Adrian Stan
Editura Rafet 2007
1. Mulţimea numerelor reale
1.. Scrierea în baza zece:
abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅10 + d
a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unităţilor;
a,efg = a ⋅10+ e ⋅10−1 + f ⋅10−2 + g ⋅10−3 =
= a ⋅10+ e ⋅ 0.1+ f ⋅ 0.01+ g ⋅ 0.001
e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.
2. Fracţii
-Fracţii zecimale finite: a, b =
ab
;
10
a, bc =
abc
;
100
-Fracţii zecimale periodice:-
ab − a
abc − a
;
a, (bc) =
;
9
99
abc − ab
abcd − ab
mixte: a, b(c ) =
; a, b(cd ) =
;
90
990
simple: a, (b) =
3.. Rapoarte şi proporţii
a
a a⋅n
= k, n ∈ Q* ,
se numeste raport ∀b ≠ 0; =
b
b b⋅ n
k se numeşte coeficient de proporţionalitate ;
Proprietatea fundamentală a proporţiilor:
a c
= ⇒a⋅ d = b⋅ c
b d
4. Proporţii derivate:
⎧
⎪
⎪
a
c
⎪
=
⇒ ⎨
b
d
⎪
⎪
⎪
⎩
b
d
sau
=
a
c
a
=
a ± b
c
a
a + c
=
b
b + d
d
c
a
b
sau
=
=
b
a
c
d
c
a ± b
c
=
sau
± d
b
a
a − c
=
sau
sau
b
b − d
± d
d
a2
c2
.
=
2
b
d 2
2
5. Sir de rapoarte egale:
a
a + a 2 + a 3 + .... + a n ;
a1
a
= 2 = ......... = n = 1
b1
b2
bn
b1 + b 2 + b 3 + ..... + b n
(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n )
sunt direct
a
a1 a 2
=
= .. = n = k .
b1 b2
bn
proporţionale ⇔
(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers
proporţionale
⇔ a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = .. = a n ⋅ bn
6. Modulul numerelor reale Proprietăţi:
a
⎧
⎪ a,
⎪
⎨ 0,
⎪
⎪− a,
⎩
def
a⟩0
a = 0
a ⟨0
1.
a ≥ 0,
∀a ∈ R ;
2.
a = 0,
3.
a = −a,
4.
a = b,
5.
a ⋅b = a ⋅ b
6.
a
a
=
b
b
7.
a − b ≤ a±b ≤ a + b
8.
x = a,
⇒ x = ± a,
9.
x ≤ a,
⇔ x ∈ [− a, a ],
10.
x ≥ a,
⇔ x ∈ [−∞,− a] ∪ [a,+∞],
∀a ∈ R ;
;
⇔ a = 0;
⇔ a = ±b ;
;
;
a⟩ 0 ;
a⟩ 0 ;
a⟩ 0 .
7. Reguli de calcul în R
1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ;
2
2. (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ;
2
3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;
3
4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
2
5. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ;
3
6. (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ;
3
7. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ;
8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) .
8. Puteri cu exponent întreg
a n def
a ⋅ a ⋅ a ⋅ ......⋅ a
n factori
1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0;
5. ( a m ) n = a m ⋅ n
2. a m + n = a m ⋅ a n
6. a − n =
1
,a ≠ 0
an
n
3. ( a ⋅ b ) = a ⋅ b
n
4.
n
an
⎛a⎞
7. ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0
b
⎝b⎠
n
am
= am−n ; a ≠ 0
n
a
8. a m = a n ⇔ m = n.
9. Proprietăţile radicalilor de ordinul doi
1.
a 2 = a ≥ 0, ∀a ∈ R
2.
a ⋅b = a ⋅ b
3.
a
b
=
a
,b ≠ 0
b
n
4.
an = ( a )n = a 2 ,
5.
a± b =
a + a2 − b
a − a2 − b
±
2
2
unde a²-b=k² .
4
10. Medii
x+ y
2
Media geometrică m g = x ⋅ y
Media aritmetică m a =
p⋅x+q⋅ y
; p, q − ponderile
p+q
2
2 xy
Media armonică m h =
.
=
1 1
x+ y
+
x y
Media ponderată m p =
Inegalitatea mediilor
2 xy
≤
x+ y
xy ≤
x+ y
2
11. Ecuaţii
b
a ⋅ x + b = 0 ⇒ x = − ,a ≠ 0
a
x2 = a ⇒ x = ± a , a ≥ 0 ;
a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac
.
2a
a ≠ 0, b 2 − 4ac ≥ 0.
x = a, a ≥ 0 ⇒ x = ± a.
x = a, a ≥ 0 ⇒ x = a 2
[x] = a ⇒ a ≤ x⟨ a + 1 ⇔ x ∈ [a, a + 1)
.
12. Procente
p % din N =
p
⋅N
100
5
D=
S ⋅ p⋅n
…. Dobânda obţinută prin depunerea la bancă a unei
100 ⋅ 12
sume S de bani pe o perioadă de n luni cu procentul p al dobândei
anuale acordate de bancă .
Cât la sută reprezintă numărul a din N.
x % din N =a ⇒ x =
a ⋅ 100
.
N
13. Partea întreagă
1. x = [x ] + {x} , ∀x ∈ R , [x ] ∈ Z şi {x} ∈ [0,1)
2. [x ] ≤ x < [x ] + 1
[x] = a ⇒ a ≤ x < a + 1
3. [x ] = [ y ] ⇔ ∃K ∈ Z a. î. x, y ∈ [k , k + 1] ⇔ x − y < 1
4. [x + k ] = k + [x ] , ∀k ∈ Z , x ∈ R
5. {x + k } = {x}, ∀x ∈ R , ∀k ∈ Z
6. Dacă
{x} = {y} ⇒ x − y ∈ Z
7. Dacă x ∈ R ⇒
[[x]] = [x] ∈ Z
[{x}] = 0 , {[x]} = 0 , {{x}} = {x}
8. Identitatea lui Hermite
[x] + ⎡⎢ x + 1 ⎤⎥ = [2 x] ,
⎣
2⎦
∀x ∈ R
9. [x + y ] ≥ [x ] + [ y ] , ∀x, y ∈ R
10. Prima zecimală, după virgulă, a unui număr N este dată
de [10 ⋅ {N }] sau [( N − [N ]) ⋅ 10]
6
2. Inegalităţi
a k −1 < a k ∀ k ≥ 1
a ∈ (0,1) a k < a k −1 ∀ k ≥ 1
2. 0 < a ≤ b ⇒ (a m − b m )(a n − b n ) ≥ 0 ∀ m, n ∈ N
1
1
3. a + ≥ 2 (∀) a > 0 a + ≤ −2 ∀ a < 0.
a
a
1
1
4.
<
= k - k −1
k + k −1
2 k
1
1
>
= k +1- k .
2 k
k + k +1
1. a > 1
2
⎛a+b⎞
⎜
⎟ ≥ ab ∀ a, b ∈ R
⎝ 2 ⎠
a+b
2
≥ ab ≥
, ∀ a, b > 0
1
1
2
+
a b
7. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ∀ a, b, c ∈ R
a2 + b2
5.
≥
2
a2 + b2
6.
≥
a+b
(
)
8. 3 a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c ) ∀a, b, c ∈ R
2
a 2 + b2 + c2 1
≥ (a + b + c ) ∀ a, b, c ∈ R
3
a+b+c
3
10. a + b + c ≥
a + b + c ∀a, b, c ≥ 0
3
11. (n − 1) a12 + ... + an2 ≥ 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an −1an )
9.
(
(
(
12. n a + ... + a
2
1
)
)
2
n
) ≥ (a
1
+ ... + a n ) , ∀ n ∈ N
2
2
a n + bn ⎛ a + b ⎞
13.
≥⎜
⎟ , ∀n ∈ N , a, b > 0.
2
⎝ 2 ⎠
a
a a+r
, ∀r > 0.
14. 0 < < 2 ⇒ <
b
b b+r
a
a a+r
1< ⇒ >
, ∀r > 0
b
b b+r
7
15. x ≤ a (a > 0 ) ⇔ − a ≤ x ≤ a.
16. a ± b ≤ a + b , a, b ∈ R sauC .
17. a1 ± a 2 ± ... ± a n ≤ a1 + ... + a n , in R sau C .
18. a − b ≤ a − b in R sau C .
19.
1
1
1
1
1
=
≤
=
−
2
n
n ⋅ n (n − 1)n n − 1 n
1
1
1
1
<
=
−
n! (n − 1)n n − 1 n
m
∉ Q ⇒ ma 2 − nb 2 ≥ 1.
n
21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi
20. a, b ∈ Z , m, n ∈ Z ,
dacă şi numai dacă ∃ x, y, z ∈ R+* a.i
a = y + z , b = x + z, c = x + y.
⎛a⎞
22. ⎜ ⎟
⎝b⎠
a −b
≥ 1 a ≠ b ∀ a, b > 0 ,
a+b b+c c+a
+
+
≥ 6.
c
a
b
24. Dacă x1 ,..., x n ≥ 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul
k
x 2 ⋅ x 2 ...x n e maxim când x1 = ... = x n = .
n
23. a, b, c ∈ R+* ⇒
25. Dacă. x1 ,..., xn < 0 si
n
∏
xi = k constant ⇒ x1 + ... + x n e
i =1
minimă atunci când x1 = ... = xn =
n
k.
26. Dacă x1 ,..., xn ≥ 0 si x1 + ... + x n = k = constant atunci
x 2p1 ⋅ x 2p1 ...x npn este maxim când
x1
x
x
k
= 2 = ... n =
, pi ∈ N * , i = 1, n
p1 p2
pn
p1 + ... + pn
8
27. Teorema lui Jensen:
f ( x1 ) + f ( x2 )
⎛ x1 + x2 ⎞
⎟ ≤ (≥ )
2
⎝ 2 ⎠
f ( x1 ) + ... + f ( xn )
⎛ x + ... + xn ⎞
∀x1 , x2 ∈ Ι ⇒ f ⎜ 2
⎟ ≤ (≥ )
n
n
⎠
⎝
Dacă f : Ι → R, (Ι interval) si f ⎜
∀xi ∈ Ι , i = 1, n.
28. Inegalitatea mediilor
n
1
1
+ ... +
a1
an
⎛1
1
+ ... +
an
⎝ a1
29. (a1 + a 2 + ... + a n )⎜⎜
≤ n a1 ...a n ≤
a1 + ... + a n
.
n
⎞
⎟⎟ ≥ n 2 . ∀ ai ≥ 0, i = 1, n.
⎠
egalitate când ai = aj , ∀i, j = 1, n.
30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.
(a
+ ... + an2 )(b12 + ... + bn2 ) ≥ (a1b1 + ... + anbn ) ∀ai , bi ∈ R.
ai aj
31. Inegalitatea mediilor generalizate: " =" ⇔
= .
bi bj
2
2
1
⎛ a1α + ... + anα
⎜⎜
n
⎝
α , β ∈ R.
1
⎞ α ⎛ a1β + ... + anβ
⎟⎟ ≥ ⎜⎜
n
⎠
⎝
1
⎞β
⎟⎟ , ∀ai , bi ∈ R+ ,α ≥ β ,
⎠
⇓
⎛ a + ... + a
n
⎝
32. ⎜⎜
2
1
2
n
1
2
⎞
a + ... + a n
⎟⎟ ≥ 1
n
⎠
33.Inegalitatea lui Bernoulli:
(1 + a )n ≥ 1 + na, a ≥ −1, ∀n ∈ N .
9
3.Mulţimi. Operaţii cu mulţimi.
1. Asociativitatea reuniunii si a intersecţiei:
A (B C)=(A B) C
A (B C)=(A B) C
2. Comutativitatea reuniunii si a intersecţiei:
A B=B A
A B=B A
3. Idempotenţa reuniunii si intersecţiei:
A A=A
A A=A
A Ø=Ø
4. A Ø=A
5. Distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie:
A (B C)=(A B) (A C)
6. Distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune:
A (B C)=(A B) (A C)
7. A,B E,
8.
A E,
(A B)=
A
B
(A B)=
A
B
(
A)=A
(A B)
9. A\B=
10. A\(B C)=(A\B)\C
A\(B C)=(A\B) (A\C)
(A B)\C=(A\C) (B\C)
(A B)\C=A (B\C)=(A\C) B
11. A×(B C)=(A×B) (A×C)
A×(B C)=(A×B) (A×C)
A×(B\C)=(A×B)\ (A×C)
A×B≠B×A
A B ⇔ ( x) (x ∈ A=>x ∈ B)
A B ⇔ ( x)((x ∈ A) (x B))
x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B)
x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B)
x ∈ C EA ⇔ (x ∈ E) (x A)
x ∈ A\B ⇔ (x ∈ A) (x B)
10
12. Relaţiile lui de Morgan
1. ‫( ך‬p q)=‫ך‬p ‫ך‬q, ‫(ך‬p q)= ‫ך‬p ‫ך‬q .
2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).
3. ‫ך‬p p=A, ‫ך‬p p = F.
4. p ⇒ q ‫ך‬p q.
5. p ⇔ q (p ⇒ q) (q ⇒ p) (‫ך‬p q) (‫ ך‬q p).
6. p A = p , p A=A
7. p q = q p , p q = q p
8. ‫ך(ך‬p)=p
9. p ‫ך‬p =F , p ‫ך‬p =A
10. (p q) r = p (q r)
(p q) r = p (q r)
11. p F = p p F = F
11
4. Progresii
1. Şiruri
Se cunosc deja şirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,…….,şirul
numerelor pare 2,4,6,…… Din observaţiile directe asupra acestor şiruri,
un şir de numere reale este dat în forma a1 , a 2 , a3 ,..... unde
a1 , a 2 , a3 sunt termenii şirului iar indicii 1,2,3, reprezintă poziţia pe
care îi ocupă termenii în şir.
Definiţie: Se numeşte şir de numere reale o funcţie f: N*→R ,
definită prin f(n)=a n
Notăm (a n )n∈N * şirul de termen general , a n
Observaţie: Numerotarea termenilor unui şir se mai poate face începând
cu zero: a 0 , a1 , a 2 ,.....
ai
, i ≥ 1 se numeşte termenul de rang i.
Un şir poate fi definit prin :
a) descrierea elementelor mulţimii de termeni. 2,4,6,8,……..
b) cu ajutorul unei formule
a n =2n
c) printr-o relaţie de recurenţă. a n +1 = a n + 2
Un şir constant este un şir în care toţi termenii şirului sunt constanţi :
5,5,5,5,…..
Două şiruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dacă a n = bn , ∀n ∈ N
Orice şir are o infinitate de termeni.
12
2. Progresii aritmetice
Definiţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir în care diferenţa
oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant r, numit raţia
progresiei aritmetice.
1. Relaţia de recurenţă între doi termeni consecutivi:
an+1 = an + r, ∀n ≥1
2. a1,a2, … an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice ⇔
an =
a n −1 + a n +1
2
3. Termenul general este dat de :
an = a1 + (n −1)r
4. Suma oricăror doi termeni egal departaţi de extremi este egal cu
suma termenilor extremi :
ak + an−k+1 = a1 + an
5. Suma primilor n termeni :
Sn =
(a1 + a n ) ⋅ n
2
6. Şirul termenilor unei progresii aritmetice:
a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,…….
a m − a n = (m − n )r
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie aritmetică de forma :
x1 = u – v
x2 = u
x3 = u + v ∀ u,v ∈ ℜ .
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie aritmetică
astfel:
x1 = u – 3v, x2 = u – v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, ∀ u,v ∈ ℜ .
9. Dacă
÷ ai ⇒
ak ak +1
⟨
ak +1 ak + 2
13
4. Progresii geometrice
Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir în care raportul
oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant q, numit
raţia progresiei geometrice.
1. Relaţia de recurenţă : b n +1 = b n ⋅ q , ∀ n ≥ 1
2. b1,b2, … bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu
termeni pozitivi
⇔ bn =
b n −1 ⋅ b n + 1
n −1
3. Termenul general este dat de : b n = b1 ⋅ q
4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal
cu produsul extremilor
bk ⋅ bn − k +1 = b1 ⋅ bn
5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :
Sn
1− qn
= b1 ⋅
1− q
6. Şirul termenilor unei progresii geometrice :
b1 , b1 ⋅ q, b1 ⋅ q 2 ,...b1 ⋅ q n ,....
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie geometrică de forma :
x1 =
u
v
x2 = u
x3 = u ⋅ v , ∀u , v ∈ R*+
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie geometrică astfel :
u
v3
u
x2 =
v
x3 = u ⋅ v
x4 = u ⋅ v 3 ∀u , v ∈ R*+
x1 =
14
5. Funcţii
I. Fie ƒ: A→B.
1) Funcţia ƒ este injectivă,dacă
∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y).
2) Funcţia ƒ este injectivă,dacă din ƒ(x)=ƒ(y) =>x=y.
3) Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0x
intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct.
II.
1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y ∈ B, există cel puţin un
punct x ∈A, a.î. ƒ(x)=y.
2) Funcţia ƒ este surjectivă, daca ƒ(A) =B.
3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusă
printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel
puţin un punct.
III.
1) Funcţia ƒeste bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.
2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B există un
singur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecuaţia ƒ(x)=y,are o singură
soluţie,pentru orice y din B)
3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusă
printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei într-un
punct şi numai unul.
IV.
1A: A→A prin 1A(x) =x, ∀ x ∈ A.
1) Funcţia ƒ: A→B este inversabilă , dacă există o funcţie
g:B→A astfel încât g o ƒ = 1A si ƒ o g =1B, funcţia g este
inversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ-1.
2) ƒ(x) = y <=> x= ƒ-1(y)
3) ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă.
15
V. Fie ƒ:A→B si g: B→C, două funcţii.
Dacă ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectivă.
1)
Dacă ƒ si g sunt surjective,atunci g o ƒ este surjectivă.
2)
Dacă ƒ si g sunt bijective, atunci g o ƒ este bijectivă.
3)
Dacă ƒ si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o ƒ este
4)
(strict) crescatoare.
Dacă ƒ si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o ƒ este
5)
(strict) descrescatoare.
Dacă ƒ si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci
6)
g o ƒ este descrescatoare.
Dacă ƒ este periodică, atunci g o ƒ este periodică.
7)
Dacă ƒ este pară, atunci g o ƒ este pară.
8)
Dacă ƒ si g sunt impare, atunci g o ƒ este impară,
9)
Dacă ƒ este impară si g pară, atunci g o ƒ este pară.
10)
VI. Fie ƒ: A→ B si g:B→C, două funcţii.
Dacă g o ƒ este injectivă, atunci ƒ este injectivă.
Dacă g o ƒ este surjectivă, atunci g este surjectivă.
Dacă g o ƒ este bijectivă, atunci ƒ este injectivă si g
surjectivă.
Dacă ƒ,g: A → B iar h: B→ C bijectivă si h o ƒ = h o ƒ,
atunci ƒ = g.
VII. Fie ƒ: A→B si X,Y mulţimi oarecare.
Funcţia ƒ este bijectivă, dacă şi numai dacă oricare ar fi
funcţiile
u,v: X→A,din ƒ o u =ƒ o v, rezultă u=v.
Funcţia ƒ este surjectivă, daca şi numai dacă oricare ar fi
funcţiile u,v :B→Y, din u o ƒ = v o ƒ, rezultă u=v
16
VIII.
1)Dacă ƒ :A→B este strict monotonă,atunci ƒ este injectivă.
2) Daca ƒ : R→R este periodic şi monotonă, atunci ƒ este
constantă.
3) Daca ƒ : R→R este bijectivă şi impară,atunci ƒ-1 este
impară.
4) Fie A finită şi ƒ :A→A. Atunci ƒ este injectivă <=> este
surjectivă.
IX. Fie ƒ: E → F, atunci
1)ƒ injectivă <=> (∃) g : F →E (surjectivă) a.i. g o ƒ=1E.
2) ƒ surjectivă <=>(∃) g : E→F (injectivă) a.i. ƒ o g =1F
3) ƒ bijectivă <=> inversabilă.
X. Fie ƒ : E → F.
1)Funcţia ƒ este injectivă dacă şi numai dacă (∀) A,B ⊂ E
ƒ(A ∩ B) = ƒ (A) ∩ (B).
2) Funcţia ƒ este surjectivă dacă şi numai dacă (∀) B ⊂ F
există A ⊂ E, astfel încât ƒ(A)=B.
3) Funcţia ƒ este injectivă dacă ƒ(A— B)=ƒ(A) — ƒ(B),
∀ A, B ⊂ E.
XI. Fie ƒ : E → F si A⊂ E, B ⊂ E, atunci
ƒ(A) ={y ∈ F ⏐ ∃ x ∈ A a.i. ƒ(x)=y}
ƒ-1 (B) = {x ∈ E ⏐ƒ(x)∈ B}.
1.Fie ƒ: E→ F si A,B ⊂ E, atunci
a) A ⊂ B => ƒ(A) ⊂ ƒ(B),
b) ƒ(A ∪ B)= ƒ(A) ∪ ƒ(B),
c) ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B),
d) ƒ(A) — ƒ(B) ⊂ ƒ(A — B).
17
2.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atunci
a) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B),
b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ--1 (A ∪ B),
c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1 ( A ∩ B),
d) ƒ-1 (A) — ƒ-1 (B) = ƒ-1 (A— B),
e) ƒ-1 (F) = E.
Funcţia de gradul al doilea
Forma canonică a funcţiei f:R→R,
f ( x) = ax 2 + bx + c,
a, b, c ∈ R, a ≠ 0 este
2
Δ
b ⎞
⎛
, ∀x ∈ R ;
f ( x ) = a⎜ x +
⎟ −
2a ⎠
4a
⎝
Δ⎞
⎛ b
Graficul funcţiei este o parabolă de vârf V ⎜ −
,− ⎟ , unde
⎝ 2a 4a ⎠
Δ = b2 − 4ac
a⟩ 0
f este convexă;
Δ⟨0 ; x1,x2 ∈ C
f(x) >0, ∀x ∈ R ;
Δ⎞
⎛ b
,− ⎟ - punct
V⎜−
⎝ 2a 4a ⎠
de minim;
18
Δ = 0 , x1=x2 ∈ R
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ;
b
f(x)=0 ⇔ x = −
2a
Δ⟩ 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0,
∀x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [ x 2 ,+∞) ;
f(x)<0, ∀x ∈ ( x1 , x 2 )
b ⎞
⎛
Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict descrescătoare;
2a ⎠
⎝
b
Pentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict crescătoare
2a
19
a<0 funcţia este concavă
Δ ⟨0 ; x1,x2 ∈ C
f(x) <0, ∀x ∈ R ;
Δ⎞
⎛ b
,− ⎟ - punct de
V⎜−
⎝ 2a 4a ⎠
maxim
Δ = 0 , x1=x2 ∈ R
f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ;
b
f(x)=0 ⇔ x = −
2a
Δ⟩ 0, x1 ≠ x 2 ∈ R
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [ x1 , x 2 ] ;
f(x)<0,
∀x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞)
20
b ⎞
⎛
Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict crescătoare;
2a ⎠
⎝
b
Pentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict descrescătoare.
2a
6. NUMERE COMPLEXE
1. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ ALGEBRICĂ
⎧
⎫
C = ⎨z z = a + ib, a, b ∈R, i2 = −1⎬
⎩
⎭
- mulţimea numerelor complexe.
z=a+ib=Re z+Im z
OPERAŢII CU NUMERE COMPLEXE
Fie z1 = a + ib,
z 2 = c + id . Atunci:
1. z1 = z 2 ⇔ a = c
si
b=d.
2. z1 + z 2 = ( a + c ) + i (b + d ).
3. z1 ⋅ z 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + i ( a ⋅ d + b ⋅ c).
4. z1 = a − ib, conjugatul lui z1
z1 a ⋅ c + b ⋅ d
b⋅c − a⋅d
= 2
+i 2
2
z2
c +d
c +d2
1
b
a
6.
.
= 2
−i 2
2
z1 a + b
a + b2
5.
21
PUTERILE LUI i
= 1;
2. i
= i;
4k +2
3. i
= −1 ;
4 k +3
4. i
= −i ;
1 −1 1
−n
5. i = n , i = = −i ;
i
i
1. i
4k
4 k +1
6. i
−n
⎧i n , n par
⎪
= (−i ) = (−1) ⋅ i = ⎨
⎪− i n , n impar
⎩
n
n
n
PROPRIETĂŢILE MODULULUI
z = a 2 + b 2 - modulul nr. complexe
1. z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0
2. z ⋅ z = z
2
3. z = z
4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
5.
z1
z1
=
, z2 ≠ 0
z2
z2
6.
z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2
8. z ∈ C ;
7. z
n
= z
n
z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ z = z
ECUAŢII:
z2 = a + ib ⇒ z1,2 = ± a + ib ⇒
⎡ a + a2 + b2
2
2 ⎤
a
a
b
−
+
+
⎥
z1,2 = ±⎢
±i
2
2
⎢
⎥
⎣
⎦
‚+’ dacă b pozitiv; ‚-‚ dacă b negativ
22
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
daca Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 sau
x1, 2 =
−b±i −Δ
daca
2a
Δ⟨0
NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ GEOMETRICĂ
Forma trigonometrică a numerelor complexe:
z= ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
ϕ = arctg
ρ
b
+ kπ ,
a
⎧0,
⎪
⎪
k = ⎨1,
⎪
⎪ 2,
⎩
(a, b) ∈ I
( a , b ) ∈ II , III
( a , b ) ∈ IV
= z = a + b se numeşte raza polară a lui z
2
2
Fie z1= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) şi z2= ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ;
z1=z2 ρ 1 = ρ 2 , si exista k ∈ Z a.i ϕ 1 = ϕ 2 + kπ
z1 ⋅ z 2 = ρ 1 ⋅ ρ 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )
z1 = ρ 1 (cos ϕ 1 − i sin ϕ 1 )
23
1
1
=
[cos(−ϕ 1 ) + i sin(−ϕ 1 )]
z1 ρ 1
z2 ρ2
=
[cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ1 )]
z1 ρ 1
z1 = ρ 1 (cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ), n ∈ R
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n z = n ρ (cos 1
+ i sin 1
), k ∈ 0, n − 1
1
1
n
n
n
n
7. FUNCTIA EXPONENTIALĂ
Def. f: R→ (0,∞), f(x)= a x , a⟩ 0, a ≠ 1
Dacă a ⟩1 ⇒ f este strict crescătoare
x1 ⟨ x 2 ⇒ a x1 ⟨ a x2
Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare
x1 ⟨ x 2 ⇒ a x1 ⟩ a x2
Proprietăţi:
Fie a,b ∈ (0, ∞ ), a, b ≠ 1, x, y ∈ R ⇒
24
(a
⋅b
(a )
x
a
a
y
= a
x+ y
)x
= a
x
⋅a
x
a
x
y
y
= a
= a
x
a
− x
=
pentru
y
x⋅y
x− y
a
⎛ a ⎞
⎜
⎟ =
b
⎝ b ⎠
0
a = 1
⋅a
,a ≠ 0
x
x
,b ≠ 0
1
,a ≠ 0
a x
a ⟨ 0 , nu
se
defineste
a
x
Tipuri de ecuaţii:
1. a f ( x ) = b, a⟩ 0, a ≠ 1, b⟩ 0 ⇒ f ( x) = log a b
2. a f ( x ) = a g ( x ) , a⟩ 0, a ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x)
3. a f ( x ) = b g ( x ) , a, b⟩ 0, a, b ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) ⋅ log a b
4. ecuaţii exponenţiale reductibile la ecuaţii algebrice printr-o
substituţie.
5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţiei
exponenţiale.
Inecuaţii
a>1, a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≤ g ( x)
a ∈ (0,1)
a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
25
FUNCTIA LOGARITMICĂ
Def: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a⟩ 0, a ≠ 1 ,x>0
Dacă a ⟩1 ⇒ f este strict crescătoare
x1 ⟨ x 2 ⇒ log a x1 ⟨ log a x 2
Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare
x1 ⟨ x 2 ⇒ log a x1 ⟩ log a x 2
Proprietăţi:
Fie a,b c ∈ (0, ∞ ), a, b, c ≠ 1, x, y ∈ (0, ∞), m ∈ R ⇒
a
y
= x ⟩ 0 ⇒ y = log
log
a
log
a
x ⋅ y = log
x
= log
y
a
a
a
x
x + log
x − log
a
a
y
y
26
m
log
a
a
log
a
b =
a
log
log
b
a
c
= m,
= c
log
log
log
c
c
b
1 = 0,
a
log
b
,
a
m
b
= m log
a
b
= log
b
a
1
log
x = a
,
log
a
a
a
b
log
a
x
a = 1.
Tipuri de ecuaţii:
1. log f ( x ) g ( x) = b, f , g ⟩ 0, f ≠ 1 ⇒ g ( x) = f ( x) b
2. log a f ( x) = log a g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x)
3. log a f ( x) = log b g ( x) ⇒ f ( x) = a b
4. ecuaţii logaritmice reductibile la ecuaţii algebrice printr-o
substituţie.
5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţiei logaritmice.
log g ( x )
Inecuaţii
a>1, log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≤ g ( x)
a ∈ (0,1) log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
27
8. BINOMUL LUI NEWTON
În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a găsit următoarea formulă
pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Deşi formula era cunoscută încă din
antichitate de către matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123),
Newton a extins-o şi pentru coeficienţi raţionali.
TEOREMĂ: Pentru orice număr natural n şi a şi b numere reale
există relaţia:
n
k
(a+b)n =Cn0an +Cn1an−1⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 +..........
+Cn an−k ⋅bk +.....+Cn bn
(1)
0
1
n
Numerele C n , C n ,...., C n se numesc coeficienţii binomiali ai
dezvoltării;
Este necesar să se facă distincţie între coeficientul unui termen
al dezvoltării şi coeficientul binomial al acelui termen.
Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+…..
Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar
coeficientul binomial este C41 =4;
Pentru (a-b)n avem următoarea formă a binomului lui Newton:
k
n
(a−b)n =Cn0an −Cn1an−1 ⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 −..........
.+(−1)kCn an−k ⋅bk +.....+(−1)nCn bn
(1’)
Proprietăţi:
1. Numărul termenilor dezvoltării binomului (a+b)n este n+1;
Dacă n=2k ⇒ coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltării
este Cnk şi este cel mai mare.
Dacă n=2k+1 ⇒ Cnk şi Cnk+1 sunt egali şi sunt cei mai mari;
Cno<Cn1<……<Cnk >Cnk+1>…..>Cnn daca n este par, n=2k
28
Cno<Cn1<……<Cnk =Cnk+1>…..>Cnn daca n este impar, n=2k+1.
2. Coeficienţii binomiali din dezvoltare, egal depărtaţi de termenii
extremi ai dezvoltării sunt egali între ei.
k
Cn = Cn
n−k
(2)
3. Termenul de rang k+1 al dezvoltării (sau termenul general al
dezvoltării) este
k
Tk+1 =Cn an−k ⋅bk , k =0,1,2,....,n
(3)
⇒ Formula binomului lui Newton scrisă restrâns are forma:
n
(a + b )n = ∑ C n k a n − k b k .
k =0
(4)
4. Relaţia de recurenţă între termenii succesivi ai dezvoltării este
următoarea:
Tk + 2 n − k b
=
⋅
Tk +1 k + 1 a
(5)
5. Pentru a=b=1 se obţine
n
0
1
2
n
n
n
n
n
(6)
ceea ce înseamnă că numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n
elemente este 2n .
C +C +C +..........
...+C =(1+1)
29
9. Vectori şi operaţii cu vectori
Definiţie:
Se numeşte segment orientat, o pereche ordonată de
puncte din plan;
Se numeşte vector, mulţimea tuturor segmentelor
orientate care au aceeaşi direcţie, aceeaşi lungime şi acelaşi
sens cu ale unui segment orientat.
Observaţii:
Orice vector AB se caracterizează prin:
- modul(lungime,normă), dat de lungimea segmentului
AB;
- direcţie, dată de dreapta AB sau orice dreaptă paralelă
cu aceasta;
- sens, indicat printr-o săgeată de la originea A la
extremitatea B.
Notaţii: AB vectorul cu originea A şi extremitatea B;
AB = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde
A(x0,y0), B(x.y).
Definiţie:
Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie,
acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă
au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare:
- AB = BA .
Adunarea vectorilor se poate face după regula triunghiului sau
după regula paralelogramului:
30
λ ⋅ v = 0 ⇔ λ = 0 sau v = 0, ∀λ ∈ R
Daca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v = λ ⋅ v , λ ⋅ v are direcţia şi sensul
vectorului v dacă λ ⟩ 0 şi sens opus lui v dacă λ ⟨0 .
Definiţie:
Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau
dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar
se numesc necoliniari.
vectori coliniari
vectori necoliniari
Teoremă:
Fie u ≠ 0 şi v un vector oarecare.
Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u .
31
Punctele A, B, C sunt coliniare
⇔ AB si AC sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC .
AB CD ⇔ AB si CD sunt coliniari;
Dacă u şi v sunt vectori necoliniari atunci
∃x, y ∈ R a.i. x ⋅ u + y ⋅ v = 0 ⇔ x = y = 0 .
Teoremă: Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi
vectorul v , există α , β ∈ R(unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b .
Vectorii a şi b formează o bază.
( )
α , β se numesc coordonatele vectorului v în baza a, b .
Definiţie:
Fie XOY un reper cartezian. Considerăm punctele A(1,0),
B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor
de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direcţiile axelor şi
sensurile semiaxelor pozitive cu OX şi OY.
( )
Baza i, j se numeşte bază ortonormată.
32
v = A' B ' + A' ' B ' ' = x ⋅ i + y ⋅ j
v = prOX v ⋅ i + prOY v ⋅ j
x=xB- xA, y=yB- yA
AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Teoremă:
Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) . Atunci:
1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’);
2) ∀λ ∈ R, λ ⋅ v are coordonatele ( λ x’, λ y’);
3) u ( x, y ), v( x' , y ' ) sunt coliniari
x
y
⇔ = = k , x' , y ' ≠ 0. ⇔ xy '− x' y = 0.
x' y '
4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α unde α = m(u, v), α ∈ [0, π ].
cos α =
x ⋅ x'+ y ⋅ y '
x 2 + y 2 ⋅ ( x' ) 2 + ( y ' ) 2
π
π
α ∈ [0, ] ⇒ u ⋅ v ≥ 0; α ∈ ( , π ] ⇒ u ⋅ v⟨0
2
2
Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) nenuli. Atunci:
u ⋅ v = 0 ⇔ u ⊥ v ⇔ x ⋅ x'+ y ⋅ y ' = 0.
2
u ⋅ u = u ≥ 0, ∀u.
u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0.
i ⋅ i = j ⋅ j = 1; i ⋅ j = 0.
Vectori de poziţie. Dacă rA , rB
sunt vectori de poziţie, atunci: AB = rB − rA
33
10. Funcţii trigonometrice
Semnul funcţiilor trigonometrice:
⎡ π π⎤
,
→ [− 1,1]
⎣ 2 2 ⎥⎦
Sin: ⎢ −
⎡ π π⎤
arcsin:[-1,1]→ ⎢− , ⎥
⎣ 2 2⎦
[
] [
]
Cos: 0, π → − 1,1
arccos:[-1,1] → [0, π ]
34
⎛ π π⎞
, ⎟→R
⎝ 2 2⎠
Tg: ⎜ −
⎛ π π⎞
arctg:R→ ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2⎠
Reducerea la un unghi ascuţit
Fie u ∈ (0,
π
2
) Notăm sgn f= semnul funcţiei f; cof = cofuncţia lui f
π
⎧
sgn f (k ± u ) ⋅ sin u, k = par
⎪
⎛ π
⎞ ⎪
2
sin ⎜ k ± u ⎟ = ⎨
Analog pentru
⎝ 2
⎠ ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cos u, k = impar
⎪⎩
2
celelalte;
π
⎧
⎪⎪sgn f (k 2 ± u ) ⋅ f (u ), k = par
În general, f ( k ± u ) = ⎨
2
⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cof (u ), k = impar
⎪⎩
2
π
35
Ecuaţii trigonometrice
Fie x un unghi, a un număr real şi k ∈ Z .
sin x = a, a ≤ 1 ⇒ x = (−1) k arcsin a + kπ , dacă a ∈ [0,1]
= ( − 1)
k +1
arcsin a + kπ , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]
cos x = a, a ≤ 1 ⇒ x = ± arccos a + 2kπ , dacă a ∈ [0,1]
= ± arccos a + ( 2 k + 1)π , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]
tgx = a, a ∈ R ⇒ x = arctga + kπ
arcsin(sin x) = a ⇒ x = (−1) k a + kπ
arccos(cos x) = a ⇒ x = ± a + 2kπ
arctg (tgx) = a ⇒ x = a + kπ
sin f ( x) = sin g ( x) ⇒ f ( x) = (−1) k g ( x) + kπ
cos f ( x) = cos g ( x) ⇒ f ( x) = ± g ( x) + 2kπ
tgf ( x) = tgg ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) + kπ , k ∈ Z
Ecuaţii trigonometrice reductibile la ecuaţii care conţin aceeaşi
funcţie a aceluiaşi unghi;
Ecuaţii omogene în sin x şi cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2
x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0
Ecuaţii trigonometrice care se rezolvă prin descompuneri în factori;
Ecuaţii simetrice în sin x şi cos x;
Ecuaţii de forma:
a sin x + b cos x + c = 0 : a ⇒ sin x + tgϕ cos x = −
c
⇒
a
c
x + ϕ = (−1) k arcsin(− cos ϕ ) + kπ
a
a sin x + b cos x ≤
a2 + b2
Observaţie importantă: Prin ridicarea la putere a unei ecuaţii
trigonometrice pot apărea soluţii străine iar prin împărţirea unei ecuaţii
trigonometrice se pot pierde soluţii;
36
FORMULE
TRIGONOMETRICE
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α ;
1.
α ∈ R
sin α = ± 1 − cos α
2
2.
tgα = ±
3.
4.
5.
6.
7.
8.
sin α
=±
1 − cos 2 α
⇒
cos α
tg 2α + 1 =
1
;
cos 2 α
1 − sin α
tgα
1
cos α = ±
; sin α = ±
;
1 + tg 2α
1 + tg 2α
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ;
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ;
sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ;
sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α ;
tgα + tgβ
tgα − tgβ
; tg (α − β ) =
;
tg (α + β ) =
1 − tgα ⋅ tgβ
1 + tgα ⋅ tgβ
9.
ctg (α + β ) =
2
ctgα ⋅ ctgβ − 1
;
ctgα + ctgβ
10. sin 2α = 2 sin
11.
12.
13.
14.
15.
ctg (α − β ) =
ctgα ⋅ ctgβ + 1
;
ctgα − ctgβ
α cos α ;
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
1 + cos 2α
1 − cos 2α
cos 2 α =
; sin 2 α =
;
2
2
1 + cos α
1 − cos α
α
α
cos = ±
; sin = ±
;
2
2
2
2
α
α
1 − cos α
1 + cos α
; ctg = ±
tg = ±
2
1 + cos α
2
1 − cos α
2
ctg α − 1
2tgα
; ctg 2α =
;
tg 2α =
2
2ctgα
1 − tg α
37
2tg
16. tgα =
1 − tg
α
2 ;
2
α
17.
ctgα =
1 − tg 2
2tg
2
α
α
2;
2
3tgα − tg 3α
tg 3α =
1 − 3tg 2α
sin 3α = 3 sin α − 4 sin α ;
3
ctg 3α − 3ctgα
;
ctg 3α =
3ctg 2α − 1
cos 3α = 4 cos α − 3 cos α ;
3
18. tg
α
2
=
sin α
1 − cos α
=
=
1 + cos α
sin α
19. sin α =
2tg
1 + tg
α
2 ;
2 α
2
cos α =
1
ctg
2
1 − tg 2
1 + tg
;
α
α
2;
2 α
2
a+b
a−b
⋅ cos
2
2
a−b
a+b
sin a − sin b = 2 sin
⋅ cos
2
2
sin a + sin b = 2 sin
a+b
a−b
⋅ sin
2
2
a−b
a+b
cos a + cos b = 2 sin
⋅ cos
2
2
cos a − cos b = −2 sin
tga + tgb =
sin( a + b)
cos a ⋅ cos b
sin( a − b)
cos a ⋅ cos b
sin(b − a )
ctga − ctgb =
sin a ⋅ sin b
tga − tgb =
ctga + ctgb =
sin(a + b)
sin a ⋅ sin b
38
sin a ⋅ cos b =
sin( a + b) + sin( a − b)
2
cos a ⋅ cos b =
cos(a + b) + cos(a − b)
2
sin a ⋅ sin b =
cos( a − b) − cos( a + b)
2
arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 )
arcsin x+arccos x=
π
2
1 π
arctg x+arctg =
x 2
arctg x +arcctg x=
π
2
arccos(-x)= π -arccos x
39
11. ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN
1. Ecuaţia carteziană generală a dreptei:
ax+by+c=0
(d)
Punctul M(x0,y0) ∈ d ⇔ a ⋅ x0 + b ⋅ y 0 + c = 0
2. Ecuaţia dreptei determinată de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):
y − y1
x − x1
=
y 2 − y1
x 2 − x1
3. Ecuaţia dreptei determinată de un punct M(x0,y0) şi o
direcţie dată( are panta m)
y-y0=m(x-x0)
4. Ecuaţia explicită a dreptei (ecuaţia normală):
y − y1
y=mx+n, unde m = tgϕ = 2
este panta
x 2 − x1
dreptei şi n este ordonata la origine.
x y
5. Ecuaţia dreptei prin tăieturi: + = 1, a, b ≠ 0.
a b
6. Fie (d): y=mx+n şi (d’): y=m’x+n’
⇔ m=m’şi n ≠ n’.
Dreptele d şi d’ sunt paralele
Dreptele d şi d’ coincid
⇔ m=m’şi n=n’.
Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare ⇔ mm’= -1.
Tangenta unghiului ϕ a celor două drepte este
m − m'
tgϕ =
1 + m ⋅ m'
7. Fie d: ax+by+c=0 şi d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ ≠ 0. şi
θ = m(⟨ d , d ' )
a b c
Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ = ≠
a ' b' c '
40
a b c
= =
a ' b' c '
a b
Dreptele d şi d’ sunt concurente ⇔ ≠ ⇔
a ' b'
ab’-ba’ ≠ 0.
Dreptele d şi d’ coincid ⇔
cos θ =
v ⋅ v'
v ⋅ v'
=
a ⋅ a ' +b ⋅ b '
a
2
+b
2
2
⋅ a ' +b'
2
unde
v (−b , a ), v' (−b' , a ' ) sunt vectorii directori ai dreptelor
d şi d’.
Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare,
d ⊥ d ' ⇔ a ⋅ a ' +b ⋅ b ' = 0
8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) în plan.
Dreptele AB şi CD sunt paralele, AB|| CD
⇔ ∃α ∈ R*, a.î AB = α CD sau mAB=mCD.
Dreptele
AB
şi
CD
sunt
perpendiculare,
AB ⊥ CD ⇔ AB ⋅ CD = 0
Condiţia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) să fie
coliniare este:
y 3 − y1
x − x1
= 3
y 2 − y1
x 2 − x1
9. Distanţa dintre punctele A(x1,y1) şi B(x2,y2)
AB= (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
este
2
Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie
(h): ax+by+c=0 este dată de:
ax0 + by 0 + c
.
d ( M 0 , h) =
a2 + b2
41
12. CONICE
1.CERCUL
Definiţie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal depărtate de un
punct fix, numit centru se numeşte cerc.
C ( O , r ) = { M ( x , y ) | OM = r }
1. Ecuaţia generală a cercului
A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0
2. Ecuaţia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza „r”
(x - a)² + (y + b)² = r² ; x² + y² = r²
3. Ecuaţia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)
(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0
4. Ecuaţia tangentei după o direcţie
O(0,0) : y = mx ± r 1 + m²
O(a,b) : y-b = m(x-a) ± r 1 + m²
5. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0)
(x· x0) + (y ·y0) = r² respectiv
(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r²
6. Ecuatia normala a cercului
42
x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cu
O(-m; -n) şi r² = m² + n² - p
7. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0,y0)
x · x0 + y · y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 0
8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaţie
y = mx + n este
d(0,d) =
| ma − b + n |
| ax 0 + by 0 + c |
sau ( d =
)
m² + 1
a ² + b²
9. Ecuaţiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0)
I. Se scrie ecuaţia 4 şi se pune condiţia ca M să aparţină cercului de
ecuaţie 4.
II. y - y0 = m(x - x0)
x² + y² = r²
, Δ =0
2. ELIPSA
Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan care au suma
distanţelor la două puncte fixe, constantă, se numeşte elipsă.
F,F’- focare, FF’ distanţa focală
E= {M ( x, y ) MF + MF ' = 2a}
MF,MF’- raze focale
1. Ecuaţia elipsei
43
x² y ²
+
=1 ,
a ² b²
b² = a² - c²
2. Ecuaţia tangentei la elipsă
y = mx ± a ² m² + b²
3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0) la elipsă
b² x0
x ⋅ x0 y ⋅ y0
+
=1 ,
m=− ⋅
a²
b²
a² y0
4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) la
elipsă
VAR I Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M să aparţină
elipsei de ecuaţie 2 de unde rezultă m
VAR II Se rezolvă sistemul y – y0 = m(x-x0)
,
x² y ²
+
= 1 cu conditia Δ = 0
a ² b²
3. HIPERBOLA
Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan a căror
diferenţă la două puncte fixe este constantă, se numeşte
hiperbolă
44
H: = { M(x,y) | |MF – MF’| = 2a }
y=±
b
x --ecuaţia asimptotelor
a
1. Ecuaţia hiperbolei
x² y ²
−
= 1 , b² = c² - a² ;
a ² b²
Daca a = b => hiperbola echilaterală
2.Ecuaţia tangentei la hiperbolă
y = mx ± a ² m² − b ²
3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0)
x ⋅ x0 y ⋅ y 0
−
=1 ,
a²
b²
m=
b² x0
⋅
a² y0
4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)
VAR I. Se scrie ecuaţia 2 si se pune condiţia ca M să aparţină
hiperbolei de ecuaţie 2, de unde rezultă m.
VAR II. Se rezolva sistemul
y - y0 = m(x - x0)
x² y ²
−
=1
a ² b²
,
cu Δ = 0
4. PARABOLA
Definiţie: Locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct
fix, (numit focar) şi o dreaptă fixă (numită directoare), se numeşte
parabolă.
45
P: = { M(x, y) | MF = MN }
(d): x = −
p
( locul geometric al punctelor din plan de unde putem
2
duce tangente la o parabolă).
1. Ecuaţia parabolei
y² = 2px
2. Ecuaţia tangentei la parabolă
y = mx +
P
2m
3. Ecuaţia tangentei în M (x0, y0)
y·y0 = p(x + x0)
4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)
VAR I. Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M ∈ (ecuatia 2) =>
m
VAR II. Se rezolvă sistemul
y - y0 = m(x - x0)
y² = 2px
cu Δ = 0
46
13. ALGEBRA LINIARĂ
1. MATRICE.
⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a + x b + y⎞
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎜⎜
⎝c d ⎠ ⎝z t ⎠ ⎝c + z d +t ⎠
⎛ x y⎞ ⎛a⋅ x a ⋅ y⎞
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
a ⋅ ⎜⎜
⎝ z t ⎠ ⎝ a ⋅ z a ⋅t ⎠
Înmulţirea matricelor
⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a ⋅ x + b ⋅ z a ⋅ y + b⋅t ⎞
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎜⎜
⎝ c d ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝c ⋅ x + d ⋅ z c ⋅ y + d ⋅t ⎠
Adunarea matricelor
T
⎛a c ⎞
⎛a b ⎞
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
Transpusa unei matrice ⎜⎜
⎝b d ⎠
⎝c d ⎠
2. DETERMINANŢI.
a b
c d
= a⋅ d −b⋅ c;
a b c
d e f = a⋅e⋅i + d ⋅ h⋅c + g ⋅b⋅ f − c⋅e⋅ g − f ⋅ h⋅ a −i ⋅b⋅ d
g h i
Proprietăţi:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul
matricei transpuse;
2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice
sunt nule, atunci determinantul matricei este nul;
3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) între
ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul
determinantului matricei iniţiale.
4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci
determinantul său este nul;
47
5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei
matrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice al
cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantul
matricei iniţiale.
6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matrice
sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul;
7. Dacă la o matrice pătratică A de ordin n presupunem că
'
''
elementele unei linii i sunt de forma aij = aij +aij
atunci det A = det A’ +det A’’;
8. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o
combinaţie liniară de celelate linii(sau coloane) atunci
determinantul matricei este nul.
9. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm
elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi element
se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu
determinantul matricei iniţiale;
10. Determinantul Vandermonde:
1
1 1
a b c = (b − a )(c − a )(c − b) ;
a2 b2 c2
11. Dacă într-un determinant toate elementele de deasupra
diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero,
atunci determinantul este egal cu a ⋅ c ⋅ f ;
a 0 0
b c 0 = a⋅c⋅ f
d e f
12. Factor comun
a⋅x
a⋅ y
a⋅z
y
z
b⋅ m b⋅ n b ⋅ p = a ⋅b ⋅ m n
p
u
v
r
x
u
v
r
48
3. Rangul unei matrice
Fie A ∈ M m , n (C ) , r ∈ N, 1 ≤ r ≤ min(m, n) .
Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A,
determinantul format cu elementele matricei A situate la
intersecţia celor r linii şi r coloane.
Definiţie: Fie A ≠ Om , n o matrice . Numărul natural r este
rangul matricei A ⇔ există un minor de ordinul r al lui A,
nenul iar toţi minorii de ordin mai mare decât r+1 (dacă există)
sunt nuli.
Teorema: Matricea A are rangul r ⇔ există un minor de
ordin r al lui A iar toţi minorii de ordin r+1 sunt zero.
Teorema: Fie A ∈ M m, n (C ), B ∈ M n , s (C ) . Atunci orice minor
de ordinul k , 1 ≤ k ≤ min(m, s) al lui AB se poate scrie ca o
combinaţie liniară de minorii de ordinul k al lui A (sau B).
Teorema: Rangul produsului a două matrice este mai mic sau
egal cu rangul fiecărei matrice.
Definiţie: ∈ M n (C ) . A este inversabilă ⇔ det A ≠ 0.( A este
nesingulară).
Teorema: Inversa unei matrice dacă există este unică.
Observaţii: 1) det (A·B) =det A· det B.
1
2) A−1 =
⋅ A*
det A
τ
( A→A
→ A* = ((−1)i+ j dij)i, j → A−1 )
3) A-1 ∈ M n ( Z ) ⇔ det A = ± 1 .
Stabilirea rangului unei matrice:
Se ia determinantul de ordinul k-1 şi se bordează cu o
linie (respectiv cu o coloană). Dacă noul determinant este nul
rezultă că ultima linie(respectiv coloană )este combinaţie
liniară de celelalte linii (respectiv coloane).
49
Teorema: Un determinant este nul ⇔ una din coloanele
(respectiv linii) este o combinaţie liniară de celelalte
coloane(respectiv linii).
Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numărul
maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre
coloanele (respectiv liniile) lui A astfel încât nici una dintre ele
să nu fie combinaţie liniară a celorlalte.
4. Sisteme de ecuaţii liniare
Forma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute
este:
⎧a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = b1
⎪
sau
(1 ⎨.............................................
⎪a x + a x + .......... + a x = b
m2 2
mn n
m
⎩ m1 1
n
∑
a ij x
j =1
j
=
bi
Unde A (aij) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n - matricea coeficienţilor
necunoscutelor.
⎛ a11 ... a1n b1 ⎞
⎟
⎜
Matricea A = ⎜
...
⎟ se numeşte matricea extinsă
⎟
⎜a
⎝ m1 .... amn bm ⎠
a sistemului.
Definiţie: Un sistem de numere α1 ,α 2 ,.......α n se numeşte
soluţie a sistemului (1) ⇔
n
∑a
j =1
ij
α
j
= b i , i = 1, m .
Definiţie:
- Un sistem se numeşte incompatibil ⇔ nu are soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil ⇔ are cel puţin o soluţie;
- Un sistem se numeşte compatibil determinat ⇔ are o
singură soluţie;
50
- Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat ⇔ are o
infinitate de soluţii;
Rezolvarea matriceală a unui sistem
Fie A, B ∈ M n (C ) .
A−1 A ⋅ X = B ⇒ X = A−1 ⋅ B ⇒ X j =
n
1
⋅ ∑ aij ⋅ bi , j = 1, n .
det A i =1
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Teorema lui Cramer: Dacă det A not Δ ≠ 0 , atunci sistemul
AX=B are o soluţie unică Xi=
Δi
.
Δ
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare
este compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu
rangul matricei extinse.
Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare este
compatibil ⇔ toţi minorii caracteristici sunt nuli.
Notăm cu m-numărul de ecuaţii;
n- numărul de necunoscute;
r -rangul matricei coeficienţilor.
I
m=n=r
II
m=r ⟨ n
III
n=r ⟨ m
Sistem compatibil
determinat
Sistem compatibil
nedeterminat
Sistem compatibil
determinat sau
Δ≠0
Minorul
principal este
nenul
Dacă toţi
minorii
caracteristici
sunt nuli
51
Sistem
incompatibil
IV
r ⟨ n, r ⟨ m
Sistem compatibil
nedeterminat sau
Sistem
incompatibil
Există cel
puţin un minor
caracteristic
nenul
Dacă toţi
minorii
caracteristici
sunt nuli
Există cel
puţin un minor
caracteristic
nenul
Teorema: Un sistem liniar şi omogen admite numai soluţia
banală ⇔ Δ ≠ 0
52
14. SIRURI DE NUMERE REALE
1. Vecinătăţi. Puncte de acumulare.
Definiţia 1 : Se numeşte şir , o funcţie f : N → R definită prin f(n) =
an .
Notăm (a n )n∈N : a 0 , a1 , a 2 ,.............sau a1 , a 2 , a3 ,...........
Orice şir are o infinitate de termeni;
şirului (a n )n∈N .
Definiţia
2
:
Două
şiruri
a n este termenul general al
(a n )n∈N , (bn )n∈N
sunt
egale
⇔ a n = bn , ∀n ≥ k ∈ N
Definiţia 3: Fie a ∈ R. Se numeşte vecinătate a punctului a ∈ R, o
mulţime V pentru care ∃ ε >0 şi un interval deschis centrat în a de
forma (a- ε , a+ ε) ⊂ V.
Definiţia 4: Fie D ⊆ R. Un punct α ∈ R se numeşte punct de
acumulare pentru D dacă în orice vecinătate a lui α există cel puţin
un punct din D- {α } ⇔ V ∩(D- {α }) ≠ Ǿ. Un punct x ∈ D care nu e
punct de acumulare se numeşte punct izolat.
2. Şiruri convergente
Definiţia 5 : Un şir (a n )n∈N este convergent către un număr a ∈ R
dacă în orice vecinătate a lui a se află toţi termenii şirului cu excepţia
⎯→ a sau
unui număr finit şi scriem a n ⎯n⎯
→∞
lim a n = a
n→∞
a se numeşte limita şirului .
Teorema 1: Dacă un şir e convergent , atunci limita sa este unică.
Teorema 2: Fie (a n )n∈N un şir de numere reale. Atunci:
(a n )n∈N
este monoton crescător
a n +1 − a n ≥ 0, sau
⇔ a n ≤ a n +1 , ∀n ∈ N
sau
a n +1
≥ 1;
an
53
(a n )n∈N
a n +1 − a n ⟩ 0, sau
(a n )n∈N
sau
a n +1
⟩1 ;
an
este monoton descrescător ⇔ a n ≥ a n +1 , ∀n ∈ N
a n +1 − a n ≤ 0, sau
(a n )n∈N
⇔ a n ⟨ a n +1 , ∀n ∈ N
este stict crescător
sau
a n +1
≤ 1;
an
⇔ a n ⟩ a n +1 , ∀n ∈ N
este strict descrescător
a n +1
⟨1 .
an
Definiţia 6. Un şir (a n )n∈N este mărginit ⇔
sau
a n +1 − a n ⟨ 0, sau
încât a n ≤ M
∃α , β ∈ R
∃ M ∈ R astfel
sau
astfel
încât
α ≤ an ≤ β .
Teorema 3: Teorema lui Weierstrass:
Orice şir monoton şi
mărginit este convergent.
Definiţia 7: Dacă un şir are limită finită ⇒ şirul este convergent.
Dacă un şir are limită infinită + ∞
sau
−∞
⇒ şirul este
divergent.
Teorema 4: Orice şir convergent are limită finită şi este mărginit dar
nu neapărat monoton.
Teorema 5: Lema lui Cesaro:
Orice şir mărginit are cel puţin un subşir convergent.
Definiţia 8: Un şir e divergent fie dacă nu are limită, fie dacă are o
limită sau dacă admite două subşiruri care au limite diferite.
OBS: Orice şir crescător are limită finită sau infinită.
Teorema 6: Dacă (a n )n∈N ∈ R+ este un şir strict crescător şi
*
nemărginit atunci
lim a n = +∞
⇒ lim
1
=0
. Un şir
an
n→∞
descrescător cu termenii pozitivi este mărginit de primul termen şi de
0.
54
3. Operaţii cu şiruri care au limită
Teorema 7: Fie (a n )n∈N , (bn )n∈N şiruri care au limită:
⎯→ a , b n ⎯n⎯
⎯→ b .
a n ⎯n⎯
→∞
→∞
Dacă operaţiile
a+b,ab
a b
, a au
b
sens
atunci
şirurile
a
b
an + bn , an − bn ,α ⋅ an , an ⋅ bn , n , an n au
bn
.
lim ită
lim( a n + bn )= lim a n +lim bn ;
lim( a n ⋅ bn )=lim a n .lim bn ;
n→ ∞ n→ ∞
n→ ∞
lim( α ⋅ a n )=α·lim a n ;
lim a n
bn
lim
a n lim a n
=
bn lim bn
= (lim a n ) lim bn
lim (log a a n ) = log a (lim a n )
lim
k
a
=
n
k
lim a
n
Prin convenţie s-a stabilit: ∞+∞=∞ ; a+∞=∞,a ∈ R; a+(-∞)=-∞; ∞+(-∞)=-∞; a·∞=∞ ,a>0;
a·∞=-∞,a<0; ∞·(-∞)=-∞; -∞·(-∞)=∞; ∞ ∞ = ∞; ∞ −∞ = 0;
∞
0 = 0;
⎧
⎪∞, dacă a⟩ 0
∞ =⎨
⎪0, dacă a⟨ 0
⎩
a
Nu au sens operaţiile: ∞-∞, 0·(±∞);
Teorema 8: Dacă a n − a ≤ bn
Dacă a n ≥ bn
şi
şi
±∞
,
±∞
1∞ ,
1−∞ ,
∞0.
bn → 0 ⇒ a n ⎯n⎯
⎯→ a
→∞
bn → ∞ ⇒ a n ⎯n⎯
⎯→ ∞
→∞
55
Dacă a n ≤ bn
Teorema
bn → −∞ ⇒ a n ⎯n⎯
⎯→ −∞
→∞
şi
Dacă a n ⎯n⎯
⎯→ a ⇒
→∞
a n ⎯n⎯
⎯→ a .
→∞
Dacă a n ⎯n⎯
⎯→ 0 ⇒
→∞
a n ⎯n⎯
⎯→ 0 .
→∞
9:
Dacă
şirul
(a n )n∈N este
convergent
la
zero,
iar (bn )n∈N este un şir mărginit, atunci şirul produs a n ⋅ bn este
convergent la zero.
4. Limitele unor şiruri tip
⎧
⎪ 0 , dac ă q ∈ ( − 1,1)
⎪
⎪1, dac ă q = 1
n
lim q = ⎨
n→∞
⎪ ∞ , dac ă q ⟩1
⎪
⎪
⎩ nu exist ă , dac ă q ≤ − 1
⎧⎪ ∞ , a ⟩ 0
0
lim a 0 n p + a1n p −1 + .... + a p = ⎨
n→∞
⎪⎩ − ∞ , a 0 ⟨ 0
(
)
⎧
⎪0, dacă p⟨q
⎪ a0
⎪ , dacă p = q
p
p −1
a0 ⋅ n + a1 ⋅ n + .......+ a p ⎪⎪ b0
=⎨
lim
q
q −1
a
+ ..... + bq
n →∞ b0 ⋅ n + b1 ⋅ n
⎪∞, dacă p⟩ q şi 0 ⟩0
b0
⎪
⎪
a
⎪− ∞, dacă p⟩q şi 0 ⟨0.
⎪⎩
b0
56
n
⎛
1 ⎞
1⎞
⎛
⎟⎟
lim ⎜1 + ⎟ = e ≈ 2,71...... lim ⎜⎜ 1 +
x
n
⎝
⎠
n ⎠
⎝
n→∞
x n →∞
1
lim (1 + xn ) xn = e
x n →0
lim
arcsin x n
=1
xn
x n →0
lim
arctgx n
=1
xn
sin xn
=1
xn
x n →0
lim
lim
tgx n
=1
xn
lim
ln(1 + xn )
xn
=1
x n →0
a xn − 1
= ln a
lim
xn
x n →0
e xn
xn
=e
x n →0
x n →0
lim
xn
p
x n →∞
=∞
lim
(1 + xn )r − 1
xn
=r
x n →0
lim
ln x n
xn
p
=0
x n →∞
57
15. LIMITE DE FUNCŢII
Definiţie: O funcţie f:D ⊆ R → R are limită laterală la stânga (
respectiv la dreapta) în punctul de acumulare
x0 ⇔
există l s ∈ R (respectiv l d ∈ R) a. î. lim f(x)= l s ,
(respectiv lim f(x) = l d ).
x → x0
x → x0
x⟨ x0
x⟩ x0
Definiţie: Fie f:D ⊆ R → R , x0 ∈ D un punct de acumulare.
Funcţia f are limită în x0 ⇔ l s ( x0 ) = l d ( x0 )
Proprietăţi:
1.
Dacă lim f(x) există, atunci această limită este unică.
x → x0
2. Dacă lim f(x) =l atunci
x → x0
3. Dacă
lim f ( x) = l .
x → x0
Reciproc nu.
lim f ( x) = 0
⇒
lim f ( x) = 0
x → x0
4. Fie f,g:D ⊆ R → R , ∃ U o vecinătate a lui x0 ∈ D astfel
încât f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D ∩ U − {x0 } şi dacă există
lim f ( x), lim g ( x)
x → x0 , x → x0
⇒ lim f ( x) ⟨ lim g ( x)
x → x0
x → x0
58
5. Dacă f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ D ∩ U − {x 0 } şi
∃ lim f ( x ) = lim h ( x ) = l ⇒ ∃ lim g ( x ) = l .
x→x0
x→x0
x→x0
6.
f ( x) − l ≤ g ( x)
∀ x ∈ D ∩ U − {x0 } şi
Dacă lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l
7. Dacă
lim f ( x) = 0 şi ∃M ⟩ 0 a.î. g ( x) ≤ M .
⇒ lim f ( x) ⋅ g ( x) = 0
Dacă
8.
f ( x) ≥ g ( x)
şi
lim g ( x) = +∞
şi
lim g ( x = −∞
⇒ lim f ( x) = +∞.
Dacă
f ( x) ≤ g ( x)
⇒ lim f ( x) = −∞.
OPERAŢII CU FUNCŢII
Dacă există lim f ( x) = l1 , lim g ( x) = l2 şi au
sens operatiile
l l
l1 + l2 , l1 − l2 , l1 ⋅ l2 , 1 , l1 2 , l1
l2
atunci:
1. lim(f(x) ± g(x))= l1 ± l 2 .
2. limf(x)g(x)= l1 ⋅ l 2
59
3.lim
f ( x) l1
=
g ( x) l 2
l
4.lim f ( x) g ( x ) = l1 2
5.lim
f ( x) = l1
P(X)=a0xn + a1xn-1 + ……………..+an ,a0 ≠ 0
n
lim P( x) = a0 (±∞)
x⎯
⎯→ ±∞
lim
x
q =
q ∈ (− 1,1)
q=1
0,
1,
dacă
dacă
∞,
nu
există,
dacă q>1
dacă q ≤ −1
x ⎯⎯→ ∞
60
⎧
⎪0, dacă p ⟨ q
⎪ a0
⎪ , dacă p = q
p
p −1
a 0 ⋅ x + a1 ⋅ x + ....... + a p ⎪⎪ b0
=⎨
lim
q
q −1
a0
+ ..... + bq
x → ∞ b0 ⋅ x + b1 ⋅ x
⎪∞ , dacă p ⟩ q şi ⟩ 0
b0
⎪
⎪
a
⎪− ∞ , dacă p ⟩ q şi 0 ⟨ 0.
⎪⎩
b0
a>1
lim a
x
lim a
x
lim
=∞
x ⎯⎯→ ∞
a ∈ (0,1)
x ⎯⎯→ −∞
lim a
=0
x ⎯⎯→ ∞
a>1
a
x=∞
lim log
a
x = −∞
x ⎯⎯→ ∞
lim
sin x
=1
x
lim
tgx
=1
x
x ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
u x
tgu ( x )
=1
⎯⎯→ 0 u ( x )
u x
arcsin u ( x )
=1
u (x )
⎯⎯→ 0
lim
( )
x ⎯⎯→ 0
x=∞
lim
( )
arctgx
=1
x
=e
a
x = −∞
sin u ( x )
=1
⎯⎯→ 0 u ( x )
lim
1
x
a
lim
( )
u x
lim (1 + x )
=∞
lim log
x ⎯⎯→ 0
arcsin x
=1
x
x ⎯⎯→ 0
lim log
x ⎯⎯→ 0
lim
x ⎯⎯→ 0
x
⎯→ −∞
x⎯
lim log
x ⎯⎯→ ∞
a ∈ (0,1)
ax = 0
lim
( )
u x
arctgu ( x )
=1
u(x )
⎯⎯→ 0
1
u x
lim (1 + u(x )) ( ) = e
( )
u x ⎯⎯→ 0
61
x
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ = e
lim
x⎠
x ⎯⎯→ ∞ ⎝
⎛
1 ⎞
⎜⎜1 +
⎟
lim
u ( x ) ⎟⎠
u ( x ) ⎯⎯→ ∞ ⎝
u(x )
=0
lim
ln (1 + x )
=1
x
u x
lim
a x −1
= ln a
x
au( x) − 1
= ln a
lim
u (x )
⎯→ 0
u(x ) ⎯
lim
(1 + x )r − 1 = r
(1 + u (x ))r − 1 = r
lim
u (x )
u ( x ) ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
x
xk
lim x = 0
x ⎯⎯→ ∞ a
lim
x ⎯⎯→ ∞
ln x
=0
xk
ln (1 + u ( x ))
=1
u (x )
⎯⎯→ 0
lim
( )
u (x )
=0
lim
u(x )
u ( x ) ⎯⎯→ ∞ a
k
ln u (x )
lim u (x )
( )
u x ⎯⎯→ ∞
k
=0
62
16. FUNCŢII CONTINUE
DEFINIŢIE. O funcţie f : D ⊂ R → R se numeşte continuă în
punctul de acumulare x0 ∈D ⇔ oricare ar fi vecinătatea V a lui f(x0) ,
există o vecinătate U a lui x0, astfel încât pentru orice
x ∈ U ∩ D ⇒ f(x) ∈ V.
DEFINIŢIE. f : D ⊂ R → R este continuă în x0 ∈ D ⇔ f are limită în
x0 şi lim f(x) = f(x0)
sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0).
x0 se numeşte punct de continuitate.
Dacă funcţia nu este continuă în x0 ⇒ f.se numeşte discontinuă în x0
şi x0 se numeşte punct de discontinuitate. Acesta poate fi:
- punct de discontinuitate de prima speţă dacă ls (x0 ), ld (x0 )
finite, dar ≠ f(x0);
- punct de discontinuitate de a doua speţă dacă cel puţin o
limită laterală e infinită sau nu există.
DEFINIŢIE. f este continuă pe o mulţime ( interval) ⇔ este
continuă în fiecare punct a mulţimii ( intervalului).
• Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile lor de
definiţie.
Exemple de funcţii elementare: funcţia constantă c, funcţia
identică x, funcţia polinomială f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , funcţia
raţională f(x)/g(x), funcţia radical n f ( x) , funcţia logaritmică log
f(x), funcţia putere xa, funcţia exponenţială ax, funcţiile
trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.
PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCŢII
ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE
DEFINIŢIE. Fie f : D ⊂ R → R. Dacă f are limita
l ∈ R în punctul de acumulare x0 ∉ D ⇒
⎧ f ( x), x ∈ D
⎩l , x = x0
f: D ∪ { x0} →R, f(x) = ⎨
63
este o funcţie continuă în x0 şi se numeşte prelungirea prin
continuitate a lui f în x0.
OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINUE
T1. Dacă f,g:D→R sunt continue în x0
( respectiv pe D) atunci f+g, αf, f•g,f/g, fg,
f
sunt continue în x0 ( respectiv pe D); α ∈ R, g ≠ 0.
T2. Dacă f:D→R e continuă în x0 ∈D ( respectiv pe D) ⇒ f (x) e
continuă în x0 ∈ ( respectiv pe D).
Reciproca nu e valabilă.
T3. Fie f:D→R continuă în în x0 ∈A şi g:B →A continuă în x0 ∈B,
atunci g•f e continuă în x0 ∈A.
lim f( g (x) = f( lim g(x))
x→x0
x→x0
Orice funcţie continuă comută cu limita.
PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL
LEMĂ. Dacă f este o funcţie continuă pe un interval [ a,b] şi dacă are
valori de semne contrare la extremităţile intervalului
( f(a) • ( f(b) <0 ) atunci există cel puţin un punct c ∈ ( a,b)
astfel încât f(c) = 0.
• Dacă f este strict monotonă pe [ a,b] ⇒ ecuaţia f(x) = 0 are
cel mult o rădăcină în intervalul ( a, b).
f este strict monotonă ⇔ f: I →J - continuă
f(I) =J - surjectivă
f - injectivă
Orice funcţie continuă pe un interval compact este mărginită şi îşi
atinge marginile.
64
STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢII
PROP. O funcţie continuă pe un interval, care nu se anulează pe
acest interval păstrează semn constant pe el.
DEFINIŢIE. Fie f : I ⊂ R → R ( I = interval) f are proprietatea lui
Darboux.
⇔ ∀ a,b ∈ I cu a < b şi ∀ λ ∈ ( f(a), f(b)) sau λ ∈ ( f(b),
f(a)) ⇒∃ c ∈ ( a,b), a.î. f(c) = λ.
TEOREMĂ. Orice funcţie continuă pe un
interval are P.D.
Dacă f :I → R are P.D. atunci ⇒ f( I) e interval.
( Reciproca e în general falsă).
CONTINUITATEA FUNCŢIILOR INVERSE
T1. Fie f : I ⊂ R → R o funcţie monotonă a.î.
f( I) e interval. Atunci f este continuă.
T2. Orice funcţie continuă şi injectivă pe un
interval este strict monotonă pe acest interval.
T3. Fie f : I → R, I, J ⊂ R intervale.
Dacă f e bijectivă şi continuă atunci inversa sa
f-1 e continuă şi strict monotonă.
65
17. DERIVATE
FUNCŢIA
DERIVATA
C
x
xn
nxn-1
xa
axa-1
ax
a x lna
ex
ex
1
x2
n
- n+1
x
1
-
1
x
1
xn
x
n
0
1
x
sin x
cos x
tg x
ctg x
arcsin x
2 x
1
n n x n −1
cosx
-sinx
1
cos 2 x
1
- 2
sin x
1
1− x2
66
arccos x
1
-
1− x2
1
1+ x2
1
1+ x2
1
x
1
x ln a
arctg x
arcctg x
lnx
log a x
(uv)’
=
f(x)=
v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu
ax + b
cx + d
f’(x)=
a
c
b
d
( cx + d ) 2
REGULI DE DERIVARE
(f.g)’=f’g+fg’
(χf )' = χf '
'
⎛ f ⎞ f ' g − fg '
⎜⎜ ⎟⎟ =
g2
⎝g⎠
( f ) ( f ( x )) =
−1 '
0
1
f ( x0 )
'
67
18. STUDIUL FUNCŢIILOR
CU AJUTORUL DERIVATELOR
Proprietăţi generale ale funcţiilor derivabile .
1.Punctele de extrem ale unei funcţii.
Fie Ι un interval şi f:Ι → R.
Definiţie. Se numeşte punct de maxim (respectiv de minim)(local) al
funcţiei f , un punct a ∈ Ι pentru care există o vecinătate V a lui a
astfel încât f ( x ) ≤ f (a )(respectiv. f (x )) ≥ f (a )∀ x ∈ V.
• Un punct de maxim sau de minim se numeşte punct de extrem.
• a se numeşte punct de maxim(respectiv de minim) global dacă
f ( x ) ≤ f (a )(resp. f ( x ) ≥ f (a )) . ∀ x ∈ Ι.
Obs.1.O funcţie poate avea într-un interval mai multe puncte de
extrem.(vezi desenul).
Obs.2.O funcţie poate avea într-un punct a un maxim (local), fără a
avea în a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul
f (a ) < f (c ) ).
(a, f (a)), (c, f (c))
-puncte de maxim
(b, f (b),)(d, f (d))
-puncte de minim
68
TEOREMA LUI FERMAT
0
Dacă f este o funcţie derivabilă pe un interval Ι si x0 ∈ I un punct
de extrem,atunci f ' ( x0 ) = 0 .
Interpretare geometrică:
• Deoarece f ' ( x0 ) = 0 ⇒ tangenta la grafic în punctul (x 0 , f ( x0 ))
este paralelă cu OX.
Obs.1. Teorema este adevărată şi dacă funcţia este derivabilă numai
în punctele de extrem.
Obs.2. Condiţia ca punctul de extrem x0 să fie interior intervalului
este esenţială.
(dacă ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca
f ' ( x0 ) ≠ 0 ). Ex. f ( x ) = x.
Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevărată.(se pot găsi
funcţii astfel încât f ' ( x0 ) = 0 dar x0 să nu fie punct de extrem).
• Soluţiile ecuaţiei f ' ( x ) = 0 se numesc puncte critice . Punctele de
extrem se găsesc printre acestea.
• Teorema lui Fermat dă condiţii suficiente (dar nu si necesare)
pentru ca derivata într-un punct să fie nulă.
O altă teoremă care dă condiţii suficiente pentru ca derivata să se
anuleze este :
69
TEOREMA LUI ROLLE.
Fie f : I → R, a, b ∈ I, a < b. Dacă:
1. f este continuă pe [a,b];
2. f este derivabilă pe (a, b ) ;
3. f (a ) = f (b ), atunci ∃ cel puţin un punct c ∈ (a, b ) a.î f ' (c ) = 0.
INTEPRETAREA GEOMETRICA
Dacă funcţia f are valori egale la extremităţile unui interval
[a,b], atunci există cel puţin un punct în care tangenta este paralelă
cu axa ox .
Consecinţa 1. Între două rădăcini ale unei funcţii derivabile se află
cel puţin o rădăcină a derivatei.
Consecinţa 2. Între două rădăcini consecutive ale derivatei se află
cel mult o rădăcină a funcţiei.
TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creşterilor finite)
Fie f : I → R,I (interval, a, b ∈ I, a < b. Dacă:
1. f este continuă pe [a, b]
70
2. f este derivabilă pe (a,b ), atunci există cel puţin un punct
c ∈ (a, b ) a.î să avem
f (b ) − f (a )
= f ' (c ).
b−a
INTERPRETAREA GEOMETRICĂ
Dacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct(cu excepţia
eventual,a extremităţilor) există cel puţin un punct de pe grafic(care
nu coincide cu extremităţile), în care tangenta este paralelă cu coarda
care uneşte extremităţile.
f (b ) − f (a )
tangenta la grafic în M are coeficientul.
b−a
unghiular f ' (c ) dar
f (b ) − f (a )
f ' (c ) =
b−a
Obs.1. Daca f (a ) = f (b ) ⇒ Teorema lui Rolle.
tgα =
Consecinţa 1. Dacă o funcţie are derivata nula pe un interval,atunci
ea este constanta pe acest interval.
• Dacă o funcţie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de
intervale proprietate nu mai rămâne adevărată în general.
⎧1, x ∈ (0,1)
⎩2, x ∈ (2,3)
Expl. f : (0,1) ∪ (2,3) f ( x ) = ⎨
71
Consecinţa 2. Dacă f si g sunt două funcţii derivabile pe un
interval I şi dacă au derivatele egale f ' = g ' atunci ele diferă
printr-o constantă. f − g = c. c ∈ R
• Dacă f si g sunt definite pe o reuniune disjunctă de intervale,
proprietatea e falsă în general. Expl. f ( x ) = tgx
⎧
⎛ π⎞
⎪tgx + 1, x ∈ ⎜ 0, 2 ⎟
⎪
⎠
⎝
, g (x ) = ⎨
⎪tgx − 1, x ∈ ⎛⎜ π π ⎞⎟
⎪⎩
⎝2 ⎠
Consecinţa 3.
Daca f ' ( x ) > 0 pe I ⇒ f e strict crescătoare pe I.
Daca f ' ( x ) < 0 pe I ⇒ f e strict descrescătoare I.
−
Consecinţa 4. f : i → R, x0 ∈ I Daca f s' ( x0 ) = f d' ( x0 ) = l ∈ R .
⇒ f are derivata în x0 şi = f ' ( x 0 ).
Dacă l < ∞ ⇒ f e derivabila in x0 .
Consecinţa 5.Daca f ' ( x ) ≠ 0 pe I ⇒ f ' păstrează semn constant pe
I.
ETAPELE REPREZENTĂRII
GRAFICULUI UNEI FUNCŢII
1. Domeniul de definiţie;
2. Intersecţia graficului cu axele de coordonate :
Intersectia cu axa Ox conţine puncte de forma{x,0},unde x este
o rădăcină a ecuaţiei f(x)=0 {daca există}.
Intersecţia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dacă
punctul 0 aparţine domeniului de definitie}
3. Studiul continuităţii funcţiei pe domeniul de definiţie :
72
Dacă funcţia este definită pe R se studiază limita funcţiei la
± ∞ iar dacă este definită pe un interval se studiază limita la
capetele intervalului.
4.Studiul primei derivate :
a. Calculul lui f’.
b. Rezolvarea ecuaţiei f’(x)=0.Rădăcinile acestei ecuaţii vor fi
eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ;
c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant.
Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f.
5.Studiul derivatei a doua :
a.Se calculează f’’
b.Se rezolva ecuatia f’’(x)=0. Rădăcinile acestei ecuaţii vor fi
eventuale puncte de inflexiune ale graficului
c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant.
Astfel,pe intervalele pe care f’’>0 functia este convexă şi pe
cele pe care f’’<0, funcţia eate concavă.
6.Asimptote :
a. Asimptotele orizontale sunt drepte de forma y=a, unde
a= lim f ( x) dacă cel puţin una din aceste limite are sens şi
x → ±∞
există în R.
b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x0, dacă există
cel puţin o limită laterală a funcţiei în x0, infinită.
c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde
f ( x)
∈ R si n = lim ( f ( x) − mx) ∈ R , analog şi pentru
m = lim
x
x →∞
x →∞
-∞.
7. Tabelul de variaţie;
8. Trasarea graficului.
73
19. PRIMITIVE
Primitive. Proprietăţi.
Fie I un interval din R.
Definiţia 1. Fie f: I → R. Se spune că f admite primitive pe I
dacă ∃ F : I →R astfel încât
a) F este derivabilă pe I;
b) F’(x) =f(x), ∀ x ε I.
F se numeşte primitiva lui f. ( I poate fi şi o reuniune finită disjunctă de
intervale).
Fie f : I → R. Dacă
Teorema 1.1
F ,F
1
2
: I → R sunt
două primitive ale funcţiei f, atunci există o constantă c ∈ R
astfel încât F 1 ( x) = F 2 ( x) + c, ∀ x ∈ I.
F , F sunt primitive atunci F , F
derivabile ⇒ F ( x ) =
F ' ( x) = f ( x) ∀ x ε I
⇔ ( F − F ) ( x) = F ( x) − F ' ( x) = 0 , x ε I.
⇒ F ( x) − F ( x) = c , c= constantă
Demonstraţie : Dacă
1
2
1
2
sunt
'
1
2
'
'
1
1
2
1
2
2
OBS 1. Fiind dată o primitivă
F a unei funcţii, atunci orice primitivă F a
0
lui f are forma F = F0 + c , c= constantă
⇒ f admite o infinitate de primitive.
OBS 2. Teorema nu mai rămâne adevărată dacă I este o reuniune disjunctă
de intervale Expl: f: R- {0 }, f(x) = x²
⎧ x3
⎪⎪ + 1
x3
3
F=
, G= ⎨ 3
3
⎪x + 2
⎪⎩ 3
F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constantă . Contradicţie cu T 1.1
OBS 3. Orice funcţie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.
Se ştie că derivata oricărei funcţii are Proprietatea lui Darboux , rezultă că f
are Proprietatea lui Darboux. F’ =f.
74
F
P.D
P
C D
OBS 4. Dacă I este interval şi f(I) def { f ( x) / x ∈ I
} nu este interval
atunci f nu admite primitive.
Dacă presupunem că f admite primitive atunci din OBS 3 rezultă că f are P
lui Darboux, rezultă f(I) este interval ceea ce este o contradicţie.
OBS 5. Orice funcţie continuă definită pe un interval admite primitive.
Definiţia 2. Fie f: I →R o funcţie care admite primitive.
Mulţimea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala
nedefinită a funcţiei f şi se notează prin simbolul
∫ f (x ) dx.
Operaţia de calculare a primitivelor unei funcţii(care admite
primitive ) se numeşte integrare.
Simbolul
∫
a fost propus pentru prima dată de Leibniz, în
1675.
Fie F(I)= { f : I → R} Pe această mulţime se introduc operaţiile
:
(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,
(αf)(x)=α.f(x) ∀ x ∈ R ,α constantă
C= { f : I → R / f ∈ R}
∫ f ( x ) dx = {F ∈ F ( I ) / F
primitivă
a
lui
}
f .
75
Teorema 1.2 Dacă f,g:I→ R sunt funcţii care admit
primitive şi α ∈ R, α ≠0, atunci funcţiile f+g, αf admit
de asemenea primitive şi au loc relaţiile:
∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f, α≠0, ∫f =∫f +C
Formula de integrare prin părţi.
Teorema 1.1 Dacă f,g:R→R sunt funcţii derivabile cu
derivatele continue, atunci funcţiile fg, f’g, fg’ admit
primitive şi are loc relaţia:
∫ f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)- ∫ f’(x)g(x)dx
Formula schimbării de variabilă
(sau metoda substituţiei).
Teoremă: Fie I,J intervale din R şi
ϕ : I → J , f : J → R , functii cu proprietat ile :
1) ϕ este derivabilă pe I;
2) f admite primitive. (Fie F o primitivă a sa.)
Atunci funcţia (f o ϕ ) ϕ ’ admite primitive, iar funcţia F o ϕ este o
primitivă a lui (f o ϕ ) ϕ ’ adică:
∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ (t )dt
'
= Fo ϕ + C
5. Integrarea funcţiilor trigonometrice
Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind
formula integrării prin părţi, fie metoda substituţiei. În acest caz
se pot face substituţiile:
1. Dacă funcţia este impară în sin x,
R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.
2. Dacă funcţia este impară în cos x,
R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.
3. Dacă funcţia este pară în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos
x) atunci tg x=t.
76
4. Dacă o funcţie nu se încadrează în cazurile 1,2,3,atunci se
utilizează substituţiile universale:
sin x =
2t
1− t2
x
=
,
cos
1+ t2
1+ t2
unde t = tg
x
2
5. Se mai pot folosi şi alte formule trigonometrice:
sin 2x=2sin x .cos x,
sin
2
x =
1 − cos 2 x
2
cos
2
x =
1 + cos 2 x
2
Integrarea funcţiilor raţionale
Definiţie: O funcţie f:I→R , I interval, se numeşte raţională dacă
f ( x)
, g ( x) ≠ 0, x ∈ I , unde f,g sunt funcţii polinomiale.
g ( x)
Dacă grad f ≥ grad g, atunci se efectuează împărţirea lui f la g
⇒ f=gq+r, 0 ≤ grad r<grad g şi deci
R(x)=
R( x) =
f ( x)
r ( x)
= q( x) +
. Pentru
g ( x)
g ( x)
scrierea
ca suma de
functii
R ( x ) se
rationale
face
simple .
PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE SIMPLE
1.
∫ cdx = c ⋅ x + C ,
2.
∫
x n dx =
∫
x α +1
x dx =
+C
α +1
∫
ax
+ C
a dx =
ln a
3.
4.
c∈R
x n +1
+ C
n +1
α
x
77
5.
∫e
6.
∫
7.
∫ sin
8.
∫ cos
9.
∫ sin xdx = − cosx + C
10.
∫ cos
11.
∫x
2
12.
∫x
2
13.
∫
14.
∫
15.
∫
x
dx = e
x
+ C
1
dx = ln x + C
x
1
2
dx = − ctgx + C
x
1
2
x
dx = tgx + C
xdx = sin x + C
1
1
x
dx = arctg + C
2
a
a
+a
1
1
x−a
+C
dx =
ln
2
−a
2a
x+a
1
x +a
2
2
1
x −a
2
2
1
a −x
2
2
dx = ln( x + a 2 + x 2 ) + C
dx = ln x + x 2 − a 2 + C
dx = arcsin
x
+C
a
78
16.
∫
tgxdx = − ln cos x + C
17.
∫
ctgxdx = ln sin x + C
18.
∫
19.
x
x2 + a
x
∫
20.
∫
21.
22.
2
x2 − a
2
x
a −x
2
2
dx =
x2 + a
2
+ C
dx =
x2 − a
2
+ C
dx = − a 2 − x 2 + C
∫
x2 + a2 dx =
x 2 2 a2
x + a + ln x + x2 + a2 + C
2
2
∫
x2 − a2 dx =
x 2 2 a2
x − a − ln x + x2 − a2 + C
2
2
23.
∫
x 2
a2
x
2
a − x dx =
a − x + arcsin + C
a
2
2
24.
∫ ax + b dx = a ln ax + b + C
25.
∫ ( ax
1
∫
26.
2
2
1
1
1
1
⋅ + C
dx = −
n
n −1
a
+ b)
( n − 1 )( ax + b )
1
1
dx = 2
2
2 2
(x + a )
a
1
a2
∫
1
1
dx − 2
2
2
x +a
a
x2 + a2 − x2
∫ (x
∫
2
+ a2
)
2
+C =
⎛
−1
x ⋅ ⎜⎜
2
2
⎝2 x +a
(
'
)
⎞
⎟⎟ dx
⎠
79
1
⎧
dx, Δ⟩ 0
⎪∫
⎪ a[( x + b ) 2 − ( Δ ) 2 ]
27.
1
⎪
2a
2a
∫ ax 2 + bx + c dx = ⎨
1
⎪
dx, Δ⟨0
⎪∫
b 2
−Δ 2
) ]
⎪ a[( x + ) + (
2a
2a
⎩
28.
∫ ax
2 ax + b
dx = ln ax 2 + bx + c + C
2
+ bx + c
m ( 2 ax + b ) + n
dx =
ax 2 + bx + c
29.
1
m ⋅ ln ax 2 + bx + c + n ⋅ ∫
dx
2
ax + bx + c
∫ ax
Ax + B
dx =
+ bx + c
2
∫
80
Bibliografie:
- Arno Kahane. Complemente de matematică, Editura
Tehnică, Bucureşti, 1958.
- C. Năstăsescu,C. Niţă, Gh. Rizescui:”MatematicăManual pentru clasa a IX-a”, E.D.P., Bucureşti, 1982.
- C. Năstăsescu, C Niţă, I. Stănescu: Matematică-Manual
pentru clasa a X-a-Algebră”, E.D.P., Bucureşti,1984.
- E. Beju, I. Beju:”Compendiu de matematică”, editura
Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1996.
- E. Rogai,”Tabele şi formule matematice”,Editura
tehnică,1983.
- „Mică enciclopedie matematică”, Editura tehnică,
Bucureşti,1980.
- Luminiţa Curtui,” Memorator de Matematică-Algebra,
pentru clasele 9-12”, Editura Booklet,2006.
81
Probleme propuse şi rezolvate
1.Să se determine numerele întregi a şi b astfel încât
4 6 + 14 = a 2 + b 3;
Rezolvare:
Ridicăm la puterea a doua expresia dată:
4 6 + 14 = 2a 2 + 2 6ab + 3b 2 ;
Din egalarea termenilor asemenea între ei rezultă : ab=2 şi
2a2+3b2=14 rezultă: a=1 şi b=2.
1
1
2.Dacă a − =7, să se calculeze a4 + 4 .
a
a
Rezolvare:
1
Ridicăm la puterea a doua relaţia dată: ( a − )2=49,
a
1
a2+ 2 =51 procedând analog se obţine
a
1
1
a 4 + 4 = 512 − 2 ⇒ a 4 + 4 = 2599 .
a
a
3.Aflaţi X din X.3 2008 = (3 2008 – 1) : (1+
1 1
1
+ 2 + ....... + 2007 )
3 3
3
Rezolvare:
1
3 3 2008 − 1
1 1
1 + + + ........ + 2007 = ⋅ 2008 , după formula
2 3
3 3²
3
1 + X + X ² + ......... + X n =
⇒ X ⋅3
2008
= [3
2008
X n +1 − 1
X −1
2 3 2008
2
− 1] ⋅ 2008
⇒X =
3 3
3
−1
82
4. Să se calculeze:
2a − 3
3−a
unde a =
7 − 11 − 4 7
Rezolvare:
11 − 4 7 =
2 2− 3
3− 2
=
11 + 3
11 − 3
−
= 7 −2⇒ a = 2
2
2
(2 2 − 3 )( 3 + 2 )
= 2 6 + 4 − 3 − 6 = 6 +1
3− 2
a
= 3 − 1 să se calculeze partea întreagă a
b
a ² + b²
numărului
a ² − b²
5. Ştiind că
Rezolvare:
a
= 3 + 1 ⇒ a = 3 + 1, b = 1 ⇒
b
=
5+2 3
3+ 2 3
=
(5 + 2 3 )(3 − 2 3 ) =
(
(
) = 3+ 2
3 + 1)² − 1 3 + 2
3 +1 ² +1
3 +1+1
3 +1−1
=
9 − 12
15 − 10 3 + 6 3 − 12 3 − 4 3 4 3 − 3
=
=
3
−3
−3
⎡ 4 3 − 3⎤
⎥ =1
⎢
3
⎦
⎣
=
6.Se dă numarul x = 6 − 2 5 − 6 + 2 5
Să se arate ca x² = 4
Să se calculeze (X+2)2007
Rezolvare:
a)
83
(1 − 5 )² − (1 + 5 )² =
x =
1 − 5 − 1 + 5 = −1 + 5 − 1 − 5 = −2 ⇒ x² = 4
b. x = − 2 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ ( x + 2) 2007 = 0
66b
a
.
= 2007 , să se calculeze
b
a 223 − 9b
Rezolvare:
66b
66
66
1
=
=
=
a = b 2007 ⇒
b 2007 ⋅ 223 − 9b 223 ⋅ 3 − 9 660 10
7. Dacă
8.Să se calculeze suma
S=
2 + 2 2 + 2 3 + .......... + 2 2007 .
Rezolvare: S=
=
( 2+
)
23 + 25 + ............ + 22007 +
+ ⎛⎜ 22 + 24 + ............ + 22006 ⎞⎟ =
⎠
⎝
(
)
= 2 1 + 2 + 22 + ............ + 21003 +
+ 2 + 22 + 23 + ............. + 21003 + 1 − 1 =
(
= [(2 ) − 1](
= 1 + 2 + 22 + ............. + 21003
)
)(
)
2 +1 −1 =
2 + 1 − 1.
Am adăugat şi am scăzut 1.
1004
84
9.Calculaţi: E =
(
)
4 + 2 3 + 7 − 4 3 + 2 68 − 351 + 2 68 : 350
Rezolvare:
4+2 3 =
4+2
4−2
+
= 3 +1
2
2
7−4 3 =
7 +1
7 −1
−
= 2− 3
2
2
(2 ) − (3 )
4 17
3 17
(
)
< 0 ⇒ E = 3 + 1 + 2 − 3 + − 268 + 351 + 268 : 350
= 3 + 3 : 3 = 3 + 3 = 6.
51
50
10.Determinati n ∈ Z astfel încât
Rezolvare
(3 − 5 )
2
=
+
n
(
)
5 −1
2
=
14 − 6 5 + 6 − 2 5
∈ Z.
n
3− 5 +
n
5 −1
=
3 − 5 + 5 −1
n
2
∈ Z ⇔ n ∈ {− 2,−1,1,2}
n
11. Să se rezolve ecuaţia: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6
Rezolvare:
Ecuaţia dată este echivalentă cu:
(2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 ⇔ (4x2 –4x-8) (4x2 –4x-3)=-6
Notam 4x2 –4x-8=t
⇒
t(t-5)=-6 ⇒ t2-5t+6=0 ⇒ t1=2 si t2=3
⇒ 4x2 –4x-8=2 ⇒ x1,2= 1 ± 11
2
8=3 ⇒ x3,4=
4x2 –4x-
1± 2 3
.
2
85
12 . Se dă ecuaţia:
x² + 18x + 1 = 0. Se cere să se calculeze 3 x1 + 3 x 2 , unde
x1, x2 sunt soluţiile ecuaţiei .
Rezolvare :
Fie A = 3 x1 + 3 x 2 . Se ridică la puterea a treia
A³ = x1 + x2 + 3 3 x1 x 2 · A
Cum x1 + x2= - 18 x1+x2=1 (Relaţiile lui Viete)
A³- 3A + 18= 0 ; Soluţia reală a acestei ecuaţii este A = -3 ;
restul nu sunt reale
A³+ 3A²-3A²-9A+6A+18=0
A²(A+3) – 3A (A+3)+6(A+3)=o
(A+3)(A²-3A+6)=0
A=-3
13. Doua drepte perpendiculare între ele în punctul M(3;4)
intersectează axa OY în punctual A si OX în punctual B.
a) să se scrie ecuaţia dreptei AB
b) să se arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt
perpendiculare ,unde 0 este originea sistemului.
Rezolvare :
Scriem ecuaţiile dreptelor AM si MB
(1)AM : y − 4 = m(x − 3) cum AM ⊥ MB
(2)MB : y − 4 = − 1 (x − 3)
m
Aflam coordonatele lui A:
- din (1) când x = 0 ⇒ y = 4 − 3m
Aflam coordonatele lui B:
- din (2) când y = 0 ⇒ x = 4m + 3
86
Fie P(x,y) mijlocul lui AB
4M + 3
4 − 3m
2x − 3
⇒X =
⇒x=
,y =
2
2
4
2x − 3
⇒ 2y = 4 − 3⋅
⇒ 8 y = 16 − 6 x + 9 ⇒
4
⇒ 6 x + 8 y − 25 = 0(ec.drepteiAB )
3
⇒ panta dreptei AB este m = − .
4
Panta dreptei OM este evident
4−0 4
=
⇒ m AB ⋅ mom = −1 ⇒ OM ⊥ AB.
3−0 3
A
M(3,4)
O
B
14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere:
a) perimetrul triunghiului ABC şi natura sa ;
b) coordonatele centrului de greutate;
c) ecuaţia dreptei BC;
d) ecuaţia medianei AM şi lungimea sa;
e) ecuaţia înălţimii din A pe BC şi lungimea sa ;
f) ecuaţia dreptei care trece prin A şi face un unghi de 300
cu axa OX;
87
g) ecuaţia dreptei care trece prin A şi este paralelă cu BC;
h) ecuaţia bisectoarei din A şi lungimea ei
i) aria triunghiului ABC.
Rezolvare:
a) Aplicând formula distanţei pentru cele trei laturi ale
triunghiului AB =
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
obţinem:
AB = 3 5 , BC = 5 5 ,AC = 4 5 ⇒ P = 12 5 ;
Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora că triunghiul este
dreptunghic cu unghiul de 900 în vârful A.
b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula:
⎛ x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 ⎞
⎛4 7⎞
,
G⎜ 1
⎟ ⇒ G⎜ , ⎟ ;
3
3
⎝3 3⎠
⎝
⎠
c) Ecuaţia dreptei BC se scrie folosind formula:
y − y1
x − x1
=
⇒
y 2 − y1
x 2 − x1
y−3
x+ 4
=
⇒ 5x+10y-10=0 x+2y-2=0
10
−5
1
(forma generală a dreptei )sau y = − x + 1 (forma normală);
2
1
d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M (1, ) ⇒
2
ecuaţia medianei este:
x−2 y−6
=
⇒ 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii
1− 2 1
−6
2
medianei AM se poate folosi faptul că într-un triunghi
dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate
din ipotenuză:
BC 5 5
⇒ AM =
=
, altfel se poate aplica formula distanţei.
2
2
e) Fie AD înălţimea din A ⇒ AD şi BC sunt perpendiculare
ceea ce înseamnă că produsul pantelor este egal cu -1. Cum
88
1
⇒ panta lui AD este 2. Rămâne să
2
scriem ecuaţia dreptei care trece prin A şi are panta 2 :
y-6=2(x-2) ⇒ 2x-y+2=0 este ecuaţia înălţimii din A;
Pentru calculul înălţimii (într-un triunghi dreptunghic) este
convenabil să aplicăm formula:
AB ⋅ AC 3 5 ⋅ 4 5 12 5
AD =
=
=
;
BC
5
5 5
Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecuaţiile dreptelor
BC şi AD pentru a determina coordonatele lui D.
3
f) y-6=
(x-2); Am aplicat formula
y-y0=m(x-x0) în
3
condiţiile în care panta este tg300
1
1
g) y-6= − (x-2) unde − este panta dreptei BC .
2
2
h) Fie AE bisectoarea unghiului A.
BE AB
3
Din teorema bisectoarei k=
=
⇒ k= .Folosindu-ne
EC AC
4
de raportul în care un punct împarte un segment rezultă
⎛2 6⎞
coordonatele lui E ⎜ , ⎟ . Atunci ecuaţia bisectoarei este:
⎝7 7⎠
x−2 y−6
=
⇒
21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea
2
6
−2
−6
7
7
bisectoarei
ne
putem
folosi
şi
de
formula
A
2 AB ⋅ AC cos
2 care este utilizată de obicei când se
AE =
AB + AC
cunoaşte măsura unghiului a cărei bisectoare se calculează.
12 10
⇒ AE =
.
7
i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este dată de formula A =
AB ⋅ AC
= 30 .
2
panta dreptei BC este −
89
Se va insista pe faptul că dacă triunghiul nu ar fi fost
dreptunghic ar fi trebuit să se calculeze distanţa de la A la
dreapta BC adică tocmai lungimea înălţimii iar aceasta s-ar
putea face mai simplu folosind formula :
Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie
(h): ax+by+c=0 este dată de:
ax0 + by 0 + c
d ( M 0 , h) =
.
a2 + b2
15. Sa se rezolve ecuaţia :
x
x
3 ⎞
⎛
4
4 ⎟
⎜
2006 − 2005 = 6 ⋅ 2005 + 4⎜ 2005 + 2005 ⎟ + 1
⎝
⎠
Rezolvare : Ecuaţia dată este echivalentă cu :
x
x
2
x
4
x
⎛
⎞
2006 = ⎜⎜ 2005 4 + 1⎟⎟
⎝
⎠
Ridicăm la puterea
x
x
x
x
1
⇒ 2006 4 = 2005 4 + 1 ⇒ 2006 4 − 2005 4 = 1
4
x
(x )
Din monotonia funcţiei f ( x ) = (1 + a ) − a x care e strict
crescătoare ⇒ ecuaţia (x ) are soluţie unică ⇒ x = 4
x
16 . Să se rezolve ecuaţia:
x
2x
x
x
3
3
2007 – 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1
90
Rezolvare:
Ecuaţia dată este echivalentă cu:
x
x
3 3
2007 = (2006 + 1) . Ridicăm la puterea 1/3 =>
x
x
3
3
2007 = 2006 +1 =>
x
x
3
3
2007 – 2006 =1 (*)
Din monotonia funcţiei f(x) = (1+ a)x – ax care e strict
crescătoare => ecuaţia (*) are soluţie unică: x = 3
17. Să se determine numărul de cifre din care este compus
numărul 72007.
Rezolvare:
102 < abc <103 ; p = 3
______
3
10 < abcd < 104 ; p = 4
(*) 10p-1 ≤ N < 10p , unde p reprezintă numărul de cifre ale lui
N.
Din (*) => lg 10p-1 ≤lg N <lg 10p => p-1 ≤ lg N <p .
Pentru N = 72007 => lg N = 2007 lg 7 ≈ 1696 de cifre.
91
⎛a b ⎞
⎟⎟ ∈ M 2 (Z ) e
18. Să se arate că matricea A = ⎜⎜
d
c
⎠
⎝
inversabilă , unde :
a = 2005 2006
b = 6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 2006
c = 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 11
2006 ori de 1
d = 2006
Rezolvare :
2005
A e inversabilă ⇔ det A ≠ 0 ⇔ ultima cifră a numărului det A
e≠0
u (a ) = 5
u (d ) = 6
⇒ u (det A) = 5 ⋅ 6 − 6 ⋅ 6 = 0 − 6 = 4 ≠ 0 ⇒ det A ≠ 0.
u (b ) = 6
u (c ) = 6
92
Probleme - sinteze
I. NUMERE REALE. APLICAŢII.
1. Să se calculeze:
a)
b)
98 − 44 − 50 + 99 .
(7 2 − 8 3 ) − (5 2 − 6 3 ) + (− 2 + 2 3 ).
c)
( 20 − 18 ) ⋅ ( 45 + 50 ) − 10 .
d)
(520 + 330 − 520 ) : 914.
e)
( 287 − 358 − 358 ) : 1620.
f)
3
2 3
−
2
12
.
3 2 3 3−2 2
{
⋅
[
(
g)
5 2 + 3⋅ − 8 3 + 4⋅ 3 2 + 2⋅
h)
12 − 2 3 12 + 3 2 2 6 − 6
−
+
.
2 3
3 2
6
i)
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ 1
−
⎟:⎜
⎟ .
⎜
20 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠
⎝ 5
)]}
3 − 2 2 : 22.
−1
93
j)
6561 + 1225 − 5184 .
k)
⎛ 1
2
1 ⎞
⎜⎜
−
+
⎟⎟ : 3 2
32 2 2 ⎠
⎝3 2
( )
−1
2⋅ 2+ 2 ⋅ 2+ 2+ 2 ⋅ 2− 2+ 2.
l)
(3 − 7 ) + (2 − 7 ) .
(3 − 2 ) + (2 2 − 3) − (3 2 − 5) .
3 + 2 2 + 6 − 4 2 − ( 2 − 1) .
2
m)
2
2
n)
2
2
2
o)
16 x16
p)
.
25 y 24
q)
3 + 7 ⋅ ( 13 − 7 − 5 − 7 ).
r)
2 − 3 ⋅ ( 6 − 2 ) ⋅ (2 + 3 ).
s)
11 − 6 2 + 6 − 4 2 + 9 + 4 2 .
t)
2+ 3
2− 3
+
.
2− 3
2+ 3
2+ 3
u)
v)
(
2− 3
+
2+ 2+ 3
) (
2
3+ 2 −
2− 2− 3
) (
2
3− 2 +
2. Dacă a=2006.2007, arătaţi că
3. Să se calculeze numărul
.
3+ 2
)(
)
3− 2.
a + a + a ⟨ 2007.
a 2 − b 2 pentru a = 242,5 şi b = 46,5
94
4. Comparaţi numerele:
a=
(
)
2
5− 3 +
(
)
(
2
3− 5 +2
)
(
2
)
5 + 3 +46− 5 .
b = 6 − 2 5 + 6 + 2 5 + 2 14 − 6 5 .
a
3b
= 1996 , calculati
.
5. Dacă
b
a ⋅ 499 + 3b
6. Arătaţi că numărul
(
)
5
a = 1,41 − 2 + 251 − 334 + 251 : 32 + 1,41 − 2
e pătrat perfect.
7. Să se arate că expresia
E=
b=
2a − b
∈Q
a + 2b
stiind ca a = 3 − 5 + 9 − 4 5
7 − 1 − 11 − 4 7
8. Să se aducă la o formă mai simplă expresia:
E (a) = 6a 4 + 6a 8 + 5a 16 + 16a 32 , a⟩ 0.
3
10*. Să se arate că: a)
11. Să se arate că:
2
2 sau 3
9. Care număr este mai mare:
.
a) 5n + 7 ∈ R − Q
b) 5n + 13 ∈ R − Q
a) 3 2 n + 2 ⋅ 4 2 n + 3 − 2 2 n +1 ⋅ 6 2 n + 3 ∈ Q, ∀n ∈ N
b) 2 ⋅ 9
2n
n +1
+4
n+ 2
⋅3
2n
∈ N , ∀n ∈ N
.
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ....... ⋅ 31 + 32 ∈ Q.
12. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei:
2 x = 1 + 2 0 + 21 + 2 2 + 2 3 + ....... + 2 999.
2x − 4
14. Să se afle numerele întregi x pentru care
∈ Z.
x+5
13. Să se afle x ştiind că
a)
3
5 2 +7 −3 5 2 −7 = 2
b)
3
9+4 5 +3 9−4 5 =3
15. Să se verifice egalităţile:
16. Să se ordoneze crescător numerele: 2 ,
17. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:
3
3, 6 6 .
95
1
a) 3
5 −3 2
2− 2 − 3
2+ 2 − 3
b) 3
.
; e)
1
2−3 3
1
2 +1
;
c) 3
1
9 +3 5
; d)
.
18. Să se determine rădăcina pătrată a numărului a= 6 + 2 3 − 2
19. Să se determine cel mai mare număr natural n cu proprietatea:
1
2+ 3
+
1
4 + 15
+ .................... +
2 −2 6
1
2n + 4n 2 − 1
≤3 2.
20. Fie a,b,c numere raţionale astfel încât ab+ac+bc=1. Să se demonstreze că:
(a
2
)(
)(
)
+1 b2 +1 c2 +1 ∈ Q .
21. Să se demonstreze că
2+ 3+ 5
nu este un număr raţional.
II. PROGRESII ARITMETICE
1. Să se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (a n )n dacă :
a) a1 =-3 ; r=5 b) a1 =7 ;r=2
c) a1 = 1,3 ; r= 0,3
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei aritmetice (a n )n :
a) a1 , a 2 ,15,21,27,......
b) a 1 , a 2 , − 9 , − 2 , 5 ,........
3. Să se calculeze primii cinci termeni ai şirului cu termenul general a n
a) a n =3n+1 ; b) a n = 3 + (-1)
n
c) a n = n +n + 1
2
4. Fie (a n )n o progresie aritmetică . Dacă se dau doi termeni ai progresiei
să se afle ceilalţi :
a )a3 = 7, a5 = 13, a9 = ?, a15 = ?
b)a8 = 40, a 20 = −20, a 7 = ?, a10 = ?
c)a 6 = 2, a10 = 36, a9 = ?, a11 = ?
d )a 2 = −5, a9 = −125, a 7 = ?, a19 = ?
5. Fie (a n )n o progresie aritmetică. Se dau :
96
a )a1 = −2, r = 0,5 se cere a 12
b) a1 = 3, r = −1,5 se cere a 19
c) a10 = 131, r = 12 se cere a1
d) a 200 = 0, r = −3 se cere a1
6. Să se găsească primul termen şi raţia unei progresii aritmetice dacă :
a )a5 = 27, a 27 = 60
b)a 20 = 0, a 60 = −92
c)a1 + a 7 = 42, a10 − a3 = 21
d )a 2 + a 4 = 16, a1 ⋅ a5 = 28
e) S10 = 8S 5 , S 3 = −3
f )a1 + a 2 + a3 = a 7 , a3 + a 4 + a5 = a12 + 2
7. Şirul ( x n )n este dat prin formula termenului general.
a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. Să se arate că ( x n )n e o progresie aritmetică.
Să se afle primul termen şi raţia.
a)a1 =10, a100 =150
8.
÷ ai
. Să se afle S 100 dacă : b)a1 = 2, r = −5
c)a1 = 5,5, a100 = 7,5
9.Cunoscând Sn să se găsescă :
2
a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dacă Sn =5n +3n ; Sn =3
n
2
n2
− n.
4
; Sn =
b) a1 = ?, r= ? dacă Sn = 2 n
2
+3n ;
10. Este progresie aritmetică un şir pentru care :
2
a) Sn = n -2n ; b) Sn= 7n-1 ;
11.
÷ ai
2
c) Sn = -4 n +11.
, S10 = 100, S30 =900 . Să se calculeze S50.
12. Determină x ∈ R astfel încât următoarele numere să fie în progresie
aritmetică.
97
a) x-3, 9, x+3 ;
b)
x
2
+ 2, (3x ) ,4 − 2 x + x
2
2
c)
x + 2 ,18, x − 2
13. Să se rezolve ecuaţiile :
a) 1+7+13+….+x =280 ;
b) 1+3+5+…..+x = 169 ;
c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+…..+(x+28) = 155 ;
d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ……..+(x+25) = 338 ;
e) x+(x+5)+(x+10)+………+(x+100) = 2100.
14. Să se arate că următoarele numere sunt în progresie aritmetică :
a) (a+b)² , a²+b² , (a-b)² ;
a
a+b
b
,
,
;
b(a − b) 2ab a (b − a)
a x + a −1 x2 + a −1
,
,
, x ≠ −1, x ≠ 0.
c)
x +1
2x
x( x + 1)
b)
1
1
1
sunt în progresie
,
,
b+c c+a b+a
2
2
2
aritmetică atunci numerele a , b , c sunt în progresie aritmetică.
15. Să se arate că dacă numerele
16. Fie (a n )n o progresie aritmetică.
Să se arate că :
1
1
1
n −1
+
+ ....... +
=
, ∀n ≥ 2 .
a1 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 3
a n −1 ⋅ a n a1 ⋅ a n
17. Fie ecuaţia ax² +bx+c =0 cu soluţiile x1,x2. Dacă numerele a,b,c sunt în
progresie aritmetică atunci există relaţia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1 = 0
18. Să se demonstreze : a) ÷ a − bc, b − ca, c − ab ⇔ ÷a, b, c
b)
2
÷ a 2 + 2bc, b 2 + 2ca, c 2 + 2ab ⇔ ÷
2
2
1
1
1
,
,
b−c c−a a−b
c)
÷ a3
a2 3 b2 3 c2
d2
,b
,c
,d3
⇒ ÷a 2 , b 2 , c 2 , d 2
bcd
acd
abd
abc
98
III. PROGRESII GEOMETRICE
1. Să se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b n ) n dacă :
a) b1 = 6, q = 2
c) b2 = −10, q =
e) b1 = 1, q = 5
b) b1 = −24, q = −0,5
1
2
d) b2 = 0,5, q =
3
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n :
b) b1 , b2 ,225,−135.81,......,.......
a) b1 , b2 ,24,36,54,.......
3. Dacă se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n
a) b3 = 6, b5 = 24 , să se găsească b7 , b9 , b10
b) b5 = 10, b8 = −10 ,……………. b6 , b12 , b3 .
4. Să se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin :
b) b1 = 4, bn +1 = −3bn
a) b1 = 2, bn +1 = 3bn
c) b1 = 9, bn +1 = 2bn
d) b1 = 10, bn +1 =
1
bn
5
5. Este progresie geometrică un şir pentru care suma primilor n termeni
este :
a) Sn = n² -1 ;
6. Să se determine x
geometrică :
a) a+x, b+x, c+x ;
b) Sn = 2 − 1 ;
n
c) Sn = 3 + 1
n
a.î. numerele următoare să fie în progresie
2
4
b) 2 x , x ,32 ;
c) 1, x ,6 − x ;
2
2
7. Să se găsească primul termen b1 şi raţia q a progresiei geometrice
(b n ) n dacă :
99
⎧b2 − b1 = −4
⎩b3 − b1 = 8
⎧b6 = 25
⎩b8 = 9
⎧b3 − b2 = 12
⎩b4 − b2 = 48
a) ⎨
b) ⎨
c) ⎨
8.Să se calculeze sumele :
a) 1 + 2 + 2 + 2 + ......... + 2
2
b) 1 − 2 + 2
1 1
+
2 22
1 1
d) − 2
2 2
c)
3
2008
− 23 + ......... + 22008
1
1
+ 3 + ....... + 2008
2
2
1
1
+ 3 − ....... − 2008
2
2
2
e) 1+11+111+1111+………111111…1 (de n ori 1)
f) 3+33+333+……..33333…..3
g) 7+77+777+…..7777…7(de n ori 7)
h) 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2
2
+ 4 ⋅ 23 + .....100 ⋅ 22007
9. Să se rezolve ecuaţiile :
a) 1 + x + x + x + .....x
= 0, x ≠ 1
2007
b) 1 + (1 + x) + (1 + x ) + ........ + (1 + x )
= 0, x ≠ 0
2
3
2007
2
IV. LOGARITMI
1. Să se logaritmeze expresiile în baza a : a) E=a2
b) E= 4
c) E=
7
ab 6 .
a3
.
b5
a⋅3 b
a ⋅ b2
1
2. Să se determine expresia E ştiind că : lg E=2 lga- lgb-3 lg3.
2
3. Să se arate că log26+log62>2.
4. Să se calculeze expresiile:
a)
log12125
11
100
1
log 4
b) 7
49
c) E=log225-log2 ⎛⎜
20 ⎞
⎛ 4⎞
⎟ + log 2 ⎜ ⎟ .
⎝ 3⎠
⎝ 21 ⎠
d) log 5 (log 3 (log 6 216))
e) log 2 (log 5 (log 3 243))
f)
log 5 125 − log 3 3 9
g)
5.
64 log 8 2 + log 2
49
log 7 3
log 3 x + log 3
independentă de valorile strict mai
x,z,y.
b) E=
+ log 3 81
log 2 3 2 − log 3 3
log 2 x + log 2 y + log 2 3 z
Să se arate că expresia: E=
6. Să se calculeze expresiile: a) E=
2
y + log 3 3 z
este
mari ca 1 ale variabilelor
log 2 24 log 2 192
−
.
log 96 2
log12 2
31+log3 7 − 2 log 4 121
7.Să se calculeze suma:
1
1
+
log 2 1 + log 2 2 + ... + log 2 n log 3 1 + log 3 2 + .... + log 3 n
+ ... +
1
log n 1 + log n 2 + ... + log n n
8. Să se arate că dacă a,b,c sunt în progresie geometrică atunci are loc
egalitatea:
2
1
1
=
+
log b x log a x log c x
∀a, b, c ∈ R * + − {1}, x⟩ 0
9. Să se arate că dacă x, y, z sunt în progresie geometrică atunci
log a x, log b y, log c z sunt în progresie aritmetică.
101
PRIMITIVE
1. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii.
1. ∫(3x 5 −2 x 3 + 3 x − 2)dx
3. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
5.
∫ (2
)
x − 3 x + 45 x dx
7. ∫ x ( x − 1) 3 dx
9. ∫( e x +
11.
1
)dx
ex
2. ∫ x(x-1)(x-2)dx
1
4. ∫ (3 x + 3 )dx
x x
⎛ 5
3
2 ⎞
⎟⎟dx
6. ∫ ⎜⎜ 5 − 3 +
x
x⎠
⎝ x
5 3 ⎞
⎛
8. ∫ ⎜ 2 x + − 2 ⎟dx
x x ⎠
⎝
10. ∫ (x 5 +5 x )dx
2
⎛ 5 + 4x ⎞
⎟ dx
x ⎠
∫ ⎜⎝
12.
∫
13. ∫
x 2 + 4dx
14. ∫
15. ∫
4 − x 2 dx
16. ∫
17.
∫
x2 + 3
dx
x2 + 2
1
19. ∫
dx
2
sin x. cos 2 x
1+ x
dx
21. ∫
1− x
18.
∫
20.
∫
(x + 2)3 dx
x3
x 2 − 9dx
1
dx
x + x2 −1
x2 − 2
dx
x2 − 3
1
dx
sin x . cos x
102
2..Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii compuse.
1. ∫ 5 ⋅ 2 5 x dx
2. ∫ 3 4 x dx
4. ∫ 3 cos 3 xdx
5.
1
∫ 5x + 3 dx
1
dx
− 16
1
10. ∫
dx
sin 2 5 x
1
13. ∫
dx
16 x 2 + 4 2
7.
∫ 4x
3. ∫ 4 sin 4 xdx
8.
2
1
∫ 25 − 9 x
2
∫
dx
4x + 9
1
9. ∫
dx
cos 2 3 x
2
dx
11. ∫ tg 4 xdx
14.
1
6. ∫
1
9 − 16 x 2
12. ∫ 2ctg 2 xdx
dx
3. Să se calculeze primitivele următoare utilizând metoda
integrării prin părţi:
1. ∫ ln xdx
4.
1
∫x
2.
ln xdx
5.
∫ x ln xdx
1
∫ x ln xdx
2
2
8. ∫ ln(1 + )dx
x
7. ∫ ln 2 xdx
ln 2 x
10. ∫
dx 11. ∫ cos(ln x)dx
x2
2
13. ∫ ( x − 2 x + 3) ln xdx
15.
∫
x
ln(1 + x 2 + 1)dx
x +1
x + 1 ⋅ e x dx
2
)
∫(
19. ∫ (x + 2 x ) ⋅ e
21. ∫ x ⋅ e dx
2
17.
2
2
23.
∫
2x
−x
x ⋅ e dx
2
3x
∫ x ⋅ ln xdx
ln(ln x)
6. ∫
dx
x
3.
9. ∫
2
ln 3 x
dx
x2
12. ∫ sin(ln x)dx
∫ x ln( x − 1)dx
x −1
16. ∫ x ln
dx
x +1
14.
∫ x ⋅ e dx
20. ∫ x ⋅ e dx
−x
18.
dx
2
x
22. ∫ ( x 3 + 5 x 2 − 2) ⋅ e 2 x dx
3⋅ 2x + 2 ⋅ ex
24. ∫
dx
2x
103
∫ e ⋅ sin xdx
27. ∫ e ⋅ sin 2 xdx
29. ∫ x ⋅ sin xdx
31. ∫ x ⋅ sin xdx
33. ∫ x ⋅ sin 2 xdx
35. ∫ x ⋅ sin xdx
x
dx
37. ∫
cos x
26. ∫ e x ⋅ cos xdx
x
25.
∫ e ⋅ cos 2 xdx
30. ∫ x ⋅ cos xdx
32. ∫ x ⋅ cos xdx
34. ∫ x ⋅ cos 2 xdx
36. ∫ x ⋅ cos xdx
x
dx
38. ∫
sin x
x
2
2
2
2
2
2
2
39.
∫
x ⋅ arcsin x
41. ∫ e − x
∫x⋅
45. ∫ x ⋅
47. ∫
2
40.
dx
1− x2
⋅ sin 2 xdx
∫
arcsin x
dx
x2
42. ∫ cos 2 (ln x)dx
44. ∫ x ⋅ x 2 + 16dx
x 2 − 9dx
43.
x
28.
4 − x 2 dx
46.
∫
x ln xdx
x 2 − 2x + 5
dx
ex
3. Să se calculeze integralele prin metoda substituţiei
∫ (ax + b ) dx
3. ∫ x(2 x − 1) dx
5. ∫ x (x + 1) dx
n
1.
9
2
7.
3
x
∫ x ⋅ 7 dx
2
ex
9. ∫ 2 x dx
e +1
e x
dx
11. ∫
x
6
∫ (2 x − 1) dx
4. ∫ x(5 x − 3) dx
6. ∫ x (x + 1) dx
9
2.
2
k
8.
k +1
7
n
ex
∫ e x + 1dx
10. ∫ e x dx
12.
e2x
∫ e x − 1dx
104
e3x
13. ∫ 2 x dx
e −1
∫ 2 x + 5dx
17. ∫ x 1 − x dx
3
21.
∫
23.
∫
25
4
25.
∫
27.
∫
3
x
dx
1
4x + 2x − 3
x
29. ∫ 4
dx
x +1
1
31. ∫
dx
4
x(1 + ln x )
1
33. ∫
dx
2
x 3 − ln x
2
dx
1 + ln x
dx
x
1
dx
37. ∫
x(2005 + ln x) 2006
35. ∫
3
3
2
− x 2 − x + 2dx
ln x
dx
x
x−2 x
2
16.
2 x + 5dx
19.
x − 1dx
∫ x 1 + x dx
18. ∫ x x + 2dx
20. ∫ x − 6 x − 7 dx
15.
3
∫x
14.
22.
∫
ln x
dx
x
24.
∫
x ln xdx
26.
∫
28.
∫
(1 − x )2 dx
x x
1
− x + 3x + 4
x
30. ∫
dx
x2 +1
1
32. ∫
dx
2
x ln x + 8
1
34. ∫
dx
x ln x
2
(
dx
)
36 . ∫ x 3 x 2 + 2dx
38.
∫x
1
x2 −1
dx
4. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii
trigonometrice:
1. ∫ sin 3 x ⋅ cos xdx
3. ∫ sin(2 x + 5)dx
2. ∫ cos 3 x ⋅ sin 2 xdx
4. ∫ sin 3 x ⋅ cos 2 xdx
105
5.
∫ (tgx + tg x )dx
3
sin 3 x
∫ cos x dx
x
dx
9. ∫
1 − cos x
7.
cos x
6.
∫ 1 + sin
8.
∫
1
x
x
dx
cos x dx
10. ∫ sin 3 xdx
11. ∫ cos 3 xdx
12.
sin x
13. ∫
dx
cos 2 x − 4
14. ∫
∫
arcsin x
dx
1− x
sin 2 x
2
1 − (cos x )
1
16. ∫
dx
sin x
1
15. ∫
2
2
2
dx
dx
1 − x 2 ⋅ arcsin 2 x
1
dx
17. ∫
18. ∫ sin 10 x ⋅ cos 3 xdx
cos x
(arctgx )2006 dx
1
dx 20. ∫
19. ∫
1+ x2
1 − x 2 ⋅ (2005 + arcsin x) 2006
5.Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii raţionale:
1
2x + 3
1.
∫ 3x + 5 dx
2.
∫ 2 x + 1 dx
4.
∫ 2 x + 3 dx
5.
∫ (2 x + 3)
1 − 3x
1
8.
∫ x 2 + 4 dx
1
dx
10. ∫ 2
3x + 5
1
dx
12. ∫
(x + 1)(x + 2)
7.
1
2005
dx
x2
∫ x 2 − 2 dx
11. ∫
13.
1
x
3.
∫ x + 4 dx
6.
∫x
9.
x2
∫ x 2 + 1 dx
(x − 1)(x − 2)
2
1
dx
−9
dx
1
∫ x(x + 2) dx
106
1
dx
− 3x + 2
1
dx
16. ∫ 2
3x + x + 1
4x − 3
dx
18. ∫ 2
2 x − 3x + 1
3x − 2
dx
20. ∫ 2
x − 5x + 6
x +1
22. ∫ 2
dx
x + 2 x + 10
x
dx
24. ∫
1
4
x +
4
3
x
dx
26. ∫
1 + x8
14.
28.
∫x
2
x
∫ (x − 1)
10
dx
1
dx
− x −3
1
17. ∫ 2
dx
x − 2x + 5
6x − 2
19. ∫ 2
dx
3x − 2 x + 5
5x − 2
21. ∫ 2
dx
x +4
x2
23. ∫ 6
dx
x −3
2x
25. ∫
dx
1+ x4
15.
∫ 2x
2
x3
27.
∫ (x − 1)
29.
x2
∫ x 6 + 4 dx
12
dx
107
ISTORICUL NOŢIUNILOR MATEMATICE
Sec. 18 î.e.n. mesopotamienii creează primele tabele de
înmulţire;
sec. 6 î.e.n. este cunoscută asemănarea triunghiurilor
de către Thales;
Sec. 5 î.e.n. pitagorienii introduc noţiunile de număr
prim, număr compus, numere relativ prime, numere prime
perfecte;
Sec. 4 î.e.n.
Aristotel (384-322 î.e.n) filozof grec a introdus
noţiunile de perimetru, teoremă, silogism.
Sec. 3 î.e.n.
Matematicianul grec Euclid(330-275 î.e.n ) cel care a
întemeiat celebra şcoală din
Alexandria (în 323 î.e.n)
a introdus noţiunile de semidreaptă, tangentă la o curbă,
puterea unui punct faţă de un cerc sau sferă, sau
denumirile de paralelogram, poliedru, prismă, tetraedru.
A enunţat teorema catetei şi a înălţimii pentru un triunghi
dreptunghic şi a demonstrat concurenţa mediatoarelor
unui triunghi;
Apolonius din Perga(262-200 î.e.n), unul din cei mai
mari geometri ai antichităţii introduce pentru prima dată
denumirile pentru conice, de elipsă, hiperbolă, parabolă
şi noţiunile de focare, normale şi defineşte omotetia şi
inversiunea şi dă o aproximare exactă a lui π cu patru
zecimale.
este dată aria triunghiului în funcţie de laturi sau în
funcţie de raza cercului înscris şi semiperimetru;
Eratostene din Cyrene(275-195 î.e.n) introduce
metoda de determinare a tuturor numerelor prime mai
mici decât un număr dat, metodă cunoscută sub numele
de „Ciurul lui Eratostene”
108
în prima carte din „Elementele” lui Euclid este
cunoscută teorema împărţirii cu rest şi „algoritmul lui
Euclid” pentru aflarea c.m.m.d.c. a două numere întregi
85-168 matematicianul grec Ptolemeu prezintă în
cartea sa „Almagest”, pe lângă vaste cunoştinţe de
astronomie şi trigonometrie şi diviziunea cercului în 360
de părţi congruente şi exprimarea acestora în fracţii
sexagesimale.
Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei
perpendiculare de către Pappos; acesta a mai dat şi
definiţia conicelor precum şi teorema despre volumul
corpurilor de rotaţie
Sec. 7
sunt cunoscute regulile de trei directă şi inversă de
către Bragmagupta, matematician indian;
Arhimede(287-212 î.e.n) precursor al calculului
integral, a determinat aria şi volumul elipsoidului de
rotaţie şi ale hiperboloidului de rotaţie cu pânze.
1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician
italian introduce notaţia pentru fracţia ordinară;
1228- Fibonacci introduce denumirea pentru numărul
zero, precum şi sistemul de numeraţie zecimal. Tot prin
opera sa „Liber abaci” sunt introduse pentru dată în
Europa numerele negative, fiind interpretate ca datorii;
1150- este descrisă extragerea rădăcinii pătrate şi a celei
cubice în cartea „ Lilavati” a matematicianului indian
Bhaskara(1114-1185), tot el prezintă şi operaţiile de
înmulţire şi împărţire cu numere negative;
1515- rezolvarea ecuaţiilor de gradul al treilea cu o
necunoscută de către Scipio del Fero, iar mai târziu de
Niccolo Tartaglia în 1530, şi pe acelea de gradul al
patrulea de Ludovico Ferrari în 1545. Acestea au fost
făcute cunoscute abia în 1545 de către Girolamo
Cardano(1502-1576) în lucrările sale, deşi promisese
autorilor lor să nu le divulge;
109
1591-matematicianul francez Francois Viete(15401603) introduce formulele cunoscute sub numele de
relaţiile lui Viete;
1614- inventarea logaritmilor naturali de către John
Neper(1550-1617);
1637- este introdusă noţiunea de variabilă de către
Rene Descartes(1596-1650), cel care a introdus literele
alfabetului latin pentru notaţii şi a folosit coordonatele
carteziene (definite după numele său), reducând
problemele de geometrie la probleme de algebră;
1640- este introdusă denumirea pentru cicloidă de către
Galileo Galilei (1564-1642);
1654- începutul creării teoriei probabilităţilor datorat
corespondenţei dintre Pierre Fermat(1601-1665) şi
Blaise Pascal(1623-1662) şi dezvoltarea combinatoricii
odată cu apariţia lucrării lui Pascal, „Combinaţiones”;
1656- matematicianul englez John Wallis(1616-1703)
1
1
introduce simbolul ∞ cu notaţiile
= ∞, = 0 şi a
∞
0
denumirilor de interpolare respectiv mantisă
1670- este determinat semnul sinusului şi desenată
sinusoida respectiv secantoida de către John Wallis);
1678- este dată teorema lui Ceva de către Ceva
Giovani(1648-1734);
1679- în „Varia opera mathematica” apărută postum, a
lui Pierre Fermat(1601-1665), a fost dată „Marea
teoremă a lui Fermat”, reguli de integrare, definiţia
derivatei.
1692- este scris primul manual de calcul integral de
către matematicianul elveţian Jean Bernoulli(16671748)” Lectiones mathematicae de methodo
integralium aliisque”, tipărit abia în 1742 şi de
asemenea a mai scris un manual de calcul diferenţial,
descoperit abia în 1920.
„Regula lui l’Hospital” este dată de către Jean Bernoulli
lui Guillaume de l’Hospital pe care acesta o publică în
1696;
110
1690- este propusă denumirea de integrală de către
Jacques Bernoulli(1654-1705)
1692- sunt descoperite proprietăţile spiralei logaritmice
(Jacques Bernoulli)
1694- este descoperită curba numită lemniscată,
caracterizată de inegalitatea
(1+x)n ≥ 1+nx (Jacques Bernoulli);
1696-1697- introducerea calculului variaţional, punerea
problemei izoperimetrelor de către Jean Bernoulli.
1705- este dată „Legea numerelor mari” de către
Jacques Bernoulli;
1711- realizarea dezvoltării în serie a funcţiilor ex, sinx,
cosx,arcsinx, de către matematicianul englez Isaac
Newton(1642-1727) cel care a pus bazele calculului
diferenţial şi integral concomitent cu Gottfried
Leibniz(1646-1716);
1729- este demonstrată existenţa rădăcinilor complexe
în număr par a unei ecuaţii algebrice cu coeficienţi reali
de către Mac Laurin Colin(1698-1746;
1731- utilizarea sistemului de axe perpendiculare pentru
a determina poziţia unui obiect în funcţie de cele trei
coordonate;
1733- crearea trigonometriei sferoidale de către Alexis
Clairaut(1713-1765);
1735- Matematicianul elveţian Leonhard Euler(17071783)
introduce
şi
calculează
constanta
1 1
1
e= lim(1 + + + ... + − ln n) =0,577215..., n→∞;
n
2 3
1739- introducerea conceptului de integrală curbilinie
de către Alexis Clairaut;
1746- relaţia lui Stewart este demonstrată de Mathew
Stewart după ce în prealabil ea îi fusese comunicată de
către Robert Simson în 1735;
1747
este enunţată problema celor trei corpuri de către
Clairaut;
111
introducerea metodei multiplicatorilor nedeterminaţi
în studiul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de către
Jean Le Rond D’Alembert(1717-1783);
1750- Gabriel Cramer dă o regulă de rezolvare a
sistemelor cunoscută sub denumirea de metoda lui
Cramer;
1755- sunt puse bazele calculului variaţional de către
Lagrange(1736-1813) concomitent cu Euler,
1765- începutul creării geometriei descriptive de către
Gaspard Monge(1746-1818);
1766- crearea mecanicii analitice de către Joseph
Lagrange(1736-1813) cu enunţarea principiului
vitezelor virtuale şi a ecuaţiilor Lagrange;
1767- demonstrarea iraţionalităţii lui π de către
Heinrich Lambert(1728-1777);
1768- demonstrarea existenţa factorului integrant la
ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi de către
D’Alembert;
1771- a fost dată ecuaţia planului normal şi formula
distanţei dintre două puncte din spaţiu de către
matematicianul francez G. Monge;
1775- introducerea noţiunilor de soluţie generală şi
soluţie particulară în teoria ecuaţiilor diferenţiale de
către Leonhard Euler; acesta a introdus şi funcţia
ϕ (n ) - indicatorul lui Euler, precum şi notaţiile e, i,
f(x)şi a creat teoria fracţiilor continue;
1780- au fost introduse liniile de curbură ale
suprafeţelor(G. Monge);
sunt descoperite funcţiile automorfe de
matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912);
1785- a fost dată ecuaţia planului tangent(G. Monge);
1796- este dată „Teorema lui Fourier” de determinare a
numărului rădăcinilor reale cuprinse într-un interval, de
către Joseph Fourier(1768-183);
1797- este dată formula creşterilor finite, cunoscută sub
denumirea de „teorema lui Lagrange”;
112
1798- au fost considerate cosinusurile directoare ale
unei drepte(G. Monge);
este introdus simbolul [.], pentru partea întreagă de
către Arien Marie Legendre
(1752-1833);
1807-, 1822 sunt date seriile Fourier care au contribuit
la crearea teoriei analitice a căldurii.
1812- este introdusă seria hipergeometrică de către Carl
Friedrich Gauss(1777-1855) matematician german, cel
care a demonstrat teorema fundamentală a algebrei;
1816-1835- Augustin Cauchy(1789-1857), fondatorul
analizei matematice moderne, a enunţat criteriul de
convergenţă al seriilor, criteriu care-i poartă numele, a
dat primele teoreme de existenţă din teoria ecuaţiilor
diferenţiale şi al ecuaţiilor cu derivate parţiale, a
introdus noţiunile de afix, modul al unui număr
complex, numere conjugate, transpoziţie;
1820- introducerea noţiunii de raport anarmonic de
Chasles
Michel(1793-1880),
fondatorul
către
geometriei proiective alături de matematicianul francez
Jean Poncelet;
1822
introducerea funcţiilor Bessel de către Friedrich
Bessel;
este introdusă notaţia pentru integrala definită
b
∫ f ( x)dx , de către Fourier.;
a
este propusă denumirea de reprezentare conformă
de către Gauss;
cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte este
considerat pentru prima dată de către Charles
Brianchon , Jean Poncelet şi Karl Feuerbach,
atribuinduse din greşeală numele lui Euler acestei
teoreme;
113
1823-1831- începutul creării primei geometrii
Bolyai(1802-1860)
neeuclidiene de către Janoş
concomitent şi independent de cea a lui Lobacevski.
1824este dată denumirea de geometrie neeuclidiană de
către Gauss;
Niels
Abel(1802-1829)
demonstrează
imposibilitatea rezolvării cu ajutorul
radicalilor, a
ecuaţiilor algebrice de grad mai mare decât patru;
1825- Abel introduce integralele ce-i poartă numele;
1827- este creată teoria funcţiilor eliptice de către Abel;
1828
sunt introduse formele fundamentale ale suprafeţelor
şi curburii totală a unei suprafeţe(curbura Gauss) de
către Gauss;
demonstrarea teoremei lui Fermat pentru n=5 de către
matematicianul german Dirichlet (1805-1859);
1830- este propusă denumirea de grup cu înţelesul
actual de către matematicianul
francez Evariste
Galois(1811-1832);
1831- definitivarea calculului cu numere complexe de
către Gauss ;
1834- introducerea noţiunii de factor de discontinuitate,
referitor la integralele
1837- introducerea notaţiilor pentru limite laterale de
către Dirichlet şi a funcţiei care îi poartă numele,
funcţia Dirichlet;
W. Hamilton introduce termenul de asociativitate a
unei legi de compoziţie;
1839introducerea
noţiunii
de
integrale
multiple(Dirichlet);
1840- este dată o formă a eliminantului a două ecuaţii
algebrice de către James Sylvester(1814-1897),
matematician englez;
1841descoperirea
invarianţilor
de
către
matematicianul irlandez George Bole (1815-1864);
114
introducerea noţiunilor de margine inferioară şi
superioară ale unei funcţii, de convergenţă uniformă de
către Weierstrass(1815-1897);
1843- descoperirea cuaternionilor de către William
Hamilton (1805-1865);
1845- „Teorema limită centrală” este dată de
matematicianul rus Pafnuti Cebâşev;
1846- Legea numerelor mari – Cebâşev;
introducerea variabilei complexe în teoria numerelor
imaginare de către D’Alembert;
1847
este introdus calculul logic de George Boole,
creatorul algebrei booleene;
este introdusă noţiunea de ideal de către Ernest
Kummel(1810-1893);
1851- sunt introduse noţiunile de rang şi signatură a
unei forme pătratice şi sunt propuse noţiunile de
matrice şi jacobian(J. Sylvester);
introducerea
sufrafeţelor
riemann
de
către
matematicianul german Bernhard Riemann(1826-1866),
lui datorându-se studiul integralei definite.
1852- introducerea segmentelor orientate AB de către
Chasles Michael(1793-188) care a formulat şi
proprietăţile axei radicale a două cercuri precum şi a
conicelor şi cuadricelor.
1853- Kronecker(1823-1891) introduce notaţia
a ij = det(a ij ) ;
1854- este introdusă noţiunea de oscilaţie într-un punct
de către Riemann care creează o nouă geometrie
neeuclidiană, numită geometria sferică;
1858- crearea calculului matriceal de către Arthur
Cayley(1821-1895) matematician englez ;
1871 Dedekind introduce noţiunile de corp şi modul
ceeace în limbajul actual exprimă noţiunile de subcorp
şi Z-submodul ale lui C. Tot el introduce mulţimea
întregilor unui corp de numere algebrice, definind şi
115
idealele acestei mulţimi şi demonstrează teorema
fundamentală de descompunere unică a oricărui ideal în
produs de ideale prime;
1872introducerea structurilor de subinel şi modul de către
Dirichlet;
introducerea numerelor raţionale prin tăîeturi de
către Dedekind;
1873- Charles Hermite(1822-1901) demonstrează
1
transcendenţa numărului e= lim (1 + ) n = 2,718281....
n →∞
n
1874- este dată denumirea de subgrup de către Sophus
Lie(1842-1899);
1874-1897- crearea teoriei mulţimilor de către Georg
Cantor(1845-1918). El a introdus noţiunile de mulţime
deschisă, mulţime închisă, mulţime densă, mulţime bine
ordonată, mulţime numărabilă, punct de acumulare,
punct izolat, produs cartezian, reuniune, intersecţie.
1878- rezolvarea problemei celor patru culori pentru
colorarea hărţilor de către Cayley;
1880-sunt descoperite funcţiile automorfe de
matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912);
1882Ferdinand
Lindemann(1852-1939)
a
demonstrat trascendenţa numărului π =3,141592......;
(un număr se numeşte transcedent dacă nu este soluţia
niciunei ecuaţii algebrice cu coeficienţi raţionali); tot el
demonstrează imposibilitatea cvadraturii cercului cu
rigla şi compasul;
1893- H. Weber, asociază conceptului de corp, sensul
de astăzi, ca o structură cu o lege de grup aditiv şi o
înmulţire asociativă, distributivă şi în care orice element
e inversabil;
1897- introducerea denumirii de inel de către
Hilbert(1862-1943);
1899 -axiomatizarea geometriei de către David
Hilbert;
116
1900introducerea
axiomatică
a
numerelor
întregi(D.Hilbert);
1905- este introdusă noţiunea de distanţă între două
mulţimi închise de către matematicianul român Dimitrie
Pompeiu(1873-1954);
1910- este introdusă denumirea de funcţională de către
Jacques Hadamard (1865-1963), unul din fondatorii
analizei funcţionale;
1912 -este descoperită noţiunea de derivată
areolară(Pompeiu)
1927-s-a stabilit formula Onicescu referitoare la
geodezice dată de Octav Onicescu(1892-1983);
1928 -este introdusă funcţia areolar-conjugată de către
matematicianul român Miron Nicolescu(1903-1975);
1933 -introducerea funcţiilor convexe de ordin superior
de către Tiberiu Popoviciu(1906-1975);
1936 -Matematicianul român Gheorghe Mihoc(19061981) dă o metodă cunoscută sub numele de metoda
Schulz-Mihoc, de determinare a legilor limită ale unui
lanţ Markov;
1941 -teorema lui Moisil referitoare la geodezicele unui
spaţiu riemannian este introdusă de Grigore
Moisil(1906-1973);
1944 -este introdusă în domeniul algebrei moderne
noţiunea de signatură de către matematicianul român
Dan Barbilian(1895-1961);
1950 -este introdusă noţiunea de Δ - derivată de către
Dan Barbilian;
1996 -celebra conjectură a lui Fermat este demonstrată
de către Andrew Wiles de la institutul Isaac Newton
din Cambridge.
2000 -este determinat cel mai mare număr prim 269725931, având două milioane de cifre, obţinut cu ajutorul a 20
de mii de calculatoare puse în reţea;
117
BIBLIOGRAFIE.
1: N. Mihăileanu- Istoria matematicii,vol.1,vol2.,Editura
Ştiinţifică şi enciclopedică; Bucureşti,1974/ 1981;
2: Vasile Bobancu- Caleidoscop matematic, Editura Niculesu;
3. Neculai Stanciu, 100 de probleme rezolvate. Editura Rafet;
4. Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, Bucureşti
118
Cuprins
Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie.............5
Sinteze matematice
Mulţimea numerelor reale...........................................37
Inegalităţi....................................................................42
Mulţimi. Operaţii cu mulţimi..................................... 45
Progresii......................................................................47
Funcţii.........................................................................50
Numere complexe.......................................................56
Funcţia exponenţială şi logaritmică............................59
Binomul lui Newton....................................................63
Vectori şi operaţii cu vectori..................................... .65
Funcţii trigonometrice.................................................69
Formule trigonometrice...............................................72
Ecuaţiile dreptei în plan..............................................75
Conice..........................................................................77
Algebră liniară..............................................................82
Şiruri de numere reale..................................................88
Limite de şiruri.............................................................93
Funcţii continue...........................................................98
Derivate.......................................................................101
Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor.....................103
Primitive......................................................................109
Probleme propuse şi rezolvate....................................117
Probleme.sinteze.........................................................128
Istoricul noţiunilor matematice...................................143
119
120