赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ）
Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
第 35 卷第 2 期
2019 年 2 月
Vol.35 No.2
Feb. 2019
高等数学中函数极限的求法技巧解析
舒孝珍
（成都师范学院
数学学院， 四川
成都
611130 ）
摘要：函数是高等数学的主要研究对象，极限方法是高等数学中研究变量的一种基本方法，它几乎贯
穿于高等数学的所有研究中 .因此，函数极限作为高等数学中一个最为关键的内容，对求函数极限的方法进
行一个详尽的介绍十分必要，以便初学者能够深刻理解极限概念并能灵活运用求极限的方法 .
关键词：函数极限；洛必达法则；夹逼准则；重要极限
中图分类号 ：
Ｏ１７４
文献标识码 ：
Ａ
文章编号 ：
１６７３－２６０Ｘ（２０１９）０２－００１１－０３
DOI:10.13398/j.cnki.issn1673-260x.2019.02.004
1
１．１
求函数极限的方法
利用定义求解
（１）ｌｉｍ［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｆ（ｘ）±ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ａ±Ｂ；
（２）ｌｉｍ［ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｆ（ｘ）·ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ａ·Ｂ；
［１，２］
（３）若又有 Ｂ≠０，则 ｌｉｍ ｆ（ｘ） ＝ ｌｉｍｆ（ｘ） ＝ Ａ ．
ｇ（ｘ） ｌｉｍｇ（ｘ） Ｂ
函数极限定义一般用于证明极限已知的函数
极限问题，
或用于可先从函数的变化过程趋势得出
函数极限，
再利用定义来证明此极限就是所要求得
函数极限问题．
例1
证
说明：①定理中，记号“ｌｉｍ”没有标明自变量的
变化过程，表示定理对 ｘ→ｘ０ 及 ｘ→∞ 都是成立的；
②定理中（１），（２）可推广到有限个函数的情形；
证明ｌｉｍ ｘ２＝４．
ｘ→２
由函数极限的定义，坌ε＞０，要找 δ＞０，使
当 ０＜｜ｘ－２｜＜δ 时成立
③在应用定理时，只有当 ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｂ
都存在时，才能应用四则运算法则，当作为分母时，
要求 Ｂ≠０．
｜ｘ２－４｜＜ε
｜ｘ＋２｜ 放 大 ， 加 上 条 件 ｜ｘ－２｜＜１， 即 １＜ｘ＜３， 于 是
｜ｘ＋２｜＜５，从而有
求ｌｉｍ ｘ－３
２
ｘ→３ ｘ －９
例2
因为 ｜ｘ２－４｜＝｜ｘ－２｜·｜ｘ＋２｜，保留因子 ｜ｘ－２｜，将因子
解
当 ｘ→３ 时，分子及分母的极限都是零，故
分子、
分母不能分别取极限，但分子、分母都有公因
｜ｘ２－４｜＜｜ｘ－２｜．
子 ｘ－３，而当 ｘ→时，ｘ－３≠０，可同时约去不为零的
坌 坌
ε
，当 ０＜｜ｘ－２｜＜δ 时，成立
因此，
取 δ＝ｍｉｎ １，
５
公因子．
ｌｉｍ １
ｌｉｍ ｘ－３
＝１ ．
＝ｌｉｍ １ ＝ ｘ→３
２
ｘ→３ ｘ －９
ｘ→３ ｘ＋３
ｌｉｍ （ｘ＋３） ６
｜ｘ －４｜＝｜ｘ－２｜·｜ｘ＋２｜＜５·ε ＝ε，
５
２
ｘ→３
因而证得ｌｉｍ ｘ２＝４．
１．３
ｘ→２
说明：①本例求极限利用了适当放大的技巧，
利用无穷小与无穷大的关系求解
定理 ［１］
在自变量的同一变化过程中，如果 ｆ（ｘ）
这是求函数极限的一个常用技巧；②若直接求ｌｉｍ
为无穷大，那么 １ 为无穷小；反之，如果 ｆ（ｘ）为无
ｆ（ｘ）
ｘ２ 的极限，则我们可以先通过自变量的变化趋势得
穷小，且 ｆ（ｘ）≠０，那么 １ 为无穷大．
ｆ（ｘ）
ｘ→２
出函数的极限值为 ４，然后再利用定义进行证明即
可．
１．２
例3
利用极限的四则运算法则
定理 ［１］
那么
如果 ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｂ，
解
求ｌｉｍ
ｘ→１
２ｘ－３
ｘ２－５ｘ＋４
因为分母的极限ｌｉｍ （ｘ２－５ｘ＋４）＝０，不能应
ｘ→１
收稿日期：2018-10-08
基金项目：成都师范学院科研项目：三维轴对称驻点流的研究（CS18ZC05 ）
－ １１ －
用商的极限的运算法则．但因
变化过程，表示定理对 ｘ→ｘ０ 及 ｘ→∞ 都是成立的；
ｌｉｍ ｘ －５ｘ＋４ ＝ ０ ＝０，
ｘ→１
－１
２ｘ－３
②在使用等价无穷替换时，一定要注意两者都
２
互为等价无穷小才能进行替换．
因此，
有上面定理得ｌｉｍ ２２ｘ－３ ＝∞．
ｘ→１ ｘ －５ｘ＋４
１．４
求ｌｉｍ ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ
．
ｘ→０
ｓｉｎ３ｘ
例6
利用夹逼准则求极限［３］
解
若坌ｘ∈Ｕ觷 （ｘ０，δ），有 ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ）≤ｈ（ｘ）且ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝
ｌｉｍ ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ
＝ｌｉｍ ｔａｎｘ（１－ｃｏｓｘ）
ｘ→０
ｘ→０
ｓｉｎ３ｘ
ｘ３
ｘ→ｘ０
ｘ·１ ｘ２
２
＝ｌｉｍ
＝１ ．
ｘ→０
ｘ３
２
ｌｉｍ ｈ（ｘ）＝Ａ，
则ｌｉｍ （ｘ）＝Ａ．
ｘ→ｘ０
ｘ→ｘ０
5１ｘ 5
１
解 因为 １ －１＜ 5 5
＜ １ （ｘ≠０），当 ｘ＞０ 时，
ｘ
ｘ
ｘ
１
１
１－ｘ＜ｘ 5 5
≤１；当 ｘ＜０ 时，１－ｘ＜ｘ 5 5
≤１．由夹逼准
ｘ
ｘ
１
ｌｉｍ ｘ 5 5
则，
＝０．
ｘ
例4
求ｌｉｍ ｘ
ｘ→０
ｘ→０
说明：在利用夹逼准则求极限时，关键是选取
说明：以上极限在进行等价无穷小替换时，不
能直接进行 ｔａｎｘ￣ｘ，ｓｉｎｘ￣ｘ 的替换，否则将会出现
错误的结果．因此，当分子或分母是几个因子的乘
积时，则可以对任一因子进行等价无穷小替换，若
分子或分母是几个因子的和差，则一般不能随意替
换．
１．７
定理 （ ０ 型或 ＊ 型）［２］
两边的函数，并且使其极限为同一值．
１．５
利用洛必达法则求解
０
∞
利用两个重要极限求解
（ａ，ａ＋ｄ］上可导（ｄ 是某个正常数），且 ｇ＇（ｘ）≠０．若此
重要极限：（１）ｌｉｍ ｓｉｎｘ ＝０；（２）ｌｉｍ （１＋ １ ）ｘ＝ｅ．
ｘ→０
ｘ→０
ｘ
ｘ
时有
ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ ｇ（ｘ）＝０
在利用重要极限求解时，可根据重要极限的特
ｘ→ａ＋
ｌｉｍ ｇ（ｘ）＝∞，
重要极限求解．
解
ｘ→ａ＋
求ｌｉｍ １－ｃｏｓｘ
ｘ→０
ｘ２
例5
且ｌｉｍ ｆ＇（ｘ） 存在（可以是有限数或无穷），则成立
ｘ→ａ ｇ＇（ｘ）
＋
ｌｉｍ １－ｃｏｓｘ
＝ｌｉｍ （ ｓｉｎ２ ｘ · １
）
ｘ→０
ｘ→０
ｘ２
ｘ
１＋ｃｏｓｘ
２
ｌｉｍ ｆ（ｘ） ＝ｌｉｍ ｆ＇（ｘ） ．
ｘ→ａ ｇ（ｘ）
ｘ→ａ ｇ＇（ｘ）
＋
１
＝１ ．
＝ｌｉｍ （ ｓｉｎｘ ）２·ｌｉｍ
ｘ→０
ｘ→０ １＋ｃｏｓｘ
ｘ
２
例 5’ 求ｌｉｍ （ ３＋ｘ ）
ｘ→∞
解
ｌｉｍ （ ３＋ｘ ）
ｘ→∞ ６＋ｘ
＝ｅ
ｘ－１
２
ｘ－１
２
型；
ｉｉ）以上结论在 ｘ→ａ、ｘ→ａ±或是 ｘ→∞、ｘ→±
5
－ ６＋ｘ
３
＝ｌｉｍ （１－ ３ ）
ｘ→∞
６＋ｘ
－３
２
＝ｅ
－３ ·ｘ－１
６＋ｘ
２
5
．
说明：以上两个函数极限在求解时，都进行了
变形，变成重要极限的基本形式，然后再利用重要
极限求出了极限值．
利用等价无穷小求极限
定理
軒
軒，
軒 ，且 ｌｉｍ α
设 α￣α
β￣β
存在，则 ｌｉｍ α
β
軒
β
軒
＝ｌｉｍ α ．
軒
β
说明：①定理中，记号“ｌｉｍ”没有标明自变量的
－ １２ －
＋
注意： ｉ）定理 ＊ 型中，
“＊”代表任意变化类
∞
６＋ｘ
ｌｉｍ －３（ｘ－１）
２（６＋ｘ）
ｘ→∞
［１］
ｘ→ａ＋
或
点 对所要求解的函数极限进行灵活变形，再利用
１．６
设函数 ｆ（ｘ）和 ｇ（ｘ）在
∞ 时都是成立的；
ｉｉｉ）对于“０·∞，∞－∞，００，１∞，∞０”这五种类型
的未定式，可以转化为 ０ 型或 ∞ ，然后再用洛必
０
∞
达法则求极限．
例7
解
求ｌｉｍ （ｓｅｃｘ－ｔａｎｘ）
ｘ→ π
２
这是“∞－∞”型未定式，因为 ｓｅｃｘ－ｔａｎｘ＝
１－ｓｉｎｘ ，当 ｘ→ π 时，右端为 ０ 型，应用洛必达法
ｃｏｓｘ
２
０
则，得
ｌｉｍ （ｓｅｃｘ－ｔａｎｘ）＝ｌｉｍ １－ｓｉｎｘ ＝ｌｉｍ －ｃｏｓｘ ＝０．
ｃｏｓｘ ｘ→ π －ｓｏｎｘ
ｘ→ π
ｘ→ π
２
２
２
说明：使用洛必达法则时，一定要检查是否满
足洛必达法则成立的条件，如若不满足，则不能随
意使用洛必达法则．
利用泰勒公式求极限
ｌｉｍ ｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０－ｈ）
ｈ→０
ｈ
泰勒公式是高等数学中的一个难点与重点，在
＝ｌｉｍ
１．８
解
ｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０） － ｆ（ｘ０－ｈ）－ｆ（ｘ０）
ｈ
ｈ
ｈ→０
求极限的问题中，对于用洛必达法则和等价无穷小
替换失效的极限问题，一般可利用泰勒公式得到解
＝ｌｉｍ ｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０） ＋ｌｉｍ ｆ（ｘ０＋（－ｈ））－ｆ（ｘ０）
ｈ→０
ｈ→０
－ｈ
ｈ
决．
＝２ｆ＇（ｘ０）
求极限ｌｉｍ ａｒｃｓｉｎｘ－ａｒｃｔａｎｘ
ｘ→０
ｓｉｎｘ－ｔａｎｘ
例8
解
将分子与分母中各项分别用带有佩亚诺
余项的三阶麦克劳林公式表示，即
ｓｉｎｘ＝ｘ－ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３），ａｒｃｓｉｎｘ＝ｘ＋ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３）；
３！
３！
ｔａｎｘ＝ｘ＋ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３），ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ－ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３）．
３
３
说明：本题从第二个等式到第三个等式成立的
原因是 ｆ＇（ｘ０）存在，若无此条件，则不能得到第三个
等式．
１．１０
对于一些含有积分式子或分式的极限，可考虑
使用积分中值定理或微分中值定理进行求解．
１
例 10
因此，ｌｉｍ ａｒｃｓｉｎｘ－ａｒｃｔａｎｘ
ｘ→０
ｓｉｎｘ－ｔａｎｘ
ｘ＋ １
６
＝ｌｉｍ
ｘ→０
１
ｘ－
６
说明：此题若用洛必达法则求极限将十分复
杂，若用等价无穷小替换将得到错误结果，因而用
带有佩亚诺余项的泰勒公式来求极限非常方便．但
在使用泰勒公式求极限时，也有一些需要注意的原
ｋ
或 ｘ ，则 ｆ（ｘ）展开到 ｋ 次
则 ：若极限形式为 ｆ（ｘ）
ｋ
ｆ（ｘ）
ｘ
［５］
方，
即分子、分母同阶；若极限形式为 ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），则将
ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）分别展开到它们的系数不相等的最低次幂
为止．
１．９
利用导数的定义求极限
函数 ｆ（ｘ）在点 ｘ０ 可导的三个等价定义：
ｆ＇（ｘ０）＝ｌｉｍ ｆ（ｘ０＋△ｘ）－ｆ（ｘ０） ；
△ｘ→０
△ｘ
ｆ＇（ｘ０）＝ｌｉｍ ｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０） ；
ｈ→０
ｈ
ｆ＇（ｘ０）＝ｌｉｍ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）
ｘ→ｘ
ｘ－ｘ０
０
例 10
解
１
ｘ３＋ｏ（ｘ３） ｘ－ ｘ３＋ｏ（ｘ３）
３
１
ｘ３＋ｏ（ｘ３） ｘ＋ ｘ３＋ｏ（ｘ３）
３
１ ｘ３＋ｏ（ｘ３）
＝－１．
＝ｌｉｍ ２
ｘ→０
－ １ ｘ３＋ｏ（ｘ３）
２
假设 ｆ＇（ｘ０）存在，求极限
ｌｉｍ ｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０－ｈ） ．
ｈ→０
ｈ
利用中值定理求极限［６］
求极限ｌｉｍ
ε→０
乙 εｘ１＋１ ｄｘ．
３
０
由积分中值定理，
１
乙 εｘ１＋１ ｄｘ＝ εα１＋１ （０＜α＜１），
因此，ｌｉｍ 乙 １ ｄｘ＝ｌｉｍ １ ＝１．
εｘ ＋１
εα ＋１
０
３
３
１
ε→０
2
０
３
ε→０
３
结语
初学者在学习高等数学时，首先要面临的问题
就是极限及其计算方法，本文比较详尽地介绍了各
种求函数极限的方法及其使用技巧，每种方法都有
其优势和局限性，在求极限的过程中应灵活运用各
种方法，便于准确，高效地解题．
——
——
——
——
——
——
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参考文献 :
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等教育出版社 ,2014.7.
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－ １３ －