一句话核心考点 《高等数学》 1.处理复合函数的各类题目时,如果直接处理不方便,记得令内层函数等于 u . 2.计算函数求极限时,一定要先分析,再化简计算;各部分分析清楚,对号入座: (1)若是已定式,直接口算结果;若是未定式,需要化简计算; (2)若是非零因子,直接计算出来;若是极限为零,看是否方便化为常见等价无穷小 进行等价替换; (3)若有极限存在的项,直接拆分出来,不用考虑剩下的项是否存在;只要分子是分 母的高阶或同阶无穷小,极限一定存在,可以直接拆分; (4)等价无穷小只能用在相对于整个极限式子的乘除法;泰勒公式随时可用,一般用 在加减法; (5)遇到幂指函数,记得指数化. 3.数列求极限记得使用单调有界准则去证明;少数情况也会结合夹逼准则,放大缩小时, 一般将分母统一放大或放小,分母统一了,才方便合并化简. 4.判断函数间断点的类型时,先看直接计算极限是否可行,不行再分左右极限去计算. 5.各种函数求到时注意: (1)反函数的导数等于原来函数导数的倒数; (2)隐函数求导时等号两边直接求即可,把 y 看成 x 的函数;二元隐函数把 z 看成 x, y 的函数;若需求二阶导,不需要将一阶导分离出来,可以在一阶导等式两边继续直接再求导. (3)参数方程求二阶导时,注意分母还要除以 x(t ) (4)变限积分函数求导时,上限代入被积函数后,一定注意再乘以上限的导数;另外, 被积函数有求导的变量时,能分离的分离,不能分离的换元. 6.不等式的证明,方程根的问题,优先考虑构造函数,利用单调性去证明. 7.微分中值定理的证明,要熟悉罗尔定理证明题的四种类型和对应方法;拉格朗日中值 定理的证明题,主要是找对区间;泰勒中值定理的证明题,主要是找到合适的展开点,同时 处理拉格朗日余项时一般会用到介值定理推论. 8.计算不定积分、定积分时,先考虑凑微分,不行再看有没有根号,有根号就看根号下 x 是一次的还是二次的,一次的整体换元,二次的三角换元;定积分的三角换元一定要在同 一个单调区间内取上下限;去完根号再看是否是分部积分或者有理函数积分;有理函数积分 1 时,需要把被积函数拆分成若干简单有理式去积分. 9.定积分直接计算不好算时,记得还有一个重要换元,令 x 上限+下限 t . 10.含有抽象函数的不定积分、定积分计算或证明,一般都会用到分部积分. 11.含有变限积分函数的等式方程,一定要注意两点:初值和求导. 12.反常积分的计算,注意在瑕点处分开,剩下的就是直接按定积分的方法去处理. 13.反常积分敛散性的判定,只需要分析当 x 趋于无穷或瑕点时,是否收敛,一般与 p 积 分进行比较; 1 1 e x dx 、 ln n xdx 是收敛的. n 0 14.定积分的应用要精通用微元法分析问题,不要死记公式. 15.微分方程求解时,一定要分清微分方程的类型,再按固定方法求解;有些微分方程 k 取个倒数是个常考的化简方法;设常系数线性微分方程的特解时,别忘了乘以 x . 16.微分方程的物理应用仅数学一二要求,要从问题出发,看问的是哪两个变量之间的 关系,就要建立关于这两个变量的微分方程,其他变量全部消去. 17.要弄懂全微分的定义,它实际上是指能否用线性增量 Ax By 近似代替实际增量 z ,也就是在 x, y 0 时,它们的差值 z ( Ax By ) 相对于 x, y 或它们的斜边 (x) 2 (y ) 2 是否可以忽略不计. 18.计算偏导数时,后面用不到的变量,可以提前代入具体数值. 19.一阶偏导数依然还是个多元函数,它是否连续,还要考虑各个方向是否连续,不能 只考虑下 x 轴, y 轴两个方向. 20.复合函数求偏导数,要分清它们的复合关系;求偏导后,它们的函数关系变成了偏 导函数,但参数的复合关系不变. 21.多元函数的极值与条件极值得求解步骤要熟练;闭区域上的最值问题要分区域内的 极值和边界上的条件极值去解决,多个边界方程时,边界再分情况逐个研究. 22.计算二重积分的步骤: (1)画图(2)观察对称性(3)选坐标系,观察被积函数的积分次序,展开成累次积 分(4)计算,先算后面的部分,当后面的积分结果与前面的积分变量无关时,前面的积分 可以先算. 23.三重积分、曲线积分、曲面积分的计算都要先画图或想一下图形,然后分析下对称 性,化简计算: 2 (1)三重积分的计算包括:投影法、截面法、柱面坐标、球面左边; (2)第一型曲线积分的计算,根据题干采取不同的弧微分计算公式; (3)第二型曲线积分的计算,直接计算时,多采取参数方程取计算;间接计算时,先 计算 Q P 是否为 0 或比较简单;为 0 时,积分与路径无关,可以选折线计算,但一定 x y 要注意原路径与折线路径所围的单连通区域不能包含 P, Q, P Q 不连续的点;另外,格 , y x 林公式是重点,要熟悉它的各种题型,不封闭补线,不连续挖洞. (4)第一型曲面积分的计算,一投二代三计算,注意用对称性化简. (5)第二型曲面积分的计算,一投二代三定号,同样注意对称性,当曲面关于 yoz 对 称时, x 坐标具有对称性, x 轴的流量关于 x 偶零奇倍,其他类似;间接计算时,注意先计 算高斯公式的被积函数是否简单,同时注意封闭,外侧. 24.空间几何与场论初步的各种知识点,需要熟记公式,考前看一眼,考到就得分. 25.数项级数的敛散性判定,多举反例排除,反例不好想时,要注意,只要跟学过的判 定方法不完全一致的,基本都是错误的. 26.幂级数计算时,注意计算收敛域;求导时注意是否第一项会变成零而需调整脚标; 积分时,两边都是 x 0 dt ,不要忽略下下限,有时候不是零. 27.傅里叶级数主要掌握狄利克雷收敛定理和正弦级数、余弦级数的展开式计算. 3 《线性代数》 1.数值型行列式的计算,一般边用性质化零,边按行或列展开;计算特征多项式时,尽 量化一个零出来,同时该行或列可以提公因子,这样剩下的计算就简单了. 2.克拉默法则主要是在求方程组中某一个变量的解时会用到. 3.方阵的幂主要考查三种类型: (1)计算 A , A 找规律; 2 3 (2)行(列)成比例的矩阵,可以每行提出公因子,剩下的每行都一样,这样写成列 乘行的形式,即 A ,则 A l T n n 1 A, l aT T a ; 1 1 1 (3)可相似对角化的矩阵,即 P AP A PP ,则 A P P . n n 4.抽象矩阵的行列式,需要化成乘法关系,根据 | AB || A | | B | 计算,或者可以利用特 征值计算; 5.求逆矩阵一般通过初等行变换计算,此时不能混合使用列变换;抽象矩阵的逆矩阵, 要化成定义的形式来计算, AB E A 1 B. 6.分块矩阵的计算,把分块子矩阵看成普通字母即可,大多数计算与正常矩阵类似. 7.矩阵秩的结论,要熟记: (1) r ( A B ) r ( A) r ( B ) ; (2) r ( AB ) r ( A), r ( AB ) r ( B ) ; (3) r ( AA ) r ( A) ; (4)若 Amn Bn s O ,则 r ( A) r ( B ) n ; T (5)若 A 列满秩,则 r ( AB ) r ( B ) ;若 A 行满秩,则 r ( BA) r ( B ) ; n, r ( A) n * (6) r ( A ) 1, r ( A) n 1 0,r ( A) n 2 8.向量组线性无关的证明,一般根据定义进行. 9.向量组的极大无关组需要满足三条: (1)来自组内(2)线性无关(3)个数 r ( A) . 10.向量组的线性相关性可以等价为齐次线性方程组有无非零解的问题;向量组的线性 表示可以等价为非齐次线性方程组有解无解的问题. 11. 向 量 组 I 可 由 向 量 组 II 表 示 , 则 必 有 必 要 条 件 r ( I ) r ( II ) , 充 要 条 件 4 r ( II , I ) r ( II ) ,向 量组 I 和向 量组 II 等价 ,则有必要条件 r ( I ) r ( II ) ,充 要条件 r ( II , I ) r ( I ) r ( II ) . 12.抽象方程组的求解要根据解的结构,先求齐次的通解,再求非齐次的特解;基础解 系是方程组通解的极大无关组,需要满足:(1)是解(2)无关(3)个数等于 n r (A) . 13.相似对角化的步骤: (1)求特征值: | E A | 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ; (2)求特征向量: (E A) x 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ; (3)令 P (1 , 2 , 3 ) ,则 P AP 1 (4)有些题目反求矩阵 A PP 1 14.合同对角化的步骤: (1)求特征值: | E A | 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ; (2)求特征向量: (E A) x 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ; (3)正交化得: 1 , 2 , 3 ; (4)单位化得: 1 , 2 , 3 ; (5)令 Q ( 1 , 2 , 3 ) ,则 Q AQ T (4)有些题目反求矩阵 A QQ T 15.二次型化一般形为标准形的步骤 (1)写出系数矩阵 A (2)求特征值: | E A | 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ; (3)求特征向量: (E A) x 0 ,解得: 1 , 2 , 3 ; (4)正交化得: 1 , 2 , 3 ; (5)单位化得: 1 , 2 , 3 ; (6)令 Q ( 1 , 2 , 3 ) ,则在正交变换 x Qy 下,二次型的标准形为 1 y1 2 y2 3 y3 ; 2 5 2 2 特征值只保留符号 0,1 ,得规范形. 16.不同的特征值对应的特征向量线性无关,实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量, 不但无关而且正交. 17.一般矩阵,相似不一定合同,合同不一定相似;实对称矩阵相似一定合同,合同不 一定相似;一般矩阵相似的必要条件是特征值相同,可对角化矩阵相似的充要条件是特征值 相同;实对称矩阵一定可相似对角化. 18.行(列)成比例的矩阵, r ( A) 1, 1 2 n 1 0, n tr ( A) l T . 19.正负惯性指数之和等于非零特征值的个数等于系数矩阵的秩;实对称矩阵合同等价 于正负惯性指数相同. 20.矩阵正定的等价条件: (1)对任意 x 0 ,有 x Ax 0 ; T (2)所有特征值都大于零; (3)所有顺序主子式都大于零; (4)存在可逆矩阵 P ,使得 A P EP P P . T T 21.矩阵负定的等价条件: (1)对任意 x 0 ,有 x Ax 0 ; T (2)所有特征值都小于零; (3)奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶顺序主子式大于零. 6 《概率论与数理统计》 1.六大概率计算公式要熟练:加法、减法、乘法、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式. 2.离散型随机变量的分布律,即:取值、概率. 3.分布函数 FX ( x) P{ X x} ,小 x 是参数,与大 X 无关,可以换做任意其他字母; 小 x 参照大 X 的取值进行讨论. 4.求边缘概率密度时,注意讨论变量的取值情况,有些范围不需要计算. 5.随机变量函数的分布,根据分布函数法: (1)定义: FZ ( z ) P{Z z} ; P{Z ( X , Y ) z} ; (2)代入: (3)讨论:小 z 参照大 Z 的取值进行讨论; 6.二维随机变量函数的分布,也可以用公式法: (1)由 Z Z ( X , Y ) 反解出 y y ( x, z ) ; (2) f Z ( z ) f ( x, y ( x, z )) y dx ; z (3)小 z 参照大 Z 的取值,先讨论出 f ( x, y ( x, z )) 的具体表达式,再代入公式计算. 7. 期 望 取值 概率 ; cov( X , X ) DX ; X ,Y DX EX 2 (EX ) 2 ; cov( X , Y ) EXY EXEY ; cov( X , Y ) ; cov( X , Y ) X ,Y DXDY . DXDY 8.常见分布的概率分布、期望、方差要熟悉. 9.常见统计量的数字特征: EX EX, DX 1 DX, ES2 DX, E 2 (n) n, D 2 (n) 2n . n 10.三大抽样分布: (1) 分布,相互独立的标准正态分布的平方和; 2 (2) F 分布,两个独立的卡方分布(各自除自由度)之比; (3) t 分布,分子是标准正态分布,分母是根号下卡方分布比自由度. 11.正态总体 X ~ N ( , ) 下的抽样分布: 2 (1) X ~ N ( , 1 2 ); n 7 n (2 ) (n 1) S 2 (3) T 2 2 (X i 1 i X )2 2 ~ 2 (n 1) ; n 1 n nT 2 X 2 2 ( X ) ( i ) ~ 2 ( n) i 2 n i 1 i 1 X (4 ) 2 n (n 1) S 2 2 n 1 X ~ t (n 1) ; S n (5)计算统计量的方差时,经常需要构造卡方分布. 12.矩估计思想:理论平均值等于样本平均值,当出现两个待估参数时,用上二阶矩相 等;最大似然估计思想:改组样本值在理论上发生的概率或概率密度尽可能的大. 13.估计量的评选标准:无偏即期望,有效即方差,一致即依概率收敛. 8