פרופ' יורי לוריא
Prof. Yuri Lurie
אוניברסיטת אריאל בשומרון
הפקולטה להנדסה
המחלקה להנדסת חשמל ואלקטרוניקה
ת.ד ,3 .אריאל ,44837ישראל
E-mail: ylurie@ariel.ac.il
Ariel University
Faculty of Engineering
Dept. of Electrical and Electronic Engineering
Fax: 972-3-9066238
P.O. Box 3, Ariel 44837, ISRAEL
Tel: 972-3-9066674
אנליזה מתקדמת פורייה ולפלס
Advanced Analysis Fourie & Laplace
גיליון תרגילים מס' :1מבוא למספרים מרוכבים
.1השאלות בגיליון התרגילים מיועדות לעבודה עצמית של סטודנט בקורס "אנליזה מתקדמת פורייה
ולפלס" .לחלק מין התרגילים נתון פתרון מפורט ,כאשר בשער השאלות נתונות רק תשובות
סופיות.
.2אין להגיש פתרונות התרגילים ולא יינתן ציון או ניקוד על התרגול .יחד עם זאת ,עבודה עצמית של
פתרון התרגילים מהווה חלק הכרחי להצלחה בקורס.
.3לשון זכר הנה לשון זכר ונקבה כאחד.
1.לחשב את הערך המספרי של הביטויים:
א(𝟏 + 𝟐𝒊)(𝟐 − 𝒊) − (𝟏 − 𝟐𝒊)(𝟐 + 𝒊) .
ב(𝟐 + 𝒊)𝟐 − (𝟐 − 𝒊)𝟐 .
ג(𝟏 + 𝒊)𝟒 − (𝟏 − 𝒊)𝟒 .
𝟓
𝟓
ד− 𝟏+𝟐𝒊 .
𝒊𝟐−
𝟑 𝒊𝟏−
ה(𝟏+𝒊) .
ו.
𝟑)𝒊(𝟏+𝟐𝒊)𝟐 −(𝟏−
𝟐)𝒊(𝟑+𝟐𝒊)𝟑 −(𝟐+
2.למצוא את כול השורשים של המשוואה:
א𝒛̅ = 𝒛𝟑 .
ב|𝒛| − 𝒛 = 𝟏 + 𝟐𝒊 .
פרופ' יורי לוריא tel.: 972-3-9066674 fax: 972-3-9066238 e-mail: ylurie@ariel.ac.il
אנליזה מתקדמת פורייה ולפלס ─ גיליון תרגילים מס' :1מבוא למספרים מרוכבים
ג𝒛 + |𝒛 + 𝟏| + 𝒊 = 𝟎 .
ד|𝒛|𝟐 − 𝟐𝒊𝒛 + 𝟐𝒊 = 𝟎 .
3.פתור מערכת של משוואות:
|𝒛| = |𝒊𝟐 |𝒛 −
א.
|𝟏 |𝒛 − 𝒊| = |𝒛 −
{
𝟒 = |𝒊𝟐 |𝒛𝟐 −
ב.
|𝒊 |𝒛 + 𝟏 + 𝒊| = |𝒛 − 𝟏 −
ג.
|𝒊 |𝒛𝟐 + 𝟔𝒊| = 𝟐|𝒛 + 𝟏 +
|𝟑 |𝒛𝟐 − 𝟖| = 𝟔|𝒛 −
4.פתור משוואה:
א𝒛𝟐 = −𝒊 .
ב𝒛𝟔 = 𝟔𝟒 .
ג𝒛𝟕 = −𝟏 .
ד𝒛𝟖 = 𝟏 + 𝒊 .
5.חשב:
א𝟐𝒆𝒊 𝝅⁄𝟔 .
ב(𝟏 + 𝒊)𝟏−𝒊 .
ג.
𝟒𝒊 𝝅⁄
𝒆𝒊
ד.
𝟑𝒊 𝝅⁄
𝒆𝒆
{
{
1
פרופ' יורי לוריא tel.: 972-3-9066674 fax: 972-3-9066238 e-mail: ylurie@ariel.ac.il
2
אנליזה מתקדמת פורייה ולפלס ─ גיליון תרגילים מס' :1מבוא למספרים מרוכבים
תשובות
.1א 𝒊𝟔 = )𝟐 (𝟏 + 𝟐𝒊)(𝟐 − 𝒊) − (𝟏 − 𝟐𝒊)(𝟐 + 𝒊) = (𝟐 − 𝒊 + 𝟒𝒊 + 𝟐) − (𝟐 + 𝒊 − 𝟒𝒊 +
.1ב 𝒊𝟖 = )𝟏 (𝟐 + 𝒊)𝟐 − (𝟐 − 𝒊)𝟐 = (𝟒 + 𝟒𝒊 − 𝟏) − (𝟒 − 𝟒𝒊 −
.1ג 𝟎 = 𝟒)𝒊 (𝟏 + 𝒊)𝟒 − (𝟏 −
𝒊𝟐+
𝒊𝟐𝟏−
𝟓
.1ד 𝒊𝟑 − 𝟏+𝟐𝒊 = 𝟓 (𝟐−𝒊)(𝟐+𝒊) − 𝟓 (𝟏+𝟐𝒊)(𝟏−𝟐𝒊) = (𝟐 + 𝒊) − (𝟏 − 𝟐𝒊) = 𝟏 +
𝟑
𝟑
.1ה 𝒊 = 𝟐) = (𝒆−𝒊 𝝅⁄𝟐 ) = 𝒆−𝒊 𝟑𝝅⁄
.1ו
𝒊𝟓
𝟖𝟏𝟑
−
𝟐𝟐
𝟗𝟓𝟏
=
𝟒√𝟐 𝒆−𝒊 𝝅⁄
𝟒√𝟐 𝒆+𝒊 𝝅⁄
𝟓
𝒊𝟐−
𝟑 𝒊𝟏−
( = )𝒊(𝟏+
𝟑)𝒊(𝟏+𝟐𝒊)𝟐 −(𝟏−
𝟐)𝒊(𝟑+𝟐𝒊)𝟑 −(𝟐+
.2א
|𝒛|
=
𝟎,
𝟏
𝟏=
𝝋𝟒𝒊 { ⇒
{ ⇒
𝒊⇒ 𝒛 = 𝟎, ±𝟏, ±
… 𝝋 = 𝟎, ± 𝝅⁄𝟐 ,
𝒆
𝟏=
𝟐|𝒛|
𝝋𝟑𝒊𝒆 𝟑|𝒛| = 𝝋𝒊𝒛 = |𝒛|𝒆𝒊𝝋 ⇒ |𝒛|𝒆−
.2ב
𝟐
𝟐
𝟐𝒂 = 𝟑⁄
{ ⇒ 𝟏 = 𝒂 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 ⇒ √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − (𝒂 + 𝒊𝒃) = 𝟏 + 𝟐𝒊 ⇒ {√𝒂 + 𝒃 −
𝟐𝒃 = −
𝟐 = 𝒃−
𝟑
𝒊𝟐 𝒛 = −
𝟐
𝟎 = |𝟏 |𝒂 − 𝒊 +
𝟏𝒂 = −
{ ⇒
.2ג 𝒊 ⇒ 𝒛 = −𝟏 −
𝟏𝒃 = −
𝟏𝒃 = −
𝒂+
{ ⇒ 𝒃𝒊 𝒛 = 𝒂 +
𝟏𝒂 = +
{ ⇒ 𝟎 = 𝒊𝟐 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 ⇒ (𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ) − 𝟐𝒊(𝒂 + 𝒊𝒃) +
.2ד 𝒊 ⇒ 𝒛 = 𝟏 −
𝟏𝒃 = −
.3א 𝒊 𝒛 = 𝟏 +
.3ב 𝒊 𝒛 = 𝟏 − 𝒊; −𝟏 +
.3ג 𝒊 𝒛 = 𝟑 −
.4א 𝟒𝒛 = 𝒆𝒊 𝟑𝝅⁄𝟒 ; 𝒆−𝒊 𝝅⁄
.4ב 𝟓 𝒛 = 𝟐𝒆𝒊 𝒎𝝅⁄𝟑 , 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒,
.4ג 𝟔 𝒛 = 𝒆𝒊 (𝟐𝒎+𝟏)𝝅⁄𝟕 , 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓,
.4ד 𝟕 𝒛 = 𝟐𝟏⁄𝟏𝟔 𝒆𝒊 (𝟖𝒎+𝟏)𝝅⁄𝟑𝟐 , 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔,
𝝅
𝝅
.5א 𝒊 𝟐𝒆𝒊 𝝅⁄𝟔 = 𝟐 {𝐜𝐨𝐬 ( 𝟔 ) + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 (𝟔 )} ≈ 𝟏. 𝟕𝟑𝟐 +
פרופ' יורי לוריא tel.: 972-3-9066674 fax: 972-3-9066238 e-mail: ylurie@ariel.ac.il
3
אנליזה מתקדמת פורייה ולפלס ─ גיליון תרגילים מס' :1מבוא למספרים מרוכבים
.5ב 𝒊𝟖𝟏𝟑 ≈ 𝟐. 𝟖𝟎𝟖 + 𝟏.
)𝟐(𝐧𝐥 𝝅
)
𝟐
.5ג 𝒊𝟓𝟗𝟐 ≈ 𝟎. 𝟏𝟒𝟔 + 𝟎.
𝝅
𝟐√𝟐
)𝒊𝐚𝐫𝐠(𝟏+
= (√𝟐 𝒆𝝅⁄𝟒 ) 𝒆𝒊 (𝟒 −
𝒊
𝒆)
𝝅
𝟐√𝟐
−
𝒆( =
𝝅 𝒊𝟏+
𝟐 𝟐√
.5ד 𝒊𝟔𝟓𝟐 = 𝒆𝐜𝐨𝐬(𝝅⁄𝟑)+𝒊 𝐬𝐢𝐧(𝝅⁄𝟑) ≈ 𝟏. 𝟎𝟔𝟖 + 𝟏.
⏞
𝝅 )𝒊(𝟏−
𝟒⁄
𝒆
)|𝒊(𝟏−𝒊) 𝐥𝐧(|𝟏+
𝒆=
𝒊𝟏−
)𝒊 (𝟏 +
)𝒊(𝐠𝐫𝐚
𝒊
𝒆=
𝟑𝒊 𝝅⁄
𝒆𝒆
⏞
𝟐⁄
𝝅
𝟒𝒊 𝝅⁄
𝒆𝒆
)|𝒊|(𝐧𝐥 𝟒𝒊 𝝅⁄
𝒆𝒆 =
𝟒𝒊 𝝅⁄
𝒆𝒊
