1.1 Transformada de Laplace
TRANSFORMADAS
∞
1
jωt
f(t) =
F (jω) e dω
2πj ∫
−∞
TRANSFORMADAS
∞
1
jωt
f(t) =
F (s) e ds
2πj ∫
−∞
TRANSFORMADAS
P(s) = 3 + 2s
P( jω) = 3 + 2jω
| P( jω) | = | 3 + 2jω |
| P( jω) | =
2
2
3 + (2ω)
Por ej . : si ω = 0 → | P( jω) | = 3Watts
TRANSFORMADAS
TRANSFORMADAS
t
f(t) =
sen(t)
Discontinua en t = 0, π, 2π, . . . nπ, . . .
Estas dos funciones no cumplen la primera condición de Dirichlet,
por lo tanto no tienen Transformada de Laplace
TRANSFORMADAS
f(t) = e
−2t
Caida exponencial
f(t) = t
Crecimiento lineal
Cumplen la segunda
condición de Dirichlet
f(t) = te
−2t
Caida exponencial
t
−2t
lim te = lim 2t → 0
t→∞
t→∞ e
TRANSFORMADAS
f(t) = Me
f(t) = Me
−at
f(t) = e
Caida exponencial
Crecimiento
exponencial
No cumplen la segunda
condición de Dirichlet
t
−at t
e
2
2
Crecimiento exponencial
t
2
Me
−at t
lim Me e = lim at → ∞
t→∞
t→∞ e
2
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Se conoce como la transformada
bilateral
∞
F(s) =
∫
f (t) e
−st
dt
Transformada unilateral
0
Las señales a tratar en el mundo físico tendrán
representación a partir de t=0 en adelante.
Para t<0 estas serán cero
f(t) = f(t)u(t)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
∞
Señales básicas
{
δ(t) =
F(s) =
f(t) = δ(t)
Impulso Unitario
0 t≠0
1 t=0
1
F(s) =
∫
δ (t) e
−st
dt
0
+
0
∫
dt
0
∞
t
F(s) =
∫
f (t) e
−st
1e
−st
dt
=e
−st
−
0
F(s) = ℒ{δ(t)} = 1
t=0
=1
δ(t) ⟷ 1
Par
transformado
TRANSFORMADA DE LAPLACE
∞
Señales básicas
F(s) =
f(t) = u(t)
Escalón Unitario
t
F(s) =
∫
0
1e
−st
dt
1 −st
=
e
−s
1
F(s) = ℒ{u(t)} =
s
dt
0
∞
1
∞
∫
f (t) e
−st
∞
0
F(s) =
∫
0
u (t) e
−st
dt
−1 −s*∞
1
−s*0
=
e
−
e
=
[
]
s
s
1
Par
u(t) ⟷
transformado
s
TRANSFORMADA DE LAPLACE
∞
1
1
−1
−st
−st
−s*∞
−s*0
F(s) = 1e dt =
e
=
=
e
−
e
∫
[ −s
]
[
]
s
s
0
∞
0
∞
F(s) =
∫
0
e
−at
dt
1 −at
1
−1
−a*∞
−a*0
=
e
=
=
e
−
e
[ −a
]
[
]
a
a
0
∞
∞
1
−at
e dt =
∫
a
0
Para tener en
cuenta
TRANSFORMADA DE LAPLACE
∞
Señales básicas
f(t) = e
Exponencial Real
f(t) = e
αt
α∈ℛ
∫
0
e
F(s) =
−(s−α)t
dt
dt
∫
αt −st
e e
dt
0
1
=
s−α
1
αt
F(s) = ℒ{e } =
s−α
∫
f (t) e
0
∞
F(s) =
∞
F(s) =
αt
−st
1
αt
e ⟷
s−α
Par
transformado
TRANSFORMADA DE LAPLACE
∞
Señales básicas
F(s) =
Exponencial Real
f(t) = e
α∈ℛ
10t
∫
f (t) e
−st
dt
0
∞
f(t) = e
∞
1
−(s−10)t
F(s) = e
dt =
∫
s − 10
0
Para s>10 existe convergencia
10t
F(s) =
∫
0
10t −st
e e
dt
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Señales básicas
Exponencial Complejo
f(t) = e
jβt
F(s) =
β∈ℛ
∫
0
e
∫
f (t) e
−st
dt
F(s) =
0
∞
F(s) =
∞
∞
−(s−jβ)t
dt
∫
jβt −st
e e
dt
0
1
=
s − jβ
1
jβt
F(s) = ℒ{e } =
s − jβ
1
jβt
e ⟷
s − jβ
Par
transformado
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Señales básicas
1
jβt
e ⟷
s − jβ
Sinusoidal
f(t) = sen(ωt)
f(t) = sen(ωt) =
β, ω ∈ ℛ
∞
∞
F(s) =
∫
0
f (t) e
∞
−st
dt =
1
−jβt
e
⟷
s + jβ
∫(
0
e
jωt
∞
−e
2j
−jωt
∞
e
jωt
−e
2j
−jωt
∞
e
e
−st
−st
−st
e dt =
e dt −
e dt
)
∫ 2j
∫ 2j
0
jωt
0
1
1
1
1
jωt −st
−jωt −st
−
=
e e dt − e e dt =
) 2j ( s − jω s + jω )
∫
2j ( ∫
0
0
−jωt
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Señales básicas
Sinusoidal
∞
1
jβt
e ⟷
s − jβ
∞
1
−jβt
e
⟷
s + jβ
1
1
1
1
jωt −st
−jωt −st
F(s) =
e e dt − e e dt =
−
) 2j ( s − jω s + jω )
∫
2j ( ∫
0
0
1 (s + jω) − (s − jω)
F(s) =
2j ( (s − jω)(s + jω) )
Recordando que:
ω
F(s) = 2
2
s +ω
1
2jω
F(s) =
2j ( (s − jω)(s + jω) )
2
(α + jβ)(α − jβ) = α + β
2
ω
F(s) = ℒ{sin(ωt)} = 2
2
s +ω
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Identidades
e
Pares de transformadas
jωt
−jωt
−e
sen(ωt) =
2j
jωt
−jωt
e +e
cos(ωt) =
2
2
(α + jβ)(α − jβ) = α + β
∞
1
−at
e dt =
∫
a
0
α, β, ω ∈ ℛ
2
δ(t) ⟷ 1
1
u(t) ⟷
s
1
αt
e ⟷
s−α
1
jβt
e ⟷
s − jβ
ω
sin(ωt) ⟷ 2
2
s +ω