Bu yerda Diskret fanidan javoblar:
Bir o’zgaruvchili funksiyalar 4 ta bo’lib, ular quyidagilar
1. f0(x)=0 – aynan nolga teng funksiya yoki aynan yolg’on funksiya
2. f1(x)=x – aynan funksiya
3. 𝑓2
(𝑥) = 𝑥̅= ¬𝑥 = 𝑥′ - inkor funksiya
4. f3(x)=1 – aynan birga teng funksiya yoki aynan chin funksiya
Argument Bul funksiyalar
x
0 x 𝑥̅, ¬𝑥, 𝑥′ 1
𝑓𝑜(𝑥) 𝑓1(𝑥) 𝑓2
(𝑥) 𝑓3(𝑥)
10101
00011
Barcha ikki o’zgaruvchili funksiyalarni sanab o’tamiz.
xY
0 ⋀ ↓ x ⨁ 𝑥̅ ↔ 𝑦 𝑦̅ ⋁ 1 → 1
𝑔0 𝑔1 𝑔2 𝑔3 𝑔4 𝑔5 𝑔6 𝑔7 𝑔8 𝑔9 𝑔10 𝑔11 𝑔12 𝑔13 𝑔14 𝑔15
110100010011010111
100010011000111011
010001001101011101
000000100110101111
Hammasi bo’lib 16 ta har xil iki o’zgaruvchili funksiyalar mavjud. Ularning
ko’pchiligi maxsus nomlanadi:
𝑔1
(𝑥, 𝑦) = 𝑥⋀𝑦 – konyunksiya
𝑔4
(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ↓ 𝑦 - Pirs strelkasi
𝑔6
(𝑥, 𝑦) = 𝑥⨁𝑦 - 2 modul bo’yicha qo’shish yoki Jegalkin yig’indisi
Bul funksiyalarining qiymatlar jadvaliga chinlik jadvali deyiladi. Har qanday n
o’lchovli f(x1, x2, … ,xn) Bul funksiyani chinlik jadvali orqali berish mumkin:
𝑥 𝑦 𝑥⨁𝑦
110
101
011
000
̅̅
̅ 𝑦̅
̅
𝑥⨁𝑦 = 𝑥̅̅↔̅
1⨁1 = 2 = 2 ∙ 1 + 0
1⨁0 = 1 = 2 ∙ 0 + 1
0⨁1 = 1 = 2 ∙ 0 + 1
0⨁0 = 0 = 2 ∙ 0 + 0
𝑔8
(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑦 – ekvivalentlik
𝑔11(𝑥, 𝑦) = 𝑥⋁𝑦 – dizyunksiya
𝑔12(𝑥, 𝑦) = 𝑥|𝑦 - Sheffer shtrixi
𝑔13(𝑥, 𝑦) = 𝑥 → 𝑦 – implikatsiya
Bul funksiyalarining qiymatlar jadvaliga chinlik jadvali deyiladi. Har qanday n
o’lchovli f(x1,x2,...,xn) Bul funksiyani chinlik jadvali orqali berish mumkin:
x1 x2 ........... xn f(x1,x2,...,xn)
0 0 ........... 0 λ1
1 0 ........... 0 λ2
0 1 ........... 0 λ3
........... ........... ........... ........... ...........
1 1 ........... 1 λ2n
bu yerda λiϵ{0,1},i=1,2,...,2n
. Bu jadval 2n
ta satr bo’lib, ularga 2
2
𝑛
ta har xil ustunlar
mos qo’yish mumkin. Lekin bunday har bir ustun biror n o’zgaruvchili Bul
funksiyaga mos keladi. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi:
Teorema. N o’zgaruvchili har xil Bul funksiyalarining soni 2
2
𝑛
ga teng, ya’ni
|Pn|=2
2
𝑛
Bul algebrasi
Teorema. Konyunksiya (𝑥⋀𝑦), dizyunksiya (𝑥⋁𝑦), inkor (𝑥̅) amallari va
0,1ϵM elementlari uchun quyidagi amallar:
𝑥̿= 𝑥 𝑥⋀𝑦 = 𝑦⋀𝑥 𝑥⋀(𝑦⋀𝑧) = (𝑥⋀𝑦)⋀𝑧
̅ ̅𝑦̅ = 𝑥̅⋀𝑦̅ 𝑥⋁𝑦 = 𝑦⋁𝑥 𝑥⋁(𝑦⋁𝑧) = (𝑥⋁𝑦)⋁𝑧
𝑥̅̅⋁̅
𝑥̅̅̅⋀̅̅𝑦̅ = 𝑥̅⋁𝑦̅ 𝑥⋁𝑦 = 𝑥 𝑥⋁(𝑦⋀𝑧) = (𝑥⋁𝑦)⋀(𝑥⋁𝑥)
𝑥⋀𝑥 = 𝑥 1⋀𝑥 = 𝑥 0⋁𝑥 = 𝑥
bajarilsa, bunday M to’plamga Bul algebrasi deyiladi.
Mulohazalar to’plami uchun konyunksiya (⋀), dizyunksiya(⋁), inkor(¬, −)
amallari va {0,1} elementlari aniqlangani uchun, bu to’plam Bul algebrasi bo’ladi.
Ta’rif. Agar o’zgaruvchining shunday a1, a2,...,ai-1,ai,...,an qiymatlar majmuasi
mavjud bo’lib, f(a1, a2,...,ai-1,1,ai,...,an)=f(a1, a2,...,ai-1,0,ai,...,an) munosabat bajarilsa, u
vaqtda xi o’zgaruvchiga f(x1,x2,...,xn) funksiyaning ahamiyatsiz (sohta) o’zgaruvchisi,
agar f(a1, a2,...,ai-1,1,ai,...,an)≠f(a1, a2,...,ai-1,0,ai,...,an) munosabat bajarilsa, u vaqtda xi
o’zgaruvchiga f(x1,x2,...,xn) funksiyaning ahamiyatli (sohta emas) o’zgaruvchisi deb
ataladi.
Misol. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥⋁(𝑥⋀𝑦) funksiyada 𝑦 o’zgaruvchi sohta bo’ladi.
Haqiqatdan,
𝑥 = 1, 𝑦 = 0 𝑑𝑎𝑓(1,0) = 1⋁(1⋀0) = 1
𝑥 = 1, 𝑦 = 1 𝑑𝑎𝑓(1,0) = 1⋁(1⋀0) = 1
𝑦𝑎
′𝑛𝑖𝑓(1,0) = 𝑓(1,1)
Misol. f1,f2 va f3 funksiyalar quyidagi chinlik jadvali orqali berilgan bo’lsin:
𝑥 𝑦 𝑓1 𝑓2 𝑓3
11011
10010
01110
00110
Ko’rinib turibdiki, f1 funksiya uchun x o’zgaruvchi ahamiyatli o’zgaruvchi, u esa
ahamiyatsiz, f2 uchun ikkala o’zgaruvchi ham ahamiyatsiz, f3 uchun ikkala
o’zgaruvchi ham ahamiyatli