IKKINCHI, UCHINCHI TARTIBLI
DETERMINANTLAR VA
ULARNING XOSSALARI.
LAPLAS TEOREMASI.
TESKARI MATRISA
Reja:
1. Ikkinchi, uchinchi tartibli determinantlar va ularning xossalari.
2. Laplas teoremasi.
3. Teskari matrisa.
Aytaylik, ikkinchi va uchinchi tartibli kvadrat matrisalar
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝐴= 𝑎
,
𝐵
=
21 𝑎22
𝑎31 𝑎32 𝑎33
berilgan bo‘lsin. Bu matrisalarga mos ravishda
𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12 va
𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 −
−𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33
sonlarni mos qo‘yamiz. Odatda ular ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar
deyiladi va quyidagicha belgilanadi.
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22 𝑎23
,
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Bu ifodalar mos ravishda 𝑑𝑒𝑡𝐴, 𝑑𝑒𝑡𝐵 kabi ham belgilanadi.
Demak,
𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22 =𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 .
Masalan,
2 −3
= 2 ∙ 6 − 5 ∙ −3 = 12 + 15 = 27.
5 6
Demak,
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23 =
𝑎31 𝑎32 𝑎33
=𝑎11 𝑎22 𝑎13 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 −
−𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 .
Uchinchi tartibli determinantning qiymati 6 ta had yig‘indisidan iborat
bo‘lib, ulardan uchtasi musbat ishorali, qolgan uchtasi esa manfiy ishorali bo‘ladi.
Masalan,
5
3
6
−2
1
0
1
−4 =
−3
= 5 ∙ 1 ∙ −3 + −2 ∙ −4 ∙ 6 + 3 ∙ 0 ∙ 1 −
−6 ∙ 1 ∙ 1 − 3 ∙ −2 ∙ −3 − 0 ∙ −4 ∙ 5 =
= −15 + 48 − 6 − 18 = 48 − 39 = 9.
Eslatma. Yuqoridagidek, 𝑛 −tartibli (𝑛 > 3) determinant
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛
. . . . . . . . . . .
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛
tushunchasi kiritiladi.
Aytaylik, uchinchi tartibli determinant
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
(2)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
berilgan bo‘lsin. Bu determinantning biror
𝑎𝑖𝑘 𝑖 = 1, 2, 3; 𝑘 = 1, 2, 3
elementini olib, shu element joylashgan yo‘lni hamda ustunni o‘chiramiz. Qolgan
elementlari ikkinchi tartibli determinantni hosil qiladi. Uni 𝑎𝑖𝑘 element minori
deyiladi va u 𝑀𝑖𝑘 kabi belgilanadi.
Masalan,
−2 5 3
1
2 0
3
0 1
determinantning 𝑎12 = 5 elementning minori
1 0
𝑀12 =
3 1
bo‘ladi.
Uchinchi tartibli determinant 9 ta minorga ega bo‘ladi.
Ushbu
(−1)𝑖+𝑘 ∙ 𝑀𝑖𝑘
miqdor (2) determinant 𝑎𝑖𝑘 elementining algebraik to‘ldiruvchisi deyiladi va 𝐴𝑖𝑘
orqali belgilanadi:
𝐴𝑖𝑘 = (−1)𝑖+𝑘 ∙ 𝑀𝑖𝑘 .
Masalan,
2 0 3
1 2 0
3 0 1
determinant 𝑎13 = 3 elementining algebraik to‘ldiruvchisi
1 2
𝐴13 = (−1)1+3
= 1 ∙ 1 ∙ 0 − 2 ∙ 3 = −6
3 0
bo‘ladi.
Determinantning xossalari
Determinant qator xossalarga ega. Quyida ularni keltiramiz.
1)
Determinantning
yo‘llarini
mos
determinantning qiymati o‘zgarmaydi:
𝑎11 𝑎12
𝑎11
𝑎21 𝑎22 = 𝑎12
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎11
𝑎21 𝑎22 𝑎23 = 𝑎12
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎13
2)
ustunlari
bilan
almashtirilsa
𝑎21
𝑎22 ,
𝑎21 𝑎31
𝑎22 𝑎32 .
𝑎23 𝑎33
Determinantning ixtiyoriy ikki yo‘lini (ikki ustunini) o‘zaro
almashtirilsa, determinantning qiymati o‘zgarmasdan, uni ishorasi esa qaramaqarshisiga o‘zgaradi.
3) Determinantning ikki yo‘li (ustuni) bir xil bo‘lsa, determinantning qiymati nolga
teng bo‘ladi.
4) Determinantning ixtiyoriy yo‘lida (ustunida) turgan barcha elementlari
o‘zgarmas 𝑘 songa ko‘paytirilsa, determinantning qiymati ham k soniga ko‘payadi.
5) Determinantning biror yo‘li (ustuni)da turgan barcha elementlarning
ularga mos algebraik to‘ldiruvchilari bilan ko‘paytmasidan tashkil topgan yig‘indi
shu determinantning qiymatiga teng.
Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar bevosita ta’rifga ko‘ra
hisoblanadi.
Masalan
1
−3
2
= 1 ∙ 4 − 2 ∙ −3 = 10,
4
1 2 3
0 −1 4 =
2 3 0
= 1 ∙ −1 ∙ 0 + 2 ∙ 4 ∙ 2 + 3 ∙ 0 ∙ 3 − 3 ∙ −1 ∙ 2
−2 ∙ 0 ∙ 0 − 1 ∙ 4 ∙ 3 = 10.
Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashda shuningdek ushbu
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23 =
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎22 𝑎23
𝑎21 𝑎23
= 𝑎11 𝑎
− 𝑎12 𝑎
+
𝑎
𝑎
32
33
31
33
𝑎21 𝑎22
+𝑎13 𝑎
31 𝑎32
munosabatdan foydalanish mumkin.
Yuqori tartibli determinantlarni hisoblash birmuncha murakkab bo‘ladi. Ularni
hisoblashda yuqorida keltirilgan xossalardan foydalaniladi.
Misol. Ushbu
3
1
0
1
determinantni hisoblang.
Bu
determinantni
foydalanamiz.
5
7
5
−1
hisoblashda
7
0
3
7
8
1
2
4
yuqorida
keltirilgan
5)
3
5 7 8
1
7 0 1 =
0
5 3 2
1 −1 7 4
7
0 1
5
7 8
=3∙ 5
3 2 −1∙ 5
3 2 +
−1 7 4
−1 7 4
5 7 8
5
7 8
+0 ∙ 7
0 1 −1 7 0 1 =
−1 7 4
5 3 2
= 3 7 ∙ 3 ∙ 4 + −1 ∙ 0 ∙ 2 + 5 ∙ 7 ∙ 1 −
−1 5 ∙ 3 ∙ 4 − 7 ∙ 2 ∙ −1 + 5 ∙ 7 ∙ 8 +
+0 5 ∙ 0 ∙ 4 + 7 ∙ 1 ∙ −1 + 7 ∙ 7 ∙ 8 +
+ 5 ∙ 0 ∙ 2 + 7 ∙ 1 ∙ 5 + 7 ∙ 3 ∙ 8 = 3 ∙ 119 − 326 − 203 =
=357 − 529 = 172.
xossadan
𝐴 matrisa
𝑎𝑖𝑗 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝑗 = 1,2 … , 𝑛
elementining algebraik to‘ldiruvchisini (u ham determinant elementining algebraik
to‘ldiruvchisi kabi ta’riflanadi)
𝐴𝑖𝑗
𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
deb belgilaymiz. Bu 𝐴𝑖𝑗 lardan tuzilgan matrisani 𝐴∗ orqali belgilaymiz:
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2
∗
𝐴 =
.
. . . . . . . . . . .
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
Berilgan 𝐴 matrisa bilan birga ushbu
1 0. . . 0
0 1. . . 0
𝐸=
. . . . . . . .
0 0. . . 1
birlik matrisani qaraymiz.
Agar
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛
𝐴= . . . . . . . . . . . , 𝐵=
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛
𝑏11 𝑏12 . . . 𝑏1𝑛
𝑏21 𝑏22 . . . 𝑏2𝑛
,
...........
𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 . . . 𝑏𝑛𝑛
matrisalar uchun
𝐴∙𝐵 =𝐵∙𝐴 =𝐸
bo‘lsa, 𝐵 matrisa 𝐴 matrisaga teskari matrisa deyiladi va u 𝐴−1 kabi belgilanadi.
Masalan, ushbu
1
𝐴= 2
−2
−2
0
1
1
1
1
matrisaga teskari matrisa
1
−1
𝐴
1
3
=
0
2
3
1
1
2
3
1
4
3
bo‘ladi, chunki
𝐴 ∙ 𝐴−1
1
=
2
−2
−2
0
1
1
= 0
0
1
1 ∙
1
0
1
0
0
0 .
1
1
3
0
2
3
1
1
1
2
3
1
4
3
=
Teskari matrisa quyidagi xossalarga ega:
1) det 𝐴−1 =
1
𝑑𝑒𝑡𝐴
.
2) (𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ∙ 𝐴−1 ,
3) (𝐴−1 )𝑇 = (𝐴𝑇 )−1
Misol. Agar
2
−1
𝐴=
3
1
bo‘lsa, uning teskarisi 𝐴−1 topilsin.
Bu misolni quyidagicha yechamiz:
1) 𝐴 matrisaning determinantini topamiz:
𝑑𝑒𝑡𝐴 =
2
−1
2) 𝐴∗ matrisani topamiz:
𝐴11 = 1, 𝐴21 = −3,
Demak,
3
= 2 + 3 = 5 ≠ 0.
1
𝐴12 = − −1 = 1, 𝐴22 = 2.
1 −3
.
1
2
3) 𝐴 matrisaning teskari matrisasi 𝐴−1 ni topamiz:
𝐴∗ =
1
𝐴−1 =
1
5
1
1
−3
=
2
5
1
5
−
3
5
2
5
.
E’TIBORLARINGIZ UCHUN RAHMAT!!!