MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2005
Cuarta Fase – Nivel 1
19 de noviembre de 2005
-
La prueba tiene una duración máxima de 4 horas.
No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
Cada problema bien resuelto y debidamente justificado se calificará con 25 puntos.
Entrega sólo tu cuadernillo de soluciones
JUSTIFICA ADECUADAMENTE TODOS LOS PASOS DE TU SOLUCIÓN
1. Un artesano fabricó cierta cantidad de ollas de barro el día lunes. El martes fabricó 20 ollas
más, con lo cual llegó a tener más de 64 ollas. El día miércoles se dedicó solamente a
vender las ollas que tenía y logró vender 40 ollas. Después de su venta observa que aunque
tuviera el doble de lo que le queda, no llegaría a tener 60 ollas. ¿Cuántas ollas pudo haber
fabricado el artesano el día lunes? Considera todas las posibilidades.
Solución
Sea x la cantidad de ollas que el artesano fabricó el día lunes. Luego,
x + 20 > 64
x > 44
Luego de vender las ollas el día miércoles le quedan ( x + 20) − 40 = x − 20 ollas. Entonces:
2( x − 20) < 60
2 x < 100
x < 50
Como 44 < x < 50 , el día lunes el artesano pudo haber fabricado 45, 46, 47, 48 ó 49 ollas.
2. Ocho cubitos idénticos, los cuales tienen puntos en sus caras, han sido pegados para
formar un cubo grande como el que se muestra en la siguiente figura:
¿Cuántos puntos, como mínimo, puede haber en total en las tres caras ocultas del cubo
grande?
Nota: Ten en cuenta que los cubitos no son como los dados que se usan para juegos de azar.
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Solución
Se observa que la cara que tiene 3 puntos es adyacente a la cara que tienen 1 punto, a la cara
que tiene 5 puntos, a la que tiene 6 puntos y a la que tiene 7 puntos. Así, la cara de 3 puntos
queda frente a la cara de 4 puntos.
Las orientaciones de los puntos de las caras permiten determinar de manera única cómo se
encuentran distribuidos los puntos en cada cubito, según se muestra a continuación:
Luego, para contar los puntos en las tres caras ocultas del cubo grande etiquetamos a los ocho
cubitos de acuerdo a su ubicación de la siguiente manera:
donde el cubo oculto es etiquetado con el número 8.
Las tres caras ocultas del cubo grande están formadas por las siguientes doce caras de cubitos
pequeños:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
Una cara del cubito 2, la cual contiene un solo punto.
Una cara del cubito 3, la cual contiene seis puntos.
Una cara del cubito 5, la cual contiene seis puntos.
Dos caras del cubito 4, las cuales contienen 1 y 5 puntos, o 7 y 6 puntos.
Dos caras del cubito 6, las cuales contienen 7 y 4 puntos, o 1 y 3 puntos.
Dos caras del cubito 7, las cuales contienen 5 y 3 puntos, o 6 y 4 puntos.
Tres caras que forman un vértice.del cubito 8
Como las caras con 3 y 4 puntos no forman ningún vértice, entonces la menor cantidad de
puntos en tres caras que forman un vértice del cúbito 8 es 1 + 3 + 5 = 9 puntos.
Finalmente, la menor cantidad de puntos en las tres caras ocultas del cubo grande es:
1+ 6 + 6 + (1 + 5) + (1 + 3) + (5 + 3) + (1 + 3 + 5) = 40
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3. María escribió en la pizarra todos los números de cuatro cifras que son cuadrados
perfectos y Juan escribió debajo de cada uno de estos números la suma de sus cifras.
¿Cuál es el mayor número que escribió Juan?
Solución
Demostraremos que la mayor suma de dígitos es 31 y ocurre para 83 2 = 6889 .
En primer lugar notemos que la suma de dígitos de un número de cuatro cifras es un valor que
puede variar entre 1 y 36.
Todo número tiene una de las siguientes formas: (3k), (3k+1) y (3k+2). Cuando los elevamos al
cuadrado se obtienen :
(3k )2 = 9k 2
(3k + 1)2 = 9k 2 + 6k + 1 = 3(3k 2 + 2k ) + 1
(3k + 2)2 = 9k 2 + 12k + 4 = 3(3k 2 + 4k + 1) + 1
Es decir, los cuadrados perfectos son múltiplos de 9 o son múltiplos de 3 más 1. Pero los
números que son múltiplos de 9 tienen como suma de cifras un valor que es múltiplo de 9 y los
números que son múltiplos de 3 más 1 tienen como suma de cifras un valor que es múltiplo de 3
más 1.
En consecuencia, los únicos valores mayores que 31 que se podrían obtener al sumar los
dígitos de un cuadrado perfecto son 34 y 36.
Es claro que el único número con suma de dígitos 36 es 9999, que no es un cuadrado perfecto.
Si la suma de las cifras de un número de cuatro cifras fuera 34, sus dígitos serían tres nueves y
un siete, o en todo caso, dos ochos y dos nueves. Los únicos números que cumplen estas
condiciones son:
7999, 9799, 9979, 9997; 8899, 8989, 8998, 9889, 9898 y 9988.
Pero un número ubicado entre dos cuadrados perfectos consecutivos no es cuadrado perfecto.
Luego, como:
89 2 = 7921 < 7999 < 8100 = 90 2
93 2 = 8649 < 8899 < 8936 = 94 2
94 2 = 8936 < 8989; 8998 < 9025 = 95 2
98 2 = 9604 < 9799 < 9801 = 99 2
99 2 = 9801 < 9889; 9898; 9988; 9979; 9997 < 10000 = 100 2
ninguno de estos 10 números es cuadrado perfecto.
Queda demostrado así que el mayor valor que se puede obtener al sumar los dígitos de un
cuadrado perfecto es 31.
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4. En un tablero cuadriculado de 5 filas y 401 columnas se deben escribir los números del 1 al
2005, uno en cada casilla.
(a) ¿Cómo puedes ubicar los números en el tablero para que la suma de los números de cada
fila sea múltiplo de 5 y la suma de los números de cada columna también sea múltiplo de 5?
(b) ¿Cómo puedes ubicar los números en el tablero para que la suma de los números de cada
fila sea múltiplo de 17 y la suma de los números de cada columna también sea múltiplo de
17?
Nota: Las filas son horizontales y las columnas son verticales.
Solución
(a) El siguiente tablero cumple las condiciones pedidas por el problema:
3
1
4
2
5
8
6
9
7
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
……
……
……
……
……
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
La suma de cinco números enteros consecutivos cualesquiera es igual a 5 veces el número
central, por ello se cumple, en este tablero, que la suma de los números de cada columna es
múltiplo de 5.
Por otro lado, en la primera fila se tiene que los 399 números de la derecha dejan 1 como resto
al ser divididos entre 5. Luego, como 3 + 8 + 399×1 es múltiplo de 5, entonces la suma de los
números de la primera fila es múltiplo de 5.
Las sumas de los números de las otras filas también son múltiplos de 5, pues los números
1 + 6 + 399 × 2 = 805,
4 + 9 + 399 × 3 = 1210,
2 + 7 + 399 × 4 = 1605
5 + 10 + 399 × 0 = 15,
son todos múltiplos de 5.
(b) Consideremos el siguiente tablero de 5 filas y 17 columnas:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
13 9
5
1 14 10 6
2 15 11 7
3
13
13
13
13
16
14
14
14
14
12
15
15
15
15
8
16
16
16
16
4
17
17
17
17
17
La suma de los números en las columnas es 17, 34, 51, 68 u 85, todos múltiplos de 17, mientras
que la suma de los números en cada fila es 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153 = 9 × 17.
Si a este tablero se le suma 17 a cada número de la segunda fila, 34 a cada número de la
tercera fila, 51 a cada número de la cuarta fila y 68 a cada número de la quinta fila, obtenemos
un tablero A de 5 filas y 17 columnas, con todos los números del 1 al 85, donde la suma de los
números de cada fila y cada columna es múltiplo de 17.
Si a cada número en el tablero A se le suma 85 = 17 × 5, obtenemos un nuevo tablero con los
números desde 86 hasta 85 × 2, el cual cumple que la suma de los números de cada fila y cada
columna es múltiplo de 17.
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De igual modo, si a cada número en el tablero A se le suma 2 × 85 = 17 × 10, obtenemos un
nuevo tablero con los números desde (85 × 2 + 1) hasta 85 × 3, el cual cumple que la suma de
los números de cada fila y cada columna es múltiplo de 17.
Si vamos ubicando uno a continuación de otro estos tableros, podemos obtener un tablero B de
5 filas y 17 × 23 columnas, con los números del 1 al 85×23 = 1955 donde la suma de cada fila y
cada columna es múltiplo de 17.
De otro lado, consideremos el siguiente tablero de 5 filas y 10 columnas:
17
45
42
44
39
34
40
43
41
46
1
5
28
18
33
16
12
23
50
35
2
6
26
32
19
15
11
25
36
49
3
7
24
20
31
14
10
27
48
37
4
8
22
30
21
13
9
29
38
47
Este último tablero lleva los números del 1 al 50 y tiene la suma de cada fila y cada columna
múltiplo de 17. Se puede verificar fácilmente que la suma de cada fila es múltiplo de 17, pues en
cada fila el primer y segundo número tienen suma múltiplo de 17. Esto mismo sucede con el
tercero y cuarto, con el quinto y sexto, con el séptimo y octavo, así como con el noveno y
décimo. De otro lado, la suma de la primera columna es 187 =17 × 11, la suma de la segunda
columna es 204 = 17 × 12, la suma de las demás columnas de lugar impar es 85 = 17 × 5 y la
suma de las demás columnas de lugar par es 136 = 17 × 8.
Si a cada número en este último tablero se le suma 85 × 23 = 1955 obtenemos un tablero C de
5 filas y 10 columnas con los números de 1956 hasta 2005 donde la suma de cada fila y cada
columna es múltiplo de 17.
Juntando los tableros B y C obtenemos respuesta al problema.
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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