一句话核心考点
《高等数学》
1.处理复合函数的各类题目时，如果直接处理不方便，记得令内层函数等于 u .
2.计算函数求极限时，一定要先分析，再化简计算；各部分分析清楚，对号入座：
（1）若是已定式，直接口算结果；若是未定式，需要化简计算；
（2）若是非零因子，直接计算出来；若是极限为零，看是否方便化为常见等价无穷小
进行等价替换；
（3）若有极限存在的项，直接拆分出来，不用考虑剩下的项是否存在；只要分子是分
母的高阶或同阶无穷小，极限一定存在，可以直接拆分；
（4）等价无穷小只能用在相对于整个极限式子的乘除法；泰勒公式随时可用，一般用
在加减法；
（5）遇到幂指函数，记得指数化.
3.数列求极限记得使用单调有界准则去证明；少数情况也会结合夹逼准则，放大缩小时，
一般将分母统一放大或放小，分母统一了，才方便合并化简.
4.判断函数间断点的类型时，先看直接计算极限是否可行，不行再分左右极限去计算.
5.各种函数求到时注意：
（1）反函数的导数等于原来函数导数的倒数；
（2）隐函数求导时等号两边直接求即可，把 y 看成 x 的函数；二元隐函数把 z 看成 x, y
的函数；若需求二阶导，不需要将一阶导分离出来，可以在一阶导等式两边继续直接再求导.
（3）参数方程求二阶导时，注意分母还要除以 x(t )
（4）变限积分函数求导时，上限代入被积函数后，一定注意再乘以上限的导数；另外，
被积函数有求导的变量时，能分离的分离，不能分离的换元.
6.不等式的证明，方程根的问题，优先考虑构造函数，利用单调性去证明.
7.微分中值定理的证明，要熟悉罗尔定理证明题的四种类型和对应方法；拉格朗日中值
定理的证明题，主要是找对区间；泰勒中值定理的证明题，主要是找到合适的展开点，同时
处理拉格朗日余项时一般会用到介值定理推论.
8.计算不定积分、定积分时，先考虑凑微分，不行再看有没有根号，有根号就看根号下
x 是一次的还是二次的，一次的整体换元，二次的三角换元；定积分的三角换元一定要在同
一个单调区间内取上下限；去完根号再看是否是分部积分或者有理函数积分；有理函数积分
1
时，需要把被积函数拆分成若干简单有理式去积分.
9.定积分直接计算不好算时，记得还有一个重要换元，令 x  上限+下限  t .
10.含有抽象函数的不定积分、定积分计算或证明，一般都会用到分部积分.
11.含有变限积分函数的等式方程，一定要注意两点：初值和求导.
12.反常积分的计算，注意在瑕点处分开，剩下的就是直接按定积分的方法去处理.
13.反常积分敛散性的判定，只需要分析当 x 趋于无穷或瑕点时，是否收敛，一般与 p 积
分进行比较；


1
1
e  x dx 、  ln n xdx 是收敛的.
n
0
14.定积分的应用要精通用微元法分析问题，不要死记公式.
15.微分方程求解时，一定要分清微分方程的类型，再按固定方法求解；有些微分方程
k
取个倒数是个常考的化简方法；设常系数线性微分方程的特解时，别忘了乘以 x .
16.微分方程的物理应用仅数学一二要求，要从问题出发，看问的是哪两个变量之间的
关系，就要建立关于这两个变量的微分方程，其他变量全部消去.
17.要弄懂全微分的定义，它实际上是指能否用线性增量 Ax  By 近似代替实际增量
z ，也就是在 x, y  0 时，它们的差值 z  ( Ax  By ) 相对于 x, y 或它们的斜边
(x) 2  (y ) 2 是否可以忽略不计.
18.计算偏导数时，后面用不到的变量，可以提前代入具体数值.
19.一阶偏导数依然还是个多元函数，它是否连续，还要考虑各个方向是否连续，不能
只考虑下 x 轴， y 轴两个方向.
20.复合函数求偏导数，要分清它们的复合关系；求偏导后，它们的函数关系变成了偏
导函数，但参数的复合关系不变.
21.多元函数的极值与条件极值得求解步骤要熟练；闭区域上的最值问题要分区域内的
极值和边界上的条件极值去解决，多个边界方程时，边界再分情况逐个研究.
22.计算二重积分的步骤：
（1）画图（2）观察对称性（3）选坐标系，观察被积函数的积分次序，展开成累次积
分（4）计算，先算后面的部分，当后面的积分结果与前面的积分变量无关时，前面的积分
可以先算.
23.三重积分、曲线积分、曲面积分的计算都要先画图或想一下图形，然后分析下对称
性，化简计算：
2
（1）三重积分的计算包括：投影法、截面法、柱面坐标、球面左边；
（2）第一型曲线积分的计算，根据题干采取不同的弧微分计算公式；
（3）第二型曲线积分的计算，直接计算时，多采取参数方程取计算；间接计算时，先
计算
Q P
是否为 0 或比较简单；为 0 时，积分与路径无关，可以选折线计算，但一定

x y
要注意原路径与折线路径所围的单连通区域不能包含 P, Q,
P Q
不连续的点；另外，格
,
y x
林公式是重点，要熟悉它的各种题型，不封闭补线，不连续挖洞.
（4）第一型曲面积分的计算，一投二代三计算，注意用对称性化简.
（5）第二型曲面积分的计算，一投二代三定号，同样注意对称性，当曲面关于 yoz 对
称时， x 坐标具有对称性， x 轴的流量关于 x 偶零奇倍，其他类似；间接计算时，注意先计
算高斯公式的被积函数是否简单，同时注意封闭，外侧.
24.空间几何与场论初步的各种知识点，需要熟记公式，考前看一眼，考到就得分.
25.数项级数的敛散性判定，多举反例排除，反例不好想时，要注意，只要跟学过的判
定方法不完全一致的，基本都是错误的.
26.幂级数计算时，注意计算收敛域；求导时注意是否第一项会变成零而需调整脚标；
积分时，两边都是

x
0
dt ，不要忽略下下限，有时候不是零.
27.傅里叶级数主要掌握狄利克雷收敛定理和正弦级数、余弦级数的展开式计算.
3
《线性代数》
1.数值型行列式的计算，一般边用性质化零，边按行或列展开；计算特征多项式时，尽
量化一个零出来，同时该行或列可以提公因子，这样剩下的计算就简单了.
2.克拉默法则主要是在求方程组中某一个变量的解时会用到.
3.方阵的幂主要考查三种类型：
（1）计算 A , A  找规律；
2
3
（2）行（列）成比例的矩阵，可以每行提出公因子，剩下的每行都一样，这样写成列
乘行的形式，即 A   ，则 A  l
T
n
n 1
A, l  aT    T a ；
1
1
1
（3）可相似对角化的矩阵，即 P AP    A  PP ，则 A  P P .
n
n
4.抽象矩阵的行列式，需要化成乘法关系，根据 | AB || A |  | B | 计算，或者可以利用特
征值计算；
5.求逆矩阵一般通过初等行变换计算，此时不能混合使用列变换；抽象矩阵的逆矩阵，
要化成定义的形式来计算， AB  E  A
1
B.
6.分块矩阵的计算，把分块子矩阵看成普通字母即可，大多数计算与正常矩阵类似.
7.矩阵秩的结论，要熟记：
（1） r ( A  B )  r ( A)  r ( B ) ；
（2） r ( AB )  r ( A), r ( AB )  r ( B ) ；
（3） r ( AA )  r ( A) ；
（4）若 Amn Bn s  O ，则 r ( A)  r ( B )  n ；
T
（5）若 A 列满秩，则 r ( AB )  r ( B ) ；若 A 行满秩，则 r ( BA)  r ( B ) ；
n, r ( A)  n

*
（6） r ( A )  1, r ( A)  n  1
0，r ( A)  n  2

8.向量组线性无关的证明，一般根据定义进行.
9.向量组的极大无关组需要满足三条：
（1）来自组内（2）线性无关（3）个数  r ( A) .
10.向量组的线性相关性可以等价为齐次线性方程组有无非零解的问题；向量组的线性
表示可以等价为非齐次线性方程组有解无解的问题.
11. 向 量 组 I 可 由 向 量 组 II 表 示 ， 则 必 有 必 要 条 件 r ( I )  r ( II ) ， 充 要 条 件
4
r ( II , I )  r ( II ) ，向 量组 I 和向 量组 II 等价 ，则有必要条件 r ( I )  r ( II ) ，充 要条件
r ( II , I )  r ( I )  r ( II ) .
12.抽象方程组的求解要根据解的结构，先求齐次的通解，再求非齐次的特解；基础解
系是方程组通解的极大无关组，需要满足：（1）是解（2）无关（3）个数等于 n  r (A) .
13.相似对角化的步骤：
（1）求特征值： | E  A | 0 ，解得： 1 , 2 , 3 ；
（2）求特征向量： (E  A) x  0 ，解得： 1 ,  2 ,  3 ；
（3）令 P  (1 ,  2 ,  3 ) ，则 P AP  
1
（4）有些题目反求矩阵 A  PP
1
14.合同对角化的步骤：
（1）求特征值： | E  A | 0 ，解得： 1 , 2 , 3 ；
（2）求特征向量： (E  A) x  0 ，解得： 1 ,  2 ,  3 ；
（3）正交化得： 1 ,  2 ,  3 ；
（4）单位化得：  1 ,  2 ,  3 ；
（5）令 Q  ( 1 ,  2 ,  3 ) ，则 Q AQ  
T
（4）有些题目反求矩阵 A  QQ
T
15.二次型化一般形为标准形的步骤
（1）写出系数矩阵 A
（2）求特征值： | E  A | 0 ，解得： 1 , 2 , 3 ；
（3）求特征向量： (E  A) x  0 ，解得： 1 ,  2 ,  3 ；
（4）正交化得： 1 ,  2 ,  3 ；
（5）单位化得：  1 ,  2 ,  3 ；
（6）令 Q  ( 1 ,  2 ,  3 ) ，则在正交变换 x  Qy 下，二次型的标准形为 1 y1  2 y2  3 y3 ；
2
5
2
2
特征值只保留符号 0,1 ，得规范形.
16.不同的特征值对应的特征向量线性无关，实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量，
不但无关而且正交.
17.一般矩阵，相似不一定合同，合同不一定相似；实对称矩阵相似一定合同，合同不
一定相似；一般矩阵相似的必要条件是特征值相同，可对角化矩阵相似的充要条件是特征值
相同；实对称矩阵一定可相似对角化.
18.行（列）成比例的矩阵， r ( A)  1, 1  2    n 1  0, n  tr ( A)  l  
T
.
19.正负惯性指数之和等于非零特征值的个数等于系数矩阵的秩；实对称矩阵合同等价
于正负惯性指数相同.
20.矩阵正定的等价条件：
（1）对任意 x  0 ，有 x Ax  0 ；
T
（2）所有特征值都大于零；
（3）所有顺序主子式都大于零；
（4）存在可逆矩阵 P ，使得 A  P EP  P P .
T
T
21.矩阵负定的等价条件：
（1）对任意 x  0 ，有 x Ax  0 ；
T
（2）所有特征值都小于零；
（3）奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零.
6
《概率论与数理统计》
1.六大概率计算公式要熟练：加法、减法、乘法、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式.
2.离散型随机变量的分布律，即：取值、概率.
3.分布函数 FX ( x)  P{ X  x} ，小 x 是参数，与大 X 无关，可以换做任意其他字母；
小 x 参照大 X 的取值进行讨论.
4.求边缘概率密度时，注意讨论变量的取值情况，有些范围不需要计算.
5.随机变量函数的分布，根据分布函数法：
（1）定义： FZ ( z )  P{Z  z} ；
 P{Z ( X , Y )  z} ；
（2）代入：
（3）讨论：小 z 参照大 Z 的取值进行讨论；
6.二维随机变量函数的分布，也可以用公式法：
（1）由 Z  Z ( X , Y ) 反解出 y  y ( x, z ) ；
（2） f Z ( z ) 



f ( x, y ( x, z )) 
y
dx ；
z
（3）小 z 参照大 Z 的取值，先讨论出 f ( x, y ( x, z )) 的具体表达式，再代入公式计算.
7. 期 望 
 取值  概率 ；
cov( X , X )  DX ；  X ,Y 
DX  EX 2  (EX ) 2 ； cov( X , Y )  EXY  EXEY ；
cov( X , Y )
；  cov( X , Y )   X ,Y DXDY .
DXDY
8.常见分布的概率分布、期望、方差要熟悉.
9.常见统计量的数字特征： EX  EX, DX 
1
DX, ES2  DX, E 2 (n)  n, D 2 (n)  2n .
n
10.三大抽样分布：
（1）  分布，相互独立的标准正态分布的平方和；
2
（2） F 分布，两个独立的卡方分布（各自除自由度）之比；
（3） t 分布，分子是标准正态分布，分母是根号下卡方分布比自由度.
11.正态总体 X ~ N (  ,  ) 下的抽样分布：
2
（1） X ~ N (  ,
1 2
 )；
n
7
n
（2 ）
(n  1) S 2

（3） T 
2
2

(X
i 1
i

 X )2
2
~  2 (n  1) ；
n
1 n
nT 2
X  2
2
(
X


)


( i
) ~  2 ( n)


i
2
n i 1


i 1
X 
（4 ）
2 n
(n  1) S
2
2

n 1
X 
~ t (n  1) ；
S n
（5）计算统计量的方差时，经常需要构造卡方分布.
12.矩估计思想：理论平均值等于样本平均值，当出现两个待估参数时，用上二阶矩相
等；最大似然估计思想：改组样本值在理论上发生的概率或概率密度尽可能的大.
13.估计量的评选标准：无偏即期望，有效即方差，一致即依概率收敛.
8