VİSKOZ OLMAYAN, SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ
Viskoz olmayan sıkıştırılamaz akış
Bernoulli denklemi
• Venturi
• Düşük hızlı hava
tüneli
• Pitot tüpü,
hız
ölçümü
Laplace denklemi
Problem
çözümünde
kullanımı
Temel akış
tiplerinin
birleştirilmesi
ile karmaşık
akışların
analizi.
Bazı temel akış tipleri
• Üniform akış
• Kaynak ve
kuyu akışı
• Duble akışı
• Girdap akışı
•Yarı sonlu şekiller
etrafındaki akış
• Silindir etrafında
taşıma oluşturmayan
akış
• Silindir etrafında
taşıma oluşturan akış
• Kutta Joukowski
teoremi
90
BERNOULLI DENKLEMİ
Bernoulli denklemi, viskozitesiz ve sıkıştırılamaz akışta, basınç ile hız arasındaki
ilişkiyi belirleyen ve akışkan dinamiğinde en ünlü denklemdir.
Momentum denkleminin x bileşeni: (kütle kuvveti olamayan, viskozitesiz)
v
∂p
∂p
Du
⇒ρ
=−
∇ ⋅ ( ρuV ) = −
∂x
Dt
∂x
⇒ρ
∂u
∂u
∂u
∂u
∂p
+ ρu + ρv + ρw = −
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
daimi akışta “0”
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
⇒u +v +w = −
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
Denklemin her iki
tarafı dx ile çarpılır ise
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
⇒ u dx + v dx + w dx = −
dx
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
91
Daha önce akım çizgisi denklemleri şu şekilde elde edilmişti:
udz − wdx = 0 ⇒ wdx = udz
vdx − udy = 0 ⇒ vdx = udy
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
u dx + v dx + w dx = −
dx
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
⇒ u dx + u dy + u dz = −
dx
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
 ∂u
∂u
∂u 
1 ∂p
⇒ u  dx + dy + dz  = −
dx
∂y
∂z 
ρ ∂x
 ∂x
du seri açılımı
1 ∂p
1
1 ∂p
⇒ udu = −
dx ⇒ d (u 2 ) = −
dx
ρ ∂x
ρ ∂x
2
92
Aynı işlemler momentum denkleminin y ve z bileşenleri için de yapılır:
1
1 ∂p
d (v 2 ) = −
dy
ρ ∂y
2
1
1 ∂p
2
d (w ) = −
dz
ρ ∂z
2
Bu denklemler toplanırsa:
1
1  ∂p
∂p 
∂p
2
2
2
d (u + v + w ) = −  dx + dy + dz 
2
ρ  ∂x
∂y
∂z 
dp
y
v
V
v
w
z
u
V =u +v +w
2
x
2
2
seri açılımı
2
“EULER DENKLEMİ”
1
1
2
⇒ d (V ) = − dp
2
ρ
⇒ dp = − ρVdV
93
Sıkıştırılamaz akışta bu denklemin çözümü oldukça kolaydır:
p2
v2
p1
v1
∫ dp = − ρ ∫ VdV ⇒
1
1
2
2
p1 + ρV1 = p2 + ρV2
2
2
Akım içinde 1. nokta
Aynı zamanda akım çizgisi boyunca:
“BERNOULLI
DENKLEMİ”
2. nokta
1
p + ρV 2 = sabit
2
Akışın rotasyonel – irrotasyonel olması ayırımı yapılmadı. Bu denklem her ikisinde
de geçerlidir. Ama akış irrotasyonel ise bu denklem sadece akım çizgisi üzerinde
değil tüm akış noktalarında geçerlidir.
Bernoulli denklemi, momentum denkleminden elde edilmiştir.
(kütle kuvveti olmayan, viskozitesiz, sıkıştırılamaz akış için Newton’un 2. yasası)
Bernoulli denklemi enerji boyutundadır.
Enerji denkleminden de elde edilebilir.
1
ρV 2 birim hacim için kinetik enerji
2
94
Viskozitesiz, sıkıştırılamaz akışta sırasıyla şunlar yapılmalıdır:
• İlgili denklemlerden hız alanının elde edilmesi.
• Bernoulli denklemini kullanarak basınç alanının elde edilmesi.
Şimdi bu denklemlerin bazı akışlara uygulaması yapılacaktır.
KANAL İÇİNDE SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ
• Venturi lülesi
• Düşük hızlı hava tüneli
V
ρ
A
1
1
1
En dar
kesit
V
x
2
ρ
2
A
2
95
Akışkan özelliklerinin tek bir parametreye bağlı olarak değiştiği akış tipidir.
p = p ( x), u = u ( x) L
Alanı sabit olan bir boru içindeki akış bu şekilde tanımlanabilir.
x
A=sabit
p = p ( x), ρ = ρ ( x),
u = u ( x), T = T ( x)
Alanı x ile değişen boru içindeki akış üç boyutludur. Boru yüzeyindeki akış yüzeye
paralel olacağı için hız y ve z eksen bileşenlerine de sahip olacaktır. Fakat alan
değişimi çok küçük ise y ve z bileşenleri x bileşenine göre çok küçük olacaktır ve
ihmal edilebilir. Bu tip akışlara sanki bir boyutlu akış denir.
96
y
x
A=A(x)
p = p( x), ρ = ρ ( x),
u = u ( x), T = T ( x)
z
Sanki bir boyutlu akış için, süreklilik, momentum ve enerji denklemleri kullanılarak
gerekli denklemler elde edilecektir.
kontrol hacimi
yüzeyi S
Kontrol hacimi seçilir. Giriş
ve çıkışta akışkan özellikleri
üniformdur.
kontrol
hacimi V
97
r r
∂
ρdV + ∫∫ ρV ⋅ dS = 0
∫∫∫
∂t V
S
Süreklilik denklemi
Daimi akış:
r r
∫∫ ρV ⋅ dS = 0
kontrol hacimi
yüzeyi S
v
ds
kontrol
hacimi V
v
ds
S
Kontrol hacimi yüzey alanı için kullanılırsa:
r r
r r
∫∫ ρV ⋅ dS + ∫∫ ρV ⋅ dS +
A1
A2
r r
∫∫ ρV ⋅ dS = 0
du var
v
r r
v
V ⊥ ds ⇒ V ⋅ d S = 0
⇒ − ρ1u1 A1 + ρ 2u2 A2 = 0
⇒ ρ1u1 A1 = ρ 2u2 A2
Sıkıştırlamaz akışta:
u1 A1 = u2 A2
98
u1 A1 = u2 A2
Venturi lülesi boyunca akış:
önce daralan daha sonra genişleyen kesite sahip kanal akışı.
Kütlesel akış ölçümünde kullanılmaktadır.
p2 < p1
V1
V2
p1
p2
A1
A2
Boğazda basınç en küçük değere düşmektedir. Araba
karbüratöründe kullanılmaktadır. Yakıt girişi boğazdadır ve
basınç farkı nedeni ile yakıt içeri girmektedir.
99
∆p = p1 − p2
basınç farkı deneysel olarak ölçülür.
A1 ve A2 alanları bilinmektedir.
1
1
2
2
p1 + ρV1 = p2 + ρV2
Bernoulli denklemi:
2
2
2
2
2
⇒ V1 = ( p2 − p1 ) + V2
ρ
Süreklilik denklemi:
A1
V1 A1 = V2 A2 ⇒ V2 = V1
A2
İki denklem birleştirilirse:
V1 =
2( p2 − p1 )
2
ρ ( A1 / A2 ) − 1
[
]
100
Düşük hızlı hava tüneli:
Hava tüneli geniş bir venturi olarak tanımlayabiliriz.
Gerçek hava akışının benzerinin oluşturulduğu ve bu akışa yerleştirilmiş cisimlerinin
aerodinamik performansının incelendiği bir sistemdir.
V1
V2
p1
p2
A1
A2
V2 =
2( p1 − p2 )
2
ρ 1 − ( A2 / A1 )
[
]
101
PİTOT TÜPÜ İLE BASINÇ VE HIZ ÖLÇÜMÜ
Bir akışkanın basıncı atmosfer basıncına veya mutlak sıfır basınca göre verilebilir:
• Mutlak basınç akışkan basıncı ile mutlak sıfır basınç arasındaki farkı vermektedir.
• Gage basıncı akışkan basıncı ile atmosfer basıncı arasındaki farkı vermektedir.
• Mutlak basınç = gage basıncı + atmosfer basıncı
Sistem
basıncı
Lokal
referans basınç
Standart
atmosfer basıncı
Gage
sistem basıncı
101.325 kPa mutlak
14.696 psi mutlak
760 mmHg mutlak
29.92 inchHg mutlak
Vakum
seviyesi
Mutlak
sistem
basıncı
Mutlak
atmosfer
basıncı
Mutlak vakum
Bağıl basınç skalası
102
Akış
Basınç
dönüştürücüleri
Durma noktası
toplam basınç
(p0)
statik basınç
pitot tüpü
Basınç:
Yüzeye çarpan gaz moleküllerinin momentumundaki zaman değişim oranı ile ilgilidir.
• moleküllerin hareketi ile ilgilidir.
• moleküllerin tüm yönlere değişik hozlarla hareketi ile oluşur.
Toplam basınç (p0): boru içindeki kanalın diğer ucu kapalı olduğu için kanal içinde
başlangıç zamanı hariç hız sıfırdır. Bu nedenle ölçülen basınç “toplam basınç” tır
Statik basınç (p): lokal akış hızında gaz ile hareket edildiğinde hissedilen basınçtır.
103
Bundan sonra p ile gösterilen basınç statik basınç olacaktır.
Pitot-Statik Tüpü (Sıkıştırılamaz akış için) [M < 0.3]
•
Açık uçlu tüp akışa 900 açı ile yerleştirilir. Bu noktadaki hız sıfırdır ve ölçülen
basınç “durma” veya “toplam” basınç (p0) olarak adlandırılır.
Bir dış tüp kullanılarak akışa paralel doğrultuda açılan basınç deliklerinden
okunan basınç “statik” basınç (p∞) olarak adlandırılır.
Bu basınçlar arasındaki fark “dinamik” basınçtır.
•
•
1
q∞ = ρV 2
2
Akım çizgileri
V
Durma noktası
statik
basınç
delikleri
(p)
Bernoulli
denklemi
1
p + ρV 2 = p0
2
2( p0 − p )
⇒V =
ρ
104
BASINÇ KATSAYISI
Basınç boyutludur. Re, M, cL boyutsuz parametreleri oluşturuldu.
Basınç içinde basınç katsayısı kullanılır.
herhangi bir basınç
p − p∞
cp ≡
q∞
Bernoulli denklemi:
Tüm akışlar için geçerlidir.
(
1
1
1
2
2
p∞ + ρV∞ = p + ρV ⇒ p − p∞ = ρ V∞ 2 − V 2
2
2
2
sıkıştırılamaz akış
•V=0
cp = 1
• V > V∞
cp < 0
• Düzenleme yapılırsa:
)
 V2 
c p = 1 −  2 
 V∞ 
alabileceği en büyük değerdir.
p = p∞ + q∞ c p
p basıncının p∞’dan ne kadar
farklı olduğunun ölçütüdür.
105
İRROTASYONEL, SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ İLE İLGİLİ DENKLEM:
LAPLACE DENKLEMİ
Sıkıştırılamaz akışta süreklilik denklemi:
İrrotasyonel akış denklemi:
v
∇ ⋅V = 0
v
V = ∇φ
⇒ ∇ ⋅ (∇φ ) = 0
⇒∇ φ =0
2
“LAPLACE DENKLEMİ”
Matematiksel fizikte kullanılan önemli bir denklemdir.
Bu denklemin çözümleri “harmonik fonksiyonlar” dır.
Kartezyen koordinatlar:
2
2
2
φ
φ
φ
∂
∂
∂
2
∇ φ = 2 + 2 + 2 =0
∂x
∂y
∂z
Silindirik koordinatlar:
2
2
∂
∂
φ
φ
φ
1
1
∂
∂


2
∇φ=
+ 2 =0
r  + 2
2
r ∂r  ∂r  r ∂θ
∂z
106
Akım fonsiyonunun Laplace denklemini sağlayıp sağlamadığının kontrolü:
İki boyutlu sıkıştırılamaz akış için.
u=
∂ψ
∂ψ
, v=−
∂y
∂x
Süreklilik denklemi:
∂  ∂ψ

∂x  ∂y
O halde
v ∂u ∂v
∇ ⋅V =
+
=0
∂x ∂y
 ∂  ∂ψ
 +  −
 ∂y  ∂x
u=
olması gerekir. Akım fonksiyonu
denklemleri kullanılırsa
2
2
∂
∂
ψ
ψ

−
=0
=
 ∂x∂y ∂y∂x
∂ψ
∂ψ
, v=−
∂y
∂x
Akım fonksiyonu
süreklilik denklemini
sağlamaktadır.
süreklilik denklemi yerine kullanılabilir.
107
Akış aynı zamanda irrotasyonel ise
∂  ∂ψ
−
∂x  ∂x
 ∂  ∂ψ
 − 
 ∂y  ∂y
dv du
−
=0
dx dy
 ∂ 2ψ ∂ 2ψ
 = 2 − 2 = 0
∂y
 ∂x
olması gerekir.
Laplace denklemi
Akım fonksiyonu Laplace denklemini de sağlamaktadır.
1) İrrotasyonel sıkıştırılamaz akışta, hız potansiyeli ve akım fonksiyonu Laplace
denklemini sağlamaktadırlar.
2) Bunun tersi olarak Laplace denkleminin herhangi bir çözümü, hız potansiyeli
veya akım fonksiyonunu temsil eder.
Laplace denklemi 2. derece kısmi diferansiyel denklemdir:
Ayrı ayrı çözümlerin toplamı da çözümdür.
φ = φ1 + φ2 + φ3 + L + φn
108
Çeşitli geometriye sahip modeller etrafında çeşitli akım yapıları oluşur ama
∇ φ =0
2
gibi tek bir denklemle ifade edilir.
Peki değişik akım tipleri nasıl elde edilebilir?
Bunun için “sınır şartları” kullanılır. Denklem aynı olsada değişik modellere ait
değişik akım yapıları elde edilir.
SINIR ŞARTLARI – Uzak Bölge
Cisimden yeterince uzakta, akım tüm doğrultularda serbest akım şartlarına sahip
olur.
Serbest akım şartları:
V∞
x ekseni doğrultusunda.
109
V∞
y
V∞
∞
ycisim = f (x)
x
∞
∞
V∞
∞
V∞
ψ = sabit
∂φ ∂ψ
u=
=
= V∞
∂x ∂y
∂φ ∂ψ
v=
=
=0
∂y ∂x
110
SINIR ŞARTLARI – Yakın Bölge
Şekildeki cisim katı yüzeye sahiptir ve akış cisimin içine giremez.
Akış viskoziteli ise, akışkan ile yüzey arasındaki sürtünme nedeniyle,
yüzey üzerindeki akım hızı sıfırdır.
Viskozitesiz akışta, akış hızı belirli bir değere sahiptir. Cisim içine giremeyeceğine
göre, akış hızı yüzeye teğet olacaktır.
v
V
v
n
s
Duvar sınır şartı:
v v
v
V ⋅ n = 0 ⇒ (∇φ ) ⋅ n = 0
Cisim yüzeyi akım çizgisidir.
ψ = sabit
veya
∂φ
=0
∂n
veya
∂ψ
=0
∂s
111
Cisim yüzeyi:
ycisim = f (x)
ψ yuzey = ψ y = y
cisim
= sabit
(alternatif gösterim)
φ,ψ
ile gösterilen sınır şartı yerine u ve v hızı ile gösterilmesi daha uygundur.
Akım çizgisi fonksiyonu:
dy v
=
dx u
dyb  v 
⇒
= 
dx  u  yuzey
Viskozitesiz akışta tüm şartlar için geçerlidir.
(sıkıştırılamaz – sıkıştırılabilir akış)
Bu denklemlerden faydalanarak Laplace denklemini sağlayan bazı temel akış tipleri
incelenebilir.
112
φ = sabit
TEMEL AKIŞ TİPLERİ
PARALEL (ÜNİFORM) AKIŞ
ψ = sabit
Ünşform akış sıkıştırılamaz ve
irrotasyonel olma durumunda
mümkündür.
Sıkıştırılamaz akış:
İrrotasyonel akış:
V∞
r
v
∇ ⋅V = 0
v
V = ∇φ
θ
Akım fonksiyonu
∂φ
⇒u =
= V∞
∂x
φ = V∞ x + f ( y )
∂φ
=0
⇒v=
∂y
φ = sabit + g (x)
Hız potansiyeli
φ = V∞ x + sabit
113
φ = V∞ x + sabit
Aerodinamik uygulamalarda φ ’nin alacağı değer önemli değildir. Hız potansiyeli
hızın hesaplanması için kullanılır. Hızı hesaplarken türev alınacağına göre sabit
terimin sonuca katkısı olmayacaktır. Bu nedenle
φ = V∞ x
şeklinde yazılabilir.
Akım fonksiyonu için de benzer yoldan denklem elde edilebilir.
∂ψ
u=
= V∞
∂y
∂ψ
v=−
=0
∂x
ψ = V∞ y + f (x)
ψ = V∞ y + sabit
ψ = sabit + g ( y )
⇒
ψ = V∞ y
114
Akım çizgileri:
ψ = sabit
ψ = V∞ y
Eş potansiyel
çizgileri:
y = sabit
akım çizgileri yatay çizgilerdir.
x = sabit
akım çizgileri düşey çizgilerdir.
φ = sabit
φ = V∞ x
φ = sabit
ψ = sabit
V∞
grafikle uygun sonuç:
soldan sağa doğru paralel akış.
r
115
Kartezyen koordinatlarda:
Silindirik koordinatlarda:
ψ = V∞ y
φ = V∞ x
ψ = V∞ r sin θ
φ = V∞ r cosθ
Sirkülasyonun alacağı değeri bulalım:
v v
Γ ≡ − ∫ V ⋅ ds
c
v
ds
v
ds
dikdörtgen eleman
v
ds
h
v
V
v
ds
v
V
v
V
l
v
V
v v
V ⋅ ds = V ds cosθ
v v
∫ V ⋅ ds = −V∞ h − 0 ⋅ l + V∞ h + 0 ⋅ l = 0
c
“irrotasyonel akış”
116
Bir başka çözüm yolu:
v v
Γ ≡ − ∫ V ⋅ ds
c
V∞ = sabit
v
⇒ Γ ≡ −V∞ ∫ ds = −V∞ ⋅ 0 = 0
c
kapalı eğri
Üniform akış irrotasyoneldir
Üniform akış daha karmaşık akışların çözümünde kullanılabilir.
ψ = V∞ y
φ = V∞ x
aynı zamanda Laplace denklemini sağlamaktadırlar.
117