8-ma`ruza.Murakkab elektr zanjirlarini xisoblashning kontur toklar va tugun
potensiallari usullari.
Reja:
1. Murakkab zanjirda quvvat balansi.
2. Harxil rejimda ishlaydigan murakkab zanjirlarni hisoblash.
3. Zanjirlarni hisoblashning topologik uslubi.
4. Kontur toklari va tuguniy potensiallar usullari.
1. Murakkab zanjirda quvvat balansi.
Elektro energetikada aktiv quvvat sotiladigan tovar bo‘lib hisoblanadi. Ushbu
quvvatni uzoq masofalarga o‘zatish uni qabul qilish, iste’mol qilish va hokazolar
mumkin. Ammo reaktiv quvvat iste’mol qilinadigan joyning o‘zida balanslanishi
zarur. Elektr zanjirlaridagi reaktiv quvvatlar balansi Lanteven teoremasi bilan
isbotlanadi. Mazkur teorema zanjirdagi barcha energiya manbalari reaktiv
quvvatlarning yig‘indisi zanjir qay darajada murakkab tuzilishga ega ekanligidan
qat’iy nazar, ushbu zanjirdagi elektr energiyasi iste’molchilarining reaktiv
quvvatlari yig‘indisiga teng ekanligi to‘g‘risidagi masalani yechadi. Bir vaqtning
o‘zida mos holdagi aktiv quvvatlar tengligi to‘g‘risidagi masala ham yechiladi,
ushbu yechim to‘g‘ridan–to‘g‘ri energiyaning sohalanish qonunidan kelib chiqadi.
Istalgan zanjir uchun uning tenglamalarini tuguniy kuchlanishlar usulida
yozishda ularning matrisa ko‘rinishi qo‘yidagicha bo‘ladi:
q 1
Y11Y12 ...Y1, , q 1
U 10
 I
j 1
1, j
.......... ..........
.........
......
=
......
.........
.......... ..........
q 1
Yq 1,1Yq 1, 2 ...Yq 1, q 1 U q 1, 0
 Iq 1, j
(8.1)
j 1
Ushbu holatda o‘tkazuvchanliklar matrisasini tuguniy kuchlanishlar ustun–
matrisasiga ko‘paytirish orqali shunday ifodaga ega bo‘lamizki, tenglik belgisining
chap tomonidan ustun–matrisaning harbir elementi, nomeri tok belgisining
pastdagi birinchi indeksga mos bo‘lgan nomerli tugunida uchrashuvchi
shaxobchalar (iste’molchilar) dagi toklar yig‘indisini anglatadi.
(8.1) tenglamaning ung tomonidagi matrisaning harbir elementi mos holdagi
tok manbalari toklarning yig‘indisiga tengdir.
q 1
q 1
 I1, j
 I
j 1
.........
.........
q 1
 Iq 1, j
j 1
j 1
=
1, j
.........
.........
(8.2)
q 1
 I
j 1
q 1, j
(8.2) ni turlangan kompleks tuguniy kuchlanishlarning transponirlangan
matrisasiga ko‘paytiramiz. U holdaqo‘yidagi hosilbo‘ladi:
q 1
q 1
 I1, j
I
j 1
*
*
*
U 10 U 20 ... U q 1,0 *
.........
.........
j 1
*
*
*
= U 10 U 20 ... U q 1,0 *
q 1
1, j
.........
.........
(8.3)
q 1
 Iq 1, j
I
j 1
j 1
q 1, j
(8.3) ni ko‘paytirishdan sung qo‘yidagi ko‘rinishdagi hadlarga egabo‘lamiz:
*
*
U i 0  Iij  U j 0  I ji
*
*
ва U i 0  Iij  U j 0  I ji
(8.4)
Qo‘yidagi tengliklar o‘rinli ekanligini hisobga olgan holda:
I ji   I ij
*
*
*
U i 0  U j 0  U ij t
ва
(8.5)
Qo‘yidagi tenglamani hosilqilamiz:
*
*
*
*
(U 12  I12  .......  U q 1,0  Iq 1, 0 )  (U 12  I12  .......  U q 1, 0  Iq 1, 0 )
(8.6)
ko‘paytma
*
*
*
U ij  Iij  S 'j  S K'
(8.7)
i va j tugunlar orasida joylashgan iste’molchining kompleks quvvatidir. Bu
holdako‘paytma:
*
*
*
U ij  Iij  S iK  S K
(8.8)
Shuningdek, i va j tugunlarga ulangan manbaning kompleks quvvati hamdir.
Shuning uchun, ega bo‘lamiz:
*
*
yoki  PK   PK' va  QK   QK'
(8.9)
bu yerda  PK va  Q K lar –zanjirdagi barcha manbalarning aktiv va reaktiv
quvvatlari yig‘indisi,  PK' va  QK' lar esa barcha iste’molchilar aktiv va reaktiv
quvvatlarning yig‘indilaridir. (4.6.9) dagi oxirgi 2 ta tenglikni o‘zlari Lanjeven
teoremasini anglatadi.
Istalgan iste’molchi uchun qo‘yidagi ko‘rinishdagi bog‘liqliklar o‘rinlidir:
 S K   S K'
2
PK'  I K2  rK va Q K'  I K2  L K  I K
C
K
(8.10)
Shuning uchun butun zanjirning kompleks quvvati uchun qo‘yidagi tenglik
o‘rinli bo‘ladi:
*
 S K'   I K2  rK  j I K2  LK 
I K2
1

j C K
(8.11)
2. Harxil rejimda ishlaydigan murakkab zanjirlarni hisoblash.
Mazkur kursda o‘zgaruvchan tokli murakkab elektr zanjirlarini hisoblashning
xilma–xil usullari ko‘rib chiqiladi. Shuning uchun ushbu savolda biz vaqt bo‘yicha
o‘zgarmas E.Yu.K. va tokka ega bo‘lgan manbalar ta’siridagi murakkab elektr
zanjirlarini hisoblashni qisqako‘rib chiqamiz. Mazkur hisoblashning farqlovchi
xususiyati bo‘lib, real induktiv cho‘lg‘amlarda faqatgina ular o‘ramlarining aktiv
qarshiligi, real kondensatorlarda esa faqatgina ularning isrof o‘tkazuvchanligigina
hisobga olinadi. Agarda L va S uchastkalarida isroflari bo‘lmagan, ekvivalent
elektr sxemasi ko‘rinishidagi elektr zanjirlari ko‘rib chiqilayotgan bo‘lsa,
(cho‘lg‘am o‘ramlari qarshiligi va kondensator isrof o‘tkazuvchanliklari alohida
uchastka ko‘rinishida ajratib chiqilgan). L induktivli uchastkani qisqatutashgan
deb, S kondensatorli uchastka esa o‘zilgan (ajratilgan) deb hisoblash kerak. Bu
shuningdek, rasman ω→0 bo‘lganida ham kelib chiqadi. Boshqacha aytganda ω=0
bo‘lganida
XL = ωL = 0; XC = 1/ωC =∞
(8.12)
(8.12) ifoda shundan kelib chiqadiki, o‘zgarmas toklarda, cho‘lg‘amda
o‘zinduksiya E.Yu.K. i induksiyalanmaydi va ideal kondensatorlarning zajimlarida
o‘zgarmas kuchlanishda ular orqali tok utmaydi.
Demak, o‘zgarmas tokli zanjirlarda hisoblashlar nisbatan ancha sodda bo‘ladi,
chunki bu holdasinusoidal toklar tenglamalaridan kompleks miqdorlar o‘rniga
faqatgina haqiqiy miqdorlar ushbu tenglamalarda qatnashadi. Faqatgina
tenglamalarni tuzishda barcha «ishoralar» qoidalariga qat’iyan rioya qilish zarur.
Ideal zanjirlarda (bu holdazanjir sxemasining barcha shaxobchalarida ideal
kondensatorlar kiritilgan va o‘zgarmas E.Yu.K. ta’sirida ushbu zanjirdagi tok
nolga teng bo‘ladi). Faqatgina zanjirdagi kuchlanishning kondensator bo‘yicha
taqsimlanishini aniqlash masalasigina qo‘yilishi mumkin. Bu holda, faraz qilaylik
E.Yu.K. ta’sir qila boshlagunga qadar kondensatorlar zaryadsizlangan bo‘lsin, u
holdao‘zgarmas E.Yu.K. lar ta’sirida kuchlanishning taqsimlanishi xuddi shunday
sxemada sinusoidal kuchlanish ta’sir etayotgan holdagidek bo‘ladi (harbir
shaxobchasida ideal kondensatorlar kiritilgan, miqdor jihatdan o‘zgarmas E.Yu.K.
ga teng miqdorli sinusoidal E.Yu.K. ta’sir qilishi natijasida bir–biri bilan fazada
bo‘ladi).
Amalda barcha kondensatorlar yakuniy o‘tkazuvchanlik isrofiga ega bo‘ladi.
Shuning uchun o‘zgarmas E.Yu.K. lar ta’sirida kondensatordagi turg‘unlashgan
kuchlanishlar, ular isroflarining qarshiliklari va sxema boshqa uchastkalarning
qarshiliklari bilan aniqlanadi. Kuchlanishning ushbu taqsimlanishida
kondensatorlar sig‘imlarining hech qanday ta’siri bo‘lmaydi. Bu holat shuni
anglatadiki, ekvivalent sxemada ideal kondensatorli uchastkalar hisoblashlarda
ajratilgan bo‘lishi lozim.
3. Zanjirlarni hisoblashning topologik uslubi.
Elektro texnikada tenglamalar sistemasini tuzib o‘tirmasdan zanjir
sxemasining grafigi asosida teskari matrisa va uning aniqlovchisini elementlarini
aniqlash imkoniyati mavjudligi katta qiziqish to‘g‘diradi. Topologik usulda
hisoblashlarning misoli tariqasida tuguniy kuchlanishlar usulini ko‘rib chiqamiz.
Tuguniy o‘tkazuvchanliklar matrisa uchun AYAt ifodaga egamiz, bu yerda:
A–(q–1)·n –tartibli birlashishlar topologik matrisasi; At–nx(q–1) tartibli
birlashishilarning transponirlangan matrisasi; Y–n·n tartibli shaxobchalar
o‘tkazuvchanliklarining (zanjirda bog‘liq manbalar va o‘zaro induksiya bo‘lmagan
holatda) diogonal matrisasi.
Koshi–Bins teoremasiga asosan, ana shunday matrisaning aniqlovchisini
qo‘yidagicha aniqlash mumkin:
det(AYAt) = det(AY)At =∑-AY va At matrisalarning mos holdagi maksimal
tartibdagi minorlari yig‘indisi. Ushbu holdaminorlarning mos holdabo‘lishi AY
matrisadagi ustunlar nomerlarini At matrisadagi qatorlar nomerlari bilan ustma–ust
tushishidir. AY va At matrisalarda Y matrisa diagonalligi tufayli noldan farqli
elementlari bir xil joylashgandir (agar ajk ≠ 0 bo‘lsa ajk·Yk ≠ 0)
Daraxtlari 1–b rasmda keltirilgan 1–a sxema grafigi qo‘yidagi ifodaga ega
bo‘lamiz:
det(AYAt) =Y1Y3 + Y2Y3 + Y1Y2
(8.13)
3
1
1
à)
2
2
3
3
1
á) Ï Ó=Ó1 Ó3
3
2
á) Ï Ó=Ó2 Ó3
1
2
á) Ï Ó=Ó1 Ó2
8.1 –rasm.
Koshi–Bins teoremasiga asosan ∆jj tartibli algebraik to‘ldiruvchini hosilqilish
uchun AY matrisadan j–satrili, At matrisadan esa j–ustunni chizish kerak. Bunday
o‘chirish j–tugunni bazi tugunga ulash bilan teng kuchlidir. U holdasxemaning
yangi grafigi hosilbo‘ladi (yangi grafik eski grafikning j–tugunni va bazi tugunini
tutashtirish orqali hosilqilinadi).
Ko‘p sonli harxil daraxtlarni izlab topish zaruriyati zanjirlarni topologik
usulda hisoblashning asosiy kamchiligidir. Zamonaviy EHM lar paydo bo‘lishi
bilan ushbu hisoblashlar ancha yengillashdi. Ammo g=10 bo‘lganida 108 ga teng
bo‘lgan sondagi harxil daraxtlarni izlab topish va saqlash zaruriyati hatto
zamonamiy EHM lar ham juda muammoli masaladir. Shu sababdan hisoblashning
topologik usuli faqatgina nisbatan kam sonli tugunlarga ega sxemalar uchungina
samaralidir.
4. Kontur toklari va tuguniy potensiallar usullari.
4.1.Kontur toklari usuli amaliyotda kontur toklari tenglamalarini to‘g‘ridan–
to‘g‘ri, zanjir sxemasini ko‘ra turib tuzish ham mumkin. Kirxgofning 2–qonuniga
asosan n ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan konturlar uchun qo‘yidagi n ta tenglamadan
iborat tenglamalar sistemasini tuzish mumkin.
Z11  I  Z12
Z  I  Z
 I 2    Z1n  I n  E 11



21
32  I 2    Z 32  I n  E 22
Z  I  Z  I    Z  I  E
31
32
2
3n
n
(8.14)
32
n ta kontur toklarini o‘z ichiga olgan (8.14) ko‘rinishdagi tenglamalarni tuzish
va ularni ushbu toklarga nisbatan yechish hisoblashning kontur toklari usulining
o‘zidir. Bu yerda E nn –n konturga kiruvchi E.Yu.K. lar yig‘indisidir. Yo‘nalishlari
konturni aylanib chiqish yo‘nalishi bilan mos tushgan E.Yu.K. lar musbat ishora
bilan mos kelmaganlarini esa manfiy ishora bilan olinadi. Zkk orqali k–konturga
kiruvchi qarshiliklar yig‘indisini ifodalaymiz. Va ushbu Z kk kattalikni konturning
xususiy qarshiligi deb ataymiz. k va m konturlar uchun umumiy bo‘lgan
shaxobchalardagi qarshiliklar yig‘indisini Zkm yoki Zmk orqali ifodalaymiz va k va
m konturlarning umumiy qarshiligi deb ataymiz.
Bu yerda Zkm=Zmk=rkm+jXkm deb hisoblash kerak, qachonki agarda k va m
konturlar uchun umumiy bo‘lgan shaxobchadagi kontur toklarining shartli musbat
yo‘nalishlari mos kelsa va aksincha Zkm=Zkm=-rkm–jXkm deb hisoblash kerak,
qachonki ular teskari yo‘nalgan bo‘lsa (8.14) ni k konturdagi I k kontur toki uchun
ishlab (hisoblab) qo‘yidagini topamiz:
E  k m
E  k n
E  k1 E 22  k 2
IK  11

 ......  mm
 ......  nn




(8.15)
bu yerda: ∆ -sistemaning bosh aniqlovchisi bo‘lib, qo‘yidagicha aniqlanadi:
Z 11 Z 12 Z 13 ...Z 1n
Z 21 Z 22 Z 23 ...Z 2 n
∆ = Z 31 Z 32 Z 33 ...Z 3n
(8.16)
.......... .......... ..
Z n1 Z n 2 Z n 3 ...Z nn
∆k1, ∆k2…∆km ∆kn lar ∆ aniqlovchidan uning k qatorini va m ustunni o‘chirish
orqali hosilqilingan algebraik to‘ldiruvchilardir (yangi olingan aniqlovchini –1(k+m)
ga qo‘paytirish bilan).
Bog‘liq bo‘lmagan energiya manbalari chiziqli zanjirlari uchun ∆km = ∆mk
ekanligi ta’kidlab o‘tamiz. Haqiqatda ham ∆km ∆ dan k satrni va m ustunni
o‘chirish orqali, ∆mk esa ∆ dan m –satrni va k ustunni o‘chirish orqali
hosilqilinadi.
Z1
Å1
Z2
Z3
I1
I2
Å2
8.2–rasm.
Misol tariqasida 8.2–rasmda yeltirilgan zanjirni ko‘rib chiqaylik. I1 va I2
toklarning musbat yo‘nalishlarini strelka buylab yo‘naltiramiz. U holdaI1 va I2
kontur toklari birinchi va ikkinchi shaxobchalardagi joriy (amaldagi) toklarga teng
bo‘ladi. Uchinchi shaxobchadagi joriy (amaldagi) tok
I1 va I2 kontur toklari yig‘indisiga tengdir. Kontur toklari usuliga asosan qo‘yidagi
tenglamalarni hosil qilamiz:
Z11  I 1  Z12  I 2  E 11
Z11  I 1  Z 22  I 2  E 22
Konturning xususiy qarshiliklari:
Z11 = Z1 + Z3 va Z22 = Z2 + Z3
va zanjirning umumiy qarshiligi esa Z12 = Z21 = Z3 va shuningdek
Е 11  Е 1 ; Е 22  Е 2 unda sistema aniqlovchisi

Z 11
Z 12
Z 21
Z 22
(8.17)
(8.18)
 Z 11  Z 22  Z 122  ( Z 1  Z 3 )(Z 2  Z 3 )  Z 32  Z 1  Z 2  Z 2  Z 3  Z 3  Z 1  D
u holdaalgebraik to‘ldiruvchilar
∆11 = Z22 = Z2 + Z3; ∆22 = Z11 = Z1 + Z3 ; ∆12 =∆21=-Z12 =-Z3
Endi qo‘yidagiga ega bo‘lamiz:
I  E
 (Z  Z )/D - E
  Z /D,
1
1
1
3
2
3
I  E
 Z /D  E
  (Z  Z )/D
2
1 3
2
1
3
Tok I3 ning qiymati I1 vaI2 toklarni algebraik qo‘shish orqali hosilqilinadi.
I  I  I  E  Z /D  E  Z /D
3
1
2
1
2
2
1
4.2. Tuguniy potensiallar usuli.
Tugunlar soni bog‘liq bo‘lmagan konturlar sonidan kichik bo‘lgan hollarda
tuguniy kuchlanishlar usulidan foydalanamiz.
Ta’rif: Tuguniy kuchlanishlar deb, q –1 dona tugunning harbiri va bitta
belgilangan (0 indeksli) tayanch, ammo ixtiyoriy ravishda tanlab olingan tugun
o‘rtasidagi kuchlanishlarga aytiladi.
Bunda U K 0 tuguniy kuchlanish k–tugundagi (k=1,2,3,…,q–1) tayanch tugunga
qarab musbat yo‘nalishga ega. q –1 dona izlanayotgan tuguniy kuchlanishlarni
aniqlab tugunlarning istalgan juftligi o‘rtasidagi kuchlanishlarni va zanjir
shaxobchalaridagi toklarni topish mumkin. Kirxgofning birinchi qonuniga asosan
q–1 dona bog‘liq bo‘lmagan tenglamalarni yozish mumkin bo‘lgani sababli,
shaxobchalardagi barcha toklarni q–1 dona izlanayotgan miqdorga nisbatan
yozilgan tenglamalar sistemasini olishimiz uchun izlanayotgan tuguniy
kuchlanishlar orqali yozamiz.
Ko‘rib chiqilayotgan usulda tuguniy kuchlanishni k –tugundan tayanch yoki
bazi tuguniga qarab yo‘naltirishni shartlashib olamiz. Bunda k tugun va tayanch
bazi tuguni orasidagi kuchlanishni Uk0 deb belgilaymiz. Ushbu bog‘lanishni
tasvirlanishi 8.3–rasmda keltirilgan. Binobarin, qaysidir bir umumlashtirilgan S
shaxobchaning k va m tugunlarga birlashtirilgan shaxobchaning kuchlanishi
qo‘yidagi ifodaga teng bo‘ladi.
 U
 U
 -U
 a U
 a U

(8.19)
U
3
km
k0
m0
Sk
k0
Sm
m0
~
Is
m
Umo
Es
Is
Is
Ys=
~
Us=Ukm
1
Zs
Uko
k
8.3–rasm.
Ta’kidlash zarurki, tuguniy kuchlanishlarning nomerlari sxema grafigi
tugunlari nomerlari bilan os tushadi va ushbu kuchlanishlar S shaxobchaning
kuchlanishini aniqlash ifodasiga albatta qarama–qarshi bo‘lgan ishoralar bilan
yoziladi. Faraz qilaylik Ask=1 bo‘lsin, (S–shaxobchaning kuchlanishi k–tugundan
chetga yo‘nalagn bo‘lsa va Asm=-1 bo‘lsin, agarda (S–shaxobchaning kuchlanishi
m tugunga qarab yo‘nalgan bo‘lsa).
Nazorat savollari.
1. Aktiv ikki qutblilik deb nimaga aytiladi?
2. Kontur toklari usuli mohiyatini tushuntiring.
3. Sistemaning bosh aniqlovchisi qanday topiladi?