Teorı́a intuitiva de conjuntos
Introducción
Teorı́a intuitiva de conjuntos
Siete
Facultad de Ciencias de la Electrónica
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
August 31, 2023
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Teorı́a intuitiva de conjuntos
Introducción
Introducción
Entendemos por conjunto a algo que puede o no tener elementos,
pero con la propiedad de que siempre es posible decidir si un
objeto dado cualquiera es o no elemento del conjunto en cuestión.
A los objetos de un conjunto (si los hay), les llamaremos elementos
del conjunto. Las notaciones siguientes son empleadas en el texto:
1. Usamos letras mayúsculas: A, B, C , etc. para denotar
conjuntos y letras minúsculas: a, b, c, x, y etc. para denotar
elementos de conjuntos.
2. Si A es un conjunto, denotamos x ∈ A, a la proposición x es
elemento del conjunto A y con x ∈
/ A a su negación (i.e. x no
es elemento de A).
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Generalmente, al trabajar con varios conjuntos ocurre que los
elementos son todos de un mismo tipo o pertenecen a una
colección de objetos más amplia. Es usual llamar conjunto
universal o simplemente universo a esa colección de objetos y
denotarla con la letra U. Ası́ que es importante tener en claro que
U es contextual. Por ejemplo, si trabajamos con conjuntos cuyos
elementos son números enteros, podrı́amos tomar al universo, U,
como el conjunto de todos los números enteros. Si trabajamos con
conjuntos cuyos elementos son números enteros y racionales, el
universo podrı́a ser cualquiera, el conjunto de los número
racionales o bien el de los números reales.
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Hay dos maneras de representar conjuntos:
1. Extensión: Se listan todos los elementos del conjunto entre
llaves y separados por comas. Por ejemplo A = {a, e, i, o, u},
B = {1, 3, 5, 7} y C = {A, B} (¡conjunto puede ser elemento
de otro conjunto!).
2. Comprensión: Se enuncia una propiedad definitoria de los
elementos del conjunto y se denota al conjunto de la manera
siguiente: Si A es un conjunto y p(x) es la propiedad que
define a los elementos del conjunto, escribimos
A = {x ∈ U : x satisface p(x)} o bien
A = {x|x satisface p(x)} o también A = {x|p(x)}.
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Definition
Sean A y B conjuntos cuyos elementos pertenecen a un universo
U. Diremos que:
1. A es subconjunto de B si la proposición:
∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B es verdadera. Denotamos A ⊆ B a
la proposición A es subconjunto de B; y denotamos A ̸⊆ B a
su negación (A no es subconjunto de B).
2. A es igual a B, si es verdadera la proposición:
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A). Usamos A = B, para denotar a la
proposición: el conjunto A es igual al conjunto B y, como es
usual A ̸= B a la negación.
3. A es subconjunto propio de B si la proposición:
(A ⊆ B) ∧ (A ̸= B) es verdadera. Denotamos A ⊂ B a la
proposición A es subconjunto propio de B.
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Hemos dicho que entendemos por conjunto a algo que puede o no
tener elementos. Se pueden construir varios ejemplos de conjuntos
que no tengan elementos. La proposición siguiente nos dice que
solo hay un conjunto sin elementos.
Proposición
Existe un solo conjunto sin elementos.
Definition
El conjunto vacı́o, denotado ∅, es el conjunto que no tiene
elementos.
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La proposición siguiente presenta algunas propiedades que satisface
la relación de contención.
Proposición
Sean A, B y C conjuntos cuyos elementos pertenecen al universo
U. Las afirmaciones siguientes se verifican.
1. A ⊆ U
2. A ⊆ A.
3. Si A ⊆ B y B ⊆ C , entonces A ⊆ C .
4. ∅ ⊆ A.
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Definition
Dados los conjuntos A y B en un universo U. Definimos:
1. La unión de A y B como el conjunto
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
2. La intersección de A y B como el conjunto:
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
3. La diferencia de A con B como el conjunto
A \ B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈
/ B} (algunos autores denotan a
la diferencia de A con B, por A − B).
4. El complemento de A, denotado Ac , como el conjunto
{x ∈ U : x ∈
/ A}.
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Las propiedades que se presentan a continuación son sencillas de
probar.
Proposición
Para cualesquiera A, B, C ⊆ U, las afirmaciones siguientes se
verifican:
1. A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A;
2. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) y (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C );
3. A ∪ Ac = U y A ∩ Ac = ∅;
4. A ∪ ∅ = A y A ∩ U = A;
5. A ∪ U = U y A ∩ ∅ = ∅;
6. (Ac )c = A, y
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7. A \ B = A ∩ B c .
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Un resultado tı́pico en esta teorı́a es el llamado Leyes de De
Morgan.
Teorema (De Morgan)
Si A, B ⊆ X entonces:
1. X \(A ∪ B) = (X \A) ∩ (X \B).
2. X \(A ∩ B) = (X \A) ∪ (X \B).
Definition
Dado un conjunto X , definimos el conjunto potencia de X ,
denotado P(X ), como el conjunto
P(X ) = {A : A ⊆ X }
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