ª ∞ £ ∏ ª ∞ ∆ π ∫ ∞ > £ ∂ø ƒπ∞ ∞ƒπ £ª ø¡
√È ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ·ÏÔ› ÛÙË Û‡ÏÏË„Ë. ∞ÎfiÌË Î·È ¤Ó· ÌÈÎÚfi
·È‰› ÌÔÚ› Ó· ηٷÓÔ‹ÛÂÈ ÙË Ê‡ÛË ÙÔ˘˜, ·ÚΛ Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ ‰È·›ÚÂÛË.
°È·Ù› ÙfiÙ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Á‡Úˆ ·fi ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜, Ô˘ Ù·Ï·ÈˆÚÔ‡Ó ÙȘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ‰È¿ÓÔȘ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ
·fi ¤Ó·Ó ·ÈÒÓ·; ∆È ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ¤¯Ô˘Ó ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ì ÙÔÓ Î‚·ÓÙÈÎfi
ÌÈÎÚfiÎÔÛÌÔ; ¶Ò˜ ÂÌϤÎÔÓÙ·È ÔÈ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÛÙËÓ fiÏË ÈÛÙÔÚ›·;
£· ·ÏÏ¿ÍÂÈ Ë ˙ˆ‹ Ì·˜, ·Ó Î·È fiÔÙ ·Ô‰Âȯı›, ÂÈÙ¤ÏÔ˘˜, Ë ÂÈηۛ·
Ô˘ Riemann, ÙÔ ÈÂÚfi ‰ÈÛÎÔfiÙËÚÔ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ;
2
TOY Ã∏™∆√À µ ∞ ƒ ∂ § ∞
√È ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È Î¿ÙÔÈÎÔÈ
ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ÙˆÓ ÏÂÁfiÌÂÓˆÓ Ê˘ÛÈ ÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ¯ÚËÛÈ ÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, ÌÂٷ͇ ¿ÏψÓ, ÁÈ· Ó·
ÌÂÙÚ¿ÌÂ. ∞Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ Î›ÌÂÓÔ
Ô˘ ‰È·‚¿˙ÂÙÂ, ¿ÏÏÔÙ ı· ‚ϤÂÙÂ
fiÙÈ ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÍÂÎÈÓÔ‡Ó
·fi ÙÔ 0 Î·È ¿ÏÏÔÙ ·fi ÙÔ 1. ∏
Û˘ÌÂÚ›ÏË„Ë ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ ÛÙÔ˘˜
Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ‚ÔχÂÈ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈ ÎÔ‡˜ Ô˘ ·Û¯ÔÏÔ‡ÓÙ·È Ì ÙË £Âˆ Ú›· ™˘ÓfiψÓ, ÂÓÒ Ë ·Ô˘Û›· ÙÔ˘
ÂΛÓÔ˘˜ Ô˘ ‰Ô˘ÏÂ‡Ô˘Ó ÛÙË £Âˆ Ú›· ∞ÚÈıÌÒÓ. ∞ÏÏ¿ ·˜ ÌËÓ ·Ú·Û˘ ÚfiÌ·ÛÙ Ì ÏÂÙÔ̤ÚÂȘ Î·È Ù ¯ÓÈο ˙ËÙ‹Ì·Ù· − ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ fi¯È
·fi ÙfiÛÔ ÓˆÚ›˜. ¶ÔÈÔÈ Â›Ó·È, ÏÔÈ fiÓ, ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ›; ¶Ôχ
·Ï¿, Â›Ó·È fiÏÔÈ ÂΛÓÔÈ ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ›
·ÚÈıÌÔ› Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔÈ
·fi ÙÔ 0 Î·È ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ÌfiÓÔ ÌÂ
ÙÔ 1 Î·È ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘˜. ∂‰Ò ›Ûˆ˜
Ú¤ÂÈ Ó· ÍÂηı·Ú›ÛÔ˘Ì fiÙÈ, fiÙ·Ó
ϤÌ ˆ˜ ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ a ‰È·ÈÚ›ٷÈ
·fi ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi b, ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ ÙÔ
˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ a/b ›ӷÈ
Ìˉ¤Ó. ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ÔÔÈÔÛ ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌË ‰¤Ó ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙË ÌÔÓ¿‰· Î·È ÌÂ
ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ÙÔÓ Â·˘Ùfi − ¤¯ÂÈ, ‰ËÏ·‰‹, ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ‰È·ÈÚ¤Ù˜.
∫¿ÔÈÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó
·ÎÚÈ‚Ò˜ ‰‡Ô ‰È·ÈÚ¤Ù˜, .¯., ÔÈ 2, 3
Î·È 7, ÂÓÒ Î¿ÔÈÔÈ ¿ÏÏÔÈ ¤¯Ô˘Ó  ÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô, .¯., ÔÈ 9, 12
Î·È 18. ŒÓ·˜ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜
ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ, ÏÔÈfiÓ, Â›Ó·È Ó· Ô‡ Ì fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜
Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔÈ ·fi ÙÔ ÌË ‰¤Ó Î·È ¤¯Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ ‰‡Ô ‰È·ÈÚ¤ Ù˜. ∏ Ï›ÛÙ· ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ
ÍÂÎÈÓ¿ ¤ÙÛÈ:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, ...
£· ·Ú·ÙËÚ‹Û·ÙÂ fiÙÈ ·Ô˘ÛÈ¿˙ÂÈ
ÙÔ 1, ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÌÂ ‚¿ÛË ÙÔÓ
ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi Â›Ó·È ÍÂοı· Ú· ÚÒÙÔ˜. √È Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› fï˜
‰ÂÓ ı¤ÏÔ˘Ó ÙÔ 1 ÛÙË Ï›ÛÙ· Ì ÙÔ˘˜
ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ·ÊÂÓfi˜ ÂÂȉ‹
·ÔÙÂÏ› «ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË»,
fiˆ˜ Û˘ÓËı›˙Ô˘Ó Ó· ϤÓÂ, ·ÊÂÙ¤ ÚÔ˘ ‰ÈfiÙÈ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·
ÛÙËÓ ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ·Ó¿Ù˘ÍË Û¯ÂÙÈ ÎÒÓ ıˆÚÈÒÓ. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙÂ, Â›Û˘, fiÙÈ ÙÔ 2 Â›Ó·È Ô ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ ÚÒÙÔ˜ Ô˘ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Â›Ó·È ˙˘Áfi˜. ∂›Ó·È ÚÔÊ·Ó¤˜ fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ˙˘Áfi˜ ÚÒÙÔ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ 2.
¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, οı ˙˘Áfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜
·fi ÙÔ 2 ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÙÚÂȘ ‰È ·ÈÚ¤Ù˜ −ÙË ÌÔÓ¿‰·, ÙÔ 2 Î·È ÙÔÓ
·˘Ùfi ÙÔ˘ −, ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È
ÚÒÙÔ˜.
2 3 5 711 13171923293137
˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌÔ›
80 D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006
Ì ÚÔÛˆÈÎfiÙËÙ·;
D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006 81
ªÈ· ÚÒÙË ¤ÎÏËÍË
ªÈ· Ú·ÎÙÈ΋ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÛÙËÓ
ÎÚ˘ÙÔÁÚ·Ê›·, Ô˘ ˆ˜ Ù¯ÓÈ΋ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· ÛÙÚ·ÙȈÙÈÎÔ‡˜ ‹
ÂÌÔÚÈÎÔ‡˜ ÛÎÔÔ‡˜. ŸÔÙÂ, ÁÈ·
·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, οÓÔ˘Ì ÌÈ· ·ÁÔÚ¿ ·fi
ÙÔ Internet Ì ÙËÓ ÈÛÙˆÙÈ΋ Ì·˜
οÚÙ·, Ë Û˘Ó·ÏÏ·Á‹ Ì ÙÔ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi ηٿÛÙËÌ· ÎÚ˘ÙÔÁÚ·Ê›ٷÈ.
∞Ô˘Û›· ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ −ηÈ
Ì ‰Â‰Ô̤ÓË ÙËÓ ÈÛ¯‡ ÙˆÓ Û‡Á¯ÚÔÓˆÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ−, Ë fiÔÈ· ̤ıÔ‰Ô˜ ÎÚ˘ÙÔÁÚ¿ÊËÛ˘ Ôχ Èı·ÓfiÓ
ı· «¤Û·˙» ‡ÎÔÏ·, ÂÔ̤ӈ˜ Ù·
ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÈÛÙˆÙÈ΋˜ Ì·˜ ı· Á›ÓÔÓÙ·Ó ÁÓˆÛÙ¿ Û ÙÚ›ÙÔ˘˜. ∆ÒÚ·, ÛÂ
ÌÈ· ÈÛ¯˘Ú‹ ̤ıÔ‰Ô ÎÚ˘ÙÔÁÚ¿ÊËÛ˘
Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ˘ÂÈÛ¤Ú¯ÔÓÙ·È
Ôχ ÌÂÁ¿ÏÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› (ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔÈ ·fi 10^100), ÂÔ̤ӈ˜
¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È Ì¤ıÔ‰ÔÈ ‹ ·ÏÁfiÚÈıÌÔÈ
‡ÚÂÛ˘ ÚÒÙˆÓ. ÃÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È, Â›Û˘, ·ÏÁfiÚÈıÌÔÈ Ô˘ ı· ·ÔÊ·Û›˙Ô˘Ó Â¿Ó ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜
‹ fi¯È. ªÔÚ›ÙÂ, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ó·
‚Ú›Ù ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2.047 ›ӷÈ
ÚÒÙÔ˜; ªÂ ÌÈ· ÚÒÙË Ì·ÙÈ¿ Ì¿Ï√È ÚÒÙÔÈ
·ÚÈıÌÔ› ›ӷÈ
Ì¿ÏÏÔÓ «·Ú·È Ô›» ̤۷ ÛÙÔ˘˜
Ê˘ÛÈÎÔ‡˜. ª¿ ÏÈÛÙ· ÂÍÂÙ¿˙Ô ÓÙ·˜ ÔÏÔ¤Ó·
Î·È Â˘Ú‡ÙÂÚ·
‰È·ÛÙ‹Ì·Ù·
·ÚÈıÌÒÓ, ‚Ϥ Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ
ÚÒÙÔÈ ·Ú·ÈÒ ÓÔ˘Ó ÔÏÔ¤Ó·
Î·È ÂÚÈÛÛfiÙ ÚÔ. ¶ÚÔηÏ›
¤ÎÏËÍË ÙÔ Á ÁÔÓfi˜, ÏÔÈfiÓ,
fiÙÈ ÔÈ ÚÒÙÔÈ
ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ ÎfiÙËÙ· ›ӷÈ
¿ÂÈÚÔÈ ÛÙÔ
Ï‹ıÔ˜!
º˘ÛÈÎfi˜ m
1.000
1.000.000
1.000.000.000
1.000.000.000.000
1.000.000.000.000.000
1.000.000.000.000.000.000
82 D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006
ÏÔÓ fi¯È, ÂÎÙfi˜ Î·È ·Ó ¤¯ÂÙ οÔÈÔ
ȉȷ›ÙÂÚÔ ¯¿ÚÈÛÌ· ÛÙË ‰È·›ÚÂÛË.
Ÿˆ˜ Î·È Ó· ¤¯ÂÈ, Ì ϛÁÔ ‹ Ôχ
ÎfiÔ ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ ÙÔ 2.047
‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 89 ·ÏÏ¿ Î·È Ì ÙÔ
23, ÂÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜. ∫·ÏÒ˜. ∆È ÌÔÚ›Ù fï˜ Ó· ›Ù ÁÈ·
ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2.147.483.647; °È· ÙÔÓ
2.305.843.009.213.693.951; (∂›Ó·È ηÈ
ÔÈ ‰‡Ô ÚÒÙÔÈ, Ì¿ÏÈÛÙ· ·Ó‹ÎÔ˘Ó
ÛÙÔ˘˜ ÏÂÁfiÌÂÓÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ÙÔ˘
Mersenne.)
ŒÓ· Ê˘ÛÈÎfi ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ·ÚÁ¿ ‹
ÁÚ‹ÁÔÚ· ÚÔ·ÙÂÈ ·ÊÔÚ¿ ÛÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∂›Ó·È
¿Ú·Á ÂÂÚ·Ṳ̂ÓÔ ‹ ¿ÂÈÚÔ;
ªÔÚ› Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÏÁfiÚÈıÌÔÈ −
Ì¿ÏÈÛÙ· ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·− Ô˘
«ÂÓÙÔ›˙Ô˘Ó» ÚÒÙÔ˘˜, fï˜ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ‰ÂÓ Ì·˜ ϤÂÈ Ù›ÔÙ ÁÈ·
ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÔ˘˜. ™ÙȘ Û‡Á¯ÚÔÓ˜
ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÙÂÚ¿ÛÙÈÔÈ ÚÒÙÔÈ, fï˜ Ô‡Ù ·˘Ùfi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ‰È·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ fiÙÈ ÌÂÙ¿ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÁÓˆÛÙfi ÚÒÙÔ ÂÚÈ̤ÓÂÈ ¿ÏÏÔ˜ ¤Ó·˜. ¶¤Ú· ·fi ÙȘ fiÔȘ Ú·ÎÙÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜, ÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ›
ı¤ÏÔ˘Ó Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó − Î·È ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó! ¶ÚÈÓ ÙÔ˘˜ ÚˆÙ‹ÛÔ˘Ì ÁÈ· ÙÔ
Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ, ¤¯ÂÈ Ôχ ÂӉȷʤÚÔÓ Ó· οÓÔ˘Ì ÌfiÓÔÈ Ì·˜ ¤Ó·
›ڷ̷. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ÚÔÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜ Û ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹, fiˆ˜ Â›Ó·È ÙÔ Mathematica, ÌÔÚԇ̠ӷ
‰ÈÂÍ·Á¿ÁÔ˘Ì ÌÈ· ÚÔÛˆÈ΋, ÚÔηٷÚÎÙÈ΋ ¤Ú¢ӷ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ. √ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ˜ ›Ó·Î·˜ Â›Ó·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÌÈ·˜ Ù¤ÙÔÈ·˜ ·fiÂÈÚ·˜.
¶ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ›
ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ÙÔ m
168
78.498
50.847.534
37.607.912.018
29.844.570.422.669
24.739.954.287.740.800
¶ÔÛÔÛÙfi ÚÒÙˆÓ
ÌÂٷ͇ 0 Î·È m
16,8
7,8498
5,0847534
3,7607912
2,98445704
2,47399543
¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ, fiÛÔ ÙÔ m ÌÂÁ·ÏÒÓÂÈ, ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ Ô˘
Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ÙÔ m ÌÈÎÚ·›ÓÂÈ. √È ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È Ì¿ÏÏÔÓ
«·Ú·ÈÔ›» ̤۷ ÛÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜. ª¿ ÏÈÛÙ·, ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·˜ ÔÏÔ¤Ó· Î·È Â˘Ú‡ÙÂÚ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ·ÚÈıÌÒÓ, ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·Ú·ÈÒÓÔ˘Ó ÔÏÔ¤Ó· Î·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. ∂›Ó·È ‡ÏÔÁÔ
Ó· ÛÎÂÊÙԇ̠ˆ˜ οÔÈ· ÛÙÈÁÌ‹,
ÁÈ· ·ÚÎÂÙ¿ ÌÂÁ¿ÏÔ m, ÙÔ ÔÛÔÛÙfi
ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ı· ¤ÛÂÈ ÛÙÔ Ìˉ¤Ó ηÈ
‰ÂÓ ı· ·Ó·Î‡„ÂÈ ÔÙ¤ Í·Ó¿: √È
ÚÒÙÔÈ ı· ¤¯Ô˘Ó ÙÂÏÂÈÒÛÂÈ!
∏ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ¤Ú¢ӷ Â›Ó·È Û›ÁÔ˘Ú· ÂӉȷʤÚÔ˘Û· −ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÁÈ·
fiÛÔ˘˜ ¤¯Ô˘Ó ̤۷ ÙÔ˘˜ ¤ÛÙˆ Î·È ¤Ó·
ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ›¯ÓÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡ ÌÈÎÚÔ‚›Ô˘−, Û›ÁÔ˘Ú· fï˜ ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ
ÚÒÙˆÓ. °È· Ó· ‰ÒÛÂÈ ¤Ó·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ÙÂÏÂÛ›‰ÈÎË ·¿ÓÙËÛË Û ¤Ó·
ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÂÚÒÙËÌ·, ÔÛÔ‰‹ÔÙÂ
·Ïfi ‹ Û‡ÓıÂÙÔ, ‰ÂÓ ‰ÈηÈÔ‡Ù·È Ó·
¢ÔÌÈÎÔ› Ï›ıÔÈ
£· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ԇ̠ˆ˜ ÔÈ
ÚÒÙÔÈ Â›Ó·È ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ fi,ÙÈ
Â›Ó·È Ù· ¿ÙÔÌ· ÁÈ· ÙËÓ ‡ÏË – ¤¯Ô˘Ó
ÙÔ ÚfiÏÔ ‰ÔÌÈÎÒÓ Ï›ıˆÓ! ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ,
ÙÔ £ÂÌÂÏÈ҉˜ £ÂÒÚËÌ· Ù˘ ∞ÚÈı
ÌËÙÈ΋˜ Ì¿˜ ‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ Î¿ıÂ Ê˘
ÛÈÎfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜ ›
ÙÂ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ (ÚÔÊ·Ó¤˜) ›ÙÂ
ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ˆ˜ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ
·Ú·ÁfiÓÙˆÓ (ηıfiÏÔ˘ ÚÔÊ·Ó¤˜).
∂ÈÚfiÛıÂÙ·, Ë ·Ó¿Ï˘ÛË ÂÓfi˜
ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ
ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È
΋, ÂÎÙfi˜ ›Ûˆ˜ ·fi ÙË ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ
ÔÔ›· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜
·˘ÙÔ›. ŒÙÛÈ, Ô ·ÚÈıÌfi˜ 30 ÌÔÚ›
Ó· ÁÚ·ÊÙ› ÌÔÓ·‰Èο ˆ˜ 2 . 3.5 (fiÏÔÈ
ÚÒÙÔÈ), Ô 6.936 ˆ˜ 2 3. 3. 172
(ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÚÒÙˆÓ),
Ô 24.475.932 ˆ˜ 2 2.3 5. 132. 149 Î.Ô.Î.
·ÚÎÂÛÙ› Û ÂӉ›ÍÂȘ. ÃÚÂÈ¿˙ÂÙ·È
ÌÈ· ·˘ÛÙËÚ‹ ·fi‰ÂÈÍË, Ô˘ ı· ÍÂηı·Ú›˙ÂÈ Ù· Ú¿ÁÌ·Ù· ¤Ú· ·fi οıÂ
·ÌÊÈ‚ÔÏ›·. ∞Ó·ÊÔÚÈο Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜
ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ, ÏÔÈfiÓ, ‹‰Ë ·fi ÙËÓ
·Ú¯·ÈfiÙËÙ· Ô ∂˘ÎÏ›‰Ë˜ ·¤‰ÂÈÍÂ
fiÙÈ Â›Ó·È ¿ÂÈÚÔ − Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˜
›Ó·Î·˜ ¤¯ÂÈ Û˘ÌÏËÚˆı› ÛˆÛÙ¿,
Â›Ó·È fï˜ ·Ú·Ï·ÓËÙÈÎfi˜!
∂ÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ∂˘ ÎÏ›‰Ë ÛÙË Û‡Á¯ÚÔÓË Ì·ıËÌ·ÙÈ΋
ÁÏÒÛÛ·, ·˜ ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì p ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÚÒÙÔ Î·È ·˜ Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘ÌÂ
ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi
q = 2.3.5.7 ... p + 1
ªÂ ¿ÏÏ· ÏfiÁÈ·, Ô q ÚÔ·ÙÂÈ ·Ó
ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜
·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÂٷ͇ 2 Î·È p Û˘ÌÂÚÈÏ·Ì‚·ÓÔ̤ӈÓ, Î·È ÛÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ
ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ̛· ÌÔÓ¿‰·. √ q ‰ÂÓ
‰È·ÈÚÂ›Ù·È ÌÂ Î·Ó¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÌÂٷ͇ 2 Î·È p, ·ÊÔ‡ ¿ÓÙ· ̤ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ Ë ÌÔÓ¿‰·. ∂Ô̤ӈ˜, ›ÙÂ Ô q
Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÚÔÊ·ÓÒ˜
ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ p, ›Ù ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì οÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ
·fi ÙÔÓ p. ∞Ó ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Î·È ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì r ÙÔ
ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ p Î·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ‰È·ÈÚ› ÙÔÓ q, ı· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘ÌÂ
fiÙÈ Î·È Ô r, ·Ó·ÁηÛÙÈο, Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜! ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, Â¿Ó Ô r ‰ÂÓ ‹Ù·Ó
ÚÒÙÔ˜, ÙfiÙ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ·fi
ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ¤˜ ÙÔ˘ (‚Ï.
ͯˆÚÈÛÙfi ΛÌÂÓÔ «¢ÔÌÈÎÔ› Ï›ıÔÈ»)
ı· ‹Ù·Ó ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ p ηÈ
ı· ‰È·ÈÚÔ‡Û ÙÔÓ q, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘
·ÓÙÈ‚·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ˘fiıÂÛ‹ Ì·˜ (fiÙÈ,
‰ËÏ·‰‹, Ô q ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì οÔÈÔÓ
·ÚÈıÌfi ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔÓ p).
™˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·˜, ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ·
¤Ó·Ó ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi, ·Û¯¤Ùˆ˜
·Ó Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ‹ fi¯È, ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ¤Ó·˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÚÒÙÔ˜.
∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ
Â›Ó·È ¿ÂÈÚÔ.
∫˘ÓËÁÒÓÙ·˜ ÚÒÙÔ˘˜
∆Ô ˙‹ÙËÌ·, ÏÔÈfiÓ, ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜
ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ¤ÎÏÂÈÛ Ôχ ÓˆÚ›˜,
Á‡Úˆ ÛÙÔ 300 .Ã. √È Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ›
fï˜ ‰ÂÓ Ì¤ÓÔ˘Ó Â‡ÎÔÏ· ¢¯·ÚÈÛÙË̤ÓÔÈ. £¤ÏÔ˘Ó, ÂÈÚfiÛıÂÙ·, ÌÂıfi‰Ô˘˜ ‡ÚÂÛ˘ −‹ ÂÓÙÔÈÛÌÔ‡, ·Ó
ÚÔÙÈÌ¿ÙÂ− ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ∆ËÓ
·Ú¯·ÈfiÙÂÚË Ì¤ıÔ‰Ô ÂÓÙÔÈÛÌÔ‡
ÚÒÙˆÓ ÙË ¯ÚˆÛÙ¿ÌÂ ÛÙÔÓ ∂Ú·ÙÔÛı¤ÓË (276-194 .Ã.). ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ·
ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ «ÎfiÛÎÈÓÔ ÙÔ˘ ∂Ú·ÙÔÛı¤ÓË», ¤Ó·Ó ÂÎÏËÎÙÈο ·Ïfi ·Ï ÁfiÚÈıÌÔ Ô˘ ÌÔÚ› Î·È ‚Ú›ÛÎÂÈ
fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ‹ ›ÛÔÈ ÚÔ˜ ¤Ó· ‰ÔṲ̂ÓÔ
Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi. ¢˘ÛÙ˘¯Ò˜, ÙÔ ÎfiÛÎÈÓÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÁÈ·
∆Ô ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ Ûˆ˙fiÌÂÓÔ ·fiÎÔÌÌ·
ÙˆÓ «™ÙÔȯ›ˆÓ» ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë. ªÂٷ͇
¿ÏψÓ, ÛÙ· ™ÙÔȯ›· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È
Î·È Ë ÚÒÙË ÁÓˆÛÙ‹ ·fi‰ÂÈÍË ÁÈ· ÙÔ
¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.
D I S C O V E R Y&SCIE NCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006 83
∂ ∫ ¶ § ∏ ∫ ∆ π ∫ ∂ ™
√È ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ˆ˜
«Ù·ÂÈÓ¿» Ì·ıËÌ·ÙÈο fiÓÙ·: ∆Ô ÂȉÔÔÈfi ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Ô˘ ÙÔ˘˜ ͯˆÚ›˙ÂÈ ·fi ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜
·ÚÈıÌÔ‡˜ Â›Ó·È È‰È·›ÙÂÚ· ·Ïfi. ∆ËÓ ›‰È·
ÛÙÈÁÌ‹, fï˜, ¤¯Ô˘Ó ·ÚÎÂÙ¤˜ ı·˘Ì·ÛÙ¤˜
ȉÈfiÙËÙ˜. ∞ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi
·˘Ù¤˜.
● ∂¿Ó Ô ÚÒÙÔ˜ p ‰È·ÈÚ› ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ
a. b, ÙfiÙ ‰È·ÈÚ› ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¤Ó·Ó
·fi ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ a, b (§‹ÌÌ· ÙÔ˘
∂˘ÎÏ›‰Ë).
● ∂¿Ó Ô p Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙÂ
ÚÒÙÔ˜ Î·È a ¤Ó·˜ ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙÂ
Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi
ÙË ÌÔÓ¿‰·, ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ a p – a ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔÓ p (ªÈÎÚfi £ÂÒÚËÌ·
ÙÔ˘ Fermat). ∞Ó, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·,
p=11 Î·È a=8, ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 8 11 – 8
= 8.589.934.584 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·ÎÚÈ‚Ò˜
Ì ÙÔ 11 (ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ›ӷÈ
780.903.144).
● ∂¿Ó m Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂ-
ÚÔ˜ ÙÔ˘ 1, ÙfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ
¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ m
Î·È 2m. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ˘fiıÂÛË
ÙÔ˘ Joseph Bertrand (1822-1900), Ô
ÔÔ›Ô˜ ÙËÓ Â·Ï‹ı¢Û ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ‹ ›ÛÔÈ
·fi ÙÔ 3.000.000. ∏ ˘fiıÂÛË ·ԉ›¯ıËΠÏ‹Úˆ˜ ÙÔ 1850 ·fi ÙÔÓ
Pafnuty Chebyshev (1821-1894).
π ¢ π √ ∆ ∏ ∆ ∂ ™ ,
Û¯ÂÙÈο ÚÒÙÔÈ, Â¿Ó ÂÎÙfi˜ ·fi ÙË
ÌÔÓ¿‰· ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ‰È·ÈÚ¤ÙË (ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: fiÙ·Ó Ô Ì¤ÁÈÛÙÔ˜ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ë ÌÔÓ¿‰·).
√È ·ÚÈıÌÔ› 8 Î·È 35, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·,
Â›Ó·È Û¯ÂÙÈο ÚÒÙÔÈ, ·ÊÔ‡ ÌÔÓ·‰ÈÎfi˜ ÎÔÈÓfi˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÙÔ 1.
∞fi ÙËÓ ¿ÏÏË, ÔÈ 8 Î·È 12 ‰ÂÓ Â›Ó·È,
·ÊÔ‡ Î·È ÔÈ ‰‡Ô ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2.
¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ ‰‡Ô Û¯ÂÙÈο ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù’ ·Ó¿ÁÎË
ÚÒÙÔÈ. ∂ÈÛÙÚ¤ÊÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ıÂÒÚËÌ·
ÙÔ˘ Dirichlet, ÁÈ· a=2 Î·È b=9 ·›ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô (·ÎÔÏÔ˘ı›·)
2, 11, 20, 29, ..., 119, 128, ...
ªÂ ÌÈ· ÚÒÙË Ì·ÙÈ¿ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ
fiÙÈ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÔÚÈṲ̂ÓÔ˘˜ Û‡ÓıÂÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ ÙÔ˘˜ 20, 29,
119 (=17 . 7) Î·È 128, ηıÒ˜ Î·È Î¿ÔÈÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜, fiˆ˜ ÙÔ˘˜ 2 Î·È 11.
∆Ô ı¤Ì· Â›Ó·È fiÙÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘
Dirichlet Ì·˜ ··ÏÏ¿ÛÛÂÈ ·fi οıÂ
·ÁˆÓ›· ·Ó·˙‹ÙËÛ˘, ‰È·‚‚·ÈÒÓÔÓÙ¿˜
Ì·˜ fiÙÈ Ë ·Ú·¿Óˆ ·ÎÔÏÔ˘ı›· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ¿ÂÈÚÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜.
™˘Ó‰Â‰Â̤Ó˜ Ì ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·Ϥ˜ ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÈηۛ˜, Ë ·Ï‹ıÂÈ·
‹ ÙÔ „‡‰Ô˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÍÂηı·Ú›ÛÂÈ ¤ˆ˜ Û‹ÌÂÚ·. £·˘Ì¿ÛÙÂ
ÙËÓ ·ÏfiÙËÙ· ÔÚÈṲ̂ӈÓ
ÂÍ ·˘ÙÒÓ.
ÊˆÓ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù›ÓÂÈ ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ (·ÔÎÏ›ÓÂÈ). ™˘Ì‚ÔÏÈο, ÈÛ¯‡ÂÈ ™1/p = ∞, fiÔ˘ ÙÔ p ‰È·ÙÚ¤¯ÂÈ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜.
● ∫¿ı ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ a, a+b,
a+2b, a+3b, ..., fiÔ˘ ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› a
Î·È b≥1 Â›Ó·È Û¯ÂÙÈο ÚÒÙÔÈ, ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ¿ÂÈÚÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (£ÂÒÚËÌ· Dirichlet). ¢‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› a Î·È b ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È
84 D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006
¶ ƒ√ µ§∏ª∞ ∆ ∞
‰›‰˘ÌÔÈ, fiˆ˜ Â›Û˘ Î·È ÔÈ 347,
349 Î.¿.
ÚˆÓ ÙÔ˘ 2 (ÂÈηۛ· Brocard). ªÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 9 Î·È 25 (ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÚÒÙˆÓ 3 ηÈ
5), ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¤ÓÙ ÚÒÙÔÈ (ÔÈ 11, 13, 17, 19 ηÈ
23), ÌÂٷ͇ ÙˆÓ 25 Î·È 49 (ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ 5 Î·È 7) ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¤ÍÈ
ÚÒÙÔÈ (ÔÈ 29, 31, 37, 41, 43 Î·È 47)
Î.Ô.Î.
● °Âӛ΢ÛË Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ·Ô-
ÙÂÏ› Ë ÂÈηۛ· ÙÔ˘ Polignac: °È·
οıÂ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ˘¿Ú¯Ô˘Ó
¿ÂÈÚ· ˙‡ÁË ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÚÒÙˆÓ,
Ì ‰È·ÊÔÚ¿ 2m. ¶·›ÚÓÔÓÙ·˜, .¯.,
m=3, Ë ÂÈηۛ· ÙÔ˘ Polignac Ì·˜
ϤÂÈ fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ· ˙‡ÁË
‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÚÒÙˆÓ Ì ‰È·ÊÔÚ¿ 6
(.¯., ÔÈ 61, 67 Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ›
ÚÒÙÔÈ Ô˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ 6).
● À¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙ· ¤Ó·˜ ÚÒÙÔ˜ ÌÂٷ͇
ÙˆÓ m 2 Î·È (m+1) 2, ÁÈ· οıÂ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi m (ÂÈηۛ· Legendre).
∞Ó, .¯., m=3, ÙfiÙ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ
Ê˘ÛÈÎÒÓ 9 Î·È 16 ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ
ÚÒÙÔÈ 11 Î·È 13.
● À¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚÔÈ ÚÒÙÔÈ Ù˘ ÌÔÚ-
∆Ô Liber Abaci (1202) Â›Ó·È ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô ·ÚÈı ÌËÙÈ΋˜ ÙÔ˘ Leonardo Ù˘ Pisa, Ô ÔÔ›Ô˜
·ÚÁfiÙÂÚ· ¤ÁÈÓ ¢ڇÙÂÚ· ÁÓˆÛÙfi˜ Ì ÙÔ
„¢‰ÒÓ˘ÌÔ Fibonacci. √È fiÚÔÈ Ù˘ ‰È¿ÛË
Ì˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Fibonacci ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÂ
‰È¿ÊÔÚ· ÌÔÙ›‚· Ù˘ ʇÛ˘, ÂÚȤ¯Ô˘Ó ‰Â
¿ÂÈÚÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
™ÙÔ °ÂÚÌ·Ófi Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Johann Peter
Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) ÔÊ›
ÏÂÙ·È Ô ÌÔÓÙ¤ÚÓÔ˜, Ù˘ÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘
Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. ªÂٷ͇ ¿ÏÏˆÓ ÙÔ̤ˆÓ, Ô
Dirichlet Û˘ÓÂÈÛ¤ÊÂÚÂ Î·È ÛÙË ıˆڛ·
·ÚÈıÌÒÓ (‚Ï. Î·È Û¯ÂÙÈ΋ ÚfiÙ·ÛË, ÛÙÔ
ΛÌÂÓÔ).
-
Ê‹˜ m 2+1. √È ÚÒÙÔÈ 5, 17, 37 ηÈ
101, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ
ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÌÔÚÊ‹ (5=2 2+1, 17=
42+1 Î·È 101=10 2+1).
● ∏ ·ÎÔÏÔ˘ı›· Fibonacci ÂÚȤ¯ÂÈ
● À¿Ú¯Ô˘Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ù¤ÛÛÂÚȘ
ÚÒÙÔÈ, ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ
‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÚÒÙˆÓ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂ-
√ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Adrien-Marie
Legendre (1752–1833) Û˘ÓÂÈÛ¤ÊÂÚ ȉȷ›ÙÂ
Ú· ÛÙË ÛÙ·ÙÈÛÙÈ΋, ÛÙË ıˆڛ· ·ÚÈıÌÒÓ,
ÛÙËÓ ¿ÏÁ‚ڷ Î·È ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË. ∏ ˘fiıÂ
Û‹ ÙÔ˘ Ô˘ ·ÊÔÚ¿ ÛÙËÓ Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ
ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ·Ó·fi‰ÂÈÎÙË
¤ˆ˜ Û‹ÌÂÚ·.
-
¿ÂÈÚÔ Ï‹ıÔ˜ ÚÒÙˆÓ. ∏ ÂÓ ÏfiÁˆ
·ÎÔÏÔ˘ı›· ÍÂÎÈÓ¿ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜
0 Î·È 1 Î·È Î¿ı fiÚÔ˜ Ù˘ Â›Ó·È ÙÔ
¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓˆÓ.
π‰Ô‡ ÔÈ ·Ú¯ÈÎÔ› Ù˘ fiÚÔÈ: 0, 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 23, 55, 89, 144, 233,
377, 610, ... √È ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›·˜ Fibonacci ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÔÏϤ˜
ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ – ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È,
.¯., ÛÙȘ ÁÂÓÓ‹ÙÚȘ „¢‰ÔÙ˘¯·›ˆÓ
·ÚÈıÌÒÓ. ∂Í¿ÏÏÔ˘, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ›
·Ú·ÙËÚÔ‡ÓÙ·È Û˘¯Ó¿ Î·È ÛÙË
ʇÛË, .¯., ÛÙ· ÛÂÈÚÔÂȉ‹ ÌÔÙ›‚·
ÎÂÏ˘ÊÒÓ Î·È ÛÙȘ ‰È·ÎÏ·‰ÒÛÂȘ
‰¤ÓÙÚˆÓ.
● À¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚÔÈ ÚÒÙÔÈ ÙÔ˘
● ∫¿ı ˙˘Áfi˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜
● ∆Ô (¿ÂÈÚÔ) ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔ-
∞ ∆ π £∞ ™∞
ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ 2 ÌÔÚ›
Ó· ÁÚ·ÊÙ› ˆ˜ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô
ÚÒÙˆÓ (ÂÈηۛ· ÙÔ˘
Goldbach). Œ¯Ô˘ÌÂ, .¯.,
8=3+5, 22=5+17 Î.Ô.Î.
● À¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚ· ˙‡ÁË ‰›‰˘-
ÌˆÓ ÚÒÙˆÓ (ÂÈηۛ· ÙˆÓ ‰È‰‡ÌˆÓ). ¢‡Ô ÚÒÙÔÈ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰›‰˘ÌÔÈ fiÙ·Ó Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 2. √È ÚÒÙÔÈ 11
Î·È 13, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ›ӷÈ
Mersenne. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÚÒÙÔ˘˜
·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÁÚ·ÊÙÔ‡Ó Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ 2 p – 1, fiÔ˘ ÙÔ
p Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. √ ÚÒÙÔ˜
·ÚÈıÌfi˜ 31, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ›ӷÈ
ÙÔ˘ Mersenne, ÂÂȉ‹ ÌÔÚ› Ó·
ÁÚ·ÊÙ› ˆ˜ 2 5 – 1 Î·È ÙÔ 5 ›ӷÈ
ÚÒÙÔ˜. ∞fi ÙËÓ ¿ÏÏË, Ô ·ÚÈıÌfi˜
211 – 1 = 2.047 ÌÔÈ¿˙ÂÈ ˘Ô„‹ÊÈÔ˜
ÁÈ· ÚÒÙÔ˜ ÙÔ˘ Mersenne (Ô 11 Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜), ˆÛÙfiÛÔ ‰ÂÓ Â›Ó·È,
ÂÂȉ‹ ÙÔ 2.047 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ÙÔ˘˜
89 Î·È 23.
ÙȘ ÛËÌÂÚÈÓ¤˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ηÈ
·Ó¿ÁΘ. ªÈ· Û‡Á¯ÚÔÓË, ·Ô‰ÔÙÈ΋ ÂΉԯ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ «ÎfiÛÎÈÓÔ
ÙÔ˘ Atkin», Ô˘ ·Ó¤Ù˘Í·Ó ÚfiÛÊ·Ù· ÔÈ Atkin Î·È Bernstein.
√ Û¯ÂÙÈÎfi˜ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ
ÙËÓ Ù·¯‡Ù·ÙË Â‡ÚÂÛË fiÏˆÓ ÙˆÓ
ÚÒÙˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ
·fi ¤Ó· ‰ÔṲ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi. ªÈ·
˘ÏÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˘ ηÈ
ÙÔÓ ËÁ·›Ô ÎÒ‰Èη Û ÁÏÒÛÛ·
C ı· ‚Ú›Ù ÛÙÔÓ ÙfiÔ
http://cr.yp.to/primegen.html.
™Â ¿ÏϘ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Â›Ó·È Û˘¯Ó¿
ÂÈı˘ÌËÙfi Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·Ó ¤Ó·˜
Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ›ӷÈ
ÚÒÙÔ˜ ‹ fi¯È. ∂Âȉ‹ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ›
ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Û˘˙ËÙ¿Ì ÂÓ‰¤¯ÂÙ·È Ó· ¤¯Ô˘Ó ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ‹ ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· „ËÊ›·, ·ÎfiÌ· Î·È ¤Ó·˜ ·Ô‰ÔÙÈÎfi˜ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜ Û ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ Â›Ó·È Èı·Ófi Ó· ··ÈÙ› ··ÁÔÚ¢ÙÈο ÌÂÁ¿ÏÔ ¯ÚfiÓÔ, ÚÈÓ ‰ÒÛÂÈ ÙÂÏÂÛ›‰ÈÎË ·¿ÓÙËÛË. °È· ÙÔ
ÛÎÔfi ·˘Ùfi ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ù˘¯ı› Èı·ÓÔÎÚ·ÙÈÎÔ› ·ÏÁfiÚÈıÌÔÈ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ, ·ÊÔ‡ ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘Ó ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi,
ÙÔÓ ·Ó·ÎËÚ‡ÛÛÔ˘Ó «Èı·ÓÒ˜
ÚÒÙÔ» ‹ «ÔˆÛ‰‹ÔÙ ۇÓıÂÙÔ»
(«Û‡ÓıÂÙÔ˜», Â›Ó·È ¿ÏÏË ÌÈ· ÔÓÔÌ·Û›· ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‰ÂÓ
Â›Ó·È ÚÒÙÔÈ).
∆Ô Î·ÏÔη›ÚÈ ÙÔ˘ 2002 ÙÚÂȘ πÓ‰Ô›
ÂÚ¢ÓËÙ¤˜, ÔÈ Manindra Agrawal,
Neeraj Kayal Î·È Nitin Saxena,
ÂÈÓfiËÛ·Ó ¤Ó·Ó ·ÏÁfiÚÈıÌÔ ÂϤÁ¯Ô˘ ÚÒÙˆÓ (AKS primality test),
Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ÎÚ›ÓÂÙ·È ·fi ÙÚÂȘ
ÂÍ·ÈÚÂÙÈο ÂÈı˘ÌËÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜.
∫·Ù’ ·Ú¯¿˜, Ô ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜ AKS Â›Ó·È ÔÏ˘ˆÓ˘ÌÈÎfi˜. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ
fiÙÈ Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙ› ÚÈÓ
‰ÒÛÂÈ ·¿ÓÙËÛË ·˘Í¿ÓÂÈ Û¯ÂÙÈο
«ÔÌ·Ï¿» Î·È ¿ÓÙ· ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ
Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ˘fi ÂͤٷÛË ·ÚÈıÌÔ‡. ÕÏÏÔÈ ·ÏÁfiÚÈıÌÔÈ
ÙÔ˘ ›‰Ô˘˜ Â›Ó·È ÂÎıÂÙÈÎÔ›, Ô˘
ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, ·Ó ÙÔ˘˜ ‰ÒÛÔ˘ÌÂ
¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÚÔ˜ ÂͤٷÛË Î·È ÌÂÙ¿ ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔÓ Ì ¤Ó· ÌfiÏȘ ·Ú·¿Óˆ „ËÊ›Ô, Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ı·
D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006 85
¶ÚÒÙÔ Ù¤Ú·˜
√È Û˘ÓÂÈÛÊÔÚ¤˜ ÙÔ˘ °ÂÚÌ·ÓÔ‡ Ì·ıËÌ·ÙÈ
ÎÔ‡ Georg Friedrich Bertrand Riemann
ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È ÛÙË ‰È·ÊÔÚÈ΋ ÁˆÌÂ
ÙÚ›· ¿ÓÔÈÍ·Ó ÙÔ ‰ÚfiÌÔ ÁÈ· ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË
Ù˘ °ÂÓÈ΋˜ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜. ™ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜
ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ fï˜ Ô Riemann ¤ÁÈÓÂ
ȉȷ›ÙÂÚ· ‰ËÌÔÊÈÏ‹˜ ÁÈ· ÙËÓ ˘fiıÂÛË Ô˘
‰È·Ù‡ˆÛ ÙÔÓ ∞‡ÁÔ˘ÛÙÔ ÙÔ˘ 1859, fiÙ·Ó
‹Ù·Ó 32 ÌfiÏȘ ¯ÚÔÓÒÓ, Û ÔÌÈÏ›· ÙÔ˘ ÛÙËÓ
∞η‰ËÌ›· ÙÔ˘ µÂÚÔÏ›ÓÔ˘. ∏ ÏÂÁfiÌÂÓË ÂÈη
Û›· ÙÔ˘ Riemann Û¯ÂÙ›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ Î·Ù·ÓÔ
Ì‹ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. Œˆ˜ Û‹ÌÂÚ· η
Ó›˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ù·Ê¤ÚÂÈ Ó· ·ԉ›ÍÂÈ ÙËÓ
ÈÛ¯‡ ‹ ÙÔ „‡‰Ô˜ Ù˘ ÂÈηۛ·˜ ÙÔ˘
Riemann.
‰··Ó‹ÛÔ˘Ó ÁÈ· ÙËÓ ÂͤٷÛË ÙÔ˘
‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ı· Â›Ó·È ‰˘Û·Ó¿ÏÔÁ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Û ۯ¤ÛË Ì ·˘ÙfiÓ Ô˘
‰·¿ÓËÛ·Ó ÁÈ· ÙËÓ ÂͤٷÛË ÙÔ˘
ÚÒÙÔ˘. ∏ ¿ÏÏË ¯Ú‹ÛÈÌË È‰ÈfiÙËÙ·
ÙÔ˘ ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˘ AKS ·ÊÔÚ¿ ÛÙÔ ÓÙÂÙÂÚÌÈÓÈÛÙÈÎfi ÙÔ˘ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·: √È
··ÓÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ‰›ÓÂÈ Â›Ó·È ÙÂÏÂÛ›‰ÈΘ, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÌϤÎÔ˘Ó Èı·ÓfiÙËÙ˜. ŸÛ· Î·È ·Ó Â›Ó·È Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘
˘fi ÂͤٷÛË ·ÚÈıÌÔ‡, Ô ·ÏÁfiÚÈıÌÔ˜
ÙÂÏÈο ı· ‚ÚÂÈ, Ì ·fiÏ˘ÙË ‚‚·ÈfiÙËÙ·, ·Ó Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ‹ fi¯È. ∏ ÙÚ›ÙË
ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ AKS, ·˘Ù‹ Ô˘ ÙÔÓ Í¯ˆÚ›˙ÂÈ ·fi ÙÔ «ÛˆÚfi», ·ÊÔÚ¿ ÛÙËÓ
·ÓÂÍ·ÚÙËÛ›· ÙÔ˘ ·fi ·Ó·fi‰ÂÈÎÙ˜
Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ÂÈηۛ˜. ∞ÓÙ›ıÂÙ·,
ÔÏÏÔ› ¿ÏÏÔÈ ·ÏÁfiÚÈıÌÔÈ Ô˘ ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ó ·Ó ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜
∃
‹ fi¯È Â›Ó·È ¤ÙÛÈ Û¯Â‰È·Ṳ̂ÓÔÈ, ÒÛÙÂ
Ó· ÚÔ¸Ôı¤ÙÔ˘Ó ÙËÓ ·Ï‹ıÂÈ· Ù˘
˘fiıÂÛ˘ ÙÔ˘ Riemann. ∆È Â›Ó·È
fï˜ ·˘Ù‹ Ë ˘fiıÂÛË; ™‡ÓÙÔÌ· ı·
‰Ô‡ÌÂ, ÚÔ˜ ÙÔ ·ÚfiÓ fï˜ ·ÚΛ
Ó· ԇ̠fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ¤Ó· ·›ÛÙÂ˘Ù· ‰‡ÛÎÔÏÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Úfi‚ÏËÌ·, Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ‰È·Ê‡ÁÂÈ
·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Â‰Ò Î·È 150
¯ÚfiÓÈ·. ∏ ˘fiıÂÛË ÙÔ˘ Riemann
Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ÙËÓ Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ
ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÍÂʇÁÂÈ fï˜
·fi ÙÔ Û‡Ì·Ó ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ
Î·È ‰Â›¯ÓÂÈ Ó· ·ÁÁ›˙ÂÈ ÙÔÓ Î‚·ÓÙÈÎfi
ÌÈÎÚfiÎÔÛÌÔ, Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÙË ‚¿ÛË
ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘ Á‡Úˆ Ì·˜.
¶fiÛÔÈ Â›Ó·È;
∂ÎÙfi˜ ·fi ÙÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô ‹ ÙÔÓ ÂÓÙÔÈÛÌfi ÚÒÙˆÓ, ÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ÌÂÚÈΤ˜
ÊÔÚ¤˜ ÂÈı˘ÌÔ‡Ó Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó
·ÏÒ˜ fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ÚÒÙÔÈ Ô˘
‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È «Î¿Ùˆ» ·fi ¤Ó· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi. ¶fiÛÔÈ ÚÒÙÔÈ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ÙÔ 1.000;
√ √ÏÏ·Ó‰fi˜ Ô˘ ·ÁfiÚ·Û ÙÔ ª·Ó¯¿Ù·Ó ·fi ÙÔ˘˜ πӉȿÓÔ˘˜
Ï‹ÚˆÛ Û ÛËÌÂÚÈÓ¿ ÏÂÊÙ¿ 24 ‰ÔÏ¿ÚÈ·. ∆Ô˘˜ ¤ÚÈÍÂ;
86 D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006
√ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÁÓˆÛÙfi˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈı
Ìfi˜ ‚Ú¤ıËΠÛÙȘ 15 ¢ÂÎÂÌ‚Ú›Ô˘ ÙÔ˘
2005. ∂›Ó·È Ô 2 30402457 –1 Î·È ÚfiÎÂÈÙ·È
ÁÈ· ÙÔÓ 43Ô ·ÚÈıÌfi ÙÔ˘ Mersenne (‚Ï.
Î·È ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÂÈηۛ· ÛÙËÓ ÂÓfiÙËÙ·
«∂ÎÏËÎÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜, ·Ù›ı·Û· ÚÔ
‚Ï‹Ì·Ù·»). ™˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ª 30402457 , ¤¯ÂÈ
9.152.052 „ËÊ›· Î·È Â›Ó·È ¤Ó·˜ Â͈ ÊÚÂÓÈο ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ÀÔÏÔÁ›˙Â
Ù·È, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ
·ÙfiÌˆÓ ÔÏfiÎÏËÚÔ˘ ÙÔ˘ Û‡Ì·ÓÙÔ˜ ÂÎ
ÊÚ¿˙ÂÙ·È ·fi ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ì ÌfiÏȘ 80
ÂÚ›Ô˘ „ËÊ›·! ∏ ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÙÔ˘
ª 30402457 ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ Curtis Cooper
Î·È Steven Boone, ηıËÁËÙ¤˜ ÙÔ˘
Central Missouri State University. √È
‰‡Ô ηıËÁËÙ¤˜ Û˘ÌÂÙ¤¯Ô˘Ó Û ÌÈ· Û˘Ï
ÏÔÁÈ΋, ‰È·‰ÈÎÙ˘·Î‹ ÚÔÛ¿ıÂÈ· ¢ڤ
Ûˆ˜ ÚÒÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙÔ˘ Mersenne,
ÁÓˆÛÙ‹˜ Î·È ˆ˜ GIMPS (Great Internet
Mersenne Prime Search). ¶ÚÈÓ ‚ÚÔ˘Ó
ÙÔÓ 43Ô ·ÚÈıÌfi Mersenne –Î·È ÌÂÁ·Ï‡
ÙÂÚÔ ÁÓˆÛÙfi ÚÒÙÔ–, ÔÈ Cooper ηÈ
Boone ¤ÙÚ¯·Ó ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Úfi
ÁÚ·ÌÌ· ÙÔ˘ GIMS ÁÈ· ÂÓÓ¤· ÔÏfiÎÏËÚ·
¯ÚfiÓÈ·, Û ¤Ó· Ï‹ıÔ˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ
ÙÔ˘ ·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ Ô˘ οÔÈ· ÛÙÈÁÌ‹
¤ÊÙ·Û ÙÔ˘˜ 700. ∞Ó ÌÂÙ¿ Ù· ·Ú·¿
Óˆ Û·˜ ¤È·Û ÌÈ· ·Î·Ù·Ì¿¯ËÙË ÂÈı˘
Ì›· Ó· ‚Ú›Ù ÙÔÓ 44Ô ÚÒÙÔ ÙÔ˘
Mersenne, ‰ÂÓ ¤¯ÂÙ ·Ú¿ Ó· ¿Ù ÌÈ·
‚fiÏÙ· ·fi ÙÔ ‰ÈÎÙ˘·Îfi ÙfiÔ
www.mersenne.org Î·È Ó· ηÙ‚¿ÛÂÙÂ
ÙÔ Û¯ÂÙÈÎfi ÏÔÁÈÛÌÈÎfi.
#
Ÿ¯È ÁÈ·Ù› Ï‹ÚˆÛ ϿıÔ˜ Ê˘Ï‹.
∆Ô ÓËÛ› ·Ó‹Î Û ¿ÏÏÔ˘˜ πӉȿÓÔ˘˜.
∫·ÙÔÙÚÈÎÔ›
ÚÒÙÔÈ
√ °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ÏÔÁÈÎÔÏfiÁÔ˜ Î·È ÊÈÏfiÛÔÊÔ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Kurt Gödel (19061978) ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÓÙÔÙ ÚÔÙ¿ÛÂȘ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ·Ï‹ıÂÈ·
‹ ÙÔ „‡‰Ô˜ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔÓ Ó· ÍÂηı·Ú›ÛÔ˘Ó. ™‹ÌÂÚ·, οÔÈÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ÈÛÙÂ‡Ô˘Ó ˆ˜
Ë ÂÈηۛ· ÙÔ˘ Riemann ÂÌ›ÙÂÈ ÛÙËÓ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ· ÙˆÓ “·Ù›ı·ÛˆÓ” ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Gödel.
¶fiÛÔÈ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ÙÔ 1.000.000;
¶fiÛÔÈ ·fi ÙÔ 10100; Ÿˆ˜ οı ÛÒÊÚˆÓ ¿ÓıÚˆÔ˜, ¤ÙÛÈ Î·È ÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ‰ÂÓ ı¤ÏÔ˘Ó Ó· ‰›ÓÔ˘Ó ·¿ÓÙËÛË Û ٤ÙÔÈ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù·, ÂÓÙÔ›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ¤Ó·Ó ÚÔ˜ ¤Ó·Ó
Î·È ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜. ∞˘Ùfi Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÈο ı¤ÏÔ˘Ó Â›Ó·È ¤Ó·Ó Ù‡Ô, Ô˘
ı· ÙÔ˘ ‰›ÓÔ˘Ó ¤Ó·Ó ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙÂ
·ÚÈıÌfi x Î·È ÂΛÓÔ˜ ı· ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ
ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈ-
ÎÚfiÙÂÚÔÈ ‹ ›ÛÔÈ ÙÔ˘ x. ∂¿Ó ˘‹Ú¯Â
¤Ó·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ Ì·ÁÈÎfi˜ Ù‡Ô˜, ÙfiÙ ۛÁÔ˘Ú· ı· ÁϛوÓ ·fi ÊÔ‚ÂÚ‹ ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÔÏÏÔ‡˜ ÂÚ¢ÓËÙ¤˜. Ÿˆ˜ ›Ûˆ˜
Ì·ÓÙ¤„·ÙÂ, Ú¿ÁÌ·ÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ·˘Ù‹
Ë Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ «Û˘ÓÙ·Á‹» Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ·
ÙˆÓ ¶ÚÒÙˆÓ ∞ÚÈıÌÒÓ (ηıfiÏÔ˘
ÚˆÙfiÙ˘Ô fiÓÔÌ·, fï˜ ‰ÂÓ ·Ê‹ÓÂÈ
ÙÔ ·Ú·ÌÈÎÚfi ÂÚÈıÒÚÈÔ ÁÈ· ·ÚÂÚÌËÓ›˜, ‰ÂÓ ÓÔÌ›˙ÂÙÂ;). ∂¿Ó Û˘Ì‚Ô-
ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·ÏÈÓ ‰ÚÔÌÈÎfi˜ fiÙ·Ó ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ›‰ÈÔ˜,
·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙË ÊÔÚ¿ ÁÚ·Ê‹˜
(·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÚÔ˜ ‰ÂÍÈ¿ ‹ ‰ÂÍÈ¿ ÚÔ˜
·ÚÈÛÙÂÚ¿). ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ·ÏÈÓ ‰ÚÔÌÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÔÈ
11, 121, 5005 Î.¿. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙÂ fiÙÈ
Ë È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ «·ÏÈÓ‰ÚÔÌÈÎfiÙË
Ù·˜» ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·
·Ú›ıÌËÛ˘! ™ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·,
ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ô ·ÚÈıÌfi˜ 11 ›ӷÈ
·ÏÈÓ‰ÚÔÌÈÎfi˜. ŸÌˆ˜ ÛÙÔ ‰˘·‰ÈÎfi
ÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ 1011, ÔfiÙ Û ·˘Ùfi
‰ÂÓ Â›Ó·È. °È· ¤Ó· ‰ÔṲ̂ÓÔ Û‡ÛÙË
Ì· ·Ú›ıÌËÛ˘, ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÔÓÔ Ì¿˙ÂÙ·È ·ÏÈÓ‰ÚÔÌÈÎfi˜ ÚÒÙÔ˜
fiÙ·Ó Â›Ó·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ·ÏÈÓ‰ÚÔÌÈ
Îfi˜ Î·È ÚÒÙÔ˜ (ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÙÔ Â¿Ó
Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ‹ fi¯È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ó· ο ÓÂÈ Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘). √È
‰Âη¤ÓÙ ÚÒÙÔÈ ‰Âη‰ÈÎÔ› ·ÏÈÓ
‰ÚÔÌÈÎÔ› ÚÒÙÔÈ Â›Ó·È ÔÈ 2, 3, 5, 7,
11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353,
373, 383, 727. √ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÁÓˆ ÛÙfi˜ ·ÏÈÓ‰ÚÔÌÈÎfi˜ ÚÒÙÔ˜ ›ӷÈ
Ô 10 130022 +3761673 . 10 65008 +1 (ÌÈÎÚÔ ÛÎÔÈÎfi˜, Û˘ÁÎÚÈÓfiÌÂÓÔ˜ Ì ÙÔ ÌÂ
Á·Ï‡ÙÂÚÔ ÁÓˆÛÙfi ÚÒÙÔ, ÙÔÓ 43Ô
ÚÒÙÔ ÙÔ˘ Mersenne). ∂›Ó·È ¿ÁÓˆ
ÛÙÔ ·Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚÔÈ ‰Âη‰È
ÎÔ› ·ÏÈÓ‰ÚÔÌÈÎÔ› ÚÒÙÔÈ.
23 5 7
88 D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006
Ï›ÛÔ˘Ì Ì (x) ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ÙÔ x,
ÙfiÙ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ
(x) ~ x / lnx
√ Adrien-Marie Legendre ‹Ù·Ó Ô
ÚÒÙÔ˜ Ô˘ «˘Ô„È¿ÛÙËλ fiÙÈ
ÈÛ¯‡ÂÈ Ô ·Ú·¿Óˆ Ù‡Ô˜, ÙÔ 1798.
¶ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi ¤Ó·Ó ·ÈÒÓ· ·ÚÁfiÙÂÚ·, ÙÔ 1896, ÔÈ Jacques Hadamard
Î·È De la ValléÈe Poussin ·¤‰ÂÈÍ·Ó
ÙËÓ ÈÛ¯‡ ÙÔ˘, ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ·. ¶ÚÈÓ ‰Ô‡Ì ÌÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· fiÙÈ Ô Ù‡Ô˜ Ú¿ÁÌ·ÙÈ
‰Ô˘Ï‡ÂÈ, ÔÊ›ÏÔ˘Ì ӷ οÓÔ˘Ì ÌÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ. ∫·Ù’ ·Ú¯¿˜, ÙÔ
ۇ̂ÔÏÔ «» Â‰Ò ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ì›·
Û¯¤ÛË Ì ÙÔ ÁÓˆÛÙfi ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÈıÌfi,
ÙÔ ÏfiÁÔ Ù˘ ÂÚÈʤÚÂÈ·˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘. ∆Ô ‰Â
ۇ̂ÔÏÔ «~» ÛËÌ·›ÓÂÈ «ÂÚ›Ô˘
›ÛÔ». ªÂ ·Ï¿ ÏfiÁÈ·, ‰ÂÓ ˘ÔÓÔ›
·˘ÛÙËÚ‹ ·ÏÏ¿ ¯·Ï·Ú‹ −‹ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈ΋, ·Ó ı¤ÏÂÙÂ− ÈÛfiÙËÙ·. ∆¤ÏÔ˜, ÙÔ
«lnx» Â›Ó·È Ô ÓÂ¤ÚÈÔ˜ ÏÔÁ¿ÚÈıÌÔ˜
ÙÔ˘ x. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÌÈ· ÂÍ·ÈÚÂÙÈο
‰ËÌÔÊÈÏ‹ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ∂¿Ó ‰ÂÓ ÙËÓ ¤¯ÂÙÂ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ ‹
‰ÂÓ ÙË ı˘Ì¿ÛÙ ·fi Ù· Ï˘ÎÂȷο
¯ÚfiÓÈ·, ı· ÙË ‚Ú›Ù Û ·ÚÎÂÙ¿ ÎÔÌÈÔ˘ÙÂÚ¿ÎÈ· ÙÛ¤˘: ∞ÚΛ Ó· ‰ÒÛÂÙ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x, Ó· ·Ù‹ÛÂÙ ÙÔ ÎÔ˘Ì¿ÎÈ «lnx» Î·È ·Ì¤Ûˆ˜
ı· Û·˜ ÂÈÛÙÚ·Ê› ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
∆Ô £ÂÒÚËÌ· ÙˆÓ ¶ÚÒÙˆÓ ∞ÚÈıÌÒÓ,
ÏÔÈfiÓ, Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ¤Ó·Ó ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi
Ù‡Ô ÁÈ· ÙÔ Ì¤ÙÚËÌ· ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ
Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ¤Ó· ‰ÔṲ̂-
∞fiÚÚÔÈ· ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ¶ÚÒÙˆÓ ∞ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È fiÙÈ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ô Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈı
Ìfi˜ m Ó· Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È ÂÚ›Ô˘ ÌÂ
1/lnm. °È· Ôχ ÌÂÁ¿Ï· m Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ù›ÓÂÈ
ÛÙÔ Ìˉ¤Ó, ¯ˆÚ›˜ ÔÙ¤ fï˜ Ó· Á›ÓÂÙ·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ìˉ¤Ó: √È ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ
«·Ú·ÈÔ›» ̤۷ ÛÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜, ·˘Ùfi fï˜ ‰ÂÓ ÙÔ˘˜ ÂÌÔ‰›˙ÂÈ Ó· Â›Ó·È ¿ÂÈÚÔÈ Û Ï‹ıÔ˜!
11 13
-
17
D I S C O V E R Y&SC IENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006 89
ƒˆÛÈ΋ ÁÂÏÔÈÔÁÚ·Ê›· Ô˘ Û·ÙÈÚ›˙ÂÈ ÙËÓ
Ú·ÎÙÈ΋ ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ· ÌÈ·˜ Ì˯·Ó‹˜
˘ÔÏÔÁÈÛÌÒÓ, Ì ‚¿ÛË ÙËÓ È‰Â·Ù‹ Ì˯·Ó‹
ÙÔ˘ Turing. ∫·È fï˜, ¯¿ÚË ÛÙȘ ıˆÚËÙÈ
Τ˜ ÌÂϤÙ˜ ÙÔ˘ Alan Mathison Turing
(1912-1954) η٤ÛÙË ‰˘Ó·Ù‹ Ë Î·Ù·Û΢‹
ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ. ∞ÎfiÌË Î·È ÔÈ
ÛËÌÂÚÈÓÔ› Â›Ó·È «˘ÔÏÔÁÈÛÙÈο» ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔÈ
Ì ÌÈ· Ì˯·Ó‹ Turing, ˘fi ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· fiÙÈ
˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ fi,ÙÈ ÌÔÚ› Ó· ˘Ô
ÏÔÁ›ÛÂÈ ÌÈ· ȉ·ً Ì˯·Ó‹ Turing.
-
-
∆˘¯·›Â˜
ÛÙ·ÁfiÓ˜
‚ÚÔ¯‹˜
ÓÔ ·ÚÈıÌfi x. ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ¤ˆ˜ Û‹ÌÂÚ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ‚ÚÂı› ¤Ó·˜ ·ÎÚÈ‚‹˜ Ù‡Ô˜ ÁÈ· ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÛÎÔfi. ªÔÏ·Ù·‡Ù·,
Ô ˘¿Ú¯ˆÓ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi˜ Ù‡Ô˜
‰Ô˘Ï‡ÂÈ Ì ÂÎÏËÎÙÈ΋ (ÔÙ¤ fï˜
Ì ·fiÏ˘ÙË) ·ÎÚ›‚ÂÈ·, ȉȷ›ÙÂÚ· ÁÈ·
ÌÂÁ¿Ï˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·,
·Ó x = 1000, ÙfiÙÂ (1000) ~
1000/ln1000 ~ 144,765. ∞fi ÙÔÓ ›Ó·Î· Ô˘ ·Ú·ı¤Û·Ì ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ‹
ÌÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ÚÔÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜
fiˆ˜ ÙÔ Mathematica, ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ
Ë ·ÎÚÈ‚‹˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ (x) Â›Ó·È 168. ∆Ô
Ï¿ıÔ˜ Ô˘ ˘ÂÈÛ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ
ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi Ù‡Ô Â›Ó·È Á‡Úˆ ÛÙÔ
13,8%. °È· x = 1000000, Ë ·ÎÚÈ‚‹˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ (x) Â›Ó·È 78.498 Î·È Ë ÚÔ-
∃
°È·Ù› ··ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ó· ÂÓÔ¯ÏÔ‡Ó ÙÔ˘˜
·ÎÓÔ˘˜ ÛÙË ªÂÁ¿ÏË µÚÂÙ·Ó›·;
90 D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006
ÛÂÁÁÈÛÙÈ΋ 72.382,4, ÁÂÁÔÓfi˜ Ô˘ ÌÂÙ·ÊÚ¿˙ÂÙ·È Û ¤Ó· ÛÊ¿ÏÌ· ÂÚ›Ô˘
7,8%. °È· ·ÎfiÌ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘
x, ·˜ ԇ̠1000000000, ÙÔ ÛÊ¿ÏÌ·
ÂÚÈÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ 5,1%. Œ¯ÂÙ ˘fi„Ë,
¿ÓÙˆ˜, fiÙÈ ÙÔ ÛÊ¿ÏÌ· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙÂ
ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ 0, ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÌÂÁ¿ÏË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x Î·È ·Ó ¿ÚÔ˘ÌÂ: √
Ù‡Ô˜ ÁÈ· ÙÔ (x) Â›Ó·È ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎfi˜ Î·È ·˘Ùfi ÔÙ¤ ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙ÂÈ!
∞Ó·¿ÓÙ¯˜ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ
™ÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ
¶ÚÒÙˆÓ ∞ÚÈıÌÒÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜
ÎÚ˘Ì̤ÓÔ˜ fiÚÔ˜ Ô˘ ‰ÂÓ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, Ô ÔÔ›Ô˜ ‚Á·›ÓÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·
ÌÂ ÙË ÌÔÚÊ‹ ÂÓfi˜ ÚÔÛÂÁÁÈÛÙÈÎÔ‡
#
ÛÊ¿ÏÌ·ÙÔ˜. °È· ·ÚÎÂÙ¿ ÌÂÁ¿Ï˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ÙÔ ÛÊ¿ÏÌ· ÌÈÎÚ·›ÓÂÈ, ÔÙ¤
fï˜ ‰ÂÓ ÂÍ·ÓÂÌ›˙ÂÙ·È. °È· Ó· ›̷ÛÙ ·fiÏ˘Ù· ÂÈÏÈÎÚÈÓ›˜, ÔÊ›ÏÔ˘ÌÂ
Ó· ԇ̠fiÙÈ ÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ¤¯Ô˘Ó
‚ÚÂÈ ÙÚfiÔ Ó· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο ·˘Ùfi ÙÔÓ ÎÚ˘Ì̤ÓÔ fiÚÔ. ªfiÓÔ
Ô˘ ÛÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ ÙÔ˘˜ ηٿÊÂÚ·Ó Ó· ·Ôηχ„Ô˘Ó ¤Ó· ÙÂÚ¿ÛÙÈÔ
Ì˘ÛÙ‹ÚÈÔ, Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù·Ï·ÈˆÚ› Ù· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· ٷϤÓÙ· ÙˆÓ
Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ÁÈ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi
ÂÓ¿ÌÈÛË ·ÈÒÓ·.
™ÙÔÓ ÎÚ˘Ì̤ÓÔ fiÚÔ Ô˘ ˘ÔÓÔ›ٷÈ
·fi ÙÔÓ Ù‡Ô (x) ~ x / lnx, ÏÔÈfiÓ,
ÂÌϤÎÔÓÙ·È fiϘ ÔÈ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜
Ú›˙˜ Ù˘ ÏÂÁfiÌÂÓ˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘
°È·Ù› ·Ó‹ÎÔ˘Ó fiÏÔÈ ÛÙË ‚·Û›ÏÈÛÛ·.
¶ÚÒÙÔÈ
·ÚÈıÌÔ›
ƒ›˙˜ Ù˘
Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘
˙‹Ù· ÙÔ˘
Riemann
√ÌÔÈfiÌÔÚÊË
ηٷÓÔÌ‹
™¯ËÌ·ÙÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÎÂÓÒÓ ·Ó¿
ÌÂÛ· Û ÛÙ·ÁfiÓ˜ ‚ÚÔ¯‹˜, ÛÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜
·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÛÙȘ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ Ú›˙˜ Ù˘
Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ˙‹Ù· ÙÔ˘ Riemann. ™Â οıÂ
ÂÚ›ÙˆÛË, ·fi Ê˘ÛÈ΋˜ ÛÎÔÈ¿˜ ÌÔÚ›
Ó· ϯı› fiÙÈ Ë ÌË Î·ÓÔÓÈÎfiÙËÙ· ÛÙËÓ Î·
Ù·ÓÔÌ‹ ÚÔηÏÂ›Ù·È ·fi Ù˘¯·›Ô «ıfiÚ˘‚Ô».
-
-
«˙‹Ù·» ÙÔ˘ Riemann. ∂¿Ó ‚ڋηÙÂ
ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË ·ÏÏfiÎÔÙË, ÂÚÈ̤ÓÂÙ ӷ ‰Â›Ù ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·.
∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ˙‹Ù· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È
‰ÈÂıÓÒ˜ Ì ÙÔ ÂÏÏËÓÈÎfi ÁÚ¿ÌÌ· «˙»
Î·È ÔÚ›˙ÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ
ÌÈÁ·‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜:
˙(s) = ™ 1/k -s
√È ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È Â¤ÎÙ·ÛË
ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ, ˙Ô˘Ó ¿Óˆ ÛÂ ¤Ó·
Â›Â‰Ô (ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÎÔ‡ÓÙ·È
Û ÌÈ· ¢ı›·), ÂÓÒ ÌÈ· ¿ÂÈÚË Î·ÙËÁÔÚ›· ÂÍ ·˘ÙÒÓ, ÔÈ ÏÂÁfiÌÂÓÔÈ Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎÔ›, fiÙ·Ó ˘„ÒÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ‰›ÓÔ˘Ó ¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi
Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó!
∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÂÓfi˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙÂ
ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡ Â›Ó·È a+i.b, fiÔ˘ a, b ›ӷÈ
Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È i2 =-1 (Ê·ÓÙ·ÛÙÈ΋ ÌÔÓ¿‰·). ∆Ô a ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È
Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜, ÂÓÒ ÙÔ b Ê·ÓÙ·ÛÙÈÎfi. ∆ÒÚ·, οı ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜
s ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ ˙(s)=0 ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ú›˙· Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ˙‹Ù·.
À¿Ú¯Ô˘Ó ¿ÂÈÚÔÈ ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›
Ô˘ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ˙‹Ù·
(ÁÈ· ÙËÓ ·ÎÚ›‚ÂÈ·, fiÏÔÈ ÔÈ ˙˘ÁÔ› ·ÚÓËÙÈÎÔ›). ∂ÈÚfiÛıÂÙ·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ηÈ
¿ÂÈÚÔÈ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ› Ô˘ Â›Û˘ ÙË ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó. ªÈ· ÌÈÁ·‰È΋ Ú›˙· Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ˙ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË. ∆ÔÓ ∞‡ÁÔ˘ÛÙÔ ÙÔ˘ 1859, Û ÔÌÈÏ›· ÙÔ˘ ÛÙËÓ ∞η‰ËÌ›· ÙÔ˘ µÂÚÔÏ›ÓÔ˘, Ô 32¯ÚÔÓÔ˜ ÙfiÙ ̷ıËÌ·ÙÈÎfi˜
Bernhard Riemann ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ
fiϘ ÔÈ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ Ú›˙˜ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ˙‹Ù· ¤¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi
̤ÚÔ˜ 1/2 (ÂÈηۛ· ÙÔ˘ Riemann).
Œˆ˜ Û‹ÌÂÚ· ηÓ›˜ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ù·Ê¤ÚÂÈ Ó· ·ԉ›ÍÂÈ ·Ó Ë ÂÈηۛ· ·ÏËı‡ÂÈ ‹ fi¯È. ŸÏ˜ ÔÈ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜
Ú›˙˜ Ù˘ ˙(s), Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‚ÚÂı› ÌÂ
ÎÔÈÒ‰ÂȘ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ‹ Ì ÙË
‚Ô‹ıÂÈ· ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ,
¤¯Ô˘Ó fiÓÙˆ˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ 1/2.
øÛÙfiÛÔ, ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ ·˘Ùfi ·fi ÌfiÓÔ
ÙÔ˘ ‰ÂÓ ·ÔÙÂÏ› ·fi‰ÂÈÍË. ¶ÔÈÔ˜
Ì·˜ ϤÂÈ fiÙÈ Ë ÂfiÌÂÓË ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤ÓË Ú›˙· Ô˘ ı· ‚ÚÂı› ‰ÂÓ ı· ¤¯ÂÈ
Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi
1/2; ªfiÓÔ ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË ı·
ÍÂηı·Ú›ÛÂÈ Ù· Ú¿ÁÌ·Ù·, ·ÚΛ ‚¤‚·È· Ó· ÂÈÓÔËı›.
∂Ô̤ӈ˜ Ë Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ ÚÒÙˆÓ
·ÚÈıÌÒÓ ÂÌϤÎÂÈ −ηٿ ÙÚfiÔ ·Ó·¿ÓÙ¯Ô, ·ÎfiÌ· Î·È ÁÈ· ÙÔ˘˜ ¤ÌÂÈÚÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜− fiϘ ÙȘ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ Ú›˙˜ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ˙‹Ù·. ŸÌˆ˜ Ë Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È Â›Û˘ ¿ÁÓˆÛÙË. Œˆ˜ Û‹ÌÂÚ· ¤¯Ô˘Ì ÈÛ¯˘Ú¤˜ ÂӉ›ÍÂȘ fiÙÈ fiϘ
ÙÔ˘˜ ¤¯Ô˘Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ 1/2,
ˆÛÙfiÛÔ ‰ÂÓ Â›Ì·ÛÙ ·ÎfiÌ· ‚¤‚·ÈÔÈ.
∆· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Ê·ÓÙ¿˙Ô˘Ó ·ÚÎÂÙ¿
·ÊËÚË̤ӷ Î·È Ô ÂÈÚ·ÛÌfi˜ Ó·
·ÁÓÔËıÔ‡Ó, ˆ˜ ·ÓÔ‡ÛÈ· ηٷÛ΢¿ÛÌ·Ù· Ù˘ ˙ˆËÚ‹˜ Ê·ÓÙ·Û›·˜ ÙˆÓ
Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, Â›Ó·È ÌÂÁ¿ÏÔ˜. ∫·È
fï˜, ηٿ ¤Ó· ‰È·‚ÔÏÂ̤ÓÔ ÙÚfiÔ
ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Î·È ÔÈ ÌË ÙÂÙÚÈÌ̤Ó˜ Ú›˙˜ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ˙‹Ù·
Í·ÊÓÈο ‰ÈÂΉÈÎÔ‡Ó Ê˘ÛÈÎfi ÓfiËÌ·.
ªÂÏÂÙÒÓÙ·˜ ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ˘Ô·ÙÔÌÈÎÒÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ ÙÔ˘
΂·ÓÙÈÎÔ‡ ÌÈÎÚfiÎÔÛÌÔ˘, ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ›
·›˙Ô˘Ó Ì ÙȘ ȉÈÔÙÈ̤˜ Ù˘¯·›ˆÓ,
¿ÂÈÚˆÓ ÂÚÌËÙÈ·ÓÒÓ ÈÓ¿ÎˆÓ (ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÂÍ·ÈÚÂÙÈο ¯Ú‹ÛÈÌ· Ì·ıËÌ·ÙÈο ÂÚÁ·Ï›·, Ô˘ ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘ ·‰˘Ó·Ùԇ̠ӷ Û·˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì − ¯ÒÚÈ· Ô˘ ÎÈÓ‰˘Ó‡ԢÌÂ
·fi ÂÙÚÔ‚ÔÏÈÛÌfi). ¶ÚÔ˜ ÌÂÁ¿ÏË
ÙÔ˘˜ ¤ÎÏËÍË, Ê˘ÛÈÎÔ› Î·È Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ·Ó·Î¿Ï˘„·Ó fiÙÈ Ë Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ
ȉÈÔÙÈÌÒÓ ·˘ÙÒÓ ÌÔÈ¿˙ÂÈ «‡ÔÙ·»
Ì ÙËÓ Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙˆÓ ÌË ÙÂÙÚÈÌÌ¤ÓˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ˙‹Ù·.
∂ÛÙÈ¿˙ÔÓÙ·˜ Í·Ó¿ ÛÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜
·ÚÈıÌÔ‡˜, ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·
Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È fiÙÈ ÔÈ ÌË Î·ÓÔÓÈÎfiÙËÙ˜ Ô˘ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ
ηٷÓÔÌ‹ ÙÔ˘˜ ÚÔ¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù˘¯·›Ô ıfiÚ˘‚Ô.
™ÙÔ ÌÂٷ͇, ÔÈ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ› ÂȯÂÈÚÔ‡Ó Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ó ÙËÓ ·Ï‹ıÂÈ· ‹
ÙÔ „‡‰Ô˜ Ù˘ ÂÈηۛ·˜ ÙÔ˘
Riemann. £· ·ÏÏ¿ÍÂÈ Î¿ÙÈ ÛÙË ˙ˆ‹
Ì·˜ ·Ó Ù· ηٷʤÚÔ˘Ó; ÿÛˆ˜ Ó·È,
›Ûˆ˜ fi¯È. £· ÚÔ·„Ô˘Ó Ú·ÎÙÈΤ˜
ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜; ÿÛˆ˜ Ó·È, ›Ûˆ˜ fi¯È. Œ¯ÂÈ
ÓfiËÌ· Ë Î·ı·Ú‹ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ·Ó·˙‹ÙËÛË, ¯ˆÚ›˜ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ÍÂοı·ÚÔ˜ Ú·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜; ™›ÁÔ˘Ú· Ó·È. ∞ÚΛ Ó· ¤¯ÂÙ ˘fi„Ë fiÙÈ Ë
ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ ‚·Û›˙ÂÙ·È, ÂÓ ÔÏÏÔ›˜, Û ηı·Ú¿ ıˆÚËÙÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙˆÓ Kurt Gödel
Î·È Alan Turing. √ÔÈ·‰‹ÔÙÂ
¿Ô„Ë ÂÈÙ¿ÛÛÂÈ −‹ ¤ÛÙˆ
˘ÔÓÔ›− ÙËÓ ÂÍ¿ÛÎËÛË ÌfiÓÔ «¯Ú‹ÛÈÌ˘» ÂÈÛÙ‹Ì˘ Â›Ó·È ÛÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË ÁÂÏÔ›· Î·È ÛÙË
¯ÂÈÚfiÙÂÚË ÂÈΛӉ˘ÓË.
D I S C O V E R Y&SCIENCE | ª∞ƒ∆π√™ 2006 91