פיזיקה 2 – 3קיבול ד"ר רפאל מינס Refaelm@ariel.ac.il סמסטר ב' ,תשפ"ב ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 קיבול נניח שיש לנו מוליך הטעון במטען Qוהפוטנציאל שלו Vביחס לאינסוף. V Q אם נרצה להעביר את המטען שעל המוליך לאינסוף ,המטען על המוליך ילך ויקטן וכך גם הפוטנציאל שלו. אם נמדוד תהליך זה ,נגלה שהמטען פרופורציוני לפוטנציאל. Q V , גורם הפרופורציה של יחס זה הוא הקיבול. • גודלו של הקיבול תלוי אך ורק בגאומטריה של המוליך. ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 קיבול במקרה הכללי: הקיבול ,C ,הוא היחס בין גודלו של המטען ,Q ,ובין הפרש הפוטנציאלים :∆V , Q =C V • כאשר ∆V=V2-V1הוא הפרש הפוטנציאלים בין שני המוליכים. • Qהוא המטען שיש להעביר ממוליך 1למוליך 2על מנת שהפרש הפוטנציאלים בין המוליכים יהיה אפס( .∆V=0 ,במצב הסופי המטענים לא בהכרח שווים) • יחידת SIלקיבול היא קולון לוולט או פאראד; 1 C/V = 1 F V2 Q2 V1 Q1 ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 קבל קבל הוא מתקן שבאמצעותו ניתן לאגור אנרגיה אלקטרוסטטית ע"י אחסון מטען חשמלי. • קבלים תלויים אך ורק בגאומטריה שלהם (במערכת יחידות ,cgsהיחידה לקיבול היא ס"מ). • המבנה הבסיסי של קבל הוא שני לוחות ,הנושאים מטען זהה והפוך בסימנו (קבל לוחות). הקיבול ,C ,של קבל הלוחות הוא היחס בין גודלו של המטען ,Q ,על אחד הלוחות ובין גודל המתח,∆V , בין הלוחות: Q =C V כבר הראנו שעבור שני לוחות אינסופיים בעלי מטען הפוך וצפיפות מטען שווה: • השדה מחוץ ללוחות הוא אפס ,ולכן . V out = 0 • השדה בין הלוחות קבוע ,E=σ/ε0 ,ולכן . V inside = Ed • המטען על כל לוח נתון ע"י ,Q= σAכאשר Aהוא השטח של הלוח. - E + d ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 קבל לוחות V אם נציב ממצאים אלו ( E=σ/ε0ו )∆V=Ed-בהגדרת הקיבול ,נקבל שהקיבול של קבל לוחות עם שטח Aהמופרדים מרחק dהוא: A C = 0 d • V+ כאשר ε0=8.85x 10-12 C2/Nm2 ,הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק. סוללה • לוחות עם שטח גדול יותר ,יכולים לאגור יותר מטען. מפסק V− • מרחק קטן יותר בין הלוחות ,מאפשר ליותר מטען להיאגר על הלוחות. עבור שני לוחות סופיים טעונים: הקירוב של לוחות אינסופים הוא טוב כאשר הלוחות קרובים מספיק אחד לשני (המרחק בין הלוחות קטן בהרבה מגודל הלוחות) ,למעט האזור בקצות הלוחות. - + + - ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 דוגמאות לקבלים קבל גלילי קבל כדורי - - - - + +++ +++ - - - - ד"ר רפאל מינס דוגמה – קבל גלילי שאלה: נתון קבל גלילי אינסופי ,הבנוי משתי קליפות מוליכות בעלות רדיוסים .a<bהקליפה החיצונית טעונה –Qבעוד הקליפה הפנימית טעונה במטען .Q חשבו את הקיבול ליחידת אורך של הקבל. פתרון: • שלב ראשון :נמצא את השדה החשמלי בקבל. • שלב שני :נמצא את הפרש הפוטנציאלים בעזרת אינטגרל על השדה החשמלי. • שלב שלישי :נציב את הפרש הפוטנציאלים בביטוי לקיבול (.)C=Q/∆V פיזיקה 2 ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 דוגמה – קבל גלילי שלב ראשון :נמצא את השדה החשמלי בקבל. נשתמש בגאוס למצוא את השדה בכל נקודה: .1 נחלק את המרחב לשלושה תחומיםr<a, a<r<b, r>b : .2 נבחר מעטפת גאוסית גלילית שצירה המרכזי חופף לציר המרכזי של הקבל הגלילי. .3 כאשר רדיוס המעטפת הגאוסית קטן מ a-או גדול מ ,b-המטען הכלוא במעטפת הוא אפס .כלומר, לפי גאוס ,השדה בשני תחומים אלו הוא אפס. .4 נותר למצוא את השדה עבור :a<r<bהמטען הכלוא במעטפת זו שווה לQ- • שטח פני מעטפת של הגליל – A=2πRh E d A = E A = E 2rh • נציב בנוסחה לשטף – • נשווה את השטף למטען הכלוא במעטפת: מצאנו כי השדה קיים רק בנפח בין הגלילים והוא: V Q ˆr 2rh 0 = E Q 0 = E 2rh ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 דוגמה – קבל גלילי שלב שני :נמצא את הפרש הפוטנציאלים בעזרת אינטגרל על השדה החשמלי. V+ אנו צריכים לחשב את הביטוי V = − E d l : V− .1 נבחר את ראשית הצירים במרכז הגלילים. .2התנועה היא בכיוון הרדיאלי פנימה (מהמטען השלילי לחיובי) ,נבחר משתנה dl = rˆdr :r .3גבולות האינטגרציה יהיו מהגליל השלילי לחיוביb V a : .4 נציב את השדה החשמלי שקיבלנו בשלב הראשון ונחשב את האינטגרל: ) ( b 1 Q r dr = 2h 0 ln b a a a 1 Q ˆ ˆ ( ) r dr r 1 r = 2h 0 b הפוטנציאל בין הגלילים קבוע ושווה ל: ) ( Q ˆr (rˆdr ) = − 2h 0 Q = V ln b a 2h 0 Q V = − 2rh 0 b a ד"ר רפאל מינס דוגמה – קבל גלילי שלב שלישי :נציב את הפרש הפוטנציאלים בביטוי לקיבול. נציב את תוצאת השלב השני בהגדרת הקיבול: 2h 0 = Q b ln b ln a a 2h 0 ) ( ) ( Q מכיוון שהתבקשנו לחשב קיבול ליחידת אורך ,נחלק ב:h- 2 0 C = h ln b a ) ( Q =C = V פיזיקה 2 ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 קיבול של קבלים שונים 𝑏𝑎 4𝜋𝜀0 =𝐶 קבל כדורי: 𝑎𝑏− 𝐴 𝜀0 =𝐶 קבל לוחות: 𝑑 d - - - b +++ +a+ + A - - - קבל גלילי: 𝐿 2𝜋𝜀0 =𝐶 𝑎ln 𝑏Τ - כדור מבודד𝐶 = 4𝜋𝜀0 𝑅 : + L + + + - + b a + +R ד"ר רפאל מינס קבל פיזיקה 2 שאלה: קבל לוחות ששטחו (שטח כל לוח) 0.200 m2והמרחק בין הלוחות 3.00 mmמחובר לסוללה של .6 V א -מהו קיבול הקבל? ב -מהי כמות המטען הנאגרת על הלוחות? ג -מהו השדה בין הלוחות? ד -מצא את צפיפות המטען על כל לוח. ה -בלי לנתק את הסוללה ,הגדילו את המרחק בין הלוחות .איכותית ,כיצד ישתנו סעיפים א-ד? פתרון: ד"ר רפאל מינס חיבור קבלים פיזיקה 2 הגדרת הקיבול מאפשרת לנו לחשב קיבול של קבל בודד. כיצד נחשב את הקיבול של מערכת של קבלים? ניתן לחבר קבלים (ורכיבים חשמליים בכלל) באינספור דרכים .הדרכים הפשוטות ביותר הן: חיבור בטור או חיבור במקביל. חיבור בטור בחיבור טורי הרכיבים נמצאים על אותו מסלול ,אין התפצלות (צומת) בין הרכיבים. • בכל הרכיבים יזרום אותו זרם. חיבור במקביל בחיבור מקבילי כל רכיב נמצא על "ענף" נפרד .זרוע של רכיב 1מתחברת לזרוע של רכיב 2 והזרוע השניה של רכיב 2מתחברת לזרוע השניה של רכיב .2 • על כל הרכיבים המחוברים במקביל נופל אותו מתח. ד"ר רפאל מינס חיבור קבלים הקיבול השקול של חיבור מקבילי של קבלים הוא: C eq = C1 + C 2 + C 3 + .... • הקיבול השקול גדול מכל אחד מהקיבולים. • המתח ,∆V ,על כל הקבלים המחוברים במקביל זהה ושווה למתח על הקיבול השקול. • המטען על הקיבול השקול שווה לסכום המטענים על כל הקבלים המחוברים במקביל: Qeq = Q1 + Q2 + Q3 + .... הקיבול השקול של חיבור טורי של קבלים הוא: 1 1 1 1 = + + + .... C eq C1 C 2 C 3 • הקיבול השקול קטן מהקיבול הקטן ביותר בחיבור הטורי. • המטען ,Q ,על כל הקבלים המחוברים בטור זהה ושווה למטען על הקיבול השקול. • המתח על הקיבול השקול שווה לסכום המתחים על כל הקבלים המחוברים בטור: Veq = V1 + V2 + V3 + .. פיזיקה 2 ד"ר רפאל מינס קבל שאלה: א -מצא את הקיבול השקול בין הנקודות aו ,b-של מערכת הקבלים הנ"ל. כאשרC1=5.00 µF, C2=10.00 µF, C3=2.00 µF : ב -אם הפוטנציאל בין הנקודות aו b-הוא ,60.0 Vמהו המטען על ?C3 פתרון: פיזיקה 2 ד"ר רפאל מינס המשך פתרון: קבל פיזיקה 2 ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 האנרגיה האצורה בקבל אם הפרש הפוטנציאלים ברגע כלשהו בתהליך הטעינה הוא ,∆Vאזי V q+ העבודה ,∆W ,הדרושה להניע עוד מטען ,∆q ,דרך הפרש פוטנציאלים זה נתונה ע"י: 1 W = Vq = qq C על-מנת למצוא את כל העבודה בהטענת הקבל ממטען 0עד למטען Q (או האנרגיה של הקבל) ,נעשה אינטגרל ונקבל: Q 1 Q2 = U = qdq C0 2C q- q ד"ר רפאל מינס האנרגיה האצורה בקבל פיזיקה 2 אנו יודעים ש ∆V= Q/C-עבור קבל עם מטען .Qלכן ,גרף המתאר את המתח כפונקציה של המטען יהיה קו ישר עם שיפוע שערכו .1/C העבודה ( )W = VQהכוללת הדרושה להטעין את הקבל למטען סופי,Q , ומתח ,∆V ,שווה לשטח שמתחת לגרף. שלושה ביטויים שקולים מאפשרים לחשב את האנרגיה האגורה בקבל טעון: 1 1 Q2 2 = ) Energy _ stored = QV = C ( V 2 2 2C יש גבול למקסימום האנרגיה (או המטען) שניתן לאגור בקבל. בשלב מסוים ,הכוח החשמלי (כוח משיכה) הפועל על המטענים בלוחות גדול דיו לגרום לאלקטרונים לדלג על הרווח בין הלוחות ולגרום לפריקת הקבל. השדה המקסימלי הזה נקרא חוזק דיאלקטרי ,והוא תלוי במבודד הנמצא ברווח בין הלוחות. ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 צפיפות האנרגיה 𝑑 צפיפות האנרגיה היא האנרגיה ליחידת נפח האגורה בקבל: 1 𝜀0 𝐸 2 = 𝑑𝐴 2 2 1 𝑑𝐸 𝐴 𝜀0 = 𝑑𝐴 𝑑 2 2 • יחידות SIשל צפיפות האנרגיה הן J/m3 𝑈 𝑉𝐶 Δ =𝑤 = 𝑑𝐴 2 A A 𝐸 ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 אנרגיה של קבל טעון שאלה: לקבל לוחות קיבול של .3.0 µF א -כמה אנרגיה אגורה בקבל אם הוא מחובר לסוללה של ?6.0 V ב -אם הסוללה מנותקת והמרחק בין הלוחות מוכפל ,מהי האנרגיה האגורה כעת? ג -מחברים מחדש את הסוללה לקבל ,אך מותירים את המרחק בין הלוחות כמו בסעיף ב' .כמה אנרגיה אגורה כעת? פתרון: א- אנרגיה התחלתית: 1 1 2 C i ( V )i = 3 6 2 = 54 .0 J 2 2 2 = Qi 2C i =U ב -ללא הסוללה המטען על הקבל קבוע כמו במצב ההתחלתי. הקיבול של קבל לוחות תלוי הפוך במרחק בין הלוחות ולכן הקיבול החדש יקטן פי .2 C f = C i 2 = 1.50 F Qi 2 = 108 J =U = = 2 2C f 2(C i 2 ) 2C i 2 ג- Qi 2 Qi כשהסוללה מחוברת מחדש המתח חוזר למתח ההתחלתי ואילו הקיבול נותר כמו בסעיף ב'. 1 1 2 C f ( V )i = 1.5 6 2 = 27 .0 J 2 2 =U ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 חומרים דיאלקטריים (מבודדים) מה קורה למבודד הנמצא בשדה חשמלי חיצוני? מולקולות מקוטבות נוטות להסתדר לאורך קווי השדה E0 F E0 + F ד"ר רפאל מינס • פיזיקה 2 מבודד בשדה חשמלי חיצוני קיטוב המולקולות משרה מעט מטען על שפת החומר ,וגורם ליצירת שדה חשמלי נוסף בתוך המבודד .השדה המושרה מכוון בכוון הפוך לשדה החיצוני. • ` Eנקרא שדה הקיטוב או השדה המושרה. E0 E0 - - - - + + + + - - - E + + + + + + + + + + + + + + + + + + המקדם הדיאלקטרי (פרמיטיביות) ,ɛ ,מתאר כיצד שדה חשמלי משפיע ומושפע מתווך דיאלקטרי, והוא נקבע על פי היכולת של חומר להתקטב בתגובה לשדה ,ובכך להפחית את השדה בתוך החומר. ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 קבלים עם חומר דיאלקטרי • כאשר חומר מבודד ,או דיאלקטרי ,מוכנס בין לוחות קבל ,הקיבול מוכפל בפקטור ,ɛr = ( . rלעיתים משתמשים ב)κ- הנקרא המקדם הדיאלקטרי היחסי, 0 הקיבול של קבל לוחות עם חומר דיאלקטרי בין הלוחות ,הוא: A d C = r 0 • אם הקבל מנותק (לא מחובר למקור מתח) כשמוכנס חומר דיאלקטרי ,המתח בין הלוחות, ,∆Vיקטן ל∆V/ɛr -והמטען לא ישתנה. + - + - + + - + - E + +q0 + - -q0 מטען קבוע • אם הקבל מחובר למקור המתח כשמוכנס חומר דיאלקטרי ,המתח בין הלוחות נשאר קבוע והמטען האגור בקבל יגדל. ד"ר רפאל מינס קבלים וחומר דיאלקטרי פיזיקה 2 שאלה :קבל לוחות טעון נשאר מחובר לסוללה כאשר מוכנס בין הלוחות חומר מבודד (דיאלקטרי). האם הגדלים הבאים גדלים ,קטנים או לא משתנים? א) C פתרון: ב) ∆V ג) Q ד) Eבין הלוחות ה)האנרגיה האגורה בקבל א) Cגדל .נוכחות החומר הדיאלקטרי מגדילה את הקיבול בפקטור השווה למקדם הדיאלקטרי היחסי. ב) ∆Vלא משתנה .הסוללה שומרת על מתח קבוע. ג) Qגדל .כיוון שהמתח קבוע והקיבול גדל ,המטען האגור ( )Q=C∆Vגדל. ד) Eלא משתנה .כיוון שהמתח קבוע והמרחק בין הלוחות לא השתנה ,השדה בין הלוחות ()∆V=Ed לא משתנה. ה) האנרגיה גדלה .כיוון שהמתח קבוע והקיבול גדל ,האנרגיה האגורה ( )U=0.5C(∆V(2גדלה. ד"ר רפאל מינס פיזיקה 2 קבלים וחומר דיאלקטרי שאלה :חשבו את הקיבול של שלושת קבלי הלוחות הללו: פתרון: A =C קיבול של קבל לוחות: d א) במקרה זה – נוכל לפרק את הקבל הנתון – לשני קבלים שנמצאים במקביל אחד לשני. ולכן הקיבול השקול הוא: 2 = ( 1 + 2 ) A d 2d 2 A 2+ 1 A d = C = C1 + C 2 ב) במקרה זה – נוכל לפרק את הקבל הנתון – לשני קבלים שנמצאים בטור אחד לשני. ( + )d 1 1 1 d d ולכן הקיבול השקול הוא 1 2 A : = + = + == 1 2 C ( 1 + 2 )d C C1 C 2 1 A 2 A 1 2 A ב) במקרה זה – נפרק את המערכת לשלושה קבלים – שניים במקביל המחוברים שניהם בטור לשלישי. את הקיבול השקול חשבו בבית.