BULOVE ALGEBRE
Ukoliko uporedimo osnovne osobine skupova i iskazne logike možemo da
uočimo veliki broj sličnih svojstava. Ta svojstva generalizujemo u opštoj
teoriji poznatoj kao Bulova algebra.
Bulova algebra je dobila ime po Dzordzu Bulu, koji je poznat kao jedan od
pionira u logici.
Definicija 1: Operator na skupu je binaran ukoliko kombinuje to jest deluje
na dva elementa skupa i kao rezultat daje neki treći element skupa.
Definicija 2: Operator na skupu je unaran ukoliko deluje na jedan element
skupa i kao rezultat daje neki drugi element skupa.
Definicija 3: Bulova algebra je skup B koji sadrži posebne elemente 1 i 0,
zajedno sa binarnim operatorima + i ∙ i unarnim operatorom ‘ na skupu B,
koji za svako x, y, z u skupu B zadovoljava sledeće aksiome:
1. Komutativni zakon
𝑥∙𝑦 =𝑦∙𝑥
𝑥+𝑦 =𝑦+𝑥
2. Asocijativni zakon
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 = (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧
𝑥+ 𝑦+𝑧 = 𝑥+𝑦 +𝑧
3. Distributivni zakon
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + (𝑥 ∙ 𝑧)
𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑧)
4. Svojstva identiteta
𝑥∙1=𝑥
𝑥+0=𝑥
5. Zakon komplementa
𝑥 + 𝑥, = 1
𝑥 ∙ 𝑥, = 0
Element 1 se naziva jedinicom, element 0 se naziva nulom, a 𝑥 , se naziva
komplementom elementa x. Binarna operacija ∙ se često izostavlja pa se
𝑥 ∙ 𝑦 piše 𝑥𝑦.
Korišćenjem prethodnih aksioma može se dokazati veliki broj teorema Bulove
algebre.
Teorema: Za sve elemente x i y Bulove algebre važi:
a) Zakon idempotencije
𝑥+𝑥 =𝑥
𝑥∙𝑥 =𝑥
b) Zakon nule
𝑥+1=1
𝑥∙0=0
c) Zakon apsorbcije
𝑥+ 𝑥∙𝑦 =𝑥
𝑥∙ 𝑥+𝑦 =𝑥
Dokaz:
a) 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 ∙ 1
svojstvo identiteta
= (𝑥 + 𝑥) ∙ (𝑥 + 𝑥 , )
zakon komplementa
= 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑥,
zakon distributivnosti
=𝑥+0
zakon komplementa
=𝑥
svojstvo identiteta
b) 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 ∙ 1
svojstvo identiteta
= (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 + 𝑥 , )
zakon komplementa
= 𝑥 + 1 ∙ 𝑥,
zakon distributivnosti
= 𝑥 + 𝑥, ∙ 1
zakon komutativnosti
= 𝑥 + 𝑥,
svojstvo identiteta
=1
zakon komplementa
C) 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 ∙ 1 + 𝑥 ∙ 𝑦
zakon komplementa
=𝑥∙ 1+𝑦
zakon distributivnosti
=𝑥∙ 𝑦+1
zakon komutativnosti
=𝑥∙1
zakon nule
=𝑥
zakon komplementa
Teorema: (Zakon jedinstvenosti komplementa)
Komplement elementa x Bulove algebre je jedinstveno definisan svojim
svojstvima; drugim rečima, ako je
𝑥 + 𝑥, = 1 ,
𝑥 ∙ 𝑥 , = 0,
𝑥 + 𝑥∗ = 0
𝑖
𝑥 ∙ 𝑥∗ = 0
onda sledi da je 𝑥 , = 𝑥 ∗ .
Teorema: Za sve elemente Bulove algebre x i y važi:
a) Zakon involutivnosti
𝑥′
′
=𝑥
b) Zakon komplementa za neutralne elemente
0′ = 1
1′ = 0
c) De Morganovi zakoni
𝑥 + 𝑦 ′ = 𝑥′ ∙ 𝑦′
𝑥 ∙ 𝑦 ′ = 𝑥′ + 𝑦′
Svaka od aksioma Bulove algebre sastoji se od para jednakosti koje su dualne u
tom smislu da, ako u jednoj jednakosti zamenimo simbol + sa ∙ , ∙ sa +, 0 sa 1,
1 sa 0, dobićemo onu drugu jednakost. Posledica toga je da su sve teoreme
dualne, odnosno ako u bilo kojoj od teorema Bulove algebre zamenimo + sa ∙,
∙ sa +, 0 sa 1, 1 sa 0, dobićemo neku od ostalih teorema.
Ovakav odnos se javlja pošto je svaki korak u dokazu dualne teoreme dualan
odgovarajućem koraku originalne teoreme.
Uzmimo za primer sledeće dokaze prvog De Morganovog zakona
𝑥 + 𝑦 ′ = 𝑥′ ∙ 𝑦′
i njegove dualne teoreme
𝑥 ∙ 𝑦 ′ = 𝑥′ + 𝑦′
Prvo dokazujemo da je 𝑥 + 𝑦 ′ = 𝑥 ′ ∙ 𝑦 ′
Pokazaćemo da je 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 ′ ∙ 𝑦 ′ = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑥′ ∙ 𝑦′ =
𝑥 + 𝑦 + 𝑥′ ∙
𝑥 + 𝑦 + 𝑦′
distributivi zakon
=
𝑦 + 𝑥 + 𝑥′ ∙
𝑥 + 𝑦 + 𝑦′
komutativni zakon
= 𝑦 + (𝑥 + 𝑥 ′ ) ∙ 𝑥 + (𝑦 + 𝑦 ′ )
asocijativni zakon
= 𝑦+1 ∙ 𝑥+1
zakon komplementa
=1∙1
zakon nule
=1
svojstva identiteta
Pokazaćemo da je
𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑥′ ∙ 𝑦′ = 0
komutativni zakon
𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑥′ ∙ 𝑦′ = 𝑥′ ∙ 𝑦′ ∙ 𝑥 + 𝑦
=
𝑥′ ∙ 𝑦′ ∙ 𝑥 +
= 𝑥 ∙ 𝑥′ ∙ 𝑦′
=
+
𝑥′ ∙ 𝑦′ ∙ 𝑦
distributivi zakon
𝑥′ ∙ 𝑦′ ∙ 𝑦
komutativni zakon
𝑥 ∙ 𝑥′ ∙ 𝑦′ + 𝑥′ ∙ 𝑦′ ∙ 𝑦
asocijativni zakon
= 0 ∙ 𝑦′ + 𝑥′ ∙ 0
zakon komplementa
= 𝑦′ ∙ 0 + 𝑥′ ∙ 0
komutativni zakon
=0+0
zakon nule
=0
svojstva identiteta
Pomoću jedinstvenosti zakona komplementa dokazali smo da je
(𝑥 + 𝑦)′ = 𝑥 ′ ∙ 𝑦 ′
Sada dokazujemo da je (𝑥 ∙ 𝑦)′ = 𝑥 ′ + 𝑦 ′
Pokazaćemo da je 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ (𝑥 ′ + 𝑦 ′ ) = 0
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥′ + 𝑦′ =
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥′ +
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦′
distributivi zakon
=
𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥′ +
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦′
komutativni zakon
= 𝑦 ∙ (𝑥 ∙ 𝑥 ′ ) + 𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑦 ′ )
asocijativni zakon
= 𝑦∙0 + 𝑥∙0
zakon komplementa
=0+0
zakon nule
=0
svojstva identiteta
Pokazaćemo da je 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ′ + 𝑦 ′ = 1
komutativni zakon
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥′ + 𝑦′ = 𝑥′ + 𝑦′ + 𝑥 ∙ 𝑦
=
𝑥′ + 𝑦′ + 𝑥 ∙
= 𝑥 + 𝑥′ + 𝑦′
=
∙
𝑥′ + 𝑦′ + 𝑦
distributivi zakon
𝑥′ + 𝑦′ + 𝑦
komutativni zakon
𝑥 + 𝑥′ + 𝑦′ ∙ 𝑥′ + 𝑦′ + 𝑦
asocijativni zakon
= 1 + 𝑦′ ∙ 𝑥′ + 1
zakon komplementa
= 𝑦′ + 1 ∙ 𝑥′ + 1
komutativni zakon
=1∙1
zakon nule
=1
svojstva identiteta
Pomoću jedinstvenosti zakona komplementa dokazali smo da je
(𝑥 ∙ 𝑦), = 𝑥 , + 𝑦 ,
Svaka linija drugog dokaza odgovara, dualna je odgovarajućoj liniji
prvog dokaza.
Teorema: U Bulovoj algebri 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 ako i samo ako je 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥
Dokaz:
Pretpostavimo da je 𝑥 + 𝑦 = 𝑦
𝑥 = 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑥 prema zakonu apsorpcije
Na osnovu toga sledi da je 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑥 = 𝑥
Obrtna teorema je dualna prvom delu dokaza.