zgaruvchi ham ahamiyatli
Download