X
Kela
s
K-13
matematika PEMINATAN
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami deinisi persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
2.
Dapat menyelesaikan berbagai bentuk persamaan logaritma.
3.
Dapat menyelesaikan berbagai bentuk pertidaksamaan logaritma.
A. Persamaan Logaritma
Jika sebelumnya kamu telah mengenal persamaan linear dan persamaan kuadrat,
sekarang kamu akan mengenal persamaan logaritma. Apa itu persamaan logaritma?
Bagaimana cara menyelesaikannya? Untuk memahaminya, mari simak penjelasan
berikut ini dengan saksama.
1.
Deinisi Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat bentuk logaritma. Pada
persamaan logaritma, terdapat variabel pada numerus atau pada bilangan pokok.
2.
Bentuk Persamaan Logaritma
Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, di antaranya sebagai berikut.
a.
Bentuk Persamaan alog f(x) = alog p
Pada persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, dan p > 0, berlaku sifat berikut.
log f(x) = alog p ⇒ f(x) = p
a
Contoh Soal 1
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 5log (x +13) = 5log 6!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat alog f(x) = alog p ⇒ f(x) = p, diperoleh:
5
log (x +13) = 5log 6 ⇔ x + 13 = 6
⇔ x = 6 – 13
⇔ x = –7
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 5log (x +13) = 5log 6 adalah –7.
b.
Bentuk Persamaan alog f(x) = alog g(x)
Persamaan ini hampir serupa dengan persamaan sebelumnya. Perbedaannya adalah
konstanta p sebagai numerus pada persamaan sebelumnya diganti dengan fungsi
g(x). Dengan demikian, pada persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, dan a ≠ 1,
f(x) > 0, dan g(x) > 0, berlaku sifat berikut.
log f(x) = alog g(x) ⇒ f(x) = g(x)
a
Contoh Soal 2
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log (x2 – x – 10) = log 2x!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat alog f(x) = alog g(x) ⇒ f(x) = g(x), diperoleh:
log (x2 – x – 10) = log 2x ⇔ x2 – x – 10 = 2x
⇔ x 2 − x − 2 x − 10 = 0
⇔ x 2 − 3 x − 10 = 0
⇔ ( x + 2 )( x − 5 ) = 0
x + 2 = 0 atau x – 5 = 0
x = –2 atau x = 5
2
Jika x = –2, numerus bernilai negatif. Ini berarti, x = –2 tidak memenuhi.
Jika x = 5, numerus bernilai positif. Ini berarti, x = 5 memenuhi.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan log (x2 – x – 10) = log 2x adalah 5.
c.
Bentuk Persamaan alog f(x) = blog f(x)
Jika pada persamaan sebelumnya terdapat numerus yang berbeda, pada persamaan
ini terdapat bilangan pokok yang berbeda. Pada persamaan alog f(x) = blog f(x)
dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, a ≠ b, dan f(x) > 0, berlaku sifat berikut.
a
log f(x) = blog f(x) ⇔ f(x) = 1
Contoh Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2log (66 – 5x) = 3log (66 – 5x)!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat alog f(x) = blog f(x) ⇔ f(x) = 1, diperoleh:
log (66 – 5x) = 3log (66 – 5x) ⇔ 66 – 5x = 1
2
⇔ −5 x = 1 − 66
⇔ −5 x = −65
−65
⇔x=
= 13
−5
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2log (66 – 5x) = 3log (66 – 5x) adalah {13}.
d.
Bentuk Persamaan f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
Sekarang kamu akan mengenal persamaan logaritma dengan bilangan pokok dan
numerus berupa fungsi yang mengandung variabel. Pada persamaan f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
dengan f(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x) > 0, berlaku sifat berikut.
log g(x) = f(x)log h(x) ⇔ g(x) = h(x)
f(x)
3
Contoh Soal 4
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2x + 1log (x2 – 10) = 2x + 1log (5 – 2x)!
Pembahasan:
Berdasarkan sifat f(x)log g(x) = f(x)log h(x) ⇔ g(x) = h(x), diperoleh:
2x + 1
log (x2 – 10) = 2x + 1log (5 – 2x) ⇔ x2 – 10 = 5 – 2x
⇔ x 2 + 2 x − 10 − 5 = 0
⇔ x 2 + 2 x − 15 = 0
⇔ ( x + 5 )( x − 3 ) = 0
x + 5 = 0 atau x – 3 = 0
x = –5 atau x = 3
Substitusi nilai x pada bilangan pokok dan numerus. Bilangan pokok dan numerus
harus bernilai positif dengan bilangan pokok tidak sama dengan 1.
Nilai x
Numerus
Bilangan Pokok
Keterangan
–1
7
Tidak memenuhi
15
–9
Tidak memenuhi
x2 – 10
5 – 2x
3
–1
–5
15
Jadi, tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut.
e.
Bentuk Persamaan f(x)log h(x) = g(x)log h(x)
Jika pada persamaan sebelumnya terdapat numerus yang berbeda, pada persamaan
ini terdapat bilangan pokok yang berbeda. Pada persamaan f(x)log h(x) = g(x)log h(x)
dengan h(x) > 0, f(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) ≠ 1, dan g(x) > 0, berlaku sifat berikut.
f(x)
logh( x ) = g( x )logh( x )
1. f ( x ) = g( x )
2. h( x ) = 1
Contoh Soal 5
Tentukan nilai x agar persamaan
x +1
log ( x 2 + 1) =
4
x 2 -5
log( x 2 + 1) bernilai benar!
Pembahasan:
Solusi pertama:
x +1
log ( x 2 + 1) =
x 2 -5
log( x 2 + 1) ⇔ x + 1 = x2 – 5
⇔ x +1= x 2 − 5
⇔ 0 = x2 − x − 5 − 1
⇔ 0 = x2 − x − 6
⇔ 0 = ( x + 2 )( x − 3 )
0 = x + 2 atau 0 = x – 3
x = –2 atau x = 3
Periksa syarat untuk x = –2 dan x = 3.
Untuk x = –2:
x2 + 1 = (–2)2 + 1 = 4 + 1 = 5 > 0
(memenuhi)
x + 1 = (-2) + 1 = –1 < 0
(tidak memenuhi)
x2 – 5 = (–2)2 – 5 = 4 – 5 = –1 < 0
(tidak memenuhi)
Untuk x = 3:
x2 + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10 > 0
(memenuhi)
x+1=3+1=4>0
(memenuhi)
x2 – 5 = 32 – 5 = 9 – 5 = 4 > 0
(memenuhi)
Ini berarti, nilai x = 3 merupakan solusi.
Solusi kedua:
x +1
log ( x 2 + 1) =
x 2 -5
log( x 2 + 1) ⇔ x2 + 1 = 1
⇔ x2 = 0
⇔x=0
Periksa syarat untuk x = 0.
x2 + 1 = 02 + 1 = 0 + 1 = 1 > 0
(memenuhi)
x+1=0+1=1>0
(memenuhi)
x2 – 5 = 02 – 5 = 0 – 5 = –5 < 0
(tidak memenuhi)
Ini berarti, nilai x = 0 bukan solusi.
Jadi, nilai x agar persamaan
x +1
log ( x 2 + 1) =
5
x 2 -5
log( x 2 + 1) bernilai benar adalah 3.
f.
Bentuk Persamaan A(alog f(x))2 + Balog f(x) + C = 0
Persamaan ini sebenarnya adalah bentuk persamaan kuadrat dengan logaritma
sebagai variabelnya. Agar dapat menyelesaikan persamaan ini, kamu harus
memisalkan y = alog f(x) sehingga didapat persamaan Ay2 + By + C = 0. Setelah
diperoleh nilai y, substitusikan kembali pada pemisalan y = alog f(x) sehingga
diperoleh nilai x.
Contoh Soal 6
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan 2log2 x – 2log x3 + 2 = 0!
Pembahasan:
2
log2 x – 2log x3 + 2 = 0 ⇔ (2log x)2 – 3. 2log x + 2 = 0
(
logx ) − 3.2 logx + 2 = 0 ⇔ y 2 − 3 y + 2 = 0
Misalkan y = 2log x, maka:
2
2
⇔ ( y − 2 ) ( y − 1) = 0
⇔ y = 2 atau y =1
Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan nilai y yang diperoleh pada pemisalan.
y = 2 ⇔ 2log x = 2 ⇔ x = 22 ⇔ x = 4
y = 1 ⇔ 2log x = 1 ⇔ x = 21 ⇔ x = 2
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {2, 4}.
B. Pertidaksamaan Logaritma
Setelah kamu memahami persamaan logaritma, sekarang kamu akan belajar tentang
pertidaksamaan logaritma. Apa itu pertidaksamaan logaritma? Bagaimana cara
menyelesaikannya? Untuk memahaminya, mari simak penjelasan berikut ini dengan
saksama.
1.
Deinisi Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki tanda penghubung berupa tanda
ketidaksamaan, yaitu tanda >, <, ≥, atau ≤. Dengan demikian, yang dimaksud dengan
pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma.
Seperti pada persamaan logaritma, variabel pada pertidaksamaan logaritma terdapat
pada numerus atau pada bilangan pokok.
6
2.
Bentuk Pertidaksamaan Logaritma
a.
Untuk Bilangan Pokok a > 1
log f(x) > alog g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≥ alog g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) < alog g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≤ alog g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
b.
Untuk Bilangan Pokok 0 < a < 1
log f(x) > alog g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≥ alog g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) < alog g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
log f(x) ≤ alog g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0
a
Super "Solusi Quipper"
Kamu tidak harus menghafal semua bentuk pertidaksamaan logaritma. Akan tetapi,
cukup perhatikan perubahan tanda ketidaksamaannya.
•
•
•
Jika bilangan pokok a > 1, kamu cukup mengambil numerus pada masing-masing
bentuk logaritma dan gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang sama.
Jika bilangan pokok memiliki nilai 0 < a < 1, kamu cukup mengambil numerus pada
masing-masing bentuk logaritma dan gunakan tanda penghubung ketidaksamaan
yang berlawanan. Misalkan tanda > menjadi < dan ≥ menjadi ≤.
Jangan lupa bahwa setiap numerus harus bernilai positif (> 0).
Contoh Soal 7
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 3log (x2 + x) ≤ 3log (21 – 3x)!
Pembahasan:
Bilangan pokok pada pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 3 > 1. Dengan
demikian, untuk menentukan penyelesaiannya, cukup ambil numerus pada masingmasing bentuk logaritma yaitu (x2 + x) dan (21 – 3x), serta gunakan tanda penghubung
yang sama, yaitu ≤. Jangan lupa, perhatikan syarat numerusnya.
7
Syarat numerus:
x2 + x > 0
⇔ x(x + 1) > 0
⇔ x = 0 atau x = –1 (titik pembuat nol)
+
–
–1
+
0
Dengan demikian, x < –1 atau x > 0.
21 – 3x > 0
⇔ −3 x > −21
−21
⇔x<
−3
⇔ x <7
-
+
7
Solusi:
3
log (x2 + x) ≤ 3log (21 – 3x) ⇔ x2 + x ≤ 21 – 3
⇔ x2 + x + 3x – 21 ≤ 0
⇔ x2 + 4x – 21 ≤ 0
⇔ (x – 3) (x + 7) ≤ 0
⇔ x = 3 atau x = –7 (titik pembuat nol)
+
–
–7
+
3
Dengan demikian, –7 ≤ x ≤ 3.
Selanjutnya, tentukan irisan dari ketiga daerah hasil tersebut.
8
–1
0
7
–7
3
–7
–1
0
3
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah –7 ≤ x < –1 atau 0 < x ≤ 3.
Contoh Soal 8
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 3log x + 3log (x + 1) ≤ 1 + 3log (7 – x)!
Pembahasan:
Ubah dahulu bentuk pertidaksamaan pada soal ke dalam bentuk umum
pertidaksamaan logaritma. Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh:
3
log x + 3log (x + 1) ≤ 1 + 3log (7 – x)
⇔ 3log x (x + 1) ≤ 3log 3(7 – x)
⇔ 3log (x2 + x) ≤ 3log (21 – 3x)
Solusi:
x2 + x ≤ 21 – 3x
⇔ x2 + 4x – 21 ≤ 0
⇔ (x + 7) (x – 3) ≤ 0
⇔ –7 ≤ x ≤ 3
9
Syarat numerus:
•
x>0
•
x + 1 > 0 → x > –1
•
7–x>0→x<7
Jadi, penyelesaiannya adalah 0 < x ≤ 3.
c.
Bentuk A(alog f(x))2 + Ba log f(x) + C ≤ 0
Langkah penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini hampir sama dengan bentuk
persamaan logaritma yang telah kamu pelajari sebelumnya. Untuk memahaminya,
perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 9
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut.
1
2
1
log2 ( x +1) − 2 log ( x +1) − 6 ≥ 0
Pembahasan:
Syarat numerus:
x + 1 > 0 → x > –1 ... HP1
1
Misal 2 log ( x +1) = y , maka :
y2 – y – 6 ≥ 0
⇔ (y – 3) (y + 2) ≥ 0
⇔ y = 3 atau y = –2 (titik pembuat nol)
+
–
+
y
–2
3
Dengan demikian, diperoleh:
y ≤ –2 atau y ≥ 3
10
Selanjutnya, gunakan permisalan sebelumnya untuk menentukan nilai x.
Untuk y ≤ –2:
1
2
Untuk y ≥ 3:
1
2
log ( x +1) ≤ −2
 1
⇔ log ( x +1) ≤ log  
2
⇔ x +1 ≥ 4
⇔ x ≥ 3... HP2
1
2
1
2
−2
log ( x +1) ≥ 3
 1
⇔ log ( x +1) ≥ log  
2
1
⇔ x +1 ≤
8
7
⇔ x ≤ − ... HP3
8
1
2
1
2
3
Jika digambarkan garis bilangan, diperoleh:
x
–1 −7
8
3
7


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  x | x ∈ R , −1< x ≤ − ∪ x ≥ 3 .
8


11