САНКТПЕТЕРБУРГ
МОСКВА
КРАСНОДАР
2021
Л. В. НАЛИВАЙКО,
Н. В. ИВАШИНА,
Ю. Д. ШМИДТ
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
САНКТПЕТЕРБУРГ
МОСКВА
КРАСНОДАР
2021
УДК 51
ББК 28.63я723
Н 23
Наливайко Л. В. Математика для экономистов. Сборник
заданий : учебное пособие для СПО / Л. В. Наливайко,
Н. В. Ивашина, Ю. Д. Шмидт. — СанктПетербург : Лань,
2021. — 432 с. : ил. — Текст : непосредственный.
ISBN 9785811468300
Учебное пособие предназначено для организации самостоятельной
работы студентов экономических специальностей, а также может быть
использовано преподавателями при подготовке и проведении практических
занятий, контрольных работ, зачетов и экзаменов. Сборник содержит задачи
по следующим разделам дисциплины «Математика»: линейная алгебра,
аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление, комплексные
числа, функции нескольких переменных, интегральное исчисление, теория
рядов, теория вероятностей. Каждый раздел сборника содержит инди
видуальные домашние задания и примеры для проведения аудиторных
контрольных работ.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направ
лениям группы «Экономика и управление» среднего профессионального
образования.
УДК 51
ББК 28.63я723
Îáëîæêà
Ю. В. ГРИГОРЬЕВА
© Издательство «Лань», 2021
© Коллектив авторов, 2021
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2021
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время в России появилось достаточно много учебников и учебных
пособий по математике для экономических специальностей, отражающих
современные взгляды и подходы к преподаванию этой дисциплины. Разумеется,
все они разные по стилю, уровню и глубине предлагаемого материала, но среди
этого многообразия книг имеется явный недостаток учебно"методической
литературы для обеспечения практических занятий и самостоятельной работы
студентов.
Предлагаемое вниманию преподавателей и студентов учебное пособие
может частично восполнить имеющийся пробел. Оно написано в соответст"
вии с действующими программами дисциплины «Математика» для экономи"
ческих специальностей. Весь практический материал по курсу разделен на
главы, в каждой из которых даются необходимые теоретические сведения
(основные определения, понятия, формулировки теорем, формулы),
необходимые для решения задач соответствующего раздела. По основным
темам курса приводятся индивидуальные домашние задания (ИДЗ) и ауди"
торные контрольные работы. В пособии приведены ответы ко всем задачам,
включенным в индивидуальные домашние задания, что позволяет препода"
вателю значительно упростить проверку домашних заданий и применять дан"
ное пособие при модульном и рейтинговом методах обучения.
Сборник содержит задачи по следующим разделам математики: линей"
ная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциаль"
ное исчисление, комплексные числа, функции нескольких переменных, ин"
тегральное исчисление, теория рядов, теория вероятностей.
При подготовке пособия учитывалось то, что наиболее эффективной фор"
мой обучения является самостоятельная работа студента под наблюдением и
контролем преподавателя. Именно поэтому сборник содержит большое ко"
личество упражнений, достаточное для выработки навыков решения типо"
вых примеров и задач.
В конце пособия приводится список литературы, в который вошли ис"
точники, использованные при составлении сборника, а также учебники, со"
держащие теоретический материал, который будет полезен студенту при ре"
шении задач.
1.
ЭЛЕМЕНТЫ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
П
рямоугольная таблица, составленная из m строк и n столбцов элементов
aij, называется матрицей размерности m´n и записывается в круглых скоб
ках. Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i эле
мента aij обозначает номер строки, а второй j — номер столбца, на пересече
нии которых находится этот элемент в матрице. Матрицы, у которых m = n,
называются квадратными.
Рассмотрим основные операции над матрицами.
1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются только для
матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) матриц A и B, обозна
чаемой A + B (A – B), называется матрица C, элементы которой cij = aij + bij,
(cij = aij – bij), где aij и bij — соответственно элементы матриц A и B.
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A и числа k
называется матрица B = k × A той же размерности, элементы которой bij = kaij,
где aij — элементы матрицы A.
3. Умножение матриц. Произведением матрицы A размерности m´n на мат
рицу B размерности n´p называется матрица C размерности m´p, обозначается
n
C = A × B, элементы которой cij 1 2 ait btj , где ait, btj — элементы матриц A и B
t 11
соответственно. Умножение матриц определено только в том случае, когда име
ется согласование размерностей: число столбцов первого множителя A равно
числу строк второго множителя B.
Каждой квадратной матрице ставится в соответствие некоторое число,
которое называется определителем.
Определителем nго порядка называется число Dn, обозначается в виде
квадратной таблицы
a11 a12 ... a1n
a
a22 ... a2n
1n 2 21
,
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
7
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
вычисляемое согласно указанному ниже правилу. Для n = 2
12 2
a11
a21
a12
2 a11 3 a22 4 a12 3 a21 .
a22
Для n = 3
a11
13 2 a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 2 a11 3 a22 3 a33 4 a12 3 a23 3 a31 4
a33
4 a21 3 a32 3 a13 5 (a13 3 a22 3 a31 4 a12 3 a21 3 a33 4 a23 3 a32 3 a11 ).
Минором Mij элемента aij называется определитель (n – 1)+го порядка
Dn–1, полученный из определителя n+го порядка Dn вычеркиванием i+й стро+
ки и j+го столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число Aij =
= (–1)i+j × Mij.
Определитель n+го порядка Dn можно вычислить, раскладывая по любой
строке или столбцу:
Dn = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj,
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij определителя Dn.
Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее определитель
отличен от нуля.
Матрица A–1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n,
если A × A–1 = A–1 × A = E, где E — единичная матрица порядка n:
1 1 0 ... 0 2
3 0 1 ... 0 4
4.
E53
3 ... ... ... ... 4
3 0 0 ... 1 4
6
7
Для любой квадратной матрицы A равносильны следующие утверждения:
1) существует матрица X такая, что A × X = X × A = E;
2) существует матрица Y такая, что A × Y = E;
3) существует матрица Z такая, что Z × A = E;
4) матрица A является невырожденной.
Если матрица A невырожденная порядка n, то обратную матрицу A–1 мож+
но вычислить по формуле
2 A11
4A
1
7 4 12
A 11 6
| A | 4 ...
4A
8 1n
A21
A22
...
A2n
... An1 3
... An2 5
5,
... ... 5
... Ann 59
где |A| — определитель матрицы A, а Aij — алгебраические дополнения к эле+
ментам aij матрицы A.
8
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Выделим в матрице A k строк и k столбцов, где k £ min{m, n}. Определи&
тель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных
k строк и k столбцов, называется минором kго порядка матрицы A.
Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется число, равное наи&
большему порядку миноров матрицы A, отличных от нуля.
Базисным минором матрицы A называется всякий отличный от нуля ми&
нор, порядок которого равен рангу данной матрицы.
Ранг матрицы можно вычислить, используя метод окаймляющих мино&
ров. Минор Mk+1 порядка k + 1 матрицы A, содержащий в себе минор Mk
порядка k, называется окаймляющим минор Mk. Если у матрицы A сущест&
вует минор Mk ¹ 0, а все окаймляющие его миноры Mk+1 = 0, то rang A = k.
Система m уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn, имеющая вид
3a11x1 1 a12 x2 1 ... 1 a1n xn 2 b1 ,
44a x 1 a x 1 ... 1 a x 2 b ,
21 1
22 2
2n n
2
5
..................
4
46am1x1 1 am2 x2 1 ... 1 amn xn 2 bm ,
(1)
где aij — коэффициенты системы и bj — свободные члены, являющиеся дей&
ствительными числами для любых i, j, называется системой линейных урав
нений.
Система линейных уравнений называется невырожденной, если число
уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициен&
тов системы отличен от нуля.
Невырожденная система линейных уравнений имеет единственное ре&
шение.
Справедлива следующая теорема Кронекера–Капелли. Для того чтобы
система линейных уравнений вида (1) была совместна (имела хотя бы одно
решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов
системы A 1 (aij )i 11,m, j 11,n и ранг так называемой расширенной матрицы сис&
темы (1)
1 a11 a12 ... a1n b1 2
3a
a22 ... a2n b2 4
4
A 5 3 21
... ... ... ... 4
3 ...
3a
4
6 m1 am2 ... amn bm 7
были равны, т. е. rang A 1 rang A.
Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравне
ний. Введем в рассмотрение матрицы&столбцы для неизвестных и свободных
членов системы (1):
1 x1 2
1 b1 2
3x 4
3b 4
X 5 3 2 4, B 5 3 2 4.
3 ... 4
3 ... 4
3x 4
3b 4
6 n7
6 m7
9
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде A × X = B. Если
система линейных уравнений невырожденная, то решение системы можно
найти в виде X = A–1 × B, где A–1 — обратная матрица для матрицы A.
Формулы Крамера. Невырожденная система линейных уравнений (1)
1
имеет решение xi 2 i , где D — определитель матрицы A и Di — определи1
тель матрицы, полученной из матрицы A заменой i-го столбца на столбец
свободных членов исходной системы.
Метод последовательных исключений Гаусса. Следующие преобразования расширенной матрицы системы линейных уравнений (1) будем называть элементарными:
1) умножение строки на число и прибавление к другой строке;
2) умножение строки на число, отличное от нуля;
3) перестановка двух строк;
4) перестановка двух столбцов, за исключением последнего.
При элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы (1)
множество решений системы не изменяется, с учетом перенумерации переменных при перестановке столбцов.
Если матрица коэффициентов системы (1) имеет ранг r £ n, то расширенная матрица A этой системы с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду
3 1 c12
50 1
5
5 ... ...
50 0
5
50 0
50 0
7
...
...
...
...
...
...
c1r
c2r
...
1
...
...
c1r 21
c2r 21
...
crr 21
...
...
... c1n
... c2n
... ...
... crn
... 0
... 0
b11 4
b21 66
... 6
.
br1 6
6
br121 6
1 6
bm
8
(2)
Матрица (2) является расширенной матрицей следующей системы:
4x1 2 c12 x2 2 ... 2 c1r xr 2 c1r 21xr 21 2 ... 2 c1n xn 3 b11 ,
5
x2 2 ... 2 c2r xr 2 c2r 21xr 21 2 ... 2 c2n xn 3 b21 ,
5
........................
5
5
xr 2 crr 21xr 21 2 62 crn xn 3 br1 ,
7
5
0 3 br121 ,
5
......
5
5
0
3 bn1 ,
8
которая эквивалентна исходной системе (т. е. имеет те же самые решения,
что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел br121 ,..., bn1 отлично от
нуля, то система не имеет решений. Если же br121 3 ... 3 bn1 3 0, то исходная
система совместна и можно найти ее общее решение, выражая последовательно переменные xr, xr–1, ..., x2, x1 через свободные переменные xr+1, ..., xn,
т. е. x1 = f1(xr+1, ... xn), x2 = f2(xr+1, ... xn), ..., xr = fr(xr+1, ... xn). Тогда набор
(f1(xr+1, ..., xn), f2(xr+1, ..., xn), ..., fr(xr+1, ..., xn), xr+1, ..., xn) будет являться
общим решением системы линейных уравнений (1).
10
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
þ
Найти: 1) определитель D указанными двумя способами; 2) минор Mij
для указанных i, j; 3) алгебраическое дополнение Aij для указанных i, j.
1. 1) Разложить по элементам третьей строки; получить 3 нуля в четвер5
том столбце и разложить по нему; 2) M24; 3) A13.
3
1
12
2
1
1
0
3
1
2
1
5
2
5
4
.
1
0
2. 1) Разложить по элементам второго столбца; получить 3 нуля в четвер5
той строке и разложить по ней; 2) M21; 3) A43.
6
0
23
4
2
3
2
2
0
19
11
0
11
0
3
.
6
3
3. 1) Разложить по элементам третьего столбца; получить 3 нуля в чет5
вертой строке и разложить по ней; 2) M31; 3) A34.
2
1
12
3
0
7
1
4
5
2
1
0
1
1
0
.
2
3
4. 1) Разложить по элементам четвертой строки; получить 3 нуля во вто5
ром столбце и разложить по нему; 2) M32; 3) A23.
5
3
12
1
2
1
4
0
33
0
5
10
7
2
6
.
2
1
5. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля в третьем
столбце и разложить по нему; 2) M12; 3) A14.
12
5
23
4
13
4
3
15
2
16
1
11
8
8
3
.
15
12
11
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
6. 1) Разложить по элементам четвертой строки; получить 3 нуля во вто&
ром столбце и разложить по нему; 2) M33; 3) A21.
3
2
12
6
5
5
4
32
1
3
10
2
2
2
0
.
1
4
7. 1) Разложить по элементам третьей строки; получить 3 нуля во втором
столбце и разложить по нему; 2) M13; 3) A24.
0
1
23
4
3
13
12
15
0
1
0
3
2
4
3
.
0
15
8. 1) Разложить по элементам четвертого столбца; получить 3 нуля в треть&
ей строке и разложить по ней; 2) M43; 3) A21.
4
3
12
2
1
1
4
3
2
2
1
4
3
3
2
.
1
4
9. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля в первом
столбце и разложить по нему; 2) M43; 3) A31.
3
6
12
4
8
2
7
5
9
0
2
10
3
2
3
.
0
7
10. 1) Разложить по элементам четвертой строки; получить 3 нуля в пер&
вой строке и разложить по ней; 2) M21; 3) A31.
0 14
4 8
23
10 18
1 7
10 1
18 7
.
40 17
17 13
12
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
11. 1) Разложить по элементам второго столбца; получить 3 нуля в пер,
вой строке и разложить по ней; 2) M13; 3) A33.
1 11 3 2
2 11 11 6
23
.
1 1 13 3
2 12 6 5
12. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля во втором
столбце и разложить по нему; 2) M13; 3) A14.
5
3
23
2
3
13
2
1
12
7
0
4
9
11
2
.
16
4
13. 1) Разложить по элементам первого столбца; получить 3 нуля в чет,
вертой строке и разложить по ней; 2) M32; 3) A43.
1
2
12
3
4
2
3
4
1
3
4
1
1
4
1
.
2
5
14. 1) Разложить по элементам первой строки; получить 3 нуля в первом
столбце и разложить по нему; 2) M33; 3) A24.
1
3
23
5
3
8
12
13
2
2
0
7
0
13
4
.
11
2
15. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля в четвер,
том столбце и разложить по нему; 2) M31; 3) A43.
2
4
23
3
3
13
12
0
11
4
3
2
4
1
2
.
1
3
13
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
16. 1) Разложить по элементам третьей строки; получить 3 нуля во вто&
ром столбце и разложить по нему; 2) M43; 3) A12.
3
4
23
1
4
1
11
11
11
2
2
1
2
3
4
.
1
5
17. 1) Разложить по элементам третьей строки; получить 3 нуля во вто&
ром столбце и разложить по нему; 2) M13; 3) A24.
7
5
12
3
6
2
0
1
4
4
6
2
3
3
1
.
0
5
18. 1) Разложить по элементам второго столбца; получить 3 нуля в пер&
вой строке и разложить по ней; 2) M21; 3) A23.
1
1
12
1
1
1
2
3
4
1
3
6
10
1
4
.
10
20
19. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля в первом
столбце и разложить по нему; 2) M14; 3) A43.
1
1
12
2
2
1
2
3
3
2
2
1
1
3
3
.
5
9
20. 1) Разложить по элементам четвертого столбца; получить 3 нуля в пер&
вой строке и разложить по ней; 2) M31; 3) A42.
1
1
12
1
1
1
2
4
8
1
3
9
27
1
4
.
16
64
14
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
21. 1) Разложить по элементам третьего столбца; получить 3 нуля в пер,
вом столбце и разложить по нему; 2) M14; 3) A32.
1
12
23
3
4
2
1
14
3
3
14
11
12
4
3
.
2
11
22. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля в третьем
столбце и разложить по нему; 2) M34; 3) A11.
11
2
23
2
3
12
3
12
1
4
0
1
12
1
6
.
4
11
23. 1) Разложить по элементам четвертой строки; получить 3 нуля в чет,
вертом столбце и разложить по нему; 2) M31; 3) A23.
6
15
23
2
3
2
17
4
0
110
14
12
15
4
1
.
16
4
24. 1) Разложить по элементам второго столбца; получить 3 нуля во вто,
ром столбце и разложить по нему; 2) M43; 3) A24.
5
1
23
4
1
0
11
1
1
4
2
2
1
2
1
.
0
1
25. 1) Разложить по элементам первого столбца; получить 3 нуля в треть,
ей строке и разложить по ней; 2) M24; 3) A32.
1
2
12
1
2
1
3
2
3
2
1
2
1
3
5
.
3
9
15
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
26. 1) Разложить по элементам второго столбца; получить 3 нуля в треть'
ем столбце и разложить по нему; 2) M43; 3) A14.
0
3
23
2
4
5
2
1
0
11
0
.
5
3
3
4
1
1
27. 1) Разложить по элементам четвертого столбца; получить 3 нуля в
третьем столбце и разложить по нему; 2) M22; 3) A23.
1
3
23
1
4
11
2
2
0
0
1
11
1
3
11
.
3
2
28. 1) Разложить по элементам первого столбца; получить 3 нуля в треть'
ей строке и разложить по ней; 2) M32; 3) A43.
5
3
23
1
3
7
0
2
0
4
5
11
15
11
2
.
13
4
29. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля в первом
столбце и разложить по нему; 2) M43; 3) A34.
0
2
12
2
2
2
0
2
2
2
2
0
3
3
3
.
3
0
30. 1) Разложить по элементам третьей строки; получить 3 нуля в первом
столбце и разложить по нему; 2) M12; 3) A42.
1
2
23
3
14
0
11
0
2
12
0
11
1
3
3
.
2
3
16
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 2.
ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
þ
В вариантах 1–10 найти значение выражения 3BA + CB; в вариантах
11–20 найти значение выражения BA + 2CB; в вариантах 21–30 найти
значение выражения 2BA – CB.
1 1 2 32
1 31 0 2 2
11 22
1. A 6 4 0 1 3 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 0 2 31 8
70 18
4 1 2 31 5
7
8
1 5 2 12
1 0 3 32 2
15 22
2. A 6 4 3 31 4 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 1 2 18
7 3 318
42 7 05
7
8
2 1 14 3 3
2 3 11 2 3
2 1 14 3
3. A 6 4 3 2 12 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 11 2 0 8
73 28
4 15 4 0 5
7
8
12
1 1 0
1 1 31 4 2
11 02
4
4. A 6 3 2 32 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
72 1 08
73 28
4 32 4 0 5
7
8
1 2 2 12
1 3 0 32 2
12 22
4
5. A 6 1 3 1 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 1 1 28
71 38
4 31 0 31 5
7
8
2 0 12 12 3
2 11 0 12 3
2 0 12 3
6. A 6 4 15 2 4 5 , B 6 4
, C64
5.
5
4
5
18
7 1 4
7 15 2 8
4 3 1 55
7
8
2 1 1 11 3
2 3 2 03
2 1 13
7. A 6 4 7 14 3 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 0 11 3 8
7 7 14 8
4 15 2 11 5
7
8
13 2 52
1 2 33 0 2
13 22
4
8. A 6 5 7 3 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 2 1 31 8
75 7 8
43 1 55
7
8
1 1 3 72
1 3 1 22
11 32
9. A 5 3 2 7 1 4 , B 5 3
4 , C 5 32 7 4 .
3
4
0
6
1
2
7
8
7
8
3
4
7 0 62 4 8
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
2 7 12 2 3
2 11 2 1 3
2 7 12 3
10. A 6 4 1 1 3 5 , B 6 4
5 , C 6 4 1 15 .
4
5
0
1
1
7
8
7
8
4 15 9 3 5
7
8
11 9 02
1 0 2 33 2
11 9 2
11. A 6 4 1 34 15 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 1 31 2 8
71 34 8
43 2 25
7
8
1 1 2 02
1 1 33 4 2
11 22
12. A 6 4 3 7 5 5 , B 6 4
5 , C 6 43 7 5 .
4
5
2
1
0
7
8
7
8
4 35 34 315
7
8
2 5 11 0 3
2 1 3 23
2 5 11 3
13. A 6 4 2 11 1 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 0 1 28
7 2 11 8
4 15 3 0 5
7
8
2 0 1 12 3
2 4 0 13
2 0 13
14. A 6 4 12 2 9 5 , B 6 4
5 , C 6 4 12 2 5 .
4
5
0
1
1
2
7
8
7
8
4 4 2
158
7
1 3 7 52
1 1 31 12
13 7 2
15. A 6 4 3 34 0 5 , B 6 4
, C64
5.
5
4
5
7 4 0 318
7 3 34 8
4 0 2 15
7
8
1 1 7 12
1 31 1 0 2
11 72
16. A 6 4 4 1 2 5 , B 6 4
5, C 6 44 15.
4
5
1
0
5
7
8
7
8
4 35 2 0 5
7
8
12 2 32
1 35 31 12
12 22
17. A 6 4 1 2 3 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 0 2 18
71 28
41 1 15
7
8
2 3 2 12 3
2 0 12 1 3
23 23
18. A 6 4 3 12 115 , B 6 4
5 , C 6 4 3 12 5 .
4
5
4
1
1
1
7
8
7
8
4 1 1 115
7
8
1 0 2 52
1 31 2 312
10 22
4
19. A 6 7 9 3 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 3 0 18
77 98
4 31 31 4 5
7
8
17
18
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 6 15 3 3
2 1 0 13
2 6 15 3
20. A 6 4 11 7 5 5 , B 6 4
5 , C 6 4 11 7 5 .
4
5
3
1
1
1
7
8
7
8
4 0 4 15
7
8
1 12 3
24
13
2 1 3 12 3
24
21. A 6 4 2 13 0 5 , B 6 4
5 , C 6 4 2 13 5 .
4
5
1
1
0
1
7
8
7
8
43
1 12 58
7
1 1 2 42
1 3 1 12
1 1 22
22. A 5 3 61 7 0 4 , B 5 3
, C53
4
4.
3
4
7 0 63 1 8
7 61 7 8
3 0 3 54
7
8
2 2 1 11 3
2 2 12 13
2 2 13
23. A 6 4 2 13 0 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 3 0 118
7 2 13 8
4 1 1 11 5
7
8
1 2 7 52
1 31 2 31 2
1 2 72
24. A 6 4 33 34 0 5 , B 6 4
5 , C 6 4 33 34 5 .
4
5
3
3
0
2
7
8
7
8
4 32 2 9 5
7
8
2 1 2 13 3
2 2 2 11 3
21 2 3
25. A 6 4 1 0 4 5 , B 6 4
5 , C 6 41 0 5 .
4
5
0
1
2
1
7
8
7
8
4 5 3 12 5
7
8
1 22
14
1 1 31 1 2
14 12
4
26. A 6 0 2 7 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 3 32 31 8
7 0 28
4 5 32 33 5
7
8
1 1 4 22
14 2 02
11 42
27. A 5 3 7 62 1 4 , B 5 3
, C53
4
4.
3
4
7 0 61 618
7 7 62 8
3 63 64 0 4
7
8
1 1 2 02
1 0 1 32
11 22
28. A 5 3 3 2 3 4 , B 5 3
4 , C 5 33 24 .
3
4
6
1
2
0
7
8
7
8
3 65 61 2 4
7
8
2 15 14 7 3
2 1 14 1 3
2 15 14 3
29. A 6 4 3 2 1 5 , B 6 4
5 , C 6 4 3 25 .
4
5
2
0
1
7
8
7
8
4 4 0 25
7
8
2 3 1 12 3
2 2 14 13
23 13
4
30. A 6 1 3 1 5 , B 6 4
, C64
5
5.
4
5
7 1 0 18
71 38
4 9 15 0 5
7
8
19
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ИДЗ 3.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
þ
1. Систему решить методом Крамера; при этом: а) D вычислить по пра%
вилу треугольников; б) D1 вычислить, разложив по первой строке; в) D2
вычислить, разложив по второму столбцу; г) D3 вычислить, получив нули
в каком%либо столбце и разложив по нему.
33x1 1 2x2 1 x3 2 6,
4
1. 52x1 1 3x2 1 x3 2 1,
42x1 1 x2 1 3x3 2 7.
6
1 x3 2 1,
32x1
4
2. 62x1 5 4x2 1 x3 2 17,
4 x1 5 8x2 1 3x3 2 12.
7
4 x1 1 x2 1 2x3 2 34,
5
3. 62x1 3 x2 1 2x3 2 3,
54x1 1 x2 1 4x3 2 33.
7
4 x1 1 2x2 2 3x3 3 11,
5
4. 62x1 2 3x2 1 4x3 3 12,
53x1 1 2x2 1 5x3 3 5.
7
3x1 1 2x2 1 4x3 2 6,
4
5. 55x1 1 x2 1 2x3 2 3,
43x1 6 x2 1 x3 2 12.
7
3 x1 1 x2 1 2x3 2 8,
4
6. 62x1 5 x2 1 2x3 2 11,
44x1 1 x2 1 4x3 2 19.
7
4x1 1 x2 2 x3 3 5,
5
7. 68x1 1 3x2 2 6x3 3 23,
5
724x1 2 x2 1 3x3 3 210.
4x1 1 x2 1 2x3 2 34,
5
8. 62x1 3 x2 1 2x3 2 2,
54x1 1 x2 1 4x3 2 38.
7
32x1 1 x2 1 x3 2 19,
4
9. 63x1 5 4x2 1 2x3 2 6,
43x1 1 2x2 5 4x3 2 12.
7
3x1 1 x2 1 2x3 2 11,
4
10. 62x1 5 x2 1 2x3 2 8,
44x1 1 x2 1 4x3 2 22.
7
4x1 1 x2 2 x3 3 2,
5
11. 68x1 1 3x2 2 6x3 3 24,
5
724x1 2 x2 1 3x3 3 5.
33x1 1 4x2 1 2x3 2 15,
4
12. 62x1 5 x2 5 3x3 2 59,
4x1 1 5x2 1 x3 2 20.
7
4x1 1 x2 2 x3 3 22,
5
13. 68x1 1 3x2 2 6x3 3 12,
5
724x1 2 x2 1 3x3 3 29.
33x1 1 4x2 1 2x3 2 1,
4
14. 62x1 5 x2 5 3x3 2 0,
4x1 1 5x2 1 x3 2 53.
7
2 24,
37x1 1 5x2
4
15. 64x1
5 11x3 2 39,
42x1 5 3x2 5 4x3 2 33.
7
3x1 1 4x2 1 2x3 2 137,
4
16. 63x1 5 x2 5 x3 2 3,
413x1 5 5x2 5 6x3 2 76.
7
20
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 16,
37x1 1 5x2
4
17. 64x1
5 11x3 2 8,
42x1 5 3x2 5 4x3 2 16.
7
3x1 1 4x2 1 2x3 2 19,
4
18. 63x1 5 x2 5 x3 2 14,
413x1 5 5x2 5 6x3 2 18.
7
2 11,
37x1 1 5x2
4
19. 64x1
5 11x3 2 52,
42x1 5 3x2 5 4x3 2 29.
7
3x1 1 4x2 1 2x3 2 119,
4
20. 63x1 5 x2 5 x3 2 14,
413x1 5 5x2 5 6x3 2 36.
7
3x1 1 2x2 1 4x3 2 16,
4
21. 55x1 1 x2 1 2x3 2 8,
43x1 6 x2 1 x3 2 10.
7
32x1 1 x2 1 x3 2 4,
4
22. 63x1 5 4x2 1 2x3 2 11,
43x1 1 2x2 5 4x3 2 11.
7
3x1 1 2x2 1 4x3 2 19,
4
23. 55x1 1 x2 1 2x3 2 14,
43x1 6 x2 1 x3 2 9.
7
4x1 1 x2 1 2x3 2 31,
5
24. 62x1 3 x2 1 2x3 2 34,
54x1 3 x2 1 4x3 2 32.
7
33x1 1 2x2 1 x3 2 1,
4
25. 52x1 1 3x2 1 x3 2 4,
42x1 1 x2 1 3x3 2 0.
6
42x1 1 3x2 2 x3 3 11,
5
26. 6x1 2 x2 2 x3 3 6,
53x1 2 x2 1 2x3 3 11.
7
33x1 1 2x2 1 x3 2 8,
4
27. 52x1 1 3x2 1 x3 2 12,
42x1 1 x2 1 3x3 2 16.
6
33x1 1 4x2 1 2x3 2 19,
4
28. 62x1 5 x2 5 3x3 2 1,
4x1 1 5x2 1 x3 2 14.
7
4x1 1 2x2 2 3x3 3 14,
5
29. 62x1 2 3x2 1 4x3 3 116,
53x1 1 2x2 1 5x3 3 18.
7
43x1 1 x2 2 2x3 3 11,
5
30. 6x1 2 2x2 1 4x3 3 9,
5 1 3x2 2 x3 3 3.
7
2. Систему AX = B решить методом Крамера и средствами матричного
исчисления.
1 1 2 32
132
1. A 5 3 0 1 3 4 , B 5 3 1 4 .
3
4
3 4
3 1 2 61 4
3 4
7
8
758
1 5 2 12
132
2. A 5 3 3 61 4 4 , B 5 3 7 4 .
3
4
3 4
32 7 04
3 4
7
8
718
2 1 14 3 3
253
3. A 6 4 3 2 12 5 , B 6 4 7 5 .
4
5
4 5
4 15 4 0 5
4 5
7
8
738
12
1 1 0
112
4. A 5 3 3 2 62 4 , B 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 62 4 0 4
3 4
7
8
758
21
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1 2 2 12
1 32
5. A 5 3 1 3 1 4 , B 5 3 61 4 .
3
4
3 4
3 61 0 61 4
3 54
7
8
7 8
2 0 12 12 3
2 43
6. A 6 4 15 2 4 5 , B 6 4 12 5 .
4
5
4 5
4 3 1 55
4 35
7
8
7 8
2 1 1 11 3
243
4
5
7. A 6 7 14 3 , B 6 4 0 5 .
4
5
4 5
4 15 2 11 5
425
7
8
7 8
13 2 52
17 2
3
4
8. A 5 5 7 3 , B 5 3 1 4 .
3
4
3 4
33 1 54
334
6
7
6 7
1 1 3 72
1 32
9. A 5 3 2 7 1 4 , B 5 3 61 4 .
3
4
3 4
3 0 62 4 4
3 14
7
8
7 8
2 7 12 2 3
203
10. A 6 4 1 1 3 5 , B 6 4 1 5 .
4
5
4 5
4 15 9 3 5
435
7
8
7 8
11 9 02
1 12
3
4
11. A 5 1 64 1 , B 5 3 1 4 .
3
4
3 4
33 2 24
3 61 4
7
8
7 8
1 1 2 02
102
3
4
12. A 5 3 7 5 , B 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 65 64 614
354
7
8
7 8
2 5 11 0 3
233
13. A 6 4 2 11 1 5 , B 6 4 2 5 .
4
5
4 5
4 15 3 0 5
47 5
7
8
7 8
2 0 1 12 3
2 73
14. A 6 4 12 2 9 5 , B 6 4 12 5 .
4 5
4
5
4 4 2 15
4 25
7
8
7 8
1 3 7 52
102
3
4
15. A 5 3 64 0 , B 5 3 1 4 .
3
4
3 4
3 0 2 14
324
7
8
7 8
1 1 7 12
102
3
4
16. A 5 4 1 2 , B 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 65 2 0 4
354
7
8
7 8
12 2 32
1 32
17. A 5 3 1 2 3 4 , B 5 3 0 4 .
3
4
3 4
31 1 14
3 62 4
7
8
7 8
2 3 2 12 3
2 53
18. A 6 4 3 12 11 5 , B 6 4 1 5 .
4
5
4 5
4 1 1 11 5
4 14 5
7
8
7 8
1 0 2 52
132
3
4
19. A 5 7 9 3 , B 5 3 1 4 .
3
4
3 4
3 61 61 4 4
354
7
8
7 8
2 6 15 3 3
2 23
4
5
20. A 6 11 7 5 , B 6 4 9 5 .
4
5
4 5
4 0 4 15
4 13 5
7
8
7 8
1 12 3
24
2 73
21. A 6 4 2 13 0 5 , B 6 4 11 5 .
4
5
4 5
43
4 13 5
1 12 58
7
7 8
1 1 2 42
132
22. A 5 3 61 7 0 4 , B 5 3 1 4 .
3
4
3 4
3 0 3 54
354
7
8
7 8
2 2 1 11 3
2 63
4
5
23. A 6 2 13 0 , B 6 4 15 5 .
4 5
4
5
4 1 1 11 5
4 35
7
8
7 8
1 2 7 52
1 42
3
4
24. A 5 63 64 0 , B 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 62 2 9 4
3 63 4
7
8
7 8
22
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 1 2 13 3
2 14 3
25. A 6 4 1 0 4 5 , B 6 4 11 5 .
4
5
4 5
4 5 3 12 5
4 25
7
8
7 8
1 23
24
2 113
26. A 6 4 0 2 7 5 , B 6 4 7 5 .
4
5
4 5
4 5 12 13 5
4 55
7
8
7 8
1 1 4 22
162
3
4
27. A 5 7 62 1 , B 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 63 64 0 4
3 34
7
8
7 8
1 1 2 02
1 12
3
4
28. A 5 3 2 3 , B 5 3 4 4 .
3
4
3 4
3 65 61 2 4
3 63 4
7
8
7 8
2 15 14 7 3
27 3
29. A 6 4 3 2 1 5 , B 6 4 1 5 .
4
5
4 5
4 4 0 25
405
7
8
7 8
2 3 1 12 3
2 43
30. A 6 4 1 3 1 5 , B 6 4 12 5 .
4
5
4 5
4 9 15 0 5
4 11 5
7
8
7 8
3. Систему AX = B решить методом Гаусса.
2 1 2 3 113
22 3
4
5
1. A 6 0
1 3 2 , B 6 43 5.
4
5
4 5
4 13 14 13 7 5
405
7
8
7 8
5 19 4 3
2 3 11
2 12 3
2. A 6 4 3 2
11 0
15 , B 6 4 4 5 .
4
5
4 5
4
5
4 85
7 13 4 111 18 17 8
7 8
1 1 4 3 22
1 22
3 5 56 2 2 4
3 14
4, B 6 3 4.
3. A 6 3
3 51 0 51 5 4
3 44
3 7 52 6 514
3 514
7
8
7 8
2 5 15 12 11 15 3
2 53
4 1 2 13 1 2 5
4 12 5
5, B 6 4 5.
4. A 6 4
4 2 11 3 4 115
4 15
4 1 13 6 3 13 5
4 35
7
8
7 8
1 14
22 3
4 5 13 18
11
5. A 6 4
5 113
43 8
4 1 12 13
5
7
13
2 12 3
4 25
35
5, B 6 4 5.
15
4 13 5
4 65
0 58
7 8
2 2 3 5 14 1 3
2 11 3
6. A 6 4 1 11 1 12 3 5 , B 6 4 2 5 .
4
5
4 5
4 1 11 2 3 5 5
4 55
7
8
7 8
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
23
2 11 3 5
2 114 3
4 1 11 1 14 5
4 05
4
5
4
5
7. A 6 4 5 3 15 114 5 , B 6 4 128 5 .
4 2 2 7
4 114 5
15 5
44
55
44
55
7 3 11 2 17 8
7 08
2 2
4 1
4
8. A 6 4 11
4 1
44
7 1
1 3
2 0
1 13
5 13
2 1
13
2 19 3
4 35
15
5
4 5
0 5 , B 6 4 12 5 .
4 18 5
25
55
44 55
08
7 48
2 2 11 1 1 14 3 3
223
9. A 6 4 2 1 13 7
2 35 , B 6 4 85 .
4
5
4 5
4
5
47 5
7 11 2 17 11 10 2 8
7 8
1 23
2 110 3
4 14 5
5 10 5
5, B 6 4
5.
7 18 5
4 12 5
4 13 5
3 5 58
7
8
22 3
4 1 11
10. A 6 4
42 1
4 1 11
7
5
2
3
1
2 1 11
4 1 11
11. A 6 4
42 1
42 3
7
2 3 16 3
2 73
5
4 12 5
1 12 12
5, B 6 4
5.
3
1 15
4 11 5
4 117 5
5 14 14 58
7
8
1 2 0 1 32
122
12. A 5 3 0 62 1 5 4 , B 5 3 4 4 .
3
4
3 4
3 1 63 2 9 4
37 4
7
8
7 8
2 4 3 11 3 114 3
27 3
4
5
13. A 6 1 13 0 4
1 , B 6 465 .
4
5
4 5
4 1 5 2 18
425
11 58
7
7 8
2 1
4 4
14. A 6 4
4 11
4 11
7
3
12 4 6 3
2 12 3
5
4 44 5
5 114 13 19
5, B 6 4
5.
0
5 16 115
4 114 5
4 111 5
1
5 14 1158
7
8
23
24
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3 13 0 3
2 23
5
4 12 5
0
1 1
5, B 6 4 5.
5 18 5 5
4 12 5
5
4 10 5
2 15 5 8
7 8
2 1 2
4 11 11
15. A 6 4
4 2 1
4 1 11
7
2 1
4 11
16. A 6 4
4 2
4 1
7
2 17
0
3
5 116
19
3
0
2
4
4
2 2 11
4 1 13
17. A 6 4
4 1 13
41 5
7
11
33
3
18. A 6 3 2
32
33
75
2
2
3
2
5
23
2 23
5
4 14 5
2
5, B 6 4 5.
95
4 05
5
4 12 5
78
7 8
3 2 12 3
2 83
5
4 11 5
6 3 112
5, B 6 4 5.
0
1 12 5
4 35
5
4 65
2 12 10 8
7 8
3
1
1
2
2
02
152
334
54 4
4
3 4
54 4 , B 6 3 1 4 .
344
52 4
44
33 44
58 8
748
43
2 1 2 11
2 33
4 3 12 11 110 5
4 17 5
5, B 6 4 5.
19. A 6 4
13 5
42 0 5
4 12 5
4 0 14 7 111 5
4 5
7
8
7 18 8
2 1 11 1 12 3
2 11 3
4 12 0 3 5 5
4 25
4
5
4 5
20. A 6 4 2 13 4 17 5 , B 6 4 14 5 .
4 13 4 15 9 5
4 55
44
55
44 55
7 1 14 8 14 8
7 13 8
2 1 12 3 14 3
2 43
40
4 13 5
1 11 1 5
5, B 6 4 5.
21. A 6 4
4 1 3 0 13 5
4 15
4 0 17 3
5
4 13 5
1
7
8
7 8
2 1 11
4 2 1
22. A 6 4
4 1 2
4 11 11
7
2 11 3 3
2 83
4 19 5
5 16 0 5
5, B 6 4 5.
3 15 13 5
4 115
4 12 5
0
1 158
7 8
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
42
1 1 2 4 7
1 72
3 2 51 51 3 54 4
3 54
4, B 6 3 4.
23. A 6 3
54
3 51 0 0 2
3 04
3 4 1 51 51 510 4
315 4
7
8
7 8
2 1 11 2 3 5 3
213
24. A 6 4 11 2 1 11 15 , B 6 4 2 5 .
4
5
4 5
4 1 1 4 1 35
47 5
7
8
7 8
13
2 0 3 17
2 13 3
4 0 11
4 13 5
1 15
5, B 6 4 5.
25. A 6 4
3 13 5
41 0
4 15
4 1 3 12 14 5
4 45
7
8
7 8
2 1
4 2
26. A 6 4
4 11
4 5
7
1 12
1 0
0 14
2 6
33
2 33
5
4 65
3
5, B 6 4 5.
15
4 12 5
5
4 13 5
48
7 8
2 12 4 11 0 13 3
2 113 3
27. A 6 4 1 11 1 11 0 5 , B 6 4 6 5 .
4
5
4
5
4
5
4
5
7 5 2 7 19 19 8
7 22 8
2 1
4 1
28. A 6 4
4 11
4 3
7
4 11
2 18 3
2 19 3
4 35
1 2 14
15
5, B 6 4
5.
2 0
5 15 5
4 110 5
4 16 5
0 4 113 7 58
7
8
2 12 7 6 11 3
2 11 3
4 16 5 2 2 5
4 15
5, B 6 4 5.
29. A 6 4
4 0 11 11 5 5
4 45
4 4 1 3 25
4 25
7
8
7 8
2 2
4 4
30. A 6 4
4 11
4 1
7
1 3
5 3
1 13
2 0
13
2 11 3
4 15
35
5, B 6 4 5.
05
4 25
4 15
158
7 8
25
26
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4. Систему решить методом Гаусса.
3 x1 1 x2 1 x3 1 x4 2 0,
442x 1 x 1 x 5 x 2 3,
2
3
4
1. 6 1
x
x
x
x
5
5
1
1
1
2
3
4 2 0,
4
47
2x2 5 3x3 1 4x4 2 59.
3x1 1 x2 1 2x3 1 3x4 2 1,
443x 5 x 5 x 5 2x 2 54,
2
3
4
2. 6 1
2
3
x
x
x
x
1
5
5
1
2
3
4 2 56,
4
47x1 1 2x2 1 3x3 5 x4 2 54.
4x1 1 2x2 1 3x3 2 2x4 3 6,
552x 2 x 2 2x 2 3x 3 8,
2
3
4
3. 6 1
3
2
2
x
1
x
2
x
1
x
1
2
3
4 3 4,
5
572x1 2 3x2 1 2x3 1 x4 3 28.
3x1 1 2x2 1 3x3 1 4x4 2 5,
442x 1 x 1 2x 1 3x 2 1,
2
3
4
4. 5 1
3
2
2
x
1
x
1
x
1
x
2 1,
1
2
3
4
4
474x1 1 3x2 1 2x3 1 x4 2 65.
x2 1 3x3 2 4x4 3 15,
4
55 x
1 2x3 2 3x4 3 14,
5. 6 1
3
2
x
2
x
1 5x4 3 12,
2
5 1
574x1 2 3x2 1 5x3
3 5.
42x1 1 x2 2 3x3 2 2x4 3 9,
553x 2 3x 2 3x 2 2x 3 11,
2
3
4
6. 6 1
3
2
x
1
x
1
x
2
x
3
2
3
4 11,
5 1
753x1 1 x2 2 3x3 1 x4 3 8.
3x1 1 3x2 1 5x3 1 7x4
443x 1 5x 1 7x 1 x
2
3
4
7. 5 1
5
x
7
x
x
3
x
1
1
1
2
3
4
4 1
647x1 1 x2 1 3x3 1 5x4
2 12,
2 0,
2 4,
2 16.
2 11,
3 x1 1 2x2 1 x3
447x 5 3x 1 x 5 2x 2 55,
2
3
4
8. 6 1
4
x
3
x
2
x
x
1
1
5
2
3
4 2 20,
4 1
749x1 1 x2 1 x3 5 4x4 2 15.
3x1 1 2x2 1 3x3 1 4x4
442x 1 3x 1 4x 1 x
2
3
4
9. 5 1
3
4
2
x
1
x
1
x
1
x
1
2
3
4
4
464x1 1 x2 1 2x3 1 3x4
2 11,
2 12,
2 13,
2 14.
4 x1 1 x2 2 6x3 2 4x4 3 3,
553x 2 x 2 6x 2 4x 3 5,
2
3
4
10. 6 1
2
3
9
2
x
1
x
1
x
1
x
1
2
3
4 3 25,
5
573x1 1 2x2 1 3x3 1 8x4 3 8.
42x1 1 4x2 2 x3 1 3x4 3 27,
55
2 x2 1 x3 1 x4 3 1,
11. 6
1 2x4 3 23,
5 x1 1 3x2
572x1
1 3x3 2 x4 3 6.
42x1 1 2x2 2 x3 1 x4 3 4,
554x 1 3x 2 x 1 2x 3 6,
2
3
4
12. 6 1
8
5
3
4
x
1
x
2
x
1
x
1
2
3
4 3 12,
5
573x1 1 3x2 2 2x3 1 2x4 3 6.
32x1 1 5x2 1 4x3 1 x4 2 20,
44x 1 3x 1 2x 1 x 2 11,
2
3
4
13. 5 1
2
x
10
x
9
x
1
1
1
2
3 7x4 2 40,
4 1
643x1 1 8x2 1 9x3 1 2x4 2 37.
43x1 1 4x2 1 x3 1 2x4 2 33,
553x 1 5x 1 3x 1 5x 2 36,
2
3
4
14. 6 1
6
x
8
x
x
5
x
1
1
1
2
3
4 2 38,
5 1
573x1 1 5x2 1 3x3 1 7x4 2 38.
43x1 1 2x2 1 5x3 2 x4 3 3,
552x 1 3x2 2 x3 2 5x4 3 13,
15. 6 1
1 4x4 3 13,
5 x1 2 2x2
75 x1 1 x2 1 4x3 2 9x4 3 22.
44x1 1 3x2 2 x3 2 5x4 3 7,
55 x 1 2x 1 2x 1 3x 3 3,
2
3
4
16. 6 1
3
2
x
1
x
2
x
3 11,
2
3
5 1
752x1 2 3x2 2 2x3 1 8x4 3 17.
27
1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
3 13,
42x1 1 2x2 2 x4
552x 2 3x 2 x 1 3x 3 16,
2
3
4
17. 6 1
3
4
2
x
2
x
1
x
2
x
2
3
4 3 0,
5 1
75 x1 2 3x2 2 x3 1 x4 3 2.
4 x1 1 2x2 2 3x3 1 4x4 3 24,
55 x 2 2x 1 x
3 14,
2
3
18. 6 1
2
3
x
2
x
2
x
2
x
2
3
4 3 11,
5 1
757x1 1 x2 2 5x3 2 2x4 3 17.
32x1 1 7x2 1 3x3 1 x4 2 15,
443x 1 5x 1 2x 1 2x 2 11,
2
3
4
19. 5 1
9
x
x
x
x
6,
6
6
1
2
1
2
3
4
4
476x1 1 2x2 1 3x3 6 2x4 2 5.
43x1 1 x2 1 4x3 2 5x4 3 27,
557x 2 x 1 x 2 2x 3 22,
2
3
4
20. 6 1
x
2
x
3
x
x4 3 3,
2
1
1
1
1
2
3
5
575x1 2 x2 2 4x3 1 3x4 3 3.
42x1 1 5x2 2 3x3 2 x4 3 9,
553x 1 7x 2 3x 1 x 3 14,
2
3
4
21. 6 1
5
9
6
2
x
1
x
2
x
2
x
1
2
3
4 3 28,
5
574x1 1 6x2 2 3x3 2 x4 3 20.
4 x1 1 x2 2 x3 1 2x4 3 4,
552x 2 3x 1 x 2 x 3 21,
2
3
4
22. 6 1
3
2
x
2
x
1
x
2
x
1
2
3
4 3 1,
5
572x1
1 3x3 1 x4 3 9.
4x1 1 2x2 1 5x3 2 7x4 3 22,
553x 2 x 1 x 1 14x 3 3,
2
3
4
23. 6 1
2
2
3
4
x
1
x
1
x
1
x
1
2
3
4 3 14,
5
576x1 1 8x2 1 2x3 1 5x4 3 16.
4 x1 1 x2 2 2x3 1 4x4 3 9,
553x
1 x3 2 5x4 3 111,
24. 6 1
1 6x4 3 15,
52x1 2 3x2
571x1 2 5x2 2 2x3 2 4x4 3 1 1.
3 x1 1 x2 1 x3 1 x4 2 3,
4452x 1 3x 5 x 1 2x 2 1,
1
2
3
4
25. 6
x
3
x
x
1
5
2 52,
1
3
4
4
47 2x1 1 x2
1 x4 2 4.
32x1 1 3x2 1 11x3 1 5x4 2 2,
44x 1 x 1 5x 1 2x 2 1,
2
3
4
26. 5 1
2
x
x
3
x
2
x
1
1
1
1
2
3
4 2 63,
4
47x1 1 x2 1 3x3 1 4x4 2 63.
32x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 2 2,
4x 1 2x 1 x 1 x 1 x 2 0,
2
3
4
5
44 1
27. 5x1 1 x2 1 3x3 1 x4 1 x5 2 3,
4x1 1 x2 1 x3 1 4x4 1 x5 2 62,
4
47x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 5x5 2 5.
2 0,
3x1 1 x2 1 x3 1 x4
4
x2 1 x3 1 x4 1 x5 2 0,
44
28. 5x1 1 2x2 1 3x3
2 2,
4
x2 1 2x3 1 3x4
2 62,
4
x3 1 2x4 1 3x5 2 2.
47
4x1 1 2x2 2 3x3 1 4x4 2 x5 3 21,
4 x1 1 3x2 1 x3 2 x4 1 2x5 3 21,
52x 2 x 1 3x 2 4x 1 2x 3 8,
52x 2 2x 1 3x 1 x 2 5x 3 8,
2
3
4
5
2
3
4
5
55 1
55 1
29. 63x1 1 x2 2 x3 1 2x4 2 x5 3 3,
30. 6
x2 1 x3 1 x4 1 x5 3 2,
54x 1 3x2 1 4x3 1 2x4 1 2x5 3 22,
5 x1 2 x2 2 x3 2 x4 1 x5 3 0,
5 1
5
1 x3
1 x5 3 4.
57x1 2 x2 2 x3 1 2x4 2 3x5 3 23.
57 x1
2.
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Если в пространстве задана прямоугольная декартовая система координат
Oxyz, то точка M пространства, имеющая координаты x (абсцисса), y (ордината)
и z (аппликата),
обозначается
M(x, y, z).
1111
2
Вектором AB называется направленный отрезок прямой, т. е. множест
во точек прямой, заключенных между точками A и B с указанием направле
ния, а именно с началом в точке A и концом в точке B.
Два вектора называются равными, если они параллельны, одинаково на
правлены и имеют одинаковую длину. Длиной или модулем вектора называ
11112
2
ется расстояние
его началом и концом. Длина обозначается | AB | и | a |
11112между
2
для векторов AB и a соответственно.
1
Вектор a, заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть пред
ставлен в виде
1
1
1
1
a 1 ax i 2 ay j 2 azk,
1
где ax, ay, az — проекции вектора a на1соответствующие
оси координат (их
1 1
1
называют координатами вектора a), i , j , k — орты этих осей (единичные
вектора, направление каждого из которых совпадает с положительным на
правлением соответствующей оси).
1
Такое представление вектора a называется его разложением по осям
координат или разложением по ортам и записывается следующим об
1
1
разом: a 1 (ax , ay , az ). Тогда длина вектора a определяется по формуле
1
| a | 1 ax2 2 ay2 2 az2 .
Если заданы координаты точек A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), то
11112
AB 1 (x2 2 x1 , y2 2 y1 , z2 2 z1 ).
1
Направление вектора a определяется углами a, b , g , образованными им
с осями координат Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (так называемые на
правляющие косинусы вектора) определяются по формулам
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
29
ay
a
ax
a
cos 1 2 1x 2
, cos 3 2 1 , cos 4 2 1z .
2
2
2
|a|
|
|
|
a
a|
ax 5 ay 5 az
1
1
1
1 1 1
Суммой векторов a и b называется такой вектор c, обозначается c 1 a 2 b,
1
начало
которого совпадает с началом вектора
a, а конец — с концом векто(
1
1
1
ра b, при условии, что начало
вектора b приложено к концу вектора a. 1
1 1
1
1 1
Разностью векторов
a и b называется вектор c, обозначается c 1 a 2 b,
1 1 1
для которого c 1 b 2 a.
1
1
Произведением вектора a на число k называется вектор c, обозначается
1
1
1
1
c 1 k 2 a, параллельный вектору a, направленный как вектор a, если k > 0, и
1
противоположно, если k < 0, и имеющий1 длину | k | 1 | a |.
1
1
Если k = 0, то по определению
k 1 a 2 0 для любого вектора a.
1 1
Если вектора a и b заданы в координатной форме
1
1
a 1 (x1 , y1 , z1 ), b 1 (x2 , y2 , z2 ),
1 1
1 1
то a 1 b 2 (x1 1 x2 , y1 1 y2 , z1 1 z2 ), a 1 b 2 (x1 1 x2 , y1 1 y2 , z1 1 z2 ), а
1
k 1 a 2 (kx1 , ky1 , kz1 ).
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной пря(
мой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
1
1
Проекцией вектора a на ось l называется число, обозначаемое пр l a и рав(
1
ное | a | cos 1, где j (0 £ j £ p) — угол между положительным направлением
1
1
1
оси l и направлением вектора a, т. е. по определению
пр l a 1 | a | cos 2.
1 1
Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, рав(
ное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними:
1 1 1 1
a 1 b 2 | a | 1 | b | cos 3.
Перечислим основные
свойства скалярного произведения векторов. Для
1 1 1
любых векторов
a
,
b
и
c
выполняется
следующее:
1 1 1 1
1) a 1 b 2 1b 1 a;
1
1
1 1 1
2) (1a1) 2 b 3 1(a 12 b ) 3 a 2 (1b ) для любого числа l;
1
1 1
1 1
3) a(b1 1 c ) 2 a 3 b 11 a 31c;
1
1
1
4) a 1 b1 2 | a | 1пр a1 b 2 | b | 1прb1 a; 1
1 1 1
1
1
1
5) a 1 b 2 0, если a 1 0, либо b 1 0, либо a 1ортогонален b (a 1 b ).
1
Если заданы
1 координаты векторов a и b в ортонормированном базисе,
1
a 1 (x1 , y1 , z1 ) и b 1 (x2 , y2 , z2 ), то
1 1
a 2 b 3 x1 2 x2 4 y1 2 y2 4 z1 2 z2 ,
1 1
11 1
x1x2 4 y1 y2 4 z1z2
a 2b
cos(a , b ) 3 1 1 3
,
2
|a| |b |
x1 4 y12 4 z12 2 x22 4 y22 4 z22
1
1 a1 2 b x x 4 y y 4 z z
пр a1 b 3 1 3 1 2 1 2 1 2 .
|a|
x12 4 y12 4 z12
1 1
1
Векторным произведением
двух векторов a и b называется вектор c, обо(
1
1 1
значается c 1 a 2 b, удовлетворяющий следующим условиям:
30
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
1) длина вектора
c равна1 площади параллелограмма, построенного
на
1 1
1
1
1 1
векторах a и b, т. е. | c | 1 | a | 2 | b | sin 3, где j — угол между векторами a и b; 1
1
1
2) вектор c перпендикулярен
плоскости, в которой лежат вектора a и b;
1 1 1
3) вектора (a, b, c ) образуют правую тройку, т. е. если наблюдать
из кон5
1
1
1
ца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b, то он происхо5
дит против хода часовой стрелки.
Перечислим
основные свойства векторного произведения. Для любых
1 1 1
векторов1a, b,1c выполняется следующее:
1
1
1) a 1 b1 2 31b 1 a;
1 1
1
1 1
1 1
2) a 1 b 2 0, если a 1 0, либо b 1 0, либо a || b (коллинеарность ненулевых
векторов); 1
1
1
1
1 1
3) (ka) 1 b 2 a 1 (kb ) 2 k(a 1 b ) для любого числа k;
1 1 1 1 1 1 1
4) a 1 (b 2 c ) 3 a 1 b 2 a 1 c .
1
1
Если известны координаты
1 1 1 векторов a 1 (x1 , y1 , z1 ) и1 b 11 (x12 , y2 , z2 ) в орто5
нормированном базисе i , j , k, то координаты вектора c 1 a 2 b удобнее всего
находить по формуле
1
1
1
i
j k
1
1
a 1 b 2 x1 y1 z1 .
x2 y2 z2
1 1 1
Смешанным
произведением векторов a, b1 и c называется число, обозна5
1
1
1
1
1
чаемое a 1 b 1 c и определяемое
формулой (a 1 b ) 2 c, т. е. скалярное произведе5
1
1 1
ние вектора a 1 b на вектор 1c.
1
1
Для любых векторов a, b и c выполняются следующие свойства смешан5
ного произведения
векторов:
1 1 1 1 1 1
1) (a
1 11b )12 c 3 a 2 (b 1 c );
1 1 1
2) a 1 b 1 c 2 0, если и только если a, b и c — компланарные вектора;
3) смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемно5
жаемые векторы в круговом порядке:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
a 1 b 1 c 2 b 1 c 1 a 2 c 1 a 1 b;
4) при перестановке любых двух векторов смешанное произведение изме5
няет только знак:
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
b 1 a 1 c 2 3a 1 b 1 c, c 1 b 1 a 2 3a 1 b 1 c, a 11c 1 b 2 3a 1 b 1 c;
1
1
5) смешанное произведение трех векторов a, b и c по абсолютной
величи5
1 1 1
не равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, т. е.
1 1 1
|a 1 b 1 c | 2 V.
Из последнего свойства вытекает, что объем треугольной пирамиды, по5
1 1 1
1 1 1 1
строенной на векторах a, b, c, равен V 1 | a 2 b 2 c |.
61 1 1
Если заданы
координаты
векторов
a, b, c в ортонормированном базисе
1
1
1
a 1 (x1 , y1 , z1 ), b 1 (x2 , y2 , z2 ), c 1 (x3 , y3 , z3 ), то
x1
1 1 1
a 1 b 1 c 2 x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2 .
z3
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
31
ИДЗ 4.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
þ
þ
1 1
1. Даны векторы a и b.
1 1 1
1
11 1
1
1 1
В вариантах 1–151 найти: 1) a 2 (b 3 a); 2) | a |; 3) cos(a , c ), если c 4 2a 5 b;
1
1
1
4) cos b для a; 5) | a 1 b |; 6) прb1 a.
1
1
1 1 1
11 1
1 1
В вариантах
16–30
найти:
1) a 2 (a 3 b ); 2) | b |; 3) cos(a , c ), если c 4 a 5 2b;
1
1
1
1
4) cos g для b; 5) | a 1 b |; 6) пр a1 b.
1
1
1
1
1. a 1 (3;6;7), b 1 (24; 2 9; 2 8).
2. a 1 (4;5;6), b 1 (22; 2 8; 2 6).
1
1
1
1
3. a 1 (5;4;5), b 1 (0; 27; 2 4).
4. a 1 (6;3;4), b 1 (2; 2 6; 2 2).
1
1
1
1
5. a 1 (7;2;3), b 1 (4; 2 5;0).
6. a 1 (8;1;2), b 1 (6; 2 4;2).
1
1
1
1
7. a 1 (9;0;1), b 1 (8; 2 3;4).
8. a 1 (10; 21;0), b 1 (10; 2 2;6).
1
1
1
1
9. a 1 (11; 2 2; 21), b 1 (12; 21;8).
10. a 1 (12; 2 3; 2 2), b 1 (14;0;10).
1
1
1
1
11. a 1 (13; 2 4; 2 3), b 1 (16;1;12).
12. a 1 (14; 2 5; 2 4), b 1 (18;2;14).
1
1
1
1
13. a 1 (15; 2 6; 2 5), b 1 (20;3;16).
14. a 1 (16; 27; 2 6), b 1 (22;4;18).
1
1
1
1
15. a 1 (17; 2 8; 27), b 1 (24;5;20).
16. a 1 (3;6;7), b 1 (24; 2 9; 2 8).
1
1
1
1
17. a 1 (4;5;6), b 1 (22; 2 8; 2 6).
18. a 1 (5;4;5), b 1 (0; 27; 2 4).
1
1
1
1
19. a 1 (6;3;4), b 1 (2; 2 6; 2 2).
20. a 1 (7;2;3), b 1 (4; 2 5;0).
1
1
1
1
21. a 1 (8;1;2), b 1 (6; 2 4;2).
22. a 1 (9;0;1), b 1 (8; 2 3;4).
1
1
1
1
23. a 1 (10; 21;0), b 1 (10; 2 2;6).
24. a 1 (11; 2 2; 21), b 1 (12; 21;8).
1
1
1
1
25. a 1 (12; 2 3; 2 2), b 1 (14;0;10).
26. a 1 (13; 2 4; 2 3), b 1 (16;1;12).
1
1
1
1
27. a 1 (14; 2 5; 2 4), b 1 (18;2;14).
28. a 1 (15; 2 6; 2 5), b 1 (20;3;16).
1
1
1
1
29. a 1 (16; 27; 2 6), b 1 (22;4;18).
30. a 1 (17; 2 8; 27), b 1 (24;5;20).
2. Даны точки A1, A2, A3. Найти:
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
1.a) A1 A2 2 3 A1 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A2 A3 1 2
если A1(–2; 1; 0), A2(3; 2; 4), A3(0; –3; 5).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
2.a) 2 A1 A2 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A3 2 3
если A1(1; –2; 0), A2(4; 3; –1), A3(2; 4; 6).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
3.a) A1 A3 2 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
1
2
3 1
3 2
A1 A3
если A1(3; 4; –2), A2(5; 0; 1), A3(0; –2; 9).
32
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
4.a) 3 A1 A2 2 A1 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A2 A3 3 1
если A1(0; 2; –5), A2(3; 2; 1), A3(5; –6; 4).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
5.a) A2 A3 2 2 A1 A2 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A1 A2 3 2
если A1(2; 0; –3), A2(1; –2; 4), A3(3; –1; 0).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
6.a) A1 A3 2 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A2 1 3
если A1(–1; 3; 2), A2(2; –3; 5), A3(1; 4; –2).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
7.a) 2 A1 A2 3 A1 A3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A2 A1 2 3
если A1(4; 0; 2), A2(0; 3; –1), A3(–1; 3; 2).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
8.a) A1 A2 2 2 A1 A3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A3 1 2
если A1(–4; 2; –1), A2(–2; 1; 0), A3(4; 3; –3).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
9.a) 2 A1 A2 2 A1 A3 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A2 A3 1 2
если A1(1; 1; 1), A2(3; –6; 4), A3(2; 5; 1).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
10.a) A1 A2 2 3 A1 A3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A2 A3 1 3
если A1(1; –1; 1), A2(4; –5; 2), A3(–2; 1; 7).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
11.a) A1 A2 2 A1 A3 3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A3 1 2
если A1(2; 0; 1), A2(2; 2; 2), A3(5; 8; 1).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
12.a) 2 2 A1 A2 3 A1 A3 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A1 A3 2 3
если A1(0; 1; 4), A2(–1; 3; 3), A3(3; 0; 5).
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
13.a) 2 A1 A2 2 3 A1 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A1 A2 2 3
если A1(2; 1; 3), A2(5; 1; 2), A3(6; 9; 1).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
14.a) 3 A1 A2 2 2 A1 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A2 A3 1 3
если A1(1; 1; 8), A2(–3; 4; 7), A3(6; 6; 7).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
15.a) 2 A2 A3 2 3 A1 A3 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A1 A3 1 2
если A1(1; 3; 9), A2(2; 9; 1), A3(8; –2; 7).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
16.a) 3 A2 A3 2 2 A1 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A1 A2 2 3
если A1(1; 5; 1), A2(4; 4; 2), A3(2; 8; 7).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
17.a) 2 A1 A2 2 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A2 1 3
если A1(3; 1; 2), A2(5; 5; 5), A3(6; –1; 0).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
18.a) 3 A1 A2 2 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A2 A3 1 3
если A1(3; 4; 9), A2(–4; 0; 1), A3(7; 7; 1).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
19.a) 2 A1 A3 2 A1 A2 3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A2 A3 1 2
если A1(–1; 2; 1), A2(1; 5; 9), A3(7; 3; 1).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
20.a) 3 A1 A2 2 A1 A3 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A3 2 3
если A1(2; 1; 1), A2(7; 1; 6), A3(3; 1; 6).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
21.a) 3 A1 A2 2 A1 A3 3 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A1 A3 1 2
если A1(3; 1; 9), A2(5; 4; 8), A3(9; 3; 1).
33
34
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
22.a) 3 A1 A2 2 2 A1 A3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A1 A2 2 3
если A1(6; 1; 1), A2(9; 2; 9), A3(4; 3; 1).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
23.a) 3 A1 A2 2 2 A1 A3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A2 1 3
если A1(–5; 1; 8), A2(7; 3; 6), A3(3; 5; 7).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
24.a) A1 A2 2 2 A1 A3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A1 A3 1 2
если A1(–2; 1; 2), A2(6; –1; 7), A3(8; 2; 3).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
25.a) A1 A2 2 A1 A3 3 3 A2 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A2 A3 1 3
если A1(5; 1; 4), A2(4; –4; 9), A3(7; 5; 2).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
26.a) A1 A2 2 A1 A3 2 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A3 2 3
если A1(–9; 2; 0), A2(1; 5; 1), A3(3; 2; 8).
1111112 1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
27.a) 2 A3 A2 2 A3 A1 3 3 A1 A2 ; b) пр 1111111
1 3
2 1
A1 A3 2 3
если A1(–2; 0; –3), A2(–1; 1; 4), A3(3; 1; 3).
1111112 1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
28.a) 4 A1 A2 2 A2 A3 ; b) пр 1111111
1 2
1 3
A1 A2 2 3
если A1(–5; 1; 6), A2(1; 4; 3), A3(6; 3; 9).
1111112
1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
29.a) A1 A2 2 4 A1 A3 ; b) пр 1111111
2 1
2 3
A1 A2 1 3
если A1(1; 9; 4), A2(8; 7; 2), A3(9; 1; 0).
1111112
1111112
1111112
1111112 1 1111112
12 A A ; c) cos( A A , A A ),
30.a) 2 A1 A2 3 4 A1 A3 ; b) пр 1111111
3 1
3 2
A2 A3 1 3
если A1(1; 7; 4), A2(3; 2; 3), A3(7; 4; 6).
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
þ
1 1
3. Даны векторы a и b. Найти:
1 1
1 1
1 11 1
1.a) 2a 2 b; b) прb1 (3a 3 b ); c) cos(4a 3 b , 4 b ),
1 1 1 1
1 1 1
1
111 2
если a 3 m 4 n, b 3 2m 5 n, | m | 3 2, | n | 3 3, (m , n) 3 .
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2.a) a 2 4b; b) пр a1 (2a 3 3b ); c) cos(3a 4 2b ,3a),
1
1 1 1 1
1 1
1
111 2
если a 3 3m 4 n, b 3 m 5 2n, | m | 3 3, | n | 3 2, (m , n) 3 .
3
1
1
1 1
1
1 1 1
3.a) a 2 b; b) прb1 (4a 3 2b ); c) cos(a 4 b , b ),
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 22
если a 3 m 4 3n, b 3 2m 5 3n, | m | 3 4, | n | 3 1, (m , n) 3 .
3
1
1
1
1
1
1
1 1
4.a) a 2 b; b) пр a1 (a 3 3b ); c) cos(a , 2a 4 3b ),
1
1 1 1 1
1 1
1
111 2
если a 3 4m 4 n, b 3 m 5 2n, | m | 3 2, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
1
1
1 1 1
1 1
1
5.a) a 2 b; b) прb1 (3a 4 2b ); c) cos(b ,5a 3 b ),
1
1
1 1 1
1 1
1
1 1 1 22
если a 3 42m 5 3n, b 3 m 5 4n, | m | 3 1, | n | 3 4, (m , n) 3 .
3
1
1
1
1
1
1
1 1
6.a) a 2 b; b) пр a1 (3a 3 2b ); c) cos(a , a 3 4b ),
1
1
1 1
1 1 1
1
1 1 1 32
если a 3 2m 4 3n, b 3 5m 5 n, | m | 3 2, | n | 3 3, (m , n) 3 .
4
1
11 1 1
1 1
1
7.a) a 2 b; b) прb1 (a 3 4b ); c) cos(b , a 4 b ),
1
1 1 1
1
1 1
1
111 2
если a 3 43m 5 n, b 3 4m 4 2n, | m | 3 3, | n | 3 5, (m , n) 3 .
3
1
1
1
1
1
1
1
1
8.a) a 2 b; b) прb1 (2a 3 b ); c) cos(b , a 4 3b ),
1
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 32
если a 3 5m 4 2n, b 3 m 5 n, | m | 3 3, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
1
1 13
1 1
1 1
21 1
9.a) a 4 b; b) пр a1 (3a 5 b ); c) cos 7 a 6 2b , a 8,
92
1
1
1 1 1
1 1
1
111 2
если a 3 4m 4 6n, b 3 m 5 3n, | m | 3 2 2, | n | 3 1, (m , n) 3 .
4
35
36
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
1 1
1
1 11 1
10.a) a 2 b; b) прb1 (32a 4 3b ); c) cos(a 4 b , b ),
1
1
1 1
1 1 1
1
1 1 1 22
если a 3 4m 5 5n, b 3 7m 5 n, | m | 3 4, | n | 3 2, (m , n) 3 .
3
1
2
1 1
1 11
1 13 1
11.a) a 4 b; b) пр a1 a 5 b ; c) cos(a 6 b , a),
2
1
1
1 1
1
1 1
1
111 2
если a 3 4m 4 3n, b 3 2m 5 4n, | m | 3 3, | n | 3 2, (m , n) 3 .
6
1
11 1
1 1
1
1
12.a) a 2 b; b) прb1 (a 3 3b ); c) cos(a 4 2b , b ),
1
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 52
если a 3 7m 4 8n, b 3 m 5 n, | m | 3 4, | n | 3 3, (m , n) 3 .
6
1 1
1 1
1 11 1
13.a) a 2 b; b) пр a1 (4a 3 b ); c) cos(2a 3 b , a),
1
1 1 1
1
1 1
1
1 1 1 32
если a 3 2m 4 n, b 3 5m 4 5n, | m | 3 2 2, | n | 3 1, (m , n) 3 .
4
1
11 1
1 1
1
1
14.a) a 2 b; b) прb1 (34a 4 3b ); c) cos(a 4 2b , b ),
1
1
1 1
1 1 1
1
111 2
если a 3 43m 5 7n, b 3 4m 5 n, | m | 3 6, | n | 3 1, (m , n) 3 .
3
1
1 1
1
11 1 1
15.a) a 2 b; b) пр a1 (a 3 5b ); c) cos(a , a 4 b ),
1
1
1 1
1
1 1
1
111 2
если a 3 42m 5 5n, b 3 43m 5 4n, | m | 3 2 3, | n | 3 3, (m , n) 3 .
6
1
11 1
1 1
1
1
16.a) a 2 b; b) прb1 (a 3 5b ); c) cos(3a 4 3b , b ),
1
1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 22
если a 3 42m 5 6n, b 3 m 4 n, | m | 3 8, | n | 3 1, (m , n) 3 .
3
1
1 1
1
1 11 1
17.a) a 2 b; b) пр a1 (5a 3 2b ); c) cos(2a 3 b , a),
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 52
если a 3 3m 4 2n, b 3 7m 5 3n, | m | 3 4 3, | n | 3 2, (m , n) 3 .
6
1
11 1 1
1 1
1
18.a) a 2 b; b) прb1 (5a 3 2b ); c) cos(b , b 4 a),
1
1
1 1
1
1 1
1
111 2
если a 3 5m 4 5n, b 3 9m 4 4n, | m | 3 1, | n | 3 4, (m , n) 3 .
3
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
1
1 1
1
2 11 1 1 1 13
19.a) a 4 b; b) прb1 (a 5 5b ); c) cos 7 b , a 6 b 8,
9 2
2
1
1
1 1
1
1 1
1
111 2
если a 3 7m 4 8n, b 3 5m 4 6n, | m | 3 2 2, | n | 3 3, (m , n) 3 .
4
1
11 1
1 1
1
1
20.a) a 2 b; b) пр a1 (a 3 5b ); c) cos(a 4 3b , a),
1
1
1 1 1
1 1
1
111 2
если a 3 48m 5 5n, b 3 m 5 2n, | m | 3 1, | n | 3 2 3, (m , n) 3 .
6
11 1
1 1
1 1
1
21.a) a 2 b; b) прb1 (33a 4 b ); c) cos(3a 4 2b , b ),
1
1
1 1
1 1 1
1
1 1 1 32
если a 3 43m 5 8n, b 3 4m 5 n, | m | 3 2, | n | 3 4, (m , n) 3 .
4
1
1 1
1
1 11 1
22.a) a 2 b; b) пр a1 (5a 3 3b ); c) cos(43a 3 b , a),
1
1 1 1 1
1 1
1
1 1 1 52
если a 3 3m 4 n, b 3 m 4 9n, | m | 3 4, | n | 3 3, (m , n) 3 .
6
1
1 1
1
21 1 1 11 13
23.a) a 4 b; b) прb1 (3a 5 5b ); c) cos 6 a 5 b , b 7,
82
9
2
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 22
если a 3 5m 4 4n, b 3 3m 5 2n, | m | 3 2, | n | 3 3, (m , n) 3 .
3
1
1 1
1 1
11 1
24.a) a 2 b; b) пр a1 (35a 4 b ); c) cos(a , a 3 2b ),
1
1
1 1
1
1 1
1
111 2
если a 3 2m 4 7n, b 3 5m 4 3n, | m | 3 6 2, | n | 3 1, (m , n) 3 .
4
1
1 1
1
1 11 1
25.a) a 2 b; b) прb1 (5a 3 4b ); c) cos(44a 3 b , b ),
1
1 1 1
1
1 1
1
111 2
если a 3 2m 4 n, b 3 7m 4 3n, | m | 3 3, | n | 3 4, (m , n) 3 .
6
1
11 1
1 1
1
1
26.a) a 2 b; b) прb1 (5a 3 4b ); c) cos(a 4 3b , b ),
1
1
1 1 1 1 1
1
111 2
если a 3 9m 4 10n, b 3 m 5 n, | m | 3 3, | n | 3 4, (m , n) 3 .
3
1 1
1 1
1 11 1
1
27.a) a 2 b; b) прb1 (3a 3 b ); c) cos(a 4 b , b 3 2a),
1
1
1 1 1
1 1
1
111 2
если a 3 5m 4 2n, b 3 m 5 3n, | m | 3 2, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
37
38
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
11 1
1 1
1
1
28.a) a 2 b; b) прb1 (4a 3 5b ); c) cos(3a 4 2b , 4b ),
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 22
если a 3 4m 5 6n, b 3 3m 5 4n, | m | 3 2, | n | 3 5, (m , n) 3 .
3
1
1 1
1
1 11 1
29.a) a 2 b; b) пр a1 (34a 4 5b ); c) cos(4a 3 b , a),
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 52
если a 3 3m 4 3n, b 3 7m 5 3n, | m | 3 8, | n | 3 3, (m , n) 3 .
6
1
11 1
1 1
1
1
30.a) a 2 b; b) прb1 (35a 4 3b ); c) cos(a 4 4b , b ),
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 32
если a 3 5m 4 6n, b 3 4m 5 3n, | m | 3 3 2, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
ИДЗ 5.
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1
1
1
1.1. Найти площадь треугольника,
построенного
на
векторах
c
1
2
a
2
3
b
1
1
1 1
1
11 1
и d 1 4a 2 b, если | a | 2 2, | b | 2 1, (a , b ) 2 303.
1.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(1; 2; –3); B(2; 4; 0);
D(2; 3; 0); A1(5; 3; 1). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐBAD;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на AD; 4) объем паралле?
лепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опу?
щенную из A1 на ABCD.
1
1
1
1.3. При каком значении k векторы a 1 (21;1;1), b 1 (2;0;3), c 1 (2;2; k) ком?
планарны?
1
1 1
2.1. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах c 1 a 2 4b
1
1
1
1
1
1
1
1
и d 1 3a 2 b, если | a | 2 3, | b | 2 4, (a , b ) 2 1503.
2.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; 1; 0), B(5; 3; 1), C(0; 1; 2),
D(4; 3; 1). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐDAB; 3) высоту VABC,
опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD,
опущенную из D на основание ABC.
2.3. При каком значении k точки A(1; 1; 0), B(2; 3; 1), C(1; –1; 2), D(3; 2; k)
лежат в одной плоскости?
1
1 1
3.1. Найти площадь треугольника,
построенного на векторах c 1 3a 2 b и
1
1
1
1
1
1
1
1
d 1 5a 2 2b, если | a | 2 4, | b | 2 1, (a , b ) 2 303.
3.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(3; 2; –1), B(0; 4; 7),
D(–2; 5; 1), A1(2; 2; 5). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐBAD;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из A на CD; 4) объем паралле?
лепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущен?
ную из A1 на ABCD.
1
1
1
3.3. Компланарны ли векторы a 1 (4;7;3), b 1 (5;5;2), c 1 (3; 21;0)?
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
39
1
1
1
4.1. Найти площадь параллелограмма,
построенного
на
векторах
c
1
3
a
2
3
b
1 1
1
1
1
11 1
и d 1 a 2 5b, если | a | 2 2, | b | 2 2, (a , b ) 2 453.
4.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 1; 1), B(3; 4; 5), C(2; 3; 1),
D(4; 5; 1). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐBCA; 3) высоту VABC,
опущенную из A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD,
опущенную из D на основание ABC.
1
1
1
4.3. При каком значении k векторы a 1 (2;2;1), b 1 (1;3;1), c 1 (2;1; k) ком8
планарны?
1
1
1
5.1. Найти площадь треугольника,
построенного на векторах c 1 5a 2 2b
1
1 1
1
1
1
1
1
и d 1 a 2 4b, если | a | 2 3, | b | 2 2, (a , b ) 2 1203.
5.2. Даны вершины треугольной пирамиды ABCD: A(2; –1; 0), B(–1; 3; 4),
C(1; 1; 1), D(0; 3; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐBCA; 3) вы8
соту VABC, опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пи8
рамиды ABCD, опущенную из D на основание ABC.
5.3. При каком значении k точки A(3; –1; 2), B(7; 9; 1), C(5; k; 2), D(1; 2; 0)
лежат в одной плоскости?
1
1 1
6.1. Найти площадь треугольника,
построенного
на
векторах
c
1
5
a
2b и
1 1 1
1
1
11 1
d 1 b 2 a, если | a | 2 2, | b | 2 3, (a , b ) 2 1203.
6.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(2; 4; –3), B(3; 5;
–4), C(4; 5; –1), D(3; 4; 0), A1(2; 7; 1). Найти: 1) площадь параллелограмма
ABCD; 2) cosÐA1DA; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на
AD; 4) объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1, опущенную из A1 на основание
1 ABCD. 1
1
6.3. Компланарны ли векторы a 1 (0;1;1), b 1 (21;2;3); c 1 (3;2;1)?
1
1
1
7.1. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах c 1 4a 2 2b
1
1 1 1
1
1
1 1
и d 1 a 2 b, если | a | 2 6, | b | 2 3, (a , b ) 2 1503.
7.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(7; 7; 0), B(3; 9; 1),
D(1; 2; –1), A1(8; –3; 4). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐCDA;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на CD; 4) объем параллеле8
пипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущен8
ную из A1 на основание ABCD.
1
1
1
7.3. Компланарны ли векторы a 1 (7; 21;0), b 1 (1;5;7), c 1 (4;9;2)?
1
1 1
8.1. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах c 1 2a 2 b
1
1
1
1
1
1
1
1
и d 1 3a 2 4b, если | a | 2 4, | b | 2 3, (a , b ) 2 1503.
8.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 3; –1), B(2; 0; 7), C(–2; 4; 0),
D(5; 5; 2). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐACB; 3) высоту VABC,
опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD,
опущенную из D на основание ABC.
1
1
1
8.3. Компланарны ли векторы a 1 (2;7;0), b 1 (4; 2 1;3), c 1 (1;8;1)?
1
1
1
9.1. Найти площадь треугольника,
построенного на векторах c 1 2a 2 7b
1
1
1
1
1
1
1
1
и d 1 3a 2 4b, если | a | 2 4, | b | 2 3, (a , b ) 2 603.
40
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
9.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(3; 7; 2), B(4; 0; 8),
D(–1; –3; 1), A1(2; 3; 7). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐADC;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из C на AD; 4) объем параллеле6
пипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущен6
ную из A1 на основание ABCD.
9.3. При каком значении k точки A(3; 2; 1), B(7; 6; 1), C(–1; 8; 0), D(2; 2; k)
лежат в одной плоскости?
1
1
1
10.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах c 1 3a 2 4b
1 1
1
1
1
11 1
и d 1 a 2 5b, если | a | 2 3, | b | 2 6, (a , b ) 2 1203.
10.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(–1; 2; 3), B(0; 2; 4),
D(1; –2; 3), A1(3; 5; 4). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐBAD;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на AD; 4) объем параллеле6
пипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущен6
ную из A1 на основание ABCD.
1
1
1
10.3. При каком значении k векторы a 1 (3;3;1), b 1 (1;3;4), c 1 (0; k;3) ком6
планарны?
1
1
1
11.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах c 1 2a 2 3b
1
1 1 1
1
1
1
1
и d 1 a 2 b, если | a | 2 2 2, | b | 2 1, (a , b ) 2 453.
11.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(3; 4; 2), B(4; 6; 3),
D(4; 3; 2), A1(5; 4; 4). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐA1AD;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из D на AB; 4) объем паралле6
лепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, опущен6
ную из A1 на основание ABCD.
11.3. При каком значении k точки A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C(2; 3; 1), D(3; 1; k)
лежат в одной плоскости?
1
1 1
12.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 22a 3 b
1
1
1
1
1
1
1 1
и d 1 2a 2 4b, если | a | 2 2, | b | 2 6, (a , b ) 2 1353.
12.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(6; 5; 1), B(4; 8; 0), C(–1; –3; 2),
D(1; 0; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐACB; 3) высоту VABC,
опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD,
опущенную из вершины D на основание ABC.
12.3. При каком значении k точки A(3; 2; 0), B(1; –1; 2), C(0; 3; 0), D(k; 3; 2)
лежат в одной плоскости?
1
1 1
13.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 3a 2 b
1
1
1
1
1
11 1
и d 1 7a 2 6b, если | a | 2 2, | b | 2 3, (a , b ) 2 603.
13.2. Даны вершины треугольной пирамиды ABCD: A(7; 0; 5), B(–1; 4; 3),
C(1; 1; 0), D(–2; –3; 7). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐBAC;
3) высоту VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD;
5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины
D на основание ABC.
1
1
1
13.3. Компланарны ли векторы a 1 (7;5;3), b 1 (4;3;0), c 1 (1;2;5)?
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
41
1
1
1
14.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 6a 2 2b
1
1
1 1
1
11 1
и d 1 3a 2 b, если | a | 2 3, | b | 2 8, (a , b ) 2 303.
14.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; –1; 1), B(4; 1; 2), C(2; 0; 1),
D(5; 2; 8). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐDCA; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира9
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
14.3. При каком значении k точки A(0; 1; 0), B(–1; 2; 1), C(2; 1; 3), D(2; 3; k)
лежат в одной плоскости?
1
1 1
15.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах c 1 a 2 6b
1
1 1
1
1
1
1
1
и d 1 b 2 3a, если | a | 2 3, | b | 2 2 2, (a , b ) 2 1353.
15.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(3; –2; 0), B(5;
–1; –1), D(2; 0; 1), A1(4; 1; 3). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD;
2) cosÐBAD; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на AD; 4) объ9
ем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1,
опущенную из A1 на основание ABCD.
1
1
1
15.3. Компланарны ли векторы a 1 (0; 21;0), b 1 (3;3;1), c 1 (2;1;2)?
1
1
1
16.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 3a 2 6b
1 1
1
1
1
11 1
и d 1 a 2 3b, если | a | 2 3, | b | 2 2, (a , b ) 2 603.
16.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 4; –2), B(–2; 5; 0), C(3; 4; 0),
D(2; 5; –1). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐABC; 3) высоту
VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту
пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание
ABC.
1
1
1
16.3. При каком значении k векторы a 1 (2;3;1), b 1 (1;1;2), c 1 (3; k;0) ком9
планарны?
1
1
1
17.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах c 1 6a 2 5b
1
1
1
1
1
1
1
1
и d 1 4a 2 b, если | a | 2 4, | b | 2 2, (a , b ) 2 453.
17.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(4; 7; 3), B(0; 0; 5),
D(1; –1; 7), A1(2; 3; –1). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐABC;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины C на AB; 4) объем
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1,
опущенную из A1 на основание ABCD.
1
1
1
17.3. Компланарны ли векторы a 1 (4;7;3), b 1 (1;2;1), c 1 (0;5;6)?
1
1
1
18.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 4a 2 6b
1 1 1
1
1
11 1
и d 1 a 2 b, если | a | 2 2 3, | b | 2 3, (a , b ) 2 1203.
18.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; –1; 1), B(4; –4; 1), C(1; 0; 1),
D(3; 4; 6). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐADC; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира9
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание
ABC.
1
1
1
18.3. Компланарны ли векторы a 1 (0;1;0), b 1 (21;2;1), c 1 (2;1;3)?
42
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
1 1
19.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 3a 2 b
1
1
1
1
1
11 1
и d 1 7a 2 5b, если | a | 2 2, | b | 2 5, (a , b ) 2 1503.
19.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(4; 7; 0), B(1; –3; –5), C(1; 1; 1),
D(8; 9; –3). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐCAB; 3) высоту
VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту
пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
19.3. Лежат ли точки A(4; 5; 2), B(1; –1; 3), C(5; 2; 7), D(1; 0; –3) в одной
плоскости?
1
1
1
20.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 6a 2 5b
1 1
1
1
1
11 1
и d 1 a 2 3b, если | a | 2 4, | b | 2 2, (a , b ) 2 303.
20.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2),
D(2; 5; 7). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐDBA; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пираB
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
20.3. При каком значении k точки A(–1; –1; 0), B(1; 2; 1), C(0; 1; 2), D(2; 0; k)
лежат в одной плоскости?
1
1 1
21.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 a 2 5b
1
1
1
1 1
1
1 1
и d 1 3a 2 b, если | a | 2 6, | b | 2 2, (a , b ) 2 453.
21.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(4; 0; 6), B(1; 3; –2), C(5; 7; 0),
D(1; 1; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐADB; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пираB
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
21.3. Лежат ли точки A(1; 2; 0), B(0; –2; 1), C(7; 5; –3), D(–2; 4; 1) в одной
плоскости?
1
1 1
22.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 7a 2 b
1
1 1
1
1
1
1
1
и d 1 a 2 2b, если | a | 2 3, | b | 2 2 3, (a , b ) 2 603.
22.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 2; 0), B(1; 6; 2), C(3; 2; 1),
D(3; 2; 4). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐCAB; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пираB
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
22.3. При каком значении k точки A(–1; 0; –1), B(1; 2; 3), C(2; 2; 1), D(0; k; 2)
лежат в одной плоскости?
1
1
1
23.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 4a 2 7b
1 1
1
1
1
11 1
и d 1 a 2 5b, если | a | 2 2, | b | 2 8, (a , b ) 2 1353.
23.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(6; 3; 0), B(5; 1; 2), C(1; 3; 3),
D(–1; 4; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐDBA; 3) высоту
VABC, опущенную из вершины B на AC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоB
ту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D 1на основание ABC.
1
1
23.3. Компланарны ли векторы a 1 (4;7; 21), b 1 (2 2; 2 3;0), c 1 (5;2;1)?
1
1
1
24.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах c 1 3a 2 7b
1
1
1 1
1
11 1
и d 1 7a 2 b, если | a | 2 3 3, | b | 2 2, (a , b ) 2 1203.
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
43
24.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 1; 1), B(4; –3; 1), C(2; 3; 0),
D(1; 3; 2). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐADC; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира6
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание
1 ABC. 1
1
24.3. При каком значении k векторы a 1 (2;2;1), b 1 (1;1;2), c 1 (3; k;1) ком6
планарны?
1
1
1
25.1. Найти площадь треугольника,
построенного на векторах c 1 7a 2 4b
1
1
1
1
1
1
1
1
и d 1 3a 2 b, если | a | 2 2, | b | 2 6, (a , b ) 2 1503.
25.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(–1; 2; –1),
B(1; 4; 0), D(0; 3; 1), A1(2; 1; 3). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD;
2) cosÐDAB; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины B
на AD; 4) объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипе6
да ABCDA1B1C1D1, опущенную из A1 на основание ABCD.
25.3. При каком значении k точки A(0; –1; –1), B(2; 1; 3), C(1; 0; 2), D(k; 1; 1)
лежат в одной плоскости?
1
1 1
26.1. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах c 1 6a 2 b
1
1
1
1
1
1
1
1
и d 1 2a 2 3b, если | a | 2 2, | b | 2 1, (a , b ) 2 1503.
26.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(–2; 4; 0), B(2; –4; 1), C(1; 1; 2),
D(–1; 2; 4). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐCDA; 3) высоту
VABC, опущенную из вершины B на AC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту
пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
26.3. Лежат ли точки A(1; 2; 5), B(2; 1; 5), C(–5; 2; 0), D(–1; 1; 3) в одной
плоскости?
1
1
1
27.1. Найти площадь треугольника,
построенного
на
векторах
c
1
7
a
2
6
b
1 1 1
1
1
11 1
и d 1 b 2 a, если | a | 2 2, | b | 2 2, (a , b ) 2 1353.
27.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(1; 3; 0), B(2; 5; 2),
D(1; 4; 5), A1(3; 4; 6). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐABC;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины A на BC; 4) объем
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1,
опущенную из A1 на основание ABCD.
27.3. При каком значении k точки A(1; –1; 0), B(0; k; 4), C(2; –3; 1),
D(–1; 2; 0) лежат в одной плоскости?
1
1
1
28.1. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах c 1 6a 2 7b
1
1
1
1
1
1
1 1
и d 1 4a 2 5b, если | a | 2 3 3, | b | 2 5, (a , b ) 2 603.
28.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(–1; 0; 3), B(0; 2; 1),
D(2; 3; 4), A1(1; 6; 8). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cosÐA1AB;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины B на AD; 4) объем
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1; 5) высоту параллелепипеда ABCDA1B1C1D1,
опущенную из A1 на основание ABCD.
28.3. Лежат ли точки A(4; –2; 0), B(3; 0; 0), C(0; 0; 2), D(3; 3; 1) в одной
плоскости?
44
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
1
1
29.1. Найти площадь треугольника,
построенного
на
векторах
c
1
4
a
2
7
b
1 1
1
1
1
11 1
и d 1 b 2 2a, если | a | 2 2, | b | 2 5, (a , b ) 2 453.
29.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 2; 2), B(3; 4; 5), C(0; 1; 2),
D(3; 5; 8). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐCBD; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира>
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание
ABC.
1
1
1
29.3. Компланарны ли векторы a 1 (3; 2 3; 2 2), b 1 (4; 21;0), c 1 (2 3;5;2)?
1
1
1
30.1. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах c 1 7a 2 2b
1
1
1
1 1
1
1 1
и d 1 4a 2 b, если | a | 2 5 3, | b | 2 2, (a , b ) 2 1203.
30.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; 3; –1), B(3; 5; 2), C(2; 4; 0),
D(4; 6; 8). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cosÐCBA; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины B на AC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира>
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
30.3. При каком значении k точки A(3; 0; 2), B(0; 7; 1), C(1; 3; 1), D(2; k; 3)
лежат в одной плоскости?
ИДЗ 6.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА
ПО НОВОМУ БАЗИСУ
þ
1
1 1 1
Найти разложение вектора b по строкам a1, a2 , a3 матрицы A.
1 1 2 32 1 132
1. A 5 3 0 1 3 4 , b 5 3 1 4 .
3
4
3 4
3 1 2 614
354
7
8
7 8
1 5 2 12 1 1 3 2
2. A 5 3 3 61 4 4 , b 5 3 7 4 .
3
4
3 4
32 7 04
3 14
7
8
7 8
2 1 14 3 3 1 2 5 3
3. A 6 4 3 2 12 5 , b 6 4 7 5 .
4
5
4 5
4 15 4 0 5
435
7
8
7 8
12
1
1 1 0
1 13 24
3
4
4. A 5 3 2 62 , b 5 2 .
3
4
3 4
3 62 4 0 4
354
7
8
7 8
1 2 2 12 1 1 3 2
5. A 5 3 1 3 1 4 , b 5 3 614 .
3
4
3 4
3 61 0 61 4
3 54
7
8
7 8
2 0 12 12 3 1 2 4 3
6. A 6 4 15 2 4 5 , b 6 4 12 5 .
4
5
4 5
4 3
4 35
1 5 58
7
7 8
2 1 1 113 1 2 4 3
7. A 6 4 7 14 3 5 , b 6 4 0 5 .
4
5
4 5
4 15 2 115
4 25
7
8
7 8
1 3 2 5 2 1 17 2
8. A 5 3 5 7 3 4 , b 5 3 14 .
3
4
3 4
33 1 54
3 4
6
7
637
1 1 3 7 2 1 1 32
9. A 5 3 2 7 1 4 , b 5 3 61 4 .
3
4
3 4
3 0 62 4 4
3 14
7
8
7 8
2 7 12 2 3 1 2 0 3
10. A 6 4 1 1 3 5 , b 6 4 15 .
4
5
4 5
4 15 9 3 5
4 35
7
8
7 8
45
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
1 1 9 0 2 1 1 12
11. A 5 3 1 64 1 4 , b 5 3 1 4 .
3
4
3 4
33 2 24
3 61 4
7
8
7 8
1 1 2 02 1 102
12. A 5 3 3 7 5 4 , b 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 65 64 61 4
3 54
7
8
7 8
2 5 11 0 3 1 2 3 3
13. A 6 4 2 11 15 , b 6 4 2 5 .
4
5
4 5
4 15 3 0 5
47 5
7
8
7 8
2 0 1 12 3 1 2 7 3
14. A 6 4 12 2 9 5 , b 6 4 12 5 .
4
5
4 5
4 4 2
4 25
158
7
7 8
1 3 7 52 1 1 02
15. A 5 3 3 64 0 4 , b 5 3 1 4 .
3
4
3 4
3 0 2 14
3 24
7
8
7 8
1 1 7 12 1 1 0 2
16. A 5 3 4 1 2 4 , b 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 65 2 0 4
3 54
7
8
7 8
12 2 32 1 1 32
17. A 5 3 1 2 3 4 , b 5 3 0 4 .
3
4
3 4
31 1 14
3 62 4
7
8
7 8
2 3 2 12 3 1 2 5 3
18. A 6 4 3 12 115 , b 6 4 15 .
4
5
4 5
4 1 1 115
4 14 5
7
8
7 8
1 0 2 52 1 132
19. A 5 3 7 9 3 4 , b 5 3 1 4 .
3
4
3 4
3 61 61 4 4
354
7
8
7 8
2 6 15 3 3 1 2 2 3
20. A 6 4 11 7 5 5 , b 6 4 9 5 .
4
5
4 5
4 0 4 15
4 13 5
7
8
7 8
1 12 3
7
24
1 2 3
21. A 6 4 2 13 0 5 , b 6 4 115 .
4
5
4 5
4 3 1 12 5
4 13 5
7
8
7 8
1 1 2 42 1 132
22. A 5 3 61 7 0 4 , b 5 3 14 .
3
4
3 4
3 0 3 54
354
7
8
7 8
2 2 1 11 3 1 2 6 3
23. A 6 4 2 13 0 5 , b 6 4 15 5 .
4
5
4 5
4 1 1 11 5
4 35
7
8
7 8
1 2 7 52 1 1 4 2
24. A 5 3 63 64 0 4 , b 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 62 2 9 4
3 63 4
7
8
7 8
2 1 2 13 3 1 2 14 3
25. A 6 4 1 0 4 5 , b 6 4 115 .
4
5
4 5
4 5 3 12 5
4 25
7
8
7 8
1 23
11
24
1 24 35
4
5
26. A 6 0 2 7 , b 6 7 .
4
5
4 5
4 5 12 13 5
4 55
7
8
7 8
1 1 4 22 1 162
27. A 5 3 7 62 14 , b 5 3 2 4 .
3
4
3 4
3 63 64 0 4
3 34
7
8
7 8
1 1 2 0 2 1 1 12
28. A 5 3 3 2 3 4 , b 5 3 4 4 .
3
4
3 4
3 65 61 2 4
3 63 4
7
8
7 8
2 15 14 7 3 1 2 7 3
29. A 6 4 3 2 15 , b 6 4 1 5 .
4
5
4 5
4 4 0 25
405
7
8
7 8
1 12 3
4
23
1 24 35
4
5
30. A 6 1 3
1 , b 6 12 .
4
5
4 5
4 9 15 0 5
4 11 5
7
8
7 8
46
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Контрольная работа 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
11112 1112
1.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB, AC,
11112 2
2 1112 2
2 2
2
212 2
если AB 3 m 4 2n, AC 3 m 5 3n, | m | 3 8, | n | 3 3, (m , n) 3 .
6
1.2. Найти значение d, при котором точки A, B, C, D лежат в одной плоско/
сти, если A(–1; 0; 1),
B(1; 14; 6), C(2; 2;11),1 D(1;
1 0;
1 d).
1
1
1 1
1
1
1.3. Найти | a 1 b |2 2 1a 3 b, если a 112i 12 j 3 12k1, b 11 i 3 15k.
1
1
1.4. Найти пр a1 (a 1 b ), если a 1 2i 2 j 3 2k, b 1 i 3 5k.
1.5. Найти 5(cos a + cos b), если cos a, cos b — направляющие косинусы
1
вектора m 1 (4;3).
1 1
1 1
1
1
1 1
2.1. Найти значение
k, при котором m 1 n, если m 1 ka 2 17b, n 1 3a 3 b,
1
1
1
1
1
| a | 2 2, | b | 2 5, (a , b ) 2 1203.
1
1 1 1 1
1 2.2. Найти сумму координат вектора c, если c 1 a 2 b, a 1 (3; 31; 3 2),
b 1 (2;2; 21).
1
1 1
1
2.3. Найти 3прb1 (2a 1 b ), если a 1 (3; 21; 2 2), b 1 (2;2; 21).
11112 1112 11112
2.4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD,
если A(1; 0; 3), B(2; 1; 0), C(1; 2; 2), D(0; 2; 3).
1112
1
2.5. Найти ординату вектора m, коллинеарного вектору AC, противопо/
1
ложно направленного и имеющего модуль | m | 1 3 5, если A(1; 0; 3), C(1; 2; 2).
3.1. Найти 9cos a + 2cos b – cos g, если cos a, cos b, cos g — направляющие
1
косинусы вектора a 1 (10; 2 20;20).
2 11112 1112
1
3.2. Найти ординату вектора a, если a 1 AB 2 AC, A(1; –1; 2), B(5; –6; 2),
C(1; 3; –1).
1
1
1
1
11 1
3.3. Найти |3a 1 4b |, если | a | 2 4, | b | 2 3, (a , b ) 2 603.
1 1 1
3.4.
Найти
объем
параллелепипеда,
построенного на векторах a, b, c, если
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a 1 2i 2 j 3 k, b 1 i 3 j 2 2k, c 1 23i 2 3k.
1
1
3.5. Найти абсциссу вектора
1 1 m,1 коллинеарного вектору a, сонаправлен/
1
1
1
ного с a, если | m | 1 5 6, a 1 2i 2 j 3 k.
1
1 1
1
4.1. Найти прb1 (a 1 b ), если a 1 (1; 2 5; 2 2), 1b 1 (4;0; 2 3).
1
1
1 1
1
4.2. Найти абсциссу вектора c, если c 1 | b | 2 a, a 1 (1; 3 5; 3 2), b 1 (4;0;
111123 3).
1112
4.3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB, AC,
если A = (–2; 1; 3), B
= (0; 1; 4), C = (–2; 2;1 4).
11 1
1
1
11 1
1 1 1 1
4.4. Найти (a 1 b ) 2 c 3 | c |, если | a | 2 2, | b | 2 1, | c | 2 5, (a , c ) 2 3, (b , c ) 2 0. 1
1 1
4.5. Найти
построенной на векторах a, b, c,
1 1 треугольной
1 1 1пирамиды,
1
1
1 1 объем
1
1
если a 1 2i 2 j 3 k, b 1 23i 2 3k, c 1 i 3 j 2 2k.
1 1 1 1
1
1
111 2
5.1. Найти | m 1 n | 2 m 3 n, если | m | 3 1, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
1
2 11112 1112
5.2. Найти аппликату вектора a, если a 1 AB 2 CA, A(1; –1; 2); B(5; –6; 2),
C(1; 3; –1).
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
47
1
1 1
1 5.3. Найти значение коэффициента b, при котором a 1 b, если a 1 (2; 3 3;2)
и b 1 (2; 2 2;1).
1 1 1
5.4.
Найти
объем
параллелепипеда,
построенного на векторах a, b, c, если
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a 1 2i 2 j 3 2k, b 1 3i 2 14k, c 1 2 j 3 k.
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
5.5. Найти 3пр a1 (b 1 2c ), если a 1 2i 2 j 3 2k, b 1 3i 2 4k, c 1 2 j 3 k.
1 1
1
1
11 1 2
6.1. Найти |6 p 1 q |, если | p | 3 2 2, | q | 3 3, ( p , q ) 3 .
4
6.2. Найти 33(cos a +
1111cos
2 b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю7
щие косинусы вектора AB, A(2; –5; 1), B(8; 2; –5).
1 1 1
1
6.3. Найти
объема параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c,
1 1 1 1
1
1 1 1 141 1
если c 1 a 2 b, a 1 i 3 j 3 2k, b 1 i 4 j 3 4k.
1 1
6.4. Найти значение k, при котором векторы p и q ортогональны, если
1 1 1
1 1
1
1
1
11 1 2
p 3 3a 4 2kb, q 3 a 5 2b, | a | 3 6, | b | 3 2, (a , b ) 3 .
3
1112
11112
2
2
2
2 BC, если AB 1 3i 2 2 j 3 6k, A (1; 21;3), C(0; 1; 13).
6.5. Найти 7пр 1111
AB
1
1 1
1
11 1 2
7.1. Найти | a 1 b |, если | a | 3 2, | b | 3 1, (a , b ) 3 .
4 1 1 1
7.2. Найти
значение
a,
при
котором
векторы
a, b, c компланарны, если
1
1
1
a 1 (2;0; 21), b 1 (1; 214;3), c 1 (1; 3;0).
1 1 1
1 1
1 1
1
1
7.3. Найти
квадрат модуля вектора c, если a 1 3i 2 j 2 2k, b 1 i 3 2 j 2 k,
1
1 1
1 1
c 1 (2a 2 b ) 3 (2a 4 b ). 11112
2
7.4. Найти 5пр 1111
AC AB, если A(0; –2), B(1; 2), C(3; 2).
7.5. Найти площадь треугольника ABC, если A(0; –2), B(1; 2), C(3; 2).
1
1
1
8.1. Найти 11прb1 a, если a 1 (0;1;2), b 1 (3; 21; 21).
11112 1112 11112
8.2. Найти ( AB 1 AC) 2 AD, если A(1; 2; 3), B(2; –4; 0), C(1; 0; 3), D(2; 0; 4).
8.3. Найти 20(cos a +
1111cos
2 b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю7
щие косинусы вектора AB, A(–2; 3; 1), B(–2; –1; 5).
1 1
8.4. Найти значение k, при котором векторы p и q ортогональны, если
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
2
p 3 3a 4 9kb, q 3 a 5 2b, | a | 3 6, | b | 3 2, (a , b ) 3 .
3
8.5. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются век7
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1
1 1 1 32
торы p, q, если p 3 2m 4 n, q 3 4m 5 5n, | m | 3 5, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
1 1 1
9.1. Найти1объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, если
1
1
a 1 (1; 2 2; 2 3), b 1 (5;0;1), c 1 (0;4; 2 3).
12 12 112
112 112
9.2. Найти квадрат
модуля
вектора F 1 F1 2 F2 , если F1 и F2 направлены
112
11
2
под углом 60°, | F1 | 1 5, | F2 | 1 7.
1 1 1
9.3. Найти
значение
b, при
котором векторы a, b, c компланарны, если
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a 1 3i 2 2k, b 1 i 3 j , c 1 3 j 2 4k.
1 1 1 1
1
1
1
9.4. Найти 3пр a1 1b1 a, если a 1 3i 2 2k, b 1 i 3 j .
1
2 11112 1112
9.5. Найти сумму координат вектора a, если a 1 AB 2 AC, A(1; –1; 2),
B(5; –6; 2), C(1; 3; –1).
48
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 1
10.1. Найти значение m, при котором a 1 b, если
1
1 1
1
1
1
1
a 1 3mi 2 4 j , b 1 2i 3 3 j 3 5k.
1
2 1112 11112
10.2. Найти ординату вектора a, если a 1 AC 2 AB, A(1; 2; 0), B(3; 0; –3),
C(5; 2; 6).
1
1
1
10.3. Найти прb1 a, если a 1 (2; 2 3;4), b 1 (1;2; 2 2).
1
1 10.4. Найти утроенную сумму направляющих косинусов вектора b, если
b 1 (1;2; 2 2).
1 1 1
10.5. Найти
1 1объем
1
1построенного на векторах a, b, c,
1 1 1
1
1
1 параллелепипеда,
1
если a 1 2i 3 3k, b 1 2i 3 4k 2 3 j , c 1 i 3 2 j 2 2k.
11112 1112
11.1. Найти | AB 1 AC |, если A(1; 2), B(2; –1), C(–1; 4).
1 1
1
1 1 1
1 111 2 1
1
11.2. Найти прb1 (2a 1 b ), если a 3 2m 4 n, b 3 3n, (m , n) 3 , | m | 3 6,| n | 3 1.
3
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
11.3. Найти прb1 (2a 1 b ), если a 1 0,5i 2 j 3 0,5k, b 1 2i 2 j 3 2k.
1 1 1
11.4. Найти объем
параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c,
1
1
1
если a 1 (2 2;1; 21), b 1 (1;0; 2 2), c 1 (2;1; 2 2).
1
1
11.5. Найти абсциссу вектора m, коллинеарного вектору a, противопо:
1
1
ложно направленного и имеющего модуль | m | 1 3 6, если a 1 (2 2;1; 21).
12.1. Найти объем пирамиды ABCD, если A(1; 2; –1), B(3; 3; –4), C(5; 1; –4),
D(2; 2; 2).
1 1
12.2. Найти
площадь
параллелограмма, построенного на векторах a, b,
1
1
1
1
1
1
если a 1 3i 2 2k, b 1 2i 2 2k.
1 1
12.3. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах p, q,
1 1
1 1 1
1 1
1
111 2
если p 3 m 4 2n, q 3 m 5 3n, | m | 3 5, | n | 3 3, (m , n) 3 .
6 1 1
12.4. Найти значение
a, при котором векторы a и b перпендикулярны,
1
1
если a 1 (1;2;3), b 1 (3; 2; 3
5).
1
1 1
1
12.5. Найти пр a1 (a 1 b ), если a 1 (3;0; 2 4), b 1 (1; 21;2).
1 1
1
1
13.1. Найти значение a, при котором p 1 q, если p 1 (2;2; 3 2), q 1 (2; 3 3;5).
1 1 1
13.2. Найти значение a, при котором векторы p, q, r компланарны, если
1
1
1
p 1 (2 2;1;2), q 1 (3;0; 21), r 1 (3;2;0).
1
1
1
1
1
13.3. Найти 3пр p1 (2q 1 5r ), если p 1 (2 2;1;2), q 1 (3;0; 21), r 1 (2 3;2;0).
11112 1112
13.4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах AB, AC,
если A(0; 1; 4), B(–2; 2; 4), C(–2; 1; 3).
13.5. Найти 3cos a – 6cos b + 9cos g, если cos a, cos b, cos g — направляю:
1
щие косинусы вектора a 1 (2; 21; 2 2).
11112 1112
14.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB, AC,
если A(0; 1; 4), B(–2;11; 3), C(–2; 2; 4).
1 1
1
1 1 1 1 1
1 1
1
1 1
1
14.2. Найти (a 1 b ) 2 c 31| c |, если a 1 22
i 31 j 21k,1 b 11 i 2 21k, c 1 12i 31 j 2 21k.
1
1
1
1
14.3. Найти пр c1 (3a 1 b ), если a 1 22i 3 j 2 k, b 1 i 2 2k, c 1 2i 3 j 2 2k.
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1 1 1
1
14.4. Найти cos( p , q ), если a 1 b, a 2 2 p 3 3q, b 2 p 4 q, | p | 2 | q | 2 1.
14.5. Найти 5(cos a + cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю:
1
щие косинусы вектора a 1 (3;0; 2 4).
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
49
112 112
112
112
15.1. Найти модуль суммы сил F1 , F2 , если F1 1 (3;6; 7), F2 1 (0; 2 3;0).
11112
11112 1 1112
15.2. Найти | AB | 2 5cos( AB , AC), если A(1; 0; 2), B(1; –1; 0), C(1; 1; 2).
1
1
1 1 111 2 1
1
15.3. Найти прn1 a, если a 3 2m 4 n, (m , n) 3 , | m | 3 8, | n | 3 2.
4
1 1 1
15.4. Найти объем
параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c,
1
1
1
если a 1 (0; 21;2), b 1 (1;0;1), c 1 (0; 2 4; 2 3).
1 1
15.5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a, c,
1
1
если a 1 (0; 21;2), c 1 (0; 4; 3).
1 1
1
1
11 1 2
19 1 |6 p 2 q |, если | p | 3 3, | q | 3 2, ( p , q ) 3 .
6
1 1 1
16.2. Найти
объем
параллелепипеда,
построенного
на
векторах a, b, m,
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
если a 1 2i 2 3 j 3 11k, m 1 i 2 2k, b 11 m 4
1 1 1 1
1 n, n 11 i 13 3 1j 2 4k1 . 1 1
1
1
1
16.3. Найти прb1 a, если a 1 2i 2 3 j 3 11k, m 1 i 2 2k, n 1 i 3 3 j 2 4k, b 1 m 4 n.
1 1
16.4. Найти
1 площадь
1 параллелограмма, построенного на векторах p, q,
1
1
1 1
если p 1 2i 2 3 j , q 1 i 3 4 j .
1112 1112
16.5. Найти BA 1 DC, если A(1; 2; –1), B(3; –1; 2), C(1; –2; 0), D(0; 4; 1).
16.1. Найти
1
17.1. Найти 20прb1 a, если
1
1 1 1
1
1
1 1 1
c 1 2i 2 2 j 3 k, d 1 (31; 31;0), b 1 (4;0; 3 3), a 1 c 4 d.
17.2. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого
являются
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1
111 2
векторы p, q, если p 3 2m 4 n, q 3 4m 4 5n, | m | 3 1, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
1112 1 1112
17.3. Найти 17 2 cos( BA , BC), если A(2; 2; 0), B(2; 1; 1), C(5; 4; 5).
11112 1112 11112
17.4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD,
если A(1; 2; –3), B(–2; 1; 11), C(–1;
1 1 0; 1),
1 D(1; 1; 1).
1
1
1
1
1
1
17.5. Найти a 1 (2a 2 b ) 2 | b 3 (a 4 2b )|, если | a | 1 2, | b | 1 7, a 22 b.
18.1. Найти площадь треугольника ABC, если A(–2; 3; 1), B(–2; –1; 5),
C(–2; –4; 0).
18.2. Найти 20(cos a1111
+2cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю:
щие косинусы вектора AB, A(–1; 2; 1), B(–2; –1; 5).
1 1
1
1 1
1 1
1
18.3. Найти значение k, при котором p 1 q, если p 1 a 2 kb, q 1 6a 3 2b,
1
1
11 1 2
| a | 3 1, | b | 3 2, (a , b ) 3 .
3
1 1
18.4. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах c и d,
1
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
если c 2 a 3 b, d 2 a 4 b, | a | 2 6, | b | 2 3, (1a , b ) 2 150
1
1 5. 1 1 1
1
1
1
1
1
1
18.5. Найти прn1 c, если c 1 3(a 2 b ), a 1 8i 2 7 j 2 k, b 1 (2;0;14), n 1 4i 2 3 j .
1 1
1
1 1
1
1
111 2
19.1. Найти n 1 n 2 |2m 3 (m 2 n)|, если | m | 3 2, | n | 3 8, (m , n) 3 .
2
19.2. Найти длину высоты BD треугольника ABC, если A(1; –1; 2),
B(5; –6; 2), C(1; 3; –1).
1 1 1
19.3. Найти объем
параллелепипеда,
построенного на векторах a, b, c,
1
1
1
1
1
1
если a 1 (1; 21;2), b 1 (2; 2 2;1),1 c 1 3a 3 d, d 1 (4;0; 211).
1
1
1
1
19.4. Найти прb1 c, если b 1 (2; 2 2;1), c 1 3a 2 b, a 1 (1; 21;2).
50
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
19.5. Найти cos a + cos
b + cos g, если cos a, cos b, cos g — направляющие
1 2 1112 2
косинусы вектора a, a 1 BA 2 i , A(1; –1; 0), B(3; –1; 3).
1
1 1 1
1 1
1
1
20.1. Найти |(a 1 b 1 c ) 2 (a 3 c )|, если1111
a21 (2;1;
1112 21), b 1 (23;0;2), c 1 (3;1; 2 2).
2
20.2. Найти ординату вектора a 1 AB 2 CD, если A(1; –1; 0), B(3; –1; 3),
C(13; 15; 2), D(10; 15; 1).
1 1
20.3. Найти площадь треугольника, построенного на векторах p, q, если
1 1
1 1
1
1 1
1
11 1
p 2 a 3 2b, q 2 3a 4 2b, | a | 2 5, | b | 2 3, (a , b ) 2 1205.
20.4. Найти объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D
, основанием
которого
12
111
1112
является параллелограмм, построенный на векторах CB, CD, если A(0; –1; 2),
A1(1; –1; 0), B(3; –1; 3), C(13; 15; 2), D(10; 15; 1).
20.5. 1111
Найти
121cos b, если cos a, cos b, cos g — направляющие косинусы
2
вектора AB, A(2; –5; 1), B(8; 2; –5).
21.1. Найти объем пирамиды с вершинами в точках A, B, C, D, если A(2;
–1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; –1), D(4; 1; 3).
21.2. Найти 3(3cos1111
12
2 cos 3 4 2cos 5), если cos a, cos b, cos g — направляю>
щие косинусы вектора AB, A(2; –1; 1), B(4; 1; 3).
21.3. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1
111 2
векторы p, q, если p 3 2m 4 n, q 3 4m 4 5n, | m | 3 5, | n | 3 2, (m , n) 3 .
4
1 1
21.4. Найти значение k, при котором векторы p и q ортогональны, если
1 1 1
1 1
1
1
1
11 1 2
p 3 3a 4 kb, q 3 a 5 2b, | a | 3 6, | b | 3 2, (a , b ) 3 .
1
13
1
1
21.5. Найти | a 1 3b |, если a 1 (3;1;3), b 1 (2; 21;1).
1 1 1
1
1
1 1
22.1. Найти прa1 c, если a 1 (2; 21;2), c 1 (a 2 2b ) 3 a, b 1 (1;2; 2 2).
1
1
22.2. Найти аппликату вектора a, если a составляет с осями координат
1
острые углы a = 45°, b = 60°, | a | 1 12.
22.3. Найти 3(2cos 1 2 cos 314 3cos 5), если1cos a, cos b, cos g — направляю>
1
1
1
щие косинусы вектора c 1 3a 2 b , a 1 (1; 21;2), b 1 (2; 2 2;1).
1 1
22.4. Найти площадь параллелограмма,
построенного
на
векторах
a
, d,
11 1
1 1 1 1
1 1 1
1
если a 2 b 3 c, d 2 2c 4 b, | b | 2 2, | c | 2 4, (b , c ) 2 1505.
11112 1112 11112
22.5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD,
если A(2; –1; 3), B(3; 2; 5), C(4; –3; 4), D(–3; –1; 2).
1
1 1
1 1
1
11 1 2
23.1. Найти |(a 1 b ) 2 (a 3 b )|, если | a | 3 2, | b | 3 7, (a , b ) 3 .
11112 1112 11112
6
23.2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD,
если A(1; 0; 1), B(2; –3; 2), C(3;
1 1;1 –4),
1 1 2; 2).1 1 1
1
1 D(2;
1 1
1
23.3. Найти прb1 c, если b 1 i 2 2 j 3 k, c 1 5(a 4 b ), a 1 3i 3 j 3 2k.
1 1
23.4.
1 1 значение
1a, при котором p, q перпендикулярны, если
1Найти
1
1
1
1
p 1 2i 3 2 j 4 k, q 1 3i 4 2 j 3 5k.
1 1
23.5. Найти площадь треугольника, построенного на векторах p, q, если
1
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1
p 2 a 3 2b, q 2 3a 4 2b, | a | 2 5, | b | 2 3, (a , b ) 2 1205.
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
51
1112
2
24.1. Найти пр 1111
AB CD, если A(3; 3; –2), B(0; –3; 4), C(0; –3; 0), D(0; 2; –4).
1 1
1 1 1 1 1 1
24.2. Найти | a 1 b |, если a 1 i 2 j , b 1 i 3 j .
1 1
1
1
1
1
24.3. Найти скалярный квадрат вектора c, если c 1 3a 2 2b, | a | 1 3, | b | 1 4,
1 1 1 22
(a , b ) 3 .
3
11112 1112 11112
24.4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD,
если A(2; 2; 2), B(1; 0; 1), C(3; 1; –4), D(2; –3; 2).
24.5. Найти высоту треугольника ABC, опущенную из вершины C, если
A(–1; –2; 4), B(–4; –2; 0), C(3; –2; 7).
25.1. Найти удвоенную площадь треугольника ABC, если A(4; 0; 1),
B(–2; –3; 3), C(1; 2; –5).
1 1
1 1
1 1
11 1
1
25.2. Найти cos(a , b ), если a 1 2i 2 j 2 2k, b 1 32 j 2 k.
25.3. Найти 26(cos a + cos
1 если cos a, cos b, cos g — направляю:
1 cos g),
1 b+
1
щие косинусы вектора
a
1
3
i
2
4
j
3
12
k
.
1 1 1 1
25.4. Найти (2a 1 b ) 2 (c 1 a), если
11 1 2 1
1
11 1 2 11 1
1
(a , b ) 3 , (a , c ) 3 (b , c ) 3 , | c | 3 1, | a | 3 | b | 3 2.
31
12
1
25.5. Найти 11прb1 a, если a 1 (1;2;0), b 1 (21;3;1).
1112 11112
26.1. Найти | BC 1 AB |, если A(1; –2; 3), B(3; 2; 1), C(6; 4; 1).
1
1 1 1 1
1
11 1
26.2. Найти (a 1 b ) 2 (a 1 b ), если | a | 2 2 2, | b | 2 4, (a , b ) 2 1353.
1 1 1
26.3. Найти
объем параллелепипеда,
построенного на векторах a, b, c,
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
если c 1 a 2 b, a 1 i 3 j 3 2k, b 1 i 4 j 3 4k.
26.4. Найти 3(cos a +1 cos
если cos a, cos
1 b 1+ cos
1 g),
1 b, cos g —1 направляю:
1 1
щие косинусы вектора d, d1 1 (a 2 b 2 c ), a 1 (2; 31;1), b 11 (31;2;2), c 1 (1;1; 3 2).
1
1
1 1
1
1
1 1
1
26.5. Найти прb1 (a 1 b ), если a 1 2m 2 n 3 3 p, b 1 22m 3 4 p, | m | 1 | n | 1 2,
111
11 1 2 1
1 1
(m , n) 3 (n , p) 3 , | p | 3 1, m 4 p.
3
27.1.
Найти удвоенную площадь треугольника, построенного на векто:
11112 1112
рах AB, AC, если1111
A(7;
3; 4),
B(1; 0; 6), C(4; 5; –2).
2 1112
1112
27.2. Найти ( AB 1 BC) 2 AC, если A(7; 3; 4), B(1; 0; 6), C(4; 5; –2).
11112 1 1112
27.3. Найти sin( AB , AC), если A(7; 3; 4), B(1; 0; 6), C(4; 5; –2).
1 1 1
1
1
1 1 1 1 111
1
1
27.4. Найти a 1 b 2 | b |2, если a 2 2m 3 4n, b 2 m 4 n, (m , n) 2 1205, | m | 2 | n | 2 1.
27.5. Найти 3 5(cos 1 2 cos 3 2 cos 4), если cos a, cos b, cos g — направляю:
1
щие косинусы вектора a 1 (2 2; 2 4;5).
112 112 1112
112 2 2 2 112
2
2 2
28.1. Найти ( F1 1 F2 ) 2 OA, если F1 1 i 2 j 3 k, F2 1 2i 3 j 3 3k, A(4; –2; –2).
28.2. Найти 20(cos a1111
+2cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю:
щие косинусы вектора AB, A(–2; 3; 1), B(–2; –1; 5).
28.3. Найти значение a, при котором точки A, B, C, D лежат в одной
плоскости, если A(–2; 0; 1), B(1; 6; 4), C(–2; 2; –1), D(1; 0; a).
52
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
28.4. Найти 1/3 площади параллелограмма, сторонами которого явля'
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1
111 2
ются векторы p, q, если p 3 2m 4 n, q 3 4m 4 5n, | m | 3 5, | n | 3 2, (m ,1n) 3 . 1
1 1
1
1
1 41
28.5. Найти значение k, при котором m 1 n, если m 1 ka 2 17b, n 1 3a 3 b,
1
1
1
1
1
| a | 2 2, | b | 2 5, (a , b ) 2 1203.
11112 1 1112
29.1. Найти 44cos( AB , AC), если A(2; –1; 1), B(1; 2; 0), C(1; 2; 2).
1 1
29.2. Найти
площадь
параллелограмма,
построенного на векторах a, b,
1
1
1
1
1
1
1
1
если a 1 3i 2 4 j 2 5k, b 1 i 2 6 j 2 4k.
1
1
1
1 1 1
29.3. Найти прb1 c, если a 1 (1; 21;2), c 1 3a 2 b, b 1 (2; 2 2;1).
1 1
1
1 1 1 1
1 111 2 1
1
29.4. Найти | b 1 a |2, если a 3 2m 4 n, b 3 m 5 2n, (m , n) 3 , | m | 3 | n | 3 1.
3
1
1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
1
2 1 1
29.5. Найти
| a 1 b |, если a 3 2m 4 n, b 3 m 5 2n, (m , n) 3 , | m | 3 | n | 3 1.
3
3
30.1. Найти площадь треугольника ABC, если A(1; 2; 0), B(3; 0; –3), C(5; 2; 6).
11 1
11 1
30.2. Найти 7(2cos(a , m) 2 cos(a , n)), если
1
1 1
1
1
1
1 1
(m , n) 2 1203, | m | 2 | n | 2 1, a 1 2m 2 n.
30.3. Найти 21(cos a + cos b + cos g), если cos1 a, cos
1 cos g — направляю'
1 b,
1
щие
косинусы
вектора
a
1
2
i
2
3
j
3
6
k
.2
1112
11112
2 1112
2
2
2
2
2 BC, если AB 1 23i 2 2 j 3 6k, BC 1 24i 3 4 j 3 4k.
30.4. Найти пр 1111
AB
1 1 1
30.5. Найти объем
параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c,
1
1
1
если a 1 (2;1; 2 3), b 1 (1;2;1), c 1 (1; 2 3;1).
1
11 1
1
31.1. Найти 5 2 cos(
a , b ), если a 1 (0;1;0),
1 2 4;
1 1
1
1 1 b 11 (0;
1 2 3).
1 1
1 1 1 1
1
31.2. Найти (a 1 b ) 2 c 3 | c |, если a 1 22i 3 j 2 k, b 1 i 2 2k, c 1 2i 3 j 2 2k.
1
1
1
1 111 2 1
1
31.3. Найти прn1 a, если a 3 2m 4 3n, (m , n) 3 , | m | 3 2, | n | 3 3.
4
31.4. Найти площадь треугольника ABC, если A(0; 1; –1), B(2; –1; –4),
C(4; 1; 5).
1
1
1
11 1 2 1
31.5. Найти 97 1 | a 2 2b |, если (a , b ) 3 , | a | 3 3, | b | 3 4.
3
11112 1 1112
32.1. Найти 6 2 cos( AB , CD), если A(2; 2; 2), B(1; 0; 1), C(4; 2; –3), D(2; –3; 2).
1
1
1 1 1
1
1 1
1
1
1 1
32.2. Найти 46 1 пр a1 c, если a 1 3i 2 6 j 3 k, c 1 2b 3 3a, b 1 3i 2 j 2 2k.
1
1 1
32.3.
векторы a, b, c компланарны, если
1 1 значение
1 1 a, при
1
1Найти
1
1
1
1 котором
1
a 1 3i 2 6 j 3 k, c 1 2i 3 3k, b 1 3i 2 4j 2 2k.
1 1
32.4.
1 1площадь
1Найти
1 треугольника, построенного на векторах a, c, если
1
1
1
a 1 2i 2 3 j 2 4k, c 1 i 2 2 j .
1 1
32.5.
Найти
значение
a,
при
котором
векторы
a
и b ортогональны, если
1
1
1
1
1
1
1
1
a 1 3i 2 6 j 3 k, b 1 3i 2 4j 2 2k.
11112 1112 11112
33.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC, AD,
если A(5; 1; –4), B(1; 2; –1), C(3; 3; –4), D(2; 2; 2).
2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
53
33.2. Найти 5(cos a + cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю
1
щие косинусы вектора a 1 (3;0; 2 4).
1
1 1
1 1 1 1 32 1
1
33.3. Найти прn1 a, если a 3 m 4 2n, (m , n) 3 , | m | 3 2, | n | 3 2.
4
1 1
1
1 1 1 1
1 111 2 1
1
33.4. Найти | a 1 b |, если a 3 2m 4 n, b 3 m 5 2n, (m , n) 3 , | m | 3 | n | 3 2.
6
33.5. Найти абсциссу точки D, если A(–3; –2; 0), B(3; –3; 1), C(5; 0; 2),
ABCD — параллелограмм.
11112 1 1112
если
34.1. Найти sin(
112 AB
112 , AC
112 ),1111
2 A(5; 1; 2), B(–1; –2; 4), C(2; 3; –4).
34.2. Найти ( F1 1 F2 1 F3 ) 2 AB, если
112
2 112 2 2
2 11112
2
2 2 2 112
2
F1 1 2i 2 j 3 k, F2 1 2i 3 2 j 3 2k, F3 1 i 2 j 3 2k, AB 1 (2;2; 31).
1 1
34.3. Найти площадь треугольника,
построенного на векторах p, q, если
1 1 1
1 1
1
1
1
11 1
p 2 3a 3 2b, q 2 a 4 2b, | a | 2 5, | b | 2 2, (a , b ) 2 1355.
34.4. Найти 2(cos 11111
2 2cos
3 4 3cos 5 ), если cos a, cos b, cos g — направляю
2
щие косинусы вектора AD, A(2; –1; 1), D(–1; 3; –4).
1 1 1
34.5. Найти объем
параллелепипеда,
построенного на векторах a, b, c,
1
1
1
1 1 1
если a 1 (1; 21;2), b 1 (2; 2 2;1), c 1 2a 2 d, d 1 (2; 21;3).
11112 1112 11112
35.1. Найти ( AB 1 AC) 2 AD, если A(1; 2; 3), B(2; –4; 0), C(1; 0; 3), D(2; 0; 4).
1
1
35.2. Найти абсциссу
1 1 m, коллинеарного вектору a, сонаправлен
1 вектора
1
1
1
ного с a, если a 1 6i 2 2 j 3 2k, | m | 1 6 11.
1 1 1
35.3. Найти
построенного на векторах a, b, c,
1 1объем1 параллелепипеда,
1 1 1
1
1
1
если a 1 2i 3 3k, b 1 23 j 3 4k, c 1 i 3 2 j .
35.4. Найти удвоенную площадь параллелограмма, построенного на век
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1
111 2
торах p, q, если p 3 m 4 n, q 3 m 4 3n, | m | 3 5, | n | 3 2 2, (m , n) 3 .
1 1
4 1 1 1
1
1
1 1
35.5. Найти прb1 a, если a 1 (21; 2 3;11), m 1 i 2 2k, n 1 (1;3; 2 4), b 1 m 3 n.
3.
ЭЛЕМЕНТЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Е
сли на плоскости задана прямоугольная декартовая система координат
Oxy, то расстояние d между точками M1(x1, y1) и M2(x2, y2) определяется по
формуле
d 1 (x2 2 x1 )2 3 (y2 2 y1 )2 .
Координаты точки C(x, y), делящей отрезок между точками A(x1, y1) и
B(x2, y2) в заданном отношении l, определяются по формулам
x3
x1 1 2x2
y 1 2y2
, y3 1
.
11 2
11 2
В частности, при l = 1 получаются формулы для координат середины от
резка:
x 1 x2
y 1y
x2 1
, y2 1 2.
2
2
В декартовой прямоугольной системе координат Oxy на плоскости любая
прямая может быть задана уравнением первой степени относительно x и y:
Ax + By + C = 0,
(1)
где A, B, C — некоторые действительные числа, причем A2 + B2 > 0, и обрат
но: всякое уравнение вида (1) определяет прямую.
1
Вектор N 1 ( A, B) перпендикулярен к прямой (1) и называется нор
мальным вектором прямой. Уравнение (1) называется общим уравнением
прямой.
Если B ¹ 0, то уравнение (1) можно разрешить относительно y и предста
вить в виде
y = kx + b (k = tg a),
(2)
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
55
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Угол a,
отсчитываемый от положительного направления оси Ox до прямой против
хода часовой стрелки, называется углом наклона прямой.
Существуют и другие виды уравнения прямой на плоскости:
1) параметрические уравнения:
3x 1 x0 2 mt,
4
5y 1 y0 2 nt,
1
где S 1 (m, n) — направляющий вектор прямой, расположенный параллель5
но данной прямой, а точка M0(x0, y0) лежит на этой прямой;
2) каноническое уравнение прямой:
x 1 x0 y 1 y0
2
,
m
n
1
где S 1 (m, n) — направляющий вектор прямой;
3) уравнение прямой в отрезках:
x y
1 2 1,
a b
эта прямая отсекает отрезок a на оси Ox и отрезок b на оси Oy;
4) нормальное уравнение прямой:
x cos a + y sin a – p = 0,
где p — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на пря5
1
мую, а a — угол наклона нормального вектора прямой N к положительному
направлению оси Ox;
5) уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2):
y 1 y1
x 1 x1
2
;
x2 1 x1 y2 1 y1
6) уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) с заданным уг5
ловым коэффициентом k:
y – y0 = k(x – x0).
Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости.
1. Если прямые заданы общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x +
+ B2y + C2 = 0, то угол j между ними находится по формуле
1112 1112
N1 1 N2
A1 A2 2 B1 B2
cos 3 4 1112 1112 4
.
2
A1 2 B12 1 A22 2 B22
N1 N2
Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид
A1A2 + B1B2 = 0,
а условие их параллельности:
A1 B1 C1
1
2 .
A2 B2 C2
56
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2. Если прямые заданы уравнениями вида y = k1x + b1 и y = k2x + b2, то
угол j между ними находится по формуле
k 1k
tg 2 3 2 1 .
1 4 k1 5 k2
Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы выполня0
лось равенство k1 = k2, а для их перпендикулярности необходимо и достаточ0
но, чтобы k1 × k2 = –1.
Расстояние d от точки M0(x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется
по формуле
| Ax0 1 By0 1 C |
d2
.
A 2 1 B2
Линией второго порядка называется множество точек плоскости, декар0
товы координаты x и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению
второй степени
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
(3)
где A, B, C, D, E, F — действительные числа, такие что A2 + B2 + C2 > 0. Урав0
нение (3) называется общим уравнением линии второго порядка.
Уравнение (3), в зависимости от значений коэффициентов A, B и C, опре0
деляет на плоскости Oxy одну из кривых второго порядка:
1) если AC – B2 > 0, то уравнение определяет эллипс;
2) если AC – B2 > 0, A = C, то уравнение определяет окружность;
3) если AC – B2 < 0, то уравнение определяет гиперболу;
4) если AC – B2 = 0, то уравнение определяет параболу.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных
от данной точки C, называемой центром окружности.
Уравнение окружности с центром в точке C(x0, y0) и радиусом R (расстоя0
ние от любой точки окружности до ее центра) всегда можно привести к виду
(x – x0)2 + (y – y0)2 = R2.
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от
каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами,
есть величина постоянная.
Если систему координат выбрать
так, что координаты фокусов F1(c; 0)
и F2(–c; 0), то в выбранной таким об0
разом системе координат уравнение
эллипса будет иметь вид
x 2 y2
1
2 1,
(4)
a2 b2
где b2 = a2 – c2. Уравнение (4) называет0
ся каноническим уравнением эллипса,
параметр a — большая полуось эллип0
са, b — малая полуось эллипса, 2c —
расстояние
между фокусами эллипса
Рис. 3.1
Эллипс
(рис. 3.1).
57
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом e, который ра'
вен числу
c
12 .
a
a
a
Уравнение директрис эллипса: x 1 2 и x 1 2
3
3
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстоя'
ний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фоку'
сами, есть величина постоянная.
Если поместить фокусы гиперболы в точках F1(c; 0) и F2(–c; 0), то полу'
чится каноническое уравнение гиперболы
x 2 y2
1
2 1,
a 2 b2
где b2 = c2 – a2. Точки A1(a; 0) и A2(–a; 0) называются вершинами гиперболы.
Отрезок A1A2 называется действительной осью гиперболы, а отрезок B1B2
такой, что |B1B2| = 2b — мнимой осью (рис. 3.2).
Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки
M(x, y) гиперболы до этой прямой стремится к нулю при x ® ±¥, т. е. ветви
гиперболы неограниченно приближаются к ее асимптотам при удалении в
бесконечность.
b
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых имеют вид y 1 2 x,
a
если гипербола задана каноническим уравнением.
c
Эксцентриситет гиперболы: 1 2 3 1.
a
a
a
Уравнения директрис гиперболы: x 1 2 и x 1 2
3
3
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудален'
ных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой
директрисой.
p
Если директрисой параболы является прямая x 1 2 , а фокусом — точ'
2
1p 2
ка F 3 ,0 4, то уравнение параболы имеет вид (рис. 3.3)
52 6
y2 = 2px.
Рис. 3.2
Рис. 3.3
Гипербола
Парабола
58
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Эксцентриситет параболы e равен 1.
Директрисы, фокусы и точки эллипса, гиперболы и параболы обладают
одним замечательным свойством: отношение расстояния от любой точки M
кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей выбранно5
му фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету
кривой.
Преобразование координат. При переходе от системы координат Oxy к
новой системе O1x¢y¢ (направление осей координат прежнее, за новое начало
координат принята точка O1(a; b)) связь между старыми и новыми координа5
тами некоторой точки M плоскости определяется следующими формулами:
5x 2 x1 3 a,
5x1 2 x 4 a,
или 6
6
1
y
2
y
3
b
7
7y1 2 y 4 b.
При повороте осей координат на угол a (начало координат прежнее, а
угол a отсчитывается против хода часовой стрелки) зависимость между ста5
рыми координатами x, y и новыми x¢, y¢ определяется следующими форму5
лами:
5x 2 x1 cos 3 4 y1 sin 3,
6
8y 2 x1 sin 3 7 y1 cos 3
или
5x1 2 x cos 3 4 y sin 3,
6
8y1 2 7x sin 3 4 y cos 3.
ИДЗ 7.
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
þ
1. Известны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
1) уравнения всех сторон в общем виде;
2) уравнения всех высот в общем виде (AN1, BN2, CN3);
3) уравнения всех медиан в общем виде (AM1, BM2, CM3);
4) tg A;
5) уравнения прямых AE и AE1, проходящих под углом 45° к AC;
6) точку B1, симметричную точке B относительно AC;
7) расстояние от точки C до прямой AB;
8) уравнение прямой CC1, проходящей параллельно AB;
9) уравнение прямой CS, если точка S такая, что BS 1 2;
SA
10) длину стороны AB;
11) длину медианы AM1;
12) длину высоты AN1;
13) площадь треугольника ABC.
59
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1. A(–7; –2); B(3; –8); C(–4; 6).
3. A(1; 0); B(–1; 4); C(9; 5).
5. A(1; –2); B(7; 1); C(3; 7).
7. A(–4; –2); B(–6; 6); C(6; 2).
9. A(4; –4); B(8; 2); C(3; 8).
11. A(1; –6); B(3; 4); C(–3; 2).
13. A(–3; 2); B(2; –4); C(7; 7).
15. A(–3; 8); B(–6; 2); C(0; –5).
17. A(4; 1); B(–3; –1); C(7; –3).
19. A(3; –1); B(11; 3); C(–6; 2).
21. A(–1; –4); B(9; 6); C(–5; 4).
23. A(–3; –1); B(–4; –5); C(8; 1).
25. A(–2; 4); B(3; 1); C(10; 7).
27. A(–6; 4); B(8; 4); C(–2; 10).
29. A(–5; 1); B(8; –2); C(1; 4).
þ
2. A(–3; –2); B(14; 4); C(6; 8).
4. A(1; 7); B(–3; –1); C(11; –3).
6. A(–2; –3); B(1; 6); C(6; 1).
8. A(4; –3); B(7; 3); C(1; 10).
10. A(–3; –3); B(5; –7); C(7; 7).
12. A(–4; –2); B(2; 6); C(8; –6).
14. A(4; –4); B(6; 2); C(–1; 8).
16. A(6; –9); B(10; –1); C(–4; 1).
18. A(–4; 2); B(6; –4); C(4; 10).
20. A(–7; –2); B(–1; 4); C(5; –5).
22. A(–3; 10); B(0; –1); C(12; 5).
24. A(–2; –6); B(–3; 5); C(4; 0).
26. A(0; 2); B(–7; –4); C(3; –2).
28. A(–4; 1); B(6; –9); C(4; 5).
30. A(4; 3); B(–3; –3); C(2; 7).
2. Известны координаты вершин треугольника ABC. Найти уравнение
биссектрисы BP угла B.
1. A(–5; 1); B(–1; –2); C(4; 10).
2. A(10; 2); B(–6; –10); C(1; 14).
3. A(–8; 3); B(4; –2); C(7; 2).
4. A(4; 0); B(0; –3); C(–5; 9).
5. A(5; –2); B(1; –5); C(–4; 7).
6. A(–8; 6); B(4; 1); C(7; 5).
7. A(9; 1); B(–7; –11); C(0; 13).
8. A(–7; 3); B(5; –2); C(8; 2).
9. A(2; 0); B(–2; –3); C(–7; 9).
10. A(8; 6); B(–4; 1); C(–7; 5).
11. A(9; –1); B(–7; 11); C(0; –13). 12. A(–8; 2); B(–5; –2); C(7; 3).
13. A(–4; –7); B(1; 5); C(5; 2).
14. A(3; –2); B(–7; 8); C(–5; –6).
15. A(6; –2); B(2; –5); C(–3; 7).
16. A(3; 1); B(–1; –2); C(–6; 10).
17. A(–7; 5); B(5; 0); C(8; 4).
18. A(7; –1); B(3; –4); C(–2; 8).
19. A(–8; 6); B(4; 1); C(7; 5).
20. A(6; –1); B(2; –4); C(–3; 8).
21. A(–5; 2); B(7; –3); C(10; 1).
22. A(7; 4); B(3; 7); C(–2; –5).
23. A(–8; 7); B(4; 2); C(7; 6).
24. A(–3; 3); B(1; 6); C(6; –6).
25. A(6; 5); B(–6; 0); C(–9; 4).
26. A(–6; –3); B(6; –8); C(9; –4).
27. A(13; 5); B(–11; –2); C(–15; 1). 28. A(4; –1); B(–12; –13); C(–5; 11).
29. A(14; 0); B(–2; –12); C(5; 12). 30. A(9; –2); B(–7; –14); C(0; 10).
ИДЗ 8.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
þ
1. Построить кривые, найти: 1) величину полуосей; 2) координаты вершин; 3) координаты фокусов F1, F2; 4) эксцентриситет e; 5) уравнения
асимптот (для гиперболы).
1. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 9x2 – 4y2 – 36 = 0.
49 25
2. а) 25x2 + 16y2 – 400 = 0; б)
x2
1 y2 2 1.
4
60
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
x 2 y2
1
2 1; б) 4x2 – 16y2 + 64 = 0.
36 16
x 2 y2
1
2 1; б) 16x2 – 9y2 – 144 = 0.
4. а)
16 49
3. а)
5. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 25x2 – 4y2 + 100 = 0.
16 64
6. а) 25x2 + 64y2 = 1600; б)
x 2 y2
1
2 1.
49 36
7. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 25x2 – 16y2 + 400 = 0.
36 25
8. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 16x2 – 49y2 + 784 = 0.
64 16
9. а) 9x2 + 36y2 – 324 = 0; б) 1
x 2 y2
2
3 1.
49 25
10. а) 9x2 + 25y2 – 225 = 0; б)
x 2 y2
1
2 1.
49 81
11. а) 9x2 + 4y2 = 36; б) 1
12. а) x2 + 4y2 = 4; б) 1
13. а)
x 2 y2
2
3 1.
9 36
x 2 y2
2
3 1.
16 36
x 2 y2
1
2 1; б) 16x2 – 36y2 + 576 = 0.
16 4
14. а) 9x2 + 49y2 – 441 = 0; б)
15. а) 9x2 + 16y2 = 144; б)
16. а)
x 2 y2
1
2 1.
16 49
x 2 y2
1
2 1.
36 9
x 2 y2
1
2 1; б) x2 – y2 + 25 = 0.
25 4
17. а) 36x2 + 25y2 = 900; б)
x 2 y2
1
2 1.
16 9
18. а) 36x2 + 9y2 – 324 = 0; б) x2 1
19. а) 16x2 + 25y2 = 400; б) 1
20. а)
y2
2 1.
4
x 2 y2
2
3 1.
9 25
x 2 y2
1
2 1; б) 9x2 – 25y2 + 225 = 0.
49 16
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
61
x 2 y2
1
2 1; б) x2 – y2 + 9 = 0.
25 49
x2
22. а)
1 y2 2 1; б) x2 – y2 – 16 = 0.
9
21. а)
23. а) 49x2 + 9y2 – 441 = 0; б)
x 2 y2
1
2 1.
4 16
24. а) 16x2 + 9y2 – 144 = 0; б)
x 2 y2
1
2 1.
36 49
25. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 25x2 – 36y2 + 900 = 0.
9 25
26. а) 36x2 + 16y2 – 576 = 0; б) 1
27. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 9x2 – y2 + 9 = 0.
25 64
28. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 36x2 – 25y2 – 900 = 0.
49 36
29. а)
x 2 y2
1
2 1; б) 4x2 – 9y2 – 36 = 0.
25 81
30. а) 4x2 + 36y2 – 144 = 0; б) 1
þ
x 2 y2
2
3 1.
25 49
x 2 y2
2
3 1.
64 25
2. Для параболы (пункт а) найти: 1) координаты фокуса F; 2) уравне'
ние директрисы D. Для окружности (пункт б) найти: 1) координаты цен'
тра; 2) радиус R. Построить кривые.
1. а) x2 = –18y; б) (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16.
2. а) y2 = 18x; б) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9.
3. а) y2 = –16x; б) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25.
4. а) x2 = 16y; б) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 36.
5. а) y2 = –5x; б) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4.
6. а) x2 = –9y; б) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9.
7. а) y2 = 5x; б) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 25.
8. а) x2 = 9y; б) (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4.
9. а) y2 = 4x; б) (x + 2)2 + (y + 4)2 = 36.
10. а) x2 = –4y; б) (x + 4)2 + (y + 2)2 = 16.
11. а) y2 = 16x; б) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 36.
12. а) x2 = –16y; б) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4.
13. а) y2 = 8x; б) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25.
14. а) x2 = 5y; б) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 16.
15. а) x2 = –12y; б) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9.
16. а) y2 = –18x; б) (x + 4)2 + (y – 3)2 = 25.
17. а) y2 = –9x; б) (x – 4)2 + (y + 1)2 = 36.
62
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
18. а) x2 = 18y; б) (x – 1)2 + (y – 4)2 = 4.
19. а) x2 = 4y; б) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16.
20. а) x2 = –8y; б) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 9.
21. а) y2 = 12x; б) (x – 2)2 + (y + 2)2 = 36.
22. а) x2 = 8y; б) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4.
23. а) y2 = –12x; б) (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9.
24. а) x2 = 6y; б) (x – 4)2 + (y + 3)2 = 16.
25. а) y2 = 6x; б) (x + 1)2 + (y + 4)2 = 25.
26. а) x2 = –6y; б) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 36.
27. а) y2 = –8x; б) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16.
28. а) x2 = 12y; б) (x – 3)2 + (y + 3)2 = 9.
29. а) y2 = –4x; б) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4.
30. а) x2 = –5y; б) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 25.
þ
3. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) па,
раболы (A, B — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (дей,
ствительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, e — эксцентриситет,
y = ±kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса параболы, 2c —
фокусное расстояние).
1. а) b = 15, F(–10; 0); б) a = 13, 1 2
2. а) b = 2, F (4 2;0); б) a = 7, 1 2
14
; в) D: x = –4.
13
85
; в) D: x = 5.
7
1
52
5
3. а) A(3; 0), B 3 2;
4; б) B(0; –3); 1 2 ; в) D: y = –2.
4
5 3 6
4. а) 1 2
21
, A(–5; 0); б) A ( 80;3), B(4 6;3 2); в) D: y = 1.
5
5. а) a = 11, 1 2
6. а) b 1 15, 2 1
57
2
; б) k 1 , c 1 5 13; в) ось симметрии Ox и A(27; 9).
11
3
10
3
; б) k 1 , 2a = 16; в) ось симметрии Ox и A(4; –8).
5
4
7. а) a = 4, F(3; 0); б) b 1 2 10, F(–11, 0); в) D: x = –2.
7
8. а) b = 4, F(9; 0); б) a = 5, 1 2 ; в) D: x = 6.
5
1 14 2
21
;14; б) k 1
, F (211;0); в) D: y = –4.
9. а) A (0; 3), B 3
10
5 3 6
1
7
3 52
10. а) 1 2 , A(8; 0); б) A 4 3; 3
5, B(6; 3 6 2); в) D: y = 4.
6
2 7
8
11. а) a = 12, 1 2
22
; б) k 1 2 , c = 5; в) ось симметрии Ox и A(–7; –7).
6
3
63
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
5
12
; б) k 1 , a = 13; в) ось симметрии Ox и A(–5; 15).
13
29
12. а) b = 2, 1 2
13. а) a = 6, F(–4; 0); б) a = 3, F(7; 0); в) D: x = –7.
14. а) b = 7, F(5; 0); б) a = 11, 1 2
12
; в) D: x = 10.
11
1 17 1 2 1 21 1 2
5
, b = 1; в) D: y = –1.
; 5, B 4
; 5; б) 1 2
15. а) A 4 3
3 37 6 2 27
2
6
3
16. а) 1 2 , A(0; 8); б) A ( 6;0), B(12 2;1); в) D: y = 9.
5
17. а) a = 11, 1 2
18. а) b = 5, 1 2
11
10
, c = 6; в) ось симметрии Ox и A(–9; 6).
; б) k 1
5
11
12
1
; б) k 1 , 2a = 6; в) ось симметрии Oy и A(–6; 9).
13
3
1
19. а) a = 9, F(7; 0); б) b = 6, F(12; 0); в) D : x 1 2 .
4
20. а) b = 5, F(–10; 0); б) a = 9, 1 2 4 ; в) D: x = 12.
3
1 15 2
2 10
, F(11; 0); в) D: y = 5.
21. а) A(0; –2), B 3
;1 4; б) k 1
5 2
6
9
1
2
32
22. а) A(–6; 0), 1 2 ; б) A ( 8;0), B 3 20;
4; в) D: y = 1.
26
3
5
29
3
, c = 15; в) ось симметрии Oy и A(4; 1).
23. а) 2a = 50, 1 2 ; б) k 1
14
5
7
5
24. а) b 1 2 15, 2 1 ; б) k 1 , a = 6; в) ось симметрии Oy и A(–2; 1).
8
6
3
25. а) a = 13, F(–5; 0); б) b = 4, F(–7; 0); в) D : x 1 2 .
2
26. а) b = 7; F(13; 0); б) b = 4, F(–11; 0); в) D: x = 13.
1
40 2
11
; в) F(–4; 0).
27. а) A(–3; 0), B 31;
4; б) 2a = 6, 1 2
3
3 6
5
1 32 2
5
;1 4, B( 8;0); в) F(0; 4).
28. а) 1 2 , A (0; 3 11); б) A 3
6
5 3 6
29. а) a = 15, 1 2
17
9
, c = 9; в) ось симметрии Oy и A(–12; –9).
; б) k 1
8
15
7
2
, a = 6; в) ось симметрии Ox и A(–45; 15).
30. а) b 1 4 2, 2 1 ; б) k 1
2
9
64
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4. Найти уравнение окружности, проходящей через указанные точки.
1. Вершины гиперболы 12x2 – 13y2 = 156, с центром в точке A(0; –2).
2. Вершины гиперболы 4x2 – 9y2 = 36, с центром в точке A(0; 4).
3. Фокусы гиперболы 24x2 – 25y2 = 600, с центром в точке A(0; –8).
4. Начало координат, с центром в вершине параболы y2 = 3(x – 4).
5. Фокусы эллипса 9x2 + 25y2 = 225, с центром в точке A(0; 6).
6. Левый фокус гиперболы 3x2 – 4y2 = 12, с центром в точке A(0; –3).
7. Фокусы эллипса 4x2 + 5y2 = 20, с центром в его верхней вершине.
8. Вершины гиперболы x2 – 16y2 = 64, с центром в точке A(0; –2).
9. Фокусы гиперболы 4x2 – 5y2 = 80, с центром в точке A(0; –4).
x 15
10. Начало координат, с центром в вершине параболы y2 2 3
.
2
x 2 y2
1
2 1, с центром в точке A(1; 7).
11. Правый фокус эллипса
49 33
12. Левый фокус гиперболы 3x2 – 5y2 = 30, с центром в точке A(0; 6).
13. Фокусы эллипса
x 2 y2
1
2 1, с центром в его нижней вершине.
41 16
14. Вершины гиперболы 2x2 – 9y2 = 18, с центром в точке A(0; 4).
15. Фокусы гиперболы 5x2 – 11y2 = 55, с центром в точке A(0; 5).
16. Точку B(1; 4), с центром в вершине параболы y2 2
x14
.
3
17. Левый фокус эллипса 3x2 + 7y2 = 21, с центром в точке A(–1; –3).
18. Левую вершину гиперболы
19. Фокусы эллипса
x 2 y2
1
2 1, с центром в точке A(0; –6).
9
5
x 2 y2
1
2 1, с центром в его верхней вершине.
25 16
20. Правую вершину гиперболы
x 2 y2
1
2 1, с центром в точке A(1; 3).
16 3
x 2 y2
1
2 1, с центром в точке A(–1; –2).
9
7
22. Точку B(2; –5), с центром в вершине параболы x2 = –2(y + 1).
23. Правый фокус эллипса x2 + 4y2 = 12, с центром в точке A(2; –7).
x 2 y2
1
2 1, с центром в точке A(–2; 5).
24. Правую вершину гиперболы
81 40
21. Левый фокус гиперболы
25. Фокусы эллипса x2 + 10y2 = 90, с центром в его нижней вершине.
26. Правую вершину гиперболы 3x2 – 25y2 = 75, с центром в точке A(–5; –2).
27. Фокусы гиперболы 4x2 – 5y2 = 20, с центром в точке A(0; –6).
28. Точку B(3; 4), с центром в вершине параболы y2 2
x 17
.
4
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
65
29. Левый фокус эллипса 13x2 + 49y2 = 637, с центром в точке A(1; 8).
30. Правый фокус гиперболы
þ
x 2 y2
1
2 1, с центром в точке A(2; 8).
64 57
5. По уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, при?
вести уравнение кривой к каноническому виду.
1. а) x2 1 y2 2 4x 1 6y 2 3 3 0;
б) 2x2 1 2y2 2 5xy 1 4 2x 2 5 2y 2 14 3 0.
2. а) x2 1 y2 1 6x 2 4y 1 4 3 0;
б) 3x2 1 3y2 1 10xy 2 12 2x 2 4 2y 1 128 3 0.
3. а)16x2 1 25y2 1 32x 2 100y 2 284 3 0;
б) 2x2 1 2y2 1 5xy 2 12 2x 2 6 2y 1 18 3 0.
4. а) 9x2 1 4y2 2 18x 2 24y 1 9 3 0;
б) 4x2 1 4y2 2 10xy 2 6 2x 1 12 2y 1 81 3 0.
5. а) 4x2 1 36y2 2 16x 1 72y 2 92 3 0;
б) 2xy 1 2 2x 2 6 2y 2 3 3 0.
6. а) 9x2 1 4y2 1 54x 1 8y 1 49 2 0;
б) 4x2 1 4y2 1 10xy 3 20 2x 3 16 2y 3 49 2 0.
7. а) x2 1 4y2 2 2x 1 56y 1 181 3 0;
б) 2x2 1 2y2 1 5xy 1 3 2x 1 6 2y 2 18 3 0.
8. а) x2 1 4y2 1 4x 2 16y 2 16 3 0;
б) xy 2 3 2x 1 2y 2 4 3 0.
9. а) x2 1 4y2 1 8x 2 48 3 0;
б) 4x2 1 4y2 2 17xy 1 15 2x 2 60 2y 2 450 3 0.
10. а) 36x2 1 4y2 1 72x 2 16y 2 56 3 0;
б) x2 2 y2 2 2xy 2 4 2x 2 12 2y 2 56 3 0.
11. а) 4x2 1 9y2 1 16x 1 18y 1 29 2 0;
б) x2 3 y2 3 2xy 3 12 2x 3 4 2y 3 40 2 0.
12. а) 9x2 1 25y2 1 54x 2 100y 2 44 3 0;
б) 3x2 1 3y2 2 10xy 2 4 2x 1 12 2y 1 8 3 0.
66
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
13. а) 9x2 1 16y2 2 54x 1 32y 2 47 3 0;
б) 3x2 1 3y2 1 10xy 2 12 2x 2 4 2y 1 128 3 0.
14. а) 9x2 1 4y2 2 24y 1 72 3 0;
б) x2 2 y2 1 2xy 2 12 2x 1 4 2y 2 48 3 0.
15. а) x2 1 4y2 2 4x 1 8y 2 4 3 0;
б) x2 2 y2 1 2xy 2 8 2x 1 24 2y 2 48 3 0.
16. а) x2 1 y2 1 4x 1 2y 1 1 2 0;
б) xy 1 2 2x 1 2 2y 3 10 2 0.
17. а) x2 1 9y2 2 2x 2 36y 1 1 3 0;
б) 2x2 1 2y2 2 5xy 1 6 2x 2 3 2y 1 72 3 0.
18. а) 9x2 1 16y2 1 54x 1 64y 1 127 2 0;
б) x2 3 y2 3 2xy 1 12 2x 1 4 2y 1 8 2 0.
19. а) 4x2 1 9y2 2 40x 1 36y 1 100 3 0;
б) 2x2 1 2y2 2 5xy 1 10 2x 2 8 2y 1 34 3 0.
20. а) y2 1 16x 1 6y 2 25 3 0;
б) 4x2 2 4y2 1 10xy 1 24 2x 2 12 2y 2 9 3 0.
21. а) 4x2 1 y2 2 8x 2 6y 1 9 3 0;
б) 4x2 1 4y2 1 10xy 1 20 2x 1 16 2y 1 41 3 0.
22. а) x2 1 4y2 1 4x 2 16y 2 16 3 0;
б) 3x2 1 3y2 2 10xy 1 8 2x 2 24 2y 2 32 3 0.
23. а) x2 1 4x 2 8y 1 20 3 0;
б) 4x2 1 4y2 2 10xy 1 8 2x 2 10 2y 2 1 3 0.
24. а) x2 1 y2 1 2x 2 10y 1 1 3 0;
б) 8x2 1 8y2 1 34xy 1 30 2x 1 120 2y 2 225 3 0.
25. а) y2 1 8x 1 4y 1 20 2 0;
б)7x2 1 7y2 3 50xy 1 168 2x 3 24 2y 3 288 2 0.
26. а) x2 1 y2 1 4x 1 8y 2 4 3 0;
б) x2 2 y2 2 2xy 1 24 2x 1 8 2y 2 80 3 0.
27. а) y2 1 4x 1 2y 2 7 3 0;
б)7x2 1 7y2 1 50xy 2 24 2x 2 168 2y 2 288 3 0.
28. а) x2 1 4x 2 6y 2 22 3 0;
б) 4x2 2 4y2 1 10xy 2 10 2x 1 8 2y 2 17 3 0.
29. а) x2 1 6x 1 12y 1 3 2 0;
б) 8x2 3 8y2 1 34xy 3 30 2x 1 120 2y 3 225 2 0.
30. а) x2 1 y2 2 10x 2 6y 2 25 3 0;
б) x2 2 y2 1 2xy 1 18 2x 2 6 2y 2 108 3 0.
67
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Контрольная работа 2.
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
þ
1. Известны координаты вершин треугольника ABC.
В вариантах с номерами 3n – 2 (т. е. № 1, 4, 7, ...) найти: 1) уравнение
стороны AB; 2) уравнение высоты CN; 3) уравнение медианы BM; 4) урав*
нение CC1, проходящей параллельно прямой AB; 5) уравнение прямой CP,
AP
1 3; 6) расстояние от точки C до прямой AB;
если точка P такая, что
PB
7) тангенс угла между прямыми AB и BM; 8) уравнение прямой AD, про*
ходящей под углом 45° к оси Ox.
В вариантах с номерами 3n – 1 (т. е. № 2, 5, 8, ...) найти: 1) уравнение
стороны AC; 2) уравнение высоты BN; 3) уравнение медианы AM; 4) урав*
нение BB1, проходящей параллельно прямой AC; 5) уравнение прямой BD,
AD
если точка D такая, что
1 4; 6) расстояние от точки B до прямой AC;
DC
7) тангенс угла между прямыми AC и AM; 8) уравнение прямой BK, про*
ходящей под углом 135° к оси Ox.
В вариантах с номерами 3n (т. е. № 3, 6, 9, ...) найти: 1) уравнение
стороны BC; 2) уравнение высоты AN; 3) уравнение медианы CM; 4) урав*
нение AA1, проходящей параллельно прямой BC; 5) уравнение прямой AK,
BK
если точка K такая, что
1 2; 6) расстояние от точки A до прямой BC;
KC
7) тангенс угла между прямыми BC и CM; 8) уравнение прямой CP, прохо*
дящей под углом 60° к оси Ox.
1. A(–6; –9); B(–10; –1); C(4; 1).
3. A(4; 2); B(–6; –4); C(–4; 10).
5. A(7; –2); B(1; 4); C(–5; –5).
7. A(3; 10); B(0; –1); C(–12; 5).
9. A(2; –6); B(3; 5); C(–4; 0).
11. A(0; 2); B(7; –4); C(–3; –2).
13. A(4; 1); B(–6; –9); C(–4; 5).
15. A(–4; 3); B(3; –3); C(–2; 7).
17. A(–3; 2); B(14; –4); C(6; –8).
19. A(1; –7); B(–3; 1); C(11; 3).
21. A(3; –1); B(11; 3); C(–6; 2).
23. A(1; –10); B(7; –3); C(4; 3).
25. A(–3; 3); B(5; 7); C(7; –7).
27. A(–4; 2); B(2; –6); C(8; 6).
29. A(4; 4); B(6; –2); C(–1; –8).
31. A(–2; 3); B(1; –6); C(6; –1).
2. A(–4; 1); B(3; –1); C(–7; –3).
4. A(–3; –1); B(–11; 3); C(6; 2).
6. A(1; –4); B(–9; 6); C(5; 4).
8. A(3; –1); B(4; –5); C(–8; 1).
10. A(2; 4); B(–3; 1); C(–10; 7).
12. A(6; 4); B(–8; 4); C(2; 10).
14. A(5; 1); B(–8; –2); C(–1; 4).
16. A(–7; 2); B(3; 8); C(–4; –6).
18. A(1; 0); B(–1; –4); C(9; –5).
20. A(1; 2); B(7; –1); C(3; –7).
22. A(–4; 2); B(–6; –6); C(6; –2).
24. A(4; 4); B(8; –2); C(3; –8).
26. A(1; 6); B(3; –4); C(–3; –2).
28. A(0; 4); B(–5; –2); C(5; –7).
30. A(–3; –8); B(–6; –2); C(0; 5).
32. A(–7; –2); B(–1; 4); C(5; –5).
68
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2. Уравнение прямой L привести к виду «в отрезках» и построить ее.
1. 3x + 5y + 15 = 0.
2. 5x + 3y + 15 = 0.
3. 5x – 3y + 15 = 0.
4. 3x –5y + 15 = 0.
5. 3x + 5y – 15 = 0.
6. 5x + 3y – 15 = 0.
7. 5x – 3y – 15 = 0.
8. 3x – 5y – 15 = 0.
9. 8x + 3y + 24 = 0.
10. 3x + 8y + 24 = 0.
11. 2x + 9y + 18 = 0.
12. 9x + 2y + 18 = 0.
13. 2x + 9y – 18 = 0.
14. 9x + 2y – 18 = 0.
15. 9x – 2y + 18 = 0.
16. 2x – 9y + 18 = 0.
17. 2x – 9y – 18 = 0.
18. 9x – 2y – 18 = 0.
19. 3x + 8y – 24 = 0.
20. 8x + 3y – 24 = 0.
21. 4x + 7y + 28 = 0.
24. 7x + 4y – 28 = 0.
22. 7x + 4y + 28 = 0.
23. 4x + 7y – 28 = 0.
25. 7x – 4y + 28 = 0.
26. 4x – 7y + 28 = 0.
27. 4x – 7y – 28 = 0.
28. 7x – 4y – 28 = 0.
29. 3x – 8y + 24 = 0.
30. 8x – 3y + 24 = 0.
31. 8x –3y – 24 = 0.
32. 3x – 8y – 24 = 0.
Контрольная работа 3.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ
1.1. Даны точки A(–7; 4), B(2; 5) и точка M, расположенная внутри от>
резка AB, такая, что AM : MB = 3. Составить уравнение прямой L, проходя>
щей через точку M под углом 60° к оси OX.
1.2. Прямая L проходит через точку пересечения прямых (L1): 2x + 3y –
– 7 = 0, (L2): x – 2y + 4 = 0 и отсекает на оси OX отрезок, равный 2. Соста>
вить уравнение прямой L.
1.3. Дана прямая (L): 3x + 2y – 7 = 0. Найти уравнение прямой L1, прохо>
дящей через точку A(2; –3) перпендикулярно L. Вычислить расстояние от
точки M(–1; 2) до прямой L1.
1.4. Начало координат совпадает с центром ромба. Ось OX совпадает с
диагональю ромба, длина которой равна 30 единиц. Ось OY совпадает с диа>
гональю ромба, длина которой равна 16 единиц. Найти уравнения сторон
ромба.
1.5. Найти уравнение прямой L, проходящей на расстоянии 2 еди>
ниц от начала координат и расположенной параллельно прямой (L1): x –
– 7y + 2 = 0.
2.1. Доказать, что точки A(–2; 3), B(4; 0), C(2; 1) лежат на одной прямой L.
Найти уравнение прямой L1, проходящей через точку M(–1; –2) параллель>
но прямой L.
2.2. Доказать, что точка M(3; 1) находится вдвое ближе к прямой
(L): 2x + 3y – 6 = 0, чем начало координат.
2.3. Даны точки A(–2; 1), B(4; 3) и точка M внутри отрезка AB такая, что
AM : MB = 2 : 3. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку M пер>
пендикулярно прямой AB.
2.4. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку A(–4; 2) под
углом 45° к оси OX. Найти отрезки, которые прямая L отсекает на осях коор>
динат.
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
69
2.5. Вычислить угол между прямой L, проходящей через точки A(0; 1),
B(2; 3), и прямой (L1): 5x + y – 10 = 0.
3.1. Прямая L проходит через точку C(3; 4) под углом 45° к оси OX. Най7
ти отрезки, которые эта прямая отсекает на осях координат.
3.2. Даны вершины треугольника ABC: A(–4; 2), B(6; –4), C(4; 10). Найти
уравнение медианы BM этого треугольника.
3.3. Точка B симметрична началу координат относительно прямой (L):
2x – 7y + 9 = 0. На каком расстоянии от прямой L находится точка B?
3.4. Найти уравнение прямой L1, проходящей через точку A(–3; –3) па7
раллельно прямой (L): 2x + 3y – 4 = 0, и уравнение прямой L2, проходящей
через точку A перпендикулярно прямой L.
3.5. Даны точки A(2; 7), B(–2; 5), C(–3; 4). Составить уравнение прямой,
проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно прямой AC.
4.1. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку A(–2; –9)
перпендикулярно прямой (L1): 3x + 2y + 20 = 0. Найти отрезок, отсекаемый
прямой L на оси OX.
4.2. Найти уравнение прямой L, проходящей через точки A(–2; –9) и M,
если известно, что BM : MC = 2, B(3; 5), C(6; –1).
4.3. Доказать, что прямые (L1): x + 3y – 1 = 0, (L2): x – 2y + 4 = 0, (L3):
5x + 2y + 8 = 0 проходят через одну точку A. Найти уравнение прямой L, про7
ходящей через точку A под углом 135° к оси OX.
4.4. Найти расстояние от середины отрезка AB до прямой (L): 2x – 3y + 4 = 0,
если A(3; 2), B(–4; 7).
4.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2; 1) парал7
лельно прямой, проходящей через точки B(3; 4), C(–5; 2).
5.1. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения
прямых (L1): 3x – 2y + 3 = 0, (L2): 2x + 4y – 1 = 0 и параллельно оси OY.
5.2. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку C параллельно
прямой AB, если A(1; 1), B(–1; 3). Точка C делит отрезок KM в отношении
KC : CM = 3; K(–2; 1), M(2; 1).
5.3. Доказать, что точка A(2; 4) расположена в 4 раза дальше от прямой
(L): 7x – 2y + 2 = 0, чем точка O(0; 0).
5.4. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку M(–3; 7) под
углом –45° к оси OX. В какой точке прямая L пересекает ось OX?
5.5. Даны точки A(2; 4), B(–3; –4). Составить уравнение прямой L, про7
ходящей через середину отрезка AB перпендикулярно прямой (L1): 7x –
– 5y + 2 = 0.
6.1. Прямая L проходит через точки A(–3; 4), B(6; –2). Найти ее угловой
коэффициент и отрезки, которые она отсекает на осях координат.
6.2. Даны вершины треугольника: A(–3; –4), B(4; 2), C(2; 5). Составить
уравнение медианы этого треугольника, проведенной из вершины C.
70
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6.3. Дан отрезок AB. Составить уравнение прямой L, проходящей через
внутреннюю точку M отрезка AB параллельно прямой (L1): x + 2y + 6 = 0, если
AM : MB = 4, A(–3; –4), B(2; 5).
6.4. Какая из точек: A(–1; 5) или B(1; –3) находится дальше от прямой
(L): 4x – 3y + 5 = 0?
6.5. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения
прямых (L1): 3x – 2y + 2 = 0, (L2): x – 2y + 2 = 0 перпендикулярно прямой
(L3): x – 3y + 1 = 0.
7.1. Даны вершины треугольника A(–3; 10), B(0; –1), C(12; 5). Найти урав@
нение и длину медианы этого треугольника, проведенной из вершины C.
7.2. Через точки A(–1; 3), B(2; 1) проходят прямые L1 и L2, перпендику@
лярные прямой (L): 3x – 4y – 2 = 0. Найти уравнения прямых L1 и L2.
7.3. Даны точки A(2; 1), B(–3; 4) и точка C внутри отрезка AB такая, что
AB : AC = 2. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку C под
углом 45° к оси OX.
7.4. Найти угол между прямой AB и прямой (L): 2x + y – 4 = 0, если
A(–1; 3), B(2; 1).
7.5. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения
прямых (L1): 2x + y – 5 = 0, (L2): 3x – 7y + 1 = 0 параллельно прямой (L3):
x – 2y + 8 = 0. Какой отрезок отсекает прямая L на оси OX?
8.1. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку A(2; 2), если
известно, что прямая L делит отрезок KM так, что KB : BM = 2 : 3, K(–1; 1),
M(–2; –2), B — точка пересечения прямой L и отрезка KM.
8.2. Составить уравнение прямой L, которая отсекает на оси OX отрезок
втрое больший, чем на оси OY, и проходит через точку A(2; 0,5).
8.3. Даны вершины треугольника A(2; 5), B(3; 7), C(4; 7). Составить урав@
нение медианы этого треугольника, проходящей через точку A.
8.4. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения
прямых (L1): 3x + 2y – 7 = 0, (L2): 2x + y + 2 = 0 перпендикулярно прямой
(L3): 2x + 4y – 3 = 0.
8.5. Найти отрезок, отсекаемый прямой (L): 2x – y + 7 = 0 на оси OY, и
расстояние от прямой L до начала координат.
9.1. Прямая L проходит через точку A(1; –4) под углом 30° к оси OX. Про@
ходит ли прямая L параллельно прямой (L1): 2x – y + 4 = 0?
9.2. Даны вершины треугольника A(2; 5), B(3; 7), C(4; 7). Составить урав@
нение высоты, опущенной из точки B на прямую AC, и вычислить длину
этой высоты.
9.3. Составить уравнение прямой L, которая отсекает на оси OY отрезок
втрое больший, чем на оси OX, и проходит через точку A(2; 2).
9.4. Найти точку пересечения прямых (L1): 7x + 2y + 5 = 0, (L2): x + 5y – 4 = 0.
Лежит ли точка пересечения этих прямых на прямой AB, если A(–2; 0), B(1; 3)?
9.5. Прямая проходит через точки A(1; 3), B(4; –2). Определить ее угло@
вой коэффициент и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.
3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
71
10.1. Найти угловой коэффициент прямой AB и отрезки, отсекаемые ею
на осях координат, если A(3; 4), B(–2; 3).
10.2. Даны точки A(–4; 3), B(2; 3), C(1; 4). Составить уравнение перпен8
дикуляра, опущенного из точки C на прямую AB.
10.3. Прямая L пересекает ось OX в точке B, а ось OY — в точке C, и про8
ходит через точку A(1; 4). Найти уравнение L, если BA : AC = 2.
10.4. Найти расстояние от точки A(–3; 1) до прямой (L): 4x + 3y – 11 = 0.
10.5. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения
прямых (L1): 3x + 2y – 3 = 0, (L2): x – 3y + 7 = 0 параллельно прямой (L3):
x – y + 2 = 0.
11.1. Множество прямых задано уравнением x + 2y + 7 + l(3x – y + 5) = 0.
Составить уравнение прямой L, принадлежащей этому множеству прямых и
проходящей параллельно прямой (L1): 7x + 2y – 8 = 0.
11.2. Прямая L проходит через точку A(–3; 2) и середину отрезка BC. Най8
ти отрезки, которые прямая L отсекает на осях координат, если B(2; 4),
C(5; 3).
11.3. Точка M симметрична точке K(–4; 5) относительно прямой (L): 2x –
– 3y + 6 = 0. Какая точка находится ближе к прямой L — начало координат
или точка M?
11.4. Даны точки A(3; –2), B(–4; –2), C(2; 3). Составить уравнение пер8
пендикуляра L, опущенного из точки B на прямую AC. В каком отношении
прямая L делит отрезок AC?
11.5. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку A(1; –3) под
углом 45° к оси OX. Проходит ли прямая L через точку B(10; 6)?
12.1. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересече8
ния прямых (L1): 3x + y – 2 = 0, (L2): x + 2y + 1 = 0 параллельно прямой
(L3): x – 2y + 2 = 0.
12.2. Множество прямых задано уравнением 3x + y – 2 + l(x + 2y + 1) = 0.
Составить уравнение прямой L, принадлежащей этому множеству прямых и
проходящей через точку D, расположенную внутри отрезка MN, если M(1; –2),
N(5; 2), MD : DN = 3.
12.3. Даны точки A(3; –4), B(2; 3), C(–2; 4). Составить уравнение пря8
мой L, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BC.
12.4. На оси OX прямая L отсекает отрезок a = 3, на оси OY прямая L
отсекает отрезок b = –4. Найти расстояние от точки A(–7; 2) до прямой L.
12.5. Составить уравнение прямой L, проходящей через середину отрез8
ка AB под углом 30° к оси OX, если A(–3; 4), B(2; 5).
13.1. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения
прямых (L1): 2x – y = 0, (L2): x + y – 1 = 0 и точку M(–3; 5). Будет ли прямая L
параллельна прямой (L3): x + 2y – 6 = 0?
13.2. Множество прямых задано уравнением 3x – y + 5 + l(x + 2y + 7) = 0.
Найти уравнение прямой L, принадлежащей этому множеству, и проходя8
щей перпендикулярно прямой (L1): 4x – y + 3 = 0.
72
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
13.3. Даны точки A(1; 2), B(2; 7) и точка M внутри отрезка AB такая, что
AM : MB = 3. Составить уравнение прямой L, проходящей через точки M и
H(–2; 6).
13.4. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку A(3; 5) под
углом 60° к оси OX.
13.5. Доказать, что точки A(0; 2), B(2; 1), C(4; 0) лежат на одной прямой L.
Найти отрезки, отсекаемые прямой L на осях координат.
14.1. В каком отношении делит отрезок AB прямая L, перпендикуляр>
ная отрезку AB и проходящая через начало координат, если A(4; 1), B(2; 5)?
14.2. Лежит ли точка пересечения прямых (L1): 2x – y + 1 = 0, (L2):
x + 3y + 2 = 0 на прямой (L3): 3x – 2y + 1 = 0?
14.3. Прямая L проходит через точку M(2; 1) параллельно прямой (L1):
2x – y + 3 = 0. Найти отрезки, отсекаемые прямой L на осях координат.
14.4. Прямая L проходит через точку M(4; 2) под углом 45° к оси OX.
Найти расстояние от точки K(2; –1) до прямой L.
14.5. Через точки M(–1; 3), P(2; 2) проведена прямая L. Найти угол меж>
ду прямой L и прямой (L1): 3x + 3y – 2 = 0.
15.1. Даны вершины треугольника A(–3; 2), B(4; 3), C(2; –1). Найти дли>
ну высоты этого треугольника, опущенной из B на сторону AC.
15.2. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку M(6; –2)
параллельно прямой (L1): y = 8x + 1.
15.3. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересече>
ния прямых (L1): x + 2y – 5 = 0 и (L2): 2x – y = 0 перпендикулярно прямой
(L3): x + 3y – 2 = 0.
15.4. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку M и точку
C(–1; 2), если точка M расположена внутри отрезка AB, AM : MB = 2, A(2; –1),
B(5; 2).
15.5. На оси OX прямая L отсекает отрезок a = 3, на оси OY прямая L отсе>
кает отрезок b = 4. Найти угол между прямой L и прямой (L1): x – 3y + 1 = 0.
4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Число a называется пределом последовательности x , x , ..., x , ..., если
1
2
n
для всякого сколь угодно малого положительного числа e найдется такое
положительное число N, что |xn – a| < e при всех n > N. В этом случае пишут
limn®¥ xn = a.
Число A называется пределом функции f(x) при x ® a, обозначается
limx®a f(x) = A, если для любого сколь угодно малого e > 0 найдется такое
d > 0, что |f(x) – A| < e при всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые
удовлетворяют условию 0 < |x – a| < d.
Условно записывают limx®a f(x) = ¥, если для любого сколь угодно боль"
шого числа M найдется такое число d > 0, что для всех x таких, что 0 < |x –
– a| < d выполняется |f(x)| > M. В этом случае функция f(x) называется бес"
конечно большой при x ® a.
Если limx®a f(x) = 0, то функция f(x) называется бесконечно малой при
x ® a.
Если x < a и x ® a, то употребляют запись x ® a – 0, если x > a и x ® a —
запись x ® a + 0. Числа f(a – 0) = limx®a–0 f(x) и f(a + 0) = limx®a+0 f(x) назы"
ваются соответственно левым и правым пределом функции f(x) в точке a.
Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и доста"
точно, чтобы левый и правый пределы функции f(x) в точке a существовали
и были равны, т. е. f(a – 0) = f(a + 0).
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоре"
мах. Если существуют limx®a f(x) и limx®a g(x), то
1) limx®a(f(x) ± g(x)) = limx®a f(x) ± limx®a g(x);
2) limx®a(f(x) × g(x)) = limx®a f(x) × limx®a g(x);
f (x) limx 1a f (x)
, если limx®a g(x) ¹ 0.
2
g (x) lim x 1a g (x)
Используются также следующие пределы:
sin x
2 1 (первый замечательный предел);
lim x 10
x
3) limx 1a
74
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 2
limx 34 1 5
1
x
x
6 e 6 2,718287 (второй замечательный предел).
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
limx 10
ln(1 2 x)
(1 2 x)m 3 1
ax 3 1
4 1, limx 10
4 ln a, limx 10
4 m.
x
x
x
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если:
1) f(x) определена в некоторой окрестности точки a;
2) существует предел limx®a f(x) и он равен значению функции в этой точ=
ке, т. е. limx®a f(x) = f(a).
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она
называется непрерывной в этой области.
Точка a, принадлежащая области определения функции или являющая=
ся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точ=
ке нарушается условие непрерывности функции.
Если существуют конечные пределы limx®a–0 f(x) = f(a – 0) и limx®a+0 f(x) =
= f(a + 0), причем не все три числа f(a), f(a – 0), f(a + 0) равны между собой,
то a называется точкой разрыва первого рода. Точки разрыва, не являю=
щиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва вто
рого рода. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пре=
делов.
Если функции f(x) и g(x) непрерывны при значении x = x0, то функции
1) f(x) ± g(x); 2) f(x) × g(x); 3)
f (x)
, g (x0 ) 1 0
g (x)
также непрерывны при x = x0.
Если функция f(x) непрерывна при x = x0 и функция g(y) непрерывна при
y0 = f(x0), то функция g(f(x)) непрерывна при x = x0.
Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они
определены.
Пусть x1 и x2 — значения аргумента, а y1 = f(x1) и y2 = f(x2) — соответст=
вующие значения функции y = f(x). Разность Dx = x2 – x1 называется прира
щением аргумента, а разность Dy = f(x2) – f(x1) — приращением функции на
отрезке [x1, x2].
Производной от функции y = f(x) по аргументу x называется конечный
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
dy
1y
4 lim 1x 20
.
1x
dx
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент
касательной к графику функции y = f(x) в точке x, т. е. y¢ = tg a.
Основные правила нахождения производной. Пусть C — постоянная,
u = u(x), v = v(x) — функции, имеющие производные, тогда:
1) C¢ = 0;
2) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢;
последнее стремится к нулю: y3 4
75
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3) (Cu)¢ = Cu¢;
4) (u × v)¢ = u¢ × v + u × v¢;
u 3 u3v 4 uv3
5)
5
;
v
v2
12
6) если функции y = y(u) и u = u(x) имеют производные, то
dy dy du
1
2
dx du dx
(правило дифференцирования сложной функции).
Формулы дифференцирования основных функций:
1) (xn)¢ = nxn–1, n = const;
2) (sin x)¢ = cos x;
3) (cos x)¢ = –sin x;
4) (tg x)1 2
5) (ctg x)1 2 3
1
;
sin2 x
7) (arccos x)1 2 3
9) (arcctg x)1 2 3
11) (log a x)1 2
6) (arcsin x)1 2
1
;
1 3 x2
1
;
14 x2
1
, a > 0;
x ln a
13) (sh x)4 5
1e
15) (th x)3 4
1 chsh xx 23 4 ch1 x ;
x
1
;
cos2 x
2
3 e3x 4
5 ch x;
2
2
8) (arctg x)1 2
1
;
1 3 x2
1
;
1 3 x2
10) (ax)¢ = ax × ln a, a > 0;
1
12) (ln x)1 2 ;
x
14) (ch x)4 6
1e
16) (cth x)3 4
x
2
5 e3x 4
6 sh x;
2
1 chsh xx 23 4 5 sh1 x .
2
Если функция y от аргумента x задана в виде уравнения F(x, y) = 0, не
разрешенного относительно переменной y, то говорят, что функция y задана
неявно. Чтобы найти производную от неявно заданной функции y, надо про<
дифференцировать обе части уравнения F(x, y) = 0, считая y функцией от x,
и из полученного уравнения найти производную y¢.
Если функция y от аргумента x задана с помощью системы уравнений
3x 1 2(t),
4
6y 1 5(t),
то говорят, что функция y задана параметрически. Переменная t в этом слу<
чае называется параметром. Если функции j(t) и y(t) дифференцируемы и
j¢(t) ¹ 0, то существует производная функции y по переменной x и эта произ<
водная равна
dy yt1 2 1(t)
.
3
3
dx xt1 41(t)
76
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Чтобы найти производную функции y = u v, где u = u(x), v = v(x) — дифференцируемые функции, применяют следующее:
1) находят ln y = v ln u;
2) вычисляют производную функции y как неявно заданную уравнением
ln y = v ln u.
Производной n-го порядка функции y = f(x) называется производная от
производной (n – 1)-го порядка данной функции, т. е. y(n) = (y(n–1))¢.
ИДЗ 9.
ПРЕДЕЛЫ
þ
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
2x 2 2
.
x 11 x2 2 1
1.1. lim
63 x 2 6
.
x 11 x 2 1
cos3x 2 tg5x
1.5. lim
.
x 10 sin(3,5x)
1.3. lim
(x 4 5)(8 2 x3 )
.
x 123 x 2 3x2 4 x 8
2.1. lim
1 2
3
9
x
3
.
x 40 x 5 3
125 4 25x3 2 x
1.4. lim
.
x 123 (5x 4 3)(5x2 2 2x 4 1)
1.2. lim
x
4 2x2 2 7x 5 3
1.6. lim 6
7 .
x 123 8 2x 2 x2 9
1
3 3
2.2. lim 25
4
6.
x 12 7 x 4 2 (x 4 2)3 8
3x
x 35
2.4. lim
.
x 456 x 5 1
1 2
2cos8x 2 arcsin4x
.
x
x2 2 2x 3 1
2.5. lim
.
x 11 5( x 2 1)
2 2 5x 4 x4
2.6. lim 35
6 .
x 10 7 1 2 20x 8
3.1. lim ctg2x 2 arctg6x.
3.2. lim
2.3. lim
x 10
x 10
3(x2 2 1)
.
x 11 x2 3 x 2 2
x 41
4ln
x .
3.5. lim
x 345
2
sin
x
3.3. lim
1 2
4x8 3 5x5 3 6
.
x 12 (x2 3 3)(2x2 4 2)
3x
x 35
4.3. lim
.
x 456
x
2x2 13
4 x3 1 3x 5
4.5. lim 6 3
.
7
x 213 8 2x 1 5 9
4.1. lim
1 2
1
8 3 x6
.
x 12 (2 4 x)(20 4 x3 )
3.4. lim
1
3.6. lim
sin(x 3 2)
.
ctg x
x 456
x 12 2
2x 5 5
x 5 25
2
3x 31
.
2x
.
92x 3 93x
x2 2 3x 3 2
4.4. lim
.
x 12
x 22
sin2 6x 2 ctg9x
4.6. lim
.
x 10 tg7x 2 cos5x
4.2. lim
x 10
77
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5.1. lim
x 12
4tg(x 2 2)
.
4 2 2x
5.2. lim
x 13
(2x 2 3)(4x3 4 5)
5.3. lim
.
x 123 20x2 2 x3 4 x
2ln(1 2 3x)
5.5. lim
.
x 10
tg3x
28(x 2 3)
.
x2 3 x 2 12
1
2x 3 8
5.4. lim
x 435 5x 6 1
2
3x2 31
.
1
5.6. lim (1 2 tg2x) x .
x 10
4x2 2 4x 2 8
.
x 12
x2 2 2x
1 2 e tg x
.
x 10
x
1
4 x3 4 (6x 6 1)
4
6.4. lim
.
x 345 (x2 6 5)(2x2 4 x)
x3 2 1
.
x 11 x 2 1
6.6. lim
10x2 2 5x3 4 1
.
x 123 (2x2 4 1)(3x 4 2 2)
6.1. lim
6.3. lim
6.5. lim
1
1 2
123 x 2 24
.
x 18
x 28
tg x 4 sin9x
1tg 23x 2
2
2
3x 3 5
x 31
2
7.2. lim
x 40 x 5 2
3
2
4
x
x 32
.
.
28x6 3 3x4 3 x2 4 1
.
x 12 (1 4 2x2 )(5 4 x 3 2x 4 )
7.3. lim
x 30
1
x 435
8x 2 16
7.1. lim 2
.
x 12 x 2 4
7.5. lim
6.2. lim
7.4. lim
.
x2 2 2
.
x 22
7.6. lim
x 14
25 4 5x3
.
2 3)(2x2 4 8)
5tg x 2 sin2x
8.3. lim
.
x 10 arcsin2 5x
8.1. lim
x 123 (x2
5
1 3
8.2. lim 25
.
4
x 11 7 1 4 x
(1 4 x)3 68
34 x
2x 3 1
8.4. lim
.
x 45
2x
1
16 2 8x 3 x2
.
x 14
x 22
8.6. lim
cos2x
arctg6x.
x 10
x
9.2. lim
5(x2 2 4)
.
x 12 x 2 3 x 2 6
9.4. lim 3
8.5. lim
x 10
2arccos x
.
sin x
2x 4 3x3 2 8x4 4 x5
.
x 123
(x 2 2)(5x2 4 3)
9.1. lim
9.3. lim
5 3x2 1 x 1 1 6
9.5. lim 7 2
8
x 234 9 2x 1 20x
2
2x
.
1 2 x 21
arcsin(x 4 1)
9.6. lim
.
x 31
5x 5
4
tg
2 2
x 10
x2 15
.
1
2
78
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
(6x2 2 1)(x3 4 2)
10.1. lim
x 123
9x10
2 5x 4 1
.
3x2 1 x
5 326
10.3. lim 7
.
8
x 234 9 x2
2x2 35
2x 6 3
10.5. lim
.
x 45 3x 3 2
x2
1
2
5(x 3 3)2 cos x
.
x 123
tg(x 3 3)
11.1. lim
8x2 4 4x5 2 1
.
x 123 (2x 2 1)(4x 4 1)
5tg2x
11.5. lim
.
x 10 1 2 3 1 2 x
11.3. lim
x4 3 2x3 4 1
.
3 3)(x2 4 1)
x
8sin2
2.
12.3. lim
x 10 1 2 cos x
4(8 2 x3 )
12.5. lim
.
x 12 (x 2 2)(x 3 2)
12.1. lim
x 12 (x2
60x 2 180
.
x 13
x2 2 9
13.1. lim
54 3 x 2 162
.
x 127
27 2 x
6
tg
x
13.5. lim
.
x 123
x22
ln
x
13.3. lim
8( 4 2 x 3 4 3 x )
.
x
x2 2 6x 3 5
10.4. lim
.
x 15
x 25
x32
6tg
3 .
10.6. lim
x 12
x 2
3
2 2
10.2. lim
x 10
4x 2 8
.
x2 2 4
2x 1 3
4 4x2 1 3x 5
11.4. lim 6 2
.
7
x 213 8 5x 1 20 9
11.2. lim
x 12
11.6. lim
x 40
1
1
1 5 sin x
2
3
1
x
.
6(1 2 e sin x )2
.
x 10 1 2 cos2x
12.2. lim
(12x3 2 1)(x2 4 3)
.
x 123 (3x 2 1)(2x2 4 1)x2
12.4. lim
12.6. lim
x 30
1 2
1
24x x
.
25x
1 2
1
13.2. lim
x 40 1 5 x
3
3
x
.
150x 2 100x5 4 3
.
x 123 (5x2 2 3)(4x2 4 2x)
13.4. lim
2x 11
5 3x2 1 x 4 1 6
13.6. lim 7 2
8
x 213 9 x 1 20
.
14.5. lim
1
2 3
4
14.2. lim 25
6.
x 11 8 x 7 1 (1 7 x)3 9
10 x
5x 5 2
14.4. lim
.
x 34
5x
4x
14.6. lim
.
1 sin2x
x2
15.1. lim ctg(x 2 1) 3 arctg(2x 2 2).
15.2. lim
2x 3 3 4 x4
.
x 12 (x2 4 1)(1 3 x5 )
14.1. lim
14.3. lim
x 10
15sin x 2 arcsin3x
.
ln2 (1 3 2x)
6(27 2 x3 )
.
x 13
x2 2 9
x 11
7(x2 2 9)
.
x 13 x2 3 x 2 12
15.3. lim
1
2
2
5x 4 3x3 2 2
.
x 123 3 4 10x2
sin5x
15.4. lim
.
x 10 1 2 3 1 3 x
79
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
x4
4 2x4 3 1 5
15.5. lim 6
7 .
x 12 8 2x4 9
4
16.1. lim
x 12
16.3. lim
x 456
.
3x2 1 x 21
.
x3 4 2(x 4 5)(x2 2 3)
.
x 123 5x 4 (x 2 1)(8x 2 1)
x cos x
17.5. lim
.
x 10
x
sin
5
17.3. lim
15x 3 8x2 4 4x3
.
x 12 (2x2 3 1)(4x2 4 2)
x
16tg2
2 .
18.3. lim
x 30
x
1 4 cos
2
18 2 2x
18.5. lim
.
x 19
x 23
18.1. lim
12
12
8(x 2 4)
19.1. lim 2
.
x 14 x 2 16
15 2 15 3 x
19.3. lim
.
x 11
12 x
2cos x 2 sin5x
19.5. lim
.
x 10
x
tg
3
x2 2 3x 4 x5
.
2 5)(x 4 1)(x3 2 2)
x arcsin3x
.
x 10 ln(1 2 2x2 )
100 2 4x
20.5. lim
.
x 125
x 25
x2 2 5x 3 4
.
x24
arcsin(x 3 2)
16.6. lim
.
x 122
x2 3 2x
x 14
x 10
20.3. lim
3x
.
12 x 2 13 x
16.4. lim
17.1. lim 4ctg2x 2 sin5x.
x 123 (x2
16.2. lim
x 10
4 x 35
5 x2 1 5x 1 10 6
16.5. lim 7 2
8
x 34 9 2x 1 2x 1 1
20.1. lim
e x 12 1 1
.
1 3 2x 1 3
x 24
16x8 3 3x5 4 1
.
(2x 4 1)(x 3 2)
1 2x2x3 3 2
15.6. lim
25x 2 50
.
x2 3 x 2 6
8 x2 1 x 21
5 4x 2 2 3 6
17.4. lim 7 2
.
8
x 314 9 5x 1 x
17.2. lim
x 12
1 3 56x5x 2
10 x 31
17.6. lim
x 45
.
x
2.
21
8arctg
18.2. lim
e4x
x 10
10(x3 3 2x) 4 (x 5 1)
.
x 12 (2x2 3 1)(x2 5 4)
18.4. lim
18.6. lim
x 45
1
3x 6 1
4x 3 5
1 2
2
4 x2 31
.
2
x 41 x
19.2. lim
.
x 30 1 5 x
19.4. lim
x 12
3x2 3 120x4 4 8
.
(4x2 4 2x)(3x2 3 x 3 8)
1 2
34x
19.6. lim
x 30 2 5 x
1
x2
.
x 21
1 4
20.2. lim 35
2
6.
x 11 8 x 7 1 (1 7 x)3 9
20.4. lim
1
20.6. lim
3arcsin x
.
arccos x
x 34
x 10
1 5 3x
3x
2
6x
.
80
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
x
2 arctg(3x 3 3).
x 11 x 3 1
21.1. lim
9 2 (x2 3 16)
.
x 14 x2 4 x 3 20
3x2
.
1 2 x2 3 1
x
21.6. lim arcsin 2 ctg5x.
x 10
5
21.3. lim
4 3x2 1 1 5
21.5. lim 6
7
x 23 8 3x2 9
22.1. lim
21.4. lim 3
x 10
1 x2
.
(4x 4 1)(2x 2 1)
x 123 6
64x12 4 5x7 2 1
5 2x2 4 1 6
22.3. lim 7
8
x 23 9 2x2
.
x 10
.
3 x2 15
.
2 tg3x 10 3
23.1. lim 5
4
6.
x 10 7 cos x sin2x 8
15x4 3 8x 4 2
.
x 12 150x2 4 3x 3 1
32x
12ln
x .
23.5. lim
x 123
6
arcsin
x
23.3. lim
8x 3 5x2 4 x5
.
x 12 (2x3 3 1)(3x3 4 10)
24.1. lim
x 2 arcsin2x
.
x 10
x
1 3 cos
3
2(x3 2 125)
24.5. lim
.
x 15 10x 2 50
24.3. lim
8x 2 64
25.1. lim 2
.
x 1 8 x 2 8x
240 2 120 3 x
25.3. lim
.
x 18
x 28
x cos x
.
x 10
x
tg
3
22x 3 23x
.
x
x2 2 4x 3 3
22.4. lim
.
x 13
x 23
3
8tg x 5
2
22.6. lim
.
3
x 4 arcsin(4x 5 23)
22.2. lim
4 x2 1 x
4 2x2 1 5 5
22.5. lim 6 2
7
x 213 8 3x 1 3x 1 1 9
25.5. lim
(2x 2 1)2 (x2 4 1)2
.
x 123
(5x 2 3)2
21.2. lim
1 2
2
23.2. lim
x 11
15 2 (x 3 1)
.
x2 4 x 3 2
1 2
2x 3 1
23.6. lim 1
2x 2
23.4. lim
x 435
9x 6 1
4x 3 5
4 x2 31
.
10 x 31
.
x 456
2e3x 2 2
.
x 10 arcsin2x
24.2. lim
5(x2 3 1)(3x 4 1)
.
x 12 (5x 3 1)(x2 4 1)
24.4. lim
1
24.6. lim
x 45
5x 3 2
8x 6 1
1 2
2
x 32
x2
.
1
84x x
25.2. lim
.
x 30 8 5 x
2x 3 15x5 4 4x2 3 1
.
x 12 (3x2 3 1)(5x3 4 x 3 2)
25.4. lim
25.6. lim
x 435
1 3xx3615 2
x 32
.
81
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
26.2. lim
1 55xx 33 76 2
26.4. lim
cos3x 2 cos x
.
x2
33x
sin(1 2 x)
.
x 11
x 21
esin11x 2 1
26.3. lim
.
x 10 1 2 cos2x
26.1. lim
x 45
x 10
9x6 3 5x5 4 x
.
x 12 5(x 4 1)(x2 4 3x)
2x 2 1
ln(1 2 3x).
x 10 5x
26.6. lim
x 2 3 4x 3 3
.
3 3x2 3 x 3 3
27.2. lim
26.5. lim
27.1. lim
x 123 x3
27.3. lim (1 3 cos x)5tg x.
1
x2
2
52x 2 33x
.
x 2 x2
27.5. lim
x 11
1 2 tg3x 3 1
28.1. lim
16 2 x 3 4
x 10
1
2
2
27.4. lim
x 10
3x 2 2
ln(1 3 5x).
4x
earcsin6x 2 1
.
x 10
4 3 x 22
27.6. lim
e arcsin 8x 2 1
.
x 10 ln2 (1 3 sin3x)
28.2. lim
x2
x3 2 x 2 3 x 3 1
.
x 11 x2 2 4x 3 5
cos x 2 cos5 x
29.3. lim
.
x 10
tg2 2x
29.1. lim
29.5. lim (x 4 3)(ln(2x 2 1) 4 ln2x).
x 123
28.4. lim
x 12
28.6. lim
x 12
(x 2
x2 2 3x 3 16
.
2x2 2 x 3 10
4
29.2. lim (1 3 3sin2 x) 11 cos2x .
x 20
3x2 3 4x 3 1
.
x 121 x2 3 3x 3 2
29.4. lim
22 x
.
6x 3 1 2 5
29.6. lim
x 14
30.2. lim
2x 31
30.3. lim
x 45
25 3 5x3
.
4 3)(2x2 3 8)
3x2 2 12
.
x 12 2x2 2 5x 3 2
sin7x
.
x 10 tg5x
30.1. lim
1 xx 36 32 2
(2x2 3 3)(4x3 4 5)
.
x 12
x5 3 3x 3 1
2
.
x 3 1 23 x
28.3. lim
.
x 435 3x 6 2
34 x
2x 3 1
28.5. lim
.
x 45
2x
1
.
.
4x5 3 5x3 3 7
30.5. lim 3
.
x 12 2x 3 7x4 3 5
30.4. lim
x 14
1
17 2 4x 2 1
.
x2 2 16
2x 5 2
30.6. lim
x 34 3x 6 5
2
x2
.
82
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 10.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
þ
Исследовать функции на непрерывность: 1) найти точки разрыва функ+
ции; 2) найти левосторонний и правосторонний пределы функции в точке
разрыва.
2x
2x
1.1. y 1
.
2.1. y 1
.
x 25
x 22
56 3 x2 , x 4 2,
5x 3 3, x 4 21,
1.2. y 1 6
2.2. y 1 6 2
8x 3 3, x 7 2.
8x 2 2, x 7 21.
3.1. y 1
2x
.
x24
5x 2 4, x 3 43,
3.2. y 1 6
2
85 4 x , x 7 43.
4.1. y 1
5.1. y 1
3x
.
x 23
4x2 2 4, x 3 2,
5.2. y 1 5
73 2 x, x 6 2.
6.1. y 1
2x
.
32x
5x 3 8, x 4 22,
7.2. y 1 6 2
8x 2 3, x 7 22.
2x
.
x 21
5x 2 5, x 3 41,
8.2. y 1 6
2
82 4 x , x 7 41.
7.1. y 1
2x
.
x 21
32 x , x 4 0,
5 2
55
6
9.2. y 1 8cos x, 0 7 x 4 ,
2
5
5x 2 6 , x 9 6 .
5
2
2
9.1. y 1
2x
.
x22
5x 2 6, x 3 42,
4.2. y 1 6 2
8x 4 1, x 7 42.
2x
.
x23
5x 2 5, x 3 41,
6.2. y 1 6 2
8x 2 3, x 7 41.
8.1. y 1
2x
.
22x
3 2x , x 4 0,
5
10.2. y 1 72, 0 6 x 4 2,
5x, x 8 2.
9
10.1. y 1
1
1
11.1. y 2 7 x 13.
5x2 3 1, x 4 1,
11.2. y 2 6
8x, x 7 1.
12.1. y 2 8 x 12.
413x, x 3 0,
5
6
5
12.2. y 2 8tg x, 0 7 x 3 4 ,
5
6
52, x 9 .
4
83
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2x 1 3
.
x34
53x 3 1, x 4 0,
6
13.2. y 2 8x2 3 1, 0 7 x 4 1,
61, x 9 1.
13.1. y 2
1
15.1. y 2 9 x 17 .
4x2 1 1, x 3 0,
5
15.2. y 2 7x, 0 6 x 6 2,
52x 1 2, x 8 2.
9
7x 1 5
.
2x 3 4
5sin x, x 4 0,
6
14.2. y 2 82x, 0 7 x 4 1,
6x, x 9 1.
14.1. y 2
61x
.
x 32
53x, x 4 0,
6
16.2. y 2 8x2 , 0 7 x 4 2,
6x 1 1, x 9 2.
16.1. y 2
1
17.1. y 2 7 x 14 .
42x2 ,
x 3 0,
5
6
5
17.2. y 2 8cos x, 0 7 x 3 2 ,
5
6
6
5x 1 , x 9 .
2
2
1
19.1. y 2 3 x 12.
3 1 1 x , x 4 0,
5
6
5
19.2. y 2 8tg x, 0 7 x 7 4 ,
5
6
51, x 9 .
4
21.1. y
1
2 7 x 11.
5x 3 1, x 4 0,
66 2
21.2. y 2 8x , 0 7 x 4 2,
63 1 x , x 9 2.
6 2
3x
.
x 26
54 3 x2 , x 4 3,
23.2. y 1 6
8x 3 2, x 7 3.
23.1. y 1
1
18.1. y 2 8 x 13.
5x2 3 1, x 4 0,
6
18.2. y 2 81, 0 7 x 4 2,
6x 1 2, x 9 2.
1
20.1. y 2 4 x 15.
31 x , x 4 0,
5 3
55
6
20.2. y 2 8sin x, 0 7 x 4 ,
2
5
5x 1 6 , x 9 6 .
5
2
2
1
22.1. y 2 6 x 1 4 .
53x, x 4 0,
6
7
6
22.2. y 2 9tg x, 0 8 x 8 4 ,
6
7
.
62, x
4
2x
.
x 27
4x2 2 1, x 3 2,
24.2. y 1 5
84 6 x, x 7 2.
24.1. y 1
84
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
25.1. y 2 2 4 1 x .
5x 3 1, x 4 0,
6
25.2. y 2 8x2 3 1, 0 7 x 7 1,
61, x 9 1.
1
26.1. y 2 9 x 12.
5x2 3 1, x 4 0,
6
26.2. y 2 81 1 x, 0 7 x 7 2,
62, x 9 2.
1
1
27.1. y 1 2 x .
422x, x 3 0,
5
27.2. y 1 7 x , 0 6 x 6 4,
53, x 8 4.
9
28.1. y 2 3 x 16 .
3x
.
x 25
42x, x 3 0,
5
29.2. y 1 8sin x, 0 6 x 3 7,
5x 2 2, x 9 7.
30.1. y 2
4x2 , x 3 0,
5
28.2. y 2 7x, 0 6 x 6 2,
51, x 8 2.
9
29.1. y 1
x14
.
x 11
42x, x 3 0,
5
30.2. y 2 7x2 1 1, 0 6 x 3 1,
52, x 8 1.
9
ИДЗ 11.
ПРОИЗВОДНАЯ
þ
1. Найти производную y1(x).
1.1. y(x) 1 arctg(ln x2 2 3).
1.3. arctg
14y 2 tg(t 3 1 3 t2 ),
1.2. 5
46x 2 sin(t 3 1 3 t2 ).
5x5
.
ctg2 x
y
1 ln x2 2 y2 .
x
1.4. y(x) 1 2
e1x
.
2x
1.6. y(x) 1 (cos2 2x) 2 3x.
2
1.5. y(x) 2
1.7. y(x) 1 (arcsin2x)ln x .
2
2y 3 t 1 1 ,
44
t2 1 1
2.2. 5
4x 3 1 .
t2 1 1
64
2.4. y(x) 1 arcsin(3x2 2 8).
cos(4x 13 )
2.1. y(x) 2
.
x 3 x2
2
2.3. y3 2
x1y
.
x3y
2.5. y(x) 2 (tg4x) 3
2x 2
2.7. y(x) 3 14 tg
5
77
6
2x 1 1
.
4x 3 4 2
cos3x
.
2.6. y(x) 2 4e 5ln(318x ).
2
85
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. y(x) 1 arctg(ln 3 x2 2 1).
3.3. ln
x 1 xy
2 cos(x 1 x2 y).
y
3.5. y(x) 2 (ln(x 3 3)) 4
4
x2 1 1
.
21x
3y 1 5(sin2t 2 cos t),
3.2. 4
6x 1 7(cos2t 5 sin t).
3.4. y(x) 1 2
27x7
.
sin3 x 3 1
2 1 2)
3.6. y(x) 2 (cos3x) 3 7ln(5x
.
3.7. y(x) 1 (cos4x)x .
3
3
224
4.1. y(x) 5 tg 6 arccos x 14 7.
e
8
9
x2
4.3. sin2 (xy3 ) 1 xy 2 ln(1 3 e y ).
4.5. y(x) 2 (arctg2 x) 3 cos e2x 11.
1y 2 sin t ,
33
1 4 cos t
4.2. 5
3x 2 cos t .
36
1 4 sin t
cos x
4.4. y(x) 1
.
5 2 x2
4.6. y(x) 2 5 3 2 log4 (sin
4 2x 17 )
.
4.7. y(x) 1 (ln cos x)x .
2
5.1. y(x)
2 x 3 arcsin 5
2x 1 1
.
3
4
5.4. y(x) 1 ln(arcsin x) 2 .
x
5.3. 2x 1 xy 2 y3 3 0.
2
x1 x
.
x3 x
5.5. y(x) 2
5.6. y(x) 1 (tg3 9x) 2 e6x .
5.7. y(x) 1 (ln(x2 2 1))ctg
1
arctg2 ln
6.1. y(x) 4 5
x 31
sin2x
3 6x
.
2.
6.3. y2 1 xy 2 arcsin(y 1 x).
6.5. y(x) 2
2y 1 cos3 t,
3
5.2. 4
1
36x 1 t 5 2 sin2t.
15e3x
.
cos(x2 1 8)
6.7. y(x) 1 (sin ln x)x .
2
1y 2 t ,
3
1 4 t2
6.2. 5
3x 2 t .
1 6 t2
7
6.4. y(x) 1 (sin3 x) 2 tg3x.
3 12
6.6. y(x) 2 sin ln(3 3 45x
).
86
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
7.1. y(x) 1 ln(arctg x2 2 3).
7.3. y 1 x 2 arctg ln( y 3 x).
7.5. y(x) 1 (cos2 4x) 2 5x.
3y 1 et 2 tg t,
7.2. 4
2
5x 1 2sin t.
2x2 1 7
7.4. y(x) 2
.
sin4x
7.6. y(x) 1 arctg ln(5 2 7 x 3 2).
7.7. y(x) 1 (x 2 x3 ) tg 4x.
8.1. y(x) 2 arcctg
3y 1 et 2 sin t,
8.2. 4
t
5x 1 e 2 cos t.
11 x
.
13 x
8.3. (x 1 y)3 2 27(x 3 y).
8.5. y(x) 1
8.4. y(x) 1 2x3 sin2 (x 2 8).
4e2x
.
ln(x2 2 2)
1
x
8.7. y(x) 3 ctg
2
2
8.6. y(x) 1 arcsin2 cos(3x 2 7).
e2 x
.
9.1. y(x) 1 sin2 tg(x2 2 e5x ).
3
9.3. arcsin(x 1 y) 2 ln(5 1 xy2 ).
9.5. y(x) 1 (ln(4x3 2 2)) 3 e5x.
3y 1 et 2 sin3 t,
9.2. 4
2t
3
5x 1 e 2 cos t .
ctg2x
9.4. y(x) 1 2
.
x 21
9.6. y(x) 1 arcctg(2x 2 5 ln x ).
2
1
1
ex 2 8x
9.7. y(x) 3 4 arctg 5 .
5 7
6
10.1. y(x) 1
x
5 2 x2 3 arcsin .
5
y
10.3. y2 1 x 2 ln .
x
10.4. y(x) 2
10.5. y(x) 1 (arctg2x) 2 2 4x .
3
1 2
10.7. y(x) 3 14 2
5
7x 688
4y 1 8 2 (1 3 cos t),
10.2. 5
6x 1 8 2 (t 3 sin t).
sin2x
.
1 1 x3
.
sin(2x 1 1)
10.6. y(x) 1 cos 5 tg(2x 2 1).
87
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11.1. y(x) 2 6
x2 1 2
1 sin ln x.
11.3. tg(x 2 y) 3 ex 1 y .
11.5. y(x) 1 4 2x2 2 1 3 sin3 5x.
2y 1 et tg t,
11.2. 3
t
5x 1 e cos(5t 4 3).
4x 2 1 1
11.4. y(x) 2 1
.
tg7x
11.6. y(x) 1 cos(cos(4x 2 8x4 )).
11.7. y(x) 1 ( 1 2 x2 )arcsin7 x .
12.1. y(x) 1 tg(x2 2 x2 2 7 ).
12.3. ln(xy2 ) 1 x 2 e y .
12.5. y(x) 1 (ctg2 x) 2 7 4x3 3 1.
tg t
1
33y 2 1 4 cos t ,
12.2. 5
3x 2 sin t .
36
1 4 cos t
cos4x
12.4. y(x) 1 2
.
x 25
12.6. y(x) 1 tg(10 2 ln2 x).
12.7. y(x) 1 x 2sin x.
3
13.1. y(x) 1 cos3 (tg(x4 2 2x)).
2y 1 sin2 t,
13.2. 3
5x 1 2t 4 sin2t.
13.3. x tg y 1 y cos x 2 y2 3 0.
13.4. y(x) 1 4x5 ln tg
13.5. y(x) 1
arcsin5x
.
e8 x 2 1
4
.
x2
13.6. y(x) 1 4x 2 x3 3 x .
2
2 12
13.7. y(x) 2 (cos3x)x
.
14.1. y(x) 2 sin(x 1 log2 ex 17 ).
4y 1 4 2 16cos(t 3 3),
14.2. 5
6x 1 2 3 4cos(t 2 3).
14.3. tg(x 1 2y) 2 e y 1 xy3.
14.4. y(x) 1
14.5. y(x) 1 4 x3 2 8 3 tg2x.
14.6. y(x) 1 ln2 (arccos(4x 2 7)).
14.7. y(x) 2 (arctg2x)
11 x2 .
4sin2 x
.
x2 2 1
88
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
15.1. y(x) 1 ln(x2 2 tg(x 2 4x2 )).
4y 1 sin(t 2 4) 3 cos t,
15.2. 5
6x 1 cos(t 2 4) 3 cos t.
15.3. ln(x 1 y2 ) 2 tg (7x 1 y ).
15.4. y(x) 1 arctg ln(5x2 2 1).
15.5. y(x) 2
5x 1 sin x
.
1 3 3x
11 x3 .
15.7. y(x) 2 (sin2x)
16.1. y(x) 2
ex
15.6. y(x) 1 22cos2 x 3 tg3x.
x2 1 ln x
.
1 arctg3x
16.3. x 1 3y 2 y2 (x 1 ln x).
16.5. y(x) 1
tg2x
.
x2 2 1
3y 1 t2 (1 2 t),
16.2. 4
2
6x 1 (1 2 t) 5 t.
16.4. y(x) 1 (cos2 2x) 2 4 4x 3 1.
16.6. y(x) 1 ln arcsin(3x4 2 1).
16.7. y(x) 1 ( 3 1 2 4x )sin5x.
17.1. y(x) 1 ln x 2 (e x 3 arcsin x).
3y 1 t3 2 t2,
17.2. 4
3
6x 1 t 5 (1 2 t ).
17.3. x 1 y3 2 y2 (x 1 tg x).
17.4. y(x) 1 ln2 (4x3 2 1).
17.5. y(x) 1 tg2 x 2 sin4x.
17.6. y(x) 2
17.7. y(x) 2 (arcctg3x)
3
2x3 1 1
.
x2 3 7
115 x .
18.1. y 1 (x2 2 3) 3 log5 (x 2 7x2 ).
4y 1 t2 2 t 3 arctg t,
18.2. 5
2
7x 1 arctg t 6 t .
18.3. arctg(x 1 3y) 2 y2 x.
18.4. y 1 8 4 2 5x2 3 tg2x.
18.5. y(x) 2
4 1 5x3
.
sin4x
18.7. y(x) 1 (ln2 x) e .
x
18.6. y(x) 1 arctg ln(4x 2 9).
89
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
19.1. y(x) 1 arcctg x2 2 x.
3y 1 2sin t 2 sin2t,
19.2. 4
5x 1 2cos t 2 cos2t.
19.3. tg(x 1 y) 2 xy 3 0.
19.4. y 1 tg3 6x 2 e x .
19.5. y(x) 2
2
5x 1 sin2 9x
.
ln( x 1 1)
19.6. y(x) 1 sin6 (x 2 tg2 x 3 2).
19.7. y(x) 1 (tg6x)cos3x.
20.1. y(x) 2 sin(x 1 ln9 x 1 x ).
2
20.3. 7 y 1 arcsin x 2 y cos x.
20.5. y(x) 2
4x 1 sin2x
.
x 1 4x 2
1
t2
3y 2 1 4 t2 ,
20.2. 5
3x 2 t .
1 4 t2
6
20.4. y 1 ctg x 2 4 2x5 3 1.
20.6. y(x) 1 ln arctg(1 2 2x5 ).
20.7. y(x) 1 (2 x ) cos 3x.
2
21.1. y
1 ln 3 x5
2 5x4
5
3 .
x
21.3. 5xy 1 x2 2 9y2 3 1.
21.5. y(x) 1 tg6 9x 2 arcsin x .
21.7. y(x) 1 (x 6 25x) ctg
22.1. y(x) 2
21.6. y(x) 1 e cos
3 6x
2 ln(x 3 x ).
2 6x
.
cos(ex 1 2)
.
arcsin(9x 1 1)
22.3. x 1 y 2 e y arctg x 3 0.
22.5. y(x) 2
1y 2 et3 ,
3
21.2. 4
1
2
37x 2 t 5 t 6 t .
cos3 4x
21.4. y(x) 1
.
x2 x32
log3 (x 1 4)
.
tg3 6x
3y 1 t2 (2 2 t),
22.2. 4
5x 1 3t 2 2.
22.4. y(x) 1 x6 2 cos5 (x 3 x ).
22.6. y(x) 1 ctg(6x 2 9x2 3 1).
22.7. y(x) 1 (arccos6x) e .
5x
90
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
23.1. y(x) 1 cos(x 2 x2 ) 2 ln x3.
23.3. y cos x 1 tg(x 2 3y).
23.5. y(x) 1 cos3 3x 2 4 1 3 3x2 .
2y 1 et ln t,
23.2. 3
t
5x 1 ln(t 4 e ).
2
e 14 x
23.4. y(x) 2 2
.
x 14
23.6. y(x) 1 sin tg ln5x.
23.7. y(x) 1 (ln(5x2 2 1))tg3x.
24.1. y(x) 2
1 1 x2 cos x
.
1 1 arctg x
24.3. sin x 1 tg y 2 y2 1 x ln y.
24.5. y(x) 2 tg x 3 61 x.
24.7. y(x) 2 (7x2 tg x)
24.6. y(x) 1 sin(6x3 2 arctg2x).
3
x 18 .
25.1. y(x) 1 cos2 (x 2 7) 3 10x .
2
25.3. sin(x 1 2y2 ) 2 xy 1 ln x.
25.5. y(x) 2
5
2y 1 e cos t sin t,
24.2. 3
sin t
5x 1 cos t 4 e .
e2 x
24.4. y 1 2
.
x 21
2 1 x3
.
tg x
1y 2 cos t ,
33
2 4 sin t
25.2. 5
sin t
.
3x 2
1 4 t2
63
25.4. y(x) 2 ctg(2x 1 3) 3 e 14x .
25.6. y(x) 1 arccos ln(7 2 x2 ).
25.7. y(x) 1 (6sin2 5x) ctg2x.
26.1. y(x) 1 x tg x 2 lntg x2.
26.3. cos(xy) 1 xy 2 ctg x.
26.5. y(x) 2 1
2x2 1 1
.
4
23x
26.7. y(x) 1 (ln(5x2 2 10)) cos7 x.
1y 2
33
26.2. 5
3x 2
63
sin t
,
t2 4 1
cos t
.
t2 4 1
26.4. y(x) 1 tg4x 2 e2x.
26.6. y(x) 1 cos arctg(4x2 2 1).
91
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
27.1. y(x)
1 arcctg(e x
2 cos x).
27.3. x 1 y 2 10.
27.5. y(x) 1
5
2y 1 (arctg t)2 ,
3
27.2. 4
1
36x 1 1 5 t2 .
27.4. y(x) 1 4x3 arcsin5x.
e4 x
.
2 2 3x
27.6. y(x) 1 ln ctg(5x3 2 3).
27.7. y(x) 1 ( 3 6 2 8x3 ) cos4x.
tg x
3 x.
2
28.1. y(x) 1 2 2 arcctg
28.3. ln y 1
x 2
2 .
y 3
28.5. y(x) 2
3y 1 2t 2 3t2,
28.2. 4
2
3
5x 1 t 2 2t .
28.4. y(x) 1 arcsin x3 2 4x .
2
4 1 x2
.
ln(5x 3 3)
6
28.6. y(x) 3 sin tg(e 1 x 22 ).
28.7. y(x) 1 (arcsin(x3 2 2)) tg2x.
3y 4 5t arccos t ,
5
5
29.2. 6
3
3
t
5x 4 3 t 7 .
t
8
1 1 sin6x
29.1. y(x) 2
.
3 1 2cos6x
29.3.
xy2
1 sin(xy)
1
2
2 2x .
29.4. y(x) 1 x 2 arctg3 5x 3 lntg x.
7 (8 x 1 9)
29.5. y(x) 2 3 arctg
2
29.6. y(x) 1
.
ln x
.
1 2 ln2 x
29.7. y(x) 2 (cos x) ln x 1 sin x.
30.1. y(x) 2
3cos8 (4x 1 7)
3
x3 1 3x 1 1
3y 1 tg t 2 t3 ,
30.2. 4
2
6x 1 t 5 ctg t.
.
30.3. x3 tg y 1 3y 1 3x 2 0.
30.4. y(x) 2 e 1 ctg
30.5. y(x) 1 arcsin ln( x 2 1).
30.6. y(x) 2
30.7. y(x) 1 (arccos(x2 2 x))x .
3
2 3x
3
3 ctg .
x
ln( 3 x 1 e x )
.
sin2x
92
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2. Найти производную второго порядка y11(x).
1. y(x) 1 sin2 3x.
2. y(x) 2 e 13x .
3. y(x) 1 2 sin3 (4 2 5x2 ).
4. y(x) 2
5. y(x) 1 sin8 (4x 2 5).
6. y(x) 2 xe 12x .
7. y(x) 1 tg3 4x.
8. y(x) 1 2 cos4 (3x 2 1).
9. y(x) 1 6 5x2 2 1.
10. y(x) 1 ln7 2x.
11. y(x) 1 3 1 2 4x2 .
12. y(x) 1 2 sin4 (5x 3 2).
13. y(x) 1 ln(e x 2 1 2 e2x ).
14. y(x) 1 cos2 4x.
15. y(x) 1 7 4x2 2 1.
16. y(x) 1
x2
.
4x 2 8
17. y(x) 1 tg3 2x.
18. y(x) 2
2x 1 3
.
4x2 3 21
19. y(x) 1 arcsin(1 2 e2x ).
20. y(x) 1 arccos(5x3 ).
21. y(x) 1 arcsin(3x2 ).
22. y(x) 1 3x .
23. y(x) 1 sin2 4x.
24. y(x) 1 cos2 5x.
25. y(x) 1 ln5 6x.
26. y(x) 1 5 ln3 2x.
27. y(x) 1 tg3 6x.
28. y(x) 1 8 4 2 5x2 .
29. y(x) 1 (lnln x) 8.
30. y(x) 1 2 ctg3x.
2
3
x2 1 1
.
x3
5
2
ИДЗ 12.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
þ
Выполнить полное исследование функции по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) определить, является ли функция четной или нечетной;
3) определить, является ли функция периодической;
4) найти точки пересечения графика функции с осями координат и
интервалы знакопостоянства функции;
5) найти точки разрыва функции, односторонние пределы функции в
этих точках, уравнения вертикальных асимптот;
6) найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции;
93
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
7) найти критические точки производной y1(x), интервалы возраста!
ния и убывания функции, экстремумы функции;
8) найти критические точки производной второго порядка y11(x), ин!
тервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба гра!
фика функции;
9) построить график функции.
1
1.1. y 1 (x 2 5)(x 2 2)2.
2
6x2
1.3. y 1
.
(x 2 5)2
x2
.
4(x 2 2)
2x3
1.4. y 1
.
3(x2 2 9)
2.1. y 1 216x3 2 24x2.
2.2. y 2
1.2. y 1
6(x 1 1)2
.
x2
(x 1 3)2
.
2(x 1 1)
8
2.4. y 1 2
.
x (x 2 3)
1
3.1. y 1 x4 2 x3.
4
136x
3.3. y 2
.
(x 1 2)2
x2 1 x 2 7
.
x 21
1(x 1 1)3
3.4. y 2
.
(x 3 1)2
1
4.1. y 1 (x3 2 3x2 3 9x 3 27).
4
9(x 1 4)
4.3. y 2
.
(x 1 3)2
1(x2 2 x 2 2)
.
x 11
4x3
4.4. y 1
.
(1 2 x)3
5.1. y 1 (x 2 2)(x 3 1)2.
5.2. y 2
2.3. y 2
5.3. y 2
12(x 1 1)
.
(x 3 1)2
6.1. y 1 2x3 2 6x2.
6.3. y 2
16x2
.
(x 3 1)2
1
7.1. y 1 (2x3 2 3x2 3 9x 3 27).
8
3.2. y 3
4.2. y 3
1x2
.
3(x 1 3)
14x5
5.4. y 2
.
5(x2 1 5)2
1(x2 1 2x 2 2)
.
x 11
18
6.4. y 2
.
x(x 3 3)2
6.2. y 3
7.2. y 2
x 2 1 8x
.
2(x 3 1)
94
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
7.3. y 1
36x
.
(x 2 2)2
8.1. y 1 2(x 3 1)(x 2 2)2.
8.3. y 2
16(x 1 3)2
.
(x 3 3)2
7.4. y 2
1 x3
.
3(x 1 5)2
2x 1 x2 1 6
.
2(x 3 1)
x3
8.4. y 1
.
2
3(x 2 12)
8.2. y 2
1
9.1. y 1 (x3 2 3x2 3 9x 3 27).
4
19(2x 1 1)
9.3. y 2
.
(x 3 1)2
13(x 1 2)2
.
4(x 1 3)
1x4
9.4. y 2
.
(x 1 1)3
1
10.1. y 1 (x3 2 6x2 ).
4
36(x 1 2)
10.3. y 2
.
x2
x2 1 4
.
x 31
x5 1 8
10.4. y 2
.
x4
1
11.1. y 1 (5 2 x)(x 2 2)2.
2
190(x 1 4)
11.3. y 2
.
x2
11.2. y 2
12.1. y 1 3x 2 x3.
12.2. y 2
12.3. y 2
18(x 1 1)
.
x2
13.1. y 1 2(x 3 2)(x 2 1)2.
13.3. y 1
3x2
.
(x 2 2)2
1 3
(x 2 9x2 ).
18
4 1 4x2
14.3. y 2 2
.
x 14
14.1. y 1
9.2. y 2
10.2. y 2
x2 1 3x 1 11
.
x12
164
11.4. y 2 2
.
x (x 3 6)
(x 1 3)2
.
2(x 1 1)
(x 1 4)3
12.4. y 2 3
.
(x 1 2)2
1x2 2 3x 1 11
.
x 12
3
2 7 x2 1 7 3
13.4. y 4 5
.
6
7 4x 2 8
13.2. y 3
(x 1 1)2
.
x 31
72(x 1 2)
14.4. y 2
.
x3
14.2. y 2 1
95
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1
15.1. y 1 (x 2 4)(x 3 2)2.
4
3(2x 1 1)
15.3. y 2
.
(x 1 1)2
(2x 1 3)2
.
4(x 3 1)
3
x 31
15.4. y 4 4
.
x 51
16.1. y 1 8x3 2 12x2.
16.2. y 2 1
16.3. y 2
18(x 1 1)
.
(x 1 2)2
15.2. y 2
1 2
(x 1 4)2
.
2(x 1 2)
2
12x (x 2 5)
16.4. y 3
.
(x 2 2)2
1
(x2 2 20)3.
800
9(2x 1 1)
17.3. y 2
.
(x 1 2)2
x2 1 9
.
x 32
x2 (x 1 3)
17.4. y 2
.
(x 1 1)2
1
18.1. y 1 (x3 2 3x2 2 9x 3 27).
4
x2 1 6
18.3. y 2 2
.
x 31
18.2. y 3
19.1. y 1 (2 2 x)(x 3 1)2.
19.2. y 2
17.1. y 1
19.3. y 2
4 1 x2
.
x2 1 1
17.2. y 2
x2 1 7x 2 10
.
x 11
x3
18.4. y 1 2
.
2(x 2 2)2
1x 2
.
4(x 3 4)
1x 3
19.4. y 2 2
.
x 33
(x 1 1)2
.
x 33
x3
20.4. y 1 4
.
x 21
1
20.1. y 1 (3x3 2 9x).
2
118x
20.3. y 2
.
(x 1 1)2
20.2. y 2
21.1. y 1
1
(2x3 2 9x2 ).
18
16(x 1 3)
21.3. y 2
.
(x 1 2)2
21.2. y 2 3
1
22.1. y 1 (x2 2 1)(x2 2 17).
8
27(x 1 3)
22.3. y 2
.
x2
(x 1 2)2
.
4(x 3 1)
x3
22.4. y 1
.
3(x 2 5)2
x2 1 2x 1 10
.
2(x 3 3)
2x5
21.4. y 1 2
.
(x 2 1)2
22.2. y 2
96
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
23.1. y 1 2 (x2 2 9)2 .
9
x2 1 9
23.3. y 2 2
.
x 11
x2 1 3x 1 6
.
x 11
27x
23.4. y 1
.
(x 2 1)3
1
24.1. y 1 (x 2 4)(x 3 2)2.
8
18x
24.3. y 1
.
(x 2 1)2
24.2. y 2
1
25.1. y 1 (x3 2 6x2 ).
8
136(x 2 2)
25.3. y 3
.
x2
25.2. y 3 1
26.1. y 1 x3 2 3x2.
26.3. y 2
18(x 1 1)
.
x2
27.1. y 1 (1 2 x)(x 3 2)2.
27.3. y 1
6x2
.
(x 2 4)2
23.2. y 2
x 2 1 4x
.
x 11
3
(x 1 3)
24.4. y 2
.
3(x 1 1)2
x2 1 2x 2 5
.
2(x 1 1)
2x3
25.4. y 1
.
3(3 2 x2 )
1x2 2 8x
.
2(x 2 1)
x3
26.4. y 1
.
3(27 2 x2 )
26.2. y 3
1(x 1 2)2
.
2(x 3 1)
12x2 (x 1 5)
27.4. y 2
.
(x 1 2)2
27.2. y 2
1
28.1. y 1 (x 2 6)(x 2 3)2.
4
2x
28.3. y 1 2
.
x 2 16
(x 1 3)2
.
5(x 3 2)
x2 (x 1 5)
28.4. y 2
.
(x 3 1)2
1 2
(x 2 5)3.
16
1x
29.3. y 2 2
.
x 1 25
(x 1 2)2
.
x 11
3
x 31
29.4. y 4 8
.
x
1
30.1. y 1 2 (x 2 1)3 (x 2 5).
4
14(x2 1 9)
30.3. y 2
.
x2 1 16
30.2. y 2
29.1. y 1
28.2. y 2
29.2. y 2
1 2
x2 1 4x
.
x 11
x3
30.4. y 1
.
(x 2 1)2
97
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Контрольная работа 4.
ПРЕДЕЛЫ
þ
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1.1. lim
3x2 2 2x 2 1
.
x2 3 4x 3 1
1.2. lim
2x2 3 3x 2 2
.
3x2 3 2x 2 8
1.3. lim
2x3 3 x 4 1
.
x2 4 2x 3 5
1.4. lim
3x 2 2 2 2
.
x2 2 4
x 11
x 12
1.5. lim sin3x 2 ctg2x.
x 10
x 122
x 12
x 45
x2 2 x 2 1
.
x 12 x2 3 x 3 2
2.2. lim
1 2 cos4x
.
x 10 sin2 3x
2.4. lim
2.1. lim
2.3. lim
2.5. lim
x 123
x 3 4 21
.
3 2 2x 2 3
1
2.6. lim 1 3
x 45
3.3. lim
arcsin6x
.
x 10
2x
3.4. lim
3.5. lim (x 4 x2 2 2x ).
3.6. lim
x2 2 x 2 2
.
x 14 x2 2 5x 3 4
4.2. lim
4.1. lim
2
x64
x 45
1
2x 3 3
2x 6 1
.
2
.
2x2 2 x 2 3
.
x 121 x2 2 3x 2 4
sin2x
.
tg3x
4.5. lim
x 36 22
.
x2 2 4
4.6. lim
1 33xx 66 52 2
x2 2 25
.
x 15 x2 3 4x 3 5
5.2. lim
arctg3x
.
x 10
2x
5.4. lim
5.3. lim
2x 31
3x 3 4
4.4. lim
5.1. lim
2
10x 2 3x2 2 8
.
x 12 3x2 2 8x 3 4
2x2 3 3x 4 1
.
x3 4 2x 3 3
x 122
.
2x3 3 3x 4 1
.
x 12 3x3 3 x2 4 4
4.3. lim
x 12
4 x 31
3x2 2 5x 3 2
.
x 11 2x2 2 x 2 1
3.2. lim
x 123
2
3
2x 6 1
2x2 3 3x 4 1
.
x 12 x2 4 x 3 5
x 2 2 4x 3 3
.
x 13 2x2 2 5x 3 1
3.1. lim
1
1.6. lim 1 3
x 10
x 45
43x
.
3x2 3 2x 4 1
.
x 12 x2 4 3x 4 4
7x 2 x2 2 12
.
x 13 2x2 2 11x 3 15
98
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
5.5. lim ( 4x2 2 x 4 2x).
x 123
x 45
x2 3 3x 3 1
.
x 121 2x2 2 3x 2 5
6.2. lim
x 2 1 3 cos4x
.
x 10
sin2 3x
6.4. lim
6.1. lim
6.3. lim
6.5. lim
x 14
x 22
.
2x 3 1 2 3
x 45
7.4. lim
x 10
92x 23
.
x 34 22
7.6. lim
x 45
sin5x
.
x 10 sin3x
8.4. lim
8.6. lim
9.1. lim
x2 2 16
.
3 5x 2 2
9.2. lim
3x2 3 4x 4 1
.
x 12 2x2 4 x 3 3
9.4. lim
9.3. lim
9.5. lim
x 10
x2 2 9 3 3
.
4 3 x2 3 2
x 45
1
3x 3 1
3x 6 2
1
9.6. lim 1 3
x 45
3x
.
sin2x
10.4. lim
x 10
5 2 x2 3 9
.
x 14 2x 3 1 2 3
10.5. lim
2
2x 3 4
.
tg2 3x
.
x 10 1 2 cos4x
10.2. lim
10.3. lim
.
9x 2 2x2 2 10
.
x 12
x2 2 x 2 2
x2 2 x 3 3
.
x 12 x2 3 4
10.1. lim
2
43x
2x2 2 x 2 1
.
x 11 4 2 3x 2 x2
2x 2 3 3 3
.
2 3 x 21
x 124 x2
1
2x 3 3
2x 6 1
x 3 3 8x 4 1
.
x 12 3x2 3 x 4 4
8.5. lim
x 13
.
2x2 2 17x 3 35
.
x 15
x2 2 x 2 20
8.2. lim
8.3. lim
1 22xx 63 15 2
3x2 3 4x 4 1
.
x 12 x3 4 3x 3 4
x2 3 x 2 2
.
x 122 2x2 2 x 3 1
8.1. lim
.
3 x 32
6.6. lim
sin6x
.
x 10 tg2x
7.5. lim
2
x 32
3 2 8x 2 3x2
.
x 123 x2 3 x 2 6
7.2. lim
7.3. lim
2
3x 6 1
2x2 3 x 4 3
.
x 12 x3 3 3x 3 1
2x2 3 5x 3 1
.
x 123 x2 3 2x 2 3
7.1. lim
1
5.6. lim 1 6
2
3x 3 1
2
133x
.
2 3 3x 3 x2
.
x 12 2x2 4 x 3 1
x 121
3x2 3 2x 2 1
.
x3 3 1
1
10.6. lim 1 6
x 45
2
3x 3 4
2
136 x
.
99
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3x5 3 4x2 4 1
.
x 12 2x5 4 3x3 3 x
11.1. lim
5x 2 1 3 4
.
x 33
11.3. lim
x 13
11.5. lim
x 42
1
1
7 3 3x
2
3
tg2 4x
.
x 10 sin2 3x
11.4. lim
x
2x 3 4
2x2 2 3x 2 2
.
x 12 x2 2 3x 3 2
x 10
1 2 cos4x
.
x 3 sin3x
12.5. lim (2x 2 3)ln
x 123
x 14
1
1
3x 3 5
2
3
11.6. lim
x 345
4x3 3 3x2 4 1
.
x 12 2x3 4 3x 3 1
12.2. lim
x 10
x22
.
x23
13.2. lim x 2 sin2x 2 ctg2 5x.
x 10
x2
x 32
4x2 2 2x 3 3
.
x 11 x2 2 x 3 2
12.6. lim
3x2 2 10x 3 3
.
x 13 x2 2 2x 2 3
.
13.4. lim
x6 3 3x2 3 2
.
x 12 2x6 4 4x 4 5
13.6. lim
arctg3x
.
4x
14.2. lim
3x2 2 14x 2 5
.
x 15 x2 2 6x 3 5
14.4. lim
13.3. lim
x 42
13.5. lim
14.1. lim
x 10
x 123
x 12
15.3. lim
x 43
2 2 4x
.
1 2 4x
x 22
.
4x 3 1 2 3
15.1. lim
1
1
3x 3 8
2
3
2
x 33
1
3x 3 1
x 61
2
x2 35
.
5x 2 4 3 3
.
2x 3 1 3 1
6x5 3 3x2 4 1
.
x 12 3x5 3 2x 4 3
3x2 2 10x 3 3
.
x 13 x2 2 3x 3 2
14.6. lim
15.2. lim x 2 ctg7x.
x 10
.
2x2 2 13x 2 7
.
x 17 x2 2 9x 3 14
15.5. lim
x 45
x 11
14.3. lim
14.5. lim (x 4 3)ln
4 2 3x 3 4 3 3x
.
7x
12.4. lim
x 22
.
2x 3 1 2 3
13.1. lim
1 22443xx 2 .
x
.
12.1. lim
12.3. lim
2x2 2 x 3 3
.
x 11 x2 2 x 3 2
11.2. lim
x3 3 4x 2 45
.
x 12 3x3 4 2x2 3 x
15.4. lim
15.6. lim
x 345
1
2x 4 3
x 62
2
3x
.
100
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
x4 3 3x2 4 2
.
x 12 5x 4 4 3x 3 2
x 21 2 2
16.3. lim
.
x 15 2x 2 1 2 3
16.1. lim
2x 4 3
.
2x 2 3
16.5. lim (x 2 5)ln
x 123
2x2 2 11x 3 5
.
x 15 x2 2 7x 3 10
17.1. lim
5x 2 1 4 4
.
x2 4 2x 4 3
9x5 3 4x4 4 2
.
x 12 3x5 3 2x 3 1
17.2. lim
.
17.6. lim
2x 2 1 2 1
.
3x2 2 14x 2 5
3x3 3 4x 4 1
.
x3 3 2x2 3 1
18.2. lim
3x 2 10 3 4
.
x 32
1
1
17.5. lim
x 42 2x 3 3
x 12
x 123
1 2 cos5x
.
x 3 tg2x
x 10
18.1. lim
16.6. lim
17.4. lim
17.3. lim
92 x 33
.
x2 2 x
3x2 2 5x 2 3
.
x 13 x2 2 5x 3 6
arcsin3x
16.4. lim
.
x 10
5x
16.2. lim
2
3
x2
x 32
18.3. lim (x 2 4)ln
x 123
x 10
2x 2 7
.
2x 4 3
x 11
x 12
2x2 2 9x 2 18
.
x 16 x2 2 7x 3 6
18.4. lim
18.5. lim sin5x 2 ctg3x.
18.6. lim
x 55
2x 6 1
2
5x
19.1. lim
.
x 10 arctg6x
1
19.2. lim
x 41 3x 3 2
2
x 10
x 13
1
1
x 23
.
4x 2 3 2 3
19.3. lim
x 34
3 x2
.
3
x
x 31
3x2 2 17x 2 28
.
x 17 x2 2 9x 3 14
19.4. lim
4x5 3 3x2 4 1
.
x 12 2x2 3 2x 4 3
19.6. lim (x 4 2)ln
3x2 2 8x 2 3
.
x 13 x2 2 x 2 6
20.2. lim
19.5. lim
20.1. lim
1
1
20.3. lim
x 53 3x 4 8
2
4
x 31
x 43
.
20.5. lim sin8x 2 ctg3x.
x 10
.
x 123
2x 2 1
.
x23
9x3 3 4x2 4 1
.
x 12 6x3 4 3x 4 2
20.4. lim
x 17
x 27
.
2x 3 11 2 5
20.6. lim (x 4 2)ln
x 123
x 41
.
x 21
101
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3x5 3 x2 4 x
.
x 12
x5 3 2
1 2 3x2 3 2
21.3. lim
.
x 11
x2 3 x
21.1. lim
21.5. lim (x 2 2)ln
x 123
2x 4 3
.
2x 2 1
x2 2 x 2 2
.
x 12 x2 3 x 2 6
x 43
1
1
2x 3 5
2
3
2x
x 33
22.4. lim x 2 tg3x 2 ctg2 2x.
.
x 10
3 2x 4 7
22.5. lim 3
.
x 12 3x 3 5x 4 2
1 2 cos8x
x 10 1 2 cos2x
x 15
1
3x 3 2
22.6. lim
x 45 x 6 4
3x2 3 x 2 2
.
x 121 3x2 3 4x 3 1
23.6. lim
x 22
.
2x 2 2
24.2. lim
24.3. lim
x 121
1 3x13 5 2
25.1. lim
25.3. lim
x 42
x 12
x2 2 x 2 12
.
x 123 x2 3 16
3x7 3 6x 4 5
.
x 12 4x7 3 2x2 4 3
2x2 2 5x 2 7
.
3x2 3 x 2 2
24.5. lim
x 21
.
x 42
23.4. lim
7x4 3 2x3 4 2
.
x 12
x4 4 3
x 12
.
x 123
23.5. lim
24.1. lim
2
x2 31
23.2. lim (x 2 3)ln
.
1 2 3x 3 2x 2 6
.
x2 3 5x
23.3. lim
2x 2 2 2 2
.
x 31 2 2
x 13
6x 3
23.1. lim
x2 2 x 2 12
.
x 14 x2 2 4x 3 3
21.6. lim
22.2. lim
22.1. lim
22.3. lim
x2 2 x 2 6
.
x 13 2x2 3 x 2 21
5x
21.4. lim
.
x 10 arctg3x
21.2. lim
2x
x2 34
24.4. lim x 2 ctg5x.
x 10
24.6. lim
1 2xx3644 2
8x5 3 3x2 4 9
.
2x5 4 2x 4 5
25.2. lim
x2 3 2x 2 15
.
3 7x 2 15
6x 2 1 3 5
.
x 32
25.4. lim
x 14
3
25.5. lim (x 4 2)ln
x 123
.
3 2 2x
.
4 2 2x
x 435
x 33
.
x 125 2x2
x 10
x 2 sin3x
.
cos x 3 cos3 x
1 2xx6413 2
2x
25.6. lim
x 345
.
102
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 2 cos2x
.
x 10 x 3 tg3x
x
3
x 32
1
26.3. lim
.
x 42 2x 3 3
2x2 3 9x 3 4
.
x 124 x2 2 x 2 20
x 21 2 2
26.4. lim
.
x 13 2x 3 3 2 3
26.2. lim
26.1. lim
1
2
x4 3 5x 4 2
.
x 12 2x 4 4 3x2 3 x
26.5. lim
3x2 2 5x 3 2
.
x2 2 4x 3 3
27.1. lim
x 11
27.3. lim (2 2 3x)ln
x 123
3x2 2 x 3 2
.
x 11 x2 2 2x 3 3
26.6. lim
arcsin2x
.
5x
27.2. lim
x 10
1 2 3x
.
2 2 3x
6x4 3 4x3 4 8
.
x 12 2x 4 3 3x2 3 1
x 23
.
2x 2 2 2 4
27.4. lim
x 19
3x2 3 3x 4 7
.
x 12 2x3 4 7x2 3 x
27.5. lim
27.6. lim
x2 2 9 3 3
28.1. lim
.
x 10 x2 2 25 3 5
1 2 cos3x
28.3. lim
.
x 10 x 3 sin2x
1
28.2. lim
x 41 3 3 2x
1
2
3
2x
x 31
.
3x4 3 4x2 4 2
.
x 12 6x 4 4 2x3 3 1
28.4. lim
x2 3 3x 3 2
.
x 122 2x2 3 5x 3 2
28.6. lim (x 4 1) 5 ln
x2 2 x 2 12
.
x 14 x2 2 2x 2 8
29.2. lim x 2 sin2x 2 ctg2 x.
28.5. lim
29.1. lim
x 10
32x 2 33x
.
5x
29.6. lim
1 3xx55212
30.2. lim
x 24
.
5x 3 5 2 5
30.4. lim
2x3 3 7x 4 4
.
6x3 4 3x2 3 2
sin2 3x
.
x 10 x 2 tg2x
30.1. lim
1
1
30.3. lim
x 41 7 3 6x
2
3
x 456
x 14
x
3x 33
x2 2 x 2 12
.
x 123 x2 3 5x 3 6
30.5. lim
2 3 3x2 4 x5
.
x 12 2x 3 3x2 4 3x5
29.4. lim
x 123
x 10
2x 2 1
.
2x 2 3
x 21
.
x24
29.3. lim (3x 2 2)ln
29.5. lim
x 123
.
x 12
x 34
.
4x5 3 2x 4 6
.
x 12 3x2 3 4x 3 1
30.6. lim
103
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Контрольная работа 5.
ПРОИЗВОДНАЯ
þ
1. Найти производную первого порядка y1(x).
2
1 2
1.1. y 3 16
4
7 3x 5 x2 .
8 27x 9x2 9
1.2. y 2 3 arctg
1.3. y 1 (sin3 5x) 2 sin5 3x.
1.4. y 1 (tg2x)x.
2 (4 x 11)
.
1.5. x3 1 y3 1 3xy 2 0.
2.1. y 2 x 3 3
11 x
.
14 x
2.2. y 3 ln
2
2.4. y 2 (sin3x)1 x.
2.3. y 1 tg3 6x 2 e x .
2.5.
5 1 25 2 x2
.
x
y
x
1
2 1.
3
3
x1 x
.
x3 x
3.1. y 2
3.3. y 2 e 1 cos
3.2. y 2 x arcsin
3.4. y 1 (tg2x)sin3x.
4 5x
2
2x 1 1
.
2
.
2
3.5. x 3 1 y 3 2 1.
4.1. y 2 3
x 13
.
3x 3 5
1
4.3. y 3 ln arctg
4.2. y 2 (1 3 ctg2 3x) 4 e 1 x.
2
x
4 cos2 4x .
2
x
x 2
4.4. y 3 14 arcsin
5 .
37
6
4.5.(x 1 y)2 1 (x 2 3y)2 3 0.
5.1. y 2
1 1 3x2
.
2 1 3x2
5.2. y 2 e 1 x cos3 (2x 3 3).
2
5.3. y 1 ln(x2 2 4 x4 2 1).
5.4. y 1 (arccos x) tg x.
2
5.5. x 1 y 1 arctg3x 1 tg2y 2 0.
6.1. y 1
x
(x 2 1)2 (x2
2 1)2
.
6.2. y 1
e2 x
.
3
1 2 e2 x
104
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6.3. y 1 x arcsin2x 2 ex .
6.4. y 1 (tg x) ctg x.
6.5. y ln x 1 x ln y 2 ln(xy).
3
1
13 x 2
7.1. y 4 51 3
6.
17 x 9
8
x
tg
2 .
7.3. y 1 ln
1 2 sin2 x
7.5.(x 1 1)3 1 ( y 1 1)3 2 x( y 1 1).
8.1. y 1
x
.
(x 2 1)2 (x2 2 1)3
7.2. y 2 e
1
1
cos x .
7.4. y 1 (arctg x)arcsin x.
8.2. y 1 3 (1 2 sin3 2x)2 .
8.4. y 1 (arcsin3x) x .
2
8.3. y 1 (1 2 tg2 x) 3 e arctg x.
2
8.5. x ln(1 1 y2 ) 2 y ln(1 1 x2 ).
9.1. y 1 3 x 2 x 3 3 x .
9.2. y 1 3 x cos x.
9.3. y 1 x 2 arctg3 5x 3 ln tg x.
9.4. y 1 (sin3x) x .
3
9.5. x2 y 1 y3 x 2 (x 1 y)3 3 0.
10.1. y 2 3
1 1 sin3x
.
3 1 2sin3x
10.3. y 1 tg3 x 2 tg3x.
10.2. y 1 e
x
3
2 arctg2 x.
10.4. y 1 (arcsin x) ln x.
10.5.(y2 1 x2 )3 1 x2 y 1 y 2 x.
1 1 sin2x
.
1 3 sin2x
11.1. y 1 3 x 2 x .
11.2. y 2
11.3. y 1 5 arcctg x.
11.4. y 1 (cos x) ln x.
2
2
11.5. e x 1 y 2 xy 3 0.
12.1. y 1
3
3
2 2 6x 3 5.
x3 3 3x
12.3. y 1 ln3 arctg x.
12.5.tg(x 1 y) 2 xy 3 0.
12.2. y 1 cos2x 2 sin2 x.
12.4. y 1 x x .
105
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
13.1. y 1
3
x
.
1 2 x3
13.2. y 1 sin3 8x 2 sin8 3x.
13.3. y 1 arctg ln( 3 x 2 2).
13.4. y 1 (cos x) arccos x.
13.5. y sin(x 1 y) 2 x 3 0.
14.1. y 2 x 3 3
1 1 x2
.
1 4 x2
14.2. y 1 e cos
2 3x
14.3. y 1 arcsin4 ln3x.
.
14.4. y 2 (cos3x)x 1 x .
3
14.5.tg(x 1 2y) 2 3x 1 y 3 0.
15.1. y 1 x 2 3 x .
15.2. y 1 e tg x cos x.
4
15.3. y 1 ln arcsin x 2 .
x
15.4. y 1 (cos5x)tg x.
15.5.tg(x 1 y) 2 xy 3 0.
16.1. y 1 x2 2 1 2 3 x2 2 1.
16.2. y 1 arcsin tg3 x.
16.3. y 1 ln(e x 2 ex 2 3).
16.4. y 2 (cos3x) 1 x.
16.5.ln(x 1 y) 2 arctg
x
3 0.
y
x2 1 x
.
x3 3 x
17.3. y 1 tg ln x 2 ln tg x.
17.1. y 2
17.2. y 1 e cos x sin2 x.
17.4. y 2 x ln x 1 sin x.
17.5.(x 1 y)2 1 (x 2 3y)3 3 0.
1
18.1. y 1 5 x2 2 x 2 .
3
arcsin x
18.3. y 1
.
1 2 x2
x
18.5.ln 1 x 2 2y 3 0.
y
19.1. y 2 1 1
11 x
.
x 31
19.3. y 1 arctg e3x.
19.5.arctg(x 1 y) 2 x 1 y 3 0.
18.2. y 2 ln ln
1 1 cos x
.
1 3 cos x
18.4. y 1 (sin x)cos x.
19.2. y 1
sin x
.
1 2 tg x
19.4. y 2 x
x 11.
106
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
20.1. y 2 3
x2 1 1
.
3x 3 2
20.3. y 1 arccos tg x 2 tg cos x.
ex
.
cos x
20.4. y 2 (tg2x)16x.
20.2. y 1
x
20.5.sin 16 27 3 2x 4 2y 5 0.
8y9
1 1 ex
.
1 3 ex
21.1. y 1 4 x2 2 3x 3 5 (6x 3 1)2 .
21.2. y 2
21.3. y 1 arctg x 2 sin x .
21.4. y 1 (ctg x) x .
1
21.5. x sin y 1 y cos x 2 0.
2x
2 4 1 3 x.
13 x
x 6
22.3. y 1 arcsin 2 5 .
6 x
xy
2
22.5. e 1 x 2 y2 3 0.
22.1. y 1
23.1. y 2 3
1 1 x3
.
1 3 x3
22.2. y 1 sin2 3x.
22.4. y 1 x e .
x
23.2. y 1 1 2 ln2 x .
23.3. y 1
1
arccos3 x.
x
23.5. y sin x 1 cos(x 2 y) 3 cos y.
23.4. y 1 x arcsin x.
24.1. y 1 x 2 x .
24.2. y 1
24.3. y 1 arctg x2 2 1.
24.4. y 1 (cos x)sin x.
4ln x
.
1 2 ln x
24.5. x tg y 1 y cos x 2 y2 3 0.
25.1. y 1 5 3x2 2 1 2 3 x3 2 4.
1
25.2. y 1 tg3 x 2 ctg x 3 x.
3
25.3. y 2 arctg
31x
.
x 31
25.5. x 1 y 2 e y arctg x 3 0.
25.4. y 1 (ln x)sin x.
26.1. y 1 x 1 2 x2 .
26.2. y 2 ln
26.3. y 1 arctg sin2 x.
26.4. y 1 (arcsin5x)2 .
x
26.5.ln y 1 arcsin .
y
1 1 tg x
3 x.
1 3 tg x
x
107
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2
.
x2 2 x 2 1
27.3. y 1 arccos2 tg x.
27.1. y 1 5 4x 2 3 3
27.2. y 2 ln
1 1 sin x
.
1 3 cos x
27.4. y 2 (x2 3 1) e
1 cos x
.
27.5. x 1 y 1 e xy 2 0.
5
28.1. y 1 3 3 x5 2 5x4 3 .
x
arccos2 x
28.3. y 1
.
x
2
28.5.2 x 1xy 2 y2 3 0.
29.1. y 1
1
.
x 2 1 2 x2
29.3. y 1 arccos3 e x.
28.2. y 1 ln(e x 2 1 2 e2x ).
28.4. y 1 (cos x)x .
2
29.2. y 1
ln x
.
x2 2 1
29.4. y 1 x arcsin x.
x
29.5.ln y 1 arctg .
y
30.1. y 2 x 1 5
1 1 x5
.
1 3 x5
11 x
.
x 35
30.5. xy 1 sin(xy) 2 3 3 0.
30.3. y 2 sin 3
þ
30.2. y 1 tg2 (x3 2 1).
30.4. y 1 x tg x.
2. Найти производную второго порядка y11(x).
1. y 1 x3 ln x.
2. y 1 arctg x2.
3. y 1 (1 2 x2 ) tg x.
4. y 1 ln ln x.
5. y 1 ln ctg4x.
6. y 1 3 (1 2 x)2 .
7. y 1 2 ctg3x.
e2 1 x
10. y 2
.
x
ln x
13. y 1
.
x
16. y 1 x2 ln x.
8. y 1 x2 ln x3.
x
11. y 1 2
.
x 211
14. y 1 x 2 e x .
17. y 2 x 3 e 1 x.
9. y 1 e2x cos4x.
x
12. y 1
.
1 2 x2
cos3 x
15. y 1 sin x 2
.
3
18. y 2 e 1 x cos x.
19. y 1 xe x.
20. y 2 xe 1 x .
21. y 1 x 2 e sin x.
3
1 43 5 x2 2.
x 1 1 1x
3e .
x 41
25. y 1 x 2 arctg x.
26. y 1 x 1 2 x2 .
27. y 1 x 2 arctg x.
28. y 1 x2 e5x.
29. y 1 x3 2 arctg x.
30. y 1 ln(x 2 x ).
22. y 2
23. y 1 arctg
2x
.
1 2 x2
24. y 4 ln tg
108
þ
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3. Найти производную функции yx1 (t).
3x 1 t 2 ln cos t,
1. 4
6y 1 t 5 ln sin t.
3x 1 2t 2 sin2t,
2. 4
3
5y 1 sin t.
3x 1 t5 2 2t,
4. 4
3
6y 1 t 5 8t 5 1.
1x 2 1 t3 3 1 t2 3 t,
4
3
2
5. 5
2
t
1
4y 2 3 .
2 t
6
1
1
4x 2 t 3 sin2t,
3. 5
2
46y 2 cos3 t.
3x 1 arcsin(t2 2 1),
6. 4
5y 1 arccos2t.
3x 1 t2 2 t 2 1,
7. 4
3
5y 1 t 2 t.
2x 1 ctg t,
3
8. 4
1
35y 1 cos2t .
2x 3 2 1 t ,
4
2 5 t2
9. 6
2
4y 3 t .
2 5 t2
7
2x 1 2cos3 2t,
10. 3
3
4y 1 sin 2t.
3x 1 2t 2 t2,
11. 4
3
5y 1 3t 2 t .
2x 1 3cos t,
12. 3
2
4y 1 4sin t.
2x 1 2cos3t,
13. 3
3
4y 1 4sin t.
3x 1 cos t 2 t sin t,
14. 4
6y 1 sin t 5 t cos t.
3x 1 2cos t 2 cos2t,
15. 4
5y 1 2sin t 2 sin2t.
3x 1 2t2 2 t,
16. 4
5y 1 ln t.
3x 1 3t 2 t3,
17. 4
2
5y 1 3t .
3x 1 2t 2 t3,
18. 4
2
5y 1 2t .
1x 2 sin t ,
3
1 4 t2
19. 5
3y 2 cos t .
1 4 t2
6
4x 3 ln t,
5
20. 6
1
1
58y 3 2 t 7 t .
1x 2 t2,
3
21. 4
1 3
36y 2 3 t 5 t.
3x 1 t 2 sin t,
22. 4
5y 1 1 2 cos t.
1x 2 sin t ,
3
23. 4
2
53y 2 cos t.
3x 1 cos6t 2 t6,
24. 4
6
5y 1 sin(6t 2 t ).
2x 1 e2t,
25. 3
4y 1 cos t.
1x 2 cos t ,
3
26. 4
2
63y 2 t 5 sin t.
3x 1 tg t 2 ctg t,
27. 4
5y 1 2ln ctg t.
3x 1 t2 2 1,
28. 4
t3
5y 1 e .
2x 1 3cos2t,
29. 3
3
4y 1 2sin t.
2x 1 8t cos t,
30. 3
4y 1 8t sin t.
1 2
4. Найти производную первого порядка y1(x) в указанной точке.
1. y 2
1 1 2x
, x0 2 4.
1 3 3 2x
3. y 2 ln(1 3 512x ), x0 2 0.
x
2. y 1 x 2 e 5 , x0 1 0.
4. y 1 x 2 2 x , x0 1 1.
109
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1
5. y 2 sin3 x 3 cos3x , x0 2 .
2
3 2
x
7. y 1
, x0 1 28.
2 3 22x
x
, x 1 22.
2x 2 1 0
( x 1 1)2
8. y 2
, x0 2 0,01.
x
6. y 1
x3
3
2
,
5 3 x2 6
найти y4(0) 2 y4(2).
9. y 1 x2 2
1
,
2x2
найти y3(2) 2 y3(22).
10. y 1
11. y 2 e 1 x cos3x, x0 2 0.
12. y 2
ln(1 1 x)
, x0 2 0.
cos x
14. y 1
x3
2 x2 3 x, x0 1 21.
3
13. y 4 tg3
1 36x 2, x 4 2.
0
15. y 1 (x 2 y)3 2 x 2 y2 , М(2;1).
16. ye y 2 ex 11, М (0;1).
3y 1 et 2 cos t,
4
17. 5
t 1 .
t 2 sin t, 0
4
x
1
e
6
2x 1 t ln t,
3
18. 4
ln t t0 1 1.
35y 1 t ,
3x 1 2(t 2 sin t),
4
19. 5
t0 1 .
2
2(1
cos
),
y
1
2
t
6
y
20. y2 1 x 2 ln , М (1;1).
x
1
21. y 3 (1 4 x3 ) 16 5 5 2 27, x0 3 1.
x 9
8
22. y 1
3
x2
2 , x0 1 0.
53x 5
23. y 1 x(1 2 x3 ), x0 1 0.
24. y 1
x
, x0 1 2.
1 2 x2
25. y 2
91 x
, x0 2 9.
13 x
27. y 1 e
ln x ,
x0 1 e.
29. y 1 (x2 2 x 2 1)(x2 3 x 2 1),
найти y4(0) 2 y4(1).
26.2y 1 1 2 xy3 , М(1;1).
x
1
28. y 2 3 tg , x0 2 .
2
2
1
3
,
2
x 2 2 x2 2 1
найти y3(0) 2 y3(1).
30. y 1
5.
КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
Комплексным числом z называют выражение z = x + iy, где x и y — дейст
вительные числа. При этом x называется действительной частью комплекс
ного числа, y — мнимой частью, i — мнимой единицей.
Комплексные числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называются равными, если
соответственно равны их действительные и мнимые части: x1 = x2, y1 = y2.
Если число z = x + iy, то число x – iy называется комплексно сопряженным
к z и обозначается z .
Комплексное число z = x + iy геометрически изо
бражается точкой с координатами x, y на плоскости
XOY (рис. 5.1).
r 1 | z | 1 x2 2 y2 — модуль комплексного числа,
j — аргумент комплексного числа z, обозначается
j = arg z, 0 £ j < 2p. Так как x = r × cos j, y = r × sin j, то
Рис. 5.1
z = x + iy = r (cosj + i sin j).
Изображение
комплексного числа
Выражение z = r (cos j + i sin j) называется триго
нометрической формой записи комплексного числа.
y
y
x
Очевидно, что cos 1 2
, sin 1 2
, tg 1 2 , x 3 0.
2
2
2
2
x
x 4y
x 4y
Выражение вида z = reij, где r — модуль, j — аргумент, eij = cos j + i sin j
называется показательной формой записи комплексного числа z.
Действия над комплексными числами.
Если z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, то
z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),
z1 × z2 = (x1 + iy1) × (x2 + iy2) = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1),
y x 2x y
z1 x1 1 iy1 (x1 1 iy1 )(x2 2 iy2 ) x1x2 1 y1 y2
3
3
3
1 i 4 1 22 12 2 .
z2 x2 1 iy2 (x2 1 iy2 )(x2 2 iy2 )
x22 1 y22
x2 1 y2
111
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Из формулы умножения следует, что i2 = –1.
Если z1 = r1(cos j1 + i sin j1), z2 = r2(cos j2 + i sin j2), то
z1 × z2 = r1 × r2(cos(j1 + j2) + i sin(j1 + j2)),
z1 r1
1 (cos(21 3 22 ) 4 i sin(21 3 22 )).
z2 r2
Пусть n — натуральное число, тогда
z1n 1 r1n (cos n2 3 i sin n2).
В частном случае получаем формулу Муавра
(cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj.
Корнем nй степени из комплексного числа z = r(cos j + i sin j) называет'
ся комплексное число w такое, что wn = z, обозначается w 1 n z.
n
1 2 23k
1 2 23k 5
4
r (cos 1 2 i sin 1) 6 n r 7 8 cos
2 i sin
9,
n
n
где k принимает значения 0, 1, 2, ..., n – 1. Получим n различных значений
корня.
ИДЗ 13.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
þ
1. Найти z, выполнив действия в показательной форме. Найти модуль
|z| комплексного числа z и значение аргумента arg z комплексного числа z.
1. z 2
4 1 4i
.
(2 1 2i)6
2. z 2
(2 1 2i)6
.
(1 1 3i)6
3. z 2
(1 1 i)6
.
(1 3 3i)5
2
1 1
3 2
i6
53 4
7
8 .
2
2
6. z 9
(32 3 2i)4
4. z 2
(1 1 3i)3
.
(1 1 i)4
5. z 2
(1 1 3i)3
.
(1 1 i)4
7. z 2
(1 1 i)4
3
( 3 1 i) 3
8. z 2
(1 1 i)5
.
( 3 1 i)3
10. z 2
(1 1 i)9
.
(1 3 i)7
11. z 2
( 3 1 i)5
.
( 3 3 i)7
12. z 2
(3 1 3i)3
.
(1 3 3i)5
13. z 2
( 3 1 i)3
.
(32 3 2i)6
14. z 2
(1 1 3i)4
.
( 3 3 i)5
15. z 2
(2 1 2i)2
.
( 3 1 i) 3
16. z 2
(4 1 4i)8
.
(2 3 2i)6
17. z 2
(2 1 2i)6
.
(1 3 3i)6
18. z 2
(1 1 i)6
.
(1 1 3i)5
9. z 2
(1 1 3i)20
.
(1 3 i)20
112
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2
þ
þ
1 1
3 2
i5
43 3
6
7 .
2
2
21. z 8
(32 9 2i)4
19. z 2
(1 1 3i)3
.
(1 3 i)4
20. z 2
(1 1 3i)3
.
(1 3 i)4
22. z 2
(1 1 i)4
.
( 3 3 i)3
23. z 2
(1 1 i)5
.
( 3 3 i) 3
24. z 2
(1 1 3i)20
.
(1 1 i)20
25. z 2
(1 1 i)9
.
(1 3 i)7
26. z 2
( 3 1 i)5
.
( 3 3 i)7
27. z 2
(3 1 3i)3
.
(1 1 3i)4
28. z 2
(i 1 3)3
.
(12 1 2i)6
29. z 3
(11 2 3i)4
.
( 3 1 i)5
30. z 2
(2 1 2i)2
.
( 3 3 i )3
2. Решить квадратное уравнение. Корни уравнения найти в алгебраи'
ческой форме.
1. z2 + 2z + 26 = 0.
2. z2 – 4iz – 13 = 0.
2
3. z + 2iz – 5 = 0.
4. 10z2 + 2z + 1 = 0.
2
5. z – 4z + 20 = 0.
6. x2 + ix + 2 = 0.
2
7. x – 8x + 17 = 0.
8. x2 + 2ix + 8 = 0.
2
9. 2x + 3ix + 2 = 0.
10. 5x2 + 2x + 1 = 0.
2
11. 2x + 6x + 5 = 0.
12. 3x2 + 5ix + 2 = 0.
2
13. x + 8ix – 7 = 0.
14. x2 + 6ix – 18 = 0.
2
15. 5x + 2ix + 3 = 0.
16. x2 – 2x + 2 = 0.
2
17. x – 2x + 17 = 0.
18. x2 – 10ix – 9 = 0.
2
19. 5x – 2ix – 1 = 0.
20. x2 + 2x + 10 = 0.
2
21. z – 4iz + 5 = 0.
22. 2x2 + ix + 1 = 0.
2
23. x – 10ix + 11 = 0.
24. 8x2 – 2ix + 1 = 0.
2
25. 2x + 2x + 1 = 0.
26. x2 – 2x + 5 = 0.
2
27. 5x + 6x + 2 = 0.
28. 2x2 – 5ix + 3 = 0.
2
29. 7x + 8ix – 1 = 0.
30. 3x2 – 2ix + 5 = 0.
3. Найти z, выполнив действия в алгебраической форме.
1. z(1 + 4i) = –1 + i.
2. z(3 – i) = 1 + 2i.
3. z(2 – i) = 3 + i.
4. z(1 – i) = –2 + i.
5. z(1 + i) = 2 – 4i.
6. z(1 + i) = –3 + 2i.
7. z(2 + i) = 1 – i.
8. z(3 + i) = –2 + i.
9. z(1 + 3i) = 1 + 2i.
10. z(2 + 3i) = 1 + i.
11. z(3 – i) = 2 + i.
12. z(1 + 4i) = –2 + i.
13. z(–1 + 2i) = 3 + i.
14. z(1 – i) = 1 – 2i.
15. (2 + 3i)z = –1 + i.
16. (3 – i)z = 1 – 2i.
17. z(3 – i) = –2 + i.
18. z(–2 + 3i) = i – 5.
19. z(1 + 4i) = –1 + 2i.
20. z(1 – i) = –2 – i.
21. z(2i – 1) = 3 – i.
22. (1 + i)z = –2 – 4i.
23. z(1 + i) = 3 + 2i.
24. z(1 + i) = 2 + 4i.
25. z(1 + i) = 3 – 2i.
26. (2 + i)z = 3 – i.
113
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
27. (2 + i)z = 1 – 2i.
29. z(3 + i) = 2 + i.
þ
28. z(3 + i) = 2 – i.
30. z(1 – 3i) = 1 + 2i.
4. Найти значение многочлена P(x) в точке x0.
1.1. P(x) = x2 – 2ix – 5, x0 = 2 – i.
1.2. P(x) = x5 + 10x3 – 20x2 + 15x – 4, x0 = –i.
2.1. P(x) = 7x3 – 9x2 + x – 6, x0 = 2 + i.
2.2. P(x) = 8x5 – 16x4 + 16x2 – 8x, x0 = i.
3.1. P(x) = x2 + 4x + 20, x0 = 1 – i.
3.2. P(x) = x5 – 10x3 – 20x2 – 15x – 4, x0 = –2i.
4.1. P(x) = 2x2 + 4x – 4, x0 = –1 – 2i.
4.2. P(x) = –10x3 + 20x2 – 15x + 30, x0 = 2i.
5.1. P(x) = x2 – 4ix – 13, x0 = 3 + 2i.
5.2. P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4, x0 = –3i.
6.1. P(x) = x3 + 3x2 – 24x – 80, x0 = 5 + i.
6.2. P(x) = x4 + 2x3 + 2x – 11, x0 = –3i.
7.1. P(x) = –x3 – 3x2 + 24x + 80, x0 = 1 – 4i.
7.2. P(x) = x6 – 6x4 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4, x0 = i.
8.1. P(x) = 2x3 – 5x2 – 4x + 12, x0 = 2 + 2i.
8.2. P(x) = x4 + 7x3 + 15x2 + 13x + 4, x0 = –i.
9.1. P(x) = x2 + 2ix – 5, x0 = 2 + i.
9.2. P(x) = x5 – 2x4 – 2x3 + 8x2 – 7x + 2, x0 = 2i.
10.1. P(x) = x2 – 8x + 12, x0 = 1 + 2i.
10.2. P(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8, x0 = –3i.
11.1. P(x) = x2 + 8ix – 7, x0 = 1 – 7i.
11.2. P(x) = x4 – 2x3 + 2x – 1, x0 = 3i.
12.1. P(x) = 5x2 – 3ix – 5, x0 = 3 – i.
12.2. P(x) = x4 + 11x3 – 45x2 – 81x + 54, x0 = 2i.
13.1. P(x) = 6x3 + 3x2 – 9x + 11, x0 = –2 – 3i.
13.2. P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4, x0 = –2i.
14.1. P(x) = 2x3 – 3x2 – 4x + 4, x0 = 1 + 2i.
14.2. P(x) = x6 + 6x4 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4, x0 = –i.
15.1. P(x) = x2 – 8x + 1, x0 = 4 – i.
15.2. P(x) = 5x3 – 6x2 – 3x + 4, x0 = 4i.
114
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
16.1. P(x) = x2 – 4ix – 13, x0 = 3 – 2i.
16.2. P(x) = x4 + 7x3 – 15x2 + 13x + 4, x0 = i.
17.1. P(x) = x3 + 3x2 – 24x – 80, x0 = 3 + i.
17.2. P(x) = x5 – 2x4 – 2x3 + 8x2 – 7x + 2, x0 = i.
18.1. P(x) = x3 + 3x2 – 24x – 80, x0 = 5 – 2i.
18.2. P(x) = x4 + 11x3 + 45x2 + 81x + 54, x0 = –i.
19.1. P(x) = 2x3 – 5x2 – 4x + 12, x0 = 2 – 3i.
19.2. P(x) = x4 – 2x3 + 2x – 1, x0 = –4i.
20.1. P(x) = x2 + 2ix – 5, x0 = 2 – i.
20.2. P(x) = x4 + 11x3 + 45x2 + 81x + 54, x0 = –2i.
21.1. P(x) = x2 – 8x + 12, x0 = 1 – 3i.
21.2. P(x) = 5x3 – 6x2 – 3x + 4, x0 = –3i.
22.1. P(x) = x2 + 8ix – 7, x0 = 2 – 7i.
22.2. P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4, x0 = 3i.
23.1. P(x) = 5x3 – 6x2 – 3x + 4, x0 = 1 – i.
23.2. P(x) = 8x5 – 16x4 + 16x2 – 8x, x0 = –i.
24.1. P(x) = 6x3 + 3x2 – 9x + 11, x0 = 3 – 2i.
24.2. P(x) = x6 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4, x0 = –i.
25.1. P(x) = 5x3 + 6x2 + 4x + 8, x0 = 2 – 2i.
25.2. P(x) = 8x5 – 16x4 + 16x2 – 8x, x0 = 2i.
26.1. P(x) = x2 – 8x + 1, x0 = 4 + 2i.
26.2. P(x) = x5 – 10x3 – 20x2 – 15x – 4, x0 = 2i.
27.1. P(x) = 8x3 – 3x2 – 6x + 1, x0 = 1 – 2i.
27.2. P(x) = –10x3 + 20x2 – 15x + 30, x0 = –3i.
28.1. P(x) = 7x3 – 9x2 + x – 6, x0 = 2 – 2i.
28.2. P(x) = 2x3 – 5x2 – 4x + 12, x0 = 2i.
29.1. P(x) = x2 + 4x + 20, x0 = 1 + i.
29.2. P(x) = x3 + 3x2 – 24x – 80, x0 = –4i.
30.1. P(x) = 2x2 + 4x – 4, x0 = 1 – 2i.
30.2. P(x) = x6 – 6x4 – 4x3 + 12x + 4, x0 = 2i.
115
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
þ
5. Найти все значения корня из комплексного числа в тригонометри!
ческой форме.
1. 5 2 1 2i.
2. 5 15 1 5i .
3. 6 3 1 i .
4. 4 1 1 3i .
5. 7 3 1 i .
6. 6 12 1 2i .
7. 5 13 2 3i .
8. 8 11 1 i .
9. 6 3i 1 1.
10. 5 1 3 1 i .
11. 6 2 1 2i .
12. 4 4 1 4i .
13. 5 14 2 4i .
14. 8 1 1 i .
15. 4 12 2 2i .
16. 8 1 1 i .
17. 6 14 1 4i .
18. 6 3 1 3i .
19. 5 11 1 3i .
20. 8 1 3 2 i .
21. 8 13 1 3i .
22. 7 1 1 3i .
23. 8 4 1 4i .
24. 7 11 2 i .
25. 5 1
28. 4
1
3
1
i.
2 2
1
3
1
i.
2 2
26. 6
1
3
1
i.
2 2
29. 6 15 2 5i .
27. 4 1
1
3
2
i.
2 2
30. 7 5 1 5i .
6.
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действитель
ных чисел (x, y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу
ставится в соответствие один и только один элемент из U, то говорят, что на
множестве D задана функция f со множеством значений U. При этом пишут
f: D ® U или u = f(x, y). Множество D называется областью определения функ
ции, а множество U, состоящее из всех чисел вида f(x, y), где (x, y) Î D, —
множеством значений функции. Значение функции u = f(x, y) в точке M(x0, y0)
называется частным значением функции и обозначается f(x0, y0) или f(M).
Аналогично определяется функция любого конечного числа независи
мых переменных u = f(x, y, z, ..., t).
Частной производной от функции u = f(x, y) по независимой перемен
ной x называется конечный предел
f (x 3 1x, y) 4 f (x, y) 5u
7
7 f 6 (x, y),
1x 2 0
1x
5x x
lim
вычисленный при постоянном y.
Частной производной по переменной y называется конечный предел
f (x, y 3 1y) 4 f (x, y) 5u
7
7 f 6 (x, y),
1y
5y y
вычисленный при постоянном x.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы
дифференцирования.
Полным приращением функции u = f(x, y) в точке M(x, y) называется раз
ность Du = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y), где Dx и Dy — произвольные прираще
ния аргументов.
Функция u = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x, y), если в
этой точке полное приращение функции можно представить в виде
lim
1y 20
Du = ADx + BDy + o(r),
6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
117
где A, B не зависят от Dx, Dy и 1 2 (3x)2 4 (3y)2 , т. е. последнее слагаемое
является бесконечно малой величиной относительно (1x)2 2 (1y)2 .
Полным дифференциалом функции u = f(x, y) называется главная часть
полного приращения Du, линейная относительно приращения аргументов
Dx и Dy, т. е. du = A Dx + B Dy. Полный дифференциал функции u = f(x, y)
вычисляется по формуле
1u
1u
du 2
dx 3 dy.
1x
1y
Если z = f(x, y), где x = j(u, v), y = y(u, v), и функции j, y дифференци3
руемы, то
1z 1f 1x 1f 1y
2
3
,
1u 1x 1u 1y 1u
1z 1f 1x 1f 1y
2
3
.
1v 1x 1v 1y 1v
Частными производными второго порядка от функции u = f(x, y) назы3
ваются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначаются частные производные второго порядка следующим образом:
1 2
1 2
32u 3 3u
3 2u
3 4 3u 5
,
6
6
7 8,
2
3 x 3x 3x 3x 3y 3x 9 3y
3 2u
3 3u 32u 3 4 3u 5
,
.
6
6
3y 3x 3y 3x 3 2 y 3y 79 3y 8
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третье3
го и высших порядков.
Производной функции u = f(x, y) в точке M(x, y) в направлении вектора
11111112
l 1 MM1 называется предел
f ( M1 ) 3 f ( M )
4u
5u
6 lim
6 lim
,
210 2
4l | MM1 | 1 0
| MM1 |
где 1 2 (3x)2 4 (3y)2 . Если функция f(x, y) дифференцируема, то производ3
ная в данном направлении вычисляется по формуле
1u 1u
1u
2
cos 3 4
sin 3,
1l 1x
1y
где a — угол, образованный вектором l с положительным направлением оси Ox.
Градиентом функции u = f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с на3
чалом в точке M, имеющий своими координатами частные производные
функции u:
1u 1u 3
grad u 4 25 ,
6.
1
7 x 1y 8
118
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Градиент функции определяет величину и направление скорости наи(
большего роста функции в данной точке.
Частные производные неявной функции двух переменных z = f(x, y), за(
данной с помощью уравнения F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) — дифференцируе(
мая функция переменных x, y и z, могут быть вычислены по формулам
1F / 1x 1z
1F / 1y
1z
1F
,
, если
23
23
4 0.
1x
1F / 1z 1y
1F / 1z
1z
Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 и в точке M(x0, y0, z0)
частные производные 1F , 1F , 1F конечны и не обращаются в ноль одновре(
1x 1y 1z
менно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M запи(
сывается в виде
1 33Fx 2
M
1 2
3F 5
3F
(x 6 x0 ) 7 49
(y 6 y0 ) 7
3y M
3z
M
(z 6 z0 ) 8 0,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке — в виде
x 3 x0
y 3 y0
z 3 z0
4
4
.
5F
5F
6 5F 7
5x M 8 5y 9 M
5z M
1 2
1 2
Функция z = f(x, y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0, y0), если
существует окрестность точки M 0 такая, что для любой другой точки
M(x, y) из этой окрестности выполняется f(x0, y0) > f(x, y) (соответственно
f(x0, y0) < f(x, y)). Максимум или минимум функции называется экстре
мумом функции, а точка M0, в которой функция имеет экстремум, называ(
ется точкой экстремума.
Если дифференцируемая функция z = f(x, y) достигает экстремума в точ(
ке M0(x0, y0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны
нулю, т. е. 1f (x0 , y0 ) 2 0, 1f (x0 , y0 ) 2 0 (необходимое условие экстремума).
1x
1y
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю,
называются стационарными точками.
Пусть M0(x0, y0) — стационарная точка функции z = f(x, y). Обозначим
A2
1 2 f (x0 , y0 )
1 2 f (x0 , y0 )
1 2 f (x0 , y0 )
, B2
, C2
2
1x 1y
1x
1y2
и рассмотрим определитель
A B
2 AC 3 B2. Тогда:
B C
1) если D > 0, то функция имеет в точке M0 экстремум, а именно, макси(
мум при A < 0 (или C < 0) и минимум при A > 0 (или C > 0);
2) если D < 0, то в точке M0 функция не имеет экстремума;
3) если D = 0, то требуется дальнейшее исследование.
12
119
6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в
замкнутой области, необходимо:
1) найти стационарные точки функции, расположенные в данной облас4
ти, и вычислить значения функции в этих точках;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, обра4
зующих границу области;
3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
ИДЗ 14.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
þ
1. Найти fx1 ( M0 ), fy1 ( M0 ), fz1( M0 ).
1. f (x, y, z) 1 arctg(xy2 2 z);
M0 (2;1;0).
2. f (x, y, z) 1
1 x2
2
4 z 6;
3. f (x, y, z) 3 arcsin 5
y
7
8
M0 (2;5;0).
4. f (x, y, z) 2
M0 (1;0;1).
7. f (x, y, z) 3 ln cos(x2 y2 4 z);
5
M0 0;0; .
4
9. f (x, y, z) 1 27 3 x 2 y2 2 z3 ;
M0 (3;4;2).
1
;
x2 2 y2 3 z2
M0 (1;2;2).
1
13. f (x, y, z) 3 ln sin x 4 2y 5
M0 (1; 0,5; 6).
15. f (x, y, z) 3 1 3 z2 4 y 2 ;
xy
M0 (0,25; 4; 1).
17. f (x, y, z) 2
M0 (5;2;3).
ln(x 1 y2 )
x2 1 z2
8. f (x, y, z) 3 (sin x) yz ;
4
M0 ;1;2 .
6
z
10. f (x, y, z) 1
;
2
x 2 y2
M0 (0; 3 1;1).
y
12. f (x, y, z) 1
;
2
x 2 z2
M0 (31;1;0).
1
2
11. f (x, y, z) 1
1z
;
x 2 3 y2
M0 ( 2, 2, 2).
y 2
1
6. f (x, y, z) 3 ln 5 x 4 6;
2z 8
7
M0 (1;2;1).
5. f (x, y, z) 1 ln(x3 2 2y3 3 z3 );
M0 (2;1;0).
1
x
;
2 z2
y2
2
z
;
4
2
y
14. f (x, y, z) 1 z sin ;
x
M0 (2;0;4).
16. f (x, y, z) 1 arctg
xz
;
y2
M0 (2;1;1).
;
18. f (x, y, z) 1 z 2 x y ;
M0 (1;2;4).
120
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
19. f (x, y, z) 1 ln(x3 2 3 y 3 z);
M0 (2;1;8).
21. f (x, y, z) 1 8 5 x3 2 y2 2 z;
M0 (3;2;1).
23. f (x, y, z) 3 z 4 e
M0 (0;0;1).
2
( x2 1 y2 )
2
;
25. f (x, y, z) 1 ln( 5 x 2 4 y 3 z);
M0 (1;1;1).
27. f (x, y, z) 1 z ln( x 2 y );
M0 (4;1;4).
29. f (x, y, z) 1 arcsin(x y ) 2 yz2 ;
M0 (0;4;1).
þ
2. Найти du при t = t0.
dt
1. u 2 ex 12y, x 2 sin t, y 2 t3, t0 2 0.
2. u 2 e y 12x, x 2 sin t, y 2 t3, t0 2 0.
3
3. u 4 e y 12x 22, x 4 sin t, y 4 cos t, t0 4 .
2
2
4. u 3 e y 12x 11, x 3 cos t, y 3 sin t, t0 3 .
2
1
5. u 2 x2 e y, x 2 sin t, y 2 cos t, t0 2 .
2
6. u 1 y2 e x, x 1 sin t, y 1 cos t, t0 1 2.
7. u 1 x y, x 1 et, y 1 ln t, t0 1 1.
t
8. u 1 yx, x 1 ln(t 2 1), y 1 e 2, t0 1 2.
9. u 1 ln(e x 2 e y ), x 1 t2, y 1 t3, t0 1 1.
10. u 2 ln(e 1 x 3 e y ), x 2 t2, y 2 t3, t0 2 11.
11. u 1 ln(e2x 2 e y ), x 1 t2, y 1 t4, t0 1 1.
12. u 2 ln(ex 3 e 1 y ), x 2 t2, y 2 t3, t0 2 11.
z
;
x 4 2 y2
M0 (2;3;25).
sin(x 3 y)
22. f (x, y, z) 4
;
z
5 5
M0 ; ; 3 .
2 3
12x
24. f (x, y, z) 2
;
y2 3 z2
M0 (3;0;1).
xz
26. f (x, y, z) 1
;
x2y
M0 (3;1;1).
y z x
28. f (x, y, z) 1 2 3 ;
x y z
M0 (1;1;2).
20. f (x, y, z) 1
1
2
30. f (x, y, z) 2 ze 1 xy ;
M0 (11;0;1).
6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
13. u 2 ln(e 1 x 3 e 12y ), x 2 t2, y 2
t3
, t 2 1.
3 0
x
14. u 1 arcsin , x 1 sin t, y 1 cos t, t0 1 2.
y
15. u 1 arcsin
x2
, x 1 sin t, y 1 cos t, t0 1 2.
y
x
16. u 1 arcsin , x 1 t2, y 1 t2 2 1, t0 1 1.
y
17. u 1 arcsin
2x
, x 1 sin t, y 1 cos t, t0 1 2.
y
18. u 1 arcsin
x
, x 1 sin t, y 1 cos t, t0 1 2.
2y
19. u 1 arccos
2x
, x 1 sin t, y 1 cos t, t0 1 2.
y
20. u 2 arccos
x
1
, x 2 sin t, y 2 cos t, t0 2 .
2y
3
21. u 1 x 2 y 2 3, x 1 ln t, y 1 t2, t0 1 1.
22. u 1 x2 2 y 2 3, x 1 ln t, y 1 t2, t0 1 1.
23. u 1 x 2 y2 2 3, x 1 ln t, y 1 t2, t0 1 1.
24. u 1 x2 2 y2 2 3, x 1 ln t, y 1 t3, t0 1 1.
y
25. u 1 , x 1 et, y 1 1 2 e2t, t0 1 0.
x
x
26. u 1 , x 1 et, y 1 2 2 e2t, t0 1 0.
y
27. u 1
x2
, x 1 1 2 2t, y 1 arctg t, t0 1 0.
y 31
28. u 1
3x
, x 1 e2t, y 1 arctg t, t0 1 0.
y2 2 1
29. u 2
y x
1
3 , x 2 sin t, y 2 cos t, t0 2 .
x y
4
30. u 2 3
y x
1
4 , x 2 sin2t, y 2 tg2t, t0 2 .
x y
4
121
122
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3. Найти 1z и 1z в точке M0.
1x 1y
1. z2 = xy – z + x2 – 4, M0(2; 1; 1).
2. x2 – y2 – z2 + 6z + 2x – 4y + 12 = 0, M0(0; 1; –1).
3. x3 + 3xyz – z3 = 27, M0(3; 1; 3).
4. x2 – 2xy – 3y2 + 6x – 2y + z2 – 8z + 20 = 0, M0(0; –2; 2).
5. x2 + y2 + z2 + 2xy – yz – 4x – 3y – z = 0, M0(1; –1; 1).
6. x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz – 2yz = 17, M0(–2; –1; 2).
7. x2 1 y2 1 z2 2 3z 3 3, M0 (4;3;1).
8. ln z = 2y + z + ln 3 – 6 + x, M0(1; 1; 3).
9. x2 + 2y2 + 3z2 = 59, M0(3; 1; 4).
10. x2 + y2 – z2 = y + z + 3, M0(1; 2; 0).
11. x2 + y2 – z2 – xy = 0, M0(–1; 0; 1).
12. 2x2 + 2y2 + z2 – 8xz – z + 6 = 0, M0(2; 1; 1).
3
3
13. x cos y 4 y cos z 4 z cos x 5 , M0 0; ; 3 .
2
2
14. x3 + 2y3 + z3 – 3xyz – 2y – 15 = 0, M0(1; –1; 2).
15. x2 – 2y2 + 3z2 – yz + y = 2, M0(1; 1; 1).
16. 3x2y2 + 2z2xy – 2zx3 + 4zy3 – 4 = 0, M0(2; 1; 2).
17. xz = 3x – 2y + z, M0(2; 1; –1).
1
1
2
2
3
3 33 3
18.cos2 x 4 cos2 y 4 cos2 z 5 , M0 ;
; .
2
4 4 4
19. ez – xyz – x + 1 = 0, M0(2; 1; 0).
20. x2 – 2y2 + z2 – 4x + 2z + 2 = 0, M0(1; 1; 1).
21. x2 + y2 + z2 – z – 4 = 0, M0(1; 1; –1).
1
2
22. ez–1 = cos x × cos y + ex – z, M0 0; 3 ; 1 .
2
2
2
2
23. x + y + z + 2xz = 5, M0(0; 2; 1).
24. x3 + y3 + z3 – 3xyz = 4, M0(2; 1; 1).
25. ez + x + 2y + z = 4, M0(1; 1; 0).
26. xyz = x + y + z + 2, M0(2; –1; –1).
27. x2 + y2 + z2 – 2zx = 2, M0(0; 1; –1).
y
28. 1 z3 2 yz 2 2y 3 3x, M0 (1;0; 3 1).
x
29. x2 + y2 + z2 – 6x = 0, M0(1; 2; 1).
30. z3 + 3xyz + 3y = 7, M0(1; 1; 1).
þ
4. Проверить, удовлетворяет ли функция u(x, y) заданному уравнению.
y
1 2u
1 2u
1 2u
1. u 2 , x2 2 3 2xy
3 y2 2 2 0.
x
1x 1y
1x
1y
2. u 2 y
y
1 2u
1 2u
, x2 2 3 y2 2 2 0.
x
1x
1y
6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3. u 2 x y, y
4. u 2
1 2u
1u
2 (1 3 y ln x) .
1x 1y
1x
xy
1u
1u
, x
3y
2 2u.
x3y
1x
1y
5. u 2
1
1 2 u 1 2u 1 2 u
,
3 2 3 2 2 0.
2
1y
1z
x2 3 y2 3 z2 1x
6. u 2 e xy , x2
1 2u
1 2u
3 y2 2 2 0.
2
1x
1y
7. u 2 sin2 (x 3 2y), 4
1 2u 1 2 u
.
2
1x2 1y2
8. u 2 ln(x2 3 ( y 3 1)2 ),
1 2u 1 2u
3
2 0.
1x2 1y2
9. u 2 (x 3 y)(y 3 z)(z 3 x),
10. u 4 e 1 cos(x 23y) , 9
11. u 3
3 2 u 3 2u
.
4
3x2 3y2
x2 1 y2 2u 2u x 1 y
,
1
3
.
x4y
2x 2y x 4 y
12. u 2 ln
13. u 3
1u 1u 1u
4
4
2 0.
1x 1y 1z
x
1u
1u
3 x3 4 y3, x
3y
2 3(x3 4 y3 ).
y
1x
1y
2x 1 3y
2u
2u
1 y 1 u 3 0.
, x
2x
2y
x 2 1 y2
y
1u
1u
14. u 2 x ln , x
3y
2 u.
x
1x
1y
x
1u
1u
15. u 2 (x2 3 y2 )tg , x
3y
2 2u.
y
1x
1y
16. u 2 ln(x2 3 y2 3 2x 3 1),
17. u 2
1 2u 1 2u
3
2 0.
1x2 1y2
y
1 1u 1 1u u
,
3
2 .
(x2 4 y2 )5 x 1x y 1y y2
x
1u
1u
18. u 2 arctg , x
3y
2 0.
y
1x
1y
19. u 2 ln(x2 3 y2 ), y
1u
1u
4x
2 0.
1x
1y
123
124
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
x1y
2 2u
3 0.
,
1 4 xy 2x 2y
3 2u 3 2 u
21. u 4 e 1( x 23y) 5 sin(x 2 3y), 9 2 2 2 4 0.
3x
3y
20. u 3 arctg
y 1 2u 1 2u
22. u 2 arctg ,
3
2 0.
x 1x2 1y2
1 33xu 2 7 48 33uy 59 7 1 33uz 2 6 1.
2
23. u 6 x2 7 y2 7 z2 ,
24. u 2 2xy 3 y2 ,
25. u 2 arcsin
1u 1u 2y
3
2 .
1x 1y u
1 2u
1 2u
1 2u
3 2xy
4 y2 2 4 2xyu 2 0.
2
1x 1y
1x
1y
y2
1u
1u
3 arcsin(xy), x2
4 xy 3 y2 2 0.
3x
1x
1y
28. u 2 arccos
y
1u
1u
x
3 xy, x
4y
2 2xy.
1x
1y
y
29. u 2 xe x , x2
2
1 2u
1 2u
2 1 u 2 0.
xy
y
3
3
2
1x 1y
1x2
1y2
30. u 3 ln(x 4 e 1 y ),
þ
2
x
1u
1u
, x
3y
2 0.
x3y
1x
1y
26. u 2 e xy , x2
27. u 2
2
2u 2 2u 2u 2 2u
5
1
5
3 0.
2x 2x 2y 2y 2x2
5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно'
сти в точке M0.
1. x2 + y2 + z2 + 6z – 4x = 12, M0(2; 1; –1).
2. x2 + y2 + z2 + 6y + 4x = 12, M0(2; 1; –1).
3. x2 + y2 + z2 – 6z + 4y = 16, M0(2; 1; –1).
4. x2 + y2 + z2 – 6y + 4x = 12, M0(2; 1; –1).
5. x2 + y2 + z2 – 6y + 4z + 4 = 0, M0(2; 1; –1).
6. z2 + x2 – 4y2 = 4, M0(–2; 1; 2).
7. x2 + z2 – 5y = 0, M0(1; 2; –3).
8. x2 + y2 – xz – yz = 0, M0(0; 2; 2).
9. x = y2 + 2zy – z2 + y – 2z, M0(1; 1; 1).
10. y = z2 + 2xz – x2 + x – 2, M0(1; 1; 1).
11. z = y2 – 2xy + x2 – y + 2x + 6, M0(1; 1; 1).
12. z = y2 + 2xy – x2 + y – 2x, M0(1; 1; 1).
125
6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
13. z = x2 – 2xy – y2 + x – 2y + 4, M0(1; 1; 1).
14. z = x2 – 2xy + y2 – x + 2y, M0(1; 1; 1).
15. 27 – 2y = x2 + z2, M0(3; 1; 4).
16. 2y = x2 – z2, M0(3; 1; 4).
17. 2x = z2 – y2, M0(3; 1; 4).
18. y2 = x2 + z2, M0(3; 1; 4).
19. x2 = z2 + y2, M0(3; 1; 4).
20. z2 = x2 + y2, M0(3; 1; 4).
21. 2z = x2 + y2, M0(3; 1; 4).
22. 2z = x2 – y2, M0(3; 1; 4).
23. x2 – 2y2 + 3z2 = 2, M0(–1; –1; –1).
24. x2 + 2y2 – 3z2 = 0, M0(1; –1; 1).
25. 2x2 + y2 + 3z2 = 6, M0(1; –1; 1).
26. x2 + 2y2 + 3z2 = 6, M0(1; –1; 1).
27. z = x2 – 2y2 + 4, M0(–1; 1; 3).
28. x2 + z2 – 2yz – x – y + 3 = 0, M0(1; –1; 1).
29. z = 2x2 – y2 + 2, M0(–1; 1; 3).
30. z = 2x2 + y2, M0(1; 1; 3).
ИДЗ 15.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
þ
1. Найти экстремумы функции z(x, y).
1. z = (x – 1)2 + 2y2.
2. z = x2 + xy + y2 + x – y + 1.
2
2
3. z = 2xy – 2x – 4y .
4. z = x2 + y2 – xy + x + y.
5. z = xy(6 – x – y).
6. z 1 x y 2 x2 2 y 3 6x 3 3.
7. z 1 y x 2 y2 2 x 3 6y.
8. z 1 y x 2 2y2 2 x 3 14y.
9. z = 2xy – 4x – 2y.
10. z = 2xy – 3x2 – 2y2 + 10.
11. z = xy – x2 – y2 + 9.
12. z = x2 + xy + y2 – 2x – y.
2
2
13. z = 3xy – x – y + 11.
14. z = 2xy – 5x2 – 3y2 + 2.
15. z = (x – 1)2 – 2y2.
16. z = 1 + 6x – x2 – xy – y2.
3
3
17. z = x + y – 3xy.
18. z = 2x3 + 2y3 – 6xy + 5.
19. z = (x – 2)2 + 2y2 – 10.
20. z = x2 + xy + y2 – 6x – 9y.
21. z = xy × (12 – x – y).
22. z = 4(x – y) – x2 – y2.
23. z = (x – 5)2 + y2 + 1.
24. z = 3x3 + 3y3 – 9xy + 10.
3
3
25. z = x + 8y – 6xy + 5.
26. z = 6(x – y) – 3x2 – 3y2.
27. z = 3x2 + 3y2 + 5xy + 4x + 7y + 5.
28. z = 1 + 15x – 2x2 – xy – 2y2.
29. z = x2 – xy + y2 + 9x – 6y + 20.
30. z = x3 + y2 – 6xy – 39x + 18y + 20.
126
þ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x, y) в замк+
нутой области D.
1. z = 2xy – 4x + 8y; (D): 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 2.
2. z = xy – x – 2y; (D): x = 3, y = x, y = 0.
3. z = 3x + y – xy; (D): y = x, y = 4, x = 0.
4. z = 5x2 – 3xy + y2; (D): 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1.
5. z = x2 + 2xy – y2 – 4x; (D): x = 3, y = x + 1, y = 0.
6. z = x2 + y2 – 2x – 2y + 8; (D): x ³ 0, y ³ 0, x + y £ 1.
7. z = 2x3 – xy2 + y2; (D): 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 6.
8. z = 3x + 6y – x2 – xy – y2; (D): 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1.
9. z = x2 – 2y2 + 4xy – 6x – 1; (D): x = 0, y = 0, x + y = 3.
10. z = x2 + 2xy – 10; (D): y = x2 – 4, y = 0.
11. z = xy – 2x – y; (D): 0 £ x £ 3, 0 £ y £ 4.
12. z = 0,5x2 – xy; (D): y ³ 2x2, y £ 8.
13. z = 3x2 + 3y2 – 2x – 2y + 2; (D): x = 0, y = 0, x + y = 1.
14. z = 2x2 + 3y2 + 1; (D): y ³ 0, 9x2 + 4y2 = 36.
15. z = x2 – 2xy – y2 + 4x + 1; (D): x + y = –1, x = –3, y = 0.
16. z = 3x2 + 3y2 – x – y + 1; (D): x £ 5, y ³ 0, y £ x – 1.
17. z = 2x2 + 2xy – 0,5y2 – 4x; (D): y = 2x, y = 2, x = 0.
18. z = x2 – 2xy + 2,5y2 – 2x; (D): 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2.
19. z = xy – 3x – 2y; (D): 0 £ x £ 4, 0 £ y £ 4.
20. z = x2 + xy – 2; (D): y = 0, y = 4x2 – 4.
21. z = x2y(4 – x – y); (D): x = 0, y = 0, x + y = 6.
22. z = x3 + y3 – 3xy; (D): 0 £ x £ 2, –1 £ y £ 2.
23. z = 4(x – y) – x2 – y2; (D): x + 2y = 4, x – 2y = 4, x = 0.
24. z = 2 – x2 + 2xy + y2 – 4x; (D): y = x + 1, y = 4, x = –1.
25. z = 6xy – 9x2 – 9y2 + 4x + 4y; (D): 0 £ x £ 1, 1 £ y £ 2.
26. z = x2 + 2xy – y2 – 2x + 2y; (D): y = x + 2, y = 0, x = 2.
27. z = 4 – 2x2 – y2; (D): x = 0, y = 0, x + y = 6.
28. z = 5x2 – 3xy + y2 + 4; (D): –1 £ x £ 1, –1 £ y £ 1.
29. z = x2 + 2xy + 4x – y2; (D): x = 0, y = 0, x + y + 2 = 0.
30. z = 2x2y – x3y – x2y2; (D): x = 0, y = 0, x + y = 6.
7.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Если F(x) — первообразная для функции f(x), то любая другая первообразная
для f(x) может быть записана в виде F(x) + C, где C — некоторое число.
Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале (a, b) назы
вается неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обо
значается 1 f (x)dx, т. е. 3 f (x)dx 1 F (x) 2 C, где C — произвольная константа.
Простейшие свойства неопределенного интеграла:
1
2
3
1. 5 f (x) dx 4 f (x).
2. d
1 4 f (x) dx2 3 f (x) dx.
3. 3 d( F (x)) 1 F (x) 2 C.
4. 3 (f (x) 1 g (x)) dx 2 3 f (x) dx 1 3 g (x) dx.
5. 4 k 1 f (x) dx 2 k 1 4 f (x) dx, если k 2 const, k 3 0.
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов.
1. 6 x 1 dx 3
2. 4
x 121
2 C, 1 4 51.
1 21
dx
1 ln| x | 2 C, x 3 0.
x
3. 5 a x dx 1
ax
2 C, a 3 0, a 4 1.
ln a
4. 3 ex dx 1 ex 2 C.
5. 4 sin x dx 1 2 cos x 3 C.
128
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6. 3 cos x dx 1 sin x 2 C.
7. 7
dx
1 2 ctg x 3 C, x 4 5n, n 6 Z.
sin2 x
8. 6
dx
1
2 tg x 3 C, x 4 3 1n, n 5 Z.
2
cos2 x
dx
x
x
1 arcsin 2 C 1 3 arccos 2 C, a 4 0.
2
|a|
|a|
3x
9. 5
a2
10. 5
dx
1
x
1
x
1 arctg 2 C 1 3 arcctg 2 C, a 4 0.
a
a
a
x2 2 a2 a
11. 5
dx
1
x1a
2
ln
3 C, a 4 0, | x | 4 | a |.
x3a
x2 1 a2 2a
dx
1 ln| x 2 x2 2 a | 2 C, a 3 0, x2 2 a 4 0.
x2 2 a
Пусть x = j(t), где j(t) — строго монотонная и непрерывно дифференци+
руемая функция на некотором промежутке. Если на соответствующем про+
межутке изменения x функция f(x) интегрируема, то
12. 5
5 f (x) dx 2 5 f (3(t)) 4 31(t)dt.
Эта формула называется формулой замены переменных в неопределен+
ном интеграле.
Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы, то имеет место
равенство
3 udv 1 uv 2 3 vdu,
которое называется формулой интегрирования по частям.
Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется
дробь вида P(x) , где P(x) и Q(x) — многочлены. Рациональная дробь назы+
Q ( x)
вается правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена
Q(x), в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби
следующего вида:
A
1)
;
x1a
A
2)
, где m — целое число и m > 1;
( x 1 a) m
2
p
Ax 1 B
, где 4 1 q 2 0, т. е. квадратный трехчлен в знаменателе не
1 px 1 q
имеет действительных корней;
3)
x2
129
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ax 1 B
, где n — целое число, n > 1 и квадратный трехчлен не
1 px 1 q)n
имеет действительных корней.
4)
(x2
Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a — действитель'
ные числа.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов:
A
1)
4 x 2 a dx 1 A ln| x 2 a | 3 C;
2)
5 (x 1 a)m 2 1 m 1 1 3 (x 1 a)m11 4 C;
3)
4 x2 1 px 1 q 2
Adx
dx
A
1
2x 1 p
2
arctg
1 C.
2
4q 3 p
4q 3 p 2
Ap 3
2x 1 p
2
Ax 1 B
A
dx
dx 4
dx 1 6 B 5
.
7
8
2 x2 1 px 1 q
2 9 x2 1 px 1 q
x2 1 px 1 q
В первом интеграле числитель является производной знаменателя, по'
2x 1 p
этому 3 2
dx 2 ln(x2 1 px 1 q) 1 C.
x 1 px 1 q
Тогда
Перед интегрированием рациональной дроби необходимо сделать следую'
щие алгебраические преобразования и вычисления:
1) если исходная дробь неправильная, то выделить из нее целую часть,
т. е. представить в виде
P(x)
P ( x)
1 M (x) 2 1 ,
Q(x)
Q(x)
P1 (x)
— правильная рациональная дробь;
Q(x)
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
где M(x) — многочлен, а
Q(x) = (x – a)m × ... × (x2 + px + q)n × ... ,
где
p2
1 q 2 0, т. е. трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней;
4
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
A
P1 (x)
A1
A2
2
3
3 ... 3 m 3 ... 3
Q(x) (x 1 a)m (x 1 a)m 11
x1a
B x 3 Cn
B x 3 C1
B x 3 C2
3 2 1
3 2 2
3 ... 3 2 n
3 ...;
1
n
n
1
(x 3 px 3 q)
(x 3 px 3 q)
x 3 px 3 q
130
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4) вычислить неопределенные коэффициенты A1, A2, ..., Bn, Cn, ..., для
чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять ко6
эффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях получен6
ного тождества и решить систему линейных уравнений относительно иско6
мых коэффициентов.
Интеграл от дифференциального бинома
2 xm (a 1 bxn ) p dx,
где m, n, p — рациональные числа, может быть приведен к интегрированию
рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебыше6
ва):
1) p — целое число; тогда данный интеграл сводится к интегралу от ра6
циональной функции с помощью подстановки x = ts, где s — наименьшее
общее кратное знаменателей дробей m и n;
m 11
— целое число; в этом случае данный интеграл вычисляется с
n
помощью подстановки a + bxn = ts, где s — знаменатель дроби p;
2)
m 11
1 p — целое число, в этом случае данный интеграл рационализи6
n
руется с помощью подстановки ax–n + b = ts, где s — знаменатель дроби p.
Во всех остальных случаях данный интеграл через элементарные функ6
ции не выражается.
3)
Интегралы вида
3 R(x,
a2 1 x2 ) dx, 3 R (x, a2 2 x2 ) dx, 3 R (x, x2 1 a2 ) dx,
где R — рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных
относительно sin t и cos t функций с помощью надлежащей тригонометриче6
ской подстановки: для первого интеграла x = a sin t, для второго — x = a tg t,
для третьего — x = a sec t.
Интегралы вида 1 R (sin x, cos x) dx, где R — рациональная функция, при6
водятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой
универсальной тригонометрической подстановки tg
x
1 t. В результате этой
2
подстановки имеем
x
x
1 1 tg2
2t
2
2 2 1 1 t2 ,
sin x 2
, cos x 2
2
2
x
x
13 t
1 3 t2
1 3 tg2
1 3 tg2
2
2
2dt
.
x 2 2arctg t, dx 2
1 3 t2
2tg
При вычислении интегралов вида 1 sinm x cosn x dx выделяют два важных
случая:
131
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. По крайней мере один из показателей m или n — нечетное положи
тельное число. В этом случае, если n — нечетное положительное число, то
применяют подстановку sin x = t; если же m — нечетное положительное чис
ло, то подстановку cos x = t.
2. Оба показателя степени m и n — четные положительные числа. В этом
случае необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью
формул
1
1
1
sin x 1 cos x 2 sin2x, sin2 x 2 (1 3 cos2x), cos2 x 2 (1 4 cos2x).
2
2
2
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разделим отрезок [a, b]
на n произвольных частей точками a0 = x0 < x1 < x2 < ... < xn–1 < xn = b, выбе
рем на каждом элементарном отрезке [xk–1, xk] произвольную точку yk и най
дем длину каждого такого отрезка Dxk = xk – xk–1. Интегральной суммой для
функции f(x) на отрезке [a, b] называется сумма вида
n
S 1 4 f (yk ) 2 3xk ,
k 11
причем эта сумма имеет конечный предел I, если для каждого e > 0 найдется
такое число d > 0, что при max Dxk < d неравенство |S – I| < e выполняется при
любом выборе чисел yk.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] (или в пре
делах от a до b) называется предел интегральной суммы при условии, что
длина наибольшего из элементарных отрезков (max Dxk) стремится к нулю:
b
I 3 5 f (x) dx 3
a
n
4 f (yk )1xk .
max 1x 20
lim
k
k 31
Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы
существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные
отрезки и от выбора точек yk (теорема существования определенного инте
грала).
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования.
b
Если f(x) > 0 на [a, b], то определенный интеграл 1 f (x) dx геометрически
a
представляет собой площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограни
ченной линиями y = f(x), x = a, x = b, y = 0.
Основные свойства определенного интеграла.
b
a
1. 3 f (x) dx 1 2 3 f (x) dx.
a
a
b
2. 2 f (x) dx 1 0.
a
b
c
b
3. 3 f (x) dx 1 3 f (x) dx 2 3 f (x) dx.
a
a
c
132
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
b
b
b
4. 3 (f1 (x) 1 f2 (x)) dx 2 3 f1 (x) dx 1 3 f2 (x) dx.
a
b
a
a
b
5. 2 cf (x) dx 1 c 2 f (x) dx, где c — постоянная.
a
a
Правила вычисления определенного интеграла.
1. Формула Ньютона–Лейбница:
b
3 f (x) dx 1 F(x) a 1 F(b) 2 F(a),
b
a
где F(x) — первообразная для f(x), т. е. F¢(x) = f(x) для всех x из [a, b].
2. Интегрирование по частям:
b
b
3 udv 1 uv a 2 3 vdu,
b
a
a
где u = u(x), v = v(x) — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке
[a, b].
3. Замена переменных:
b
1
a
2
6 f (x) dx 4 6 f (5(t)) 53(t) dt,
где x = j(t) — функция, непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b],
a = j(a), b = j(b), f(j(t)) — функция, непрерывная на [a, b].
Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечными
пределами интегрирования или интегралы от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +¥ определя8
ется равенством
12
b
a
a
f (x) dx.
5 f (x) dx 4 blim
3 12 5
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл на8
зывается сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Аналогично,
b
b
f (x) dx
6 f (x) dx 5 alim
3 42 6
42
a
и
12
b
42
b 3 12 a
f (x) dx.
6 f (x) dx 5 alim
3 42 6
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке c отрезка [a, b] и
непрерывна при a £ x < c и c < x £ b, то по определению полагают
b
7 f (x) dx 6 lim
a
2 30
c 12
7
a
b
f (x) dx 5 lim
430
7 f (x) dx.
c 54
133
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
b
В этом случае несобственный интеграл 1 f (x) dx называется сходящимся,
a
если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся,
если не существует хотя бы один из них.
Приближенное вычисление определенного интеграла. Разобьем отрезок
[a, b] точками x0 = a, x1, ..., xn = b (x0 < x1 < ... < xn) на n равных частей и
обозначим соответственно через y1, ..., yn значения функции f(x) в точках
деления. Применяя на каждом интервале формулу площади трапеции, по5
лучим приближенную формулу
b
b1a
[y 3 yn 3 2(y1 3 y2 3 ... 3 yn 11 )],
2n 0
a
называемую формулой трапеции.
Разобьем отрезок [a, b] точками x0 = a, x1, ..., x2n = b, x0 < x1 < ... < x2n на
2n равных частей и обозначим через y0, y1, ..., y2n значения функции f(x) в
точках деления. Применяя на каждом интервале формулу площади парабо5
лы, получим приближенную формулу
4 f (x) dx 2
b
4 f (x) dx 2
a
b1a
[y 3 y2n 3 4(y1 3 y3 3 ... 3 y2n 11 ) 3 2(y2 3 y4 3 ... 3 y2n 12 )],
6n 0
называемую формулой Симпсона или формулой парабол.
ИДЗ 16.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
þ
В первом пункте каждого варианта найти интеграл, применяя форму5
лы 1, 2 из таблицы основных неопределенных интегралов.
В пунктах 2–5, 9–14 найти интегралы, применяя замену переменной.
В пунктах 6–8 найти интегралы, применяя формулы 9–12 из таблицы
основных неопределенных интегралов.
В пункте 15 найти интеграл, раскладывая его на сумму двух интегра5
лов и сделав замену переменной в одном из них.
3
3 1 x2
dx.
x
7dx
1.3. 2
.
7x 1 2
1.2. 2 1 1 x dx.
1.5. 2 e918x dx.
1.6. 2
1.1. 2
1.7. 2
1.9. 1
dx
.
9x2 1 3
8 dx
.
x ln7 x
1.4. 2 sin(2 1 3x) dx.
dx
.
9x2 1 3
1.8. 2
dx
.
2 1 3x2
1.10. 1
cos3xdx
.
sin3x
134
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1.11. 2 e6x
2 11
xdx.
dx
1.13. 2
arccos3 6x
1.15. 3
3x 1 21
dx.
3x2 2 7
1 1 36x2
.
1.12. 2
xdx
.
1 1 x4
1.14. 1
tg x
dx.
cos2 x
2.1. 2
2x2 1 3 x
dx.
2x
2.2. 2 3 1 1 x dx.
2.3. 2
dx
.
7x 1 2
2.4. 2 sin(3 1 2x) dx.
2.5. 2
9dx
.
e7 1 9x
2.6. 2
dx
.
2x2 1 1
2.7. 2
2.9. 1
7dx
.
x ln8 x
dx
.
2x2 1 1
dx
.
3 1 2x2
2.8. 2
2.10. 1 sin3x cos3x dx.
2.11. 2
xdx
.
2
e3 x 1 4
2.12. 2
xdx
.
4 1 x4
2.13. 2
arccos3 6x
dx.
1 1 36x2
2.14. 1
tg2x
dx.
cos2 2x
2.15. 2
x14
dx.
7x2 1 3
3.1. 2
3 x 13
dx.
2x2
3.2. 2
7dx
.
2x 1 7
3.3. 2 3 (1 1 x)2 dx.
3.4. 2 cos(2 1 3x) dx.
3.5. 2 e7 1 9x dx.
3.6. 2
3.7. 2
3.9. 2
2 dx
2x2
13
.
11 1 8 ln3 5x
dx.
x
3 dx
.
x2 1 3
3.8. 2
dx
.
2 1 5x2
3.10. 1
sin3xdx
.
cos3x
135
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.11. 2 e3x
2 14
3.13. 2
arccos8 2xdx
3.15. 2
5 1 2x
dx.
5x2 1 1
1 1 4x 2
xdx
.
1 1 4x 4
tg2x
dx.
3.14. 1
cos2 2x
3.12. 2
xdx.
.
4.1. 2
2 x 1x
dx.
3
x
4.2. 2
4.3. 2
dx
.
2x 1 7
4.4. 2 cos(3 1 2x) dx.
4.5. 2 e7 19x dx.
3 dx
4.7. 2
4.9. 1
3x2
19
.
ln6 5xdx
.
5x
4.11. 2 e115x xdx.
2
4.13. 3
4.15. 2
dx
.
6
(arccos 2x) 1 1 2 4x2
7dx
.
7 1 2x
5.9. 1
dx
.
3x2 1 9
4.8. 2
2 dx
5 1 2x2
.
4.10. 1 cos3x sin3x dx.
4.12. 2
4.14. 1
xdx
.
4 1 x4
3
tg x
dx.
cos2 x
8 dx
8x2 1 3
3 dx
.
x ln5 x
5.2. 2 (1 1 x)3 dx.
5.4. 2 sin(4 1 3x) dx.
5.6. 2
5.5. 2 e9x 17 dx.
5.7. 2
4.6. 2
1 1 2x
dx.
5x2 1 1
14x
2
5.1. 8 4 2 3 2x 5 dx.
6x
7
5.3. 2
dx
.
11 x
.
5.8. 2
dx
.
8x2 1 3
dx
.
2 1 7x2
5.10. 1 3 sin2 x cos x dx.
136
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
5.11. 1 e5x xdx.
2
5.13. 2
arctg3 6xdx
.
1 1 36x2
5.15. 3
2x 1 1
dx.
x2 2 9
5.12. 2
2xdx
.
1 1 4x 4
dx
5.14. 1
tg3 2x cos2 2x
6.1. 2
2x7 1 x
dx.
x
6.2. 2
6.3. 2
3 dx
.
7 1 3x
6.4. 2 sin(3 1 4x) dx.
6.5. 2 e8 19x dx.
dx
.
8x 2 1 3
6.7. 2
6.9. 1
dx
.
x ln4 3x
6.6. 2
dx
.
(1 1 x)3
dx
.
8x 2 1 3
6.8. 2
e arcsin x
dx
.
1 1 x2
6.12. 2
6.13. 3
dx
.
6
(arctg 2x) 1 (1 2 4x2 )
6.14. 1
xdx
1 1 x4
.
tg2 x
dx.
cos2 x
3
2x 1 1
dx.
5 1 2x2
1
24 x 2
7.1. 8 4 3 x 3
5 dx.
x 7
6
7.3. 2
dx
.
7 1 2x2
6.10. 1 3 cos2 x sin x dx.
6.11. 2
6.15. 2
.
2 dx
.
2 1 3x
7.5. 2 7e917 x dx.
7.2. 2 (1 1 4x)7 dx.
7.4. 2 sin(3 1 4x) dx.
9xdx
7.6. 2
3 1 9x2
dx
.
7x2 1 5
7.7. 2
dx
.
2x2 1 9
7.8. 2
7.9. 2
ln4 (3x 1 1)
dx.
3x 1 1
7.10. 3 3 sin2
.
1 x3 2 cos1 x3 2dx.
137
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
7.11. 2
7.13. 3
7.15. 2
e arcsin x
dx.
1 1 x2
dx
.
(arctg5 2x) 1 (1 2 4x2 )
7.12. 2
7.14. 1
xdx
.
1 1 x4
dx
.
5 tg 2 x cos2 x
x 11
dx.
5 1 x2
8.1. 2
23 x 1 x7
dx.
x
8.2. 2 (1 1 4x)6 dx.
8.3. 2
3 dx
.
1 1 6x
8.4. 2 sin(4 1 3x) dx.
8.5. 2 e917 x dx.
3 dx
8.7. 2
8.9. 2
3x2
18
8.6. 2
8.11. 2 e312x x2dx.
3
8.15. 3
dx
.
arctg6 3x (1 1 9x2 )
(2x 1 3) dx
1 2 3x2
dx
.
2 1 9x2
8.8. 2
.
dx
.
(x 1 1) 7 ln3 (x 1 1)
8.13. 2
dx
.
3x2 1 8
8.10. 3 cos3
1 x2 2 sin 1 x2 2dx.
xdx
8.12. 2
x4 1 1
.
dx
.
cos2 x
8.14. 1
tg3 x
.
3x2 1 6 x
dx.
x
dx
9.3. 2
.
1 1 6x
9.2. 2 (1 1 3x)4 dx.
9.5. 2 7e917 x dx.
9.6. 2
dx
.
3x2 1 8
9.8. 2
9.1. 2
9.7. 2
9.9. 2
ln7 (x 1 1)
dx.
x 11
9.4. 2 cos(4 1 3x) dx.
dx
.
3x2 1 8
9.10. 2
dx
.
9 1 2x2
cos(2x 1 3) dx
3
sin2 (2x 1 3)
.
138
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
9.11. 2
1 2x3 13 2
e
x dx.
2
9.12. 2
9.13. 3
dx
.
(1 1 9x2 ) 2 arctg 8 3x
9.14. 2
x3dx
.
3
1 1 x4
dx
.
tg x 1 cos2 x
9.15. 2
2x 1 3
dx.
3x2 1 1
10.1. 2
2x3 1 6 x
dx.
x2
10.2. 2 1 1 3x dx.
10.3. 2
dx
.
6 1 5x
10.4. 2 cos(3 1 4x) dx.
10.5. 2 e7 x 19dx.
dx
.
8 1 3x2
10.7. 2
10.9. 3
dx
.
ln2 (x 1 1)
(x 1 1) 2 5
10.6. 2
dx
.
8 1 3x2
10.8. 2
dx
.
2x2 1 9
10.10. 2
sin(2x 1 3)dx
3
cos2 (2x 1 3)
2xdx
10.11. 2
1 2x3 11 2
e
x dx.
6
10.12. 2
1 1 4x4
10.13. 2
arctg6 3xdx
.
1 1 9x2
10.14. 1
ctg xdx
.
sin2 x
10.15. 2
x 13
dx.
x2 1 1
11.1. 2
6
x5 1 5x2
dx.
x
.
11.2. 3 x3 1 5 5 2 x4 dx.
11.3. 2
dx
.
6 1 3x
11.4. 2 cos(3 1 4x) dx.
11.5. 2
dx
.
e7 x 12
11.6. 2
dx
.
7x2 1 3
11.7. 2
dx
.
7x2 1 3
11.8. 2
dx
.
3 1 4x2
11.9. 3
(x 1 1) 2 7
dx
.
ln2 (x 1 1)
.
11.10. 2
sin(3x 1 2) dx
3
cos4 (3x 1 2)
.
139
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11.11. 1
cos xdx
.
e3sin x
11.12. 2
11.13. 3
dx
.
(1 1 x2 ) 2 arctg x
11.14. 2
11.15. 2
1 1 2x
dx.
5x2 1 1
1
12.1. 8 14 x x 3 5 25 dx.
x7
6
12.3. 2
3dx
.
5 1 3x
12.5. 2
e6 17 x
12.7. 2
dx
.
7x2 1 3
12.9. 2
dx
7
12.11. 2
12.13. 2
12.15. 2
5
4
tg3 x 1 1
dx.
cos2 x
dx
.
5 1 4x
12.4. 2 cos(3x 1 4) dx.
3 dx
12.6. 2
7 x2 1 3
12.8. 2
dx
.
4 1 3x2
ln2 (x 1 1)
dx.
x 11
12.10. 1
cos3xdx
dx
.
etg x 1 cos2 x
12.12. 2
x5dx
.
8 1 x6
.
arctg3 3x
dx.
1 1 9x2
12.14. 2
3
.
sin4 3x
.
tg x 1 1
dx.
cos2 x
1 1 2x
dx.
5x2 1 1
1
36 x 2
13.1. 8 4 x2 3
5 dx.
x 7
6
13.3. 2
12.2. 2
x2dx
.
8 1 x6
dx
.
3 1 5x
3
dx
.
(3 1 4x)5
13.4. 2 sin(3x 1 5) dx.
13.6. 2
13.5. 2 e617 x dx.
7 dx
13.2. 2
13.7. 2
3 1 7 x2
13.9. 2
ln5 (x 1 1)
dx.
x 11
.
13.8. 2
dx
.
3 1 7 x2
dx
.
3x2 1 4
13.10. 2 3 cos4 3x 1 sin3x dx.
140
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
13.11. 2
e ctg x
dx
.
1 sin2 x
13.12. 2
x2dx
.
8 1 x6
13.13. 2
dx
.
(arctg x)(1 1 x2 )
13.14. 2
tg 4 2x 1 2
dx.
cos2 2x
13.15. 3
x 11
dx.
7 x2 2 3
2
14.1. 2
x 3 1 25 x
dx.
x
14.3. 2
3
dx
.
(3 1 4x)2
14.5. 2 e7 x 16 dx.
14.2. 2
dx
.
5 1 3x
14.4. 2 sin(5 1 3x) dx.
14.6. 2
21 dx
.
3x2 1 7
dx
.
3x2 1 7
14.8. 2
ln2 (x 1 1)
dx.
x 11
14.10. 2
14.11. 1
dx
.
etg3x cos2 3x
14.12. 2
3
14.13. 2
arccos7 x
14.14. 2
tg3 2x 1 2
dx.
cos2 2x
14.15. 3
3x 1 1
dx.
3x2 2 7
15.2. 2
dx
.
3 1 4x
14.7. 2
14.9. 2
5
1 1 x2
dx.
13x 4 2
15.1. 8 4
3 x 5 dx.
6 x
7
dx
.
3 1 5x2
3
cos(3x 1 2) dx
3
sin7 (3x 1 2)
xdx
4 1 x2
.
15.3. 2
dx
.
5 1 3x
15.4. 2 sin(3x 1 5) dx.
15.5. 2
dx
.
e2x 11
15.6. 2
15.7. 2
15.9. 2
dx
.
7 1 3x2
dx
.
(x 1 1) 3 ln2 (x 1 1)
.
dx
.
3x2 1 7
15.8. 2
15.10. 2
dx
.
5 1 3x2
sin(4x 1 1)
4
cos3 (4x 1 1)
dx.
141
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
15.11. 2
xdx
.
2
e x 13
15.12. 2
4
15.13. 2
arccos3x
dx.
1 1 9x2
15.14. 2
1 1 tg3 x
dx.
cos2 x
15.15. 2
x 11
dx.
3 1 7x2
xdx
(3 1 x2 )5
.
3
16.1. 2
x 2 1 35 x
dx.
x
16.2. 2 3 3 1 4x dx.
16.3. 2
3 dx
.
3x 1 5
16.4. 2 cos(3x 1 5) dx.
16.5. 2 e2x 13dx.
dx
.
7 1 3x2
16.7. 2
16.9. 2
16.6. 2
16.8. 2
dx
.
(x 1 1) ln2 (x 1 1)
16.11. 2
x2dx
.
3
e x 13
16.13. 2
arcsin3xdx
16.15. 2
3 1 2x
dx.
x2 1 7
1 1 9x2
21 dx
.
7 1 3x2
.
17.1. 2 (2x3 1 33 x2 )dx.
16.10. 2
dx
.
3x2 1 5
cos(4x 1 1)
4
sin3 (4x 1 1)
xdx
16.12. 2
5
16.14. 1
sin2 2x
(3 1 x2 )4
.
dx
.
ctg3 2x
17.2. 2 4 1 1 3x dx.
17.3. 2
dx
.
4 1 7x
17.4. 2 cos(3x 1 5) dx.
17.5. 2
dx
.
e x 15
17.6. 2
dx
.
3x2 1 5
17.7. 2
dx
.
3x2 1 5
17.8. 2
dx
.
1 1 5x2
17.9. 2
3
ln(3x 1 1)
dx.
3x 1 1
dx.
17.10. 1 4 cos3 4x sin4x dx.
142
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
17.13. 2
x4 dx
.
5
e5 x 1 3
arcsin2 3x
dx.
1 1 9x2
17.15. 2
61x
dx.
3x2 1 1
17.11. 2
17.12. 2
17.14. 1
xdx
.
5x2 1 3
dx
.
ctg x sin2 x
18.1. 2
2x3 1 53 x2
dx.
x
18.2. 2 3 1 1 4x dx.
18.3. 2
4 dx
.
3 1 4x
18.4. 2 cos(5x 1 3) dx.
18.5. 2
dx
.
e5 1 x
18.6. 2
dx
.
3x2 1 5
18.7. 2
dx
.
3x2 1 5
18.8. 2
dx
.
5 1 6x2
18.9. 2
ln(2x 1 1)
dx.
2x 1 1
18.10. 1 4 sin3 4x cos4x dx.
18.11. 2
e arctg x
dx.
1 1 x2
18.12. 2
18.13. 2
arcsin2 5x
dx.
1 1 25x2
18.14. 1
18.15. 2
5 1 2x
dx.
3x2 1 1
xdx
.
x2 1 3
dx
ctg3 3x sin2 3x
19.1. 2
3x2 1 2 x3
dx.
x
19.2. 2
19.3. 2
dx
.
4 1 3x
19.4. 2 cos(5 1 3x) dx.
4
dx
.
(3 1 x)5
15 dx
.
5 1 3x2
19.5. 2 7e7 x 15dx.
19.6. 2
dx
.
5 1 3x2
19.8. 2
dx
.
5 1 6x2
19.10. 1
sin4xdx
19.7. 2
19.9. 2
ln3 (1 1 x)
dx.
x 11
5
cos3 4x
.
.
143
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
19.11. 2
e arctg2x
dx.
1 1 4x2
dx
.
arcsin5x 1 1 25x2
19.13. 2
19.15. 3
19.12. 3 x 1 3 1 2 x2 dx.
19.14. 1
dx
.
sin2 x
ctg2 x
5
5 1 2x
dx.
7 x2 2 3
20.1. 2
2x3 1 3 3 x2
dx.
x2
20.2. 2 (3 1 x)5 dx.
20.3. 2
dx
.
3 1 4x
20.4. 2 sin(3x 1 7) dx.
20.5. 2 e517 x dx.
dx
.
3 1 5x2
20.7. 2
20.9. 3
20.6. 2
dx
.
(1 1 x) 2 3 ln2 (1 1 x)
20.11. 2
dx
.
earctg x (1 1 x2 )
20.13. 3
dx
.
2
1 1 9x 2 (arccos2 3x)
20.15. 3
2x 1 1
dx.
x2 2 9
21.1. 4
1x
21.3. 2
dx
.
4 1 3x
5
2
3
2
x2
dx.
2
21.5. 2 e6x 12dx.
21.7. 2
21.9. 2
dx
.
5x2 1 3
dx
.
(1 1 x) ln3 (1 1 x)
dx
.
5x2 1 3
20.8. 2
dx
.
1 1 5x2
20.10. 1
cos4x dx
5
sin3 4x
.
20.12. 2 x x2 1 1 dx.
20.14. 1
ctg2 x
dx.
sin2 x
3
21.2. 2 (1 1 3x)5 dx.
21.4. 2 cos(3x 1 7) dx.
21.6. 2
21.8. 2
dx
.
5x2 1 3
dx
.
6 1 7 x2
21.10. 1 5 cos3 4x sin4x dx.
144
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
21.11. 1 e x x2dx.
21.12. 2
3
21.13. 2
arccos5 2x dx
21.15. 2
x 12
dx.
x2 1 9
22.1. 2
x 1 2x3
dx.
x2
22.3. 2
1 1 4x 2
.
22.2. 2 3 1 1 3x dx.
dx
.
3x 1 4
22.4. 2 sin(7x 1 3) dx.
22.5. 2 e 1517 x dx.
22.9. 2
3 11
arccos3 2x dx
22.15. 2
x 13
dx.
1 1 x2
23.3. 2
5
1 1 4x2
22.12. 2
.
x 1 2x2
dx.
x2
dx
.
2x 1 3
23.5. 2 e517 x dx.
23.7. 2
23.9. 2
dx
.
7 1 6x2
22.10. 1 5 sin3 4x cos4x dx.
x2dx.
22.13. 2
dx
.
5x2 1 3
22.8. 2
ln2 (1 1 x)
dx.
x 11
22.11. 2 e2x
23.1. 2
22.6. 2
dx
.
5x2 1 3
22.7. 2
21.14. 1
x3dx
.
(x4 1 1)3
3 ctg x
dx.
sin2 x
dx
.
5x2 1 7
dx
.
(2x 1 1) 3 ln2 (2x 1 1)
x3dx
.
(1 1 2x4 )3
22.14. 1
ctg3x
dx.
sin2 3x
23.2. 2
dx
.
(5 1 4x)3
4
23.4. 2 cos(7x 1 3) dx.
23.6. 2
35 dx
.
5x2 1 7
23.8. 2
dx
.
7 1 8x2
23.10. 2
sin x dx
.
1 1 3cos x
145
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
23.11. 1
23.13. 2
23.15. 2
sin x
dx.
e3cos x
3
arctg x
dx.
1 1 x2
6x5
dx.
1 1 8x 6
23.12. 2
23.14. 2
3
tg3x 1 3
dx.
cos2 3x
2x 1 1
dx.
5 1 2x2
x
24.1. 8 14 7 x 3 2 5 25 dx.
x7
6
24.2. 2 5 (5 1 4x)3 dx.
dx
.
3x 1 2
24.4. 2 sin(7 1 3x) dx.
24.3. 2
24.5. 2 e5x 17 dx.
dx
.
5 1 7x2
24.7. 2
24.9. 2
dx
.
(2x 1 1) ln(2x 1 1)
24.11. 1 e2sin2x cos2x dx.
24.13. 2
24.15. 2
arctg x
dx.
1 1 x2
dx
.
2 1 3x
25.9. 2
24.8. 2
dx
.
8 1 x2
sin x dx
.
1 1 3cos x
24.10. 2
24.12. 2
24.14. 2
6x5dx
.
1 1 8x 6
3
ctg3x 1 3
dx.
sin2 3x
25.2. 2 4 4 1 5x dx.
25.4. 2 cos(3x 1 7) dx.
25.5. 2 e5x 17 dx.
25.7. 2
7 dx
.
7x2 1 5
x 11
dx.
5 1 x2
2x
25.1. 8 14 5 x 3 7 25 dx.
x7
6
25.3. 2
24.6. 2
dx
.
7 1 5x2
dx
.
ln(2x 1 1)
(2x 1 1) 3
25.6. 2
7 dx
.
7 1 5x2
25.8. 2
dx
.
x2 1 8
25.10. 2
5
sin x dx
.
1 1 2cos x
146
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
25.11. 1 ecos2x sin2x dx.
25.13. 2
arctg3 x
dx.
1 1 x2
25.15. 3
2x 1 3
dx.
1 2 3x2
1 27 x 5 x 2
26.1. 8 4
3 2 5 dx.
x 7
6 x
26.3. 2
dx
.
2 1 3x
26.5. 2 e7 x 15dx.
dx
.
5x2 1 7
26.7. 2
26.9. 2
2 3 ln2 (2x 1 1)
dx.
2x 1 1
26.11. 2 e31 x x dx.
2
26.13. 2
arctg x
dx.
1 1 x2
26.15. 2
2x 1 3
dx.
3x2 1 1
5
1 x
x2
27.1. 8 4 7 3
5 dx.
x
2
x
6
7
27.3. 2
dx
.
1 1 3x
27.5. 2 e217 x dx.
25.14. 2
x3dx
.
4 1 x8
ctg3x 1 3
dx.
sin2 3x
26.2. 2
dx
.
4 1 5x
25.12. 2
4
26.4. 2 sin(3x 1 7) dx.
26.6. 2
dx
.
5x2 1 7
26.8. 2
dx
.
1 1 5x2
26.10. 2
cos x dx
.
1 1 3sin x
26.12. 2
2x3dx
.
4 1 x8
26.14. 2
27.2. 2
4
ctg5 2x 1 1
dx.
sin2 2x
dx
.
4 1 5x
27.4. 2 cos(7 1 3x) dx.
27.6. 2
5 dx
.
7 x2 1 5
7 dx
27.7. 2
dx
.
1 1 7 x2
27.8. 2
9 1 7 x2
27.9. 2
ln3 (2 1 x)
dx.
21x
27.10. 2
cos x dx
.
(1 1 3sin x)2
.
147
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2
dx
27.13. 3
arcsin3 x 1
27.15. 2
x13
dx.
x2 1 1
1 2 x2
1 2x2
x5 2
28.1. 8 4 7 3
dx.
x 57
6 x
28.3. 2
dx
.
3 1 3x
28.9. 2
27.14. 2
7 dx
.
5 1 7x2
dx
.
7 x2 1 9
28.8. 2
dx
.
(2 1 x)ln2 (2 1 x)
28.10. 2
x dx.
28.12. 2
28.13. 2
1 1 arcsin x
dx.
1 1 x2
28.14. 2
28.15. 2
x 13
dx.
1 1 x2
2 15
1 x2
x
29.1. 8 4 7
3
2
x5
6 x
29.3. 2
2
5 dx.
7
dx
.
3x 1 9
29.9. 2
3
5
cos x dx
.
1 1 3sin x
3x dx
5x2 1 1
.
3ctg2 2x 1 1
dx.
sin2 2x
29.2. 2 4 (4 1 5x)3 dx.
29.4. 2 3cos(7 1 3x) dx.
29.6. 2
35 dx
.
7x2 1 11
dx
.
7x2 1 11
29.8. 2
dx
.
9 1 7 x2
ln(x 1 2)
dx.
21x
29.10. 2
29.5. 2 e7 12x dx.
29.7. 2
3 1 3ctg2x
dx.
sin2 2x
28.2. 2 4 4 1 5x dx.
28.6. 2
dx
.
5 1 7 x2
28.11. 2 e 1 x
.
28.4. 2 7sin(7x 1 3) dx.
28.5. 2 e7 12x dx.
28.7. 2
x3dx
.
4 1 x8
27.12. 2
27.11. 2 e31 x x dx.
5
sin2x dx
.
1 1 3cos2x
148
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
29.11. 1 e3tg x
dx
.
cos2 x
29.13. 2
arcsin2 x
dx.
1 1 x2
29.15. 2
3x 1 1
dx.
1 1 x2
1 5x
x2
30.1. 8 4 7
3
x5
6 x2
30.3. 2
2
5 dx.
7
dx
.
31x
x dx
29.12. 2
4x2 1 5
.
29.14. 2
ctg3 2x 1 2
dx.
sin2 2x
30.2. 2
dx
.
(4 1 5x)3
4
30.4. 2 3sin(3x 1 7) dx.
30.5. 2 e2x 17 dx.
30.6. 2
5 dx
.
5x2 1 1
30.7. 2
dx
.
1 1 5x2
30.8. 2
30.9. 2
ln(x 1 2)
dx.
x 12
30.10. 2
5
dx
.
sin2 x
30.12. 2
4
30.14. 2
ctg3 2x 1 1
dx.
sin2 2x
30.11. 1 e5ctg x
30.13. 2
arcsin2 4x
dx.
1 1 16x2
30.15. 3
3x 1 2
dx.
x2 2 9
dx
.
7 1 9x2
cos x dx
(1 1 3sin x)2
x dx
(4x2 1 5)3
.
.
ИДЗ 17.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
þ
Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.
1.1. 1 d cos2x.
1.3. 2
cos x
dx.
1 1 sin x
1.5. 1 e x cos ex dx.
1.2. 2
sin x
dx.
(cos x 1 2)3
1.4. 3 xe 1 x
1.6. 2
2 25
dx.
dx
.
x 1 sin2 ln x
149
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.7. 2
3x
dx.
1 1 32x
2.1. 1 de3x .
2.3. 2
3x2
dx.
5 1 x3
2.5. 2 x cos(x2 1 1) dx.
cos x
dx.
1 1 sin2 x
2.7. 2
x
3.1. 1 d ctg .
7
3.3. 3
3x2 1 4x 2 5
dx.
1 2x2 2 5x 1 3
x3
dx
.
x 14
1.8. 2
2.2. 2 (sin x 1 3)3 cos x dx.
2.4. 1 e sin x cos x dx.
2.6. 2
2.8. 3
dx
.
x 1 cos2 ln x
(3x2 1 5) dx
5
x3 1 5x 2 7
3.2. 2 sin x 1 cos(cos x) dx.
3.4. 2 5x 1 3x2 dx.
3
3.5. 2 2x sin(x2 1 8) dx.
3.6. 1
2x dx
.
cos2 2x
e x dx
.
e2 x 1 4
3.8. 2
cos x dx
.
sin2 x 1 9
3.7. 2
4.1. 2 d ln(x2 1 5).
4.3. 1
4.5. 1
4.7. 2
4.2. 2
5
15 1 ln x
dx.
x
sin x
dx.
cos2 x
4.4. 2 3sin x 1 cos x dx.
1
cos x dx.
x
4.6. 2
7
dx
.
x(ln2 x 1 16)
5.1. 1 d 4 x .
5.3. 3
.
3x2 1 2x 2 2
dx.
x3 1 x2 2 2x
4x3dx
.
sin2 (x4 1 5)
x dx
4.8. 2
5.2. 1
x4 1 5
3
.
sin x
dx.
cos2 x
5.4. 1 8cos x sin x dx.
150
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
5.5. 2 (2x 1 3)cos(x2 1 3x 1 5) dx.
5.7. 2
7
x4 dx
.
1 1 x5
4x3
dx.
6 1 x4
cos x dx
4 1 sin2 x
1
dx.
1 1 x2
.
sin x
dx.
5 1 cos x
x3dx
.
4 1 x8
8.1. 1 d ln3x.
8.3. 2
3x2 1 6
dx.
x3 1 6x
8.5. 1 sin(tg x)
8.7. 2
ex
e2 x 1 5
5x dx
.
cos2 5x
6.8. 2
e2 x
e x dx
.
1 36
3
4 1 ln x
dx.
x
7.4. 2 e cos
2x
7.6. 1
1 sin2x dx.
x dx
5
x
.
dx
.
x2 1 4x 2 4
7.8. 3
5
8.2. 2
( 1 1 ln x )5
dx.
x
8.4. 2
2arctg x
dx.
1 1 x2
1
dx.
cos2 x
8.6. 1 5x4 cos x5 dx.
dx.
8.8. 3
9.1. 2 de 1 x .
2
9.3. 2
6.6. 1
7.2. 2
7.5. 2 cos x 1 sin(sin x) dx.
7.7. 2
.
1
6.4. 2 4ln x 1 dx.
x
7.1. 1 d sin5x.
7.3. 2
x
x 2 2)
e3x dx
.
25 1 e3x
6.2. 2 sin6 x 1 cos x dx.
6.5. 2 cos(arctg x)
6.7. 2
1 sin2 (
5.8. 2
6.1. 1 d cos5x.
6.3. 2
dx
5.6. 3
2x
dx.
1 1 x2
9.2. 2
e x 15dx
.
2 5)
cos2 (e x 15
cos x
dx.
3 1 sin x
9.4. 3 ex
2 1 4x 13
2 (2x 1 4) dx.
151
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
9.5. 1 3x sin3x dx.
9.7. 2
x2dx
.
1 1 x6
10.1. 1 d tg x .
10.3. 2
4x3
dx.
x4 1 9
10.5. 1 3x2 cos x3dx.
10.7. 2
e x dx
.
e2 x 1 4
11.1. 1 d 32x .
5x
dx.
1 15
9.6. 1
9.8. 2
e x dx
.
cos2 e x
sin x dx
.
cos2 x 1 4
10.2. 2 (ctg x 1 4)3
1
dx.
sin2 x
10.4. 2 e6x 1 12x dx.
2
10.6. 2
3arcsin x dx
.
1 1 x2
10.8. 4 (8x 1 5) 2 4 4x2 1 5x 3 1 dx.
11.2. 2
6x5
dx.
7 1 x6
11.3. 2
5x
11.4. 3 x 2 2x
11.5. 1
sin x dx
.
x
11.6. 1
e ctg x dx
.
sin2 x
11.7. 2
2x
dx.
7 1 x4
11.8. 2
e x dx
.
4 1 e2 x
12.2. 3
2x 1 1
dx.
1 1 x 2 x2
12.1. 2 de
12.3. 1
1
x
2.
ex
dx.
sin2 e x
12.5. 3 4x3 1 5 2 2 x4 dx.
12.7. 2
1
dx.
2
cos x 9 1 tg2 x
13.1. 1 d cos x .
2 13
dx.
12.4. 2
e arcsin x
dx.
1 1 x2
12.6. 1
7ctg x dx
.
sin2 x
12.8. 2
e x dx
.
8 1 e2 x
13.2. 2 x(3x2 1 5)17 dx.
152
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6ln x
dx.
x
sin x
13.5. 2
dx.
cos2 x 1 16
13.3. 1
13.7. 2
dx
.
x 4 1 ln2 x
14.1. 1 decos x .
14.3. 2
3x2 1 2
dx.
8 3
x 1 2x 1 7
14.5. 3 5arctg2x 1
14.7. 2
1
dx.
1 2 4x 2
e2 x
dx.
15
e2 x
x7
dx.
16
15.7. 2
1
dx.
sin2 x
dx
.
x(1 1 ln2 x)
x
16.1. 1 d tg .
5
16.3. 3
3x2 1 4x 2 5
dx.
x3 1 2x2 2 5x 1 3
16.5. 1 9x cos 9x dx.
16.7. 2
sin(4 1 x ) dx
.
x
14.2. 2
sin x
dx.
(4 1 3cos x)2
14.4. 2 xe
1
x2
6 dx.
14.6. 1
x6 dx
.
sin2 x7
14.8. 3
dx
.
x 1 ln2 x 2 36
1
15.4. 2 3ln x 1 dx.
x
x8
15.5. 1 sin(ctg x)
13.8. 2
15.2. 2 sin x 1 5 cos6 x dx.
15.1. 2 de 1 arcctg x .
15.3. 2
13.6. 2
e tg x
dx.
cos2 x
dx
.
2
(x 1 1) sin2 (arctg x)
13.4. 1
cos x dx
.
4 1 sin2 x
15.6. 2
15.8. 2
16.2. 2
dx
x cos2 (ln x 1 1)
cos x dx
sin2 x 1 16
.
.
(2ln x 1 3)10
dx.
x
16.4. 1 e5ln x
dx
.
x
16.6. 2
4arccos x dx
.
1 1 x2
16.8. 2
e2x dx
.
16 1 e4x
153
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
17.1. 2 d 3x 1 sin x .
1
17.3. 2 e x2 1
17.5. 3
dx
.
x3
dx
.
x 1 25 2 ln2 x
17.2. 3 3x2 1 4 x3 2 5 dx.
17.4. 1
sin x dx
.
cos2 (cos x)
17.6. 2 sin ln x 1
dx
.
x
6x dx
.
16 1 6x
17.7. 3 3sin x 1cos x (sin x 2 cos x) dx.
17.8. 2
18.1. 2 d cos 3 x 1 1.
18.2. 1 sin7 x cos x dx.
18.3. 2
3x2
dx.
10 1 x3
18.5. 2 421ln x
18.7. 2
sin2 x
dx
.
x
dx
.
1 1 ctg2 x
19.1. 2 d tg(12x 1 x3 ).
19.3. 2
sin2x
dx.
13 1 sin2 x
19.5. 2 x2 sin(x3 1 8) dx.
19.7. 2
dx
.
x(ln2 x 1 36)
5
20.1. 1 d tg 3 x.
20.3. 3
6x 1 7
dx.
1 7x 2 5
3x2
20.5. 2 e5x 10,8 cos(e5x 10,8 ) dx.
20.7. 2
2x dx
.
25 1 4x
5
4 1 2x
dx.
4x 1 x2 2 5
18.4. 3
18.6. 2
e3x 11dx
.
sin2 e3x 11
18.8. 2
dx
.
x(49 1 ln2 x)
19.2. 3
5
3x2 1 5
dx.
x3 1 5x 2 7
19.4. 3 2cos( x 11) 2 sin(x 1 1) dx.
19.6. 2
4x3 1 3x2
dx.
sin2 (x4 1 x3 )
19.8. 2
dx
.
16 1 (x 1 3)2
20.2. 2 (2 1 cos x)3 sin x dx.
20.4. 2 3sin4x 1 cos4x dx.
20.6. 2
sin(5ln x 1 5) dx
.
x
20.8. 2
(2x 1 8x7 ) dx
.
cos2 (x2 1 x8 )
154
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
21.1. 4 d
21.3. 3
1
x 3 sin
2
3
.
x
21.2. 2
1
dx
1
.
(6 2 ctg x) sin2 x
21.4. 3 e x
2 1 x 1 0,6
21.5. 1 x6 sin x7 dx.
21.7. 3 102tg x 15 2
22.1. 1 d arccos
22.3. 8 5
dx
.
cos2 x
5
.
9x
1 3
4x 1
5 dx.
2 x7
6
2 1 8 x 21
2 (2x 1 1) dx.
21.6. 2
dx
.
4 1 (x 1 10)2
21.8. 2
e x dx
.
2e x 1 32
22.2. 1 sin2x 7 cos3 2x dx.
x 1 ln x 2 1
22.5. 3 e3x
6tg5 (2x 1 0,3) dx
.
cos2 (2x 1 0,3)
(6x 1 8) dx.
1
dx
1
.
4 2 tg x cos2 x
22.4. 3
8
22.6. 2
(6x5 1 5) dx
.
sin2 (x6 1 5x)
x4 dx
22.7. 3
dx
.
14 2 (x 1 1)2
22.8. 2
23.1. 3 d
x
.
2
12
23.2. 2 10arcsin12x
7x6dx
.
x7 1 8
23.4. 1 cos(ctg x)
23.3. 2
5
23.5. 2 e2sin x 1
23.7. 2
2x (2cos x 1
2) dx.
x2 dx
.
cos2 (x3 1 3)
1
3
2
24.1. 3 d 7x 4 .
x
2 1 1 1 3 dx.
48
5
x7
6
dx
24.5. 2
.
25 1 (x 1 5)2
24.3. 8 8 8
12 x
23.6. 2
25 1 x10
x dx
49 1 x4
.
dx
.
1 1 144x2
dx
.
sin2 x
.
dx
.
(5ln x 1 3)2
23.8. 2
x7
24.2. 2
x5dx
.
x6 1 8
24.4. 2 (ex 1 2)cos(ex 1 2x) dx.
24.6. 3
dx
.
2x 1 4 2 sin2 2x 1 4
155
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
24.7. 3 e
1
1
x
2
24.8. 2
dx
.
x2
25.1. 1 d sin ln x.
25.3. 2
25.5. 2
25.7. 2
25.2. 2 cos3 (x 1 e3 ) sin(x 1 e3 ) dx.
(4x 1 5) dx
.
2x2 1 5x 1 11
25.4. 9 e
ctg x 1 2
dx.
sin2 x
25.6. 3
dx
.
4 1 (x 2 3)2
25.8. 2
4x3dx
.
x8 1 9
26.2. 1
cos x dx
5
7x dx
1 1 49x
.
26.1. 2 d ctg x 1 0,3.
26.3. 2
dx
.
tg x 1 3
cos2 x 3
7tg x 1 5
dx.
cos2 x
x 1 tg x
5
1
1 3
4 25
1
dx.
2x 6
cos
2
x
7
8
sin3 x
.
26.4. 1 e sin3x cos3x dx.
26.6. 3
x3 dx
.
cos2 (x4 1 2)
e8x dx
.
8 1 e8 x
26.8. 3
ctg2 x 2 25
27.1. 2 de12x 14 .
27.2. 4
26.5. 3 cos(arctg x) 1
26.7. 2
27.3. 2
dx
.
1 2 x2
e3x dx
.
ln10 1 e3x
27.5. 1 sin5x 5 cos5x dx.
27.7. 2
dx
.
(x 1 4)(ln2 (x 1 4) 1 4)
28.1. 2 de
28.3. 2
3 x 19
.
x4 dx
.
8 1 x5
1
1
dx
.
sin2 x
(tg(x 1 0,52) 3 3)5 dx
.
cos2 (x 1 0,52)
27.4. 2 12x 1 x8 dx.
9
27.6. 2
(6x2 1 3) dx
.
cos2 (2x3 1 3x 1 1)
27.8. 3
1
dx
1
.
sin2 ( x 2 5) x
28.2. 2
(ln x 1 8)10 dx
.
x
1
1 3
28.4. 9 e ctg x 1ln x 25 4
dx.
2 6
7 x sin x 8
156
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
28.5. 3 2
28.7. 3
5x 110
2
dx
.
5x 1 10
dx
(x 1 3)(ln2 (x 1 3) 2 64)
28.6. 2
.
29.1. 2 d (x3 1 0,5x 1 e x ).
dx
.
x sin2 (ln x 1 3)
x2 dx
28.8. 2
81 1 x6
.
29.2. 2 cos6 (x 1 2) sin(x 1 2) dx.
29.3. 2
cos x dx
.
(13 1 sin x)13
29.4. 2 e
29.5. 3
(4x3 1 4x) dx
.
x4 1 2x2 2 1
29.6. 2
cos(arcctg2x)
dx.
1 1 4x2
29.7. 2
dx
.
(2x 1 8)(ln(2x 1 8) 1 4)
29.8. 3
sin2 x 1
30.1. 1 d( 3 cos4 x ).
30.3. 2
dx
.
x 9 1 ln x
30.2. 2
x dx
6
6 1 x2
dx
.
3x 1 1
dx
.
ctg2 x 2 6
.
30.4. 3 9 11 arcsin3x 2
30.5. 2 (e x 1 3x2 ) sin(e x 1 x3 ) dx.
30.6. 2
dx
.
(81 1 tg2 x) cos2 x
30.8. 2
30.7. 2
3x 11
dx
.
1 1 9x2
e x dx
.
cos2 (e x 1 2)
3x2 dx
x6 1 10
.
ИДЗ 18.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
þ
В пунктах 1–3 найти интегралы, применяя метод замены переменной.
В пункте 4 найти интеграл, выделив целую часть дроби (применяя спо=
соб деления «уголком» многочлена на многочлен) и разложив интеграл
на сумму более простых интегралов.
В пунктах 5–7 найти интегралы, применяя способы интегрирования
тригонометрических функций.
В пунктах 8–10 найти интегралы, предварительно выделив полный
квадрат в знаменателе дроби и сделав замену переменной u = x – a.
1.1. 2
8 1 13x
dx.
x2 1 1
1.2. 2
dx
.
(arcctg2x)2 (1 1 4x2 )
157
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.3. 2
3
tg7 2x 1 3
dx.
cos2 2x
1.4. 3
x3 1 2
dx.
x2 2 1
1.5. 2 (1 1 sin x)3 dx.
1.6. 2 cos3x 1 cos x dx.
1.7. 1 tg2 7x dx.
1.8. 3
2x2
dx
.
1x23
1.9. 3
dx
.
3x2 1 12x 2 3
1.10. 3
x14
dx.
2x2 2 7x 1 1
2.1. 3
6x 1 1
dx.
2x2 2 1
2.2. 2
dx
.
arctg2x (1 1 4x2 )
2.3. 2
x5
dx.
3x6 1 7
2.4. 3
2.5. 1 sin x cos4x dx.
2.7. 1 tg5 x dx.
2.9. 2
3.1. 2
3.3. 1
dx
.
2x2 1 3x
x 12
dx.
2 1 x2
x
2 dx.
x
3
cos
2
sin
8x3 1 2x 2 1
dx.
2x 1 1
x
2.6. 1 sin3 dx.
2
dx
2.8. 3
.
8x 1 4 2 x 2
2.10. 3
x 11
dx.
3x2 1 x 2 5
3.2. 3
x3
3x2 1 3x 1 1
dx.
1 1,5x2 1 x 2 7
3.4. 2
x5 1 2
dx.
x2 1 4
3.5. 1 sin5x cos x dx.
3.6. 2 (sin x 1 cos x)2 dx.
3.7. 1 x tg2 (x2 ) dx.
3.8. 3
dx
.
1 1 x 2 x2
dx
.
1 5x 2 6
3.10. 3
3x2
3 1 7x
dx.
1 1 4x2
4.2. 2
2ln x 1 ln3 x
dx.
x
4.4. 3
2x4 1 3
dx.
x2 2 1
3.9. 3
4.1. 2
4.3. 2
x2
e2 x
dx.
1 1 e2 x
2x 1 1
dx.
1 2x 2 6
158
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4.5. 1 sin x cos3 x dx.
4.6. 2 (1 1 cos3x)2 dx.
4.7. 1
dx
.
tg3 x
4.8. 3
5x2
4.9. 2
dx
.
2x 1 3 1 4x2
4.10. 3
21x
dx.
4x2 2 16x 1 12
5.1. 3
5 1 3x
dx.
2x2 2 1
5.3. 2
5.2. 4
x 11
dx.
x2 1 2x
5.4. 3
dx
.
x
ctg2
2
dx
5.9. 2 2
.
3x 1 8x 1 3
6.1. 3
6.3. 2
x 3 arcctg
x
2
4 3 x2
2 dx.
3
x3 1 6
dx.
2x 2 1
x
5.6. 1 sin8x cos dx.
2
5.5. 1 sin3 2x cos2 2x dx.
5.7. 1
1
dx
.
1 10x 2 4
11 x
dx.
1 2 x2
x dx
.
x2 1 5
5.8. 3
dx
.
2x 1 3 2 x2
5.10. 3
2x 1 1
dx.
2x2 2 8x 1 6
6.2. 3
x 1 (arccos3x)2
6.4. 2
x4 dx
.
x2 1 1
1 2 9x2
6.5. 1 sin2 x dx.
6.6. 1 cos4 x dx.
6.7. 1 tg3 x dx.
6.8. 2
3x2
6.10. 3
(x 1 3) dx
.
x2 2 6x 1 13
7.2. 2
1 1 ln x
dx.
x
6.9. 2
4x 2
dx
.
1 4x 1 3
1
x
7.1. 9 14
3
2
2 3 x2
7 26x
x2
dx.
1 1 x3
sin x
7.5. 2
dx.
1 1 2cos x
7.3. 2
2 dx.
5
8
7.4. 2
dx
.
1 2x 1 1
x5
dx.
1 1 x3
7.6. 1 sin4 x dx.
dx.
159
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
7.7. 1 tg2 x dx.
dx
.
1 2x 2 1
dx
.
5 1 7x 1 3x2
3x 1 2
7.10. 3 2
dx.
5x 1 3x 2 2
7.8. 2
7.9. 3
2x2
8.1. 2
dx
.
1 1 10x
8.2. 2
8.3. 1
cos x
dx.
sin4 x
8.4. 2
8.5. 1
dx
.
sin2 x cos2 x
8.6. 1 sin2 3x dx.
tg x 1 1
dx.
cos2 x
x2
dx.
13
x2
1 x2 2dx.
8.8. 3
4x2
8.9. 3
dx
.
1x2 1 2x 2 8
8.10. 3
x 13
dx.
x2 1 5x 2 4
9.1. 3
1 1 5x
dx.
1 2 25x2
9.2. 1
e
9.3. 2
sin x
dx.
1 1 cos2 x
9.4. 3
6x3 1 x2 2 2x 1 1
dx.
2x 2 1
8.7. 3 tg3
dx
.
1 8x 2 3
x
x
dx.
9.5. 1 cos2x cos5x dx.
9.6. 1 sin4 2x dx.
9.7. 1 tg2 4x dx.
9.8. 3
dx
.
3x2 1 4x 2 1
1 1 2x
dx.
1 1 x 2 3x2
dx
.
5x 1 x2 1 6
9.10. 3
10.1. 2
x2
dx.
4 1 x6
10.2. 2
1 1 sin2x
dx.
sin2 x
10.3. 2
ex
dx.
1 1 3e2x
10.4. 2
x4
dx.
x2 1 3
9.9. 2
10.5. 1 cos2 3x dx.
10.6. 1 sin3
10.7. 1 ctg3 x dx.
10.8. 2
x
dx.
3
dx
.
2 1 3x 1 2x2
160
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2x 1 5
dx.
4x 2 1 8x 1 9
10.9. 2
dx
.
x2 1 4x 1 25
10.10. 2
11.1. 2
x 11
dx.
x2 1 1
11.2. 2
x 1 arctg3 2x
dx.
1 1 4x2
11.4. 2
x3 1 3x2 1 5x
dx.
1 1 x2
11.3. 2
11.5. 1
x
dx.
1
4
sin x
dx.
cos3 x
x4 1
11.7. 1 cos3 x sin 2 x dx.
11.9. 3
dx
.
2x2 1 8x 2 30
1
11.6. 4 1 3 2cos
11.8. 2
x2
11.10. 3
2
2
x
dx.
2
dx
.
1 6x 1 8
2x 1 10
dx.
1 2 x 1 x2
12.1. 2 x x2 1 1 dx.
12.2. 2
x2 1 ln3 (1 1 x)
dx.
11 x
12.3. 1 e cos2x sin2x dx.
12.4. 3
x2 1 5x 2 6
dx.
x2 2 4
12.5. 2
1 1 2cos x
dx.
sin2 x
12.6. 1 cos2 2x dx.
12.7. 1
x dx
.
cos2 (x2 )
12.8. 3
12.9. 3
dx
.
3x2 1 9x 2 6
12.10. 3
13.1. 2
5 1 3x
dx.
4 1 3x2
13.2. 2
e arctg x 1 x ln(1 1 x2 ) 1 1
dx.
1 1 x2
13.3. 2
sin x
dx.
1 1 3cos x
13.4. 3
x3 1 1
dx.
x23
13.5. 1 sin3 6x cos6x dx.
13.7. 1 tg3
x
dx.
3
dx
.
2 1 8x 2 2x2
2x 1 8
dx.
1 1 x 2 x2
13.6. 4 sin2
13.8. 3
1 x2 3 12dx.
dx
.
1 1 2x 2 x2
161
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
x dx
.
2x2 1 2x 1 5
13.9. 3
dx
.
2x2 1 2x 2 5
13.10. 2
14.1. 2
1 1 2x
dx.
1 1 4x 2
14.2. 2
arcsin3x
4 1 ln x
dx.
x
14.4. 2
x3dx
.
x2 1 1
14.3. 2
3
dx
14.5. 1 sin2 (0,5x) dx.
14.6. 1 cos3 5x dx.
14.7. 1 tg5 2x dx.
14.8. 2
4x2
1 1 x2
.
dx
.
1 2x 1 4
14.9. 3
dx
.
2x2 1 3x 2 1
14.10. 3
x 11
dx.
3x2 2 2x 2 3
15.1. 3
51x
dx.
2 2 x2
15.2. 2
sin2x
dx.
1 1 cos2 x
15.3. 2
ctg3 5x 1 2
dx.
sin2 5x
15.4. 2
3x4 1 2
dx.
x2 1 1
15.5. 1 sin3 6x dx.
15.6. 2 (1 1 sin2 x) dx.
15.7. 1 sin3x cos2x dx.
15.8. 3
dx
.
4x2 1 x 2 4
15.10. 3
x2
15.9. 2
2x2
dx
.
1 3x 1 2
5x 1 1
dx.
2 4x 1 1
16.1. 2
1 1 3x
dx.
1 1 4x2
16.2. 2
3 arctg x
dx.
1 1 x2
16.3. 2
x2
dx.
5 1 x6
16.4. 3
x4 1 2x2 1 1
dx.
x2 2 1
16.5. 1 sin4x cos2x dx.
16.6. 2 sin2 (2x 1 1) dx.
16.7. 2 (1 1 tg2x)2 dx.
16.8. 3
16.9. 3
dx
.
2x2 1 6x 2 1
16.10. 2
dx
.
3 1 2x 2 2x2
3x 1 4
dx.
x2 1 6x 1 13
162
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
17.3. 1 sin3 2x cos2x dx.
3x 1 arcsin x
dx.
1 1 x2
x5 1 2
17.4. 3 2
dx.
x 24
17.5. 2 (1 1 cos x)2 dx.
17.6. 2 (2x 1 sin3 5x) dx.
17.1. 3
11 x 22
dx.
1 1 x2
17.7. 1 tg4
2x
dx.
3
17.2. 2
dx
.
1 8x 2 1
17.8. 3
2x2
4x 1 1
dx.
4x2 1 4x 2 5
17.9. 3
dx
.
x 2 1 6x 2 8
17.10. 3
18.1. 2
x 11
dx.
x2 1 3
18.2. 2
x2 1 1 1 (arctg x)2
dx.
x2 1 1
18.3. 1 e sin2x cos2x dx.
18.4. 3
2x3 1 3
dx.
x 25
18.5. 1 sin5x sin7x dx.
18.6. 2 (sin2x 1 cos2x)2 dx.
4x 1 5
dx.
2x2 1 5x 2 12
18.7. 2
1 1 cos x
dx.
sin2 x
18.8. 3
18.9. 3
dx
.
5x2 1 10x 2 25
18.10. 3
19.1. 3
x2 1 1 2 3x
dx.
x2 1 1
19.2. 2
dx
.
x 2 1 ln x
19.3. 1
cos3x
dx.
sin4 3x
19.4. 2
x3 1 1
dx.
x2 1 1
3x 1 1
dx.
2x2 1 5x 2 1
19.5. 1 cos2x cos3x dx.
4
19.6. 1 sin3 x dx.
5
19.7. 2 (2x 1 tg2 7x) dx.
19.8. 3
dx
.
3x 1 2 2 2x2
x 11
dx.
2x2 1 x 1 1
19.9. 2
dx
.
2x2 1 6x 1 3
19.10. 2
20.1. 2
x dx
.
3 1 2x2
20.2. 1
ctg2 3x
dx.
sin2 3x
20.3. 2
e2 x
dx.
5 1 e4x
20.4. 3
1 1 2x4
dx.
1 2 x2
163
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
x
3x
20.5. 1 sin cos dx.
2
2
20.6. 2 cos3 (x 1 3) dx.
20.7. 2 (tg2x 1 ctg2x)2 dx.
20.8. 3
x2
20.9. 2
dx
.
1 1 2x 1 3x2
20.10. 3
6x 2 1 5
dx.
2x3 1 5x 2 2
21.1. 3
x14
dx.
9 2 x2
21.2. 2
sin2x
dx.
3sin2 x 1 4
21.3. 1
cos2x
dx.
sin4 2x
21.4. 2
2x3 1 3
dx.
x 12
dx
.
1 5x 2 6
21.5. 2 (cos x 1 3)2 dx.
21.6. 1 x sin2 (x2 ) dx.
21.7. 1 e2x tg(e2x ) dx.
21.8. 2
dx
.
3x 1 2x2
5x 1 2
dx.
2x2 1 5x 2 2
21.9. 2
dx
.
2x2 1 3x 1 6
21.10. 3
22.1. 2
2x 1 7
dx.
x2 1 5
22.2. 2 cos5x 1 sin9 5x dx.
22.3. 2
x2 dx
.
7 1 5x3
22.4. 2
22.5. 1 sin2
3x
dx.
2
22.7. 2 (1 1 ctg x)2 dx.
2x2 1 5
dx.
x2 1 1
22.6. 1 cos3
x
dx.
3
22.8. 3
dx
.
4x 1 3x2 2 2
4x 1 8
dx.
4x2 1 6x 2 13
22.9. 3
dx
.
2x2 1 3x 2 2
22.10. 3
23.1. 2
7x 1 2
dx.
x2 1 1
23.2. 2
ln x
dx.
x(1 1 ln2 x)
x
2 dx.
x
cos
2
23.4. 3
x3 1 3x 2 1
dx.
1 1 x2
23.3. 1
sin
164
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
23.5. 2 (3 1 sin2x)2 dx.
23.6. 1 cos3
23.7. 1 ctg3 3x dx.
23.8. 2
x
dx.
4
dx
.
2 1 2x 1 3x2
x 16
dx.
3x2 1 x 1 1
23.9. 2
dx
.
x2 1 7x 1 11
23.10. 2
24.1. 2
3x 1 1
dx.
x2 1 1
24.2. 3
cos x 1 sin2x
dx.
3cos3 x 2 2
24.4. 3
x 1 x2
dx.
22x
24.3. 2
x2 dx
.
5 1 4x6
x
x
24.5. 1 sin cos dx.
2
4
24.6. 2 cos3 (x 1 1) dx.
24.7. 1 ctg4 x dx.
24.8. 3
3x2
x 15
dx.
x2 1 x 2 2
dx
.
1x 25
24.9. 2
dx
.
5x2 1 2x 1 7
24.10. 3
25.1. 3
x 11
dx.
x2 2 7
25.2. 3
arctg3 2x 1 x
dx.
1 2 4x2
25.3. 2
ex dx
dx.
2e x 1 3
25.4. 3
2x2 1 5
dx.
x 27
x
25.5. 1 sin3x cos dx.
2
25.7. 3 tg2
1 x6 2 dx.
25.6. 1 ctg x sin2x dx.
dx
.
1 1 x 1 x2
25.8. 2
(x 1 3) dx
25.9. 3
dx
.
2x2 1 x 2 6
25.10. 2
26.1. 3
(3 1 7x)
dx.
1 2 x2
26.2. 2
3tg2 2x 1 5
dx.
cos2 2x
26.3. 2 sin2 3x 1 cos3x dx.
26.4. 3
2x3 1 3
dx.
x 21
1
26.5. 4 1 3 2sin
2
2x2 1 4x 1 1
.
2
x
dx.
5
26.6. 1 sin3 x cos5 x dx.
165
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
26.9. 3
dx
.
2x2 1 7x 2 1
dx
.
1 1 2x 1 x2
x dx
26.10. 2 2
.
2x 1 x 1 5
27.1. 3
(8 1 2x) dx
.
1 2 3x2
27.2. 2
2x3 dx
.
1 1 x4
27.3. 2 cos2x 1 sin5 2x dx.
27.4. 3
1 1 x4
dx.
4 2 x2
27.5. 1 cos3x sin6x dx.
27.7. 3 tg4
1 x4 2 dx.
27.6. 2 sin3 (1 1 x) dx.
27.8. 2
dx
.
2x2 1 6x 1 4
27.9. 2
x2
dx
.
1 4x 1 10
27.10. 2
3x2
28.1. 3
(2 1 x)2
dx.
2 2 x2
28.2. 2
sin2x
dx.
1 1 3cos2x
28.3. 2
ex
dx.
1 1 3e2x
28.4. 3
x2 1 4
dx.
x 23
26.7. 2 tg 4 (x 1 6) dx.
26.8. 2
2x 1 1
dx.
1 6x 1 9
28.5. 1 sin3x cos x dx.
28.6. 2 sin2 (1 1 x) dx.
28.7. 1 tg3 4x dx.
28.8. 3
dx
.
x2 1 2x 2 5
2x 1 1
dx.
x 1 2x2 2 3
28.9. 3
dx
.
4x2 1 5x 2 4
28.10. 3
29.1. 3
2 1 3x
dx.
x2 2 2
29.2. 2
x 1 ln3 (1 1 x)
dx.
11 x
29.3. 1
cos2x ln(sin2x)
dx.
sin2x
29.4. 3
1 1 2x 1 x3
dx.
1 2 x2
29.5. 1 sin2 x cos2 x dx.
29.6. 1 sin3 5x dx.
29.7. 2 ctg3 (x 1 6) dx.
29.8. 3
x2
29.10. 3
x14
dx.
2x2 2 6x 2 8
29.9. 3
dx
.
2x2 1 11x 2 2
dx
.
1 3x 2 1
166
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
30.1. 2
30.3. 1
3 1 5x
dx.
1 1 x2
x
cos
2 dx.
x
sin4
2
30.2. 3
2 arccos2x 1 2x
dx.
1 2 4x2
30.4. 2
7 1 x2
dx.
11 x
30.5. 1 cos4 2x sin2x dx.
30.6. 1 sin3x sin x dx.
30.7. 1 tg4 3x dx.
30.8. 2
30.9. 2
dx
.
2x2 1 x 1 2
dx
.
2 1 x 1 2x2
30.10. 2
2x 1 1
dx.
3x2 1 3x 1 16
ИДЗ 19.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ
þ
В пунктах 1–3 найти неопределенные интегралы, применяя метод ин'
тегрирования по частям.
В пунктах 4, 6 найти интегралы, применяя подстановки x = a × sin t,
a
x = a × tg t, x 1
.
sin t
1
В пункте 5 найти интеграл, применяя подстановку t 1
.
x23
1.1. 1 x ln2 x dx.
1.2. 3
x 1 arcctg x
1.3. 2 (x2 1 2) e x dx.
1.4. 2
x2 1 9
dx.
x2
1.6. 2
x3 dx
1.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 2 x 2 1
2.1. 3 ln
11 x
dx.
12 x
2.3. 3 (x 2 1)e 1 x dx.
2.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 1 x 2 1
1 2 x2
1 1 x2
dx.
.
2.2. 1 arcsin2x dx.
2.4. 2
2.6. 2
x3
dx
.
x2 1 9
x2 1 4
dx.
x4
167
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
x 1 arcsin2x dx
3.1. 3 (x2 1 x 2 1)ln x dx.
3.2. 3
3.3. 2 (1 1 x)e 1 x dx.
3.4. 2
9 1 x2
dx.
x4
3.6. 2
x2 1 16
dx.
x2
4.1. 1 x ln x dx.
4.2. 2
arccos x dx
.
11 x
4.3. 3 (x2 2 1)e 1 x dx.
4.4. 2
dx
.
x2 x 2 1 4
1 1 x2
dx.
x4
3.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 2 x 1 1
1 2 4x 2
4.5. 2
dx
.
(x 1 1) x2 1 x 1 1
4.6. 2
5.1. 1
ln sin x
dx.
cos2 x
5.2. 1 arcctg x dx.
5.3. 2 (x2 1 1)e x dx.
5.5. 3
dx
.
(x 1 1) 1 2 x 1 x2
.
5.4. 2 x2 1 1 x2 dx.
5.6. 2
x2 1 4
dx.
x
6.1. 2 x ln(x2 1 1) dx.
6.2. 2 x 1 arcctg2x dx.
6.3. 1 x2 cos2 x dx.
6.4. 2 x3 4 1 x2 dx.
6.5. 3
dx
.
(x 1 1) 1 2 x 2 x2
6.6. 2
dx
.
(1 1 x2 )3
7.1. 1 x ln2 x dx.
7.2. 1 x2 arctg x dx.
7.3. 2 (x 1 1)e x dx.
7.4. 2
(1 1 x2 )3
dx.
x4
7.6. 2
dx
.
(4 1 x2 )5
7.5. 2
dx
.
(x 1 1) 1 1 x 1 x2
8.1. 1 x2 ln x dx.
8.2. 1 x2 arcctg x dx.
168
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
8.3. 2 (1 1 x)e x dx.
8.5. 2
dx
.
x 1 1 x 1 x2
8.4. 2
dx
.
(4 1 x2 )3
8.6. 2 9 1 x2 dx.
9.1. 2 x ln(x 1 1) dx.
9.2. 1 x (arctg x)2 dx.
9.3. 2 (x2 1 1)ex dx.
9.4. 2
x2 1 9
dx.
x4
9.6. 2
(1 1 x2 )3
dx.
x6
9.5. 3
dx
.
2
x x 1 x 23
10.1. 1 sin(ln x) dx.
10.2. 2 x 1 (arcctg x)2 dx.
10.3. 2 (x2 1 1)e 1 x dx.
10.4. 2
dx
.
(9 1 x2 )3
4 1 x2
dx.
x4
10.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 1 x 2 2
10.6. 2
11.1. 1
ln2 x
dx.
x2
11.2. 1 arctg2x dx.
11.3. 2 x(cos2x 1 2) dx.
11.5. 2
dx
.
(x 1 1) 1 1 x2
11.4. 2
x2
dx.
16 1 x2
11.6. 2
x2 1 9
dx.
x
12.1. 1 x2 ln2 x dx.
12.2. 1 arcsin x dx.
12.3. 1 x cos2 x dx.
12.4. 2
x2
dx.
9 1 x2
12.6. 2
dx
.
(x2 1 1)3
12.5. 3
dx
.
(x 1 1) 1 2 x2
13.1. 2 x2 ln(x2 1 1) dx.
13.2. 1 arccos x dx.
13.3. 1 x2 sin2x dx.
13.4. 2
x3
dx.
4 1 x2
169
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
13.5. 3
dx
.
(x 1 1) 1 2 x2
13.6. 2
14.1. 1
ln cos x
dx.
cos2 x
14.2. 2 1 1 x arccos x dx.
14.3. 1 x2 cos2x dx.
14.5. 2
dx
.
(x 1 1) 1 1 x2
14.4. 2
14.6. 2
x2 1 1
dx.
x2
1 1 x2
dx.
x
dx
.
2
x (x2 1 4)3
15.1. 1 cos(ln x) dx.
15.2. 2 1 1 x arcsin x dx.
15.3. 1 x sin2 x dx.
15.4. 2
x2 1 1
dx.
x
15.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 2 1
15.6. 2 x2 4 1 x2 dx.
16.1. 1
ln x
dx.
x2
16.2. 2 x 1 arctg2x dx.
16.4. 2
x2 1 1
dx.
x
16.6. 2
x3
dx.
9 1 x2
17.1. 2 ln(x 1 1) dx.
17.2. 2
arcsin x
dx.
x 11
17.3. 2 x2 (sin2x 1 3) dx.
17.4. 2
x2 1 16
dx.
x
16.3. 2 x 1 sin x 1 cos x dx.
16.5. 2
dx
.
(x 1 1) x2 1 1
17.5. 3
dx
.
(x 1 2) 1 2 x2
17.6. 2
x2
18.1. 1
ln(cos x)
dx.
sin2 x
18.2. 2
arcsin x
dx.
11 x
18.4. 2
16 1 x2
dx.
x4
18.3. 2 x(sin2x 1 1) dx.
dx
.
x2 1 1
170
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
dx
.
x2 1 1
18.5. 3
dx
.
(x 1 2) 1 2 x2
18.6. 2
x2
19.1. 1
ln(ln x)
dx.
x
19.2. 2
arcsin x
dx.
11 x
19.3. 3 (x2 2 x)e 1 x dx.
dx
.
(x 1 2) x2 1 1
19.4. 2 4 1 x2 dx.
19.6. 2
dx
.
x 2 x2 1 9
20.1. 1 ln2 x dx.
20.2. 3
x 1 arctg x
20.3. 2 (x2 1 x)ex dx.
20.4. 2
x2 1 4
dx.
x2
9 1 x2
dx.
x
19.5. 2
1 2 x2
dx.
20.5. 2
dx
.
x x2 1 x 1 1
20.6. 2
21.1. 1
ln x
dx.
x
21.2. 2
21.3. 3 (x2 1 x 2 1)e 1 x dx.
21.4. 2
25 1 x2
dx.
x4
dx
.
1 x 21
21.6. 2
x2 1 1 dx
.
x2
11 x
dx.
13 x
22.2. 2 x 1 arctg x dx.
21.5. 3
x
x2
22.1. 4 x 2 ln
22.3. 3 (x2 1 x 2 1)e x dx.
22.5. 3
x
dx
.
1 x 21
x2
22.4. 2
22.6. 2
x arcsin x
1 1 x2
dx.
x2 1 16
dx.
x4
x3
dx
.
x2 1 1
23.1. 2 ln(x 1 1 1 x2 ) dx.
23.2. 2 x 1 arcctg x dx.
23.3. 1 x ctg2 x dx.
23.4. 2
(4 1 x2 )3
dx.
x6
171
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
23.5. 2
dx
.
2
x x 1 x 11
23.6. 2
24.1. 1 ln x dx.
24.2. 3
24.3. 2 x2 e 1 x dx.
24.4. 2
x2 1 1
dx.
x4
x 1 arccos2x
dx.
1 2 4x2
dx
.
(16 1 x2 )3
24.5. 3
dx
.
x 1 1 x2 2 x
25.1. 2
x ln(x 1 1 1 x2 )
25.3. 1
x dx
.
sin2 x
25.4. 2
dx
.
(1 1 x2 )5
25.5. 3
dx
.
x x2 1 x 2 2
25.6. 2
(4 1 x2 )3
dx.
x4
26.1. 1
ln sin x
dx.
sin2 x
26.2. 1 arctg x dx.
26.3. 1
x dx
.
cos2 x
26.4. 2
x2 1 16
dx.
x
26.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 2 x 1 1
26.6. 2
x2
dx.
1 1 x2
27.1. 2 x2 ln(x 1 1) dx.
27.2. 2
arccos x
dx.
11 x
27.3. 2 x 1 tg2 x dx.
27.4. 2
dx
.
(x2 1 9)3
x2
dx.
4 1 x2
1 1 x2
24.6. 2 x3 1 1 x2 dx.
dx.
25.2. 1 arccos2x dx.
27.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 2 x 2 1
27.6. 2
28.1. 1
ln x ln(ln x)
dx.
x
28.2. 3
x 1 arccos x
dx.
1 2 x2
172
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
28.3. 3 (x2 2 2)e 1 x dx.
28.4. 3 x3 1 9 2 x2 dx.
28.6. 2
x2 1 4
dx.
x
29.1. 2 ln(x2 1 1) dx.
29.2. 2
arccos x
dx.
11 x
29.3. 2 x2 1 sin2 x dx.
29.4. 2
x2
28.5. 2
dx
.
(x 1 1) x2 1 x 1 1
dx
.
(x2 1 1)3
4 1 x2
dx.
x
29.5. 3
dx
.
(x 1 1) x2 1 x 2 1
29.6. 2
30.1. 1
ln x
dx.
x3
30.2. 1 arcctg2x dx.
30.3. 2 x2 (cos2x 1 3) dx.
30.5. 3
dx
.
(x 1 1) 1 1 x 2 x2
30.4. 2
30.6. 2
x2
dx
.
x2 1 4
x2 1 9
dx.
x
ИДЗ 20.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОТ ДРОБНОРАЦИОНАЛЬНОЙ
ФУНКЦИИ
þ
Найти неопределенные интегралы от дробно#рациональных функций,
раскладывая их на простейшие дроби, выделив, если это необходимо, це#
лую часть.
1.1. 2
(7x2 1 17x)dx
.
(x 1 2)(x2 1 2x 1 3)
1.2. 2
dx
.
x3 1 x2
1.3. 2
6x
dx.
x3 1 1
1.4. 2
2x5 1 2x3 1 x2
dx.
1 1 x4
1.5. 2
x 11
dx.
(2 1 x)5
2.1. 3
2x4 1 7x3 2 2x2 2 13
dx.
(x 2 1)(x2 1 5x 2 6)
2.2. 3
3x2 1 1
dx.
(x 2 1)(x2 2 1)
173
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.4. 3
x3 1 x2 1 x 2 1
dx.
x4 1 5x2 1 4
2.5. 2
5x2 1 17x 1 36
dx.
(x 1 1)(x2 1 6x 1 13)
x 11
dx.
(7 1 x)7
3.1. 3
3x2 1 17x 2 2
dx.
(x 1 1)(x2 2 5x 2 6)
3.2. 3
2x3 1 5x2 2 1
dx.
x3 1 x 2
3.3. 3
(2x 1 22) dx
.
(x 1 2)(x2 2 2x 1 10)
3.4. 3
x 2 1 6x 2 8
dx.
x3 2 8
3.5. 2
dx
.
(5 1 x)11
4.1. 2
12 dx
.
(x 1 2)(x2 1 2x 1 3)
4.2. 2
2x3 1 2x2 1 4x 1 3
dx.
x 3 1 x2
4.3. 3
(2x 1 3) dx
.
(x 2 1)(x3 2 x2 1 4x 2 4)
4.4. 3
2x5 1 2x 2 1
dx.
1 1 x4
4.5. 2
dx
.
(x 1 9)4
5.1. 2
2x2 1 2x 1 1
dx.
x 2 1 x3
5.2. 3
2x4 1 4x3 1 1
dx.
x3 1 2x2 2 x
5.3. 3
(12 1 6x) dx
.
(x 2 1)(x2 1 4x 2 13)
5.4. 3
(2x2 1 2x 1 20) dx
.
(x 2 1)(x2 1 2x 1 5)
5.5. 2
dx
.
(2 1 x)5
6.1. 3
2x4 1 8x3 1 9x2 2 7
dx.
(x2 1 x 2 2)(x 1 3)
6.2. 3
x12
dx.
x3 2 x 2
6.3. 2
x4 1 x3 1 2x2 1 x 1 2
dx.
x4 1 5x2 1 4
6.4. 3
5 dx
.
x4 1 3x2 2 4
6.5. 2
x14
dx.
(x 1 3)3
7.1. 2
8x dx
.
(x2 1 6x 1 5)(x 1 3)
7.2. 3
4x4 1 8x3 2 3x 2 3
dx.
x3 1 2x2 1 x
2.3. 2
174
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
7.4. 3
x 3 1 8x 2 2
dx.
x4 1 4x2
7.5. 2
x2 1 3x 1 2
dx.
x3 2 1
xdx
.
(x 1 5)11
8.1. 3
2x4 1 7x3 2 7x2 1 8x
dx.
(x2 1 5x 2 6)(x 2 1)
8.2. 2
x12
dx.
x 3 1 x2
8.3. 3
x2 1 3x 2 6
dx.
(x 1 1)(x2 1 6x 1 13)
8.4. 3
2x3 1 2x2 2 5
dx.
(x 1 2)2 (x2 2 4)
8.5. 3
x 17
dx.
(1 2 x)9
9.1. 3
x3 1 1
dx.
x3 2 x2
9.2. 3
(x 2
9.3. 3
36 dx
.
(x 1 2)(x2 2 2x 1 10)
9.4. 3
x3 1 x 2 2 x 2 3
dx.
x 4 2 x2
9.5. 3
x12
dx.
(2 2 x)5
7.3. 3
4x2dx
.
1 2x 2 1)(x 2 1)
10.1. 3
2x4 1 17x3 1 32x2 2 7x
dx.
(x2 1 4x 1 3)(x 1 5)
10.2. 2
43x 1 67
dx.
(x 1 1)(x2 1 x 1 12)
10.3. 3
(9x 1 9) dx
.
(x 2 1)(x2 1 4x 2 13)
10.4. 3
x3 1 x 1 5
dx.
x4 2 3x2 1 4
10.5. 2
xdx
.
(1 1 x)9
11.1. 3
(6x2 1 6x 2 6) dx
.
(x 1 1)(x2 1 x 2 2)
11.2. 3
x3 1 4x 2 5
dx.
(x2 1 1)(x 1 1)
11.3. 3
7x 1 10
dx.
x3 2 8
11.4. 2
x3 1 x 1 1
dx.
x 4 1 x2
11.5. 2
dx
.
(x 1 7)7
12.1. 3
2x4 1 3x3 1 21x2 1 26
dx.
(x 2 3)(x2 1 5x 2 4)
12.2. 2
x2 1 x 1 2
dx.
x 3 1 x2
175
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
12.4. 3
(2x2 1 7x 2 10) dx
.
(x 1 1)(x3 1 x2 2 4x 1 4)
12.5. 2
4x2 1 3x 1 17
dx.
(x 2 1)(x2 1 2x 1 5)
dx
.
(x 1 3)3
13.1. 3
3x2 1 3x 2 24
dx.
(x2 2 x 2 2)(x 2 3)
13.2. 3
x3 1 2x2 1 2x 2 1
dx.
x3 1 x 2
13.3. 3
13x2 2 4x 1 7
dx.
x3 1 1
13.4. 2
4x 1 2
dx.
x4 1 4x2
13.5. 2
dx
.
(1 1 x)9
14.1. 3
2x4 1 7x3 2 3x 2 30
dx.
(x 1 2)(x2 1 2x 1 3)
14.2. 3
1x2 2 3x 1 2
dx.
x(x 2 1)2
14.3. 3
x2 1 5x 2 40
dx.
(x 2 2)(x2 1 2x 2 10)
14.4. 3
x3 1 x 2 2
dx.
x 4 1 x2
14.5. 2
x 1 10
dx.
(x 1 5)11
15.1. 3
(3x2 1 15) dx
.
(x 1 1)(x2 2 5x 2 6)
15.2. 2
2x3 1 1
dx.
x2 (x 1 1)
15.3. 3
1x2 2 4x 1 12
dx.
x3 2 8
15.4. 2
x2 1 2x 1 4
dx.
x4 1 5x2 1 4
15.5. 2
x 11
dx.
(x 1 7)7
16.1. 2
3x2 1 20x 1 9
dx.
(x2 1 4x 1 3)(x 1 5)
16.2. 3
2x4 1 8x3 2 45x 2 61
dx.
(x 2 1)(x2 1 5x 1 6)
16.3. 3
(3x 1 13) dx
.
(x 2 1)(x2 1 2x 1 5)
16.4. 3
x4
16.5. 2
dx
.
(x 1 2)5
17.1. 3
(x2
17.2. 2
x3 1 3
dx.
(x 1 1)(x2 1 1)
12.3. 3
x2 1 19x 2 6
dx.
2 x 1 2)(x 2 3)
5xdx
.
1 3x2 2 4
176
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3 1 9x
dx.
x3 1 1
x 17
17.5. 3
dx.
(x 2 1)9
17.3. 2
6xdx
.
1 2x2 2 x 2 2
17.4. 2
3 dx
.
x4 1 4x2
18.2. 3
x2 1 3x 2 2
dx.
x3 2 2x2 2 x
18.4. 3
2x5 1 2x3 2 x2
dx.
1 1 x4
18.1. 3
x3
18.3. 3
x2 1 13x 2 40
dx.
(x 2 1)(x2 1 4x 2 13)
18.5. 2
x16
dx.
(x 1 9)4
19.1. 2
(4x2 1 32x 1 52) dx
.
(x2 1 6x 1 5)(x 1 3)
19.2. 3
x3
x12
dx.
2 2x2 1 x
19.3. 3
6 1 9x
dx.
x3 2 8
19.4. 2
x4
x4 dx
.
1 5x2 1 4
19.5. 2
x 1 12
dx.
(x 1 9)4
20.1. 3
(2x2 1 41x 2 91) dx
.
(x2 1 2x 2 3)(x 2 4)
20.2. 3
4x4 1 8x3 2 1
dx.
(x2 1 x)(x 1 1)
20.3. 3
(4x 1 10) dx
.
(x 2 2)(x2 1 2x 2 10)
20.4. 3
x3 1 2x 2 5
dx.
x4 1 1
20.5. 2
xdx
.
(x 1 1)9
21.1. 3
(x 2
6x4
dx.
1 1)(x 2 2)
21.2. 2
4xdx
.
(x2 1 1)(x 1 1)
21.3. 2
(x2 1 23) dx
.
(x 1 1)(x2 1 6x 1 13)
21.4. 3
x3 1 4x 2 3
dx.
x 4 1 4x 2
21.5. 2
x 13
dx.
(x 1 2)5
22.1. 2
x4 1 8x3 1 15x2 1 2x 1 2
dx.
(x 1 1)(x2 1 8x 1 15)
22.2. 2
dx
.
x 3 1 x2
177
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
22.5. 2
(2x2 1 7x 1 7) dx
.
(x 2 1)(x2 1 2x 1 5)
x 16
dx.
(x 1 7)7
23.1. 3
6x2dx
.
(x 1 1)(x2 2 3x 2 2)
23.2. 3
x3 1 4x2 2 2x 1 1
dx.
x3 1 x 2
23.3. 3
(1x2 2 19x 1 34) dx
.
(x 2 1)(x2 1 4x 2 13)
23.4. 3
x3 1 2x2 1 4x 2 2
dx.
x4 1 3x2 2 4
23.5. 2
x 12
dx.
(x 1 1)9
24.1. 2
x4 1 10x2 1 5x 1 34
dx.
(x 1 1)(x2 1 x 1 12)
24.2. 2
(x2
24.3. 2
5x 1 13
dx.
(x 1 1)(x2 1 6x 1 13)
24.4. 2
x4
24.5. 3
x12
dx.
(x 2 2)5
25.1. 3
(2x2 1 12x 2 6) dx
.
(x 1 1)(x2 1 8x 1 15)
25.2. 3
2x4 1 4x3 2 6x 1 1
dx.
x3 1 2x2 2 x
25.3. 3
(4x2 1 38) dx
.
(x 1 2)(x2 2 2x 1 10)
25.4. 2
4x2 1 2
dx.
x 4 1 x2
25.5. 2
dx
.
(x 1 1)9
26.1. 3
(2x2 1 26) dx
.
(x2 2 4x 2 3)(x 2 5)
26.2. 3
2x4 1 4x3 2 2x2 1 4x 2 1
dx.
x(x 1 1)2
26.3. 2
8 dx
.
(x 1 1)(x2 1 6x 1 13)
26.4. 3
2x3 1 2x 1 5
dx.
x4 2 3x2 1 4
26.5. 2
dx
.
(7 1 x)7
27.1. 3
(6x4 1 30x2 2 30) dx
.
(x 1 1)(x 2 1)(x 2 2)
27.2. 3
x 15
dx.
x3 2 x2 2 x 1 1
22.3. 3
22.4. 3
7x 1 2
dx.
(x 1 1)2 (x2 2 4)
3x2 1 2
dx.
1 x)(x 1 1)
dx
.
1 x2
178
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
27.4. 2
x4
27.5. 2
4x2 1 x 1 10
dx.
x3 1 8
x12
dx.
(x 1 3)3
28.1. 3
6x4 1 21x2 2 3x 2 24
dx.
(x 2 1)(x2 2 x 1 2)
28.2. 3
3x2 1 7x 2 2
dx.
(x2 1 x)(x 1 1)
28.3. 3
(4x2 1 7x 1 5) dx
.
(x 2 1)(x2 1 2x 1 5)
28.4. 3
2 1 8x
dx.
x4 2 4x2
28.5. 2
x 11
dx.
(x 1 2)5
29.1. 3
4x4 1 8x3 2 x 2 2
dx.
x(x 1 1)2
29.2. 3
(37x 1 85) dx
.
(x2 2 2x 1 3)(x 1 4)
29.3. 3
3x2 1 2x 1 1
dx.
x3 2 1
29.4. 3
x 3 1 x 2 2 4x
dx.
x4 1 1
29.5. 2
x 16
dx.
(7 1 x)7
30.1. 3
2x4 1 8x3 2 17x 2 5
dx.
(x2 1 2x 2 3)(x 1 2)
30.2. 3
2x2 1 5x 2 1
dx.
x3 1 2x2 2 x
30.3. 3
2x2 1 4x 1 20
dx.
(x 1 1)(x2 2 4x 1 13)
30.4. 3
3x 1 8
dx.
(x 1 1)2 (x2 2 4)
30.5. 2
dx
.
(x 1 5)11
27.3. 2
x2dx
.
1 5x2 1 4
ИДЗ 21.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
þ
В пунктах 1, 2 найти интегралы от иррациональных функций.
В пункте 3 найти интеграл, применив универсальную тригонометри/
2
ческую подстановку sin x 2 2t 2 , cos x 2 1 1 t2 , t 2 tg x .
2
13 t
13 t
В пункте 4 найти интеграл, применяя подстановку t = tg x.
В пункте 5 найти интеграл от тригонометрической функции.
179
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.1. 2
11 x
dx.
11 x
1.2. 2
x13
dx.
11 3 x 13
1.3. 2
dx
.
5 1 4sin x
1.4. 1
dx
.
cos x sin3 x
2.2. 2
x13x
dx.
x16x
2.4. 1
cos7 x sin x
1.5. 1 sin4 2x cos2 2x dx.
2.1. 2
2.3. 2
xdx
.
x 11
dx
.
8 1 4cos x
dx
.
2.5. 1 5 cos4 x sin3 x dx.
x13
dx.
x 13 1 x 13
6
3.1. 2
x
dx.
x 11
3.2. 2
3
3.3. 2
dx
.
3sin x 1 4cos x
3.4. 2
dx
.
1 1 sin2 x
sin3 x
3.5. 1
3
4.1. 2
dx
.
31 x13
4.2. 2
4.3. 2
dx
.
2 1 4sin x 1 3cos x
4.4. 2
4sin2 x 1 8sin x cos x
cos2 x
dx.
x 1 1 1 3 (x 1 1)2 1 6 x 1 1
(x 1 1)(1 1 3 x 1 1)
dx
4.5. 1 sin2 2x cos4 2x dx.
5.1. 3
dx
.
1 1 x 21
5.2. 3
( x 1 1) dx
.
( 3 x 2 1) x
5.3. 2
dx
.
7sin x 1 3cos x
5.4. 1
4
5.5. 1
cos3 x dx
5
sin3 x
.
dx
sin3 x cos5 x
.
.
dx.
180
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6.1. 2
dx
.
x x 11
6.2. 2
6.3. 2
dx
.
5 1 2sin x 1 3cos x
6.4. 2
3x 1 1 1 2
dx.
3x 1 1 1 2 3 3x 1 1
sin2x dx
.
cos4 x 1 4sin4 x
6.5. 1 5 cos3 2x sin3 2x dx.
7.1. 3
x 11
dx.
x x 21
7.2. 2
4x 1 3 x2
7.3. 2
dx
.
3cos x 1 4sin x
7.4. 2
sin2x dx
.
4cos4 x 1 sin4 x
7.5. 1
cos3 x
3
sin2 x
x dx
.
dx.
8.1. 2
x3dx
.
x 11
8.2. 3
3
8.3. 3
2 1 sin x 2 3cos x
dx.
1 2 cos x
8.4. 3
dx
.
sin2 x 1 2sin2x 2 5cos2 x
9.2. 2
3
9.4. 2
dx
.
4cos2 x 1 3sin2 x
dx
.
(2x 1 1)2 2 2x 1 1
8.5. 1 3 sin2 x cos3 x dx.
x2dx
.
x 11 11
9.1. 2
9.3. 2
dx
.
5 1 sin x 1 3cos x
x 13x
dx.
x 1 6 x 11
9.5. 1 3 cos2 x sin3 x dx.
x 11
dx.
x
10.1. 2
10.3. 2
10.5. 1
dx
.
4sin x 1 3cos x 1 5
sin3 x
5
cos3 x
dx.
10.2. 3
10.4. 2
3x 1 1 1 1
dx.
3x 1 1 2 3 3x 1 1
6
dx
.
7cos2 x 1 16sin2 x
181
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11.1. 2
x3dx
.
x 11
11.2. 2
x dx
.
11 4 x
11.3. 2
dx
.
3 1 cos x 1 sin x
11.4. 2
dx
.
5sin2 x 1 3cos2 x
11.5. 1 sin5 x cos4 x dx.
12.1. 2
x dx
.
x 11
x dx
12.2. 2
x 1 4 3 x2
12.4. 2
dx
.
sin2 x 1 sin2x 1 3cos2 x
.
12.3. 3
7 1 6sin x 2 5cos x
dx.
1 1 cos x
12.5. 1
3sin3 x dx
.
cos4 x
13.1. 2
dx
.
x (x 1 1)
13.2. 2
x dx
.
11 4 x
13.3. 2
dx
.
5 1 3cos x
13.4. 2
dx
.
3cos2 x 1 2
13.5. 1
sin3 x dx
14.1. 3
dx
.
11 x 22
14.2. 3
3
14.3. 2
6sin x 1 cos x
dx.
1 1 cos x
14.4. 3
dx
.
sin2 x 1 3sin x cos x 2 cos2 x
3
cos4 x
.
3x 1 1 2 1
dx.
3x 1 1 1 3x 1 1
14.5. 1 5 sin3 2x cos3 2x dx.
15.1. 2
dx
.
x x 12
15.2. 2
x 1 x 1 3 x2
dx.
x(1 1 3 x )
15.3. 2
dx
.
3sin x 1 cos x
15.4. 2
dx
.
5 1 3sin2 x
15.5. 1
cos3 x dx
3
sin4 x
.
182
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
16.1. 3
16.3. 3
x2dx
.
x 12 22
dx
.
4 1 4sin x 2 3cos x
16.2. 2
16.4. 3
x dx
.
x 1 3 x2
3tg x 1 1
dx.
sin2 x 2 4cos2 x
16.5. 1 cos3 x sin8 x dx.
17.1. 2
x 11
dx.
x x 12
17.2. 2
3x 1 3 x2
17.3. 2
dx
.
cos x 1 3sin x
17.4. 2
dx
.
3 1 2sin2 x
18.2. 2
x dx
.
11 3 x
18.4. 2
dx
.
2cos2 x 1 3
x dx
.
17.5. 1 cos4 x sin3 x dx.
18.1. 2
18.3. 2
x3dx
.
x 12
dx
.
3 1 5sin x 1 3cos x
18.5. 1 5 sin4 x cos3 x dx.
19.1. 3
dx
.
3 1 x 21
19.2. 3
x 1 3 x2
dx.
x(1 2 6 x )
19.3. 2
dx
.
7cos x 1 3sin x
19.4. 2
cos2 x dx
.
1 1 sin4 x
19.5. 1 sin2 3x cos4 3x dx.
20.1. 3
20.3. 2
x 1 2 dx
.
x 21
sin x 1 cos x
dx.
1 1 cos x
20.2. 2
20.4. 2
3
(x 1 1)2 1 6 x 1 1
x 11 1 3 x 11
dx
3sin2 x 1 5cos2 x
20.5. 1 5 sin x cos5 x dx.
21.1. 2
dx
.
21 x13
21.2. 2
4
x1 x
dx.
x 11
.
dx.
183
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
21.3. 2
dx
.
4cos x 1 3sin x
21.4. 2
tg x dx
.
1 1 ctg2 x
22.2. 3
11 x 21
dx.
(1 2 3 x 2 1) x 2 1
22.4. 2
16sin2 x 1 8cos x sin x
23.2. 2
x 1 3 x2
dx.
x(4 1 3 x )
23.4. 2
dx
.
1 1 3cos2 x
21.5. 1 cos5 x sin4 x dx.
22.1. 2
22.3. 3
xdx
.
x 1 3 11
dx
.
5 1 4sin x 2 2cos x
dx
.
22.5. 1 5 cos3 x sin5 x dx.
23.1. 3
x2dx
.
x 1 3 21
23.3. 3
3sin x 1 2cos x
dx.
1 2 cos x
23.5. 1
3cos3 x
dx.
sin4 x
24.1. 2
xdx
.
21 x13
24.2. 2
( 3 x 1 1)( x 1 1)
24.3. 3
dx
.
5 1 3cos x 2 5sin x
24.4. 2
dx
.
8sin2 x 1 16sin x cos x
25.2. 2
x 1 3 x2 1 6 x
dx.
x(1 1 3 x )
25.4. 2
3cos2 x 1 4sin2 x
26.2. 3
2x 1 1 1 3 2x 1 1
dx.
6 (2x 1 1)5 2 2 3 (2x 1 1)2
6
x5 1 x
dx.
24.5. 1 sin3 x cos8 x dx.
25.1. 2
25.3. 2
x3dx
.
x 13
dx
.
5cos x 1 10sin x
dx
.
25.5. 1 cos2 3x sin4 3x dx.
26.1. 2
x 11
dx.
x x 13
184
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
26.3. 3
dx
.
3 1 2cos x 2 sin x
26.4. 2
2tg x 1 3
dx.
sin2 x 1 2cos2 x
3
26.5. 1 sin4 x cos2 x dx.
27.1. 2
dx
.
x x13
27.2. 3
27.3. 2
dx
.
5 1 3cos x
27.4. 1
x 1 1 dx
.
x 11 2 6 x 11
dx
.
sin x cos3 x
27.5. 1 cos4 x sin2 x dx.
28.1. 2
28.3. 3
x dx
.
x 13
dx
.
8 1 4sin x 2 7cos x
28.2. 3
x 11 1 23 x 11
dx.
2 x 11 2 x 11
28.4. 2
dx
.
4sin2 x 1 5cos2 x
29.2. 3
3
29.4. 2
dx
.
7cos2 x 1 2sin2 x
30.2. 2
3
x 1 1 dx
.
x 11 1 x 11
30.4. 2
sin2x dx
.
cos4 x 1 sin4 x
3
28.5. 1 sin4 x cos3 x dx.
29.1. 2
dx
.
x 13
29.3. 2
dx
.
3 1 5cos x
29.5. 1
sin3 2x dx
30.1. 2
dx
.
x (x 1 3)
3
cos2 2x
.
30.3. 2
dx
.
2sin x 1 3cos x 1 3
30.5. 1
cos3 2x dx
3
sin2 2x
x 1 3 dx
.
x13 2 6 x13
.
6
185
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ИДЗ 22.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
þ
Вычислить определенные интегралы с точностью до второго знака по#
сле запятой.
3
3
1.1.
2
x 3 1 1 x2 dx.
2
0
1
3x4 1 3x2 1 1
dx.
x2 1 1
1.3. 2
0
12 /4
3
1.5.
12 /2
12 3
2
2.1.
0
3
2.3. 3
2
3
0
1
3.1. 2
0
3
3.3. 3
2
cos3 x
dx.
sin x
12x5 dx
x6 1 1
2
1.4. 2 x2 4 1 x2 dx.
0
3
2
dx
.
2 2 cos x
2.2.
1
2.4.
2
0
2.6.
2
2
2
dx
.
2 2x 2 4
x cos x dx.
0
6
3
12
3.6.
3
15
x2 1 9
dx.
x4
dx
.
x2 2 4x 1 21
1
sin x cos2 x dx.
0
3
x
2 dx.
1 /2
3.4. 2
1 /2
x2
12
x12
dx.
x2 (x 2 1)
2
4.3. 2
3
3.2.
sin3 2x dx.
1
4 1 x2
dx.
x2
2
x2dx
.
x2 1 1
0
4.1.
2 x2 e
12
1 /2
3.5.
dx
.
2x2 1 3x 2 2
1.6. 3
0
.
2x4 1 5x2 2 3
dx.
x2 1 1
1 /2
2.5.
1.2. 2 x ln(x 1 1) dx.
dx
.
x2 (x 1 1)
4.2. 2 x2 sin x dx.
0
1
4.4. 2 4 1 x2 dx.
0
186
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
4.5. 2 sin4
0
3
4.6.
3
0
cos x
dx.
1 2 cos x
x5dx
3 x 2 2.
11
1 /3
5.5.
1/2
2
4/3
2
3/4
3
6.3. 3
2
3x2 1 2x 2 3
dx.
x3 2 x
2
1
13
2
6.2. 2 (x 1 1) ln x dx.
1
3
6.4.
0
sin x
3 (1 2 cos x)3 dx.
1 /2
2
0
5
8.3. 3
4
4x2
11/2
xdx
2 (x 1 1)3 .
1/3
8.1. 2
3
6.6.
x3dx
.
x4 1 4
dx
.
(x 1 1)(x 2 2)
dx
.
2 4x 2 5
0
7.2.
2
xe 12x dx.
11/2
3
7.4.
2 x2
9 1 x2 dx.
13
1
7.5.
3 1 x2 dx.
0
1/2
7.3.
2
1/2
tg2 x dx.
dx
.
25 2 3x
3
dx
.
x2 1 x
5.6. 2
0
7.1.
x3 1 1
dx.
4 2 x2
3 x2
1
dx
.
x2 1 1
arccos2x dx.
3
5.4.
1 /3
6.5.
2
11/2
2
cos3 x sin2x dx.
0
6.1.
x2dx
3 13 1 6x3 2 x6 .
5.2.
1
5.3.
5
1
1 /2
5.1.
x
dx.
2
1
7.6.
3
11/2
dx
.
8 2 2x 1 x2
1
8.2.
4 x 3 sin x 3 cos x dx.
21
1
8.4.
2
2
1 1 x2
dx.
x6
187
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1 /4
3
8.5.
2
2cos x 2 sin3x dx.
0
8.6. 2
1
12/3
e
1 1 ln x
dx.
x
1
9.1. 2
4
9.3. 3
3
dx
.
(x 1 1)(x 2 2)
1
x
x
9.5. 3 cos 2 cos dx.
2
3
0
1
10.1. 2
0
1
10.3. 3
0
2
9.2.
11/3
1
0
2
9.6. 2
0
e
(2x 1 3) dx
.
(x 2 2)3
10.4.
1
2
dx
.
(x 1 1)2 (x 2 1)
1 /2
11.5.
3
0
4
12.1. 3
2
5
12.3. 3
3
2
dx
.
x2 (1 1 x2 )3
x2
x 15
dx.
1 2x 2 2
3 /3
10.6. 3
1
dx
3 1 2 cos2x.
1 /4
3
ln2 x
dx.
x2
1
1 /2
11.3. 3
xdx
.
1 3x 1 2
2
(32cos2 4x 2 16) dx.
0
11.1.
x2
10.2. 1
3
x
dx.
e3 x
9.4. 2 (1 1 x2 )3 dx.
x3
dx.
8
x 11
1 /32
10.5.
dx
.
x2 1 5x 1 4
e2
11.2.
2
x 1 ln x dx.
2
x2 1 1
dx.
x
1
11.4. 2
1
1
cos x dx
.
sin2 x 2 1
11.6.
dx
.
5 1 4x 2 x2
12.2. 1 arctg x dx.
(x2 1 2) dx
.
(x 1 1)2 (x 2 1)
3
11
x2
dx
.
2 2x 2 5
1
0
1
12.4. 2
0
(x 2
dx
.
1 3)3/2
188
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 /3
12.5.
2
8
tg4 x dx.
1 /4
6
1
13.1. 2 x3 4 1 5x4 dx.
0
1
13.3. 3
0
x4 1 3x3 2 1
dx.
(x 1 1)2
x
3x
13.5. 2 cos cos dx.
2
2
0
1
3 sin2
21
x
dx.
2
0
14.3.
1
x
13.2. 3 (x 2 2) cos dx.
2
0
2
13.4.
2
1
x5 1 2x2 2 3
3 (x 1 2)2 dx.
11
13.6.
3
1/2
1 /8
14.2.
3
15.1. 1
1
1
15.3. 2
0
1
14.4. 2
0
1
15.2. 1 x2 ln x dx.
xdx
.
2
x 1 3x 1 2
15.4.
1/2
0
10
16.3.
3
8
2
ex
dx.
x2
2
2
2x 1 8
dx.
1 1 x 1 x2
2
14.6.
11/2
0
16.1.
x2dx
.
(x2 1 1)2
0
sin3x 2 cos5x dx.
1 /3
15.5.
x2 2 sin4x dx.
0
0
2
dx
.
x 1 x2
2
1 /4
14.5.
2 1 x2 dx.
3/4
1
14.1.
dx
.
x2 1 2x
12.6. 2
1
6
2
2 3
x2
1
sin3 x
dx.
cos4 x
xdx
1 1 x2
15.6.
3
3/4
2
.
(x2 1 3) dx
.
x 3 2 x 2 2 6x
16.2. 2
1
dx
.
2 1 3x 2 2x2
ln(x 1 1)
dx.
(x 1 1)2
1
16.4.
dx
.
x2 1 9
2
1/ 3
dx
.
x2 1 1 x2
189
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1 /6
16.5.
2
0
2
dx
.
cos x
16.6.
dx
.
2 1 x 21
3
x
1/6
3
2
1
17.1. 2 3(x2 1 x2 e x ) dx.
3
3
dx
2 x 4 1 x2 .
3 /2
1 /2
2
2
17.4.
1
17.5.
17.6. 3
cos x
dx.
22
x
1 /9
3
x7 dx
.
1 1 x4
2
18.3. 2
2
arctg(2x 1 3) dx.
3/2
3
dx
18.4. 2
(9 1 x2 )
0
5
cos x 2 cos3x 2 cos5x dx.
18.6.
0
3
3,5
3
x2dx
.
1 6x 2 10
2
18.2.
1 /2
3
x2
3
12
18.5.
1 1 x2 dx.
1/2
4
ctg3 x dx.
1 /6
18.1.
arctg(2x 1 3) dx.
3/2
0
17.3.
2
17.2.
x2
9 1 x2
xdx
.
1 7x 2 13
e
x2dx
.
1 1 x6
19.2. 1 x ln2 x dx.
dx
.
x4 1 1
19.4. 2
19.5. 3 cos4 x 2 sin2 x dx.
19.6. 3
19.1.
2
1
3
19.3. 2
2
1
0
e
20.1. 1
1
sin(ln x)
dx.
x
1
4
xdx
2 x3 1 1.
11
x2 1 4
dx.
x
2
3
3x 1 2
dx.
x2 1 4x 2 5
2
0
20.2.
2 (x 1 2)e
1
x
3 dx.
13
1/2
0
20.3.
.
20.4.
dx
.
2 ) 1 1 x2
(1
x
1
11/2
2
190
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 /2
20.5.
2
2
sin6 x dx.
13/2
0
e
21.1.
dx
.
x 1 1 ln2 x
2
1
3 /3
3
21.3.
0
1
21.5.
2x2 1 4
dx.
3
x 2 x2 1 x 1 1
1 /9
21.2.
1 2 sin x dx.
1 /2
0
2,5
0
1 2 tg x
3 sin2x dx.
1 /6
2 arcsin(1 1 x) dx.
1/2
22.4.
2
1
2
0
11/2
23.2.
7
dx
.
(x 1 1)(x2 1 4)
23.4.
2
7
x4
dx
.
x2 1 3
x2
x3dx
.
1 3x 2 2
10
23.6.
3
7
0
12ctg3xdx.
1 /18
9
2
2
1 /6
24.3. 3
1
1 arctg x dx.
1
sin2x
2 cos3x dx.
1 /6
24.1.
x3dx
.
2 x 21
x2
3
sin x cos3 x dx.
1 /4
23.5.
3
22.6.
1 /6
23.3. 2
x4 dx
.
(1 1 x2 )3
2
0
1 /2
23.1.
dx
.
(5 1 x2 )3
1/2
1 /4
22.5.
xdx
.
cos2 3x
1
22.2.
3
dx
.
x2 (x 1 1)
(x 1 1)2
dx.
2 3x 2 4
x2
xdx
.
x4 1 4x2 2 3
21.6. 3
8
4
2
21.4.
4
22.1. 2 x 1 1 dx.
5
2
5
3
22.3. 2
3
20.6.
x2 1 x 2 2
dx.
x4 1 5x2 2 4
24.2.
2 x ln(1 1 x) dx.
11
4
24.4. 2
2
16 1 x2
dx.
x4
191
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4
1 /8
3
24.5.
dx
.
4 1 3x
25.2. 2
7/2
0
1
25.1. 2
0
6
4
1
0
sin x 2 sin2x 2 sin3x dx.
1 /4
2
26.1.
2
4 1 x2
1
2
26.3. 2
1
2
1 /3
e
27.1. 1
1
dx
.
sin x
ln2 x
dx.
x
3
27.3.
2
1
x5 1 1
dx.
x6 1 x 4
1 /2
27.5.
2
0
26.2. 2 ln(3x 1 2) dx.
1
8
dx
2 4x2 1 9.
11
3
2
2
26.4.
4 2/3
0
2
26.6.
11/3
x 3 1 x2 1 2
dx.
x(x2 2 1)2
x2 1 8
dx.
x4
dx
.
2 1 6x 1 9x2
4
27.2. 2 x3 x2 1 9 dx.
0
2
27.4.
2 x5
1
27.6. 3
4
0
28.3. 3
dx
.
x 2 1 4x 1 5
25.6. 2
7
cos5 x dx.
0
28.1.
dx
.
2x 1 3x 1 1
25.4. 2
2
.
dx
.
x3 1 1
1 /2
26.5.
5
0
xdx
dx
.
8x 1 x2 1 15
arcsin(x /2)
dx.
21x
1
3
25.5.
1
xdx
.
x3 1 6x2 2 16x 1 6
25.3. 3
2
sin x 2 sin3x dx.
24.6.
dx
.
x2 1 1
dx
.
x2 1 3x 2 10
0
28.2.
3 (x 2 1)e12x dx.
11
3
28.4. 2 x4 9 1 x2 dx.
0
192
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
1
3
28.5.
cos2 x 2 sin4 x dx.
1 /2
1/3
1 /2
2
29.1.
cos x sin3 x dx.
x3
29.3. 3
24
x3 (x 1 2)2
3
1 /2
2
29.5.
1 2x2
1 /3
dx
.
sin3 x
1 /4
2
30.1.
0
1/ 3
2
30.3.
0
1
x3dx
.
9 1 x2
29.4. 2
0
3
2
29.6.
x tg2 x dx.
3/2
dx
.
4x 1 3 1 x2
1
xdx
.
cos2 (x2 )
30.2. 2 x 1 arctg x dx.
x2dx
.
x4 1 1
30.4.
30.5. 2 sin4
0
2
0
3
dx.
dx
.
8 1 6x 2 9x2
1 /4
29.2.
1 /6
5
3
28.6.
x
dx.
2
0
6
2
6 1 x2 dx.
0
1
30.6.
dx
.
2 2 2x 2 3
x
11
3
ИДЗ 23.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Выяснить, какие из перечисленных интегралов являются несобственными, а какие — определенными. Определенные интегралы вычислить,
применив формулу Ньютона–Лейбница. Несобственные интегралы вычислить или доказать их расходимость.
1
1.1.
xdx
3 16x4 2 1.
0
1/2
1.3.
2
0
1
1.5.
dx
.
3
2 1 4x
1
1.2.
2
e 11
1
dx
.
x ln x
dx
.
21x
1.4. 2
0
dx
3 (2x 2 1)ln4 (2x 2 1).
1
1
16xdx
2.1. 3
.
16x4 2 1
1
0
2.2.
12 /6
cos2xdx
2
3
34
6 sin2x 5
7
8
2 9
.
193
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1/2
2.3.
2
0
1
2.5.
3
3
x3dx
.
16x4 2 1
3
0
1/3
3.3.
2
0
1
3.5.
1
2.4. 2
dx
.
21x
3
0
(lnln(2x 2 1))21 dx
.
(2x 2 1)ln(2x 2 1)
1
3.1.
dx
.
3 (2 1 4x)5
e
31
1
x dx
x2
0
6
3.2.
34 /6 3
4
3.4.
.
3
13
3
3
2 cos xdx
1
1
sin x 5
2
2
2
.
dx
.
(4 2 x)5
dx
2 x ln2 (3x).
1
1
4.1.
3
1
1/2
xdx
16x4
21
.
4.2.
dx
2 (3x 1 1)ln(3x 1 1).
2/3
1
4.5.
3
3
1
5.1.
3
0
3
5.3. 2
1
1
5.5.
(1 1 4x2 )
0
3
1
4.3.
5 dx
.
2 3 arctg2x
4
4.4.
3
12
dx
.
(3 2 x)4
3
ln2 (3x 2 2) dx
.
3x 2 2
1 /2
xdx
(x 2
2 4)3
.
dx
.
3 (3 1 x)4
5.2.
3
0
2
5.4. 2
1
sin x dx
.
1 2 cos x
5
ln(3x 1 1) dx
.
3x 1 1
dx
3 (5x 2 3)ln2 (5x 2 3).
1
1
6.1.
3
0
x2dx
.
3 (x3 2 8)4
2 1 /3
6.2.
3
1 /2
sin x dx
.
5 cos x 2 1
2
194
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
6.3.
dx
3 20x2 1 9x 2 1.
1/4
1
6.5.
1
6.4.
ln3 (x 2 5) dx
.
x 25
3
7
1
xdx
7.1. 3
4
0
(16 2 x2 )5
1/3
.
7.2.
ln2 dx
2 (1 1 x)ln(1 1 x).
12
1
1
1
xdx
4
x2
4
0 3
8.3.
2
11
1
8.5.
1
7.4.
2 4x 3 1
0
.
ln(2 1 3x) dx
.
2 1 3x
8.2.
dx
5 3 (x2 4 4x 4 5).
21
1/3
8.4.
xdx
.
1
1 x4
0
2
cos2x dx
1/2
9.2.
3
0
1/2
9.4.
xdx
4 x2 3 4x 3 5.
21
dx
.
(2 1 3x) 2 3 ln(2 1 3x)
2arccos2x
dx.
1(1 2 4x2 )
xdx
2 1 1 x4 .
0
e
10.2. 1
1
.
3
3 3 sin2x 4
2
(lnln(3x 2 2))22 dx
.
(3x 2 2)ln(3x 2 2)
1
10.1.
3
0
1
9.3. 2
1
5
12 /6 4
1
9.5. 3
dx
.
2 (2 1 x)
(
x
1
2)ln
1/2
2
ln(3x 2 2) dx
.
3x 2 2
3
2
9.1.
dx
.
6x2 1 5x 2 1
dx
.
(4x 2 1)ln2 (4x 2 1)
7.5. 3
8.1.
3
0
11
7.3.
(40x 1 9) dx
.
20
x2 1 9x 2 1
1/2
3
dx
.
x ln x
195
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1 /6
10.3.
3
6
0
1
10.5. 3
1
1
11.1.
4
0
(1 2 sin3x)5
1 /2
.
10.4.
3
1 /3
cos3x dx
6
(1 2 sin3x)7
.
dx
.
(6x 2 5)ln5/2 (6x 2 5)
arctg(2x) dx
.
2(1 3 4x2 )
1
2xdx
11.3. 2
1 1 x4
0
1
11.5.
cos3x dx
3
dx
.
x2 1 3x 2 2
11.2. 3
2
1/2
.
11.4.
2x3dx
.
1 1 x4
2
0
dx
3 (2x 2 2)ln4 (2x 2 2).
2
1
12.1.
4
1/2
21
12.3.
2
0
1
12.5. 3
3
1
13.1. 3
0
dx
.
3 (1 1 3x)5
2
0
1
13.5.
3
1
1
14.1.
xdx
.
2
4x 2 4x 2 5
dx
.
5
3 1 4x
2
0
dx
.
(1 1 2x)ln2 (1 1 2x)
0
3
12.4.
11/3
3
dx
.
1 2 3x
1
13.2. 3
0
2arcsin x
dx.
1(1 2 x2 )
1
13.4.
2
3/4
5
dx
.
(3 1 4x)3
ln3 (3x 2 4) dx
.
3x 2 4
(x 2 2) dx
3 3 (x2 2 4x 2 1)4 .
0
1/4
12.2.
(lnln(3x 2 1)) 23 dx
.
(3x 2 1)ln(3x 2 1)
1/2
13.3.
16dx
.
2(4x2 3 4x 3 5)
1 /2
14.2.
3
0
e 2 tg x
dx.
cos2 x
196
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2
14.3. 2
1
1
14.5.
4
dx
.
x2 1 x 1 2
(2x 1 1) dx
.
(x2 1 x 1 2)3
14.4. 2
3
dx
3 (2x 2 5)ln3 (2x 2 5).
1
1
15.1.
4
0
1/2
15.3.
3
1
3
6
2
16.3. 2 5
1
3
1
17.1. 3
1
2
1
3
1
1
2
.
dx
.
4x 1 x2 1 4
sin x dx
dx
.
(x 1 1)ln3 (x 1 1)
16.2. 2
0
1,5
16.4.
3
5
1
7
cos2 x
1/3
17.2.
x2
dx
.
1 4x 2 4
(x 1 1) dx
.
6x2 1 5x 2 1
3
0
1
.
sin x dx
2
17.4.
5
2 1 /3
cos2 x
ln3 (4x 2 8) dx
.
4x 2 8
18.1. 3 (2 2 x) e 22x dx.
0
0
4dx
.
x(1 2 ln2 x)
1 /2
17.5.
2
dx
.
x ln3 (4x)
1
17.3.
x3
dx.
1 16 2 x8
2e12 1 arcsin x dx
.
1 1 2 x2
1
15.4. 3
.
2 (1 3 4x2 )
0
1
dx
3
0
2arctg2x dx
4
16.5. 2
arcsin x
15.2.
(lnln(x 2 2)) 21 dx
.
(x 2 2)ln(x 2 2)
1
16.1.
2
e1
1 1 2 x2
0
15.5.
2
(3 2 x2 ) dx
.
x2 3 4
1
18.2. 2
0
11
e
1
x
dx
.
x2
.
197
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11/2
111/16
1
18.5. 3
4
3
12
dx
.
4x 2 3
3
13/4
1 /2
7dx
.
(x2 1 4x)ln5
2
(x2
1
1 1)3 ln2
1
19.2.
2
0
cos3 x dx
.
sin x
10
xdx
19.3. 2
19.5.
18.4.
dx
.
(3x 2 2)ln9/4 (3x 2 2)
11
19.1.
0
dx
.
(4x 2 3)5
3
18.3.
.
19.4.
xdx
2
x2 1 1
5
.
dx
3 (5x 2 3)ln4 (5x 2 3).
1
1
20.1.
2 dx
4 (1 3 9x2 )arctg2 3x.
1/3
1 /2
20.3.
2
1 /4
1
20.5.
cos x dx
3
sin5 x
1/3
20.2.
3
0
1 /2
.
20.4.
2
0
dx
.
9x2 1 9x 2 2
cos x dx
3
sin2 x
.
dx
3 (x 2 5)ln3 (x 2 5).
4
1
21.1.
4
2
(4 2 x2 ) 3 arctg
3/4
21.3.
3
1/4
x
2
.
(2x 1 3) dx
.
x2 1 3x 2 2
1
21.5.
1 /2
dx
21.2.
2
0
2
21.4.
3
4/3
3sin3 x dx
.
cos x
dx
.
x2 1 3x 2 2
dx
3 (2x 2 7)ln4 (2x 2 7).
1
1
22.1.
dx
3 (x2 2 2x)ln3.
1
1 /2
22.2.
3
0
cos x dx
.
sin x 2 1
198
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
41
22.3.
2
10
1
22.5.
xdx
45
5
9 1 x2
3
.
1
23.1. 4 e 23x 3 x dx.
0
0
x4dx
2 7 1 1 x5 .
11
1
23.5.
0
x 4
3 x2
5
6 3
7 dx.
1
5
x
1
1
x2 9
8
12
3
24.3.
4
2
1/2
1
24.5.
.
6
23.2. 3
5
dx
.
x2 1 9x 2 20
1
23.4. 2
3
0
x4 dx
.
1 1 x5
(lnln(3x 3 6))23 dx
.
(3x 3 6)ln(3x 3 6)
4
1
24.1.
9 1 x2
0
ln2 (2x 2 2) dx
.
2x 2 2
3
2
23.3.
xdx
22.4. 2
x2dx
.
64 1 x6
e
24.2. 2
1
dx
.
x(ln x 1 1)2
2
24.4. 2
0
x5dx
.
64 1 x6
dx
3 (6x 2 3)ln(6x 2 3).
1
1
25.1.
4
0
dx
.
2x2 2 2x 3 1
1/3
25.3.
2
0
1
25.5.
dx
.
9
1 1 2x
1 /3
25.2.
dx
.
(1
tg
x
)3 cos2 x
2
1 /4
3
1
25.4.
2
1/2
9
dx
.
(1 1 2x)4
dx
2 x ln x (lnln x)2 .
4
1
26.1.
3
1
dx
.
x2 (x 2 1)
1 /2
26.2.
3
1 /4
sin2 x
dx
.
1 2 ctg x
199
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
5
x2dx
.
(x3 1 1)3
26.3. 2
1
1
26.5.
3
1
1
27.1.
3
e2
dx
.
(ln x 2 1)2 x
dx
.
2
1x 2 3x 1 2
3
1
1
27.5.
x3dx
.
x4 2 1
3
11
ln(7x 2 4)
dx.
7x 2 4
3/2
27.3.
0
26.4.
1 /2
27.2.
sin5 x dx
.
cos2 x
2
0
0
27.4.
(3 1 2x) dx
3
11
3
4(1x2 2 3x 1 2)
dx
3 (5x 2 3)ln5 (5x 2 3).
1
1
28.1.
4
3
dx
.
x2 2 3x 3 4
1 /2
28.3.
3
0
e 2 ctg x
dx.
sin2 x
1
28.5.
4
10xdx
28.2. 2
4
0
(16 1 x2 )3
1 /2
28.4.
e 2 ctg x dx
.
sin2 x
3
1 /4
dx
3 (7x 2 2)ln(7x 2 2).
1
1
29.1.
4
1
dx
.
9x2 2 9x 3 2
1
xdx
.
1 1 x2
0
29.2. 2
1/4
1
29.3.
2
3
1 1 4x dx.
1
2
0
1/4
29.5.
29.4.
3
dx
.
1 1 4x
dx
3 (5 2 2x)ln7/3 (5 2 2x).
1
1
30.1.
4
3
dx
.
2
x 2 3x 3 2
2
30.2. 2
1
.
1
e x 12
dx.
(x 1 2)2
.
200
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1/2
30.3.
2
0
1
30.5.
2
dx
.
(2x 1 1)2
30.4. 2
1
3
dx
.
(2x 1 1)2
dx
3 (4x 2 7)ln10/3 (4x 2 7).
1
ИДЗ 24.
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
þ
Вычислить приближенное значение определенного интеграла двумя
способами, используя: а) формулу трапеций; б) формулу Симпсона. Дли<
ну шага в обоих случаях принять равной 0,1. Все вычисления выполнить
с округлением до четвертого десятичного знака.
2,1
1.
2
0,7
0,6x 1 1,5
2x 1 x2 1 3
2,6
3.
2,5
dx.
2.
2,4 1
1,8
1,2x2
1 0,6
dx.
4.
0,7 1 2x2 1 0,5
1
2
9.
2
1,2
2,1x 1
2,8
11.
2
1,2
2,4
13.
2
0,6
1,2
15.
2
0,4
2,2
17.
2
1
11
0,3x2 1 2,3
dx.
0,8 1,8 1 2x 1 1,6
1,7x2 1 0,5
dx.
0,7 1,4 1 1,2x 1 1,3
2
1 1,4
10.
2
0,7
1,5x 1 0,9
2,5x 1 0,8x2 1 0,5
dx.
2,4
1 0,5
1,1x2 1 0,9
1,6 1
dx.
2
2,1
1,3x2
0,8x2
8.
dx.
1,2x 1 0,7
1,4x 1
6.
dx.
0,6x 1 1,7
0,7x2
1,5x 1 x2 1 1,3
2,1
0,4x 1 3
2
0,4x 1 1,7
dx.
1,6
0,7x2 1 2,3
2 3,2 1 0,8x 1 1,4 dx.
0,5
2,6
7.
2
1,2
1,9
5.
1,4 1 0,8x2 1 1,3
2,6
2x 1 1,7
2
2
1,3
x2 1 0,6
dx.
12.
1,5x 1 2,3
dx.
0,8 3 1 0,3x 1 1
2
2,2
dx.
14.
2
0,6
1,8
2x2 1 1
dx.
0,8x 1 0,5x 1 2
16.
0,8x2 1 2
dx.
1,6 1 1,5x 1 0,6
18.
2
0,8
2,6
1,5x 1 1
1,2x 1 x2 1 1,8
1,5x2 1 2
x 1 0,8x2 1 1
dx.
dx.
1,2x2 1 1
dx.
1,2 1,7x 1 2x 1 0,3
2
201
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2
19.
0,5x2 1 3
2 1,6 1
2,4
dx.
20.
1,3x2 1 0,8
2 1,7x 1 2x 1 0,5 dx.
1,3
22.
2x2 1 1,6
1,2
2,7
21.
1,4
0,7x2 1 1
2 2,1x 1 0,6x 1 1,7 dx.
1,2
2
25.
2
1,2
2,4
27.
2
0,8
0,5x2 1 3
2x 1
2x2
1 1,6
x2 1 0,5
2x 1 x2 1 2,5
1,6
24.
2
0,8
dx.
2x 1 1,6
1,8 1 0,3x2 1 2,3
26.
2x2 1 0,7
dx.
1,2 1,5 1 0,8x 1 1
2
1,7
0,7x 1 2,6
1,1x 1 0,8x2 1 1,3
dx.
28.
x2 1 1,3
dx.
2
1,2 1,5x 1 0,4x 1 1,7
2
0,5
0,5x2 1 2,1
1,9 1 1,7x2 1 1
2,5
30.
2
1,3
0,8x2 1 1,3
1,4 1 x2 1 0,6
Найти неопределенный интеграл.
1.1. 3
x 1 (arccos3x)2
1 2 9x2
dx.
1.3. 2 x3 1 e x dx.
2
1.5. 3
x12
dx.
x3 2 2x2 1 2x
1.2. 2
dx
.
cos2 x 1 sin2 x
1.4. 3
x2
1.6. 3
2.1. 2
1 1 ln x
dx.
x
2.2. 1
2.3. 2
x 15
dx.
3x2 1 6x 1 1
2.4. 2
3x 1 1
dx.
1 6x 2 10
x 11
dx.
x5 2 4 x 3
6
6
x2
x
e2
dx.
dx
.
1 1 ex
x dx
.
11 3 x
2.5. 2
xdx
.
x3 1 1
2.6. 2
3.1. 2
2arctg x
dx.
1 1 x2
3.2. 1 x2 cos3x dx.
dx.
dx.
Контрольная работа 6.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
þ
dx.
2,4
dx.
2,6
29.
2
0,6
2
23.
0,4x2 1 1,5
dx.
0,8 2,5 1 2x 1 0,8
2
202
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3.3. 3
4x 2
3.5. 2
x 11
dx.
2 12x 1 13
3.4. 2
x3
2x2 1 1
dx.
1 x2 1 2x 1 2
1 1 x2
dx.
x
3.6. 1 cos2x sin2 x dx.
cos x
dx.
sin2 x
4.2. 1
ln x
dx.
x2
dx
.
3sin x 1 4cos x
4.1. 1
5
4.3. 2
dx
.
4x3 1 x
4.4. 2
4.5. 2
3
xdx
.
11 x
4.6. 3
dx
5.1. 2
x 11 x
5.3. 3
x12
dx.
3 1 2x 2 x2
.
2x2 1 1
dx.
1 2x2 1 2x
5.5. 2
x3
6.1. 2
3
6.3. 2
x2dx
.
(x 1 2)2 (x 1 4)2
sin x dx
.
3 1 2cos x
5.2. 2
5.4. 2
2x 1 1
dx.
1 4x 2 1
x2
arcsin x
dx.
11 x
x2
dx.
(2 1 x2 )3
5.6. 1 sin3 x cos2 x dx.
6.2. 2
x12
dx.
x2 1 2x 1 5
6.4. 1 x2 cos6x dx.
dx
6.5. 3 x5 1 3 (1 2 x3 )2 dx.
6.6. 2
x 11
dx.
x3 2 x
7.2. 2
(4 1 x2 )3
dx.
x4
7.4. 3
2x 1 1
dx.
5x2 1 x 2 2
7.1. 3
7.3. 2
1 1 2x
dx.
1 1 4x2
sin2 0,5x 1 cos2 0,5x
7.5. 1 ln2 x dx.
7.6. 1 sin2x cos5x dx.
8.1. 1 x3 arctg x dx.
8.2. 3
3x 1 4
dx.
2 x 2 1 6x 2 8
.
203
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
xdx
8.4. 2 cos2x 1 cos2 x dx.
8.3. 2
1 1 x4
8.5. 3
x 11
dx.
x3 2 8
8.6. 2
3
9.1. 3
3x 1 1
dx.
4x2 1 4x 2 17
9.2. 2
sin2x
dx.
3sin2 x 1 4
9.3. 3
3x 1 7
dx.
x 3 2 x 2 2 4x 2 4
9.4. 1 tg3 2x dx.
9.5. 3
ex 1 1
dx.
ex 2 1
9.6. 2 x 1 5x dx.
.
x 11
dx.
3x 1 1
10.1. 2
dx
.
2sin x 1 3cos x
10.2. 2
x2 1 1 1 x
dx.
3
11 x
10.3. 2
2x2 1 x 1 1
dx.
x3 1 x2 1 6x
10.4. 3
x 1 arctg x
dx.
1 2 x2
10.6. 2
x2
11.2. 2
x3 1 2
dx.
x4 1 3x2
11.3. 3 e 12x 2 sin(e 12x ) dx.
11.4. 1
sin3 x
dx.
cos4 x
11.5. 1 x2 sin x dx.
11.6. 2
1 1 x2
dx.
x
12.1. 1 x2 2x dx.
12.2. 3
3x 1 1
dx.
x2 2 2x 2 2
10.5. 1 x2 e3x dx.
11.1. 3
x18
dx.
3 2 2x 1 x2
x 11
dx.
1 x 11
12.3. 2
sin2x
dx.
1 1 cos2x
12.4. 2
2xdx
.
(x 1 1)(x2 1 x 1 2)
12.5. 2
dx
.
sin2 x 1 4cos2 x
12.6. 3
3
13.1. 2
dx
.
x 1 1 ln2 x
13.2. 1 x ln x dx.
dx
.
11 x 2 11 x
204
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
13.3. 2
(x 1 5) dx
.
2x2 1 2x 1 3
13.4. 2
dx
.
5 1 4sin x
13.5. 2
dx
.
(1 1 x2 )3
13.6. 2
5x3 1 8
dx.
x 3 1 4x
14.1. 2
dx
.
2
x x2 1 1
14.2. 2
14.3. 3
dx
.
2
13x 2 4x 1 1
x3 1 3 x
dx.
64 x
x
14.4. 1 x2 5 2 dx.
dx
.
x4 1 2x3 1 2x2
14.5. 1 sin x sin3x dx.
14.6. 2
15.1. 1 cos5 x sin x dx.
15.2. 3
8x 1 11
dx.
5 2 2x 1 x2
x 11 11
dx.
x 11 21
15.3. 2
x2dx
.
1 1 x4
15.4. 3
15.5. 2
cos x
dx.
1 1 cos x
15.6. 3 (x2 1 1) 2 3x dx.
16.1. 2
5 ln x dx
.
x 1 1 25 ln x
16.2. 2
5x 1 3
dx.
3x2 1 2x 1 1
16.3. 1
xdx
.
cos2 x
16.4. 3
dx
.
x 3 1 4x 2 x 2 2 4
16.5. 1 cos3x cos x dx.
1
17.1. 6 sin 5x 4
2 1 2
3
3
cos x 5 dx.
4
4
16.6. 2 4 1 x2 dx.
17.2. 2 (1 1 x) sin x dx.
2x 1 10
dx.
1 2 x 1 x2
17.4. 3
3
17.5. 2 (1 1 sin2x)2 dx.
17.6. 3
2x2 1 5x 2 1
dx.
x3 1 2x2 2 x
18.2. 2
e2 x
dx.
ex 1 1
17.3. 3
18.1. 3
x3
x12
dx.
2 2x2 1 2x
dx
.
3x 1 1 2 1
205
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
18.4. 1 3 x2 ln x dx.
18.5. 3
arctg2 x
dx.
1 1 x2
dx
.
x 1 x2 2 1
19.1. 2
sin5x
dx.
1 1 cos2 5x
19.2. 1 arctg x dx.
18.3. 2
3
18.6. 1 sin5x cos3x dx.
19.3. 3
x14
dx.
x2 1 2x 2 3
19.4. 2
dx
.
x4 1 1
19.5. 2
x2dx
.
4 1 x2
19.6. 2
sin3 x 1 1
dx.
cos2 x
20.1. 2
3 1 2ctg2 x
dx.
cos2 x
20.2. 3
20.3. 1
xdx
.
sin2 x
20.4. 2
3
20.6. 3
x2 1 1
dx.
(x 2 1)3 (x 1 3)
21.2. 3
5x 1 3
dx.
2x2 2 8x 2 1
dx
.
4sin x 1 3cos x 1 5
20.5. 1 ctg4 x dx.
21.1. 2
3x3 1 x2 1 5x 1 1
dx.
x3 1 x
6
(x 1 2) dx
4x2 2 4x 1 3
dx
.
x1 x
21.3. 2
x
dx.
11 3 x
21.4. 2
21.5. 2
xdx
.
2x4 1 5
21.6. 3 (x 1 1) 2 e x dx.
22.1. 2
dx
.
x (x 1 7)
.
22.2. 2 (x2 1 2x 1 3) cos x dx.
22.3. 3
(3x2 1 x 2 6) dx
.
x3 1 x2 2 3x 1 3
22.4. 2
22.5. 2
x4 dx
.
x4 1 16
22.6. 2 sin2 x 1 cos4 x dx.
23.1. 3
(1 1 x2 )(arctg x 2 3)
dx
.
23.2. 3
xdx
.
2x2 1 2x 1 5
x2
3x 1 2
dx.
2 4x 1 12
206
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
21x
dx.
(7 1 x)3
23.5. 2
ln x dx
.
x3
2x 1 3
dx.
x
23.6. 2 (1 1 sin4 x) dx.
24.1. 2
dx
.
cos2 x (1 1 tg x)3
24.2. 3
23.3. 1
23.4. 2
24.3. 2 e2x 1 sin2x dx.
24.4. 3
x14
dx.
7 1 6x 2 x2
(x 1 1)2 dx
.
x3 2 2x2 2 x
3
24.5. 2
dx
.
5 1 3cos x
24.6. 2
x dx
.
x( x 1 3 x )
25.1. 2
e2x dx
.
e4 x 1 5
25.2. 2
dx
.
x 4 1 x2
.
25.4. 2
dx
.
x 2x 1 9
25.5. 2 ln(x2 1 1) dx.
25.6. 2
dx
.
3 1 5sin x 1 3cos x
25.3. 3
(5x 1 3) dx
5 1 4x 2 x 2
26.1. 2
x2 1 3
dx.
e2 x
26.2. 2
26.3. 1
dx
.
x ln5 x
26.4. 3
dx
.
x4 1 6x3 2 9x2
26.6. 2
sin3 x dx
.
1 1 cos x
27.1. 2 (x 1 2) ln x dx.
27.2. 3
x2 1 x 1 5
dx.
x(x 1 3)(x 2 2)
2x 1 3
dx.
x2 2 5x 1 7
27.4. 2
26.5. 2
27.3. 3
27.5. 3
28.1. 2
x 11
dx.
2x 1 1
dx
(1 1 x2 ) 2 arcsin x
81x 1 3x
dx.
9x
.
27.6. 1
28.2. 3
dx
.
3 1 x 1 x2
dx
.
x 11 11
dx
.
tg3 3x
1 1 2x
dx.
1 1 6x 2 3x2
207
7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
28.3. 2
xdx
.
1 1 2x 1 1
28.5. 3
x4
x2 1 3
dx.
1 5x2 2 6
29.1. 1 2x 32x dx.
29.3. 2
x 11
dx.
5x2 1 2x 1 1
29.5. 2
28.4. 1 sin(ln x) dx.
28.6. 2
dx
.
2sin x 1 cos x
29.2. 1 arcsin x dx.
29.4. 2
x13
dx.
(x 1 2)(x2 1 x 1 1)
dx
.
1 1 2x 1 4 1 1 2x
29.6. 2 (tg x 1 ctg x)3 dx.
sin x dx
.
7 1 2cos x
30.2. 2 x ln(x2 1 1) dx.
30.1. 2
3
30.3. 3
x2
30.5. 1
dx
.
sin3 x
3x 1 1
dx.
1 4x 2 8
30.4. 3
( x 1 1)( 6 x 2 1)
30.6. 3
x4 1 2x 2 2
dx.
x4 2 1
3
x2
dx.
8.
РЯДЫ
Числовым рядом называется выражение
1
a1 3 a2 3 ... 3 an 3 ... 2 4 an ,
(1)
n 21
где числа a1, a2, ..., называемые членами ряда, образуют числовую последо
вательность; an = f(n), n = 1, 2, ..., называется общим или nм членом ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется его nй частич
ной суммой:
Sn = a1 + a2 + ... + an.
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если существует lim Sn 3 S, а
n 12
конечное число S называется суммой этого ряда. Если lim Sn не существует
n 12
или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (1) сходится, то его nй
член стремится к нулю при n ® ¥, т. е. lim an 3 0.
n 12
Признак сравнения I. Пусть кроме ряда (1) имеем ряд
1
b1 3 b2 3 ... 3 bn 3 ... 2 4 bn .
n 21
(2)
Если при n ³ n0 выполняется неравенство
0 £ a n £ b n,
то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости
ряда (1) следует расходимость ряда (2).
a
В частности, если an эквивалентно bn при n ® ¥, т. е. lim n 3 1, то ряды с
n 12 bn
положительными членами (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
209
8. РЯДЫ
Признак сравнения II. Если
1
an 3 O 14 p 25
6n 7
при n ® ¥, т. е. lim an n p 3 A, где A — конечное число, то при p > 1 ряд (1) схо
n 12
дится, а при p £ 1 ряд расходится.
Признак Даламбера. Если an > 0 (n = 1, 2, ...) и
an 11
4 q,
n 23 an
lim
то при q < 1 ряд (1) сходится, а при q > 1 ряд расходится.
Признак Коши. Если an ³ 0 (n = 1, 2, ...) и
lim n an 3 q,
n 12
то при q < 1 ряд (1) сходится, а при q > 1 ряд расходится.
Интегральный признак Коши. Если f(x) — непрерывная, неотрицатель
1
ная, невозрастающая функция для x > 0, то ряд
3 f (n) сходится или расхо
n 21
1
дится одновременно с интегралом 2 f (x)dx.
1
Ряд, членами которого являются действительные числа произвольного
знака, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд
1
c1 3 c2 3 ... 3 cn 3 ... 2 4 cn
(3)
n 21
сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т. е. ряд
1
4 cn
2 c1 3 c2 3 ... 3 cn 3 ... .
(4)
n 21
В этом случае ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (3)
сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно сходящимся.
Знакопеременный ряд, у которого любые два соседних члена имеют раз
ные знаки, называется знакочередующимся.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
1
6 (41)n21 an ,
an 5 0,
n 31
сходится, если 1) an ³ an+1 (n = 1, 2, ...); 2) lim an 3 0.
n 12
Если знакочередующийся ряд сходится, то остаток ряда Rn 3
удовлетворяет неравенству |Rn| £ an+1.
1
5
t 3 n 21
(41)t 21 at
210
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Ряд вида
1
u1 (x) 3 u2 (x) 3 ... 3 un (x) 3 ... 2 4 un (x),
(5)
n 21
где ui(x), i = 1, 2, ..., n, ..., — функции, определенные на некотором множе+
стве X, называется функциональным рядом.
Сумма
n
Sn (x) 1 u1 (x) 2 u2 (x) 2 ... 2 un (x) 1 3 ui (x)
i 11
называется n+й частной суммой ряда (5).
При каждом конкретном x0 Î X функциональный ряд (5) превращается в
числовой ряд
1
u1 (x0 ) 3 u2 (x0 ) 3 ... 3 un (x0 ) 3 ... 2 4 un (x0 ),
(6)
n 21
который может оказаться сходящимся или расходящимся. Если числовой
ряд (6) сходится, то говорят, что функциональный ряд (5) сходится в точ+
ке x0, и x0 называется точкой сходимости. Если ряд (6) расходится, то x0
называется точкой расходимости функционального ряда (5).
Совокупность значений x Î X, при которых функциональный ряд (5)
сходится, называется областью сходимости этого ряда, а суммой ряда —
функция
n
S(x) 3 lim Sn (x) 3 lim 4 ui (x).
n 12
n 12
i 31
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
1
a0 3 a1 (x 4 x0 ) 3 a2 (x 4 x0 )2 3 ... 3 an (x 4 x0 )n 3 ... 2 5 an (x 4 x0 )n ,
(7)
n 20
где a0, a1, a2, ..., an, ... — действительные числа, называемые коэффициен
тами ряда.
При x0 = 0 степенной ряд принимает вид
1
a0 3 a1x 3 a2 x2 3 ... 3 an xn 3 ... 2 4 an xn .
(8)
n 20
Степенной ряд (8) всегда сходится по крайней мере в точке x = 0, а ряд (7) —
в точке x = x0. Ряд (8) называется рядом по степеням x, а ряд (7) — по степе+
ням x – x0. Ряд (7) принимает вид ряда (8) при соответствующей замене пере+
менных y = x – x0.
Теорема Абеля: если степенной ряд (8) сходится при x = x0, x0 ¹ 0, то он
сходится абсолютно при всех x, удовлетворяющих условию |x| < |x0|. Если же
ряд расходится при x = x1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих
условию |x| > |x1|.
Радиусом сходимости степенного ряда (8) называется неотрицательное
число R такое, что при |x| < R ряд сходится, а при |x| > R — расходится. Ин+
тервал (–R, R) называется интервалом сходимости ряда.
211
8. РЯДЫ
Если степенной ряд (8) сходится на всей числовой оси, то R = ¥, если он
сходится только при x = 0, то R = 0.
Радиус сходимости можно вычислить по одной из следующих формул:
R 4 lim
n 12
an
1
, R4
.
n
an 31
lim | an |
n 12
Этими формулами вычисляется и радиус сходимости ряда (7), а интервал
сходимости выражается в виде (x0 – R; x0 + R).
Степенной ряд (8) сходится в интервале сходимости (–R; R), а на концах
интервала сходимости, т. е. при x = –R, x = R, ряд может либо сходиться,
либо расходиться, и необходимо дополнительное исследование. Этот вопрос
решается для каждого конкретного ряда отдельно.
Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифферен*
цировать и интегрировать, при этом полученный степенной ряд имеет тот же
радиус сходимости, что и исходный ряд.
Если функция f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеет производные
любых порядков, то степенной ряд
f 3(x0 )
f 33(x0 )
f (n) (x0 )
(x 5 x0 ) 4
(x 5 x0 )2 4 ... 4
(x 5 x0 )n 4 ... 2
n!
1!
2!
f (n) (x0 )
(x 5 x0 )n
n!
f (x0 ) 4
1
26
n 20
(9)
называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0.
Если x0 = 0, то ряд
f (0) 4
1
f 3(0)
f 33(0) 2
f (n ) (0) n
f (n ) (0) n
x4
x 4 ... 4
x 4 ... 2 5
x
1!
2!
n!
n!
n 20
называется рядом Маклорена.
Ряд (9), составленный для функции f(x), как всякий степенной ряд будет
иметь интервал сходимости и сумму, причем сумма может быть и не рав*
ной f(x).
Для сходимости ряда Тейлора (9) к функции f(x) необходимо и достаточ*
но выполнение условия
lim Rn (x) 3 0,
n 12
где Rn(x) — остаток ряда, который можно представить в виде
Rn (x) 2
f (n 11) (b)
(x 3 x0 )n 11 , b 2 x0 1 k(x 3 x0 ), 0 4 k 4 1.
(n 1 1)!
Если функция f(x) является суммой степенного ряда в каком*либо проме*
жутке, то говорят, что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.
212
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Практически важное достаточное условие разложения функции в ряд
Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого поряд2
ка функции f(x) ограничены в окрестности точки x0 одним и тем же чис2
лом C, т. е. |f(n)(x)| £ C для всех n, то ряд Тейлора этой функции сходится к
f(x) для любого x из этой окрестности.
Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единст2
венное.
Приведем разложения в степенной ряд некоторых элементарных функций:
x x2
xn
3
3 ... 3
3 ... (14 5 x 5 34);
n!
1! 2!
x x3
x2n 11
sin x 2 1
3 ... 3 (11)n 11
3 ... (14 5 x 5 34);
1! 3!
(2n 1 1)!
x2
x 2n
cos x 2 1 1
3 ... 3 (11)n
3 ... (14 5 x 5 34);
2!
(2n)!
m(m 1 1) 2
m(m 1 1)6(m 1 n 3 1) n
x 3 ... 3
x 3 ... (11 5 x 5 1);
(1 3 x)m 2 1 3 mx 3
n!
2!
x2 x3
xn
ln(1 3 x) 2 x 1
3
1 ... 3 (11)n 11
3 ... (11 5 x 5 1).
n
2
3
ex 2 1 3
Разложение функций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для
приближенного вычисления значений функций, определенных интегралов, ре2
шения дифференциальных уравнений. Для вычисления приближенного зна2
чения функции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а
остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного при2
ближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов.
ИДЗ 25.
ИССЛЕДОВАНИЕ РЯДОВ НА СХОДИМОСТЬ
þ
Исследовать ряды на сходимость, применив следующие признаки схо2
димости: в пункте 1 — необходимый признак сходимости ряда; в пунк2
те 2 — признак Даламбера; в пунктах 3, 4 — радикальный признак Коши;
в пункте 5 — первый признак сравнения; в пунктах 6, 7 — второй при2
знак сравнения; в пункте 8 — интегральный признак Коши. В пункте 9
исследовать знакочередующийся ряд по признаку Лейбница на условную
сходимость; если ряд сходится условно, то исследовать его на абсолютную
сходимость. В пункте 10 найти интервал сходимости степенного ряда,
применив признак Даламбера.
1
1.1.
1
(n 3 2)2
5 3n2 3 n 4 1.
1.2.
3n (n 3 2)!
.
n5
n 21
1.4.
61
n 21
3
1 2
1 n 51
1.3. 7 n 6
n
7
n 41
n2
4
3
.
n 41
2
n
2n 5 2 2
.
3n 5 1
213
8. РЯДЫ
1
1.5.
1
1.7.
1.6.
1
1
3 sin .
n
n3
4
n 21
1
1.9.
1
sin2 n
.
3
n 21 n 3 n
4
1
1.8.
n 21
1
(31)n
5 (2n 4 1)3 .
1.10.
1
61
3
n 41
3
2.5.
7
5n 5 1
5n
cos2
2.2.
2
1
n2
.
2.4.
4 ln2n (1n 3 3).
n 21
1 59n 2.
1
2.6.
4 4 1n3 3 tg 31n .
4 (3n 3 2)ln14 (3n 3 2).
n 23
1
1
(31)n
.
2n 4 4
n 21
2.9. 5
1
2.10.
1
(n 3 1)3
5 5n2 4 n.
61
3
n 41
n53
n 51
2
3.2.
n2
3 3lnnn7 .
1
4 3 n51 3 1.
n 21
1
3.9.
3.4.
(31)n
5 (2n 4 7)!.
1
3n
5 sin 2n 4 3
n 21
2n
n 41
1
3.6.
6 (2n 4 1) 5 tg 33n .
n 21
1
3.8. 4
n 21
1
.
(2n 3 1)ln3 (2n 3 1)
1
3.10.
n 21
4.1.
6 arctgn 1 2n 5 5 2.
3
.
n 22
3.7.
n
4 (2n73 1) n !.
n 21
1
3.5.
(x 3 3)n
6 (n 4 1) 5 9n .
n 21
n 21
3.3.
n2
1
2.8.
n 21
3.1.
1
.
3 3n
4
n 21
1
2.7.
5 5n7(nn 3411)!.
n 21
n(n 6 1)
n 41
2n (x 3 1)n
.
n2 4 1
n 21
5
1
5 5nn3412.
n 22
2.3.
1
4 (n 3 3)ln2 (n 3 3).
n 21
2.1.
2
4 2n 3 1 5 .
6 2
7
n 21 8 4n 3 1 9
(x 3 1)n (2n 4 3)
.
8n
n 21
5
1
4.2.
10n 3 n !
.
(2n)!
n 21
4
214
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4
4.3.
n 51
3
4.5.
6
n 42
1 2
1 2
3 n2
1
4.7. 4 3 n 3 sin
n 21
6 1 3n 5 5 2 .
3
n 61
.
n
5n
sin2
5 .
n n
7 4n
4.4.
1
4.6.
n 21
1
1
.
n3
4.8.
4 n 3 ln n 31ln(ln n).
n 23
1
(31)n
.
2
n 21 n 4 3n 3 1
4.10.
1
5.2.
(2n 3 2)!
.
3n 3 5
n 21
5.4.
61
n 21
1
2
n
1 3n 5 2 2
8 6n 6 n 7 1 .
n 43
1
5.5.
3
n 41
5.8.
4 (3n 3 4)ln12 (3n 3 4).
1
n 21
1
(31)n
4 (3n 3 2)2 .
1
5.10.
3
3
6
n 41
1
3n 5 1
n
3n
6.2.
5 nn! 3465n .
n 21
2
n2
3
.
6.4.
n 3 ln n
.
7
n 22 n 4 7
1
6.6.
4
n 21
1
5 n 14 1 3 arctg 3 n14 1.
5 arcsin3n
n 41
1
5
n 22
(31)n
5 n 4 2n .
n 21
1 21 2.
n
n
.
(7n 3 5)5
1
6.8.
1
.
4 (5n 3 1)ln(5
n 3 1)
n 23
1
6.9.
(x 3 2)n
.
2n
n 21
4
1
4 (2nn 3331)n3 .
n 21
6.7.
2
4 31n 3 arctg 31n .
5
n 22
6.5.
.
4 63n 5 .
6
2 7
n 21 8 36 3 n 9
1
6.3.
2
n2
1
n 21
6.1.
4n
4n 5 3
5.6.
1
5.9.
4
cos2 ( 3 n2 )
.
3
n 3 (n2 4 2)
n 21
5.7.
(x 3 3)n
.
n
n 21 n 4 2
5
1
4 72nn 33 72.
3
1
4 4 (4n 3 5)3 .
1
5.3.
n
n 41
4.9. 5
5.1.
2n
1
6.10.
(x 3 5)n
.
3n 4 8
n 21
5
215
8. РЯДЫ
1
7.1.
8n 3 7
5 arctg 8n 4 1.
n 21
3
7.3.
7 1 45nn 56 13 2
1
7.2.
n 21
1
n3
7.4.
.
n 41
1
1
cos2 (3n2 )
.
n2
n 21
7.7.
4 n 3 arcsin n17 .
4
4 73n 5 .
6
2 7
n 21 8 49 3 n 9
7.8.
4 (3n 3 2) ln15 (3n 3 2).
1
n 21
n 21
n 23
1
(31)n
.
n42
7.10.
3
1
8.1.
1
3n2
8.2.
n 21
1 2
1
n
8.3. 7 n 5
n
61
n 41 2
.
8.4.
1
cos2 ( n )
.
4n
n 21
3
8.6.
1
8.8.
1
(31)n
4 (3n 3 1)!.
8.10.
1
9.2.
61
9.4.
n 41
10n
10n 5 3
2
sin2 ( 5 n )
.
2
n 21 n 3 2
4
1
3 5
9.7.
tg 46
7.
9 n 8 3n
n 21
61
3
n2
.
n!
4 (2n)! 3 5n .
n 21
n 41
1
9.5.
(x 3 2)n
.
n2
n 21
4
1
2n2 3 3n 4 4
.
2
n 21 5n 4 7n
5
3
9.3.
1
.
4 (3n 3 1) ln(3
n 3 1)
n 21
n 21
9.1.
4 3n13 1.
n 21
5 3 n314 3n 3 arctg n1 .
1
7 n 6 sinn 1 45n 2.
n 41
n 22
8.9.
nn
4 n ! 3 3n .
3
n2
1
8.7.
n
n 21
1
8.5.
n
4 22n x3 1.
n 21
5 cos 3n2 4 3.
3
3
7.6.
1
1
9 arcsinn 357 51n 468.
n 21
7.5.
7.9. 5
1
4 n 3 n !.
n
10n 5 3
1
9.6.
2
n3
.
1
4 7 (2n 3 5)6 .
n 21
1
3
ln 2 (3n 3 2)
9.8. 4
.
3n 3 2
n 22
216
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
9.9.
1
(31)n
4 2n n4 .
n 21
9.10.
(x 3 5)n
4 4n (2n 3 1).
n 21
1
1
(n 3 2)!
.
nn
n 21
10.1.
n2 3 2n 3 5
.
10n 4 5
n 21
10.2.
10.3.
71
10.4.
7 41n 5 1 6 n1
n 41
10.6.
5 n 4n(n3331).
5
3
n 41
1
10.5.
4
n 22
2
.
1
1
5
10.8.
5 (5n 3 2) 41ln(5n 3 2).
n 21
1
(31)n
6 3n 4 (2n 5 1).
1
10.10.
1
n2 3 1
4 3n 3 5.
3
1 2
6 5nn nn5 1
n 43
11.2.
71
3
n2
.
11.4.
n 42
11.6.
1
23
n 6 sin 47 n 58.
5
9
n 21
11.8.
4 (n 3 3) ln12 (n 3 3).
n 22
(31)n 4 (n2 5 1)
.
n3
n 23
6
1
11.10.
n 21
12.2.
n 21
n2
n 3 cos2 ( 3 n )
.
n3 4 5
n 21
5 n3 arctgn 1 31n 2.
3
12.4.
n 41
1
5
n
4 n53 n !.
n 21
4 3n2 3 4n 3 5 5
12.3.
6 2
7 .
n 21 8 6n 3 3n 3 1 9
12.5.
(x 3 2)n
5 (3n 4 1) 2n .
1
5 sin 3n3n4 5.
1
.
n 21
1
12.1.
2
n2
4 n3n2 33 41.
1
11.9.
2n 5 1
3n 6 2
1
sin2 (2n)
.
n!
n 21
3
1
11.7.
n2
4 (n 3 2)!.
n 21
1
11.5.
(x 3 7)n
6 n 4 (n 5 1).
n 21
n 21
11.3.
.
n 21
n 21
11.1.
n2
1
ln n
.
5
n 3 2n3
n 41
10.9.
1 2
3
n2
6 tg3 1 5n 2.
3
10.7.
n52
3n 6 1
4
1
12.6.
1
4 7 (3 3 7n)10 .
n 21
217
8. РЯДЫ
1
12.7.
1
3 3 n arctg 4
n 21
1
12.9.
1
.
n
1
12.8.
n 23
1
(31)n
5 n3 4 1.
12.10.
n 21
1
13.1.
n 4 3 n2 3 1
.
3n2 3 3n
4
n 21
6 1 2n2n5 1 2
3
13.3.
1
4
n 22
1
13.7.
5
n 21
4 5n (nn3! 3)!.
n 21
7 n2 1 34nn 56 21 2 .
3
n2
.
13.4.
1
n ln n
.
n5 3 5
13.6.
1
3
4 tg 5 .
n
4 n
13.8.
1
4 (3n 3 2)ln11/2 (3n 3 2).
n 22
(31)n 4 (n 5 2)
.
n2
n 21
6
1
13.10.
1
5 73nn 43 55.
71
3
n 42
1
14.5.
4
n 51
2n 6 3
4
14.2.
(n 3 1)!
.
(3n)!
n 21
3
14.7.
6 sin4
n 41
1
14.9.
5
n 21
1
15.1.
14.4.
6 arctg2n 1 2n 5 1 2.
61
3
15.3.
n 41
2
1 2
3 3n 3 2
.
n 35
2
1
n 41
5
.
2n
n 51
4n
4
3
.
(31)n
.
3n 4 5
4n
n 21
2
n2
n cos2 ( 4 n )
.
n4 3 4
n 21
(x 4 1)n 21
5 8n (n2 2 1).
n 31
n 21
14.3.
1
4 5 (3n 3 2)4 .
n 21
1
14.1.
n
n 41
1
13.9.
(x 3 2)n 4 3n
.
3
n 22 (5n 5 8)
6
1
13.2.
n 41
13.5.
1
4 n 3 ln(2n).
1
14.6.
5 3n2 31n 4 1.
n 21
1
14.8.
4 (2n 3 2)ln13/2 (2n 3 2).
n 21
1
14.10.
n 21
1
15.2.
2
4 (nn3 3)!.
n 21
61
3
3n
.
(x 3 3)n
5 (n 4 1)(n 4 2).
15.4.
n 41
3n 5 2
3n
2
n2
.
218
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
15.5.
1
15.7.
15.6.
1
1
3 sin 3
.
n43
n 43
5
n 21
1
15.9.
1
sin2 (5n)
.
5n
n 21
3
2/3
4 n 31 5
6 3
7
n 21 8 n 3 5 9
.
1
15.8.
ln 25/3 (10n 4 5)
.
10n 4 5
n 31
5
1
(31)n
6 (n 4 1) 5 4n .
15.10.
n 21
1
(x 3 1)n
.
n
n 21 n 4 9
5
1
(n 3 2)n !
.
nn
n 21
16.1.
1
31 5
4
6 2 (3n 5 2)! 7.
8
9
n 21
16.2.
16.3.
61
16.4.
4 2n2 3 1 5
.
6
2 7
9
n 21 8 2n
16.6.
4 n(nn3324).
3
n 41
2n 5 1
3n 5 1
2
.
1
n
.
4 n3 ln
3 n 31
n 22
n 21
1
16.7.
1
5 n3 4 tg 52n3.
16.8.
n 21
1
16.9.
4 (4n 3 3) ln14 (4n 3 3).
n 22
3
1
6 (41)n 5 sin 4n .
16.10.
7 1 9 6 sin 9n 2.
17.2.
3
5
5
1
n 41
4 ln3n (nn 3 1).
n 21
3
17.5.
6
n 41
sin2
172n5 2.
en
1
17.7.
1
4 3 n 3 arctg n3 .
n 21
17.4.
(31)n 4 n
.
(n 5 1)!
n 21
6
1
n2
1
2
4 2n2 3 1 5
6 2
7 .
n 21 8 n 3 1 9
17.6.
4 n 35 5 .
6
2 7
n 21 8 25 3 n 9
17.8.
4 (5n 3 6)ln5/7 (5n 3 6).
1
1
n 21
1
17.9.
(n !)2
3 (2n)!.
n 21
1
17.3.
(x 3 3)n
4 3n (2n 3 1).
n 21
n 21
17.1.
n3
1
n /3
1
16.5.
4
1
17.10.
(x 3 3)n
.
3
n 4 3n
n 21
5
219
8. РЯДЫ
1
1
18.1.
3 1 5 arctg 1 4.
6
7
5
5n 9
n 21 8
61
3
18.3.
n 41
1
18.5.
4
7n 5 2
7n
1
n2
6 n4 1 3n 5 5 2
3
.
18.4.
2n
2n
32n2
3 .
8n
1
18.6.
1
4 7 n3 3 2n .
n 21
1
4 5 n2 3 arcsin
1
.
n5
1
18.8.
ln(4n 3 3)
.
4n 3 3
n 22
4
1
1
(31)n (2n 4 1)
.
3n2
n 22
5
18.10.
1
(x 3 5)n 4 n5
.
3n 3 1
n 21
5
1
19.1.
5n2 3 n 3 1
4 n2 3 5n 3 3.
n 21
19.2.
2n (n3 3 1)
.
(n 3 1)!
n 21
19.3.
61
19.4.
3 (lnnn)n .
3
19.5.
n 41
3n
3n 5 1
1
2
2
.
1
19.6.
.
4 4 n7 3n5n2 .
n 21
5 n3 1 arcsin 2n 2 .
3
1
1
5
19.8.
1
1
(31)n
5 (2n 4 1)n .
n 21
19.10.
6 ln 1 3n2n5 5 2.
20.2.
1
n 42
61
3
20.3.
n 41
1
20.5.
4
n 22
1
20.7.
n52
2n
2
3
20.4.
7
n 51
n 3
2
54 n
1 2
n 61
n
4 n2
.
1
ln n
.
n5 3 5n
20.6.
23
20.8.
5 n2 4 sin 9n .
n 21
n
.
5 5(n34 1)!
n 21
4n2
.
(x 4 3)n
6 n2 5 7n21 .
n 31
3
20.1.
1
4 (2n 3 1)ln5/2 (2n 3 1).
n 22
n 41
19.9.
3
n 22
n 21
19.7.
4
1
n2
n
3 sin6n5
.
n 41
n 21
18.9.
2
4 (2nn3 3)!.
n 21
cos2
n 21
18.7.
2
18.2.
4 8 4 13 9n .
n 21
1
4 (n 3 2) ln15 (n 3 2).
n 22
220
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
20.9.
5
(31)n (n 4 1)
n3
n 23
1
21.1.
1
.
20.10.
n 21
1
4 73nn2 333nn3314.
2
21.2.
n 21
1
3
21.3.
7 2nn 6 2n2n5 5
n 41
21.5.
3 sinn22
1
2
2
1
2n2
n 21
21.4.
4 3n2 3 n 3 1 5
6 2
7
n 22 8 7n 3 3n 3 4 9
21.6.
5 3nn34 n23 .
.
1
21.8.
4 (9n 3 4)ln15/2 (9n 3 4).
n 22
1
(31)n 4 n
.
2
n 22 2n 3 1
21.10.
7 110 6 sin 3n 6 5 2.
5n
22.2.
61
.
22.4.
3
1
n 41
1
22.5.
4
n 22
n
3n 5 1
2
1
n 22
1
22.9.
n5
52
(41)n
6 (2n 2 1) 5 22n21 .
1
33n
4
5.
6
2 7
3
3
9
5
n
3
n
8
9
n 21
.
22.8.
5 (2 4 3n) ln(2 4 3n).
1
3n 3 (x 4 2)n
.
2n 3 n2
n 21
22.10. 5
1
3n2 3 n 3 5
4 n2 3 5n 3 3.
1
23.2.
1
n 21
sin2 (5 3 n2 )
n3
5 arcsin2n 1 3n 2.
3
n5 3 3n
5 (2n 4 1)n .
3
3n
4 (n 3 2)! 4n .
n 21
23.4.
n 21
23.5.
(lnln(2 4 3n)) 21
n 31
n 21
23.3.
2
22.6.
1
3
n 31
23.1.
1
n3 5 arcsinn 36 n 47.
3
8
9
n 21
1
n ln n
.
n7 3 7n
6 3 n 4 sin
5n 3 (n 4 1)!
.
(2n)!
n 21
5
1
n /2
1
22.7.
(x 3 1)n
4 3n (2n 3 9).
n 21
n 41
22.3.
.
n 21
5
3
22.1.
n /2
1
n
1
21.9.
n
1
.
1
1
arctg
.
5n 3 1
4 n
4
4 2 n3nn !.
n 21
n 21
21.7.
(x 3 5)n
6 (n 4 4) 5 n2 .
1
n 42
1
.
23.6.
2
4 n3n3 3.
n 21
221
8. РЯДЫ
5 n4 1 sin n 2 .
3
23.7.
1
5
1
23.8.
n 22
n 41
1
23.9.
1
(31)n 4 n
(x 3 4)n
.
n 4 7n
n 21
6 (2n 5 1)4 .
23.10. 5
n 21
1
24.1.
1
3n2 4 n
5 tg 4n2 4 4 .
24.2.
n 21
1
3
3n 5 1
24.3. 7 n 6
2n
n 41
2
3
2n
.
24.4.
1
24.6.
1
n 21
1
2
3
.
4n
24.10. 4
n 31
1
n 21
25.2.
n 21
25.3.
61
n 41
3
25.5.
6
cos2
n 41
1
25.7.
4
n 21
2
5n
n
.
n3 3 1
25.4.
8 n 6 1 4n 7 2 2
3n 5 1
5 (2n 3 1)4 6
tg 7 2
.
2 8
9 n (n 3 1)
n 22
1
25.8.
4 (6n 3 5)ln17/3 (6n 3 5).
n 21
1
61
26.2.
n 41
2
.
1
25.6.
25.10. 5
n 21
1
2
7n 5 2
.
2n 5 7
2n
n 41
(31)n 4 (n 5 1)
.
n2
n 23
3
26.1.
2n 3 3
4 6n (n 3 1)!.
3
.
1 55n 2.
6
10n xn
.
7n 3 5
n 21
2n2
1
25.9.
5 (2n 4 2) ln(2n 4 2).
1
3n
2n
2n 5 3
(lnln(2n 4 2)) 21
24.8.
5 sin 4n 4 5.
3
.
n2
1
2
24.9. 5 (41)n tg
25.1.
n2
4 3 (7n 3 5)8 .
5
.
3n
n 6 sin
n 41
1 2
n52
6
n
n 21
1
7
7
n2
n 41
3 n lnn9n.
n 22
3
24.7.
(n 3 1)!
5 nn 4 2n .
n 21
1
24.5.
1
4 (5n 3 8) ln3 (5n 3 8).
3
n 21
n 3 1 (x 4 3)n
.
3n
2n !
.
2n
222
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 2
3
26.3.
7 51n 6 n n5 1
n 41
1
26.5.
.
26.4.
n 41
26.6.
n 22
1
n 21
n52
4n 5 1
1
n ln n
4 n4 3 n2 3 1.
26.7. 3
61
3
n2
2
n3
.
1
4 3 2n2 3 5 .
n 21
1
1
arctg 3 .
n
n
1
1
26.8.
1
4 (3n 3 8) ln3 (3n 3 8).
n 21
1
26.9.
(31)n (n 4 1)
.
5
n2
n 21
26.10. 4
27.1.
6 1 3n 5 5 2 .
27.2.
(3n 3 2)!
.
n
2
n 21 e 4 n
27.4.
7 sinn 1 5n56 1 2 .
3
2n 5 1
(3 3 7n)(x 3 8)n
.
5n
n 21
1
3
n 41
1
3
27.3.
6
n
n 41
1
27.5.
3
n
3n 5 1
2
3
2n
.
n 41
1
n ln n
4 n3 3 3n.
27.6.
n 22
1
27.7.
5
4
n 21
1
1
.
n 41
5 sin 6n 3 tg
n 21
1
27.8.
ln2 (n 3 5)
.
n 35
n 21
4
1
27.9.
1
n 21
3
28.3.
3
n 21
1
28.7.
1
28.9.
cos2 ( 5 n7 )
5
n7
2n 3 7
.
(2n)!
n 21
28.4.
3 lnnn n.
4
1
.
2
n 23
1
.
6 3n 4 5 3n 5 5 .
n 21
28.2.
n2
3
.
n4
(31)n
(x 4 6)n 21
.
n 21
n 31 n 5 6
6
1
1 2
5 n 4 sin 3
n 21
27.10.
3n
.
6n 4 1
7 21n 6 nn 55 42
n 41
1
28.5.
1
(31)n 4 n3
.
4
n 21 n 5 1
6
28.1. 5 sin
1
.
(4n 3 1)3
2n 3 1
.
2
n 21 n 3 1
28.6. 4
1
28.8.
1
4 (9n 3 3) ln3 (9n 3 3).
n 21
1
n2 (x 3 4)n
.
5n
n 21
28.10. 4
223
8. РЯДЫ
1
29.1.
1
(2 3 n)2
4 2n2 3 n 3 1.
29.2.
n 21
1 2n 5 5
29.4. 6 n
2n 5 8
n 41 2
10n
29.3. 4 n
.
n 21 ln (n 3 5)
1
2
1
n
3 sin4n4
.
29.6.
n 21
1
29.9.
1
1 4
arctg2 35 5
6.
2
8 n 71 9
n 22
29.8.
(x 3 2)n
.
n
n 21 (2n 3 1) 4 3
29.10. 5
1
2
4 3n2 3 n 5
6 2
7.
n 21 8 n 3 3n 9
3
30.3. 6 arcsinn
n 41
1
30.2.
2
30.4.
7
n6
1
n2/3 ln n
.
5
2
n 22 n 3 n
4
30.6.
1
n52
2n 5 1
2
3n
.
1
4 5n2 3 3.
n 21
1
5 4 n 4 sin n 433 n .
30.8.
n 21
1
5 (n 3 5) 4 3 ln8 (n 3 5) .
n 21
1
30.9.
3
n 41
1
30.7.
n! 3 n
.
n
n 21 3
3
3
3n 5 5
.
6n 5 3
1
30.5.
lnln(n 3 3)
4 (n 3 3) ln(n 3 3).
1
(31)n
6 (2n 4 2) 5 3n .
1
.
n 21
n 21
30.1.
2
n2
1
.
n(n2 3 2)
4
n 21
1
29.7.
1
3
1
29.5.
n 4 4n 21
.
n!
n 31
5
1
(41)n 21 5 (2n 2 3)
.
n(3n 2 2)
n 31
6
30.10.
(2n 3 1)(x 4 3)n
.
n 5 2n
n 21
6
ИДЗ 26.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
þ
1
1. Найти общий член un ряда
3 un
и исследовать ряд на сходимость.
n 21
1.1.
3 1 3! 32 1 4! 33 1 5!
2 5 2 5 2 ... .
1
2
3
2.1.
1
1
1
1
1
1 ... .
5 ln5 lnln5 8 ln8 lnln8 11ln11lnln11
1.2.
101 102 103
1 2 1 3 1 ... .
21
3
4
224
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2.2.
1 1 1
1 1 1 ... .
2 5 8
12
12
1
1
1
3.1. arctg 3 arctg2
3 arctg3
3 ... .
3
5
7
3.2.
1
1
1
1
1
1 ... .
3ln3 3 5ln3 5 7ln3 7
1
1
1
4.1. 3tg 2 5tg
2 7tg
2 ... .
4
16
64
4.2.
1
1
1
1
1
1 ... .
2ln3 4ln2 4 8ln3 5
5.1.
11/2 22/2 33/2
1 2 1 3 1 ... .
3
3
3
5.2. arcsin3
6.1.
6.2.
7.1.
1 12 2 3 arcsin 1 14 2 3 arcsin 1 18 2 3 ... .
6
9
1
1
1
1
1
1 ... .
3ln3 4ln4 5ln5
7
1
1
1
17
17
1 ... .
6
6
7
9
116
1
1
1
1
1
1 ... .
3 35 37
3
1 2
1 2
1 1
1
1
1
7.2. arctg 3 arctg2
3 arctg3
3 ... .
5 2
25 3
125
12
12
1
2
3
8.1. arccos 3 arccos2
3 arccos3
3 ... .
3
5
7
8.2.
1
1
1
1
1
1 ... .
2ln2 5ln5 8ln8
1
1
1
9.1. tg 2 tg 2 tg
2 ... .
3
9
27
9.2.
2
4
8
1
1
1 ... .
ln2 2 ln4 3 ln6 4
225
8. РЯДЫ
10.1. tg3
10.2.
1 53 2 4 tg 1103 2 4 tg 1153 2 4 ... .
6
9
3! 4! 5!
1
1
1 ... .
1 22 33
11.1. sin
21 1
21 1
21
2
sin
2
sin
2 ... .
3 32
9 33
27
11.2.
1
1
1
1
1
1 ... .
ln4 22 ln2 5 33 ln3 6
12.1.
1
1
1
1
1
1 ... .
4ln4 4 5ln4 5 6ln4 6
12.2.
21/2 32/2 43/2
1
1
1 ... .
1
2!
3!
13.1.
1
2!
3!
1
1
1 ... .
5 2 4! 52 2 5! 53 2 6!
13.2.
1 1 1 1 1 1
tg 2 tg 2 tg 2 ... .
2 3 4 6 8 9
14.1. sin2
14.2.
1 83 2 4 sin 1 273 2 4 sin 1 643 2 4 ... .
4
6
1
1
1
1
1
1 ... .
2 2 1 22 2 1 2 2 23 2 1 2 2 2 3
1
1
1
15.1. sin 2 sin 3 2 sin 5 2 ... .
2
2
2
15.2.
1 22 32
1
1
1 ... .
4! 5! 6!
16.1.
21 32
43
1
1
1 ... .
1 122 122 23
16.2.
6
1
1
1
16
16
1 ... .
7
7
5
7
97
17.1. sin
21
21
21
2 sin
2 sin
2 ... .
3
5
7
226
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
17.2.
1
1
1
1
1
1 ... .
ln3 2 ln6 3 ln9 4
18.1.
1 2 3
4
1 1 1
1 ... .
5! 7! 9! 11!
18.2. arcsin5
1 12 2 3 arcsin 1 14 2 3 arcsin 1 61 2 3 ... .
5
5
19.1.
1
1
1
1
1
1 ... .
1 2 32 2 2 34 3 2 36
19.2.
1
1
1
1
1
1 ... .
5
5
5ln 5 7ln 7 9ln5 9
20.1.
1
1
1
1
1
1 ... .
3 2 3 32 2 5 33 2 7
20.2.
8
1
1
1
18
18
1 ... .
5
5
13
22
315
21.1.
1
1
1
1
1
1 ... .
5ln2 5 14ln2 14 23ln2 23
21.2.
1 1
1 1
1
1
sin 2 sin 2 2 sin 3 2 ... .
2
4 5
8
4
4
22.1.
3 4
5
1
1
1 ... .
1 122 122 23
22.2. sin2
23.1.
1 33 2 4 sin 1 53 2 4 sin 1 73 2 4 ... .
2
1
1
1
1
1
1 ... .
3ln2 5 9ln4 6 27ln6 7
23.2. arcsin2
24.1.
2
5
1 13 2 3 arcsin 1 61 2 3 arcsin 1 19 2 3 ... .
4
1
1
1
15
15
1 ... .
4
4
2
5
84
1 1
1 1
1
24.2. sin 2
sin 2
sin 2 ... .
3
6
9
2
3
6
227
8. РЯДЫ
12
12
2
3
4
25.1. arcsin 3 arcsin2
3 arcsin3
3 ... .
3
5
7
5
52
53
25.2.
1
1
1 ... .
4 21 4 21 2 2 4 21 2 2 2 3
26.1. cos2 3 4
26.2.
12
1
1
1
1
1
1 ... .
1 7 27 7 125
7
27.1. 1 1
1
1
1
1
1
1 ... .
3
3
5
9
133
27.2. sin3
1 63 2 4 sin 1113 2 4 sin 1163 2 4 ... .
3
28.1. arctg2 1 3 arctg4
þ
12
3
3
1
1
4 cos6
4 ... .
cos4
3 33
5
22
3
1 13 2 3 arctg 1 51 2 3 ... .
6
28.2.
1
1
1
1
1
1 ... .
3
3
13ln 13 23ln 23 33ln3 33
29.1.
10 100 1000
1
1
1 ... .
ln6 ln2 7 ln3 8
29.2.
2
22
23
1 2 1 3 1 ... .
5 21 5 2 3 5 2 5
30.1.
3
5
7
1
1
1 ... .
2 22 2 23 3
30.2.
1
1
1
1
1
1
1
1 ... .
ln4 2 ln8 3 ln12 4 ln16 5
2. Найти три первых не равных нулю члена разложения функции y(x)
в ряд Тейлора в окрестности точки a.
1. y 1 ln x, a 1 1.
2. y 1 x3 , a 1 1.
1
3. y 1 , a 1 3.
x
5. y 1 3 x , a 1 1.
4. y 1 x2 2 e x, a 1 0.
6. y 1 arctg2x, a 1 0.
7. y 2 e 1 x , a 2 0.
8. y 1 e x 2 sin x, a 1 0.
2
228
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
9. y 1 e x 2 cos x, a 1 0.
10. y 1 xe2x, a 1 1.
11. y 1 x 2 2, a 1 2.
12. y 1 cos2 x, a 1 0.
13. y 1 3x, a 1 0.
x
14. y 1 sin , a 1 2.
2
16. y 1 x 2 4, a 1 0.
15. y 1 ln(x 2 2), a 1 0.
x
17. y 1 sin2 , a 1 0.
2
2
19. y 1
, a 1 1.
12 x
21. y 1 x 2 ln(1 3 x), a 1 0.
20. y 1 ln(1 2 e x ), a 1 0.
23. y 1
1
, a 1 2.
x24
25. y 1 x 2 cos x, a 1 0.
ex
, a 1 1.
x
x
24. y 1 cos , a 1 0.
3
26. y 1 (1 2 x)e x , a 1 0.
27. y 1 3 5 2 x , a 1 3.
28. y 1 e3x, a 1 1.
29. y 1
þ
18. y 1 5 2 x2 , a 1 2.
x
, a 1 0.
ex
22. y 1
30. y 1
x
, a 1 1.
22x
3. Найти приближенное значение суммы ряда с указанной точностью e.
1
1
, 5 3 0,01.
(2n)3
4. 6
2n 3 1
, 5 2 0,01.
n3 (n 3 1)
6. 6
3. 6 (41)n 21
n 31
1
5. 6 (41)n
n 21
1
(31)n 4 n
, 5 2 0,1.
2n
n 21
7. 6
1
(31)n 4 n
, 5 2 0,001.
2
2
n 21 (4n 3 1)
9. 6
1
(31)n 4 n
, 5 2 0,001.
(2n)!
n 21
11. 6
1
(31)n 4 n
, 5 2 0,0001.
7n
n 21
13. 6
1
(31)n
, 4 2 0,001.
(2n)!
n 21
15. 5
(41)n 21
, 5 3 0,01.
n!
n 31
2. 6
n 31
1
1
1
, 5 3 0,01.
3n2
1. 6 (41)n 21
1
(31)n
, 4 2 0,001.
n ! (2n 5 1)
n 20
1
(31)n
, 4 2 0,0001.
(2n 5 1)!
n 21
1
(31)n 4 n2
, 5 2 0,1.
3n
n 21
8. 6
1
(41)n 21
, 5 3 0,0001.
(2n 2 1)! 6 n
n 31
10. 7
3
1 52 2 , 6 4 0,01.
12. 7 5
n 40
3
1 23 2 , 6 4 0,1.
14. 7 5
n 40
1
16. 5
n 20
n
n
(31)n
, 4 2 0,01.
3n !
229
8. РЯДЫ
1
(31)n
, 4 2 0,00001.
(2n)! 5 2n
n 21
17. 6
1
(31)n
, 4 2 0,001.
n
n 21 2 5 n !
19. 6
1
(31)n
, 4 2 0,00001.
(2n)! n !
n 21
21. 5
1
(31)n
23. 6 n
, 4 2 0,001.
n 20 4 (2n 5 1)
1
(31)n 4 2n
, 5 2 0,001.
n
n 20 (n 6 1)
25. 7
sin
3
27. 8
1 25 6 5n2, 7 4 0,01.
n3
n 41
61
1
cos(3n)
, 4 2 0,001.
3
2
n 20 (n 5 1)
29. 6
þ
1
(31)n (2n 4 1)
, 5 2 0,001.
(2n)! 6 n !
n 21
18. 7
1
(31)n
, 4 2 0,001.
n
n 21 3 5 n !
20. 6
1
cos n3
, 4 2 0,001.
n (n 5 1)
3
n 20
22. 6
3
24. 8
sin
1 25 6 5n2, 7 4 0,01.
n3
n 41
1
(31)n
, 4 2 0,001.
n
n 20 (n 5 1)
26. 6
1
28. 6
n 21
(31)n
n2 (n 5 3)
, 4 2 0,01.
1
(31)n
, 4 2 0,01.
3
n 21 1 5 n
30. 6
4. Найти приближенное значение интеграла с точностью e = 0,001, ис
пользуя стандартное разложение подынтегральной функции в степенной ряд.
0,1
1.1.
2
0,25
e 16x dx.
2
2
1.2.
0
0,1
2.1.
1 sin(100x2 ) dx.
0
1
2.2. 3 arctg
0
1
3.1. 1 cos x2dx.
2
4
0
dx
.
1 1 x4
2
3.2.
1 1 e 12 x
dx.
x
0
x
1 ln 1 3
5 dx.
6.1. 4
x
0
2
1 2
1,5
7.1.
2
0
3
dx
.
27 1 x3
2
x e 1 x dx.
0
0,5
4.2.
1
0
0,1
5.1.
1 x2 2 dx.
0,25
0
0,5
4.1.
ln(1 1 x ) dx.
0
arctg x
dx.
x
0,2
5.2.
2
x 1 cos x dx.
0
1
6.2. 2 e
1
x2
2 dx.
0
1
7.2. 1 cos x dx.
0
230
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
0,2
8.1.
2
0,5
e 13x dx.
2
8.2.
0
0,2
9.1.
1 sin(25x2 ) dx.
0
2 ln(1 1 x3 ) dx.
0
0,5
9.2.
2
0
0,5
10.1.
1
0,5
cos(4x2 ) dx.
10.2.
0
1
11.1. 2
0
dx
.
4
16 1 x4
1 1 e1x
dx.
x
0
x
0,4 ln 1 3
2 dx.
13.1. 4
x
0
14.1. 2
0
1 2
dx
.
3
64 1 x3
2 e12x dx.
2
0
0,5
12.2.
16.1.
3 sin 1 2 2 dx.
5x
0
0,5
14.2.
0
15.2.
16.2.
2
0
0,1
20.1.
2
0
0,4
21.1.
2
1
x
2
0
17.2.
0
0,25
18.2.
22.1.
2
ln(1 1 2x)
dx.
x
x
1
x e 4 dx.
19.2.
20.2.
0
2
0
0,5
21.2.
22.2.
0
1 sin(4x2 ) dx.
1 1 x dx.
dx
0
arctg x2
dx.
x2
0,8
1 1 cos x
dx.
x
2
0
0,5
23.2.
1 1 cos x
dx.
x2
1
0
3x2
1
e 4 dx.
3
2 3 125 1 x3 .
0,5
0,5
23.1.
2
0
0
0,4
2 ln(1 1 x2 ) dx.
2,5
dx.
dx
2 4 81 1 x4 .
0,5
0
11 e
x
1 cos(100x2 ) dx.
0
0
0,4
sin x2
dx.
x
1,5
1
19.1.
1
x2
dx.
4
0,1
0
18.1. 1 sin 3 x dx.
dx
2 1 1 x5 .
13.2. 2 3 1 1
2
1 cos(25x2 ) dx.
2
0
0,2
17.1.
e 12x
dx.
x
1
0
0,4
2
11.2.
0,3
15.1.
2
0
2
2
2 e1x dx.
0,25
0,2
12.1.
1 1 x2 dx.
2
0
x 1 arctg x
dx.
x2
231
8. РЯДЫ
0,4
24.1.
3
0
2
25.1. 2
4
0
0,5
26.1.
1 2
5x
dx.
2
dx
.
256 1 x4
dx
2 3 1 1 x3 .
0
2,5
27.1.
dx
2 4 625 1 x4 .
0
1
28.1. 2
3
0
0,5
29.1.
2
dx
.
8 1 x3
3x2
1
e 25 dx.
0
0,5
30.1.
1
0
þ
0,1
2
cos
sin x2
dx.
x2
24.2.
2
0
1
ln(1 1 x)
dx.
x
25.2. 1 cos 3 x dx.
0
1
26.2. 1 x sin x dx.
0
1
27.2. 1 cos
0
x2
dx.
4
1
28.2. 1 sin x2dx.
0
1
1 x2
29.2. 7 arctg 3
4 dx.
5 2 6
0
0,4
30.2.
2
1 1 x3 dx.
0
5. Найти три первых не равных нулю члена разложения функции y(x)
в степенной ряд. Функция y(x) является частным решением дифференци#
ального уравнения, удовлетворяющим указанному начальному условию.
1. y¢ = xy + ey, y(0) = 0.
2. y¢ = x2 + 2y2, y(0) = 0,5.
3. y¢ = x2 – y2, y(0) = 0,5.
4. y¢ = 2 cos x – xy2, y(0) = 1.
5. y¢ = x + y3, y(0) = –1.
6. y¢ = x + x2 + y2, y(0) = 1.
7. y¢ = x3 + y2, y(0) = 0,5.
8. y¢ = 2y2 + y × ex, y(0) = –1.
9. y¢ = x + y + y2, y(0) = 1.
10. y¢ = x sin x – y2, y(0) = 1.
11. y¢ = esinx + y3, y(0) = 0.
12. y¢ = x2y2 + y sin x, y(0) = 0,5.
13. y¢ = ex – y2, y(0) = 0.
14. y¢ = e3x + 2xy2, y(0) = 1.
15. y¢ = x + ey, y(0) = 0.
16. y¢ = y cos x + 2 cos y, y(0) = 0.
17. y¢ = x2y2 – 1, y(0) = 1.
18. y¢ = x – y + y2, y(0) = 1.
19. y¢ = x2 + ey, y(0) = 0.
20. y¢ = xy + x2 + y2, y(0) = 1.
21. y¢ = xy – y2, y(0) = –1.
22. y¢ = 2x + y2 + ex, y(0) = 1.
23. y¢ = x2 + y2, y(0) = 1.
24. y¢ = 2xy + ey, y(0) = 0.
25. y¢ = x – 2y2, y(0) = 0,5.
26. y¢ = xex + 2y2, y(0) = 0.
27. y¢ = xy2 + ex, y(0) = 0.
28. y¢ = 2sinx + xy3 + 1, y(0) = 1.
29. y¢ = y × ex – y3, y(0) = 1.
30. y¢ = x2 + xy + y2, y(0) = 0,5.
232
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Контрольная работа 7.
РЯДЫ
þ
В пунктах 1–4 исследовать сходимость положительного ряда.
В пункте 5 исследовать знакочередующийся ряд по признаку Лейбни0
ца на условную сходимость. Если ряд сходится условно, то исследовать
его на абсолютную сходимость.
В пункте 6 найти интервал сходимости степенного ряда, применив
признак Даламбера; исследовать сходимость ряда на концах интервала
сходимости.
1
1.1.
1
(n 3 2)!
5 (5n 4 1)5 .
1.2.
n 21
5n nn
4 (10n 3 3)n .
n 21
1.5.
5 (2n 4 1)3 .
7 31n n n6 1
n 51
1.6.
4 n22 x3 1.
n 31
1
7n 3 1
61
2.4.
n 21
2.3.
n 41
2
1
n2
.
(31)n
4 2n 3 1.
n 23
4 arctgn 2n2n3 1.
1
2.6.
1
(31)n
5 (2n 4 7)!.
n 21
2 n
.
(x 3 3)n
n
4 n(2nn331)3 .
3
n 21
1
3.6.
(x 3 1)n (n 4 3)
.
8n
n 21
4.2.
5 2n14 1 tg 33n .
1
4 ( 4 4n13 5)5 .
4
3
4 8n (7n 3 1)!.
1
3.4.
n 21
4.1.
5 tg
n 21
n 21
3.5.
3
4
5 (n 4 1) 9n .
1
3.2.
1
4 (2n 3 1) ln13 (2n 3 1).
2
n 21
n 23
3.3.
6n
n 32
1
3.1.
1
4 (3n 3 2) ln4 (3n 3 2).
n 22
1
2.5.
.
n
1
2.2.
5n 5 1
5n
n
3 n2
n 21
5 5n (n 4 1)!.
3
.
1.4.
1
(41)n 21
32
1 2
4
1
2.1.
n3
n 21
1.3.
1
1
4
5
1
n 21
233
8. РЯДЫ
6 1 3n 5 5 2 .
3
4.3.
1
n
2n
4.4.
n 23
n 41
1
4.5.
1
(31)n
(x 3 3)n
.
n
n 21 n 4 2
5 n2 4 1.
4.6. 5
n 21
1
5.1.
1
5.2.
1
2/3
4 43n 5
6
3 7
n 22 8 64 3 n 9
.
5.4.
(31)n
1
arctg .
n
n
n 21
4
1
n 21
6.2.
1
6.5.
(31)n
1
6.4.
1
5 (n2 4 2) 2n .
6.6.
(x 3 5)n
.
5n 4 8
n 23
71
7.2.
4 (3 3 n)!7n .
3
n 41
1
7.3.
4
n 23
1
7.5.
1
4 (5n 3 5)ln5 (5n 3 5).
n 23
n 21
7.1.
6 sin3n 1 35n 2 .
n 43
1
3
tg
.
2n 4 4 n 4 4
n 21
(x 3 2)n
5 (2 4 n)(3 4 n).
3
4 3nn! 33n1.
5
1
4 (4n 3 3)ln3 (4n 3 3).
1
5.6.
n 21
6.3.
5
n 21
5n 5 3
5n 6 1
2
n33
.
n2 3 9
(31)n
.
2n 4 2
.
8.3.
4 3 n 3 2.
n 21
1
(n 3 1)!
n 22
1
7.4.
4 (4 3 3n)ln13 (4 3 3n).
n 24
1
7.6.
n
n
4 33n x3 1.
n 22
1
n
4 nn83 n !.
n 22
5
1
n2
3
8.1.
1
.
n 21
1
6.1.
2n
3 5 2n
1
n 41
1
5.5.
7 3n 6 1 3n 5 2 2
3
5n 3 7
5 (2n 4 1)!.
n 22
5.3.
1
3 n ln(2n) lnln(2n).
3
1
2
3n2
8.2.
7 81n 5 2n2n6 1
n 41
8.4.
4 (8n 3 1)ln(8n 3 1).
1
n 22
1
.
234
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
8.5.
(31)n
.
n43
5 (2n 4 3)
n 21
1
9.1.
1
8.6.
(x 3 2)n
.
3
n 22 n 4 3
9.2.
6 1 10n 5 1 2
3
(2n)!
3 (n !)2 5n .
n 21
1
9.3.
4
n 21
1
9.5.
9.4.
1
9.6.
n 21
n 21
4 (3n 3 9)ln17 (3n 3 9).
n 21
(31)n
4 tg3n
n 31
1
3
.
5n
10.2.
(n 3 2)!
.
nn
n 21
1
.
4 (5n 3 2)ln(5
n 3 2)
10.4.
4 n(nn3334).
n 21
1
(31)n (2n 3 1)
.
n3 4 3
n 23
5
1
10.6.
4 arctg n233 1.
1
11.4.
(31)n (n2 4 1)
.
n3
n 21
.
1
.
3 n ln(2
n)
1
(31)n
5 n3 4 1.
n 21
61
3
2/3
4 n 31 5
6 3
7
n 21 8 n 3 5 9
(x 3 2)n
6 4 3n 4 1 5 2n .
n 21
12.2.
n 41
1
12.4.
n 23
12.5.
4 (n 3 3)ln12 (n 3 3).
1
11.6.
1
12.3.
n
n 21
5
1
2
n 51
.
n
1
2
4 (nn3 3)! .
1
12.1.
1
n 42
n 21
11.5.
7 5n 6 1
3
11.2.
n 21
11.3.
(x 3 7)n
5 n(n 4 1).
n 21
1
11.1.
4
1
n 21
10.5.
(x 2 5)n 21
4 5n (2n 2 5).
1
10.3.
.
1
1
.
6 (5n 3 2)7
1
5n
9n
n 41
4 n4 4n .
10.1.
5
2n 5 3
n 51
2
n2
.
n
4 n53 n ! .
n 21
1
12.6.
(x 3 2)n
5 (5n 4 8)3 .
n 23
235
8. РЯДЫ
1
13.1.
1
n!
4 5n (n 3 3)!.
13.2.
6 1 6n6n5 1 2
13.4.
n 21
3
13.3.
n 21
n2
1
.
n 41
(31)n (n 4 5)
.
n2
n 21
5
1
13.6.
ln 2 5/2 (2n 4 2)
.
2n 4 2
n 31
5
1
14.2.
n 21
1
15.1.
14.4.
n 41
1
(31)n
.
3n 4 5
5
14.6.
3
n 41
n 51
4n
2
2
n2
.
(x 3 3)n
5 (n 4 1)(n 4 2).
1
n2
4 (n 3 3)!.
61
n 51
2n 5 3
n 21
15.2.
n 21
15.3.
61
3
(n 3 1)!
4 (3n)! .
n 21
1
14.5.
4 8n2 31n 3 2.
n 21
1
14.3.
(x 4 1)n 21
5 8n (n2 2 3).
n 31
1
14.1.
1
4 (3n 3 2)ln2 (3n 3 2).
n 21
1
13.5.
1
3
tg .
n
3
n
4
1
4 (7n 3 5)ln(7n 3 5).
n 21
1
3n
15.4.
.
6
n 22
1
1
3
sin 3 .
n43
25 n
1
15.5.
(41)n
5 (n 2 1)2n21 .
n 31
15.6.
(x 3 1)n
.
n
n 21 n 4 9
16.1.
6 1 2n2n5 3 2
16.2.
4 3 5n12 3 4 .
3
1
2 n2
.
n 21
n 41
1
16.3.
4 (2n 3 7)
n 21
1
16.5.
1
.
ln(2n 3 7)
1
16.4.
1
(31)n
5 5 n 4 4.
1
n ! 3 9n
5 (n 4 2)!.
n 21
16.6.
n 21
17.1.
5
n
5 (n 3 x4)5 4 5n .
n 22
1
2
3 n 4.
5
2 6
n 21 8 5 7 n 9
17.2.
ln 22/3 (n 4 6)
.
n46
n 31
5
236
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
17.3.
1
1
4 ln3n (n 3 1).
17.4.
n 21
1
17.5.
n 21
1
(31)n n
5 (n 4 1)!.
17.6.
n 21
6 1 3n3n5 1 2
3
18.1.
1
n2
18.2.
.
1
ln(n 3 3)
.
n33
n 21
4
18.4.
(31)n (2n 4 1)
.
3n2 4 1
n 21
5
1
18.6.
1
19.2.
6 n3 1 tg 4n 2 .
19.4.
(n 3 5)!
.
2n
n 21
5 (2n 4 1)n .
19.6.
6 n2 5 7n 21 .
61
20.2.
3
n 21
1
5
5
n 41
1
3
n 41
n 51
2n
2
1
n3
.
ln 25/3 (n 4 4)
.
n44
n 31
5
(31)n (n 4 1)
n3
n 22
1
21.1.
61
n 41
2n 5 3
2n
4
n 22
1
.
20.6.
n sin
3
.
n2
(x 3 5)n
4 (3n 3 1)3 .
1
n
3 8nnn !.
3
1
20.4.
n 22
21.2.
n 21
21.3.
n
4 (n53 2)!.
n 21
5
1
20.5.
(x 4 3)n
n 31
1
20.3.
4
1
(31)n
n 21
20.1.
9 arctgn 357 31n 468.
4 (2n 3 1)ln15 (2n 3 1).
n 21
19.5.
(x 3 5)n
.
n 31
5 3n 4
n 21
1
19.3.
4 lnn (1n 3 3).
n 21
1
19.1.
2
4 (2nn3 3)!.
n 21
1
18.5.
xn 21
.
n
4 2n
n 31
n 41
18.3.
n ! 3 2n
5 (n 4 5)!.
4 (9n 3 2)ln18 (9n 3 2).
n 21
2
2n2
1
.
21.4. 3 n3/2 arctg 3
n 21
1
.
n7
237
8. РЯДЫ
1
21.5.
(31)n
5 3n (2n 4 1)!.
1
21.6.
n 21
1
1
22.2.
1
1
arcsin 5 .
n
n
n 21
22.4.
n 21
1
n 21
22.6.
1
3
23.2.
n 21
23.3.
61
n 41
1
23.5.
2
1
7 n2
.
(31)n
5 (2n 4 1)n .
1
5
n 21
23.4.
3n 3 1
.
n 4 7n
3 5
sin3 46
7
8 2 n 9.
24.3.
n
n 21
1
(31)n 4 3n
.
(n 5 2)!
n 21
24.5. 6
1
4
n 21
1
.
8 (7n 3 5)3
1
23.6.
4 (3n 3 7)ln13 (3n 3 7).
n 21
5 (41)n sin 23n .
n 21
61
3
24.2.
n 41
n
3n 5 1
2
n3
.
1
24.4.
4 (7n 3 2)ln17 (7n 3 2).
n 22
1
10n xn
.
n 21 n 3 3
24.6. 4
n 41
61
3n 5 4
4n 5 2
2
61
4n
4n 5 3
2
3
25.2.
3
25.4.
n 41
1
1
25.5.
(x 3 1)n
5 4n 4 4 n 3 5 .
n 21
1
25.3.
9 arcsin2n 357 51n 648 .
n 21
1
25.1.
2
4 n3n3 2.
n 21
n 21
24.1.
n
4 2n (xn 3 2).
n 21
4 (2nn3 5)!.
7n 5 1
7n
4 (2n 13 1)n .
1
(31)n
.
n(n 4 3)
n 21
3
(2n)!
3 (3n)!.
1
1
22.5. 5
1
.
n2 3 9
n 21
22.3. 3
23.1.
(x 3 6)n
n 21
5n 3 1
.
n5 3 n
22.1. 4
4
25.6.
4
n 21
3
n /3
.
n2
.
n (x 3 3)n
.
n3 3 4
238
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
26.1.
ln 27/4 (2 4 3n)
.
2 4 3n
n 31
5
n 41
1
26.3.
5 n12 sin 3n34 2.
n 21
1
26.5.
(31)n
5 7n (3 4 7n).
1
(3n 3 2)!
5 10n 4 n2 .
1
5 (4n 4 1)
2
3
2.
(n 3 1)!
.
(2n)!
n 21
26.6.
(x 3 8)n
.
n5
n 21
27.2.
6 1 3n 5 1 2
28.1.
4 (2n)! 6n .
1
(n 3 1)!
ln 210 (4n 4 4)
.
4n 4 4
n 32
(31)n (3n 4 7)
.
7n2 4 3
n 22
5
1
n 3 6n
29.1. 5
.
n
4 6)!
(
n 23
1
29.3.
1
4 4 n (n2 3 4).
1
(x 4 5)n 21
.
n 21
n 31 n 5 5
28.2.
3 ln23n n.
1
(31)n
5 6n (2n 4 5).
1
28.4.
n 23
3 n1 arcsin 101n .
n 21
1
28.6.
(2n 3 5)(x 3 4)n
.
2n
n 22
4
3
1
1 5n 5 2
29.2. 7 n 6
5n
n 41 5
1
29.4.
2
n2
.
1
3 n ln n lnln n.
n 24
1
29.6.
(x 3 2)n
4 3n (3n 3 2).
n 21
1
!
.
4 (n 3n2)!3
n
n
n 22
n 22
30.1.
6
1
n 21
29.5.
ln2 (n 3 5)
.
n 35
n 21
4
27.6.
1
28.5.
.
1
27.4.
1
5
2n
n
n 41
n 22
28.3.
4
3
1
(31)n 4 n3
6 n4 5 1 .
n 21
4
1
n 31
27.5.
n
1
n 21
27.3.
2
1 n 51
.
n
26.4.
n 21
27.1.
6 5n 1
3
26.2.
7 tg3n 1 35nn 66 35 2 .
3
30.2.
n 43
239
8. РЯДЫ
1
30.3.
4 5 n sin n 3n .
1
30.4.
ln 27/3 (2n 4 8)
.
2n 4 8
n 31
30.6.
x
.
5 (n 3 4)
4 4 4n
n 22
1
30.5.
(31)n (n 4 8)
.
5n2 4 8
n 21
5
1
31.1.
1
1
31.2.
ln 26/7 (2n 4 1)
.
2n 4 1
n 31
5
1
31.4.
1
31.5.
(31)n
5 (n 4 1)(n 4 3).
n 22
32.2.
(31)n
5 (3n 4 8)(n 4 3).
1
32.6.
33.2.
1
2n3
33.4.
.
(31)n
1
33.6.
n 21
1
1
.
4 (2n 3 5)ln4 (2n 3 5).
n 23
(x 3 7)n
4 5n (n 3 5).
n 22
61
3
2/3
4 2n 3 7 5
34.1.
6 2
7
n 21 8 7n 3 2 9
34.3.
3 4 1n3 arctg
n 21
5 (n 4 8)(3n 4 1).
1
(2n 3 1)!
4 (n 3 2)! 9n .
n 21
6 1 23nn 55 59 2
1
(x 3 7)n
5 7n (n 4 7).
n 22
n 41
33.5.
4 (3n 3 5)ln15 (3n 3 5).
1
4 32nn33337.
n 21
3
.
n 22
1
33.3.
n /3
1
32.4.
n 21
33.1.
2n 5 1
n 42
35
.
4 (2n 3n4)(
n 3 4)
1
7 1 3n 6 1 2
3
n 3 n!
.
n
n 21 n
4
n 21
32.5.
xn
4 5 n 3 5n .
n 23
1
32.3.
(n 3 1)!(n 3 3)!
.
(2n)!
n 21
4
1
31.6.
1
32.1.
4 lnn (1n 3 3).
n 22
1
31.3.
n
n 21
2
4 8n2 3 1 5
.
6 2
3 7
n 21 8 8n 3 5n 9
5
34.2.
n 42
1
34.4.
5n 5 3
5n 5 8
2
n2
(n 3 1)!
.
4 6n (n 3 3)!.
n 21
1
.
n
240
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
34.6.
(x 3 2)n
.
n 4 2n
n 22
4 (8n 3 2)ln18 (8n 3 2).
35.2.
4
6 1 22nn 55 53 2
35.4. 4
1
34.5.
(31)n
5 (n 4 5) n 4 3 .
n 21
35.1.
1
1
n 22
n 22
3
35.3.
1
.
(31)n
5 (7n 3 2)(7n 4 4).
(n 3 4)!
.
4n
n 21
1
35.6.
n 21
1
36.1.
61
n 41
1
36.5.
2n 5 5
3n 5 2
2
(n 3 2)!
.
n
n 21 10
36.4.
4 (3n 3 2)ln12 (3n 3 2).
1
.
n 21
(31)n
1
36.6.
(x 3 2)n
.
5n
n 22
37.2.
4 (3n 3 4)ln12 (3n 3 4).
1
4
n 21
1
37.5.
.
n 22
1
.
n2 3 n
1
37.4.
1
(31)n
5 2n 4 n !.
1
37.6.
1
4 (5n 3 8)ln(5n 3 8).
1
38.2.
(2n)!
4 n ! (n 3 3)!.
n 22
(31)n (2n 4 1)
.
n2 4 2
n 21
71
3
38.4.
n 42
1
5
1
5 5 n 4 1 sin 3
n 21
1
38.5.
(x 3 5)n
4 (n 3 5)n.
n 23
n 21
38.3.
3 arcsin3n 21n .
n 21
n 21
38.1.
4
1
n /2
n 21
37.3.
4
1
n3
5 5 3n 4 4 .
3 n3n
.
36.2.
n 21
37.1.
7n 3 n2
1
2n 3 5
4 5n3 3 10.
3
(x 3 3)n
4
n 22
n 21
36.3.
n32
.
n2 3 2
1
n2
n 41
35.5.
5
1
38.6.
n52
3n 6 1
(x 3 6)n
.
n 35
4n
n 21
2
n2
.
3
.
n
241
8. РЯДЫ
1
39.1.
3n2 3 5
4 6n2 3 4n5 .
1
39.2.
n 22
n 21
n!
4 2n 3 5.
n 22
1
39.5.
39.4.
n 41
39.6.
1
40.1.
ln 25/3 (9n 2 4)
4 9n 2 4 .
n 31
40.3.
5 arctg2n
1 41 2 .
3
n
n 43
40.4.
3 nnn! .
1
n 22
40.6.
41.2.
(31)n (n 4 1)
.
n2 4 1
n 23
5
41.4.
(x 3 3)n
.
n 35
n 23
42.2.
61
1
(31)n
.
n
n 21 (2n 4 1)2
61
2
.
4 (2n 3 4)ln15 (2n 3 4).
1
42.6.
(x 3 3)n
.
n
3
n 21 3 4 n
43.2.
61
5
3
n4
.
2
3n2
n 21
1
42.5. 5
n
3n 5 1
1
42.4.
n 22
n 41
4
n 41
4 3 n sin 4 3n5 .
.
1
41.6.
3
n32
.
(
n
3 3)!
n 21
n2
n 42
1
42.1. 4
43.1.
6 1 2n2n5 3 2
3
n
2n 5 5
5n 5 7
1
4 (6n 3 8)ln(6n 3 8).
n 21
4 n ! (3n 3 3).
3
(x 2 5)n 21
.
n3
n 31
4
1
n2
4 n3 3 3.
n 21
1
42.3.
3
4 3n 3 2 5 .
6 2
7
n 22 8 7n 3 3n 9
n 22
41.5.
(x 3 2)n
.
n 2
n 21 2 n
4
1
(31)n n
.
2
n 21 n 4 5n
5
1
.
1
1
41.3.
2
n2
40.2.
1
41.1.
4n 5 3
4n 5 5
1
(31)n
5 n 3 4 3.
n 22
40.5.
61
3
1
39.3.
1
4 ln2n (n 3 2).
n 41
2n 5 5
2n 5 3
2
n2
.
242
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
43.3.
1
2n 3 1
5 2n 4 n !.
43.4.
n 21
1
43.5.
n 21
(31)n
5 (2 4 5n)(2n 4 5).
1
43.6.
n 21
3
44.1. 6
n 41
1 33nn 55 14 2
3n2
1
44.3.
4 3n 3 1 5 .
6 2
7
n 21 8 2n 3 4 9
44.4.
4 (n 3 2)!.
1
1
(31)n
.
n
n 21 2 n !
(x 3 4)n
.
n
5
n 21 4 (n 3 4)
45.1.
ln 28/3 (7n 2 2)
.
7n 2 2
n 31
4
44.6. 4
1
4
1
45.2.
46.4.
1
(31)n
n 21
5
n 22
n
n 31
.
n3 4 1
1
n2
5 3 7n 4 8 .
.
5 (n 3 2)x4 3 2n 3 4 .
1
61
2
2
2n3
n 21
3
2n 5 7
7n 5 8
n 55
2n 5 5
1
45.6.
46.2.
n 41
46.5.
n 41
4 2n2 3 7 5
6 3
7.
n 21 8 7n 3 8 9
3
46.3.
45.4.
(31)n
.
4
2n 4 8
1
46.1.
61
3
5n
45.3. 4
.
n
3 5)!
(
n 21
1
4 (7n 3 2)5 .
n 21
1
n 21
(2n)!
n 21
44.5.
5
2
44.2.
1
1
4 7 n4 3 3 .
1
(x 3 8)n
.
8
n 4 8n
n 21
5
1
.
n 21
45.5.
3
1
4 n2 tg n2 .
.
4 (7n 3 8)ln15 (7n 3 8).
n 22
1
46.6.
(x 3 7)n
4 7n (2n 3 7).
n 21
9.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
С
лучайным событием называется такое событие, которое может произой
ти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с
возможностью появления данного события. Вероятность случайного собы
тия A обозначается P(A), 0 £ P(A) £ 1.
События называются несовместными, если появление одного из них ис
ключает появление других из этих событий в одном и том же испытании.
События называются единственно возможными, если появление в результа
те испытания одного и только одного из них является достоверным событи
ем, т. е. событием, которое должно произойти при каждом испытании.
События называются равновозможными, если есть основания считать,
что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.
Классическое определение вероятности. Если возможные результаты
каждого из однородных испытаний могут быть представлены в виде n един
ственно возможных, несовместимых друг с другом и равновозможных ис
ходов (случаев), причем из них m случаев связаны с наступлением собы
тия A (благоприятствуют A), то вероятность события A равна отношению
m к n:
P( A) 1
m
.
n
Суммой нескольких случайных событий называется событие, состоящее
в осуществлении хотя бы одного из этих событий. Сумма событий A1, A2, ...,
An обозначается следующим образом: A1 + A2 + ... + An.
Вероятность суммы попарно несовместных событий (не могут осуществ
ляться одновременно) равна сумме вероятностей этих событий:
P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An).
Событие, состоящее в ненаступлении случайного события A, называется
событием, противоположным событию A, такое событие обозначается через
A. Справедливо равенство P( A ) 1 1 2 P( A ).
244
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Если в результате испытания может наступить только одно из несовмест)
ных событий A1, A2, ..., An, то события A1, A2, ..., An образуют так называе)
мую полную группу событий.
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них
не зависит от появления или непоявления другого. Несколько событий на)
зываются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая ком)
бинация остальных событий есть события независимые.
Произведением нескольких событий A1, A2, ..., An называется событие,
состоящее в совместном появлении всех этих событий, оно обозначается
A1A2...An. Вероятность совместного появления нескольких событий, незави)
симых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
P(A1 × A2 × ... × An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An).
Условной вероятностью P(B/A) называют вероятность события B, вы)
численную в предложении, что событие A уже произошло.
Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий рав)
на произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех
остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисля)
ются в предположении, что все предыдущие события уже появились:
P(A1 × A2 × ... × An) = P(A1) × P(A2/A1) × P(A3/A1 × A2) × ... × P(An/A1 × A2 × ... × An–1).
Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может
наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий
B1, B2, ..., Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений веро)
ятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероят)
ность события A:
P(A) = P(B1) × P(A/B1) + P(B2) × P(A/B2) + ... + P(Bn) × P(A/Bn).
Формула Байеса. Условная вероятность события Bi в предположении,
что событие A имеет место, определяется по следующей формуле:
P( Bi / A ) 1
P( Bi ) 2 P( A / Bi )
n
.
3 P( Bi ) 2 P( A / Bi )
i 11
Формула Бернулли. Если производится n независимых испытаний, в ка)
ждом из которых вероятность появления события A одна и та же и равна p, то
вероятность того, что событие A появится в этих испытаниях ровно m раз,
выражается формулой
Pn (m) 2 Cnm pm 3 q n 1m,
где q = 1 – p.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в
каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность
Pn(k) того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно k раз,
может быть вычислена по приближенной формуле
245
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2
Pn (k) 2
при x 2
1
1 1 x2
1
3
e
2
3 4(x),
npq 25
npq
k 1 np
. Значения функции j(x) приводятся в соответствующих таб#
npq
лицах (см. приложение 1).
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления собы#
тия A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то веро#
ятность Pn(k1, k2) того, что событие A появится в n независимых испытаниях
от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу:
x2
Pn (k1 , k2 ) 2
2
x
1
1
e 2 dx,
4
23 x1
x
где x1 2
2
z
1
k1 1 np
k 1 np
1
и x2 2 2
. Таблица для интеграла 2(x) 3
e 2 dz при#
5
24 0
npq
npq
ведена в приложении 2, так как соответствующий неопределенный интеграл
не выражается через элементарные функции.
Случайной называют величину, которая в результате испытания прини#
мает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и завися#
щее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдель#
ные, изолированные возможные значения с определенной вероятностью.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать
все значения из некоторого промежутка числовой оси.
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между воз#
можными значениями случайной величины и их вероятностями, называет#
ся законом распределения случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается
рядом распределения:
12
312
332
342
5552
34 2
52
612
632
642
5552
642
1
где
суммирование
распространяется на все множество воз#
p
1
1,
2 i
n
при этом
i 11
можных значений данной случайной величины X.
Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить
графически, для чего в прямоугольной системе координат необходимо отме#
тить точки (xi, pi), затем соединить их отрезками прямых. Полученную фи#
гуру называют многоугольником распределения.
Закон распределения непрерывной случайной величины задается так на#
зываемой дифференциальной функцией распределения f(x).
Вероятность P(a < X < b) того, что значение случайной величины X попа#
дает в промежуток (a, b), определяется равенством
246
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
b
P(a 1 X 1 b) 2 3 f (x) dx.
a
Функция плотности вероятности f(x) обладает следующими свойствами:
1) f(x) ³ 0; 2)
12
5 f (x) dx 4 1.
32
Функцией распределения (интегральной функцией распределения) назы6
вается функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того,
что случайная величина X примет значение меньше x, т. е. F(x) = P(X < x).
Если f(x) — функция плотности распределения вероятностей непрерыв6
ной случайной величины X, то
x
F (x ) 4
5 f (x) dx, т.е. F 3(x) 4 f (x).
12
Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности F(x):
1) 0 £ F(x) £ 1;
2) F(x) — неубывающая функция своего аргумента, т. е. F(x2) ³ F(x1) при
x 2 > x 1;
3) P(a £ X < b) = F(b) – F(a);
4) если возможные значения случайной величины принадлежат интер6
валу (a, b), то F(x) = 0 при x £ a и F(x) = 1 при x ³ b.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ6
ется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина X может принимать только значения x1, x2, ...,
xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2, ..., pn. Тогда математи6
ческое ожидание M(X) случайной величины X определяется равенством
M(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn.
Пусть f(x) — плотность вероятности непрерывной случайной величины X.
Тогда математическое ожидание случайной величины X определяется ра6
венством
12
M( X) 4
6 x 5 f (x) dx.
32
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M(X – M(X))2.
Дисперсия случайной величины есть мера рассеяния ее значений около
математического ожидания. Если ввести обозначение M(X) = m, то формулы
для вычисления дисперсии примут следующий вид:
1) для дискретной случайной величины X —
n
n
i 11
i 11
D( X) 1 3 pi (xi 2 m)2, или D( X) 1 3 pi xi2 2 m2 ;
247
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2) для непрерывной случайной величины X —
D( X) 4
12
5
(x 3 m)2 f (x) dx, или D( X) 4
32
12
5 x2f (x) dx 3 m2 .
32
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называ
ется величина 1( X) 2 D( X), где D(X) — дисперсия случайной величины X.
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной слу
чайной величины, которое описывается функцией плотности вероятности
f ( x) 3
1
1
e
2 24
( x 1 a )2
222 ,
где a — математическое ожидание случайной величины, а s — среднее квад
ратическое отклонение.
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероят
ностей, которое описывается функцией плотности вероятности
40 при x 3 0,
f (x) 5 6 12x
при x 7 0,
82e
где l — постоянная положительная величина.
Распределение вероятностей называется равномерным, если на интерва
ле, которому принадлежат все возможные значения случайной величины,
функция плотности вероятности имеет постоянное значение.
Если X — равномерно распределенная случайная величина на интервале
(a, b), то функция плотности вероятности имеет вид
20 при x 1 a,
33 1
f ( x) 4 6
при a 5 x 1 b,
3b 7 a
390 при x 8 b.
Если каждому возможному значению случайной величины X соответст
вует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называется функ
цией случайного аргумента X: Y = j(X).
Если X — дискретная случайная величина, то вероятности возможных
значений X и Y = j(X) равны между собой.
Если j(x) — дифференцируемая, строго монотонная функция, обратная
функция которой x = y(y) существует, то функция плотности вероятности
g(y) случайной величины Y находится по равенству
g(y) = f[y(y)] × |y¢(y)|.
Если Y = j(X), где X — непрерывная случайная величина с функцией
плотности вероятности f(x), то математическое ожидание M(Y) можно вы
числить и по формуле
M(Y ) 4
12
6 5(x)f (x) dx.
32
248
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемая
ковариация:
Cxy = M(X – M(X))(Y – M(Y)).
Для дискретных случайных величин ковариация находится по формуле
m
n
Cxy 1 4 4 (xi 2 M( X ))(yj 2 M(Y )) 3 pij ,
i 11 j 11
а для непрерывных — по формуле
Cxy 4
12 12
5 5 (x 3 M(X))(y 3 M(Y ))f (x, y) dxdy.
32 32
Ковариацию можно также найти по формуле
Cxy = M(X × Y) – M(X) × M(Y).
Случайные величины X и Y называются независимыми, если вероятность
одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке ее значений,
не зависит от того, какое значение приняла другая величина. В этом случае
M(X × Y) = M(X) × M(Y) и Cxy = 0.
Для характеристики связи между величинами X и Y рассматривается
так называемый коэффициент корреляции
Cxy
.
rxy 1
D( X ) D(Y )
Если случайные величины X и Y независимы, то rxy = 0.
ИДЗ 27.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. В телестудии 3 телевизионные камеры. Вероятность того, что в дан;
ный момент первая камера включена, равна 0,9; для второй камеры эта веро;
ятность равна 0,8; для третьей — 0,7. Найти вероятность того, что в данный
момент включены: 1) две камеры; 2) не более одной; 3) три.
1.2. Двадцать процентов приборов оформляется с применением элемента
А1, остальные — с применением элемента А2. Надежность прибора с приме;
нением элемента А1 равна 0,9; с применением элемента А2 — 0,8.
а) Найти надежность работы наудачу взятого прибора.
б) Найти вероятность того, что прибор оформлен с применением элемен;
та А1, если он работает надежно.
1.3. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, что
из 6 посеянных семян взойдет: 1) три; 2) не менее трех; 3) не более четырех.
1.4. Вероятность сбоя в работе АТС при каждом вызове равна 0,0005.
Поступило 2000 вызовов. Определить вероятность того, что при этом про;
изошло 4 сбоя.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
249
1.5. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Из коробки
наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что вынули 2 си&
них карандаша?
2.1. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй — толь&
ко 15. Каждому из них задают по одному вопросу из 25. Найти вероятность
того, что на заданный вопрос правильно ответят: 1) оба студента; 2) только
один из них; 3) хотя бы один из студентов.
2.2. Детали для обработки попадают на один из трех станков с вероятностя&
ми, соответственно равными 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность появления брака при
обработке на первом станке равна 0,02; на втором — 0,03; на третьем — 0,01.
а) Найти вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь
является стандартной.
б) Взятая деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что
она изготовлена на втором станке?
2.3. В семье пять детей, имеющих разные даты рождения. Принимая рав&
ными вероятности рождения мальчика и девочки, найти вероятность того,
что мальчиков в семье: 1) трое; 2) не менее трех; 3) не более двух.
2.4. Вероятность неверно набрать знак при наборе текста равна 0,001.
Найти вероятность того, что при наборе текста, состоящего из 3000 знаков,
будет допущена хотя бы одна ошибка.
2.5. Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4
офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в выборке будет не более
двух офицеров?
3.1. Три микросхемы входят в блок. Вероятности выйти из строя в тече&
ние гарантийного срока для них соответственно равны 0,3; 0,2; 0,4. Найти
вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: 1) не
менее двух микросхем; 2) ни одна; 3) хотя бы одна.
3.2. Среди поступивших на сборку деталей 30% изготовлены на заводе
№ 1, остальные — на заводе № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна
0,02; для завода № 2 — 0,03.
а) Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь является стан&
дартной.
б) Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того,
что она изготовлена на заводе № 1?
3.3. Студент пытается пройти тестирование, используя метод «угадыва&
ния». Тест содержит 8 вопросов, на которые следует отвечать «да» или «нет».
Найти вероятность того, что среди ответов студента правильных будет:
1) пять; 2) не менее пяти; 3) более пяти.
3.4. Вероятность того, что лампа будет гореть в течение года, равна 0,64.
В начале года для освещения города было подключено 2500 ламп. Найти
вероятность того, что к концу года из этих ламп будут гореть не менее 1552 и
не более 1600 ламп.
3.5. В группе спортсменов 7 лыжников и 3 бегуна. Случайным образом
взяли 3 спортсмена. Найти вероятность того, что все отобранные спортсме&
ны окажутся лыжниками.
250
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4.1. В первом ящике имеется 20 деталей, из них 15 стандартных, во вто)
ром ящике — 30, из них 25 стандартных. Из каждого ящика наудачу берут
по одной детали. Какова вероятность того, что: 1) детали будут стандартны)
ми; 2) хотя бы одна деталь будет стандартной; 3) обе детали будут нестан)
дартными?
4.2. Три автомата штампуют одинаковые детали, которые поступают на
общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автома)
тов относятся как 2 : 3 : 5. Вероятность того, что деталь с первого автомата
будет отличного качества, равна 0,8; для второго — 0,6; для третьего — 0,7.
а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь ока)
жется отличного качества.
б) Взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того,
что она изготовлена первым автоматом?
4.3. В микрорайоне города расположено пять магазинов по продаже бы)
товой техники. Вероятность того, что в данный момент в магазине отсутству)
ют стиральные машины марки LG, для каждого из магазинов равна 0,1. Ас)
сортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других ма)
газинов. Найти вероятность того, что стиральные машины марки LG в данный
момент отсутствуют: 1) в двух магазинах; 2) не более чем в двух; 3) найти
наивероятнейшее число магазинов, в которых в данный момент отсутствуют
стиральные машины марки LG.
4.4. Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в
среднем 75% студентов. Какова вероятность того, что из 75 студентов эту
контрольную работу успешно выполнят 60 студентов?
4.5. В пакете находятся фрукты: 10 яблок, 3 груши и 8 лимонов. Из паке)
та случайным образом вынимают 4 фрукта. Найти вероятность того, что сре)
ди отобранных фруктов будет хотя бы одно яблоко.
5.1. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9; вторым —
0,7. Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель
поражена: 1) хотя бы один раз; 2) два раза; 3) один раз?
5.2. Сборщик получает 30% деталей, изготовленных на заводе № 1;
20% — на заводе № 2; остальные — на заводе № 3. Вероятность того, что
деталь завода № 1 отличного качества, равна 0,9; эта вероятность для завода
№ 2 — 0,8; для завода № 3 — 0,6.
а) Найти вероятность того, что случайно взятая сборщиком деталь от)
личного качества.
б) Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероят)
ность того, что она с завода № 2?
5.3. Вероятность сдать любой из пяти экзаменов для данного студента
равна 0,5. Найти вероятность того, что из пяти экзаменов студент сдаст:
1) один; 2) хотя бы два экзамена; 3) более двух экзаменов.
5.4. Станок)автомат штампует одинаковые детали. Вероятность произ)
водства бракованной детали для данного станка равна 0,002. Найти вероят)
ность того, что среди взятых на проверку 1000 деталей, изготовленных дан)
ным станком, будет 4 бракованных.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
251
5.5. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того,
что студент знает два вопроса, содержащихся в его экзаменационном билете.
6.1. Три радиолокационные станции следят за космическим кораблем.
Корабль при одном цикле обзора обнаруживается станциями с вероятностя*
ми 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора ко*
рабль будет обнаружен: 1) тремя станциями; 2) не менее чем двумя; 3) ни
одной.
6.2. Некоторое изделие может поступить для обработки на один из двух
станков с вероятностями 0,4 и 0,6. Вероятность появления брака при обра*
ботке на первом станке равна 2%, на втором — 3%.
а) Найти вероятность того, что наудачу взятое после обработки изделие
будет стандартным.
б) Взятое наудачу изделие оказалось стандартным. Какова вероятность
того, что оно обработано на первом станке?
6.3. Вероятность того, что мотор в цехе в данный момент включен, для
каждого мотора равна 0,8. Найти вероятность того, что из имеющихся в цехе
пяти моторов в данный момент будут включены: 1) один мотор; 2) не более
одного; 3) хотя бы два мотора.
6.4. Вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,1. Найти
вероятность того, что из 400 студентов на лекцию опоздают 34.
6.5. В коробке имеется 18 одинаковых катушек ниток, среди которых 9
катушек с красными нитками, 2 — с синими и остальные — с белыми. Како*
ва вероятность того, что три вынутые наудачу катушки будут одного цвета?
7.1. Устройство состоит из четырех блоков. Надежность (вероятность без*
отказной работы в течение времени T) первого блока равна 0,4; второго —
0,5; третьего — 0,6; четвертого — 0,4. Найти вероятность того, что в течение
времени T будут надежно работать: 1) 4 блока; 2) 3 блока; 3) менее трех.
7.2. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность
появления брака при обработке детали на станке № 1 равна 0,03; на станке
№ 2 — 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем про*
изводительность станка № 1 в два раза больше, чем производительность стан*
ка № 2.
а) Вычислить вероятность того, что наудачу взятая после обработки де*
таль не будет бракованной.
б) Взятая деталь оказалась небракованной. Какова вероятность того, что
она с первого станка?
7.3. В шахматы играют два равных по силе партнера: Иванов и Петров.
Что вероятнее для Иванова: 1) выиграть у Петрова три партии из четырех
или пять из восьми; 2) выиграть у Петрова не менее трех партий из четырех
или не менее пяти из восьми?
7.4. При транспортировке и разгрузке керамической плитки поврежда*
ется в среднем 1,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток
поврежденных будет две.
7.5. Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что
среди взятых наудачу четырех книг хотя бы одна художественная.
252
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
8.1. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом станке, выс)
шего сорта, равна 0,7, на втором станке — 0,8, на третьем — 0,6. Берут на)
удачу по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что среди
взятых деталей: 1) все высшего сорта; 2) две высшего сорта; 3) хотя бы одна
высшего сорта.
8.2. 45% телевизоров, продающихся в магазине, изготовлены в России,
15% — в Китае, остальные — в Корее. Вероятности того, что эти телевизоры
не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, соответственно равны
0,8; 0,7; 0,9.
а) Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор будет без)
отказно работать в течение гарантийного срока.
б) Купленный телевизор работал надежно в течение всего гарантийного
срока. Найти вероятность того, что он изготовлен в России.
8.3. При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность
брака равна 0,1. Какова вероятность того, что из восьми взятых диодов бра)
кованных будет: 1) два; 2) не менее двух; 3) не более двух?
8.4. Вероятность производства бракованной детали для данного станка)
автомата равна 0,0015. Найти вероятность того, что из взятых на проверку
2000 деталей будет 4 бракованных.
8.5. На полке шесть книг, из которых две не по интересующей теме. Слу)
чайным образом берут две книги. Какова вероятность того, что они по инте)
ресующей теме?
9.1. В первой студенческой группе 20 человек; во второй — 25; в треть)
ей — 16. На английском языке свободно говорят 10 человек из первой груп)
пы, 15 — из второй, 12 — из третьей. Из каждой группы случайным обра)
зом выбрали одного студента. Найти вероятность того, что из выбранных
студентов на английском языке говорят: 1) двое; 2) не менее двух; 3) хотя
бы один.
9.2. Имеется пять ящиков по 30 шаров, в каждом из которых содержится
пять красных, и шесть ящиков по 20 шаров, в каждом из которых содержит)
ся четыре красных.
а) Найти вероятность того, что из наудачу взятого ящика наудачу взятый
шар будет красным.
б) Наудачу выбранный шар оказался красным. Какова вероятность того,
что он принадлежит одному из первых пяти ящиков?
9.3. Найти вероятность того, что в шести выстрелах по мишени попада)
ний будет: 1) пять; 2) не менее пяти; 3) не более пяти, если в среднем пораже)
ние мишени составляет 80%.
9.4. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых
колец составляет 4%. Найти вероятность того, что среди 2400 изготовлен)
ных колец бракованных будет не менее 72 и не более 120.
9.5. На карточках по одной написаны буквы, образующие слово СТАТИ)
СТИКА. Карточки перевернуты буквами вниз и перемешаны. Отобрали на)
удачу 5 карточек. Найти вероятность того, что на отобранных карточках
будет не менее трех гласных букв.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
253
10.1. Первый станокавтомат дает 10% брака, второй — 15%, третий —
20%. Взяли по одной детали с каждого станка. Найти вероятность того,
что среди взятых деталей стандартными окажутся: 1) три; 2) две; 3) ни
одной.
10.2. По линии связи передаются два сигнала A и B с вероятностями
соответственно равными 0,8 и 0,2. Сигналов A принимается 60%, а сигна
лов B — 70%.
а) Определить вероятность того, что посланный сигнал будет принят.
б) Посланный сигнал был принят. Какова вероятность того, что это сиг
нал A?
10.3. Вероятность сдать экзамен для каждого из шести студентов равна
0,8. Найти вероятность того, что экзамен сдадут: 1) пять студентов; 2) не
менее пяти; 3) не более пяти.
10.4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8.
Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не
менее 75 раз.
10.5. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Найти вероятность
того, что среди двух наудачу извлеченных из партии деталей есть хотя бы
одна стандартная.
11.1. В цехе имеется три резервных мотора. Для каждого мотора вероят
ность того, что он включен в данный момент, соответственно равна 0,2; 0,3;
0,1. Найти вероятность того, что в данный момент включены: 1) два мотора;
2) хотя бы один; 3) три.
11.2. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии
отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов: A и B.
Каждая автоматическая линия снабжается только одним индикатором, ко
торый принадлежит к типу A с вероятностью 0,4 и к типу B с вероятностью
0,6. Вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии
для индикаторов этих типов соответственно равны 0,9 и 0,7.
а) Найти вероятность того, что наудачу взятый индикатор сработает при
нарушении работы линии.
б) От выбранного индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее
всего он принадлежит?
11.3. Вероятность поражения мишени одним выстрелом равна 0,5. Най
ти вероятность того, что в результате пяти выстрелов мишень будет пораже
на: 1) три раза; 2) не менее трех раз; 3) менее двух раз.
11.4. В институте учатся 1584 студента. Найти вероятность того, что день
рождения в сентябре не более чем у 121 студента этого института.
11.5. Из десяти билетов лотереи два выигрышных. Найти вероятность того,
что среди взятых наудачу пяти билетов этой лотереи один выигрышный.
12.1. Три стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность
поражения мишени первым стрелком равна 0,4; вторым — 0,5; третьим —
0,6. Определить вероятность того, что мишень будет поражена: 1) три раза;
2) не менее двух раз; 3) два раза.
254
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12.2. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит
20%; второй — 50%; третий — 30% всех замков. Бракованная продукция
для этих цехов составляет соответственно 5%; 4%; 2%.
а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок из изготов<
ленных на этом заводе окажется бракованным.
б) Случайно выбранный замок оказался бракованным. Вероятнее всего в
каком цехе он изготовлен?
12.3. Пять покупателей приехали на оптовый склад. Вероятность того,
что покупателю потребуется холодильник марки SAMSUNG, для каждого из
них равна 0,4. Найти вероятность того, что такой холодильник потребуется:
1) четырем покупателям; 2) не менее чем двум; 3) не более чем трем.
12.4. Найти вероятность одновременной остановки 26 машин из 100 ра<
ботающих, если вероятность остановки для каждой равна 0,2.
12.5. В вазочке лежат пирожки: шесть — с яблочным джемом; пять —
с брусничным джемом; три — с апельсиновым джемом. Наудачу выбирают
три пирожка. Найти вероятность того, что среди трех выбранных пирожков
будет хотя бы два с брусничным джемом.
13.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; вто<
рой — 0,7; третий — 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст:
1) два экзамена; 2) не менее двух; 3) не более двух.
13.2. Автомат снабжен одним сигнализатором. При отклонении от нор<
мального режима работы автомата сигнализатор С1 срабатывает с вероятно<
стью 0,9, а сигнализатор С2 — с вероятностью 0,8. Вероятность того, что
автомат снабжен сигнализатором С1, равна 0,7, С2 — 0,3.
а) Найти вероятность того, что при отклонении автомата от нормального
режима работы сигнализатор сработал.
б) Получен сигнал об отклонении работы автомата от нормального режи<
ма. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С1 или С2?
13.3. При штамповке изделий в среднем бывает 20% брака. Было изго<
товлено 8 изделий. 1) Найти вероятность того, что среди этих восьми изде<
лий оказалось два бракованных. 2) Найти наивероятнейшее число K0 брако<
ванных изделий из восьми. 3) Найти вероятность того, что из восьми изде<
лий будет K0 бракованных.
13.4. Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного
элемента за время T равна 0,002 и не зависит от работы других элементов.
Какова вероятность отказа не менее двух элементов за время T?
13.5. На сборку поступают детали с трех автоматов. С первого автомата
поступило 2 детали, со второго — 10 деталей, с третьего — 5 деталей. Из
поступивших деталей отобрали три детали. Найти вероятность того, что из
наудачу взятых деталей будет не менее двух с третьего автомата.
14.1. Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с
вероятностями 0,8; 0,7; 0,5 соответственно. Какова вероятность того, что
самолет будет обнаружен: 1) одним радиолокатором; 2) двумя; 3) хотя бы
двумя?
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
255
14.2. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выбрано
из одной группы десять человек, из второй — восемь человек. Вероятность
того, что студент первой группы попадет в сборную института, равна 0,8, для
студента второй группы эта вероятность равна 0,7.
а) Найти вероятность того, что выбранный наудачу студент попадет в сбор(
ную института.
б) Наудачу выбранный студент попал в сборную института. К какой груп(
пе вероятнее всего он принадлежит?
14.3. Среди изделий, произведенных на станке(автомате, в среднем бы(
вает 80% высшего сорта. Какова вероятность того, что среди пяти изделий,
изготовленных на этом станке, изделий высшего сорта будет: 1) четыре;
2) хотя бы четыре; 3) не более четырех?
14.4. Известно, что в среднем 10% людей, бронирующих номер в курорт(
ной гостинице, отказываются от брони. Администратор гостиницы выдал
бронь на 100 мест. Найти вероятность того, что все люди, приехавшие на
курорт и имеющие бронь, поселятся в этой гостинице, если в ней 96 свобод(
ных мест.
14.5. У сборщика имеется семь эллиптических и пять конусных вали(
ков. Сборщик случайным образом выбрал три валика. Найти вероятность
того, что среди отобранных валиков окажется хотя бы два эллиптиче(
ских.
15.1. Два бомбардировщика с разных сторон преодолевают зону ПВО про(
тивника. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна
0,7, второй — 0,8. Найти вероятность поражения: 1) одного бомбардиров(
щика; 2) двух; 3) ни одного.
15.2. На сборку поступают однотипные детали с трех автоматов. Первый
из них дает 25%, второй — 30%, третий — 45% деталей данного типа, посту(
пающих на сборку. Первый автомат допускает 2% брака, второй — 3%, тре(
тий — 1%. На сборку поступила деталь.
а) Найти вероятность того, что на сборку поступила бракованная деталь.
б) Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь со второго
станка, если она оказалась бракованной.
15.3. Оптовая база обслуживает шесть магазинов. Вероятность поступле(
ния заявки на данный день от магазина для каждого их них равна 0,6. Найти
вероятность того, что на данный день на базу поступит: 1) пять заявок; 2) не
менее пяти; 3) не более пяти.
15.4. Устройство состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа одного
элемента в течение первого года работы равна 0,0005 и не зависит от состоя(
ния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов в течение
года?
15.5. Из пруда, в котором плавали 25 золотых рыбок, выловили пять
рыбок, пометили их и отпустили обратно в пруд. Во второй раз выловили
семь золотых рыбок. Найти вероятность того, что среди них окажется не
менее четырех помеченных рыбок.
256
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
16.1. Стрелок выстрелил четыре раза по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7 и после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность поражения цели:
1) четыре раза; 2) не менее трех; 3) три.
16.2. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2 : 3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9; для
туфель — 0,8. Проведена проверка качества одной пары обуви из отремонтированных в этой мастерской.
а) Найти вероятность того, что эта пара обуви отремонтирована качественно.
б) Найти вероятность того, что качественно отремонтирована пара туфель.
16.3. Среди изделий, изготавливаемых рабочими, бывает в среднем 20%
брака. Найти вероятность того, что среди взятых шести изделий бракованных будет: 1) три; 2) не более двух; 3) хотя бы одно.
16.4. Устройство содержит 5000 микросхем. Вероятность отказа для каждой из них равна 0,0004. Какова вероятность отказа хотя бы одной микросхемы?
16.5. Группа туристов состоит из 8 девушек и 12 юношей. Туристы выбирают по жребию пять человек для приготовления ужина. Найти вероятность
того, что при этом будет отобрано не менее двух юношей.
17.1. Доля второго сорта некоторой массовой продукции для первого рабочего составляет 40%, для второго — 30%. Взято без выбора по два экземпляра у каждого рабочего. Какова вероятность того, что: 1) все четыре экземпляра второго сорта; 2) хотя бы три экземпляра второго сорта; 3) менее трех
экземпляров второго сорта.
17.2. В магазин на реализацию поступили ноутбуки от трех поставщиков, причем от первого поставщика поступило 50 ноутбуков; от второго —
30; от третьего — 20. К 70% ноутбуков первого поставщика, 80% второго и
90% третьего прилагается подарочный диск.
а) Найти вероятность того, что выбранный наудачу для покупки ноутбук
будет с подарочным диском.
б) Купленный ноутбук оказался с подарочным диском. Какова вероятность того, что он от первого поставщика?
17.3. Вероятность промаха для данного стрелка в одном выстреле равна
0,3. Найти вероятность того, что стрелок, сделав 5 выстрелов, промахнется:
1) один раз; 2) не более одного раза; 3) не менее одного раза.
17.4. Вероятность отклонения от стандарта при штамповке клемм равна
0,01. Найти вероятность наличия в партии из 200 клемм не менее трех клемм,
не соответствующих стандарту.
17.5. Из колоды в 36 карт наудачу извлекают три карты. Найти вероятность того, что выбранными картами будут либо две дамы и король, либо
дама, король и туз.
18.1. Вероятность сбить самолет противника одним выстрелом из первого зенитного орудия равна 0,4; из второго — 0,5. Сделано по одному выстре-
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
257
лу из каждого зенитного орудия. Найти вероятность того, что: 1) было два
попадания в самолет; 2) хотя бы одно попадание; 3) не было попаданий в
самолет.
18.2. У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе № 1, и 10 деталей,
изготовленных на заводе № 2. Вероятности проработать гарантийный срок
для деталей заводов № 1 и № 2 соответственно равны 0,8 и 0,9.
а) Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь прора*
ботает гарантийный срок.
б) Наудачу взятая деталь проработала гарантийный срок. На каком из
заводов вероятнее всего она изготовлена?
18.3. Найти вероятность того, что среди семи изделий нестандартных бу*
дет: 1) два; 2) хотя бы одно; 3) менее двух, если в среднем стандартные изде*
лия составляют 90%.
18.4. Сотрудники садоводческой фирмы считают, что в 70% случаев ор*
хидея расцветает в марте. Всего в теплице посажено 2100 орхидей. Найти
вероятность того, что в марте расцветет не менее 1512 орхидей.
18.5. В коробке четыре синих ручки, пять красных и две черных. Из ко*
робки наудачу вынимают две ручки. Найти вероятность того, что они будут
разного цвета.
19.1. Вероятность получения выигрыша по лотерейному билету первого
выпуска равна 0,2, второго — 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска.
Найти вероятность того, что выиграют: 1) три билета; 2) не менее трех биле*
тов; 3) менее трех.
19.2. В магазин поступило три партии зонтиков от трех поставщиков. В пер*
вой партии — 100 зонтиков, из которых 2% бракованных. Во второй партии —
300 зонтиков, из которых 4% бракованных. В третьей партии — 600 зонтиков,
из которых 1% бракованных. Наудачу выбирается один зонтик.
а) Найти вероятность того, что выбранный зонтик окажется бракованным.
б) Выбранный зонтик оказался бракованным. Найти вероятность того,
что он поступил от первого поставщика.
19.3. Вероятность поражения цели в одном выстреле равна 0,4. Произве*
дено восемь выстрелов. Найти: 1) наивероятнейшее число K0 поражений цели
в восьми выстрелах; 2) вероятность того, что произойдет K0 поражений цели;
3) вероятность поражения цели не менее 4 раз из 8.
19.4. К магистральному водопроводу подключено 600 предприятий, ка*
ждое из которых с вероятностью 0,6 в данный момент времени осуществляет
забор воды. Найти вероятность того, что в данный момент забор воды произ*
водят не менее 372 и не более 402 предприятий.
19.5. В коробке имеется 5 белых, 10 красных и 15 желтых шаров, одина*
ковых на ощупь. Наудачу вынимают три шара. Найти вероятность того, что
среди вынутых шаров будет два красных или два белых.
20.1. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от
друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания
рабочего, равна 0,9, второй — 0,8, третий — 0,7. Найти вероятность того,
258
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
что за смену потребуют внимания рабочего: 1) два станка; 2) только один
станок; 3) хотя бы один станок.
20.2. Для поисков пропавшего самолета выделено четыре вертолета пер4
вого типа и шесть вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа
обнаруживает находящийся в районе поиска самолет с вероятностью 0,6,
для вертолета второго типа эта вероятность равна 0,7.
а) Найти вероятность того, что наудачу выбранный вертолет обнаружит
самолет.
б) Вероятнее к какому типу принадлежит вертолет, обнаруживший про4
павший самолет?
20.3. Всхожесть семян огурцов составляет 80%. Найти вероятность того,
что из шести посеянных семян взойдет: 1) пять; 2) не менее пяти; 3) не более
пяти.
20.4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити
на одном веретене в течение минуты равна 0,003. Найти вероятность того,
что в течение одной минуты обрыв произойдет на четырех веретенах.
20.5. На полке находится 12 книг, расставленных в произвольном поряд4
ке. Из них 4 книги — по теории вероятностей; 3 — по математическому ана4
лизу и 5 — по линейной алгебре. Студент случайным образом достает три
книги. Найти вероятность того, что он выбрал не менее двух книг по теории
вероятностей.
21.1. В двух коробках находятся детали: в первой — 20, из которых 18
стандартных; во второй — 30, из которых 25 стандартных. Из каждой короб4
ки наудачу берут по одной детали. Найти вероятность того, что среди ото4
бранных деталей будет: 1) две нестандартных; 2) одна нестандартная; 3) две
стандартных.
21.2. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех
касс вокзала A или в одну из пяти касс вокзала B. Вероятность того, что к
моменту прихода пассажира в кассах вокзала A имеются в продаже билеты,
равна 0,6; для вокзала B эта вероятность равна 0,5.
а) Найти вероятность того, что в кассе наудачу выбранного вокзала пас4
сажир купит билет.
б) Пассажир купил билет. Вероятнее всего в кассе какого вокзала куплен
билет?
21.3. В среднем 20% открывающихся малых предприятий становятся
банкротами в течение первого года своей деятельности. Найти вероятность
того, что из 6 малых предприятий, открывшихся в начале года, к концу
года обанкротятся: 1) хотя бы одно; 2) одно предприятие; 3) более трех пред4
приятий.
21.4. В новом микрорайоне поставлено 500 кодовых замков на входные
двери домов. Вероятность выхода из строя для каждого замка в течение меся4
ца равна 0,002. Найти вероятность того, что за месяц откажут четыре замка.
21.5. Среди 17 студентов группы, из которых восемь девушек, разыгры4
вается семь билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей биле4
тов окажутся четыре девушки?
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
259
22.1. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того,
что первый станок выйдет из строя в течение смены, равна 0,1, для второго и
третьего станков эти вероятности соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти ве&
роятность того, что в течение смены выйдут из строя: 1) не менее двух стан&
ков; 2) два; 3) три.
22.2. В магазин поступили арбузы из трех овощеводческих хозяйств в
количественном соотношении 2 : 2 : 1. Вероятность того, что арбуз, посту&
пивший из первого хозяйства, окажется неспелым, равна 0,3; для арбузов из
второго хозяйства эта вероятность равна 0,2; для арбузов из третьего хозяй&
ства — 0,1. Посетитель магазина выбрал для покупки наудачу один арбуз.
а) Найти вероятность того, что купленный арбуз окажется спелым.
б) Купленный арбуз оказался спелым. Вероятнее всего в каком из овоще&
водческих хозяйств он был выращен?
22.3. По оценке туристического агентства 60% всех туристических групп,
пользующихся его услугами, являются англоязычными. В агентстве ожида&
ется прибытие шести групп. Найти вероятность того, что из прибывающих
групп англоязычными будут: 1) четыре группы; 2) не более двух; 3) менее
двух.
22.4. На станциях отправления пригородных электропоездов находится
1000 автоматов для продажи железнодорожных билетов. Вероятность выхо&
да из строя одного автомата в течение одного часа равна 0,004. Найти вероят&
ность того, что в течение одного часа из строя выйдут два автомата.
22.5. В ящике 10 деталей, из которых три являются нестандартными.
Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что одна из взя&
тых деталей оказалась нестандартной.
23.1. В магазин от разных поставщиков поступают четыре партии мебе&
ли. Вероятности того, что партии будут доставлены в срок, соответственно
равны 0,9; 0,8; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что из этих четырех партий
будут доставлены в срок: 1) менее двух; 2) хотя бы одна; 3) одна.
23.2. По оценке кредитной компании 10% ее потенциальных клиентов
относятся к группе лиц с повышенным риском невозврата кредита. Лицам,
входящим в эту группу, удается получить кредит в 20% случаев; остальные
клиенты кредитной компании получают кредит в 70% случаев.
а) Найти вероятность того, что клиент, обратившийся в компанию, полу&
чит кредит.
б) Какова вероятность того, что клиент, получивший кредит, относится
к группе лиц с повышенным риском невозврата кредита?
23.3. Игрок набрасывает кольца на колышек. Вероятность удачи в каж&
дом броске равна 0,1. Найти вероятность того, что из шести колец на колы&
шек попадут: 1) два кольца; 2) хотя бы два кольца. 3) Найти наивероятней&
шее число попаданий при бросании 6 колец на колышек.
23.4. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что про&
данная пара обуви окажется бракованной и будет возвращена в магазин, рав&
на 0,005. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви в магазин
будет возвращено три пары.
260
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
23.5. В ящике имеется 20 одинаковых деталей, среди которых 2 детали
изготовлены на заводе № 1, 13 — на заводе № 2 и 5 — на заводе № 3. Из
ящика случайным образом вынимают три детали. Найти вероятность того,
что хотя бы одна деталь из трех отобранных будет изготовлена на заводе № 1.
24.1. Для сигнализации о возгорании установлено два независимо рабо8
тающих датчика. Вероятность того, что при возгорании первый датчик сра8
ботает, равна 0,9, для второго эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность
того, что при возгорании сигнал поступит: 1) от двух датчиков; 2) ни от одно8
го датчика; 3) хотя бы от одного.
24.2. На сборку поступают детали с трех автоматов, причем с первого —
50%, со второго — 40% и с третьего — 10% всех деталей. Вероятность по8
явления брака для первого автомата равна 0,02, для второго автомата — 0,03
и для третьего — 0,04.
а) Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется брако8
ванной.
б) Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Вероятнее всего с како8
го автомата поступила деталь?
24.3. Вероятность торпедировать судно одной торпедой равна 0,2. Вы8
пущено пять торпед. Какова вероятность того, что будет иметь место:
1) хотя бы одно попадание в судно; 2) менее двух попаданий; 3) более двух
попаданий?
24.4. Для поступления в университет необходимо успешно сдать вступи8
тельные экзамены. В среднем их успешно сдают лишь 64% абитуриентов. В при8
емную комиссию университета поступило 900 заявлений. Найти вероятность
того, что хотя бы 540 абитуриентов успешно сдадут вступительные экзамены.
24.5. В коробке находится 35 шоколадных конфет, среди которых 15 кон8
фет с шоколадно8ореховой начинкой, 12 — с помадно8сливочной начинкой,
8 — с земляничным желе. Наудачу из коробки вынимают три конфеты. Най8
ти вероятность того, что хотя бы две из выбранных конфет будут с землянич8
ным желе.
25.1. Абитуриент сдает два вступительных экзамена: по математике и
физике. Вероятность получения пятерки по математике для него равна 0,8,
по физике — 0,6. Найти вероятность того, что абитуриент получит «пять»:
1) на двух экзаменах; 2) хотя бы на одном экзамене; 3) ни на одном из экза8
менов.
25.2. В конкурсе на лучшую курсовую работу участвуют 20 студентов пер8
вого курса, 22 студента второго курса и 18 студентов третьего курса. Шансы
на победу для студента первого курса оцениваются в 50%, для студента вто8
рого курса — в 60%, для студента третьего курса — в 70%.
а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент победит в
конкурсе.
б) Найти вероятность того, что в конкурсе победил студент второго курса.
25.3. Телевизионный канал СТС оценивает вероятность того, что теле8
зритель увидит новую развлекательную программу в 0,3. Случайным обра8
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
261
зом выбраны шесть телезрителей. Найти вероятность того, что из них увиде$
ли новую развлекательную программу СТС: 1) три человека; 2) более трех;
3) не менее трех.
25.4. Вероятность задержки вылета самолета по каким$либо причинам
равна 0,25. Найти вероятность того, что в предстоящих 243 вылетах про$
изойдет не более 54 задержек.
25.5. В коробке находятся фломастеры: 4 синих, 3 красных и 5 зеленых.
Из коробки наудачу вынимают четыре фломастера. Найти вероятность того,
что среди выбранных фломастеров не менее двух красных.
26.1. В микрорайоне города расположено четыре магазина, реализующих
бытовую технику. Вероятности того, что в продаже в данный момент имеют$
ся кондиционеры марки LG, для этих магазинов соответственно равны 0,7;
0,6; 0,9; 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент кондиционеры
этой марки имеются в ассортименте: 1) четырех магазинов; 2) хотя бы одно$
го из магазинов; 3) ни одного из магазинов.
26.2. В каждом из двух ящиков содержится 2 нестандартных и 8 стан$
дартных деталей. Из второго ящика наудачу извлечена одна деталь и перело$
жена в первый ящик, после чего из первого ящика берут деталь.
а) Найти вероятность того, что деталь, извлеченная из первого ящика,
окажется стандартной.
б) Найти вероятность того, что из второго ящика была вынута нестан$
дартная деталь, если из первого вынули стандартную.
26.3. Торговый агент из опыта работы знает, что потенциальный покупа$
тель совершает покупку в 25% случаев. Найти вероятность того, что из вось$
ми потенциальных покупателей, с которыми в течение дня торговому агенту
предстоит работать, покупку совершат: 1) два человека; 2) хотя бы два чело$
века; 3) менее двух.
26.4. Гроссмейстер дает сеанс одновременной игры на 25 досках. Вероят$
ность того, что участник сеанса выиграет у гроссмейстера, равна 0,1. Найти
вероятность того, что гроссмейстер выиграет 21 партию в этом сеансе.
26.5. На 9 одинаковых карточках написаны буквы, образующие слово «дис$
персия», по одной букве на каждой карточке. Карточки перевернуты буквами
вниз и перемешаны. Наудачу выбирают четыре карточки. Найти вероятность
того, что на выбранных карточках будет менее трех гласных букв.
27.1. Три студента независимо друг от друга пытаются в течение одно$
го часа решить одну и ту же задачу. Вероятность того, что первый студент
успеет решить задачу за один час, равна 0,6; для второго студента эта
вероятность равна 0,9; для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что
за один час задача будет решена: 1) тремя студентами; 2) хотя бы одним;
3) ни одним.
27.2. Из продаваемого в магазине молока 40% поставляет компания «До$
мик в деревне» и 60% — компания «Веселый молочник». В среднем 9 из
1000 пакетов молока первого поставщика и 1 из 250 пакетов второго постав$
щика не выдерживают транспортировку.
262
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
а) Найти вероятность того, что случайно выбранный в магазине пакет
молока не выдержал транспортировку.
б) Найти вероятность того, что пакет, не выдержавший транспортиров1
ку, изготовлен компанией «Домик в деревне».
27.3. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса была
допущена ошибка, равна 0,2. Аудитору для проверки предоставлено шесть
балансов предприятия. Найти вероятность того, что положительных заклю1
чений на проверяемые балансы будет: 1) четыре; 2) не менее четырех; 3) бо1
лее четырех.
27.4. Всхожесть семян дыни составляет 75%. Найти вероятность того,
что из 1200 посаженных семян будет не менее 870 проросших.
27.5. Из корзины, содержащей 4 белых, 3 желтых и 5 красных роз, слу1
чайным образом выбирают 7 роз для составления букета. Найти вероятность
того, что в букете красных роз будет в два раза больше, чем белых.
28.1. В магазин вошли три посетителя. Вероятность того, что первый из
них совершит покупку, равна 0,6; для второго эта вероятность равна 0,4; для
третьего — 0,5. Найти вероятность того, что из этих посетителей покупку
совершат: 1) двое; 2) хотя бы двое; 3) менее двух.
28.2. В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют
10 перворазрядников и 15 второразрядников. Вероятность того, что в этом
сеансе у гроссмейстера выиграет перворазрядник, равна 0,2; для второраз1
рядника эта вероятность равна 0,1.
а) Найти вероятность того, что случайно выбранный участник сеанса вы1
играет у гроссмейстера.
б) Участник выиграл у гроссмейстера. Найти вероятность того, что это
был второразрядник.
28.3. В лифт одиннадцатиэтажного дома на первом этаже вошли пять че1
ловек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из эта1
жей, начиная со второго. Найти вероятность того, что на шестом этаже из
лифта выйдут: 1) два человека; 2) хотя бы один; 3) ни один.
28.4. В жилом доме имеется 600 ламп. Вероятность включения для каж1
дой из них в вечернее время равна 0,6. Найти вероятность того, что включен1
ных в ближайший вечер ламп будет не менее 282 и не более 336.
28.5. В магазин поступили 15 женских шуб, 4 из которых имеют скры1
тый производственный дефект. В течение дня из них было продано 3 шубы.
Найти вероятность того, что хотя бы две из них не имеют скрытого дефекта.
29.1. Анализ деятельности трех банков выявил, что надежность первого бан1
ка в течение ближайшего года будет составлять 70%; надежность второго —
80%; надежность третьего — 90%. Найти вероятность того, что за ближайший
год из этих банков обанкротятся: 1) три; 2) менее двух; 3) хотя бы один.
29.2. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропор1
ции 2 : 3. Доля продукции высшего качества для первого завода составляет
90%, для второго — 80%. Покупатель случайным образом выбирает одну
банку консервов.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
263
а) Найти вероятность того, что выбранная банка консервов имеет отлич
ное качество.
б) Выбранная банка консервов оказалась отличного качества. Вероятнее
всего на каком из заводов она изготовлена?
29.3. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину в
одном броске равна 0,7. Баскетболист собирается сделать шесть бросков в
корзину. 1) Найти наивероятнейшее число K0 попаданий в корзину при шес
ти бросках. 2) Найти вероятность того, что баскетболист попадет в корзину:
а) K0 раз; б) хотя бы один раз.
29.4. К пульту охранной системы микрорайона подключено 4000 датчи
ков. Вероятность появления тревожного сигнала датчика в данный момент
для каждого из них равна 0,0005. Найти вероятность того, что в данный
момент сигналы поступят от трех датчиков.
29.5. На склад привезли 12 одинаковых коробок с комплектующими из
делиями для компьютеров: 10 коробок — для компьютеров вида A и две ко
робки комплектующих — для компьютеров вида B. Наудачу выбрали пять
коробок. Найти вероятность того, что хотя бы в одной из них окажутся дета
ли для компьютеров типа B.
30.1. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независи
мо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,9. Найти
вероятность того, что задание своевременно будет выполнено: 1) тремя пред
приятиями; 2) хотя бы двумя; 3) ни одним.
30.2. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период эко
номического роста, равна 0,05; а в период экономического кризиса — 0,15.
По мнению экспертов, вероятность того, что предстоящий год будет годом
экономического роста, равна 0,8; а годом кризиса — 0,2.
а) Найти вероятность того, что случайно выбранный клиент банка, полу
чивший кредит в текущем году, не вернет его в предстоящем году.
б) Клиент не вернул кредит. Найти вероятность того, что это произошло в
период экономического кризиса.
30.3. Игральную кость бросают пять раз. Найти вероятность того, что
шесть очков на верхней грани при этом выпадет: 1) два раза; 2) более двух
раз; 3) менее двух раз.
30.4. Тираж книги — 10 000 экземпляров. Вероятность того, что данный
экземпляр книги сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероят
ность того, что тираж содержит менее трех бракованных книг.
30.5. Территория острова является заповедником. На острове обитают 20
сайгаков. Для мониторинга состояния здоровья животных сначала отлови
ли пять сайгаков, осмотрели их, пометили и отпустили. Через некоторое
время отловили семь сайгаков. Найти вероятность того, что среди отловлен
ных во второй раз сайгаков окажется не менее четырех помеченных.
264
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 28.
ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.1. В семье 5 детей, имеющих разные даты рождения. Предполагая рав/
новероятными рождение мальчика и рождение девочки, составить закон
распределения случайной величины X, которая равна числу мальчиков в этой
семье. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
1.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,4,
D(X) = 0,64, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,8.
1.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/
ностей
20, x 1 1,
3
f ( x) 4 5 A
37 x5 , x 6 1.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случай/
ная величина X попадет три раза в интервал (0; 2).
2.1. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных,
выбрано случайным образом для проверки их качества 3 изделия. Найти F(x),
M(X), D(X), s(X) случайной величины X — числа нестандартных изделий,
содержащихся в выборке.
2.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 2,2,
D(X) = 0,36 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,9.
2.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/
ностей
20, x 1 2,
3
f (x) 4 6 Ax, 2 5 x 5 6,
30, x 7 6.
8
Определить: а) параметр A, б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал (4; 7).
3.1. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Веро/
ятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым — 0,4. Соста/
вить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
3.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 5,5,
D(X) = 2,25 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,1.
3.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/
ностей
265
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
20, x 1 1,
3
f (x) 4 7 Ax 5 0,5, 1 6 x 1 2,
30, x 8 2.
9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случай*
ная величина X попадет два раза в интервал (0,5; 1,5).
4.1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна
0,4. Производится 6 выстрелов. Составить закон распределения числа непо*
паданий в цель. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
4.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 5,8,
D(X) = 0,36 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,1.
4.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
1 A , x 2 2,
3
f ( x) 4 5 x 4
370, x 6 2.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случай*
ная величина X попадет три раза в интервал (0; 4).
5.1. В шестиламповом радиоприемнике перегорела одна лампа (все лам*
пы различные). С целью устранения неисправности наудачу выбранную лам*
пу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего работа при*
емника проверяется. Составить закон распределения числа замененных ламп.
Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
5.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 4,4,
D(X) = 3,84 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,4.
5.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
20, x 1 1,
3
f (x) 4 6 Ax2, 1 5 x 1 4,
30, x 7 4.
8
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случай*
ная величина X попадет два раза в интервал (0; 2).
6.1. Имеется 5 различных ключей, из которых только один подходит к
замку. Составить закон распределения числа попыток открыть замок, если
проверенный ключ в последующих испытаниях не участвует. Найти F(x),
M(X), D(X), s(X).
266
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, при(
нимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 4, D(X) = 4
и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,5.
6.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят(
ностей
20, x 1 0,
3
f (x) 4 7 A (4x 5 x3 ), 0 6 x 1 2,
30, x 8 2.
9
Определить: а) параметр A, б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал (–1; 1).
7.1. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Из партии случайным
образом отобрали 3 детали. Составить закон распределения дискретной слу(
чайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных. Найти
F(x), M(X), D(X), s(X).
7.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, при(
нимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 4, D(X) = 6,
вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,6.
7.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят(
ностей
40, x 5 3 ,
6
4
66
3 3
33
f (x) 7 A cos x 8 , 9 x 9 ,
4
4
4
6
60, x 33 .
6
4
1 2
Определить: а) параметр A, б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
1 23 2.
величина X ни разу не попадет в интервал 0;
8.1. Вероятность того, что необходимая студенту книга в библиотеке
свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, ко(
торые посетит студент, если в городе четыре библиотеки. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
8.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,8,
D(X) = 7,56 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,7.
8.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят(
ностей
3 A 1 x, x 2 [1 A; А ],
f ( x) 4 5
70, x 6 [1 A; А ].
267
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определить: а) параметр A, б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случай*
1
ная величина X два раза попадет в интервал 3
2
1
5
A; A .
3
4
9.1. На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них либо
разрешает, либо запрещает движение автомобиля с вероятностью 0,5. Соста*
вить закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до
первой остановки. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
9.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,9,
D(X) = 0,09 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,1.
9.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
30, x 1 22,
4
5
4
f (x) 6 7 A cos x, 22 5 x 1 2 2,
4
5
40, x 8 2.
9
2
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
1
величина X попадет два раза в интервал 3;
2
93
.
4
10.1. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1. Из пар*
тии контролер берет деталь и проверяет ее качество. Если она нестандарт*
ная, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если
деталь стандартная, то контролер берет следующую, и так далее. Всего он
проверяет не более пяти деталей. Составить ряд распределения случайной
величины X — числа проверенных стандартных деталей. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
10.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 5,8,
D(X) = 5,76 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,2.
10.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
2
3 1 14
70, x 5 86 2 ; 2 9 ;
f ( x)
7 A cos x, x 36 1 ; 1 4 .
8 2 29
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал (0; p).
268
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
11.1. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа
станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,7, для
второго — 0,75, для третьего — 0,8, для четвертого — 0,9. Составить ряд
распределения случайной величины X — числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
11.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 6,6,
D(X) = 13,44 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,3.
11.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
2
3 1 14
70, x 5 86 4 ; 4 9 ;
f ( x)
7 A cos2x, x 36 1 ; 1 4 .
8 4 49
Определить: а) параметр A, б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
1 23 2.
величина X попадет один раз в интервал 0;
12.1. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от
друга по два выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка
равна 0,5, для второго — 0,6. Построить ряд распределения случайной величины X — общего числа попаданий в мишень. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
12.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 2,7,
D(X) = 0,21 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,3.
12.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
20, x 3 1 ,
4
2
4
f ( x) 5 6
1
A cos x, 7 x 3 1,
4
2
40, x 8 1.
9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная
величина X ни разу не попадет в интервал
1 63 ; 563 2.
13.1. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, последовательно
вынимают шары, причем операция извлечения шаров продолжается до появления белого шара. Составить закон распределения случайной величины X — числа извлеченных черных шаров. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
269
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
13.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 4,2,
D(X) = 0,96 и вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,4.
13.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
20, x 3 4 1 , x 5 1 ,
6
2
2
f ( x) 7 8
1
1
2
6 A 9 cos x, 4
x
.
2
2
Определить: а) параметр A, б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в пяти независимых испытаниях случайная
1
2
величина X попадет два раза в интервал 4 33 ; 0 .
4
14.1. Производится несколько выстрелов по мишени. Вероятность попа'
дания в каждом выстреле равна 0,8. Стрельба ведется до первого попадания,
но делается не более четырех выстрелов. Составить закон распределения слу'
чайной величины X — числа произведенных выстрелов. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
14.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,3,
D(X) = 0,21, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,7.
14.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
20, x 3 31 , x 4 21,
5
2
f ( x) 6 7
5 A 8 sin x, 31 9 x 3 21.
2
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случай'
1
2
ная величина X попадет два раза в интервал 3; 7 3 .
4
15.1. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попада'
ния в мишень в каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелок
получает 5 очков. Составить закон распределения случайной величины X —
числа полученных очков. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
15.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,1,
D(X) = 0,09, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,9.
15.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
270
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
20, x 3 0, x 4 1 ,
5
2
f ( x) 6 7
5 A 8 sin x, 0 9 x 3 1 .
2
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал
1 43 ; 343 2.
16.1. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени с зонами I, II и
III (считая от центра). Попадание в зону I дает стрелку 3 очка, в зону II —
2 очка, в зону III — 1 очко. Для первого стрелка вероятность попадания в
зону I равна 0,3, в зону II — 0,5, в зону III — 0,2. Для второго стрелка вероят?
ность попадания в зону I равна 0,8, в зону II — 0,2, в зону III — 0. Составить
закон распределения случайной величины X — суммы очков, полученных
стрелками. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
16.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,2,
D(X) = 0,16, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,8.
16.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят?
ностей
40, x 1 0, x 2 3,
f ( x) 5 6
9 A 7 sin x, 0 8 x 1 3.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
1
2
3 3
величина X попадет два раза в интервал 4 ; .
2 2
17.1. Испытание состоит в одновременном бросании двух игральных кос?
тей. Испытание проводят два раза. Составить закон распределения случай?
ной величины X — числа одновременного выпадения четного числа очков на
каждой из игральных костей. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
17.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,4,
D(X) = 0,24, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,6.
17.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят?
ностей
20, x 1 0,
3
4
f (x) 5 3 A cos x, 0 6 x 6 ,
7
2
3
4
30, x 8 .
9
2
271
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная
1
2
3 3
величина X попадет один раз в интервал 4 ; .
4 4
18.1. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея 4
патрона. Вероятность попадания в каждом выстреле равна 0,6. Составить
закон распределения случайной величины X — числа патронов, оставшихся
неизрасходованными. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
18.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,5,
D(X) = 0,25, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,5.
18.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/
ностей
30, x 1 0, x 2 2,
f ( x) 4 5
2
9 A 6 (4x 7 x ), 0 8 x 1 2.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал (–1; 1).
19.1. Охотник, имеющий 5 патронов, стреляет в цель до первого попада/
ния или пока не израсходует все патроны. Вероятность попадания в цель при
каждом выстреле равна 0,4. Составить закон распределения случайной ве/
личины X — числа израсходованных патронов. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
19.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,6,
D(X) = 0,24, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,4.
19.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/
ностей
40, x 5 6 3 ,
7
12
77
3
3
f 1 x 2 8 A cos6x, 6
9x9 ,
12
12
7
70, x 3 .
7
12
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в 5 независимых испытаниях случайная вели/
чина X попадет два раза в интервал
1 363 ; 103 2.
20.1. Среди поступающих в ремонт 10 часов 6 нуждаются в общей чистке
механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти
часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочеред/
272
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
но и, найдя первые такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Соста*
вить закон распределения случайной величины X — числа просмотренных
часов. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
20.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,7,
D(X) = 0,21, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,3.
20.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
40, x 5 3 ,
6
6
66
3
3
f 1 x 2 7 9 A sin3x, 8 x 8 ,
6
3
6
60, x 3 .
6
3
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал
1 43 ; 32.
21.1. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимость кото*
рых 210 и 60 рублей. Составить закон распределения случайной величи*
ны X — суммы выигрыша для лица, имеющего два билета. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
21.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,8,
D(X) = 0,16, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,2.
21.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
20, x 1 0,
3
4
f (x) 5 3 A sin3x, 0 6 x 6 ,
7
3
3
4
30, x 8 .
3
9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет не менее одного раза в интервал
1 63 ; 23 2.
22.1. Имеется 6 электроламп, из которых одна бракованная. Для того что*
бы ее обнаружить, лампы проверяют по очереди. Составить закон распределе*
ния случайной величины X — числа проверенных ламп, если проверенная лам*
па в последующей проверке не участвует. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
273
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
22.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,9,
D(X) = 0,09, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,1.
22.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
20, x 1 0,
3
4
f (x) 5 3 A cos2x, 0 6 x 6 ,
7
4
3
4
30, x 8 .
9
4
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в пяти независимых испытаниях случайная
величина X попадет четыре раза в интервал
1 63 ; 23 2.
23.1. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в мишень
при одном выстреле из первого, второго и третьего орудия соответственно
равны 0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по мишени один раз. Составить
закон распределения случайной величины X — числа попаданий в мишень.
Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
23.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 2,2,
D(X) = 0,36, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,9.
23.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
40, x 2 11, x 3 1,
f ( x) 5 6
14
9 A 7 x , 1 1 8 x 8 1.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная
величина X ни разу не попадет в интервал (0; 2).
24.1. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность
попадания в нее при первом выстреле равна 0,8 и уменьшается в каждом
последующем выстреле на 0,1. Составить закон распределения случайной
величины X — числа попаданий в цель. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
24.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,4,
D(X) = 1,44, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,2.
24.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
30, x 1 0, x 2 2 A,
4
f ( x) 5 6 2 A 7 x
49 2 A , 0 8 x 1 2 A.
274
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал (1; 3).
25.1. Отношение числа деталей первого сорта, выпускаемых станком9ав9
томатом, к числу деталей второго сорта равно 2 : 1. Составить закон распре9
деления случайной величины X — числа деталей первого сорта среди пяти
отобранных случайным образом деталей, изготовленных данным станком.
Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
25.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 4,4,
D(X) = 0,24, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,6.
25.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят9
ностей
20, x 1 0,
3
f (x) 4 7 A 5 4x, 0 6 x 6 1,
30, x 8 1.
9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная
величина X попадет один раз в интервал (0,5; 1,5).
26.1. При бросании трех игральных костей игрок выигрывает 200 руб9
лей, если на всех костях выпадет по 6 очков; 100 рублей, если на двух костях
выпадет по 6 очков; 50 рублей, если только на одной кости выпадет 6 очков.
Составить закон распределения случайной величины X — величины выиг9
рыша при одновременном бросании трех костей один раз. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
26.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 4,1,
D(X) = 1,89, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,3.
26.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят9
ностей
20, x 1 0,
3
f (x) 4 7 A 5 9x, 0 6 x 6 1,
30, x 8 1.
9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет два раза в интервал (–0,5; 0,5).
27.1. Вероятность того, что в магазине имеется интересующая покупате9
ля вещь, равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины X —
числа магазинов, которые посетит покупатель в поисках необходимой ему
вещи, если в городе 5 специализированных магазинов. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
275
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
27.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 5,4,
D(X) = 3,84, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,4.
27.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
30, x 1 0, x 2 1,
f ( x) 4 5
2
8 Ax 6 x , 0 7 x 1 1.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная
1
2
1 1
величина X попадет не меньше одного раза в интервал 3 ; .
3 2
28.1. Студенту во время сессии предстоит сдать 4 экзамена. Вероятности
сдать экзамены соответственно равны 0,9; 0,8; 0,9; 0,7. Составить закон рас'
пределения случайной величины X — числа сданных во время сессии экза'
менов. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
28.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,7,
D(X) = 0,21, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,3.
28.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
30, x 1 1, x 2 4,
4
f ( x) 5 6 A
48 x , 1 7 x 1 4.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет один раз в интервал (3; 5).
29.1. В соревнованиях участвуют 10 студентов математического факуль'
тета, 8 студентов исторического факультета и 12 студентов физического фа'
культета. На старт вызваны три студента. Составить закон распределения
случайной величины X — числа студентов математического факультета,
вызванных на старт. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
29.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 3,1,
D(X) = 0,09, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,9.
29.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
20, x 3 4 1 , x 5 1 ,
6
6
6
f ( x) 7 8
1
6 A 9 cos3x, 4
x
6
1
.
6
276
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
1
2
величина X попадет не менее двух раз в интервал 4 3 ;0 .
3
30.1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Составить закон распределения случайной величины X — числа попаданий
в мишень, если произведено 5 выстрелов. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
30.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x1 и x2; если x1 < x2, M(X) = 2,4,
D(X) = 0,24, вероятность возможного значения x1 равна p1 = 0,6.
30.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятC
ностей
30, x 1 0,5, x 2 1,
f ( x) 4 5
2
9 A 6 (x 7 0,25), 0,5 8 x 1 1.
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная
величина X попадет не меньше одного раза в интервал (0; 0,75).
Контрольная работа 8.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационC
ный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает:
а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменациC
онного билета.
1.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают ангC
лийский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и франC
цузский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8, французC
ский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов
вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышедший знает ангC
лийский или французский язык; б) вышедший не знает ни одного языка.
1.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 20%,
второй — 30%, третий — 50% деталей данного типа, поступающих на сборC
ку. Первый автомат дает 0,2% брака, второй — 0,3%, третий — 0,1%. НайC
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на
сборку деталь оказалась бракованной. На каком автомате она вероятнее всеC
го изготовлена?
1.4. Устройство состоит из 6 независимо работающих элементов. ВероятC
ности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p = 0,3.
Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказаC
ли хотя бы два элемента из шести.
1.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и незаC
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаC
ниях событие наступит 1200 раз.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
277
2.1. В урне находится 5 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают 5
шаров одновременно. Какова вероятность того, что 2 из них окажутся бе'
лыми?
2.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают анг'
лийский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и фран'
цузский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8, француз'
ский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов
вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышедший знает анг'
лийский или немецкий язык; б) вышедший не знает ни одного языка.
2.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 30%,
второй — 50%, третий — 20% деталей данного типа, поступающих на сбор'
ку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй — 0,2%, третий — 0,3%. Най'
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на
сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все'
го изготовлена?
2.4. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероят'
ности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p = 0,2.
Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказа'
ли хотя бы три элемента из восьми.
2.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза'
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1500 испыта'
ниях событие наступит 1000 раз.
3.1. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных,
наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность того, что
ровно одно изделие в полученной выборке является бракованным.
3.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают
английский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и
французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8,
французский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из
студентов вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышед'
ший знает немецкий или французский язык; б) вышедший не знает ни
одного языка.
3.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 50%,
второй — 30%, третий — 20% деталей данного типа, поступающих на сбор'
ку. Первый автомат дает 0,2% брака, второй — 0,1%, третий — 0,3%. Най'
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на
сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все'
го изготовлена?
3.4. Устройство состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероят'
ности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p = 0,1.
Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказа'
ли хотя бы два элемента из пяти.
3.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза'
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1200 испыта'
ниях событие наступит 800 раз.
278
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4.1. Из урны, содержащей 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных,
наудачу отбирают 3 шара и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров ровно 1 белый.
4.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают анг8
лийский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и фран8
цузский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8, француз8
ский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов
вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышедший знает хотя
бы один язык; б) вышедший знает два языка.
4.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 40%,
второй — 40%, третий — 20% деталей данного типа, поступающих на сбор8
ку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй — 0,1%, третий — 0,5%. Най8
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на
сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все8
го изготовлена?
4.4. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних
суток не превысит установленной нормы, равна p = 0,75. Найти вероятность
того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не
превысит нормы.
4.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза8
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1000 испыта8
ниях событие наступит 800 раз.
5.1. Из урны, содержащей 12 шаров, из которых 4 белых и 8 черных,
наудачу отбирают 5 шаров и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров равно 3 белых.
5.2. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сдан8
ным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в
билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что
он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
5.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 30%,
второй — 20%, третий — 50% деталей данного типа, поступающих на сбор8
ку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй — 0,3%, третий — 0,1%. Най8
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на
сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все8
го изготовлена?
5.4. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних
суток не превысит установленной нормы, равна p = 0,6. Найти вероятность
того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 3 суток не
превысит нормы.
5.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза8
висимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испыта8
ниях событие наступит 5 раз.
6.1. Из урны, содержащей 13 шаров, из которых 5 белых и 8 черных,
наудачу отбирают 6 шаров и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров ро´вно 3 белых.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
279
6.2. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Зачет считается сдан
ным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в
билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что
он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
6.3. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков
соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что второй стре
лок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?
6.4. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних
суток не превысит установленной нормы, равна p = 0,8. Найти вероятность
того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 2 суток не
превысит нормы.
6.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза
висимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 100 испыта
ниях событие наступит 5 раз.
7.1. Из урны, содержащей 15 шаров, из которых 6 белых и 9 черных,
наудачу отбирают 5 шаров и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров ровно 3 белых.
7.2. Студент знает 25 из 30 вопросов программы. Зачет считается сдан
ным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в
билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что
он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
7.3. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень.
Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрел
ков соответственно равны 0,8; 0,9; 0,6. Какова вероятность того, что вто
рой стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две
пробоины?
7.4. Монета брошена 10 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет
от 4 до 6 раз.
7.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза
висимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 100 испыта
ниях событие наступит 2 раза.
8.1. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Опре
делить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов окажется:
а) один выигрышный; б) два выигрышных; в) хотя бы один выигрышный.
8.2. Студент знает 35 из 40 вопросов программы. Зачет считается сдан
ным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в
билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что
он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
8.3. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрел
ков соответственно равны 0,8; 0,6; 0,7. Какова вероятность того, что вто
рой стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две
пробоины?
280
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
8.4. Монета брошена 10 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет
от 3 до 5 раз.
8.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза6
висимых испытаний равна p = 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испы6
таниях событие наступит 10 раз.
9.1. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик науда6
чу достает 4 детали. Найти вероятность того, что: а) все взятые детали окра6
шены; б) одна деталь окрашена; в) две детали окрашены; г) хотя бы одна де6
таль окрашена.
9.2. Студент сдает тест, состоящий из трех задач. Для получения зачета
достаточно решить две. Каждая задача содержит пять различных ответов, из
которых только один правильный. Студент выбирает ответы для каждой
задачи наудачу. Какова вероятность того, что студент сдаст тест?
9.3. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень.
Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков
соответственно равны 0,7; 0,9; 0,8. Какова вероятность того, что второй стрелок
промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?
9.4. Монета брошена 10 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет
от 2 до 4 раз.
9.5. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность
того, что среди 50 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно 3 окажут6
ся дефектными.
10.1. В ящике 15 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик на6
удачу достает 5 деталей. Найти вероятность того, что: а) все взятые детали
окрашены; б) две детали окрашены; в) хотя бы одна деталь окрашена.
10.2. Производится стрельба из зенитного орудия по воздушной цели.
Попадания при отдельных выстрелах независимы и имеют вероятность 0,6.
Если снаряд попал в цель, то она поражена с вероятностью 0,8. Боевой запас
орудия — 3 снаряда. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходо6
вания всего боезапаса. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет
израсходован.
10.3. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень.
Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков
соответственно равны 0,6; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что второй стрелок
промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?
10.4. Монета брошена 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет
от 2 до 4 раз.
10.5. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероят6
ность того, что среди 100 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно 5
окажутся дефектными.
11.1. Из урны, содержащей 20 шаров, из которых 8 белых и 12 черных,
наудачу отбирают 6 шаров и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров ровно 4 белых.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
281
11.2. Производится стрельба из зенитного орудия по воздушной цели.
Попадания при отдельных выстрелах независимы и имеют вероятность 0,5.
Если снаряд попал в цель, то она поражена с вероятностью 0,9. Боевой запас
орудия — 3 снаряда. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходо)
вания всего боезапаса. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет
израсходован.
11.3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
автозаправочная станция, относится к числу легковых машин, проезжаю)
щих по шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая
машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К авто)
заправочной станции подъехала на заправку машина. Найти вероятность
того, что это грузовая машина.
11.4. Монета брошена 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет
от 3 до 5 раз.
11.5. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероят)
ность того, что среди 60 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно 6
окажутся дефектными.
12.1. Из урны, содержащей 16 шаров, из которых 6 белых и 10 черных,
наудачу отбирают 4 шара и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров ровно 4 белых.
12.2. Производится стрельба из зенитного орудия по воздушной цели.
Попадания при отдельных выстрелах независимы и имеют вероятность 0,7.
Если снаряд попал в цель, то она поражена с вероятностью 0,8. Боевой запас
орудия — 4 снаряда. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходо)
вания всего боезапаса. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет
израсходован.
12.3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
автозаправочная станция, относится к числу легковых машин, проезжаю)
щих по шоссе как 2 : 3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая
машина, равна 0,2; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К авто)
заправочной станции подъехала на заправку машина. Найти вероятность
того, что это грузовая машина.
12.4. Монета брошена 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет
от 4 до 6 раз.
12.5. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероят)
ность того, что среди 40 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно 3
окажутся дефектными.
13.1. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1) и (0; 1) наудачу
выбирается точка M(x, y). Найти вероятность события A = {(x, y) | x2 + y2 £ a2,
a > 0}.
13.2. Производится стрельба из зенитного орудия по воздушной цели.
Попадания при отдельных выстрелах независимы и имеют вероятность
0,5. Если снаряд попал в цель, то она поражена с вероятностью 0,7. Боевой
запас орудия — 5 снарядов. Стрельба ведется до поражения цели или до
282
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
израсходования всего боезапаса. Найти вероятность того, что не весь бое(
запас будет израсходован.
13.3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
автозаправочная станция, относится к числу легковых машин, проезжаю(
щих по шоссе, как 1 : 4. Вероятность того, что будет заправляться грузовая
машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,15. К ав(
тозаправочной станции подъехала на заправку машина. Найти вероятность
того, что это грузовая машина.
13.4. Тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов,
один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом
угадывании правильный ответ будет дан на 3 вопроса?
13.5. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероят(
ность того, что среди 80 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно 4
окажутся дефектными.
14.1. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1) и (0; 1) наудачу
выбирается точка M(x, y). Найти вероятность события A = {(x, y) | xy < a,
a > 0}.
14.2. Производится стрельба из зенитного орудия по воздушной цели.
Попадания при отдельных выстрелах независимы и имеют вероятность 0,7.
Если снаряд попал в цель, то она поражена с вероятностью 0,9. Боевой запас
орудия — 4 снаряда. Стрельба ведется до поражения цели или до израсходо(
вания всего боезапаса. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет
израсходован.
14.3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
автозаправочная станция, относится к числу легковых машин, проезжаю(
щих по шоссе, как 2 : 8. Вероятность того, что будет заправляться грузовая
машина, равна 0,2; для легковой машины эта вероятность равна 0,1. К авто(
заправочной станции подъехала на заправку машина. Найти вероятность
того, что это грузовая машина.
14.4. Тест состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов,
один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом
угадывании правильный ответ будет дан на 3 вопроса?
14.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза(
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытани(
ях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.
15.1. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1) и (0; 1) наудачу вы(
бирается точка M(x, y). Найти вероятность события A = {(x, y) | max(x, y) < a,
a > 0}.
15.2. Производится два последовательных извлечения по одному шару
без возращения из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров. Найти
вероятность того, что второй вынутый шар белый, если первый вынутый
шар был белого цвета.
15.3. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит
автозаправочная станция, относится к числу легковых машин, проезжаю(
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
283
щих по шоссе, как 4 : 6. Вероятность того, что будет заправляться грузовая
машина, равна 0,2; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К авто)
заправочной станции подъехала на заправку машина. Найти вероятность
того, что это грузовая машина.
15.4. Тест состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов,
один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом
угадывании правильный ответ будет дан на 2 вопроса?
15.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза)
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 150 испытани)
ях событие наступит не менее 75 и не более 100 раз.
16.1. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1) и (0; 1) наудачу вы)
бирается точка M(x, y). Найти вероятность события A = {(x, y) | min(x, y) < a,
0 < a < 1}.
16.2. Производится два последовательных извлечения по одному шару
без возращения из урны, содержащей 5 белых и 10 черных шаров. Найти
вероятность того, что второй вынутый шар белый, если первый вынутый
шар был белого цвета.
16.3. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопро)
сов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 — на 25
вопросов, 5 — на 20 вопросов и двое — на 15 вопросов. Вызванный наудачу
студент ответил на поставленные ему два вопроса. Найти вероятность того,
что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только полови)
ну вопросов.
16.4. Тест состоит из 6 вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов,
один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом
угадывании правильный ответ будет дан на 4 вопроса?
16.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза)
висимых испытаний равна 0,6. Найти вероятность того, что в 125 испытани)
ях событие наступит не менее 75 и не более 100 раз.
17.1. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков,
длина каждого из которых не превосходит l, будет больше l?
17.2. Производится два последовательных извлечения по одному шару
без возращения из урны, содержащей 6 белых и 12 черных шаров. Найти
вероятность того, что второй вынутый шар белый, если первый вынутый
шар был белого цвета.
17.3. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопро)
сов. Из 25 студентов 8 подготовили ответы на все вопросы, 10 — на 25
вопросов, 2 — на 20 вопросов и пять — на 15 вопросов. Вызванный науда)
чу студент ответил на поставленные ему два вопроса. Найти вероятность
того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только
половину вопросов.
17.4. Тест состоит из 6 вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов,
один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом
угадывании правильный ответ будет дан на 2 вопроса?
284
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
17.5. Вероятность того, что деталь не проходила проверку ОТК, равна
p = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей
окажется от 70 до 100 непроверенных деталей.
18.1. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время
прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных
суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожи3
дать освобождения причала, если время стоянки первого парохода — один
час, а второго — два часа.
18.2. Производится два последовательных извлечения по одному шару
без возращения из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров. Найти
вероятность того, что второй вынутый шар белый, если первый вынутый
шар был белого цвета.
18.3. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопро3
сов. Из 25 студентов 5 подготовили ответы на все вопросы, 8 — на 25 во3
просов, 5 — на 20 вопросов и 7 — на 15 вопросов. Вызванный наудачу сту3
дент ответил на поставленные ему два вопроса. Найти вероятность того,
что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только полови3
ну вопросов.
18.4. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле,
равна 0,7. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того,
что в мишени окажется 3 пробоины?
18.5. Вероятность того, что деталь не проходила проверку ОТК, равна
p = 0,1. Найти вероятность того, что среди 500 случайно отобранных деталей
окажется от 70 до 100 непроверенных деталей.
19.1. Значения a и b равновозможны в квадрате |a| £ 1, |b| £ 1. Найти веро3
ятность того, что корни квадратного трехчлена x2 + 2ax + b действительны.
19.2. Производится два последовательных извлечения по одному шару
без возращения из урны, содержащей 10 белых и 20 черных шаров. Найти
вероятность того, что второй вынутый шар белый, если первый вынутый
шар был белого цвета.
19.3. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов.
Из 25 студентов 7 подготовили ответы на все вопросы, 8 — на 25 вопросов,
5 — на 20 вопросов и 5 — на 15 вопросов. Вызванный наудачу студент отве3
тил на поставленные ему два вопроса. Найти вероятность того, что этот сту3
дент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только половину вопросов.
19.4. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле,
равна 0,6. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того,
что в мишени окажется 3 пробоины?
19.5. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле рав3
на 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет пора3
женной не менее 70 и не более 80 раз.
20.1. Значения a и b равновозможны в квадрате |a| £ 1, |b| £ 1. Найти веро3
ятность того, что корни квадратного трехчлена x2 + 2ax + b комплексные.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
285
20.2. Производится два последовательных извлечения по одному шару
без возращения из урны, содержащей 6 белых и 6 черных шаров. Найти
вероятность того, что второй вынутый шар белый, если первый вынутый
шар был белого цвета.
20.3. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов.
Из 25 студентов 2 подготовили ответы на все вопросы, 8 — на 25 вопросов,
7 — на 20 вопросов и 8 — на 15 вопросов. Вызванный наудачу студент отве*
тил на поставленные ему два вопроса. Найти вероятность того, что этот сту*
дент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только половину вопросов.
20.4. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле,
равна 0,5. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того,
что в мишени окажется 3 пробоины?
20.5. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле рав*
на 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет пора*
женной не менее 60 и не более 80 раз.
21.1. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по
одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели пер*
вым стрелком равна 0,9, вторым — 0,8, третьим — 0,7. Найти вероятность
того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка
попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
21.2. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимаются наугад 2 шара
подряд. Найти вероятность того, что шары одного цвета.
21.3. У рыбака есть три излюбленных места для ловли рыбы, которые он
посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на пер*
вом месте, рыба клюет с вероятностью 0,7, на втором месте — с вероятностью
0,5, на третьем месте — с вероятностью 0,6. Известно, что рыбак, выйдя на
ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Най*
ти вероятность того, что он удил на первом месте.
21.4. Вероятность того, что стрелок попадет в цель при одном выстреле,
равна 0,6. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того,
что в мишени окажется 2 пробоины?
21.5. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки,
равна 0,005. Проверяется книга, содержащая 800 страниц. Найти вероят*
ность того, что с опечатками окажется 5 страниц.
22.1. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по
одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели пер*
вым стрелком равна 0,8, вторым — 0,7, третьим — 0,6. Найти вероятность
того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка
попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
22.2. В урне 10 белых и 20 черных шаров. Из нее вынимаются наугад 2
шара подряд. Найти вероятность того, что шары одного цвета.
22.3. У рыбака есть три излюбленных места для ловли рыбы, которые он
посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом
месте, рыба клюет с вероятностью 0,4, на втором месте — с вероятностью 0,5,
286
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
на третьем месте — с вероятностью 0,6. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю
рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероят+
ность того, что он удил на первом месте.
22.4. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 40+го размера,
равна 0,4. В обувной отдел вошли 5 покупателей. Какова вероятность того,
что двум покупателям потребуется обувь 40+го размера?
22.5. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки,
равна 0,05. Проверяется книга, содержащая 800 страниц. Найти вероятность
того, что с опечатками окажется 5 страниц.
23.1. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по
одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели пер+
вым стрелком равна 0,7, вторым — 0,6, третьим — 0,5. Найти вероятность
того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка
попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
23.2. В урне 8 белых и 12 черных шаров. Из нее вынимаются наугад 2 шара
подряд. Найти вероятность того, что шары одного цвета.
23.3. У рыбака есть три излюбленных места для ловли рыбы, которые он
посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на пер+
вом месте, рыба клюет с вероятностью 0,5, на втором месте — с вероятностью
0,4, на третьем месте — с вероятностью 0,6. Известно, что рыбак, выйдя на
ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Най+
ти вероятность того, что он удил на первом месте.
23.4. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 40+го размера,
равна 0,6. В обувной отдел вошли 3 покупателя. Какова вероятность того,
что двум покупателям потребуется обувь 40+го размера?
23.5. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки,
равна 0,05. Проверяется книга, содержащая 800 страниц. Найти вероятность
того, что с опечатками окажется 10 страниц.
24.1. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по
одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели пер+
вым стрелком равна 0,75, вторым — 0,5, третьим — 0,6. Найти вероятность
того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка
попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
24.2. В урне 12 белых и 18 черных шаров. Из нее вынимаются наугад
2 шара подряд. Найти вероятность того, что шары одного цвета.
24.3. У рыбака есть три излюбленных места для ловли рыбы, которые он
посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на пер+
вом месте, рыба клюет с вероятностью 0,3, на втором месте — с вероятностью
0,4, на третьем месте — с вероятностью 0,5. Известно, что рыбак, выйдя на
ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Най+
ти вероятность того, что он удил на первом месте.
24.4. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 40+го размера,
равна 0,3. В обувной отдел вошли 5 покупателей. Какова вероятность того,
что двум покупателям потребуется обувь 40+го размера?
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
287
24.5. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найти вероятность
того, что из 500 высеянных семян взойдет от 425 до 450 семян.
25.1. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по
одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели пер'
вым стрелком равна 0,5, вторым — 0,7, третьим — 0,8. Найти вероятность
того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка
попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
25.2. В урне 10 белых и 12 черных шаров. Из нее вынимаются наугад
2 шара подряд. Найти вероятность того, что шары одного цвета.
25.3. У рыбака есть три излюбленных места для ловли рыбы, которые он
посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на пер'
вом месте, рыба клюет с вероятностью 0,5, на втором месте — с вероятностью
0,6, на третьем месте — с вероятностью 0,3. Известно, что рыбак, выйдя на
ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Най'
ти вероятность того, что он удил на первом месте.
25.4. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 40'го размера,
равна 0,2. В обувной отдел вошли 5 покупателей. Какова вероятность того,
что двум покупателям потребуется обувь 40'го размера?
25.5. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность
того, что из 500 высеянных семян взойдет от 400 до 450 семян.
26.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, вто'
рой — 0,85, третий — 0,8. Какова вероятность, что студент сдаст: а) не менее
двух экзаменов; б) хотя бы один экзамен?
26.2. Статистика показывает, что 30% всех студентов занимаются спор'
том, 10% участвуют в научной работе на кафедрах и 5% занимаются спортом
и участвуют в научной работе на кафедрах. Найти вероятность того, что слу'
чайным образом выбранный студент: а) занимается по крайней мере одним
из двух указанных видов деятельности; б) занимается одним только спор'
том; в) занимается только одним видом деятельности.
26.3. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 черных шаров. Из
первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй
урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар
окажется черным.
26.4. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 40'го размера,
равна 0,3. В обувной отдел вошли 5 покупателей. Какова вероятность того,
что трем покупателям потребуется обувь 40'го размера?
26.5. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найти вероятность
того, что из 500 высеянных семян взойдет от 400 до 450 семян.
27.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,8, вто'
рой — 0,9, третий — 0,7. Какова вероятность, что студент сдаст: а) не менее
двух экзаменов; б) хотя бы один экзамен?
27.2. Статистика показывает, что 40% всех студентов занимаются спор'
том, 20% участвуют в научной работе на кафедрах и 10% занимаются спортом
288
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
и участвуют в научной работе на кафедрах. Найти вероятность того, что слу+
чайным образом выбранный студент: а) занимается по крайней мере одним
из двух указанных видов деятельности; б) занимается одним только спор+
том; в) занимается только одним видом деятельности.
27.3. В каждой из двух урн находится 10 белых и 10 черных шаров. Из
первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй
урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар
окажется черным.
27.4. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова веро+
ятность того, что сумма очков, равная 7, выпадет дважды?
27.5. Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова
вероятность того, что из 100 билетов выигрыш выпадет на 2 билета?
28.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,7, вто+
рой — 0,8, третий — 0,5. Какова вероятность, что студент сдаст: а) не менее
двух экзаменов; б) хотя бы один экзамен?
28.2. Статистика показывает, что 50% всех студентов занимаются спор+
том, 20% участвуют в научной работе на кафедрах и 5% занимаются спортом
и участвуют в научной работе на кафедрах. Найти вероятность того, что слу+
чайным образом выбранный студент: а) занимается по крайней мере одним
из двух указанных видов деятельности; б) занимается одним только спор+
том; в) занимается только одним видом деятельности.
28.3. В каждой из двух урн находится 8 белых и 12 черных шаров. Из
первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй
урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар
окажется черным.
28.4. Пара одинаковых игральных костей бросается 5 раз. Какова веро+
ятность того, что сумма очков равная 8, выпадет дважды?
28.5. Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова
вероятность того, что из 100 билетов выигрыш выпадет на 1 билет?
29.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,5, вто+
рой — 0,6, третий — 0,7. Какова вероятность, что студент сдаст: а) не менее
двух экзаменов; б) хотя бы один экзамен?
29.2. Статистика показывает, что 60% всех студентов занимаются спор+
том, 15% участвуют в научной работе на кафедрах и 5% занимаются спортом
и участвуют в научной работе на кафедрах. Найти вероятность того, что слу+
чайным образом выбранный студент: а) занимается по крайней мере одним
из двух указанных видов деятельности; б) занимается одним только спор+
том; в) занимается только одним видом деятельности.
29.3. В каждой из двух урн находится 4 белых и 6 черных шаров. Из
первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй
урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар
окажется черным.
29.4. Пара одинаковых игральных костей бросается 5 раз. Какова веро+
ятность того, что сумма очков равная 7, выпадет дважды?
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
289
29.5. Вероятность наступления события A в каждом из 900 независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие A произойдет от
710 до 740 раз.
30.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,4, вто'
рой — 0,5, третий — 0,5. Какова вероятность, что студент сдаст: а) не менее
двух экзаменов; б) хотя бы один экзамен?
30.2. Статистика показывает, что 50% всех студентов занимаются спор'
том, 25% участвуют в научной работе на кафедрах и 10% занимаются спор'
том и участвуют в научной работе на кафедрах. Найти вероятность того, что
случайным образом выбранный студент: а) занимается по крайней мере од'
ним из двух указанных видов деятельности; б) занимается одним только спор'
том; в) занимается только одним видом деятельности.
30.3. В каждой из двух урн находится 6 белых и 4 черных шаров. Из
первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй
урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар
окажется черным.
30.4. Пара одинаковых игральных костей бросается 5 раз. Какова веро'
ятность того, что сумма очков равная 10, выпадет дважды?
30.5. Вероятность наступления события A в каждом из 900 независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие A произойдет от
700 до 750 раз.
Контрольная работа 9.
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
þ
Составить закон распределения случайной величины X. Найти мате'
матическое ожидание M(X), дисперсию D(X), среднее квадратическое от'
клонение s(X), функцию распределения F(x). Построить график F(x) и
многоугольник распределения.
1. Выпущено 100 лотерейных билетов, из которых 1 билет содержит вы'
игрыш 500 рублей; 3 билета содержат выигрыш 50 рублей; 16 билетов содер'
жат выигрыш 5 рублей. Случайная величина X — выигрыш, полученный
человеком, который купил один билет этой лотереи.
2. На станцию должны прибыть три поезда. Вероятность того, что пер'
вый поезд опоздает, равна 0,2; для второго поезда вероятность опоздать рав'
на 0,1; для третьего — 0,3. Случайная величина X — число поездов, прибыв'
ших на станцию без опоздания.
3. Вероятность того, что спортсмен попадет в мишень в одном выстреле,
равна 0,4. Выполняется 4 выстрела. Случайная величина X — число прома'
хов спортсмена.
4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных детали. Случай'
ная величина X — число нестандартных деталей среди четырех деталей, ото'
бранных из данной партии.
5. На пути движения автомобиля 4 светофора, каждый из которых либо
разрешает, либо запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью
290
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
0,5. Случайная величина X — число светофоров, пройденных автомобилем до
первой остановки.
6. В магазин вошли три человека. Вероятность того, что первый из них
совершит дорогую покупку, равна 0,6; для второго эта вероятность равна
0,7; для третьего — 0,5. Случайная величина X — число посетителей мага4
зина, совершивших дорогую покупку.
7. В партии 10% нестандартных деталей. Случайная величина X — чис4
ло стандартных деталей среди трех отобранных из этой партии деталей.
8. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются 3 билета. Наудачу
из 10 билетов отбирают 5. Случайная величина X — число выигрышных би4
летов среди пяти отобранных.
9. Имеется 4 различных ключа. Необходимо открыть дверь при условии,
что только один ключ из четырех подходит к замку. Случайная величина X —
число попыток, сделанных при открывании замка. Ключ, который не подо4
шел к замку, в следующих попытках не участвует.
10. Стрелок выполняет три выстрела по удаляющейся мишени. Вероят4
ность попадания в первом выстреле равна 0,8; во втором — 0,6; в третьем —
0,4. Случайная величина X — число попаданий в мишень.
11. Один раз подбросили 5 различных монет. Случайная величина X —
число выпавших «гербов».
12. Из 25 контрольных работ 5 оценены на «отлично». Случайная вели4
чина X — число работ, оцененных на «отлично», среди трех отобранных из
25 работ.
13. Вероятность того, что в специализированном магазине имеется инте4
ресующая покупателя вещь, равна 0,4. Случайная величина X — число ма4
газинов, которые посетит покупатель в поисках интересующей его вещи.
В городе 4 специализированных магазина.
14. В порт должны прибыть три теплохода. Вероятность прибытия по рас4
писанию для первого теплохода равна 0,7; для второго — 0,9; для третьего —
0,8. Случайная величина X — число теплоходов, прибывших в порт не по
расписанию.
15. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Веро4
ятность отказа каждого из элементов в одном опыте равна 0,1. Случайная
величина X — число элементов, вышедших из строя в одном опыте.
16. В коробке имеется 3 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают 4
шара. Случайная величина X — число белых шаров среди отобранных.
17. В городе есть 3 библиотеки, в которых может быть книга, необходимая
студенту. Вероятность того, что в данный момент эта книга имеется в библио4
теке, для каждой из библиотек равна 0,3. Случайная величина X — число
библиотек, которые посетит студент в поисках необходимой ему книги.
18. Вероятность попадания в цель в одном выстреле из первого орудия
равна 0,4; из второго — 0,3; из третьего — 0,6. Случайная величина X —
число попаданий в цель. Из каждого орудия сделано по одному выстрелу.
19. В семье трое детей, имеющих разные даты рождения. Случайная ве4
личина X — число девочек в этой семье. Считать рождение мальчика и рож4
дение девочки равновероятными.
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
291
20. В партии из восьми деталей пять стандартных. Из партии наудачу
были отобраны 4 детали. Случайная величина X — число стандартных дета#
лей среди отобранных.
21. В елочной гирлянде 4 электролампы, из которых одна бракованная.
Для того чтобы ее обнаружить, лампы проверяют по очереди. Случайная
величина X — число проверенных ламп. Проверенная лампа в последующей
проверке не участвует.
22. Вероятность того, что план текущего месяца будет выполнен первым
магазином, равна 0,9; для второго магазина эта вероятность равна 0,6; для
третьего — 0,8. Случайная величина X — число магазинов, которые выпол#
нят план в текущем месяце.
23. Вероятность искажения слова при передаче информации равна 0,1.
Передаются четыре слова. Случайная величина X — число искаженных слов.
24. В коробке содержится 10 деталей, из которых 4 окрашены. Из короб#
ки взяли наудачу 3 детали. Случайная величина X — число окрашенных де#
талей среди отобранных.
25. Стрелку выдано 4 патрона, он ведет стрельбу по мишени до первого попа#
дания в мишень. Вероятность попадания в каждом выстреле равна 0,6. Случай#
ная величина X — число патронов, которые остались неизрасходованными.
26. Вероятности успешной сдачи экзамена по первому, второму и треть#
ему предметам для данного студента соответственно равны 0,8; 0,5; 0,7. Слу#
чайная величина X — число экзаменов, успешно сданных студентом.
27. Вероятность попадания в десятку для данного стрелка в одном вы#
стреле равна 0,2. Случайная величина X — число попаданий в десятку. Стре#
лок сделал 4 выстрела.
28. На карточках написано слово ВЕРОЯТНОСТЬ. На каждой карточке
написано по одной букве. Карточки перевернуты буквами вниз и перемеша#
ны. Случайным образом отбирают 5 карточек. Случайная величина X — чис#
ло гласных букв на отобранных карточках.
29. Для сигнализации о возгорании установлены три независимо рабо#
тающих устройства. Вероятность того, что при возгорании первое устройст#
во сработает, равна 0,9; второе — 0,8; третье — 0,9. Случайная величина X —
число устройств, которые сработают при возгорании.
30. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину в
каждом броске равна 0,7. Случайная величина X — число попаданий мяча в
корзину. Спортсмен делает 4 броска.
31. Имеется 7 билетов в театр, из которых 4 билета — на места первого
ряда. Наудачу отобрали 3 билета. Случайная величина X — число билетов
на места первого ряда среди отобранных.
32. В магазин от разных поставщиков поступают три партии различных
видов мебели. Вероятности того, что эти партии товара будут доставлены в
срок, соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Случайная величина X — число
партий, доставленных в магазин в срок.
33. В магазин вошли 4 покупателя. Случайная величина X — число по#
купателей, совершивших покупку (из этих четырех). Вероятность совершить
покупку для каждого из них равна 0,5.
292
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
34. На карточках написано слово СТАТИСТИКА. На каждой карточке
написано по одной букве. Карточки перевернуты буквами вниз и перемеша,
ны. Случайным образом отбирают 4 карточки. Случайная величина X — чис,
ло согласных букв на отобранных карточках.
35. Первый станок,автомат дает 1% брака, второй — 2%; третий — 5%.
Взяли по одной детали с каждого станка. Случайная величина X — число
стандартных деталей среди отобранных.
36. Всхожесть семян лимона составляет 90%. Было посажено 5 семян.
Случайная величина X — число семян лимона, которые взойдут.
37. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение
часа станок потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,1; для
второго — 0,2; для третьего — 0,3. Случайная величина X — число станков,
не потребовавших внимания рабочего в течение текущего часа.
38. Стрелок сделал три выстрела по мишени. Вероятность попадания в
мишень в каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелок получа,
ет 5 очков. Случайная величина X — число очков, полученных стрелком.
39. На автовокзал должны прибыть три автобуса из трех различных насе,
ленных пунктов. Вероятность того, что первый автобус опоздает, равна 0,1;
для второго эта вероятность равна 0,2; для третьего — 0,3. Случайная вели,
чина X — число автобусов, прибывших на автовокзал по расписанию.
40. Вероятность того, что стрелок, сделав один выстрел, выбьет 10 очков,
равна 0,2; вероятность выбить 8 очков — 0,3; 0 очков — 0,5. Стрелок делает
2 выстрела. Случайная величина X — число очков, которые может набрать
стрелок.
Контрольная работа 10.
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
þ
1. Случайная величина X задана интегральной функцией распределе,
ния F(x). Найти: а) параметр A; б) дифференциальную функцию распре,
деления f(x); в) числовые характеристики M(X), D(X), s(X); г) вероятность
того, что в результате испытания случайная величина X примет значение
из интервала (a, b).
30, x 1 22;
4
1. F (x) 5 8 A (x 6 2), 2 2 7 x 7 2;
41, x 9 2;
5 23,
5 0.
20, x 1 0;
3
3. F (x) 4 6 Ax2, 0 5 x 5 3;
31, x 7 3;
8
9 4 2,
4 5.
30, x 1 23;
4
2. F (x) 5 70,25x 2 A, 2 3 6 x 6 1;
41, x 8 1;
9
5 21,
5 2.
30, x 1 22;
4
4. F (x) 5 8 Ax3 6 1, 2 2 7 x 7 0;
41, x 9 0;
5 21,
5 1.
293
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
30, x 1 22;
4
5. F (x) 5 8 A(x3 6 8), 2 2 7 x 7 0;
41, x 9 0;
5 21,
5 1.
20, x 1 0;
3
7. F (x) 4 8 A (1 5 cos x), 0 6 x 6 7;
31, x 9 7;
7
4 ,
2
4
37
.
2
20, x 1 2;
3
9. F (x) 4 7 A (x2 5 4), 2 6 x 6 3;
31, x 8 3;
9
4 1,5,
4 2,5.
20, x 1 0;
3
11. F (x) 4 6 Ax3, 0 5 x 5 0,5;
31, x 7 0,5;
8
1
94 ,
3
4
4 .
3
30, x 1 21;
4
13. F (x) 5 8 A (x3 6 1), 2 1 7 x 7 2;
41, x 9 2;
5 1,
5 5.
20, x 1 2;
3
15. F (x) 4 7 Ax 5 1, 2 6 x 6 4;
31, x 8 4;
9
4 51,
4 3.
20, x 1 0;
3
4
3
6. F (x) 6 7 A sin x, 0 5 x 5 2 ;
3
4
391, x 8 2 ;
4
4
6
, 6 .
4
4
20, x 1 1;
3
8. F (x) 4 7 A(x2 5 1), 1 6 x 6 2;
31, x 8 2;
9
4 51,5,
4 1,5.
20, x 1 1;
3
10. F (x) 4 7 A (x2 5 x), 1 6 x 6 2;
31, x 8 2;
9
4 0,5,
4 1,5.
20, x 3 31 ;
4
4
4
12. F (x) 5 6
31
7 x 7 1;
A cos2x,
4
4
41, x 8 1;
9
1
71
5 , 5 .
2
8
20, x 1 0;
3
14. F (x) 4 6 Ax3, 0 5 x 5 1;
31, x 7 1;
8
9 4 0,5,
4 1,5.
40, x 5 6 3 ;
7
4
77
3 1
3
16. F (x) 8 A sin x 6 9 , 6
4
2
4
7
71, x 33 ;
7
4
3
8 , 8 3.
2
1 2
x
33
;
4
294
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
20, x 1 0;
33 1
17. F (x) 4 7 x2 5 A, 0 6 x 6 2;
34
931, x 8 2;
4 1,
4 4.
20, x 1 0;
3
1
3 2
18. F (x) 6 7 Ax 4 2x, 0 5 x 5 3 ;
3
1
31, x 8 ;
3
9
6 0,25, 6 0,5.
50, x 3 41,5;
50, x 3 40,5;
66
27
66
3
1
19. F (x) 7 A x 8
, 4 1,5 9 x 9 0;
20. F (x) 7 A x3 8 , 4 0,5 9 x 9 0;
8
6
8
6
61, x 0;
61, x 0;
7 41, 7 1.
7 40,25, 7 1.
1
þ
2
1
2
2. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распре+
деления. Найти: а) параметр A; б) числовые характеристики M(X), D(X),
s(X); в) интегральную функцию распределения F(x); г) вероятность того,
что в результате испытания случайная величина X примет значение из
интервала (a, b).
20, x 1 1;
3
1. f (x) 4 5 A
37 x10 , x 6 1;
8 4 0, 9 4 2.
20, x 1 0;
3
2. f (x) 4 7 A (x2 5 2x), 0 6 x 6 1;
30, x 8 1;
9
20, x 1 2;
3
3. f (x) 4 7 Ax 5 4, 2 6 x 6 3;
30, x 8 3;
9
20, x 1 0;
3
4. f (x) 4 6 Ax, 0 5 x 5 2;
30, x 7 2;
8
4 0,5,
4 2,5.
20, x 3 1 ;
4
6
44
1
1
5. f (x) 5 7 A sin3x, 6 x 6 ;
6
3
4
40, x 8 1 ;
49
3
1
5 , 5 1.
4
20, x 1 0;
3
4
3
7. f (x) 6 7 A cos x, 0 5 x 5 2 ;
3
4
30, x 8 ;
9
2
4
4
6
, 6 .
4
4
4 0,5,
9 4 0,5,
4 0,5.
4 5,5.
20, x 1 0;
3
6. f (x) 4 7 A sin x, 0 5 x 5 6;
30, x 8 6;
9
4
6
,
3
4
26
.
3
20, x 1 2;
3
8. f (x) 4 5 A
37 x4 , x 6 2;
8 4 1, 9 4 3.
295
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
20, x 3 4 1 ;
5
12
55
1
1
9. f (x) 6 8 A cos6x, 4
7x7 ;
12
12
5
50, x 9 1 ;
5
12
1
1
6 , 6 .
36
10
20, x 1 0;
3
1
3 2
10. f (x) 5 6 Ax , 0 4 x 4 2 ;
3
1
30, x 7 ;
8
2
1
2
95 , 5 .
3
3
20, x 1 1;
3
11. f (x) 4 7 A (x 5 1), 1 6 x 6 3;
30, x 8 3;
9
20, x 1 0;
3
12. f (x) 4 6 Ax3, 0 5 x 5 1;
30, x 7 1;
8
4 2,
4 4.
20, x 3 4 1 ;
5
4
55
1
1
13. f (x) 6 8 A cos2x, 4 7 x 7 ;
4
4
5
50, x 9 1 ;
5
4
1
1
6 , 6 .
12
2
20, x 1 0;
3
15. f (x) 4 7 Ax3 5 x, 0 6 x 6 2;
3
90, x 8 2;
4 1,
4 1.
30, x 1 21;
4
17. f (x) 5 8 A (x 6 1), 2 1 7 x 7 3;
40, x 9 3;
5 0,
5 5.
30, x 1 21;
4
19. f (x) 5 7 Ax2, 2 1 6 x 6 0;
40, x 8 0;
9
5 20,5,
5 0,5.
94
1
,
3
2
4 .
3
20, x 1 0;
3
14. f (x) 4 7 Ax2 5 x, 0 6 x 6 1;
30, x 8 1;
9
4 0,5,
4 1,5.
20, x 1 0;
3
16. f (x) 4 72x2 5 A, 0 6 x 6 1;
30, x 8 1;
9
4
1
,
2
1
4 .
2
10, x 2 1 ;
3
4
3 A 1
18. f (x) 4 5
, 6 x 6 1;
3 x 4
30, x 7 1;
8
1
9
94 , 4 .
9
16
20, x 1 0;
3
4
3
20. f (x) 6 7 A sin3x, 0 5 x 5 3 ;
3
4
30, x 8 ;
3
9
4
4
6 , 6 .
6
2
296
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
20, x 1 1;
3
21. f (x) 4 5 A
37 x5 , x 6 1;
8 4 0,5, 9 4 2.
20, x 1 0;
3
22. f (x) 4 6 Ax, 0 5 x 5 3;
30, x 7 3;
8
20, x 1 0;
3
23. f (x) 4 7 A(x 5 3)2, 0 6 x 6 3;
3
90, x 8 3;
20, x 1 0;
3
24. f (x) 4 6 Ax2, 0 5 x 5 2;
30, x 7 2;
8
20, x 1 1;
33x 4 1, 1 5 x 1 2;
25. f (x) 6 7
3 A 4 x, 2 5 x 5 3;
390, x 8 3;
6 0,5, 6 2,5.
40, x 5 3 ;
6
4
66
3 3
33
26. f (x) 7 A cos x 8 , 9 x 9 ;
4
4
4
6
3
3
60, x
;
6
4
3
7 0, 7 .
2
20, x 1 0;
3
27. f (x) 4 7 A (4x 5 x3 ), 0 6 x 6 2;
30, x 8 2;
9
20, x 1 0;
3
28. f (x) 4 7 A (3x 5 x2 ), 0 6 x 6 3;
30, x 8 3;
9
10, x 2 1;
33
A
29. f (x) 4 6
, 1 5 x 5 4;
3 x
830, x 7 4;
9
9 4 , 4 9.
4
20, x 1 0;
33x, 0 4 x 1 1;
30. f (x) 5 6
3 A 7 x, 1 4 x 4 2;
930, x 8 2;
5 1,5, 5 2,5.
4 2,
4 1,
4 4.
4 3.
30, x 1 22;
4
52
4
31. f (x) 6 7 A cos x, 22 5 x 5 2 ;
4
52
40, x 8 ;
9
2
72
92
6 , 6 .
4
4
9 4 1,
4 4.
9 4 1,
4 1.
1 2
4 51,
4 1.
20, x 1 0;
3
32. f (x) 4 7 A (x 5 2)(x 5 4), 0 6 x 6 1;
30, x 8 1;
9
4 50,5,
4 0,5.
297
9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
30, x 2 13;
4
33. f (x) 5 8 A 6 21 x, 1 3 7 x 7 11;
40, x 9 11;
5 12,
5 0.
20, x 1 0;
3
4
3
34. f (x) 6 7 A cos2x, 0 5 x 5 4 ;
3
4
30, x 8 ;
9
4
4
4
6 , 6 .
6
2
20, x 1 1;
3
35. f (x) 4 7 Ax 5 1, 1 6 x 6 2;
30, x 8 2;
9
30, x 2 1;
4
4
36. f (x) 5 6 Ax 1 3 , 1 7 x 7 8;
4
90, x 8 8;
8
27
5 , 5 .
27
8
20, x 1 0;
3
37. f (x) 4 7 A 5 9x, 0 6 x 6 1;
30, x 8 1;
9
30, x 2 0,125;
4
1
38. f (x) 5 6 Ax 1 3 , 0,125 7 x 7 1;
4
90, x 8 1;
8
27
5 , 5
.
27
8
20, x 1 0;
3
39. f (x) 4 7 A 5 4x, 0 6 x 6 1;
30, x 8 1;
9
30, x 2 12;
4
40. f (x) 5 8 A 6 31 x, 1 2 7 x 7 0;
40, x 9 0;
4 1,5,
4 0,5,
4 0,5,
4 3,5.
4 0,5.
4 1,5.
5 11,
5 1.
ОТВЕТЫ
300
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ИДЗ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
12
11
1231
4231
12
11
1231
4231
12
11
1231
4231
32
231
41
561
42
4271
841
5841
52
9 1
221
61
62
21
52791
5481
72
2431
9431
4
82
7831
54 1
5 61
92
54 1
52 1
5241
2
2731
5 1
1
2
44 1
5281
271
3 2
731
99 41
2 941
332
5271
591
21
342
61
5 31
59 1
352
27 1
5661
1
362
2 31
31
2 41
372
4 1
1
1
382
561
31
541
392
57 1
921
561
3 2
21
71
5221
3 2
5241
31
21
4 2
241
2 1
71
432
331
52431
52431
442
4441
5931
9 1
452
52331
52741
1
462
581
61
81
472
241
591
241
482
52
58 1
1
492
231
231
931
4 2
6831
2671
5621
4 2
5
241
5 1
5 2
5641
5291
5291
1
1
1
1
ИДЗ 2. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
1
12
1
12
1
12
1
12
32
2 2 34 135 3
4 16 2 24 5 1
6
7
42
2 37 162 28 3
4 68 28 24 5 1
6
7
52
2 126 127 65 3
4 22 25 135 5 1
6
7
62
72
2 62 24 35 3
4 9 38
51
6
7
82
92
13
25
41 5
8
6
2
98 3
238 6
4 4 168 69 5 1
6
7
3 2
2 167 53 2 3
4 136 66 24 5 1
6
7
332
352
2 33 64 39 3
4 1 35 5 5 1
6
7
362
2
41
6
16 3
1
12 16 57
372
392
2 164 17 19 3
4 17 33 36 5 1
6
7
3 2
2 33 16 6 3
4 12 133 2 5 1
6
7
3 2
432
2 5 162 33 3
1
4 17 1
7 57
6
442
2 3 67
4 9 13
6
63 3
51
7
452
2 124 18 12
41
29
9
6
3
51
7
472
12
21
4 124 13
6
36 3
1 482
37 57
233 4 139 3
1
48
18 57
6
492
4 2
2 136 1
4 139 1
6
39 3
1 5 2
27 57
235 138 124 3
1
439 1
18 57
6
2
2 129
4 22
6
3 36 3
1
5 32 57
2
2 137 158 3 3
4 8 22 37 5 1
6
7
2 33 128 2 3
4 12 29 139 5 1
6
7
342
2 138 167 133 3
1
4 69
7
29 57
6
2 2
4 13
6
382
2 35 1 73 3
4 164 25 33 5 1
6
7
2 27 37 3 3
4 69 66 26 5 1
6
7
4 2
2 132 133 2 3
1
4 57
2 16 57
6
2 15 22 17 3
4 35 8 19 5 1
6
7
462
2 33 168 1 4 3
4 165 128 33 5 1
6
7
4 2
2 122 17 35 3
4 32 16 6 5 1
6
7
2
1
2 62
4 16
6
32 3
1
164 57
1
7 12 3
1
24 66 57
2
1
1
2 3
1
1 57
301
ОТВЕТЫ. ИДЗ 3
ИДЗ 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПУНКТ 1
11
2134115411671 12
32
351
26819581371
72
951
2 81981 71
2 8181 71
3 2
26819 819371 362
1
12
2
1
352
931
392 95 31
11
2134115411671
42
95 1
29 81958193371
82
1
2381938171
1
238158171
332
931
1
23819381371
372 95 31
29381 819 71
3 2 95 31
258181 71
3 2
11
2134115411671
12
52
1
238196819371
62
92
931
23816819371
2
1
29581981371
2381 81 71
342
1
2938181371
281 81371
382
1
29681 8171
258168171
4 2
1
29681681571
12
2134115411671
11
1
9
2681581 71
432
951
2 81981 71
442
1
2681381371
452
951
23819381 71
462
51
281 819 71
472
351
29381581 71
482
9561
2381581671
492
351
29381681 71
4 2
1
2681581371
4 2
9
23819581671
5 2
96 1
238195819671
2
1
1
2
1
1
1
2
ПУНКТ 2
1
1
12
2123
32
2 15 6 7 3
1 2 44 7 18 17 55 3
84
5
6 12 9 12 7
52
26 2
3
2 4 29 2 22 5 3
4
5
78 4
2 28 57
6
72
12 3
2 17
1 2 44 9 12 12 55 3
74
8 57
67 1
92
12 12 3
21
1 2 44 16 1
129 55 3
84
5
6 1 15 122 7
2
2 79 1
1 2 44 16 8
4 18
6
3 41
18
27
2
8
8
3
53
5
5
7
1
9
29 1
3
8 8
8
9
279 266
8
3
78 78 78
8
3 41
42
21 6 5
3
1 2 44 6
1
125 55 3
292 4
5
6 7 172 122 7
8292 2925 2292 9 3
62
2 8 1 72
3
7 7
7
9
82
93
2
8298
8
12
2123
8
8 8
1 59 2 27
93
26
2 48
8 44
62
18
6
2
1 2 44 75
4
6 122 1
27
1 2 44 12
2 4
6 12
1
3
53
5
5
7
1 1
9 2
7 22
2 129 126
3
1 2 44 2
12 55 3
24
127 57
6 28
75 1 8 1 3
342
2 27
1 2 44 1
72 4
6 7
352
12 3
2 17 9
1 2 44 1 9
1 55 3
29 4
5
6 2 129 17 7
8229 299 2976 9 3
362
2 12
2 4 76
4
4 12
6
372
2 18 7
1 2 44 17 7
74
1
6
81 877 1 777 57 9 3
382
9
88
18 3
29 55 3
129 57
3
53
5
5
7
8
16
21 8
1 2 44 126 72 12
298 4
3 2
6 28 17
3
332
93
2 55 3
177 57
8
3
5
5
5
7
29 3
12 1 55 3
1
2 57
1 27 3
6 8 55 3
5
8
7
27 3
2 18
53
1 2 44 129 5
24
5
6 27 175 1 5 7
8 8
77 26
3
8 8
12
93
2
8 5
2
93
81 272
89 298 298 9 3
81 872
9
81 5
81
9
5 5
3
72 72
6 1 66
3
2
1 9
2
9
9
3
2
1
302
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12
1123
342
2 12 2 5 3
1 44 6 12 17 55 3
4 12 5 6 5
6
7
2 7 127 17 3
1 2 44 172
7 55
64
362
16 12 57
6 6
243
879 1269
8
3
9
2 9 1 9
3
6
6 6
12
1123
243
352
1 3
27 5
2 4 6 12 1 7 5 3
5
7 44
12 126 57
6
8279 9 6 3
782
1 3
2 127 2
1 2 44 2
177 55 3
4
5
6 1 16 7 7
6 16 3
27
2 4
1 55 3
77 44
5
6 17 17 7
3
732
5
1 3
2
2 4 16 1 5 3
4
5
422 12 12 5
6
7
8259 9 65 3
772
792
2 7 5 17 3
2 4 6 12 1 6 5 3
5
7 44
12 1 57
6
879 227 9 227 9 3
7 2
1 7 65
2 17
2 46
6 12
4
4
2
2 27
1
1
6
7 2
3
2 126 1
2 4 66 27 1 5 3
4
5
67 4
16 57
6 7
879 1 9 12 3
7 2
12
7 3
2 2 47
166 16 55 3
4
4
57
6 125 27
742
1 3
2 2 4 17
27 55 3
4
1 4
1
7
1
1
75 57
6
81 76 9 1 77 9 725 9
752
1
2
3
1 2 44 162 6 17 55 3
7 4
1 1 57
6
982
25
2
3
2 4 2 1 5 3
5
44
5
6 176 6 7
12 3
2 1 2 4
5
762 1 4 16 17 6 5 3
4
5
2
6
1
1
6
7
3
8 1 7 9
9
69 6 3
81 6
9 1 2 9 77
93
8 129 592 3
3
53
5
5
7
9 65 9 1 272 9 3
81 725
859 1 9 7 3
8 67
9 92
7 7
93
3
81 9 9 1 2
9
3
3
3
ПУНКТ 3
1
12
23
32
4 3
2 1 7 4 7
4 7 1 74 1 64 5
7
5
4
3
47
4
5
4
5
4 7
6
2
42
15 47 1 24
2
4 12 24 5 4 1 4
7
4
47
4
4
4
44
4
6
2 2 4 3
4 12 1 6 4 5
5
4
3
4 16 4 5
4
5
4 7
6
12
72
3
5
5
53
5
55
7
23
2 1 4 7 64 1 4
4 6 64 1 74
4
7
4
47
4
4
4
44
4
6
2
2 47 1 4 3
4 12 1 4 6 4 5
7
5
4
3
47
4
5
4
4 57
6
52
2 1 1 4 3
4
7 5
4
6 4 55
4
3
7
4
5
4 5
4 2
4
4 57
6
3
5
5
53
5
55
7
12
23
92
1 47 3
2
4 52 1 5 4 5
75
4
3
47 5
4
4 5
5
6
7
2
2 17 254 264 3
4 16
74 664 55
4
4 1 64 5 3
7
1
4
4
5
4
44
5
4 57
6
62
4 14
2 6 1 4
4 2 4 1 4 64
4
4
4 12 6 4 4
4
4
4
4
4
4
4
6
3
5
5
5
53
5
5
5
7
3
1
303
ОТВЕТЫ. ИДЗ 3
12
12
342
3 12 2 3 1 4
5 13 1 3 3 6
16
5
5 14 2 3 1 6 5
5 2 1 43 6
16
55
31 68
7
362
3 4 1 3 6 2 33 1 4
5 12 2 3 2 3 6
6
1 6
5
5 3 2 33 6 1 43 1 6 5
5
6
36
55
66
3
7
1 8
392
3 3 2 43 6
4
5 12
6
1
3
1 6
5
33 6 1 31 6 5
5
5
6
36
55
66
3
7
1 8
3 2
3 12 1 38134 2 28136 4
5 3 2 28913 1 38913 6
4
66
5
5
34
5
6
5
6
36 8
7
552
1 31 4
33
5
3
2
331 66
6
5
4
2
3
5
65
6
5
6
36
55
6
31 68
7
582
31
4
5 2 33 6
66
5
5
5 4 2 36 6
5
6
36 8
7
5 2
3 6 2 43 6 1 3 1 4
5 14 1 3 2 3 3 6
6
16
5
5 2 2 3 6 1 31 6 5
5
6
36
55
6
31 68
7
12
12
332
3 2 2 33 1 4
5 13 1 4 3 6
16
5
5 12 1 3 1 6 5
5 3 23 6
16
55
31 68
7
372
3 4 1 33 1 4
5 2 1 33 6
16
5
5 12 2 3 1 6 5
5 2 23 6
16
55
31 68
7
3 2
3 1 1 43 1 4
5 2 13 6
1 6
5
5 12 2 3 1 6 5
5 2 2 33 6
16
55
31 68
7
542
3 1 1 36 4
5 27 1 293 6
6 6
5
5
5 6 1 936 6
5
6
36 8
7
562
3 3 2 43 1 4
5 1 1 33 6
16
5
5 14 2 31 6 5
5 2 13 6
1 6
55
31 68
7
592
6
1 36 4
3
5 13
1
3 6 66
5
5
5 1781 2 78136 6
5
6
36 8
7
5 2
3 782 1 78134 4
5
1 34 66
5
5
34 6
5
5 78
6
7
8
12
12
352
3 2 1 78134 1 28136 4
5 13 2 7813 2 3813 6
4
66
5
5
34
5
6
5
6
36 8
7
382
3 1 2 33 6 1 3 1 4
5 14 1 3 2 33 6
6
16
5
5 2 2 36 1 31 6 5
5
6
36
55
66
3
7
1 8
3 2
3 2 2 36 4
5 12 2 3 6
66
5
5
5 3 1 36 6
5
6
36 8
7
532
31
4
5 4 23 6
66
5
5
5 2 33 6 6
5
6
36 8
7
572
3 6 2 3813 6 2 8131 4
5 4 2 3813 2 6813 6
6
16
5
5 1 2813 6 1 48131 6 5
5
6
36
55
6
31 68
7
5 2
3 2 1 36
4
5 13
6
2
3
1
5
6
5 4 2 33 6 2 3 1 6 5
5
6
36
55
6
31 68
7
642
3 2 1 33 1 2 3 4
4
5
4 66
5
6
52 2 34 1 2 36 6 5
4 6
5
34
5
6
5
6
3
7
6 8
2
304
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПУНКТ 4
12
211
12
211
32
72
234563453456375
42
23459453456375
82
1
12
211
12
211
263456345845375
52
234594563456975
62
269459456 45 75
29456 45845375
92
23456345845975
2
2845 45 456975
2
2945345345375
3 2
23458456345375
332
26 45845345875
342
234534563456375
352
2345945945875
362
294569453456375
372
26345 456945975
382
29453456 45375
392
26945345 45 75
3 2
23456345 456 75
3 2
23459458456375
4 2
28456345345975
432
2 45 45 456975
442
2845845945 75
452
2845345 45875
462
28453453456975
472
23456345845 75
482
269458453456375
492
234563453456345375
4 2
234563453456345375
4 2
294584569456945375
5 2
28456945 45845375
2
5
2
5
1
2.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ИДЗ 4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ПУНКТ 1
1
12
123
423
32
94183
63
42
91813
3
52
91163
88 3
62
9 73
81 3
72
9663
84 3
82
9413
8 3
92
983
2
523
623
723
823
88 3
6
8 3
6
11 3
1 144 3
181
6 3
1 6
3
7
3
15 3
1
3
6 3
88
57 3
1 6 3
87
1
3
454 81
5 3
81
3
1 16 3
66
1
164 3
84
4 3
84
15 3
1 3
61
8
1 8
3
746
1 3
8
441 3
6 3
78
43
46
3
4 41
3
545 3
8 3
13
1 13
5 6
3
74 1 1
2
3
148 3
5
141
3 2
9 3
17 3
684
1718 17
332
9483
1 6 3
8
6
15
88
1
1 3
1 1
667 3
1 4 3
16
3
1
4 3
148
7
3
148 3
4
3
1
5 3
17
6 3
16 3
4 8
778
3
1 6 1 6
1
6 3
1 6
51 3
18 3
6 1
148
305
ОТВЕТЫ. ИДЗ 4
12
123
423
523
342
9713
45 3
352
9 63
4 83
362
91473
561 3
372
91 63
382
623
88
3
4418 45
723
823
1
7
45
3
1155 3
1 8 3
746
3
1
8 3
4 8
1577 3
4 4 3
887
3
1
3
17
3
418
3
46
6 43
1 54
3
5741 6 4
1
3
1 7 3
44
3
1 1
94 3
181 3
55
1448
3
1
392
9 3
1 6 3
3
1
3 2
1 3
87 3
3 2
6 3
66 3
4 2
3
61 3
432
11 3
78 3
1
442
17 3
3
1
452
4 53
16 3
462
4743
4
472
6
481
4 8
5 74 561
6
467
561
6 4
6
3
1 144 3
6
8
3
1 6
56 3
1
184
3
71
88
1 6 3
87
44 3
1 6 3
88
3
1 4 3
66
155 3
1 16 3
81
3
8 3
1
3
84
4
3
78
4 3
6
3
8
3
1 3
8
3
4
3
5 3
1 4
3
1 1
3
53
148
3
148
3
1
3
4 8
17 3
16
17
164
3
1148 1 6
14
3
6 1
47 3
18
3
1 6
3
16
3
746
5
3
1 8
3
45
11
3
4 8 415
18
3
887
76 3
4 4
3
4 8
3
55 3
418
3
561
4
3
1 1
6 3
44
3
6 4
4
4 5 81
48
3
84 176
4
3
1 1 8
3
6
1
1 5
3
475 1 1
8
16
3
1
148
3
148 67
4
5 73
4 83
1
482
5843
6 13
1
492
6453
746 3
1
4 2
6
3
887 3
1
4 2
77 3
46 3
1
5 2
85 3
13
1
1
3
181
4 156
15
6 17
157
17
4
45
1
3
5 561
76
3
56 6 6 4
1
46
6
3
3
306
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПУНКТ 2
12
123
32
12
123
3
42
669 3
88
3
899 7
62
898 3
1 88 3
97
3
8 88
3
88 68
82
888 3
1 86 3
99
3
2
97 3
8 3
97
1
3
3 2
686 3
9 3
7
1 88 3
69
3
342
93
8 3
88
8
3
88 67
3
362
7 3
3
3
69 3
87
382
897 3
3
3 2
8 3
3
4 2
6 3
1
3
442
889 3
1
9
3
8 6 68
462
9 3
3
86
6
8 6
3
482
3
3
6
3
4 2
77 3
3
5 2
98 3
423
523
678 3
1 89 3
69
6
52
3
8 3
899
72
87 3
6 3
92
3
3
2
7 3
1 3
8 8
332
8 3
89 3
352
79 3
372
6 7 3
392
6 3
3 2
67 3
432
87 3
69 3
8
452
69 3
89 3
8 6
472
8 6 3
9
3
8 7
1
8
3
96
1
1
492
4 2
8 3
3
8
1
1
67
8
3
96 67
87
3
8
3
9
8
8 1 3
67
1
88
1
3
8 8
9
8
99
96
8
6
8
423
523
9 3
1
3
77
9
3
3
3
9
3
88 9
9
3
8 9
3
7 8 88
3
7
6
3
69
3
6
3
67
1
3
3
87
3
86 67
1
8
3
88 96
9
3
8
6
67
3
307
ОТВЕТЫ. ИДЗ 4
ПУНКТ 3
1
12
123
423
32
63
78 3
79
52
83
7 3
523
1
3
92
93
2
3
332
3
7
3
7
352
83
7
3
372
63
97
3
89
392
8 63
1 9 3
9 6
3 2
3
432
7 3
452
73
6
3
7 472
7 3
7
3
98
492
963
3
96
4 2
77 93
697
3
9
7
7
3
79 999
42
79 3
3
7 2
62
3
82
9 3
698
3
7 2
9 3
8
3
67
3
67
67
3
7 6 78
1 8 3
7 6
123
8
3
67
72
12
796
8
3
3
362
9 3
6
3
89 98
382
7
3
1 97 3
9
97
3
67 9 6
3 2
683
969
3
67
4 2
83
66
3
6 796
442
893
6
3
7 462
8 3
1 79 3
482
93
1 67 3
79
4 2
73
68
3
97
5 2
3
7 7
3
8
1
7
7
8
1
1
3
98
3
79
7
7
9 3
6 9
3
7
1
7
3
1
3
7
9
67
9
3
76
3
6 67
9 7
7 6 776
7
3
7 6
3
97
7 7
9
3
7
777
3
6
3
69
9
7 3
97
9
3
9
9
3
7 6
3
9
3
3
9
7
76
342
3
8
3
3
9
3
3 2
7
9
793
9
523
3
7 6 7
3
423
3
1
6
777 7
1
76 8
3
679
1
3
96
3
79 9 6
3
7 2 6 97
8
8
3
308
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 5. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
12
12
3412
3432
32
82
42
8 2
52
112
1778 2
62
362
672
2
72
552
1 31
2
3
2
82
2
3 2
92
1 2
1155 2
2
2
2
82
3 2
6 72
2
332
72
11 2
342
5 2
1 1687
2
3
352
872
1 15 6
2
3
362
1662
1 5
2
3
2
7
2
3 3
5
372
782
57 2
2
1
57
13
2
16 11
19 2
1
3
1
3
3452
16
58
2
88 5
5
1
2
1778
2
88
2
7
1
3472
2
19
2
2
2
72
6
6 2
3 2
2
52
3
2
1778
192
2
5
2
6
2
2
31
2
61
12
2
3
2
11 19
3
2
19
1 2
1
2
3
32
2
15
2
3 31
1155
2
31
3512
351
2
1155
5 82
11
2
19
782
1 7
2
6 3
9 2
18
19 2
6 32
19 2
11
11
2
16 1 5
2
3462
11
19
2
86
2
9
118
2
2
3
2
3 19
3
3
39
11
2
137
2
116 179
3
6
3
6 3
2
118
2
2
11
2
31
2
1 72
362
2
1 2
52
1
2
11
2
62
6
2
11
5
2
6
2
13
2
1687
112
2
38
2
15 6
392
1687
2
16
13
15 6
2
33
38
2
12
2
172
5
2
17
2
57
2
62
309
ОТВЕТЫ. ИДЗ 5
12
12
3412
3432
342
82
1 19 2
3
1
16 3
352
732
5 72
362
892
9 72
372
1192
892
832
1 119 2
3
832
8 2
1 3 8 2
3
882
11 2
1 8 2
3
8 2
31 2
1 1 7
2
3
8 2
6162
1 137
2
3
8 2
172
1 2
842
1 2
1 55
2
3
852
152
89 2
862
672
133 2
872
672
1 1
2
3
92
3372
5
2
3
1 39
3
1
3452
2
8
6
2
71 67
6
2
156 6
2
1
2
31 36
1
19
19
5 7 2
8
92
1 2
15
7 2
39
73
2
3 8
3
2
72
9 2
5 7
12
72
2
1
2
2
39
1
2
119
2
11
72
2
1
3 8
62
82
2
92
8 2
39
62
36
2
8
1 372
2
1 7
2
56
3 72
17
2
1 7
82
1
2
137
52
13
2
1
32
5 76
137
2
61
1
2
5
6
2
5 31
6
7
2
2
13
3
19
8
16
2
55
2
33
13
13 3
5
1
19 2
52
3
2
39 7
3
2
7 7
1
2
119 2
57
8
2
11 75
1
3472
19
3
2
8
3462
2
2
1
2
132
67
2
67
55
2
52
89
2
3
1 2
1
2
89
1 72
133
2
18
612
61
2
133
132
1
3
9 72
5
1
1 2
5
2
3
2
6
2
2
6
2
5
82
310
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО НОВОМУ БАЗИСУ
12
1
11
12
1
11
12
1
11
32
34 21 1 521 1 22 21 1
3
6 2
6 4
42
5 21 2 36 21 2 274 21 1
272 2 272 3 272 4
52
289 21 2 324 21 2 23 21 1
46 2 46 3 46 4
62
1
1
1
622 1 7 523 2 7 8524 1
72
1
1
1
1322 2 23 1 924 1
82
4 21 1 2 21 2 44 21 1
53 2 39 3 39 4
92
1
1
1
522 2 6 523 2 9 524 1
2
1
1
1
12722 2 24 23 2 88 24 1
2
1
1
1
1 68 22 2 67 23 2 85 24 1
22
22
22
3 2
1
1
1
1 4 22 2 29 23 1 2 24 1
24
24
24
332
1
1
1
3422 2 6223 1 3224 1
342
1
1
1
1 82 22 2 43 23 2 5 24 1
42
42
42
352
1
1
1
2 322 2 823 2 4 624 1
362
1
1
1
1 279 22 1 64 23 2 8 24 1
42
93
93
372
1
1
1
1422 2 423 2 2824 1
382
1
1
1
1 65 22 2 285 23 2 242 24 1
92
92
92
392
1
1
1
22 1 423 2 624 1
3 2
1
1
1
122 2 23 2 524 1
3 2
1
1
1
1 36 22 2 22 23 2 4 24 1
24
24
24
4 2
2 21 1 43 21 2 277 21 1
4
2 2 2 3 2
432
5 21 2 5 21 2 3 21 1
9 2 9 3 4 4
442
5 21 1 6 21 1 64 21 1
44 2 44 3 44 4
452
34 21 2 3 21 1 43 21 1
4 2 4 3 4 4
462
1
1
1
1 6 22 1 273 23 2 22 24 1
68
68
68
472
43 21 2 32 21 1 3 21 1
34 2 34 3 34 4
482
1
1
2 8 21 1
2 1 25 2 1
68 2 68 3 68 4
492
32 21 2 25 21 2 6 21 1
2 2 2 3 2 4
4 2
26 21 1 42 21 2 9 21 1
5 2 45 3 45 4
4 2
1
1
1
1 24 22 1
2 2 35 2 1
46
46 3 28 4
5 2
28 21 1 5 21 2 25 21 1
66 2 33 3 66 4
1
3.
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ИДЗ 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
ПУНКТ 1, 1) –5)
12
123
12433443143
523
15143355434563
623
16143365434663
723
89313
23
17431713
32
683 3 93 3613 3 3
583 393 353 3 3
833693 3 3 3 3
833593 363 3 3
683 393 3 3 3 3
833693 363 3 3
583316933153 3 3
5 83 3193 33 3 3
1183 3593 3653 3 3
1 7 3
1183 3 93 33 3 3
8331193 3163 3 3
42
833193313 3 3
83 35933553 3 3
1 83393 3153 3 3
583393 373 3 3
83 31 93313 3 3
183 39331 3 3 3
8331693353 3 3
58335 93 353 3 3
178339333 3 3
11 3
516
183 393 3 3 3 3
83319336 3 3 3
52
583 393353 3 3
8331 93 3713 3 3
833933 3 3 3
1 83 39331 3 3 3
83 3 933153 3 3
833593 313 3 3
6833593363 3 3
83 379331 3 3 3
833693 33 3 3
1 4 3
683 31693363 3 3
168336933163 3 3
62
583393 3 3 3 3
83 393 31 3 3 3
83 39333 3 3
83393 3 3
83393 353 3 3
83 35933 3 3 3
683 39331 3 3 3
833693 3 3
83 35933 3 3 3
63
93 33
83 313
311
ОТВЕТЫ. ИДЗ 7
1
12
123
12433443143
523
15143355434563
623
16143365434663
723
89313
23
17431713
32
83 3593 3 3 3 3
6833593 3563 3 3
83 3593 3163 3 3
583 3693 33 3 3
583393 3563 3 3
583393 3163 3 3
683 3593 33 3 3
68331 93 3613 3 3
1 833593 3 3 3 3
1 3
16
1183393363 3 3
83 31193 353 3 3
42
683 393363 3 3
83393 33 3 3
83 3593 373 3 3
83 393 313 3 3
583393 33 3 3
833693 33 3 3
1683 31193 33 3 3
83393 3163 3 3
8331693 313 3 3
13
8336933113 3 3
683 393363 3 3
52
783393313 3 3
833693 3153 3 3
583 3 93 353 3 3
683 39331 3 3 3
833593313 3 3
83 3793353 3 3
683 359333 3 3
83393 33 3 3
93 353
55 3
6
683393353 3 3
83 36933553 3 3
62
583 393 3113 3 3
83393 33 3 3
16833693 3763 3 3
83 393 37 3 3 3
683 31693313 3 3
833593 3513 3 3
83 373
83393 3673 3 3
5 83393 311 3 3 3
1 3
56
83393373 3 3
83 3 93 373 3 3
72
683 3593 35 3 3 3
833 93 3 3 3 3
1583393 3773 3 3
83 393 3773 3 3
83 31593313 3 3
5833693 36 3 3 3
83 393 353 3 3
93 353
683393 313 3 3
5 3
67
11833169333 3 3
1683 31193 33 3 3
892
83359333 3 3
83 393 3753 3 3
83 393 3 3
833933573 3 3
83393353 3 3
583 393 33 3 3
83 3693 33 3 3
683393 33 3 3
583 393 33 3 3
63
83 3 63
93 3 63
882
83 393 3113 3 3
83 369333 3 3
583393373 3 3
683393363 3 3
83 35933 3 3 3
833 93 33 3 3
83393 363 3 3
683 3593 313 3 3
6833 93 313 3 3
3
833693313 3 3
683 393 33 3 3
8 2
783 369331 3 3 3
583393 31 3 3 3
83369331 3 3 3
83 3593 3 3
683 393 3 3
6833793 3 3
583 393 31 3 3 3
83 353
83393 31 3 3 3
63
58339331 3 3 3
83 3593 3 3
8 2
833 9333 3 3
1183 3 93 3753 3 3
83 359333 3 3
8331193 33 3 3
583393 3 3
83 39333 3 3
8331 93 353 3 3
83 353
183 31 93 33 3 3
1 3
7
683 3933113 3 3
833693 363 3 3
8 2
683 393 313 3 3
83393 3 3 3 3
15833 93 353 3 3
83 393 3 53 3 3
83 31593 33 3 3
833693 3563 3 3
83393 35 3 3 3
93 353
6833593 3163 3 3
5 3
61
83319337 3 3 3
183 393 33 3 3
832
583 3933173 3 3
8339336 3 3 3
1683369331 3 3 3
83 393373 3 3
683 316933773 3 3
83359331 3 3 3
83 3 63
83393 3153 3 3
5 8339337 3 3 3
1 3
56
83393 373 3 3
83 3 93373 3 3
842
583 393 3513 3 3
83393 363 3 3
83393363 3 3
83 393 3 13 3 3
83 393 3113 3 3
833593353 3 3
683393 33 3 3
83 3693 3163 3 3
833593353 3 3
63
93 3 3
83 33
852
583 393 313 3 3
833 9333 3 3
7833693 313 3 3
83 393 313 3 3
683 37933 3 3 3
833593 3763 3 3
683 3593 31 3 3 3
93 3 13
8331693 363 3 3
1 67 3
16
83393 3113 3 3
83 393 353 3 3
862
6833 93353 3 3
83393 363 3 3
83 39333 3 3
83 393313 3 3
83393 353 3 3
83 369331 3 3 3
83 3933553 3 3
833693 313 3 3
1183 3693 3173 3 3
73
93 353
83 3 73
872
83 3593 3 3 3 3
83 319337 3 3 3
833693 3 3
183393 3 3 3 3
683 393 36 3 3 3
58339331 3 3 3
83393 35 3 3 3
83 3 93373 3 3
8331693 35 3 3 3
13
83 3593 3 3 3 3
583393 3 3 3 3
92
83 3933 3 3 3
6833593 3 3 3 3
83379331 3 3 3
583 369333 3 3
783 39333 3 3
83393 3 3
83 393 3 3 3 3
83 3 13
58336933 3 3 3
82
83 393 363 3 3
83 3933663 3 3
58339333 3 3
833933113 3 3
83 3593363 3 3
83393313 3 3
683 393 313 3 3
83 3593363 3 3
833693 33 3 3
6
63
3
8336933713 3 3
683 3 933113 3 3
8336933163 3 3
683 393 313 3 3
312
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12
123
12433443143
523
15143355434563
623
16143365434663
723
89313
23
17431713
332
1183 3693 363 3 3
833593353 3 3
83 3693353 3 3
583 393373 3 3
683393313 3 3
68331193 313 3 3
83 39333 3 3
18339333 3 3
833593 31563 3 3
14 3
833593 3563 3 3
583 393373 3 3
342
783393 3113 3 3
83359333 3 3
583311933 3 3 3
583 393 33 3 3
1183 3593 3 73 3 3
83 37933153 3 3
83 3 93 33 3 3
1 833169335 3 3 3
83356933713 3 3
1 75 3
1
83 31693 37 3 3 3
1683393 36 3 3 3
352
1183 393 353 3 3
83 39335 3 3 3
83393373 3 3
833 93313 3 3
83 393353 3 3
8331193373 3 3
1833 93 373 3 3
583 393 313 3 3
8331693373 3 3
1453
93 33
83 353
362
683 3 933173 3 3
833933113 3 3
833793 313 3 3
83 39331 3 3 3
783 3933163 3 3
833693353 3 3
93 373
83359335 3 3 3
833193 3763 3 3
13
833693 3553 3 3
683 3 933173 3 3
372
83393 3173 3 3
833 933163 3 3
783 369333 3 3
83 393353 3 3
6833793 3 3 3 3
83 39333 3 3
833593 373 3 3
8331933153 3 3
583 31693 35 3 3 3
7 3
6
83 3933173 3 3
83393 353 3 3
382
93 373
683 3 933773 3 3
6833593 353 3 3
833693 3753 3 3
583 3693353 3 3
83 353
833693 313 3 3
83 37933573 3 3
583 39333 3 3
14 3
83 393 353 3 3
833 93 353 3 3
392
83 393 363 3 3
83 3933663 3 3
833593 33 3 3
83393 3113 3 3
583 393363 3 3
83393 313 3 3
83 3693 313 3 3
583 393363 3 3
68339333 3 3
63
683393 3163 3 3
83 3693 313 3 3
3 2
683 31693 353 3 3
83 3933673 3 3
833593 33 3 3
83393 3713 3 3
583 3933173 3 3
16833693313 3 3
93 313
83 35 933653 3 3
83 3933163 3 3
1 3
56
683393 313 3 3
83 3693 353 3 3
4 2
83393363 3 3
583393 363 3 3
583 3933113 3 3
83 359331 3 3 3
833593363 3 3
83 3933 3 3 3
583393 313 3 3
7833693 363 3 3
1783369333 3 3
73
68339333 3 3
83 36933163 3 3
ПУНКТ 1, 6) –13)
1
1
23
4563
23
4413
23
4 3
1 23
133
1123
1613
1623
1523
1513
12
23
313
2
7 3
31 167
6 6 4
7 3
67
683 3 933
313 3 3
6 83 393 3
31173 3 3
16 3
7645 3
17 3
73
32
517 515 3
3 11
11 4
11 3
65
833193 3
31 3 3 3
15833 933
3653 3 3
65 3
566 3
5 3
3
42
1 61 4 3
3 661
51 3
583 3933
3563 3 3
11833593 3
3613 3 3
5 3
11 3
7
75 3
1 1
513
52
31123
6 3
5833933
35 3 3 3
1183 31933
3 3 3 3
3
3
62
5 4 3
31 5
1 3
833593 3
3113 3 3
83 363
7 3
72
323
5 3
1
6833933
313 3 3
83393 3
313 3 3
82
3
3 55 1 5
5 4
77 3
1
783 3933
353 3 3
83393 3
31 3 3 3
21343
3
3
53
57 3
16
573
3
54 3
15 3
5
6 3
3
53
55 3
1
773
313
ОТВЕТЫ. ИДЗ 7
123
143
523
2363
723
2243
823
243
4923
513
81 3
2 4 447
78 78 3
47 3
24 461
4 4 3
48 3
73 3833
373393
4473383 3
3 43393
5 3
46
673 3 833
353393
69733583 3
3413393
3
69
733 83 3
3 43393
4573 34483 3
3 3393
79 3
73 3833
3453393
733833
343393
4 3
73 3683 3
3 93393
7336833
3 3393
7
3
14
1733 83 3
3553393
5
3
49
12
32
42
562
5 3 23
552
24 4 4 7 3 3
572
3 4 23
582
592
5 2
5 2
24
7
33
24 4187 4 4189 3 3
3
2 7895 68
78 3
3 4623
69
4 23
5343
7 3
3
14
53
89 3
19
3
9
193
49 3
7
3
7
3
49
73
493
7
3
473 3 833
3 73393
14 3
1 3
673 3833
3443393
697334583 3
34913393
9 3
3
73 383 3
3 3393
44733833
3 93393
3
73 3833
383393
4473345833
3 53393
79 3
89 3
46 3
45
3
1
453
1
3
9
13
19
3
89
693
69
3
46
3
19
3
9
193
3
3
3
8 3
76
3
9
76
3
8 3
2485 458 3 3
6
3
6
73 3583 3
36 3393
733783 3
3443393
6 3
532
49 34 23
1
3
6
6733 83 3
31 3393
4 73 35833
3493393
461 3
7
542
5 3 823
4
3
73 3 833
3493393
733583 3
373393
79 3
4 762
24 4555 4 4545 3 3
3
73 383 3
3493393
733 833
3 3393
5 3
76
752
4 3 123
3
73 3833
383393
57334483 3
383393
99 3
89 3
772
1 34523
4 9
3
469
44733683 3
3453393
733 483 3
34 83393
469 3
4 3
782
24 4117 488 3 3
3
45
73 383 3
3643393
4973 3683 3
313393
45 3
792
8 3 523
3
4473383 3
33393
573 34883 3
3 73393
4
7 2
4 3823
4
3
6
6733 83 3
31 3393
4 73 364833
3853393
7 2
2486 451 3 3
1
3
7
173 3583 3
36 3393
67337833
353393
4
5
4
3
6 3
7
3
3
3
1 3
57 3
7 3
8 3
3
3
193
7
3
41
3
3
7
53
5
3
7
7 3
4
5 2
4
4623
415123
5 3
7
7
3
1
48
4423
5643
3
5
193
3
5 3
3
43
5
3
5
613
4
3
7
3
6
3
1
63
314
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
123
143
12
342
24 4467
3
9 3
46
523
2363
723
2243
823
243
4923
513
4423
5643
13
73 3493
8833733
373 393
4 3
89 3
833733
383 393
448335733
383 393
99 3
4
3
352
1 3423
362
9 346 23
5
3
457
683346733
33 393
4 833733
373 393
457 3
782
46 323
9
3
7
18335733
3653 393
47833733
3 83 393
7 3
89 3
83
4 3
4 23
5343
4623
415123
3
3
19
3
9
193
5
3
7
73
7
3
93
6
9
9
ПУНКТ 2
1
12
1 3
12
1 3
12
92
448336733453 393
2
448336733 13 393
1 3
32
4683387334 3 393
72
448336733673 393
2
44833673383 393
2
448336733 53 393
42
458334 733463 393
52
448336733 83 393
12
1 3
62
448336733463 393
982
448336733 53 393
992
46833873373 393
932 448336733 83 393
972
448336733 13 393
9 2
83373313 393
9 2
448336733653 393
9 2
942
4483367333 393
952
448336733 3 393
962
448336733 53 393
382 4483367336 3 393
392
448336733173 393
332
448336733 3 393
372
44833673393 393
3 2
3 2
448336733113 393
3 2
448336733
342 44833 7334453 393 352 468338733683 393
362
4683387337 3 393
782
46833873363 393
3 393
3
2
2
4483367333 393
44833673353 393
3
1
ИДЗ 8. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПУНКТ 1
12
1
12342567
89
6
7
5757
17
562 7
17
27
3737
4747
342
7
7
277
727
2 7
7
7
352
7
7
277
7
2 7
7
677277
642
7
7
277
727
727
652
7
7
277
7
2 7
7
677277
742
7
7
277
727
2 7
7
7
752
7
7
7
727
2 7
7
677277
842
7
7
277
727
2 7
7
7
852
7
7
277
7
277
942
7
!7
277
72!7
2 ! 7
952
7
7
7
727
42
!7
7
2!77
727
52
7
7
277
42
7
7
277
7
7
7
67727 7
! ! 7
7
2 " 7
" 7
677277
2 " 7
" ! 7
7
7
2 ! 7
! 7
67727 7
727
2 7
7
7
315
ОТВЕТЫ. ИДЗ 8
12
1
12342567
89
6
7
5757
17
562 7
17
27
3737
4747
342
7
7
7
727
562
7
7
277
542
7
7
7
762
7
!7
277
72!7
2 7
7
7
742
7
7
7
727
2 7
7
67727 7
8962
7
!7
277
72!7
277
8942
7
"7
277
7
2 ! 7
8862
7
!7
277
72!7
2 7
!7
7
8842
!7
7
7
727
2 7
7
677277
8 62
7
7
277
727
2 ! 7
! 7
7
8 42
7
7
7
727
2 7
7
677277
8 62
7
7
277
727
2 7
7
7
8 42
7
7
7
727
2 7
7
67727 !7
8 62
7
!7
277
72!7
2 7
7
7
8 42
7
7
277
7
2 7
7
67727 7
8 62
7
!7
277
72!7
2 7
7
7
8 42
7
!7
277
7
2 7
7
677277
862
7
7
277
727
2 7
7
7
842
7
7
7
727
2 7
7
677277
8362
7
7
277
727
2 7
7
7
2 7
7
727
2 7
7
7
727
2 7
7
67727 7
7
! 7
7
677277
7
6772"7 7
8342
7
!7
277
7
277
8562
!7
7
2!77
727
2 7
8542
7
7
277
7
2 7
8762
7
7
277
727
2!77
8742
!7
7
7
727
2 ! 7
! 7
67727 !7
962
7
7
277
727
2 !! 7
!! 7
7
942
7
!7
7
72!7
2 ! 7
! ! 7
677277
862
7
7
277
727
2 7
7
7
842
!7
!7
7
72!7
2 7
! 7
677277
62
!7
7
2!77
727
2 7
!7
7
42
7
7
277
7
2 ! 7
! 7
677277
62
!7
7
2!77
727
2 7
7
7
42
7
7
277
7
2 7
7
677277
62
!7
7
2!77
727
2 7
7
7
42
7
7
277
7
2 7
7
67727 7
62
!7
7
2!77
727
727
42
7
7
7
727
2 7
6772!7 7
7
7
7
677277
7
7
7
7
7
67727 7
316
12
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12342567
89
6
7
5757
562 7
17
17
27
3737
4747
3452
7
7
277
727
2 7
7
7
3462
7
7
7
727
2 7
7
677277
3752
7
7
277
727
2
! 7
7
! 7
3762
7
7
7
72 7
2 7
3852
7
7
277
727
2 7
3862
7
7
277
7
2 7
7
3952
7
!7
277
72!7
2 7
! 7
3962
7
7
2 77
7
2 7
52
7
7
277
727
2
7
7
7
62
7
7
7
727
2 ! 7
! 7
67727"7
7
6772 77
7
7
677277
7
7
67727" 7
8
8
ПУНКТ 2
1
12
58
98
#9 72$%
4& 2567
8
12
58
98
#9 72$%
4& 2567
2
7'7
6777
2
'77
7777
'77
7
32
77
777'7
7'7
7
'7 7
7
2
77
677'7
7'7
7
2
'77
7777
7'7
7
42
7'7
6777
'77
7
72
77
777'7
92
77
777'7
' 77
7
82
77
677'7
77
7
'7'7
7
2
7'7
6777
'7'7
7
2
77
777'7
2
77
777'7
'7 7
7
32
7'7
6777
7'7
7
7' 7
7
2
77
677'7
' 7'7
7
8
2
7' 7
677 7
7' 7
7
42
'77
7777
'7 7
7
72
'77
7777
7'7
7
82
77
677'7
77
7
92
77
677'7
77
7
3 2
7'7
6777
' 77
7
3 2
77
777' 7
7'7
7
332
77
677'7
'7'7
7
3 2
' 77
777 7
'77
7
3 2
77
677'7
7' 7
7
32
77
777'7
'7'7
7
342
7'7
6777
77
7
372
'77
7777
7 7
7
382
7 7
677' 7
7' 7
7
392
'77
7777
' 7'7
7
6777
77
7
2 7'7
8
8
ПУНКТ 3
1
12
(7
)7
*7
12
(7
)7
*7
2
7 3 6 4 7
7 5 6 4 7
! 67777
32
7 3 6 4 7
7 5 6 4 7
!
677'77
2
7 3 6 4 7
!
7 5 6 4 7
!
77767
2
7 3 6 4 7
7 5 6 4 7
777'67
2
7 3 6 4 7
7 5 6 4 7
677 77
42
7 3 6 4 7
7 5 6 4 7
67777
72
7 3 6 4 7
7 5 6 4 7
67777
82
7 3 6 4 7
! 7 5 6 4 7
677'77
317
ОТВЕТЫ. ИДЗ 8
12
123
423
523
12
123
423
523
32
2 6 1 16 2 7 3
8
9
2 6 3 16 2 7 3
7
67
263 37 13
452
2 6 1 16 2 7 3
7
2 6 3 16 2 7 3
263 37 13
442
2 6 1 16 2 7 3
7
2 6 3 16 2 7 3
7 7
163 3823
462
2 6 1 16 2 7 3
6
2 6 3 16 2 7 3
7 7
163 3 23
472
2 6 1 16 2 7 3
9
6
2 6 3 16 2 7 3
163 3623
482
2 6 1 16 2 7 3
8
2 6 3 16 2 7 3
767 69
492
2 6 1 16 2 7
3
6
2 6 3 16 2 7
3
7
263 3 13
4 2
2 6 1 16 2 7
3
7
2 6 3 16 2 7
3
9
263 39 13
4 2
2 6 1 16 2 7
3
767 67
2 6 3 16 2 7
3
6 77
163 3 23
4 2
2 6 1 16 2 7
3
7 6
2 6 3 16 2 7
3
7
263 3 13
432
2 6 1 16 2 7
3
7 96
2 6 3 16 2 7
3
7 9
163 323
652
2 6 1 16 2 7
3
76 6
2 6 3 16 2 7
3
7
9
163 3 23
642
2 6 1 16 2 7
3
2 6 3 16 2 7
3
7
263 36 13 662
2 6 1 16 2 7
3
9
6
2 6 3 16 2 7
3
7
263 3 13
672
2 6 1 16 2 7
3
6
2 6 3 16 2 7
3
7
6
263 37 13
682
2 6 1 16 2 7
3
6
2 6 3 16 2 7
3
9
6
263 3 13
692
2 6 1 16 2 7
3
7 7
2 6 3 16 2 7
3
99 7
163 3 23
6 2
2 6 1 16 2 7
3
67
2 6 3 16 2 7
3
7 7
163 3623
6 2
2 6 1 16 2 7
3
2 6 3 16 2 7
3
6
163 37 23 6 2
2 6 1 16 2 7
3
9
77
2 6 3 16 2 7
3
9
263 37 13
632
2 6 1 16 2 7
3
66 7
2 6 3 16 2 7
3
78
263 37 13 752
2 6 1 16 2 7
3
7 96
2 6 3 16 2 7
3
9
7
163 323
163 3
23
3
3
ПУНКТ 4
1
1
12
3
12
3
12
3
42
26331336263 3783
62
2633133 263 363
72
2633133263 37793
82
233 2633163 37 3
92
2633133 263 363
2
26331339263 37 3
2
26331336263 33
2
26331336263 3 3
32
2633133 263 363
452
2332633163 363
442
233726331338263 33
462
2633133 263 363
472
2633133 263 3 73
482
2633133 263 363
492
2633133263 3 73
4 2
233 2633163 363
4 2
233726331339263 37 3
4 2
2633133 263 3 3
432
2633133 263 363
652
233726331339263 373
642
233726331336263 3793
662
26331337263 36 3
672
233626331338263 3 3
682
23362633133263 37
692
26331339263 3 3
6 2
23326331336263 37
3
6 2
2633133 263 3 3
6 2
23382633163 377 3
632
23372633133263 37793
752
23362633133263 37 3
3
318
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПУНКТ 5
12
1
12
1
12
1
342
21131454161221617541819 1
542
2116175416122131454181 1
642
2 1 2 954 2 2 1 454
2
39 1
4
9
372
2 1 1 954
1
2 1 2 954
39 1
7
2 2 1 754
572
39 1
942
872
2 1 1 754 2 2 2 954
1
39 1
9
972
42
2 1 1 954 2 2 2 54
2
39 1
9
42
2 2 1 754
39 1
7
72
842
72
2 1 2 954
2
1
1
2 1 1 954 2 2 1 454
2
39 1
9
2 1 1 454 2 2 2 954
2
39 1
7
1
2 1 1 454
2
2 2 2 54
391
2 1 2 454 2 2 1 454
2
39 1
7
1
2 1 1 454
2
2 2 1 54
42
72
1
2 1 2 754
2 1 1 454
2
2
1
1
2 2 1 54
39
7
1
2 2 2 954
39 1
2 2 1 454
39 1
9
2 1 2 54
42
72
2 1 1 454
2
24
391
9
2 1 2 54 2 2 1 754
2
39 1
9
7
3342
372
21161 541813 22161751
3372
21161 54181 22131951
3572
3642
2 1 1 754 2 2 2 954
2
39 1
9
3842
1 4 1 2 2 1 754 3 9 1
3942
3872
22131 541813 21161451
3972
221315418121161 51
3672
1
1
2 1 1 954 2 2 1 454
2
39 1
9
2 1 1 454
1
2 2 2 954
39 1
672
2 1 1 954 2 2 1 454
2
39 1
9
342
39 1
3542
2 1 2 754 2 2 1 454
2
39 1
4
2 1 1 454
1
1
2 1 2 454
2 2 2 954
39 1
9
2
2 2 2 954
391
9
3 42
2116145416122161954181 1
3 42
2 1 1 954 2 2 1 454
2
39 1
7
3 42
2 1 1 754 2 2 2 454
1
39 1
9
3 72
2 1 2 54 24
1
39 1
7
7
3 72
2 1 1 754 2 2 1 954
1
39 1
9
9
3 72
21131 541813 22131 51
542
221317541819 21131951
5342
2 1 1 954 2 2 1 754
2
39 1
9
3 42
2 1 1 54
2
2 2 2 454
39 1
3 72
2 1 1 454 2 2 1 454
1
39 1
7
572
5542
2 1 2 454 2 2 1 454
2
39 1
7
5642
5572
5942
1
2 2 1 954
1
2 1 2 54
1
2 2 2 454
39 1
9
2116145418122131451
2 1 2 54 2 2 1 454
2
391
9
5672
1
22161454181321161451
5 42
1
5372
5842
2 2 1 954
391
9
5872
2 1 1 454 2 2 2 54
2
391
9
9
5 42
2 1 2 954
2
1
2 1 2 454 2 2 2 454
2
39
9
1
2116195416122131 541814 1
2 1 2 754
1
2 2 1 54
391
4
221619541813 21131451
319
ОТВЕТЫ. ИДЗ 9
1
12
1
12
12
1
3 2 1 452 3 1 2 652
1
37 1
9
78
3 2 1 652 3 1 1 452
2
37 1
78
9
3652
321 1 521 1
311 1451
3752
3892
321 12521 1 8311 1451
3 92
321 14521 172311 1751
92
3852
3 2 1 752 3 1 1 752
1
37 1
9
7
3 52
3 2 2 52 3 1 1 452
1
37 1
2
9
52
3452
1
1
3 2 2 52 3 1 1 452
2
37 1
9
9
311 18521 18321 1451
1
4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ИДЗ 9. ПРЕДЕЛЫ
1
12
12
32
42
52
62
72
12
12
32
42
52
62
72
32
12
142
32
812
19 2
12
42
92
12
2
172
92
12
52
42
812
32
12
32
92
62
12
72
162
12
92
5 2
72
832
52
12
92
32
132
82
92
812
72
132
42
12
92
32
132
12
8 2
1 2
5
12
2
92
12
3 2
6
132
92
12
2
72
12
52
872
12
3 2
2
3 2
32
52
172
52
92
52
332
92
12
812
92
492
12
342
92
42
52
32
8132
12
352
192
142
832
12
42
12
362
92
12
56 2
5
152
83 2
12
372
32
12
72
8162
1 2
4 2
5
382
12
842
172
42
92
89 62
392
192
62
12
62
172
3 2
92
12
432
62
8132
92
3 2
12
152
62
192
492
8592
92
432
42
12
2
2
452
162
62
472
12
15 2
492
31 2
6
4 2
32
4
92
12
4 2
92
12
81 62
132
14 2
1
1 2
36
442
52
1 2
3
132
32
92
32
12
72
162
462
92
42
472
42
162
12
8192
12
42
12
482
832
1
2
12
852
4 2
6
4 2
6
2
1862
36 2
3
9 62
352
4 2
132
75 2
92
92
132
12
172
9 62
832
9 62
3 6
13
2
5 2
52
1192
31 2
5
12
92
1
12
6
2
31
6
320
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 10. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
12
12
32
12
12
32
32
145625278292 1 2
14562 278292512
143252782923 2
1432 278292512
42
1432527829251 2
1432 278292 12
1451252782923 2
14512 278292512
52
145 25278292 1 2
145 2 278292512
145 252782921 2
145 2 2782925 2
62
145325278292 1 2
14532 278292512
145325278292 2
14532 278292 2
72
14 2527829251 2
14 2 278292 12
143252782927 2
1432 27829212
82
145 25278292 1 2
145 2 278292512
2
92
14 25278292 1 2
14 2 278292512
145325278292 2
14532 27829212
2
145125278292 1 2
14512 278292512
145125278292 2
14512 27829212
2
1412527829251 2
1412 278292 12
145782927 2
14 7829212
3 2
14325278292 1 2
1432 278292512
145782927 2
14 7829232
332
14 252782927 2
14 2 278292 12
141252782923 2
1412 27829212
342
143252782927 2
1432 278292 12
142 252782921 2
142 2 27829232
352
145 25278292 1 2
145 2 278292512
141252782923 2
1412 27829212
362
1432527829251 2
1432 278292 12
141252782923 2
1412 27829212
372
14252782927 2
142 278292 12
1457829251 2
14 7829272
382
1432527829251 2
1432 278292 12
14325278292 2
1432 278292 2
392
14 252782927 2
14 2 278292 12
145782927 2
14 7829212
3 2
14 252782927 2
14 2 278292 12
143252782921 2
1432 27829272
3 2
143252782927 2
1432 278292 12
145782921 2
14 7829272
4 2
146252782927 2
1462 278292 12
1423252782921 2
14232 27829272
432
141252782927 2
1412 278292 12
145782921 2
14 782927 2
14325278292 2
1432 27829232
442
145 252782927 2
145 2 278292 12
142 252782921 2
142 2 27829232
452
14525278292 1 2
1452 278292512
14 2527829256 2
14 2 27829212
462
14525278292 1 2
1452 278292512
143252782926 2
1432 27829232
472
14 25278292 1 2
14 2 27829272
141252782923 2
1412 27829212
482
143252782927 2
1432 278292 12
1432527829251 2
1432 27829232
492
14 78292 1 2
1457829272
14 252782923 2
14 2 278292 2
4 2
145252782927 2
1452 278292 12
143252782923 2
1432 27829212
4 2
1462527829251 2
1462 278292 12
142252782927 2
1422 278292225232
5 2
14512527829251 2
14512 278292 12
145782927 2
14 7829212
1
ИДЗ 11. ПРОИЗВОДНАЯ
ПУНКТ 1
1212
1
2
2
37
1
1
2 2 45 1 1 1 2 6
11 2 6
11 2 6
1232 35
7 89
1
2
2
1 352 2
2 2 2 2 21 7
2 2 21
2
4 4 3 89 2 2 2 2 2 1 1 32 2
66 5
5
2 2 21
88 7
7
4 4 3 7777 1242 1 2 3 3 7
66
193
88
1 1 8 1 1 9 1 1 1 8 1 1 35 9 21 46
1
1
7 5 1 8 3 7777 1262 4 9 1 1 911 1 11 9 14 9 1 3 7
1252 9 1
8 1
11
127271789 711717 5711 7171717617789
1282 8 5 11
45 1 1
1
11 71761717457637
2
3 1 1 45 8 5 11 2 1 45 1 1 1
51
8 5 11 2 9 1 1
7
43 7
6
8
321
ОТВЕТЫ. ИДЗ 11
1232
2 345 6 1
1 11
3 61
1 11
3 75 6 3 21 3 8 1 2 1 2 9 2 8 2 21 9 3
8 1 2 1 2 92
2
22 2
2 2 2 2 82 2 9 3
1212
22 2
3 11
1282 46 21 57
9
8
1
4242 2
75 2 8 1
1
12
311 3
4 21345 11 3 75 21 1
6
821 9
8
3
2 9
1
12
3 812 2 9
2 1
22
1
2
4262
3 1 2 1 758 1 1 19 3 6
1 11 221
4272 2 1 3 345 11 3 758 1
32 32 3
388 1 2
1 1 29
1
31
812 2 9
29 4 1 2 6 9
4
362
8
21
6
3 21 3 82 2 1 9 1 6 1 2 2
1 1 29
3 75 3
2 88 1 2
1
5272 8345 6 21 2 9
2
6232 345 21 1
1
2
2
3
29 4 1 2 6 92
3 6 21 2 3 821 2 9
6
113
2
821 1 9 1
2 11 1
21 3 4 1 2 6 2 8 1 2 1 294 1 2 6 5
7 4 21 2
9
3 2 46 2 3 2 57
8 2 2 345 2 9
2 345 2
2 345 2 2
43
1 43
2
21
6
5252
3
3 2 5282 875
3 21 1
1
1
221 3 875 29 3 21 2 3
3
6252
345 1
1 2 1 32
12 1
3
1
36 1 2 6 1 3 345 6 1
36 1
2 345 1 3 8 1 1 2 9 2
8 1 1 2 92
3 1 3 21
3 4 21 2 1 2 1 3 8 2 345 42 1 2 9 3 4 21 2 3 2 3
1 12
2
1
4282 8 36 1 91 11 2 3 75
1 2 1 2
2 345 2 3
5242 8 3 2 34582131 9 3 31 9 34582131 9 3 1132 2 1 1
5262 2 3 1 3
3 2 57 9
82 2 1 92
311 3 7581
1
32 821 9
3 21 421288 32234529988234522 3299 345 2
5
3 2 2 345 2 3 46
7
8 2 2 32 9
2 32
2
5212
6262
1
2 811 2 1 92
4
2
25
6 1 3 2 3 1 3458 1 1 1 3 9 3 1 7 8
9
1 83451 1 1 9 2 1 3 1345 2 1 3
83451 1 1 92
6
6242
23
2
4 21
42
5
25
6 82 2 2 91 2 7 1242 8 1 1 3 92 6 8 1 1 392 1 1 3 7 1252
8
9
8
9
2 3458 1 1 1 2 3 9 3 8 1 213 9
4252 2 2 3
5232
1 11
286 1 1 1 29 2 821 2 9 3 21 1
1
3 8 2 1 9
6
3 21 2 1 6 1 3
1272 6 3 4 7581 2 1 9 3
32 6 1 6 1 1 1 2
86 1 1 1 292
1 2 1 2
1262
4232
36 1
4 1
6
2 1
38
2 12
26
1
3 1 91 3 21 3 75 75
3 1 2 12 3
345 1
3 1 3 75 3 1
3 2 6212813 32283452998 3229 1
2 62 1
5 81 2 1 9 2 81 1 1 9 4 2
5
7
6
7
2 19
9
8
2
6272 1 3 1 3
8 1 2 1 92
3 4 1 1 4 1 3 1 1 32 1
322
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3451 6 1
1232 9789 1 1 2
3452 78 1 5
8 1 1
1 78 1 1 1 345 78 1 5
1
8 11
4252 4262
2 21
9 5 21 1
3 2 1 345 1 61 1 6 78 789 1 1 2
62
8 1 61
8
5 21
4272
9 2 21 1
332
6
8
4282 2 1 8 1 1 1 3 1 1 45 21 5 82 1 1
4242 3 7892 5 1
4232 9 8 78 1
2 5 1
1 21
1 1
1 21
8 11 2 9 1 5 1 1 3 11
1 8 11 1
15
8 1 11
4 313 2 1 2
7 6
9 8
4212 2 1
2 93 2 1
1
4 7
9
242 1 1 3 9 1 1 2 5 42 1 1 89 1 1 2 1 11
3 1 9 1 1 2 1 78 1 1 1 3
4 3 5
4 9 8 2 1 3 2 3272 36 2
1
1
5 781 9 3 5 1 3 5 1 79 68
5 78 1 9 3 5 1 3 5 1 79
8
12
1 1 8 1 2 911 1 2 3 1 1 321213 19 81 113 1111178 8 1 1
3242
5
781 9 1 9252 2
92729913
9212 1
1 21
1
51
21
5
1
1
1 91 2 1
1 1 21 9 21 59 51
9 21 1
1 9913 1
26
3232 9 1 5 1 2
45 1
1
3
1 1
1
1 789 1 5 1 2 5 45 1 1 5 212
151
9262942 82423 2 942 82423 2 92826111 8191 11211 891 13 91 141 1 789 1 1 5 1 2 41 1 1 111
1 5 1 9242 1 1 3 893 921 2 1 22 8921 2 78 1 9 1 1 5 1
2 3 1 921 2 9232 345 1
1
252
1
1
4
7 9
3 78 1
3
4
1 11 1 6 11 1 78 8 78 1 5 1 1 1
1
3252
8 78 1 1 79
345 1 1 5 2 5 1 8
12
3262 42 1 45 2 5 42
3282
1 21
3
1 21
11 1 345 2 61
9 1 1 2 789 1 1 2
5 78 1 1 5
8 11
2 93 2 1
2
5
41 1
4
1 36 141 1 1 78 345 1 2 41 1 1
1
1
3459 1 1 1 8 1 9 1 1 79
8
1
1 1 8 9459 1 1 2 4 1 3 9459 1 1 2 41
1
3 1 9 1 1 2 41
1
1
1 911 2 4 1 1 1 1 2629421 82242121 81213 2 9141213 224121 8221221 3 31
2
272 6
1
8 5 13
212
2 91 5 3
1
4 3
7 6
9 8
2 91 5 3
1
2
113 4
282
5 131 79
11 1 1 41 5 4 1 1 789 1 2 5 1
242 2
1
1 2 5 1
5 911 1 78 1
1 1
232 345 4
5 252
21 1
1
2 11
2
1
1 911 2
8 1 11
911 2
1 1 1 78 1 5 11 1 78 1 1 78 1 1
1
1
1
2 11 1 345 11
1
1
41
41 4
32
6 1 1 78 345 5 1 1 3459 4 1 1 5 41 1 1 1 7 8
9
1 3 8 1 5
2 11 1
2 9 1 1 1
1
5 262 8299 3 2 323
ОТВЕТЫ. ИДЗ 11
1
12343 1 5 1
2
12363
12383
1
2
2
3 2 1 5 1 4 3 4444 12353 52 2 678922 1 5 91 2 5
6
1 79
678 2 922 1
8
21
2
22
12 1 2
1 52
678 2 2
2
1
43
62 3
11393 43 3
11343 63
8
22 2
11363 1 922 2 5 1
55
1
11383 9 1 5 2 2
62 9 2 2
3
6
19393 6
8
19353
1
15
62 3
14313 5
62 9 9 2
2
3 22
6
8
22
22 52
1 22
6 2 22
2 678 2
2
22 2
8 6 8 2 1 3 4
2
62 2 3 4
2 2
6 2 3 4
678 2
1 5 22
3
6
6
8
63 1 5
5 678 9 9 2
22
62 9 2
22
6 2 5 21 5
8
652
52 4 3
7 4
1 5 22 9
1
2 5
2 6781 1
9 25
678 3
4
2 1 5 6 3 77 3 444 19343 1 5 1
9
63
2
6 3 5 678 3
15
3 444 19363 2
1
678 2 2
1 678 2
2
2
1
6 2 8 2
1
922 5 2
21
8
1
2
25
1
1 1
1
4
6 2 9 2 2 5 1 5 22 678 2 2
3 4444 15363 1 9 2 5
92 2 5 1 2
55
5212 5
52 2 22
56
6 23 34
1
1
1
62
21
2
55 678 52 3 4444153134 69244 41
652
1
5 15 47 36 4 1
62 9 2 2 1
9 8
5
2
2
22
32
61
8
2 678 5 2 1 3 4
2
2 3 444414393492 678 34 4 6 3 92442
1
2
2 2 1 9 2 5 5 1
25 5 1
1
2 43
4444 14353 2 2 8 2 5 2 2
62 1 79
2
2
153934 4 467893445 67893445 34444 15343 36
8
1 1
2
34
62 922 5 1
43 4
7
9
678 3
4
2 1 5 6 3 77
9
63
22
3
6
8
5
3
1 52 8 2 12 23 4444 19383 2
1 678 2
21 2
2 2 5 9 2 2 5 1
4
7 3 4444 11353 5
9
9 4 2 5 1 5 678 2 4 2
1 5 22 2
3 4444 14373
9 4 2 5 1 2
14383 9 652
15353
1
2
6 3 5 3
15
1 9922 5 1
5 2 3 4
22 2 5 1 5 678 2 2
1
1
62 91 5 8 2 2
14343 9 1
42
3
8 1 5 2 2
6
8 1 5 2 2
22
34
4 4678 9 2442 4 49 44522 34
5 678 2 9 2 2 5
92 2 2
19373
14363
678 2
2
1
19313
1
62 9 2 5 1
4 3
7 6
9 8
1
2
22 3
4444 11313 22 5 678 22
5 5 43 67893
693
2 678 5 2
113734678 9 6 9 2442
1
3
1 2
8 2 122 2 3 4444 12373 5 678 922 5 1
6 22 89 2 2
2 14
1
5 42
62 9 2 5 1
21
6922
12 2
2
3
4
25
52 2 1 3
4
2 25 2
9144 4 34
1
4
2
43 4
62 9 2 2 1 79
2 5 23
4
62 2 2
4 1 47 3 4
9
122 2 3 4
324
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12343 1 45 67899
63 1 3
23 1 1
12353 6789 11
16313
4
7899
3
4 15 3
2
63
13
3
7
2 6
8
1
1
1 311
2
4 45 6789 11 9 2 3 1 4 1 1 6 5
789 11 2 9 3 1 8
7 1 2 3 11
2
4 1 11 9
1 1 9 6 1 9 3 1 1 57
9
71638369 623 49
2
63 1 3
2
2 9 1
2 9 3 1 1 68
1 61
5623 4 52 6 5623 49
29
623 4 52 1 9 3 4 45 2 1 1 9 3 4 45
13 2
2
4 21 16393 15 2 1 3
16323
3
2 9 45 1 61 1 3 2 1 1 3 2
9 1 1 9 3 68 57 9 1 1 9 3 1 9 31 68
71 9 3
6 9 9
1 2 3 1 9 61 9 5 1
16363
2 3 1
29 11
16353 6 5 11
1 2 3 1 16343 3 4 9
1
1 4 5 1 4 1 3 9 1 1 9
1
1 1 1 45 5 11 9 2 9 1 4 1 9 11 2 5
5 11 68
7 1 2 9 1
11 9 2 6 4 1 9 789 1 3 4 1 9
6 1 1 9 45 1
1
9
2
1 1
14313
1438361221 623221 1
1
6 4 9 789 1
14393 31 2 9 2 3 2 6 3 45 3 1 36 1 9 45 1 14323 3 3 9
1
14363 9
1
1
11
6 1 1 3 2 3 11 4 11
611 3 2
14353 6 2 9 3 1
5 1
1
1
5 9
7
14343
1 4 45 2 9 3 1 9
2
15313 2 6 4 1 9 789 5 1 9 45 1 15 4 1 9
1
2 3 11
7
11 4 5 11 4 3 3 1 3 2 9 9
2
211 4
789 561 3 3 2
2 3 61 3 3 2
5 1 4 2 62 9 3 1
2 9 31 31
1
1 11
4 2 63 1 3 2
3
3
3
4 3 2
4 3 6 8
2 1538362112 6232 6
8
1
15393 15 31 2 9 21 3 2 26 6 31 3 1 3 6 1 9 1 15323 1 4563 1 3 2 4 211 31 3 2
9
1
7
8
1 9 1 1 4 3 9
15363 1 1 4 5 3
9 11
15353 67899 1
1 29
1
12
5 62 9 1
7
3 1 15343
31
1 313 11 4 4 6 1 9 1 1 9 6 1 1 9 4
4 4 45 7899 1 3
2 9 1 4 2 7899 1 2 9 1 1 86
2 9 23 1
1 383 12 9 789 2 9 2 1
6 1 9 1 1 45 292
2
2 1
1 393 15 31 3
2 9 6 1 9 3 1 68 57 2 9 6 1 9 3
7
1 363
1 1 6 1 1 3 3 11 611 9 2
611 3 1
1
3 113 26 1 323 2 63 3 1 1
8
3
6 32 1
2 3 12 2 9 21
11 9 3 3 1 1 4
21 1 4 5 3 1 3 3 9 3 1 63 9 1 2
4 3 1 343
2 9 451 63 1 3 3 1 3 5 1 3 1
1 353 6451 1
4
1
14
5
7
1
4 2 45645 1 1 9 4
1 1
1
2
4 11 3 2 4 1 4 2 26 1 313 3
45 1 1 8
2 9 11 3 1 1 11 3 1
9
1
1
11
325
ОТВЕТЫ. ИДЗ 11
123431231456111713145613181912316
12363 3 3 9
23
12383 6
131171316
3
6 4 3 9 33 111 12373
3
4563 3
118
2 1
3 3 52 1
1111 12353 41 2 3
4563 2 3 6 2 8 85 74 4563 2 3 6 2 8
7
8
2 6 36
3 9 456 3 9 8 2 3 6 8 3 23 6 6
3 9 3 6 4563 9
4 383
33
9 33 3 6 4 3 9 233 3 8
9
42 3 33 8
1 3
4 393 23 3 8456
41313
9
1 334563 9 6
4
7
3 6 3 3 3
41373 3 9
9 3 111 4 373
3 9 23 3 8 6 4563 3 9
3 3 111 41343 2 411 9 1 3 8 31 3 3
9 46
4563 3
2 3
36
1
33 4 3 9
6
3 3
44313
44373
46
6
42
6 33
2 3 3 8 2 3 345633 82 3 3 3 3 8 3 2 3 3 6
2 3 3 3 3 83
3 3
9
33 82 3 3 8
1
2 1
5
38
32
32
1111413531233171 12 81281912 12 81311 28 1
13
3 2 3
2 1
9 14 3
5
3 38
7
9 2 3 3 3 8 6 4 3 3 9 3 3 3 3 3
3 6 2 4 3 3 38 9 4 3 9 46 23 3 8 3 4562 4 3 3 38 9
44353
3 25 2 2 3 456 3 8 1
8
3 296
3
9
1
33 3 3
456 3
3 8 9 2 3 3 3 8 6 4
33 3
9 4563 3 2 36
41393 2 3 3 3 8 4
3
3 33
2
3 8 9 2 3 3 3 6 38 3 456 3 14 3
5
3 3 638
7
1
3
2 3 3 3 6 38
4563 3 2 3 6
41363
1 3
3 3 1
3 3 11
6 2 3 33 83
3 6 33 6 9
41383 4 456
36 8
9
2 1111 4 313 4562 3 6 3 6 3 1 8 2 6 2 6 33 8 8 1
3 9 4563 3 58
1 31 2 3 1 3 8 6 1 3 9 31 2 1 3 1 3 6 1 9 31 2
1
4 343 4
5 4 2 3 1 3 83 5 1111 4 353 4
2 3 1 3 83
7
8 7
8
7
6
36
3 3 2
6 3 3 3 38 9 4562 3 6 3 3 3 38 14 6
9
1
3 3 3 3 4563 3 5
3
7
8
12393 2 3 8456 3 14 36
7
4 363 3
32
3 3 8 9
3 23 3 83
3 8
1
1111 44343 21 3 1 3 8 14 25 1
7 3 1 8
2 1
2 3 4 2 4 3 8 111 44363 3 456 2 3 6 3 8 3 3 9 456 2 3 6 3 8 9 6 2 3 6 3 8 9 14 6
5
3 38
7
9 3 3 5 2 3 3 8 9 3 3 9
44393 244563 84
3
21
45343 41 9 6 41 1
1
4563 3 1111
44383 3
1 4 3 44563 3 4 3 9
9
4
44563
7
6 41
1 6 41
6
3 23
3
2 1
9 14 6
5
6 3 3 3 8 7
3 3 3 8
2 1111 45313 3 6 2 3 6 3 3 82 6 33 8 6 1
5
3
3 3 3 8
6 296
1111 45353 41
3
7 456 2 3 6 2 8
2 1
3 25 41 456 3 3
4563 2 3 6 2 8 58
8 7
326
12343
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
3727
237727
9
21
3727
9
1 5 46
8
14323 3 4 1
14353
8
3 18 81 5 2 1 9 1 81 2 3
2 81
24
735773
73727
37727 3727
2 1 14
81
2 91 5 6 7
31 2 1 95 1 2 1 9 79
31 2 1 95 3
23567
31 8 1 21 5 941 2 1
2
67
9 3 11 2
9
4
91 1 2 1 3 1 2 2
6
12
2 6 9 3 1 1 45 8 2 31 2 2 1 5 3 8 1 1 4 2
1 2 2 1
88
21
5
7
76 7
9
1
3 1 3 2 42 5 3
1
9 32 1 1 8 51 3 181 2 5 1 1
15353 2 1
15373 3 2 1 5
16383 1 3
2 1
4
261
8
3 9 1 32 3 3 2
23
1 3 2 32 1 3 5 3
32 1 3 52
15323 4 3 9 1
1
9 1 32
3
9 1 32 6
7
3 1 3 2 42 5 2 1 4 1 1 56 7777 15343 1
9
2
1
2 2 1 18
2
2 11 1 1 12 11 1 2 321 1 856 7
2 321 1 85
9
2 21 2 5 6 7
6 7777 15363 46 1
9 1 2 3 3 1 2 5 3 1 79
8
92 1
1 2 5
2
2 3 2 1 5 3 21 2
76 7
2 21
2 1
9
1
3 922
21
1
21 6
16313
2 1 2 7777
3 32 3 9 1 3 2
32 3 9
3
32 3 9
14 5
16323 46 4 2 3 14 5 3 4 2 1 1
3 11 2 3 145 1 1 2 1 56 7777 16343
2 1 79
8
1 1 2 1 2 3 1 1 321 2 1 95 2 9 32 3 1 5
1
16353 1
231
16373 331 2 3 955
1 3 1
18
1
6 7777 16363 1 31 1 2 1 95 2
1 2 31 2 3 955 3
1 3 32 3 9 1
32 3 9
1
2 11
1
2 91 6 7
31 2 3 95 1 2 3 9
4
2 3
21 1 1
123 6
6 7777 17313
67
7777 17323 1
9 3 321 3
1 52
9 3 32
39 3 3 2 52
1
2 8
1 3 1 1 2 6 7777 17353
9 1 21 2
32
3
32 3 9 6
2 22 1 3 1 1 2 2 21 2 26 7
41
67
9 3 31 1 2 1 952
1
17343
18
1 3 1 1 56 7
3 1 1 5 2 3 1 1 5 3 9 1 2 9 2 21 6 7
15383 1 2
921 2
2 9 39 1 81 2 5
1
222 1 3 1 2 3 95 1 2 21 2 21
1 2 4 1 1 57 6 7777 14343
67
49
3 1 2 3 952
2 1 1 1 1 2 1 1 2 6 7777 14363
14373 31 2 2 1 5
17383 1
8 81
2
1 1 1 2 2 1 539 3 1 5 1 9 3 1 2 2 1
931
67
39 3 1 52
321 2
9143137327
15313
2 81
1 9
2 6 7777 12373 331 2 1 955 8 1 46
2 1
1
8
12363
14383
1
2 11 1 3 141 53 1 2 1 15 1 2 11 1 2 21
6 777 12353 8
3 1 2 1 152
1
12 1 1 2 2 3 81 1 2 1 1 2 9 32 3 81 5 2 8
67
3 2 3 81 52
7
327
ОТВЕТЫ. ИДЗ 11
12343
3
1
21 1
1
3 3 1
15383
1 941
1
1 1 6
4 6 1 11
6
78 1 1
1 383 678 2 41
13
1
6 9 1
7 383 4 3 678
2 21
2
1 2
88 31 3 6 1 9 3
78 1 6
6 1 3 9 1 3
9 1
812 678 2 3 2
2
1 678 21
2
12
1 21
41
7 323 966 9 1 1
3
1
12
678 2
1
33
3
11 3 9 2 1
1
1
13
1
6 1
9
1 1 5 1 2
41
19
1
1
1
25
5 7
9 2 822
2
9
2 25
5 21 7
1
5
2
12
1 3 1
3 1
1
21 3
1
3 912
2
21 3
2
2 3 21 1 78 3 14 1 1
6 6 3
3
1 92 1
31
2 921 1
2 5
11
1 6 11
11
1 21 1 66 9 1 1
4
6
5
1 3
12
66 9 1 1
1
11 3
3 3 911 1
1
2
2 3 2 25 5 7
3
3 5
1 3 1 1
3
1
3
3 11 1 5
9
1
2 21
1
1 5
6 1
1
95 7 373 932 4 3 678
1
5
5
21 3 3 6 9 1
3
9 1
1 31
1
21 1
3 3 912 3 1
3 3 1
5 1 343
3 91 1
678 91
9 3
22 1 25
7
3
1
2
1 6 9 13 5 4
3 141 1
3
1 6
1 78 11
912 3 1
8
9
7 313 14 3 1
6 6 2
7 343
2
1
6
3
3 2 1 22 2 2 2 3 2
5 4
2
3 3 2 1 14 4 7 6
1 2678 1 41
1
2 678 9 1 7 363 2
7 393
912 3 1
1 11 3 31 3 3 6 9 13 9113
1 323 96 1
83 4
31 1 431
41 2 5 15343 3 6 978 4
6 1 4 3 1 1
2 1 6 1 6 1 92 1 6 1 93
92 1 6 1
1 3
1
1 373 911
6 1
115 2
1 313 41 42 4 66 2 3 42
4
6
1 393
1
2 3 3 11
941
912 3 1
15323 96
1 2 1
6
34
9 311
3 9 3 1 1
15393 2 5 12323 9 2 1 2
3 2 57
1 941 2
3
3
5
3 35 15313912 91221 5 15373
133
1 6 1 1
1
78 1 1
1
15363 3
1 363
341 1
3
13
678 941 2 3 2 46
25
5 7
5
328
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПУНКТ 2
12
1
32
23 456 711
52
1
1 1 1 2 456 1 1 1 3
1 1 1 2 456 1 1 1 1 1 29 1 3 1
3 29 1 2 6 2 1 1 1 37 6
1
2
332
111 456
2
1
123 6
1
1
1 3 3 2 1 4 1 1 3 3 2 1
8
23
1 23 2 1 1 3 11
5
372
3
432
1 3 1 2
14
6
22
4
2 29 1 3 1
3
1 83 1
2 3 221 1
1 3 1 2
1 25
6
1
6 1 3 3 6 2 1
1
456 2 1
456 3 1
211
5
7
1 221 9
1 46 2 1 1 2 2 1 3
8
5
5
7 46 2 1 1 5 3 23 1
7
2 1 1 5 9
8
1 221 1
2 1 1 5 1
8 456 311
452
472
87 1 1 2 12 1 1 7 2 12 1 1
1
9 2
1
71 1 11
5
71
1
1
1
11
3
2
62
1
2 1 2 1 12 3 1 2 1 2 3 1 1 1 3 1
8
1
4
12
4
5
1 8 6 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 15 3 1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 7
88
9
82
2 11 1 1 29 1 2 2 1 29 1 3 3 2 11 1 1 9 1 2 1
1
2 1 2 1 2
1
1
2 456 811121216
1
3
211
4 2 1 2 3 221 1
5
6
7
2 3 221 9
8
3 2
42
2
1
2 13 1 3 2 1 13 5 1
8
352
392
1
11111
3
1111
4
7 6
1 3 2 2 6 2 1
1
456 2 1
456 3 1
92
1
1
89 6
3 89 1 6
72
1
12
1
11
3 2
79 6
1
342
3
1
3
3
1 1 1 1
4
1 1
111121456 11112111
3
1
5
1111
8 456 311
1
3 1 3 27
382
4 2
8111211
5
1299 6
362
3 2
3
18 456 811121
1
1 1 3 27 1 1 3 3 1 3
1 3 32
1 1 3 2 1 1 3 1 1 3 1 3 227 1
1
1 1 3 22
1 27 1 3 1 3
5
1 2 46 1 2 1 1 4 3
7
2 1 1 4 9
8
2
2 1 1 4 1
2
442
8 81 2 8 2 1 1 3 2 81 1
462
9 456 2911
1
89 482
492
27 6 7 1 3 8 6 2 7 1
1
456 2 7 1
456 3 7 1
4 2
4 2
7 1 2 1 3 1 3 1 3 2
1
11 1 1
5 2
1 2 1 3
27
8 2
1
1
1
1 1 2 11
1 1 3 1 21
7
1
1
1 1
1 1 3 8 2 456 7 1 3 456 7 1 2 7 6
6 8 81
16
7
1
8 1 456 8 1
1
329
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
ИДЗ 12. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1121 34567891 3
5 1 1 2121
7 1 71 371 33 681 3121 8 651 3
67861111461214121167151218 651 537813113
83781416121831
461712167 83818121 6 1
191!5151
291!"1#1
!$1#1
#1%#1
3911&1!51!'111!$151
491
2&1!'1!$1
()*1+1
(,-1+1
!$1+1#1
!'1+1$1
89
1213
5913&1!51!.1
4&1!.151
691!.1%1
79121
1
191!51$111$151
291#1#1
3911&1!51#111'151
491
2&1#1$111$1'1
()*1+1
(,-1+1
'1+1$1
#1+1#1
89
1243
79
5913&1!51$1
4&1$151
69121
6 $
6%
'
7%
$
1
1
191!51"111"151
291#1#1
3912&1!51#111"151
491
1&1#1"1
()*1+1
#1+1#1
89
1253
5913&1!51!$"1
4&1!$"1"111
11"151
69
8
9
" $ 1
$ .
791 1+1"1
1+1/1
1
39 1& 5 . . 1
191!51!.1111
11!.1.111.151
291#1#1
1 . . 5 2& . . . 1 . . 1
1
49
()*
(,-
6 . . 6 . .
6 . . 6 . .
1
1 . . .
89
1263
5913&1!51!.111
11#1.1
4&1!.1#111
11.151
79
691#1#1
6 .
6 . 1
6$
.
1
1
330
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12123141151
32123678419571
2941951
4212 12314136511129411571
3 123641951
5216
6
116236511371
1162951191
2
1234
7214 1231413978571
5 12397841151
8212397841351
9211
1
1212314136511123641151
32123419571
29417851
4213 1231413511126411571
2 1234136511123641651
5216 1162651171
6 1162351191
2
1214
7215 12314136571
4 123641151
92
8211
6 767
1
6
66
88
1
12123141951112941151
3212641951
4213 1231419511126411571
2 12941651
5216
1162651191
2
1254
7214 12314195111
112941678571
5 1267841151
9
82 4 1
921 11971
6111
1
12123141951111
1129415111241151
1264
4212 12314195111
3211
1124151112411571
5216
116251131
3 1294151
2
7215 12314195111
112941571
8211
4 1241151
921 11971
1171
61191
1
12123141151
32123419571
2941951
4212 1231413571
3 12341951112941151
5216
116235113781
2
5234
7214 12314135111
1129411571
5 12341951
82129419571
234151
9211
1
331
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
1212314135611123541161
3212741861
421291231413 61112 4116 1
39123 4135611123541 61
5216 1162 611 1
6 11623 61131
2
1234
72149123141356 1
59123541161
8211
921 1135 1
611 131 1
1
12123141 61112 41161
3212741761
421291231413 61112 4116 1
39123 41 61
5216
11623
611 1
2
1214
721591231413 6 1
49123 41 61112 41161
82123 41 61
921 11 1
61171
1
1212314135611123541161
321254176 1
2741561
42139123141361112354116 1
29123413561
5216
116236115
1
2
1254
72159123141356111
112354156 1
8212541761
4912541161
921 1135 1
6113 111
1
12123141161
321234176 1
24176 1
27413 861
4212912314136111254116 1
3912341561
5216 116256113 1
6 1162361171
2
5264
72149123141356 1
59123541161
821235413 61
9211
1
12123141561112541161
3212741 61
4213912314135611124116 1
2912354156111254161
5216 1162356115 1
6 1162611381
2
5234
7215912314156 1
4912541161
8211
921 115 1
6113 131 1
1
332
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12123141561112541161
32127418691
28413761
4212 123141561112 411691
3 12541 61
5216
1162
6119 1
2
1234
7214 12314156111
112541691
921 11591
61181
82124161
5 1241161
1
121231416111241161
1214
4213 1231416111241161
3212841861
5211
2
7215 12314136111
112841691
4 1234186111
82128418691
2341389 61
921 1191
611371
11241161
1
12123141161
32123418691
2418691
284161
4213 123141361112411691
2 1234161
5216 1162611891
6 1162361171
2
5264
7214 1231418691
5 12841161
821284161
9211
1
12123141561112541161
4212 123141861112411691
3212841861
3 1284156111254161
5216 11628611891
6 1162611371
2
5274
92
7215 1231415691
4 12541161
6 59
1
6 6 7 7
5
8211
1
121231416111241161
32123418691
284161
4212 1231413561112411691
3 12354161
5216
11623561139
1
2
5234
7214 1231413 691
5 123 416111
11241161
8
9
82 7 4 7 7 1
5
921 1191
61181
1
333
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
42 37 1 122 1 34 1
12 1 122 1 34 1
1 1 1 32 34 1 5
3251625645
1 1 1 32 34 1 132 2 48 5
47 1 132 1 34 1 1 32 34
1 1 32 2 4
52569 5 561 345 58385
695 561345 5 835
2
1234
92
72 5 7 1 122 1 34 1
1 1 1 32 648
5
8251625645
6 7 162 34 1 1 32 2 4
7 1 38
7 38
671
3
5
5
1251 225245
3251 256485
1625645
4254751 225 451516252485
3751 25645
52569 5 561645 5685
695 561 45 55
2
5264
7256751 225 485
5751 25245
8251 2545
9255
5
1251 2254515125245
325162545
4253751 225645151252485
4751625451512545
52569 5 561645 585
695 56145 5 5
2
5274
7255751 225485
675125245
925 5 585
65 5 555
8255
5
1251 225 45151 25245
3251625645
4253751 225 451516252485
4751 25645
525695 561645 565
2
5284
7256751 225 4515
55555151 25683485
5751 68325245
9
8
82 2 1 5
925 5 5 85
65 5 5
5
1251 225 4515
151 25645151625245
5234
4254751 225 45155
3255
151 256451516252485
52569 5 561 45 55
3751 25 45
2
7255751 225 4515
151 256485
6751625245
8255
925 5 5685
5 5 85
65 565
5
334
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12123141151
32 2 464 758
264 758 1
74 6 6
9
2
3
4215 1231413651112 411581
6 123641 51
5216
6
116236511781
1162
5111
2
1234
7217 1231413 581
8 123 41151
82123 4151
9211
1
12123141 51112 41151
32127417581
23941751
4216 123141351112411581
5 12341 51112 4151
5216 1162511981
6 116235111
2
1254
7218 123141 581
7 12 41151
92
8211
9 8
69
1
1
12123141351112341151
3212741751
4215 123141351112411581
6 1234151
5216
116251181
2
1264
7218 12314135111
112341581
82124151
7 1241151
921 11381
61171
1
121231415111241151
3212741751
4215 12314151112 411581
6 1241 51
5216
1162
5113
81
2
1274
7217 1231417581
8 127415111
92
8212741751
11241151
9 8
694
6
1
4 7
6
1
12123141151
32123 417581
2417581
2741351
4215 123141751112411581
6 1274151
5216
6
11627511381
116251171
2
8234
7217 123141 581
8 12 41151
8212 41351
9211
1
335
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
1212314135611123541161
32127413861
421291231413 61112 4116 1
39123 4135611123541 61
5216 11623 611 1
6 1162 611351
2
1234
72149123141356 1
59123541161
8211
921 1135 1
61137 115 1
1212314138611123841161
321274136 1
2841761
42129123141386111284116 1
39123841861
1
5216
1162861171
2
1254
72159123141386111
6
82 4 8
11238416 1
491241161
8
71
921 1138 1
61131
1
12 2 814 8
1 28
86 1
86 1 1
84
3212741761
84 1 6
12
1264
42 39 2 814 8 6 1 24 1 6
86 1
29 2 84 8
1 28
12
86 1
84
1
5216 11626118 1
6 11623611381
84 6
2
72 5 9 2 814 8
1 274
4 9 28
12
86 1
86
84 76 1
92
1
8212741761
84 1 6
12123141161
6
32 74 8 2 884 76
71
8
98
1
8
9
695
8
1
42139123141386111254116 1
29123841561
5216 116256113 1
6 11623861171
2
7284
72159123141356 1
49123541161
821235413 61
9211
12123141861112841161
3212 4176 1
2741561
42129123141 61112 4116 1
3912 41861112841 61
1
5216 1162 6117 1
6 1162 611381
2
7234
7214912314186 1
5912841161
92
8211
98
6988
8 1
1
336
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1212314135611123541161
3212789417681
2741 61
4212 1231413561112 411681
3 123541 61
5216
1162
61131
2
1234
7214 123141356111
112354189681
5 128941161
6
7
82 4 8 1
921 113581
61171
1
12123141561112541161
3212741761
4213 123141761112411681
2 1274156111254161
52 6
6
9 6276 9 78
1
9 626 9 8 9
2
1254
7214 1231415681
5 12541161
8211
921 11581
6113 1311
1
12123141161
32123417681
2741761
4212 1231413611127411681
3 12341761
5216 11627611781
6 116236111
2
67264
7215 1231413 681
4 123 41161
82123 4161
9211
1
1212314135611123541161
32123 417681
2 417681
2741361
4212 12314135611123541161
5211
2
67284
7214 12314135681
5 123541161
8211
921 113581
611 13151
1
12123141761112741161
67234
3212 41761
4213 123141761112411681
2 1274161
5216
1162611891
2
7215 12314176111
112741681
4 1241161
82124161
921 11781
61171
1
337
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
12123141561112541161
32 2 2 7 84 56 1
42139123141561112 4116 1
4912541 61
5216
1162
611 71
2
12345
7215912314156111
112541161
8211
921 115 1
611 1
1
12123141161
3212 4156 1
254156 1
2741561
42149123141 611124116 1
3912 4161
5216 1162 6115 1
6 1162611 1
2
11315
721591231416 1
691241161
82124161
9211
1
121231413 611123 41161
32125417 761
4213912314137611124116 1
491237413 611123 4161
5216 11626117 1
6 11623761131
2
11365
721691231413 6 1
59123 41161
8211
921 113 1
611 111
1
12123141561112541161
321241561
4213912314156111284116 1
4912541861
5216
1162861137
71
2
11375
7215912314156111
112541 6 1
8212 41761
6912 41161
921 115 1
61151
1
1212314136111
112341561112541161
4213912314136111
3211
11234136111254116 1
5216
116236113
1
4912341561
2
11345
7215912314136 1
691234156111
112541161
8211
921 115 1
113 1
61151
1
338
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
32 2 2 64 758
12123141151
2 64 758
274 75
1
421391231413 51112 411581
49123 41 51
5216
6
11623 511381
5111
1162
2
12314
721591231417581
6912741151
8212741751
9211
1
12123141 51112 41151
32126417581
27413851
421491231413 511126411581
39123 41 51112 41651
5216 11626511781
6 11623 51131
2
12324
72169123141 581
5912 41151
8211
921 11 81
61178 13181
1
12123141751112741151
3212 41751
42139123141751112411581
491274151
5216
116251181
2
12354
7216912314175111
1127416581
821264151
5912641151
921 11781
61171
1
12123141351112341151
32123417581
27413 51
42139123141351112411581
491234151
5216
11625113
681
2
12364
721591231413581
691234135111
8212341751
112341151
921 11381
6113 1311
1
12123141151
32123417581
2 417581
2741351
421391231413 51112 411581
49123 41 51
5216
6
11623 511381
51171
1162
2
15314
721591231417581
6912741151
8212741351
9211
1
339
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
12123141561112541161
321274189861
4212 1231413 611128411691
3 123 41561112541861
5216 11623 611891
6 1162861131
2
12345
7214 1231415691
5 12541161
8211
921 11591
6113 11 1
1
1212314135611123541161
3212741761
4213 12314135611127411691
2 123541761
5216
1162761171
2
12325
7214 123141356111
1123541 691
5 12 41161
6 7 1
82 4
921 113591
6111
1
1212314135611123541161
3212741761
4213 12314135611123541 691
2 12 41161
52 6
8 62 6 8 1
2
12365
7214 123141356111
1125411691
5 123541561
6 7
82 54 1
921 113591
61171
1
12123141161
32127417691
241761
4213 123141761112411691
2 1274161
5216
6
1162611391
1162761171
2
16315
7215 123141691
4 1241161
821241361
9211
1
121231413 611123 41161
3212 417691
27413 61
4212 123141361112 411691
3 123413 611123 41 61
5216
6
1162361191
1162
61171
2
16345
7214 1231413 691
5 123 41161
8211
921 113 91
6113 111
1
340
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12123141356111
1123541561112541161
321274138691
28417691
23841761
4212 123141356111235417691
3 12741561112541161
5216
11627611381
2
12345
7214 123141356111
1125411691
8211
921 11591
113591
61131
32123541761
4213 1231413691
2 12341761112741161
5 123541561
1
12123141761112741161
52 6
6 62 76 6 1
2
12325
7215 12314136111
1127411691
4 12341761
8
9
82 74 1
921 11791
61171
1
12123141161
321235417691
2417691
2741361
4213 12314135611125411691
2 123541561
5216 11625611391
6 11623561171
2
16315
7214 1231417691
5 12741161
8212741361
9211
1
1212314138611123841161
32 2894 769
1
74 8 9
4213 123141396111
11289411691
2 123941386111
5216 116289611791
6 1162396113871
11238418961
2
16375
7214 12314138691
5 123841161
8211
921 113891
611 1311
1
3212379417691
1212314138611123841161
274161
16345
4212 12314138611127411691
3 123841761
5216
116276111
2
7214 123141386111
112384179691
5 127941161
8 9
82 8 4 1
5 921 113891
61171
1
341
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
32125417681
27413961
1212314135611123541161
12345
4212 12314135611123541161
521
1
2
6213 123141356111
112541 681
72125417681
2 4178 61
4 12354156111
8219113581
1191
112 41161
1
12123141161
32127417681
258 41761
4212 1231417611125411681
521
5 12741561
11
11
256113981
2761171
2
16315
6214 12314178 681
3 1278 41161
721278 41361
821
1
1
121231416111241161
32129417681
2741961
4215 1231417611129411681
521
2 127416111241961
11
11
27611981
2961171
2
16375
6213 123141681
4 1241161
721
1
82191181
11378 911 1
1
12123141361112341161
321235417681
274198 61
4215 1231413611127411681
2 12341761
521
11
2761198 1
2
16385
6214 12314136111
7212541961
1123415681
3 12541161
821911381
1171
1
32127417681
23 41761
12123141361112341161
4215 1231413611127411681
2 12341761
521
11
2761171
2
16345
6214 12314136111
1123418 681
3 128 41161
72
6 4 8 5 7
1
821911381
11391311
1
342
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
32 26 74 859
12123141151
2 26 74 859 1
284 2 85
4213 1231418591
4 12841151
5216
116285113
81
2
12314
72 5 2 214 2 6 75 1
1 2 264 65 1 26 74 1 59
6 2 26 74 2 65 1
1 264 6 75
1
82 2 96 74 859
964 2 6
67
1
8
7
9211
1
1212314136511123641151
32129418591
284139751
4214 12314136511123641151
5211
2
12354
7215 12314136591
6 123641151
8211
921 113691
611 13161
1
1212314136511123641151 32123897418591
2841696751
4213 1231413651112 411591
4 123641 51
5216
1162
5111
2
12364
7216 123141365111
1123641697591
5 1269741151
7 8
82 7 4 1
6 921 113691
61181
1
121231413 511123 41151
32128418591
2341851
4214 1231413 511128411591
3 123 41851
5216
1162851181
2
12374
7215 1231413 5111
1123 41 591
8212 41 51
6 12 41151
921 113 91
611 11 1
1
12123141151
32129418591
28419751
4214 1231413 51112411591
3 123 4151
5216 1162511891
6 11623 5111
2
18314
7216 123141 591
5 12 41151
8212 4151
9211
1
343
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
12123141561112541161
3212741357681
29417681
2 41761
4212 1231413561112 411681
3 123541561112541 61
5216 1162 6113581
6 11623561131
2
12345
7214 1231415681
5 12541161
8211
921 11581
611 1311
1
12123141356111
1123541561112541161
3212741361
4212 123141356111235417681
3 12741561112541161
5216
1162761131
2
12365
7215 12314135681
4 125411611123541561
8211
921 113581
11581
61151
1
12123141961112941161
3212741761
4213 123141961112411681
2 1294161
5216
116261138
1
2
12375
7215 1231417681
4 12741961112941161
8212741761
12123141161
32129417681
235417681
2741961
921 11981
611378 13191
1
4213 12314135611125411681
2 123541561
5216
6
116235611781
116256111
2
18315
7215 1231417681
4 12741161
8212741961
9211
3212741761
4213 1231413611127411681
2 12341361112341761
1
12123141361112341161
5216
6
1162361181
1162761171
2
18345
7215 1231413681
4 12341161
92
8211
6 78
1
6 6 7 5 85
1
344
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12123141356111
1123541561112541161
321227418691
28413 61
4213 123141356111235418691
4 12841561112541161
5216
1162861181
2
12345
7215 123141356111
921 113591
11591
611351
8211
1125411691
6 123541561
1
12123141161
3212841861
4214 123141161
5211
2
7216 12314136111
12365
112841691
5 1234186111
8212341797691
241379761
9216113 1
11241161
1
12123141161
32 2 2 4 869
1
284 86
4213 12314135611125411691
4 123541561
5216 11625611391
6 1162356111
2
78315
7216 1231418691
5 12841161
8212841861
121231416111241161
32 2 954 869
1
84 9 5
9211
1
8
7
4213 1231413561112411691
4 123541611124161
5216 1162611591
6 11623561181
2
78375
7216 123141691
5 1241161
8211
921 1191
611 111
1
12123141561112541161
3212841861
4213 12314135611125411691
4 123541561
5216
116235611
91
2
78345
7215 12314137691
6 123741561112541161
82123741 61
921 11591
61181
1
1
345
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
12123141356111
1123541561112541161
12345
42128123141356111
3212741761
112354176111274156111
52191
112541161
2
62138123141356111
11274156 1
4812354176111
7212741761
112541161
12123141161
82191 135 1
91 15 1
1 171
1
321274176 1
23 41761
421281231413 6111274116 1
1 1 23 61 13 1
1 1 2761 171
521
58123 41761
2
16365
6214812314136 1
3812341161
7212341361
82191
1
121231416111241161
6 7
32 74 1
421581231413611124116 1
521
2812341611124161
1
1
1 2361 15 1
1 261 13 1
2
16315
82 9 8 1
8959 9
621481231416 1
381241161
72191
121231416111241161
32124176 1
2741 61
1
16375
42158123141611124116 1
521
28124161
1
1 261 135 1
2
621481231416111
112416 1
381241161
6
7
72 4 9 1
82191 1 1
1 171
1
12123141356111
1123541561112541161
42 58 2 914 9 6 1
3212741761
1 2 95456 1 2 4 1 6
28 2 9 4 9 56 1 254 6
1
52
8 2 6 8 1
8 2 9 6 8 9
2
16345
62138123141356111
112354176 1
481274156111
112541161
7212741761
82191 135 1
91 15 1
1 191
1
346
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
32 2 464 758
2 4 694 758 1
74 69
12123141151
2 3
4215 1231413 51112741 581
52 6
6 123 41751112 41151
6
7 62 4 5 7 8 8
1
7 6275 7 8 69
2
11234
72 9 2 814 8
4 1 58
12
28
51
4
1
4 8 95
82 2 4
9211
1
5
1
12123141651112641151
32123417581
27413651
4216 123141351112411581
5216 1162511 81
6 1162351171
5 1234165111264151
2
11214
92
721 1231416581
9 12641151
8211
7 68
676
1
1
12123141751112741151
3212 41751
4215 123141751112411581
6 1274151
5216
116251181
2
11254
721
12314175111
82124151
112741581
9 1241151
921 11781
61171
1
12123141351112341151
3212741751
4216 12314136511123411581
5 123641351
5216
11623651136681
2
11264
721
12314135111
92
8212741751
1123417581
9 12741151
676
7 88
1
8 67
1
32124 417581
2741351
12123141151
15234
72
2 814 8
12
9 28
5 123 41751112 41151
5216 11627511381
6 11624 51171
2
51
4 1 58
4
4216 1231413 51112741 581
1
82 2 4
4 8 5 1
9211
5
1
347
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
1212314135611123541161
3212741861
421291231413 6111254116 1
39123 4135611123541561
5216 11625611 1
6 11623 6113 1
2
12314
72149123141356 1
59123541161
8211
921 1135 1
611 111
1
12123141356111
1123541561112541161
32127416 1
26 41761
421391231413561112354176 1
2912741561112541161
5216
116276111
2
12324
72149123141356111
8211
11254116 1
59123541561
921 1135 1
115 1
61151
1
12123141561112541161
3212741761
4212912314137 6 1
391237 41561112541161
52 6
96
7 5 8 9 1
2
12354
72159123141356111
11254116 1
49123541561
82
7 54 8 1
921 115 1
61171
1
12123141161
321234176 1
24176 1
274161
421291231413611124116 1
391234161
5216 11626117 1
6 116236111
2
15364
7214912314176 1
5912741161
821274161
12123141561112541161
321274176 1
241761
9211
1
42129123141561112541161
5211
2
15314
7215912314156 1
4912541161
8211
921 115 1
611 131 1
1
348
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1212314135611123541161
3212741761
4212812314135611125411691
38123541561
5216
1 162561 191
2
12345
72148123141356111
1123541691
82124161
581241161
921 1 13591
61 171
1
1212314135611123541161
32123417691
274161
421381231413561112411691
2812354161
5216
1
16261 191
2
12325
721481231413691
5812341356111
92
8212341761
1123541161
6 759
1
5
66
8
1
12123141161
32127417691
241761
42138123141761112411691
281274161
5216
6
1
16261 1391
1 162761 171
2
16375
72148123141691
581241161
821241361
9211
1
12123141561112541161
3212741961
421281231413561112411691
3812354156111254161
5216 1 1623561 191
6 1 16261 131
2
16315
721581231415691
4812541161
8211
921 1 1591
61 1379 11791
1
12123141761112741161
3212341761
421381231413611127411691
2812341761
5216
1 162361 191
2
16345
721581231413691
4812341761112741161
821234161
921 1 1791
61 171
1
349
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
42 37 1 122 1 34 1 132 2 48
12 1 122 1 34 1
1 1 1 32 34 1 1 32 2 4
12345
5
3251625645
5
47 1 132 1 34 1
1 1 1 32 34 1 1 32 34
52569 5 561 345 5385
695 561345 5 35
2
92
72 5 7 1 122 1 34 1
5
1 162 348
8251625645
6 7 1 1 32 64 1 1 32 2 4
7 1 38
7 38
671
3
5
5
32516256485
1325645
1251 225245
52569 5 56145 5 85
695 561645 565
4254751 225645151252485
375162545
2
16375
7256751 225485
575125245
825125 45
9255
32516256485
125645
4253751 225 45151252485
5
1251 225 45151 25245
4751 25 45151 2545
52569 5 561 45 585
695 56145 55
2
16315
7255751 225 485
6751 25245
8255
92
7 18
5
671 8
1251 225645151625245
3251 25645
4253751 225 451516252485
4751 25645
5
52569 5 561 45 5 85
2
16385
7256751 225 3485
5751 325645151625245
925 5 5685
65 565
8251 325 45
5
42 37 1 122 1 4 1 12 2 48
12 1 122 1 3 34 1
1 1 13 32 3 34 1 5
3251625645
1 13 32 2 4
16345
47 1 12 1 3 34 1
1 1 13 32 3 34 1
5
52569 5 561 45 5885
695 56145 5 85
1 13 32 4
2
5 7 1 122 1 3 34 1
1 162 3 348
6 7 1 13 32 64 1
1 13 32 2 4
92
5
8251625645
7 1 3 38
7 3 38
671
3
5
5
350
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12123141151
321236417581
27419581
2 41751
4212 12314136511127411581
3 123641751
5216
6
116236511781
1162751191
2
12345
7214 1231413 581
5 123 41151
82123 41651
9211
1
121231413 511123 41151
4212 12314139511126411581
32126417581
27413651
3 1239413 511123 41651
5216
6
11623951181
1162651171
2
12315
7214 1231413 581
5 123 41151
921 113 81
611378 11681
8211
1
1212314139511123941151
4213 12314139511127411581
3212741751
2 123941751
5216
1162751171
2
12365
7214 123141395111
11239416581
5 12641151
6 7
82 64 6 1
921 113981
6111
1
12123141651112641151
4212 1231417511126411581
32127417581
241751
3 12741651
5216
1162751171
2
12375
7215 123141368581
4 123684165111
112641151
6
7
82 8 4 6 1
6 6
921 11681
61136 1161
1
12123141151
3212417581
2417581
27413 851
4213 12314151112411581
2 124151
5216
6
11625113
116251171
81
2
18345
7215 1231419581
4 12941151
821294137851
9211
1
351
ОТВЕТЫ. ИДЗ 12
321237418691
2841389 61
12123141561112541161
4212 1231413761112 411691
3 123741561112541 61
5216 1162 61191
6 11623761181
2
12314
92
7214 1231415691
5 12541161
8211
6 59
1
66 7
1
12123141361111
3212841861
1123416111241161
12354
5211
2
7214 12314136111
112841691
8212841861
5 1234186111
11241161
32128418691
2341861
4212 123141356111
11284161112411691
3 1235418611124161
52 6
6 6286 6 89
6 6 626 6 5 9 1
6 6 62 856 6 7
2
9
72 4 814 8 9
7
5 8 4 5 24 16
7
9
921 11391
1191
61181
1
121231416111241161
12364
4213 12314136111
1123416111241161
9
82 8 4 5 1
7 7
921 1191
611 11 1
1
1
32 2
9
12123141161
17384
4 869
1
5
84 8
4213 1231418691
2 12841161
4 2 8 4 8 6 1
6 6286 6 8 5 1
2
72 5 2 814 8 6 1
1 2 846 1 2 4 169
52 6
1
82 2 4 869
1
2 4 8 6
9211
124 6
1
12123141361112341161
321235418691
284161
4212 12314135611128411691
3 123541361112341861
5216 1162861191
6 11623561181
2
17314
7214 1231413691
5 12341161
8211
921 11391
611 1171
1
352
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12123141356111
1123541561112541161
12345
3212741761
42128123141356111
52191
1123541561112541161
2
62138123141356111
11274156 1
4812354176111
7212741761
112541161
12123141761112741161
82191 135 1
91 15 1
1 171
1
32123 41761
42158123141761112741161
52191
2
621481231413 6111
12365
1123 4176 1
38123 413 6111
72123 41 6 1
23 41761
82191 17 1
1 11
112741161
12123141161
47385
62148123141 6111
1124116 1
3812 4161
121231413 611123 41161
1
3212 4176 1
254176 1
27413 561
421281231416 1
581241161
521
1
1 261 1 51
2
7212 4176 1
24161
82191
1
321274176 1
2341761
421281231413 6111
52191
1123 41161
2
47315
621381231413 6 1
48123 41161
72191
82191 13 1
1 19111
1
1212314136111
1123416111241161
47345
32 2 84 76
1
74 9 6
7
4215812314136111234176 1
28127416111241161
52
276
9 1
2
6214812314136111
1124116 1
72191
381234161
82191 13 1
91 1 1
1 131
1
121231413 611123 41161
47365
3212741761
421281231413611123 4116 1
58123413 61
521
1
1 2361 13 51
2
621481231413 6111
1123 4176 1
3812741161
7212741761
82191 13 1
1 19131 1
1
353
ОТВЕТЫ. ИДЗ 13
5.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ИДЗ 13. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ПУНКТ 1
12
1112
345212
12
1112
345212
12
1112
345212
12
1112
345212
32
6 2
768
91 2
42
82
1 2
6
52
7 2
27 1 2
62
62
2
72
62
2
82
7 2
71 2
92
72
6
21 2
6
2
62
6
2 1 2
2
67 2
91 2
3 2
62
12
332
7 2
612
342
6 6 2
7
26 1 2
76
912
362
7
2
6
71
372
72
2
382
6772
1
2
6
2
3 2
62
612
4 2
62
612
1
2
6
452
7
2
6
2 1 2
462
67 2
2 91 2
612
492
6 6
2
8
1
2
76
4 2
6 2
12
12
2
2
2
2
2
2
352
7
2
392
82
1
2
6
3 2
432
6 2
2 71 2
442
472
62
7 12
482
4 2
7
2
6
671
2
7
2
7
2
6
7
2
72
5 2
1
2
1
1
ПУНКТ 2
1
1
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
32
7232922
42
322622
52
362222
62
2 7 3 22
7
7
72
6232 22
82
622222
92
23222
2
222622
2
6222 922
3 2
2 7 3 62 2
9 9
332
79232 922
342
262 7 2 2
352
22222
362
32222
372
222 22
382
723222
392
7232 22
3 2
22222
3 2
62232 2
4 2
723222
432
922222
442
222 922
452
2227722
462
69222 922
472
9232 922
482
7232622
492
232 622
4 2
922222
4 2
2 7 2 2 2 2
5 2
9 2 2 2
2
1
1
1
1
354
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПУНКТ 3
12
1
12
1
12
1
12
1
12
1
32
2 1 3 11
45 45
42
4 1 5 11
46 46
52
417111
62
849318169311
72
2181211
82
8693171 9311
92
69 18169 11
2
869317169311
2
69518169411
3 2
3 2 4 11
42 42
332
69317169311
342
11
352
869 18149 11
362
49318169311
372
4 1 311
42 42
382
69318169311
392
869517169411
3 2
417111
3 2
5 1 11
45 45
4 2
869318149311
432
8418111
442
8218111
452
9318169311
462
217111
472
693181 9311
482
418111
492
811
4 2
69318169311
4 2
69517169411
5 2
869317169311
45
1
45
1
ПУНКТ 4
1
1
12
41
32
8 18111
4 18111
42
845171
62
84 1
8361713611
72
61
84 1714 11
2
8 1814 11
846181 11
2
8 17111
4 1814 511
332
4181 11
6171 611
342
2 1812 11
36181 3611
2 171
11
362
842181
84 11
372
84 1
46618122 11
6171 11
392
8446171 611
8181 11
3 2
85 18143 11
3318142 11
4 2
61
84461815 11
432
8 171411
11
452
8 171311
82 1
462
833181
611
482
84 1
5 171 11
492
8 171 611
8436181
84 1714 611
5 2
8 1814 11
843 1713 11
92
4
1814
11
41814 11
3 2
6171 11
352
382
8
3 2
8 21713 11
11814 1
442
1814 11
472
8
4 2
844 181
1
12
41
844 181
18142 11 82 6171
11
2 181
11
4 2
1
11
82 1
44 171
11
171 11
12
52
11
82
41
1
181 11
5 181 11
84171611
56171 11
8
11
1712 11
461815611
31714
11
8 1814 11
311
1
ПУНКТ 5
1
1
1
12
3
32
3 1 32
3 1 32 5
4
6
7
1 1 8 6 79 1
9
2 6 3
52
5
72
92
1
3 1 32
3 1 32 5
4
6
7
1 1 8 6 79 1
3
3
9
2 6
3
2
23 1 32
23 1 32 5
4
6
7
1 1 8 6 79 1
5
5
9
2 6
23 1 32
23 1 32 5
4
6
7
1 1 8 6 79 1
3
3
9
2 6
1
12
42
3
3 1 32
3 1 32 5
4
6
7
1 1 8 2
6 2
79 1
9
2 6 2
62
223 1 32
223 1 32 5
4
6
7
1 1 8 6 79 1
9
2 6 3
82
2
223 1 32
2 2 3 1 32 5
4
6
7
1 1 8 6 79 1
3
3
9
2 6
22 3 1 3 2
223 1 32 5
4
6
7
1 1 8 6 79 1
9
2 6 5
355
ОТВЕТЫ. ИДЗ 13
1
12
32
2
442
472
492
4 2
2
1 4 311
1 4 311 3
2
5
6
4 2 7 789 3 3 5 567 6 1
2
2
8
9
1
462
41 4 311
4 1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
8
9
1
482
41 4 311
4 1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 3 3 5 567 6 1
8
9
1
4
4 2
31 4 311
31 4 311 3
2
5
6
3 5 567 4
4 2 7 789 4
6 1
8
9
1
41 4 311
41 4 311 3
2
5
6
4 3 5 567 4 2 7 789 6 1
8
9
1
672
1 4 311
1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
8
9
1
692
31 4 311
31 4 311 3
2
5
6
4 2 7 789 4
5 567 4
6 1
8
9
1
6 2
3 1 4 3 11
31 4 311 3
2
5
6
4 2 7 789 4
5 567 4
6 1
8
9
1
4
632
1
452
4 1 4 3 11
41 4 311 3
2
5
6
3 5 567 4 2 7 789 6 1
8
2
2
9
1
432
642
31 4 311
31 4 311 3
2
5
6
4
3 5 567
4 2 7 789 4
6 1
2
2
8
9
1
2
2
4 1 4 3 11
4 1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
2
2
8
9
1
1
12
4 2
1 4 3 11
1 4 3 11 3
2
5
6
2
2
3 5 567
4 2 7 789
6 1
8
9
1
1 4 311
1 4 311 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
8
9
1
4
1 4 3 11
1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
8
9
1
2
1 4 311
1 4 3 11 3
2
5
6
4 3 5 567 4 2 7 789 6 1
2
2
8
9
1
652
662
682
1 4 311
1 4 311 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
8
9
1
1 4 3 11
1 4 3 11 3
2
5
6
3 5 567 2
4 2 7 789 2
6 1
8
9
1
1 4 311
1 4 3 11 3
2
5
6
3 5 567 4
4 2 7 789 4
6 1
8
9
1
2
4 1 4 3 11
4 1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
8
9
1
2
6 2
1 4 311
1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 4
5 567 4
6 1
2
2
8
9
1
6 2
1 4 311
1 4 311 3
2
5
6
4 2 7 789 4
5 567 4
6 1
8
9
1
4
752
1 4 311
1 4 3 11 3
2
5
6
4 2 7 789 3 5 567 6 1
8
9
1
2
356
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ИДЗ 14. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПУНКТ 1
12 211 2 3 1 3 4 241 2 3 1 3 4 2512 3 1 3 4 12 211 2 3 1 3 4 241 2 3 1 3 4 2512 3 1 3 4 12
211 2 3 1 3 4 241 2 3 1 3 4 2512 3 1 3 4
32
1564
1574
1564
42
84
14
984
52
4
62
156 4
156 4
915 4
72
8564
15 4
14
82
15 4
156 4
915 4
92
14
14
984
2
8 8 4
6 6
8 8 4
6
2
84
74
864
3 2
14
84
84
332
984
964
64
342
84
84
14
352
84
964
156 4
362
14
84
14
372
8664
67
66 4
382
1564
91574
15 4
392
156 4
984
14
3 2
4
14
156 4
3 2
864
84
984
4 2
2 64
6
8 4
6
432
654
15 4
1584
442
15 4
915 4
28 4
452
14
14
84
462
964
14
4
472
1564
156 4
984
482
9156 4
15 4
85 4
492
84
84
8 4
4 2
985 4
984
856 4
4 2
64
984
974
5 2
14
84
84
4
6
2
4
6
2
8
4
4
2
1
1
ПУНКТ 2
12
4
12
4
12
4
12
32
84
42
964
92
84
2
84
352
964
362
84
3 2
964
4 2
472
964
482
4
12
4
52
984
2
65 4
62
64
72
984
82
984
3 2
65 4
332
4
342
965 4
372
14
382
85 4
392
64
3 2
15 4
9 4
432
15 4
442
15 4
452
856 4
462
85 4
4
492
9 4
4 2
4
4 2
9 4
5 2
974
12
4
1
1
ПУНКТ 3
12
1
5 11 2 3 1 3 4 5 14 2 3 1 3 4 12
511 2 3 1 3 4 5 14 2 3 1 3 4 12
511 2 3 1 3 4 5 14 2 3 1 3 4 12 5 11 2 3 1 3 4 5 14 2 3 1 3 4
32
4
6 4
42
9156 4
15 4
52
64
85 4
62
65 4
65 4
72
64
64
82
15 4
1564
92
1574
15 4
2
985 4
9 4
2
9156 4
98 4
3 2
64
4
332
984
15 4
342
14
8 4
357
ОТВЕТЫ. ИДЗ 14
12
2 11 2 3 1 3 4 2 14 2 3 1 3 4 12
2 11 2 3 1 3 4 2 14 2 3 1 3 4 12
2 11 2 3 1 3 4 2 14 2 3 1 3 4 12 2 11 2 3 1 3 4 2 14 2 3 1 3 4
342
14
54
352
67894
8594
362
61 4
1 4
4
654
382
4
6 4
392
654
54
3 2
654
14
2
1 94
54
32
874
874
2
1 94
61 94
42
654
6 4
52
74
654
62
61 94
654
72
14
654
82
54
54
92
54
14
2
4
6 4
4 2
61 94
654
2
4
4
2
4
4
372
1
1
ПУНКТ 4
12
4
12
4
12
4
32
4
2
4
42
4
12
4
4
12
52 4 62
12
4
4
12
72 4 82
4
12
4
12
4
92
4
2
4
4 3 2 4
332 4 3 2 4 342 4 352 4 362 4 372 4 382 4 392 4 3 2 4
32 4
2 4
42 4
52 4
62 4
72 4
82 4
92 4
4
12
2 4
2 4 4 2 4
44 44444
1
1
ПУНКТ 5
12
32
12
4 3 2 3 5 4 1 1 2
1
4
4 25
4 2 35 4
4 25 2 35
4
4
2
42
1 3 7 4 2 2 2 55 4 1 1 2
4
62
1 2 4 3 2 2 5 4 1 1 2
4 25 2 35
4
4
2
82
42
1 2 9 4 2 2 2 51 4 1 1 2 5 4
4 237 4
29
2
2
332
1
4
1 2 94 3 2 3
4
4 25 2 25
4 1 1 2 5 4
4
4
25
9
2
4 25 2 25
4
1 2 4 2 2 4 1 1 2 5 4
4
25
25
342
4 25 2 25
4
1 2 4 2 2 3 4 1 1 2 5 4
4
2
25
5
362
4 25 2 2
4
71 3 4 3 2 2 4 1 1 2 7 4
382
4 25 2 2
1 3 4 2 2 3 5 4 1 1 2 7 4
4
2
3 2
71 2 4 2 2 3
4 25 2 2
4 1 1 2 7 4
4
2
4
2
1 3 4 2 2 2 57 4 1 1 2
52
1 2 4 2 2 2 4 1 1 2
4 1 1 3
2
72
13 4223
92
42
1 2 4 3 2 4 1 1 4
2
3 2
1243 22
3 2
1 2 94 3 2 3
4
4
4
4 25
4 2 35 4
2
4 25 2 35
4
4
2
2
4 25 2 2
4
2
4 22
2
4
4 25 2 25
4 1 1 2 5 4
4
4
5
25
4 25 2 25
4 1 1 2 5 4
4
4
2
25
9
352
4 25 2 25
4
1 2 4 3 2 4 1 1 2 5 4
4
25
25
372
71 2 4 2 2 3
4
392
71 2 4 3 2 2
4
2
4
4
4 25 2 2
4 1 1 2 7 4
4
2
2
4
4 25 2 2
4 1 1 2 7 4
4
2
4 25 2 2
71 3 4 2 2 3 4 1 1 2 7 4
4
2
4
4
358
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12
1
12
1
342
1 12 3 1 4
1
32 2 1 1 3 1 5 3 67 2 1 3 3
3
5
8
18
332
1 12 3 1 4
1
32 1 1 1 3 1 4 3 67 2 1 3 3
3
5
18
18
352
1 22 3 22
1
2 1 8 1 2 33 2 8 3 67 2 2 2 3
3
18
4
15
362
1 22 3 12
1
2 1 8 1 1 33 3 67 2 1 2 3
3
8
14
15
372
1 22 3 12
1
82 1 1 2 33 1 5 3 67 2 1 2 3
3
4
18
5
382
1 22 3 12
1
2 1 8 1 2 33 1 5 3 67 2 1 2 3
3
8
14
5
392
1 12 3 1 3
1
82 2 4 1 2 3 1 9 3 67 2 2 2 3
3
18
14
12
3 2
2 1 3 1 2 43 1
3 2
1 12 3 1 3
4 2 2 8 1 2 3 1 2 3 67 2 2 2 3
3
1
14
18
12
5 2
1 12 3 1 3
4 2 2 8 1 1 3 1 3 3 67 2 1 2 3
3
1
4
8
12
1 22 3 12
1
3 67 2 1 2 3
3
2
13
4
1
ИДЗ 15. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПУНКТ 1
12
1
12
1
12
32
234 1151167819 15191
42
234 115116 7817 15191
52
2
62
234 115116 781 7 151 71
72
2
11511681 1511
82
2
11511681 1511
2
11
1151169819 1511
342
234 1151167819 151 71
1
1
92
2
1
3 2
2
1
1
1
1
1
1151169819 15191
11511681 15171
11511681 15171
2
2
1151169819 151791
332
2
1
362
2
1
1151169819 1511
372
11
234 1151167817 1511
11
352
1
1
1
382
2
11511681 15171
392
234 1151167817 151 71
3 2
3 2
234 115116819 151 791
4 2
234 115116781 151 71
432
442
2
11511681 1511
452
234 115116819 15171
1
462
234 1151167817 1511
472
234 1151167819 1511
482
2
115116781 7 1511
492
234 115116781 15191
4 2
2
4 2
234 115116 817 151 71
5 2
234 11511681 151 1
1
1
1
1
1
11511681 7 15171
1
1
1
1
1
2
1
11511681 1511
1
1
1
1
1
ПУНКТ 2
12
1
12
1
32
16281 1517 1911121117811167819 151 1
42
169819 1511681 151981116819 151 1
52
16981 1511681 151811169819 1511681 15191
62
167819 151811169819 15191
72
1681 15181116819 151 1
82
169819 151811169 819 151 1
92
16981 151811169819 15191
2
167817 151811169819 15191
2
169819 151 781116981 151 71
3 2
1 678 4 5 478 1 4 8 4 9 5 4 1
332
1681 15181116819 151 1
342
16 81 15178111681 151 71
352
1 678 9 5 16987 5 8 1 7 8 7 5 1
362
169819 151781116981 1511
372
16 81 15181116 819 151 1
382
1681 15177811167819 1511
2 3
2
3
359
ОТВЕТЫ. ИДЗ 16
12
1
12
1
342
2234135161227418516134112234185161981
352
2234 85 3 734 2
362
2234135161341122 41351619781
782
2 4 8 4 4 83 3 4 8 4 223 4 4 5 3 4 8 1
8
732
2284175161 41122 41851619 1
772
228419751617 411223419751612274175161971
792
227 4197 85161 841122341851619781
7 2
2234175161 41122841 5161881
1 472 3 4 88 4 2234 85 3 48 1
7 2
22841 51614112274135161971
742
22413516194112234135161 1
752
2234135161 41122741975161229741751617 1
762
2234135161341122984135161223419851619 1
982
22 4185161978411227413 51613 8 1
7 2
2
1
1 4 82 3 4
1
2
1
7.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ИДЗ 16. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3 1 1 2 11 1 2 4
1
1243
1253
89 1 2 1 1 2 4
1263
1273
2 2 3 2 1 1 2 4
1283
2 51 1 2 4
5 5
1293
2 89 1 1 1 1 1 2 1 2 4
5
5
12 3
2 9 51 1 2 4
5
1
12 3
2 89 23 1 1 2 4
5
121 3
1 9 1 51 1 2 4
5
12113
2 33 1 1 22 1 2 4
21
12143
2 1 1 1 2 4
1
12163
2 1 1 1 2 4
1
3
4
5 62 1 1 7 5 1 2 4
12153
2 21
12173
2 89 51 1 1
1
21
31 1 2 4
2 51 1 2 4
4213
11 1 5 1 1 2 4
1
4243
4253
2 89 1 2 1 1 2 4
4263
4273
1
5
1213
23 2
2 1
12 4
4283
1 6 1 1 27 1 1 2 4
5
2
5
61 2 51 7 1 2 4
2
2
1
2 89
1 1
65 2 11 7 1 2 4
11 2 2 1 2 4
11 1 2
360
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 34
1
1234
1264
1254
2 6789 4 11 1 2 5
1
2 34 2 1 1 2 5
12784
1 9 41 1 1 2 5
12714
2 678 1 1 1 2 5
1
127 4
2 1 11 1 2 5
4
5
2 2 32
12774
2 34
2
2 1
22
1
2
1 22 1 2 5
1
9214
1 34
9234
1
9254
2 6789 4 1 1 2
5
1
92784
2 1 89 1 1 1 2 5
92714
2 34 2 1 11 1 1 2
5
2 2 11 1
927 4
2 1 11 1 2
4
5
1 12 5
214
212 2 1 1 1 2 5
12 5
2 4
2 2 9 4 3 2 11 4 1 2 5
1
1 1
12 5
11 1 11 1 2
23
22
12 5
1 1 2 5
11 1
12 5
2 2 67889 11 1 2 5
2
2
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 5
274
21 1 2
294
2 34 11 1
1
223
34
2 2 9 41 2 1 1 2 5
92 4
92774
2 4
12 5
23
34
34
34 11 2
92 4
9264
92794
1
2 1 1 1 2 5
92 4
264
1 12
5
9294
234
12 5
1 678
12
11 1
9274
927 4
11 2
2 2 67889 1 1 2 5
1
12794
127 4
11 1 11 1 2 2 1 2 5
11
2 1
12 5
11 1
2 4
12 5
2 34 1 1 2
5
34 1 2
11
12 5
2
5
2
2 678
1 12
5
254
6789 4 11 1 2 5
2784
2 1 89 1 1 1 2 5
361
ОТВЕТЫ. ИДЗ 16
1
1 1 21 1 2 1 2 3 4
13
12334
1 9
13
12364
12374
1 67
2
12
51 2 3 4
1
21 2 21 5 1 1 1 5 21 5 1 1 5 2 3 4
2
1
12354
1 67 5 2 1 5 2 3 4
8
5 1 15
12314
1 2 3 4
4
4
1 5 1 1 1 5 2 3 4
2
7234
11
1 15 2 3 4
7254
7264
1 67 1 51 2 3 4
5
7214
7274
1 2 1 1 2 3
4
7284
2
1
1 1 2 3 4
1 9 81 2 3
4
5 1 9
7 1 2 3 4
5
81 2 81 5 2 2 3 4
72 4
72 4
1 67 1 1 2 3 4
723 4
7 1 2 3
4
2
72334
1 22 1 1 2 3
4
13
72354
1 9 51 5 2 3
4
5
72364
1 9 1 2 3
4
5
72314
72374
67 1 5 2 1 1 9 1 2 3 4
4
8234
1 5 11 23
4
12
8254
8264
1 67 1 1 2 3 4
8214
7294
8274
8294
82 4
82334
82364
67
12
1 67
1 67
8
81 1 2 3
4
81 2 81 2 81 5 1 2 3 4
1 1 67 1 1 2 3 4
12 1 9
7 1
23 4
1 1 9 12 51 2 3 4
13
8284
82 4
2
1 51 2 3 4
4
51 1 1 1
11
5
23 4
1 1 2 3 4
1 1 28 1 1 2 3 4
1 9
5
823 4
1
2
82354
19
5
82314
11
5
7 51 2 3 4
2
1 23 4
7 1 5 2 3 4
2
1 2 3
4
2
362
12345
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
1 34 1 21 2 5 2 1 1 6789
2
21 2 2
4
1
5
6235
1 1 1 2 2
6275
1 1 31 1 1 5 2 2
2
6285
2
6295
1 1 893 2 1 5 2 2
1 1 1 2 2 2
2 2 1 2 2
6245
3 2 1 2 2
6215
6265
1 678 21 2 2
2
62 5
62 5
1 14
623 5
3 6789
62335
1
62385
62345
4 31
1
2 15 2 2
22
62375
1
22
678 21
4
1 2 1 2 1 4 2 2
9
4
1
2
14
4
3 1 4 2 2
12 2 1 2 1
22
4 4 1 2 2
62395
1 22
4
1 4 1 1 2 1 6789
1 5
235
12 1 1 2 1 2 2 2
4
14
275
1 31 2 1 5 2 2
2
285
1 1 2 1 2 2
2
295
1 1 893 2 1 5 2 2
245
1 3 2 1 2 2
215
1 678 1 2 2
2
1 2 1 2 2 2 2
2 5
1 6789
23 5
1
265
2 5
31
2 15 2 2
2335
1 1 3 1 2 1 2 2
2375
2385
1 1 678 14 1 2 2
14
2395
1
1
2345
1 2 31 1 1 2 5 2 2 6789
235
1 2 1 1 2 2
2
1 2 2
1
2
1 2 2
2
89 1 4
43
2
4
2
22
12 2 1 1 1 2 2
12 11
2
1 22
5
275
1 1 31 1 1 54 2 2
14
363
ОТВЕТЫ. ИДЗ 16
1 1 23 1 1 41 2 2 5
4
1234
13
1264
1 23
1284
1214
12
1 1
12 64
4
1 3 1 1 1 2 2
5
1
12
4
1 2 1 2
1 22 5
12
23
1
4
1 2 1 2 2 5
264
13
284
1 673
214
4
2 34
2 64
11
254
1 23
294
2
4
1 3 1 1 11 2 2
5
4
2
4
2 54
4
4 1 4 1 1 2 2
5
2 4
234
1 1 23 4 1 1 2 2 5
254
1 1 31
1 2
22 5
22 5
274
22 5
1 1 6738 1 9 1 2 2 5
9
1 23
9 4
274
2 4
264
81 2 1
2 4
23 8 1 2 1 2 2
5
1 81 1 1 9
5
1 22
5
1 2 1 2 23 1 2 1 2 1 2 2 5
22 5
4
22 5
1 22 5
67381 1
23 1 2 2 5
22 5
1 1
22 5
12 54
1 23 4 2 1 2 2
5
234
23 1 1 1 2 1 673 1 2 2 5
1294
12
1 2 4 1
2 4
4 1 23 8 1 2 1 2 2
5
1 1 1
1
12 34
1274
1 1 2 2 5
12
4
2
22 5
1 67389 2 1 2 2 5
1254
1
2
1
1 22
5
1
1 2 1 2
1
6 81 1
22 5
22 5
1 23 1 2 1 2 9 1 9 2 2
5
1 1 1 2 2 5
5
1 8 1 1 9
9
4
22 5
1 6738 2 9 1 2 2
5
9
1 23 1 2 1 1
22 5
364
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
11254
6
9
112174
22 8
112184
6
2
9 1 2 2 8
1121 4
7 7 1 2 1 2 2 8
1
4
8
11234
1 45 1 1 2 3 1 2 2 8
67 2
1 2 231
11264
1 45 1 1 2 6 2 2 8
112114
1 6 3 12
2
112194
9
1121 4
5 1
6
6 45 1 9 2 6 2 6
1 2 2 8
7
5 91 2 2 8
2
16
2 21
1 9 2 2 8
2
5 1 2 2 8
1
7
18214
9 19 1 1 2 2
8
7
18284
1 1 7 1 2 2 8
6
18294
45 2 21 2 2 8
182 4
6 521 2 7 2 2
8
2
182 4
1 6 3 1 11 1 2 2 8
1
182 4
11 2 11 9 2 2 2 2 8
18234
6
96
18264
1 45 1 1 2 6 2 2
8
182174
1 5
182114
1 3 1 1 2 2 8
182184
6 45 2 1 2 2
8
1821 4
9 9 1 1 1 2 2
8
2
4
8
9
6
182194
1821 4
11 2 2 8
2
2 45
1
6 45
9 9 21 2 2 8
1 1 6 1 6 45 1 9 1 6 2 2
8
1 2 6 6
18254
6
2
5 21 2 2 8
9
16
2
21 2 2 8
2
9
19214
1 2 1 61 2 2
8
2
19284
2 2 1 7 1 1 2 2 2
8
19294
1 6 45 2 1 1 2 2 8
192 4
1 6 21 1 2 2 8
2
192 4
1 6 3 11 1 2 2 8
1
192 4
19234
5 11 2 2 8
2
19254
6 45
9 96
6 45
2
2 2 11 2 2
8
2 1 11
21 2 21 9 2 7 2 2 8
365
ОТВЕТЫ. ИДЗ 16
1
2 34 2 5 1 1 67 1 2 8
1
12345
32
123115
1
12 8
1
9
26
1
123165
91 1 2 8
123175
6 1 9 1 2 8
9 123125
34 1 1 2 8
123185
6 21 1 21 1 2 8
6
123195
6 34 11 2 1 9 2 6 11 1 2 8
6
26
9
5
8
18315
9 1 9 2 61 1 2 8
2
18375
6 34 1 91 1 2 8
9
18325
2 9 59 2 1 7 9 1 2 8
18385
6
9
18395
6 31 1 2 1 2 8
1
183 5
6 34
2
91 1 91 2 2 1 1 2 8
183 5
183 5
18345
2
6
6 34
9
1
34 5 1 1 67 1 2 8
1
2 6 32
9
183115
183125
6
2 6 91
12 8
1
12 8
183165
5 2 91 7 1 2 8
91 2 1 1 2 8
91 1 1
6 4 1 1 2 8
9
2 6 4
2
9 591
2 27 1 2 8
2
183175
2 9 5 2 1 2 7 9 1 2 8
183185
6 21 1 21 1 2 8
5
8
183195
6 34 91 2 1 1 2 6 91 1 2 8
2
26
1
19315
91 9 1 1 1 2 8
19375
2 9 59 2 1 7 9 1 2 8
19325
2 6 34 2 91 1 2 8
9
19385
26
9
19395
2 6 36 2 2 1 1 2 8
2
193 5
6 91 1 2 8
26
1
193 5
6 4 91 1 2 8
9
193165
2
193 5
19345
6
6 34
9
91 1 1 1 91 2 1 2 8
6
9 34 9 1 1 6 1 2 8
2
591 1 7 1 2 8
6
5 1
2 67 1 2 8
366
123114
123164
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 2 211
3
1 2 89
1 11
23 4
3 11
23 4
2 1 1 1 3 1 2 123124 1
25
3 32
1 2 1 2 3 4
1 1 1
2
1
12
5
123154
361 1 1 3 7
123174
1 2 2 5 1 2 3 4
5
4
4
23 4
5
18314
3 1 3 1 21 2 3 4
1
18354
1 1 61 1 5 1 7 1 2 3 4
2
18364
11 1 2 3 4
18374
2 611 2 7 2 3 4
1
18324
2 231 11 2 3 4
3
18384
18394
2 89 11 2 3 4
1
183 4
183 4
1 12 1 2 2 2 3 4
1831 4
5 65 1 1 27 2 3 4
183154
1 61 1 1 3 7 2 3 4
3
183114
1 2 211
1
2 21
23 4
2 11 2 3 4
1 11
2 3
2 1
11 2 11 3 2 2 3 4
2
2
183164
2 89 3 11 2 3 4
183174
183124
2 1 1 1 1 3 1 2 3 4
3 12 4
4
19314
2 15 1 1 1 2 3 4
3
19354
5 62 2 11 7 5 2 3 4
2
19364
1 2 5 1 1 2 3 4
19374
2 611 1 7 2 3 4
1
19324
1 211 2 2 3 4
19384
19394
2 3 2
11 1 2 3 4
11 2 5
193 4
193 4
2 1 611 2 27 2 3 4
5
1931 4
193114
3
1 2 2 1 1 1 1 2 3 4
3
193154
12
3
31 2 3 4
2 1
11 2 11 3 1 2 3 4
2 89 6 1 7 2 3 4
12
5
51 2 3 4
2 13 2 1 2 3 4
367
ОТВЕТЫ. ИДЗ 16
2 345678 1 11 1 2
9
123145
123175
1 8
1 2 2 1 2
2 8 1 2 2 1 2
1
1 1 2 1 123165
2 8 5
1 12
5
18315
1 1 2 2 1 1 1 2
1
18395
2 1 2 2 1 1 1 2
2
18345
2 8 1 2 1 1 2
18365
2 6781 2 1 1 2
18375
3 1 2 1 2
183 5
2 345
2
18325
2 8 1 1 1 1 1 2
1
1
18385
2 345678 1 1 2
183 5
2 8 1 2 2 1 2
1
1831 5
2 678 1 1 2
183195
2 8 1 1 1 1 2
5
1
183115
1
3 345
1
12
1 1 12
22
183145
2 3456781 1 1 2
2
183165
183175
8 1 2 2 1 2 2 8 11 2 2 1 2
1
1 1 2 1 1
5
1 315
1 1 2 1 1 2
1
1 395
1 345
2 8 1 11 1 2
1
1 365
2 2 678 2 11 1 2
1
1 375
3 1 2 1 2
1 3 5
2 8 1 1 1 1 2
1 2 1
1 325
2 345678 1 1 1 2
1
1 385
2 8 1 1 1 1 1 2
1 3 5
2 8 2 2 1 1 2
1 31 5
2 56 1 1 2
1 3195
2 1 2 2 1 1 1 2
1 3115
1 3145
1
2 3345
1
2
12
345678 1 1 2
1 3165
11 1 2
1 2 1 22
12
2 5
1
1
1 12
368
123145
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 56789 3 1 1 4
3
14
67315
67385
1 1 2 1
14
31 1 2
14
22
22
1 1 2 2
1 4 3 2 13 1 2 2
3
67345
673 5
4 567
2
67325
1
4
2 1 22
4 1 1 2 2
5
3
67365
1 1 1 1 1 2 2
3
67395
1 4 7 1 2 3 2 2
673 5
4
1 42
673 5
4
2
673175
2 2 2
2
11
12
1 2 11 2 4 2 2
2
2 1
2
1 2 2
673115
13 1 56789 1 2 2
673165
4 1 1 2 4 1 2 2
673185
4 567714 1 2 2
673195
1 789 1 2 2
2
673145
1 11 2 1
3
2 12 1 4 1 2 2
3
61315
61385
14
61325
1 1 22
4 3 1 1 1 2 2
61345
613 5
1 2 11 2 2 2
4
2
1 2 11 2
1
14
1 4 1
2
22
1 2 2
5
1 1 4 1 1 1 2 2
14
61395
4 1 2 3 2 2
613 5
4 56789 2 1 2 2
2
613 5
4 567
3
613175
1 2 7 2 1 2 2
1
1 4 1 2 4
1
4 3 11 2 2
613165
613185
1 4 5677 11 2 2
41
613195
11 1 1 1
66315
1 11
1 2 11 1 2 2
14
1
1 11 2 2
3
61365
613115
613145
2
3 1 22
1
14
1
22
789 1 2 2
5
66365
1 4 4 1 1 2 2
369
ОТВЕТЫ. ИДЗ 16
11234
1 23 41 1 5 2 2 6
4
1 1 31
11264
1 1
11254
22 6
11274
11284
1 23 1 2 1 2 4 2 2 6
112 4
1 23 4 1 1 1 2 2 6
4
11294
112
1 1 789 1 2 4 2 2 6
1 23 1 1 4 1
1 2 4
22 6
1 793 1 2 2 6
4
4
93 5 1 2 2 6
11
1 3 1 1 11 2 2 6
112 14
112 34
1 1 77895 1 2 2 6
112 54
1 1 7 41 2 2 6
112 64
1 1 1 1 1 4793 1 2 2 6
4
6
112
4
15
132 4
1
1 1 2 2 6
13214
13234
1 23 1 2 4 2 2 6
13254
13264
13284
132 4
132
4
5
1
113
1 1
22 6
1 23 1 2 1 1
13274
22 6
1
4 23 4 1 2 1 2 2 6
132
1 3 14 789 1 2 2 6
4
4 7 4 1 2 2 6
5
132 64
1 1 23 1 1 1 1 23 1 2
1
11
4
132 14
5
132 34
13294
2 2 6
1 1 1 1 5
5
1
1 51
1 23 1 1
12
1 1 23 1 2 4 789 1 2 2 6
4
1 1 2 1 5
22 6
5
1 4 41 1 41 2 2 6
5
4
6
1
15234
1 23 41 1 2 2 6
4
15254
1 789
4
15274
1 7
22 6
1
132 54
15214
11
22 6
1 793 1 2 2 6
1 1 1 1 2 2 6
13
22 6
1 93 1 2 4 2 2 6
152 4
15264
1
5
22 6
4
1 51
22 6
1 41 2 2 6
1 22 6
370
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12345
2 45 1 1 1 1 1 3 1 2 7
6
6
12375
45 1 11 1 2 1 2 7
123885
2
2 31
5 11
12 7
12365
5 1 12 7
89
2
123895
2 1 2 1 1 1 1 2 7
123815
2 45 2 1 1 1 2 7
1238 5
1 89 1 1 1 2 7
123825
2 2 1 1 1 1 2 7
1238 5
2 2 45 3 2 1 1 2 2 45 1 1 3 1 2 7
1
1 3
12 3
5
7
1 385
3 1 3 2 2 1 6 1 2
7
2
1 315
2 2 31 1 2 7
13
1 3 5
2 2 45 1 2 1 1 2 7
1 325
2 51 2 6 1 2
7
1 3 5
2 33 1 1 6 1 2
7
3
1 3 5
2 45 1 1 6 3 1 2
7
1 3
1 2 63
2
1 345
2 89
3
5 3 1 12 7
6
1 375
45 11 1 2 1 2
7
1
3
1 365
45 1 1 1 1 1
1 3895
2 3 2 1 1 1 3 1 2 7
12 7
1 3885
223
1
12 7
1 3815
2 45 1 1 1 1 2
7
2
1 2 1
1 38 5
2 89 1 1 2
7
1 3825
2 1 1 1 2 1 1 2 7
1 38 5
1 1 2 2 2 45 2 2 1 1 1 45
12 7
1
1 2 2 5
7
1 315
2 2 31 1 2 7
23
1 385
2
11
2 1 6 1 3 1
2
3
12 7
1 3 5
2 45 1 1 1 1 2
7
1 325
2 2 1 2 6 1 2 7
1 3 5
2 36 1 2 3 1 2
7
6
1 3 5
2 89 3 1 1 2
7
6
3
1 345
2 45 1 1 1 1 1 6 1 2
7
3
3
1 365
2 89
3
5 31 1 2 7
371
ОТВЕТЫ. ИДЗ 16
1
12345
2 34 2 561 1 78 1 2 9
1
123675
2 7 34 7 2 2 4 1 1 2 9
2
123665
7 32 1 1 1 1 2 9
6
123615
7 1 1 2 9
6
123685
7 6 1 1 2 9
6
123695
2 7 6 61 2 7 61 1 2 9
6
1236 5
7 34 21 6 1 7 1 2 3 21 1 2
9
2
5
9
1 365
1 2 11 1 1 2
9
6
1 315
1 385
2 7 34 7 2 21 1 2 9
2
1 395
2 7 45 2 21 8 1 2 9
2
1 3 5
7 36 1 1 1 2
9
1 325
7 34 1 2 1 1 2
9
6 1 1 1
1 3 5
7 4 1 1 2
9
1 3 5
34 1 1 1 6 1 1 2 9
1 345
2 6 34 6 56 2 1 8 1 2 9
1
1 3675
7 57 2 2 4 1 827 1 2
9
2
1 3665
2 7 32 2 1 1 2 9
6
1 3615
1 3685
2 7 4 26 1 1 2 9
6
1 3695
2 2 61 1 2 6 61 1 2 9
6
1 36 5
7 34 1 6 1 7 1 2 1 1 2
9
6
5
9
1 365
1 2 6 16 1 2
9
7
1
1 315
1 385
2 7 34 7 2 1 1 2 9
2
1 395
2 51 1 28 1 2 9
1 3 5
7 3 1 6 1 1 2
9
6
1 325
7 34 1 1 1 1 2
9
6 1
1 2 1
1 3 5
7 4 1 1 2
9
1
1 3 5
7 34 1 1 1 6 2 1 2
9
1 345
34 27 56 2 1 8 1 2 9
1 3675
1 57 1 2 4 1 8 1 1 2
9
76
1 3665
2 7 3 21 2 1 1 2 9
6
1 3615
2 511 6 1 7876 1 2
9
1
72
7
1
1
6
1
1
2
71
5 1 11 8 1 2 9
7 34 1 1 1 1
12 9
1
61
5 1 11 8 1 2 9
372
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
123456
345678 1 1 2 345678 1 1 2 2 9
1
123476
123486
1 2 8 2 1 11 1 8 2 2 1 2 2 9
1
1
211
6
9
19346
1 2 11 1 1 2 2 9
2
19316
2 1 2 2 9
19376
1 678 1 1 2 2 9
2
2
2 8
19356
1 2 22 9
125
1
11 2 2 5
1
11 2 2 9
19386
1 2 3 1 1 1 2 2 9
1
193 6
345
22
193 6
2 8 1 2 1 1 2 22 2 2
9
19326
2 345678 1 2 2
9
1934 6
1 2 2 56 11 2 2 9
1
193416
2 1 1 1 21 2 2
9
19396
1
23
193446
1
22 9
2 345678 1 2 2
9
193456
193486
8 1 1 1 2 2 9
1
1
8 2 1 11 1 2 8 2 2 1 2 2 9
1
211
21
1 11 1 22
9
21
5 346
1 8
5 356
11 22 9
193476
1 22 9
22
125
11 1 5
11 2 2 9
6
9
5 316
2 1 2 2 2
9
5 376
1 56 1 2 2 2 9
5 386
2 3 1 1 1 2 2
9
1
5 3 6
2 8 1 1 2 2 2
9
1
1 2 2 5 3 6
2 345678 1 2 2
9
5 326
2 8 1 2 11 2 2 2
9
5 396
1 8 1 1 1 1 2 2
9
5 34 6
2 2 678 1 2 2
9
5 3416
2 1 1 2 2 2
9
1
1 2 3 5
5 3446
22 9
2 345678 1 2 2
9
21
5 3456
5 3486
1
1
8 1 1 2 1 1 345
1 22
9
5 3476
6
2
125
11 2 2 5
1
9
11 2 2 9
373
ОТВЕТЫ. ИДЗ 17
ИДЗ 17. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
12345146424
1213
1263
1 7 311
5
1293
7 1 1 2 2 4
22 4
3
1273
12 3
43146424
5 1 1 22 4
1253
74643
41
46424
1283
14
4146424
4
3
4213
3146424
4243
7 83
5
1 1 9 2 2 4
4253
4263
33 146424
4273
7 3 8 1 5 2 79 2 2
4
5
4283
42 3
8 1 1 1 2 9 2 2
4
3
5243
3 812341946424
5253
5273
123815464946424
5283
52 3
7 1 3 1 2 2
4
3
4
6243
87 2
1 9 2 2 4
6253
1 123 1 2 2 4
6273
53
1 22 4
6283
181464946424
3
4
4293
3
51
1 2 723
5213
1 1 2 2 4
5263
1 2 2
4
5293
6213
6263
6293
22 4
1
3 1 2 351 1 2 2 4
815464946424
7 33
1
22 4
7 1 1 2 2
4
7213
1 22 4
62 3
7 851 9 2 2
4
5
3 8154641464946424
7283
1518 1 2 59 2 2 4
1 5 5 1 3 1 2 2 4
3
4
8213
1234146424
8243
8263
7 3
22 4
8273
1 22
4
82 3
5
1464515441464 46424
7273
72 3
3
4
1464154451 46424
1 87 1 1 9 2 2 4
13
15 2 1 2 2 2 4
4146424
7253
7293
1
7
5
4
1 123 1 2 2 4
1 7 3 123 1 2 2 4
4641 46424
7243
7263
8293
1
1 2
7 8123 1 2 5915 2 2 4
5
1243
73
1
22 4
8253
4641 46424
3 8141946424
8283
7 3 1 2 2
4
7 1 3 1 2 2
4
3
4
374
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
8 97 1 3 1
7
7
8
1234
12345146424
1254
1274
2 3 1
11
1284
1912341 46424
12 4
8
5
1214
3 123 1 7 1 2 4
7
12 4
5 91 2 8
234
348146424
254
9 1 3 1
274
3 1 1 2
4
3
284
214
3 3 1 1 31 1 5 1 2 4
234
274
214
1
12 4
3 184 41 46424
1941 46424
294
12341546424
2 4
931 54645 46424
4
4
321 1 2 4
254
8 1 123 1 1 2 4
264
1 17 1 18
284
2 3 181 1 2 4
38
294
43146424
2 4
2 3 1 1 1 2 4
4
4
3 264
3 17464 46424
3 294
3 8123 1 1 2
4
38
1
31
12 4
3 18 1 1 1 1 2
4
8
3 1 1 2 4
3 284
3 214
3 3 31 2 1 2
4
7
31 1 3 2 4
33234
8146424
33254
33274
3 11 28 1 2
4
3
33214
1 1 2
4
36234
35
35
264
3 274
35214
1294
3 54 4141 46424
4
1 1 2 4
35274
1264
4
3 234
35234
12 4
1
3
21
12 4
3123146424
123
1
12 4
8
141 1 2 4
3 254
12 4
2 3 9 1 1 7
7
12 4
7
12 4
12341846424
7 97 1 2 51 1 5
5
7
12 4
3 4 41 46424
4
4
2 2 1 1 2 4
33264
3 3 51 1 5 1 2
4
35
33284
2 1 1 1 2 4
33294
3146424
332 4
3 3 1 1 31 1 7 1 2 4
4
4
35254
2 1 1 1 1 2 4
35264
43146424
35284
2 5 9 2 1 7
35294
2 3 1 1 2 4
3
4
5
12 4
352 4
3 3 1 1 1 3 1 1 2 4
4
36254
981 1 5 1 2
4
36264
3
31
12 4
375
ОТВЕТЫ. ИДЗ 17
12345
112234333
12365
1 5 9 612 678 2 2 3 3
12385
9 68 2 2 3 3
12395
1 678
14315
1678234333
143 5
1
1
14345
14385
11
23 3
5 1 2 2 2 3
3
1
16315
9 6612234333
5
23 3
1 678 2 612 9 6123234333
5
3
14325
2 2 2 2 2 3 3
14365
5 9 612 2 2 3
3
14375
1 5 612 2 2 3 3
14395
2 2 2 1 2 3 3
5
3
163 5
1 678 2 2 3 3
55
16325
5 2 2 2 3
3
55
16345
5 2 2 3
3
16365
678 6123234333
16375
12 32343534333
16385
9 61233234333
16395
8 2 2 8 2 2 5 2 3 3
5
3
17315
12 2 2 3 3
173 5
5 2 2 55 2 3
3
17325
234323 3234334333
17345
5 1 2 2 3
3
17365
5 8 2 2 3
3
17375
17385
5 8 2 2 2 3
3
8 2 1 17395
5 9 68 1 2 2 3
3
5
3
2 2 2 3 3
18325
1 5 1 21 2 3 3
9 68 2 2 3 3
18375
67833234333
2482
18315
34333
183 5
1 5
9 6678 2
23 3
5
18345
12 6783234333
18365
18385
5 8 2 1 678 2 2 3
3
18395
5 2 2 2 3
3
4 5
3
19315
678 2 2 5 2 3 3
193 5
5 8 2 2 3
3
19325
5343234333
19375
1 5 612 12 15 2 3 3
2 1 2 2 2 3 3
19365
1 5
19385
9 68 6123234333
19395
5 9 612 2 2 3
3
5
3
1 315
12 523 3234333
1 3 5
2 1 2 2 2 3
3
1 325
53438234333
19345
1
12
2 223 3
12375
1 2
23 3
376
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12345
1 5 7 1234 1 156 2 2
89 7
12365
12385
5 89 89 1 1 2 2
57
89 1 2 12395 89 1 2 2 5 2 4 1 2 67 2 2
315
345
385
1 2 2
5
89
39 1
22
5 1 71 2 2
89 7
1315
1 2 39
1345
31
22
1
1 2 1 2 22
1 5 47 2 123 1 6 2 2
365
5 394 3 1 1 6 2 2
395
3 17 4 2 2
5
375 1 1234 89 1 2 6 2 2
5
1 5 123 1 2 2
1375
139 1 1 5 2 2
7
73 1 1 7 2 2
5
1 4123 71 6 2 2
7
365
3
1 1 1 1 25
22
395
5 89 1 2 2 2
1 1 3 5
5 5 13957 1 2 2
57 895
5
3 5
5 89 375
141 16 2
891
375
5 139 1 7 2 2
7
365
385
5 4 1 2 6 2 2
395
4315
1 2 2
43 5
5 89 1 2
22
43 5
4345
39431 716 2
4365
5 1 1 2 2 2
4375
6315
3
15
1
22
39 89 1 2
4395
63 5
71
22
4 89 1 2 6 2 2
7
7
7
4 1 2 6 2 2
1 5 123 4 1 1 3 6 2 2
22
3 5
3941 16 2
3 7 39 1 2
1 2 89 1
5
345
4385
1 2
1365
3 5
315
3 5 89 17
89 1 1 2
1123 2 2
1
5
13 5
315
1 62
141 1 6 2
5 471 1 6 2 2
7
1395
4 2 1 6 2 2
417
12375
13 5
5 5 7 1 1 2 2
7 895
385 89 1 1 5 2 4 1 1 567 1 2 2
1
3 5
1385
345
1 5 1234 1 2 6 2 2
2
5
5
89
1 27 1
22
1 1 71 2 2 2
5
63 5 89717 1 55 2
377
ОТВЕТЫ. ИДЗ 17
2 5 6712 1 1 89 5 1 3 3
4
12365
71 1 3 3
12385
1 1 1 1 1 3 3
5
3
712 1 2 1 3 3
16315
5 5 1 1 3 3
8
163 5
8 6 12 1 1 59 8 1 3 3
8
16395
2 16345
16375
17375
1
13 3
16325
1 2 1 1 3 3
2
17395
81 1 3 3
17325
2 6751 9 5 1 3 3
4
17365
12681 33 133 93333
6 1 1 9
13 3
8
17385
28 7126 1 2 59 1 3 3
5
3
1 1 1
18315
18345
2712113333
18325
6 1 1 9 2 1 3 3 18385
6 1 1 9 1 1 335133213333
1 395
82
1 345
11
13 3
7 1 1 3 3
345
375
1
2
2
7 1
13 3
12 1 1 13 3
12 1 2 4
4
6 1 1 9 1 3 3
8 8
5 8
51 1 13 3
4 5
7 1 1 3 3
1 315
2 7 6 1 2 89 1 3 3
1 325
13381833 3333
1 375 8 681 1 9 1 1 3 3 1 385
395
126 1 2 39 1 3 3
173 5
13 3
12 1 2 3 5 1 5 1 3 3
44 4
8
2
4
16365
17315
18395
18375
7123193333
5
813333
712
6
13 3
2 712 1 1 712 8 1 1 85 1 3 3
8
8
8
8
16385
1
17345
712 1 2
8
12325
1 1 12 1
2
12375
4
13 3
12345
2 712 1 1 712 8 1 2 4 1 3 3
5
183 5
3
1 2
5
1
13 3
1 1 5 1 3 3
18365
71263133 93333
5
3
1 3 5 2 86
1 1 92
8
13 3
1 365 2 8 6 7712 81 9 1 3 3
5
315
2 64 2 1 8 9 4 1 3 3
5
3 5
325
7621331 93333
365
385
1 1 1 4 1 1 3 3
5
3
7 1 1 3 3
1262133893333
3
378
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 18. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1213
2 34 1 1 1 1 2 5 2 56 1 1 2 5 1 2 7
1273
5
6 1
1253
11 6 1 6
1
1 1 1 2 6 4 11 2 5 6 1 1 2 7
1
6
5
1293
6 34 11 1 2 5 1 5 34
1
1 1
11 2 5 1 2 7
11 1 5
189
5
11
12 7
1263
1 1 1 5 34 1 1 2 5 1 34 1 2 5 1 2 7
1 15
1 1
1283
5 4 11 1 5 4 1 1 2 7
2
12 3
121 3
4243
5 34 1 2 5 1
1
31 2 5 4
1
1 16 1 2 7
5
5 34 11 1 2 1 1 5 1
7
16
34 1 2 2 5 1 2
1
5
1 2 1 5
89
11 1 2 7
4253
5 34 61 1 1 2 7
52
4263
1 6 2 1 1 1 11 2 6 34 11 1 5 1 2 7
6
1
4273
2 5 1 1 5 61 1 2 7
5
4283
21 1 1 1 6 1 1 2 7
1 6
1
42 3
89 4 1 2 1 2 7
1
4293
5
1
25
1
11
2 34 1 1 2 7
34
5 61 1 1 2 1 2
6
42 3
5 34
1
12 7
6
1 1 5
421 3
5213
2 1 2 1 1 2 189 4 1 1 2 7
1
5243
34 1 6 1 51 1 1 1 2 1 2 7
5253
5
12 7
1 1 1
5263
5 1 1 11 1 1 2 34 1 1 2 2 5 34 1 2 1 1 2 7
1
1 11
5273
2 5 1 2 5 1 1 2 7
51
2
5283
1 1 5 11 1 2 7
1
52 3
89 4 11 2 5 1 2 7
5293
1
1 2 1 1 2 7
5 34 1 2 1 2 6 1 2 7
6
1 211 6
12 3
4213
11 1 2 7
1243
5
1
11 2 5 11 1 2 7
1
52 3
34 1 2 6 1 2 7
1 21
521 3
6213
6 89 4 11 1 5 2 1 1 1 2 7
1
6243
2 34 1 2 5 1
6
3
4
1
1 2 5 1 1 2
6
5 34 61 1 2 11 1 2 5 89
6
6 5
1 34 1 2 5 34 1 1 2 7
34 1 7
61 2 5 1 2 7
5
379
ОТВЕТЫ. ИДЗ 18
1234
2 34 2 1 21 1 1 3 5
1
1214
1254
22 9 1 13 5
1264
6 1 2 1 4 61 1 2 4 1 1 3 5
1
6
21
1284
2 34 1 2 2 1 1 2 21 2 2 1 3 5
22 9
1
1274
2 34 4 1 1 3 5
2 2 789
22
1294
52 4
11
34
1
1 22 1 3
5
22
11 1 11 1 1 2 2 6 11 1 1 2 1 3 5
1
12
1 1 6 2 11 2 789
6
4
1 13 5
2 2 34 1 1 1 21 2 21 1
5
1 2 34 1 1 1 2 1 3
1 1 111 52 4
2 34
1
3 11 4 1 3 5
1 1 1 2 2 7899
5234
2 34 1 1 1 11 1 3
5
1
5214
1 6 2 1 1 1 1 2 34 11 1 2 1 3
5
2
5254
2 2 9 6 11 1 2 9 11 1 3 5
2
5264
2 2 9 2 1 2 2 9 21 1 3 5
2
1
2
1
5284
7894 1 2 2 1 3 5
1
1
5274
1 21 13
5
1
3 4
3 4
2 34 11 1 1 1 2 2
1
5
2 34 1 1 1 2 1 3
1 111 5294
2 34 1 2 6 1 3
5
2
1 126
62 4
7894 1 2 2 2 1 1 1 3 5
62 4
6234
2 34 1 1 1 1 3
5
1
6214
6254
2 1 2 2 4 11 1 3
5
1
6264
6 1 1 2 4 11 1 2 4 1 1 3
5
61
6284
2 34 1 2 2 1
6
6
6274
6294
11
1
1 34 9 1 1 3 5
2 789
1 1
11 1 2 1 3
5
1
52
4
62
2 2 2 2 1 1 2 2 7899 6 61 1 3 5
1 6 2 1 1 789
6
4
2 34 1 2 61 1
1
1 13 5
31 2 26 4 2 1
1 6789
13 5
1 26 13
5
1
72 4
7894 1 1 1 1 1 1 1 3 5
1
72 4
1 2 1 34 1 1 1 3
5
6
7234
2 34 2 1 1 6 1 3
5
6
7214
2 2 1 6 2 2 34 2 2 1 6 1 3 5
6
6
7254
2 2 1 19 1 1 3 5
7264
6 1 2 2 4 11 1 2 4 1 1 3
5
61
6
380
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4 789
51 2 6 2 2 3
4
1213
12 1 1 1 2 2 3
1253
789121 1 4 2 2 3
12673
1 1 1 2 1
4
3
1 44 78912 41 1 2 2
4
4
4263
1 4 4 1 41 2 2 3
4
4283
12 1 2 4 2 2
3
4
1
4293
1
22 3
12 1 1 912 1 2 2 3
42 3
34
4213
12 1 2 4253
14 5
9 1 2 2 3
1 1 22
3
1 2
1243
42673
5263
4 78912 1 1 4 4 2 1 2 2
3
4
5283
5293
1 78912 9 1 2 2 3
52 3
52 3
4
5
12 4
4
61 2 2 3
411 4
4
42 3
4243
78912 1 2 2 3
11
42 3
4
51 2 2 3
1 1 4 2 1 1 4 1 4 2 2 3
31 1 4 1 1 45 4
3
1
22 3
1 2 1 2 4 114
52 3
5243
4 1 1 22
3
1 14
1 1 4 2 2 3
1 2 4
5
1 2 2 3
31 1 4 1 4
5213
4 12 1 1 1 2 2
3
5253
1
1 1 22
3
1 1
52673
4 1 114 2
5
5
3
5
1
1
4 22
2
789
4
67263
4 78912 1 2 2
3
5
67283
1 912 1 2 67293
4 42
41
672 3
412 4
4
67213
1 4 912 1 1 31 2 2
3
31
51 2 2 3
1 22 3
112
672 3
672 3
67243
1 22 3
1 2 12 1 9 1 2 9
4 789
4
3
1 22 3
11
12
22 3
314 22 3
1 2
22 3
381
ОТВЕТЫ. ИДЗ 18
1
123125
1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 8
11365
1 1 1 9 1 2 1 1 34567 9 21 1 2 8
12345
11315
1 91 2 1 1 1
2
1 34567 1 1 2 1 2 8
21
21
1
2
1 1 1 1 1 1 12 1
9
12
8
11375
34567 21 2 1 2 8
11385
1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 34567 1 1 2
8
2
11395
1
12 8
2 52 1
113 5
1 1 1 1 2 1 1 2 8
2
113 5
1 1 2 1 1 1 2
8
113 5
1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 8
11345
1 34567 1 2 2 1 2
8
2 11
11
113125
16315
1 1 2 1 1 1 2
8
16365
16375
2 1 3 5 21 1 2 8
2
16385
2 567 1 1
16395
2 12
8
1
163 5
1 67 1 2 1 2
8
2
16345
1 1 2 2 1 2
8
1 21
17315
345
2
1 1 9 2 12 1 2
8
22
9
3
2 121
2
4
2
2 345 21 2 1 1 2 8
1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 2
8
2
9
12
2
1 2 1 9 1 34567 1 1 2 8
2
163 5
1 1 1 1 9 1 1 2
8
2
163 5
1 345 1 2 2 1 2
8
2
2 1 2 1 1 12 2
163125
17365
2 1 2 1 1
2
31 2 12 4 1 9
2
2 1 1 1 5 1 1 2 8
17385
17395
1 9 1 1 2
8
29
173 5
1 1 2 1 1 1 2 1 2
8
2
2
173 5
345 1 2 1 1 2 8
2
2
67 2 1 1 5 1 1 2 8
17345
1 34567 21 2 1 1 2
8
173125
18315
1 345 21 1 1 1 2 9 1 2 1 2
8
2
2
18365
8
3 34567 1 1 1 2 1 1 1 2 1 34567 1 1 2 8
9
17375
173 5
12
1 2
2
1 2 1 1 2 2 1 1
1 21 2 1 21 1
9
2
12 8
2 1 34567 21 1 1 1 2 8
1
12 8
2345 2 1
382
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
12345
2 31 1 45 1 6 2 1 2 7
1
12325
12365
9 1 2 9 51 12 7
8
8
12375
12385
9 1 81 2 9 8 81 2 9 45 81 1 2 7
1
8
12395
45
123 5
16315
8
1 29
1 2 12 7
1 2 9 45 8 1 1 8 1 2 7
8 8
1 8 1 9 45 1 8 2 9 1 2 7
8 8
9 5 12 9
9
9 45 1 1 9 1
8
1
52 1 1 2 7
31 1 91 4 1 99
8
12 7
1231 5
9 45 21 8 2 81 2 2 1
7
8
1
45 21 2 9 2 9 1 2
2 9
21 2 9 1 9
163 5
28 9 1 8 1 1 2 7
16345
2 9 1 1 1 8 1 1 2 7
8
16325
1 2 2 21 1 1 1 2 7
16365
2 9 1 1 9 9
16375
9 1 2 9 5 81 1 2 7
1
16385
163 5
2 9 9
2 1
12 7
1 2 9 1 1 2 7
8
9 45 1 2 8
1 1 12 7
16395
9 45 1 2 9 1
8
31 2 9 4 1 12
8
12 7
1631 5
45 3 1 2 868 2 2 1
8
7
1 99 45 1 2 8 2 2 1 2
8 2
1 281 2
17315
9 45 81 1 9 1 1 1 8 1 2 9 1 1 1 8 1 2 7
8
1
173 5
2 1 1 2 7
452
17345
9 5 1 2 1 2 7
2
17325
1 2 2 21 1 8 1 1 2 7
2
17365
2 9 1 2 9 81 1 2 7
98
1
17375
1 2 9 531 1 2 86 1 2 7
8 17385
45 81 1 9 81 1 2 7
8
17395
9 5 81 2 9 1 2 7
8
173 5
9 45 81 2 2 2 1 2 7
8 81 2 2 1 1731 5
18315
8 9 1 1 1 8 5 1 1 2 7
183 5
22 9 2 1 8 2 8 3 5 1 62 1 2 7
2
18345
9 5 1 81 1 2 7
18325
9 1 1 1 81 8 1 45 1 8 2 1 1
1
7
1 9 45 1 2 8 1 2
8
1 18
2 1 8 1 1 1 92 2
2 45 1 1 2 1 3 1 1 268 1 1 1 2
7
383
ОТВЕТЫ. ИДЗ 18
1 1 1 3456 1 2 2 456 31 2 2 8
3
7
12345
12325
2
3
3 311 4 1 13 3 311 4 2 1 2 2 8
1
2 6 1 1 7 2 2 8
3
1 13
12385
17315
1 3 1 1 1 6 1 2 1 3 1 1 2 2 8
12365
1 3 2 2 9 4 1 1 2 9 41 1 2 2 8
2
12375
2 6 1 1 3 2 1 1 33 1 2 2 8
3
3
123195
173 5
31 1 23 4 2 2 8
2 6 1 3 1 1 2 2 2 9
3
7 7
1 2 2 9
1
11
22 8
173 5
2 3 456 31 2 2
8
3
173 5
17345
2 456 31 1 2 456231 2 2
8
7
37
17365
1 1 2 9 47 1 2 2 8
7
17375
6 31 3 1 1 2 23 2 2 8
12
2 22
8
456 1
17325
19
17385
2 9
2
18315
1 2 1 6 1 3 1 2 2 2 8
3
1 12 2 2
8
3
173195
3 1 1 1 1 3 2 1 1 3 1 6 1 2
1
22 8
1 31 3 1 1 2 2 2
3
2 22 6 1 1 2
7
7 3
31 1 7 4 1 22
3
8
22
183 5
3 3 2 6 1 2 2 8
183 5
2 1 3 1 2 6 1 3 2 2 2 9
3
3
18365
1 9 4 7 1 2 9 41 7 1 2 2 8
7
23
18375
2 9456 7 1 1 1 2 2
8
3
18385
2 6 31 2 1 1 1 2 2
8
3 1
31 2 1 2 1
183195
2 6 31 3 2 1 2 2 2
7
8
2 1 9 7 1 2 2 2 2
3 9315
1 2 6 1 1 31 3 2 2 8
7
93 5
331 2 2
8
93 5
1
183 5
18345
18325
2 456 1 2 2 456 1 2 2
8
2
3
13 2 2
93 5
9345
9325
2
22 8
4561 11
3
1 1 1 2 2 8
2 9
1 2 9 431 2 2 9 4 1 2 2 8
7
3
2
3
31 1 2 9
3
31 2 2 8
3 4
12 9
1 22 8
3 4
1 11
22 8
1 3 1 1 2 31 1 9
1
1 22 8
9365
456 1 2 1 1 2 4561 1 2 1 2 2 8
1
9375
6 1 1
3
2
31 1 3 4 1 27
3
22 8
384
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 1 45 1 1 12 3 2 2 7
1 21
6
12345
16365
1
1 18 2 6
5 1 2 2 7
3
123625
45 81 3 1 91 2 8 2 2 7
16315
1 45 35 8 1 2 6 2 2 7
3
16375
1
11
22 7
53 81
16385
8 1 3 2 81 8 2 1 2 1345 1 1 8 2 2 7
3
16395
1 1 2 5 1 2 1 5 81 2 2 7
8
6
163 5
1 8 1 1 5 81 8 2 2 7
6 163 5
1 1 45 38 1 2 2 7
8
163 5
1
8
16345
8
3
163625
9 45 81 8 1 91 2 8 2 1 45 1 1 8 2 2
7
6
18
1 1 12 8
1 51 91 2 2
7
9
6 1 2 3 2 2 7
3
11365
45 1 8 1 9 1 45 1 1 9 2 2 7
8 9
12 9
11315
11375
1 1 45 1 91 3 2 2 7
19
11385
11395
1 1 1 1 5 31 2 2
7
8
113 5
113 5
18 45 5 1 1 1 2 2 7
113 5
11345
17365
17375
8
6 1 1 3 2 2 7
1 8 1 1 1 845 1 2 1 8 1 1 2 2 7
16
1 2 2 7
8
5 6 1 1 3 2 2 7
3
81 2 3
1 2 2 7
34
35 1 1 53 1 2 2 7
3
3
1
3
5 31 1 8 2 2 7
1
113625
1 45 6 1 8 2 1 1 13 2
8
7
9
2
45 6 1 2 3 1 1 2 2
8 1
6 1 2 3 2 1
17315
1 45 1 2 45 8 1 2 2
7
8
17385
1 8 2 45 1 2 1 8 1
8
1 2 2 7
34
17395
1 1 2 3 81 1 1 5 6 1 2 2
7
8
173 5
6 5 1 1 6 53 1 2 2 7
6 3
6
173 5
1 1 8 31 1 1 45 5 31 2 2 7
3
173 5
17345
1 45 81 2 1 9 2 2
7
9
81 2 2 9
173625
1 45 31 8 2 1 2 1 2
7
2 39
1 2 1 2 2
3 11
11
18365
45 1 2 1 8 2 1 2 3 1 8 2 1 2 2 7
18315
1 8 45 3 3 1 2 8 2 2 7
1
3
5 31 2 1 2 2 7
385
ОТВЕТЫ. ИДЗ 18
12345
9
2 45678 31 1 1 2
3 4
12325
2 1 2 11 2 9
3
1 2 2 2 2 1
12365
2 3 6 11 2 3 6 1 1 2
1
12375
12385
2 2 678 1 1 1 678 1 1 1 1 2
1
12395
2 45678 1 1 2 1 2
1
1
123 5
163 5
2
3
1 3 1 2 2 45678 1 1 2
2
3
16345
33 1 1 1 1 2
3 4
3 4
123
5
2
1
122 1
9
1 23 12
11
31 2 29 4 1 19
3
3 1 1 23 4 2 1 13
3
2
3
2 2 1 2
16315
2 45678 31 2 2
16325
1 3 1 2 1 1 21
1 22 1 2
1 13
2 1 1 3 1 2
1 2 12
16365
2 2 6 1 2 2 6 1 1 2
3
3
16375
16385
9 78 1 2 1 1 2
9
16395
456 31 1 2 1 2
5
2 31 3 2 1 2 2 2
3
2
163 5
173 5
1 2 2
12
1 13
145678 1 2 3
2 17345
1 11
163
2 1 13 1 2
17315
12
17325
1 1 2 31 1 2
3
1 2 2 1 1 2 23 2 2
2 3
3 1 1 1 1 3 1 31 1
1
1 22 1 2
11 1 3 6 1 2 31 1 2
17375
2 2 69 1 1 2 6 1 1 2
9
17385
2 78 1 1 2 9 2 78 1 2 9 1 1 1 2
1
17395
456 1 1 2 1 2
3
173 5
183 5
18345
18365
1 2 2 2 1 2
1 2 1 2
45678 11 2 2
1
1
2 23
9
2 1 11 3 1 2
31 1 2
2 2 61 2 2 611 1 2
2
9
173
5
18315
12
2 78 1 31 2 78 31 1 2
3
3
17365
2
2
12
31 1 2 4 1 291 2
3
2
2
2 45678 1 1 2 1 2
3 1
1
22
3
2 2 1 1 2
18325
1
2 1 1 1 2 2 45678 1 1 2
1
3
3
18375
62 2 1 2 2 61 2 2 1 1 2
1
386
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12
2 34 1 1 3 2 34 1 4 1 4 2 5
1
2
2
12324
7
12364
15374
34 1 4 6 4 2 5
1 3 6 89 1 6 4 6 4 6
6
7
1
15394
34 1 4 2 5
6
34 13 1 4 2 5
12354
7 89 1 4 1 4
6
6
1 1 4 16 2
6
3 7 42 5
2
123784
7 89 1 3 76 3 2 4 7 89 1 3 1 4 2 5
1 47
1
76
15314
3 7 89 7 4 1 61 4 2 5
153 4
1 6 4 11 4 71 89 1 3 1 4 2 5
6
7 1 4 7 9 67 3 1 4 2 5
6
2
153 4
3 7 2 1 3 7 61 4 2 5
2
153 4
15324
7 34 6 2 1 4 7 89 2 1 4 2 5
2
15354
89 1 4 7 4 1 4 76 3
1
42 5
2
6
34 1 3 4 2 5
1
153784
3 7 89 1 3 7 3 6 4
6
2
7
5
4 7 89 1 3 1 6 4 2
7
1 47
34 1 3 1 89 1 6 4 6 4 2 5
6 6
16314
1 3 89 7 4 1 4 7 89 2 7 4 1 4 2 5
2
16394
7 89 6 9 61 4 2 5
2
163 4
163 4
7 1 3 7 9 2 1 4 2 5
16
163 4
16324
3 7 34 6 1 3 3 89 9 1 3 4 2 5
6
16354
6
1
15364
16374
6
6
16364
7 89 2 1 3 77 3 7 4 2 5
7
2 1 3 77 4 7
98374
1
98394
9 1 4 7 3 1 6 4 2 5
3
6
42 5
19 1 1
6
89 1 4 1 4
6
2
1
11 4 16 2
6
3 71 4 2 5
2
6
98314
36 6 1 3 7 7 3 2 1 6 4 2 5
6 89 6
6
983 4
1 6 4 1 3 89 1 3 7 4 2 5
6
7 9 61 3 7 9 2 1 4 2 5
2
983 4
98324
7 34 1 11 3 7 34 11 4 1 4 2 5
1
98354
34 2 1 4 7 4 2 5
7
3 7 1 4 7 1 1 4 2 5
7
7 89 1 3 1 3 6 4 77 89 1 3 2 4 2 5
2
6
2
6
1 47
3 7 61 4 2 5
7
6
7
34 1 4 2 5
163784
983 4
98364
6
3 1 3 7 89 1 6 4 7 4
6 6
983784
7
6
9 2 1 4 7 4 2 5
7
6 11 6 3 11 3 7 4 2 5
1
387
ОТВЕТЫ. ИДЗ 19
ИДЗ 19. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ
1213
1 1 12 56 1 1 1 2 1 12 56 1 2 34 1 12 2 2
7
8
19
1243
1253
1 1 2 13 1 1 113 1 2 13 1 2 2
1263
1273
1
4253
1 1 2 33 1 1 1 3 1 1 2 2
4263
3 232
1 13 1
3 1 31 3 2 31 4 2 7
1
22
3 17 1 11 2 1 4 56 1 1 18 2 1 1 1 2 2
5243
5253
1 1 33 1 1 2 3 1 1 2 2
5263
5273
1
7
1 56 3 2 7 2
1 13 1
3
1
4
1
3 2 7 1 22
1 13 1
5283
6 7
1
6 7
1
67
3
1 3 7
19
1 3 6 13
6283
1 3 7 7
7213
1 56 6 1 1 1 2 2
7243
7253
1 1 1 3 3 1 1 113 1 2 13 1 2 2
7263
1 321
1
3
2
4
22
4
6 1 2 2
7
1 1 3
1
1 2 3 6
6263
1
1
4
4
3
6 3
6
1 1 1 2 11 2 73 1 1 2 2
3 1 31 3 1 31 4 2 2
3
6 7 2 2
1
6 11 2 3 1 2 2
1
6253
1
3
1 3 3 1 1 1
6243
6
4
3
1 1 12 56 1 1 1 12 2 2
7
8
1
6 1 2 2
6 7 2 3 6 1
1 32
6213
6273
4
6 7 2 2
1
6 11 2 3 3 1 1 1 2 2
1
13 5
31
1 3 56
1
4 1 3
4
6 1 2 3 7 7
1 3
4283
5213
7
3
3 1 3
1
4243
1 2 56 1 2 3 2 1 1 2 2
3 2 1 1 56 3 1 1 1 56 1 1 1 3 2 2
32 1
1 56
3 56
1
1283
4213
4273
1
3 1 31 3 2 31 4 2 313 2 2
1 3 56 3 2 3 2
1 13 1
7
3 2 11
3
3
1
4
1 1 3 1 1 2 2
3
4
1 2 2
1
6 1 2 2
1 2 3 56 1 1 2 3 2 2
1
6 1 1 3 6
71
6 1 2 2
22
388
1213
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3 45
2 32 4
2 32 1
1 2 23 2 3 21 2 3 63
1
41 7
1243
4253
2 1 45 2 1 4 2 3 2 1 4 2 45 2 1 4 2 4 1 7
1
1 1
4263
4273
2 4 2 1 5 12 4 2 8 12 3
6
6
7
2
3 5 12 4 1
4283
4213
3 45
2 424
2 42 1
1 2 24 2 4 21 2 3 63
1
41 7
2 1 45 1 2 3 2 1 45 2 4 2 1 4 1
7
1
1
6
9263
9273
23 2 4 1 7
9283
3
8 5
1
1 2 23 2 4 1 2 4 1 7
3
273
1 3 2 3 2 4 1 7
283
1 22 3 21 2 3 63
1
41 7
243
253
2 1 45 2 4 2 3 2 2 1 4 2 2 3
1
6
1
7
2
3 45 2 4 2 4 1
1
263
273
2 1 3 12 4 3 2 4 1 7
283
213
3 2
8 5
1
2
2 32
2 41
7
2
1
5
2
3 2 89
89 2 3 2 5
1
6
5 273
2 3 2 1 3 3 2 3 123 3 2 3 13 3 2 4 1 7
5 283
7
2
1
89 2 4 1 7
1
889 2 4 2 2 1 3 2 45 2 4 2 1 4 1 7
2
1
89 2 4 1 7
1
2
1
8 5 2 4 5 1
6
1 21 4 21 2
8 5 2 4 1 7
89 1 2 3 2
89 2 4
4 2 45 2 1 4 2 4 1
1
3 2 5 3
1
3 2 89
3
1 21 4 21 2
1
5 263
8 5 2 4
8 5 2 4 1
2
1
243
5 253
2
8 5 2 4 89 1
2 5 45 2 3 8 45 2 4 1
7
1
2
8 5 2 4
1
7
2
8 5 4 1
1
89 2 4 1 7
4
2 5
6
1
1
89 12 4 1 7
89 12 3 2 2 1 4 2 452 4 2 1 4 1 7
2
263
3 45 2 3 2 4
2 1
3 1 8 1
8 3
4
3
2 5
2
2 45 2 3 2 4 1
7
8 5 1 4 1 7
2
889 12 4 2 2 3 2
6
9243
253
213
21
1
8 5 1 4 1
2
4243
9253
9213
2
1
1 89
3
1
2
89 2 4 1 7
8 5 2 4 1 7
889 1 2 4 2
889 2 4
4 2 452 4 2 1 4 1
1
2 5
1
7
2
89 2 4 1 7
7
389
ОТВЕТЫ. ИДЗ 19
12345
4 1 345678
2
1 1 13 1 3 12 2 3 2
11315
1 8 1 4 8 1 4 3 2
1
1
1
11375
11385
1 3 1 1 678 1 3 1 56 1 3 2
2
11395
4
11345
1 41
41 3 2
11365
17315
1 9 8 1 4 1 9 8 1 3
19 3 2
9
17375
17385
1 3 1 1 678 1 3 1 56 1 3 2
2 2
17395
4
17345
18315
18385
18345
19315
19385
19345
1 31
41 3 2
1 9 8 1 3 1 4 1 9 3 1 4 345
9
9
9
1 32
4 1 56 1 3 1 678 1 3 1 56 1 3 2
2
4 1 8
1 313
1 41
8 56 1 1
2
1 3 1 3 1 32
1 41
2
13
1 41 32
1 678 1 3 1 56 1 4 1 678 1 3 2
2
4 1 8
1 41 3
1 31
1
2
1 4 1 3 1 32
1 31
2
95
1
2
345678 1 3 2
2
1345678 91 2 3 9345678 91 3 2
1 345678 1 3 1 4 1 3 2
345678 1 4 678
9 2
1 345678 91 2 3 2
2
1
1 34556 1 4 1 4 1 3 2
18395
4 56 345678 1 3 569 345678 1 3 2
9
1
18365
2
1
2
1
1
1
2
2
2
56 345678 1 3 1
1
4
56 345678 1 4 1
1
4 56 345678 1 3 2
1
1 8
9
9
19375
4 1 4 1 5 34556 1 4
1 3 1 32
9
9
19395
1 8 56345678 1 4 1 3
56345678 1 3 1
3 56345678 1 3 2
19365
4 1 678 41 345678 4
1
1
4 1 678 345678 3 2
1
1
4 1 4 1 5 345678 1 3
1 4 1 32
9
9
14385
1 4 1 1 678 1 4 1 56 1 3 2
2 2
14395
32
345678 1 4 2 678
2
18375
14375
1 31
1 4 1 81 4 2 1 3 2
2
4 5641 345678 1 3 2
1
1 678 8 1 3 56 8 1 3 2
14
1 345
1345678 1 2 3 2
9
17365
14315
14345
41 5
1
12365
9
14365
1
1
2
2
9
345678 1 3 5
1
9
1345678 11 2 3 2
1
2
345678 1 4 1 678 2 345678 1 3 2
390
12314
1 1 23 1 1 1 2 2 4
1
1
12354
1 5 6789 51 1 1 1 2 1 6789 51 2 2 4
5
12364
1 1 1 8 51 2 1 3 51 2 2 4
12374
8 6789 1 1 1
1
2 1 23
22 4
8 6789 1 5
8 6789 1 2 1
12324
15 8 6783 1 2 8 6783 1 2 2 4
12384
5 22
4
1 11
1 12
19314
1 23 1 2 1 1 1 2 23 1 2 1 2 2 4
19364
1 1 1 5 8 51 2 1 1 3 51 2
5
5
4
2 1 8 51 1 1 2 2
19384
1 1 6783 1 5 2 2 4
1 25
19324
1 314
1 89 1 5 238 1 1 1 2 2 4
1 354
1 364
1 1 1 8 51 2 1 3 51 2 1 1 5 2 2 4
5
5
1 374
1 384
4
3
3 1 11 5 2 5 4 2 51
5
1 1 23 1 2 5 2
1 15 3
8 6789 1
4
1 5 23
4
3
5 1 2 1 6783 1 2
19354
19374
4
3
111 22 4
3 4 22 4
8 3 6789 1 4 2 1
8 6789 1 1 1
4
3
8 6783 1 2 2 4
1
15 1 1 1 6783 1 2
1 1 89
1
2 2 4 1 324
12 1 22 4
36783 1 4 2 2 4
1
22 4
3 6789 1 1 314
23 1 23 23 1 1 23 1 2 2 4
1 354
15 1 1 1 6783 1 2 5 1 2 2 4
1 364
13 1 1 1 5 2 1 2 2 2 4
1 374
56783 1 2 3 56783 1 2 2 4
5
5
1 384
3 1 11 5 2 5 4 1 1
5
1 1 23 1 2 5 2
1 15 5 314
1 23 5 1 1 51 23 1 2 51 2 2 4
5 364
1 5 1 1 2 1 3 1 2 2 4
5 384
51314
1
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 23 1 2 1 2
1 5
3
1 21
1 5
5 1 23 1 1
4
5
2 22 4
1 22 4
22 4
1
1 324
5 354
51354
1
22 4
3 6789 1
3
4
1 2 1 5 6789 1 1 23 1 2 1 2 1 5 2 2 4
1
5 374 1 5 23
5 324
4
3
4
4
3
3
3 6789 1 1 1
1
5
1
22 4
3 6789 1 2 1 3 6789 1
5
5
3
3
3
3
4
4
4
8 6783 1 1 1
2
1
8 6783 2 1 4
2 8 6783 1 2 2
23
5
1 1 1 1 5 6783 1 2 1 2 2 4
4
391
ОТВЕТЫ. ИДЗ 19
12345
12375
1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 13 2 3 4
3 61 1 61 4
1
1 6 1 6 2
1 1
2 5 23 4
12385
11325
6 1 1 6 1 1 1 1 1 6 1 1 6 2 3 4
1
621
1
621
11315
11345
2 1 2 1 1 1 51 2 3 2 3 4
11365
11375
14325
14345
14375
1
7 4
3
1 6 16
1 1 23 4
1 3 1 2 6 2 1 1 4 1 6 2 1 1 2 3 4
1
1 1 1 23 4
1
1 1 789 1 2 1
7 4
3
1 6 26
1 1 23 4
1 6 789 5
12365
11385
14315
6 11
1
1 6 15
11
1
1 6 789 1
16345
1 2 1 1 2 1 1 2 11 2 13 2 3 4
16365
6 6
17325
17345
17375
6 2 1 1 3 1 2 6 2 1 1 4 1 1 2 3 4
17315
11 789 1 2 1 6
1
7 3
4
17385
1 6 789 5
5
1
18315
18345
1 89 1 2 27 1 3 2 3 4
18365
789
18385
6
1
3 1 62 6 1 61 4 2 616 2 3 4
1
77 11 1 6 1 2 3 4
1
4
3
789 1 2 3 4
2 789 1 3 1 6 5 2 789 1 3 2 3 4
5
17365
1 789 1 5 2 1 3 1 789 1 1 1 2 3 4
1 6 6 1 6 2
1 26 1
5
7 1 23 4
1
77 11 1 6 6 1 1 1 2 3 4
1
1
18325
18375
4
3
1 6 7 5 2 7 1 3 2 6 7 2 7 1 3 2 3 4
5
1 23 4
6 16
1 23 4
5
789 1 2 3 4
1 6 15 2 789 1 3 2 3 4
5
14385
16385
4
7 6 23 4
1
7789 1 2 6 1 1 6
1
1
14365
1 23 4
4
789 1 2 3 4
7 6 2 6 1
1 1 6 6 1 1 1
1
3
789 1 2 3 4
3
16
1
16315
3 61 2 61 4
6
23 4
2 789 1 3
789 1 1 6 1 2 6
1
1
1 1 1 1 2 3 4
1 6 2 6 2
1 1
7 1 23 4
2 789 1 3 1 6
1
2 789 1 3 2 6
1 6 1
16325
16375
4
3
3
4
7 1 2 789
1
3
4
7 1 23 4
1
789 1 1 6 26 2 1 1 3 2 3 4
1
3
4
7 2
1
7 23 4
1
7 1 1 6 21
7 13 2 3 4
392
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12345
1 1 456 1 1 37 2 3 1 1 1 3 1 2 2 3 1 1
1
8
9
1
3
1 456 1 1 37 1 2
1
12315
12365
1 1 1 45 1 2 3 1 2 1 2
2
12375
12385
2 45
2 321 61 2
1 365
2 12
2 45
1 21 1 7 1 2
3
3 23 1
1 13 2
4
2
3 2 3 1 1 12
1 13 2
1 375
1 395
1 365
1 375
6 365
1 1 1 3 1 2 5 21 1 3 1 21 2
2
2
3
2 5 21 1 2
6 375
2
5
3
5 1 1 2
2
4
22 3 2 1
2
6 395
1
3
3
4
4
5 1 1
1
5 1 1 2
1
3
1
4
4
3
3
1 2 3
2
12
1 1 3
2
1 2 3 1 1 1 2
5 3
1
3
3
4
3
2 4
3
5 3 1 2
1
4
4
5 1 2 3
2
1
5 1 1 3
2
5 1 1 2
2
4
21 1 3 4563 1 1 2 7 1 2
3 4
1 2 1 1 2
1 45
1 2 6 315
6 385
3
1 395
2 3 2 45 1 2 3 2 1 2
21
1
3 1 31 3 2 12 4 1 2
1
2
45
6 345
2
4
2
12
5 1
1
5 1 2 5 2
2
2
3
21
3
1
3 1 1 2 3 1 2 5 21 2 3 1 21 1
9
1 3 5 21 1 2
4
3
2 3 1
1 315
3
8 3
2 3 2 12
1 1 2
2
1 2 2 1 1 2
1 315
1 456 1 2 1 37 2 21 1 2
2 3 13
5 1 1 3 2 1 2
2
12395
1 345
1 385
1
2
3 645 2 1 7 45 45 1 2 3 45 2 1 1 2
2
1 345
1 385
3 1 31 3 2 12 4
3 211
1 13 2
22 3 2 1
3
1 1 45
2
1
1
4
4
5 2 1 2
1
3
3
4
4
1 2 3
1
12
1 1 3
1
393
ОТВЕТЫ. ИДЗ 20
ИДЗ 20. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОТ ДРОБНОРАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
1213
123 1 1 1 2 4 23 1 1 4 2 1 23 1 2 5 2 2 6
1243
1253
123 1 1 5 1 23 1 1 2 1 2 5 2
6
2 1 4 789 11 2 5 2 2
4
1263
1273
1
4213
4253
4273
5
22 6
1 1 1
1
5
5
2
22 6
1 1 1 1 2 23 1 1 2 5 2 5 789
1
4263
1 22
6
6
3
1 1 2 1 2 23 1 1 1 2 23 1 1 4 2 123 1 2 5 2 2 6 4243
423 1 2 5 2 23 1 1 2 1 2 54 1
6
1 789 1 2 4 2 2
1
1
11 1 1 5 23 1 2 5 2 5 23 1 1 5 2
1 23 1 1 5 1
1 1 789
4
1 2 23 1 2 5 2 2 6
1 15
1 2 5 23 1 1 2
1
3
6
2 789
1 22 6
1
5213
1 23 1 1 5 1 5 23 1 2 1 2 1 23 1 2 4 2 2 6
5243
11 2 23 1 2 5 2 123 1 2 5 2 2 6
1
5253
23 1 2 1 1 5 23 1 1 1 11 2 5 2
1
6
2 789 1 1 5 2 2
4
4
5263
123 1 2 1 1 5 23 1 1 1 11 2
1
1 5 789 1 1 5 2 2
4
4
5273
5
22 6
5 1 1 5
3
6
6213
1 23 1 1 1 2 4 23 1 1 4 2 23 1 2 5 2 2 6
6243
11 2 23 1 1 4 1 23 1 2 5 2 2 6
1
6253
6273
1 5 1 5 789
1 15 1
1
1 22 6
1
5
22 6
4 1 2 4
7213
1 423 1 2 5 2 23 1 1 5 2 2 6
1
7253
23 1 2 5 1 5 23 1 1 1 1 2 54 1
1
6
1 789 1 1 1 2 2
4
7273
1
5
2
4 1 1 1 4
1 23 1 2 5 2 23 1 1 5 2 2 6
1
5
22 6
1 1 1
6263
3
1 1 1 1 5 23 1 1 5 2
2 5 23 1 2 5 2 5 789
1
1 22
1
6
6
6
4 22 6
1 15
7243
1 1 1 23 1 1 23 1 1 5 2
7263
423 1 1 5 1 5 23 1 1 2 11 2 1
1
6
1 1789 1 2 5 2 2
1
3
6
394
1234
1264
1 1 1 23 1 2 4 1 23 1 1 1 1 523 1 1 6 1 2 7
1 1 4 89
6
1 1 4 23 1 1 1
1
1 12 7
1
2 5 89
6
1254
1274
1284
4
2 4 2
12 7
1 1 6 1 1 1 61
4
9234
2 23 1 1 4 1 23 1 1 6 2 5 23 1 1 5 1 2 7
9254
9264
123 1 2 4 2 4 23 1 1 1 1 1 4 1
1
7
11 1 4 1 2
1 4 89
6
6
9274
2
4
4
2
12 7
1 2 5 1 1 2 54
2623 1 1 1 1 6 23 1 2 4 1 2 7
1
1 12 7
1
4 23 1 2 4 2 4 23 1 1 4 2 4 89
1
1
1
7
11 1 2 6 23 1 2 23 1 1 4 2
1 14
1 23 1 1 4 2 4 23 1 1 1
11 1
1 12
1 4 89
1
12 7
1
7
4
7
254
23 1 1 4 2 23 1 2 1 1 2 7
1
264
2 23 1 1 4 1 23 1 1 1 1 1 46 1
7
1 16 12
1 4 89
1
1
274
4 23 1 2 1 2 46 1
4
1 2 1
7
1 12
1 46 23 1 1 1 1 89
61
1
284
4
4
1
12 7
1 2 4 1 2 4
4
7
234
1 2 23 1 1 4 1 123 1 2 4 1 2 7
1
254
264
123 1 1 1 2 23 1 1 2 11 1 4 1
7
1 24 1 2
1 189
6
274
23 1 2 6 2 23 1 2 4 1 23 1 1 4 1 2 7
1
4
7
9284
234
284
3 234
3 264
3 284
1
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 1 1 1 1 6 23 1 2 6 1 23 1 2 1 1
1 123 1 1 4 1 2
2
7
4
4
1
12 7
61 2 1 6 1 2 1 1 1 2 1 1 6 23 1 1 4 2
2 623 1 1 6 2 523 1 1 5 1 2
7
2 23 1 1 4 1 4 23 1 1 2 1 1 46 1
1
7
1 21 12
1 189
6
2
4
4
1
12 7
4 2 1 4 2 1 3 254
6 23 1 2 4 2
1 1 23 1 1 4 1 2 7
1 24
1 23 1 2 4 2 23 1 1 6 1 523 1 2
3 274
2 4 23 1 2 4 1 4 23 1 1 4 1
1
1
7
1 12
1 4 23 1 1 1 1 4 89
1
1
1
4
7
12 7
395
ОТВЕТЫ. ИДЗ 20
11213
123 1 1 4 1 23 1 2 4 1 5 23 1 1 5 1 2 6
11243
1 2 23 1 2 4 2 4 1 523 1 1 4 1 2 6
1 24
11253
25 23 1 1 5 1 23 1 5 2 51 1 7 1
6
1 24 1 2
1 4 589
1
1
11263
23 1 2 4 2 4 23 1 2 4 1
1 5
6
1 4 23 1 1 4 1 2
5
3
6
14243
2 23 1 2 5 1 5 23 1 1 4 1 2 6
1
14263
2 23 1 2 4 2 4 1
1 24
6
1 12
4
5
1 23 1 1 7 1 89
5
5
3
6
15243
1 1 23 1 1 4 2 523 1 2 4 1 2 6
1
2
11273
14213
14253
1 5 1 1 1 7 23 1 2 4 1
1 23 1 1 1 2 523 1 2 7 1 2
6
1 23 1 2 4 1 4 23 1 5 1 51 1 2
5
6
1
1 14 1 2
2 89
5
5
2
14273
4
12 6
5 1 1 15
15213
523 1 2 5 2 5 23 1 1 4 1 1 23 1 2 1 1 2 6
15253
25 23 1 2 4 2 4 23 1 5 1 1 1 4 1
5
6
44
51 1 4 1 2
1
89
1
1
15263
23 1 2 4 2 4 23 1 5 1 7 2
51 5
6
1 12
2 4 89
7
5
15273
4
12 6
4 2 1 3
6
16213
1 5 1 1 2 7 23 1 2 5 1
1 123 1 2 1 1 1 23 1 1 4 1 2
6
16243
2523 1 1 23 1 1 4 2
1 14
12 6
16253
1 23 1 1 5 2 23 1 5 2 51 1 4 1
6
1 24 1 2
1 89
1
16263
23 1 1 5 1 23 1 2 4 2 23 1 1 4 1 2 6
1
16273
4
4
2
12 6
5 1 2 4 1 2 3
6
17213
2 23 1 2 4 1 23 1 1 5 1 123 1 1 1 1 2 6
17243
51 2 23 1 2 4 2 23 1 1 4 1 2 6
1
17253
2523 1 1 5 1 4 23 1 5 2 51 1 7 2
5
6
1 24 1 2
2 4 89
1
1
17273
1
4
12 6
1 2 2
4
4
2
12 6
1 2 1 2 4
4
17263 2 23 1 5 1 7 1 23 1 5 1 4 1 89
1
1
3
6
1 12 6
396
12314
12364
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 12 1 2 3 2 4 12 1 2 5 1
1 612 1 2 7 2 2
8
612 1 1 3 1 12 1 6 2 61 2 7 1
8
13
1 23 2 2
6
6
1
12384
3
22 8
1 1 6
12354
4
8
1 2 612 1 1 3 2 3 1 12 1 2 3 2 2 8
1 13
19354
19364
1612 1 1 3 2 12 1 6 2 1 2 3 1
8
1 5
61 2 3 2 2
5
19374
3
3
1
22 8
1 1 3 1 1 39
8
3 12 1 1 3 2 3 12 1 2 3 1 3 12 1 6 2 2 2 8
6
6
6
1 12 1 1 3 1 34 12 1 2 6 2 39 12 1 2 5 2 2 8
1
2 712 1 2 5 2 2
12374
19314
19384
1 6 1 9 12 1 1 3 2 12 1 2 6 2
1 22 8
6
1 5 15
1 9
8
4
4 22 8
1 23
1 314
12 1 1 3 2 5 12 1 2 3 1 12 1 2 6 2 2 8
1 354
1 364
512 1 2 3 1 12 1 6 1 1 2 35 1
8
1
1 16 22
5
1 374
11 6 1 3 12 1 1 3 2 3 12 1 2 3 2
8
2 12 1 6 2 3 1 3
1 22
6
1 384
3
3
1
22 8
1 2 5 6 1 2 6
4
8
1 314
1 12 1 2 7 2 512 1 2 3 2 612 1 2 5 2 2 8
5
1 354
612 1 1 612 1 1 3 1 5 2 2 8
1 13
1 364
612 1 2 6 1 12 1 6 1 61 2 1
8
1 5
1 13 2 2
5
1 374
1 384
1
3
3
1
22 8
6 1 2 6 1 2 5
5 314
12 1 1 3 1 12 1 2 5 2 712 1 1 2 2 8
5 364
1 12 1 2 6 2 3 12 1 6 1 61 2 3 2
6
8
23
1 13 2 2
5
5
5 384
1
3
3
1
22 8
1 1 3 9 1 1 39
4
5 354
612 1 1 12 1 2 3 2
119
5
1 23
6 5
1 22 8
8
61 6 1 12 1 1 512 1 2 3 1
7 22 8
1 23
5 374
12 1 1 3 1 5 12 1 2 3 2
6
8
2 5 12 1 6 2 3 1 7
1 22
6
4
8
397
ОТВЕТЫ. ИДЗ 20
12324
12354
1 245 1 2 3 2 21 45 1 2 1 2 2
12314
3
3
2
22 6
27 1 1 182 7 1 1 18
1
11324
1 1 1 1 2 45 1 2 3 2
1
6
2 45 1 2 2 1 45 1 2 2 2
11374
6
1 45 1 1 2 91 2 32 2 2 45 1 2 3 1
6
1
1 2 2 2 2
1
12374
11354
1 45 1 1 3 2 2
1
1
1 2 3 2 2 6
1
3
3
1
22 6
7 1 1 8
97 1 1 89
12364
1 2 2 6
1
11314
1 45 1 1 3 2 45 1 2 3 2 2 6
1
11364
45 1 1 3 1 3 1
1 13
6
1 3 45 1 1 2 1
1 2 2
1
1
4
6
1 1 45 1 1 3 1 1 45 1 1 3 2 2 6
1
15314
15354
1245 1 2 3 2 45 1 1 1 1 2 32 2
6
22
1 1 1 2 2
2
15364
3
3
2
22 6
7 1 1 38 7 1 1 38
45 1 2 2 2 2
1 6
45 1 1 3 1 2 45 1 2 3 2 45 1 2 1 2 2 6
1
45 1 1 3 1 17 1 1 3813 1 45 1 2 3 2 2 6
4
15324
15374
4
3 45 1 1 3 2 3 45 1 2 3 1
1
1
1 2 2 6
1
6
16324
1 1 2 11 2 45 1 1 3 1
1
6
1 45 1 2 2 2 1 45 1 1 2 2
16314
16354
45 1 2 3 1 3 45 1 1 2 91 2 32 2
1
6
22
1 2 2 2 2
1
1
16364
3 2 3 45 1 1 3 1 3 45 1 2 3 2 2
6
1 1
1
16374
1 3 7 1 1 1812 1 7 1 1 181 2 2 6
2
4
6
17324
1
21 1 1 311 2 45 1 1 3 1
1 1 45 1 2 3 2 9 45 1 2 2 1 1 45 1 2
22 6
17314
1 45 1 2 45 1 2 3 2
1 23
1 1 1 45 1 1 45 1 1 3 1
22 6
2 22
6
1 13
17354
2 45 1 2 1 2 3 45 1 1 1 11 2 3 2
1
6
1 1 3 2 2
2
2
2
17364
1 1 2 45 1 1 3 1 45 1 2 3 2 2 6
1
17374
1 3 7 1 1 381 2 2 6
4
6
398
1 22 7
1 14
12345
1 123 1 2 4 2 5 23 1 2 1 2 123 1 2 6 2 2 7
12315
12365
23 1 2 4 1 4 23 1 5 2 81 2 41 1
5
7
1 21 22
19
5
12375
1 4 23 1 1 4 2 4 23 1 2 4 2
5
5
7
1 22
2 23 1 5 2 2 4 9
5
5
12385
4
22 7
8 1 1 8
5
7
11 5 1 451 2 23 1 1 4 1
1 5 2 23 1 1 23 1 1 4 2
7
19315
1 23 1 1 4 1
19365
523 1 2 5 2 23 1 5 1 51 2 2
7
1 14 2 2
2 19
1
19375
149
1
19385
1 1 2 114 2 4 1 2 115 2 2 7
5
5
19345
1 1 23 1 2 4 2 523 1 2 5 2 2
11 5 1 451 2 5 23 1 1 4 1
1 2 23 1 2 4 2 2 7
1 14
1 2 59
1
1 22 7
5
7
5 22 7
1 14
7
1 315
1 365
5 23 1 1 4 2 23 1 5 2 51 2 6 2
7
1 24 2 2
2 19
5
5
1 375
15 23 1 1 4 2 23 1 5 2 1
51
7
1 22
4
1 9
5
1 385
1 4 1 1 511 1 4 1 1 51 2 2 7
1
5
7
1 315
23 1 1 4 1 23 1 2 1 2 123 1 1 2 2 7
1 375
23 1 1 4 2 1 23 1 2 4 1
5
7
1 1 23 1 5 2 4 1 4 9
1 22
5
5
7
1 345
1 345
1 365
1 385
1 1 23 1 2 4 2 4 23 1 2 5 2 2
51 5 1 5 23 1 2 4 1 523 1 1
6 22 7
1 24
523 1 1 4 2 4 23 1 5 2 1 2 4 2
5
7
51 2 4 2 2
2 4 9
1
1
1
4
4
2
22 7
6 1 1 6 8 1 1 8
5 23 1 2 23 1 1 4 2
5 22 7
1 14
6 345
1 5 1 23 1 1 4 2 23 1 2 5 1 523 1 2 1 2 2 7
6 315
6 365
23 1 2 4 2 4 23 1 5 1 1 2 41 2
5
7
1 15 22
2 19
1
6 375
23 1 1 4 2 4 1 4 23 1 5 2 2 2 7
1 14 5
5
7
6 385
1
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
4
22 7
4 1 1 64
23 1 2 23 1 1 4 2
399
ОТВЕТЫ. ИДЗ 21
ИДЗ 21. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
1213
1
2 1 2 11 2 3 1 1 3 45
1
3
1 26 2 2 7
1243
4
1253
5 9 1 2 3 6
2 7
2 9 88 2 2 7
7
1
1
9
1263
1273
6 1 1 6 5 1 1 6 51 3 1 2 2
7
6
62
3
4213
2
1
1 16
1
1 3 45
1 1 16 2 3 1 16 1
1 16 26 2 2
4253
5 1 6
7
8
7 2 8 2 2 7
2 1
9 1
4273
1 9 9 1 2 9 9 1 2 2 7
6
5213
5253
5273
6213
7
6
2 1 2 45
6
1 16 2 2
7
1 26
1 1 6
6 45
2 2 22 7
9
1 2 2
2
1 1 1 1 2 1 1
8
2 1 2 1 1 45
8
1
22 7
1 21 21 22 7
4243
1 21
8
8
1
9
1 21 2
1
1
1 21
9
22 1 21 1
1 2 1 2 2
6 2 45 1 2 2 7
2 2 1
7
12
9
2
1 1 1 11 1 2 1 2 1 1 1 2
11
9
2
7
1
1 1 45 1 2 6 1 1 2 2
9
4263
2 2 1 2 2 1 2 2
7
9
3
7
5243
11 1 21 2 12 1 21 2 1 1 21 1
2
7
1
1 2 1 2 45 1 2 1 2 6 2 2
5263
6 2
2 1 2 2 7
7
3
6243
1 1 26
2
2
1
2
1 2 6 2 2 7
6253
1 1 3 1 26
2
1 6 45
22 7
26
1 1 3 2 26
2
6263
6 45 1 2 2
7
1 2 2
6273
6 1 1 6 5 1 2 6 51 3 1 2 2
7
6
62
3
7
7213
2 1 1 6 1 2 45 6 2 1 1 6 2 2 7
7243
1 11 1 1 1 1 1
12
2
7
2 1 45 1 1 2 6 2 1 2 2
7253
1 2 8 1 9
6 45
2 1
1 22 7
1
9
8
2 2 9
2 1
1
7263
3 3 1 2 2 7
2
1
7
400
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
21
3 456 3 1 1 3 456 3 1 2 2 7
1
21
1213
1 12 2 2 7
189
4253
3
7
4263
2 1 2 2 1 1 2 23 2 1 1 2 21 1
3
1 1 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 2 7
2 6
2 89
4273
4213
1 3
2
3
1 224
6
1
622 7
8
3
5
5
7
4 11 2 3
9253
1 1 1 2 2 189
9273
1 2 6
3
3
2 89
1
4283
42 11 2 2 7
1 12 2 2 7
1 12
1 22 7
1 2
1
1
11 22 7
3
7
9263
2 1 2 1 2 6 1 1 1 2 2 2 7
1
1
1 1 22
3 11 4
5
622 7
7 1 8
2 89
1
9283
9213
456 1 1 456 1 2 2 7
3
7
253
1 1 1 2 2
1 1 23 2
3
7
2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
263
11 2 2 2 11 2 2 2
1
7
2 6 11 2 2 1 2 2 2
9 11
283
273
213
1
1 1 6
1
1
3
2 2 2 1 2 2 7
22
456 1 1 456 1 2 2 7
3
22
89
253
1 1 1 23 2 2 1 1 21 2
3
1
2 1 1 1 2 2 1 1 2 2
2 1 1 2 2 6
273
213
5 253
5 273
1 89
23
31
5
5
7
3
22
1 4 1 2 4 1 2 2 7
3
22
1 1 1 2 1 189
1
1 12 2 2 7
2
22 7
1 21
1
1 1 1 2 2 7
7
7
263
3
1
1 2 1 2 1 2 1 2
1
3
6 1 1 1 2 1 3 2 7
2 1 2
3
1 1 12 2 3
1 12 12 2 2
1 22 4
6
1
622 7
23 8
3
1
1 2 2 2 1 2 2
1 2
3
2
2
2 1 6 1 1 1 1 2 2 2
283
2 89
1 3 14
5
622 7
7 1 8
3
7
5 263
2 1 2 21 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2
1
7
2 1 2 2 2 6 1 2 2 1 2 2 2
5 283
2 89
3 1 4 22 7
5
6
7 8
401
ОТВЕТЫ. ИДЗ 21
12345
11315
1
21
1 3 456 3 1 2 3 456 3 1 2 2 7
1
21
1 1 22
8
2 1 1 22
8
1
1
9
1
1 1 1 22
3
1 22
3
1
2
1
2
7
7
5
11365
22
11375
3 1 1 2 2 4
6
1 4 5
1
5
6 22 7
8
8
7
8
11385
11345
1 2 4563 1 2 1 4568 1 1 2 456 1 2 2 7
3
8
5
16315
1 1 1 14 1 2 2 7
16365
16375
21 1 2 1 1 2 2 1 31 2 2 7
1
1
9
16385
16345
2 1 9 22 7
4569 1 456 1
5
1
3
3
9
1 11 1
1 11 1 1
9
7
1 1 2 1 1 2 2
1
2 1 23
3 1 1 9
22 7
3 1 2 9
7
1 1 21
1 2 1 2 4 3 1 2 2 4 2 2 7
5
6
1
1 8
7
7
3
17315
17345
1 11 1 2
17365
9
17385
2 2 2 1 1 2 2 7
1 1
2 1 1 1
5
7
3
9
9
1 11 2
1 12 2 2 7
1 22
2 4 2 1 2 2 7
1
1 1
17375
9 2 9 456 9 1 2 2 7
456 1 3
3
2
9
1 1 2 91 2 2 1 1
9
3
1
18315
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 7
18365
18375
1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 7
1
1
9
18385
18345
3 6 3 11 1 3 6 3 11 2 2 7
2
9
1 11 22 7
1 21
2
7
1 22 2 2
91 2 2
3
2
91 2 2 2 1 9 91 2 2 1 7
2 2 9 91 2 2 1 1
1
9
91 2 2 2 91 2 2 2 2 2 2
1
2 1 1 2 9 1 29 2 2 7
29
1 1 2 9 2 29
7
5
14315
3
4
1 4 5 1 1 1 6 2 2 7
1 8
7
14365
14375
1 2 9 1 2
2 1
22 7
2
1 2 9 2 2
1
14385
2 4 3 1 1 1 4 2 2 7
5
6
1 2
3 8
7
14345
1
5
7
3
9
9 1 9 6 9 1 2 2 7
6 1 3
1
9 19 2
1
1 1 4 1 2 2 7
402
12314
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 6 1 1 271 1 6 1 1 272 2 45 6 1 1 273 1
1
3
1 456 1 1 27 2 82 1 1 2 1
1 499
12364
4
3
12384
4 19314
19364
1 18
2
22
1 14
2
1 4 44
1
44 1
12374
22
4 8 1 1 4 1 1 2 2
8
1
8
19354
2 1 1 2 5 1 2 2 3 3 3 5 1 4 2 2
3
3
19374
4 5 4 1 6 2 2
7
8
3
9 3
8
4
4
1
1 384
1 1 354
1 374
4 5 3 1 6 2 2
7
8
41
9 1
1
1 1 1 4
4
1
4
1 22
2 6 2 1 7 2 2
2
1 4
1
1 384
4 1 2 4 51 1
45
42
1 4 421 1 4 41 2 2
42
185
4
5 314
5
6
2 1 1 2 1 5 7 1 1 2 8 2 2
3
3
9
5 354
5 384
1 5
5
1
3 4 2 1 22
4 2 2 1
2
1 1 1 45
1
1 2 1 25
25
1
1 22
2
1 374
1 364
8 1 1 3 1 1
2
22
8 1 1 3 2 1
2
1
5 15 1 3 13 2 2
1
2
2 1 14 1 5
1 1 2
2
1 14 2 3 2 2
1 354
1 314
5 364
1
1 1 23 22
2
1
1 5 15 1 5 15 1 2 1 1
8
1
5
1 14 2 2
5
15 1 13
5
1 24
1
2 6 1 1 27 2 2 456 1 1 27 2 2 2
1 364
4
3
2 1 2 9 1 4 4 1 2 2
2
2
4
2 6 1 1 27 2 2 42 6 1 1 27 2 2
8
1
3
3
2
1 14 2 2
1 24
4
1 2 3 1 4
2
22
1 2 3 2 4
2
1 4
4
1 314
5
1 12 22 22
5
6
2 1 1 2 1 2 7 1 1 2 8 2 2
2
9
19384
5
2 1 2 55 1 23
12354
5 374
4
8
1
5 6 1 2 47 5 1 6 1 2 47 2 5 6 1 2 47 5 2 2
8
1
4
2 41
3 1 1 1
22
3 1 2 1
403
ОТВЕТЫ. ИДЗ 21
2
12324
1 1 1 2 2 3 45
12354
2 7 45
1 12 11 12 6
1 21
1
1 1 1
12 6
12314
12364
12374
7 5 1 2 1 5 1 1 7 5 1 1 2 6
11324
1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 1
2
6
1 3 45 1 1 2 1 7 1 2
11374
2
1 1
1 234
6
1
612 6
8
32
5
5
7
1 89
7
12
1
1
15354
2 2 1 1 7 2 1 2 2 1 1 7 1 1 1 7 2
1
6
2 2 45 2 1 1 7 1 7 2 89
1 17 1 2
1
15314
9 11
15364
1 1 245
1
1
1 7 2 11 1 2 6
15374
2 2 7 12 6
5 1 52 1
16324
1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2
2
6
2 3 45 1 1 2 1 1 1 2
7 45
1 2 1
12 6
6
4
1 1 1 2 1 1 7 1 1 21 2 7 1 1 2 1 2
1
2
6
2 1 1 2 1 1 1 2 1 45 1 1 2 2 7 1 2
1
27 1 2 6
11314
2
15324
31
6
11364
1 12 6
7 45
3
4
2
11354
1 1 3 13 2 1 1 2 3 3 1 1
2
6
3
1 145 1 1 7 1 3 89
1 12
2 2 1 1 1 2 7145
2 7189
7 89
1
2
1 13 2
9
7 1 12
1
9 71
1 12 6
6
4
6
16314
1 2 2 12 1 3 1 2 2 2 1 1 1 1 2 6
1
2
16354
16374
1 23
1
12 6
1 27
1
7 45
2
16364
2 7 1 1 7 771 1 2 6
77
1
7 45
7
1 21
12 6
1
6
4
17324
1 1 1 2 1 2 7 1 1 2 1 1
1 7 1 1
17354
17374
1
2
2 1
2 7 45
2 3 1 1
1 212
1
1 211
1
7
2 1
6
17314
12 6
17364
12
7 1 2 7 5711 2 7 52 1 1 2 6
7
71
733
4
1
2 1 2 1 89
1
7 89
1 2
3 1
5
7 2
6
1 12 6
1 46 1 2 6
8
404
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3
12345
3 1 1 2 1 1 45
2
1 12 2 2 12 6
1 12 1 2
33
44
12315
2 831 1 19 2 1 2 31 1 1 1
7
7
1 27 31 1 1 1 345
2
31 1 1 1
6
31 1 1 2 3 1 2
12365
1 1 2 1 1 2 6
3
3
12375
1 6
45 3 1 1 3 1 2 57
812 6
3
9 3
12385
1 1 2 1 5 1 2 1 52 31 1 2 6
17
7
5
6
1 12 2 2 12
6
1 12 1 2
19315
7 8 1 2 19 7 2 8 1 2 19 1 7 8 1 2 19 7 2
3
2
2 8 1 2 19 2 1 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 6
3
1 7 7 1 2 1 2 7 45 7 1 2 1 1 1 1 2
4
19345
1 45
2
3
19365
1 3 1 1 2
6
3
3
19375
3 1 1 2 6
19385
1 1 2 1 5 1 1 1 52 31 1 2
6
17
7
5
6
1 315
8 1 2 19 2 3 8 1 2 19 7 1 138 1 2 19 2 2
2 23 1 2 1 1 7 2 1 2 1 2 2 7 1 2 1 1 6
1 345
3 1 1 2 45
1 2 2 12
6
11 2
1 7 45
1 365
1 385
45
1 2 3
12 6
1 2 2
3
1 5 1 2 1 5 1 1 2
6
1 375
7
3
1 21 1 3 1 2
1 45 3 1 2 1 2
6
3 1 1 5
6
1 315
7 8 1 1 29 7 1 8 1 1 29 1 7 8 1 1 29 7 1
3
2
1 8 1 1 29 2 1 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 6
3
1 7 7 1 1 2 1 7 45 7 1 1 2 1 1 1 2
1 345
3 1 2 7 45
1 12 12 6
1 2 3
3
12 6
1 1 3
3
1 365
2 1 45
1 385
2 2 2 31 1 2
3
1
2
31 1 2 6
1 375
1
1
5
6
7 3 1 8 1 2 6
9
5
6
6 345
3 1 1 2
6
2
2
6 315
2 2 8 1 2 19 2 2 3 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
3
6
2 7 7 1 2 1 2 7 45 7 1 2 1 2 1 1 2
6 365
1 45 3 1 1 2 1 2
6
3
3
6 375
8 3 1 9 1 2 6
6 385
2 2 5 31 2 2
3
1
2
5 31 1 2 6
3
5
6
405
ОТВЕТЫ. ИДЗ 22
ИДЗ 22. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1
12
12
32
42
52
62
72
32
189 2
18 32
189 2
48152
8372
8 72
42
387 2
68972
189 2
8592
87 2
181 2
52
8312
8692
8642
8 32
8442
8152
62
8442
68 72
8132
18 12
181 2
8372
72
8692
48152
8
2
18 32
84 2
83 2
82
8512
8362
18732
38472
87 2
83 2
92
8792
8362
18362
4189 2
84 2
8632
2
18352
18692
8 52
8642
18
2
8 92
2
186 2
8 32
8172
86 2
18
2
83 2
3 2
83 2
8172
18742
8732
18512
389 2
332
86 2
1 8442
8162
87 2
48152
84 2
342
18692
8692
86 2
8392
8 42
8 42
352
8742
783 2
83 2
183 2
2
18692
362
48152
8192
84 2
8152
8362
372
18 92
18 92
8132
8 52
18442
18112
382
8142
8162
83 2
86 2
8662
8992
392
38932
8312
8172
8372
8 12
8462
3 2
18942
8312
168452
8
2
8172
58 52
3 2
83 2
187 2
8 32
87 2
83 2
481 2
4 2
8572
1 8432
8492
18172
85 2
38512
432
8632
8132
8
2
83 2
32
8 32
442
138792
8142
8 32
83 2
84 2
8
452
8152
18492
8342
8 62
187 2
4 8792
462
38992
8362
8 52
8112
8 62
618 12
472
8792
38432
8612
8 52
8312
8152
482
8432
18 92
8362
8 12
8662
8312
492
8442
3 385 2
18552
83 2
8642
8
4 2
8142
181 2
8132
918642
81 2
8632
4 2
8342
8142
8462
68412
87 2
18692
5 2
86 2
83 2
8
58912
181 2
8712
2
48
2
2
2
406
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ИДЗ 23. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
12
12
32
1 2
17
89
2
42
6 2
4
89
2
42
52
62
445 2
3 3 232
1 2
7 4 4
89
4 4 5 2 1 2
3
2
89
2
42
62
89
2
362
89
2
4 2 44 2
7
12
72
62
1362
89
2
1 3 6 2 3 3 2
7
82
62
6 2
5 6 17
89
2
213222162
92
12
89
89
2
1 2
3
2
1 2
5
2
3 2
89
12
7
2
3 3 4 2 3
2
5
5
1 4 6 2 4 3 2
5
89
32
89
2
52
2
2
4
89
1 2
4
89
3
1 6 2
5 4
32
7
36 2 3 2
2
1 2
6 3
89
2
1 2
5 6
2
1 4 3 2
3
2
89
2
1
2
4 5
1
2
4
3 11
332
1 2
17
89
2
1 2
3
1 2 16 2
5
1 2
7 4 7
342
12
89
2
16 2
43
62
1
2
7 3 12
4
6 6 45 2 1 2
17
26 2
12
89
352
89
372
2
162
362
1
32
89
12
2
2
1 4 1 2 1 2
3
12212
1 2
7
89
2
262
4
6 51 2 1 6 2
8
6
4 79
392
312
89
2
2
6
6 51 2 1 6 2
8
6
4 79
3 2
4 2
5
2
7
42
3
2
1 2
5 3 37362
382
12
89
89
2
1
2
3 3 13
89
2
5
6
16 5 1
2
407
ОТВЕТЫ. ИДЗ 24
12
12
32
342
7 2
5
82
6
562
32
4
532
1 11 2
3 3
9
42
52
62
2
12
1
2
16 4 8
16 4 3 1 1 2
42
1
2
3 3 2
1
2
4 9
2
35 2
6
6 2
31
9
552
62
9
2
1 6 2
35
42
572
12
9
2
7 7 3 1 1 2
4
42
9
2
2
2
18
8
2
4
9
2
31 1 1 4
2
8 6
1 57
4 8
2
32
9
582
9
2
592
42
2
5
5 2
122232
5 2
12
5 2
1 1 3 2
6 7
542
1 3
2
4
762
232
9
2
1
2
1
9
4 1 1 4 2
3
12
3 351 1 1 46 2
18
7
1 4 4 45 2
1
4
2
8
9
9
2
1
2
3 5 8
9
2
4
2
5
4 7
4
16 4 4 1 1 2
2
2
1
2
5
12 2
3
2
2
1
2
3 1 1 1 3
2
3
2
52
9
9
2
7
38 4 11
1
ИДЗ 24. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1
12
12
82
62
4567 42
4567
458 2
4599 2
2
45 842
454 2
332
4578 62
4579992
342
45 6
45
82
45 49 2
372
4577682
4577692
382
4587 2
458
82
459642
459
62
3 2
456 82
456
82
4 2
457482
457
2
45 8442
45 9692
452
45
772
45 82
462
456 92
456
2
54 682
492
45 662
4548 2
4 2
4579942
4577 82
2
2
2
2
2
2
12
12
32
12
12
12
12
32
4567482
4566972
42
4586 72
458
62
52
4566
72
45799 2
4577 72
82
45 7 62
45 7 82
92
2
45 8962
45 8 82
3 2
457 782
457 482
352
4562
45
62
362
45
392
4589
2
458742
3 2
432
4596742
459 862
442
472
45 47 2
45 2
482
4 2
454 7 2
454 9 2
5 2
5 4
454
32
2
2
42
454
92
32
2
456
32
2
2
408
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
8.
РЯДЫ
ИДЗ 25. РЯДЫ
12
12
32
42
52
62
72
82
92
2
1 2
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
11 4 2 2
53 3 3 64
42
2
2
2
2
2
2
2
22
72132
12272222
52
2
2
2
2
2
2
2
2 2
82 2
62
2
2
2
2
2
2 2
1262
12212222
72
2
2
2
2
2
2
2 2
1242
12212222
82
2
2
2
2
2
2
2
2 2
5272
12252222
92
2
2
2
2
2
2
2
22
62 62
122 6222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
1242
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
212
122 2222
3 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
7292
332
2
2
2
2
2
2
2
22
252
122 2222
342
2
2
2
2
2
352
2
2
2
2
2
362
2
2
2
2
2
2
372
2
2
2
2
2
2
382
2
2
2
2
2
392
2
2
2
2
2
3 2
2
2
2
3 2
2
2
4 2
2
2
432
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
16 8 2 2
35 4 4 46
2
2
22
82 2
2
22
3252
2
2 2
921 2
12292222
2
2 2
72 2
12272222
2
2
2
2
2
2 2
272
122 2222
2
2
22
7252
2
2
2 2
521 2
2
2
22
5272
2
22
5232
12252222
2
409
ОТВЕТЫ. ИДЗ 26
12
12
32
42
52
62
72
82
332
2
2
2
2
2
2
2
342
2
2
2
2
2
2
352
2
2
2
2
362
2
2
372
2
382
2
392
2
3 2
2
4 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22 !2 $#2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 2
2 2
13 9 3 5 2 2
64 4 4 75
2 2
42112
12242222
2 2
12 12
122 1222
2
2
2
22
272
2
2
22
14242
22
2132
122 2222
2 2
212
2 2
6212
12262222
22
1262
2
2
92
2
2
2
2
2
2
2
!2 2 22 !2 " #2 222 !2
ИДЗ 26. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
ПУНКТ 1
1
12
3432
5432
31 41 1 567
8 19
12
1
81
45 1 31 6 45 1 31 6 445 1 31 66
19
12
1
3452
1 8 1
41 1 61
1
5452
8 19
31 2 1
1
6432
1
3 511 4 8 1
1
6452
81
451 1 6 3 451 1 6
7432
451 1 6 6 51 8 1
1
7452
81
51 1 41 1 56
8432
1 5 8 19
31
8452
31 1 8 1
5
1
9432
8 19
41 1 56 41 1 56
8 19
42 1 51 6
1
1
432
432
3
1
8 19
51 1 1
3 5111 4 8 19
1
1
1
9452
3 4
3 4
452
1 8 1
1
21
452
8 19
431 2 6 431 2 6
1
1
1
1
410
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
12
3452
23 11 4 16789
5
57452
23 51 1 4 16789
1
6 1
5 1 4 16789
51
1
6 1
5
4 16789
1 2 5 1 2 5
58452
1
4 16789
1 1 2 5
6 1
1 4 16789
1 1
4 16789
1 2 5
1 55
53452
1
4 16789
6 1
6 1
1 2 4 16789
11
55462
4 16789
11 1 1 2 5
56462
1 2 1
4 16789
1
6 1
58462
5 23 1 4 16789
1
51
6 1
11
6 1
6 1
1
4 16789
1 2 5
6 1
4 16789
1 2 5
6 1
5 462
4 16789
51 1 2 6 1
5 462
4 16789
1
53462
4 16789
1 2 5 1 2 5
3 4
6 1
6 1
65462
5 1 4 16789
51 1
6 1
66462
6 1
68462
6 1
69462
5 1 4 16789
51
1
1 4 16789
1 4 16789
1 1 66452
1 2 4 16789
1
68452
4 16789
51 1 1 2 4 16789
51 6 1
67462
6 1
6 1
6 452
1 1 2 4 16789
1 2
4
6 1
6 462
6 452
!
11
3 11 4 4 16789
6 1
6 462
1
4 16789
59462
6 1
6 1
65452
3
6 1
4 16789
1 2 4 16789
51 1 2 4 16789
57462
5 462
6 1
67452
69452
1 1 2 5 462
6 1
1 4 16789
1 2
5 452
6 1
6 1
1 2 1
4 16789
1
5 452
6 1
1 7
6
8 1 2 5 9 4 16789
5 452
5 452
1
1
3462
56452
59452
1
6 1
3 4
55452
1
12
3 112 4 4 16789
6 1
3 51 4 4 16789
6 1
1
6 1
6 1
4 16789
1 5
6 1
411
ОТВЕТЫ. ИДЗ 26
1
12
3
4 189
561 1 272
34562
1
37562
81
2 131 3 3 4 189
38562
31
4 189
1 51 5 7
9 562
1 5 3 4 189
1 6 1
1
12
81
81
81
1
2
34532
2 145 3 3 4 189
81
37532
3
4 189
531 5 27 2 531 5 27
38532
1
4 189
1 51 1 37
81
9 532
3
4 189
61 51 5 37
81
81
ПУНКТ 2
12
1
12
1
12
1
32
5 1 1 46 1 4 5 1 1 462 2 4 5 1 1 463 1
2
3
42
4 2 3 5 1 1 46 2 3 5 1 1 462 1
2
7
52
4 1 4 5 1 1 36 2 4 5 1 1 362 1
3 8
29
62
12 2 13 2 4 1 1
2
72
4 2 4 5 1 1 46 1 4 5 1 1 462 1
3
8
82
21 1 7 1 3 2 32 1 1
3
92
4 1 12 2 4 1 1
2
2
1 2 12 2 4 13 1
3
2
4 2 1 1 4 13 1
3
3 2
2 2 2 322 5 1 1 46 2 2 2 5 1 1 462 1
332
2 2 4 5 1 1 26 1 4 5 1 1 262 1
342
4 1 12 2 4 1 1
3
352
4 2 3 3 1 2 4 2 3 3 1 2 1
2
382
2 2 4 1 1 4 12 1
392
4 12 1 4 1 2 4 1
1
7
4 3 2
3 2
4 1 4 5 1 1 46 2 4 5 1 1 462 1
2
4 2
2 2 4 1 2 4 12 1
2
7
432
442
2 2 2 5 1 1 462 1 2 5 1 1 463 1
2
3
452
472
1 1 4 13 2 4 1 1
2
2
482
4 2 21 2 3 1 2 1
2
492
2 2 4 5 1 1 36 1 4 5 1 1 362 1
42
277
4 2
23 2 323 5 1 1 46 2 8 23 5 1 1 462 1
2
4 2
1 1 12 2 4 13 1
2
5 2
4 2 25 1 1 46 2 25 1 1 462 1
2 2 4 1 1 4 12 1
2
7
4
4
362 4 1 7 5 1 1 462 2 37 5 1 1 4 6 1 372
1 4 1 4 5 1 1 26 1 4 5 1 1 262 1 462
2
7
3 2 2 5 1 1 26 2
3
5 1 1 262 1
12 1 4 13 2 4 1 1
2
3
4 1 4 12 2 4
47
48
1 1
1
1
ПУНКТ 3
12
1
12
1
12
1
12
1
12
1
12
1
32
271
42
31
52
441
62
9 91
72
43 1
82
4 7 1
92
31
2
41
2
4 1
3 2
4 2 1
332
241
342
941
352
48 1
362
1
3 2
3831
4 2
27 1
472
3 41
482
891
382
431
432
98 1
492
41
372
1
392 238741
442
7
1
4 2
221
3 2
43891
452
8291
462
81
4 2
9 41
5 2
41
1
1
412
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПУНКТ 4
12
1
12
1
12
1
12
1
12
1
12
1
3432
232451
3452
232671
5432
232871
5452
232581
6432
234291
6452
2326 1
7432
23 451
7452
23 561
8432
237421
8452
232 21
9432
237421
9452
235991
432
23 491
452
236
1
432
2374 1
452
2327 1
432
1
452
239 71
3 432
23 9 1
3 452
23
71
33432
23 451
33452
234691
35432
237421
35452
23 461
36432
237421
36452
732
1
37432
23 491
37452
237 91
38432
23 5 1
38452
232421
39432
237 91
39452
23 451
3 432
237521
3 452
232841
3 432
23 621
3 452
23 6 1
3 432
237421
3 452
23 491
5 432
237421
5 452
23
51
53432
237951
53452
23 451
55432
2385 1
55452
2379 1
56432
237991
56452
232841
57432
238
1
57452
232451
58432
23 451
58452
236751
59432
23 491
59452
238
1
5 432
23 451
5 452
2344 1
5 432
23 491
5 452
238721
5 432
23 491
5 452
238751
6 432
23 441
6 452
23 281
232
1
1
ПУНКТ 5
12
32
1
1
1 1 2 2 2392 2
8
28 1
12
1
12
1
52
11 1239112392112392 1
62
117 372272 1
5
72
11 1711 2112392 1
82
11 17112112 1
92
11 17112117392 1
2
117 272272 1
5
2
11 1711211 2 1
2
11 1711 2118392 1
3 2
11 17112112 1
332
1 1 2 2 7 2 2 7 28 1
352
1 1 7 2 7 2 2 7 28 1
7
362
1 1 2 2 7 2 3 7 28 1
372
11 1711211 392 1
382
11 12112 11239281
392
11 1 2112 11281
3 2
1 1 7 3 2 2 7 28 1
8
3 2
1 1 7 2 7 2 2 7 28 1
3 2
112272 2
28 1
5 2
11 17112117392 1
532
11 17112117392 1
552
11 1711 2118392 1
562
11 17112112 1
572
11 12112392 11281
582
11 1239112392112 1
592
1 1 7 2 2 7 28 2 7 2 1
8
5
5 2
1 1 2 2 7 2 2 7 28 1
5 2
11 17112117392 1
5 2
1 1 7 2 7 2 3 7 28 1
6 2
1 1 7 2 72 2 82 1
5
8
413
ОТВЕТЫ. ИДЗ 27
9.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ИДЗ 27. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
12
12
32
172894 2
372898 2
472896852
42
172 13 2372 11 2
36
36
34
2
472
36
52
42
52
62
172898 1 3 2
37289 43 2
4728945552
1 2
351
2
33
7289 3 2
72893 42
172 6 2372896 24728962
1
1 1 14 2
1
451 2
45
17289313 2
3728944 2
4728952
7289 4 2
72894832
172 2372 4 2472 4 2
43
36
36
89542
2
35
62
172 6 2372 34 2472 31 2
35
35
7289 272 1 2
1728983 2
37289 155 2
47282
8985642
4 2
4
72
17289 2
372894 2
47289452
72894 272 1 2
4
172 6 2372 14 24728962
43
1
3 2
413
16 2
356
82
17289685 2
37289 83 2
47289882
7289 5 2
72895832
17289885 2
37289883 2
47289 43 2
8985842
11 2
1
92
1728985 2
37289335 2
472893 2
7289 45 2
7289552
17 5 47 2 1 9 67 2 2
5
43
16
37 5 3 47 2
9 3 67 2 31
1
36
2
2
1728944 2
37289563 2
47289 2
7289 36 272 35 2
66
1728915 2
372891 2
47289 12
72 1 272 36 2
448
1
172894 431 2
37289664 2
4728984 62
89
2
11 2
53
89
552
3 2
3
172
2
1
2372 3 2
58
1
2
472
38
38
32
7289 3 272
51
2
2
11 2
15
3 2
14
8952
314
3 2
1728913 2
3728943 2
472898842
72893 272 35 2
41
172894 431 2
37289664 2
472894 62
332
172898 3 2
372895 2
47289882
7289 2
72222
172 6 2372896 2472 4 2
1
1
8916 2
6 2
342
1728913 2
372896 2
472894 2
728984 2
7222
172898 2
37289485 2
47289 13 2
89843462
36 2
1
414
12
12
32
42
52
62
342
1728956 2
37289 45 2
47289 332
72 89 27212
1728934 2
3721 2
4728944662
1 1 43 2
1
14 2
352
1728933 2
372895 2
4728962
72 45 2
56
7222
1728958 2
3728944 2
47289 342
8942
2
11
362
172894 2
372896 2
472898 2
728981 6 272 1 2
4
172891
2
372893444 2
472896442
1 2
31
41
3648
2
372
172898 5 2
372894 2
472894832
7289 5 272
5
2
172898 1 2
37289811 2
4728942
1 1 13 2
1
14
2
382
172898155 2
37289135 2
47289 632
7289 272
6
2
11
172894 816 2
3728963 33 2
47289 4142
1 1 63 2
1
33
1 6
2
392
172893 2
37289 2
4728942
7289 4 5 2
72 22
17289135883 2
37289631841 2
47289 68486 2
89833 2
4
2
66
3 2
17289856 2
37289853 2
4728968 2
728983 2
728912
1724 2
372893 3 2
472894 8652
8916 52
116
2
58
2
1728983 2
372894 2
472895 2
7289 2
7222
172894431 2
37289 664 2
472894 6 2
3
2
14
14
2
66
54
2722
8
172894 6 2
372894431 2
4728981 2
1
2
351
46
3541
2
1728941185 2
3728913 2
47289858 2
32
1
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
172
1
2372
2
8
48
4728962
72
2
172898 2
3728983 2
4728988 2
7289 2
7222
42
172898355 2
37289 2
4728983432
7289 6 272
52
17289 4 2
3728984 2
472892
728983 2
7222
62
172895 2
372893 2
472898 2
72
72
172894835 2
37289 2
4728988352
82
172894 2
37289 2
472898132
3
2
6
1
272
2
488
1
7289 272
3
2
11
728988 2
7289 2
2
31
2
58
172898 516 2
372891153 6 2
47282
1
2
1
3
2
6
17289 343 2
3728943 2
472898632
894 2
11
2
46
172891 633 2
372898855 2
47289366 2
8916 2
14
2
66
172894115 35 2
37289 4314 2
472894 8 82
891 14442
17289356 2
372898135 2
47289 664 2
8932
15
6
2
6
2
55
415
ОТВЕТЫ. ИДЗ 28
12
12
32
42
52
62
342
172894 2
372896 2
4728962
728915 2 72 4 2
1728983 2
372895861 2
472896852
89833 2
11 2
14
352
1728988 2
3728983 2
4728952
7289 5 2
72 22
1725 2
3 7289435146 2
3 7289312
5 2
413
16 2
33
672
172893 2
372896 2
47289832
72898 2 72 4 2
17289186183 2
3728984654 3 2
47289 84661552
6 2
13
2
33
1
ИДЗ 28. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ПУНКТ 1
1
12
2
1
12
21
31
4 1
56
41
7 1
56
61
43
1
56
51
43
1
56
81
7
1
56
71
4
1
56
32
1
1
1
12
1
9 1 467
1 4 4 67
5 1 4 7
6
12
21
3 4 4
31
1
6533
41
436
1
6533
61
67
1
6533
51
63
1
6533
9 1 4 3 6
1 4 3 734
5 1 4 3 36
1
93 4 6 1 78 32
4 4 6 1 34
2 2
56
4 6 14 6
2
56
4 4 4 6 1 6 52
56
6 4 6 15 8
2
56
54 4 6 8 7
1 2
56
4 4 6 17 8 3 42
3 4 4
93 4 6 1 78 32
1
4 6 1 34
2
6533
4 47 4 6 14 62
6533
663 4 6 1 6 5
2
6533
4 4 6 15 8 3 1
1
9 1 45 1 4 4 88 5 1 4 4 6
1
1
52
12
21
31
3 51
41
3 71
61
3 61
1
1
9 1 43
1 4 3 8
5 1 43
93 4 6 1 78 32
3 4 4
3 5 4 6 1 342
3 4 6 14 62
4 4 6 1 6 8 3 2
62
12
21
31
3 33831
41
3 3581
61
3 45681
51
3 681
81
3 544381
71
3 4681
1
3 3871
1
1
1
1
3 4 4
93 4 6 1 78 32
3 3383 4 6 1 342
3 383 4 6 14 62
4
3 46 4 6 1 6 52
3 877 4 6 15 82
3 6 4 6 1 8 72
3 75588 4 6 17 2
4 4 6 1 8 3 416
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
12
2
1
12
1
1
11
21
31
31
4
51
31
4
61
3
1
4
32
71
3
1
4
81
3
1
4
3
1
4
41
1
9 1 468
1 4 68
35
5 1 4 3 1
9 2 6 1 7832
3 2 6 13 5
2
4
5 2 6 1 5 6
2
4
3 2 4 6 2 6 16 72
4
7 2 6 1 7 8
2
4
8 2 6 18 4
2
4
3 2 6 1 4 8 3 2
42
11
21
31
51
51
51
61
51
71
51
81
51
9 1 46
1 45
1
51 4 5
9 2 6 1 7832
5 2 6 13 52
3 2 4
7 2 6 1 5 62
4 2 6 16 72
2 6 1 7 82
1
1
3 2 6 18 8 3 1
9 1 45
1 4 7
5 1 4 4658
1
52
11
21
31
51
51
41
61
51
1
1
2
62
9 2 6 1 7832
3 2 4
1
5 2 6 13 52
2 6 1 5 62
11
21
31
61
51
531
61
371
71
6761
1
9 2 6 1 7832
6 2 6 13 52
3 2 4 83 2 6 1 5 62
48 2 6 16 72
1
3 2 6 16 8 3 9 1 4 5 866
1 4 3 867
5 1 4 3 56
1
3 2 6 1 7 8 3 1
11
21
1
3
1
5
31
3
1
7
3
1
51
72
9 1 4 46
47
68
1 4
74
5 1 4 3 677
3 2 4
9 2 6 1 78 2
61
3
1
34
71
3
1
65
81
3
1
47
48 2 6 1 7 82
3
1
47
3 2 6 1 4 8 3 41
1
1
1
8 2 6 1 32
8 2 6 13 52
4
8 2 6 1 5 62
68 2 6 16 72
768 2 6 18 42
2
892
11
21
1
31
31
1
51
31
61
51
71
48431
81
871
1
1
9 1 4 6 484
1 4 6 58
5 1 4 3 345
3 2 4
9 2 6 1 78 2
3 2 6 1 32
3 2 6 13 52
4 53 2 6 1 5 62
676 2 6 16 72
783 2 6 1 7 82
3 2 6 18 8 3 1
417
ОТВЕТЫ. ИДЗ 28
1
12
2
1 4 4564
1 4 349864
5 1 4 34 7 4
1
332
11
21
31
3433561
51
3437861
71
3459 61
1
34 7 61
1
34 8 1
2 3 4
3433564 3 6 1 352 4
1
2
342
34374 3 6 15 72 4
345864 3 6 1 7
349774 3 6 1 1
54 3 6 1 8 3 1
1
934 3 6 1 78 32 4
4
1
12
24
11
21
31
343 1
51
3471
71
34 81
1
34 1
1
3431
24
1
4 1 4 7474
5 1 4 34 4
5 1 4 34 4
1
934 3 6 1 78 32 4
34 4 3 6 1 352 4
2 3 4
347 4 3 6 15 72 4
24
24
34954 3 6 17
3454 3 6 1 54 3 6 1 8 3 1
1
11
1 4 3464
1 4 56 4
7
5 1 4 348 54
21
6
31
1
56
1
69
51
352
71
6
1
69
1
5
1
69
2 3 4 76 4 3 6 15 72 4
7
66 4 3 6 1 7 4
2
69
54 3 6 1 8 3 5 1 4
11
21
31
347591
61
34
71
531
347
1
561
3439 1
51
34 1
71
34591
1
343 71
1
3433 1
1
1
74
2
2 3 4
934 3 6 1 78 32 4
382
347594 3 6 1 3 62 4
4 349
4 3 6 16532 4
1
11
21
1
343 1
1
34791
61
34 91
91
347 1
1
1
11
21
31
1
59
51
1
71
5
1
59
1 4 5 4
7
1 4
1
4
5 1 4 3495 4
934 3 6 1 78 32 4
4 3 6 1 35 4
2
2 3 4 59
56 4 3 6 15 7 4
2
59
54 3 6 1 7 8 3 2
3 2
11
21
31
3439 1
51
34391
71
347 1
1
3491
1
1
1
934 3 6 1 7852 4
34 4 3 6 15 72 4
2 3 4 3494 3 6 1 7
3474 3 6 1 24
24
1 4 44
1 4 34964
5 1 4 34 3974
934 3 6 1 78
343 4 3 6 1 1
24
24
2 3 4 34 4 3 6 1 62 4
34894 3 6 16 92 4
54 3 6 1 9 8 3 1
54 3 6 156 8 3 1 4 547 4
1 4 347 94
5 1 4 346 9 4
54 3 6 1 8 3 1
34 94 3 6 153562 4
1
1
21
1 4 94 1 4 5 4
1
1
362
2
1
392
2
934 3 6 1 78 32 4
6 4 3 6 1 35 4
1
372
1
11
1 4 74 894
1 4 34 5394
5 1 4 3433 4
2 3 4
934 3 6 1 78 32 4
3439 4 3 6 1 352 4
4 34594 3 6 15 72 4
34 4 3 6 1 7
54 3 6 1 8 3 24
1
418
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1
12
2
1
12
1
1
1 4 7584 5
1 4 35 7 5
5 1 4 35644 5
1
342
11
21
31
4561
71
45761
453661
61
4549 61
4537
21
31
81
71
6 1
3
81
3
1
34
61
3
1
8
1
3
1
734
2 3 4
945 3 6 1 7832 5
81
1
11
2
4565 3 6 13 72 5
4
1
45 65 3 6 1 7 82 5
45965 3 6 18 62 5
459465 3 6 1 6
1
35 3 6 1 8 3 1
562
25
1 4 33 5 1 4 88 5
6
88
5 1 4
5
945 3 6 1 7832 5
45 5 3 6 13 72 5 1
38 5 3 6 7 8 5
1 2
3
2 3 4 7
5 3 6 18 62 5
84
74 5 3 6 1 6 5
2
734
35 3 6 1 8 3 1
1
1
11
21
3
1
11
21
4
1
44
41
3
41
532
3
7341
44
44
1
1
7
1
44
741
1
31
1 4 565
1 4 7 5 84 5
5 1 4 8456 5
3
71
2 3 4
945 3 6 1 78 42 5
2 552
4 5 3 6 1 4 4 5
2
44
4 47 5 3 6 1 4 7342 5
44
9 9 5 3 6 1 734 74 5
2
44
35 3 6 1 74 8 3 3
81
3
61
3
1
3
1
1
1
1
1
1
1 4 85 5
1 4 8 5
37
5 1 4 35495
945 3 6 1 7832 5
3 5 3 6 13 72 5
7 5 3 6 1 7 82 5
2 3 4 8 5 3 6 18 62 5
1
6 5 3 6 1 6
1
25
35 3 6 1 8 3 25
53 61 1
1
1
1
572
11
21
41
45461
31
457 1
71
456 1
81
45761
1
1 4 35 5 1 4 45
5 1 4 4594 775
5
1
945 3 6 1 78 42 5
45465 3 6 1 432 5
2 3 4 4585 3 6 13 72 5
45 5 3 6 1 7 82 5
35 3 6 18 8 3 2
582
11
21
41
454761
31
453991
71
456 71
81
4588 1
1
1 4 7535 1 4 45 35
5 1 4 45935
945 3 6 1 78 42 5
454765 3 6 1 432 5
2 3 4 457375 3 6 13 72 5
45
65 3 6 1 7 82 5
35 3 6 18 8 3 1
419
ОТВЕТЫ. ИДЗ 28
1
12
2
1
12
1
1
11
21
31
4 1
567
41
43 1
567
51
63
1
567
71
83
1
567
61
83
1
567
91
75
1
567
342
1 4 43 1 4 43
7
5 1 4 43
7
1
93 2 6 1 78 32
4 2 6 1 34
2
567
44 2 6 14 5 2 352
2
567
3 2 4 94 2 6 1 5 72
567
474 2 6 7 6
1 2
567
544 2 6 1 6 9
2
567
4 2 6 19 8 3 11
21
31
459 1
54
931
9
1
54
4331
49
1
54
5331
4
1
54
1
1 4 559
438
1 4 4444 3
5 1 4 77 77
93 2 6 1 78 32
459 2 6 1 3 93
2
54
3 2 4 533 2 6 1934332
54
549 2 6 1433 533
2
54
4 2 6 1 533 8 3 1
1
1
1
1 4 5 739
1 4 4 5
5 1 4 4 633
1
362
11
21
41
3 61
51
3 561
71
3 4661
61
3 861
91
3 451
1
3 2 4
93 2 6 1 7842
3 6 2 6 14 52
4
2
372
3 6 2 6 1 5 72
3 86 2 6 17 62
3 836 2 6 1 6 92
11
21
31
3 3331
41
3 3461
51
3 4551
71
3 6381
61
3 6971
1
4 2 6 19 8 3 1
1 477
1 4 3 99
5 1 4 3 64
1
3 2 4
93 2 6 1 78 32
3 333 2 6 1 342
4
1
3 3495 2 6 14 52
3 478 2 6 1 5 72
3 966 2 6 17 62
4 2 6 1 6 8 3 1
1
1
11
21
31
9
1
537
41
9
1
537
51
69
1
537
71
1
537
382
1
1
1
1
1 4 4 1 4 48
5
5 1 4 3 88
2
3 2 4
93 2 6 1 78 32
9 2 6 34
1 2
537
495
2 6 14 52
4
537
4 2 6 1 5 7
2
537
4 2 6 17 8 3 9 2
11
21
31
3 333751
41
3 3361
51
3 39451
71
3 53681
61
3 631
91
3 7581
1
1
1 46 1 43 8
5 1 4 3 866
1
3 2 4
93 2 6 1 78 32
3 33375 2 6 1 342
3 335 2 6 14 52
4 3 395 2 6 1 5 72
3 555 2 6 17 62
3 575 2 6 1 6 92
4 2 6 19 8 3 420
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПУНКТ 2
12
32
92
352
3 2
12
12
32
4562
2
4572
72
45 2
2
45 2
32
45 2
2
45 2
32
45 2
2
45 2
472
2
45 2
2
45 2
12
42
2
362
4 2
482
12
12
12
72
4582
2
4592
72
45 2
62
4532
32
45 2
2
4532
32
4532
2
45 2
72
4532
2
45 2
52
2
372
432
492
12
12
92
4592
2
4582
32
4592
2
4582
32
4582
2
4592
32
4572
2
4562
32
45 2
2
45 2
1
12
32
12
12
62
3 2
382
442
12
2
4592
2
4582
92
4572
2
4562
32
4562
2
4572
72
4582
2
4592
4 2
2
4562
2
4572
12
72
332
392
452
4 2
12
12
72
45 2
2
45 2
92
4532
82
45 2
32
45 2
2
45 2
2
4532
2
45 2
92
4582
32
4592
12
12334
52334
8 4
9
84
4
622737334
12334
9
4
4
642534
62
4
94
9
4
4
4
84
88
94
4
72
99 4
98
5
9
4
4
4
5 2
45 2
2
45 2
72
4532
32
45 2
32
45 2
2
45 2
92
4572
2
4562
72
45 2
32
45 2
9
4
4
8
75
4
989
4
8
4
4
4
4
4
9 9
4
8 4
4
94
94
7 5
4
94
4
8
4
88
4
9 5
4
8
4494
4994
4
4
7
8 4
7
8
75
7
7 5
7
75
7
4
7
88 4
8 75
7
9
8
2 7 9 5 3 7
9
7 7 8 9
7 5
8 4
9
7 7 5 8 5 9 7 7 7
7
4
8
7 7
7
7
4
76
7 5 7
9
7 7 9
7
1
462
78
75
7
92
3 2
72
62734
7
82
342
7 4 7
52
82
ПУНКТ 3
7
42
12
12
12
78 7
7 8 4
9
8
9
7
8
9 8
9
7 8 98 4
421
ОТВЕТЫ. ИДЗ 28
12
32
12
84
8
12334
4 9
8
52334
4
622737334
12334
94
94
4
642534
62734
4
89 5
6
7 7 9 48 4 8 8
4 9 78 9 7
8
8
4
7 7 4 8 8 8 8 5
6
9 7 7 9 8 8
8
7 7 48 8 42
562
552
572
94
4 9
4
8
9
4
8
4
94
4
94
9
4
8
44 4
8 4 8
4
8 4 9
4
9 8
44 4
4
4
4
9 4
4
8
4
8
4
7 7 7 8 4
8
9 7 7
8
8
9
4
8
4
9
4
8
4
7 7 48 4 8
9 7 9 7 7 4 4
8
8
8 8 9 7 7 8
8
7 7 48 4 9
4
8
9
9 87 9 7 7 4 4
8
8
9 7 7 8
7 7 48 8
9 4 7 7 7 4
8 4
9 7 7 8 582
592
8
4
94
4
84494
8 4 9
4
98 8
44 4
4
4
9
4
8
8
4
8
7 7 48 4 8
9 7 9 87 9 8
8
4
7 7 4 8 8
9 7 7 8
8
4
9
8 4
7 7 48 8
7 7 7 8 4
8
9 7 7 8 8 7 7 48 5 2
1
94
94
44 4
4
8
4
8
4
9 4 7 7 7 4
8
9 7 7 8
8
422
12
342
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12
12334
89 4
4 4
52334
4 5
4
12334
622737334
642534
89 4
4
4
62734
89 7 9 6 5 9 87 9
5 7 9 7 9 6 8 4 9 4
7
9 7 9 6 4
8
89 7 9 6 5 87 9
352
4
4 5
4
4444
4
89 4
5 4
6 8
9 7 9 4 362
372
4
4
9
4
8
4
4
84
5 4
89 4
894
4
8
4
89
4
4
6
7 9 7 9 8 4 9 4
89 7 9 6 5 87 9
7 5 7 9 7 9 6 8
9 7 9 6 8
6
79 4
89 7 9 5 5 4 9
7 9 7 9 5 4 4 9 4
4
9 7 9
6
8
6
6
89 7 9 5 4 9
892
4
45
4
4 5
4
89
4
5
4
5
6
5 7 9 7 9 4 4 9 4
9 7 9 4 4
6 8
89 7 9 6 5 87 9
832
9 4
4
4
4 5
4
89
4
89 4
6
5 7 9 7 9 8 4 9
4
9 7 9 4 4
6 8
89 7 9 6 5 87 9
882
4
45
4
45
4
894
5 4
8988 4
6
6 8
7 9 7 9 8 4 9 4
9 7 9 4 8 2
8 2
1
4
4
9 4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
89 7 9 6 5 7 9
5 9 7 9 6
7
89 7 9 6 5 87 9
7 5 7 9 7 9 6 8
9 7 9 6 8
8
4
79 4
423
ОТВЕТЫ. ИДЗ 28
12
12
12334
622737334
12334
52334
642534
62734
7 8 5 49 6 342
89
4
4
89
4
4
89
4
4
4
4
2
7
6 4
4 3 7 8 5 7 8 5 97
7 8 5 49 6 352
89 4
4
4
89 4 4
89 4
4
4
4
4
6 4
27 4 3 7 8 5 7 8 5 97
7 8 5 49 6 362
4
4
372
4
4
4
7 4
7 7 8 5 7 8 5 97
4
4
4
4
7 4 7 85 4
7 8 5 97
5
7 8 49 4
4
382
6
7 8 5 49
4
4
4
4
4
4
9 7 4
78
9 2
1
4
4
4
4
4
4
5
78 4 4
5 97
7 4 7 7 8
7 8 5 97
6 4
7 8 5 49 6 6 4
5
4
ПРИЛОЖЕНИЯ
426
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
2
1 1 x2
e
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 2(x) 3
24
1
1
21
31
41
51
61
71
81
91
1
1
2 21
2 31
2 41
2 51
2 61
2 71
2 81
2 91
2 1
2 1
3 21
3 31
3 41
3 51
3 61
3 71
3 81
3 91
3 1
3 1
4 21
4 31
4 41
4 51
4 61
4 71
4 81
4 91
4 1
4 1
5 21
5 31
5 41
5 51
5 61
5 71
5 81
5 91
5 1
5 1
1234546
34 16
34 16
35 86
37536
3 9 6
33396
3 936
954 6
977 6
1298916
9 46
4896
86
84 6
94 6
146
14816
1 416
17 76
121 816
18816
13 6
19536
19986
1
6
1 376
1 186
11 46
11716
1211886
11336
11986
11 6
11 96
11146
11176
11186
11136
11196
34546
347 6
34196
35196
37756
3 136
33 96
3 1 6
95 86
973 6
93476
9
6
4 46
74 6
8 76
9 76
1496
149 6
1
6
17886
1 946
183 6
138 6
19 6
19 46
1
6
1 396
1 1 6
11 6
11 56
11836
11396
11936
11 6
11 96
11156
11176
11186
11136
11196
34546
347 6
35486
3 416
37 36
385 6
39496
31 46
95 16
97 36
93 6
9 3 6
54 6
7746
8 76
9 6
1 86
14146
1 7 6
17396
1 46
18996
13346
19 16
19 36
1 7 6
1 946
11446
11 6
11 76
11896
113 6
11996
11 76
11 96
11156
11176
11186
11136
11196
34556
34 76
355 6
3 56
373 6
387 6
39 6
31 76
959 6
9 546
938 6
9 1 6
5 96
78 6
83 6
9356
1 6
15436
1 856
17916
1 156
18 36
13396
19786
19156
1 736
1 976
11476
11 36
11 6
11816
11316
11996
11 76
11 6
11156
111 6
11186
11136
11196
34576
34 6
35 76
3 7 6
379 6
38856
39 6
31386
95136
9 7 6
93936
91536
5846
7976
8 6
9 46
1816
15 56
1 386
17156
18456
18186
139 6
19 56
19136
1 56
1 996
11436
11 6
11 36
11346
11946
119 6
11 6
11 6
11156
111 6
11186
11136
11196
34586
348 6
357 6
3 96
371 6
38946
39316
31 6
9 516
9 8 6
99446
91 46
5976
7186
3486
9116
1936
15736
1 9 6
1 476
18556
13476
13 6
19 96
1 456
1 86
1 46
114 6
11746
11 6
11356
11956
11916
11 6
11 16
111 6
111 6
11186
11196
11196
34596
34346
35 6
3 346
3 546
38 16
39146
94546
9 76
9 76
99 6
91376
5186
596
3 86
596
1176
15856
1 1 6
1 586
18 56
135 6
13 16
19876
1 486
1
6
1 76
11556
117 6
11 16
113 6
119 6
11916
11 86
11 16
111 6
111 6
11136
11196
11196
34516
34396
358 6
3 976
3 96
334 6
3 5 6
94776
9 396
98496
99 6
91 96
5 6
7 6
3 86
736
14546
15336
17486
1 36
18756
13 46
13136
198 6
1 546
1 8 6
1 36
11576
117 6
11856
11376
11976
11 46
11 86
11 16
111 6
111 6
11136
11196
11196
34 6
349 6
35376
3 96
3
6
33 96
3 776
94836
9 146
98756
999 6
4546
56
346
3386
8 6
14 36
15 56
175 6
1 796
18 46
13 6
194 6
193 6
1 586
1 836
1 16
11586
11736
118 6
113 6
119 6
11 56
11 36
11146
111 6
111 6
11136
11196
111 6
34 36
34 56
359 6
374 6
3 356
33 96
3 886
94916
975 6
98886
99136
47 6
376
56
3 6
9 6
14 6
15186
17746
1
6
18846
13736
19416
19946
1 516
1 346
1 1 6
115 6
117 6
11876
11386
119 6
11 56
11 36
11146
11176
11186
11136
11196
111 6
427
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
1
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ 2(x) 3
24
1
x
5e
1
z2
2
dz
0
12
11123
12
11123
12
11123
12
11123
12113
1211113
12453
1264783
12913
12 5813
62153
1245463
12163
1211 13
12473
126 173
12963
12 7663
62173
12455 3
121 3
1211813
12493
126
43
129 3
12 7
3
62193
1245993
12143
1216 13
12483
126 813
12943
12 7943
62183
1245
121 3
1216713
124 3
1265693
129 3
12 9143
621 3
1247 63
12153
1216
3
12 13
12655 3
12953
12 94 3
62613
1247 43
12173
121 4 3
12 63
1265 63
12973
12 97 3
62663
1247753
12193
121 9 3
12
3
1267 83
12993
12 9
3
626 3
1247873
12183
12146 3
12 43
12677 3
12983
12 8 43
62643
1249183
121 3
12145 3
12
3
1269113
129 3
12 85 3
626 3
1249
3
12613
1214 83
12 53
1269473
12813
12 8863
62653
1249
3
12663
121 483
12 73
12699 3
12863
12
613
62673
1249913
126 3
121 983
12 93
1268183
128 3
12
4 3
62693
1249 13
12643
1215693
12 83
1268
3
12843
12
793
62683
1248613
126 3
1215593
12
3
12689 3
128 3
12
53
626 3
1248413
12653
1215 73
12513
126 653
12853
1241 43
62 13
1248
12673
1217473
12563
126 513
12873
1241563
62 63
12487 3
12693
1217953
125 3
126 853
12893
1241983
62
3
1248843
12683
12196 3
12543
12 16 3
12883
1246173
62 43
124 193
126 3
1219543
125 3
12 15 3
128 3
1246443
62
3
124
53
12 13
1219 43
12553
12 1883
12 13
12465 3
62 53
124
3
12 63
12184 3
12573
12 6 43
12 63
1246873
62 73
124 7 3
12
3
1218963
12593
12 6593
12
3
124 6 3
62 93
124 813
12 43
121 613
12583
12 6 13
12 43
124 483
62 83
124
12
121
83
125 3
12
3
12
3
124 7 3
62
3
12 1653
12 53
121 893
12713
12
593
12 53
124 8 3
62413
12 14 3
12 73
1261 73
12763
12
63
12 73
1244653
62463
12 1
12 93
12617 3
127 3
12 4
3
12 93
1244 13
624 3
12 1773
12 83
1266143
12743
12 4593
12 83
1244753
62443
12 18 3
12
3
3
3
93
3
3
1266 63
127 3
12 48 3
12
3
12448 3
624 3
12 1
12413
12669 3
12753
12
3
62113
124 643
62453
12 6653
12463
126 693
12773
12
5 3
62163
124 483
62473
12 6463
124 3
126 553
12793
12
873
621 3
124 763
62493
12 6 93
12443
126
43
12783
12 5693
62143
124 853
62483
12 67 3
124 3
1264463
127 3
12 5
621 3
1245183
624 3
12 6993
3
3
428
1
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
12
11123
12
11123
12
11123
12
11123
12345
4231675
12845
4239935
72445
4238875
72 45
42369 5
12315
4237485
12815
4239 35
72475
4238
5
72 75
42369 5
12375
4237775
12875
42398 5
72435
42386 5
72 35
4236965
123 5
4237
5
128 5
4239 75
724 5
423 4 5
72
5
4236 15
12335
4237915
12835
4239615
724 5
423 175
72
5
4236
12395
4237 95
12895
4239665
72145
423 715
72845
4236 95
123 5
4237865
128 5
423 4 5
72175
423
45
72875
4236 85
12385
4237675
12885
423 1 5
72135
423
5
72835
4236 65
123 5
423 4 5
128 5
423 795
721 5
423 3 5
728 5
4236815
12365
423 165
12865
423
5
721 5
423 935
728 5
42368 5
12945
423
75
12 45
423 315
72745
423
15
72 45
4236835
12915
423 395
12 15
423 365
72775
423
5
72 75
42368 5
12975
423 985
12 75
423 9 5
72735
423 895
72 35
4236885
129 5
423 845
12
423
35
727 5
423
15
72
5
4236865
12935
423
75
12 35
423 815
727 5
423
85
72
5
4236 45
12995
423 635
12 95
423 8 5
72 45
423 6 5
72645
4236 15
129 5
42334 5
12
423
5
72 75
423 6 5
72675
4236 75
12985
42331 5
12 85
423 6 5
72 35
4236435
72635
4236 35
129 5
4233765
12
5
423 665
72
5
4236465
726 5
4236 95
12965
4233315
12 65
42384 5
72
5
42361 5
726 5
4236
5
12 45
4233975
12645
42381 5
72345
42361 5
2445
4236
95
12 15
4233
5
12615
4238165
72375
4236775
2745
42366 15
12 75
4233835
12675
42387 5
72335
4236785
2345
42366
12
5
4233 35
126 5
4238 75
723 5
4236 15
2 45
42366 315
12 35
4233695
12635
4238
5
723 5
4236 35
2 45
4236667 5
12 95
4239495
12695
4238335
72945
4236
5
32445
423666
12
5
4239195
126 5
4238945
72975
4236315
32945
423666685
12 85
4239795
12685
42389 5
72935
4236395
92445
423666685
12
5
4239 95
126 5
4238 15
729 5
42363 5
5
5
12 65
4239395
12665
4238 85
729 5
4236915
5
5
5
5
5
5
5
РЕКОМЕНДУЕМАЯ
ЛИТЕРАТУРА
1. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому
анализу: учеб. для вузов. М.: Высшая школа, 1999. 695 с.
2. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа: учеб.
для вузов. СПб.: Изд)во «Лань», 2005. 736 с.
3. Виноградова И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред.
В. А. Садовничего. М.: Высшая школа, 2000. 725 с.
4. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2007.
478 с.
5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математи)
ческой статистике. М.: Высшая школа, 2004. 404 с.
6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая
школа, 2004. 479 с.
7. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. Ч. I. Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1998. 304 с.
8. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. Ч. II. Учеб. пособие для втузов. М.: Высшая школа, 1998. 416 с.
9. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ,
2006. 573 с.
10. Митченко А. Д. Элементы линейной алгебры: учеб. пособие. Владивосток: Изд)во
ДВГАЭУ, 1999. 68 с.
11. Митченко А. Д. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учеб.
пособие. Владивосток: Изд)во ДВГУ, 2005. 210 с.
12. Митченко А. Д. Элементы математического анализа: учеб. пособие. Ч. I. Владиво)
сток: Изд)во ДВГУ, 2003. 182 с.
13. Общий курс высшей математики для экономистов / Под ред. В. И. Ермакова.
М.: Инфра)М, 2001. 655 с.
14. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие / Под ред.
В. И. Ермакова. М.: Инфра)М, 2007. 575 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Элементы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
ИДЗ 1. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
ИДЗ 2. Действия с матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ИДЗ 3. Системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ИДЗ 4. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ИДЗ 5. Векторное и смешанное произведения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ИДЗ 6. Разложение вектора по новому базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Контрольная работа 1. Элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Элементы аналитической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 7. Уравнения прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 8. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 2. Уравнения прямой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 3. Взаимное расположение
прямых на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
58
59
67
4. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 9. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 10. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 11. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 12. Исследование функции
с помощью дифференциального исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 4. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 5. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
76
82
84
68
92
97
103
5. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ИДЗ 13. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6. Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
ИДЗ 14. Частные производные функции нескольких переменных . . . . . . . . . 119
ИДЗ 15. Экстремумы функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
431
СОДЕРЖАНИЕ
7. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 16. Неопределенный интеграл: непосредственное интегрирование . . . . .
ИДЗ 17. Неопределенный интеграл: метод замены переменной . . . . . . . . . . .
ИДЗ 18. Неопределенный интеграл:
простейшие способы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 19. Неопределенный интеграл:
метод интегрирования по частям, тригонометрические подстановки . . .
ИДЗ 20. Неопределенный интеграл от дробно#рациональной функции . . . . .
ИДЗ 21. Неопределенный интеграл
от иррациональных и тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 22. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 23. Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 24. Приближенное вычисление определенного интеграла . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 6. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
133
148
8. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 25. Исследование рядов на сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 26. Приближенные вычисления с помощью рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 7. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
212
223
232
9. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 27. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИДЗ 28. Дискретные и непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 8. Случайные события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 9. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольная работа 10. Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . .
243
248
264
276
289
292
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Элементы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Элементы векторной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Элементы аналитической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299
300
304
310
319
353
356
359
408
413
156
166
172
178
185
192
200
201
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
2
Приложение 1. Таблица значений функции 2(x) 3
1 1 x2 . . . . . . . . . . . . . . 426
e
24
Приложение 2. Таблица значений функции 2(x) 3 1
24
x
5e
1
z2
2
dz . . . . . . . . . . 427
0
Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
Людмила Викторовна НАЛИВАЙКО,
Наталья Викторовна ИВАШИНА,
Юрий Давыдович ШМИДТ
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Учебное пособие
Редакция
естественнонаучной литературы
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.10.953.П.1028
от 14.04.2016 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com
196105, СанктПетербург, пр. Юрия Гагарина, д. 1, лит. А
Тел./факс: (812) 3362509, 4129272
Бесплатный звонок по России: 88007004071
ГДЕ КУПИТЬ
ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ:
Для того, чтобы заказать необходимые Вам книги, достаточно обратиться
в любую из торговых компаний Издательского Дома «ЛАНЬ»:
по России и зарубежью
«ЛАНЬТРЕЙД». 196105, СанктПетербург, пр. Юрия Гагарина, д. 1, лит. А
тел.: (812) 4128578, 4121445, 4128582; тел./факс: (812) 4125493
email: trade@lanbook.ru; ICQ: 446869967
www.lanbook.com
пункт меню «Где купить»
раздел «Прайслисты, каталоги»
в Москве и в Московской области
«ЛАНЬПРЕСС». 109387, Москва, ул. Летняя, д. 6
тел.: (499) 7227230, (495) 6474077; email: lanpress@lanbook.ru
в Краснодаре и в Краснодарском крае
«ЛАНЬЮГ». 350901, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1
тел.: (861) 2741035; email: lankrd98@mail.ru
ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ:
интернет0магазин
Издательство «Лань»: http://www.lanbook.com
магазин электронных книг
Global F5: http://globalf5.com/
Подписано в печать 26.10.20.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 70×100 1/16.
Печать офсетная. Усл. п. л. 35,10. Тираж 30 экз.
Заказ № 132120.
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленного оригиналмакета в АО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.