เอกสารประกอบการจัดการเรียนรู้
วิชา ค33103 คณิตศาสตร์พื้นฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ชื่อ ..................................................ชั้น .............. เลขที่ ..........
โรงเรียนสตรีวิทยา
สังกัดสานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา กรุงเทพมหานคร เขต 1
กระทรวงศึกษาธิการ
คำนำ
การเรียนการสอนตามหลักสูตรขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ครูผู้สอนจาเป็นต้อง
จั ดท าสื่ อประกอบการเรียนการสอนเพื่ อน าไปใช้ ในการจั ดกิ จกรรมการเรียนการสอนให้ มี ประสิ ทธิภาพเป็ นไป
ตามลาดับขั้นตอน สอดคล้องกับจุดมุ่งหมายของหลักสูตร และตรงตามผลการเรียนรู้
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พื้นฐาน 12 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 นี้
ประกอบด้ว ย 2 หน่ ว ยการเรีย นรู้ได้แก่ การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล และการวัดการกระจายของข้อมูล
มุ่งหวังให้ผู้เรียนมีความรู้ ความเข้าใจในเนื้อหาบทเรียนอย่างถูกต้อง มีเจตคติและค่านิยมที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์
ทักษะในการคิดคานวณ สามารถน าวิชาคณิ ตศาสตร์ไปใช้แก้ปัญหาได้ และเป็ นพื้ นฐานในการเรียนที่ต้องใช้วิช า
คณิตศาสตร์ หรือใช้ในการเรียนขั้นสูงต่อไป
ขอขอบพระคุณคณะครู กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ โรงเรีย นสตรีวิท ยา ทุก ท่า นที่ ไ ด้ อานวย
ความสะดวกและให้คาแนะนา อั น เป็ น ประโยชน์ในการจัดทาเอกสารประกอบการเรียนครั้งนี้ ผู้จัดทาหวัง
เป็นอย่างยิ่งว่าเอกสารประกอบการเรียนฉบับนี้ คงจะเป็นสื่อที่ช่วยเอื้ออานวยให้เกิดประโยชน์ในการเรียนการสอน
วิชาคณิตศาสตร์ได้เป็นอย่างดี หากมีส่วนใดผิดพลาดขอน้อมรับคาแนะนาแก้ไขเพิ่มเติมในโอกาสต่อไป
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
สำรบัญ
หน่วยการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล
ควอร์ไทล์ เดไชล์ และ เปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูล
แผนภาพกล่อง
แบบทดสอบ การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 การวัดการกระจายของข้อมูล
การวัดการกระจายสัมบูรณ์ของข้อมูล
The 95% Rule
การวัดการกระจายสัมพัทธ์
แบบทดสอบเรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
บรรณานุกรม
คณะผู้จัดทา
หน้า
1
1
19
26
31
31
45
46
55
64
65
คำอธิบำยรำยวิชำ
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พื้นฐาน 12
จานวน 1.0 หน่วยกิต
เวลา 2 ชั่วโมง / สัปดาห์
สาระพื้นฐาน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
***************************************************************************************************
คำอธิบำยรำยวิชำ
ศึกษาความรู้พื้นฐานเบื้องต้นฝึกทักษะการคิดคานวณ การคิดอย่างมีเหตุผลฝึกการเรียนรู้จากการ
ปฏิบัติจริง ฝึกการแก้ปัญหาในเรื่องต่อไปนี้
ค่ำวัดทำงสถิติ การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์ การวัดการกระจายของ
ข้อมูลสัมบูรณ์ พิสัย พิสัยระหว่างควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน
การวัดการกระจายสัมพัทธ์ สัมประสิทธิ์พิสัย สัมประสิทธิ์พิสัยระหว่างควอไทล์ สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ ย
สัมประสิทธิ์การแปรผัน ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง และการกระจายของข้อมูล
ตัวชี้วัด
มำตรฐำนค3.1 เข้าใจกระบวนการทางสถิติและใช้ความรู้ทางสถิติในการแก้ปัญหา
ตัวชี้วัดที่ 1 เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติในการนาเสนอข้อมูล และแปลความหมายของค่าสถิติเพื่อประกอบการ
ตัดสินใจ
รวมทั้งหมด 1 ตัวชี้วัด
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 1 -
หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล
การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูลเป็นการพิจารณาตาแหน่งที่ของข้อมูลตัวหนึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับข้อมูลตัวอื่น ๆ ที่อยู่ใน
ชุดข้อมูลเดียวกัน เช่น จากผลการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (International Mathematical Olympiad : IMO)
ครั้งที่ 55 พ.ศ.2557 พบว่า ประเทศไทยอยู่ลาดับที่ 21 ถ้าไม่เปรียบเทียบอันดับที่ของประเทศไทยกับประเทศที่เข้ารวม
การแข่งขันทั้งหมด จะไม่สามารถทราบได้ว่าศักยภาพด้านคณิตศาสตร์ของผู้แทนไทยเป็นอย่างไร เมื่อเปรียบเทียบกับประเทศอื่น
ๆ ที่เข้าร่วมการแข่งขัน แต่ถ้ามีการเปรียบเทียบอันดับที่ของประเทศที่ ข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด 101 ประเทศ จะเห็นว่า
ผู้แทนประเทศไทยทาผลงานได้ดีมาก จนติดอันดับต้น ๆ ของโลก
การบอกตาแหน่งที่ของข้อมูลโดยไม่มีข้อมูลอื่นประกอบ จะไม่สามารถวิเคราะห์ได้วา่ ตาแหน่งนัน้ ดีหรือไม่เพียงใด
เช่น กล่าวว่านายสมชาย สอบแข่งขันได้เป็นลาดับที่ 7 ไม่สามารถสรุปได้ว่านายสมชาย ได้ตาแหน่งดีหรือไม่ จนกว่าจะทราบ
จานวนผู้เข้าสอบทั้งหมด
ในทางสถิติมักจะกล่าวถึงข้อมูลที่มีจานวนมากการบอกตาแหน่งที่ของข้อมูลนิยมบอกในรูปของ
เปอร์เซนไทล์ (Percentile) , เดไซล์ (Decile) หรือ ควอร์ไทล์ (Quartile) ดังนี้
1) สมชายสอบได้ตาแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 72 เขียนแทนด้วย P72 แสดงว่า คะแนนสอบของสมชายสูงกว่าคนอืน่
72 คนใน 100 คนหรือมีผู้ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่านายสมชายอยู่ 72 คนจากผู้เข้าสอบ 100 คน
2) นายสมศักดิส์ อบได้ตาแหน่งที่เดไซล์ที่ 3 เขียนแทนด้วย D3 แสดงว่าคะแนนสอบของนายสมศักดิ์ สูงกว่าคนอื่น
3 คนใน 10 คน หรือมีผู้ที่สอบได้คะแนนน้อยกว่านายสมศักดิ์อยู่ 3 คนจากผู้เข้าสอบ 10 คน
3) นายสมพรมีความสูงเป็นตาแหน่งควอไทล์ที่ 1 เขียนแทนด้วย Q1 แสดงว่าความสูงของ
นายสมพรเมื่อเทียบกับคนอื่น ๆ จะมีคนที่เตี้ยกว่านายสมพรอยู่ 1 คนใน 4 คน
จากตัวอย่างดังกล่าวมีข้อสรุปเป็นนิยามได้ดังนี้
จากข้อมูลทั้งหมด N จานวน เรียงลาดับค่าจากน้อยไปมาก
ควอร์ไทล์
ถ้าเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้วแบ่งจานวนข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วนประกอบด้วยจานวน
ข้อมูล N4 จานวน
จุดแบ่ง 3 จุด คือ Q1 Q2 Q3 ตามลาดับจะได้
Q1 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณหนึ่งในสี่ของข้อมูลทั้งหมด
Q2 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณสองในสีข่ องข้อมูลทั้งหมด
Q3 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณสามในสี่ของข้อมูลทั้งหมด
หรือ Qr คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่
เดไซล์
rN จานวน
4
ถ้าเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้วแบ่งจานวนข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กัน ซึ่งแต่ละส่วนจะประกอบด้วยจานวน
N จานวนดังรูป
ข้อมูล 10
จุดแบ่ง 9 จุด คือ D1 , D2 , D3 , ... , D9 ตามลาดับ ซึง่ จะได้
D1 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณหนึ่งในสิบของข้อมูลทั้งหมด
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 2 -
D2 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณสองในสิบของข้อมูลทั้งหมด

D9 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยูป่ ระมาณเก้าในสิบของข้อมูลทั้งหมด
หรือ Dr คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่
เปอร์เซนไทล์
rN จานวน
10
ถ้าเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้วแบ่งจานวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆ กัน แต่ละส่วนจะประกอบด้วยจานวน
ข้อมูล
N จานวน
100
จุดแบ่ง 99 จุด คือ P1 , P2 , P3 , ... , P99 ตามลาดับ เช่น
P1 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณร้อยละ 1 ของข้อมูลทั้งหมด
P10 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณร้อยละ 10 ของข้อมูลทั้งหมด
P80 คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณร้อยละ 80 ของข้อมูลทั้งหมด
rN จานวน
100
และPr คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่
การเปรียบเทียบตาแหน่งของข้อมูลชุดเดียวกัน
Q1
Q2
Q3
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
P10
P20
P30
P40
P50
P60
P70
P80
P90
มีวิธีคานวณหาตาแหน่งเปอร์เซนไทล์,เดไซล์,และควอไทล์ของข้อมูลต่าง ๆ ได้ดังนี้
1. การหาควอร์ไทล์ เดไซล์และเปอร์เซนไทล์ ของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
การหาตาแหน่งควอไทล์, เดไซล์ , เปอร์เซนไทล์ ของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ มีวิธีหาได้ดังนี้
ชั้นที่ 1 เรียงลาดับค่าของข้อมูลจากน้อยไปหามาก กาหนดให้ข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุด เป็นข้อมูลตาแหน่ง
ที่ 1 เรื่อยไปจนถึงค่าสูงสุดซึ่งเป็นตาแหน่งที่ N เมื่อ N เป็นจานวนข้อมูลทั้งหมด
ชั้นที่ 2 วิเคราะห์จากนิยามได้ดังนี้
rN จานวน
4
r  N  1
Qr คือข้อมูลตาแหน่งที่
เมื่อ r  {1 , 2 , 3 }
4
Qr คือ ค่าที่มีจานวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่
ในทานองเดียวกันจะได้
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
r(N  1)
10
r(N  1)
Pr คือข้อมูลตาแหน่งที่
100
Dr คือข้อมูลตาแหน่งที่
และ
หน้า - 3 -
เมื่อ r  {1 , 2 , 3 , … , 9 }
เมื่อ r  {1 , 2 , 3 , … , 99 }
1. ถ้าตาแหน่งทีไ่ ด้เป็นจานวนเต็ม มีค่าตรงกับค่าในข้อมูล แล้วค่าในข้อมูลดังกล่าว คือ ค่าของ
ควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ ที่ต้องการ
2. ถ้าตาแหน่งที่ได้ ไม่เป็นจานวนเต็ม ให้หาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์
โดยการเทียบสัดส่วน
ชั้นที่ 3 เมื่อหาตาแหน่งที่ได้แล้ว ให้หาค่าที่อยู่ในตาแหน่งดังกล่าว
ตัวอย่างที่ 1 ข้อมูลปริมาณการส่งออกข้าวโดยประมาณ (พันตันข้าวสาร) ในพ.ศ.2560 จาแนกตามชนิดของข้าวสาร จาก
ศูนย์เทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร สานักงานปลัดกระทรวงพาณิชย์ โดยความร่วมมือจากกรมศุลกากร แสดงดังตาราง จงหา
ชนิดของข้าวสาร
ต้นข้าวขาว
ปลายข้าวขาว
ต้นข้าวหอมมะลิ
ปลายข้าวหอมมะลิ
ข้าวนึ่ง
ข้าวเหนียว
ปลายข้าวเหนียว
ข้าวหอมไทย
oicoese
ปริมาณการส่งออกโดยประมาณ (พันตันข้าวสาร)
4,662
X4 408
Xo 1,630
669
Xs
Xy 3,370
214
Ogs(is 303o(foa as :
213
XI
X
g
X
=
22.1 S
งออกโดบประมาณของข้าว 8 ชนิด ในพ.ศ.2560
Quiet 1) ควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของปริมาณการส่
02.
02.
18t11=2.23
4 3
98.8=
+11:
28+1):4.
G
4
G=
6.3
=
=
x2.23
X2 + (0.23(89)
·
214 + (0.23) (89): 236.23
~
Q
=
x
QX
3
p.3
=Xp
+
(0.3)
(75xp)
408 + (0.3) (261)
~
=
=
338.3
·
6.7S
X,
+
(0.73) s7y-Xs)
1630 + (0.73( (1740) 2933
=
2) ชนิดของข้าวที่มปี ริมาณการส่งออกน้อยกว่าควอร์ไทล์ที่ 1
Goverzeo/monowdne
3) ชนิดของข้าวที่มปี ริมาณการส่งออกน้อยกว่าควอร์ไทล์ที่ 3
ve1850u/evvionowae/ Wewizonowaii/Glovestro /Unievioses8w/monowdne
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 4 -
ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 6/1 ในโรงเรียนแห่งหนึ่งจานวน 40 คน ซึ่งมี
คะแนนเต็ม 100 คะแนน แสดงได้ดังนี้
43 45 48 49 50 51 53 54 54 54
55 56 56 58 60 60 62 63 63 65
65 66 67 69 74 75 76 76 77 78
78 80 82 84 85 92 94 96 97 98
จงหา
1) เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 เปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 และเปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ของคะแนนสอบของวิชาภาษาอังกฤษของ
180 32.8
นักเรียนห้องนี้ 080.P2g =184l P.23=x0s
Psotcos 98.Pgo
Fook
Not10.23))))92.PsofD
=
h
80
34
·
10.2 3
=
=
34.2 3
+(0.81 (2)
=6 S
=20.3
=32.8
=81.
6
2) คะแนนที่มนี ักเรียนประมาณร้อยละ 25 ของห้องได้คะแนนต่ากว่า 0x23=10 -P2s
080.
P.C3=x..2s4x+(0.25))4o(=34.2
P2g=(PI)=1.02
3) คะแนนที่มนี ักเรียนประมาณหนึ่งในห้าของห้องได้คะแนนสูงกว่า Pg=Dg
4
100
he
Dg
&
02.Pgo
③ Vu n
Pro
180 32.8
=
=0Ll
88
be+(0.81 (2)
=x
=32.8
=81.
6
ตัวอย่างที่ 3 คนกลุ่มหนึ่ง จานวน 11 คนมีความสูงดังนี้
156 , 162 , 149 , 156 , 160 , 172 , 170 , 175 , 161 , 165 , 168 ซม. จงหา
1) Q3
2
3
I
6
A
10
9
11
5
T
(
N
=
17
e200y:s+1):
a
Oz x9
=
·
2) D4
=
170
·roDniCITI-noe
3) P60 acoPso
Pro
=
Ap=100.8
=buul+I):
1.2: fi 10.212784)
Te
=
163.6
4) ผู้ที่สูง 162 ซม. จะเป็นตาแหน่งควอไทล์ที่เท่าใด
162=7o
@20of-+1Q2
=
eCTr
102
~
v
=
2
5) ผู้ที่สูง 170 ซม. จะเป็นตาแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่เท่าใด
170 = x
9
azo AA+:P.,:K0
v
=
Y3
18
ตัวอย่างที่ 4
กาหนดข้อมูลเป็น 15, 50, 20, 30, 4, 35, 7, 48, 24 จงหา 4,41s,20,24,30,33,48,50
1) 20 ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
2) 10 ตรงกับเดไซล์ที่เท่าใด
20 =X
4
00P +K
4:
too
alico I
on
a:
v 4O
08
Dr:
N+1
23: Hati
v
=
c3
=
:Ppg
=
28
a
=
3
:D. 2:18
10: X
co
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 5 -
ตัวอย่างที่ 5 ผลการวัดความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนชัน้ อนุบาลกลุ่มหนึ่ง ปรากฏผลดังนี้
98 100 117 122 99 111 98 99 111 100
113 103 105 108 120 103 102 119 104 107
99 114 117 118 118 102 105 113 117 118
1) จงหาความสูงที่มีจานวนนักเรียน ซึ่งมีความสูงน้อยกว่าความสูงนี้ไม่เกินหนึ่งในสี่
I
f
22
38
19
10
13
16
29
If
3
21
23
2S
26
9
3
17
4
18
T
g
28
17
IS
14
2O
24
2Y
2
N
=
38
"
&200
1G1
=
Q
4 79
=
xy)=101.3
10010.73((x
7.7 S
:
2) จงหาความสูงที่มีจานวนนักเรียน ซึ่งมีความสูงน้อยกว่าความสูงนี้ไม่เกินสามในห้า
D
6131) Do x18
&2
=
=
=
18.6
6
I1+10.67 (x1118):
·
12 2
3) จงหาความสูงที่มีจานวนนักเรียน ซึ่งมีความสูงน้อยกว่าความสูงนี้ไม่เกิน 70%
WP2o=1031
=21. T
8
0-721.
muniono
Xz)=116.)
txt (0.73(x
114
:
ตัวอย่างที่ 6 ผลการทดสอบเกี่ยวกับระดับสติปัญญาของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มหนึ่ง ปรากฏคะแนนดังนี้
89 90 95 96 98 99 99 100 100 101 101 102
103 103 104 107 108 111 113 113 114 115 116 122
จงหาว่าจะต้องสอบได้กี่คะแนน จึงทาให้
1. มีนักเรียนประมาณครึ่งหนึ่งของชั้นได้คะแนนต่ากว่า Me 0 Pso
·20.G.=
((3):
=
=
D
=
123
Q=
x
12.3
De o.Ssxx1c(=102.3
2. มีนักเรียนประมาณหนึ่งในสีข่ องชั้นได้คะแนนสูงกว่า
8.
= Pg
=
P7.3
emun
Oz
00:32S)-s
Nist 10.753(4x1g)=112.3
111
=
3. มีผู้สอบได้คะแนนน้อยกว่าอยู่ประมาณ 8 ใน 10
Dg
and
02.P8:ocs
4. มีผู้สอบได้คะแนนมากกว่าอยู่ประมาณ 68 ใน 100
ag.Pzz: CLSi
:Pe =Xg
=
Pe
imu
100
ตัวอย่างที่ 7 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 401 ตัว เมื่อเรียงจากน้อยไปหามากแล้วพบว่า X198 = 87 , X199 = 88 , X200 = 92 ,
X201 = 95 , X202 = 97 แล้วจงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 ของข้อมูลชุดนี้
oe
Pr
=
+1
:socock
is
·Pso"X2ol=93
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 6 -
ตัวอย่างที่ 8 ในการสอบครั้งหนึ่ง หลังจากที่ครูตรวจให้คะแนนเรียบร้อยแล้ว ครูจะต้องเปลี่ยนคะแนนให้เป็นเกรด
4, 3, 2, 1 และ 0 โดยให้มีผู้ได้เกรด 4 เป็นจานวน 10% เกรด 3 เป็นจานวน 25% เกรด 2 เป็นจานวน
50% เกรด 1 เป็นจานวน 10% และเกรด 0 เป็นจานวน 5% สมมติว่า น.ส. B เป็นผู้สอบคนหนึ่งและเขาสอบได้
คะแนนอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 12 แล้ว น.ส. B ควรจะได้เกรดใด
3 %,
O
·:
18%
Ple
38%
25%
10%
2
3
4
exeio Aero
2. การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนไทล์จากตารางแจกแจงความถี่ทีละค่า
ขั้นตอนในการหาควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ของแต่ละค่า สามารถหาได้
ดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 สร้างสดมภ์ของความถี่สะสมของข้อมูลที่กาหนดให้
ขั้นที่ 2 หาตาแหน่งของควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ โดยใช้สูตรเดียวกันกับข้อมูลทีไ่ ม่ได้แจกแจงความถี่
ขั้นที่ 3 หาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ โดยนาตาแหน่งที่ได้จากขั้นที่ 2 ไปเทียบกับความถี่สะสม
ซึ่งสามารถกล่าวโดยสรุป ได้ดังนี้
1. ถ้าตาแหน่งที่ได้ เท่ากับ ความถี่สะสมตัวใด ค่าของ x ที่ตรงกับความถี่สะสมตัวนัน้ จะเป็นคาตอบ
2. ถ้าตาแหน่งที่ได้ ไม่เท่ากับ ความถี่สะสมตัวใด แต่อยู่ในชั้นความถี่สะสมเดียวกัน ค่าของ x ที่ตรงกับ
ความถี่สะสมตัวนัน้ จะเป็นคาตอบ
3. ถ้าตาแหน่งที่ได้ ไม่เท่ากับ ความถี่สะสมตัวใด และอยู่ระหว่างชั้นความถี่สะสมสองตัว การหาควอร์ไทล์
เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ของแต่ละค่า จะต้องใช้สัดส่วน
ตัวอย่างที่ 9 ผลการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งปรากฏผลดังตาราง จงหา
คะแนน
4
5
6
8
9
ความถี่
5
10
12
6
7
DOTWDDE
1) Q3
d
15
5
ar.0
Q2
:
2) D4
30.
Pp
Dp=
=
x
3CK=307
=
=
x
he
"8
30.75
14K)=1.
10.4
=6
3) P68
Pog=6o1P1)=2?8
:Pog=$xz+10.883(N.Xch
88.
57. 7
27
33
40 = N
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 7 -
3. การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนไทล์จากตารางแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
ขั้นตอนในการหาควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ สามารถหาได้ดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 หาความถี่สะสม(แบบน้อยกว่า) ของข้อมูล
ขั้นที่ 2 หาตาแหน่งของค่าที่เราต้องการหา เมื่อ N เป็นจานวนข้อมูลทั้งหมด
rN
4
rN
ตาแหน่ง Dr =
10
rN
ตาแหน่ง Pr =
100
ตาแหน่ง Qr =
เมื่อ r  {1 , 2 , 3 }
เมื่อ r  {1 , 2 , 3 , … , 9 }
เมื่อ r  {1 , 2 , 3 , … , 99 }
ขั้นที่ 3 หาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ โดยนาตาแหน่งทีไ่ ด้จากขั้นที่ 2 ไปเทียบกับ
ความถี่สะสม ซึ่งสามารถกล่าวโดยสรุป ได้ดังนี้
1. ถ้าตาแหน่งที่ได้ เท่ากับ ความถี่สะสมของอันตรภาคชัน้ ใด ขอบบนของอันตรภาคชัน้ นัน้ จะเป็นคาตอบ
2. ถ้าตาแหน่งที่ได้ ไม่เท่ากับ ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นใด อันตรภาคชั้นแรกที่มีความถี่สะสมมากกว่า
ตาแหน่งทีไ่ ด้ จะเป็นอันตรภาคชั้นของค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ ซึ่งการหาควอไทล์
เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น จะต้องใช้สัดส่วน หรือ คานวณ
จากสูตรได้ดงั นี้


rN  f  I
Dr  L  10
L f
Dr
rN  f  I
Pr  L  100
L f
P
I
Qr  L  rN

f


L
4
fQ r
r
เมื่อ
L
=
ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ Qr , Dr , Pr อยู่
fL =
ความถี่สะสมที่อยู่ติดกับชั้นที่ Qr , Dr , Pr อยู่ แต่เป็นชั้นที่ต่ากว่า
I
ความกว้างของอันตรภาคชั้นที่ Qr , Dr , Pr อยู่
=
= ความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ Qr ,Dr , Pr อยู่ ตามลาดับ Of No80;zbavone
fQr , fDr , fPr
N+i8ewwowonwwoovvea
ตัวอย่างที่ 10 กาหนดข้อมูลดังตารางแสดงวิธีหา Q3 + D4 + 2 P62
= ตาแหน่งของ Qr , Dr , Pr ตามลาดั
บ
Og
DIP62
อันตรภาคชั้น 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100
ความถี่
2
feder
6
8
2
9
and
80.00N30s
Opencosis co
a
"ci-Os
·
Q
=
70.5
+
4
.
*
O
(450s-11) (ii)
pooistpo-1) (ii)
=20.5+137.5-313(29)
=73. 3
:
9:3
73.3
11
43
32
Dp=60.3 +
:
=
15
14
69.83
Gy+Dp+2P6y
=
273.67
4
4Y
3
50: N
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 8 -
ตัวอย่างที่ 11 กาหนดข้อมูลดังตาราง จงหา
อันตรภาคชั้น
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
Qu
PU
Pog
ความถี่
5
11
15
18
12
10
9
N = 80
frigg
3
16
3I
49
6I
1)
2)
3)
4)
5)
Q1
1880s.10) (is)=21.03
D4
+) 41801.31) (is) 1378
P68
1001001 419) ( ) 32.73
คะแนน 42 เป็นตาแหน่งควอไทล์ที่เท่าใด
คะแนน 18 เป็นตาแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่เท่าใด
=20.3 +
:2s.s
=30.s +
&
Gr=
1
80
v
:
=
-
=
EN-34.) (Ear
+
42: 40.5
7I
.
:
+)re80s-11) ()
3.68S
Q3. 68S"42
③
18: 1s.s
v
=
+
vaos-s)(ii)
13. 1IS
"18
P13. 12s
:
ตัวอย่างที่ 12 ผลการสอบของนักเรียน 60 คน ปรากฏผลดังตาราง สุริศา สอบได้ 64.5 คะแนน แล้วเขาสอบได้
คะแนนตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
คะแนน 15 - 24
25 - 34 35 - 44 45 - 54 55 - 64 65 - 74 75 - 84
ความถี
่
3
7
10
18
10
10
2
8
f.
3
10
38
20
4S
38
60: N
&
64.3:
·
6 4.3
X4g
arr.Pr-vOrs
v
=
:Pgg
8O
=
64.3
ตัวอย่างที่ 13 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นตารางเก่งสอบได้คะแนน 75 คะแนน อยู่
ตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไร
คะแนน
จานวนนั
กเรียน
88
S
Pr=L+
is
0-19
4
4
vN-sf) for
=39.3) v00l.(4) I
13.3: 15-64)
v
=
8 3.373
:P8z.37s"'S
L
20-39
10
14
40-59
50
64
60-79
25
89
80-99
11
100: 8
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 9 -
ตัวอย่างที่ 14 ตารางต่อไปนี้แสดงคะแนนสอบของนักเรียน 150 คน
คะแนน
ความถี
่
for2
30 - 39
8
40 - 49
10
8
50 - 59
12
18
30
60 - 69
45
70 - 79
50
80 - 89
20
173145
73
90 - 99
5
138
1) จงหาคะแนนต่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด ซึง่ นักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 20% ของนักเรียนทั้งชั้น
weawabobs: 20x160:30*8X(+)
+
(121-
100
we 882d66888)=
.anode
150 30 = 120
:
-
vosaebowess to a wiz
=
3f,)tadarewoodwinof
69.3 + (121
-
73).1
I
78.7
120
200
38
2) จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุด ซึง่ นักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 10% ของนักเรียนทั้งชั้น
webgewelbowan
=
10x150
=
16
oawnis
awsoniovos
#C
:
X,z
=
39.5 + (16
-
8).1=46.5
10:1
#
P,g 46.5
=
4. การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซนไทล์ จากกราฟ
การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ นอกจากจะทาได้โดยวิธีการคานวณตามทีไ่ ด้กล่าวมาแล้ว ยังสามารถทา
ได้โดยอาศัยกราฟที่ได้จากข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้ว กราฟที่เราใช้ในการในการหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์
คือ เส้นโค้งของความถี่สะสม หรือ โอจีฟ (Ogive) ใช้กับข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้ว ลาดับขั้นตอนในการหาควอร์ไทล์
เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ จากกราฟ มีดังต่อไปนี้
ขั้นตอนในการหาควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ จากกราฟ สามารถหาได้ดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 เขียนกราฟโค้งความถีส่ ะสม โดยให้แกนนอน แทนเส้นเขตบน แกนตั้ง แทนความถี่สะสม
rN เมื่อต้องการทราบค่า Q
r
4
rN เมือ่ ต้องการทราบค่า D
หาความถี่สะสมของตาแหน่งทีต่ ้องการจาก
r
10
rN เมือ่ ต้องการทราบค่า P
หาความถี่สะสมของตาแหน่งทีต่ ้องการจาก
r
100
ขั้นที่ 2 หาความถี่สะสมของตาแหน่งที่ต้องการจาก
ขั้นที่ 3 จากความถี่สะสมที่หาได้จากขั้นที่ 1 ลากเส้นขนานกับแกนนอนไปตัดกราฟจากจุดตัด
ลากเส้นตั้งฉากไปยังแกนนอน จุดที่ตัดกับแกนนอน คือ ค่าของตาแหน่งที่ต้องการ
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 10 -
ตัวอย่างที่ 13 กาหนดข้อมูลชุดหนึ่ง แสดงโดยใช้กราฟโอจีฟ ดังรูป
20
E
(CECOrozsas
a
=
4.5
iXgz 33.5
-
=
.
80
%
70
60
50
4.5
=
31
(40.5,80)
(35.5,70)
(30.5,50)
40
⑨
30
20
⑤
10
จงหา
1) Q1 02Δ= 1180)
i
Q, x,y
40.5
35.5
30()Xso:3res
)
20
=
xyg
25.3
=
=
C
30.5
25.5
(15.5,3)
20.5
15.5
10.5
5.5
(20.5,10)
(10.5,1)
2)
(25.5,20)
Dp Xyy=
=
..
77.5
=
Pb Xgz
=
=
31
4) คะแนน 36 เป็นตาแหน่งควอไทล์ที่เท่าใด
40.5
-(+ 30)03
x
80
1
+70
=
=
=
33.3
it is
a
=
1
a?r80.Q3.5
in
v 3.5
=
5) คะแนน 20 เป็นตาแหน่งเปอร์เซนต์ไทล์ที่เท่าใด
+10:1035)0s
Xz 15.5
tos
a
=
X
=
cTo
93
800 08.
=
r 11.625
=
:.p1.625: 20
a
23.5
3) P65 95Px
65801
:
=
=
3
=
D4 88D(=4180): 3
.
30 7
Xyy
30.5 3:27.5
=
-
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
HW
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 11 -
แบบฝึกหัด 1
1. โรงงานไฟฟ้าพลังน้าเขื่อนขนาดใหญ่จานวน 15 แห่ง มีกาลังผลิต (เมกะวัตต์) ในเดือนมกราคม พ.ศ.2562 ดังตาราง จงหา
1) ควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 ควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้
เขื่อน
กาลังผลิต (เมกกะวัตต์)
ภูมิพล
779.20
สิริกิตต์
500.00
อุบลรัตน์
25.20
สิรินธร
36.00
จุฬาภรณ์
40.00
ศรีนครินทร์
720.00
วชิราลงกรณ์
300.00
ท่าทุ่งทา
39.00
3 แก่งกระจาน
19.00
บางลาง
84.00
รัชชประภา
240.00
ปากมูล
136.00
เจ้าพระยา
12.00
แควน้อยบารุง
30.00
แม่กลอง
12.00
1S
ow.Q1:
13
:
4
Q
x
=
)
(6
=
I
4980.0
p=23.2
·
)
=266
G Ng
=
=
=
8
48
G
2310):K
G
·
=
x
12
=
300
f
2) กาลังผลิตที่มีโรงไฟฟ้าพลังน้าเขื่อนขนาดใหญ่จานวนประมาณ
8
ครึ่งหนึ่งมีกาลังผลิตได้น้อยกว่า
14
12
Pso
920.P=CoCs
is
T
:Pgg
=
X
=
g
40
9
3) โรงไฟฟ้าพลังน้าเขื่อนขนาดใหญ่ที่มีกาลังผลิตมากกว่าควอร์ไทล์ที่ 3
I
1g
Oz
=
300
I
S
2
2. โรงพยาบาลแห่งหนึ่งบันทึกจานวนเด็กแรกเกิดตั้งแต่เดือนมกราคม - ธันวาคม 2562 ได้ข้อมูลดังตาราง จงหา
3
เดือน
จานวนทารกแรกเกิด
I
I
10
4
x
11
0
It
1) ควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้
·
G
=
e
&80.03
3(3):
1e1=3
3.254+(0.253(ff) =306.23.93=79ss=fRCOS((x45xq)=341.73
08.41:
9.7
=
2) เดือนที่มีจานวนทารกแรกเกิดน้อยกว่าควอร์ไทล์ที่ 1
2.0.
4 306.3
=
/e.W. / 8.8.
3) เดือนที่มีจานวนทารกแรกเกิดมากกว่าควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้
68.8.
/r.d. 12.8.
8
2
7
ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
305 289 313 342 311 324 345 341 353 329 304 324
9
=
341.7 3
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 12 -
3 ข้อมูลระยะเวลาตั้งท้องเฉลี่ย (วัน) และอายุขัยเฉลี่ย (ปี) ของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม 10 ชนิด แสดงดังตาราง จงหา
สัตว์ทเี่ ลี้ยงลูกด้วยนม
ระยะเวลาตั้งท้องเฉลี่ย (วัน)
อายุขัยเฉลี่ย (ปี)
สิงโต ลิง
X1
Ys
100 166
As
is
15 15
ม้าลาย
X,
365
to
15
เสือ กวาง ฮิปโปฯ
X
X2
X4
105 201 238
c
Xy
X,
16
8
41
ช้าง ยีราฟ อูฐ
Xq
660 425 406
X2
X3
Xq
35 10 12
X
10
X
8
ม้า
X6
330
20
X
g
1) เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 และ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ของระยะเวลาตั้งท้องเฉลี่ยของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม 10 ชนิดนี้
a8P.='40
Ge
:P2 x2.z x0.2(x-X1) 177.2
=
=
5ocl=
:400 x8.5
=
=
=
P50
=
8.3
x80s(xXs):
41.5
2) เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 และ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 ของอายุขัยเฉลี่ยของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม 10 ชนิดนี้
08P20:
08P80: 8.5
2.2
Xz)=
x10.2)(XX1) 10.4.:880 x65:X 10.x)(X
3) ถ้าสวนสัตว์แห่งนี้ต้องการเพิม่ จานวนสัตว์ โดยเลือกสัตว์ที่มรี ะยะตั้งท้องเฉลี่ยมากกว่าเปอร์เซนไทล์ที่ 80 หรือสัตว์ที่มี
อายุขัยเฉลี่ยของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมน้อยกว่าเปอร์เซ้นไทล์ที่ 20 สวนสัตว์จะเลือกเพิ่มจานวนสัตว์ชนิดใดบ้าง
:.
Py xz.z
=
2.5
+
=
=
-
Boromena so 80W/8
-
orworld Poawlca
4. จากตัวอย่างที่ 2 ถ้าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/2 ในโรงเรียนแห่งหนึ่งจานวน 30 คน
ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน แสดงได้ตาราง
2101618
88 70 61 43 31 56 64 82 73 67
55 73 57 37 78 77 59 35 27 86
14(813736761819
61 49 54 60 74 49 78 68 70 78
ข้อสรุปที่ว่า “เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90 ของคะแนนวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/2 มากกว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่
80 ของคะแนนสอบวิชาภาอังกฤษของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 จริงหรือไม่ ”
22
30
20
is
3
q
29
11
42S
24
12
3
I
17
29
27
owPg
=
9(b))=1
:Pay xx
=
=
x+c0.9)(x)xx)
dreds own ben
81.6
=
P80 81.6
=
:
5. จากการสารวจของสานักงานคณะกรรมการข้าราชการพลเรือน (ก.พ.) แลสานักงานสถติแห่งชาติในพ.ศ.2556 พบว่า
เงินเดือนพนักงานใหม่แรกบรรจุ จาแนกตามวุฒิการศึกษาและตาแหน่ง แสดงได้ดังตารางต่อไปนี้
เงินเดือน (บาท)
ปริญญาตรี ปริญญาโท/เอก
เจ้าพนักงานธุรการ เจ้าหน้าที่ธรุ การ และพนักงานพิมพ์ดีด
12,166
เจ้าพนักงานการเงินและการบัญชี เจ้าหน้าที่บัญชี และเจ้าหน้าที่การเงิน
13,184
19,940
นักวิเคราะห์นโยบายและแผน และนักวางแผน
14,308
22,643
นักทรัพยากรบุคคล เจ้าหน้าที่ฝึกอบรม เจ้าหน้าที่ทรัพยากรบุคคล และเจ้าหน้าที่วิเทศสัมพันธ์ 13,219
20,957
นักประชาสัมพันธ์ และเจ้าหน้าที่ประชาสัมพันธ์
12,760
18,028
นักวิชาการคอมพิวเตอร์ และนักเขียนโปรแกรม
15,263
21,342
ตาแหน่ง
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ตาแหน่ง
นิติกร และนักกฎหมาย
เศรษฐกร และนักเศรษฐศาสตร์
วิศวกรเหมืองแร่ วิศวกรไฟฟ้า และเครื่องกล
นักสารวจ (ปิโตรเลียม) และวิศวกรปิโตรเลียม
สถาปนิก
นักทรัพยากรธรณี
นักวิชาการขนส่ง และนักโลจิสติกส์
นักวิทยาศาสตร์ และ นักเคมี
แพทย์
ทันตแพทย์
พยาบาล
เภสัชกร
นักเทคนิคการแพทย์
นักรังสีการแพทย์
นักโภชนาการ
หน้า - 13 -
เงินเดือน (บาท)
ปริญญาตรี ปริญญาโท/เอก
16,000
23,823
15,043
21,050
16,986
24,163
17,829
26,686
18,266
28,677
18,039
26,555
15,930
23,125
16,138
23,454
63,082
56,807
16,487
39,526
20,003
33,050
16,063
32,505
16,267
37,871
14,973
30,879
1. เงินเดือนของพนังงานใหม่แรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาตรี หรือปริญญาโท/เอก มีการการกระจายมากกว่ากัน
2. สาหรับพนักงานใหม่แรกบรรจุที่มีวุฒิปริญญาโท/เอก มีตาแหน่งใดบ้างที่ได้เงินเดือนน้อยกว่าเปอร์เซ็นไทล์
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 14 -
แบบฝึกหัด 2
กาหนดข้อมูลเป็น 3 , 4 , 6 , 8 ,9 , 12 , 13
1. จงหา Q3
1. 10
2. 10.5
2. จงหา D4
1. 6
2. 6.4
N
3. จานวน “ 9 “ ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
1. 5
2. 9
จงใช้ตารางต่อไปนี้ตอบคาถามข้อ 4 – 5
ตารางคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 60 คน
คะแนน
จานวนนั
กเรียน
fo
08.0,
3.
X
12
4. 12.5
3. 7.2
4. 7.4
62.5
8
21
4. ควอร์ไทล์ที่ 3 มีค่ากี่คะแนน
1. 77.2
2. 80.7
5. คะแนน 69.5 ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
1. 35
2. 34
X
41
R
-
:
P62.5
4.
x
Qs=rFECGOsto
=
3. 32
41 - 50
8
4. 28
51 - 60
24
13
7
61 - 70
6
43
39
9
82.2
Qz x9.5 +
Qy
-
o
69.3 X
=
6. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้
2
Dq
71 - 80
9
81 - 90
6
co
(43.47(70)
21
r
=
21:06
v
3g
=
60
54
สุมิตรและนารีรัตน์ เป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ สุมิตรได้คะแนนในตาแหน่งควอร์ไทล์ที่ 3 และนารีรัตน์ได้
คะแนนในตาแหน่งเดไซล์ที่ 9 ถ้าคะแนนเต็ม 100 คะแนน นารีรัตน์ได้คะแนนมากกว่าสุมิตรกี่เปอร์เซ็น
1. 5 เปอร์เซ็นต์
2. 10 เปอร์เซ็นต์
3. 15 เปอร์เซ็นต์
4. 20 เปอร์เซ็นต์
↓
..addd)
10x100
10%.
+(360) 3a)(2)
7. อายุของเด็กกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้
(9180) 43)(1)
อายุ (ปี) จานวนเด็ก foS
ถ้ามัธยฐานของอายุเด็กกลุ่มนี้เท่ากับ 7 ปี แล้ว a มีค่าเท่ากับ
1–3
3
Me
ข้อใดต่อไปนี้
(v 3f)E+
4–6
a
7–9
6
(1a-(3 a))=
1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
X
10 - 12
4
Qy 00.3
-
=
D
q
=
20.3 +
70.5
=
=
100
-
80.5
=
3
c+
=
-
3+ a
me
9+a
13+ a
6.4
=
a=X3rN
90 - 99
4
56
3. 81.7
31 - 40
5
32
=
xy(0.2)(X) Xy)
=
22.Pr
21 - 30
2
6
=
69.5
คะแนน
ความถี
่
+58
=
v 62.5
Qy
3
Pp x3.c
4. 71.43
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89
1
2
5
13
20
15
I
280.Dp=(1(8)
=
3.
X
3(8)
=
x 6.3+
=
a3
=
8. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ประจาภาคปลายปีการศึกษา 2534 ปรากฏว่าโรงเรียน ก. และโรงเรียน ข.
มีจานวนนักเรียนทีไ่ ด้ระดับคะแนน A มีอยู่ 10% ระดับคะแนน B มีอยู่ 20% ระดับคะแนน C
มีอยู่ 45% ระดับคะแนน D มีอยู่ 20% และระดับคะแนน F มีอยู่ 5% เท่ากัน
+
+
82.2
=
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
F
sy
โดยที่โรงเรียน ข. มีจานวนนักเรียนได้คะแนนในช่วงต่าง ๆ ดังตารางข้างล่างนี้
0-29
ช่วงคะแนน
63
น้อยกว่า 30 30 - 49 50 - 69
จานวนนักเรียน
f 5852
5
25
S
38
หน้า - 15 -
D)
90
20/
-
I
100
ตั้งแต่ 90 ขึ้นไป
20
10
98
100 N
78
I↓
20%
43/
70 - 89
40
B
a
I
=
B
ถ้านายอมร ซึ่งอยู่ในโรงเรียน ก. และนายชานิ ซึ่งอยู่ในโรงเรียน ข. ได้คะแนน 65 คะแนน เท่ากัน
โดยที่คะแนนของนายอมรอยู่ในตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 73 แล้ว ข้อความต่อไปนี้ข้อใดถูก
1. นายชานิได้ระดับคะแนนสูXงกว่านายอมร
+)r0 30)
2.
นายอมรได้
ร
ะดั
บ
คะแนนสู
ง
กว่
า
นายช
านิ
X
3. นายชX
านิและนายอมรได้ระดับคะแนน B เหมือนกัน :828(0.) xP,,
X
4. นายชานิและนายอมรได้
ระดับคะแนน C เหมือนกัน
63 49.3
=
-
v 67
=
+C
-
9. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 7 จานวน ซึ่งจัดเรียงจากน้อยไปมากแล้วเป็นดังนี้
10 16 x y 28 34 40 ถ้า Q2 = 21 และ D4 = 17.6 แล้วค่าของ x + y เท่ากับเท่าใด
X
1. 24
2. 29
3. 34
4. 37.75
34.3=
X(
a.
49.3+(( 2)j
-
(5)3 0,
=
Xq
7
=
49.5
=
34.5
↑13 39.5
=
:.
N 40
10. จากตารางแจกแจงความถี่ของข้อมูลชุดหนึ่ง ปรากฏว่ามีจานวนข้อมูลที่มีคะแนนต่ากว่าคะแนน 49.5
อยู่ 7 จานวน และมีจานวนข้อมูลที่มีคะแนนต่ากว่า 59.5 อยู่ 13 จานวน
ถ้าควอร์ไทล์ที่หนึ่งมีคา่ เท่ากับ 54.5 จงหาว่าข้อมูลชุดนี้มที ั้งหมดกี่จานวน
X 40
1. 35
2.
3. 45
4. 50
=
8
S
7
6
24
I
3
a
11. กาหนดข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 74 98 85 80 57 70 54 100 65
1. จงหาว่า 70 ตรงกับเดไซล์ที่เท่าใด
2. จงหาว่า 60 ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
N9
=
70
=X4
+ 1)
atDr r
Castc -5j
I
=
E, the
s
ear.Poor
oft
r1
Xz
X2.37
..Dp
12, กานดข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 11 15 17 A 24 B 27 30 32 33 36
ถ้าค่าของ Q2 = 25 และค่าของ D3 = 19.4 แล้ว 22 จะตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใดของข้อมูลชุดนี้
4
=
63
=
r
70
4
=
=
92Q,:(x)
92D,
3(1)
=
6.:Q=Xy B
=
=
3.6..Da
=
x0c
+
=
12.6
A
Csii)e
Xs:2r
a
:
=
Xp=
t
22
=
920P
2
=
=
=
0.6(A- 1)
0.6A
27
=
Hrl
x=
3
V= 36.11
:P36.11
+
22
a 0.373
=
:
=
60
100
v
=
23.73.:P23.75:60
for
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 16 -
13. ในการสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 150 คน โดยมีเกณฑ์การให้ระดับผลการเรียน และผล
การสอบของนักเรียนทั้งหมด ปรากฏดัง 2 ตารางต่อไปนี้
ตารางที่ 1
ตารางที่ 2
คะแนน
เกรด
คะแนน
จานวน (คน) &6688 808
0 – น้อยว่า 25
F
น้อยกว่า 20
14
25 – น้อยกว่า 45 D
น้อยกว่า 40
30
45 – น้อยกว่า 60
C
น้อยกว่า 50
57 Qy
60 – น้อยกว่า 80
B
น้อยกว่า 60
87
80 – 100
A
น้อยกว่า 70
122 Ps
น้อยกว่า 80
140 Da
น้อยกว่าหรือเท่ากับ 100
150
0-24
0-19
14
2 0-39
If
40-49
27
SO-S9
38
23-44
43-59
60-39
=N
ถ้ารุ่งฤดี รินนที และรุจรวี สอบได้คะแนนเท่ากับ
ผลการเรียนเป็นเท่าใด
9.
=
39.st) MISO) .so) (it):
·i got rodD
42.18
Da
=
69.3 +
Q1 , D9 ,
และ
P75
60-69
3S
70-79
18
8 0-100
18
แล้วรุ่งฤดี รินนที และรุจรวี ได้ระดับ
(94301-122) (g)=3672Pz=s9st (SO1.87) ()=60.29
:Erwisseod
B
oos8beoes B
****************************************************************************************************************
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 17 -
แบบฝึกหัดที่ 3
1. จากผลการสอบของนักเรียนห้องหนึ่งจานวน 40 คน ปรากฏว่า รัชชานนท์สอบได้ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 85
ข้อความใดตรงกับข้อความข้างต้นมากที่สุด
1. รัชชานนท์สอบได้ 85 %
2. ตาแหน่งของรัชชานนท์อยู่ในตาแหน่งที่ 85
3. ผลการเรียนของรัชชานนท์อยู่ในเกณฑ์ดี
4. จานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ากว่ารัชชานนท์มี 34 คน
2. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.6 จานวน 40 คน ถือเกณฑ์ตัดสินว่าผู้ที่ได้คะแนนตั้งแต่ 45% ขึ้นไป ถือว่า
สอบได้ น้าฟ้าสอบได้คะแนน 40% ถ้าน้าฟ้าสอบได้เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 100 แสดงว่าผลการสอบของนักเรียนในชัน้ นี้ตรง
กับข้อใด
1. สอบได้ทุกคน
2. สอบตกทุกคน
3. สอบได้ 12 คน
4. ข้อมูลไม่เพียงพอในการหาคาตอบ
3. ข้าวสวยสอบได้ 34 คะแนน ซึ่งเทียบได้เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 68 หมายความว่าอย่างไร
1. ข้าวสวยได้คะแนน 68% ของจานวนผู้เข้าสอบทั้งหมด
2. มีคนได้คะแนนต่ากว่าข้าวสวยอยู่ 68% ของจานวนผู้เข้าสอบทั้งหมด
3. มีคนได้คะแนนต่ากว่าข้าวสวยอยู่ 32% ของจานวนผู้เข้าสอบทั้งหมด
4. มีคนได้คะแนนสูงกว่าข้าวสวยอยู่ 68% ของจานวนผู้เข้าสอบทั้งหมด
4. ในการสอบครั้งหนึ่งมีนักเรียน 25% ของนักเรียนทั้งหมด ได้คะแนนสูงกว่า 95 คะแนน ถ้านักเรียนคนหนึ่งได้ 95
I
คะแนน คะแนนของเขาจะอยู่ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด (75)
73/
8
-
95
25/
96
-
108
5. ในการสอบครั้งหนึ่ง หลังจากที่ครูตรวจให้คะแนนเรียบร้อยแล้ว ครูจะต้องเปลี่ยนคะแนนให้เป็นเกรดระดับ A , B , C , D
และ F โดยให้มีผู้ได้เกรดระดับ A เป็นจานวน 10 % ระดับ B จานวน 25% ระดับ C 50% ระดับ D 10%
และระดับ F 5% ถ้าอิ้งสอบได้คะแนนทีต่ รงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 12 แล้ว อิ้งจะได้เกรดอยู่ในระดับใด ( D )
FB
si.)
s
C
10%
I
1
SO:/
A
1
10%
Pie
6. ในการสอบครั้งหนึ่ง ครูผสู้ อบกาหนดไว้ว่าจะมีผู้สอบได้เกรด A จานวนเพียง 10% ได้เกรด B 25% ได้เกรด C 50%
ได้เกรด D 10% นอกนั้นได้เกรด F ถ้าน้าหวานซึง่ เป็นนักเรียนในห้องนี้สอบได้คะแนนตรงกับควอไทล์ที่ 1 แล้ว
น้าหวาน ควรจะได้เกรดระดับใด ( C )
Is I
1
you
B
C
I
30%
1
is:
1
for
d
7. ในการสอบครั้งหนึ่ง มีนักเรียน 12 คน สอบได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 25 คะแนน ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของ
คะแนนสอบเท่ากับ 25 คะแนน แล้วนักเรียนที่เข้าสอบมีกี่คน ( 48 )
four
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 18 -
8. การสอบวิชาสถิติ ถ้ามีผู้เข้าสอบทั้งหมดจานวน 59 คน ปรากฏว่านางสาวทับทิมสอบได้คะแนน 89 คะแนน ซึ่งตรง
กับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 85 แล้วผู้ที่เข้าสอบแล้วได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับคะแนนของทับทิมมีกี่คน (51)
9. ในการสอบครั้งหนึ่งมีผู้เข้าสอบทั้งหมด 28 คน ถ้าเปอร์เซ็ฯไทล์ที่ 75 ของคะแนนสอบครั้งนี้คือ 84 ดังนั้นนักเรียนที่
สอบได้คะแนนมากกว่า 84 คะแนนมีกี่คน (7)
10. ในการสอบที่มผี ู้เข้าสอบ 150 คน ผู้ที่ได้คะแนนระหว่าง D3 ถึง P70 มีประมาณกี่คน (60)
11. จากข้อมูล 5 8 11 13 16 19 20 2 13 10 20 ค่าของ Q3 – D7 เป็นเท่าใด (1.8)
12. ข้อมูลชุดหนึ่ง ถ้าเรียงจากน้อยไปหามากแล้ว ได้เป็นลาดับเลขคณิต ต่อไปนี้ 2 , 5 , 8 , … , 92 แล้ว ควอไทล์ที่ 3 ของ
ข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด (71)
13. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 9 จานวน ดังนี้ 185 , 180 , 190 , 175 , 193 , 187 , y , 200 , 199 ถ้า y เป็นเดไซล์
ที่ 6 ของข้อมูลชุดนี้ แล้ว หากสุ่มข้อมูลชุดนี้มา 5 จานวน ความน่าจะเป็นที่ข้อมูล 5 จานวนนี้มีค่ามัธยฐานเป็น y
เท่ากับเท่าใด (5/21)
14. นักเรียนกลุ่มหนึ่งจานวน 80 คน ซึ่งมี น้าหนึ่ง น้าเพชร น้าค้าง รวมอยู่ด้วย ปรากฏผลสอบดังนี้
น้าหนึ่งได้คะแนนตรงกับควอไทล์ที่ 3 น้าเพชรได้คะแนนตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50
น้าค้างได้คะแนนเป็นลาดับที่ 30 เมื่อเรียงคะแนนจากมากไปหาน้อย
จงเรียงรายชื่อทั้งสามคนจากคนทีไ่ ด้คะแนนน้อยที่สุดไปหามากที่สดุ (คนพ)
15. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวน ถ้าควอไทล์ที่หนึ่ง ควอไทล์ทสี่ อง และควอไทล์ที่สามเท่ากับ 18 , 25 , 28 ตามลาดับ แล้ว
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด (23.40)
16. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวน และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 12 ถ้าควอไทล์ที่ 1 และ 3 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ 5
และ 20 ตามลาดับ แล้วเดไซล์ที่ 5 ของข้อมูลชุดนี้มีคา่ เท่าไร (10)
17. กาหนดข้อมูล 2 , 8 , 20 , 22 , 28 , 40 , 43 แล้วข้อมูล 20 ตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด (37.5)
18. กาหนดข้อมูลเป็น 3 , 5 , 9 , 13 , 17 , 20 , 23 , 27 , 40 ข้อมูล 15 ตรงกับเดไซล์ที่เท่าใด ( 4.5 )
19. กาหนดข้อมูลเป็น 3 , 5 , 9 , 13 , 17 , 20 , 23 , 27 , 40 ข้อมูล 15 ตรงกับควอไทล์ที่เท่าใด
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 19 -
แผนภาพกล่อง ( BOX PLOT )
แผนภาพกล่อง (box plot) เป็นการนาเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่แสดงตาแหน่งสาคัญของข้อมูลซึ่งประกอบด้วย
ค่าต่าสุด ค่าสูงสุด และควอร์ไทล์ (quartile) นอกจากนี้ แผนภาพกล่องสามารถใช้ในการตรวจสอบว่ามีข้อมูลที่แตกต่าง
ไปจากข้อมูลส่วนใหญ่หรือไม่ โดยจะเรียกข้อมูลดังกล่าวว่า ค่านอกเกณฑ์ (outlier)
ขั้นตอนการเขียนแผนภาพกล่อง
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก จากนั้นหาค่าต่าสุดและค่าสูงสุดของข้อมูล
2. หาควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2) และควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3) โดยที่
 ควอร์ไทล์ที่ 1 (Q1) คือค่าที่มีจานวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณหนึ่งในสี่ของจานวนข้อมูล
ทั้งหมด
 ควอร์ไทล์ที่ 2 (Q2) คือค่าที่มีจานวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณครึ่งหนึ่งของจานวนข้อมูล
ทั้งหมด หรือค่าที่อยู่ในตาแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด
 ควอร์ไทล์ที่ 3 (Q3) คือค่าที่มีจานวนข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณสามในสี่ของจานวนข้อมูล
ทั้งหมด
ถ้า n เป็นจานวนข้อมูลทั้งหมด สามารถหาตาแหน่งของควอร์ไทล์ได้ดังนี้
n1
Q1 อยู่ในตาแหน่งที่
4
2(n  1)
Q2 อยู่ในตาแหน่งที่
4
3(n  1)
และ Q3 อยู่ในตาแหน่งที่
4
3. หาค่า Q1  1.5(Q3  Q1 ) และ Q3  1.5(Q3  Q1 )
4. พิจารณาว่าชุดข้อมูลมีค่านอกเกณฑ์หรือไม่ โดยในที่นี้ค่านอกเกณฑ์คือข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า
Q1  1.5(Q3  Q1 ) หรือข้อมูลที่มีค่ามากกว่า Q3  1.5(Q3  Q1 )
5. ตัวอย่างการเขียนแผนภาพกล่อง
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 20 -
ค่านอกเกณฑ์อาจเป็นค่าจริงที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติหรืออาจเกิดจากความคลาดเคลื่อนจากการวัดหรือเก็บ
ข้อมูล ในทางปฏิบัติอาจไม่สามารถล่วงรู้ได้ว่าค่านอกเกณฑ์ที่ได้เกิดจากการวัดหรือเก็บข้อมูลที่ผิดพลาดหรือไม่
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จานวน 27 คน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100
คะแนน โดยเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แสดงได้ดังนี้
59
60
61
63
65
66
66
66
68
69
69
70
71
72
72
75
75
75
76
79
81
88
88
89
90
92
97
จงเขียนแผนภาพกล่องเพื่อนาเสนอข้อมูลชุดนี้ (ตัวอย่างที่ 5 สสวท.) N x, Xmin=39,Xmax
วิธีทา 8881=7(8)= 7a xz
97
=
=
=
Qz
2(7) 14
Q X,p
=
=
=
Qz
3(x) 27
=
=
3 1.37050)
a33+ 1.51055-Q)
-
66
=
Qy= xz
=
=
72
. .8
39
8]
·
is
to
66
is
92
to
<
89
is to is go as loo
43.3
=
103.3
=
ตัวอย่างที่ 2 ระยะเวลา (นาที) ในการใช้โทรศัพท์เคลื่อนที่สาหรับโทรอออกของเมษ กันย์ และธันย์ ในแต่ละครั้งในเวลา
หนึ่งสัปดาห์ แสดงด้วยแผนภาพกล่องได้ดังนี้
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 21 -
จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริง เป็นเท็จ หรือไม่สามารถสรุปได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ พร้อมทั้งให้เหตุผล
ประกอบ
1) ในหนึ่งสัปดาห์ธันย์ใช้โทรศัพท์เคลื่อนที่สาหรับโทรออกในแต่ละครั้งเป็นระยะเวลานานกว่ากันย์
one
owned
abooodgadnozomngavennaosocan
2) จานวนครั้งที่กันย์ใช้โทรศัพท์เคลื่อนที่สาหรับโทรออกในหนึ่งสัปดาห์น้อยกว่าเมษและธันย์
dagangad
own
dagocwodnoobodan
3) ควอร์ไทล์ที่ 2 ของระยะเวลาที่เมษและธันย์ใช้โทรศัพท์เคลื่อนที่สาหรับโทรออกในแต่ละครั้งในหนึ่ง
สัปดาห์เท่ากัน
of
แผนภาพกล่องกับการกระจายของข้อมูล
นอกจากแผนภาพกล่องจะสามารถใช้ในการตรวจสอบว่าชุดข้อมูลมีค่านอกเกณฑ์หรือไม่ ยังสามารถใช้ในการ
อธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลได้อีกด้วย การกระจายของข้อมูลจะทาให้เห็นว่าโดยภาพรวมแล้ว ข้อมูลมีการ
เกาะกลุ่มกันหรือไม่ ถ้าข้อมูลมีการกระจายมาก แสดงว่าข้อมูลมีค่าแตกต่างกันมากหรือข้อมูลไม่เกาะกลุ่มกัน แต่ถ้า
ข้อมูลมีการกระจายน้อย แสดงว่าข้อมูลมีค่าใกล้เคียงกันมากหรือข้อมูลเกาะกลุ่มกัน
จากตัวอย่างที่ 10 สามารถเขียนแผนภาพจุดเพื่อเปรียบเทียบกับแผนภาพกล่อง ได้ดังนี้
จากแผนภาพ จะเห็นว่าข้อมูลแบ่งออกเป็น 4 ช่วง แต่ละช่วงมีจานวนข้อมูลประมาณ 25% ของจานวนข้อมูล
ทั้งหมด เมื่อพิจารณาความกว้างของแต่ละช่วง จะพบว่าช่วงจาก Q1 ถึง Q2 มีความกว้างน้อยที่สุด ในขณะที่ช่วงจาก
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 22 -
Q3 ถึงค่าสูงสุด มีความกว้างมากที่สุด ทั้ง ๆ ที่ทั้งสองช่วงมีจานวนข้อมูลเท่ากัน แสดงว่าข้อมูลที่อยู่ระหว่าง Q1 และ
Q2 มีการกระจายน้อยที่สุด แต่ข้อมูลที่อยู่ระหว่าง Q3 ถึงค่าสูงสุด มีการกระจายมากที่สุด
ตัวอย่างที่ 3 ข้อมูลจานวนครั้งของการทุรกรรมผ่านเครือข่ายอินเทอรืเน็ตของครูในโรงเรียนแห่งหนึ่งในหนึ่งเดือน แสดง
ได้ดังนี้
0
0
0
0
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
9
10
11
12
12
14
จงเขียนแผนภาพกล่องเพื่อนาเสนอข้อมูล พร้อมทั้งอธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลชุดนี้
N
=
31,Xmin 0, X max 14
=
=
=3
98(1 3) 801 X8
=
=
=
Q
2(8): 1601
Xy
=
=
=
·is
Q3:3(8):24-Q3 =X24:6
8 1.5(85(1)
-
=
o 1.5C05Q1
+
-
ตัวอย่างที่ 4 จากข้อมูล
88Q=1911
Q2
3.3(7)
=
Xy
=
yz c0.s)(x)xy)
+
B
=
=
=
BOT-.SCOOROE-oEr
=
30
⑧
4 (0.3)(XX
+
N 13
=
33
Qy 3.3(3) 10.3ay X,0.s
=
to in in
10 , 21 , 27 , 33 , 45 , 48 , 55 , 57 , 65 , 66 , 75 , 78 , 80
Q=
7
is
it
10.5
=
=
B
=
a xx.s=
3.3
=
B
oooong 11, 12, 14
1.3
-
x*x+Xmax
Xmin
3
70.3
to do
⑭
=
10
B
to
1
56
so
⑫
I
70.5
1
to
so
B
do
ตัวอย่างที่ 5 จากการตรวจปริมาณน้าตาล (กรัม) ต่อปริมาณอาหาร 100 กรัม ของอาหารชนิดหนึ่ง จานวน 31 จาน
ได้ข้อมูลดังนี้ 0 0 0 0 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 9 10 11 12 12 14
จงเขียนแผนภาพกล่อง พร้อมตอบคาถามต่อไปนี้
1. ข้อมูลที่มีค่าอยู่ระหว่าง 3 ถึง 6 มีอยู่ร้อยละเท่าใดของจานวนข้อมูลทั้งหมด 50%
2. ข้อมูลที่อยู่ระหว่าง Q1 และ Q2 กับข้อมูลที่อยู่ระหว่าง Q2 และ Q3 ข้อมูลชุดใดมีการกระจายมากกว่ากัน 0,6658Q2
8881
Qy
=
1132)
=
2(8):
=
8a xz
=
16Q, =Xy
Q3:3(8) 24Qy
=
81 1.3105(1)
-
ac
+
1.5(0)-(,)
=
1.5
10.3
=
=
X-p
=
=
=
3
S
6
Xmin
·is
B
B
is
it
oooong 11, 12, 14
x*x+Xmax
to in in
B
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 23 -
สาหรับข้อมูลที่มีการกระจายแบบปกติ แผนภาพของกล่องจะเป็นดังนี้
Q1
Q2
Q3
ตัวอย่างที่ 6 พิจารณาการกระจายของข้อมูลสองชุด ซึ่งเป็นคะแนนสอบของวิชาที่ 1 และวิชาที่ 2 ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100
คะแนนเท่ากัน โดยใช้แผนภาพกล่องต่อไปนี้
1
2
0
10
20
30
40
50
จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. ข้อมูลทั้งสองชุดมีค่ามัธยฐานเท่ากับเท่าใด
60
70
Q= 30
2. ข้อมูลชุดใดมีการกระจายมากกว่ากัน our
own
ronal
ตัวอย่างที่ 7 จากข้อมูลในแผนภาพต้น – ใบ จงสร้างแผนภาพกล่องพร้อมทั้งอธิบายแผนภาพ
5
2 4 5 6
6
6 6 7 9
7
1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 7 7
·012
08Q1=2+1=6a, x6:66% 1.310,21):
sz
Q2
Qy X1
o+1.3(
Q) 88.3
sscss's boo6010 is do
Qy=
18Qy=X18:
การวัดการกระจายของข้อมูลโดยใช้มัธยฐานเพื่อหาว่าข้อมูลทั้งหมดต่างจากค่ามัธยฐานของข้อมูลชุดนัน้ มากน้อย
เพียงใด โดยใช้แผนภาพกล่องในตัวอย่างที่กล่าวมานัน้ เป็นวิธีทใี่ ช้แผนภาพเพื่อศึกษาการกระจายของข้อมูล ซึ่งจะทาให้เห็น
การกระจายของข้อมูลชัดเจนขึน้ กว่าการใช้ค่าพิสัย และสามารถนาไปใช้ในการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลมากกว่า
หนึ่งชุดได้ แต่ก็มีข้อเสียเนื่องจากไม่ได้ใช้ข้อมูลทั้งหมดที่มีอยู่มาคานวณ จึงเป็นการวัดการกระจายที่ไม่ละเอียดนัก
N 23
=
=
=
2(b) = 12
=
32.3
-
=
73
⑭
=
3(6):
75
①
D
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 24 -
แบบฝึกหัดที่ 4
1. นภาพักตร์ได้จดบันทึกจานวนรถจักยานยนต์ที่มาจอกบริเวณหน้าบ้านในช่วงเวลา 08.00 – 09.00 น.ของแต่ละวัน
เป็นเวลา 1 เดือน ได้ข้อมูลดังนี้
3
10
6
7
12
13
15
8
6
10
16
17
20
18
5
9
9
7
10
11
18
19
15
16
17
20
16
12
14
18
14
17
1) จงหาควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้
9
2
5
24
38
28
1
29
19
28
23
980:
:.
=
T
:.Qz Xy
9
=
=
18
f
8
9
IS
31
14
21
3+1 =8880,=2(8):16880,
Q1 xz
=
13
22
12
26
1627
17
23
=3(8):24
:Qz Xzp
14
10
17
=
=
7
2) ข้อมูลชุดนี้มีค่านอกเกณฑ์หรือไม่ ถ้ามีคือค่าใด
90
1.3(085-(1)
-
=
-
3
of+15(0541) 29..daiwooreg
3) เขียนแผนภาพกล่องเพื่อนาเสนอข้อมูลชุดนี้
=
·to
is in is is to
17
"
4) จากแผนภาพกล่องข้อ (3) อธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลชุดนี้
Bowedgywasaeva,acere
2. พิธพิชัยได้จดบันทึกความยาวของกล้วยทอด(เซนติเมตร) ที่สุ่มมาจากร้านค้าแห่งหนึ่งจานวน 3 ถุง แต่ละถึงมีกล้วยทอด
9 ชิ้น ได้ข้อมูลดังนี้
5.0 7.0 6.0 6.5 3.6 5.4 5.6 8.0 7.5 6.0
5.8 6.9 7.3 7.5 7.7 7.0 6.8 6.3 5.9 6.1
7.2 6.4 5.5 8.0 5.8 6.7 7.2
1) จงหาควอร์ไทล์ที่ 1 ควอร์ไทล์ที่ 2 และควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้
880:24+1=788Q,=2(1): 14880, =3(7)=7
I
2
18
18
14
6
17
22
23
25
28
13
4
26
T
:.Q1 x1
=
=
:Qz X1p 6.5
3.8
=
33
27
24
9
19
16
12
8
11
IS
21
:Qz Xz
=
=
=
7.2
2) ข้อมูลชุดนี้มีค่านอกเกณฑ์หรือไม่ ถ้ามีคือค่าใด
· 1.5(65()
anwoebesoops.
+1.scaa)=
3) เขียนแผนภาพกล่องเพื่อนาเสนอข้อมูลชุดนี้
3.5
-
=
9.3.:
3.6
x
I
7.2
3. 8
D
3
.
.
44.3
.
.
S
3.3
.
6
1
6.3
l
7
7.5
I
8
1
D
8.3
4) จากแผนภาพกล่องข้อ (3) อธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูลชุดนี้
boannsedadwestminera, aceno
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 25 -
3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 และ 6/2 แสดงด้วยแผนภาพกล่องได้ดังนี้
25.
25/
25%
2S/
bo
23:/
25%/
25%/
25%/
do
1) กลุ่มนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 ที่ได้คะแนนต่าสุดมีจานวนประมาณ 25% ของนักเรียนทั้งห้อง จงหา
คะแนนต่าสุดและคะแนนสูงสุดของนักเรียนกลุ่มนี้
ตอบ God
as
2) มีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/2 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนมากกว่า 91 คะแนน
ตอบ
3) มีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนน้อยกว่า 75 คะแนน
ตอบ
4) มีนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/2 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนมากกว่า 77 คะแนน
ตอบ
5) กาหนดให้นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 และ 6/2 มีจานวนเท่ากัน และนักเรียนได้เกรด 4 ก็ต่อเมื่อนักเรียนได้คะแนน
ตั้งแต่ 80 คะแนนขึ้นไป พิจารณาว่าห้องใดน่าจะมีนักเรียนได้เกรด 4 มากกว่ากัน พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
ตอบ and
oblasoogscads avastodongoosmos aeva,
4. แผนภาพกล่องข้างล่างนี้ แสดงผลสรุปของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนห้อง ม.6.1 และ ม.6.2
of 26608
to auto bow
23:/
50%
73%/
on
swore
. 6.1
60
67
. 6.2
25%
25/
2525
do
75
25/
25%/.
64
77
bo
100
88
23/
25/
98
85
91
จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. จงหาว่านักเรียนห้อง ม.6.1 ที่ได้คะแนนอยู่ในกลุ่ม 25% ต่าสุด มีคะแนนต่าสุดและคะแนนสูงสุดเป็นเท่าไร
God
to auto bow
as of 26608
2. นักเรียนห้อง ม.6.2 ที่ได้คะแนนมากกว่าหรือเท่ากับ 91 คะแนนมีประมาณกี่เปอร์เซ็นต์
25 -/
3. มีนักเรียนห้อง ม. 6.1 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 75 คะแนน
so
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 26 -
4. มีนักเรียนห้อง ม. 6.2 กี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนมากกว่าหรือเท่ากับ 77 คะแนน
75%
5. ถ้าในการสอบครั้งนี้ผู้สอนให้ระดับคะแนน 4 แก่ผู้ที่สอบได้คะแนนตั้งแต่ 80 คะแนนขึ้นไป ถ้าพิจารณาจาก
แผนภาพกล่องที่กาหนดให้ห้องใดควรจะมีผู้สอบที่ได้ระดับคะแนน 4 ในวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้มากกว่ากัน เพราะเหตุใด
a.o.lained
6.288008sads a,va,660 6.150008sns Q,va,
bade
*********************************************************************************************************
แบบทดสอบเรื่อง การวัดตาแหน่งที่ของข้อมูล
1. ผลการสอบวิชาความถนัดของนักเรียน 60 คน พบว่า นางสาวใจใส สอบได้คะแนนอยูใ่ นตาแหน่ง D7 และ
นางสาวเตือนตา สอบได้คะแนนอยู่ในตาแหน่ง P85 จานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่างคะแนนของใจใส
และเตือนตา เท่ากับข้อใด aw,=(61):42.788gg 0(61)
1. 9 คน
2. 7 คน
3. 6 คน
4. 4 คน
N
=
31.
=
42.74344...5131.83
9dto
2. ในการสอบวิชา ค 30205 ครูผู้สอนกาหนดว่าจะมีคนได้เกรด D เพียง 10% ได้เกรด C 50% ได้เกรด B
25% และได้เกรด A 10% นอกนั้นได้เกรด F ถ้าปูจา๋ สอบได้คะแนนอยู่ในตาแหน่งควอไทล์ที่ 1
51 or son
แล้วปูจ๋าควรได้เกรดเท่าใด
1. A
2. B
3. C
4. D
X
-
-
is 1 or
1
1. -
3. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 339 ตัว เมื่อจัดเรียงลาดับจากน้อยไปหามากแล้ว พบว่า X152 = 82 , X153 = 87 ,
X154 = 93, X155 = 95 , X156 = 99 , X170 = 102 และ X171 = 104 แล้ว D4.5 ตรงกับข้อใด 20D4.s
4b
X
1. 87
2. 93
3. 95
4. 102
x1jy
&
87
i
6737109384
=
=
=
A 193:738
-
A= 325
6. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวน และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 18 ควอไทล์ที่ 1 และ 3 ของข้อมูลเท่ากับ
10 และ 25 ตามลาดับ แล้ว เดไซล์ที่ 5 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าตรงกับข้อใด
1. 10
2. 15
3.
20
4. 25
X
18
=1(+1)
=
1.3
=
9X;
3
3xi
=
:
90
=
Ds
=
20 + 30+
20
D5
D4.5
2.2)
0.
=
130
85Q1
=
=
I
4. กาหนดข้อมูล 10 จานวน ดังนี้ 68 , 69 , 54 , 53 , 94 , 75 , 65 , 69 , 55 และ 46 ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. D2 = 53.20
2. P65 = 69.15
3. P75 = 70.50
4. Q1 = 53.75
xX e8P=6st))=1
an
050,=1(1)
1
820,:((x)
5. ข้อมูล 11 จานวนเรียงจากน้อยไปมาก ดังนี้
Pi
117 , 154 , 195 , 211 , 211 , 248 , 281 , 314 , A , 348 , 397 0 = 248,81: 195,Qx-Qy=
ถ้า Q3 – Q1 = 130 แล้ว P75 – Q2 จะมีค่าเท่ากับข้อใด
1. 65
2. 67
3. 75
4. 77
↑
=
40) 13
=
-
Q, Gz Q+
-
=
:
=
373
-
248
77
OrIuseo
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 27 -
7. กาหนดตารางแจกแจงความถี่แสดงน้าหนักของนักเรียนในโรงเรียนแห่งหนึ่ง เป็นดังนี้
น้าหนัก (กิโลกรัม)
จานวนนักเรียน (คน)
footy
30 – 39
10
40 – 49
30
50 – 59
50
60 – 69
60
70 – 79
30
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ฐานนิยมของน้าหนักมีค่ามากกว่า 57 กิโลกรัม
X
2. ควอไทล์ท3ี่ ของน้าหนักมีค่ามากกว่า 69.5 กิโลกรัม 08Qy=3180):
3. เดไซล์ที่ 2 ของน้าหนักมีค่ามากกว่า 52.5 กิโลกรัม G2D, 2,80)
↓ กิโลกรัม
Me=
4. มัธยฐานของน้าหนักมีค่าเท่ากับ 59
N 1560
8. จากตารางแจกแจงความถีต่ ่อไปนี้
อันตรภาคชั้น 0 – 3
4–7
8 – 11 12 – 15 16 – 19 0842:2461
ความถี
่
2
3
4
4
7
foreda
Pz
ค่า P25 + P60 มีค่าตรงกับข้อใด
X
1. 7.5
2. 14.5
3. 22
4. 25
10
48
98
150
188
133
=
59.5
on
=
90
=
T
13
39
2
28
=
02P6=6%70)
7.5
i
p(j= 17.5
4.3 + 14.5
9. จากตารางแจกแจงความถีข่ องข้อมูลคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.6 โรงเรียนแห่งหนึ่ง
คะแนน 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89
ความถี
่
3
5
7
10
8
7
10
firDG
ถ้าต๋องสอบได้คะแนน 59.5 คะแนน คะแนนต๋องจะตรงกับตาแหน่งเดไซล์ที่เท่าใด
1. D2.5
2. D5.0
3. D7.0
4. D8.5
N
B
:x2:59.saaDr=r...
S
IS
vs
=
+Ds Xzs
-
=
=
!
1333
4O
50
39s
10. ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 50 คน
คะแนน
จานวน fooda ถ้านักเรียนกลุ่มเรียนอ่อนของห้องมี 20% ของนักเรียน
3
ทั้งห้อง แล้วนักเรียนทีส่ อบได้คะแนนสูงที่สดุ ของนักเรียน ario
5–8
3
กลุ่มอ่อนนี้จะสอบได้คะแนนเท่ากับข้อใด
9 – 12
8
1. 10 X10
13 – 16
12
3)4
2. 11 X10
17 – 20
18
3. 12
X
21 – 24
5
4. 13
25 – 28
3
29 – 32
1
20x50 = 10
TOO
If
23
0.5
=
41
=
46
49
38
12
+ (10
-
+
(12
-
=
9)4=74.3
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 28 -
11. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม. 6 ซึ่งมี คะแนนเต็ม 90 คะแนน ดังนี้
&2485:00)
คะแนน ความถี่ forear ถ้า นาย A สอบได้เปอร์เซนต์ไทล์ที่ 85 และนาย B
P8g
32)10:76.32
สอบได้เดไซล์ที่ 7 แล้ว นาย A สอบได้คะแนน
40 – 49
17
ar(,
((0)
มากกว่านาย B กี่ร้อยละเท่าใดของคะแนนเต็ม
50 – 59
15
Dn
32)10 68
1. 8.45
2. 9.24
X
60 – 69
20
3. 10.25
4. 12.05
70 – 79
11
(352-68)
80 – 89
7
3E
=
69.5 + (39.3
=
:
-
17
4
=
=
32
39.5 + 349
:
=
-
=
52
28
63
:
x100
=
9.24
78
12. คะแนนสอบความรู้ทั่วไปของนักเรียน 200 คน นาเสนอโดยใช้แผนภาพกล่อง ดังนี้
20
22
26
28
34
ข้อใดเป็นไม่ถูกต้อง
1809
1888
1. จานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 22 ถึง 26 คะแนน มีจานวนเท่ากับจานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 26 ถึง 28 คะแนน
1889
2. จานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 22 ถึง 28 คะแนน มีจานวนเท่ากับจานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 28 ถึง 34 คะแนน
N
1809
1509
3. จานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 20 ถึง 22 คะแนน มีจานวนเท่ากับจานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 28 ถึง 34 คะแนน
2808
2509
4. จานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 20 ถึง 26 คะแนน มีจานวนเท่ากับจานวนนักเรียนที่ได้คะแนน 26 ถึง 34 คะแนน
280C
13. “จากผลสอบของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมี 40 คน ปรากฏว่า น้องเมย์สอบได้เป็นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 85 ”
ข้อความต่อไปนี้ ข้อใดมีความหมายตรงกับข้อความดังกล่าวมากที่สุด
its
1. น้องเมย์สอบได้ 85%
2. ตาแหน่งของน้องเมย์อยู่ในตาแหน่งที่ 85
3. มีผู้ที่สอบได้คะแนนสูงกว่าน้องเมย์เพียง 4 คน
4. จานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ากว่าน้องเมย์มี 34 คน
X
0x34281si
14. กาหนดข้อมูล
20 , 22 , 15 , 18 , 18 , 24 , 16 , 22 , 26 , 19 , 26 178980:
ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
08Ds:
2
3
1. ตาแหน่งของ Q1 เท่ากับ 3
2. 24 ตรงกับเดไซล์ที่ 5
X
3. ตาแหน่งของ P50 เท่ากับตาแหน่งของ D5
4. Q3 – P75 = 0
3488
85%
N
=
6 d8
15%
+1)
=
3
6
=
N8
=
15. จากการสารวจคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งจานวน 8 คน
เป็นดังนี้ 9 , 9 , 13 , 14 , 14 , 14 , 17 และ 19 คะแนน ถ้า ฐิติรัตน์ ฐิติพร และฐิตมิ ณี อยู่ในกลุ่มนี้ด้วย
และสอบได้ คะแนนอยู่ในตาแหน่ง Q1 , D7 และ P80 ตามลาดับ แล้วคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนทั้งสามคนนี้
ตรงกับข้อใด
1. 14.0 คะแนน
2. 14.1 คะแนน
3. 14.7 คะแนน
4. 15.0 คะแนน
N
I
88Q=((9)
=
2.25
our
:a x2zs (xc
=
8
3436C
2
=
+
c0.2s)(X-x
480:
0(9):
10
=
:080=xxz x +
=
6
820D,=(19)=
:17 x6.3
=
xc0.3)(X)5Xx
=
14.9
=
Ma
.
0.2(XX,)
+17.4-14.
17.4
=
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 29 -
16. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลาดับจากน้อยไปมากคือ 2 , 4 , 5 , m , 7 ถ้าข้อมูลชุดนี้มพี ิสัยเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต
แล้ว ค่าของ D6 + Q1 ตรงกับข้อใด
1. 9
2. 9.2
3. 10
4. 10.2
X
+
+3
+3
+3
17. ข้อมูลชุดหนึ่งถ้าเรียงจากน้อยไปมากแล้ว ได้เป็นลาดับเลขคณิตต่อไปนี้ 5 , 8 , 11 , 14 , … , 83 an
เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 ของข้อมูลชุดนี้มีค่าตรงกับข้อใด
1. 62
2.
3. 68
4. 71
X 65
82P..
saai.a(
2)(3)
+2
6a
=
3n + 2
=
=
=
27
a,+ ( xd
=
-
18. กาหนดให้ค่าจ้างรายวันของคนงานกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้
ค่าจ้าง (บาท) จานวนคนงาน forda
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
81 – 85
1
ก) ค่าจ้าง 100.5 บาทตรงกับควอไทล์ที่ 1
86 – 90
3
ข) เปอร์เซ็นไทล์ที่ 55 มากกว่าควอไทล์ที่ 1 อยู่ 5
ข้อใดสรุปถูกต้อง
91 – 95
5
&14
#
1. ข้อ ก.) ถูก ข้อ ข.) ผิด
96 – 100
5
2. ข้อ ก.) ผิด ข้อ ข.) ถูก
101 – 105
8
&Otto Pss
H(10)
3.
ถู
ก
ทั
ง
้
ข้
อ
ก.)
และ
ข้
อ
ข.)
106 – 110
4
4. ผิดทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
X
Ps Xz2
111 – 115
10
116 – 120
4
I
4
9
r (40)
=
14
V 1.4
=
22
=
26
i.
=
=
105.5
36
48
19. กาหนดตารางแจกแจงความถี่ของข้อมูลชุดหนึ่ง เป็นดังนี้
อันตรภาคชั้น
ความถี่
ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 70 มีค่าเท่ากับ 87 แล้ว
90 – 99
10
ค่าของ a ตรงกับข้อใด
1. 9
2. 8
X
80 – 89
a
3. 7
4. 6
70 – 79
13
-4k0
60 – 69
7
(ctza-22) a
50 – 59
2
3279
22 a
+
22
=
9
2
7.39
a
=
=
xa.s +
7a +4
8
20. ตารางต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง
8018X80
ถ้าครูผสู้ อนกาหนดไว้ว่านักเรียนที่สอบได้เกรด 4 มีจานวน 10 %
คะแนน
ความถี่สะสม f
ของนักเรียนกลุ่มนี้ แล้วนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่าสุดของนักเรียน
31 – 35
80
ที่สอบได้เกรด 4 จะสอบได้กี่คะแนน
26 – 30
73
bo
1.
28.5
คะแนน
x7z
1S
21 – 25
63
2. 29.5 คะแนน
16 – 20
48
X
3. 30.5 คะแนน
11 – 15
28
4. 31.5 คะแนน
6 – 10
17
1–5
7
n
8
=
=
7
72
78
30.5
=
20
11
18
7
2
->
83 3x + 2
n
-
OcOHOSEIS.: OEe
6.2 3
+3
7
2+ 4 + 3 + 7 + m
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 30 -
21. แผนภาพกล่องดังต่อไปนี้แสดงผลสรุปของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้อง ก และ ข
.
60
ข.
67
75
64
88
77
85
~
100
91
r
98
ข้อสรุปในข้อใดถูกต้อง
1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้อง ก มีการกระจายเบ้ซ้าย
2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้อง ก มีการกระจายน้*
อยกว่าคะแนนของนักเรียนห้อง ข
3. จานวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนตั้งแต่ 80 คะแนนขึ้นไป ของนักเรียนห้อง ก มีจานวนนักเรียนมากกว่าห้อง ข
↑
4. นักเรียนห้อง ก ที่ได้คะแนนสูงสุด ในกลุ่ม 25% ต่าสุด ได้คะแนนน้อยกว่านักเรียนห้อง ข ที่ได้คะแนน V
สูงสุดในกลุ่ม 25% ต่าสุด
*
X
22. จากแผนภาพดังกล่าว
40
42
44
46
48
50
52
54
ที่มี xmin = 40 , Q1 = 43.5 , Q2 = 46 , Q3 = 50.5 และ xmax = 52
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก) จานวนนักเรียนส่วนใหญ่อยู่ในช่วงคะแนนตัง้ แต่ 46 ถึง 50.5
ข) จานวนนักเรียนทีไ่ ด้คะแนนระหว่าง 45 กับ 51 มี 50% ของข้อมูลทั้งหมด
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. ข้อ ก.) ถูก ข้อ ข.) ผิด
2. ข้อ ก.) ผิด ข้อ ข.) ถูก
3. ถูกทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
4. ผิดทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
X
*********************************************************************************************
x
x
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 31 -
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 การวัดการกระจายของข้อมูล
การทราบเพียงค่ากลางของข้อมูลไม่เพียงพอที่จะบอกว่าข้อมูลมีการกระจายมากหรือน้อย เนื่องจากค่ากลางแต่ละชนิด
มิได้บอกให้ทราบว่าข้อมูลแต่ละค่าห่างกันมากหรือน้อยเพียงใด ข้อมูลส่วนใหญ่รวมกลุ่มกันหรือกระจายกันออกไป สมมติว่าใน
การสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนสองห้องซึ่งใช้ข้อสอบชุดเดียวกัน มีค่เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากันคือ 67 คะแนน
ห้องแรกมีคะแนนสูงสุด 72 คะแนน และคะแนนต่าสุด 62 คะแนน ห้องที่สองมีคะแนนสูงสุด 97 คะแนน และคะแนนต่าสุด
25 คะแนน จะเห็นว่าคะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุดของห้องแรกต่างกันเพียง 10 คะแนน แต่คะแนนสูงสุดและคะแนนต่าสุด
ของห้องที่สองต่างกันถึง 72 คะแนน แสดงว่าห้องที่สองมีการกระจายมากกว่าห้องแรกมาก ซึ่งอาจกล่าวได้ว่านักเรียนห้องแรก
ส่วนใหญ่สอบได้คะแนนใกล้เคียงกัน แต่นักเรียนห้องที่สองสอบไดคะแนนต่างกันมาก
การวิเคราะห์ข้อมูลโดยการวัดค่ากลางของข้อเพียงอย่างเดียว จะบอกเพียงลักษณะโดยส่วนรวมของข้อมูลเท่านั้นซึ่ง
ยังไม่เพียงพอจาเป็นต้องวัดการกระจายของข้อมูล เพื่อตรวจดูว่าข้อมูลเหล่านั้นมีความแตกต่างกันมากน้อยเพียงใด มีวิธีการ
กระจายของข้อมูล 2 วิธี คือ
การวัดการกระจายสัมบูรณ์
การวัดการกระจายสัมบูรณ์ ( Absolute Variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่มี
หน่วยเดียวกับข้อมูล หรือเป็นกาลังสองของหน่วยของข้อมูล เพื่อใช้พิจารณาว่าข้อมูลแต่ละตัวมีความแตกต่างกันมากหรือน้อย
เพียงใด การวัดการกระจายสัมบูรณ์ เป็นการวัดกระจายของข้อมูลเพียงชุดใดชุดหนึ่ง มีวิธีวัด 4 วิธีดังนี้
1. พิสัย ( range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลชุดหนึ่ง โดยคานวณจากผลต่างระหว่าข้อมูลที่มี
ค่าสูงสุดและข้อมูลที่มีค่าต่าสุด เป็นการวัดกระจายอย่างคร่าว ๆ ไม่ต้องการความละเอียดมากนัก และในกรณีที่การแจกแจง
เป็นอันตรภาคชัน้ เปิด จะไม่สามารถหาพิสัยได้
และ พิสัย = x max _ x min เมื่อ xmax เป็นข้อมูลที่มีค่าสูงสุด และ xmin เป็นข้อมูลที่มีค่าต่าสุด
ตัวอย่างที่ 1 คนกลุ่มหนึ่งมีนาหนั
้ กดังนี้ 41.0 , 45.8 , 53.2 , 59.4 , 43.2,56.8 และ56.2 กก.
จงหาพิสัยของน้าหนักคนกลุ่มนี้
พิสัยของน้าหนัก =
ตัวอย่างที่ 2 น้าหนักของคนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงความถี่ดงั ตาราง จงหาพิสัย
59.4 41.8:18.4
-
น้าหนัก
จานวน
30.0 – 34.9
10
35.0 – 39.9 40.0 – 44.9 45.0 – 49.9
15
12
13
พิสัยของข้อมูลจากตาราง = ค่าขอบบนของอันตรภาคชั้นสูงสุด – ขอบล่างของอันตรภาคชั้นต่าสุด
:49.93 29.95 28
ตัวอย่างที่ 3 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 4 จานวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 21 มัธยฐานเป็น 23 และฐานนิยมเป็น 26
แล้วจงหาพิสัยของข้อมูลชุดนี้
A
26
20
↓
23
26
F 21
=
A 20 26 26
+
+
+
27
=
4
A 12
=
:858 26
=
-
12 74
=
-
=
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดข้อมูลดังตาราง จงหาพิสัย
คะแนน
10 -12
13 -15
16 -18 19 - 21
ความถี่
2
4
9
6
888: 77.5
-
22 - 24
4
หน้า - 32 -
25 - 27
1
9.3:18
ตัวอย่างที่ 5 ผลผลิตน้าตาลในพ.ศ.2561/62 ของจีน สหรัฐอเมริกา ไทย อินเดีย ออสเตรเลีย และบราซิล แสดงได้ดังนี้
ประเทศ
จีน
สหรัฐอเมริกา
ไทย
อินเดีย
ออสเตรเลีย
บราซิล
ผลผลิต (ล้านตัน)
10.60
8.12
14.19
33.07
4.90
29.50
จงหาพิสัยของข้อมูลชุดนี้
858: 33.04-4.9:28.17
ข้อดีของการใช้พิสัยในการวัดการกระจายของข้อมูล คือสามารถหาได้สะดวก แต่การวัดการกระจายของข้อมูล โดยใช้
พิสัยเป็นการวัดการกระจายของข้อมูลแบบคร่าว ๆ เพราะพิสัยคานวณจากจ้อมูลเพียงสองค่าเท่านั้น คือค่าสูงสุดปละค่าต่าสุด
ไม่ได้ใช้ข้อมูลอื่นๆ ในการคานวณเลย ดังนั้น การใช้พิสัยในการวัดการกระจายของข้อมูลอาจให้ข้อสรุปที่คลาดเคลื่อน ในกรณีที่
ชุดข้อมูลมีข้อมูลสูงกว่าหรือต่ากว่าข้อมูลอื่น ๆ มาก เช่น คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน 10 คนเป็นดังนี้ 10, 70,
71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 100 จะเห็นว่านักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนใกล้เคียงกัน โดยมีค่าตั้งแต่ 70 – 77 ยกเว้น
นักเรียนที่ ได้ค ะแนนสูงสุดและคะแนนต่ าสุ ด พิ สัย ของข้อมู ลชุ ดนี้ คือ 100 – 10 = 90 คะแนน ท าให้ อาจเข้าใจว่า
นักเรียนได้คะแนนแตกต่างกันมาก ซึ่งคลาดเคลื่อนไปจากความเป็นจริง
2. พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile range) และส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Quartile Deviation )
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (Interquartile range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยคานวณจากผลต่าง
ระหว่างควอร์ไทล์ที่ 3 และ ควอร์ไทล์ที่ 1 เขียนแทนพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ ด้วย IQR
IQR  Q 3  Q 1
การวัดการกระจายสัมบูรณ์โดยใช้พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ มีข้อดีในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมูล
ตัวอื่นมาก เนื่ องจากการคานวณหาพิ สัยระหว่างควอร์ไทล์จะใช้เพี ยงควอร์ไทล์ ที่หนึ่ง และตวอร์ไทล์ ที่สาม เท่านั้ น
ส่วนข้อมูลที่แตกต่างจากข้อมูลตัวอื่นมากจะมีค่าน้อยกว่าควอร์ไทล์ที่หนึ่ง หรือมากกว่าควอร์ไทล์ที่สาม
นอกจากนี้ IQR สามารถนาไปตรวจสสอบข้อมูลค่านอกเกณฑ์ ในเรื่องแผนภาพกล่อง นั่นคือ ค่านอกเกณฑ์ คือ
ข้อมูลที่มีค่าน้อยกว่า Q1  1.5 I QR หรือมากกว่า Q 3  1.5I QR
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 33 -
ตัวอย่างที่ 6 ปริมาณพลังงาน (กิโลแคลลอรี่) ของอาหารจานเดียว 7 รายการที่จาหน่ายที่โรงอาหารของโรงเรียนแห่งหนึ่ง
เป็นดังตาราง จงหาพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของข้อมูลชุดนี้
อาหารจานเดียว
ปริมาณพลังงาน (กิโลแคลอรี่)
ข้าวราดแกงเขียวหวานไก่
338
2=.G1
280,
1+1)
ข้าวราดแกงไตปลา
319
6:03
92Qy
ข้าวราดแกงส้มผักรวม
255
Q.D. 98
ข้าวราดผัดเผ็ดหอยลาย
424
IQR Q3 G1
ข้าวราดแกงพะแนงหมู
409
ข้าวราดแกงฉุ่ฉี่ปลาทู
365
ข้าวราดผัดผักรวม
353
N7
=
3
39
=
=
=
2
3(2)
1
=
409
=
=
7
-
=
=
2
↓
489 319
=
45
-
=
s
98
=
4
เมื่อเปรียบเทียบระหว่างพิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ จะเห็นว่า พิสัยสามารถหาได้สะดวก แต่ไม่เหมาะ
สาหรับการวัดการกระจายของข้อมูลในกรณีที่ชุดข้อมูลมีข้อมูลที่มีค่าสูงกว่าหรือต่ากว่าข้อมูลตัวอื่นมาก ๆ ดดย
เฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ชุดข้อมูลมีค่านอกเกณฑ์ ในขณะที่พิสัยระหว่างควอร์ไทล์สามารถใช้วัดการกระจายของข้อมูล
ลักษณะนี้ได้ อย่างไรก็ตาม ทั้งพิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ไม่ได้ใช้ข้อมูลทุกตัวในการคานวณเพื่อวัดการกระจาย
ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Quartile Deviation ) ใช้สัญลักษณ์ Q.D. เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลอย่างคร่าว ๆ
และในกรณีที่การแจกแจงเป็นอันตรภาคชั้นเปิด ซึ่งไม่สามารถหาพิสัยได้ดังนี้
Q.D. 
7
3
Q3  Q1
2
24511
10
b
17
⑧
97
ตัวอย่างที่ 7 คนกลุ่มหนึ่งมีความสูงเท่ากับ 156 , 162 , 149, 156 , 160 , 172 , 170 , 175 , 161 , 165 , 168 , 148 ซม.
จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
Q.D.
n 12
=
05Q1
=
x"50(0.23)(X,3)
anQ, 1(+1) 3.23..G, x3.75:
=
=
=
136
=
4
220. 3(3.25) 9.33...G3 Xa.)s (60(0.75(XyXa)
=
:193
-
=
=
=
169.5
=
=
150
6.75
ตัวอย่างที่ 8 กาหนดข้อมูลดังตาราง จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
Q
อันตรภาคชั้น <30 30 – 39 40 – 49
ความถี่
3
8
15
food
Q =39.3 (15
+
-
①z 59.3 (43
+
=
3
11)(70)
-
26
11
42.14
=
44)(10) 60.61
Q.D. 6
=
42.77
6
①3
50 – 59 60 – 69 70– 79
18
44
9
33
5
58
>79
2
60
N 60
=
owQ,
1160)
=
15
=
58Qy3(13) 45
=
=
=
9.22
=
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Mean Deviation หรือ Average Deviation) ใช้สัญลักษณ์ M.D. เป็นการวัดการกระจาย
ของข้อมูลโดยการหาค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบน ที่ข้อมูลแต่ละค่าเบี่ยงเบนจากค่ากลางโดยไม่คดิ เครื่องหมาย
ส่วนเบี่ยงเบน คือ ค่าความแตกต่างที่ข้อมูลแตกต่างจากค่ากลาง เช่น ข้อมูลชุดหนึง่ มีค่ากลางเท่ากับ 20 จะได้ข้อมูล
12 มีส่วนเบี่ยงเบนเท่ากับ 8 และข้อมูล 23 จะมีส่วนเบี่ยงเบนเท่ากับ 3
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 34 -
ค่ากลางทีน่ ิยมใช้ คือ ค่าเฉลีย่ เลขคณิต แต่อาจใช้ค่ากลางอื่น ๆ ได้ เช่น ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากมัธยฐาน,ส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่
จากฐานนิยม แต่ส่วนเบีย่ งเบนเฉลีย่ ที่ไม่ระบุคา่ กลางจะหมายถึงส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1) ถ้าข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ เช่น กาหนดข้อมูล Xi ซึ่งประกอบด้วย x1 , x2, x3 , … , xN มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต
| x1  x |  | x 2  x |  | x 3  x |  ...  | x N  x |
เท่ากับ x จะได้ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =
N
N
=
| xi  x |
i1
N
2) ถ้าข้อมูลแจกแจงความถี่ทีละค่าดังตาราง
ข้อมูล(xi)
X1
X2
ความถี่ (fi)
f1
f2
X3
f3
...
...
Xk
fk
k
 fi x i
i1
k
, N   fi
N
i1
f1 | x1  x |  f2 | x 2  x |  f3 | x 3  x |  ...  fk | x k  x |
และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย =
N
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือ x 
k
=
 fi | x i  x |
i1
N
3) ถ้าข้อมูลแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น จะมีวิธีคานวณได้เช่นเดียวกับการแจกแจงความถี่ทีละค่า
เพียงแต่ข้อมูล Xi หมายถุง จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชัน้
k
 fi | x i  x |
จะได้ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = i1
N
เมื่อ
Xi คือจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ i
fi คือความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ i
k เป็นจานวนอันตรภาคชั้น
และ
N   fi
ตัวอย่างที่ 9
1)
2)
3)
k
i1
นักเรียนกลุ่มหนึ่งสอบคณิตศาสตร์ได้คะแนน 35, 39, 42, 58, และ 58 คะแนน จงหา
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากมัธยฐาน
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากฐานนิยม
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ตัวอย่างที่ 10
1)
2)
3)
คะแนน
ความถี่
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 35 -
ผลการสอบวิชาภาอังกฤษของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงความถี่ดังตาราง จงหา
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากมัธยฐาน
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากฐานนิยม
10
12
15
18
20
2
4
5
6
3
ตัวอย่างที่ 11 ผลการสอบวิชาสถิติของนักเรียนห้องหนึ่งมีการแจกแจงความถี่ดังตาราง จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
อันตรภาคชั้น
ความถี่
1–5
2
6 – 10
3
11 – 15
6
16 – 20
5
21 – 25
3
26 – 30
1
N = 20
สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
(1) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลใด จะต้องเป็นจานวนจริงบวก หรือ ศูนย์เสมอ
(2) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อ ค่าทุกค่าในข้อมูลเท่ากัน และเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น
(3) ถ้านาจานวนจริง a ไปบวกกับทุกค่าในข้อมูลชุดหนึง่ แล้วส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดใหม่ จะเท่ากับ
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดเดิม
(4) ถ้านาจานวนจริง a ไปคูณกับทุกค่าในข้อมูลชุดหนึ่ง แล้วส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดใหม่ จะเท่ากับ
|a | คูณด้วยส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดเดิม
(5) ถ้าตัวแปร Y สัมพันธ์กับตัวแปร X ในรูปฟังก์ชันเส้นตรง นัน่ คือ ถ้า Yi = a X i + b เมื่อ i = 1, 2, 3, …, N
และ a, b เป็นค่าคงตัวใด ๆ แล้ว M.D.y จะสัมพันธ์กับ M.D.x ดังนี้ = |a | M.D.x
***
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
ใช้สัญลักษณ์ S.D. หรือ s หรือ σ (sigma) ในกรณีที่ใช้ข้อมูลจากกลุ่มประชากรโดยตรง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่ดีที่สุด และเชื่อถือได้มากทีส่ ดุ ใช้ข้อมูลทุกค่ามาคานวณ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดกระจายของข้อมูล โดยการหาค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนด้วยวิธีที่มาตรฐานดังนี้
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 36 -
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับ รากที่สองของค่าเฉลี่ยของกาลังสองของส่วนเบี่ยงเบนที่ข้อมูลแต่ละค่าเบี่ยงเบน
จากค่ากลาง และค่ากลางที่นิยมใช้ และเชื่อถือได้คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1) ถ้าข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
กาหนดข้อมูล Xi ซึ่งประกอบด้วย X1, X2, X3, ... ,XN มี N เป็นจานวนประชากร และมีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของ
ประชากรเป็น μ แล้ว
N
จะได้สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร คือ σ 
 (X i  μ )
i 1
2
N
หรือ 
N

X
i 1
2
i
N
 2
และในกรณีที่ข้อมูลชุดนั้นเป็นข้อมูลตัวอย่าง จะใช้สัญลักษณ์ S.D. หรือ s แทน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ
ตัวอย่าง เมื่อ n เป็นจานวนข้อมูลของตัวอย่าง และ x เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง
n
จะได้สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (S.D. หรือ s ) คือ S.D. 
 (x i  x) 2
i1
n 1
n
หรือ
2) ถ้าข้อมูลแจกแจงความถี่ทีละค่าดังตาราง
ข้อมูล(xi)
X1
ความถี่ (fi)
f1
X2
f2
S .D. 
X3
f3
...
...
x
i 1
2
i
 nx 2
n 1
Xk
fk
f1 ( x1  x) 2  f2 ( x 2  x) 2  f3 ( x 3  x) 2  ...  fk ( x k  x) 2
ค่าเฉลี่ยของกาลังสองของส่วนเบี่ยงเบน =
N
k
 fi (x i  x)2
=
i1
***(กลุ่มประชากร)
N
k
จะได้สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ S.D. 
 fi (x i  x) 2
i1
n 1
***(กลุ่มตัวอย่าง)
n
หรือ
S.D. 
 fi xi2  nx 2
i 1
n 1
3) ถ้าข้อมูลแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชัน้ จะหาได้เช่นเดียวกับข้อมูลจากตารางแจกแจงความถี่ทีละค่า
เพียงแต่ข้อมูล Xi จากตารางแจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้นคือ จุดกึ่งกลางชัน้ จะได้
k
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ S.D. 
 fi (x i  x) 2
i1
n 1
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 37 -
n
หรือ
เมื่อ
S.D. 
 fi xi2  nx 2
i 1
***(กลุ่มตัวอย่าง)
n 1
Xi คือจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ i
fi คือความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ i
k เป็นจานวนอันตรภาคชั้น
k
และ N   fi
i1
เพือ่ หลีกเลี่ยงการถอดรากที่สอง กาลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ ความแปรปรวน(variance)เขียนแทนด้วย v
ความแปรปรวน (V) หมายถึงค่าเฉลี่ยของกาลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
n
 fi (x i  x )2
i 1
v  (S.D.) 2 
***(กลุ่มประชากร)
n
n
 fi ( x i  x ) 2
v  (S.D.) 2  i 1
***(กลุ่มตัวอย่าง)
n 1
M 223
5
=
45
=
ตัวอย่างที่ 12 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 35 , 39 , 42 , 51 , 58 จงหา der
1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากมัธยฐาน และความแปรปรวนจากมัธยฐาน
98 2(x;
=
-
M)
10 62 +
=
+
N
4
6 132 50 8.3*&8 dx; Mes
+
-
=
=
+
=
N
M 174.6
=
3+
+
8916:59x
82 79A
82 v 70x
=
2
=
=
=
ตัวอย่างที่ 13 ความสูง (เซนติเมตร) ของนักวอลเลย์หญิงของโรงเรียนสตรีแห่งหนึ่งจานวนทั้งหมด 10 คน แสดงได้ดังนี้
174, 171, 170, 184, 180, 179, 169, 178, 181, 160 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
8
3(X;
M12
-
=
0.36 12.96 21.16 88.36 29.16 19.36 31.86 11.56 40.96 213.16
=
+
+
+
+
+
10
N
+
+
+
+
(46.84-6.84A
=
โดยเฉลี่ยแล้วความสูงของนักวอลเลย์บอลหญิงแต่ละคนของโรงเรียนนี้แตกต่างจากความสูงเฉลี่ยประมาณ ............. ซม.
ตัวอย่างที่ 14 ในการศึกษาอายุขัยเฉลี่ย (ปี) ของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้านม นักวิทยาศาสตร์ได้สุ่มตัวอย่างสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้านมมา
10 ชนิด พบว่า อายุขันเฉลี่ยของสัตว์แต่ละชนิด เป็นดังตาราง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของ
อายุขัยเฉลี่ยของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้านม
สัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้านม แมว วัว สุนัข ลา แพะ หนูตะเภา ม้า หมู กระต่าย แกะ
อายุขัยเฉลี่ย (ปี)
12
15
12
12
8
4
20 10
5
12
v
E(X;
=
n
-
196
=
-
x)2
S.D.
E(xi-X)
=
1
n 1
-
T
196
=
9
9
27.75
=
4
=
4.6
=
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 38 -
ตัวอย่างที่ 15 กาหนดข้อมูลดังตาราง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
อันตรภาคชัน้
ความถี่
1–5
5
6 – 10
12
11 – 15
15
16 – 20
10
21 – 25
8
N = 50
ตัวอย่างที่ 16 ในการสอบสัมภาษณ์ผู้สมัครสอบ 3 คนพบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 53 คะแนน มัธยฐาน
เท่ากับ 50 พิสัยเท่ากับ 21 จงหาความแปรปรวนของคะแนนสอบ
ตัวอย่างที่ 17 ในการคานวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง ถ้าใช้มัธยฐานเป็นค่ากลางจะคานวณได้เท่ากับ 6 พอดี
ถ้ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 40 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 42 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เมื่อใช้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1
4833
8 5(X; 42)2
เป็นค่ากลาง 83(x,
-
=
36N
36N
=
5(X2/80X 1600)
N
+
=
1796N42N
5X" -802X 21680
=
V
+
=
80(41N)
36N 5X
i.
-
3(3 843X 417641964N
=
+
-
N
1600N
+
32N
=
32
=
i.8 52 4V*
X" 1796N
=
=
=
สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ข้อ 1. ส่วนเบี่ยงมาตรฐานมีคา่ เป็นบวกเสมอ
n
N
ข้อ 3.
ข้อ 4.
ข้อ 5.
i 1
N
 0
หรือ S.D. 
 (x i  x) 2
i1
 0
n 1
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีคา่ เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อข้อมูลทุก ๆ ค่าเท่ากันและเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับความแปรปรวนก็ต่อเมื่อส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่า
เป็น 0 หรือ 1 เท่านั้น
เมื่อนาค่าคงที่ a บวกเข้ากับทุก ๆ ค่าของข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน
ของข้อมูลชุดใหม่ จะเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของข้อมูลเดิม
หรือกล่าวอีกอย่างหนึ่งว่า ถ้าข้อมูล Xi และข้อมูล Yi มีความสัมพันธ์กันในรูป Yi =Xi+a แล้ว
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล Yi จะเท่ากับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล Xi
ถ้าข้อมูล Xi และข้อมูล Yi มีความสัมพันธ์กนั ในรูป Yi =mXi+ c แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล Yi
จะเท่ากับ |m| คูณกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล Xi
ถ้าคานวณหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานโดยใช้คา่ กลางข้อมูลที่ไม่ใช่คา่ เฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่
ได้จะมีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่หาได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ
σ
ข้อ 2.
 (x i  μ)
2
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 39 -
การนาไปใช้
จากสมบัติดงั กล่าวสามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยวิธที อนค่าของข้อมูลเดิมให้มีค่า
น้อยลง เพื่อความสะดวกในการคานวณดังนี้
กาหนดข้อมูล Xi เป็นข้อมูลทีต่ ้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
สร้างข้อมูล Di ขึ้นกาหนดโดย Di = Xi – a เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ
จากความสัมพันธ์ Di = Xi – a
หรือ Xi = Di + a
X=D +a
จะได้
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล Xi = ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล Di
n
=
 (D i  D )
i1
2
***(กลุ่มตัวอย่าง)
n 1
n
=
2
2
 Di  nD
i1
n 1
ตัวอย่างที่ 18 กาหนดข้อมูล Xi ประกอบด้วย 1221 , 1223 , 1224 , 1226 และ 1260 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ข้อ 6 เมื่อนาค่าคงที่ k คูณกับทุก ๆ ค่าของข้อมูล ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับ | k | คูณกับ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม และความแปรปรวนของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับ k2 คูณกับความแปรปรวนของ
ข้อมูลชุดเดิม
ข้อ 7 จากสมบัติข้อ 3 และ ข้อ 4 สรุปได้ดังนี้
ถ้าข้อมูล Xi และข้อมูล Yi มีความสัมพันธ์กันในรูป Yi = aXi + b
จะได้ค่าเฉลี่ยของข้อมูล Y = aX + b
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล Yi = | a |  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ Xi
ตัวอย่างที่ 19 กาหนดข้อมูล Xi ประกอบด้วย X1 , X2 , X3 , ... , XN มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ a และ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ b จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลต่อไปนี้
1) 3x1 , 3x2 , 3x3 , … , 3xN X 3a,3 3b
=
=
2) 3x1 – 5 , 3x2 – 5 , 3x3 – 5 , … , 3xN – 5
3) 3 – 5x1 , 3 – 5x2 , 3 – 5x3 , … , 3 – 5xN
X
3
=
*nei=39-5,3 =3b
3,5 1 31b 3b
-
-
=
=
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 40 -
ตัวอย่างที่ 20 ในการชั่งน้าหนักนักเรียนกลุ่มหนึ่งพบว่ามีน้าหนักเท่ากับ 34 , 41 , 44 , 48 , 54 และ 61กิโลกรัม ตามลาดับ
คานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 47 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8.75 กิโลกรัม ต่อมาพบว่า เครื่องชั่งไม่เที่ยงตรงคือ
บอกน้าหนักเกินน้าหนักที่แท้จริงไป 0.2 กิโลกรัม จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 21 ครอบครัวหนึ่ง พ่อมีอายุ 45 ปี แม่มีอายุ 42 ปี ลูก 5 คนมีอายุ 18 , 16 , 15 , 12 และ 10 ปี ตามลาดับ
จงคานวณว่าในอีก 20 ปีข้างหน้า อายุเฉลี่ยและความแปรปรวนของคนในครอบครัวเป็นเท่าใด
ตัวอย่างที่ 22 ในการชั่งน้าหนักนักเรียนกลุ่มหนึ่งพบว่ามีนาหนั
้ กเท่ากับ 34 , 41 , 44 , 48 , 54 และ 61กิโลกรัม ตามลาดับ
คานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 47 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8.75 กิโลกรัม ต่อมาพบว่าเครื่องชั่งไม่เที่ยงตรง
คือบอกน้าหนักเกินน้าหนักที่แท้จริงไป 0.2 กิโลกรัม จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 23 ครอบครัวหนึ่ง พ่อมีอายุ 45 ปี แม่มีอายุ 42 ปี ลูก 5 คนมีอายุ 18 , 16 , 15 , 12 และ 10 ปี ตามลาดับ
จงคานวณว่าในอีก 20 ปีข้างหน้า อายุเฉลี่ยและความแปรปรวนของคนในครอบครัวเป็นเท่าใด
การนาไปใช้
จากสมบัติดงั กล่าวสามารถนาไปประยุกต์ใช้ในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลจากตารางแจกแจงความถี่
เป็นอันตรภาคชัน้ โดยวิธีลัด หรือวิธีทอนค่าให้น้อยลง เช่นเดียวกับการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้
กาหนดข้อมูล Xi จากตารางแจกแจงความถี่เป็นข้อมูลที่ต้องการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) และส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน
สร้างข้อมูล Di โดยการทอนค่าข้อมูล Xi ให้น้อยลง
กาหนดดังนี้
Di 
Xi  a
I
, a และ I เป็นค่าคงที่ เขียนใหม่ได้ในรูป Xi = IDi + a
จากสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ X  ID  a
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล = I  ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูล Di
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
n
กลุ่มประชากร

I i 1
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 41 n
f i Di2
 D2
N
กลุ่มตัวอย่าง
 fi Di2  nD 2
I i 1
n 1
ในกรณีที่ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่
n
กลุ่มประชากร

i 1
Di2
N
n
กลุ่มตัวอย่าง
 D2
ตัวอย่างที่ 24 กาหนดข้อมูลดังตาราง จงหา
X
 Di2  nD 2
i 1
n 1
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
อันตรภาคชั้น ความถี่
31 – 40
2
41 – 50
5
51 – 60
8
61 – 70
16
71 – 80
10
81 – 90
6
91 – 100
3
N =50
ข้อสังเกต ในการกาหนดข้อมูล
Di 
Xi  a
I
นิยมเลือกค่า a ที่จุดกึ่งกลาง ( Xi ) อันตรภาคชั้นใดชั้นหนึง่ มักจะเป็น
อันตรภาคชั้นกลาง ๆ และกาหนดค่า I เท่ากับ ความกว้างของอันตรภาคชั้นในกรณีที่การแจกแจงมีขนาดของอันตรภาคชัน้
เท่ากันทุกชัน้ และในกรณีที่ขนาดของอันตรภาคชั้นไม่เท่ากันจะเลือกใช้ค่าที่มากที่สุดทีห่ ารลงตัวเพื่อความสะดวกในการ
คานวณ
ตัวอย่างที่ 25 กาหนดข้อมูลดังตาราง จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
อันตรภาคชั้น
41 – 45
46 – 50
51 – 65
66 – 80
81 – 85
86 – 90
ความถี่
15
16
12
10
18
9
N = 80
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 42 -
การหาความแปรปรวนเมื่อมีการบันทึกข้อมูลผิดพลาด
ข้อมูลกลุ่มประชากร
ข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง
Nμ ผ  x ผ  x ถ
N
2
N (σ ผ  μ ผ2 )  x 2ผ  x 2ถ
2
2


σถ 

μ
ถ
N
n xผ  xผ  x ถ
xถ 
n
[(n  1) Sผ2  x ผ2  x 2ถ ]  n(x ผ2  x ถ2 )
2
Sถ 
n 1
μถ 
ตัวอย่างที่ 26 ข้อมูลชุดหนึ่งมี 100 จานวนหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 9 และ 5 ตามลาดับ
แต่ปรากฏว่าค่าที่คานวณได้ผิด เพราะผู้คานวณได้บันทึกข้อมูลผิดไป 1 จานวน คือบันทึกจาก 1.0 เป็น 10 จงหาค่าเฉลี่ย
เลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ถูกต้อง
· ตัวอย่างที่ 27
สดใสหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึง่ ซึ่งมีอยู่ 20 จานวนได้เท่ากับ 15 และ 9
ตามลาดับ ต่อมาใจดีได้มาทบทวนการหาใหม่ พบว่าที่สดใสหาไว้ผิด เนื่องจากข้อมูลผิดไป 2 จานวน ข้อมูลตัวแรกที่แท้จริง
เป็น 7 สดใสใช้เป็น 11 ข้อมูลตัวที่สอง ที่แท้จริงคือ 17 สดใสใช้เป็น 11 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนที่ถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 28 สุ่มข้อมูล 100 ตัวจากข้อมูลชุดหนึ่ง หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 9 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 5 แต่
เมื่อมาทบทวนภายหลังพบว่าสิ่งที่คานวณได้นนั้ ผิด เพราะผู้ทาการคานวณอ่านข้อมูลผิดไป 1 ตัว คือจากข้อมูล 1.0 อ่าน
เป็น 10 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทีถ่ ูกต้อง
ความแปรปรวนรวม
1. ความแปรปรวนรวม เมื่อ x เท่ากัน
N1S12  N 2S 22  N 3S32
2
Sรวม  N  N  N
1
2
3
ตัวอย่างที่ 29 พนักงานขายของประจาหน้าร้านแห่งหนึ่ง มีชาย 20 คน หญิง 10 คน อายุเฉลี่ยของพนักงานชายและ
พนักงานหญิงเท่ากันคือ 17 ปี ความแปรปรวนของอายุพนักงานชายและพนักงานหญิงเป็น 4 และ 1 ปี2 ตามลาดับ ความแปรปรวน
ของอายุพนักงานขายทั้งหมดมีค่าเท่ากับเท่าใด
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 43 -
ตัวอย่างที่ 29 ห้องเรียนห้องหนึ่งมีนักเรียนหญิง 11คน นักเรียนชาย 25 คน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนหญิง
และนักเรียนชายมีค่าเท่ากันคือ 16 ปี แต่ความแปรปรวนของอายุนักเรียนชายเป็น 5 ปี2 ความแปรปรวนของอายุนักเรียนหญิง
เป็น 2 ปี2 ดังนั้น ความแปรปรวนของอายุนักเรียนทั้งห้องเป็นเท่าใด
ตัวอย่างที่ 30 ข้อมูลชุด A มี 11 จานวนมีความแปรปรวนเท่ากับ 15 ข้อมูลชุด B มี 9 จานวน มีความแปรปรวนเป็น
S2 และข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน ถ้าความแปรปรวนรวมเป็น 12.3 แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล
ชุด B มีค่าเท่าใด
ตัวอย่างที่ 31 กาหนดให้ข้อมูลชุดที่หนึง่ ประกอบด้วย x1 , x2 , … , x10 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ x
และข้อมูลชุดที่สองประกอบด้วย y1 , y2 , … , y20 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ y
โดยที่
10
2
20
2
 (x i  x )  144 ,  (y i  y)  104.5 และ x  y
i1
i1
ถ้านาข้อมูลทั้งสองชุดมารวมเป็นชุดเดียวกันแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่มีค่าเท่าใด
2. ความแปรปรวนรวม เมื่อ x ไม่เท่ากัน
จะต้องหา x รวมก่อนแล้วจึงสามารถหาความแปรปรวนรวมได้
N1 x1  N 2 x 2  ...
x รวม 
N1  N 2  ...
N1S12
2
Sรวม 
หรือ
 N 2 S 22  N1 (x1  x ) 2  N 2 (x 2  x ) 2
N1  N 2
2
2
2 N1 N 2 (x1  x 2 )
N 1S1  N 2 S 2  N  N
2
1
2
S รวม 
N1  N 2
ตัวอย่างที่ 32 ในโรงพยาบาลแห่งหนึ่งมีบุรุษพยาบาล 10 คน หาอายุเฉลี่ยได้ 30 ปี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 8 ปี
และนางพยาบาล 15 คน อายุเฉลี่ย 25 ปี และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 ปี แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุ
พยาบาลทัง้ หมดในโรงพยาบาลแห่งนี้มีค่าเท่าใด
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 44 -
ตัวอย่างที่ 33 โรงงานสองแห่ง มีคนงาน 50 คน และ 40 คน ตามลาดับ ได้รับค่าจ้างเฉลี่ยต่อวันเป็น 63 และ 54 บาท
ตามลาดับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าจ้างต่อวันเป็น 9 และ 6 บาท ตามลาดับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าจ้างต่อวัน
ของคนงานทัง้ สองโรงงานเป็นเท่าใด
ตัวอย่างที่ 34 มุกกับไหมช่วยกันทาตุ๊กตาขายเป็นการหารายได้พิเศษ มุกจะทาตอนเย็นเมื่อกลับจากโรงเรียนทุกวันจันทร์
ถึงวันศุกร์ ไหมทาเฉพาะวันเสาร์กับวันอาทิตย์ซึ่งจานวนตุ๊กตาที่มุกทาได้เฉลี่ยวันละ 2 ตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.4 ตัว
จานวนตุ๊กตาทีไ่ หมทาได้เฉลี่ยวันละ 6 ตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ตัวดังนั้นจานวนตุ๊กตาที่มุกและไหมช่วยกันทาจะมี
เฉลี่ยกี่ตัวต่อวันและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเท่าใด
3.14
=
ตัวอย่างที่ 35 ข้อมูล 3 ชุด มีรายละเอียด ดังนี้
จานวนข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ข้อมูลชุดที่ 1
10
5
ข้อมูลชุดที่ 2
25
6
ข้อมูลชุดที่ 3
30
4
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมของข้อมูลทั้ง 3 ชุดนี้
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
2
3
2
ตัวอย่างที่ 36 เป็ดสองกลุ่มรวม 40 ตัว น้าหนักรวม 60 กิโลกรัม ความแปรปรวนของน้าหนักเป็น 0.4 กิโลกรัม 2
ถ้าเป็ดกลุ่มแรกจานวน 20 ตัว มีน้าหนักรวม 36 กิโลกรัม ความแปรปรวนของน้าหนักเป็น 0.5 กิโลกรัม2เป็ดกลุ่มที่สอง
มีความแปรปรวนของน้าหนักเท่าไร
ตัวอย่างที่ 37 ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 42 และมัธยฐานเท่ากับ 40 นายต่อต้องการคานวณหาความแปรปรวน
ของข้อมูลชุดนี้ แต่นาค่ามัธยฐานมาคานวณแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ผลปรากฏว่าความแปรปรวนที่นายต่อคานวณได้เท่ากับ 36
จงหาความแปรปรวนที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้
ตัวอย่างที่ 38 บริษัทแห่งหนึ่ง เพิ่มเงินเดือนให้แก่พนักงานทุกคนๆละ 10% ของเงินเดือนเดิม จงหาว่า
1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนใหม่เพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนเดิม
2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือนใหม่จะเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์ของส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเงินเดือนเดิม
3. ความแปรปรวนของเงินเดือนใหม่จะเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์ของความแปรปรวนของเงินเดือนเดิม
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 45 -
The 95% Rule
โดยทั่วไปข้อมูลจะมีการแจกแจงแบบปกติ คือ ถ้านาข้อมูลมาเขียนเป็นเส้นโค้งความถี่จะได้โค้งเป็นรูประฆังคว่า ซึ่ง
โค้งปกติมีสมบัติอย่างหนึง่ คือ จะมีจานวนข้อมูลที่อย่ในช่วง ( x  2s , x  2s ) มีประมาณร้อยละ 95 ของจานวนข้อมูล
50%
50%
ทั้งหมด
95%
x
x2s
x2s
นิยมเรียก กฎนี้ว่า The 95% Rule
ไม่ว่าข้อมูลจะมีการกระจายในลักษณะใด จะมีข้อมูลอยู่ประมาณ 95% ของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่ในช่วง
( x  2s , x  2s )
95%
x2s
x
x2s
x
ตัวอย่างที่ 39 กาหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดหนึ่งเท่ากับ 72.3 และปรากฏว่า The 95% Rule อยู่ในช่วง
( a , 92.9 ) แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด
ตัวอย่างที่ 40 โรงงานผลิตขนมสาลี่ต้องการส่งขนมให้ตัวแทนจาหน่ายที่อยู่ใกล้บริเวณโรงงานผลิต ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
เวลาที่ใช้สง่ ขนมเป็น 27 นาที ค่าความแปรปรวนเท่ากับ 72.25 พนักงานจะส่งขนมให้ตัวแทนจาหน่ายประมาณ 95%
อย่างเร็วที่สุดประมาณกี่นาที
ตัวอย่างที่ 41 ร้านอาหารแห่งหนึ่งต้องการจะบริการส่งอาหารให้กับลูกค้า จากการทดลองส่งอาหารให้ลูกค้ากลุ่มหนึ่ง พบว่า
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาที่ใช้ส่งอาหารเป็น 21 นาที และ 6 นาทีตามลาดับ จงหาเวลาที่เร็วที่สุดและ
ช้าที่สุดที่จะส่งให้ลูกค้าส่วนใหญ่ 95%
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 46 -
ตัวอย่างที่ 42 ร้านอาหารญี่ปุ่นแห่งหนึ่งมรนโยบายที่จะบริการส่งอาหารให้ถึงลูกค้าภายในเวลา 40 นาที เจ้าของร้าน
ทดลองส่งอาหารให้ลูกค้ากลุ่มหนึ่ง พบว่าโดยเฉลี่ยแล้วใช้เวลาส่งอาหารเป็นเวลา 25 นาที ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 6 นาที
อยากทราบว่าพนักงานจะสามารถส่งอาหารให้ลูกค้าส่วนใหญ่ 95% อย่างเร็วที่สุดประมาณกี่นาที
การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation)
ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป เพือพิจารณาว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมาก ข้อมูลชุดใดมีการ
กระจายน้อย ถ้านาค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ของข้อมูลแต่ละชุดมาเปรียบเทียบกันโดยตรง อาจให้ข้อมูลที่
คลาดเคลื่อนไปจากความเป็นจริง เช่น ข้อมูลชุดหนึ่งมีคา่ ตั้งแต่ 0 – 100 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.2 และข้อมูลอีกชุด
หนึ่งมีค่าตั้งแต่ 200 – 800 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 60.5 ถ้าพิจารณาเฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลทั้งสองชุด
อาจทาให้เข้าใจว่าข้อมูลชุดที่หนึ่งมีการกระจายน้อยกว่าข้อมูลชุดที่สอง ซึ่งอาจไม่ถูกต้องนัก เพราะค่าของข้อมูลทั้งสองชุดนี้
ต่างกันมาก ค่ากลางและการวัดการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดย่อมต่างกันมากเช่นกัน
การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) เป็นการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลหลายชุด ซึ่ง
การวัดการกระจายสัมบูรณ์ไม่สามารถนามาเปรียบเทียบได้ เนือ่ งจากเป็นข้อมูลคนละประเภท หรือ ถ้าเป็นข้อมูลประเภท
เดียวกัน ค่ากลางและค่าแสดงความแตกต่างไม่เท่ากัน มีวธิ ีเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล 4 วิธีดังนี้
1. สัมประสิทธิ์ของพิสยั ( Coefficient of rang )
สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
X max  X min
X max  X min
2. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ( Coefficient of quartile dcviation)
สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 
Q3  Q1
Q3  Q1
3. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( Coefficient of mean deviation )
สัมประสิทธิ์ของส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ย =
M .D.
X
4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน ( Coefficient of variation )
สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน =
S .D.
X
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 47 -
ตัวอย่างที่ 43 จงเปรียบเทียบการกระจายของราคาสมุดปกแข็ง และสมุดปกอ่อนต่อโหล จากร้านค้า 5 ร้านค้า มีราคาเป็น
ดังนี้ ราคาสมุดปกอ่อน (บาท) 32 , 28 , 36 , 30 , 34
ราคาสมุดปกแข็ง (บาท) 84 , 72 , 80 , 78 , 86
โดยใช้ 1) สัมประสิทธิ์ของพิสัย
2) สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
3) สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ( M.D.)
4) สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
ตัวอย่างที่ 44 ข้อมูลชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิ์ของพิสัยเท่ากับ 1 ถ้าค่าสูงสุดของชุดนี้คือ 55 แล้วค่าต่าสุดจะเท่ากับเท่าใด
9
ตัวอย่างที่ 45 สัมประสิทธิ์ของพิสัยของน้าหนักของนักเรียนห้องหนึ่งมีค่าเท่ากับ 0.2 ถ้านักเรียนที่มีน้าหนักมากที่สุด
และน้อยที่สดุ มีนาหนั
้ กรวมกันเท่ากับ 100 กิโลกรัม จงหา
1) พิสัยของน้าหนักของนักเรียนห้องนี้
2) น้าหนักของคนที่มากที่สุดและน้อยที่สดุ
ตัวอย่างที่ 46 จากการสารวจข้อมูลในการใช้ยางรถยนต์ 2 ชนิด คือชนิด A และชนิด B ปรากฏว่า ชนิด A มีอายุการใช้งาน
เฉลี่ย 33 เดือน ความแปรปรวน 64 เดือน2 ชนิด B มีอายุการใช้งานเฉลี่ย 36 เดือน ความแปรปรวน 91 เดือน2 จงวิเคราะห์ว่า
ยางชนิดใดมีประสิทธิภาพดีกว่ากัน
ตัวอย่างที่ 47 นักเรียนห้องหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และวิทยาศาสตร์ ได้คะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ดังตาราง จงหาว่าวิชาใดที่นักเรียนมีผลการสอบใกล้เคียงกันมากที่สุด
วิชา
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คณิตศาสตร์
42
8
ภาษาอังกฤษ
61
9
วิทยาศาสตร์
40
6
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 48 -
ตัวอย่างที่ 48 จากผลการสอบวิชาสถิติ พบว่านักเรียนหญิงจานวน 40 คน และนักเรียนชายจานวน 60 คน สอบได้
คะแนนเฉลี่ยเท่ากันคือ 50 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนหญิงเท่ากับ 1 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของคะแนนนักเรียนชายเท่ากับ 1.5 จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 49 บริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงานทั้งหมด 300 คน เป็นพนักงานชาย 100 คน ถ้าพบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินเดือนของพนักงานทั้งหมด เท่ากับ 2,000 บาท และ 170 บาท ตามลาดับ แต่ถ้าคิดเฉพาะ
พนักงานชาย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับ 2,200 บาท และ 100 บาท ตามลาดับ จง
เปรียบเทียบการกระจายของเงินเดือนของพนักงานชายและพนักงานหญิง
ตัวอย่างที่ 50 ในการเปรียบเทียบคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องหนึ่งซึ่งมีคะแนนเต็ม
วิชาละ 100 คะแนน ครูประจาชั้นได้สุ่มตัวอย่างนักเรียนห้องนี้มา 10 คน พบว่า คะแนนสอบแต่ละวิชาของนักเรียนแต่ละคน
เป็นตาราง จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา
10 คนนี้ พร้อมทั้งเปรียบเทียบการกระจายของนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้
นักเรียนคนที่
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์
คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ
1
58
78
2
62
74
3
76
63
4
90
89
5
78
76
6
81
75
7
88
85
8
79
90
9
80
73
10
75
74
เมื่อพิจารณาจากนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้ จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์
............................... สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ สรุปได้วา่ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการ
กระจาย ............................... คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ หรืออาจกล่าวคะแนนสอบวิชา ......................... เกาะกลุ่มกัน
มากกว่าคะแนนสอบวิชา ...............................
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
ข้อสังเกตเกี่ยวกับการวัดการกระจายของข้อมูล
เมื่อนาข้อมูลซึ่งมีจานวนมาก ๆ มาแจกแจงความถี่ด้วยกราฟ จะสรุปลักษณะของเส้นโค้ง ได้ดังนี้
ข้อ 1. เส้นโค้งที่โค้งมาก ๆ แสดงว่าข้อมูลมีความใกล้เคียงกันมากและกระจายน้อย
x
ข้อ 2
เส้นโค้งที่มีความโค้งน้อย แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายมาก ดังรูป
x
ข้อ 3 การเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูล 2 ชุด
3.1) เส้นโค้งปกติ 2 รูปมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากันแต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่เท่ากัน
s1
s2
x1
จากรูป
x2
จะได้ S1 = S2
และ X1  X2
S1 S2

X1 X 2
จะได้
แสดงว่าข้อมูลชุดที่ 1 กระจายมากกว่าข้อมูลชุดที่ 2
3.2) เส้นโค้งปกติ 2 รูปมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน แต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เท่ากัน
s2
s1
x1
x2
จากรูป
จะได้
และ
จะได้
S1 > S2
X1  X 2
S1 S2

X1 X 2
3.3) เส้นโค้งปกติ 2 รูปมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตต่างกันและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานไม่ตา่ งกัน
หน้า - 49 -
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 50 -
s2
s1
x1
x2
จากรูป
และ
S1 > S2
X1  X 2
เปรียบเทียบการกระจายโดยการหาค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน คือ
S
X
แบบฝึกหัดที่ 5
1.จงเปรียบเทียบการกระจายของอายุบุตรสองครอบครัว โดยที่อายุบุตรทั้งสองครอบครัวเป็นดังนี้
อายุบุตร ในครอบครัวที่หนึ่ง (ปี) 6 , 5 , 3 , 1
อายุบุตร ในครอบครัวที่สอง (ปี) 25 , 24 , 22 , 21 , 7
1) ใช้สัมประสิทธิ์ของพิสัย
2) ใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
3) ใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
4) ใช้สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
ผลของการเปรียบเทียบที่ได้จากการใช้วิธีทั้ง 4 นี้เหมือนกันหรือไม่
2. ถ้าราคาข้าวเปลือกและราคาข้าวสารต่อถังของร้านค้าข้าวทีส่ ารวจมาเป็นตัวอย่าง 6 ร้าน ในท้องที่
แห่งหนึ่ง เป็นดังนี้
ราคาข้าวเปลือก (บาท)
ราคาข้าวสาร (บาท)
72
115
75
118
73
112
74
114
76
117
71
110
จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันและสัมประสิทธิ์ของพิสัยของราคาข้าวเปลือกและราคาข้าวสารพร้อมทั้งอธิบาย
ความหมายของค่าที่หาได้
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 51 -
3. จากการสอบถามนักเรียนชัน้ ป.2 ป.6 ม.3 และ ม.6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งถึงจานวนเงินที่ผู้ปกครองให้มา
ใช้ที่โรงเรียนในแต่ละวันปรากฎว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าความแปรปรวนของจานวนเงินที่นักเรียน
ในแต่ละชัน้ ได้มาใช้เป็นดังนี้
ป.2
ป.6
ม.3
ม.6
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (บาท)
18
20
22
25
2
ความแปรปรวน (บาท )
24
40
40
51
จงเปรียบเทียบการกระจายของจานวนเงินที่นักเรียนในแต่ละชัน้ ได้มาใช้ในแต่ละวันและอธิบายความหมายของค่าที่หาได้
4. สัมประสิทธิ์ของพิสัยของความสูงของนักเรียนในชั้นหนึง่ เป็น 0.0625 ถ้าความสูงของนักเรียนที่สูงทีส่ ุดในชั้นเป็น
170 เซนติเมตร จงหาความสูงของนักเรียนคนที่สูงน้อยทีส่ ุดในชัน้
5. ข้อมูลชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิข์ องส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 0.12 และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับ 8.5 จงหาสัมประสิทธิ์
ของการแปรผัน ถ้าส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 10
6. เติม  หน้าข้อความที่ถูกต้อง และ  หน้าข้อความที่ผดิ
.............. 1) พิสัยของข้อมูลชุดใดๆ อาจจะมีค่ามากกว่าข้อมูลที่มีคา่ มากที่สุดของข้อมูลชุดนัน้ ก็ได้
.............. 2) ควอไทล์ที่สองมีคา่ เป็นสองเท่าของควอไทล์ที่หนึง่ และควอไทล์ที่สามมีค่าเป็นสองเท่าของควอไทล์ที่สอง
.............. 3) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ของข้อมูลชุดใดจะมีค่าเท่ากับมัธยฐานของข้อมูลชุดนั้นเสมอ
.............. 4) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย อาจจะมีค่าเป็นศูนย์หรือมีค่าน้อยกว่าศูนย์ก็ได้
.............. 5) ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดหนึ่งมีค่ามาก ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนั้นอาจจะมีค่าน้อยกว่าศูนย์ได้
.............. 6) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของข้อมูลชุดเดียวกันอาจจะมีคา่ เท่ากันก็ได้
.............. 7) ถ้าทุกๆค่าของข้อมูลชุดหนึ่งเท่ากัน ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของข้อมูลชุดนัน้ จะเท่ากับศูนย์เสมอ
.............. 8) โดยทั่วๆไป การวัดการกระจายของข้อมูลโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีความถูกต้องและเชื่อถือได้มากที่สุด
เมื่อเทียบกับการวัดการกระจายแบบอื่นๆ
.............. 9) ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่าข้อมูลอีกชุดหนึ่ง แสดงว่าข้อมูลชุดนัน้ มีการกระจายมากกว่า
ข้อมูลอีกชุดหนึ่งเสมอ
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 52 -
7. ถ้ามีข้อมูลผิดปกติ เช่น ค่าสูงหรือต่ากว่าค่าส่วนใหญ่ จะมีผลกระทบทาให้ค่ากลางค่าใดและการวัดการกระจายค่าใด มี
การเปลี่ยนแปลงไปมาก เนื่องจากค่าผิดปกตินนั้ ( sensitive to outliers) แต่กลับไม่กระทบหรือมีผลกระทบน้อยต่อ
ค่ากลางและค่าวัดการกระจายค่าใด จงอธิบาย
8. ตารางแสดงค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนของคะแนนสอบวิชาความถนัดทางคณิตศาสตร์ (PAT 1) ของนักเรียน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 5 โรงเรียน
โรงเรียน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ความแปรปรวน
A
200
100
B
180
324
C
160
256
D
150
36
E
120
144
9. ในการสอบครั้งหนึ่ง ภพธร สอบได้คะแนนเป็น P25 และภพธรรม สอบได้คะแนนเป็น P75 ถ้าในการสอบครั้งนี้
ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เป็น 45 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ เท่ากับ 0.6 แล้วจงหาคะแนน
สอบของภพธร และภพธรรม
10. ข้อมูลชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิข์ องส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย เท่ากับ 0.12 และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย เท่ากับ 8.5
จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เมื่อกาหนดให้ข้อมูลชุดนี้มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 10
แบบฝึกหัด 6
1. ร้านค้าจาหน่ายและรับติดตัง้ ประตูอัตโนมัติแห่งเก็บข้อมูลตัวอย่างเกี่ยวกับเวลา (นาที) ที่ใช้ในการติดตั้งประตูแต่ละบาน
ดังนี้ 28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32, 42, 36 จงหาพิสัย พิสยั ระหว่างควอร์ไทล์ ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน
และความแปรปรวนของเวลาที่ใช้ในการติดตั้งประตู
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 53 -
2. ปริมาณพลังงาน (กิโลแคลลอรี่) ของอาหารจานเดียว 11 รายการ ที่สุ่มตัวอย่างมาจากโรงอาหารแห่งหนึ่ง แสดงได้ดงั นี้
อาหารจานเดียว
ปริมาณพลังงาน (กิโลแคลอรี)
หอยทอด
933
สุกี้น้ารวมมิตร
117
ข้าวผัดหมู
553
ข้าวหมูแดง
444
ข้าวมันไก่
717
เส้นใหญ่ราดหน้าหมู
337
ข้าวหมกไก่
475
ข้าวคลุกกะปิ
522
หมี่กรอบราดหน้าทะเล
344
ผัดไทยกุ้งสด
519
ชนมจีนแกงเขียวหวาน
337
1) จงหาพิสัย พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ของปริมาณพลังงานของอาหารจานเดียวทีส่ ุ่มตัวอย่างมา 11 รายการนี้
2) จงพิจารณาระหว่างพิสัยและพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ ค่าวัดการกระจายสัมบูรณ์ใดเหมาะสาหรับใช้อธิบายลักษณะการ
กระจายของข้อมูลชุดนี้ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ
3. ครอบครัว หนึ่ง ประกอบด้ว ยพ่อ แม่ และลูก อีก 3 คน มีอายุ 45, 42, 20, 17 และ 16 ปี ตามลาดับ จงหา
ส่ว นเบี่ย งเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของสามาชิกในครอบครัวนี้ และจงหาว่าอีก 5 ปีข้างหน้า ส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของอายุสมาชิกในครอบครัวนี้จะเป็นอย่างไร
4. จากรายงานของศูนย์อุบัติเหตุ เพื่อเสริมสร้างความปลอดภัยทางถนน พบว่า จานวนผูบ้ าดจ็บรวม (ราย) ตั้งแต่ พ.ศ.
2556 – 2558 ในแต่ละวันในช่วง 7 วันอันตรายของเทศกาลปีใหม่ แสดงได้ดังนี้
วันที่ 1
1,236
วันที่ 2
1,633
วันที่ 3
1,664
วันที่ 4
1,458
วันที่ 5
1,506
จงหาค่าพิสัย พิสยั ระหว่างควอร์ไทล์ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วันที่ 6
1,423
วันที่ 7
870
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 54 -
5. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชัน้ มัธยทศึกษาปีที่ 6 จานวน 2
ห้องเรียน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ดังนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ห้อง 1
73.2
4.8
ห้อง 2
52.4
3.6
จงเปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนสองห้องนี้
6. อุณหภูมิสูงสุด และอุณหภูมิต่าสุด (องศาเซลเซียส) ของจังหวัดขอนแก่น ตั้งแต่ พ.ศ. 2549 – 2558 แสดงดังนี้
พ.ศ.
อุณหภูมิสูงสุด
อุณหภูมิต่าสุด
2549 2550 2551 2552 2553 2554 2555 2556 2557 2558
39.3 41.1 38.5 39.6 41.2 39.3 39.0 41.8 40.5 41.0
12.0 12.6 11.9 10.2 13.5 11.6 15.0 11.6 10.2 11.6
จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่าสุดของจังหวัดขอนแก่นตั้งแต่ พ.ศ.2549 – 2558 พร้อม
ทั้งเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลทั้งสองชุดนี้
7. ในการสอบวิชาภาษาอังกฤษ ถ้าคะแนนสอบของนักเรียนหญิงจานวน 200 คน มีความแปรปรวนเท่ากับ 900 คะแนน 2
และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.5 และคะแนนสอบของนักเรียนชายจานวน 300 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
คะแนนเป็น 51 แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนทั้งหมดเท่ากับเท่าใด
8. สัมประสิทธิ์ของพิสัยของความสูงของนักเรียนห้องหนึ่งเป็น 0.0625 เซนติเมตร2 ถ้าความสูงของนักเรียนที่สูงทีส่ ุดในห้อง
เป็น 170 เซนติเมตร ความสูงของนักเรียนที่ตัวสูงน้อยที่สุดในห้องจะเท่ากับกี่เซนติเมตร
9. ข้อมูลชุดที่หนึ่งมีความถี่ 65 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 9 ข้อมูลชุดทีส่ องมี
ความถี่ 35 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 40 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 7 เมื่อนาข้อมูลทั้งสองชุดนี้มารวมเป็น
ชุดเดียวกัน แล้วความแปรปรวนรวมของข้อมูลทั้งสองชุดนี้เท่ากับเท่าใด
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 55 -
10. ครอบครัวหนึ่งพ่อมีอายุ 45 ปี แม่มีอายุ 40 ปี ลูก 3 คน มีอายุ 18 , 14 และ 12 ปี เมื่อหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุคนในครอบครัวนี้ จะได้เท่ากับ 25.8 และ 13.86 ปี ตามลาดับ แล้ว อีก 3 ปี
ข้างหน้า อายุเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุคนในครอบครัวนี้จะเป็นเท่าใด
**************************************************************************************************
แบบทดสอบเรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
ใช้ตอบคาถามข้อ 1 – 2
แผนภาพกล่องแสดงผลสรุปคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้อง 6.15
20
26
36
30
40
48
52
1. จากแผนภาพกล่องข้อใดสรุปได้ถูกต้องที่สุด
1. การกระจายของข้อมูลเป็นแบบปกติ
2. ในช่วงคะแนน 48 – 52 มีการกระจายของข้อมูลมากที่สดุ
3. ในช่วงคะแนน 36 – 48 มีการกระจายของข้อมูลน้อยที่สดุ
4. คะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุดเท่ากับ 26 คะแนน
2. จากแผนภาพกล่อง จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.) ถ้ามีนักเรียนห้อง ม.6.15 ที่ได้คะแนนมากกว่า 48 คะแนนอยู่ 15 คน แล้ว
จะมีนักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่า 36 คะแนนอยู่ 60 คน
ข.) มัธยฐานของคะแนนสอบมีค่าน้อยกว่าพิสยั ของคะแนนสอบ
ค.) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ของคะแนนสอบมีค่าเท่ากับ 22
ข้อใดสรุปถูกต้อง
1. มีข้อถูก 1 ข้อ
2. มีข้อถูก 2 ข้อ
3. มีข้อถูก 3 ข้อ
4. มีข้อผิด 3 ข้อ
3. กาหนดข้อมูล 4 ชุด ดังนี้
ชุด A
11
12
ชุด B
11
12
ชุด C
11
12
ชุด D
11
12
ข้อใดถูกต้อง
1. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ข้อมูลชุด
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ข้อมูลชุด
3. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ข้อมูลชุด
4. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ข้อมูลชุด
13
13
13
13
A
B
C
D
14
14
14
14
เท่ากับ
เท่ากับ
เท่ากับ
เท่ากับ
15
15
15
15
1.50
1.75
2.00
2.50
16
16
16
16
17
17
17
18
18
19
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 56 -
4. กาหนดข้อมูล 5 , 6 , 8 , 7 , 0 , 8 , 3 , 5 , 6 , 2 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมีค่าต่างจาก
ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์อยู่เท่ากับข้อใด
1. 1.25
2. 1.00
3. 0.25
4. - 0.25
5. น้าหนักนักเรียน 4 คนเรียงได้ดังนี้ x , 20 , y , 29 ถ้ามัธยฐานของข้อมูลเท่ากับ 23 กิโลกรัม
และพิสัยของข้อมูลเท่ากับ 16 กิโลกรัม แล้วส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของน้าหนักตรงกับข้อใด
1. 1.5
2. 2.5
3. 3.5
4. 5.5
6. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 4 จานวน ปรากฏว่าค่าของมัธยฐานของข้อมูลเท่ากับฐานนิยมเท่ากับ 25 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
เท่ากับ 30 และพิสัยเท่ากับ 40 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้เท่ากับค่าในข้อใด
1. 8.5
2. 9.5
3. 10.5
4. 12.5
7. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 3 จานวน คือ x1 , x2 , x3 ซึ่งเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้ว มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ
18 มีมัธยฐานเท่ากับ 17 มีผลต่างของข้อมูลแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 6 , 1 , 7 ตามลาดับ
แล้วพิสัยของข้อมูลชุดนีต้ รงกับข้อใด
1. 12
2. 13
3. 14
4. 15
8. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จานวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 24 มีมัธยฐานเท่ากับ 25 ฐานนิยมเท่ากับ 18
และพิสัยเท่ากับ 12 ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ของข้อมูลชุดนี้ตรงกับข้อใด
1. 3.25
2. 4.50
3. 5.75
4. 6.25
9. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 5 จานวน ดังนี้ 69 , 63 , 67 , 61 และ 65
การคานวณหาค่าการกระจายของข้อมูลชุดนี้ โดยวิธีใดจะให้ค่าน้อยที่สุด
1. พิสัย
2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
3. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
10. ถ้าข้อมูลอายุของนักเรียน 7 คนเป็นดังนี้ 2 , 4 , 6 , 7 , 12 , 12 , 13
7
7
i 1
i 1
มี  ( xi  a) 2 และ  | xi  b | มีค่าน้อยที่สุด แล้วนักเรียนที่มีอายุ 4 , 4 , 7 , b , a
จะมีความแปรปรวนของอายุเท่ากับข้อใด
1. 3.5 ปี
2. 3.0 ปี
10
11. ถ้า  ( x  2) 2
i 1
1.
8.89
 90
10
และ  xi
 30
3. 2.8 ปี
4. 2.0 ปี
ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานคือค่าในข้อใด
i 1
2.
7.78
3.
6.67
4.
5.56
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 57 -
12. ในการคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมี 40 จานวน พบว่ามีคา่ เฉลี่ยเลขคณิต
เท่ากับ 20 และความแปรปรวนเท่ากับ 25 ต่อมาภายหลังพบว่าอ่านคะแนนผิดไป 2 จานวน
คือ “อ่าน 7 เป็น 1 และ อ่าน 3 เป็น 5 ” แล้ว ความแปรปรวนที่ถูกต้องตรงกับข้อใด
1. 20.58
2. 21.32
3. 21.79
4. 22.89
13. ถ้าข้อมูลชุดที่ 1 คือ X1 , X2 , X3 , … , X10 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10
X
X
X
X
และ 2 ตามลาดับ แล้ว ข้อมูลชุดที่ 2 คือ 8  1 , 8  2 , 8  3 ,  , 8  10 มีค่าเฉลี่ย
2
2
2
2
เลขคณิตและความแปรปรวนตรงกับข้อใด
1. 3 , 4
2. 3 , 1
3. 10 , 2
4. 10 , -1
14. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนชั้น ม.6 ของโรงเรียนสองแห่งปรากฎว่า โรงเรียนเรียนดีวิทยาได้คะแนนเฉลี่ย
50 คะแนน และโรงเรียนกิจกรรมเด่นนุกูลได้คะแนนเฉลีย่ 60 คะแนน และโดยความบังเอิญโรงเรียนทั้งสอง
ต่างมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.) การกระจายของคะแนนสอบวิชานี้ของทั้งสองโรงเรียนเท่ากัน
ข.) ถ้านาคะแนนของโรงเรียนทั้งสองมาคิดรวมกัน จะได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 55 คะแนน
ข้อใดสรุปถูกต้อง
1. ข้อ ก.) ถูก ข้อ ข.) ผิด
2. ข้อ ก.) ผิด ข้อ ข.) ถูก
3. ถูกทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
4. ผิดทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
15. นักเรียนกลุ่มหนึ่ง 30 คน มีพิสัยของอายุเป็น 8 และสัมประสิทธิ์ของพิสัยของอายุเท่ากับ
อายุสูงสุดของนักเรียนกลุม่ นี้ตรงกับข้อใด
1. 10 ปี
2. 12 ปี
3.
15 ปี
4.
2 แล้ว
7
18 ปี
16. ในการทดสอบครั้งหนึง่ มีสว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์เท่ากับ 24 และสัมประสิทธิ์ของส่วนเบีย่ งเบนควอไทล์เท่ากับ
0.2 ถ้าน้องฟ้าสอบได้คะแนนอยู่ในตาแหน่ง Q1 และ น้องดินสอบได้คะแนนอยู่ในตาแหน่ง Q3
แล้วน้องทั้งสองได้คะแนนรวมกันเท่าใด
1. 20 คะแนน
2. 24 คะแนน
3. 200 คะแนน
4. 240 คะแนน
17. นางสาววรรณวิสา และนางสาวปัทมา สอบได้คณิตศาสตร์ได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 30 คะแนน
และมีสัมประสิทธิ์ของพิสยั เป็น 0.2 แล้วสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของทั้งสองคนเป็นเท่าใด
1. 0.1
2. 0.2
3. 0.3
4. 0.4
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 58 -
18. ถ้าคะแนนวิชาภาษาไทย และคะแนนวิชาสังคมศึกษาของนักเรียนชั้น ม.2 กลุ่มหนึ่ง เป็นดังนี้
นักเรียนคนที่
1
2
3
4
5
คะแนนวิชาภาษาไทย
8
5
4
2
1
คะแนนวิชาสังคมศึกษา
9
6
5
3
2
แล้วอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ของความแปรผันระหว่างคะแนนวิชาภาษาไทยและคะแนนวิชาสังคมศึกษาตรงกับข้อใด
1.
5
4
2.
4
5
3.
25
16
4.
16
25
19. ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่ากึ่งกลางพิสัยเท่ากับ 30 และพิสัยเท่ากับ 10 แล้วค่าสูงสุดของข้อมูลชุดนี้อยู่ในช่วงใด
1. [ 20 , 25 ]
2. [ 26 , 30 ]
3. [ 31 , 35 ]
4. [ 36 , 40 ]
20. ข้อมูล 7 จานวนมีคา่ แตกต่างกันดังนี้ 9 , 6 , 15 , x , 2 , 4 , 12 โดยที่ 2 < x < 12
ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 8 แล้ว ค่าของ 3 เท่าของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ตรงกับข้อใด
1. 4
2. 8
3. 12
4. 16
21. ขนาดรองเท้าของนักเรียนอนุบาลซึง่ เรียงจากน้อยไปมากกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 2 , 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , x , 10 , 12
ถ้าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เท่ากับ 3 แล้ว x มีค่าตรงกับข้อใด
1. 6
2. 7
3. 8
4. 9
22. นักเรียนสามคนมีความสูงไม่เท่ากัน คนกลางสูงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของคนที่เตี้ยที่สุดและคนที่
สูงที่สุด ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของคนทั้งสามคนเท่ากับ 120 เซนติเมตร และพิสัยเท่ากับ 20
เซนติเมตร แล้วส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของความสูงของคนทั้งสามตรงกับข้อใด
1. 10
3
2.
20
3
3. 100
3
4.
200
3
23. ข้อมูลสองกลุ่ม คือ กลุ่ม A : x1 < x2 < x3 < x4 < … < x10
กลุ่ม B : y1 < y2 < y3 < y4 < … < y10
ถ้าข้อมูลสองกลุ่มนี้มีความสัมพันธ์กันในรูป yi = xi + a เมื่อ a เป็นค่าคงตัว a > 0 และ i = 1 , 2 , 3 , … , 10
แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่ม A น้อยกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่ม B
2. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของกลุ่ม A มากกว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของกลุ่ม B
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่ม B มากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่ม B
4. ความแปรปรวนของกลุ่ม B น้อยกว่าความแปรปรวนของกลุ่ม A
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 59 -
24. กาหนดข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 7 , 6 , 5 , 4 , 4 , 3 , 3 และ a ถ้าให้ xi คือค่าสังเกตตัวที่ i ของข้อมูลชุดนี้
8
และ  (x i  m ) 2 มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ m = 4 แล้วความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าตรงกับข้อใด
i1
1. 1
2. 2
3. 4
4. 16
25. ถ้าน้าหนักของนักเรียน 6 คน คือ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 มีความแปรปรวนเท่ากับ 9
และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 8 แล้ว
6

i 1
1. 390
2. 438
x i2 
6
 xi
มีค่าตรงกับข้อใด
i 1
3. 440
4. 458
26. ข้อมูล 4 จานวนมีคา่ ดังนี้ 5 , x , y , 1 โดยที่ 1  x  y ถ้าข้อมูลชุดนี้มีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 4
ค่าความแปรปรวนเท่ากับ 5 แล้ว y2 + x2 มีค่าเท่ากับข้อใด
1. 26
2. 58
3. 72
4. 84
27. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก) การคัดเลือกนักเรียนที่เรียนเก่งมารวมในห้องเดียวกัน จะทาให้ผลการสอบของนักเรียนมีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตสูงและ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่า
ข) ถ้านักเรียนที่เรียนเก่งและอ่อนมาเรียนอยู่ห้องเดียวกันจะทาให้ผลการสอบมีสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานสูง
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. ข้อ ก.) ถูก ข้อ ข.) ผิด
2. ข้อ ก.) ผิด ข้อ ข.) ถูก
3. ถูกทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
4. ผิดทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
28. สัมประสิทธิ์พิสยั ของน้าหนักนักเรียนห้องหนึ่งมีค่าเท่ากับ 0.65 ถ้านักเรียนที่มีน้าหนักมากที่สุดและน้อยที่สดุ มี
น้าหนัก รวมกันเท่ากับ 120 กิโลกรัม แล้วพิสัยน้าหนักของนักเรียนห้องนี้มีค่าตรงกับข้อใด
1. 1.3
2. 2.6
3. 65
4. 78
29. ข้อมูลชุดหนึ่งมีจานวนข้อมูลอยู่ 4 จานวน มี Me = Mo = x = 25 และ M.D. = 8
แล้ว สัมประสิทธิ์ของพิสัยตรงกับข้อใด
1. 32%
2. 42%
3. 54%
4. 64%
30. กาหนดข้อมูล 7 , 8 , 10 , 12 , 14 , 7 , 6 , 12 ,16 สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์มีค่าตรงกับข้อใด
1. 0.3
2. 0.6
3. 3
4. 10
31. ถ้า x1 , x2 , x3 , … , x20 เป็นคะแนนสอบของนักเรียน 20 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ x และ
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
20
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 60 -
x
พบว่า  |1  xi |  15 แล้วค่าสัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของคะแนนสอบนักเรียน 20คนนี้มีค่าตรงกับข้อใด
i1
1. 0.25
2. 0.5
3. 0.6
4. 0.75
10
32. กาหนดข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ x1 , x2 , x3 , … , x10 โดยที่  (x i  1)(x i  2)  1,480 และ x 13
i1
แล้วสัมประสิทธิ์การแปรผันของข้อมูลชุดนี้มีค่าตรงกับข้อใด
4
5
1. 13
2. 13
33. กาหนดข้อมูล 2 กลุ่ม ดังตาราง
กลุ่ม
A
B
N
90
110
N
xi
282
118
 x 2i
485
515
i1
N
i1
6
3. 13
7
4. 13
สัมประสิทธิ์การแปรผันของข้อมูลรวมทั้งสองกลุ่มมีค่าตรงกับ
ข้อใด
1. 25%
2. 50%
3. 75%
4. 90%
34. ในการสอบแข่งขันของนักเรียน 150 คน ปรากฏว่าวิชาเคมีได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 80 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
8.0 วิชาฟิสิกส์ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 73 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6.57 แล้วสัมประสิทธิข์ องการแปรผันของ
คะแนนสอบทั้งสองวิชาต่างกันอยู่เท่ากับข้อใด
1. 0.1
2. 0.01
3. 0.001
4. 0.0001
คะแนนสอบของนักเรียนในวิชา
35. คะแนนสอบวิชาภาษาไทย ภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์ และฟิสิกส์ เป็นดังนี้
ใดมีการกระจายน้อยที่สุด
วิชา
ภาษาไทย ภาษาอังกฤษ คณิตศาสตร์
ฟิสิกส์
1. ภาษาไทย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
60
65
58
42
2. ภาษาอังกฤษ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
12
13
10
15
3. คณิตศาสตร์
4. ฟิสิกส์
36. จากตารางแจกแจงความถี่ซึ่งมีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากันและมีผลรวมความถี่เป็น 40 คน
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
Q1  Q 3
2
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. ข้อ ก.) ถูก ข้อ ข.) ผิด
3. ถูกทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
ก) Q 2 
ข) จานวนคนที่อยู่ระหว่าง ค่า P60 กับ ค่า D8 มี 8 คน
2. ข้อ ก.) ผิด ข้อ ข.) ถูก
4. ผิดทั้งข้อ ก.) และ ข้อ ข.)
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 61 -
37. ร้านพิซซ่าต้องการบริการส่งอาหารให้กับลูกค้า จากการทดลองส่งอาหารให้ลูกค้ากลุ่มหนึง่ พบว่า ค่าเฉลี่ยเลข
คณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาที่ใช้ส่งอาหารเป็น 21 นาทีและ 6 นาที ตามลาดับ เวลาที่เร็วที่สดุ ที่
ลูกค้าส่วนใหญ่ 95% จะได้รับอาหารตรงกับข้อใด
1. 6 นาที
2. 9 นาที
3. 12 นาที
4. 15 นาที
38. ข้อมูล 4 จานวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 25 ฐานนิยมเท่ากับ 30 และมัธยฐานเท่ากับ 26
แล้วพิสัยของข้อมูลชุดนี้มีคา่ เท่าใด
1. 12
2. 16
3. 18
4. 21
*******************************************************************************************
 7 วิชาสามัญ
ปี 2558
1. ถ้า 2, 5, 8, 10, 12, 15, 18 เป็นข้อมูลของกลุ่มตัวอย่างหนึ่งของประชากร ความแปรปรวนของตัวอย่างนี้เท่ากับเท่าใด(31)
2. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x, 3.5, 12, 7, 8.5, 8, 5 โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตขงข้อมูลชุดนี้เท่ากับมัธยฐานและไม่มีฐานนิยม
ถ้า R คือพิสัยของข้อมูลชุดนี้แล้ว R – x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
7
6
2.
5
2
3.
3
4.
7
2
5.
4
ปี 2557
3. โรงเรียนอนุบาลแห่งหนึ่งมีนกั เรียนอยู่ 4 ห้อง ครูบันทึกค่าเฉลี่ยของค่าน้าหนักของนักเรียนแต่ละห้องไว้ตามตารางต่อไปนี้
จานวนนักเรียน ค่าเฉลี่ยของน้าหนักนักเรียน
(คน)
(กิโลกรัม)
1
22
17
2
23
16
3
25
14
4
30
15
ค่าเฉลี่ยของน้าหนักของนักเรียนทั้งโรงเรียนมีคา่ เท่ากับกี่กิโลกรัม (15.42)
ห้องที่
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 62 -
4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ ณ โรงเรียนแห่งหนึ่ง ครูได้กาหนดไว้วา่ ผู้ทจี่ ะได้เกรด A
คะแนน
จานวนนักเรียน
จะต้องสอบให้ได้คะแนนอยู่ในคะแนนสูงสุด 10 เปอร์เซ็นต์ ถ้าผลการสอบของนักเรียน
31 – 40
6
80 คน สรุปได้ตามตารางต่อไปนี้ โดยที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 ของคะแนนนักเรียนทั้งหมด
41 – 50
X
เท่ากับ 50.5 คะแนน แล้วคะแนนต่าสุดทีน่ ักเรียนจะได้เกรด A คิดเป็นเปอร์เซ็นต์
51 - 60
18
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
61 – 70
25
71 – 80
10
81 – 90
y
91 - 100
3
1.
4.
72.25
84.25
2.
5.
76.75
88.55
3.
80.25
ปี 2556
5. ตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้
คะแนนสอบ ความถี่สะสม (คน) ถ้าสุ่มนักเรียนมาหนึง่ คนจากกลุม่ นี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ได้คะแนนสอบ
ในช่วง 50 – 59 คะแนน เท่ากับเท่าใด (0.2)
10 - 19
10
20 - 29
35
30 - 39
80
40 - 49
145
50 - 59
185
60 - 69
195
70 ขึ้นไป
200
6.
i
ทุก i
5
ข้อมูลชุดที่ 2 คือ y1, y2, y3, … , y9 โดยที่ y i  a  j ทุก j
ข้อมูลชุดที่ 1 คือ x1, x2, x3, … , x9 โดยที่ x i  3 
9
 x  a
เมื่อ a เป็นจานวนจริงที่ทาให้
ถ้า b เป็นจานวนจริงที่ทาให้
i
i 1
9
 y b
1.
1
2.
4.
4
5.
j1
i
2
5
2
มีค่าน้อยที่สุด
มีค่าน้อยที่สุด แล้ว b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
3.
3
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 63 -
ปี 2555
7. ในการสอบวิชาประวัติศาสตร์มีการสอบ 5 ครั้ง โดยที่อาจารย์ผู้สอนให้น้าหนักของผลการสอบครั้งสุดท้ายเป็นสองเท่าของ
ผลการสอบครั้งอื่น ในการสอบสี่ครั้งแรก เด็กชายพลูสอบได้คะแนนเฉลี่ย 86 เปอร์เซ็นต์ ถ้าเขาต้องการผลการสอบวิชานี้เป็น
90 เปอร์เซ็นต์ แล้วเขาจะต้องได้คะแนนในการสอบครั้งที่ 5 เท่ากับกี่เปอร์เซ็นต์ (98)
8. ข้อมูลชุดหนึ่งเป็นคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ถ้าเพิ่มคะแนนให้นักเรียนทุกๆคนละ 3 คะแนน แล้ว
จะทาให้ค่าสถิติในข้อใดต่อไปนีม้ ีค่าลดลง
1.
ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของคะแนน
2.
สัมประสิทธิ์ของพิสัยของคะแนน
3.
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน
4.
ค่ามัธยฐานของคะแนน
5.
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนน
เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวกคู่
 n
9. กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย a1, a2, a3, … , a91 โดยที่ an  
3  4n เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวกคี่
มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
63
2.
68
4.
74
5.
76
3.
71
รายวิชา ค33103 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน 12
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
หน้า - 64 -
บรรณานุกรม
กมล เอกไทยเจริญ. (2558). เทคนิคการทาโจทย์คณิตศาตร์พื้นฐาน & เพิ่มเติม ม.6 เทอม 1. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง.
เจริญ ภูภัทรพงศ์และศรีลัดดา ภูภัทรพงศ์. (2550). คณิตศาสตรพื้นฐาน ม.6 เล่ม 1. กรุงเทพฯ: Science Center.
ฝายวิชาการ พีบีซี. (2553). ยอดคณิตศาสตรม.ปลาย เรื่อง สถิติ. กรุงเทพฯ : พีบีซี.
ณรงค ปัน้ นิ่ม. (2543). เฉลยข้อสอบเขามหาวิทยาลัย คณิตศาสตร์รวม 10 พ.ศ. . กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิต.
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2545). หนังสือคณิตศาสตร์ค 012 ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย.
พิมพครั้งที่ 12 กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภา.
_______. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์
สกสค.
สุชีพ งามเจริญ และไอศุริย สุดประเสริฐ (2550). คณิตศาสตรเขมรวม 4-5-6 สอบเขามหาวิทยาลัย PAT 1 & โควตา
& รับตรง. กรุงเทพฯ : Science Center.