UNIDAD Nº12 – MOVIMIENTO
GRADUALMENTE VARIADO CURVAS DE REMANSO
MATERIA:
HIDRÁULICA GENERAL Y APLICADA
3º AÑO – INGENIERIA CIVIL
FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
Ing. Mauro Campos – Titular
Ing. David Hardoy – JTP
Ing. Federico Opichanyj – Ayudante
2023
.
HIDRÁULICA GENERAL Y APLICADA - 3º AÑO - INGENIERIA CIVIL
Apuntes de la Cátedra
INDICE
1.
CURVAS DE REMANSO ................................................................................................... 3
1.1. Deducción de la ecuación diferencial de las curvas de remanso en sus canales
prismáticos. ...............................................................................................................................4
2.
CONDICIONES EN LOS LIMITES. ................................................................................... 8
3.
ENERGÍA PROPIA. ........................................................................................................... 9
4.
METODO GRAFICO DE CALCULO DE CURVAS DE REMANSO................................. 10
5.
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS. .......................................................................... 11
Hidráulica General y Aplicada
UNIDAD Nº 12 – MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO - CURVAS DE REMANSO
Fecha: 20-08-2023
Pág. 2de13
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Apuntes de la Cátedra
UNIDAD Nº12 – MOVIMEINTO GRADUALMENTE VARIADO CURVAS DE REMANSO
1. CURVAS DE REMANSO
Se llama Curva de Remanso al perfil de la superficie libre cuando el escurrimiento es
gradualmente variado.
Los efectos de su tratamiento simplificado se denominan con las letras D, F o C según
se produzcan en canales de débil pendiente (i á ic ) , fuerte pendiente (i ñ ic ) o pendiente crítica
(i = ic) . Este último caso no tiene mayor interés práctico.
Además, se diferencian, con los subíndices 1, 2 y 3 según sea la zona en que se produce
la curva, siguiendo la norma que a continuación se detalla;
1.- Zona superior al tirante uniforme hu y al crítico hc.
1.- Zona ubicada entre ambos tirantes.
3.- Zona inferior a los dos tirantes hu y hc.
Se define como hu al tirante que tendría el escurrimiento si fuera uniforme, y sería para débil
pendiente (i á ic ) y hu á hc para fuerte pendiente (i ñ ic ) .
Es decir
débil pendiente
1
fuerte pendiente
Curva D1
hu
1
Curva F1
2
Curva F2
3
Curva F3
hhc
u
u
2
Curva D2
hc
i á ic
hc
hu
3
Curva D3
i ñ ic
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Pág. 3de13
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Si la corriente se acelera se provoca una disminución del nivel líquido (curva de depresión) y si
la corriente es retardada se provoca una curva de sobreelevación.
1.1. Deducción de la ecuación diferencial de las curvas de remanso en sus canales
prismáticos.
!!
"!"
2$
-. /
11
#!
=h1
$
%!
∆'∗!&"=j*dl
"∗
"
∆'!&" =j dl
"""
2$
12
$%
∆%
!"
#"
=h2
$
!
2
1
PC
𝑖=
z! − z"
∆𝑙
z! + ℎ! +
𝑗∗ =
%"
J!$"
∆𝑙
𝑈!"
𝑈""
= z" + ℎ" +
+ 𝐽!$"
2𝑔
2𝑔
𝑈!"
𝑈""
𝑖∆𝑙 + ℎ! +
= ℎ" +
+ j∗ ∆𝑙
2𝑔
2𝑔
𝑖∆𝑙 + 𝐻! = 𝐻" + j∗ ∆𝑙
𝐻" − 𝐻! = (𝑖 − j∗ )∆𝑙
∆𝐻
= 𝑖 − j∗
∆𝑙
Para que J* tenga sentido ∆𝐻 ⟶ 0 y luego.
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𝑑𝐻
= 𝑖 − j∗
𝑑𝑙
Para movimiento uniforme:
𝑄 = Ω% 𝐶& 𝑅'
de donde
𝑖=
para cualquier movimiento j* =
Q
2
2
2
W C R
𝑄"
Ω% " 𝐶& " 𝑅&
y aceptamos ese j* lineal en DL ® 0
𝑗∗ =
𝑄"
Ω" 𝐶 " 𝑅
Luego
𝑑𝐻
𝑄"
𝑄"
=
−
𝑑𝑙
Ω% " 𝐶& " 𝑅& Ω" 𝐶 " 𝑅
𝑑𝐻
1
1
= 𝑄" ; " "
− " " =
𝑑𝑙
Ω% 𝐶& 𝑅& Ω 𝐶 𝑅
(𝐼)
Siendo
𝐻=ℎ+
𝑄"
2𝑔Ω"
𝑑𝐻 𝑑ℎ 𝑄"
𝑑Ω
𝑑ℎ
𝑄" 𝑑Ω 𝑑h
$(
=
+
?−2Ω
@=
−
𝑑𝑙
𝑑𝑙 2𝑔
𝑑𝑙
𝑑𝑙 𝑔Ω( 𝑑ℎ 𝑑𝑙
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dL
dW
=B
dh
dW
B
𝑑𝐻 𝑑ℎ 𝑄" 𝐵 𝑑h
=
−
𝑑𝑙
𝑑𝑙 𝑔Ω( 𝑑𝑙
𝑑𝐻 𝑑ℎ
𝑄" 𝐵
=
;1 −
=
𝑑𝑙
𝑑𝑙
𝑔Ω(
pero recordando la condición de escurrimiento crítico:
Ω() 𝑄"
=
𝐵)
𝑔
𝑑𝐻 𝑑ℎ
Ω() 𝐵
=
;1 − ( =
𝑑𝑙
𝑑𝑙
Ω 𝐵)
y considerando:
Ω)
= ℎ*)
𝐵)
𝑦.
𝑣
= ℎ*
𝐵
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
𝑑𝐻 𝑑ℎ
Ω") ℎ*)
=
;1 − "
=
𝑑𝑙
𝑑𝑙
Ω ℎ*
(1)
Pero
𝑑𝐻
j∗
= 𝑖 − j∗ = 𝑖 ?1 − @
𝑑𝑙
𝑖
𝑄"
𝑑𝐻
"
"𝑅
Ω% " 𝐶& " 𝑅&
Ω
𝐶
⎛
⎞
=𝑖 1−
= 𝑖 ;1 −
=
𝑄"
𝑑𝑙
Ω" 𝐶 " 𝑅
Ω% " 𝐶& " 𝑅& ⎠
⎝
(2)
igualando (1) y (2)
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Ω% " 𝐶& " 𝑅&
=
Ω" 𝐶 " 𝑅
𝑑ℎ
=𝑖
Ω" ℎ
𝑑𝑙
?1 − )" ℎ*) @
Ω *
;
(𝐼𝐼
Para que las curvas sean de sobreelevación
d lu
ñ0
dL
y eso será posible cuando el numerador y el denominador de la expresión (II) sean del mismo
signo, o sea
h ñ hu
2 2
W2 C2 R ñ Wu
Cu Ru numerador positivo
h ñ hc
W2 hm ñ W2
c hmc
h á hu
2 2
W2 C2 R á Wu
Cu Ru numerador negativo
h á hc
W2 hm á W2
c hmc
denominador positivo
o bien
denominador negativo
Observando las figuras donde se marcan las zonas para pendientes débiles y fuertes,
resultan curvas de sobreelevación. D1, F1, D3 y F3.
De igual manera, para que las curvas sean de depresión
dh
á0
dl
y así resulta
h ñ huüï
ý
h ñ hc ïþ
curva
F2
curva
D2
y
h á huüï
ý
h ñ hc ïþ
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2. CONDICIONES EN LOS LIMITES.
ìW ® Wu ü
ï
ï dh
ï
ï
Si h ® hu íR ® Ru ý
=0
ï
ï dL
ïîC ® Cu ïþ
conserva la pendiente
ìW ® ¥ ü
ïï
ïï dh
Si h ® ¥ íR ® ¥ ý
®i
ï
ï dL
ïîC ® ¥ ïþ
tiende a la horizontal
ìW ® W c ü
ïï
ïï dh
Si h ® hc í
®¥
ý
dL
ï
ï
ïîhm ® hmc ïþ
tiende a la perpendicular.
Si h ® hu en el límite
dh
® ¥ tiende a la horizontal.
dL
Luego:
i
D1
horizontal
90

90
i

F2
D2
hu
hc
horizontal
90
horizontal
F1
i

190
D3

horizontal
F3
i
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3. ENERGÍA PROPIA.
h
h
hc
hc
H
H
+ DH - DH
DH + DH
Sobreelevación
Descenso.
Las curvas de sobreelevación que tienen Las curvas de depresión que tienen h ñ hc
h ñ hc (D1 y F1) ganan energía propia.
(D2) pierden energía propia.
Las curvas de sobreelevación que tienen La curva de depresión que tiene h á hc (F2)
h á hc (D3 y F3) pierden energía propia. gana energía propia.
CURVA
PENDIENT
E
ZONA
REGIMEN
SUPERFICI
E LIBRE
ENERGÍA
PROPIA
D1
i á ic
h ñ hu ñ hc
lento
dh/dl ñ 0
dH/dl ñ 0
D2
i á ic
hc ñ h ñ hu
lento
dh/dl á 0
dH/dl á 0
D3
i á ic
h á hc á hu
veloz
dh/dl ñ 0
dH/dl á 0
F1
i ñ ic
h ñ hc ñ hu
lento
dh/dl ñ 0
dH/dl ñ 0
F2
i ñ ic
hu á h á hc
veloz
dh/dl á 0
dH/dl ñ 0
F3
i ñ ic
h á hu á hc
veloz
dh/dl ñ 0
dH/dl á 0
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4. METODO GRAFICO DE CALCULO DE CURVAS DE REMANSO.
dh
=r
dL
1-
2 2
Wu
Cu Ru
W2 C2 R
1-
2
2
Wu Cu Ru =
Q2 B
g W3
Q2
i
2
W3
c =Q
Bc
g
dh
=i
dL
dL =
1
i
1-
Q2
W2 C2 R
1-
Q2 B
g W3
1-
1-
Q2 B
g W1
dh = F(h) d h
Q2
W2 C2 Ri
Para cada valor de h habrá un valor de F (h) pues Q e i son constantes.
Se puede integrar para cada D L
h2
DL=
ò f (h)dh
h1
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(h)
I
Se obtiene I y de esa forma D L
h1
h2
h
5. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS.
U12
U12
iDL + h1 +
= h2 +
+ j* D L
2g
2g
donde
*
j
=
Q2
W 2C
pero al no conocer h no se conocen W , C ni R.
Se aproxima entonces:
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2
2
U1 ö÷ 1
1 æç U2
j =
+
=
÷ 2
2
2 ç C2 R
C
R
1 1ø
è 2 2
*
æç j* + j* ö÷
è 2 1ø
entre una sección conocida (la uniforme por ejemplo o un límite más normalmente) y la
desconocida suficientemente próxima.
Q2
j =
2
*
æ
ö
1
1
ç
÷
+
ç 2
2
2
2÷
è W2 R 2 C2 W1 R 2 C1 ø
2
2
U1
U2 Q2
i D L + h1 +
= h2 +
+
2g
2g
2
æ
ö
1
1
ç
÷DL
+
ç 2
2
2
2÷
è W2 R 2 C2 W1 R 2 C1 ø
2
æ
ö
æ
ö
Q2
1
Q2
1
÷=h + Q
ç
÷
D Lç
D
L
2
ç 2
ç 2
2
2÷
2
2÷
2
2
2g W1
R 2 C1 ø
2g W2
W2 R 2 C2 ø
èW
è



1

 




i D L + h1 +
Q2
-
F1(h1)
F2 (h2 )
Luego:
i D L + F1(h1) = F2 (h2 )
Ejemplo. (1º caso)
Se conoce h2 = 2,5 m y se fija una D L = 300 mt. para obtener la siguiente altura.
Se calcula F2 (h2) y se tiene F2 (h1) – i D L
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Se supone h = 2,40 m y se compara F1 (h1) = F2 (h2) – i D L
Corrigiéndose hasta lograr un valor compatible.
Ejemplo (2º caso)
Se conoce h2 = 2.50 m y se fija un Dh = 0.10 m
Se calcula directamente
F (h ) - F1(h1)
DL = 2 2
i
Si D L es demasiado grande se reduce al Dh .
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