Bài tập Giải tích số cho Khoa Toán-Tin
BÀI TẬP CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT NỘI SUY
Bài tập 0.0.1. Cho hàm số y = f (x) xác định bởi bảng
a)
x
0
1
3
4
y
-1
0
2
1
b)
x
-1
0
1
3
4
y
1
2
1
-2
0
Viết đa thức nội suy Lagrange của hàm số y = f (x) ứng với các mốc nội suy trên. Từ đó tính gần đúng
f (5).
Bài tập 0.0.2. Hãy biểu diễn phân thức sau thành tổng phân thức tối giản.
2x2 − x + 1
3x + 1
a)
;
b)
;
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(x + 1)(x − 1)(x − 3)
x3 + 3x2 − 3x + 2
x2 + 3x + 2
c) 3
;
d)
;
x − 2x2 − x + 2
(x − 2)2 (x − 1)
x3 + 3x2 + 2
x3 + x2 + 1
;
f)
;
e)
x4 − 1
(x − 1)(x − 2)(x2 + 1)
2x3 − 3x2 + 5x + 4
x2 − 2x + 3
g) 4
;
h)
.
x − 14x3 + 71x2 − 154x + 120
(x + 1)(x − 3)(x − 4)
Bài tập 0.0.3. Cho hệ n + 1 mốc nội suy {xi }ni=0 . Chứng minh rằng
n
X
Φj (x) = 1, trong đó Φj (x) =
j=0
n
Q
(x − xk )
k=0,k6=j
n
Q
.
(xj − xk )
k=0,k6=j
Bài tập 0.0.4. Sử dụng đa thức nội suy tính tổng:
2023
2024
X (−1)k C k
X (−1)k k 2000 C k
2023
2024
a) S =
;
b) S =
2023 − 2k
2024 − 3k
c) S =
k=0
2024
X
k
(−1)k k 2022 C2024
;
d) S =
k=0
k=0
2023
X
k
(−1)k (3k 5 + k 2 )C2023
k=0
Bài tập 0.0.5. Cho đa thức A(x) = 3x2024 + 2x2021 + x1011 − x501 + x11 + 1 và B(x) = 3x3 − 3x. Tìm đa
thức dư trong phép chia A(x) cho B(x).
Bài tập 0.0.6. Cho đa thức f (x) có bậc 2023 thoả mãn f (k) =
2k
; k ∈ {0, 1, 2, 3, ..., 2023}. Tính
2k + 1
f (2023).
Bài tập 0.0.7. Cho đa thức f (x) có bậc 2021 thoả mãn f (k) = 5k ; k ∈ {1, 2, 3, ..., 2022}. Tính f (2023).
Bài tập 0.0.8. Cho đa thức P(x) có bậc n thoả mãn P (k) =
1
k
Cn+1
, k = 0, 1, ..., n. Tính P (n + 1)
Bài tập 0.0.9. Cho n số thực x1 , x2 , ..., xn phân biệt. Chứng minh rằng:
n
X
k=1
xnk
n
Q
(xk − xj )
=
n
X
xk
k=1
j=1,j6=k
Bài tập 0.0.10. Tính các tổng sau:
1
a) 1 + 23 + 33 + 43 + · · · + (2n + 1)3 ;
b) 1 − 43 + 73 − 103 + · · · + (6n + 1)3 ;
c) 1 + 22 − 32 − 42 + 52 + 62 − 72 − 82 + · · · + (4n + 1)2 ;
d) 12 + 52 + 92 + 132 + · · · + (8n + 1)2 ;
Bài tập Giải tích số cho Khoa Toán-Tin
Bài tập 0.0.11. Xét hàm số y = f (x) cho bởi bảng sau:
x
0
1
2
4
y
1
3
4
2
a) Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton P3 (x) của hàm số đã cho với các mốc nội suy nói trên.
b) Hãy tính đa thức nội suy P4 (x) nếu thêm mốc nội suy (5; 16).
1 1 5
Bài tập 0.0.12. Cho P3 (x) là đa thức nội suy của f (x) = sin πx với 4 mốc nội suy 0, , , . Tính gần
6 2 6
π
và đánh giá sai số.
đúng sin
15
2