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极限思想的产生与发展
李
数学篇
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芳
极限是微积分中的基础概念.所谓极限思想，是指
的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一个小
用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.极
于任何给定的同类量的量”.运用穷竭法，欧多克斯证
限思想是微积分的基本思想之一，数学分析中的一系
明了“圆面积与直径的平方成正比例”
“球的体积与直
列重要概念，如函数的连续性、导数、定积分等都是借
径的立方成正比例”等结论.他的穷竭法中也蕴含了极
助于极限来定义的.极限思想方法为人类认识“无限”
限思想.继欧多克索斯之后，阿基米德（Archimedes，公
提供了强有力的工具，是近现代数学的一种重要思想.
元前 287 年-前 212 年）使用穷竭法求出了一系列几何
一、
极限思想的萌芽
在我国，著名的《庄子·天下篇》一书中记有：
“一
尺之锤，日取其半，万世不竭.”墨家著作《墨子·经天
下》中也有“非半弗，则不动，说在端”的论述.这说明，
在很早，我国人民对无限的可分性与连续性就已有了
相当深刻的认识.将极限思想应用到数学中的是我国
魏晋时期的数学家刘徽.刘徽在《九章算术注》中多次
用极限思想处理问题.刘徽正是以“割圆术”为理论基
础，得出徽率.到公元 5 世纪，南北朝时期的大数学家、
科学家祖冲之（429-500 年）在《缀术》一书中，同样运
用
“割圆术”推算出：
3.1415926<π<3.1415927.
在国外，古希腊巧辩学派的安提芬（Antiphon，公
元前 480 年-公元前 411 年）在研究画圆为方的问题时
想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆的面
积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周
之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”.公元前 4 世纪，古希
腊数学家欧多克斯(Eudoxus of Cnidus，公元前 400 年公元前 347 年）创立了求几何体面积和体积的一般方
法——穷竭法.他指出：
“如果从任何量中减去一个不
小于它的一半的部分，从剩余部分中再减去不小于它
图形的面积.他用足够多的“内接”和“外切”扇形逼近
螺线所围成的平面图形，这和我国的“割圆术”所用到
的理论大相径庭，但都用到了极限思想.他巧妙地把欧
克多索斯的穷竭法与希腊数学家谟克利特
（Δημόκριτος，约公元前 460 年-公元前 370 年）的原子
论观点结合起来，通过严密的计算，解决了求几何图
形的面积、体积、曲线场等计算问题.他采用了无限逼
近的方法，将需要求积的量分成许多微小单元，再用
另一组容易计算总和的微小单元来进行比较，他的无
穷小概念到 17 世纪被牛顿作为微积分的基础.阿基米
德的杰出成就丰富了古代数学的内容.
二、
极限思想的发展
极限思想的进一步发展与微积分的严格化联系
密切.在很长一段时间里，许多人都曾尝试“彻底”地解
决微积分理论基础的问题，但都未能如愿以偿.这是因
为数学的研究对象已从常量转变为变量，而人们习惯
于用不变化的常量去思考、分析问题，对“变量”特有
的概念理解还不十分清楚，对“变量数学”和“常量数
学”的区别和联系还缺乏了解，对“有限”和“无限”的
对立、统一关系还不明确.
在 17 世纪，英国物理学家和数学家牛顿（Newton，1643 年-1727 年）用路程的改变量 Δ S 与时间的改
ΔS
变量 Δ t 之比“
”表示运动物体的平均速度，让 Δ t 无
Δt
限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数
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的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值
之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其它值的极
限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减
小使之收敛到极限 0，这就说这个变量会变成无穷
小.”
概念和微分学理论.他意识到极限概念的重要性，试图
柯西把无穷小视为“以 0 为极限的变量”，这就正
以极限概念作为微积分的基础.他说：
“两个量之比，如
确地确立了“无穷小”概念：似零而不是零，却近似的
果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前
等于 0.也就是说，在变量变化的过程中，它的值实际
互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则该比值最
上不等于零，但它变化的趋势是无限地接近于零.那么
终相等.”牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直
观性的语言描述：
“如果当 n 无限增大时，a n 无限地接
近于常数 A ，那么 a n 以 A 为极限.”牛顿的极限观念也
是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格
表述形式.
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才
受到很多人的怀疑与攻击.例如，在“瞬时速度”概念中
的，Δ t（变化量）究竟是否等于零？如果说是零，那么
怎么能用它去作除法呢？
（其实变化量不可能为 0）.如
果它不是零，在函数变形时又怎么能把包含着它的那
些“微小的量”项去掉呢?这就是数学史上无穷小悖论
产生的原因.
到了 18 世纪，法国著名的物理学家、数学家和天
文学家 达朗贝尔（Alembert，1717 年 - 1783 年)等人先
后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并
且都对极限给出了定义.其中达朗贝尔的定义是：
“一
个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的
值更为接近第一个量”，其描述的内涵接近于“极限”
的正确定义.然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直
观的依赖.因为 19 世纪以前的算术和几何概念，大部
分都是建立在几何的概念上的.
首先用极限概念给出“导数”的正确定义的是捷
克数学家波尔查诺（Bolzano，1781 年 - 1848 年)，他把
△y
函数 f (x) 的导数定义为差商
的极限 f&apos ；(x) ，
△x
他强调指出 f&apos ；(x) 不是两个零的商.波尔查诺的
思想是有价值的，
但他仍未描述清楚
“极限的本质”.
虽然他们的工作过多的依赖于直观，缺乏严密的
人们用
“等于 0”来处理问题，是不会产生错误结果的.
柯西试图消除极限概念中的几何直观，
（但是“几
何直观”不是消极的东西，在研究函数时我们可以假
设变量图象被放大到无数倍以后，也会永远不能看到
变量值“等于 0”，所以用不等式表示会更加“准确”
）作
出极限的明确定义.但柯西的表述中还存在描述性的
词语，如“无限趋近”
“ 要多小就多小”，这些语句比较
通俗易懂，人们理解起来比较容易.
德国数学家维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815 年1897 年）提出了抽象的极限定义，给微积分提供了严
格的理论基础.所谓 x n → x ，就是指：如果对任何 ε ，
总 存 在 自 然 数 N，使 得 当 n > N 时 ，不 等 式 恒 成 立
|x n - x1| < ε .
这个定义，需要借助不等式 |x n - x1| < ε ，利用 ε 和
N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过
程”之间的联系.因此，这样的定义应该是目前比较严
格的定义，可作为科学论证的基础，至今仍在很多的
数学分析书籍中被频繁使用.在该定义中，涉及到的仅
仅是“数及其大小关系”，此外只是用给定、存在、任何
等词语，已经摆脱了
“趋近”一词.
常量可理解为“不变化的量”.微积分问世以前，人
们习惯于用静态的图象研究数学对象，自从解析几何
和微积分问世以后，
“ 变量”被引进了数学领域，人们
可以用有关变量的数学工具对事物变化的过程进行
研究.
之后，维尔斯特拉斯建立的 ε－N 语言，则用静态
的定义描述变量的变化趋势.这种“静态——动态——
静态”的螺旋式上升演变方式，反映了数学发展的辩
定了坚实的基础.
证规律.
三、
极限思想的完善
1.极限的定义
到了 19 世纪，法国数学家柯西（Cauchy，1789 年1857 年）在前人的基础上，比较完整地阐述了极限的
概念，他在《分析教程》中指出：
“当一个变量逐次所取
如今，人们经过不断地研究，得到了准确的极限
定义.数列极限标准定义是：对数列 {x n} ，若存在常数
数学篇
逻辑基础，但他们的研究为极限思想的进一步完善奠
a ，对于任意 ε > 0 ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，
|x n - a| < ε 成立，
那么称 a 是数列 {x n} 的极限.
函数极限标准定义：设函数 f (x)，|x| 大于某一正 65
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数时有定义，若存在常数 A ，对于任意 ε > 0 ，总存在
正整数 X ，使得当 x > X 时，|f (x) - A| < ε 成立，那么称
A 是函数 f (x) 在无穷大处的极限.
设函数 f (x) 在 x 0 处的某一区域内有定义，若存在
常 数 A ，对 于 任 意 ε > 0 ，总 存 在 正 数 δ ，使 得 当
|x - xo| < δ 时，|f (x) - A| < ε 成立，那么称 A 是函数 f (x)
在 x 0 处的极限.
2.极限思想与数学分析
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个
年）首次运用了微分学思想，
获得了求函数极值的法则.
他还用极限思想求出了平面曲线 y = f (x) 的切线，抛物
1n + 2n + ⋯ + mn
线体积的重心和拐点；他还用极限 mlim
→∞
mn - 1
= 1 求出了抛物线的面积 y = x2 .牛顿于 1669 年完
n+1
成的《运用无穷多项方程的分析学》
（到 1711 年才发
表）中，给出了一个求变量对另一个变量的瞬时变化
率的普遍方法.
量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不
1671 年，牛顿完成了《流数法与无穷级数》
（1736
仅仅是一个，而是一连串越来越准确的近似值，然后
年出版），进一步对自己的思想做了更广泛、更明确的
通过考查这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值
说明，系统地引进了他所独创的概念和记法.他将变量
确定下来.这就需要运用极限的思想方法.
称作“流”，将变量的变化率称作“流数”.1676 年，牛顿
可以说，数学分析中几乎所有的概念都离不开极
完成了另一部著作《求曲边形的面积》
（1704 年出版），
限.几乎所有的数学分析著作，都是先介绍函数理论和
提出了“最初比”和“最后比”两个新概念，并且提出了
极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续
将导数作为增量比的极限思想.
函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导
瑞士数学家、物理学家欧拉（Euler，1707 年-1783
数，广义积分的敛散性、重积分与曲面积分的概念.数
年）先后发表了《无穷小分析应论》
《微分学》
《积分学》
学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题，
等著作.他还研究了数列极限的存在性，并把该极限记
如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积
等问题，是由于其采用了“无限逼近”的思想方法，才
能够得到无比精确的计算答案.
求复杂面积、体积、线段长度的工作始于德国科
学家开普勒（kepler，1571 年-1630 年）.1615 年，开普勒
发表《酒桶的立体几何学》，该书集中研究了求旋转体
的体积问题.其基本方法是，首先把给定的几何图形分
成无穷多个无穷小的图形，用某种特定的方法把这些
图形的面积或体积加起来，便得到给定的图形的面积
和体积；其次，几何图形是由不可分离量，即无穷小面
积或体积组成的.虽然这些计算都是不严格的，但是他
得出的结果却是正确的.这些简单易行的方法，同今天
常采用的“微元法”有着相似之处.开普勒是第一个在
求积中运用无穷小的数学家，这就是他对积分学的最
大贡献.
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1629 年，法国数学家费马（Fermat，1601 年 - 1665
为 e . 英 国 数 学 家 泰 勒（Brook Taylor，1685 年 - 1718
年），将一个在 x = x 0 处具有 n 阶导数的函数 f (x) ，利
用关于（x - x 0）的 n 次多项式来逼近函数的方法得到
泰勒公式.法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日
（lagrange,1736 年-1813 年），
曾用极限思想证明了泰勒
展开式：
若函数 f (x) 在包含 x 0 的某个闭区间 [a,b] 上具
有 n 阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n + 1）阶导
数 ，则 对 闭 区 间 [a,b] 上 任 意 一 点 x ，下 式 成 立 ：
f ″(x 0 )
f (x 0 )
(x - x 0 )2 + ⋯ +
2!
n!
n
f
(x)
(x - x 0 )n ，其中，f （x）
表示
的 n 阶导数，等号后的
f
(x)
x
多项式称为函数
在 0 处的泰勒展开式，剩余的
P n (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x - x 0 ) +
(n)
R n (x) = f (x) - P n (x) 是泰勒公式的余项，是（x - x 0）n 的高
阶无穷小.
借助极限思想，人们的认识发生了很大的改变：
1635 年，意大利数学家卡瓦利里（1598 年-1647
从“有限”到“无限”，从“不变”到“变”，从“直线构成
年）的《用新方法促进的连续不可分几何学》的正式出
形”到“曲线构成形”，从“量变”到“质变”，从“近似”到
版标志着积分学的一个重要进展.他认为，几何图形是
“精确”.运用极限思想，可得到相应的无比精确的值.
由无数多个维数较低的不可分量组成的，即面积是由
人们用“无限地逼近”实现了“精密计算”.用此新方法
条数不定的等距离平行线构成的，体积是由等距离的
可解决“直接用常量办法计算有变化量的函数，计算
平行平面构成的.他把这些元素分别称之为面积和体
结果误差大”的问题.极限思想已经渗透到现代生活的
积的不可分量.卡瓦利里的不可分求和原理，实际上就
各个领域中.在日常生活中，极限思想已经成为人们解
是后来定积分概念的雏形.
决问题必不可少的基本思想之一.