PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PDB Orde Pertama
Resmawan
UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO
September 2018
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
1 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
169 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
De…nition
Suatu persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk
a (x )
dy
+ b (x ) y = c (x )
dx
(17)
dengan a (x ) , b (x ) , dan c (x ) merupakan fungsi-fungsi yang terde…nisi
pada interval (α, β) dinamakan Persamaan Diferensial Linear Orde
Satu.
Diasumsikan a (x ) 6= 0, pada (α, β) dan kedua ruas pada (17) dibagi
dengan a (x ) sehingga diperoleh Bentuk Standar
dy
+ p (x ) y = q (x )
dx
(18)
dengan p (x ) = b (x ) /a (x ) dan q (x ) = c (x ) /a (x ) .
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
170 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Untuk mendapatkan solusi dari bentuk (18), persamaan ditulis kembali
dalam bentuk
d
(19)
[g (x, y )] = F (x )
dx
untuk suatu fungsi g (x, y ) yang sesuai. Solusi umum dapat diperoleh
dengan cara mengintegralkan persamaan tersebut.
Example
Selesaikan persamaan diferensial
dy
1
+ y = ex , x > 0
dx
x
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
171 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
Jika PD yang diberikan, dikalikan dengan x, maka diperoleh
x
dy
+ y = xe x
dx
yang secara eqivalen dapat ditulis
d
(xy ) = xe x
dx
Jika kedua ruas diintegralkan terhadap x, diperoleh solusi umum
= xe x e x + c
1 x
y =
[e (x 1) + c ]
x
xy
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
172 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Selanjutnya kita akan menemukan bentuk umum solusi dari PD orde
satu(18) ,dengan menulis kembali dalam bentuk
[p (x )y
q (x )] dx + dy = 0
(20)
Dari bentuk (20) , diperoleh
M (x, y ) = p (x ) y
q (x ) dan N (x, y ) = 1
sehingga
My
Nx = p ( x ) 6 = 0
yang berarti bahwa PD (20) merupakan PD Non Eksak
Selanjutnya perhatikan bahwa
My Nx
= p (x )
N
merupakan fungsi x, sehingga diberikan faktor integrasi
I (x ) = e
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
R
p (x )dx
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
(21)
September 2018
173 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Dengan mengalikan faktor integrasi (21) dengan persamaan
diferensial (18) , diperoleh
dy R p (x )
e
dx
dx
+ p (x )ye
R
p (x ) dx
R
d
[ye p (x )
dx
dx
= q (x )e
] = q (x )e
R
R
p (x ) dx
p (x ) dx
Selanjutnya, dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap x diperoleh
solusi umum dari Persamaan Diferensial (18) , yaitu
y (x ) e
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
R
p (x ) dx
=
Z h
q (x )e
R
p (x ) dx
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
i
dx + c
September 2018
(22)
174 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Examples
1
Carilah solusi umum dari Persamaan DIferensial berikut
(a) xy 0 + (1
dy
(b )
dx
2
x) y
3
y
x
= 4xe x ln x
= 2x 4 , x > 0
Carilah solusi umum dan solusi khusus dari Persamaan Diferensial
berikut
dy
+ xy = x (x 1)2 ; y (0) = 24
(1 x )
dx
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
175 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
1a. Tulis kembali persamaan diferensial dalam bentuk umum PD orde
satu
dy
(1 x )
+
y = 4e x ln x
dx
x
Dari persamaan ini diperoleh
p (x ) =
Z
p (x ) dx
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
=
1
x
Z
= ln x
1 dan q (x ) = 4e x ln x
1
x
1 dx
x
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
176 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
1a. Dengan demikian, solusi umum PD adalah
Z h
i
R
R
p (x ) dx
ye
=
q (x )e p (x ) dx dx + c
Z h
i
ye ln x x =
4e x ln xe ln x x dx + c
Z h
i
x
e x ln x.e ln x e x dx + c
yxe
= 4
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Z
yxe
x
= 4
yxe
x
= 4
yxe
x
yxe
x
= 2x 2 ln x x 2 + c
= x 2 ln x 2 1 + c
[x ln x ] dx + c
x2
ln x
2
1 2
x +c
4
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
177 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
1b. Dari persamaan diferensial yang diberikan, diperoleh
3
dan q (x ) = 2x 4
xZ
1
=
3
dx
x
=
3 ln x
1
= ln 3
x
p (x ) =
Z
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
p (x ) dx
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
178 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
1b. Dengan demikian, solusi umum PD adalah
ye
R
p (x ) dx
1
ye ln x 3
y
x3
y
x3
y
x3
y
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
=
=
Z
Z
q (x )e
R
p (x ) dx
dx + c
1
2x 4 e ln x 3 dx + c
Z
x4
dx + c
3
x
Z
= 2 x dx + c
= 2
= x2 + c
= x3 x2 + c
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
179 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
2. Tulis kembali persamaan diferensial dalam bentuk umum PD orde
satu
dy
x
+
y = x2 + x
dx
1 x
Dari persamaan ini diperoleh
p (x ) =
x
1
x
dan q (x ) = x
x2
Perhatikan bahwa
x
1
x
=
=
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
x
1+1
=
1 x
1
1+
1 x
x 1
1
+
[x 1] 1 x
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
180 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
2. Dengan demikian, diperoleh
Z
p (x ) dx
=
=
=
=
Z
x
1
Z
Z
dx
x
1+
1
Z
x
dx
1
dx
1 x
x) x
1dx +
ln (1
1
Selanjutnya, ditentukan solusi umum
ye
ye
R
p (x ) dx
ln (1 x ) x
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
=
=
Z
Z
q (x )e
x
R
p (x ) dx
x2 e
dx + c
ln (1 x ) x
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
dx + c
September 2018
181 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
2. Dengan demikian, solusi umum PD adalah
ye ln (1
y (1
x)
x)
1
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
ye
x
1
y
1
x
y
1
y
1
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
x
x
=
Z
x 2 e ln (1
x
Z
x x2
e
1 x
Z
x (1 x )
=
e
1 x
Z
=
=
xe
= e
x
= (1
x
x)
1
x
e
x
dx + c
x
dx + c
dx + c
dx + c
( x
x) e
1) + c
x
( x
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
1) + c
September 2018
182 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
2.9 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Solution
2. Dengan nilai awal y (0) = 24, diperoleh
ye 0 = (1
24 =
c
0) e 0 (0
1) + c
1+c
= 25
Dengan demikian, solusi khusus PD adalah
ye
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
x
= (1
x) e
x
( x
1) + 25
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
183 / 185
2 Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu
* Soal-Soal Latihan 7
* Soal-Soal Latihan 7
Problem
Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut:
1
tan x y 0 + y = sin 2x
2
xdy
3
dy
dx
4
5
2)e x dx
2ydx = (x
2
xy
= x 2ex
xy 0 + 2y = cos x, x > 0
Carilah solusi umum dan solusi khusus dari persamaan diferensial
dengan nilai awal berikut
y 0 + y = 2 + 2x; y (0) = 2
6
y 0 + xy = xe x
7
sin x dy
dx
2 /2
;
y (0) = 1
y cos x = sin 2x;
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
y
π
2
=2
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
184 / 185
3. Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
resmawan@ung.ac.id (MathUNG)
Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama
September 2018
185 / 185