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一句话核心考点

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一句话核心考点
《高等数学》
1.处理复合函数的各类题目时,如果直接处理不方便,记得令内层函数等于 u .
2.计算函数求极限时,一定要先分析,再化简计算;各部分分析清楚,对号入座:
(1)若是已定式,直接口算结果;若是未定式,需要化简计算;
(2)若是非零因子,直接计算出来;若是极限为零,看是否方便化为常见等价无穷小
进行等价替换;
(3)若有极限存在的项,直接拆分出来,不用考虑剩下的项是否存在;只要分子是分
母的高阶或同阶无穷小,极限一定存在,可以直接拆分;
(4)等价无穷小只能用在相对于整个极限式子的乘除法;泰勒公式随时可用,一般用
在加减法;
(5)遇到幂指函数,记得指数化.
3.数列求极限记得使用单调有界准则去证明;少数情况也会结合夹逼准则,放大缩小时,
一般将分母统一放大或放小,分母统一了,才方便合并化简.
4.判断函数间断点的类型时,先看直接计算极限是否可行,不行再分左右极限去计算.
5.各种函数求到时注意:
(1)反函数的导数等于原来函数导数的倒数;
(2)隐函数求导时等号两边直接求即可,把 y 看成 x 的函数;二元隐函数把 z 看成 x, y
的函数;若需求二阶导,不需要将一阶导分离出来,可以在一阶导等式两边继续直接再求导.
(3)参数方程求二阶导时,注意分母还要除以 x(t )
(4)变限积分函数求导时,上限代入被积函数后,一定注意再乘以上限的导数;另外,
被积函数有求导的变量时,能分离的分离,不能分离的换元.
6.不等式的证明,方程根的问题,优先考虑构造函数,利用单调性去证明.
7.微分中值定理的证明,要熟悉罗尔定理证明题的四种类型和对应方法;拉格朗日中值
定理的证明题,主要是找对区间;泰勒中值定理的证明题,主要是找到合适的展开点,同时
处理拉格朗日余项时一般会用到介值定理推论.
8.计算不定积分、定积分时,先考虑凑微分,不行再看有没有根号,有根号就看根号下
x 是一次的还是二次的,一次的整体换元,二次的三角换元;定积分的三角换元一定要在同
一个单调区间内取上下限;去完根号再看是否是分部积分或者有理函数积分;有理函数积分
1
时,需要把被积函数拆分成若干简单有理式去积分.
9.定积分直接计算不好算时,记得还有一个重要换元,令 x  上限+下限  t .
10.含有抽象函数的不定积分、定积分计算或证明,一般都会用到分部积分.
11.含有变限积分函数的等式方程,一定要注意两点:初值和求导.
12.反常积分的计算,注意在瑕点处分开,剩下的就是直接按定积分的方法去处理.
13.反常积分敛散性的判定,只需要分析当 x 趋于无穷或瑕点时,是否收敛,一般与 p 积
分进行比较;


1
1
e  x dx 、  ln n xdx 是收敛的.
n
0
14.定积分的应用要精通用微元法分析问题,不要死记公式.
15.微分方程求解时,一定要分清微分方程的类型,再按固定方法求解;有些微分方程
k
取个倒数是个常考的化简方法;设常系数线性微分方程的特解时,别忘了乘以 x .
16.微分方程的物理应用仅数学一二要求,要从问题出发,看问的是哪两个变量之间的
关系,就要建立关于这两个变量的微分方程,其他变量全部消去.
17.要弄懂全微分的定义,它实际上是指能否用线性增量 Ax  By 近似代替实际增量
z ,也就是在 x, y  0 时,它们的差值 z  ( Ax  By ) 相对于 x, y 或它们的斜边
(x) 2  (y ) 2 是否可以忽略不计.
18.计算偏导数时,后面用不到的变量,可以提前代入具体数值.
19.一阶偏导数依然还是个多元函数,它是否连续,还要考虑各个方向是否连续,不能
只考虑下 x 轴, y 轴两个方向.
20.复合函数求偏导数,要分清它们的复合关系;求偏导后,它们的函数关系变成了偏
导函数,但参数的复合关系不变.
21.多元函数的极值与条件极值得求解步骤要熟练;闭区域上的最值问题要分区域内的
极值和边界上的条件极值去解决,多个边界方程时,边界再分情况逐个研究.
22.计算二重积分的步骤:
(1)画图(2)观察对称性(3)选坐标系,观察被积函数的积分次序,展开成累次积
分(4)计算,先算后面的部分,当后面的积分结果与前面的积分变量无关时,前面的积分
可以先算.
23.三重积分、曲线积分、曲面积分的计算都要先画图或想一下图形,然后分析下对称
性,化简计算:
2
(1)三重积分的计算包括:投影法、截面法、柱面坐标、球面左边;
(2)第一型曲线积分的计算,根据题干采取不同的弧微分计算公式;
(3)第二型曲线积分的计算,直接计算时,多采取参数方程取计算;间接计算时,先
计算
Q P
是否为 0 或比较简单;为 0 时,积分与路径无关,可以选折线计算,但一定

x y
要注意原路径与折线路径所围的单连通区域不能包含 P, Q,
P Q
不连续的点;另外,格
,
y x
林公式是重点,要熟悉它的各种题型,不封闭补线,不连续挖洞.
(4)第一型曲面积分的计算,一投二代三计算,注意用对称性化简.
(5)第二型曲面积分的计算,一投二代三定号,同样注意对称性,当曲面关于 yoz 对
称时, x 坐标具有对称性, x 轴的流量关于 x 偶零奇倍,其他类似;间接计算时,注意先计
算高斯公式的被积函数是否简单,同时注意封闭,外侧.
24.空间几何与场论初步的各种知识点,需要熟记公式,考前看一眼,考到就得分.
25.数项级数的敛散性判定,多举反例排除,反例不好想时,要注意,只要跟学过的判
定方法不完全一致的,基本都是错误的.
26.幂级数计算时,注意计算收敛域;求导时注意是否第一项会变成零而需调整脚标;
积分时,两边都是

x
0
dt ,不要忽略下下限,有时候不是零.
27.傅里叶级数主要掌握狄利克雷收敛定理和正弦级数、余弦级数的展开式计算.
3
《线性代数》
1.数值型行列式的计算,一般边用性质化零,边按行或列展开;计算特征多项式时,尽
量化一个零出来,同时该行或列可以提公因子,这样剩下的计算就简单了.
2.克拉默法则主要是在求方程组中某一个变量的解时会用到.
3.方阵的幂主要考查三种类型:
(1)计算 A , A  找规律;
2
3
(2)行(列)成比例的矩阵,可以每行提出公因子,剩下的每行都一样,这样写成列
乘行的形式,即 A   ,则 A  l
T
n
n 1
A, l  aT    T a ;
1
1
1
(3)可相似对角化的矩阵,即 P AP    A  PP ,则 A  P P .
n
n
4.抽象矩阵的行列式,需要化成乘法关系,根据 | AB || A |  | B | 计算,或者可以利用特
征值计算;
5.求逆矩阵一般通过初等行变换计算,此时不能混合使用列变换;抽象矩阵的逆矩阵,
要化成定义的形式来计算, AB  E  A
1
B.
6.分块矩阵的计算,把分块子矩阵看成普通字母即可,大多数计算与正常矩阵类似.
7.矩阵秩的结论,要熟记:
(1) r ( A  B )  r ( A)  r ( B ) ;
(2) r ( AB )  r ( A), r ( AB )  r ( B ) ;
(3) r ( AA )  r ( A) ;
(4)若 Amn Bn s  O ,则 r ( A)  r ( B )  n ;
T
(5)若 A 列满秩,则 r ( AB )  r ( B ) ;若 A 行满秩,则 r ( BA)  r ( B ) ;
n, r ( A)  n

*
(6) r ( A )  1, r ( A)  n  1
0,r ( A)  n  2

8.向量组线性无关的证明,一般根据定义进行.
9.向量组的极大无关组需要满足三条:
(1)来自组内(2)线性无关(3)个数  r ( A) .
10.向量组的线性相关性可以等价为齐次线性方程组有无非零解的问题;向量组的线性
表示可以等价为非齐次线性方程组有解无解的问题.
11. 向 量 组 I 可 由 向 量 组 II 表 示 , 则 必 有 必 要 条 件 r ( I )  r ( II ) , 充 要 条 件
4
r ( II , I )  r ( II ) ,向 量组 I 和向 量组 II 等价 ,则有必要条件 r ( I )  r ( II ) ,充 要条件
r ( II , I )  r ( I )  r ( II ) .
12.抽象方程组的求解要根据解的结构,先求齐次的通解,再求非齐次的特解;基础解
系是方程组通解的极大无关组,需要满足:(1)是解(2)无关(3)个数等于 n  r (A) .
13.相似对角化的步骤:
(1)求特征值: | E  A | 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ;
(2)求特征向量: (E  A) x  0 ,解得: 1 ,  2 ,  3 ;
(3)令 P  (1 ,  2 ,  3 ) ,则 P AP  
1
(4)有些题目反求矩阵 A  PP
1
14.合同对角化的步骤:
(1)求特征值: | E  A | 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ;
(2)求特征向量: (E  A) x  0 ,解得: 1 ,  2 ,  3 ;
(3)正交化得: 1 ,  2 ,  3 ;
(4)单位化得:  1 ,  2 ,  3 ;
(5)令 Q  ( 1 ,  2 ,  3 ) ,则 Q AQ  
T
(4)有些题目反求矩阵 A  QQ
T
15.二次型化一般形为标准形的步骤
(1)写出系数矩阵 A
(2)求特征值: | E  A | 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ;
(3)求特征向量: (E  A) x  0 ,解得: 1 ,  2 ,  3 ;
(4)正交化得: 1 ,  2 ,  3 ;
(5)单位化得:  1 ,  2 ,  3 ;
(6)令 Q  ( 1 ,  2 ,  3 ) ,则在正交变换 x  Qy 下,二次型的标准形为 1 y1  2 y2  3 y3 ;
2
5
2
2
特征值只保留符号 0,1 ,得规范形.
16.不同的特征值对应的特征向量线性无关,实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量,
不但无关而且正交.
17.一般矩阵,相似不一定合同,合同不一定相似;实对称矩阵相似一定合同,合同不
一定相似;一般矩阵相似的必要条件是特征值相同,可对角化矩阵相似的充要条件是特征值
相同;实对称矩阵一定可相似对角化.
18.行(列)成比例的矩阵, r ( A)  1, 1  2    n 1  0, n  tr ( A)  l  
T
.
19.正负惯性指数之和等于非零特征值的个数等于系数矩阵的秩;实对称矩阵合同等价
于正负惯性指数相同.
20.矩阵正定的等价条件:
(1)对任意 x  0 ,有 x Ax  0 ;
T
(2)所有特征值都大于零;
(3)所有顺序主子式都大于零;
(4)存在可逆矩阵 P ,使得 A  P EP  P P .
T
T
21.矩阵负定的等价条件:
(1)对任意 x  0 ,有 x Ax  0 ;
T
(2)所有特征值都小于零;
(3)奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶顺序主子式大于零.
6
《概率论与数理统计》
1.六大概率计算公式要熟练:加法、减法、乘法、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式.
2.离散型随机变量的分布律,即:取值、概率.
3.分布函数 FX ( x)  P{ X  x} ,小 x 是参数,与大 X 无关,可以换做任意其他字母;
小 x 参照大 X 的取值进行讨论.
4.求边缘概率密度时,注意讨论变量的取值情况,有些范围不需要计算.
5.随机变量函数的分布,根据分布函数法:
(1)定义: FZ ( z )  P{Z  z} ;
 P{Z ( X , Y )  z} ;
(2)代入:
(3)讨论:小 z 参照大 Z 的取值进行讨论;
6.二维随机变量函数的分布,也可以用公式法:
(1)由 Z  Z ( X , Y ) 反解出 y  y ( x, z ) ;
(2) f Z ( z ) 



f ( x, y ( x, z )) 
y
dx ;
z
(3)小 z 参照大 Z 的取值,先讨论出 f ( x, y ( x, z )) 的具体表达式,再代入公式计算.
7. 期 望 
 取值  概率 ;
cov( X , X )  DX ;  X ,Y 
DX  EX 2  (EX ) 2 ; cov( X , Y )  EXY  EXEY ;
cov( X , Y )
;  cov( X , Y )   X ,Y DXDY .
DXDY
8.常见分布的概率分布、期望、方差要熟悉.
9.常见统计量的数字特征: EX  EX, DX 
1
DX, ES2  DX, E 2 (n)  n, D 2 (n)  2n .
n
10.三大抽样分布:
(1)  分布,相互独立的标准正态分布的平方和;
2
(2) F 分布,两个独立的卡方分布(各自除自由度)之比;
(3) t 分布,分子是标准正态分布,分母是根号下卡方分布比自由度.
11.正态总体 X ~ N (  ,  ) 下的抽样分布:
2
(1) X ~ N (  ,
1 2
 );
n
7
n
(2 )
(n  1) S 2

(3) T 
2
2

(X
i 1
i

 X )2
2
~  2 (n  1) ;
n
1 n
nT 2
X  2
2
(
X


)


( i
) ~  2 ( n)


i
2
n i 1


i 1
X 
(4 )
2 n
(n  1) S
2
2

n 1
X 
~ t (n  1) ;
S n
(5)计算统计量的方差时,经常需要构造卡方分布.
12.矩估计思想:理论平均值等于样本平均值,当出现两个待估参数时,用上二阶矩相
等;最大似然估计思想:改组样本值在理论上发生的概率或概率密度尽可能的大.
13.估计量的评选标准:无偏即期望,有效即方差,一致即依概率收敛.
8
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