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液晶顯示器光學 Optics of liquid crystal displays 授課內容： –液晶顯示器簡介 –光波的偏極化 –非均向性介質內的光傳播 –Jones 矩陣與光傳播 –液晶顯示器 –薄膜電晶體液晶顯示器書籍： –教科書：Optics of Liquid Crystal Displays, by Pochi Yeh & Clair Gu –參考書：The Handbook of Liquid Crystals (Wiley-VCH, ed. by Demus, etc.. ) 一、液晶顯示器簡介 1.1. 什麼是液晶顯示器？在現今知識經濟的時代，顯示器變成每日生活的必需品，因此其發展也是日異千里，各種顯示器競爭激烈，特別是『平面顯示器』，如：平面陰極射線管(flat cathode ray tubes, CRT)、電致發光元件(electroluminescence device)、電漿顯示器(plasma display)、真空螢光(vacuum fluorescence)以及液晶顯示器(liquid crystal displays, LCDs)等等，其中液晶顯示器為相當重要的一項產品，它具有平面面板、重量輕、高清晰度、低驅動電壓、低能量消耗等許多優點。一般來說，這些顯示器元件均具有平面二維的畫素之結構，且每一個畫素均可視為一個光開關，利用電壓的驅動調變光的穿透，而組成一個二維動態的圖案，(換言之，就是電視畫面)，因此，我們可以將液晶顯示器定義為：利用液晶調變光波的光學特性，來製作光開關而組成二維平面顯示器的一種顯示器元件。然而，液晶如何變成光開關來調制光波？要了解其工作原理，需先知道液晶顯示器的組成結構為何？因此，首先我們先介紹液晶顯示器的基本結構，如圖 1.1 所示，可以分成下列幾部分：背光源組、後偏光板、後玻璃層 (含：薄膜電晶體、ITO 導電電極等)、液晶層、前玻璃層(含：彩色濾波片、 ITO 導電電極等)、前檢偏板等六個構造。圖 1.1 液晶顯示器的基本結構示 1 1.2. 液晶顯示器基本操作圖 1.1 包含顯示器所需的所有細部構造，因此，若討論到液晶顯示器的技術，實際上包含了物理、化學、光學及電子等等相關學科。而實際上若考慮其基本的操作原理，我們可以用圖 1.2 的簡圖來表示其中最重要的部分，就是其中一對偏極板夾住液晶晶包(cell)的構造，並簡單說明其調制光的原理。 Transmission of Light Polarizer Top Glass Transparent Electrode (TFT) Transparent Electrode Polarizer Liquid Crystal Bottom Glass 圖 1.2 液晶顯示器簡圖簡單來說，當光線通過第一個偏振板時，會變成與偏振板軸向相同的線偏極化光，進入液晶晶包，此時我們可以用晶包上下兩個電極加電壓，來控制線偏極化光的極化方向轉動，若轉動到與出射之偏振板軸向相同的方向，光線則會完全穿透，形成亮點；反之，當光偏極化轉至與出射偏振板軸向正交時，則光線完全不穿透，形成暗點；若介於兩者之間的情況，則形成灰階的調變，如此則可形成光電開關元件來調制光線。當然，光偏極化的轉動取決於液晶晶包的特性，我們可以用詳細的光學方法來分析光線受到液晶分子作用轉動的情形，來定量分析液晶顯示器的特性，這亦是此門課的重點，我們會在以後的章節一一探索。接下來，先讓我們先一一說明這些基本元件的特性。 2 1.3. 液晶顯示器基本元件 1.3.1 偏振板 (Polarizer) 任何可將非偏極化光轉變成為線偏極化的光學元件就可稱為光偏振板。它是液晶顯示器中最關鍵的元件之一，因為所有的顯示器所用的光源均為非偏極化光(unpolarized light)，經過偏振板即可轉變成具有一定方向的線偏極化光，才可有效的利用液晶晶包來控制光的開關。線偏極化光可以用其傳播方向、頻率(波長)以及振幅向量來描述光的特性，光波一定為橫波，所以其振幅(電場)一定垂直傳播方向，且強度正比於振幅的平方，故給定光的傳播方向時，依據向量原理，在橫截面上，我們可以找到兩個獨立的振幅分量。對若光波其具有下列兩個特性，即為非偏極化光(Unpolarized light)： (1). 穿透偏振板後的光強度之時間平均值為一常數與偏振板的軸向無關。 (2). 若將一道非偏極化光分解成兩正交方向(Ex, Ey)之分量和，則此兩分量在時間上完全無關，意即在任意時刻，此兩分量的相位關係呈亂數分佈(φx - φy = random)。通常偏振板的材料為非均向性介質，其會將穿透某一偏極方向的光，而吸收或反射其他偏振方向的光波，常見材質可分成下列幾種： (1). 雙折射晶體：此為最好的偏振板，如下圖所示，其分偏極化光效果最好，但不適合製作平面應用。 Optical contact Prism polarizer Prism polarizer 3 (2). 異色性薄膜(dichroism plate)：某些天然的晶體礦石就偏振板的特性，在某個晶體軸向的光吸收係數很大，而正交軸向吸收係數較小，此即為異色性，如：tourmaline (電氣石, 璧璽)。 n̂ 如圖所示，入射光波的偏振態可分解成兩正交方向(E//, E⊥)之分量和，並表示如下： r E //, ⊥ (ω , r ) = E 0 //, 0⊥ exp(iωt − ik //, ⊥ z ) 其中： k //, ⊥ = wave number = 2π λ n //, ⊥ ，為光波波向量，不同偏極化所看到的折射率分別為 n // ≈ real = n // R − in // I ， n ⊥ = complex = n ⊥ R − in ⊥ I ，又折射率的虛數項若大於零時， n // I , n ⊥ I > 0 ，即為材料具吸收特性。當兩正交方向的偏極光之吸收項不同時，則此兩個交方向的偏極光之穿透量將不一樣。通常平行晶體軸向的偏極光之吸收遠小於垂直晶體軸向的偏極光，即 n // I << n ⊥ I ，在此定義一個參數來描述材料的異色性---異色性比例，如下式： dichroic ratio ≡ n ⊥I n // I 其他形成薄膜偏極板的方法有： (a). 將含有柱狀或針狀的異色性材料所形成的塑膠膜往某一方向拉伸，用應力使其材料分子形成對準。此種偏極板的視角較大，分光比也高。 (b). 將超微細小之金屬針摻入塑膠膜中，並使其對準排列。由於此非材料本身的異色性，又稱為人造異色性(form dichroism)。 4 Microwave polarizer 柱狀或針狀的異色性材料 Metallic wires 然而，當偏極方向與偏振板軸向夾角不是垂直或平行時，光強度將呈 cos2θ，其中θ為兩者夾角。所以，當非偏極化光通過兩正交的理想的偏振板(cross-polarizers)時，穿透的光強度將變成零，如下圖所示。 5 1.3.2 透明電極 (Transparent Electrode) 液晶晶包是利用電場將其轉向來調制光波，所以為使光能穿透顯示器，其上下夾層的電極在可見光波段必須為透明的。通常半導體材料可符合此要求，我們亦可在半導體材料中加入適當的雜質原子，來增加其導電度。在液晶顯示器中，常用所謂的鍍有 ITO(indium tin oxide)的玻璃當電極，它有良好的導電性，然而要注意的是，這種類型的材料都還是會吸收一些光，所以實際上這些電極都是很薄的薄膜，而又要有一定的厚度來維持其導電性，因此當其折射係數與玻璃基板不相符時，會造成所謂的 Fabry-Perot 干涉現象，故導電膜之厚度將選取此干涉現象為建設性干涉的情況，以增加光的穿透率，一般這個厚度在 100-300nm 之範圍。 ITO Glass 6 1.3.3 液晶晶包 (Liquid Crystal Cell) 液晶晶包是指上下夾層電極間所灌入的液晶材料。通常其厚度約為 ~μm，而且常玻璃纖維或塑膠小球當作墊片來保持顯示面板的平整度。在製作顯示器時，為了達到不同應用要求，會採取數種不同方式來排列液晶分子。在此，為了方便起見，我們以平面線條狀的晶包(planar nematic LC cell)來簡要說明液晶晶包工作原理，其排列方式為：在未加電壓下，所有柱狀液晶分子均平行於玻璃夾層，如下圖(a)所示。 N-LC cell N-LC cell n n (a) V=0 V=0 (b) 7 (a).V=0：在無外加電場的情況下，液晶晶包內的分子的排列秩序將會受到上下夾層邊界的非均向性所影響。製作顯示器時，上下電極表層還鍍上一層很薄的高分子塑膠(如：polyimide)，稱之液晶分子配向層(alignment layer)，而液晶分子排列對準的方法，則是以一定的方向摩擦此高分子配向層，讓其產生表面的非均向性，當液晶分子放入晶包時，長棒狀分子的長軸將自動對準平行摩擦方向，特別是那些非常靠近表面的分子。因此，藉由配向膜所產生的邊界條件，即可在大尺度範圍(long range)控制晶包內液晶分子排列的秩序。 a. 無邊界，液晶分子靠 b. 當靠近配向膜時，液 c. 在配向膜上的液晶分子甚至會躺在溝彼此長軸作用，排列晶分子會受到溝槽作槽內，長軸會因此鬆散，大致呈同一方用，分子長軸會逐漸排列在與其相同方向排列。轉向與其相同方向排向上。列。 (b).V=0：外加電場不為零時，晶包內的分子則由於其電性的非均向性，分子的排列秩序與方向將受到電場的控制，簡言之，長棒狀液晶分子的長軸將會平行於電場方向，以維持最小的靜電位能，如下圖所示。 Ea Alignment layer (z=L) θ n (z=0) Alignment layer 8 分子受Ea旋轉之角度： 1 1r r n̂ // Êa ⇒ U = D ⋅ Ea = εEa2 2 2 θ 理想情況 90o 0 ‧液晶晶包的光學特性： L z 由於液晶分子皆為非對稱性(長棒狀或碟狀)，當其在晶包內呈現有規則的排列時，就會產生光學的雙折射特性(birefringence)。換言之，當光傳播時，將會有兩個不同傳播模態，它們各有不同的相速度(phase velocity)，而導致光穿透後兩個模態間會產生相位延遲效應(phase retardation)，改變入射光的偏振態。我們可以下圖之 N-LC 晶包來說明： (a).V=0：在無外加電場的情況下，液晶晶包內的分子排列秩序均平行於面板，所以光傳播時，兩個正交的偏振態，會看到不同的折射率。 N-LC cell E n E N-LC cell n E V=0 n E n V=0 r E / / n̂ ∴ Refractive index = n // r E ⊥ n̂ ∴ Refractive index = n ⊥ (b).V≠0：外加電場不為零時，晶包內的分子則平行於電場的方向排列，傳播光之兩個正交的偏振態，會看到相同的折射率。 9 N-LC cell n//Ea E V=0 r E ⊥ n̂ ∴ Refractive index = n ⊥ ，通常 E a = 1 V / μm = 10 kV / cm 所以當 N-LC 晶包前後加上一對正交偏極板，且控制其厚度使得在外加電場為零時，相位延遲為π，則此時晶包可視為半波長板，將輸入光的偏振方向旋轉 90o，而可穿透後檢偏板，因此藉由外加電壓，即可將液晶晶包視為電光調制器來調制穿透光強度。 E N-LC cell V=0 V≠ 0 n V Electro-Optical modulator QL = λ 2(n // - n ⊥ ) ∴ Γ = (k // − k ⊥ )L = π T 10 Ea=0 Ea= 1V/μm 0.5 0 ‧TN-LC 液晶晶包的光學特性： TN-LC 晶包的特性類似，與 N-LC 晶包之差別在於配向層使液晶分子由 z=0àL 漸變旋轉 90o，所以在未加電壓時，分子的非均向性使得入射光的偏振方向隨液晶分子長軸方向逐漸旋轉 90o，而穿透檢偏板，這種現象稱之為液晶的波導現象(Wave-guiding or Adiabatic following)。而加電壓時，如 N-LC 晶包一樣，光偏振方向不轉。 11 1.4. 液晶材料及分子結構什麼是液晶？液晶的誕生來自於一項非常特殊物質的發現，早在 1850 年 Virchow, Mettenheimer 和 Valentin 這三個人就發現 nerve fibre 的粹取物中含有這種不尋常的東西。到了 1877 年德國物理學家 Otto Lehmann 運用偏極化的顯微鏡首次觀測到了液晶化的現象，但他對此一現象的成因並不瞭解。直到西元 1888 年，奧地利的植物學家 Friedrich Reinitzer (1857-1927) 發現了螺旋性甲苯酸鹽的化合物(cholesteryl benzoate)，確認了這種化合物在加熱時具有兩個不同溫度的熔點，在這兩個不同的溫度點中，其狀態介於一般液態與固態物質之間，類似膠狀，但在某一溫度範圍內其又具有液體和結晶雙方性質，由於其特殊的狀態。他在加熱安息香酸膽石醇時，意外地發現該物質的異常熔解現象，因為此物質加熱至攝氏 145 度會熔解成白濁狀的液體，而且若再繼續加溫至攝氏 179 度時，則呈現透明的均方向特質液體(均向液體)。反之，再從高溫逆轉降下時，也可以發現在攝氏 179 度以下時，透明液體漸漸轉成混濁狀，且下降至攝氏 145 度時又形成固體的結晶態。其後，德國物理學者萊曼(Lehmann)利用偏光顯微鏡觀察此安息香酸膽石醇的混濁液體時，發現此液體具有晶體所特有的異方向性特質，因此證實了液晶像的存在，也同時開啟了液晶材料的開發研究。 Reinitzer 後來走訪 Lehmann 深入探討這種物質的表現，其後兩人便命名這種物質為「 Liquid Crystal」，就是液態結晶物質的意思。Reinitzer 和 Lehmann 這兩人被譽為液晶之父。所以，我們可以將液晶態簡述成：當物質從有序 (order)晶體態之固體，加熱轉變無序(disorder)液體時，會有解於兩者之間，每一微結構單元不具固定位置，但具有大致相同的排列指向時的中間態，其具有 Friedrich Reinitzer 類似晶體晶格的分子結構，又具有液體可以改變分子位置及指向的可行性，故有許多有趣的物理現象及科技之應用。簡言之，可用下圖來表示，何謂液晶態： 12 液晶態液態晶體態 (liquid state) (solid crystal state) (liquid crystal state) 位置不固定指向不固定指向固定位置固定 random fixed fixed Random position orientation position orientation 後來又有許多科學家陸陸續續發現許多不同的液晶材料，許多有機化合物分子，如：hexylcyanobiphenyl (6CB)、sodium benzoate...等都為液晶材料，其分子結構大都為棒狀(rodlike)或碟狀(disklike)的非對稱結構，而它們的液晶像(特指：Nematic phase)會發生在不同的溫度範圍內，如下表所示為一些棒狀的液晶分子。然而，正因液晶分子容易因受外力作用而流動，且非對稱性分子有序排列時，材料具有類似單軸晶體的異向特性，也就是材料的光折射率、介電常數、磁化率、及黏度等特性會隨著方向的不同而有所差異。因此，在許多應用上，均是利用液晶分子受外界刺激後，分子的配列將發生變化，導致其光學或電氣特性也跟著變化，而將此材料應用於顯示器、光電元件、及感測器等元件上。 Crystalline solid ‧液晶材料： Liquid crystal ORDER Liquid DISORDER 13 液晶分子結構： hexylcyanobiphenyl (6CB) 位在溫度範圍 15oC<T<29oC 時，是一種線條式 (Nematic)液晶材料，當溫度加到 29oC 以上時，6CB 將會由線條式相變成均向性(isotropic)的狀態，我們可以這樣形容其相變：材料突然由白濁狀變得清晰。 6CB 的分子為柱狀式的結構，如下圖所示：其主要包含了兩個苯環 (benzene ring)以及兩個端點群(terminal group)。此為線條式液晶的典型結構，所謂液晶材料的指向是指統計上分子的長軸的指向。 14 如表所示，我們可以用下圖來表示典型長棒狀液晶的分子結構。其中，X 及 Y 為端點群，A 為連結群(linking group)用來連接不同的環狀系統(ring system)。 x A Y ‧環狀系統(ring systems)：環狀系統通常有三種方式組成：苯環(benzene,為未飽和系統)、環己烷 (cyclohexane,為飽和系統)、或者是兩者之組合，而現有的液晶分子至少都含有一個以上的環(苯基或環己烷基)。環己烷基環上僅有σ電子存在，苯基環上則含有π電子。環基的存在是用來提供短距離分子間的的作用力，其為形成間列式液晶相(nematic phase)的必要因素。它們將影響材料的吸收、介電係數的異向性(anisotropy)、雙折射性(birefringence)、彈性常數(elastic constants)、以及黏滯度(viscosity)。而σàσ∗之電子轉變為激發態的情況，會發生在材料吸收真空紫外波段光的時候(λ<180nm)。因此，在可見光波段，飽和性液晶材料幾乎不吸收光；相對的，在非飽和液晶材料中(如：5CB)， πàπ∗之電子轉變發生在材料吸收波長為λ=210nm 及 280nm 時。因此，材料在波長為 280nm 的光波段，有相當強的雙色性(dichroic ratio)，這個雙色性現象就是間列式液晶相有很強的介電係數異向性以及光雙折射性之來源。 ‧端點群 X (Terminal Group X, 又稱 Side Chain)：通常有三種組成方式：(1)烷基鏈(alkyl chain, CnH2n+1)、(2)烷氧基鏈(alkoxy chain, CnH2n+1O)、以及(3)雙鍵的 alkenyl chain 。這些鏈的長度將強烈影響間列式液晶相的彈性常數以及相變溫度。對於較短的鏈(n=1,2)，分子太堅硬而不易形成液晶相，當端點群有 n=3-8 之鏈長度時，分子較適合型成為間列式液晶相，然而當液晶分子化合物有更長的鏈時，材料就會形成層列式液晶相(nematic phase)。一般來說，鏈愈長，材料的熔點愈低，某些化合物是不規則且不能預測的，不論是碳分子數 n 為奇數或偶數，間列式變成均向式的相變溫度(通常稱之清晰點(clearing point 或 N-I point))為數目 n 的連續變化函數。一般來說，碳分子數 n 為偶數之材料的 N-I point 之溫度 15 較其為奇數的材料者低，通常將此效應稱為“奇-偶效應”(add-even effect)。雖然長鏈材料的熔點較低，但是它們的黏滯性較大，這對液晶顯示器較不利，因為較小的黏滯性能提供較快的時間反應，增加顯示的畫面改變速度 (frame rate)。 ‧連結群(linking group A)：連結群可以只是一個單鍵來連接兩個環狀系統，此類的液晶的俗名又稱為雙苯基(biphenyl)。而連結群若是含有環狀物，則其類液晶的俗名稱為三苯基 (terphenyl) ，其他較常見的連結群為： C2H4 (diphenylethane) 、 C2H2 (stilbene,二苯乙烯)、--CºC-- (tolane,二苯基乙炔)、--N=N-- (azobenzene,偶氮苯)、--CH=N-- (Schiff‘s base,偶氮苯)、以及 COO (phenyl benzene 苯基苯, ester 酯基)等結構。 ‧端點群 Y (Terminal Group Y)：端點群 Y 的角色為決定液晶材料的介電係數ε及係數的異向性 Δε (anisotropy)。在液晶顯示器中，操作電壓通常是門檻電壓 (threshold voltage)的數倍，而門檻電壓是定義成用來使液晶分子轉向的最小電壓。一般來說，門檻電壓反比於Δε的平方根，因此，通常顯示器的分子需要較大的介電係數的異向性來降低操作電壓。端點群 Y 可以是極性(polar)或非極性(nonpolar)分子。非極性的端點群 Y(如：烷基鏈, CnH2n+1)之Δε很小；相反的，極性的端點群(如：CN)則可貢獻很大的Δε。較常見的極性端點群 Y 有三種：CN、F、以及 Cl。其中，CN 具有最強的極性，導致液晶分子具有最大介電異向性Δε以及光雙折射性。但是，含有 CN 端點群的液晶分子亦有較大的黏滯性、電阻係數太小、以及 UV 光照下分子不穩定等問題。這些物理特性均會影響 TFT-LCD 的操作。舉例來說：含有 CN 之 Y 端點群的液晶分子不適合在高溫下操作，因此它們常用在投影式的顯示器；除此之外，在紫外光照射下這種液晶分子會被游離分解。相反的，含有 F 之 Y 端點群的液晶分子則具有較低的黏滯性、較大的電阻係數、以及紫外光照下分子相對較穩定等特性。但是，因為相對的這種分子的極性較弱，所以這種材料的介電異向性Δε，以及光雙折射性較小。 16 ‧共晶體 (Eutectic)：對顯示器應用而言，現階段還找不到一種液晶化合物能同時滿足顯示器對液晶分子要求的規格。舉例來說，5CB 這種液晶分子，熔點為 24oC，清晰點的溫度為 35.3oC，兩者之間是可以用來當作顯示器應用的間列式液晶相，但是這麼小的窗口對大部分工業應用的要求在-20 到 80 oC 溫度範圍是不夠的。已知通常兩種化合物的混合物會具有比純物質更低的熔點，熔點會與其混合比例有關，在所謂的『共晶點』，熔點將達到最小值。液晶混合物的清晰點為其組成的線性平均值。因此，綜合這兩種效應，兩種液晶分子的混合物將具有較寬的溫度範圍，維持在間列式液晶相以方便顯示器應用。舉例來說：MBBA 與 EBBA 兩種液晶分子的共晶混合物，維持在間列式液晶相的溫度範圍則為 0~60oC，比其純物質都來得寬。除了熔點外，許多其他的物理特性，如：介電常數、介電係數的異向性、彈性係數、雙折射性、以及黏滯性等都會與混合比例有關。在顯示器應用上，已經有許多不同的液晶混合物被設計出來以提供最佳的物理參數。 17 液晶相(Liquid Crystal phase)：通常液晶依幾何排列之結構不同分為三大類，稱為三種液晶相。下列為說明方便，我們皆以柱狀式液晶分子來圖示說明： (1).層列式(皂狀, smectic phase) ：同時具有一維(或兩維)的平移秩序以及排列指向的秩序，通常以 n 向量來表示分子長軸在統計上最常見的指向，稱之為"指向(director)"。 (2).間列式(線條式, nematic phase) ：只具有大範圍的分子長軸排列指向的秩序之排列方式。 r n director (3).膽固醇式(cholesteric phase) ：如圖所示，為一種層狀式結構，其排列方式在每一層與間列式液晶相相同，但每一層分子的指向還有旋轉，形成一種旋光性(chiral)分子結構，所以，其分子排列自發地圍繞與分子指向正交的軸，形成螺旋狀結構。其旋轉的方向可以是左旋(left-handed)或右旋 (right-handed)，由分子的旋光性(chirality)決定之。 18 r n p/2 19 Interesting pictures Calamitic molecule : a calamitic molecules has a big π-electron system Discoid molecule : a discotic charge transfer complex Nematic phase : nematic phases have only one order parameter: the direction 20 Nematic phase : discoid nematic phase 21 22 Smectic phase : Smectic A phases have a layer structure with perpendicular molecules, without further order inside the layer 23 Smectic phase : Smectic A phases have a layer structure with perpendicular molecules, without further order inside the layer 24 Smectic phase : Smectic B phase have a hexagonal packing Smectic phase : Smectic C are tilted 25 Smectic phase : Chiral dopands in smectic layers can cause helical twisting 26 ‧液晶相變 v.s. 溫度：層列式液晶相最接近固體的晶體態，而且有趣的現象*是：相同的液晶材料可形成層列式或間列式液晶相，相的變化與溫度有關，變化順序如下圖所示： Solid Crystal Smectic Nematic Liquid Crystal Isotropic Liquid 雖然，層列式液晶相有最規則的排列秩序，但是間列式與膽固醇式液晶相有較多的電光調制應用。通常在間列式液晶材料中，會出現許多不同的小區塊(domain)，每一小區塊內的分子同一指向，但不同區塊分子指向不同，造成不連續使得光散射，故材料看起來像是牛奶狀的液體，光的穿透率不佳，只有當材料內分子的指向在整個樣品中呈現相同的大尺度秩序時(意即，樣品內只有一個區塊)，樣品才會變成清晰狀，光才會有很好的穿透率。當溫度超過 N-I point 時，分子排列變成均向性的液體狀，也會讓樣品變成清晰且透明，因此，這個溫度又稱為清晰點(clearing point)。所以說，分子 27 指向有秩序的排列式液晶分子的最重要的特徵，也導引它具有一些重要的物理特性，接下來，我們將討論這些與液晶分子指向有關的物理特性。 1.4.1 液晶分子指向秩序參量 (Orientation Order Parameter) 在間列式液晶相，樣品內分子為柱狀型且每個分子的長軸大略都彼此互相 r 平行，因此在樣品內的任一點，可以定義一個向量 n 來表示在此點附近分子巨觀的指向。此向量一般稱之為指向(director)。在結構均一的間列式液晶樣品中，此指向向量在各點均為常數。但是在結構不均一間列式液晶材料中，會出現許多指向不同的小區塊，則此指向向量就會隨著位置改變，是位置 r 的函數 n( x, y, z ) 。 r 若將每個柱狀分子的長軸方向以一個單位向量來表示，則指向 n 可以視為在樣品內每一點附近小體積單元內，這些分子長軸單位向量的統計平均。液晶樣品的秩序參量(order parameter) S 可以定義為： S = 1 3 cos2 θ − 1 2 θ (1). 理想平行對準(perfectly parallel alignment): θ = 0 S= 1 1 3 cos2 0 − 1 = 3 − 1 = 1 2 2 (2). 完全任意指向(totally random orientation): θ = random S= 1 1 3 cos2 θ − 1 = random = 0 2 2 (3). 一般間列式液晶相：0< S <1。且為溫度的函數，當溫度伸高至清晰點時，S=0。典型的液晶樣品在低溫的時候，S=0.4~0.6 之間，趨近於清晰點時，S 會突然降至零。除此之外，S 的值會與液晶分子的結構有關，實驗觀察顯示：液晶分子若有環己烷 (cyclohexane ring)飽和環狀系統，S 的值會大於那些具有芳香族環狀系統(aromatic system)。 28 1.4.2 介電常數 (dielectric constant) 由於液樣品內分子為柱狀型不對稱，且層列式與間列式液晶相分子均有有序排列，因此樣品均有單軸對稱性(uniaxially symmetric)，對稱軸即平行於 r 指向向量 n 。也因為結構單軸對稱的結果，在平行於對稱軸及垂直於對稱軸的兩個方向上，材料的介電常數會不一樣，分別以ε//及 ε ⊥ 來表示。 ε⊥ ε // 介電係數的非均向性(dielectric anisotropy)定義為： Δε = ε // − ε ⊥ Δε的符號及大小對液晶材料在顯示器的應用性有莫大的重要性，特別是利用到材料之電光效應時。為說明此重要性，我們以一個外加電場在 z 軸的結構均一間列式液晶樣品為例子。由於非均向性，分子在外加電場下感應產生的電雙極矩(dipole moment)不會平行於外加電場之方向(除非，分子的長軸恰好平行或垂直於電場方向)，這會造成一個淨力矩來企圖轉動柱狀分子長軸對準電場之方向，因此，樣品可以是唯一電容裝置，巨觀的靜電位能 U 可以寫成：電極 U= 1 r r D⋅E 2 液晶樣品電容電極 E 代表電場，D 為材料內電位移場向量(又稱，電通密度向量)。在一般的均一性介質中，D 與液晶分子指向無關。而對單軸對稱液晶樣品，D 會與方向有關。若定義θ為指向向量與 z 軸之夾角，則電位移場向量之 z 軸上的分量與 E 的乘積可得靜電位能 U： D 2z 1 D z = (ε // cos θ + ε ⊥ sin θ )E ⇒ U = 2 ε // cos 2 θ + ε ⊥ sin 2 θ 2 2 對液晶分子有正介電非均向性( ε // > ε ⊥ )時，上式最小值(意即，最小靜電位能) 發生在指向向量平行於外加電場方向時，樣品會最穩定，這就是為什麼我們說液晶分子長軸方向會平行於外加電場的原因，也是用液晶來作電光調制控制光變化應用的原理。 29 1.4.3 折射係數 (Refractive index) 在玻璃樣品瓶中，間列式液晶樣品常會呈現不透光的牛奶狀流體。其原因是：樣品的折射係數擾動是隨意分佈不連續，就像一片毛玻璃，而入射光被此不連續的介面散射導致不穿透。前面說過，在無適當的邊界條件來控制液晶分子的指向時，樣品內部將有許多不同指向的間列式液晶小區塊，在這些小區塊界面上，折射係數不連續而導致入射光產生散射，樣品就呈現牛奶狀的不透光流體。相反的，若是以適當的處理樣品的邊界(如：摩擦玻璃基板上的配向層)，間列式液晶的三明治結構內的液晶分子就可以變成均勻同向的指向，解決小區塊的問題，讓入射光不再散射，如此的樣品將具有單軸光學對稱的行為，而有兩個主要的折射係數，分別稱之為尋常光折射率 no 及非尋常光折射率 ne， no 對應的是偏振方向垂直分子指向的傳播光所看到的折射率，而 ne 對應的則是偏振方向平行分子指向的傳播光所看到的折射率。因此，雙折射係數(或稱光的非均向性, optical anisotropy)可以定義為：雙折射係數(birefringence)定義為： Δn = ne − no ⎧ n > n o , 正雙折射 (positive birefringence) ⇒⎨ e ⎩n e < n o ,負雙折射 (negative birefringence) ne no 以古典的介電值理論而言，材料的折射率可以巨觀地視為不同頻率光激發分子極性變化的表徵，因此材料中存在光的非均向性之來源，可以視為材料本身非均向的結構所導致的結果。大部分的柱狀液晶材料均為正的雙折射係數，其係數差範圍大致在 0.05~0.45 之間。光激發之分子極性化作用主要是由將未參與化學鍵結的電子分離或分子鍵上的π電子所產生，故含有苯基環的液晶分子較含有環己烷基環的液晶分子有較大的雙折射效應；另外，如前所述以氰基(CN)還替換液晶分子的端點群，也可以增加其雙折射效應；另一種有效的增加雙折射效應(或 ne)的方法是引入三鍵(tolane)。一般來說，大部分的液晶分子之尋常光折射率 no 大約為 1.5 左右，即使在合成分子時引入不同的組成，也無法有效影響此數值，然而，對非尋常光折射率 ne 則有大幅的變化，如：含有 diphenyldiacetylenic 的分子可達 ne= 30 0.45；而含有 bicyclohexane 的分子之 ne 僅 0.06。後面的章節，我們會進一步的說明：材料之光非均向性是旋轉光偏振方向的必要因素，所以如何增加雙折射的效應，對液晶分子應用非常重要。 1.4.4 彈性係數 (Elastic constant) 如大部分的固體及液體一樣，液晶樣品具有曲度形變的伸縮性，液晶分子的彈性係數將決定樣品由平衡狀態受到擾動產生形變後恢復力矩的大小。在液晶顯示器中，外加電場經常用來重新指向液晶分子，因此外加電場所產生的力矩與彈性恢復力矩間的力平衡關係，將決定液晶分子的靜態平衡分布形式，進而決定樣品光電特性。一般來說，任何的液晶分子的靜態平衡分布情況都可由分解成下列三種基本的形式組合：散布(splay)、扭曲(twist) 以及彎曲(bend)。前人已經証明：對一個不可壓縮的流體之定溫下的變形，其自由能(或稱彈性位能)可以表示成與曲度形變張量之平方有關的形式。藉由 Oseen-Frank 的理論，可以將形變液晶樣品之彈性位能表示成： 31 F= r r r 1 1 r 1 r k1 (∇ ⋅ n ) 2 + k2 ( n ⋅ ∇ × n ) 2 + k3 ( n × ∇ × n ) 2 2 2 2 其中，k1, k2, k3 分別代表散布、扭曲及彎曲形變的彈性係數。正如其他的物理特性一樣，溫度會強烈地影響彈性係數。對大部分的液晶材料，彈性係數大約是 3-25 piconewton (10-12 N) 的範圍。 k3/k1 的比值大約是 0.7~1.8；而 k3/k2 的比值大約是 1.3~3.2。下表列出一些典型液晶分子的物理參數。 32 33 1.4.5 黏滯性---轉動黏滯性 (Rotational Viscosity) 流體的黏滯性指的是其內部阻止流動的阻力，定義成： Viscosity = shear stress (切應力 F/A) rate of shear (切應變變率ΔL/L0 ⋅ s) 黏滯性的主要來源是由流體分子間作用力產生。液晶樣品的黏滯行為對液晶顯示器系統的動態反應影響很大。而如同大部分液體，樣品的黏滯性在低溫時較大，因此減低了分子的動能，嚴重的限制液晶顯示器的操作。另外，在顯示器應用時會讓液晶分子旋轉，所以考慮黏滯性的影響時，最重要的參數是旋轉黏滯係數γ1 (rotational viscosity coefficient)，其提供了分子旋轉運動時的阻力，在大部分液晶顯示器中，分子指向會被外加電場而重新指向，其變化的反應時間大約正比於 γ1d2，d 代表液晶樣品的厚度。對大部分顯示器用的液晶樣品，旋轉黏滯性的大小約為 0.02~0.5Pa.s (大致上與輕機油相同)，20oC 的水之旋轉黏滯性約為 1.002 mPa.s，黏滯性的 Pa.s (pascal-second)的單位相當於 SI 標準單位的 1N.s/m2，或 10 poise (1 poise = 1 dyn .s/cm2)。實驗觀察可知：液晶分子具有較多的環或較長的烷基鏈(alkyl chain)，則會增加其黏滯性。除外，液晶分子若具有較大的Δε，則黏滯性也較大，其可能的原因是分子間距有較強的極性作用導致。 1.4.6 液晶分子排列(表面處理) Surface Alignment and Rubbing 液晶分子都是柱狀或碟狀分子，由於這兩種分子的不對稱的本質，液晶分子指向的分佈為決定顯示器應用之液晶晶包的光學特性最主要的因素，對大部分的液晶顯示器而言，都要求分子在整個的樣品晶包內有均勻或規則的排列，換言之，就是要求晶包內為單一區塊(single domain)。此時，晶包 34 的表面就可用來讓分子形成單一區塊的排列方式，若無特別的處理(物理或化學式處理)，液晶晶包內將產生多區塊(multiple domains)的分子分佈，產生不同指向且造成許多折射率不連續介面，這些介面及區塊將造成入射光散射，使樣品呈現霧狀不透光的情形。要解決這個問題，可用目前對液晶分子行為最清楚了解的觀點來出發，利用基板的表面處理來對準液晶分子的排列，此方法牽涉到液晶以及基板表面兩者間的物理特性，最重要的因素包括：偶極矩的相互作用(dipole interaction) 、化學鍵或氫鍵的結合力 () 、凡德瓦作用力 (Van der Waals interaction)、分子中原子之空間排列的因素(steric factor)、表面形狀(surface topography)、以及液晶分子的彈性。舉例來說，有一種方法是在玻璃表面沉積一層具有矽甲烷耦合基的分子，這些分子將引發液晶分子以垂直的方法附著在表面，進而造成晶包內分子的指向統一排列垂直於表面，稱之為均向性對準(Hometropic (vertical) alignment)，如下圖(a)所示。 Substrate Substrate (b) Parallel homeoptropic alignment (a) Homeoptropic (Vertical) alignment 要造成如圖(b)的平行式均向性對準(Parallel hometropic alignment)，亦即，分子指向均統一排列平行於表面，則必須要以物理或化學的方法處理表面，讓接近表面的分子指向有較高的意願對準平行於表面，其中，摩擦表面是一種簡單而有效的方法，常用的摩擦材料有亞麻製的布料或拭鏡紙。 35 摩擦表面處理 (Rubbing Surface)： Rubbing direction 雖然，摩擦表面的方法可以造成平行排列，但實際實行起來仍是一種藝術，它的原理普遍相信是因為摩擦使表面產生一種均勻且單一方向的斜面，此斜面為表面分子的附著鍵或邊鏈，而這些表面分子所形成的單一方向附著鍵斜面將導致附近液晶分子平行表面對準，進而造成晶包內液晶分子平行均向對準。因此，通常這些液晶分子不會完全平行於表面，而是沿著摩擦方向的有一點向上傾斜。稱之為預傾斜(pretilt)。 (1).預傾斜角(pretilt angle)：如上述，摩擦表面的方法將造成液晶分子指向有一個微小的傾斜，其與水平方向的夾角稱之預傾斜角。此角度對液晶晶包應用於電光調制，利用外加電場來重新指向液晶分子時，非常重要。因為，若無極性且起始的外加電場之方向垂直於分子軸向時，分子指向可以有兩種方式轉向到電場之方向，而預傾斜角可以讓分子順利地轉向且只有單一方向的旋轉。而單一方向的旋轉可以讓晶包維持單一區塊的分子排列形式，這是液晶顯示器必要的特性要求。然而，預傾角的方向與大小會受到晶包上下兩板的摩擦方向不同而有所差別，下圖有三種不同例子：(a).反向平行摩擦：產生均勻分佈之液晶晶包，分子的預傾角都一樣；(b&c). 同向平行摩擦：分子的預傾角的分佈則不均勻，可以是像(b)圖中，中間分子的角度為零的散布晶包(splay cell)，或者像(c)圖，中間分子的角度為 90o 的彎曲晶包(bend cell)。 36 (a) (b) (c) 對小預傾角度的晶包而言，散布晶包的彈性能密度最小，因此其最穩定，但是這種分子的預傾角的分佈是較不利於液晶電光調制之應用，外加電場下晶包內可能會產生多區塊的分佈。彎曲晶包又稱為π cell，最早是由 Bos 等人研發製作，用於電壓控制的波長板等應用。 (2).扭曲間列式液晶晶包(Twisted Nematic Liquid Crystal Cell, TN-LC)預傾角在製作 TN-LC 晶包中，亦扮演重要的角色。所謂 TN-LC 晶包是指上下兩層配向膜具有正交的摩擦方向，如下圖所示。摩擦的方向讓晶包確定具有完全 90o 的扭曲角(twist angle)。其實，對無極性或旋光性分子，柱狀分子在此邊界條件下，即使無預傾角，也會自動形成 TN-LC 的扭曲排列方式，不過會有兩個方向：左旋(left-handed)或右旋(right handed)。如果有微小的預傾角，則可確定只有一種扭曲方向會發生，下圖所示為右旋，因為上板的摩擦方向使液晶分子傾向右邊(正 z 方向)。 37 二、光波的偏極化 2.0. 光波的基本性質電磁學理論告訴我們：光可以視為是在空間中傳播的電磁波動。那波動是什麼？波動為物質介質的一種集體運動，在運動過程中，介質本身並不會前進，只是靠其運動而將能量傳遞出去，波動即在描述能量傳遞的情形。橫波，介質運動垂直於波前進方向；縱波，介質運動平行於波前進方向，如下圖所示。 z橫波 t=t1 Ψ(x,t)=0 t=t2 z縱波 t=t1 Ψ(x,t)=0 t=t2 一維波動方程式如下式： ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ = ∂x 2 v 2 ∂t 2 其餘弦波的解為： 2π ⎞ ⎛ ⇒ ψ ( x, t ) = A cos⎜ 2πft ± x ⎟ = A cos(ωt ± kx + δ ) λ ⎠ ⎝ 其中 θ ( x, t ) = ωt ± kx 為相位項，週期為， 1 A fixed time：2nπ 2(n+1)π Qθ = -A 2π λ Δx = 2π ⇒ Δx = λ fixed position： Qθ = 2πfΔt = 2π ⇒ Δt = 1/f 1 =T f 上圖與弦波有關的各項物理參數可以整理如下表：弦波的物理量因次單位相位(phase) θ 角度(弳度) 弳度 (rad) 波長(wavelength) λ 長度公尺(m), 微米 (μm) 波數(wave number) k=2π/λ 角度/長度弳度/公尺(rad/m) 頻率(frequency) f 1/時間 Hertz=1/second 角頻率(angular frequency) ω=2πf 角度/時間 rad/second 週期(period) T = 1/f 時間 second 振幅 (Amplitude) A = 振動大小與波的形式有關與波的形式有關波的速度與折射率：從波動方程式可解出行進弦波的解(又稱之為波函數Ψ(x,t))，可以看到其同時為時間與空間的函數，而弦波為無窮的週期性序列，因此如何可以表示出弦波往右或往左傳播(波傳播的方向)？又，弦波傳遞的速度有多快？這個問題，我們可以從波的特性來回答。所謂行進波就是指隨時間增加，介質分佈形狀會不變的在空間中前進，因此，可以想像一個人站在波峰上衝浪，若無摩擦力，這個人會一直站在波峰上，也就是它會看到一個固定的相位，對於波峰：θ=2π，所以若上式中取：θ = kx-ωt，則表示當 t 增加 2 時，x 也必須增加以保持固定的相位值，故波必須向右傳遞；反之則向左傳遞。 θ = kx-ωt：波向右行進 (向x增加的方向傳遞)。 θ = kx+ωt：波向左傳遞 (向x減少的方向傳遞)。傳播的速度呢？我們可以多作一點精確的數學推導即可得到： θ ( x, t ) = 2πft ± ⇒x= ⇒v= 2π λ x = 常數(固定之相位值) λ 常數 + λft 2π dx = λf dt 我們可以得到波傳播的速度為： v = λf = 2π ω ω = k 2π k 光波既然是波動的一種，所以上述波的性質均可套用在光波的運動內。不同之處整理如下：光波： 1.為一種電磁波，靠電磁感應產生波，不需傳播介質。 2.必須為橫波，波的行進方向為垂直電場及磁場方向。 3.必須滿足所有波的性質，如：折射、繞射、干涉及偏極化等以速度為例，光波的速度在真空中為 c = 299,792,458 m/s，但在不同介質中光波的速度不同，其速度與真空光速的比值稱之為材料的折射率(refractive index), n：在真空中： c = λ0 f or λ0 = c / f c n 在材料中： v = ⇒ λ = 1 c λ0 = nv n 3 其中，λ0 為真空中的波長，λ為材料中的波長。因此，我們可以得到在真空及材料中的波數分別為： k0 = ω 2π 2π 2π =n = nk0 = n 與k = λ λ0 c λ0 不同的波長在可見光範圍代表光波不同的顏色，由於光波在真空中的速度為一定值，故不同的波長將對應不同的頻率。所謂的白光是指所有許多波長的可見光以一定的比例來混成而得，而由於所有的波動均滿足疊加性原理，白光的許多特性可以視為單一波長(頻率)光之特性的疊加。因此，在討論光波的特性時，常以單色平面光波來討論，稱之為 monochromatic plane light wave。光波的前進方向(波向量 k 的物理意義): 上述一維的波函數之解ψ ( x, t ) = A cos(ωt ± kx ) ，可以看到波傳播的方向(向左或向右)可由其變數中的正負號來決定，並可決定波的速度，同樣的結果如何套用在三維空間上傳遞的波呢？我們可以用平面餘弦波來說明：一維的平面光波：我們知道當平面光波如一維的波動在固定 x 方向上傳遞時，如上圖可以得到此光波在 x 方向的週期為λ，對應的波數為 k =2π/λ，而 x 方向為波傳播之方向。所以，波函數的變數中，x 的係數 k 即為傳播方向的空間週期之倒數乘上 2π。 4 λ ψ ( x, t ) A cos(ωt − kx ) λ 波前 x 三維的平面光波：波前波前進方向 λ λy φ λx 對任意方向傳播的平面光波，則如何定義其傳播方向呢？簡單起見，我們以圖示在 x-y 平面傾斜φ角度前進的平面光波來說明：若以一維波動之方式 5 定義，在傳播方向之波數、x 軸上之波數、以及 y 軸上的波數滿足下列關係式： k= 2π λ , kx = 2π λx ,ky = 2π λy 則此平面波之波函數可以寫成： ψ ( x, y, t ) = A cos(ωt ± [k x x + k y y ]) 又，由上圖可以看到傳播方向之週期、x 軸上之週期λx、以及 y 軸上的週期 λy 間滿足： λx = λ cos φ , λy = λ sin φ ⇒ k x = k cos φ , k y = k sin φ r 換言之，若我們重新定義一個新的物理量---波向量(wavevector) k ，其方向 r 為光波前傳遞的方向，而大小為 k = k = 此平面波之波函數可以改寫成 2π λ ( 。 r r ) ψ ( x, y , t ) = A cos(ωt ± [k x x + k y y ] + δ ) = A cos ωt ± k ⋅ r + δ r 其中， r = xxˆ + yyˆ + zzˆ 為位置向量。因此，推廣到三維的平面波的波函數均可寫成： ( r r ψ ( r, t ) = A cos ωt ± k ⋅ r + δ ) r r 其中， r = xxˆ + yyˆ + zzˆ 為位置向量， k = k x xˆ + k y yˆ + k z zˆ 為波向量 r r 又 k ⋅ r = k x x + k y y + k z z ，則此平面波之波函數可以改寫如下式： ( ) r r ⇒ ψ ( r, t ) = A cos ωt ± k ⋅ r + δ = A cos(ωt ± [k x x + k y y + k z z ] + δ ) 其中，kx, ky, kz 分別為波向量在 x, y, z 軸上的分量。而，波向量的方向即為光波波前傳播的方向。所以，我們可以用波向量的角度重新檢查 Snell 法則，以了解光波遇到界面時，傳遞方向的重要概念，如圖所示： sin θ i = λi λ & sin θ t = t AD AD sin θ i sin θ t n sin θ i n t sin θ t 1 = = ⇒ i = λi λt λ0 λ0 AD ∴ (1). n i sin θ i = n t sin θ t (2). k i sin θ i = k t sin θ t ⇒ 6 θi λi λt θt 式(1)即為 Snell’s law，從上式(2)，我們可以看到光波遇到界面時，因介質折射率不同而產生折射現象，讓傳遞方向改變，其角度改變的大小必須讓兩界面內的波向量在邊界上之分量一樣大，因而決定了界面折射波前傳播的方向。波的振動方向(偏極化的物理意義): 要再強調的是：由於光波為橫波，所以光波振動的方向一定垂直於波向量的方向。換言之，若將光波的傳播方向以波向量定義，則因為振幅振動亦是有方向性的，我們可以把其放入振幅項中，以向量來重新定義，故光波之波函數應為向量，可以更精確重新寫成： r r ( r r ψ ( r, t ) = A cos ωt ± k ⋅ r + δ r ) 其中， A 為振幅向量，它的方向一般稱之為波的偏極化方向。對光波而言，此方向稱為光的偏極化(polarization)，在均向性介質(isotropic medium)中，其一定位在波前進方向的橫截面上，所以，依據向量原理，在橫截面上可以找到兩個正交獨立的分量，來解析描述光的偏極化之傳播特性。在均向性介質中，可以任意取得這兩個方向，只要其為相互正交即可。若光的偏極化在這兩個方向的分量毫無關聯性(uncorrelated)，則向量相加所得的偏極化方向在時間上則無一固定的方向，稱之為非偏極化光(Unpolarized light)，自然界的熱光源均為非偏極化；相反的，若光偏極化為固定的方向，稱之為線性偏極化光(linearly polarized light)。介於兩者之間，或是在不同的介質 7 中傳播(如：液晶)，光的偏極化之特性將有許多不同的風貌，而造成許多應用，將在本章中詳細的討論，以作為學習分析液晶顯示面板的基礎。 8 2.1.單色平面光波與其偏極狀態(Monochromatic plane wave and their polarization states) 2.1.0 單色平面光波首先，我們說明單色平面波的偏極化性質。要精確的寫下光波的形式，就必須從電磁學理論來出發，導出光波的波動方程式： Maxwell equations: r r r ∂H ∇ × E = − μo ∂t r r 1 r r ∇⋅E = − ∇⋅P εo r r r r ∂E ∂P r ∇ × H = εo + +J ∂t ∂t r r ∇⋅H = 0 波動方程式 (wave equation) r r r r r r 1 ∂2E ∂J ∂2P ∇ × (∇ × E ) + 2 2 = − μ o 2 − μ o c ∂t ∂t ∂t r 這個方程式中， ∇ 為作用運算子，在(x, y, z)直角座標系下，可以寫成： r ∂ ∂ ∂ ∇= xˆ + yˆ + zˆ ∂z ∂x ∂y 考慮一維的情況，可以只取其中一項代入波動方程式，並簡單只考慮真空中光的傳播(P=0, J=0)，波動方程式即可化簡得： r r ∂2E 1 ∂2E + =0 ∂z 2 c 2 ∂t 2 此與一般力學波之動方程式 ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ 形式一樣，所以光波實際上滿足所 = ∂x 2 v 2 ∂t 2 有波動的性質。對應兩個方程式，我們可以看到：光波的振幅實際上就是電場(或磁場)，且為橫波行進波的形式，所以套用波動的定義，光波的偏振方向，可以定義為：電場振動的方向，光前進的方向一定垂直於此方向。對廣義三維的單色平面波的話，假設最簡單的例子，單色平面波在均勻的 r r r 介電質內傳播，其中， P = ε 0χE, J = 0 代入波動方程式，即可化簡： 9 r r r r r r r r r 1 ∂2E ∂2 r 1 ∂2E ∂2 ∇ × ( ∇ × E ) + 2 2 = − μ o 2 P ⇒ ∇ × ( ∇ × E ) + 2 2 = − μ o 2 ε 0 χE ∂t ∂t c ∂t c ∂t r r 2 2 r r r r r r ∂ E ∂ E ⇒ ∇ × (∇ × E ) + μoε 0 (1 + χ ) 2 = 0 ⇒ ∇ × (∇ × E ) + μoε 0ε 2 = 0 ∂t ∂t r 2 2 r r r n ∂ E ⇒ ∇ × (∇ × E ) + 2 2 = 0 c ∂t r c n 其中，折射率的定義為 v = ⇒ n ≡ με 。上式可套用波向量 k 的觀念來寫平面光波的波函數。意即，波函數可以寫成： r r r r r 2π E( r , t) = A cos[ωt − k ⋅ r + δ ], 其中：k = n λ0 或以複數的方法寫成： r r r r E = A cos[ωt − k ⋅ r + δ ] rr r i [ωt − ( n 2λπ )k̂⋅rr ] r r 0 ⇒ E = Ae i [ ω t − k ⋅ r ] = A e 其中，A 為複數向量。 rr r r r r r r r E = Re{Ae i [ωt − k⋅ r ] } = A cos[ωt − k ⋅ r + δ ] = A cos[ωt − ( n 2λπ0 )k̂ ⋅ r + δ ] 同樣的，波動方程式中，為作用運算子，在極座標系下，可以得到： r r r r r r r r r r ∂ r ∇ × E = -ik × E, ∇ ⋅ E = -ik ⋅ E = 0 (Q k ⊥ E), E = iω ∂t 代入波動方程式，即可化簡得： r r r ω (iω ) 2 r 2π 2π ( −ik ) × ( −ik ) × E + n 2 E = 0 ⇒ k = n = n = λ0 λ c c 其中，要再強調的是：n 為材料的折射率，其定義為材料中光速與真空中光速的比值。而我們可以看到，若以複數形式寫出光波函數，折射率會位在指數項，所以當材料是透明不吸收光的話，折射率是實數，與光的波長有關，稱之為光的色散效應(optical dispersion, chromatic dispersion)；對於吸收光材料，折射率必為複數(complex number)，以提供指數的衰減項。其次，若要以指數形式來寫光的波函數以方便數學計算時，要特別小心地是：波函數中只有實數項才是有物理意義，當我們的計算牽涉到兩波函數的乘積時(如：計算光波的強度、Poynting vector)，則不能直接相乘，必須使用實數項來作計算。 10 從 Maxwell 的方程式來看，磁場與電場的形式是對稱的，我們可以把上述對光波之電場的描述，對磁場計算一次，可以得到磁場與電場的波函數形式相同，這就是描述光波是一種電磁波的由來。故，光波： r r i [ωt − ( n ω )k̂⋅rr ] c E = Ae 既然光波必為橫波，而我們又把光波的偏振方向定義為電場的方向，從這些討論可以看到：若我們將光波傳播方向設定為 z-方向，則平面單色光波的電場振盪一定在其橫向截面上(意即：xy-平面)，且為餘弦函數，以向量的觀念，可以把其寫成兩個正交獨立的分量： E x = Ax cos(ωt − kz + δ x ) E y = A y cos(ωt − kz + δ y ) 假設光往 z 方向傳播 → k // z r r k⋅E=0 ⇒ E x = A x cos[ωt − kz + δ x ] E y = A y cos[ωt − kz + δ y ] 其中，下標分別代表在 x 或 y 方向之分量，我們以兩個獨立且正值的 Ax, Ay 來表示振幅項，加上兩個獨立變化的δx, δy 來表示相位項，可以組合成電場的兩個正交獨立分量之一般式。因為，我們定義振幅為正值，所以相位角則限制在-π<δ<π之間。由於，上述的通式代表電場的 x, y 分量可以在相同的頻率下獨立的振盪，因此我們可以把光波偏振現象的探討，簡單的想成兩正交振盪分量的向量疊加，而這個疊加的問題早在古典力學時就已經探討過，可以視為二維簡諧振盪的情形，一般稱為利薩如圖形，在相位項δx, δy 及振幅項 Ax, Ay 均不同時，它的運動軌跡為一個傾斜的橢圓。在光學中，我們把光波的偏極化命名為“偏振態” (polarization state)，所以此狀態稱之為 11 “橢圓偏振態”，換言之，在任一橫截面上，隨時間的變化，我們可以看到偏振態之向量的端點在一個橢圓上旋轉。為了簡單而且具體的描述光波偏振態的不同情形，我們讓 z=0，來看原點截面上偏振態(i.e.電場向量)的時間反應，電場分量可化簡成： E x = A x cos[ωt + δ x ] E y = A y cos[ωt + δ y ] 其中，我們可以把兩分量的相對相位定義成： δ = δ y -δ x ⇒ -π < δ < π 雖然，一般情況下電場向量端點之軌跡為橢圓，但在δ, Ax, Ay 為特殊值的情況下，軌跡會是特殊的形狀，我們可以將偏振態分類成下列三種情況： (1)線性偏振態； (2)圓偏振態； (3)橢圓偏振態。線性偏振態(linear polarization state)： δ = δ y − δ x = 0 or π ⇒ Ey Ex = Ay Ax or − Ay Ax 線性偏振態是指光波之電場的振動方向在 xy-平面上為固定的方向，上述情況則代表振動方向會固定沿著斜率為 Ey/Ex 的傾斜線之方向。線性偏振光又稱為“平面偏振光”，因為若我們檢查在某一固定時間下，光波電場在空間之分佈，可以看到其為被限制某一平面上的餘弦振盪函數。舉例來說，若取 t = 0，則電場分量為： E x = A x cos[−kz + δ x ] E y = A y cos[− kz + δ y ] & δ = δ y − δ x = 0 or π 則光波電場在空間之餘弦振盪分佈，將被限制在斜率為 Ey/Ex 的傾斜線與 z-軸組成的平面，故線性偏振又稱為“平面偏振”，兩個名稱可以互通的。因為簡單，線性偏振光是應用最廣的偏振光。圓偏振態(Circular polarization state) ： 12 π δ = δ y − δ x = ± , Ax = A y = A 2 ⇒ E x = A cos(ωt + δ x ), π⎞ ⎛ E y = A cos⎜ ωt + δ x ± ⎟ = m Asin(ωt + δ x ) 2⎠ ⎝ ⇒ E x2 + E y2 = A 2 圓偏振態是指光波之電場向量會在 xy-平面上，以ω的角速度均勻的旋轉，因此從上式來看：向量的端點之軌跡則在半徑為 A 的圓上。 δ = ±π/2，讓圓偏振態的電場可能有兩個旋轉方向。若光往正 z 方向前進，δ = −π/2，稱之為“右旋圓偏振光”(right-hand circularly polarized)或δ=π/2，稱之為“左旋圓偏振光” (left-hand circularly polarized)，我們將其與近代物理中，對光子角動量的定義整合，整理成下表的關係：從上表可以看出：若我們以拇指為光波前進的方向，“右旋”指的是以右手定則來比，另四肢手指所指的方向為電場旋轉的方向，而“左旋”為其鏡像，是以左手來比，四肢手指所指為電場旋轉的方向。或者，當我們面對光來的 13 方向時， “右旋”代表電場以逆時針方向旋轉， “左旋”則代表電場以順時針方向旋轉。另外，從上述可知，圓偏振態的光波形成之條件為：x, y 軸的分量將具有相同的振幅及±π/2 的相位差，而造成電場以定大小，但方向以ω角速度在 xy平面旋轉；換言之，我們可以在 xy-平面取任一組兩正交的方向當作新的 x, y 軸，而圓偏振態的光波在新的方向上的兩分量，還是具有相同的振幅及 ±π/2 的相位差。此特性也代表，我們無法用單一的偏振板來分辨光波是圓偏極化光或非偏極化光，因為兩者不管偏振板的軸向如何旋轉，光的穿透強度都為一個定值。橢圓偏振態(Elliptic polarization state) ：當上述兩個特例都不滿足時，光波之電場向量的端點會在 xy-平面上，以ω 的角速度畫出橢圓的軌跡，稱之為橢圓偏振態，而對光波稱之為橢圓偏極化光。我們可以由 x, y 軸的分量當作參數式，導出 z=0 的截面上，電場端點的軌跡方程式： E x = A x cos[ωt + δ x ] ⇒ E x = A x [cos ωt cos δ x − sin ωt sin δ x ] E y = A y cos[ωt + δ y ] ⇒ E y = A y [cos ωt cos δ y − sin ωt sin δ y ] ⎧ ⎡ Ex ⎤ Ey sin δ y − sin δ x ⎥ ⎪ cos ωt = ⎢ Ay ⎪ ⎣⎢ A x ⎦⎥ cos δ x sin δ y ∴⎨ ⎪sin ωt = ⎡ E x cos δ − E y cos δ ⎤ ⎢ y x⎥ ⎪ Ay ⎢⎣ A x ⎥⎦ sin δ x cos δ y ⎩ 1 − cos δ y sin δ x 1 − sin δ y cos δ x ⎡E ⎤ Ey 1 ⇒ cos ωt = ⎢ x sin δ y − sin δ x ⎥ Ay ⎢⎣ A x ⎥⎦ sin (δ y − δ x ) ⎡E ⎤ Ey 1 sin ωt = ⎢ x cos δ y − cos δ x ⎥ Ay ⎢⎣ A x ⎥⎦ sin (δ x − δ y ) 其中 sin(δy- δx) = sinδ，又從上兩式中，平方相加消去ωt 項，可得其軌跡方程式： 1 sin 2 δ 2 2 ⎡⎛ E ⎤ ⎞ ⎛ ⎞ E E E y y ⎢⎜ x sin δ y − sin δ x ⎟ + ⎜ x cos δ y − cos δ x ⎟ ⎥ = 1 ⎟ ⎥ ⎜A ⎟ Ay Ay ⎢⎜⎝ A x ⎠ ⎦ ⎝ x ⎠ ⎣ 14 2 2 ⎛ Ey ⎞ ⎞ ⎟ (sin 2 δ x + cos 2 δ x ) ⎟⎟ (sin 2 δ y + cos 2 δ y ) + ⎜ ⎜A ⎟ ⎠ ⎝ y⎠ E Ey (sin δ y sin δ x + cos δ y cos δ x ) = sin 2 δ −2 x Ax Ay ⎛E ⇒ ⎜⎜ x ⎝ Ax 又 cos(δy−δx)=cosδ， ⎛E ⇒ ⎜⎜ x ⎝ Ax 2 2 ⎞ ⎛ Ey ⎞ ⎟ − 2 cos δ E x E y = sin 2 δ ⎟⎟ + ⎜ ⎜A ⎟ AxA y ⎠ ⎝ y⎠ 上式微一圓錐曲線之橢圓方程式，其曲線的範圍很明顯地限制在長度與寬度分別為 2Ax, 2Ay 的矩形中。若 x, y 分量的參數式中滿足： Ax ≠ A y δ= π 2 2 ⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞ ⎟ =1 ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ Ax ⎠ ⎝ A y ⎠ ⇒ 2 曲線則可化簡成以 x, y 為主軸的正橢圓，及兩軸截距(semi-axis)分別為 Ax, Ay。而若通式中，δ ¹ π/2 則以 x, y 軸來看，軌跡則為一個傾斜的橢圓，我們可以用座標變換的方法，如圖所示將座標系旋轉角度φ，得到新的座標系 (x‘, y‘)，讓(x‘, y‘)座標軸方向沿著此橢圓的主軸上，則軌跡可以看成正橢圓，方程式變成： 2 2 ⎛ E x' ⎞ ⎛ E y' ⎞ ⎟⎟ = 1 ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ y' y aφ b x' x 其中，a, b 為橢圓的兩半軸長，也就是 x‘, y’軸上的截距，而此兩個參數及角度φ可從座標變換求得，如下： E x = E x ' cosφ − E y ' sin φ E y = E x ' sin φ + E y ' cosφ 代入方程式中，可得： 15 2 2 ⎛ E x ' cos φ − E y ' sin φ ⎞ ⎛ E x ' sin φ + E y ' cos φ ⎞ ⎟ ⎟⎟ + ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎟ A A x y ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ cos δ (E x ' cosφ − E y ' sin φ )(E x ' sin φ + E y ' cosφ ) = sin 2 δ −2 AxA y 上式可經代數化簡如下： 2 ⎛ cos 2 φ sin 2 φ ⎞ ⎛ 2 ⎞ cos δ ⎟ + E 2y ' ⎜ sin φ + cos φ + 2 cos δ cos φ sin φ ⎟ + − E 2x ' ⎜ 2 cos sin φ φ ⎜ A2 ⎟ ⎜ A2 ⎟ AxA y AxAy A 2y A 2y x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎛ 2 ⎞ ⎜ 2 cos φ sin φ − 2 cos φ sin φ ⎟ Ax Ay ⎜ ⎟ = sin 2 δ − E x' E y' ⎜ ⎟ cos δ cos δ cos 2 φ − 2 sin 2 φ ⎟ ⎜⎜ + 2 ⎟ AxA y AxA y ⎝ ⎠ 因為新的座標系來看為正橢圓，故交叉項係數為零： 2 2 cos δ cos δ cos φ sin φ − 2 cos φ sin φ + 2 cos 2 φ − 2 sin 2 φ = 0 2 AxA y AxA y Ax Ay ⎛ 1 1 ⎞ cos δ ⇒ ⎜ 2 − 2 ⎟ sin 2φ = −2 cos 2φ ⎜A ⎟ A A A x y x y ⎝ ⎠ 2A x A y cos δ ⇒ tan 2φ = 2 A x − A 2y 而半軸長 a, b 分別為： 1 1 = 2 a sin 2 δ ⎛ cos2 φ sin 2 φ ⎞ cos δ ⎜ + −2 cosφ sin φ ⎟ 2 2 ⎜ A ⎟ Ay AxA y x ⎝ ⎠ 1 1 = 2 b sin 2 δ ⎛ sin 2 φ cos2 φ ⎞ cos δ ⎜ 2 + ⎟ + 2 cos φ sin φ 2 ⎜ A ⎟ A A A x y x y ⎝ ⎠ 再者，橢圓的面積不會因座標變換而改變，所以：橢圓面積 = πab = πAx Ay sin δ ⇒ sin δ = ab Ax Ay 代入上式，a, b 可進一步化簡成： 2 2 1 AxA y = 2 2 a2 ab ⎛ cos2 φ sin 2 φ ⎞ cos δ ⎜ ⎟ 2 cos φ sin φ + − 2 ⎜ A2 ⎟ A A A x y x y ⎝ ⎠ ⎛ sin 2 φ cos2 φ ⎞ cos δ ⎜ 2 + +2 cos φ sin φ ⎟ 2 ⎜ A ⎟ Ay AxA y x ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 ⇒ a = A x cos φ + A y sin φ + 2A x A y cos δ cos φ sin φ 2 2 1 AxA y = b2 a 2b 2 b2 = A 2x sin 2 φ + A 2y cos2 φ − 2A x A y cos δ cos φ sin φ 16 其中，角度φ 與舊座標參數之關係為： tan 2φ = 2A x A y A 2x − A 2y cos δ 要再強調的是：若座標變換旋轉角度為φ+π/2，由圖可知，仍然可以得到同樣是正橢圓之情況，但 x‘, y’軸交換。而電場旋轉的方向可由 sinδ來決定： ⎧sin δ > 0 → 順時針(clockwise) ⎨ ⎩sin δ < 0 → 逆時針(counterclockwise) 下圖，我們給一些橢圓偏極化的例子： (a) E x = cos[ωt − kz ], E y = cos[ωt − kz + δ ] 17 (b) E x = 0.5 cos[ωt − kz ], E y = cos[ωt − kz + δ ] 從上圖，可以看到軌跡的橢圓形狀會同時受到δ及 a, b 的比例之影響，根據圓錐曲線定義，此偏振態橢圓的橢圓率為： e=± b a a, b 的比例差越多，偏振態橢圓會越扁，a=b 時，為圓偏振態。當橢圓率 e >0 時，電場為“右旋”；反之， e < 0 時，電場為“左旋”。 18 2.2. 偏極狀態之複數表示法 (Complex-number representation of polarization states) 從上一節的討論，我們可以知道：如何利用電場在 x, y 軸分量的振幅及相位關係，來表示單色的平面光波之偏振態。事實上，光波偏振態所有的資訊，都包含在電場複數指數表示式中的振幅向量 A 中。因此，我們可以定義一個複數χ如下，即足以說明光波的偏振態： χ = eiδ tan ψ = Ay i (δ y −δ x ) e Ax 其中，0<ψ<π/2，換言之，以複數χ之實部與虛部所組成的複數平面上每一點將對應一種光波的偏振態，其對應關係我們在下一頁說明，在此，我們先用橢圓的傾斜角φ與橢圓率 e 來說明，因為只要有這兩個參數就可繪出橢圓的形貌，故我們只需找到其與複數χ的實部與虛部對應關係即可証實，複數表示法亦可對應所有的光波偏振態。若我們定義偏振橢圓的傾斜角為φ與橢圓率角θ = tan-1e，則可得到如下的關係式： tan2φ = 2 Re[χ ] 1- χ 2 = tan 2ψcosδ , sin 2θ = − 2 Im[χ ] 1+ χ 2 = − sin 2ψsinδ 証明如下 tan2φ = 2 Ax Ay cosδ Q Re[χ ] = A −A 2 x Ay Ax 2 y 2 = Ay cosδ Ax A 1− 2 cosδ , χ = 2 y = 2 Re[χ ] 1- χ 2 = 2 tan ψ cos δ = tan 2ψcosδ 1 − tan 2 ψ 2 x A Ay2 2 x A , tan ψ = Ay Ax 2 Ax Ay sinδ 2ab sin 2θ = 2 sin θ cos θ = − 2 =− =− 2 a +b Ax2 + Ay2 =− Q Im[χ ] = 2 Im[χ ] 1+ χ Ay Ax 2 2 Ay Ax 1+ sinδ Ay2 Ax2 = −2 sin ψcosψsinδ = − sin 2ψsinδ 2 sin δ , χ = A y2 A 2 x , a 2 + b 2 = Ax2 + Ay2 , ab = Ax Ay sin δ 19 tan ψ = Ay Ax tan θ = − ⇒ sin ψ = Ay Ax2 + Ay2 , cos ψ = Ax Ax2 + Ay2 b −b a ⇒ sin θ = , cos θ = a a 2 + b2 a 2 + b2 複數表示法的複數平面：既然我們可以找到橢圓的傾斜角φ與橢圓率 e 與複數χ的實部與虛部對應關係，即代表複數χ之實部與虛部所組成的複數平面上每一點將對應一種光波的偏振態，下圖所繪即為每一點對應的橢圓形貌。可以看到： (1) 所有右旋偏振態均落在下半平面。 (2) 所有左旋偏振態均落在上半平面。 (3) x 軸(實數)上每一點均對應不同傾斜角的線性偏振態，而原點則對應平行 x-軸的水平偏振態。 (4) y 軸(虛數)上每一點均對應不同橢圓率的正橢圓偏振態，而(0, ±1) 兩點則對應圓偏振態。 (5) 其餘各點分別對應廣義的其他橢圓偏振態。 20 2.3. 偏極狀態之 Jones 向量表示法(Jones vector representation of polarization states) 1941 年 R. C. Jones 引入另一種方便數學運算的方法來表示平面光波的偏振態，稱之為 Jones 向量，其將電場之複數振幅的 x 及 y 軸分量組合成一個單欄的向量矩陣，如下 ⎛ Ax eiδ x ⎞ ⎟ J = ⎜⎜ iδ y ⎟ A e ⎝ y ⎠ 這裡要強調的是：Jones 向量是一個複數向量，意即單欄向量矩陣的兩個元素均為複數，故我們從電場的複數表示法可知，Jones 向量不是一個真實物理空間上的向量，只是方便我們做數學計算之假想性的向量。若要得到真正的電場在 x 軸上的分量，則我們必須對 Jones 向量執行下列運算： [ ] [ E x (t ) = Re J x eiωt = Re Ax ei (ωt +δ ) ] 當然，Jones 向量包含了完整的電場向量之振幅與相位資訊，其可用來詳述任何一種光波偏振態。假如我們只對光波的偏振態有興趣，通常會只使用歸一化的 Jones 向量(Normalized Jones vector)來表示，意即這些 Jones 向量滿足： J * ⋅J = 1 ⇒ J = ⎛ Ax eiδ x ⎞ ⎜ ⎟ iδ y Ax2 + Ay2 ⎜⎝ Ay e ⎟⎠ 1 以歸一化的 Jones 向量我們可以將前面所提到的三種主要偏振態表示如下：線性偏振態：與 x 軸夾的傾斜角為ψ： (orthogonal) ⎡cosψ ⎤ ⎡ − sinψ ⎤ 正交 = J=⎢ ← ⎯ ⎯ ⎯ → J ψ + π / 2 ⎥ ⎢ cosψ ⎥ J *⋅ Jψ + π / 2 = 0 ⎣ sinψ ⎦ ⎣ ⎦ ‧ ψ=0 → x 軸； ψ = π/2 → y 軸 ⎛ 1 ⎞ (orthogonal) ⎛ 0⎞ ⎯ ⎯→ y = ⎜⎜ ⎟⎟ x = ⎜⎜ ⎟⎟ ←⎯正交 x *⋅ y = 0 ⎝ 1⎠ ⎝ 0⎠ 圓偏極化： 21 右旋： R= 1 2 ⎡1⎤ ⎢− i ⎥ ⎣ ⎦ 左旋： (orthogonal) ←⎯正交 ⎯ ⎯→ R *⋅ L = 0 1 2 L= ⎡1⎤ ⎢i ⎥ ⎣⎦ 橢圓偏極化： ⎡ cosψ ⎤ J = ⎢ iδ ⎥ ⎣e sinψ ⎦ δ = δ y − δ x , tan ψ = 其中： ⇒ sin ψ = Ay A +A 2 x 2 y Ay Ax , cos ψ = Ax A + Ay2 2 x 22 幾種偏振態的 Jones 向量表示式：我們將幾種常見的偏振態之 Jones 向量與其他表示法的關係整理如下表，以資比較： 23 正交 Jones 向量基底(Jones vector basis)：既然 Jones 向量一定是只有兩個元素的單欄矩陣(rank=2)，則任何兩個正交的歸一化 Jones 向量就可以代表兩個方向，組成基底來展開其他任何一個 Jones 向量。舉例來說，右旋與左旋的圓偏振態(R, L)都可以表示成(x, y) 向量的線性疊加，反之亦然。關係如下： 1 (x − iy ), 2 1 (R + L ), x= 2 R= 1 (x + iy ) 2 1 (R − L ) y= 2 L= 從上式來看，圓偏振態可以由相同振幅 1 / 2 、但相位相差π/2 的 x 與 y 兩個方向分量組合起來，這與我們直接用光波電場偏振向量的表示方法來看，不謀而合但卻簡單很多且可直接運算。因此，我們可以說 Jones 向量表示法是最有利於數學計算的光波偏振態表示法。在接下來的章節中，我們將可看到 Jones 向量加上 Jones 矩陣計算，即可計算分析光波在所有光學元件中傳播對其偏振態改變的情形，液晶顯示器亦不例外。 24 2.4. 部分偏極化及非偏極化光 (Partially polarized and Unpolarized Light) 單色的平面光波本質上必須為偏極化光(因為“平面光”的振幅向量必須為常數)，意即：在傳播路徑上每一點，其電場向量的端點會在一個定橢圓(或其他形式，如：圓、直線)的軌跡上週期性的旋轉運動。但是，假如光源不是理想的單色光，則因不同波長的單色光各有其電場振幅及相位，疊加後總電場在 x, y 軸分量的振幅與相位將會隨著時間而變，故電場端點的軌跡會在不同色光形成的橢圓偏振態間來回振盪，造成多色平面光波 (polychromatic plane wave)的偏極化會隨時間而改變，而通常光波振動的頻率 (~1014Hz) 或偏振態改變時間週期 (~10-8sec) 都遠比偵測的元件反應速度快很多，我們無法直接觀察電場隨時間的變化，只能量其時間的平均值，所以我們就利用光波偏振態的時間平均行為來定義光波的部分偏極化或非偏極化之狀態。 r Aω rr r r E total (t ) = ∑ Aω ei [ωt − k⋅r +δ ω ] ω r r ⇒ E detector = E total (t ) 現在，讓我們來討論光波頻率範圍限制在某個窄頻寬 Δω 的類單色光 (quasimonochromatic wave)的情況(i.e. Δω<<ω)。對此種光波，若假設其中心頻率為ω，我們還是可以用單色光波函數的複指數形式來描述，但是其中的振幅向量 A 的條件就必須適度的放寬，變成與時間有關的項： rr rr r r r r E = Ae i [ωt − k⋅ r ] ⇒ E = A(t)e i [ωt − k⋅ r ] 因為此光波的頻寬Δω很窄，所以，在 1/Δω的時間範圍內，A(t)隨時間的變化量很小，換言之，若以時間為變數，A(t)是一個緩變函數。然而，若偵測器的時間反應常數τD 大於 1/Δω，則在τD 的時間範圍內 A(t)隨時間的變化就可以被觀察到。因此，在此情況下，雖然光波的振幅與相位會隨著時間而不規則變化，但是這些不規則變化之間仍可能存在某種程度的關聯性， 25 也就是說，振幅 A(t)的時間平均值可能不會是零。我們即可用下列的定義來描述非理想單色平面波的偏振態。圖示完全偏極化、部分偏極化及完全非偏極化 (Complete polarized, Partially polarized and Unpolarized) 以線性偏極化為例完全非偏極化完全偏極化部分偏極化 or Stokes 參量(Stokes parameter) ：我們引進所謂的“時間平均參量”來描述定義部分偏振態及非偏振態： S0 = Ax2 + Ay2 , S1 = Ax2 − Ay2 S2 = 2 Ax Ay cos δ , S3 = 2 Ax Ay sin δ 其中，振幅 Ax, Ay 與相對相位δ=δy-δx 假設為時間函數；雙引號則代表這些參量在偵測器的時間反應常數τD 內的時間平均值。這四個參量一般稱之為類單色平面光(quasimonochromatic wave)的 Stokes 參量(Stokes parameter)。要注意的是：這四個量均含有相同的光強度之因次 (dimension of intensity)，而且滿足下列關係式： S02 ≥ S12 + S22 + S32 其中，“等號”只有在光波為完全偏極化光才成立。我們可以用幾個例子來說明如何計算 Stokes 參量： (1).完全非偏極化光：由於光的偏振態在 x, y, 方向並無特殊偏好，故對 Ax, 26 Ay 亦無偏好，則可得： Ax2 + A y2 = 2 Ax2 , Ax2 − A y2 = 0 δ is random → cos δ = sin δ = 0 → S 2 = S 3 = 0 For normalized case : Stoke vector = (1, 0, 0, 0) (2).水平偏極化光：由於光的偏振態在 x 方向，對 Ax=1, Ay=0，則可得： Ax2 + Ay2 = Ax2 − Ay2 = Ax2 → S0 = S1 = 1 Ax Ay cos δ = Ax Ay sin δ = 0 → S2 = S3 = 0 Stoke vector = (1, 1, 0, 0) (3).垂直偏極化光：光的偏振態在 y 方向，對 Ax=0, Ay=1，則可得： Ax2 + Ay2 = Ay2 , Ax2 − Ay2 = − Ay2 → S0 = 1, S1 = −1 Ax Ay cos δ = Ax Ay sin δ = 0 → S2 = S3 = 0 Stoke vector = (1, - 1, 0, 0) (4).圓偏極化光：光的偏振態為右旋或左旋，則 Ax= Ay，δ = ±π/2，則可得： Ax2 + Ay2 = 2 Ax2 , Ax Ay cos δ = 0, Ax2 − Ay2 = 0 → S0 = 1, S1 = 0 Ax Ay sin δ = ±2 Ax2 → S2 = 0, S3 = ±1 Stoke vector：右旋 = (1, 0, 0, - 1) (Q δ = -π/2) 左旋 = (1, 0, 0, 1) (Qδ = π/2) 從這些例子可以看到：在歸一化的定義下，S0=1，而且其他三個量一定小於 S0，且介於 -1 到 1 之間。假如是完全非偏振光，則 S1= S2= S3=0；而 2 2 2 對單一偏振光，則 S1 + S2 + S3 =1 。故介於兩者間，部分偏極化光的偏振程度 γ (degree of polarization)可以定義成： (S γ= 2 1 + S22 + S32 ) S0 1/ 2 偏振程度 γ 將會是介於 0 ~1 之間的實數，其有助於描述部分偏極化光。部分偏極化光的偏振態的分佈喜好將可從參數 S1, S2, S3 的符號看出，如下： 27 (1). S1 可描述沿 x 或 y 方向線性偏振態的情況，故可定義：光偏振態是沿 x 方向線性偏振態的機率為 12 (1 + S1 ) ；反之，沿 y 方向線性偏振態的機率為 1 2 (1 − S1 ) 。因此，在 x, y 方向的完全線性偏極化光分別對應 S1=1, -1。 o (2). S2 可描述沿與 x 方向夾φ = ±45 之線性偏振態的情況，故可定義：光沿φ = o o 45 方向的線性偏振態的機率為 12 (1 + S2 ) ；反之，光沿φ = −45 方向的線性偏振態的機率為 12 (1 − S2 ) 。因此，在這兩個方向的完全線性偏極化光分別對應 S2=1, -1。 (3). S3 表示光為圓偏振態的程度，故可定義：光為右旋圓偏振態的機率為 1 2 (1 − S3 ) ；反之，光為左旋圓偏振態的機率為 12 (1 + S3 ) 。因此，在這兩個方向的完全偏極化光分別對應 S3= -1, +1。 Stokes 參量 v.s. 複數χ之偏振態表示法複數χ = eiδ tanψ 與完全偏極化光之 Stokes 參量間的關係如下： S0 = 1, S1 = cos 2ψ, S2 = sin 2ψcosδ , S3 = sin 2ψsinδ 証明如下： tan ψ = Ay Ax Ax → cos ψ = 2 Ax2 + Ay2 2 ∴ cos 2ψ = cos ψ − sin ψ = ∴ sin 2ψ = 2cosψ sin ψ = , sinψ = Ax2 − Ay2 Ax2 + 2 Ax Ay Ax2 + Ay2 Ay2 = Ay Ax2 + Ay2 Ax2 − Ay2 S0 = Ax2 − Ay2 = S1 = 2 Ax Ay ⇒ S 2 = 2 Ax Ay cos δ = sin 2ψ cos δ S3 = 2 Ax Ay sin δ = sin 2ψ sin δ 因此，這些關係表示：若 S3 為正值，表示光為左旋的橢圓偏極化光，原因是：sinδ > 0 , clockwise revolution。雖然，Stokes 參量主要是用來描述部分偏極化光之特性，但是對於完全偏極化光，這四個量還是有其意義，而可以作為描述光偏振態的另一種表示法則。根據前幾頁對 Stokes 的描述，我們可以看到：對偏極化光，S1, S2, S3 28 2 2 2 三個參數可用來描述其偏振狀態。由歸一化條件 S0 = 1，則 S1 + S2 + S3 = S0 2 = 1 代表在以(S1, S2, S3)所組成的三維座標系中，所有代表偏極化光的點均落在一個半徑為 1 的“單位球”之表面上，這個球一般稱之為“Poincare 球”。此球表面上的每一點都對應一個偏振態，如下圖： North pole (0, 0, 1) Æ 左旋圓偏振 (-1, 0, 0) Æ 垂直線性偏振 (1, 0, 0) Æ 水平線性偏振 South pole (0, 0, -1) Æ 右旋圓偏振 ‧所有赤道上的點，均代表不同傾斜方向的線性偏振態。 ‧ 其餘的點將對應橢圓偏振態。 ‧ 以球心對稱的兩個端點，必形成正交之偏振態。 29 Poincare 球 v.s. 複數表示法：將 Poincare 球與複數偏振態表示法比較，可得如下的關係式： tan 2φ = S2 S1 & sin 2θ = − S3 其中，要再強調的是：φ是偏振態橢圓之傾斜角；θ是橢圓的橢圓率角，定義為θ = tan-1e。一般來說，S2/S1=常數 à 代表一個通過原點包含兩極的鉛直面，而因為 S2 與 S1 均限制在球面上，所以“S2/S1=常數”將代表一條經度線 (meridian)，亦即連接北極與南極的半圓。從上式可知，在每一條經度線上，傾角φ是常數，亦即，在每一條經度線上的點，代表同一類的橢圓偏振態，其傾斜角相同，但有不同的橢圓率。另外，S3 = 常數則代表球上平行於赤道平面的圓，亦可稱之緯度線。再從上式可知：在此圓上，θ是常數。亦即，在每一條緯度線上的點，代表同一類的橢圓偏振態，其橢圓率相同 (e =tan-1θ )，但有不同的傾斜角。有了這些關係，我們將可以發現：Poincare 球的偏振態表示法，最適合用在圖示說明雙折射波長板串連之作用，也就是說明如何將不同的波長板加入光傳播路徑，來改變光波的偏振態。說明如下： (1).使用數片四分之一波長板(quarter-wave plate, λ/4 板)來作偏振態轉換：用兩片λ/4 板，我們可以將任意的橢圓偏極化光(有任意的傾角與橢圓率) 轉變成圓偏極化光。方法如下：首先將其中一片λ/4 板的 c-軸對準橢圓偏振態的長主軸，光穿透後將使得光的偏振態轉變成傾角為φ+θ或φ-θ的線性偏振態，哪種傾角由原橢圓的旋性(handedness)及波長板的雙折射係數符號決定。此線性偏極化光可進一步透過第二片λ/4 板，將其偏振態再轉變成圓偏極化光，只要此λ/4 板的 c-軸對準在與線性偏極化光的偏極方向夾 45o 或-45o 的方向上，至於此圓偏極化光是左旋還是右旋則決定於波長板的雙折射係數符號及其對準方向為夾 45o 或-45o 的方向。若把上述過程反向，則有可能用兩片λ/4 板，將圓偏極化光轉變成任意的橢圓偏極化光，只要適當的對準這兩片λ/4 板的軸向。所以，進一步結合這兩個過程，用適當對準軸向的四片λ/4 板，即可將任意一個橢圓 30 偏極化光，轉變成其他任何的橢圓偏振態。圖解如下：要將球上任兩點 A, B 互相轉換，則可首先用二片適當對準軸向的λ/4 板，將其偏振態 A 轉變成 N 極的左旋圓偏極化光，再利用另外兩片λ/4 板適當調整對準軸向，即可進一步將其由 N 極轉變至偏振態 B。 x x x φ φ 橢圓偏振態 c軸 x φ+θ+45ο φ+θ 線性偏振態 c軸 A B 31 x 圓偏振態 (2).使用兩個λ/4 板及一個半波長板(half-wave plate, λ/2 板)來作偏振態轉換：假設我們要將(φ1, θ1)的偏振態轉變成(φ2, θ2)的偏振態。首先，用λ/4 板並將其 c-軸對準橢圓偏振態的長主軸，我們可以將(φ1, θ1)的橢圓偏極化光轉變成線性偏極化光，其傾角為 φ1+θ1 或 φ1-θ1 ，由橢圓的旋性 (handedness)及波長板的雙折射係數符號來決定。此線性偏極化光可進一步透過第二片λ/2 板，將其偏振態轉至傾角為φ2的線性偏極化光，然後再用第三片λ/4 板，將 c-軸對準在與最後線性偏極化光的偏極方向夾θ2 -θ2的方向上，最後穿透光之偏振態就是(φ2, θ2) 。或 x x φ1 橢圓偏振態 x φ1+θ1 x λ/2板 λ/4板線性偏振態 (φ1 +θ1+φ2 )/2 x φ2 φ2 φ1 λ/4板 x 線性偏振態 φ2+θ2 橢圓偏振態 (3).使用一般性的雙折射波長板(General birefringent wave plate)來作偏振態轉換：讓我們先討論：當雙折射波長板放入光路徑中，如何對應在 Poincare 球上，把光的偏振態改變標示出來？假設此雙折射波長板的相位延遲為 Γ，慢軸(c-axis of a plate)的傾角(與 x 軸之夾角)為ψ。 (a). Case 1. ψ = 0：即代表慢軸位在 x 軸的方向上，則我們可以得到對一個任意偏極化光 P 通過後，其輸出光 Q1 的偏振態變化如下： ⎛ cos θ ⎞ ⎛ cos θ ⎞ P = ⎜⎜ iδ ⎟⎟ ⇒ Q1 = ⎜⎜ iΓ iδ ⎟⎟ ⎝ e sin θ ⎠ ⎝ e e sin θ ⎠ 其中，θ與δ皆為實數，Γ為波長板的相位延遲。我們可以在 Poincare 球上，把這兩個偏振態對應關係描繪出來，如下頁的圖，而根據 Stokes 參量，從上式可以得到：即使δ與Γ皆為任意實數，這兩個偏振態還是具有相同的 S1=cos2θ。換言之，我們可以知道輸出偏振態 Q1 在 32 Poincare 球上的位置，相當於把輸入偏振態 P，以 S1-軸為對稱軸旋轉一個角度Γ。 (b). Case 1. ψ¹0：即代表慢軸位在與 x 軸夾角ψ的方向上，則我們可以得到對一個任意偏極化光 P 通過後，其輸出光 Q2 的偏振態之位置，同樣可以用類似的旋轉法得到。從前面的討論可以看到：若希望偏振態的傾角改變α角而橢圓率不變的話，可以將原偏振態以 S3-軸為對稱軸旋轉一個角度 2α來得到。因此，要得到此時輸出偏振態的表示式，我們可用前述類似的轉法，但依循下列三個步驟： 1. 我們首先輸入偏振態旋轉一個角度 -ψ ，讓波長板傾角消除。在 Poincare 球上，這表示輸入偏振態 P 將以 S3-軸為對稱軸，旋轉角度-2ψ，移動到新的位置 P'。 2. 此時，波長板的作用則像 Case 1 的描述一樣，可將位置 P'以 S1軸為對稱軸旋轉角度Γ，移動到新的位置 Q1'。 33 3.然後，我們再將偏振態 Q1‘旋轉角度ψ，就可得到輸出的偏振態。同理，在 Poincare 球上，這表示 Q1’的位置將以 S3-軸為對稱軸旋轉角度 2ψ，移動到位置 Q2 。我們可以証明：上述的三個步驟等同於：輸入偏振態 P 以圖中 OB 線段方向為旋轉軸，而旋轉一個角度 Γ，移動到位置 Q2 雖然大部分的液晶顯示器所用的晶包，在表面配向膜的控制下，晶包內液晶分子指向將隨空間而變化，而使其在傳播方向上呈現不均勻性，但是上述對均勻波長板分析方法仍然可用來描述光的偏極態在液晶晶包內傳播演變的情形，其原因是：由於液晶顯示器晶包大都使用間列式現狀液晶，故可以將晶包分成很多很多薄層疊加，每一層都視為是均勻波長板，我們只要將上述方法重複使用幾次，就可累計得到最後的光偏振態。除了用來分析液晶顯示器晶包外，Poincare 球也可以用在分析一種特殊的例子，就是當雙折射板同時具有線性雙折射及旋光性(optical rotation)，如：圓偏極雙折射效應或是磁光效應(Faraday effect)。 34 3. 光波在各向異性介質的傳播 (Electromagnetic Propagation in Anisotropic Media ) 3.0 液晶分子與各向異性介質在第一章時，我們就曾經提到：液晶的雙折射光學特性起源於分子結構的各向異性之指向排列秩序。正如同其他晶體材料一樣，液晶的光學特性將取決於入射光的傳播方向，以及偏振態與液晶分子指向之間相對的關係。液晶材料內的各向異性光學現象包括了：雙折射係數(double refraction)、偏極化效應(polarization effect)、旋光性(optical rotation)、以及電光與磁光效應 (electrooptical and magnetooptical effects)，這些現象都有應用價值。因此，除了液晶顯示器外，許多光學元件也都利用同樣利用各向異性光學材料，如：薄板偏振片、菱鏡式偏振片、光學波長板、雙折射濾波器、以及電光調制器。因此，瞭解電磁波在各向異性的材料中的傳播，將有助於使現這些現象來製作實際的光學元件，特別是液晶顯示器。在本章中，我們將探討電磁波在各向異性的材料中的傳播。精確地說，我們將探討平面波在均勻的(homogeneous)介質中傳播情形，如：層列式液晶樣品(nematic LC)。 3.1 Maxwell 方程式及介電係數張量(Dielectric Tensor) 要解釋光的傳播，就讓我們複習電磁學理論中的 Maxwell 方程式及材料方程式。最基本的 Maxwell 方程式可以寫成下列四個式子： r r r r r ∂B ∇⋅D = ρ ∇×E+ =0 ∂t r r r r r ∂D r ∇⋅B = 0 ∇×H − =J ∂t 在這四個式子中，E 及 H 分別代表電場向量(Volt/m)及磁場向量(A/m) ，這兩個量是最常用來描述電磁場的形式，特別是光在不同介質中的傳播情形。 1 另外，這些方程式中，D 與 B 通常被稱為電位移(electric displacement, 2 2 C/m )及磁感應(magnetic induction, weber/m )，這兩個量通常引入來說明材 2 2 料中的電磁場；而式中，J 及 ρ 為電流密度(A/ m )及電荷密度(c/ m )，用來表示場源的存在。這四個 Maxwell 方程式將可完全決定電磁場的行為，並且將是這類場相關理論(電動力學, electrodynamics)的最基本之方程式。考慮液晶光學的問題，由於液晶為非導體，一般可以將此電磁波傳播的空間看成是其中的電荷密度及電流密度均為零，其實就是所謂的介電質 (dielectric material)空間。事實上，即使我們將ρ=0, J=0 代入 Maxwell 方程式中，還是可以找到非零的解(nonzero solution)。這代表即使無電荷及電流源的空間，電磁場還是可以存在，這類無源的材料中的電磁場，一般稱之為電磁波(electromagnetic wave)，光波也是電磁波的一種，在這本書中，我們主要描述的就是：光波在液晶介電質中的傳播，以及其在顯示器的應用。 Maxwell 方程式實際上包括了 8 個純量方程式，描述 12 個變數(E, H, D, B 四個向量之三維純量)間的關係，若無 E 與 D 及 H 與 B 之間的材料方程式，這 12 個變數將無法有唯一的解。因此，要得到場向量唯一的解，除了 Maxwell 方程式外，必須提供下列兩個式子，稱為組成方程式或材料方程式 (constitutive equations, material equations)： r r r r D = εE = ε o E + P r r r r B = μH = μ o H + M 其中，對非均向性材料，組成參數(constitutive parameters) ε及μ分別為 2x2 的矩陣，一般稱之為介電係數張量(或電容率張量)及磁導係數張量，P 與 M 分別為電偏極化及磁偏極化，當材料有外加電場時，電場將導致電荷運動，使得物質內部產生電雙極矩，我們把單位體積產生電雙極矩的量定義為 P ；同樣的，當材料有外加磁場時，磁場將感應產生磁化雙極矩，單位體積產生磁雙極矩的量定義為 M。這些感應產生的效應都將使得物質的容磁 −12 −7 率及容電率都與真空的數值εο = 8.854 x 10 F/m 及 μο = 4π x 10 H/m 不同，假如材料是各向同性(isotropic)，則ε及μ之 2x2 矩陣張量將簡化成一個純量常數，換言之，無方向性。但是，無論材料是何種情況， ε及μ這兩個 2 量都與外加電磁場無關。然而，當外加電磁場太強時， ε及μ則與外加電磁場有關，產生非線性效應。在各向異性材料中，如：間列式液晶相、方解石、石英及鈮酸鋰晶體等，平面波的傳播將會與介電係數張量εij 有關，如上述，此係數將連結電位移與電場兩個參數如下： Di = ε ij E j 其中，i 及 j 兩個下標依慣例代表三個維度的總合，因此 E 與 D 可能會不平行。在非磁化( M = 0 )且透明的材料，張量的係數皆為實數且對稱： ε ij = ε ji 由於材料是各向異性，所以張量的 9 個元素的值將會決定於所選之座標系與晶體結構相對關係有關。但是，因為此張量為實數且對稱，其一定可以找到一組相互正交的三個軸，將矩陣對角化寫成： ⎛ε x ⎜ ε ij = ⎜ 0 ⎜0 ⎝ 0 εy 0 0 ⎞ ⎛ n x2 ⎟ ⎜ 0 ⎟=⎜ 0 ε z ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 n 2y 0 0⎞ ⎟ 0⎟ n z2 ⎟⎠ 我們把εx, εy, εz 稱之為主軸介電係數，nx, ny, nz 稱之為主軸折射係數。其對應的座標系(x, y, z)稱為晶體的主介電軸(principal dielectric axes)。因此，由上兩式，可知當平面波沿著 z 軸傳播時，此光波將會有兩種相速度，取決於其偏振態。精確地說，偏振態沿 x-方向將會有 c/nx 的相速度；而偏振態沿 y-方向將會有 c/ny 的相速度。或者更一般性可以說：沿此正交的三個主軸其中任一軸傳播的平面光波，都將會對應有兩個相互垂直的兩個偏振態之模態，對應兩個相速度。很重要的是：介電張量的元素εx, εy, εz 都為電磁波頻率(or 波長)的函數，這種效應稱之為電磁波的色散(dispersion)效應。在光波的範圍，頻率大約是在 1014 s-1 左右，我們經常用折射係數來描述光波在介質中的傳播。在較低頻率的範圍(0Hz-1GHz)，介電係數用來描述外加電場對液晶分子指向的影響。所以，我們可以看到同樣的介電係數張量，在不同電磁場頻率範圍，將導引光波傳遞穿透及電場感應液晶分子指向兩種不同現象。 3 3.2 均勻介質中的平面波與正交表面 (Plane waves in homogeneous media and normal surface) 要研究光波在均勻介電質中的傳播，首先將單色的平面光波的電場及磁場向量形式分別寫成： r r r E exp i ωt − k ⋅ r [( )] [( r r r B exp i ωt − k ⋅ r )] 其中，k 為波向量[k=(ω/c)ns]，s 為單位向量用來表示傳播的方向。而相速度的大小 c/n，或者說是折射係數 n，將由材料特性決定，亦即光傳播的特性將由材料決定，對於各向均性介質(如：玻璃)，介電係數為常數，即波向量與方向無關，為常數： r ω k = n → n = refractive index c 2 k = k x2 + k y2 + k z2 ⎛ ω⎞ = ⎜n ⎟ ⎝ c⎠ kz ω n c r r E⊥k 2 r k ky kx Normal Surface 對於各向異性介質，介電係數為張量，即波向量會與方向有關，我們可以把上面的 E 與 H 的形式，代入 Maxwell 方程式就可以得到： r r r r r r r ⎫ k × E = −ωμH r r r r ⎬ ⇒ k × k × E + ω 2 μεE = 0 k × H = −ωεE = −ωD ⎭ ( ) 上式為典型線性代數中，本徵值及本徵向量的問題，我們即可求出電場的本徵向量及本徵值為折射係數 n： r E = 0 → trivial solution r r E ≠ 0 → Q ω(k ) 代入上式：若以主軸座標系下，介電係數張量將為對角化矩陣，且電場可寫成三軸分量的形式，故上式可展開成： 4 ⎛ ω 2 με x − k y2 − k z2 ⎜ k ykx ⎜ ⎜ kzkx ⎝ kxk y ω 2 με y − k x2 − k z2 kzk y 2 ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ E y ⎟ = 0 2 2 2 ⎟⎜ ω με z − k x − k y ⎠⎝ E z ⎟⎠ 2 kxkz k ykz 2 其中，定義：εx = εon x、εy = εon y、εz = εon z。証明如下： ( ) ( ) ( ) r r r r k × k × E + ω 2μεE = 0 r r r r r r r ⇒ k k ⋅ E − k ⋅ k E + ω 2 μεE = 0 ⎛ kx ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ (k x E x + k y E y + k z E z )⎜ k y ⎟ − k x2 + k y2 + k x2 ⎜k ⎟ ⎝ z⎠ ( ⎛ ω 2με x ⎜ +⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ ⎛ Ex ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ Ey ⎟ ⎜E ⎟ ⎝ z⎠ ) 0 ω 2 με y 0 ( ( ( ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ E y ⎟ = 0 ω 2 με z ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ 0 ) ) ) ⎛ k x2 E x + k x k y E y + k x k z E z ⎞ ⎛ k x2 + k y2 + k z2 E x ⎞ ⎛ ω 2 με x E x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ k y k x E x + k y2 E y + k y k z E z ⎟ − ⎜ k x2 + k y2 + k z2 E y ⎟ + ⎜ ω 2 με y E y ⎟ = 0 ⎜ k k E + k k E + k 2 E ⎟ ⎜ k 2 + k 2 + k 2 E ⎟ ⎜ ω 2 με E ⎟ z z ⎠ y z z ⎠ z y y z z ⎠ ⎝ z x x ⎝ x ⎝ ⎛ ω 2 με x − k y2 − k z2 E x + k x k y E y + k x k z E z ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ k y k x E x + ω 2 με y − k z2 − k x2 E y + k y k z E z ⎟ = 0 ⎜ k k E + k k E + ω 2 με − k 2 − k 2 E ⎟ z y y z x y z ⎠ ⎝ z x x ( ( ⎛ ω 2με x − k y2 − k z2 ⎜ ⇒⎜ k ykx ⎜ kzkx ⎝ ) ( ) ) kxk y 2 ω με y − k x2 − k z2 kzk y ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ k ykz ⎟⎜ E y ⎟ = 0 ω 2 με z − k x2 − k y2 ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ kxkz 對於非零的解(nontrivial solution)存在之條件，則要求上式行列式係數的絕對值為零，而此條件將決定ω與 k 的關係： det ω 2 με x − k y2 − k z2 kxk y kxkz k ykx ω 2 με y − k x2 − k z2 k ykz kzkx kzk y ω 2 με z − k x2 − k y2 =0 給定任何一個頻率的條件下，上式則代表以 k 的三個維度(kx, ky, kz)所組成之空間標示出的三維曲面。這個曲面一般稱之為正交表面(normal surface)， 5 其形狀包含兩個表層。一般的情況這兩個表層有四個交點，而這四個交點將位於兩條相交的直線上，這兩條直線稱之為光軸。下圖所示即為兩個正交表面的例子。 (b) One octant of a normal surface in (a) One octant of a normal surface in momentum space with nx < ny < nz， o x y 橢球。給定任一個傳播方向，我們將會得到兩個 < nz = nek. 值，分別為傳播方向 s kx, ky, and kz are in units of ω/c. 圖中，若 nx = ny< nz，則正交表面包含了兩個曲面，一個是球面，另一個是 momentum space with n = n = n 與正交表面的交點。這兩個 k 值則分別表示平面波在此傳播方向會對應兩個不同的相速度(ω/k)，而在這些傳播的平面波對應之電場向量的方向亦可由行列式之絕對值為零的式子求出如下式： ⎛ ⎜ 2 ⎜k ⎛ Ex ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜Ey ⎟ = ⎜ 2 ⎜E ⎟ ⎜k ⎝ z⎠ ⎜ ⎜⎜ 2 ⎝k ⎞ ⎟ − ω 2 με x ⎟ ⎟ ky ⎟ − ω 2 με y ⎟ ⎟ kz ⎟ − ω 2 με z ⎟⎠ kx 所以當平面光波沿光軸方向傳播時，則只有一個 k 值存在，而且對應得到一個相速度，但是，這個相速度將會對應使平面波有兩個獨立正交的偏振態。我們亦可用波向量的方向餘弦來表示這兩個關係，亦即將 k=(ω/c)ns 的關係代入重新化簡，行列式為零的關係及電場方向分別化簡為： 6 s x2 2 n − n x2 + s 2y 2 n − n 2y + s z2 2 n − n z2 = 1 n2 ⎛ sx ⎜ ⎜ n 2 − n x2 ⎜ s ⎜ 2 x 2 ⎜ n − ny ⎜ sx ⎜⎜ 2 2 ⎝ n − nz 及 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 2 其中，我們使用關係式： εx = εon x、εy = εon y、εz = εon z。上左式一般又稱為 Fresnel’s equation of wavenormals，可用來解折射係數的本徵值。而上右式可用來表示對應此傳播方向的偏振態。然而，值得注意的是 Fresnel 關係式為一個 n2 的一元二次多項式，所以對任何一組傳播方向(sx, sy, sz)，我們可以得到 n2 有兩個解。若要求得其對應的偏振態，則我們可以將此 n2 的兩個解之值分別代入上右式中，即可給我們這兩個波對應的偏振態。從上式可以看到：當介質為非吸收介質時，所有數值均為實數，所以這些對應模態均為線性偏振態。若對應兩個解 n12 及 n22 的線性偏極化正交模態，我們分別以 E1 及 E2 來表示其電場向量，而以 D1 及 D2 來表示其電位移向量，則從 Maxwell 方 r r 程式中，∇ ⋅ D = 0 表示 D1 及 D2 必須垂直於 s，而再由 D1 及 D2 之正交特性，我們可以得到 s、D1 及 D2 三者形成兩兩正交組。另外，從 Maxwell 方程式，亦可得到 D 與 H 都垂直於傳播方向 s ，因此由 Poynting 向量(E x H)所定義的光波能量流的方向不一定會與 s 同向，而 k、D 與 E 都垂直於 H，則代表這三個向量將會共平面。 D E Etransverse s 兩個正交模態(本徵模態)的正交性： 2 2 接下來，我們來說明對應 n1 及 Poynting vector H n2 兩個解之線性偏極化模態之間的正交特性。從 k=(ω/c)ns 及 Maxwell 方程式可以得到： 7 nr r ⎧r r r r s ×H D = − ⎪ k × E = −ωμH c r r r r ⇒⎨ r n r r k × H = −ωεE = −ωD s ×E ⎪H = c μ ⎩ 再利用向量關係：A x (B x C)=B(A.C)-C(A.B)，將上式中的 H 消去，可得下列關係式。 [ ] r n2 r r r n2 r r r r D = − 2 s × (s × E ) = 2 E - s ⋅ (s ⋅ E ) c μ c μ n2 = 2 E transverse c μ 再由 s.D=0 及 n2/c2μ=n2εo，可得： D2 = r r n2 r r E ⋅ D = n 2ε o E ⋅ D 2 cμ 換言之， s 、D 與 E 這三個向量將會共平面。而它們彼此間的關係為 r r D1 ⋅ D 2 = 0 r r D1 ⋅ E 2 = 0 r r D 2 ⋅ E1 = 0 r r r r s ⋅ D1 = s ⋅ D 2 = 0 D1 H2 E1 Poynting vector E2 x H2 s D2 H1 E2 Poynting vector E1 x H1 一般的例子，E1 與 E2 不一定正交，傳播的本徵模態之正交關係為： r r r s ⋅ E1 × H 2 = 0 r n r r r r r r Q H = s × E ⇒ H 1 // D 2 , H 2 // D1 μc ( ) 上式告訴我們：在非均向性介質中，沿著傳播方向之能量流將等於個別模態間自行導出之能量流在此方向的總合，交叉項均為零。接下來，讓我們利用兩模態的正交關係，來證明上式之正確性，由電磁場的形式與 Lorentz 可逆定理，我們可得： 8 r r r r r r s ⋅ (E1 × H 2 ) = s ⋅ (E 2 × H 1 ) n r r n r r r r r r ⇒ 2 s ⋅ (E1 × (s × E 2 )) = 1 s ⋅ (E 2 × (s × E1 )) μc μc n r r n r r r r r r ⇒ 2 (s × E1 )⋅ (s × E 2 ) = 1 (s × E1 )⋅ (s × E 2 ) μc μc r r r r r r r n r r Q A ⋅ (B × C) = C ⋅ (A × B) QH = s × E μc 若在任意傳播方向 s 所對應之 n1¹n2，上式都要成立的話，唯一的方法是讓等號兩邊都消失，可得： r r r r r r s ⋅ E1 × H 2 = s ⋅ E 2 × H 1 = 0 ( ) ( ) 綜合言之，當平面光波沿著任意方向 s 傳播時，在非均向性介質中將會對應出兩個獨立的平面波之解，分別都為線性偏極化光。這兩個模態分別有相速度±(c/n1)及±(c/n2) 。其中，n1 及 n2 分別是從 Fresnel 關係式求出的本徵值，由此本徵值，我們亦可得到對應的電場向量。然而，雖然我們可以將電場表示成下列的通式，但是當必須要注意的是：當傳播方向沿著主軸或位於主平面(兩主軸圍成之平面)時，下式的分母將為零，因此電場通式就必須非常小心地使用。接下來，揪讓我們來討論這些特例： ⎛ ⎜ 2 ⎜k ⎛ Ex ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜Ey ⎟ = ⎜ 2 ⎜E ⎟ ⎜k ⎝ z⎠ ⎜ ⎜⎜ 2 ⎝k ⎞ ⎟ 2 − ω με x ⎟ ⎟ ky ⎟ & k 2 = k x2 + k y2 + k z2 2 − ω με y ⎟ ⎟ kz ⎟ − ω 2 με z ⎟⎠ kx 3.2.1 k 位於 xy-平面：當傳播方向位於 xy-平面時，kz=0。所以，代入介電張量傳播矩陣式中，可化簡如下： 9 ⎛ ω 2 με x − k y2 − k z2 ⎜ k ykx ⎜ ⎜ kzkx ⎝ ⎛ ω 2 με x − k y2 ⎜ ⇒ ⎜ kykx ⎜ 0 ⎝ kxk y ω 2 με y − k x2 − k z2 kzk y kxk y ω 2 με y − k x2 0 ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ k ykz ⎟⎜ E y ⎟ = 0 2 2 2 ⎟⎜ ω με z − k x − k y ⎠⎝ E z ⎟⎠ kxkz ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ E y ⎟ = 0 ω 2 με z − k x2 − k y2 ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ 0 上式為局部對角化，故有一個特殊解為： ⎛ 0⎞ r ⎜ ⎟ nω E 1 = ⎜ 0 ⎟ & k1 = z c ⎜1⎟ ⎝ ⎠ 此模態為沿著 z-軸方向，故另一個模態必在 xy-平面上，滿足上頁式中的 2x2 之局部對角化矩陣，所以可以將解寫成： ⎛ sx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ n 2 − n x2 ⎟ 1/ 2 ⎜ s ⎟ ⎤ ⎡ r n x2 n 2y ω nω y ⎟ & k2 = ⎢ E2 = ⎜ 2 = 2 2 2 2 ⎥ 2 ⎜ n − ny ⎟ c ⎢⎣ n x cos θ + n y sin θ ⎦⎥ c ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 其中，θ為波向量與 x 軸的夾角。將上右式中的 n 的關係代入上左式，即可化簡得： n x2 n 2y 2 n = n x2 cos 2 θ + n 2y sin 2 θ ⎡ ⎤ ⎡ n 2y − ( n x2 cos 2 θ + n 2y sin 2 θ ) ⎤ n 2y − n x2 2 2 cos n θ = ⇒n = ⎢ 2 ⎥ x 2 2 2 ⎥ 2 2 2 2 ⎣⎢ n x cos θ + n y sin θ ⎦⎥ ⎣⎢ n x cos θ + n y sin θ ⎦⎥ ⎡ n x2 − ( n x2 cos 2 θ + n 2y sin 2 θ ) ⎤ ⎡ ⎤ n 2y − n x2 2 2 2 2 2 sin = − n − ny = ny ⎢ n θ ⎥ ⎢ y 2 2 2 2 ⎥ 2 2 2 2 cos sin cos sin + + n θ n θ n θ n θ ⎦⎥ y x y ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ x 2 − n x2 n x2 ⎢ 10 ⎛ sx ⎜ 2 2 ⎜ n − nx r ⎜ sy ∴E2 = ⎜ 2 2 ⎜ n − ny ⎜ 0 ⎜ ⎝ sx ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ sy ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 2 cos θ n ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ nx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − sx sy = ⎟ ⎜ ⎟=⎜ 2 2 2 − sin θ n y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ny ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ sin θ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ n x2 ⎟ ⎟ ⎜ − cos θ ⎟ ⎟=⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ ny ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎠ Q s x = cosθ , s y = sin θ 以圖形來看，兩個解分別對應 xy-平面之切面圓與橢圓之切線，如下： ky nz Normal Surface k nx E2 E1 ny nz kx 3.2.2 k 位於 yz-平面：當傳播方向位於 yz-平面時，kx=0。所以，代入介電張量傳播矩陣式中，可化簡如下： ⎛ ω 2 με x − k y2 − k z2 ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 ω 2 με y − k z2 kzk y ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ k ykz ⎟⎜ E y ⎟ = 0 2 2 ⎟⎜ ω με z − k y ⎠⎝ E z ⎟⎠ 0 同理，上式為局部對角化，故有一個特殊解之偏極化方向為沿著 x-方向，如下： ⎛1⎞ r ⎜ ⎟ n ω E 1 = ⎜ 0 ⎟ & k1 = x c ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ 另一個模態必在 yz-平面上，滿足上式中的 2x2 之局部對角化矩陣，所以可以將解寫成： 11 ⎛ ⎜ 0 ⎜ ⎜ s r y E2 = ⎜ 2 ⎜ n − n 2y ⎜ ⎜ sz ⎜ n2 − n2 z ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ 1/ 2 ⎟ ⎡ ⎤ n 2y n z2 ω nω ⎟ & k = ⎢ = ⎥ 2 ⎟ c ⎢⎣ n 2y cos 2 θ + n z2 sin 2 θ ⎥⎦ c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 其中，θ為波向量與 y 軸的夾角。將上右式中的 n 的關係代入上左式，即可化簡得： ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ s ⎟ ⎜ r s E2 = ⎜ 2 y 2 ⎟ = ⎜ 2 y 2 ⎜ n − n y ⎟ ⎜ n y cos θ ⎜ s ⎟ ⎜ s ⎜⎜ 2 z 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 z 2 ⎝ n − nz ⎠ ⎝ − nz sin θ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ s ⎟ ⎜ sin θ ⎟ = ⎜ z2 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ny ⎟ ⎜ ny ⎟ ⎜ s y ⎟ ⎜ − cosθ ⎟⎟ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ nz ⎠ ⎝ nz ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 以圖形來看，兩個解分別對應 xy-平面之切面圓與橢圓之切線，如下： nz Normal Surface ky E2 nx k E1 nx ny kz 3.2.3 k 位於 zx-平面：當傳播方向位於 zx-平面時，ky=0。所以，代入介電張量傳播矩陣式中，可化簡如下： ⎛ ω2με x − k z2 ⎜ 0 ⎜ ⎜⎜ ⎝ kzkx 0 2 ω με y − k x2 − k z2 0 ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ E y ⎟ = 0 2 2⎟ ω με z − k x ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ kxkz 0 12 同理，上式為局部對角化，故有一個特殊解之偏極化方向為沿著 y-方向，如下： ⎛ 0⎞ r ⎜ ⎟ nω E1 = ⎜ 1 ⎟ & k1 = y c ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ 另一個模態必在 zx-平面上，可以將解寫成： ⎛ sx ⎞ ⎜ 2 2⎟ 1/ 2 ⎜ n − nx ⎟ r ⎤ n x2nz2 nω ω⎡ E 2 = ⎜ 0 ⎟ & k2 = ⎢ 2 = 2 2 2 ⎥ c ⎣ n x cos θ + nz sin θ ⎦ c ⎜ sz ⎟ 2 2 ⎜n −n ⎟ z ⎠ ⎝ 其中，θ為波向量與 x 軸的夾角。將上右式中的 n 的關係代入上左式，即可化簡得： sx ⎛ sx ⎞ ⎛ ⎜ 2 2⎟ ⎜ 2 2 ⎜ n − n x ⎟ ⎜ n x cos θ r E2 = ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 sz ⎜ sz ⎟ ⎜ ⎜ n 2 − n 2 ⎟ ⎜ − n 2 sin 2 θ z ⎠ ⎝ z ⎝ ⎞ ⎛ sz ⎞ ⎛ sin θ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ nx ⎟ ⎜ nx ⎟=⎜ 0 ⎟=⎜ 0 ⎟ ⎜ s x ⎟ ⎜ − cosθ ⎟ ⎜ − n2 ⎟ ⎜ n2 z ⎠ ⎝ z⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 以圖形來看，兩個解分別對應 xy-平面之切面圓與橢圓之切線，如下： kz ny Normal Surface E2 nx k E1 ny 13 nz kx 3.2.4 傳播介質的分類我們已經證實：正交曲面的分析法非常適合於分析平面光波在介質中的傳播，而正交曲面可由主軸對應的三個主軸折射係數 nx, ny, nz 來決定繪出，所以我們亦可用這三個量將介質分類，如下：均向性介質(isotropic medium)： k 2 ω2 ω n = nx = n y = nz ⇒ 2 − 2 = 0 ⇒ k = n c n c 當三個主軸折射係數都相同時，稱之為均向性介質，也就是說：從上式來看正交曲面為將會是一個圓球，不管光的傳播方向為何，都只對應到一個折射率 n，且分別對應兩個正交的偏振態，如下圖。 kz Normal Surface ω n c r r E⊥k r k ky kx 雙軸介質(biaxial medium)： 2 sy s2 s z2 1 nx ≠ n y ≠ nz ⇒ 2 x 2 + 2 + = n − n x n − n 2y n 2 − n z2 n 2 當三個主軸折射係數都不相同時，稱之為雙軸介質。在這樣的情況下，正交曲面將會有兩個光軸，這就是其名稱的由來。當已知光的傳播方向時，可以用正交曲面與其截距對應到兩個折射率，亦分別對應兩個正交的偏振態。在雙軸介質中，一般常限制三個主軸折射係數之關係為：nx< ny< nz，因此，正交曲面的形狀就會如下圖左，而光軸則會位於 xz-平面上，正交曲面在 xz平面上的截面則如下圖右，我們可以清楚的看到光軸就是橢圓與圓的交點連線。 14 kz Optical axis Optical axis ny nx kx ny nz Normal Surface 單軸介質(uniaxial medium)： ⎛ k x2 + k y2 k z2 ω 2 ⎞⎛ k 2 ω 2 ⎞ no = n x = n y , n e = n z ⇒ ⎜ + 2 − 2 ⎟⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ = 0 ⎜ n2 no c ⎟⎠⎝ no c ⎠ e ⎝ 在許多光學材料中 ( 如： nematic LCs) ，三個主軸折射係數會有兩個相同 (nx=ny=no)，另一個不同(nz=ne)。此時，原先在雙軸晶體的兩個光軸會合而為一，故稱之為單軸介質。其 Fresnel 關係式可以化簡成上式，故求出的正交曲面為將會包含一個橢球及一個圓球，兩球的交點落在 z-軸上。同理，光軸也會落在 xz-平面的 z-軸上。 kz Optical axis Optical axis no no n e kx Normal Surface 在單軸介質中，三個主軸折射係數之關係為：(1). nx=ny=no，一般將此係數稱為尋常折射係數(ordinary index)； (2). nz=ne，一般將此係數稱為非尋常折射係數(extraordinary index)。假如 no<ne，正交曲面在 xz-平面上的截 15 k 面則如下圖右，一般將此介質稱為正單軸介質；若 no>ne，正交曲面在 xz平面上的截面則如下圖左，一般將此介質稱為負單軸介質。書中的表 3-2 則列舉了一些固態晶體及液晶分子的折射係數 no、ne，以供參考。顯而易見，材料的光學對稱性將與其結構有關，換言之，與其材料的結構分類的點對稱群(point group)有關。舉例來說，我們可以想見中心對稱的立方晶體材料(cubic material)的三個主軸上的物理性質應該完全相同，故主軸折射係數也應完全相同，所以，其應該是均向性介質。下表則列舉一些固態晶體及液晶分子的對稱性，與其對應的介電係數張量。 16 17 18 19 20 21 3.2.5 各向異性介質中的光傳播能量流在光學中，光波的能量流將以 Poynting 向量 ExH 來定義，而如前述，在各向異性介質中，光波能量流的方向不一定會平行於相速度前進方向 s，我們來討論其間關係。假設在各向異性介質中，有一道給定之隨意傳播方向的平面光波，我們可以用正交曲面所得的兩個模態 E1 及 E2 來展開這道光波的電場向量： r r r E = c1 E1 + c 2 E 2 其中，c1 及 c2 為兩個常數。要求得能量流，我們要有磁場關係式。由 Maxwell 方程式，可求得磁場為： r n r r n r r H = 1 s × E1 + 2 s × E 2 μc μc 其中，n1 及 n2 為兩個對應的折射係數。故 Poynting 能量流向量為： r r r S=E×H r r n r r ⎞ ⎛n r r = (c1 E 1 + c 2 E 2 ) × ⎜⎜ 1 s × E 1 + 2 s × E 2 ⎟⎟ μc ⎝ μc ⎠ 從上式可以看到，Poynting 能量流向量並不會等於個別模態之電場與磁場外積後加總。而利用模態間的正交關係，我們可以得到能量的正交理論(power orthogonality theorem)：沿著傳播方向之能量流將等於個別模態間自行導出之能量流在此方向的總合。 r r r r r r r S = E × H ≠ E1 × H 1 + E 2 × H 2 r r r r r r r r S ⋅ s = s ⋅ (E 1 × H 1 ) + s ⋅ (E 2 × H 2 ) r r r r r r Q s ⋅ E1 × H 2 = s ⋅ E 2 × H 1 = 0 ( ) ( ) 22 3.3 單軸介質中的光傳播大部分的柱狀形液晶分子在晶包內有序排列時，晶包為光學單軸材料，除外，大部分的液晶顯示器都是用間列式液晶相，若考慮薄板狀的間列式液晶晶包，可將其視為均勻的單軸介質。因此，接下來我們討論單軸非均向性介質中的光傳播效應。強調一下，單軸介質之主軸折射率為： ε x = ε y = εo no2 , ε z = εo ne2 正交曲面方程式為： ⎛ k x2 + k y2 k z2 ω2 ⎞⎛ k 2 ω2 ⎞ ⎜ + 2 − 2 ⎟⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ = 0 ⎜ n2 no c ⎟⎠⎝ no c ⎠ e ⎝ 上式是從行列式表示是求出的，故兩者意義應相同。而上式所得的正交曲面包含兩部分：圓與橢圓。其中，圓將給尋常波(ordinary wave)的ω(k)關係；而橢圓將給非尋常波(extraordinary wave)的ω(k)關係，這兩個表面的兩個交點將落在 z-軸上。從上式，我們可以得到這兩個傳播模態的本徵折射率值將會是： O wave : n = no E wave : 1 cos2 θ sin 2 θ = + 2 n2 no2 ne 其中，θ為傳播方向與 z-軸夾角。 kz no k θ Extraordinary wave : k= ne (θ)ω/c Ordinary wave : k= no ω/c ky no ne kx 証明如下： ⎛ k x2 + k y2 k z2 ω 2 ⎞⎛ k 2 ω 2 ⎞ ⎜ + 2 − 2 ⎟⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ = 0 ⎜ n2 n o c ⎟⎠⎝ n o c ⎠ e ⎝ 從上式得：位在圓上的點(O wave) 滿足後半部的關係式： 23 k 2 ω2 ω k n − = 0 & = ⇒ n = no c n o2 c 2 而位在橢圓上的點(E wave)滿足前半部的關係式： ⎛ k x2 + k y2 k z2 ω 2 ⎞ ⎟ = 0 & k = n ω , rs = (cos φ sin θ , sin φ sin θ , cosθ ) ⎜ + − ⎜ n2 c no2 c 2 ⎟⎠ e ⎝ k x2 + k y2 k z2 ω 2 ⎛ ω ⎞ 2 ⎡1 − cos 2 θ cos 2 θ ⎤ ω 2 ⇒ + 2 − 2 = ⎜n ⎟ ⎢ + ⎥− 2 n e2 no c no2 ⎦ c 2 ⎝ c ⎠ ⎣ ne 2 2 2 2 ⎛ ω ⎞ ⎡ sin θ cos θ ⎤ ω =0 = ⎜n ⎟ ⎢ 2 + ⎥− no2 ⎦ c 2 ⎝ c ⎠ ⎣ ne sin 2 θ cos 2 θ 1 ⇒ + = 2 2 2 ne no n k 2 = k x2 + k y2 + k z2 ⇒ k x2 + k y2 = k 2 − k z2 但是，要求得 O wave 對應的電場向量，則不能直接將上面之折射係數代入雙軸晶體中我們得到的電場向量表示式求出，因為會讓分母變成零。我們必須從行列式求解出發，利用關係式： ωr ε x = ε y = ε o n o2 , ε z = ε o n e2 及 k = n o s c r s = (cos φ sin θ , sin φ sin θ , cos θ ) 可將行列式化簡為： ⎛ ω 2με x − k y2 − k z2 ⎜ k ykx ⎜ ⎜ kzkx ⎝ kxk y ω 2με y − k x2 − k z2 kzk y ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ k ykz ⎟⎜ E y ⎟ = 0 ω 2με z − k x2 − k y2 ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ kxkz ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ k ykz ⎟⎜ E y ⎟ = 0 2 2 2 2 ⎟⎜ ω με o ne − k x − k y ⎠⎝ E z ⎟⎠ ⎛ k 2 − k y2 − k z2 ⎜ k ykx ⇒⎜ ⎜ kzkx ⎝ k 2 − k x2 − k z2 ⎛ ⎜ ⎜ k x2 ⎜ ⇒ ⎜k ykx ⎜ ⎜⎜ k z k x ⎝ ⎞ ⎟ ⎟⎛ E x ⎞ kxkz ⎟⎜ ⎟ k ykz ⎟⎜ E y ⎟ = 0 2 ⎟⎜ E ⎟ 2 ⎛ ne ⎞ 2 2 ⎝ z ⎠ k ⎜⎜ ⎟⎟ − k x − k y ⎟⎟ ⎝ no ⎠ ⎠ kxk y k y2 kzk y kxk y kzk y kxkz 24 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 2 sx s y sx sz ⎟⎛ E x ⎞ 2 ⎜ sx ⎟⎜ ⎟ ⎛ ω⎞ ⎜ 2 sy s y sz ⇒ ⎜ no ⎟ ⎜ s y s x ⎟⎜ E y ⎟ = 0 ⎝ c⎠ 2 ⎟⎜ E ⎟ ⎜ ⎛ ne ⎞ 2 2 ⎝ z ⎠ ⎜⎜ s z s x s z s y ⎜⎜ ⎟⎟ − s x + s y ⎟⎟ ⎝ no ⎠ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ sx s y sx sz ⎟⎛ E x ⎞ ⎜ s x2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ s 2y s y sz ⇒ ⎜ s y sx ⎟⎜ E y ⎟ = 0 2 ⎟⎜ E ⎟ ⎜ ⎛ ne ⎞ 2 2 ⎝ z ⎠ ⎜⎜ s z s x s z s y ⎜⎜ ⎟⎟ − s x + s y ⎟⎟ ⎝ no ⎠ ⎠ ⎝ ⇒ s x E x + s y E y + s z E z = 0 LL(1) ( ( ) ) ⎛ ⎛ n ⎞2 s z s x E x + s z s y E y + ⎜ ⎜⎜ e ⎟⎟ − s x2 + s 2y ⎜ ⎝ no ⎠ ⎝ ( ⎞ )⎟⎟ E ⎠ z = 0 LL(2) 簡單的代數運算，可得上式的其中一個解：由(1)得：s x E x + s y E y = − s z E z ⎛⎛ n 代入(2)得：s z (− s z E z ) + ⎜ ⎜⎜ e ⎜ n ⎝⎝ o ⎛⎛ n s z (− s z E z ) + ⎜ ⎜⎜ e ⎜ ⎝ no ⎝ 2 ( ⎞ ⎟⎟ − s x2 + s 2y ⎠ 2 ⎞ ⎟⎟ − s x2 + s 2y ⎠ ( ⎞ ⎟E = 0 ⎟ z ⎠ ) ⎞ ⎟E = 0 ⎟ z ⎠ ) ⎛n ⇒ ⎜⎜ e ⎝ no 2 ( ) ⎞ ⎟⎟ E z − s x2 + s 2y + s z2 E z = 0 ⎠ 2 sy ⎞ n E ⎟⎟ E z = E z , Q e ≠ 1 ⇒ E z = 0 ⇒ s x E x + s y E y = 0 ⇒ x = no E y − sx ⎠ ⎛ E x ⎞ ⎛ s y ⎞ ⎛ sin φ ⎞ r ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ∴O wave : E o = ⎜ E y ⎟ = ⎜ − s x ⎟ = ⎜ − cos φ ⎟ ⎜E ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ z⎠ ⎝ ⎛n ⇒ ⎜⎜ e ⎝ no 其中，sx, sy, sz 分別為傳播方向的三主軸投影量。而 E wave 的電場向量可直接將所得之折射係數代入雙軸材料的表示式求得： 25 ⎛ sx ⎞ ⎟ ⎜ 2 2 n n − o ⎟ ⎛ n e2 cos θ cos φ ⎞ ⎛ Ex ⎞ ⎜ ⎟ r ⎜ ⎟ ⎜ sy ⎟ ⎜ 2 n cos θ sin φ = E wave : E e = ⎜ E y ⎟ = ⎜ 2 ⎜ ⎟ e 2 ⎟ n n − ⎜ − n 2 sin θ ⎟ o ⎟ ⎜E ⎟ ⎜ o ⎝ z⎠ ⎜ s ⎝ ⎠ ⎟ z ⎜ 2 2 ⎟ ⎝ n − ne ⎠ sin 2 θ cos 2 θ 1 r 其中， 2 + = , s = (cosφ sin θ , sin φ sin θ , cosθ ) ，代入上式，化 ne no2 n2 簡証明如下： ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ cos φ sin θ ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎛ sx ⎞ no n e 2 ⎜ ⎜ 2 ⎟ − no ⎟ 2 2 2 2 2 n n − ⎟ ⎜ no sin θ + n e cos θ o ⎟ ⎛E ⎞ ⎜ r ⎜ x ⎟ ⎜ sy ⎟ ⎜ ⎟ sin φ sin θ E wave : E e = ⎜ E y ⎟ = ⎜ 2 = ⎟ ⎜ 2 ⎟ no2 n e2 2 ⎟ ⎜ E ⎟ ⎜ n − no ⎟ ⎜ − no ⎝ z ⎠ ⎜ sz ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ no sin θ + n e2 cos 2 θ ⎜ n2 − n2 ⎟ ⎜ ⎟ cosθ e ⎠ ⎝ ⎟ ⎜ 2 2 n n ⎜ 2 ⎟ o e ⎜ n 2 sin 2 θ + n 2 cos 2 θ − n e ⎟ e ⎠ ⎝ o 2 2 2 2 ⎛ cosφ sin θ no sin θ + n e cos θ ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 2 4 2 no n e sin θ − no sin θ ⎜ ⎟ ⎜ sin φ sin θ n 2 sin 2 θ + n 2 cos 2 θ ⎟ o e =⎜ ⎟ 2 2 2 4 no n e sin θ − no sin 2 θ ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎜ cosθ no sin θ + n e cos θ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ no2 n e2 cos 2 θ − n e4 cos 2 θ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 我們可以看到這兩個向量式相互正交的。再由介電係數關係式：D=εE，我們可以求得其對應的電位移向量為： ⎛ Dx ⎞ ⎛ ε o r ⎜ ⎟ ⎜ O wave : D o = ⎜ D y ⎟ = ⎜ 0 ⎜D ⎟ ⎜ 0 ⎝ z⎠ ⎝ 0 εo 0 0 ⎞⎛ E x ⎞ ⎛ D x ⎞ ⎛ sin φ ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ E y ⎟ ⇒ ⎜ D y ⎟ = ⎜ − cos φ ⎟ ε e ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ ⎜⎝ D z ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ 26 ⎛ Dx ⎞ ⎛ ε o r ⎜ ⎟ ⎜ E wave : D e = ⎜ D y ⎟ = ⎜ 0 ⎜D ⎟ ⎜ 0 ⎝ z⎠ ⎝ ⎛ no2 0 ⎞⎛ E x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ E y ⎟ = ε 0 ⎜ 0 ⎜0 ε e ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ ⎝ 0 εo 0 0 no2 0 0 ⎞⎛ n e2 cosθ cosφ ⎞ ⎟ ⎟⎜ 2 0 ⎟⎜ n e cosθ sin φ ⎟ n e2 ⎟⎠⎜⎝ − no2 sin θ ⎟⎠ ⎛ n e2 no2 cosθ cosφ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ n e2 no2 cosθ sin φ ⎟ ⎜ − n 2 n 2 sin θ ⎟ e o ⎝ ⎠ ⎛ D x ⎞ ⎛ cosθ cosφ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ D y ⎟ = ⎜ cosθ sin φ ⎟ ⎜ D ⎟ ⎜ − sin θ ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ ⎠ ε x = ε y = ε 0 n o2 , ε z = ε 0 n e2 這兩個電位移向量與 s 方向三者成正交關係。由幾何的關係，我們可以得到 O-wave 的電位移向量必垂直於波向量 ko 與 c 軸圍出的平面，而 E-wave 的電位移向量必垂直於 O-wave 的電位移向量與波向量 ke，故得： r r k o × cˆ O wave : D o = r k o × cˆ r r r Do × ke E wave : D e = r r Do × ke 以圖形來表示，我們可以得到： kz no k Extraordinary wave : k= ne (θ)ω/c Ordinary wave : k= no ω/c ky no n e θ kx 當我們找出這兩個相互垂直的電位移方向(De, Do)後，則對於單軸晶體內沿 s 方向傳播的偏極化光，它的電位移方向一定可以寫成這兩個正交模態的線性組合，意即： r r r r r r r D = C o D o exp( −ik o ⋅ r ) + C e D e exp( −ik e ⋅ r ) 27 其中，Co, Ce 為常數，ko 及 ke 分別為尋常光及非尋常光的波向量，其大小不同、方向相同。所以，當光在此介質傳播時，由於這兩個分量會對應兩個不同的傳播波向量，也就對應兩個不同的相速度，傳播一段距離後兩個分量將產生相位延遲。故當光走出介質，兩個分量重新組合時，光的偏振態就會發生變化。因此，雙折射波長板就是利用這樣的原理來改變光的偏振態。為了更清楚的說明，我們來考慮幾個有趣的例子： 3.3.1 傳播方向 k 垂直於 c-軸(光軸)：當傳播方向垂直於 c-軸時，kz=0。所以，傳播單位向量 s 可化簡如下： ⎛ cos φ ⎞ ⎟ r ⎜ s = ⎜ sin φ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ 其中，φ 為在傳播方向在 xy-平面上之投影向量與 x-軸之夾角。由前述的方法可求出此時尋常光對應的折射率為 no，非尋常光對應的折射率為 ne，而偏振態方向將會為： ⎛ sin φ ⎞ r ⎜ ⎟ O wave : E o = ⎜ − cos φ ⎟, ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ r ⎜ ⎟ E wave : E e = ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ 其中我們可以看到 E-wave 的電場方向將會平行於 c-軸。對於沿 s 方向傳播的偏極化光，它的電場方向一定可以寫成這兩個模態的線性組合，意即： r r r r r r r E = C o E o exp( −ik o ⋅ r ) + C e E e exp( −ik e ⋅ r ) 其中，Co, Ce 為常數，ko=(ω/c)no 及 ke =(ω/c)ne 分別為尋常光及非尋常光的波向量。為了說明傳播產生相位延遲及偏極化改變的效應，假設簡單的情況，φ=π/2。在此情況下，s=y, Eo=x, Ee=z，電場向量可寫成： r E = C o xˆ exp( −ik o y ) + C e zˆ exp( −ik e y ) 再假設 Co=Ce=1，意即尋常光及非尋常光的分量強度相同，且在 y 軸上傳 r 播的起始相位亦相同。故在 y=0 時，兩分量為同相，電場 E = xˆ + zˆ 。傳播距離為 y=dλ/4 時， dλ/4 如下： π 2 = (ω / c )( n e − no )d λ / 4 ⇒ d λ / 4 = π 2(ω / c )(n e − n o ) 28 電場會從原來的線偏振光變成圓偏振光，如下： r E = xˆ exp( −ik o d λ / 4 ) + zˆ exp( −ik e d λ / 4 ) = exp( −ik e d λ / 4 )[exp[− i ( k o − k e )d λ / 4 ]xˆ + zˆ ] = exp( −ik e d λ / 4 )[ixˆ + zˆ ] 傳播距離為 y=dλ/2 時， dλ/2 如下： π = (ω / c )( n e − n o )d λ / 2 ⇒ d λ / 2 = π (ω / c )( n e − n o ) 電場會從原來的線偏振方向轉 90o 的方向，如下： r E = xˆ exp( −ik o d λ / 2 ) + zˆ exp( −ik e d λ / 2 ) = exp( −ik e d λ / 4 )[exp[− i ( k o − k e )d λ / 2 ]xˆ + zˆ ] = exp( −ik e d λ / 4 )[− xˆ + zˆ ] 所以通常我們把 dλ/4 厚度的雙折射板稱為四分之波長板 (quarter-wave plate)，其可用來線偏振光轉變成圓偏振光。而，dλ/2 厚度的雙折射板稱為半波長板(half-wave plate)，用途則為旋轉改變線偏振光的方向。 3.3.2 傳播方向 k 位於 xz-平面時：當傳播方向 xz-平面時，φ=0。所以，傳播單位向量 s 可化簡如下： ⎛ sin θ ⎞ ⎟ r ⎜ s =⎜ 0 ⎟ ⎜ cos θ ⎟ ⎝ ⎠ 其中，θ 為傳播方向與 z-軸之夾角。由前述的方法可求出此時尋常光對應的折射率為 no，非尋常光對應的折射率 ne (θ)為： ⎡ cos 2 θ sin 2 θ ⎤ n e (θ ) = ⎢ 2 + ⎥ n e2 ⎦ ⎣ no −1 / 2 其中，對應之尋常光的波向量 ko=(ω/c)nos ；而非尋常光的波向量 ke=(ω/c)ne(θ)s 。所以此時隨著 θ 的變化，非尋常光對應的折射率可從 ne (θ=0)= no 變化到 ne (θ=π/2)= ne 。兩者對應之偏振態方向將會為： 29 ⎛ n e2 cos θ ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ r r ⎜ ⎟ O wave : E o = ⎜ 1 ⎟, E wave : E e = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ − n o sin θ ⎠ 其中我們可以看到 O-wave 的電場方向將在 y-軸方向，垂直於傳播方向及 c-軸。而，E-wave 的電場方向將落在 xz-平面上，不一定會垂直於傳播方向。當尋常光及非尋常光同時在介質中傳播一段距離 d 時，兩者將引起相位延遲Γ為： ω Γ = ( )(n e (θ ) − n o )d c 此相位延遲Γ將引起光的偏振態的改變，使得穿透光中同時含有尋常光及非尋常光的分量。 3.3.3 傳播方向 k 沿 c-軸時：當傳播方向沿 c-軸時，θ =0。所以，傳播單位向量 s 可化簡如下： ⎛ 0⎞ r ⎜ ⎟ s = ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ 此時，兩個傳播模態將會對應相同的折射率 n1=n2=no。因此，兩者將會有相同的相速度，k1=k2=no(ω/c)s。換言之，兩模態為簡併模態(degenerate)，故偏振態方向可以取在其橫截面上任意方向，我們可以取兩正交模態為： ⎛1⎞ r ⎜ ⎟ E 1 = ⎜ 0 ⎟, ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ r ⎜ ⎟ Ee = ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ 我們可以看到電場方向垂直於傳播方向。因此，當兩模態光同時在介質中傳播一段距離 d 時，兩者將不引起相位延遲，換言之，光的偏振態不會改變。 30 3.4 邊界上的雙折射效應所有光學元件均有界面，接下來讓我們考慮光從均勻介質進入雙折射介質時(如下圖)，界面上所發生的事情。從上圖我們可以看到對均勻介質兩個模態沒有分別，而對折射光在非均相性介質中，混合在一起的兩個模態(尋常光及非尋常光的分量)將會對應到不同的相速度。而根據電磁波在邊界連續的條件：所有的波向量將位於相同的入射平面上(plane of incidence)，且其在切線方向上的分量必須相同，我們可以計算出兩個模態之折射光應有的方向。如下： k i sin θ i = k1 sin θ1 = k 2 sin θ 2 其中，ki 為入射光的波向量， k1 及 k2 為折射光中兩個模態的波向量，上式是由圖中將每個量分別取其在界面上投影量相同而得到，也就是滿足切線方向相同之條件。又，圖中的兩個曲面則為正交曲面在入射面上的截面而產生的，因此折射光要同時滿足正交曲面之條件及電磁波連續的條件，就可以決定折射光的角度θ1 及θ2 與入射角θi 的關係。上圖為以圖解的方法來決定這些參數的關係示意圖。在單軸晶體的情況，其中尋常光所對應的曲面為圓球，所對應的波向量 k 在不同傳播方向均為常數，故上式可簡化成為簡單的 Snell 定律： 31 k i sin θ i = k1 sin θ 1 ⎛ω ⎞ ⎛ω ⎞ ⇒ ni ⎜ ⎟ sin θ i = no ⎜ ⎟ sin θ 1 ⎝c⎠ ⎝c⎠ ⇒ ni sin θ i = no sin θ 1 其中尋常光所對應的折射率為 n1= no。另一個分量及為非尋常光，所對應的正交曲面為橢球，波向量 k2 在不同傳播方向對應的折射率均不同，下圖分別表示不同的幾個例子。光軸平行於界面且平行於入射平面時光軸垂直於界面且平行於入射平面時光軸平行於界面且垂直於入射平面時 32 33 3.5 非均向吸收材料及偏振板某些光學材料除了雙折射效應外，它的吸收也會對對不同偏振方向的電場產生不同的吸收情況，稱之為非均向吸收材料(anisotropic absorption)。這就是前面提過可用來作為偏振板的材料，如：電氣石、氧化錫薄膜、及一些 Polariod 偏振板。以 Polariod 偏振板為例，其中含有一些針柱狀結構的分子材料所組成，這些柱狀材料經過特殊的方法，將其長軸向平行對準，所以這些分子會吸收電場方向平行於其吸收軸的光，而讓垂直吸收軸的光通過，故不同的偏振態將對應到不同的複數折射率，而大部分的薄膜偏振板使用單軸非均向吸收材料，所以其折射率可表示為： n̂o = no − iκ o n̂ n̂ e = n e − iκ e 其中，虛數部分κo 及κe 分別為吸收參數(extinction coefficient)。當光穿透此材料時，虛數部分將會引起光的吸收，如下： k o, e = wave number = 2π λ n o, e ⇒ E o, e = E 0 exp(iωt − ik o, e z ) = E0 e ≡ E0 e −κ o , e − αo ,e 2 ω c z z ω exp(iωt − in o , e ( ) z ) c ω exp(iωt − in o, e ( ) z ) c 其中，αo,e 為光的吸收係數，如下所示： α o ,e ≡ 4π λ κ o,e = attenuation coefficient 一個良好的偏振板其κo 與κe 的差異要很大，讓其中一個偏振模態可以通過偏振板，而吸收另一個模態。如此，偏振板可分為兩種形式： 34 O-type 偏振板：吸收 E-wave 的光，穿透 O-wave 光 κ e >> κ o ≈ 0 ⇒ α e >> α o ≈ 0 E-type 偏振板：吸收 O-wave 的光，穿透 E-wave 光 κ o >> κ e ≈ 0 ⇒ α o >> α e ≈ 0 大部分市售的薄片型偏振板的作法是將大塊的塑膠薄板延展拉製而成，常用的塑膠板的材料是 PVA (polymer polyvinyl alcohol)。延展的過程產生拉力使得三軸不對稱的分子對準同一方向，假如偏振板吸收軸平行於長軸，則延展的 PVA 薄膜偏振板為 O-type (意即： κ e ≥ κ o ≈ 0 )，典型的例子有 HN-22 及 HN-38 (Polaroid 的產品)；若製作過程中，利用壓擠的方法來排列分子方向，將使得偏振板為 E-type ，此時分子的吸收軸平行於長軸。理想的 O-type 偏振板對應的尋常光折射係數為實數，而對應的非尋常光折射係數為複數，讓穿透光的兩個模態之傳播相位項呈現下列反應： exp( −ik o d ) ≈ exp( −in o exp( −ik e d ) = 2π λ 2π exp( −in e λ d) =1 d ) exp( −κ e 2π λ d) ≈ 0 其中，d 為偏振板薄片的厚度。上式將使得兩個偏振態可以被分離開來，穿透光中只含尋常光的分量，但實際的偏振板對此分量仍具有微小的吸收，而且對 O-type 偏振板而言，通常會定義偏振板的光軸(c-axis)是垂直於其偏振板穿透軸的方向。另外，對 E-type 的偏振板而言，假如入射光的方向不是垂直於偏振板，則對尋常光及非尋常光均會衰減，此現象形成的原因，可以簡單的被理解成：非尋常光的波前向量式角度的函數，會從 no 變化到 ne，而因為 no 是複數，所以在入射光不是垂直入射時，非尋常光及尋常光都會被吸收衰減，只有在入射光垂直入射時，非尋常光的衰減才會消失。 3.5.1 衰減比例(extinction ratio)與實際的偏振板 35 如前面的討論，對一個偏振板我們可以定義兩個“主軸”的穿透量，分別對應光的偏振態平行或垂直穿透軸，如下： T1=偏振方向平行於穿透軸時的穿透率 T2=偏振方向垂直於穿透軸時的穿透率對理想的偏振板而言，T1= 1, T2= 0。然而，對實際的偏振板，T1 總是會小於 1, T2 總是會比 0 稍大。實際上，這兩個參數將都會與入射光波長有關。對於要求較高的光學應用，會要求偏振板有較大的 T1 ，較小的 T2 ，一般我們將衰減比例(或對比比例, contrast ratio)定義成：衰減比例 = T2 T1 上式可以用來表示偏振板的分辨率的量測方法。若一個偏振板之 T1 = 0.8, -3 T2 = 0.0008，則衰減比例為 10 。以此偏振板組成的系統，穿透光強度對下列三種情況分別為：非偏極化光(Unpolarized light)穿過單一偏振板： To = 12 (T1 + T2 ) 非偏極化光穿過一對穿透軸相互平行的兩片偏振板： T p = 12 (T12 + T22 ) 非偏極化光穿過一對穿透軸相互垂直的兩片偏振板： Tx = T1T2 根據上式，光穿透一對穿透軸相互垂直的理想偏振板，其穿透光強度必為零。 36 3.5.2 正交偏振板的視場(Field of view of crossed polarizer) 這小節我們將討論偏振板在入射光為傾斜入射時的特性。上頁的最後一個式子簡單的說明了，當偏振板有 T2 穿透分量時，正交的偏振板對漏光的情形。因此，對一個理想的偏振板而言，漏光的量必為零(因為，T2=0)，但是要強調的是，這只適用於正向入射的情況。對大角度的斜向入射時，漏光的量遠大於上式(T1T2)量，甚至對理想的偏振板而言，大角度的入射一樣會造成漏光。要說明漏光的現象，首先必須了解偏振板在不同正交模態的傳播特性，我們將問題簡單限制討論一對正交的理想偏振板的漏光性質。因為大部分的偏振板為 O-type，我們假設偏振板是由單軸材料組成，可完全濾掉非尋常光，穿透尋常光。假設正交的偏振板其光軸(c-axis)分別在 c1 及 c2 的方向上，在我們討論的正交偏振板之情況，這兩個光軸之單位向量為相互垂直。因此，從前面對偏振板的討論，我們可以得到對第一個或第二個偏振板，穿透光的偏振態變成： r r r r k × c1 k × c2 r r o1 = r r , o2 = r r k × c1 k × c2 其中，k 為在偏振板中的光波前向量。因此，假如 o1 及 o2 為相互正交，則沒有光能穿過一對正交的偏振板，但仔細檢查上式，可以看到：即使 c1 及 c2 為相互正交，並不表示 o1 及 o2 為相互正交，只有在光為正向入射時， o1 及 o2 才會相互正交。故對一對正交的偏振板，非偏極化光穿透後的漏光問題，可以用在此情況下的穿透濾表示如下： r r 2 T x = 12 o1 ⋅ o 2 如果我們定義偏振板中的光的傳播方向角度為(θ, φ)，則波前向量可以寫成： r k = k (sin θ cos φ , sin θ sin φ , cosθ ) 代入上式，並簡單假設正交偏振板的光軸方向為：c1=x, c2=y，則穿透濾可以化簡成： r r T x = 12 o1 ⋅ o 2 2 = sin 4 θ sin 2 φ cos 2 φ 2(1 − sin 2 θ sin 2 φ )(1 − sin 2 θ cos 2 φ ) 37 我們可以用簡單的 Snell 定律就可以將上式的材料內角度換成材料外的入射角度： sin θ ext = no sin θ o 從式中，我們可以看到當φ = 45 且θ為大角度入射時，漏光會最嚴重而當 o o φ=0 或 90 入射時，則不會有任何漏光發生，此時入射平面將會平行情中一 o o 個偏振板的光軸。再者，當φ = 45 且θ = 30 時，Tx= 1/98 為漏光很嚴重的 o 情況。對折射率為 n = 1.5 之偏振板材料，相當於外角為θext = 48.6 。下圖表示在不同入射角度時的漏光情況，圖中我們以等高線圖來表示其穿透率遞減之情形。我們可以看到此關係圖有四軸對稱之特性，暗區將形成一個十字型，其十字的方向可藉由調整正交偏振板的光軸方向來改變。從上面的討論的基礎可知：實際上我們可以用一對正交的 O-type 及 E-type 偏振板來避免漏光的問題，但是 E-type 的偏振板在大角度入射時會有吸收衰減光強度的效應。 38 3.6 旋光性及法拉第旋光特性(Optical Activity and Faraday Rotation) 某些光學材料會讓傳播光的偏振態平面隨著傳播而不段旋轉，此效應稱之為旋光性(optical active)，最早是在 1811 年在石英晶體中觀察到此現象，它會讓沿光軸傳播的光波之偏振態平面隨著傳播而旋轉，後來陸續在不同的材料中都可發現此效應，如：鹽的晶體在 20oC 時，每傳播 1mm 的距離會讓偏振態平面旋轉 21.72o。旋光性材料的旋轉方向至今可看到左旋或右旋材料都有。某些液體亦具有旋光性，最早在 1815 年就在糖溶液中觀察到旋光效應。在非晶矽石英中觀察不到旋光性，所以我們可以知道固體中旋光特性的由來是因為晶格結構以及在晶體中分子的特殊排列所造成的。在液體中，分子的排列指向是隨意分布的，因此其旋光性的由來將是由分子結構本身所貢獻的，觀察所有的旋光液體材料的組成分子，都可發現其具有非對稱的原子分布，如：碳、氮、硫等原子。除外，這些液體材料都同時具有對應的左旋及右旋的雙生結構。許多液晶材料都含有所謂的旋轉(chiral)分子結構，其為鏡像對稱。這種鏡像對稱的由來是起因於分子化合物內具有一個或一個以上的非對稱碳原子所造成，所以分子結構可以是左旋或右旋的旋轉排列。這些形式通常被稱為所謂的 dextro (D)或 levo(L)，因為當分子中碳原子被排成垂直一條線時，分子的結構兩相比較可以是左旋或右旋。因此，液體中的旋光特性，是起因於分子中非對稱性結構排列之原子造成，即使液體的分子指向是隨機亂排的。下圖以圖示來說明旋光性材料中光傳播與其偏振態平面旋轉的關係，旋轉的量將正比於其傳播的距離。一般，我們定義材料的旋轉率 (rotatory power)為每公分旋轉的角度(degree per centimeter)，則材料的旋轉比率(specific rotatory power)為每單位長度旋轉的角度。 39 對旋光性材料來說，偏振態旋轉的方向與光前進的方向呈現固定的關係，是故當光來回穿過材料兩次時，偏振態淨旋轉的角度為零，如上途中若將光由右向左反射回去，光會回到原偏極化。材料被稱為 detrorotatory 或右旋，是指該材料讓偏振態平面旋轉的方向為反時針方向(以觀察者面對光來的方向而言)；反之，若旋轉方向為順時針方向，則稱為 levorotatory 或左旋。石英晶體可以是左旋或右旋晶體結構形式，許多其他的材料亦具有旋光性，如：cinnabar, sodium chlorate, turpentine, sugar, strychnine sulfate, tellurium, selenium, 以及 silver thiogallate (AgGaS2)。許多液晶材料及有機化合物也具有旋光性，下表列出一些材料及其旋光比率： 40 41 在 1825 年，Fresnel 是第一個利用圓偏極的雙折射特性來解釋物質的旋光性之科學家，他假設在材料中傳播的本徵偏振態為左旋或右旋的圓偏振態。因此，若假設光是沿著 z 軸傳播且這兩個偏振態對應的折射率分別為 nl 及 nr，則這兩個光波的電位移向量可以寫成： r ⎡ ⎛ zn ⎞⎤ R exp ⎢iω ⎜ t − r ⎟⎥ , c ⎠⎦ ⎣ ⎝ r ⎡ ⎛ zn ⎞⎤ L exp ⎢iω ⎜ t − l ⎟⎥ c ⎠⎦ ⎣ ⎝ 其中，R 及 L 分別為圓偏極化所對應之 Jones 向量。因此，若一線性偏極化光在 z = 0 處入射此材料，其偏振方向為 x-軸，且強度為 Do，則此光波可以用這兩個圓偏極化模態展開，每個模態各具有強度振幅為 Do / 2 ，在傳播一段距離 z 後，光波之電位移向量為： zn zn Do iωt ⎛⎜ r −iω c r r −iω c l e Re +Le ⎜ 2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 利用 R 及 L 模態之表示法，上式可進一步化簡為： z(n r + nl ) ⎞⎫ ⎧ ⎛ r Do p exp ⎨iω ⎜ t − ⎟ ⎬, with c 2 ⎠⎭ ⎩ ⎝ r ⎡ω (n l − n r ) ⎤ ⎡ω (n l − n r ) ⎤ p = xˆ cos⎢ z ⎥ + yˆ sin ⎢ z⎥ c c 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 其中，p 代表穿透光的偏振態，我們可以看到其代表此光波的偏振態還是線性偏極化，但偏振態平面會隨著傳播距離從 x- 軸轉到與 x- 軸夾角為 (ωz(nl-nr)/2c)的方向上。因此，旋光比率係數(specific rotatory power)為： ρ= π (n l − n r ) λ 假如：(1) nr< nl，旋光性為右旋；(2) nr> nl，旋光性則為左旋。因此，偏振方向旋轉的方向將與傳播較快的圓偏極化光相同。同理，可以証明對橢圓偏極化光入射到旋光性材料時，其橫截面偏振態橢圓將會維持原形狀但是旋轉了(ωz(nl-nr)/2c)的角度。液晶材料 CEEC 在入射光波長為 λ=650nm 時，具有旋光比率為 285o/mm，其 n r − n l = 1.03 × 10 −3 。已有證據顯示，觀察偏振態平面的旋轉是一種很敏感的方法來測量很小的圓偏極雙折射係數。 42 要廣義的分析旋光性質，則需由材料方程式出發，電磁學中基本的材料方程式 D=εijE，不能適用於具有旋光性的材料中，我們必須重新將材料組成關係式廣義化。旋光性的電磁學理論已由 Born 及其合作者建立，並且由 Condon 整理完備，我們先強調一點關係：由最上面的式子可以看到，旋光比率將會與波長有關(µ1/λ)，而且與材料的色散效應亦有關。根據他們的理論，旋光性起因於下列關係式所表示之分子的性質： p = αE − βH& 其中，p 為感應產生的分子偶極矩(dipole moment of the molecule)。對線性分子而言， β=0 。而非零的 β 係數起因於分子的本質旋轉結構 (chiral structure)，當這樣的旋轉結構分子處於時變的磁場中，時變的磁通量通過分子將產生環繞磁場 H 的方向之感應電流，其流動方向可以用楞次電磁感應定律(Lenz law)來規範，這個感應電流使得在 H 的微分方向上，產生時變的電荷分離，因此就產生了上式後半部與β係數有關的電雙極矩項。因此，對均勻的介質中傳播的平面波，與旋光性材料有關的材料方程式就可以寫成： r r r r r r D = ε 0 E + P = εE + iε 0 G × E r r r & = −∇ × E ⇒ G = f (β)(ikˆ) Q ε = (α + ε 0 ), H 其中，ε0 為分子不含旋光性的介電張量係數項，而從上式可知 G 為平行傳播方向與 β 係數 ( 旋光性 ) 有關的向量，通常稱之為迴旋向量 (gyration vector)。向量外積 GxE 通常可以用一個反對稱張量(antisymmetric tensor) [G] 與電場 E 乘積來表示，所以上式可以重新化簡成： ⎛ G E − Gz E y ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ r r ⎜ y z G × E = ⎜ Gz E x − Gx E z ⎟ = ⎜ Gz ⎜G E − G E ⎟ ⎜ − G y x⎠ y ⎝ x y ⎝ r r ⇒ D = (ε + iε 0 [G ])E − Gz 0 Gx G y ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ − G x ⎟⎜ E y ⎟ 0 ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ [G ] 23 = −[G ]32 = −G x [G ]31 = −[G ]13 = −G y [G ]12 = −[G ] 21 = −G z 其中，[G] 迴轉向量的矩陣表示式，其矩陣元素分別為上式右半部的參數。所以為方便起見，通常對旋光性材料重新定義一個新的介電係數張量為： 43 r r r r r r D = εE + iε 0 G × E = (ε + iε 0 [G ])E ≡ ε ′E ⇒ ε ′ = ε + iε 0 [G ] 這個新的介電係數張量ε'滿足 Hermitian 性質，即ε’ij=(ε‘*ji)*。我們可將其 r r r r 代入平面波動方程式 k × k × E + ω 2 μεE = 0 ，然後就可以解出旋光性材料內的傳播正交模態(normal modes)。同理，先將光波傳遞方向表示成 s 向量，則迴轉向量 G=Gs。故用來解折射係數本徵值的 Fresnel 方程式可以推導變成： s x2 n 2 − n x2 =G + s 2y n 2 − n 2y + s z2 − n 2 − n z2 1 n2 s x2 n x2 + s 2y n 2y + s z2 n z2 2 n 2 ( n 2 − n x2 )( n 2 − n 2y )( n 2 − n z2 ) 証明如下： r r r r k × k × E + ω 2 με ′E = 0 r r r r r r r ⇒ k k ⋅ E − k ⋅ k E + ω 2 με ′E = 0 ( ( ) ) ( ) ⎛ kx ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ (k x E x + k y E y + k z E z )⎜ k y ⎟ − k x2 + k y2 + k x2 ⎜k ⎟ ⎝ z⎠ ( ⎛ ω 2 με x − k y2 − k z2 ⎜ ⇒ ⎜ k y k x + Gz ⎜ k k −G z x y ⎝ k x k y − Gz and (k x ky ω ⇒ ( )2 c ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ k y k z − Gx ⎟⎜ E y ⎟ = 0 ω 2 με z − k x2 − k y2 ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ ⎞ ⎟ k y k z − Gx ω 2 με y − k x2 − k z2 ⎟=0 k z k y + Gx ω 2 με z − k x2 − k y2 ⎟⎠ k z ) = (n(ω / c ) s x n(ω / c ) s y n(ω / c ) s z ) k x k y − Gz kxkz + Gy n x2 − n 2 ( s 2y + s z2 ) n 2 sx s y − Gz n2 sx sz + G y n 2 s y sx + Gz n 2y − n 2 ( s x2 + s z2 ) n 2 s y sz − Gx n2 sz sx − G y n 2 sz s y + Gx n z2 − n 2 ( s x2 + s 2y ) n x2 − n 2 (1 − s x2 ) ⇒ n 2 s y sx + Gz 2 ) − Gz ω 2με y Gx kxkz + Gy ω 2 με y − k x2 − k z2 k z k y + Gx ⎛ ω 2 με x − k y2 − k z2 ⎜ ∴ det ⎜ k y k x + G z ⎜ k k −G z x y ⎝ 2 ⎛ E x ⎞ ⎛⎜ ω με x ⎜ ⎟ ⎜ E y ⎟ + ⎜ Gz ⎜E ⎟ ⎜ −G y ⎝ z⎠ ⎝ n sz sx − G y n 2 sx s y − Gz n 2 sx sz + G y n 2y − n 2 (1 − s 2y ) n 2 s y sz − Gx 2 n z2 n sz s y + Gx 44 2 − n (1 − s z2 ) =0 =0 G y ⎞⎛ E x ⎞ ⎟⎜ ⎟ − G x ⎟⎜ E y ⎟ = 0 ω 2με z ⎟⎠⎜⎝ E z ⎟⎠ ( )(n − n + n s )(n − n + n s )⎤ ( )(n s s − G )(n s s − G ) ⎥⎥ ( )(n s s + G )(n s s + G ) ⎥⎥ = 0 ( )(n s s − G )(n − n + n s ) ⎥ ( )(n s s + G )(n − n + n s ) ⎥⎥ ( )(n s s − G )(n − n + n s ) ⎥⎦ ⎡(n − n )(n − n )(n − n ) + n s s s ⎢ ⎢ + n s s (n − n ) + n s s (n − n ) + n s s (n − n ) ⎢ + n s (n − n )(n − n ) + n s (n − n )(n − n ) + n s (n ⎢ ⎡ n x2 − n 2 + n 2 s x2 ⎢ 2 ⎢+ n s x s y − G z ⎢+ n 2 s s + G x z y ⇒⎢ 2 ⎢− n s x s z + G y ⎢ 2 ⎢− n s x s y − G z ⎢− n 2 s s + G z y x ⎣ 2 x ⎢+ ⎢ ⎢− ⇒⎢ + ⎢ ⎢+ ⎢ ⎢− ⎢− ⎢ ⎢⎣ − 2 2 y 2 x 2 y 2 2 2 2 2 2 2 y z z x y x z x y y x z y z x 2 z 2 2 y 2 2 2 y 2 z 2 x 2 z 2 2 2 z z x y y x 2 z 2 2 y 2 2 z 2 2 x 2 2 2 6 2 2 2 x y z 4 2 2 2 2 4 2 2 z x y x y 2 2 2 2 2 2 x y z 4 2 2 2 2 2 y z z 2 2 2 2 2 2 2 2 z x y y n 6 s x2 s 2y s z2 − G x G y G z n 4 s x s 2y s z G y − n 4 s x2 s y s z G x − n 4 s x s y s z2 G z n 2 sx s yGxG y n 2 sx s y − Gz n 2 s y sz − Gx n 2 sz sx − G y n 6 s x2 s 2y s z2 + n 2 s x s z + G y n 2 s z s y + G x n 2 s y s x + G z n 2 s x s z + G y n 2 s z s x − G y n 2y − n 2 + n 2 s 2y n 2 s x s y − G z n 2 s y s x + G z n z2 − n 2 + n 2 s z2 n 2 s z s y + G x n 2 s y s z − G x n x2 − n 2 + n 2 s x2 ( ( ( ( ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ) ) ) ) 2 x − n2 ⎤ ⎥ ⎥ 2 2 ⎥ nz − n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥=0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ )( ) 其中，ε0 為分子不含旋光性的介電張量係數項，而從上式可知 G 為平行傳播方向與 β 係數 ( 旋光性 ) 有關的向量，通常稱之為迴旋向量 (gyration vector)。向量外積 GxE 通常可以用一個反對稱張量(antisymmetric tensor) [G] 與電場 E 乘積來表示，所以上式可以重新化簡成： r r D = (ε + iε 0 [G ])E [G ] 23 = −[G ]32 = −G x [G ]31 = −[G ]13 = −G y [G ]12 = −[G ] 21 = −G z 其中，[G] 迴轉向量的矩陣表示式，其矩陣元素分別為上式右半部的參數。所以為方便起見，通常對旋光性材料重新定義一個新的介電係數張量為： ε ′ = ε + iε 0 [G ] 45 這個新的介電係數張量ε'滿足 Hermitian 性質，即ε’ij=(ε‘*ji)*。我們可將其 r r r r 代入平面波動方程式 k × k × E + ω 2 μεE = 0 ，然後就可以解出旋光性材料內的傳播正交模態(normal modes)。同理，先將光波傳遞方向表示成 s 向量，則迴轉向量 G=Gs。故用來解折射係數本徵值的 Fresnel 方程式可以推導變成： s x2 n 2 − n x2 =G + s 2y n 2 − n 2y + s z2 n 2 − n z2 − 1 n2 s x2 n x2 + s 2y n 2y + s z2 n z2 2 n 2 ( n 2 − n x2 )( n 2 − n 2y )( n 2 − n z2 ) 其中，(nx, ny, nz)為主軸折射係數，(sx, sy, sz)為傳播方向 s 沿主軸上的三個 2 2 分量。若 n 1 及 n 2 分別表示 G = 0 時 Fresnel 方程式的兩個解，則上式可以重新寫成： (n 2 − n12 )( n 2 − n 22 ) = G 2 對沿著光軸方向傳播的光波，我們知道 n1= n2= n，上式亦可化簡成： n2 = n 2 ± G 通常 G 很小，我們得到近似如下： G 2n 這兩個折射率分別代表兩個圓偏極振光所對應的折射率。將其與 Fresnel 所 n≈n± 推導的結果比較，可得旋光比率(rotatory power)為： ρ= π πG (nl − n r ) = λ λn 對單軸晶體而言，n = n0。但是參數 G 則會與傳播方向有關，可以寫成方向餘弦(sx, sy, sz)的二次式，如下： G = g11 s x2 + g 22 s 2y + g 33 s z2 + 2 g12 s x s y + 2 g 23 s y s z + 2 g 31 s z s x ⇒ G = ∑ g ij s i s j , i, j = x, y, z 其中，gij 為迴轉張量的矩陣元素，其描述規範了晶體材料的旋光性質。若要研究傳播光波的正交模態之偏振態，則以電位移向量 D 的表示法較為簡 46 單，因為 D 一定在與傳播方向垂直的方向上(s.D = 0)，而因為介電係數的 Hermitian 特性，也很容易找到ε-1 的表示式。材料的組成方程式則重新寫成： r 1 r E= D ε′ 其中，ε‘為具有旋光性的介電係數張量，其倒數亦為 Hermitian 張量。將上式關係代入波動方程式中，則將正交模態滿足的關係式化簡如下： r r r ε r n 2 s × ( s × 0 D) + D = 0 ε′ 因為與ε/ε0 比起來，G 通常很小，我們得到近似如下： 1 1 1 1 = − iε 0 [G ] ε′ ε ε ε 波動方程式可以用反介電張量(impermeability tensor) η= ε0/ε，化簡成： r 1 r [ s ][ s ]{η − iη[G ]η}D = − 2 D n 其中，[s]為 sx 之反對稱張量(antisymmetric tensor) 表示法，與前面定義[G] 的方式類似。假設 D1 及 D2 表示在無旋光性下(G = 0)，光傳播的正交模態，則： ⎧⎪ r r 1 ⎫⎪ r [ s ][ s ] η + D = 0 , D ⎨ ⎬ 1,2 i ⋅ D j = δ ij n12,2 ⎪⎭ ⎪⎩ 現在我們以上面的關係來解有旋光性下的傳播正交模態。先將座標系統轉到(D1, D2, s)的方向上，並以此系統重新將波動方程式寫成： iG ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 2 n12 n 22 ⎟ r 1 r ⎜ n1 D= 2 D 1 ⎟ ⎜ iG n ⎜ − n2n2 2 ⎟ n2 ⎠ ⎝ 1 2 故，本徵模態對應的折射率 n 滿足上式之行列式為零的多項式： 1 iG ⎞ ⎛ 1 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎛ G ⎞ n1 n n12 n 22 ⎟ ⎜ det = 0 ⇒ ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟ iG 1 1 ⎟ ⎜ ⎝ n1 n ⎠⎝ n 2 n ⎠ ⎝ n1 n 2 ⎠ ⎜ − n2n2 n2 − n2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 2 我們得到上式的解為： 47 2 ⎛ G ⎞ 1 1⎛ 1 1 ⎞ 1⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2 2⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ± − = + ⎜n n ⎟ 4 ⎜⎝ n12 n 22 ⎟⎠ n 2 2 ⎜⎝ n12 n 22 ⎟⎠ ⎝ 1 2⎠ 2 代回原波動方程式，可解得模態對應的偏振態(以 Jones 向量表示)為： 2 2 ⎛ ⎛ ⎛ G ⎞ ⎞⎟ 1 ⎞ 1⎛ 1 1 ⎞ ⎜1⎜ 1 r ⎜ 2 ⎜ n 2 − n 2 ⎟⎟ ± 4 ⎜⎜ n 2 − n 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ n 2 n 2 ⎟⎟ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 2⎠ ⎟ ⎝ 1 J± = ⎜ ⎝ 1 iG ⎟ ⎜ − 2 2 ⎟ ⎜ n1 n 2 ⎠ ⎝ 這兩個以 Jones 向量表示的偏振態，很明顯的是橢圓偏振態，而且兩者相互正交。另外，我們可以看到：第一項為實數，第二項為純虛數，所以此橢圓偏振態的主軸將平行於無旋光下解出的兩個偏振態方向 (D1,D2)，如下圖所示。由圖中，我們也可以看到：兩個橢圓偏振態的旋轉方向恰好相反。 D2 D1 此橢圓偏振態的橢圓率(ellipticity,定義為兩主軸上的截距比)為： e= ( 1 2 n 2 − n12 2 ) −G 1 2 ± n 2 − n12 4 ( ) 2 + G2 當光的傳播方向在非均向性介質的光軸或光在均向介質內傳播時(n1= n2= n)，正交模態對應的折射率則變為： G G⎞ 1 1 1 ⎛ 1 = ± = ± ⎜ ⎟ n2 n 2 n 4 n 2 ⎝ n2 ⎠ −1 / 2 G⎞ G ⎞ ⎛ ⎛ ≈ n ⎜1 ± 2 ⎟ ⇒ n = n ⎜1 ± 2 ⎟ n ⎠ 2n ⎠ ⎝ ⎝ 48 正交模態對應的光偏振態變為如下式，為典型的左旋及右旋圓偏振態。 r ⎛ ± 1⎞ J ± = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝− i⎠ 2 2 在一般的非均向性介質中的任意方向傳播時，G 通常遠小於(n2 -n1 )，導致正交模態對應的橢圓率很小(意即：e<<1)，而讓這兩個偏振態幾乎是線性偏振態。舉例來說，對一道在石英晶體內沿垂直光軸方向傳播的光波，若其 -5 -3 波長為λ = 5100Å，則所對應的 G 值為 6x10 ，因此對應的橢圓率為 2x10 。迴轉張量(gyration tensor)為對稱的，最多有六個不同的元素，有些元素會因為晶體的對稱性變為零。舉例來說：中心對稱的材料將不會具有旋光性，下表列出不同對稱下，迴轉張量的形式。 49 50 3.6.1 法拉第磁光效應(Faraday rotation) 法拉第磁光效應指的是：某些透明材料在外加磁場作用下，會讓其中沿著磁場方向傳播的光波之偏振態平面會隨著傳播距離而旋轉的一種效應。更精確來說，偏振平面的旋轉量將會正比於磁場在傳播方向的分量。換言之，若以迴轉向量的定義方法，其將會正比於外加磁場，如下： r r G = γB 其中，γ可視為介質的磁迴轉係數(magnetogyration coefficient)。這與旋光性的不同在於：旋光材料中，偏振態旋轉的方向與傳播方向有一定固定的關係，所以當一道光來回穿過介質回到原出發點時，光偏振態的淨旋轉角度為零。但是，法拉第磁光效應的旋光效果取決於外加磁場 B，所以當光來回穿過介質回到原出發點時，光偏振態的旋轉角度為兩倍。通常將旋轉比率(specific rotation, 單位長度造成之旋轉角度)定義為： ρ = VB 其中，V 為 Verdet 係數。法拉第磁光效應起因於靜磁場對材料內運動電子的作用。在入射光之電場作用下，材料的電子將會從其平衡位置開始位移，這個電子之移動，若同時又耦合到靜磁場效應的話，將產生所謂的 Lorentz 力(vxB)，讓電子產生橫向的位移，最後導致在材料內產生與(BxE)正比的感應偶極矩(induced dipole moment)。綜合而論，介質的材料關係式可以寫成： r r r r D = εE + iε 0 γB × E 上式中的 i，表示電子的速度與電場間有π/2 的相位。在許多材料中(固體、液體及氣體都有)，均可觀察到法拉第磁光效應。下頁的表格列出了一些例子及其材料的 Verdet 係數。從原子微觀的觀點，法拉第磁光效應與 Zeeman 效應有關，靜磁場與原子中的軌道上運動電子作用的結果，將讓每個電子的能階分裂成數個次能階，而從角動量守恆的觀點來看：右旋圓偏振態光與左旋圓偏振態光將會與不同組的次能階作用，因此，在外加磁場下，材料將呈現圓偏振的雙折射特性，進而旋轉光的偏極化向量。 51 52 3.7 雙軸介質中的光傳播現象(Light propagation in biaxial media) 嚴格來說，大部分的液晶材料的本質為雙軸材料，換言之，這些分子結構都不是圓柱狀對稱。在液晶分子單向對準方法中，實際上只有分子的長軸會被對準，分子其他兩軸還仍是隨意指向的排列的，因此，實際上間列式液晶像(nematic LC phase)應該呈現光單軸特性。只有當其他兩軸的指向也出現有秩序分佈時，液晶材料將會呈現雙軸材料的光學特性。因此，這種指向排列就需要兩個秩序參量 (order parameter) 來描述液晶分子的對準程度。在某些較高級的液晶顯示器中，雙軸薄膜常被引進作為相位補償片來改進在大視角觀看時液晶顯示器的對比及灰階，以保持圖像不失真。 b c a (a)單一的液晶分子通常為非圓柱對稱分子，故為雙軸分子 (b)間列式液晶像只能對準分子長軸方向，若液晶分子為非圓柱對稱分子，則與長軸垂直的方向為任意排列之光學均向性，故整個樣品呈現光學單軸材料特性對光波在雙軸材料的傳播特性，我們已在 3.2 小節中建立正交曲面 (normal surface)的方法來分析。結果顯示：對任一個傳播方向，將會有兩個獨立的傳播模態，分別有其對應的偏振態，因此其他的偏振態均可由此兩者線性組合而得到，而此兩模態的傳播各有其像速度，分析個別的傳播即可了解，光波傳播時偏振態變化的情形。但是，不像單軸晶體，雙軸晶體中這些正交模態的偏振態不能用簡單式子就可以表示出來，其通解必須由下列兩個式子來求出模態對應的折射率及偏振態： Fresnel equation: s x2 n 2 − n x2 + s 2y n 2 − n 2y + s z2 n 2 − n z2 = 1 n2 53 及 ⎛ sx ⎜ ⎜ n 2 − n x2 ⎜ s ⎜ 2 x 2 ⎜ n − ny ⎜ sx ⎜⎜ 2 2 ⎝ n − nz ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 在這小節中，讓我們重新再來研究電磁波在雙軸材料中的傳播。我們知道典型的雙軸材料所對應的正交曲面(i.e. w(k)=constant)如下圖，包含了兩個交錯的複雜曲面。若我們先看三個座標軸平面與正交曲面的相交平面，將有助於理解正交平面之特性。 (nx < ny < nz) 三個座標軸平面必滿足下列三種情形： (kx, ky)平面，即：kz=0：行列式公式則可分解成兩部分 k x2 + k y2 n z2 k x2 k y2 ky 2 ⎛ω⎞ =⎜ ⎟ , ⎝c⎠ ⎛ω⎞ + = ⎜ ⎟ n x2 n 2y ⎝ c ⎠ Normal Surface 2 nzω/c nxω/c nz ω/c nyω/c k x 正交截面包含了一個半徑為 nzω/c 的圓，以及一個橢圓，其長短半軸分別為 nxω/c 與 nyω/c。 54 (ky, kz)平面，即：kx=0：行列式公式則可分解成兩部分 k y2 + k z2 n x2 k y2 n 2y + k z2 n z2 2 ky n ω/c z ⎛ω⎞ =⎜ ⎟ , ⎝c⎠ ⎛ω⎞ =⎜ ⎟ ⎝c⎠ nxω/c Normal Surface 2 nyω/c nxω/c kz 正交截面包含了一個半徑為 nxω/c 的圓，以及一個橢圓，其長短半軸分別為 nzω/c 與 nyω/c。 (kz, kx)平面，即：ky=0：行列式公式則可分解成兩部分 k x2 + k z2 n 2y k x2 n x2 + k z2 kz 2 ⎛ω⎞ =⎜ ⎟ , ⎝c⎠ ⎛ω⎞ = ⎜ ⎟ n z2 ⎝ c ⎠ 光軸 2 ny nx 光軸 ny nz kx 正交截面包含了一個半徑為 nyω/c 的圓，以及一個橢圓，其長短半軸分別為 nzω/c 與 nxω/c。這三種情況都類似，截面上的正交曲面都包含一個圓及一個橢圓，但是在(nx < ny < nz)情況下，只有 ky=0 的截面上與其他兩種較不一樣，因為圓與橢圓在此平面上會相交在四個點上，我們通常將這四個交點的交錯連線 (如圖)定義為晶體的光軸。現在，讓我們討論光波在 ky=0 的截面上傳播的情形，對一到任一方向傳播的光波，我們會沿折其傳播方向上，以原點出發畫一條線段 OS(如下圖)，通常此線段會與正交曲面有兩個交點，從原點 O 到這兩個交點的線段長決定了此傳播方向所對應的波前向量(wavevector)的大小，易決定兩個傳 55 播模態，而我們前面已經求過：與圓(n = ny)的交點所對應的模態之偏振方向在垂直於 ky=0 的平面之方向；與橢圓的交點所對應之模態的偏振方向則位於 ky=0 的平面上。其他兩個截面上，光波傳播情形與這些狀況類似，除了在光軸上的傳播。如圖，光波沿光軸方向傳播不論其偏振態將都只對應相同的像速度(c/ny)，光波的群速度則可由定義求出，如下： r r v g = ∇ kr ω(k ) 群速度則代表光波電磁能量的流向。圖中，我們可以看到傳播方向與兩個正交平面只有一個交點，稱之為簡併現象，因為我們無法確定要取哪一個曲面對應的梯度變化，故群速度的方向無法定義。在此方向上，與光傳播有關的折射現象，將會與這些點的奇異本質有關。因此，假如我們對此奇異點附近無線小的區域內的每一點畫出垂直於正交平面的傳播模態之單位向量，我們將得到無限多個單位向量均可表示光能量傳播的方向，這些單位向量將會形成一個圓錐的曲面(surface of cone)，因此，我們可以預期電磁能量流動將會採取圓錐的方式，故我們將此種現象稱之為 “ 圓錐折射 ” (conical refraction)。要研究“圓錐折射”的特性，我們需要仔細檢查正交曲面在接近奇異點 k0 時的特性。對光波在光軸方向傳播時，我們可將波向量寫成： r k 0 = xˆk 0 x + yˆ k 0 y + zˆk 0 z 其中， k 0 x = n y ω sin θ , c k 0 y = 0, k0z = n y 56 ω cos θ c θ為光軸與 z-軸之夾角，可以寫成： n tan θ = z nx ⎛ n 2y − n x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ n2 − n2 ⎟ y ⎠ ⎝ z 1/ 2 ο 對介質具有主軸折射率：nx= 1.5, ny= 1.6, nz= 1.7，則 θ =47.7 ，此角度在 nx= ny 的情況下，將變成零度。要檢查正交曲面在接近奇異點 k0 時的特性，我們需將正交曲面對此點作 Taylor 展開，意即： k x = k 0 x + ξ, k y = k 0 y + η, k z = k0z + ζ 其中，ξ, η, ζ 都是很小的值，上式代入群速度的定義中，並忽略高次項，可求得： 4( k 0 x ξ + k z 0 ζ)( n x2 k 0 x ξ + n z2 k z 0 ζ) + η 2 ( n 2y − n x2 )( n 2y − n z2 ) = 0 這個二次方程式即表示中心為 k0 的圓錐，(意即，ξ=η=ζ=0)。若以座標旋轉的方法轉到座標為(ξ', ζ')，可將圓錐曲面方程式轉成正圓錐，如下： ζ ′2 + 1 η 2 = ξ ′ 2 cot χ 2 1 − tan χ 其中，χ 為： tan 2 (n 2χ = 2 z )( − n 2y n 2y − n x2 ) n x2 n z2 所以，由上式可知在光軸附近的正交曲面之形式為以 k0 為中心的圓錐曲面。因此，當波向量與光軸方向相同時，則會產生無限多種可能的能量流的方向(意即，無限多種 vg)，這些方向將位於下列方程式所形成的圓錐曲面上： ( ) ζ ′ 2 + 1 − tan 2 χ η 2 = ξ ′ 2 cot χ 這個圓錐曲面的形狀為以ξ‘為中心軸，而以 k0 為圓錐頂中心的正橢圓圓錐。此圓錐曲面亦包含光軸 OA 且其與光軸的垂直之截面上的形狀為一個圓，圓錐的孔徑在 xz-平面為 2χ，以為中心的出發且位於曲面上的任一單位向量都可代表波向量為 k0 的光波傳遞之能量流的方向。每一個方向對應一個線性偏振態。舉例來說：方向 KA 代表偏振態為 y-方向的光之能量流方向；方向 KB 則對應了偏振態位在 xz-平面上。 57 現在若我們以雙軸材料(如：mica)製作一個薄板，將其切向使得入射擊出射面均垂直於光軸。若現有一道非偏振的平行單色光波正向入射此薄板，則光波能量將會散佈在一個空心的圓錐上，因此一但出射薄板時，光分佈則會形成一個空心的圓柱體，如下圖所示。因此，若以屏幕阻擋，可看到光分佈在一個圓環上。綜合來說，雙軸材料內的光傳播現象可由 Fresnel 關係式求出不同傳播方向對應之本徵折射率，以及其對應的偏振態。下圖標示出在不同傳播方向上，正交曲面上不同點所對應的光波電場方向，異及其偏振態。 58 3.7.1 折射率橢球法則(Method of Index Ellipsoid) 本小節我們將說明如何利用折射率橢球的方法來分析非均向性介質內的光波傳播模態。我們定義反介電張量(impermeability tensor) η為： η = ε 0 ε −1 −1 其中，ε 為介電係數張量的倒數。在主軸座標系下，反介電張量可以寫成： ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 0 2 ⎟ ⎛ ε −x1 0 0 ⎞ ⎜ nx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 −1 η = ε0 ⎜ 0 ε y 0 ⎟=⎜ 0 0 ⎟ n 2y ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 ⎟ 0 εz ⎠ ⎜ ⎝ 1 ⎟ 0 ⎜ 0 ⎟ n z2 ⎠ ⎝ 若要以折射率橢球的方法來分析傳播模態的話，首先，我們必須定義一個折射率橢球如下： ⎡ x⎤ x2 y2 z2 + 2 + 2 = 1 ⇐ [x, y, z ] η ⎢ y ⎥ = 1 2 ⎢ ⎥ nx n y nz ⎣⎢ z ⎦⎥ 上式中的(x, y, z)實際上表示的是(sx, sy, sz)，所以當我們要求某一個傳播方向 s 所對應的模態時，我們首先以原點為起點，在座標系上畫出傳播的方向，然後在以此方向為基準，畫出與此方向垂直且通過原點的橫截面，此橫截面將與橢球相交，我們可以得到相交曲線必為一個橢圓。則此橢圓的兩主軸長度的一半分別為折射率的本徵值 n1, n2，也就是由 Fresnel 關係式求出的折射率值。兩個主軸的方向，則分別指向電位移偏振態的方向 D1, D2。 D1 s D2 橢球 59 接下來我們來證明這種方法將與前面的正交曲面的求法是等效的。由反介電張量的定義，我們可得介質的材料方程式可以寫成： r 1 r E= ηD ε0 r r r r 將上式代入波動方程式 k × k × E + ω 2 μεE = 0 ，即可將其化簡為： r 1 r r r s × [ s × ηD ] + 2 D = 0 n 其中，我們利用了關係式 k = (ω/c)ns 以及 s 為傳播方向的單位向量，又，因為 D 總是垂直於 s (i.e. s.D=0)，則我們可以用(D1, D2, s)座標系來簡化問題。此時，傳播方向的單位向量 s 為： ⎛ 0⎞ r ⎜ ⎟ s = ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ 而且，波動方程式可以化簡成： ⎛ η11 ⎜ ⎜ η 21 ⎜ 0 ⎝ η12 η 22 0 η13 ⎞ ⎟r 1 r η 23 ⎟ D = 2 D n 0 ⎟⎠ 再者，因為 D 一定垂直 s，所以上式中 D 的第三項一定為零，我們可以忽略η12 及η23 項，將反介電張量重新定義成截面上的反介電張量ηt 為： ⎛η η t = ⎜⎜ 11 ⎝ η 21 η12 ⎞ ⎟ η 22 ⎟⎠ ⎛ 1 ⎜ 2 n ∴ η t = ⎜ 11 ⎜ 1 ⎜ n2 ⎝ 21 1 ⎞ 2 ⎟ n12 ⎟ 1 ⎟ 2 ⎟ n 22 ⎠ 波動方程式可以進一步化簡成下式，其中 D 為電位移向量。 1 ⎞r ⎛ ⎜ ηt − 2 ⎟D = 0 n ⎠ ⎝ 從上式，我們可以知道傳播模態的偏振態向量，即為以橫向反介電係數張 2 量ηt 對應本徵折射率為 1/n 時的本徵向量。而，因為ηt 為對稱的 2x2 張量 (i.e. η12= η21)，所以將產生兩個正交的本徵向量，這兩個本徵向量即對應兩個傳播的模態之偏振態 D1, D2，而其對應的本徵值則為傳播模態之折射率 n1, n2。 60 要証明其等效性，首先我們以(ξ1, ξ2, ξ3)來表示以新的座標系統來標示任一點的座標，則折射率橢球在此座標系下可表示成： η αβ ξ α ξ β = 1 其中，上式重複係數代表將對係數α, β = (1, 2, 3)加總起來。而以折射率橢球方法來求傳播模態特性所規定的截面(通過原點，垂直於傳播方向)則將對應ξ3=0 的平面，故將上式中的ξ3 皆令為零，因此，我們可用下式來代表截面與橢球相交的橢圓： η11ξ 12 + η 22 ξ 22 + 2 η12 ξ 1ξ 2 = 1 要強調的是：此橢圓的係數即為橫向反介電張量ηt。因此，這個 2x2 張量的本徵向量將沿著此橢圓的兩個主軸方向，除外，根據最上面的式子，主軸的長度將決定對應折射率的值，這就証明了折射率橢球法將與前面的正交曲面法等效。為了突顯折射率橢球的方便性，我們以單軸晶體作為例子來說明如何使用折射率橢球法來求光傳播的模態，單軸晶體的折射率橢球形狀可視為橢圓旋轉一圈所圍出的形狀。傳播方向向量 s 為： r s = (sin θ cos φ , sin θsinφ , cos θ ) 所以依據前面所提的方法，本徵向量(即傳播模態之偏振態)D1, D2，可藉由檢查相交橢圓主軸之方向找到，而本徵折射率(即傳播模態之折射率)可從橢圓的長短軸找到。經簡單的幾何關係的分析，可以得到： ⎛ sin φ ⎞ r ⎜ ⎟ D1 = ⎜ − cos φ ⎟, ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ n1 = n 0 , ⎛ cos θ cos φ ⎞ r ⎜ ⎟ D2 = ⎜ cos θ sin φ ⎟ ⎜ − sin θ ⎟ ⎝ ⎠ 1 cos 2 θ sin 2 θ = + n 22 n o2 n e2 其中，我們必須強調上式中的 D1 對應的為尋常光(ordinary wave)，其必須位於與 c-軸及 s 所圍成平面的垂直方向上，故我們取 xy-平面上的向量，對應的本徵折射率為 no；而 D2 對應的為非尋常光(extra-ordinary wave)，其必 61 位於與 D1 及 s 所圍成平面的垂直方向上，故我們可從 D1 及 s 的外積方向求得，對應的本徵折射率為 ne(θ)，與入射方向有關。 D1 s D2 橢球 62 3.7.2 微擾法則(Perturbation approach) 本小節我們將說明如何利用微擾法來分析非均向性介質內的光波傳播模態。我們知道：在雙軸晶體內，三個主軸折射率 nx、ny、nz。均不相同，假設 nx 、 ny 為當中較相近的兩個，即： ny−nx << nz−ny 。反介電張量 (impermeability tensor) η則可以重新寫成： ⎛ 1 ⎜ ⎜ n x2 ⎜ η=⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝ 其中， 0 1 n 2y 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ no ⎟ ⎜ 0 ⎟=⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 n z2 ⎠ ⎝ 0 1 n o2 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ + Δη ⎟ 1 ⎟ n e2 ⎟⎠ 1 1 ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ = + n o2 2 ⎜⎝ n x2 n 2y ⎟⎠ 1 1 = n e2 n z2 ⎛ 1 0 0⎞ ⎟ 1 ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟⎜ 0 1 0 − Δη = − ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ n x2 n 2y ⎟⎠⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0⎠ 上式中的Δη可被視為一個小的微擾項(perturbation)。換言之，雙軸晶體可視為單軸晶體的折射率矩陣形式加上微擾項Δη。所以，要分析傳播方向 s 所對應的模態時，我們可以用單軸晶體所解出的傳播模態對應的電位移偏振態 D1, D2 當作基底向量，來展開雙軸晶體的本徵向量形式如下： r r r D ′ = α D1 + β D2 其中，α, β為代決定的兩個常數。因此，分析雙軸晶體的傳播模態的問題可轉變成尋找下列關係式的本徵向量： r (η + Δη )D ′ = 1 r D n2 63 而同時若我們將未微擾前單軸晶體之本徵向量 D1, D2 為基底展開的電位移向量 D'，代入上式可將其進一步簡化成： 1 ⎛ 1 ⎜ 2 − 2 + Δη11 ⎜ n1 n ⎜ Δη 21 ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟⎛⎜ α ⎞⎟ = 0 1 1 ⎟⎜⎝ β ⎟⎠ η − + Δ 22 ⎟ n 22 n 2 ⎠ Δη12 所以，折射率及α, β的關係之解為： ⎞ 1 1⎛ 1 1 ⎟ ⎜ η η = + + Δ + Δ 11 22 ⎟ 2 2 2 ⎜ 2 n ⎠ ⎝ n1 n 2 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ 2 − 2 + Δη11 − Δη 22 ⎟ + 4Δη12 Δη 21 ⎟ ⎜n ⎠ ⎝ 1 n2 Δη 21 β tanψ = = 1 1 α − − Δη 22 n12 n 22 r r r r Δη11 = D1* ⋅ Δη D1 , Δη12 = D1* ⋅ Δη D2 , 其中， r r r r Δη 21 = D2* ⋅ Δη D1 , Δη 22 = D2* ⋅ Δη D2 1 ± 2 上式中的角度ψ為傳播模態之偏振態與未微擾所求出的偏振態 D1 之間的夾角，如圖所示。 tanψ = Δη 21 β = 1 1 α − 2 − Δη 22 2 n1 n2 D'2 D2 D'1 ψ D1 64 4. Jones 矩陣法則 4.0. 為什麼要 Jones 矩陣法則？在第三章中，我們已經清楚的討論了非均向性(anisotropic)的均勻 (homogeneous)介質中光波傳遞的特性，簡言之，我們以偏振態來描述其傳播，任意一道平面光波的傳遞均可用其偏振態在兩個相互正交的基本本徵偏極化模態之分量的傳播來描述，我們可以首先求出此兩個對應的偏振模態，再將平面光波的偏振態表示成此兩方向之分量的線性組合，而個別分量將以不同的相速度在線性介質內傳播故可寫出穿過介質後兩分量的形式，再依線性組合的方式，重新將兩個分量組合，即可求出穿透光波的偏振態。但是，在液晶顯示器中，液晶層(如： TN-LCD)通常是非均勻的(inhomogeneous)，而且，顯示器內還有數層雙折射板作為相位延遲補償之用。因此，在這樣的情況下，我們必須找到一個較有系統的方法，來分析光波在液晶顯示器內的傳播。在這一章，我們將介紹分析此類問題常用的一種非常有用的法則，稱之為：Jones 矩陣法則： r r r r r r r D = C o D o exp( −ik o ⋅ r ) + C e D e exp( −ik e ⋅ r ) 液晶顯示器的基本結構 ‧液晶顯示器的結構可以分成下列幾部分：背光源組、後偏光板、後玻璃層(含：薄膜電晶體、ITO 導電電極等)、液晶層、前玻璃層(含：彩色濾波片、ITO 導電電極等)、前檢偏板等六個構造。 4.1. Jones 矩陣的數學型式上章，我們已經證實雙折射板內的光傳播，可視為兩正交模態的線性組合，這兩個正交模態各有其相速度與偏振方向。雙折射板可能是雙軸或單軸材料，然而大部分的液晶材料為單軸材料，所以我們將以單軸為例子來分析不同問題。在單軸材料中，正交模態稱為尋常光 (ordinary wave)或非尋常光(extra-ordinary wave)，這兩個正交模態的偏振態方向為相互垂直，通常我們將其稱為介質在此傳播方向所對應的 “快軸”及“慢軸”，因為其分別對應兩個快慢的相速速度。因此，在傳統的雙折射光學，通常相位延遲板的切向會取 c-軸平行延遲板表面的方向，如此正向傳播光的方向將會垂直於 c-軸。而在液晶顯示器中， c-軸(也就是分子的指向)的指向，將取決於外加電壓及配向模的方向。 N-LC cell N-LC cell ĉ n n V=0 V=0 (a) 一般的相位延遲板 (b) 液晶顯示器的晶包簡單來說，相位延遲板(或稱為波長板)及液晶板都可視為光波偏振態轉換器，光波的偏振態透過適當的相位延遲板可被轉變成其他的偏振態。在以 Jones 矩陣法則分析時，通常我們假設不同界面上不會產生光反射，所有的光均以 Snell 定律完全穿過界面，實際上，不論器件有沒有鍍上抗反射膜，界面上都會有 Fresnel 反射，此反射不僅會反射損耗掉部分穿透光能量，也會影響到穿透光的光譜分佈特性，因為抗反射膜為多層鍍膜，會產生所謂的 Fabry-Perot 效應。在進入到 Jones 矩陣數學分析法則時，先讓我們回顧一下光波偏振態的 Jones 向量表示式。 4.1.0 Jones 向量表示法參考下圖，對一道沿 z-方向傳播的平面光波，我們可以用複數指數法表示其波函數 E，其中 A 為一個複數向量，而真正有物理意義的是，這個複數指數函數的實數項 Ex, Ey。為計算方便起見，我們可以用單欄矩陣的方式來表示其偏振態向量 A，稱之為 Jones 向量。 y x r r i [ωt −( n ω )k̂⋅rr ] ⎧ E x = Ax cos(ωt − kz + δ x ) c E = Ae ⇒⎨ ⎩ E y = A y cos(ωt − kz + δ y ) ⎛ Ax e iδ x ∴ Jones向量： J = ⎜ ⎜ A e iδ y ⎝ y ⎞ ⎛V x ⎞ ⎟≡⎜ ⎟ ⎟ ⎜V y ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 假如我們只對光波的偏振態有興趣，通常會將振幅大小歸一化，只使用歸一化的 Jones 向量(Normalized Jones vector)來表示，意即這些 Jones 向量滿足： J * ⋅J = 1 ⇒ J = ⎛ Ax e iδ x ⎜ iδ 2 2 ⎜A e y Ax + A y ⎝ y 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 下表列出幾種不同的偏振態之歸一化的 Jones 向量。線性偏振態右旋圓偏振態左旋圓偏振態右旋傾斜橢圓偏振態左旋傾斜橢圓偏振態參考下圖，通常實驗室座標(x, y)，不會恰好對上介質的快慢軸，而為分析光波在相位延遲板內的傳播，我們需要將光波偏振態分解成快軸及慢軸之分量，這可藉由座標轉換來達成，如下： ⎛ Vs ⎜⎜ ⎝V f ⎞ ⎛ cosψ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎠ ⎝ − sinψ sinψ ⎞⎛V x ⎞ ⎛V x ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ≡ R(ψ )⎜⎜ ⎟⎟ cosψ ⎠⎝V y ⎠ ⎝V y ⎠ 其中，R(ψ)為座標旋轉矩陣，Vs 及 Vf 為光波偏振態 V 在慢軸及快軸上的分量，而快及慢軸在介質中為固定的。這兩個分量將是相位延遲板的正交模態，故有其個別的傳播相速度及偏振方向，而方位角ψ則為(x, y)座標與(s, f)座標之間的夾角，兩者變換時，可以 z-軸當旋轉軸作座標旋轉。而對光的傳播而言，因為兩模態的相速度不同，導致其中一個模態的傳播相對於另一個模態將會有延遲產生，這個延遲將改變輸出合併光的偏振方向。若假設 ns 及 nf 分別為慢軸及快軸分量所對應的折射率，則穿過相位板厚的光波之偏振態將可以寫成： V s′ = V s e − in s 2λπ d , V f′ = V f e ⎛ V s′ ⎞ ⎛ exp(− in s ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎝V f′ ⎠ ⎝ 2π λ d) − in f 2λπ d 0 exp(− in f 2π λ ⎞⎛ V s ⎟⎜ d )⎟⎠⎜⎝V f ⎞ ⎟⎟ ⎠ 其中，d 為波長板的厚度，λ為光波之波長。上式中，兩分量的相位延遲指的是指數項的差，可以定義為： Γ= 2π λ ( n s − n f )d 注意，Γ可被視為測量傳播所導致的相對相位改變量，而不是絕對的改變量。通常典型的延遲板之雙折射效應很小，意即： nf - ns<< ns 及 nf，而真正由相位延遲板所引進的相位改變量往往是相位延遲量的數百倍以上，其絕對的相位改變量φ可以寫成： 1 2 φ = (n s + n f ) 2π λ d 若以Γ 及φ來表示，則傳播所導致的偏振態改變表示式可以寫成： − iΓ / 2 ⎛ V s′ ⎞ − iφ ⎛ e ⎜⎜ ⎟⎟ = e ⎜⎜ ⎝V f′ ⎠ ⎝ 0 0 ⎞⎛ V s ⎟⎜ e iΓ / 2 ⎟⎠⎜⎝V f ⎞ ⎟⎟ ⎠ 若要以(x, y)座標來表示穿透光的偏振態，我們可將上式再透過座標轉換即可，如下： ⎛V x′ ⎞ ⎛ cosψ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝V y′ ⎠ ⎝ sinψ − sinψ ⎞⎛ V s′ ⎞ ⎛ V s′ ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ≡ R( −ψ )⎜⎜ ⎟⎟ cosψ ⎠⎝V f′ ⎠ ⎝V f′ ⎠ 把這些關係式結合起來，即可得穿透光的偏振態為： ⎛V x′ ⎞ ⎛V x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = R( −ψ )W0 R (ψ )⎜⎜ ⎟⎟ ⎝V y′ ⎠ ⎝V y ⎠ 上式中， R(ψ)為座標旋轉矩陣，W0 定義為相位延遲板的 Jones 矩陣，可寫成： ⎛ cosψ R (ψ ) = ⎜⎜ ⎝ − sinψ sinψ ⎞ ⎟, cosψ ⎟⎠ ⎛ e −iΓ / 2 W0 = e −iφ ⎜⎜ ⎝ 0 0 ⎞ ⎟ e iΓ / 2 ⎟⎠ 若不考慮多次反射的干涉效應，絕對相位改變量φ是不重要的，我們可將上式中的 e-iφ項忽略。則，一個相位延遲板的特性可由它的相位延遲Γ及方向傾角ψ來決定，亦即可表示成三個矩陣的乘積： W = R( −ψ )W0 R(ψ ) 要強調的是：相位延遲板的 Jones 矩陣為一個單位矩陣，意即： W†W=1，其中，†代表的是矩陣的 Hermitian 共軛。光波穿過波長板的行為以數學型式來說可視為乘上一個單位矩陣的轉換，而我們知道有許多物理的特性在這樣“單位矩陣轉換”下，具有不變性。舉例來說：Jones 向量的振幅大小不會因單位矩陣的作用而變化；兩向量間的正交關係亦不會受到單位矩陣的作用而影響，因此若兩道光的偏振態為相互正交，則同時穿過波長板後，偏振態還是維持正交關係。本章陸陸續續我們還會討論一些與 Jones 矩陣有關的性質。在液晶顯示器中，使用很多偏振板，而一個理想的均勻線性偏極板的 Jones 矩陣與其穿透軸的方向有關，若穿透軸平行於 x-軸，則其矩陣可寫成： ⎛ 1 0⎞ P0 = e −iφ ′ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 ⎝ ⎠ 其中，φ‘為光波穿過偏振板有限厚度所累積的絕對相位差。因此若偏振板的穿透軸以 z-軸為轉軸旋轉傾角ψ，則透過座標變換可將其 Jones 矩陣寫成： P = R ( −ψ ) P0 R(ψ ) ⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ 1 0 ⎞⎛ cosψ sinψ ⎞ = e −iφ ′ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎝ sinψ cosψ ⎠⎝ 0 0 ⎠⎝ − sinψ cosψ ⎠ 2 cosψ sinψ ⎞ − iφ ′ ⎛ cos ψ ⎟ = e ⎜⎜ 2 ⎟ cos ψ sin ψ sin ψ ⎝ ⎠ 因此，若我們忽略絕對相位差，則穿透軸平行 x-軸或 y-軸的偏振板之 Jones 矩陣，可分別寫成： ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 0⎞ Px = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟, Py = ⎜⎜ 0 0 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 因此，若在一道偏極化光波的傳播路徑上有一系列的相位延遲板及偏振板，要求得穿透光的偏振態之作法如下：首先我們寫下入射關的 Jones 向量表示式，然後依序乘上各元件的 Jones 矩陣，就可得到穿透光的偏振態，若把所有的矩陣依序相乘，就可以得到等效的 Jones 矩陣，用來顯示其原件累積所得的效應。下表列出幾個例子： 4.1.1 半波長延遲板及四分之一波長延遲板現在我們來利用上述建立的 Jones 矩陣的概念來討論半波長板 (half-wave retardation plate)與四分之一波長板(quarter-wave retardation plate)的作用，如下：單一的半波長板：半波長板指的是其雙折射光學元件所提供的相位延遲為Γ=π。因此，根據上述的概念，我們可以用 a-切向(指的是晶體薄板的面垂直於晶體的 a- 軸 ) 的單軸材料板來執行這個作用，只要晶體板的厚度為 d=λ/2(ne-no)，或為其奇數倍即可。我們可以用一個例子來說明半波長板對偏極化光穿過時的作用： a-axis 如上圖，假設我們有一個半波長板其傾角ψ=45o，入射光波為垂直線性偏極化光，所以其 Jones 向量為： r ⎛V x ⎞ ⎛ 0 ⎞ V = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝V y ⎠ ⎝ 1 ⎠ 半波長板的 Jones 矩陣為： W = R( −45o )W0 R(45o ) ⎛ cos 45o − sin 45o ⎞⎛ e −iπ / 2 0 ⎞⎛ cos 45o ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ =⎜ o o ⎟⎜ iπ / 2 ⎟⎜ o cos 45 ⎠⎝ 0 e ⎝ sin 45 ⎠⎝ − sin 45 1 ⎛1 − 1⎞⎛ − i 0 ⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 0 − i ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ 2 ⎜⎝1 1 ⎟⎠⎜⎝ 0 i ⎟⎠ 2 ⎜⎝ − 1 1⎟⎠ ⎜⎝ i 0 ⎟⎠ sin 45o ⎞ ⎟ o⎟ cos 45 ⎠ 故可得穿透光的 Jones 向量為： r ⎛V x′ ⎞ ⎛ 0 − i ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ − i ⎞ ⎛1⎞ V ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = −i ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎝V y′ ⎠ ⎝ i 0 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 上式表示穿透光為水平偏極化光，因此我們可以看到半波長板的作用將偏極化旋轉了 90o。我們亦可證明若入射光的偏極化與半波長板的傾角夾角為任意角度ψ的話，波長板將會讓穿透光的偏振態旋轉 2ψ 的角度(如上圖)，換言之，線性偏極化光仍然會維持線性偏極化光，但是其偏振平面旋轉了 2ψ的角度。 r ⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ e − iπ / 2 0 ⎞⎛ cosψ sinψ ⎞⎛ 0 ⎞ ⎟⎜⎜ V ′ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ e iπ / 2 ⎟⎠⎝ − sinψ cosψ ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ sinψ cosψ ⎠⎝ 0 ⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ − i 0 ⎞⎛ sinψ ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ sinψ cosψ ⎠⎝ 0 i ⎠⎝ cosψ ⎠ ⎛ sin 2ψ ⎞ ⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ − i sinψ ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ = −i ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎝ − cos 2ψ ⎠ ⎝ sinψ cosψ ⎠⎝ i cosψ ⎠ 如上圖，當入射光為圓偏極化光，則不論傾角為何，半波長板會將右旋光轉變成左旋光，反之亦然。 r ⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ e −iπ / 2 0 ⎞⎛ cosψ sinψ ⎞⎛1⎞ ⎟⎜⎜ V ′ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ e iπ / 2 ⎟⎠⎝ − sinψ cosψ ⎠⎝ i ⎠ ⎝ sinψ cosψ ⎠⎝ 0 ⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ − i 0 ⎞⎛ cosψ + i sinψ ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ − + sin cos 0 sin cos ψ ψ ψ ψ i i ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ cosψ − sinψ ⎞⎛ − i cosψ + sinψ ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ sinψ cosψ ⎠⎝ − i sinψ − cosψ ⎠ ⎛ − i cos 2 ψ + 2 cosψ sinψ + i sin 2 ψ ⎞ ⎟ = ⎜⎜ 2 2 ⎟ − − + cos 2 cos sin sin ψ ψ ψ ψ i ⎝ ⎠ ⎛1⎞ = − i cos 2 ψ + 2 cosψ sinψ + i sin 2 ψ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝− i⎠ ( ) 單一的四分之一波長板： 1/4 波長板指的是其雙折射光學元件所提供的相位延遲為Γ=π/2。因此，我們可以用 a-切向(或 b-切向)的單軸材料板來製作，只要晶體板的厚度為 d=λ/4(ne-no)，或為其奇數倍即可。我們可以用一個例子來說明半波長板對偏極化光穿過時的作用： a-axis 如上圖，假設我們有一個波長板其傾角ψ=45o，入射光波為垂直線性偏極化光，所以波長板的 Jones 矩陣為： W = R( −45 o )W0 R( 45 o ) ⎛ cos 45o − sin 45 o ⎞⎛ e −iπ / 4 0 ⎞⎛ cos 45o ⎟⎜ ⎟⎜ = ⎜⎜ o o ⎟⎜ iπ / 4 ⎟⎜ o e sin 45 cos 45 0 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ − sin 45 0 ⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ 1 ⎛1 − 1⎞⎛ e −iπ / 4 ⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ e iπ / 4 ⎟⎠ 2 ⎝ − 1 1⎠ 2 ⎝ 1 1 ⎠⎝ 0 1 ⎛ 1 − i⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝− i 1 ⎠ sin 45o ⎞ ⎟ cos 45 o ⎟⎠ 故可得穿透光的 Jones 向量為： r ⎛V x′ ⎞ 1 ⎛ 1 − i ⎞⎛ 0 ⎞ V ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ ′ V 1 − i 2 ⎝ ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ y⎠ 1 ⎛ − i ⎞ − i ⎛ 1⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 2⎝ 1 ⎠ 2 ⎝i⎠ 上式表示穿透光為左旋的圓偏極化光，因此我們可以看到 90o 傾角的 1/4 波長板的作用能將垂直的線偏極化光轉換成左旋圓偏極化光。我們亦可證明若入射光為水平偏極化，則穿透光的偏振態將為右旋圓偏極化光。一般來說，1/4 波長板能將線性偏極化光轉變成橢圓偏極化光，反之亦然。下面我們列出了一些例子： 4.1.2 Jones 矩陣的特性現在我們來討論 Jones 矩陣的特性，主要我們著重在幾個重點：反向反射 (retroreflection) 、鏡向反射 (mirror reflection) 、時間反轉 (time reversal)、以及所謂的交換準則(reciprocity principle)，我們亦將會說明 Jones 矩陣的單位矩陣之本質特性。我們將利用一個典型的液晶晶包所組成的雙折射系統來說明上述現象，此系統可將其視為一系列串聯的非均向性波長板，每一片波長板的光軸方向為任意指向。為了說明方便起見，我們一光的傳播方向定義兩種 Jones 矩陣如下：入射光是由左(z=0)到右：如圖所示，光波為由左到右傳播，元件系統的等效 Jones 矩陣作用所得輸入偏振態 Vin (z=0)與輸出偏振態 Vin (z=L)之關係，我們以 M 來表示，可以寫成： ⎛Vxin ⎞ ⎜ ⎟ ⎜V yin ⎟ ⎝ ⎠ ⎛Vxout ⎞ ⎟ ⎜ ⎜V yout ⎟ ⎠ ⎝ ...... ...... z=0 M1M2 M3 ⎛V xout ⎞ ⎛ M 11 ⎜ out ⎟ = ⎜ ⎜V ⎟ ⎜⎝ M 21 ⎝ y ⎠ z=L Mn-2Mn-1Mn M 12 ⎞⎛V xin ⎞ ⎟ ⎟⎜ M 22 ⎟⎠⎜⎝V yin ⎟⎠ 入射光是由右(z=0)到左：若光波為由右到左傳播，元件系統的等效 Jones 矩陣作用所得輸入偏振態 Vin (z=0)與輸出偏振態 Vin (z=L)之關係，我們以 N 來表示如下： ⎛V xout ⎞ ⎛ N 11 ⎜ out ⎟ = ⎜ ⎜V ⎟ ⎜⎝ N 21 ⎝ y ⎠ N 12 ⎞⎛V xin ⎞ ⎟⎟⎜ in ⎟ N 22 ⎠⎜⎝V y ⎟⎠ 此處，我們假設光波的路徑使完全依循上個定義的反方向路徑傳播，換言之，case 2 是 case 1 的反向反射(retroreflection)。接下來，我們將利用上述定義來描述 Jones 矩陣的基本主要特性，如下：時間反轉對稱性(time reversal symmetry)：若時間反轉產生的話，輸出光將沿著原路徑穿過雙折射系統，並且變成輸入光的相位共軛，因此基於時間反轉對稱性，我們可以證明得到： NM ∗ = 1 交換準則(principle of reciprocity) ：從物理的基本交換準則特性，以及上述對兩種不同傳播方向的 Jones 矩陣之定義，兩者之元素會滿足下列關係： N 11 = M 11 , N 22 = M 22 , N 12 = M 21 , N 21 = M 12 換言之，N 矩陣為 M 矩陣的對稱順序調換： ~ N =M 此處，符號~ 代表矩陣的對稱順序調換作用。這個特性對反射式液晶顯示器特別有用。故由時間反轉特性及交換準則，我們可以得到 M 及 N 矩陣均為單位矩陣，滿足 Hermitian 共軛特性： MM 十 = 1 , NN 十 = 1 其中，M†, N†代表 M 及 N 矩陣之 Hermitian 共軛。這亦証明了 Jones 矩陣的單位矩陣特性，因此假如 Jones 矩陣可以寫成： ⎛ A B⎞ M = ⎜⎜ ⎟⎟ C D ⎝ ⎠ 其中，A, B, C, D 為矩陣元素，則 M 矩陣之倒數可以寫成： M −1 =M 十 ⎛ A∗ = ⎜⎜ ∗ ⎝B C∗ ⎞ ⎟ D ∗ ⎟⎠ 而且，Jones 矩陣還具有所謂的單位模矩陣特性，只要材料本身不吸收，換言之： det( M ) = AD − BC = 1 因此 Jones 矩陣的倒數亦可寫成： ⎛ D − B⎞ M −1 = ⎜⎜ ⎟⎟ C A − ⎝ ⎠ 將其與上述的關係比較，可得矩陣元素的關係如下： C = −B∗ , D = A∗ 這些關係將有助於我們簡化有關 Jones 矩陣的計算。使用這些關係， Jones 矩陣可以寫成： B⎞ ⎛ A M = ⎜⎜ ⎟ ∗ A∗ ⎟⎠ ⎝− B 我們要強調的是：所有的 Jones 矩陣都可歸類在同一個數學群中，故上述的關係對任意兩個 Jones 矩陣相乘後的等效矩陣仍然有效。鏡向反射(mirror reflection) ：藉由交換準則的推論，我們現在先來看反向反射的情況。在反向反射的情況，反射光將沿著原路徑反射回去，因此反射光的波向量將是入射光的反轉，故： r r k r = −k 其中，kr 為反向反射光的波向量，k 則為原入射光的波向量。若以 z軸為極軸的極座標之(θ, φ)來表示兩者波向量，則可寫成： r k = k (sin θ cos φ , sin θ sin φ , cos θ ) r k r = k (− sin θ cos φ , − sin θ sin φ , − cos θ ) 式中，k 為波數(wavenumber)，θ為與 z-軸之夾角，φ為方向傾角。鏡向反射與反向反射是不一樣的，若我們考慮鏡向反射的鏡面之法線方向平行於 z-軸，則鏡向反射光的波向量將可寫成： r k = k (sin θ cos φ , sin θ sin φ , cos θ ) r k m = k (sin θ cos φ , sin θ sin φ , − cos θ ) 我們可以看到：波向量中只有 z-軸分量的符號相反，當鏡面垂直於 z-軸時。我們可以用下圖來表示三者的關係，可以看到通常三者為共平面，而非共方向。 kr km ... k 如前述，我們知道即使是一般雙軸介質的正交曲面，在做任何反轉操作時，仍維持不變，因此，利用其來做之任意切向的雙折射板之相位延遲，在同樣的反轉作用時，亦將滿足不變性，這個描述就是前面所敘述的 Jones 矩陣之交換準則。因此，如果以 M, N, Mm 來表示三種入射波向量 k, kr, km 的 Jones 矩陣的話，根據上面的描述，我們可以看到： km 的形式相當於是將φ+πàφ，帶入 kr 之中，因此，這三個 Jones 矩陣亦滿足下列關係： ~ N (θ , φ ) = M (θ , φ ) ⎫ ~ ⎬ M m = M (θ , φ + π ) M m = N (θ , φ + π ) ⎭ 這個關係式在研究反射式液晶顯示器的反射特性時，將特別有用。 4.2 強度穿透頻譜(Intensity Transmission Spectrum) 目前為止，我們所討論的 Jones 矩陣法則只著重於穿透光偏振態的特性，在許多情況，我們需要知道穿透光的強度。舉例來說，一個窄頻寬的光學濾波器將只讓很小頻譜範圍的光譜穿過，而反射(或吸收)大部分的其他波長的光。在液晶顯示器中，為了改變穿透光的強度，通常我們需要一個檢偏板(analyzer)，檢偏板基本上就是光偏極板(polarizer)，其之所以稱為檢偏板僅只是其在光學系統中的位置所致。在大部分的雙折射光學系統中，偏極板經常被放置在光學系統前，以產生光學系統分析所需要的偏極化光，而第二片偏極板(或稱檢偏板)將被放置在輸出的地方以檢測穿透光的偏振狀態。通常因為波長板的相位延遲量與光波波長有關，所以輸出光的偏振狀態將會與波長有關，而檢偏板就會導致光學系統之穿透光的強度將是波長的函數。 f Polarizer s Birefringent plate Analyzer Jones 矩陣與穿透光強度：其實以 Jones 向量來表示光波，其所表達的資訊不單有光的偏振態，還有光強度的關係。舉例來說，以 Jones 向量的定義，若光波通過偏振板後，其電場可以表示為： r ⎛ Ex ⎞ E = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝Ey ⎠ 其中，Ex, Ey 分別代表 x, y-軸上的分量。則此道光波的強度為： r r 2 2 I = E 十 ⋅ E = Ex + E y 式中，十為向量的 Hermitian 共軛。若穿透光通過檢偏板後，光波的 Jones 向量可寫成： r ⎛ E x′ ⎞ E ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ I ′ = E x′ ⎝ E ′y ⎠ 2 + E ′y 2 則我們可以看到，雙折射光學系統之穿透率為： I ′ E x′ T= = I Ex 2 + E ′y 2 2 + Ey 2 Example 4.3：雙折射板夾於平行偏振板的三明治結構我們考慮如下圖的光學系統：雙折射板夾於平行偏振板的三明治結構，而且簡單起見，波長板的快軸與慢軸與偏振板的穿透方向夾 45o 角。 f s 45o Polarizer Birefringent plate Analyzer 波長板的快慢軸折射率差為 ne-no，厚度為 d，因此，波長板的相位延遲為： Γ= 2π λ (n e − no )d 故偏振板加上波長板之光學系統的 Jones 矩陣為： Γ ⎛ ⎜ cos 2 W =⎜ ⎜⎜ − i sin Γ ⎝ 2 Γ⎞ ⎟ 2⎟ Γ ⎟ cos ⎟ 2 ⎠ − i sin 我們考慮入射光為非偏極化光(unpolarized light)，則穿過前偏振板後光波的電場向量可以 Jones 向量表示為： r 1 ⎛ 0⎞ E in = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝1⎠ 這裡我們假設偏振板前入射光強度為 1，則只有平行偏振板的穿透軸方向(y-軸)之電場分量會穿過，故穿過偏振板後強度變成一半。因此，藉由 Jones 矩陣法則，穿過光學系統後光波的電場向量為： Γ Γ⎞ ⎛ − i sin ⎟ 1 ⎛ 0 ⎞ 1 ⎛ 0 ⎞ r ⎛ 0 0 ⎞⎜ cos 2 2⎟ ⎜ Γ⎟ E ′ = ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟⎟⎜ cos Γ Γ ⎜ ⎟ 1 1 0 2⎝ ⎝ ⎠⎜⎜ − i sin cos ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ 2⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 從上式可以看到：穿透光的電場方向平行 y-軸，其強度為： Γ 1 1 ⎡π (n e − no )d ⎤ I = cos 2 = cos 2 ⎢ ⎥ 2 2 2 λ ⎣ ⎦ 故可得穿透光的強度為波數的函數，其峰值發生在： λ=(ne-no)d, (ne-no) d/2, (ne-no)d/3,.....處，這些波長相對的相位延遲為Γ= 2π, 4π, 4π, ....。換言之，穿透率最大值發生在波長板的厚度為波長的整數倍除上(ne-no)，當厚度減少時，穿透峰值間的波數間隔將逐漸增加。 Example 4.4：雙折射板夾於垂直偏振板的三明治結構我們考慮如下圖的光學系統：雙折射板夾於兩片相互垂直的偏振板之三明治結構，波長板的快軸與慢軸與偏振板的穿透方向夾 45o 角。 f s 45o Polarizer Birefringent plate 則，同理可求得穿透光電場為： Analyzer Γ Γ⎞ ⎛ − i sin ⎟ 1 ⎛ 0 ⎞ − i ⎛ Γ ⎞ r ⎛ 1 0 ⎞⎜ cos ⎜ sin ⎟ 2 2⎟ E ′ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 Γ 2⎜ 0 ⎟ ⎝ 0 0 ⎠⎜⎜ − i sin Γ cos ⎟⎟ 2 ⎝ 1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2 2 ⎠ 穿透光的電場方向平行 x-軸，其強度為： Γ 1 1 ⎡π (n e − no )d ⎤ I = sin 2 = sin 2 ⎢ ⎥ 2 2 2 λ ⎣ ⎦ 故可得穿透光的強度為波數的正弦函數，其峰值發生在：λ=2(ne-no)d, 2(ne-no)d/3,.....處，這些波長相對的相位延遲為Γ= π, 3π, 5π, ....。換言之，穿透率最大值發生在波長板的厚度為半波長板，或半板長板厚度之奇整數倍。 Example 4.5：雙折射板夾於兩片偏振板的三明治結構我們考慮如下圖的光學系統：雙折射板夾於兩片偏振板之三明治結構，波長板的快軸與慢軸與偏振板的穿透方向夾 45o 角，檢偏板與 x-軸夾角為ψ。 f s 45o Ψ Polarizer Birefringent plate Analyzer 穿透光電場為： Γ Γ⎞ ⎛ cos sin i − ⎟ 1 ⎛ 0⎞ ⎜ ⎞ cosψ sinψ 2 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Γ ⎟ 2 ⎜⎝ 1 ⎟⎠ sin 2 ψ ⎟⎠⎜ − i sin Γ cos ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ Γ⎞ ⎛ sin i − 2 ⎟ ⎜ cosψ sinψ ⎞ 1 ⎛ cos ψ 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜ = sin 2 ψ ⎟⎠⎜ cos Γ ⎟ 2 ⎜⎝ sinψ cosψ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ Γ Γ − i cosψ sin + sinψ cos 2 2 ⎛⎜ cosψ ⎞⎟ = ⎜ sinψ ⎟ 2 ⎝ ⎠ r ⎛ cos 2 ψ E ′ = ⎜⎜ ⎝ sinψ cosψ 穿透光的電場方向平行檢偏板的穿透軸，其強度為： 1 Γ Γ 1 I = cos 2 ψ sin 2 + sin 2 ψ cos 2 2 2 2 2 2π (n e − n o )d where : Γ = λ 我們可以看到：當ψ=π/2 時，上式將與 Example 4.3 相同；而當ψ=0 時，上式將與 Example 4.4 相同。 Example 4.6：雙折射板(c-plate)夾於兩片偏振板我們考慮如下圖的光學系統：雙折射板夾於兩片偏振板之三明治結構，波長板的 c-軸平行於光傳播方向，而檢偏板與偏極板的穿透軸之夾角為θ角。 f s θ 45o Polarizer Birefringent plate Analyzer 此時，因為光軸平行於光傳播方向，故對光波而言兩個本徵偏振向量將看到相同之折射率，故兩者的相位延遲為零，光波的偏振態將不會改變。換言之，c-plate 將不會影響傳播光的偏振態，因此此光學系統將全等於穿透軸夾角為θ角的兩片偏振板之穿透率，穿透光強度為： 1 cos 2 θ 2 穿透光的電場方向將平行檢偏板的穿透軸。 I= Example 4.7：雙折射板(c-plate)夾於兩片垂直之偏振板我們考慮如下圖的光學系統：雙折射板(c-plate)夾於兩片相互垂直的偏振板中，波長板的 c-軸平行於光傳播方向，而檢偏板與偏極板的穿透軸之夾角為θ=90o。 f s θ = 90o 45o Polarizer Birefringent plate Analyzer 此時，由上式可得穿透光強度為：I=0.5cos290o=0。當然此結果只對正向入射平面光波有效，對斜向入射並不滿足。 Example 4.8：雙折射板(c-plate)夾於兩片平行之偏振板我們考慮如下圖的光學系統：雙折射板(c-plate)夾於兩片相互垂直的偏振板中，波長板的 c-軸平行於光傳播方向，而檢偏板與偏極板的穿透軸之夾角為θ=0o。 θ = 0o f s 45o Polarizer Birefringent plate Analyzer 此時，由上式可得穿透光強度為：I=0.5cos20o=0.5。當然`，此結果亦只對正向入射平面光波有效。 4.3 扭轉層列式液晶之光學特性液晶顯示器最常用的結構即為扭轉層列式液晶像 (twisted nematic liquid crystal)。在本小節中，我們就利用 Jones 矩陣的方法來分析這種緩變扭轉式非均向性介質的光傳播特性。 φ z c c 如圖所示，在這樣的介質中，每一層局部的光軸指向(或稱分子指向) 將是位置的函數，因此，由於光軸的扭轉，這樣的介質實際上是非均勻介質。所以，若還是要以 Jones 矩陣的法則來分析光傳播之特性的話，我們就必須把介質分成很多層(層數 N>20 層)的薄板之堆積，而每一層薄板即可視為均勻性的介質。事實上在分析此類結構時，我們將把扭轉介質分成 N 層相同厚度的薄板，每一層薄板都可視為具有不同的傾角的相位延遲波板，所以，此 N 層薄板堆積之 Jones 矩陣可由所有薄波板的矩陣順序相乘而得到，分析如下：簡單起見，我們限制此介質的扭轉為線性的，光軸的傾角隨位置的關係為： ψ ( z ) = αz 其中，z 為光傳播方向上的距離，α為比例常數。我們以Γ來表示光軸未傾斜波板的相位延遲量。事實上，層列式液晶像的光軸均平行於表面玻璃隔板，故相位延遲量Γ可寫成： Γ= 2π λ ( n e − no )d 其中，d 為薄板的厚度。而在大部分的扭轉層列式液晶像中，光軸(分子的指向 ) 不與介面完全平行，均有一個微小的預傾角 (pretilted angle~1o)，所以上式中的 ne 值必須修正，以該角度對應的本徵折射率代入。而根據上面的式子，總扭轉角度(twisted angle)為： φ ≡ ψ (d ) = αd 要求出這樣結構的 Jones 矩陣，首先我們將 TN-LCs 分成 N 層相同厚度的薄板，每一層局部的光軸傾角為：ρ, 2ρ, 3ρ, ….Nρ，其ρ =φ/N。所以，此 N 層薄板堆積之 Jones 矩陣為： N M = W N WN −1 LW3W2W1 = ∏ Wm m =1 N = ∏ R( − mρ )W0 R( mρ ) m =1 其中，R 為座標旋轉矩陣，Wm 為第 m 層 Jones 矩陣，而 W0 為： ⎛ e − iΓ / 2 N W0 = ⎜⎜ ⎝ 0 ⎞ ⎟ iΓ / 2 N ⎟ e ⎠ 0 再利用：ρ =φ/N 以及 R(ψ1) R(ψ2) = R(ψ1+ψ2)，N 層薄板之 Jones 矩陣可化簡為： ⎡ ⎛ φ ⎞⎤ M = R( −φ ) ⎢W0 R⎜ ⎟⎥ ⎝ N ⎠⎦ ⎣ ⎡ ⎢⎛ e −iΓ / 2 N = R( −φ ) ⎢⎜⎜ ⎢⎝ 0 ⎣ N 0 e iΓ / 2 N φ −iΓ / 2 N ⎛ ⎜ cos e N = R( −φ )⎜ ⎜⎜ − sin φ e iΓ / 2 N N ⎝ φ ⎛ cos ⎜ ⎞ N ⎟⎜ ⎟ ⎠⎜⎜ − sin φ N ⎝ sin φ N cos φ N e − iΓ / 2 N e iΓ / 2 N φ ⎞⎤ sin N ⎟ N ⎟⎥ φ ⎟⎥ cos ⎟⎥ N ⎠⎦ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ N 上式可利用所謂的單位矩陣 Chebyshev 等式來化簡，其關係為： ⎛ A B⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ C D ⎝ ⎠ m ⎛ A sin mZ − sin(m − 1) Z ⎜ sin Z =⎜ sin mZ ⎜⎜ C sin Z ⎝ sin mZ ⎞ ⎟ sin Z ⎟ D sin mZ − sin(m − 1) Z ⎟ ⎟ sin Z ⎠ B with : ⎡1 ⎤ Z = cos −1 ⎢ ( A + D )⎥ ⎣2 ⎦ 當 N-->無窮大時，結果會最準，故最後 TN-LC 之 Jones 矩陣為： ⎡ ⎛ φ ⎞ ⎛ Γ ⎞⎤ N → ∞, Z = cos −1 ⎢cos⎜ ⎟ cos⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ N ⎠ ⎝ 2 N ⎠⎦ 2 Γ 1 X = φ 2 + ⎛⎜ ⎞⎟ ≡ N N ⎝2⎠ Γ sin X ⎛ − cos X i ⎜ ⎛ cos φ − sin φ ⎞ 2 X ⇒ M = ⎜⎜ ⎟⎟⎜ sin X ⎝ sin φ cos φ ⎠⎜⎜ −φ ⎝ X with : ⎛Γ⎞ X = φ +⎜ ⎟ ⎝2⎠ sin X X Γ sin X cos X + i 2 X φ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 2 2 通常，Γ>>φ，以 φ=90o 之 TN-LC 為例： d = 20μm → Γ = 2π λ (n e − no )d = ⎛ e −iΓ / 2 Γ ⇒ X ≈ → M ≈ R( −φ )⎜⎜ 2 ⎝ 0 2π × 0.1 × 20μm = 8π 0.5μm 0 ⎞ ⎟ e iΓ / 2 ⎟⎠ 當有了 TN-LC 之 Jones 矩陣後，我們就可以分析輸入與輸出光的偏振態轉換。假設輸入光的偏振態 V，則輸出光的偏振態 V'為： r r V ′ = MV 要強調的是：在上述的分析中，我們是以實驗室座標(x, y)來表示輸入光的偏振態，所以需要乘上一個座標軸旋轉矩陣 R(φ)。但是，若我們以入射端的液晶分子指向為座標軸方向(e, o)來表示輸入光的偏振態 (其中，e 方向分量為平行於分子指向，o 方向分量為垂直於分子指向)，則 R(φ=0)=1，偏振態關係則可寫成： r ⎛V ′ ⎞ r V ′ = ⎜⎜ e ⎟⎟ = MV ⎝Vo′ ⎠ sin X Γ sin X ⎛ ⎞ φ ⎜ cos X − i ⎟⎛ V e ⎞ 2 X X ⎟⎜ ⎟ =⎜ sin X Γ sin X ⎟⎜⎝Vo ⎟⎠ ⎜⎜ cos X + i −φ ⎟ ⎝ X 2 X ⎠ 其中，(V'e, V'o)及(Ve, Vo)分別都是以局部主軸系統(e, o)來表示的光偏極狀態，對大部分的液晶分子為正雙折射效應而言， (no< ne)，如此 e-軸即是所謂的‘快’軸，而 o-軸即是所謂的‘慢’軸，結合上述的幾個式子就可以描述任意 TN-LC 的穿透特性。其實許多早期分析 TN-LC 顯示器的結果，都可以視為上述通解的特例，接下來我們來分析幾個重要的特殊例子。絕熱依隨(adiabatic following, waveguiding in TN-LC) 絕熱依隨(adiabatic following)或稱扭轉層列式液晶像的波導作用 (waveguiding in TN-LC)是液晶顯示器應用非常重要的現象，其指的是液晶晶包內光的偏振方向將會依隨分子指向旋轉而轉動，很像一個偏極化導引之波導管，故有此名稱。通常可以依入射光偏振方向與入射面上分子指向垂直與否來分成兩種模式，當平行時，稱之為 e-模式操作(e-mode operation)，如下圖所示：如上圖所示，以主軸座標系來看，入射光的偏振態可寫成： ⎛V e ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ (e-mode) ⎝V o ⎠ ⎝ 0 ⎠ 則輸出光的偏振態，以輸出面的局部主軸座標系來表示，可得為： Γ sin X ⎛ cos X − i ⎜ ′ ⎛V e ⎞ 2X ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ sin X ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ −φ ⎝ X ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 再者，如前述通常 TN-LC 的扭轉角φ會遠小於相位延遲角Γ。舉例來說：對雙折射係數差Δn=0.23 的 E7 液晶分子所形成 90 度 TN-LC 來看，其φ/Γ=1/37@波長=500 nm，若代入此條件(φ << Γ)，則上式的第二項將會非常接近零，因此輸出光的 Jones 向量可化簡為： ⎛Ve′ ⎞ ⎛ e −iΓ / 2 ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ ′ V 0 ⎝ o⎠ ⎝ ⎠ 換言之，上式所代表的物理意義為：當光波在晶包內傳遞時，光波的電場向量將會維持在各局部分子指向的方向上。當入射光偏振方向與入射面上分子指向垂直時，稱之為 o-模式操作 (o-mode operation)，如下圖所示：同樣的分析方法，我們可以得到輸出光的偏振態為： sin X ⎛ φ ⎜ ′ V ⎛ e⎞ X ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ cos X + i Γ sin X ⎝ 2X ⎞ ⎟ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ≈ ⎜⎜ iΓ / 2 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ e ⎠ ⎠ 換言之，上式所代表的物理意義為：當光波在晶包內傳遞時，光波的電場向量將會維持在垂直於各局部分子指向的方向。所以，我們可以看到上述兩種操作模式均可得到光波的電場向量會依隨著分子指向的扭轉而旋轉，這個現象對液晶顯示器或光閥(spatial light modulator)的應用非常重要，在後面的章節中，我們會對液晶顯示器的操作原理做更精確的說明，此處要強調的是：絕熱依隨的現象只發生在入射光的偏極化方向平行或垂直於入射面的分子指向，且晶包的分子總扭轉角度不大時，若這些條件不成立，更精確的來看，輸出光的偏振態將會是橢圓偏振態，如下圖所示： 90 度扭轉層列式液晶顯示器(90o TN-LC cell) 如果上述的分析中總扭轉角度φ為 90o，而且在晶包前後各放上一片偏極板，其穿透軸指向均平行於入射面分子指向方向，則此三明治結構將組成所謂的常暗型結構(Normally black configuration) ，如下圖所示： c z 我們考慮 e-模式操作，由於入射光的偏振態平行於入射面分子指向，故可寫成： ⎛Ve ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ (e-mode) ⎝ Vo ⎠ ⎝ 0 ⎠ 則輸出光的偏振態在第二片偏振板前，以輸出面的局部主軸座標系來看，可表示為： Γ sin X ⎛ − cos X i ⎜ ′ V ⎛ e⎞ 2X ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ sin X ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ −φ ⎝ X ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 又，第二片偏振板的穿透軸為垂直於輸出端的分子指向方向，故只有 o-軸的分量會穿過偏振板，故穿透光強度為： sin X T = −φ X 2 [ sin 2 φ 1 + u 2 = 1 + u2 ] 其中，φ=90o 為總扭轉角度，u 稱之為 Mauguin 參量，如下： u= Γ 2 = (n e − n o )d 2φ λ 我們可以看到：當φ<<Γ時，上式之穿透光強度會接近零。這個結果與絕熱依隨的現象相符合，光波在晶包內傳播時，其偏振方向將會平行於局部分子之指向，因此，在輸出端光的偏振方向將平行於輸出面上的分子指向，換言之，光的偏振方向將被旋轉 90o，因為此方向垂直於檢偏板的穿透軸方向，故穿透光強度為零。若φ<<Γ條件不成立，則輸出光的很扁的橢圓偏振態將導致有有一個很小的殘存穿透率。在第五章，我們會利用上式來設計液晶顯示器元件，這裡讓我們先來分析輸出光的橢圓偏極化特性，如下：輸出光偏極態的 Jones 向量表示法(下式左)將對應偏振態橢圓的橢圓率及傾角為： Γ sin X ⎛ ⎛Ve′ ⎞ ⎜ cos X − i 2 X ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ sin X ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ −φ X ⎝ ⎞ ⎟ ⎛1 ⎡ Γφ ⎤⎞ ⎟ ⇒ e = tan⎜ sin −1 ⎢ 2 sin X 2 ⎥ ⎟ ⎣X ⎦⎠ ⎟⎟ ⎝2 ⎠ 2φX tan X tan 2ψ = ⎛ 2 Γ2 ⎞ 2 ⎜⎜ φ − ⎟⎟ tan X − X 2 4 ⎠ ⎝ 其中，ψ為以輸出端的主軸座標來看的橢圓之傾角，意即橢圓長軸與輸出端局部分子指向(e-軸)之間的夾角。我們可以看到：當φ<<Γ時，上式之橢圓率及傾角均會接近零，這個結果也就反應了絕熱依隨的現象，而上式中橢圓率為正值，代表此光波為右旋橢圓偏極化光。現在，我們來考慮 o-模式操作，由於入射光的偏振態垂直於入射面分子指向，故可寫成： ⎛Ve ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ (o-mode) ⎝ Vo ⎠ ⎝ 1 ⎠ 則輸出光的偏振態在檢偏板前，以輸出面的局部主軸座標系來看，可表示為： sin X ⎛ φ ⎜ ⎛Ve′ ⎞ X ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ cos X + i Γ sin X 2X ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 同樣的，我們可以看到：當φ<<Γ時，上式之偏振方向將會垂直於局部分子之指向，穿透光強度會接近零，這個結果與絕熱依隨的現象相符合。若φ<<Γ條件不成立，輸出光偏極態的 Jones 向量表示法(下式左)將對應偏振態橢圓的橢圓率及傾角為： sin X ⎛ φ ⎜ ′ V ⎛ e⎞ X ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ cos X + i Γ sin X ⎝ 2X ⎞ ⎟ ⎛1 ⎡ Γφ ⎤⎞ ⎟ ⇒ e = tan ⎜ sin −1 ⎢ − 2 sin X 2 ⎥ ⎟ ⎣ X ⎦⎠ ⎟⎟ ⎝2 ⎠ 2φX tan X tan 2ψ = ⎛ 2 Γ2 ⎞ 2 2 ⎟ tan X X − ⎜⎜ φ − 4 ⎟⎠ ⎝ 檢偏板的穿透軸為平行於輸出端的分子指向方向，故只有 e-軸的分量會穿過偏振板，故穿透光強度為： sin X T=φ X 2 = [ sin 2 φ 1 + u 2 1 + u2 ] 從 Jones 向量的特性，可以看到這兩種操作模式所得的輸出光之 Jones 向量內積會是零，故代表兩者正交，意即相互垂直。 4.3.3. 廣義扭轉層列式液晶顯示器之穿透特性現在我們來分析廣義的 TN-LCD 三明治結構之穿透特性，也就是說：晶包的總扭轉角度φ為任意值，而且晶包前後之偏極板，其穿透軸指向也是任意的，如下圖所示： c z 下圖為橫截面來看，廣義的 TN-LCD 之分子軸向及偏振板穿透軸向的關係圖： y-axis Exit polarizer Φexit Exit LC director Entrance polarizer φ Φent x-axis Entrance LC director 故輸入與輸出光波的偏振態，會分別與偏振板及檢偏板平行，以入射分子指向主軸座標來表示其偏振態之 Jones 向量，可分別表示成下列形式： ⎛V x ⎞ ⎛ cos Φ ent ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟, V Φ sin y ent ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛V x′ ⎞ ⎛ cos Φ exit ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ′ V Φ sin y exit ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 其中，Φent 為輸入偏振板與入射分子指向主軸座標之夾角， Φexit 為輸出檢偏板與入射分子指向主軸座標之夾角。所以，在輸出端穿透效率可由輸入之光偏振態乘上 TN-LC 的 Jones 矩陣(以 x, y-軸為參考軸之表示式)，再求出其乘積向量在檢偏板穿透軸上的投影量，如下為： T = V ′∗ ⋅ MV 2 = V ′∗ ⋅ R( −φ )WTN − LCV 2 展開式如下： ⎛ cos Φ exit ⎞ ⎛ cos φ T = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝ sin Φ exit ⎠ ⎝ sin φ ⎛ cos Φ exit ⎞ ⎛ cos φ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎝ sin Φ exit ⎠ ⎝ sin φ ⎞ ⎟⎛ cos Φ ent ⎞ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎝ sin Φ ent ⎠ ⎠ 2 sin X Γ sin X ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ cos Φ ent + φ sin Φ ent ⎟ ⎜ ⎜ cos X − i ⎟ − sin φ ⎞⎜ ⎝ X 2 X ⎠ ⎟ ⎟⎟ sin X Γ sin X ⎞ ⎟ cos φ ⎠⎜ ⎛ ⎜ − φ X cos Φ ent + ⎜ cos X + i 2 X ⎟ sin Φ ent ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 2 Γ sin X ⎛ − sin φ ⎞⎜ cos X − i 2 X ⎟⎜ sin X cos φ ⎟⎠⎜ −φ ⎜ ⎝ X sin X φ X Γ sin X cos X + i 2 X ⎞ ⎛ ⎛⎛ Γ sin X ⎞ sin X ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ cos X − i sin Φ ent ⎟ cosφ ⎟ cos Φ ent + φ X 2 X ⎠ ⎠ ⎟ ⎜ ⎝⎝ ⎟ ⎜ ⎛ sin X Γ sin X ⎞ ⎞ ⎛ sin Φ ent ⎟ sin φ ⎟ cos Φ ent + ⎜ cos X + i ⎜ − ⎜−φ ⎟ ⎛ cos Φ exit ⎞ ⎜ ⎝ X 2 X ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ T = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎟ ⎜ X X sin sin Γ Φ sin ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ exit ⎠ ⎝ sin Φ ent ⎟ sin φ ⎟ cos Φ ent + φ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ cos X − i X X 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ X sin sin X Γ ⎞ ⎛ ⎞ X i φ sin cos φ cos cos + − Φ + + Φ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ent ent ⎟ ⎜ X 2 X ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2 sin X ⎞ ⎛ sin(Φ ent + φ )⎟ ⎜ cos X cos(Φ ent + φ ) + φ X ⎟ ⎜ sin X Γ ⎟ ⎜−i cos(Φ ent − φ ) ⎟ ⎜ ⎛ cos Φ exit ⎞ ⎜ 2 X ⎟ T = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎟ ⎝ sin Φ exit ⎠ ⎜ sin X ⎜ cos X sin(φ − Φ ent ) − φ cos(φ − Φ ent )⎟ X ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Γ sin X sin(φ − Φ ent ) ⎟ ⎜−i ⎠ ⎝ 2 X = A + iB 2 2 A = cos X cos(φ − Φ exit + Φ ent ) + φ sin X sin(φ − Φ exit + Φ ent ) X Γ sin X cos(φ − Φ exit − Φ ent ) 2 X 再進一步展開，穿透率為： B=− T = A2 + B 2 2 ⎛ cos X cos(φ − Φ exit + Φ ent ) ⎞ ⎛ Γ sin X ⎞ ⎜ ⎟ cos(φ − Φ exit − Φ ent )⎟ =⎜ +⎜ sin X sin(φ − Φ exit + Φ ent )⎟⎟ ⎝ 2 X ⎜+φ ⎠ ⎝ ⎠ X 2 2 2 2 ⎛ sin X ⎞ 2 = cos X cos (φ − Φ exit + Φ ent ) + φ ⎜ ⎟ sin (φ − Φ exit + Φ ent ) ⎝ X ⎠ sin X cos X cos(φ − Φ exit + Φ ent )sin (φ − Φ exit + Φ ent ) + 2φ X 2 2 2 ⎛ sin X ⎞ 2 + X −φ ⎜ ⎟ cos (φ − Φ exit − Φ ent ) ⎝ X ⎠ 2 ( ) 1 − cos 2(α + β ) 1 + cos 2(α − β ) − 2 2 cos 2(α + β ) cos 2(α − β ) =− − = cos 2α cos 2 β 2 2 sin 2 (α + β ) − cos 2 (α − β ) = sin2θ = 2sinθ cos θ cos 2 X cos 2 (φ − Φ exit + Φ ent ) + sin 2 X cos 2 (φ − Φ exit − Φ ent ) ⎡cos 2 (φ − Φ exit + Φ ent ) ⎤ 2 2 2 = cos X cos (φ − Φ exit + Φ ent ) + sin X ⎢ ⎥ ⎣ + sin 2(φ − Φ exit ) sin 2Φ ent ⎦ = cos 2 (φ − Φ exit + Φ ent ) + sin 2 X sin 2(φ − Φ exit ) sin 2Φ ent 上式可以用來描述一個一般性的 TN-LCD 的穿透特性，其中我們所用偏振板及檢偏板的角度符號均為相對於入射端的分子指向，而且液晶晶包的扭轉角為φ。這個解析解在解釋傳統的扭轉層列式液晶顯示器之工作機制特別有用，如：STN-LCD, OMI-LCD 以及 LTN-LCD 等型式。除外，她亦有助於我們實驗量測 TN-LCD 的晶包厚度及扭轉角等參數。若以局部的(輸出端及輸入端)分子指向當作參考來描述偏振板及檢偏板的傾斜角(α, β)，我們可以得到： α = Φ ent β = Φ exit − φ 則穿透率可以進一步化簡為： T = cos 2 (α − β ) + sin 2 X sin 2 β sin 2α φ 2 ⎛ sin 2 X⎞ sin 2 X sin 2(α − β ) − φ ⎜ + ⎟ cos 2α cos 2 β 2X ⎝ X ⎠ ⎧ ⎫ cos 2 X cos 2α cos 2 β ⎪ ⎪ 2 = cos (α + β ) − ⎨ ⎡ φ ⎤⎬ ⎤⎡ φ ⎪⎩ ⎢⎣ X tan X − tan 2α ⎥⎦ ⎢⎣ X tan X + tan 2 β ⎥⎦ ⎪⎭ 這個式子特別可應用於 TN-LCD 及 STN-LCD 的分析，舉例來說：我們可以直接用目視來檢查上式即可得到其穿透率最大(T=1)所滿足的條件，將會發生在偏極板的傾斜角(α, β)為： tan 2α = φ X tan X 及 β = −α 稍後我們將証明，TN-LCD 將可把入射為傾斜角α的線性偏極化光轉到輸出為傾斜角β的線性偏極化光。 Example 4.9：常暗(Normally Black)的 90o TN-LCD 之穿透常暗的 90o TN-LCD 之檢偏板與偏極板的傾角為Φent=0 且Φexit=0，所以代入上式即可得到： sin 2 X X2 當 X=π, 2π, 3π,.....時，T=0。 T =φ2 Example 4.10：常亮(Normally White)的 90o TN-LCD 之穿透常亮的 90o TN-LCD 之檢偏板與偏極板的傾角為 Φent=0 且 Φexit=π/2，所以代入上式即可得到： sin 2 X T =1−φ X2 當 X=π, 2π, 3π,.....時，T=1。 2 TN-LCD 的 90o 旋轉對稱從穿透率的式子中，我們可以看到：當我們把偏極板及檢偏板同時相對於液晶晶包旋轉 90o，亦即做下列轉換，讓新的傾角分別為： Φ ′ent = Φ ent + π , Φ ′exit = Φ exit + π 2 2 代入穿透率的式子中，我們可以發現液晶顯示器的穿透率將維持原來的樣子。我們將其稱為 TN-LCD 的 90o 旋轉對稱。事實上，這是無損耗的雙折射波長板系統共有的特性，換言之，其來自於 Jones 矩陣的單位矩陣特性。 4.3.2 廣義扭轉層列式液晶顯示器之本徵模傳遞廣義來說，TN-LC 晶包會將入射的線性偏極化光轉變成輸出的橢圓偏極化光。所以，我們可否找到 TN-LC 的本徵模態呢？也就是說：晶包內傳播之橢圓偏極化光之橢圓率不會隨著光的行進而發生改變。換言之，在其中傳播光的偏振向量要滿足： Γ sin X ⎡ − X i cos ⎢ 2 X ⎢ sin X −φ ⎢ ⎣ X sin X ⎤ ⎥ ⎡Ve ⎤ ⎡Ve ⎤ X =γ Γ sin X ⎥ ⎢⎣Vo ⎥⎦ ⎢⎣Vo ⎥⎦ cos X + i ⎥ 2 X ⎦ φ 其中，γ為本徵值，而(Ve, Vo)為本徵模態的 Jones 向量，其參考座標軸為局部的分子指向座標系統(e, o 座標系統)，其 e 方向為平行於分子長軸的方向，而 o 方向為垂直於分子長軸的方向。這個輸入偏振方向的特徵即為：它可被 TN-LC 轉換成完全相同的輸出型式，不過是對輸出端的(e, o)座標系統而言。藉由解上式的矩陣方程式的解，我們可以得到下列的本徵值及本徵向量： 1 ⎛V ⎞ ⎛ ⎞ te mode : ⎜⎜ e ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟, 2 ⎝V o ⎠ ⎝ − i 1 + u − u ⎠ ( ⎛V ⎞ ⎛ − i ( 1 + u to mode : ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ e 2 ) − u )⎞⎟ , 1 ⎝Vo ⎠ ⎜⎝ 其中，晶包的 Mauguin 參數為： u= with: ⎟ ⎠ γ = e −iφ 1+ u 2 γ = e +iφ 1+ u 2 Γ p = (n e − no ) 2φ 2λ Γ = phase retardation, φ = cell twisted angle p = pitch of the twist, Δn = ( n e − n o ) 這兩個本徵模態被稱為扭轉非尋常模態(te mode)及扭轉尋常模態(to mode)。當在緩慢扭轉發生時(u>>1)，這兩個模態將會變成單軸晶體的非尋常模態及尋常模態。在 90o 扭轉晶包，晶包的厚度為四分之一扭轉週期長度時(d=p/4)，u 參量將變成： u= 2d λ Δn (90o twist) 其中，Δn=ne-no。我們要強調的是：一般情況這兩個模態均為橢圓偏振態，除非 u=0 或 u=¥。橢圓的主軸將平行於 LC 系統之局部的分子指向座標軸方向(e, o 座標)，而其中扭轉非尋常模態(te mode) 的長軸平行於分子長軸的方向，扭轉尋常模態(to mode)的長軸垂直於分子長軸的方向，兩者呈正交型式且旋性方向相反，如下圖所示： o y e (LC director) to mode te mode x 所以，當我們找到這兩個模態後，任意的偏極化光均可展開成此兩模態的線性組合，晶包內光傳播的結果則可視為此兩模態間有因傳播而產生的相位延遲，延遲量為： ΓN = 2φ 1 + u = Γ 2 + 4φ 2 = 2 X 此處，下標 N 為用以區隔ΓN 與Γ間的不同。這兩個本徵模態之橢圓率(短主軸長/長主軸長)為： e = 1 + u2 − u 而且，我們要強調的是：當給定晶包的雙折射係數差及扭轉率後，這兩個模態的 Jones 向量將與晶包厚度無關。因此，模態橢圓的主軸將隨著光在晶包內傳播而與扭轉率相同的情況旋轉，而當緩漸扭轉區域時(1<<u)，偏振態橢圓會幾乎接近線性偏振態，也就是 Mauguin 區域，其中線性偏振態光會隨著 LC 系統之局部的分子指向扭轉而旋轉。廣義來說，如果 Jones 矩陣法則成立的話，本徵模態的傳播將會滿足波導現象(waveguiding)，即使其不在緩漸扭轉區域。而嚴格來講， Jones 矩陣法只在反射波忽略時才成立。我們會在稍後的章節探討反射波存在時的情況。 Example 4.11：計算下列情況的 te mode 及 to mode 考慮我們有 E7 液晶材料組合成的 20μm 厚晶包，其扭轉角為π/2，雙折射係數差為Δn=0.23，則可求得 u=Γ/2φ=18.4@λ=500nm，則其本徵模態之 Jones 向量為： 1 ⎞ ⎛V ⎞ ⎛ te mode : ⎜⎜ e ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝Vo ⎠ ⎝ − 0.027i ⎠ ⎛V ⎞ ⎛ − 0.027i ⎞ to mode : ⎜⎜ e ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ V 1 ⎠ ⎝ o⎠ ⎝ γ = e −9.21π γ = e 9.21π 當緩漸扭轉成立時，扭轉率幾乎為零且 uà¥，本徵模態之 Jones 向量變為： ⎛V ⎞ ⎛ 1 ⎞ te mode : ⎜⎜ e ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝V o ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎛Ve ⎞ ⎛ 0 ⎞ to mode : ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝Vo ⎠ ⎝ 1 ⎠ γ = e −iX = e −iΓ / 2 γ = e iX = e iΓ / 2 其中，我們知道當 uà¥，XàΓ/2，這就是均勻式晶體的情況：線性偏極化光在扭轉層列式液晶顯示器之操作大部分的 TN-LCD，輸入端都有偏振板薄板，因此入射到 TN-LC 晶包前的光波通常為線性偏極化光，因此，對液晶晶包而言，其中一個很重要的特性就是要求出現性偏極化光入射時，輸出端光波的偏振狀態為何。如我們在前面所提到的結果，輸出光波通常為橢圓偏極化光，而我們知道線性偏極板不能將橢圓偏極化光完全擋住，所以這種不完全的檢偏板之分別率將導致顯示器的對比度降低，因此，了解這種輸出光的偏振態將有助於設計液晶顯示器。更具體說，我們有興趣的是能否找到輸入光波與輸出光波均為線性偏振態的情況，就可避免漏光發生。為了達成此目標，我們定義一個參數如下： Input polariztion state parameter ⇒ χ ≡ Vo Ve 其可用來描述偏極化的狀態，線性偏極化光將使得參數χ為實數。利用前面的結果，我們可得到在輸出端參數χ'為： Γ sin X sin X ⎛ ⎞ X i φ − cos ⎜ ⎟⎛ V e ⎞ ′ V ⎛ e⎞ X X 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ Γ sin X ⎟⎜⎝Vo ⎟⎠ sin X ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ −φ cos X + i ⎟ ⎝ X 2 X ⎠ Γ sin X ⎞ sinX ⎛ −φ + ⎜ cos X + i ⎟χ V' o X 2 X ⎠ ⎝ ⇒ χ'= = Γ sin X sinX V' e +φ χ cos X − i 2 X X 對任意輸入光波之實數χ，我們可以輸出端所對應的參數χ', 若要輸入光波與輸出光波均為線性偏振態，我們可得到參數χ 及χ'需滿足： χ = − v ± 1 + v 2 with χ ' = −χ ν = X φ tan X Γ2 X = φ + 4 2 換言之，若輸入光波為線性偏振光且有上式之參數χ，我們可以得到輸出端亦為線性偏振光，其具有上式之參數χ‘。從上式來看輸入端有兩個偏振態，彼此將為正交。這兩個輸入線性偏振態光波將被 TN-LC 轉換到輸出端，亦為線性偏振態的光波。現若以輸入端的分子指向座標系來表示此兩個線性偏振態的傾角ψ1 與ψ2，則可得到其為： 2 tan = 1 + v −v ψ 1 Input angles ψ 2 =ψ 1 + π / 2 對應之輸出光波亦為線性偏振態的光波。若以輸出端的分子指向座標系來表示此兩個線性偏振態的傾角ψ'1 與ψ'2，則可得到其為：對應之輸出光波亦為線性偏振態的光波。若以輸出端的分子指向座標系來表示此兩個線性偏振態的傾角ψ'1 與ψ'2，則可得到其為： Output angles ψ '1 = −ψ 1 ψ ' 2 = −ψ 2 如前面的討論，這樣的情況將給我們最佳對比度的操作，只要我們按上述的方向來安排輸入端及輸出端偏極板的指向，要注意的是，現參考軸均為局部分子指向為依據。下列為幾種操作模式： Example 4.12：計算下列情況的操作角度考慮我們有 ZLI-1646 液晶材料組合成的 14μm 厚晶包，其扭轉角為 3π/2，雙折射係數差為Δn=0.08，則可求得υ=0.404@λ=589nm，則其操作條件為(如下圖所示)： Case 1. NW operation: ψ1=34o, ψ'1= -34o Case 2. NW operation: ψ2=124o, ψ'2= 56o Case 3. NB operation: ψ3=34o, ψ'3= 56o Case 4. NB operation: ψ4=124o, ψ'4= -34o 4.4 非正向入射的相位延遲一般來說，在非均向介質內，只要給定光波傳遞的方向，就一定可以找到兩個獨立的傳播偏振態模態，在單軸雙折射介質中，這兩個模態為尋常光模態及非尋常光模態，兩者為相互正交。這兩個模態對應的本徵折射率將會與傳播方向有關，而在單軸雙折射介質中，尋常光模態所對應的折射率與方向無關(no)，非尋常光模態所對應的折射率則會與方向有關(ne(θ))。因此，光傳播所得兩個模態間所產生的相位延遲量將會與傳播方向有關。本小節中，我們將研究相位延遲量與傳播方向的關係。首先，我們考慮均勻單軸雙折射波長板，其 c-軸平行於波長板表面，通常我們稱之為 a-plate。若將液晶晶包對準為所有分子長軸均為均勻同向平行對準表面則是一個例子。在這樣的介質中，為了描述斜向入射下相位延遲量，我們選擇 z-軸為垂直於波長板表面的方向，如圖所示：對正向入射，相位延遲量Γ可寫成： Γ= 2π λ ( n e − n o )d ⇒ Γ = (k ez − k oz )d 實際上，上式右可寫成通式，不論對正向入射或斜向入射，相位延遲量Γ均可寫成此型式。我們可以用兩種角度來說明此通式： Wave Approach (波動法)：給定一個傳播方向，則我們可以寫出此介質所對應的尋常光波與非尋常光波。因此，在此介質中，光波的電場振幅可以寫成： r r r E = E e exp[− i (αx + βy + k ez z )] + E o exp[− i (αx + βy + k oz z )] 其中，Ee 與 Eo 為模態分量的振幅常數，而α, β以及 kze, kzo 則為光波向量之分量。由邊界條件，光波向量分量的切線分量(α, β)必須連續，故對此兩種模態，光波由一點傳到另一點時，z=0 à z=d，會貢獻相位延遲量為： Γ = ( k ez − k oz )d Ray Approach (光束法)：參考上頁的圖，我們考慮一道光束入射至介質的表面，由於雙折射的效應，雙折射的現象產生導置光束變成兩道，分別為尋常光波與非尋常光波，對應之折射率為分別為 n'e, no，以θe, θo 的角度折射。其中，要注意：no 為定值與角度無關，而 n'e 則與入射角度有關。因此，由幾何關係，可以寫出相位延遲量為： Γ = kn e′ AB + kBD − kn o AC 其中，k 為真空中的波數。若我們以一般例子假設光束是由空氣(n=1) 入射至介質。因此，由 Snell 折射定律，角度間的關係為： sin θ = n e′ sin θ e = n o sin θ o 代入相位延遲式中，可化簡為： Γ = k [n e′ cos θ e − n o cos θ o ]d ⇒ Γ = ( k ez − k oz )d 4.5 錐光偏光儀(conoscopy) 錐光偏光儀通常為一具含有偏極板的顯微鏡，用來觀察在許多不同角度的入射光同時存在時，材料的穿透特性。對於單軸材料而言，錐光偏光儀可以用來決定 c-軸的指向。基本原理敘述如下：如下圖所示，光源的部分我們放入一個透鏡產生收斂(或發散)的光束來照射樣品，因為，就我們所知：收斂(或發散)的光束可以視為許多平面光波的線性疊加，而其入射方向均勻的分佈在立體圓錐內，透鏡的功能則是將所有平面波的分量匯聚到焦點上。藉由檢查焦平面的光強度分佈，我們可以同時知道在不同入射角度，偏振板-樣品系統所對應的穿透特性。而由非均向性介質的本質，我們可以知道：非均向性介質夾在兩片正交偏振板所組成三明治結構，其穿透特性將取決於晶體材料的切向及入射角度，焦平面的光強度分佈則可以用來決定樣品的切向及相位延遲量與角度的關係。為了更清楚的說明，我們用幾個例子來看： 4.5.1 單軸晶體的 a-plate 參考上頁的圖，我們考慮 a-plate 放在兩片正交的偏極板中所組成的三明治結構。材料的 c-軸平行於板的表面。更進一步簡單化，假設材料的 c-軸與偏極板的穿透軸成 45o 的夾角。由前述分析的結果，相位延遲量Γ=(kez-koz)d。其中， kze、 kzo 為光波向量在 z-軸之分量，d 為薄板的厚度，而 z-軸為垂直表面的方向。對小角度入射時(θ<<1)，相位延遲量可以寫成： ⎡ sin 2 θ Γ = Γ0 ⎢1 + 2n o2 ⎣ ⎞⎤ ⎛ no n e + no ⎜⎜ − cos 2 φ ⎟⎟⎥ ne ⎠⎦ ⎝ ne 其中， Γ0為正向入射時的相位延遲量， Γ = 2π / λ (ne − no )d 。θ為以 z-軸為參考之入射角，φ為入射光波向量在材料表面投影向量與 c軸之夾角。對於具有較小雙折射係數差的材料，相位延遲量可以進一步化簡成： ⎡ sin 2 θ ⎤ 2 1 2 cos φ Γ = Γ0 ⎢1 + − ⎥ 2no2 ⎣ ⎦ or ⎡ ⎤ 1 Γ = Γ0 ⎢1 + 2 sin 2 θ sin 2 φ − sin 2 θ cos 2 φ ⎥ ⎣ 2no ⎦ ( ( ) ) 由前面對此結構的穿透率之描述，樣品的穿透率可寫成： 1 Γ T = sin 2 2 2 當相位延遲量為 2π的整數倍時，輸出端正交模態結合的光波偏振態將與原入射端之光波的偏振態相同，則此光束將被第二片偏振板擋住，而在焦平面上產生暗的雙曲線，因此，焦平面上的光強度分佈將會看到一系列雙曲線暗紋，暗紋間有最強的亮紋。此雙曲線條紋的大小取決於波長。若以白光入射，將可看到彩色的條紋，每一條紋之色彩是相同的，稱之為等色線(isochromatic line)。圖示為單色的錐光偏光儀所看到的強度分佈照片。假設我們用兩個平行的偏振板，則所見圖形為反相。 4.5.2 單軸晶體的 c-plate 如圖，我們考慮 c-plate 放在兩片正交的偏極板中所組成的三明治結構。材料的 c-軸平行於板的表面。正向入射時，光波將沿 c-軸傳播，所以兩個正交模態分量將無相位延遲，輸出光波的偏振態不會改變，故正向入射之穿透光強度為零。非正向入射時，在晶片中兩個正交模態分量之傳播將產生相位延遲，且大小與角度有關，但由於對稱關係，相位延遲量將只是θ的函數。同樣的，穿透率為零發生在相位延遲量為2π的整數倍時，因此我們將可看到，焦平面上會有同心圓暗紋出現，其對應角度為相位延遲量產生 2π的整數倍。介於暗紋同心圓之間為穿透強度最大值。同樣的，亮暗紋的半徑將取決於波長及晶片的厚度。對小角度入射時(θ<<1)，相位延遲量可以寫成： Γ = Γ0 n e + no sin 2 θ 2n e n e 上式可用來決定亮暗紋的半徑。若以白光入射，將可看到彩色的條紋。同樣的，每一條紋之色彩是相同的，稱之為等色線(isochromatic line)。圖示為單色的錐光偏光儀所看到的強度分佈照片。假設我們用兩個平行的偏振板，則所見圖形為反相。 4.5.3 雙軸晶體的 C-cut plate 若我們考慮雙軸波長板的切向為表面的法線方向平行於兩光軸的分角線，並將其放在兩片正交的偏極板中所組成的三明治結構。單色的錐光偏光儀所看到的強度分佈圖為：偏極板的穿透軸方向平行於兩光軸所組成的平面。將(a)情況中，波長板旋轉一小角度。偏極板的穿透軸方向與兩光軸所組成的平面夾 45o。五、液晶顯示器 Liquid Crystal Displays 5.0. 簡介液晶板可裝設成許多不同的結構，而應用於顯示器中。近來生產的大部分顯示器都使用扭轉層列式(twisted nematic, TN)或超扭轉層列式(supertwisted nematic, STN) 的液晶相。在扭轉層列式(TN)液晶相中，液晶分子指向扭轉了 90o；而超扭轉層列式(STN)液晶相之中，液晶分子指向扭轉角度則大於 90o (如：180o, 240o, 270o)。薄膜電晶體TN-LCD的結構而如第一章簡介中敘述，每一個顯示器系統都包含了一個二維的(MxN)個畫素之陣列，其中每一個畫素均可以電驅動操作其開或關，每一個畫素都包含了液晶晶包夾於兩層透明電極中。在早期的 TN-LCD，液晶晶包由兩組 (M+N)個電極加上多工技術來驅動，多工的優點在於(MxN)個畫素只需(M+N) 個電極來驅動。但是，多工的簡化結果降低器件的效能，特別是器件的視覺對比度及解析度的限制。稍後，利用不同的驅動技術而使用薄膜電晶體 (Thin Film Transistor, TFT)陣列的技術來增強 TN-LCD 的效能。在 TFT 陣列中，每一個畫素均配上一個電晶體，這有效的增加了顯示器的效能也降低了其產品成本。我們將在稍後的章節中，討論多工技術及主動式矩陣位置驅動的技術。 1 資料線信號電極掃描電極掃描線被動矩陣顯示法顯示電極主動式矩陣位置驅動的技術最近引進了 STN-LCD 的技術，而能在不使用 TFT 的情況下，來增加 LCD 的效能，稍後我們將証明較大的扭轉角將有助於有效的產生較大的電光效應擾動，而導致顯示器的對比度及視角的增加。在本章中，我們將討論幾種不同的顯示器之操作原理，包括：扭轉層列式液晶顯示器(TN-LCD)、超扭轉層列式液晶顯示器(STN-LCD)、高分子散佈式液晶顯示器(PD-LCD)、以及反射式液晶顯示器(reflective LCD)，除外，我們也會探討這些顯示的一些重要特性參數，如：對比度以及視角。 TN、STN及TFT型液晶顯示器之比較表類別 TN STN 原理液晶分子，扭轉90度扭轉180~270度特性黑白、單色低對比（20：1）黑白、彩色（26萬色）低對比，較TN佳（40：1）彩色（1667萬色）高對比，較STN佳（300：1）全色彩化否否可媲美CRT之全彩色動畫顯示否否可媲美CRT 視角 30度以下 40度以下 80度以下 1~3寸 1~12寸 6~17寸以上電子錶、計算機電子字典、行動電話彩色筆記本電腦、投影機、超薄平面彩色電視面板尺寸應用範圍 2 TFT 液晶分子，扭轉90度 5.1. TN-液晶顯示器 5.1.1 工作原理 TNLCD 的工作原理是依循上一章中的波導特性所描述的現象。正如我們記得：線性偏極化的光波可沿著扭轉軸在 TN 晶包內傳播，假如其入射的偏極方向平行或垂直於入射面的分子指向，則光波傳遞時，其偏極化方向將會扭曲旋轉到局部分子的指向，這個現象將導引輸出偏振態旋轉。在 90o TN-LC 晶包中，輸出光波的偏振方向將旋轉 90o。下圖表示 90o TN-LCD 的兩種工作模式：典型的 90o 的 TN-LCD 中，晶包是夾在兩片互相正交垂直的偏極板中，偏極板的穿透軸被調整對準成平行於入射端分子的長軸方向(E-mode 操作)，這將保證入射的光波之偏振方向將平行於分子的指向，而出射端的檢偏板，其穿透軸方向將對準於出射端分子的指向的平行方向，這將讓依隨波 3 導現象的光偏振態能完全穿過檢偏板，因此，若入射端為非偏極化光，則液晶顯示器將只承受入射檢偏板的 3-dB(一半)之損耗。這就是所謂的常亮結構(Normally White, NW)。在 TN-LCD 中，每一個晶包的組成均為液晶材料夾在兩片玻璃的三明治結構，其厚度約為 5-10μm，玻璃板的內面均鍍有透明的導電電極，其成分為 ITO(Indium Tin Oxide) 。這些透明電極上再度有一層厚度只有數百埃 (Angstrom)的 polyimide 薄膜，其薄膜再經單一方向的摩擦讓液晶分子指向平行於表面模艙方向排列。在 90o 的 TN-LC 中，出射端的摩擦方向將與入射端的方向垂直，因此，在未加電壓的不啟動狀態，液晶分子的局部指向方向就會在這兩板間均勻連續的扭轉 90 度。出射端的偏極薄板黏貼在玻璃板的另一面，其穿透軸方向將平行於出射端的 polyimide 薄膜之摩擦方向(i.e. 分子指向)。當在兩電極上加 3-5V 之電壓的啟動狀態時，晶包內將會建立很強的電場，而此時液晶分子的介電非均向性會使得分子指向均平行於電場方向排列，而讓液晶分子指向呈現垂直均勻的排列。換言之，液晶分子指向垂直於表面，根據第四章的定義，液晶板此時將呈現所謂的 c-plate 特性。而如我們前面的討論，此時光波的偏振方向將不會改變。再者，c-plate 夾在兩正交的偏振板中將導致光的穿透率為零。因此，藉由控制電壓的開與關，我們可以控制液晶晶包的光穿透率。這就是 TN-LCD 的工作原理。 4 5.1.2 在未加電壓狀態之穿透率： TN-LCD 的穿透特性已在第四章中藉由所發展的 Jones 矩陣的法則計算分析。在此，我們考慮 90o 的液晶晶包，且其前偏極板的穿透軸方向平行於前局部分子之指向。輸入之非偏極化光將被轉變成線性偏極化光，此時光波傳遞時，其偏振態將發生我們前面敘述的波導現象，穿透光波的偏振態將是線性偏振光且偏振平面旋轉 90 度，精確的說，波導現象只發生在下列的極限條件： φ << 2π λ Δnd ⇒ λ << Δnd , if φ = π 4 2 這個條件一般稱為緩慢扭轉極限，上式又稱為 Mauguin 條件。在一般的情況下，上式條件並不成立，這會使得輸出光的偏振態為橢圓偏振態，而其橢圓率很小。為了能詳細討論偏振態，我們現使用(e, o)座標系統，其中 e-軸為平行於局部分子指向，o-軸則為垂直於分子指向的方向，當入射光的電場方向平行於入射面分子指向時，以(e, o)主軸座標系來看，入射光的偏振態可寫成： ⎛Ve ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ (e-mode) ⎝ Vo ⎠ ⎝ 0 ⎠ 則輸出光的偏振態，以輸出面的局部主軸座標系來表示，可得為： Γ sin X ⎛ cos X i − ⎜ ⎛Ve′ ⎞ 2X ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ sin X ⎝Vo′ ⎠ ⎜⎜ −φ X ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 2 2π ⎛Γ⎞ with : X = φ + ⎜ ⎟ , Γ = ( n e − no )d λ ⎝2⎠ 2 我們可以看到：Maugiun 條件將發生在 TN-LC 的扭轉角φ會遠小於相位延遲角Γ (i.e. φ << Γ)，則上式的第二項將會非常接近零，因此輸出光的 Jones 向量可化簡為： ⎛Ve′ ⎞ ⎛ e −iΓ / 2 ⎞ ⎛1⎞ ⎟ = e −iΓ / 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ≈ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝Vo′ ⎠ ⎝ 0 ⎠ 5 換言之，上式所代表的 Jones 向量為線性偏極化光，且其方向將會維持在各局部分子指向的方向上。這就是所謂的偏振波導現象。在大部分的 TN-LCD 液晶顯示器中，實際所用的液晶層將不滿足 Maugiun 條件，這會導致一系列液晶顯示器的效能降低，包括：亮度的減低、對比度減低、穿透率隨著波長變化效應導致的顏色錯亂，利用上式，我們可分析 90o TN-LCD 的穿透特性，分成兩種類別討論：常暗模式(Normally Black, NB mode)：此種情況，TN-LCD 晶包是夾在兩片互相平行的偏極板中，偏極板的穿透軸被調整對準成平行於入射端分子的長軸方向(E-mode 操作)，這將保證入射的光波之偏振方向將平行於分子的指向，而出射端的檢偏板，其穿透軸方向將對準於出射端分子的指向的垂直方向。因此穿透率為： 1 sin X T= φ 2 X with : u = 2 [ 2 2 1 sin π2 1 + u = 2 1 + u2 ] Γ 2d = (n − n ) λ e o 2φ 這個式子最早是由 Gooch 及 Tarry 在 1975 年推導而得。我們可以看到：當 1<< u 時，液晶顯示器的穿透率會趨近於零，這就是 Maugiun 條件。為了清楚描述液晶顯示器穿透特性，我們將上式對 u 參數作圖，結果如下： 6 上圖我們可以看到：液晶顯示器的穿透將被一個 sinc 函數之平方導引其變化，當 u=0 時為主峰值，以及有一系列的側峰值，而其振盪關係來自於穿透率式中分子項的 sin 函數；而關係曲線的包絡線則受到分母項(1+u)減少，當 u 增加到很大時，穿透率變得很低，幾乎為零，這就是 Maugiun 條件。零穿透率發生在 sin 函數的變數為π的整數倍時(i.e. X=π, 2π, 3π,...)，相對於 u=31/2, 151/2, 351/2,...。這些值稱之為第 1, 2, 3 極小值條件。在常暗模式下，我們想要的是在非啟動狀態下，晶包穿透率為零，根據圖形描述，對於給定 TN 的條件下，零穿透率只發生在對應的波長下，其他波長將有一個殘餘的穿透率，這將導致不想要的顏色錯亂。最大值發生在 u=81/2, 241/2, 481/2,...，而第一峰值將只有主峰值的 1/9 倍，第二峰值亦只有主峰值的 1/25 倍。常亮模式(Normally White, NW mode)：此種情況，TN-LCD 晶包是夾在兩片互相垂直的偏極板中，偏極板的穿透軸被調整對準成平行於入射端分子的長軸方向(E-mode 操作)，而出射端的檢偏板，其穿透軸方向將對準於出射端分子的指向的平行方向。因此穿透率為： 2 2 1 ⎛⎜ 2 ⎛ Γ sin X ⎞ ⎞⎟ ⎛ Γ sin X ⎞ ⎞⎟ 1 ⎛⎜ 2 T = cos X + ⎜ ⎟ ⎟ = 1 − sin X + ⎜ 2 ⎜⎝ ⎝ 2 X ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2 X ⎠ ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 2 ⎡π 2⎤ u sin 1 + 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 1 ⎛ sin X ⎛⎜ 2 ⎛ Γ ⎞ ⎞⎟ ⎞⎟ 1 1 X = − = ⎜1 − − ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ X 2 ⎜⎝ 1 + u2 ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎟⎠ 2 2 我們可以看到：這個式子表示穿透率將是 NB 模式的完全反相。當 u 很大時，上式第二項為零，液晶顯示器的穿透率會趨近於 1/2。我們將上式對 u 參數作圖，結果如下： 7 上圖我們可以看到：最大穿透率發生在 sin 函數的變數為π的整數倍時(i.e. X=π, 2π, 3π,...)，相對於 u=31/2, 151/2, 351/2,...。穿透流明(Transmitted Luminance)：如前所述，TN-LCD 晶包的穿透率將與光波波長有關。因此，對黑白模式之 NB 的顯示器，將選擇適當的 u 值使得在暗態的穿透流明數最小，而由於人眼睛的感應關係，感受到的穿透流明數將為三個函數乘積的積分值，包括：穿透率之波長函數 T(λ)、人眼之光感受反應之波長函數 P(λ)、以及光源之照明的波長函數 D(λ)。如下： 780 L= ∫380 T (λ ) D(λ ) P(λ )dλ 780 ∫380 D(λ ) P(λ )dλ 上式的積分式上下限分別代表人眼可感受的光波範圍。使用 D65 標準的光源光譜分佈圖，其對應 6500K 的黑體輻射之光譜特性圖，我們可以得到最小流明數亦發生在Δnd=0.48, 1.09, 1.68μm 時，這些值對應最小值即發生在波長為λ=0.55μm 時，u=31/2, 151/2, 351/2,...。 8 9 5.1.3 在加電壓狀態(Field-ON)之穿透率：當在 TN-LCD 的兩電極上加小電壓時，晶包內將會建立很強的電場，因為，液晶層實際的厚度只有 5-10μm，所以 1.5V 對應的電場將為 1.5-3kV/m，此時電場作用下，液晶分子指向將強迫平行於電場方向排列，但是表面界面上的液晶分子指向會因為表面分子牆作用例的緣故，仍呈現平行摩擦方向的排列。除外，液晶分子仍有一個彈性慣性，阻止分子指向重新分佈。換言之，在外加電壓下，液晶分子指向將重新分佈，首先我們簡單說明在外加電壓影響下，液晶分子重新指向分佈的情況：電場導致分子指向的重新指向：在無外加電壓下，TN-LCD 晶包的分子指向將平行於玻璃板的表面，邊界的條件使得其中分子沿垂直軸均勻扭轉，在 90o 的 TN-LC 中，出射端的摩擦方向將與入射端的方向垂直。當外加電壓夠強時，液晶分子將倒向於電場的方向，因此，在外加電壓時，描述分子之指向必須同時說明其扭轉及傾斜角。為了清楚定義分子指向的分佈，我們定義 z-軸為垂直於表面的方向，如附錄 D 的推導，電場擾動厚的晶包內之彈性能量密度為： U EL 2 1 1 ⎛ dθ ⎞ ⎛ dφ ⎞ = k1 cos 2 θ + k 3 sin 2 θ ⎜ ⎟ + k 2 cos 2 θ + k 3 sin 2 θ cos 2 θ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ dz ⎠ ⎝ dz ⎠ ( ) ( ) 2 其中，k1, k2, k3 為液晶分子的彈性係數，φ為扭轉角，θ為分子指向的傾角。而靜電能量密度為： U EM = D 2z 1 r r 1 E⋅D= 2 2 ε // cos 2 θ + ε ⊥ sin 2 θ 其中， ε//及ε^為液晶分子的介電係數，D 為材料內電位移場向量。最終分子的指向分佈 (θ(z), φ(z)) 將會指向讓晶包內總能量密度最小的方向，這必須由變數積分的方法如附錄 D 的步驟推導出來，這裡我們只說明結果。 10 首先，按附錄 D 之結果，TN 晶包要重新指向分佈，需要外加電場大於最小電壓(Threshold Voltage)，如下： ⎡ Φ2 VT = Vc1 ⎢1 + 2 ⎣ π ⎛ k 3 − 2k 2 ⎞⎤ ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎝ k1 ⎠⎦ 1/ 2 其中，Φ為在無外加電壓下的總扭轉角，Vc1 為： Vc1 = π k1 Δε 其中，Δε為液晶分子的介電係數的非均向性Δε = ε//-ε^。Vc1 的物理意義為在 Nematic 晶包(Φ=0)中傾斜液晶分子所需的最小電壓，在 TN-LC 中，傾斜液晶分子所需的最小電壓會略大，因為從上式(k3-2k2)>0。對 90o 的 TN-LC 而言，最小電壓為： ⎡ ⎛ k − 2k 2 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ VT = Vc1 ⎢1 + ⎜⎜ 3 k 4 ⎠⎦ 1 ⎣ ⎝ 1/ 2 對大部分的混何液晶材料而言，最小電壓 VT 大約為 1V。 Example 5.1： Using Table 1.1, we obtain k1= 77 x 10-2 N, k2= 4 x 10-2 N, k3 = 12.2 x 10-2 N, ε// = 10.6ε0, and ε^ =4.6ε0, for ZLI-1646. According (5.1-14,15), we obtain Vc1 = 1.196V and VT=1.275V. to Eqs. 再按附錄 D 之結果，我們可以得到 TN 晶包內分子指向之分佈，解的步驟需要數值分析的方法。下圖的結果為晶包內充進 ZLI-1646 混合液晶配方時，在外加電壓下，傾角θ(z)與扭轉角φ(z)的分佈情形： 11 對此混何液晶材料，最小電壓 VT 大約為 1.275V。分子指向的分佈具有下列的對稱性： θ ( z ) = θ (d − z ) φ ( z ) + φ (d − z ) = π 2 我們亦可看到在輸入端及輸出端的分子指向的傾角為零，這是由於邊界條件的結果。實際上，玻璃的內表面有特殊處理使液晶分子指向在界面上有一個微小的傾角，我們在第一章提到：此微小傾角的重要性在於其能維持晶包分子分佈之穩定性。根據靜電能量關係式，其為傾角的偶函數，當外加電壓時，液晶分子的傾角可以是正角度或負角度均不影響其值。再實際操作時，若無預傾角，這個效應將使晶包內分子指向分佈不穩定。因此，有外加電壓時，微小的預傾角將順利的讓分子穩定的傾向同一方向。傾角分佈在電壓較小時，像是一個 sin 函數，而當電壓變大時，傾向變成一個矩形函數。因為傾角θ(z)分佈為對稱中心之函數，故中心傾角最大。中心層的傾角將隨著電壓的增加而變大，電壓夠大時將會趨近於 90o，下圖表示中心層傾角與電壓之關係： 12 在低電壓(< 1.3V)時，扭轉角幾乎保持原有均勻連續扭轉特性，當中間層液晶分子傾角大於 45o 時，外加電壓的強度才開始讓扭轉角有較顯著變化(e. g. 2.1 V)，而當中間層液晶分子傾角接近 90o 時，外加電壓的強度會讓旋轉角在中間層附近有一個劇烈的過度變化(from 0 to 90)。在兩端，傾角維持平行於兩表面的摩擦方向，在中間層附近的很短區間內，分子很快從傾角零度變成 90 度。我們也可以看到晶包中心層的分子，其傾角永遠維持 45 度，不會受到外加電壓而影響。下表列出晶包中的表面及當中 20 個等距位置之傾角數值。 13 14 正向入射的穿透率：如果給定了分子指向的分佈，我們即可利用標準的 Jones 矩陣法則來分析此種情況下的 TN-LCD 之穿透特性。然而，我們知道此時分子指向並無適當的解析方式描述，必須用數值方法才能解出 TN-LC 對應之 Jones 矩陣。以數值的解法， TN-LC 晶包必須均分成非常多的等厚度之薄板組成 ( 通常 N=20~100)，每一個薄板將被視為均勻單軸非均向性的波長板，此時以矩陣法則，每一片薄板均可表示成一個 Jones 矩陣，而將輸入光的偏振態轉成輸出光的偏振態，最後總效應所對應之 Jones 矩陣，則可由這些矩陣順序相乘而得。接下來我們就以這種方法其得的結果來討論正向入射下 90o 的 TN-LCD 之穿透率與外加電壓的關係：常暗模式(Normally Black, NB mode)：下圖即為計算所得的結果，我們考慮的情況是：TN 晶包中的液晶材料具有 Δnd=0.48μm，而計算穿透率與外加電壓的關係。如前述，這個厚度的條件是針對 NB 之 TN-LCD 在波長為λ=550nm(ugreen=31/2)的綠光工作條件下，第一個 sinc 函數的零點所設計的厚度。因此，對於外加電壓為零時(Field OFF)，顯示器的穿透率為零，故對於紅光及藍光將會有殘存的穿透量(大約 0.03)，這是因為波長的相關性，使得對藍光，u 值過大(ublue>31/2)；而對紅光而言， u 值太小(ured< 31/2)。當外加電場打開時，穿透率會維持不變直到外加電場大於最小電壓 VT，因為液晶分子指向在電壓小於 VT 時不會改變；當外加電壓增加到大於 VT 時，液晶分子指向將傾向平行於電場方向，這個效應能有效的減少相位延遲量，而增加光的穿透率。對紅光而言，液晶分子指向的傾斜將進一步減少 ured 更低於 31/2，導致穿透率增加；對於藍光而言，當電壓增加時，參數 ublue 可能會通過 31/2，造成大約在電壓為 1.5V 時，穿透率為零。電壓大於此點時，傾角持續隨著電壓增加而增加，導致等效相位延遲量進一步減少而 ublue 亦減少，導致穿透率為電壓的函數，當電壓很大的時候，幾乎所有分子都實際被對準在電場方向時，將使得此 TN-LCD 的結構變成 c-plate 夾在兩片平行偏振板之三明治結構，因此所有的波長都會完全穿過。 15 假如我們選取 TN 晶包中的液晶材料具有Δnd=1.09μm，則穿透率與外加電壓的關係會略有不同。當 TN-LCD 具有Δnd=1.09μm，這個厚度會對應 NB 之 TN-LCD 在波長為λ=550nm(ugreen=151/2)的綠光工作條件下，第二個 sinc 函數的零點所設計的厚度。因此，對於外加電壓為零時(Field OFF)，顯示器對綠光的穿透率為零。當外加電場打開時，且增加到大於 VT 時，液晶分子指向將傾向平行於電場方向減少 ugreen 參數，光的穿透率增加，當參數 ugreen 減少到第一個峰值後，穿透率會相對減少，直到 ugreen 到達 31/2，穿透率又變成是零，而過了此點後，電壓增加時，穿透率又增加。對於藍光而言，當電壓增加時，參數 ublue 會通過 ublue=31/2，以及 ublue=151/2 兩點。造成穿透率曲線會有兩個極小值。對紅光而言，穿透率曲線只有一個極小值，發生在 ured=31/2 時。常亮模式(Normally White, NW mode)：此種模式，TN-LCD 晶包是夾在兩片互相垂直的偏極板中。假設偏極板是理想的，則電光穿透曲線將會是 NB-LCD 條件下的反向，下圖即為計算所得的結果。通常，在設計顯示器的晶包時，我們比較希望的情況是：TN 晶包中的液晶材料具有Δnd=0.48μm (ugreen=31/2) ，來減少穿透率對波長變化的相依性。同時，較小的厚度會讓 LCD 有較大的視角。 16 正向入射下的對比度計算：現在，我們來討論 TN-LCD 的對比度。對任何顯示器系統，對比度可以定義成亮態的穿透率與暗態穿透率的比值。而因為穿透率會與外加電壓有關，故對比度也應該是電壓的函數。對 NB 模式操作，對比度可以定義成： C NB = TNB (V ) TNB (0) 其中，TNB 為 TN 晶包的穿透率。同理，NW 模式操作，對比度可以定義成： C NW = TNW (0) TNW (V ) 其中，TNW 為 TN 晶包的穿透率。我們知道這兩種模式的穿透曲線為完全反向，上式可以化簡成： C NW = TNW (0) 0.5 − TNB (0) = TNW (V ) 0.5 − TNB (V ) 若我們定義殘存的穿透率漏光為： TNB (0) = T0 17 其中，T0 為一個很小的值，介於 0.0~0.05 之間，與 TNB 是否積分整個可見光波範圍，或錦描述單一波長的穿透率有關。同樣的，我們可定義最強之穿透率為： TNB (V ) = T1 T1 的值介於 T0~0.5 之間，為外加電壓的函數。用這兩個參數，CNW 與 CNB 可化簡成： ¾ NB mode T (V ) T1 C NB = NB = TNB (0) T0 ¾ NW mode T (0) 0.5 − TNB (0) 0.5 - T0 C NW = NW = = TNW (V ) 0.5 − TNB (V ) 0.5 - T1 從這兩個關係式中，我們可以看到兩種模式的對比度都會隨著外加電壓的增加而增加。而在電壓很大時，TNB(V)的極限值只能到最大值=0.5，所以， NB 模式下的對比度主要限制於與 TNB (0)的漏光，而其主要漏光來源為輸出光為很扁的橢圓偏極化光。因此，此種模式可以達到對比度為 100:1。而在 NW 模式，在高電壓時，對比度可以有更大的值，因為上式中分母會趨近於零。正如我們前面的討論，在高電壓下分子指向將會平行於電場方向， TN 晶包變成垂直配向晶包，則 TNW(V)之漏光將主要來自於系統中正交偏極板的分辨率，通常可以很簡單就達到 1000:1 的對比度。假設 T0=0.0005，則我們可知：在電壓為零時，對比度為 1。當電壓從零增加時， T0 會由 0.0005 逐漸變成 0.5 ，所以 NB 所對應最大對比度是 CNB=1000；但是， CNW 會趨近於無窮大，因為分母會趨近於零(對理想偏振板)，兩者相同對比度發生在： T1=0.5- T0，對應穿透率 TNB(V)=0.4995 處，由前面的穿透曲線函數，可得此點對應外加電壓為 V~3.3 伏特，所以，在 3.3V 以下，NB 模式的對比度較 NW 模式為佳。下圖則為計算所得的對比度與電壓之關係，圖中是對綠光計算的，所以綠光會有很好的對比度，但是對整個光譜的流明數來估計時，對比度曲線會類似，但是整體數值會變小。 18 視角問題---非正向入射下穿透率計算：之前的討論，我們只考慮 TN-LCD 在正向入射下的穿透特性，而 Jones 矩陣亦適用於研究斜向入射下顯示器的穿透特性。現在，我們來討論 TN-LCD 的斜向入射下穿透率：我們知道相位延遲量將與入射角有關，故此情況下的穿透率會是許多變數的函數：包括，入射角度(θ, φ)、光波波長、外加電壓，故可寫成： T = T (θ , φ , λ , V ) 其中，入射角度被定義成：θ為入射方向與顯示器表面法線方向之夾角，φ 為方向角，即是入射方向在顯示器表面投影向量與 x 軸之夾角。對方向角而言，我們採用一般的定義，將入射面液晶分子的指向對準在 φ=45o 處，而出射面液晶分子的指向則對準在φ=135o 處。對於此處討論的例子，我們進一步假設偏極板的穿透軸擺在常亮的狀態，且垂直於入射面上的分子指向(O-mode)。在使用 Jones 矩陣法則，計算離軸的穿透率時，必須使用離軸狀態下的相位延遲量Γ(θ, φ, λ)，這已在第四章時討論過： Γ = (k ez − k oz )d 19 更精確的分析，留待第八章時，我們會介紹擴大版的 Jones 矩陣法則 (extended Jones matrix method)來分析。在此我們只討論分析後所得之結果。給定光波之波長及電壓後，穿透率 T(θ, φ)就可以用極座標系統表示成強度或等強度曲線的圖形。在極座標系統中，每一個點就對應一個不同的視角 (θ, φ)，如：中心點代表正向入射(即θ=0, φ=0)，而視角特性也可以表示成垂直觀看(φ=π/2)的穿透率曲線 T(θ)，或水平觀看(φ=0)的穿透率曲線 T(θ)。 9 單軸晶體的 a-plate 位於兩正交板間相位延遲量可以寫成： ⎡ sin 2 θ Γ = ( k ez − k oz )d = Γ0 ⎢1 + 2n o2 ⎣ ⎛ no n e + no ⎞⎤ ⎜⎜ − cos 2 φ ⎟⎟⎥ ne ⎝ ne ⎠⎦ 20 9 單軸晶體的 c-plate 位於兩正交板間相位延遲量可以寫成： Γ = (k ez − k oz )d = Γ0 n e + no sin 2 θ 2n e n e 舉例來說：我們計算 TN-LCD 具有Δnd=0.48μm，的穿透特性如下圖所示： ¾ 常暗狀態(NB mode)：我們可以看到： 1.正向入射之穿透率為零。 2.水平觀看時，視角大於 20o 以上才有漏光發生，在大角度時漏光變得較嚴重。 21 3.加電壓以後，正向入射之穿透率隨著電壓增加而增加，但是隨著視角變化，穿透率變化很大，此現象將影響顯示器之效能。 1.垂直觀看時，在大角度時發生與水平觀看相似的漏光情況。 2.加電壓以後，正向入射之穿透率隨著電壓增加而增加，但是但是隨著視角變化，穿透率變化很大，此現象將影響顯示器之效能。 ¾ 常亮狀態(NW mode)： 22 我們可以看到： 1.正向入射之穿透率為 1@V=0。 2.視角在大角度時漏光變得較嚴重。 3.加電壓以後，正向入射之穿透率隨著電壓增加而增加，但是隨著視角變化，穿透率變化很大，此現象將影響顯示器之效能。 4. 不同於 NB-mode ，穿透率表現出左右對稱的曲線 (left-right viewing symmetry)。這是由於 LCD 顯示器具有對 x-軸旋轉 180o 對稱的特性。我們亦可以用極座標的等高線圖來表示 TN-LCD 的穿透特性，如下圖所示：如何看此圖： 1.輻射狀的虛線入射方向在 LCD 表面上的投影向量，外圈的數字代表φ角度值。 2.同心虛線圓代表相同的θ值入射方向的端點圍出的圓錐在在 LCD 表面上的投影，各圈的數字代表θ角度值。 3.內部實線圓代表穿透率的等強度值(iso-transmission contour)。 23 ¾ 常暗狀態(NB mode)：V=0 我們可以看到： 1.未加電壓時，穿透率為暗狀態，但只有中心點才會是零，其餘等穿透強度曲線大約呈現左右觀看及上下觀看之對稱性。在大角度時，漏光變得較嚴重，且對稱性消失。 2.漏光情形可由各等強度曲線來描述。當我們限制 T<0.005 為可接受視角範圍時，水平觀看方向視角範圍為-20o~20o；垂直觀看方向範圍則為-30o~30o。 ¾ 常暗狀態(NB mode)：V=2.10 Volts 24 1.V=2.10 時，穿透強度曲線近似對稱性消失。 2.上半觀看範圍，TN-LCD 有較大的穿透率，與我們在利用垂直或水平觀看曲線分析時，有相同的趨勢。 ¾ 常暗狀態(NB mode)：V=5.49 Volts 1.V=5.49 時，穿透強度曲線近似對稱性消失，且如預期在任何觀看角度都可得到較高的穿透率，但還是與觀看角度有關。要強調的是：比起簡單的用水平或垂直觀看穿透率曲線，極座標的等高線圖表示法含有更多的視角有關的資訊。但是，簡單曲線較容易看到穿透率對角度的變化。下圖為 NW-mode 的極座標的等高線圖表。我們可以看到：穿透強度曲線呈現左右觀看之對稱性。 25 ¾ 常亮狀態(NW mode)： 26 我們要強調的是：上面各圖的曲線實際上都是用 extended Jones matrix 計算所得，因為簡單的 Jones 矩陣法則只適用於小角度的情況。視角問題---非正向入射下對比度計算：之前的討論，我們只考慮 TN-LCD 在正向入射下的對比度特性。現在，我們來討論 TN-LCD 在斜向入射下之對比度。我們知道穿透率是(θ, φ, λ, V) 變數的函數，故對比度也是這些參數的函數，首先對單一波長，對比度與入射角的關係可以寫成： C NB (θ , φ , λ , V ) = T (θ , φ , λ , V ) T (θ , φ , λ , 0) C NW (θ , φ , λ , V ) = T (θ , φ , λ , 0) T (θ , φ , λ , V ) 其中，入射角度被定義成：θ為入射方向與顯示器表面法線方向之夾角，φ 為方向角，即是入射方向在顯示器表面投影向量與 x 軸之夾角。NB 為常暗模式，NW 為常亮模式，且 V 代表所加的電壓。較早前我們已經討論過電壓的影響，現讓我們著重於討論不同入射角下的特定波長之對比度，結果如下圖，以綠光為例計算所得的角度相關之對比度。要強調的是：對比度將是波長的函數，故與照射的背光有關。 ¾ 常暗狀態(NB mode)：V=5.49Volts, λ=green 1.水平觀看時，對比度曲線對稱於正向入射，其對比度大約為 1000。 2.當斜向入射時，TN-LCD 的對比度隨著角度增加下降。當角度為 30o 時，對比度約為~50。 27 ¾ 常暗狀態(NB mode)： V=5.49Volts, λ=green 我們可以看到： 1.垂直觀看時，對比度曲線不再對稱於正向入射而向兩邊下降。 2.在某個特殊視角時，會出現最大對比度的峰值。 3.當斜向入射角度較大時(>20o)，TN-LCD 的對比度隨著角度增加下降。當角度為 30o 時，對比度<100。 4.造成特殊視角對比度特別好是因為單一波長照射的結果，其將會使得某個角度的穿透率近乎零所導致的。 ¾ 常亮狀態(NW mode)： V=5.49Volts, λ=green 28 我們可以看到： 1.通常 TN-LCD 在 NW 模式與 NB 模式的對比度曲線大不相同。 2.大部分的顯示器都設計成正向觀看時有最佳的效果，不論是哪種模式，對比度通常都隨視角增加而降低。我們亦可以用極座標(θ, φ)的等高線圖(iso-contrast)來表示 TN-LCD 的對比度特性，如下圖所示： ¾ 常暗狀態(NB mode)： V=5.49Volts, λ=green 29 ¾ 常亮狀態(NW mode)： V=5.49Volts, λ=green 視角問題---非正向多波長入射下對比度：之前的討論，我們只考慮 TN-LCD 在特定單波長斜向入射下的對比度特性。當背光板為白光時，我們就必須對所有頻譜及人眼反應來計算對比度，其就必須以穿透流明來計算對比度： C NB (θ , φ ,V ) = L(θ , φ , V ) L(θ , φ , 0) C NW (θ , φ ,V ) = L(θ , φ , 0) L(θ , φ , V ) 其中，L(θ, φ, V) 是由積分計算穿透函數 T(θ, φ, λ, V)的所有頻譜總和而得到的結果。下圖為對比度之計算結果，要強調的是：每一筆資料均是對頻譜範圍在 380nm~780nm 間取 50 個波長總和所得到的，對於背光板而言，我們取 6500K 的黑體輻射為標準光源 D(λ)，對不同的照射光源，對比度曲線會稍有不同，我們取紅藍綠三原色光的平均值畫出等對比度的極座標表示圖。 30 ¾ 常暗狀態(NB mode)：V=5.49Volts, λ=380nm~780nm ¾ 常暗狀態(NB mode)：V=5.49Volts, λ=380nm~780nm 我們可以看到： 1.正向觀看時，對比度大約為 150。 2.垂直觀看時，在視角為-10o 到 10o 時，對比度大約仍維持 150 。 3.當斜向入射角度>20o 時，TN-LCD 的對比度降至 100 以下。當角度為 40o 31 時，對比度~10。 4.水平觀看類似。 ¾ 常亮狀態(NW mode)： V=5.49Volts, λ=380nm~780nm 我們可以看到： 1.通常 TN-LCD 在 NW 模式與 NB 模式的對比度曲線大不相同，NW 的曲線呈現非常的不對稱性。 2.正向入射時，對比度都很高(>104)。 3.垂直觀看時，在角度範圍為(-10o, 30o)，對比度均維持在 100 以上。 4.水平觀看時，角度範圍為(-20o, 20o)，對比度維持在 100 以上，且曲線維 32 持左右觀看對稱性。我們亦可以用極座標(θ, φ)的等高線圖(iso-contrast)來表示 TN-LCD 的全彩對比度特性，如下圖所示： ¾ 常暗狀態(NB mode)： V=5.49Volts, λ=380nm~780nm ¾ 常亮狀態(NW mode)： V=5.49Volts, λ=380nm~780nm 33 5.2. STN-液晶顯示器 5.2.0 簡介液晶顯示器內的液晶分子受到外加電場的作用時，其分子的指向將會強迫順著電場方向排列，因此材料彈性能量與靜電能量將會有平衡的關係，進而導引晶包內分子的指向排列，而光波的偏振方向將會受到分子排列的影響旋轉進而調制各晶包的穿透率。典型的顯示器系統包含了一個二維的 (MxN)個畫素之陣列，其中每一個畫素含有一個可以電驅動操作其開或關的液晶晶包，因此，控制畫素的電掃描訊號即可顯示不同資訊。原理上，可利用 MxN 個電極接點就可以產生良好的控制，但實際上，早期的 TN-LCD，液晶晶包由兩組(M+N)個電極加上多工技術來驅動。但是，多工掃描的結果將導致無法任意去改變其中任一畫素的電壓而不影響到其他畫素上加的電壓，這個現象俗稱串音(cross talk)，串音干擾的結果，加在任意晶包上的 ON 及 OFF 電壓不能太大的差異，這嚴重的限制了顯示器的對比度。從液晶顯示器之 Jones matrix 法則的討論，我們可知：若要產生較高的對比度則需要晶包在合理的操作電壓下，液晶分子指向有更顯著的擾動(或者說重排)，STN-LCD 提供了這樣的可能性，我們將會用電光擾動曲線來說明其工作的模式，下圖兩種不同的 STN-LC 晶包結構，分別是 180o 及 270o STN-LC。 34 5.2.1 STN-LC 晶包的電光擾動曲線之驟升性：如上頁的圖(b)所示：考慮 STN-LCD 的結構具有兩表面相互正交的摩擦方向，圖中箭頭為液晶分子的指向，液晶分子通常是非極化分子(nonpolar)，虛線箭頭為表面界面之摩擦方向。在這種結構下，分子可能會有兩種扭曲相：90o 左旋扭轉相或 270o 右旋扭轉相，兩種可能性均滿足邊界條件，但是因為 90o 左旋扭轉相所具有的彈性能量最小最穩定，當一般的液晶分子灌入晶包時，通常會排成 90o 左旋扭轉相，以保持最低彈性能量。要維持液晶分子扭轉角大於 90o，則需要液晶分子具有本質的扭轉間列式特性，一般稱之為 Chiral Nematic 相。通常 Chiral Nematic 相是由一般的液晶分子摻入其他少量的物質，此物質具有自發性的旋光率，而旋光物質能顯現自發地“處理”入射光波偏振態旋轉能力，因此，摻雜分子的“處理”特性亦誘發了整個間列式液晶相結構巨觀扭轉螺旋排列之特性，扭轉的角度則可用轉一圈所需長度 p 來規範，換言之，它就是量測分子指向沿著螺旋軸前進時扭轉 360o 所需的距離。在無限厚的螺旋扭轉式間列液晶相，轉一圈所需長度就是液晶介質沿著螺旋軸上排列的週期，其實這樣的排列就全等於第一章所介紹的膽固醇式液晶相的排列。所以，當旋轉間列式液晶分子灌入晶包時，表面的錨點會使液晶分子沿著對準方向排列，然後內部的分子則依其旋轉特性(handedness of the chiral molecules)扭轉排列，一般來說，在邊界條件的作用下，週期 p 會略不同於無限厚的樣品，在無限厚的樣品中，週期 p 會正比於摻雜旋轉分子的濃度，因此我們可以控制其濃度來調整週期長度以滿足晶包厚度條件。對 STN-LC，晶包之週期 p、晶包厚 d 、晶包扭轉角Φ之間的關係為： Φ d = p 2π 這個條件提供無限厚材料的旋轉週期、晶包厚度規範之週期以及晶包表面在無預傾角下對準方向限定之週期三方面精確的匹配關係。為了計算旋轉分子摻雜導致的晶包分子扭轉特性，分子彈性能量為： 35 1 r 1 r r 1 r r k1 (∇ ⋅ n ) 2 + k 2 ( n ⋅ ∇ × n + q 0 ) 2 + k 3 ( n × ∇ × n ) 2 2 2 2 其中，n 為分子的指向，k1, k2, k3 分別代表散布、扭曲及彎曲形變的彈性 U EL = 係數，q0=2π/p 為無邊界下分子的自然扭轉率，通常 q0 為正值時，代表分子式右旋扭轉； q0 為負值時，代表分子式左旋扭轉。考慮一個特殊情況：STN-LC 晶包內液晶分子無傾角，且均勻扭轉比率為 q，則上式可簡化成： 1 U EL = k 2 ( q − q0 ) 2 2 上式表示：在無邊界的情況下，最低的彈性能量排列結構即為當實際的扭轉率完全等於自然扭轉率時，所形成的排列結構。任何改變造成不同於自然扭轉率均會引起較高的彈性能量。因此，當邊界上有預先的摩擦方向時，實際扭轉率將會略不同於自然旋轉率，以便符合邊界條件。而 d/p=Φ/2π的條件即為 q= q0 。 Interesting pictures Nematic phase : Chiral dopands in Nematic layers can cause helical twisting 36 彈性能量式中出現的 q0=2π/p 自然扭轉率項將使電光曲線計算更為複雜(附錄 E)，其特性通常可藉由檢查中間層在外加電壓下的傾角而知端倪。下圖為計算不同扭轉角的 TN-LCD 或 STN-LCD 的情況：圖中，可以看到曲線的驟升性與晶包的扭轉角有關，當扭轉角由 90o 變成 180-270o 時，變化的非常劇烈。如前所述，上升很快的電光曲線是要在掃描多工驅動機制顯示器達成高對比度的條件，由圖可知扭轉角增加時，上升斜率也增加，270o 的晶包，其斜率幾乎是無窮大，而更大的扭轉角會造成曲線斜率有兩個電壓會相同，這表示晶包可能會有不穩定、雙穩定、以及遲滯等狀態，實際上開始發生雙穩態的狀態位於某一個特定的扭轉角，其還與其他元件及材料的參數有關，包括：d/p 比例、預傾角、介電及彈性係數等等因素，而這些因素也會影響最大的斜率發生在其他的扭轉角，可能是 240o 或 210o。其他元件及材料參數的影響：除了晶包的扭轉角外，邊界上的預傾角Θ也會影響分子受電場重新排列產生電擾動曲線的形狀與變化梯度。正如我們知道電場導致分子重排的電擾動曲線，是由於靜電力及材料形變彈性力之間達成平衡所產生之結果，因此， 37 曲線自然會與彈性係數 k1, k2, k3，以及非均向介電係數 e//, e^有關。而 d/p 比例是元件與材料兩者的參數，接下來我們將討論電擾動曲線的梯度與形狀與這些材料及元件參數之間的關係，而我們用之前所定義的 STN-LCD 的結構來說明： ¾ 預傾角Θ的影響：正如我們較早之前提到：微小的預傾角對 TN 晶包來說十分重要，它可以保證晶包在外加電壓下內部分子排列仍維持單一 domain 的情況。而對 STN 晶包，預傾角更重要，因為當晶包扭轉角過大時會影響，若無預傾角則晶包內分子排列會形成我們不想要的條狀結構，事實上， STN 晶包內的預傾角通常較大，大約是 5o~60o。定性來說，增加預傾角將導致電擾動排列曲線向低電壓平移，琦梯度也有小幅度的增加。對無預傾角的特殊情況，門檻電壓低於當晶包有均勻的扭轉且無傾角的情況。當預傾角存在時，在晶包中央的分子將有最小的傾角，也就是 θ(z)有最小值，當加上適當的電壓時，也許可以看到整個晶包內分子具有相同的傾角，意即θ(z)=常數。(section 5.2.3) ¾ 厚度與週期比值(d/p)的影響：當晶包內存在旋轉分子(chiral melocules)時，即使無邊界配向層，晶包內分子亦會有自發性的扭轉排列，當 d/p=Φ/2π時，分子排列將具有最小的彈性能量密度，任何週期與厚度比例的誤差都將使彈性能量密度增加，這個效應影響了靜電能量與彈性能量之間的平衡關係，將導致分子指向有不同的排列。因此，我們預期晶包會有不同的電擾動排列曲線。許多顯示器用的 STN 晶包的 d/p 都位於所謂的 Grandjean 區域範圍內，就是Φ/2π−0.25< d/p <Φ/2π+0.25，我們可以看到此條件對應於厚度的變化量將在週期 p 的 1/4 之內。定性來說， d/p 越小時，曲線會向較低電壓位移，且讓梯度更大。 ¾ 彎曲與散開彈性係數比例(k3/k1)的影響：增加晶包內分子的(k3/k1)比例時，將增加曲線的梯度。已知的間列式液晶像的(k3/k1)比值約為 0.5~2.0，但大部分情況都在 1.2~1.8 的範圍內。 38 其他元件及材料參數的影響：扭轉與散開彈性係數比例(k2/k1)的影響：對實際的顯示器而言，晶包內分子的(k2/k1)比例大約在 0.5~o.6 的範圍內。減少比例值將平移曲線的最高值向曲線最低值，並且梯度增加。 ¾ 介電參數γ的影響：定性來說，增加介電係數的參量γ=(ε//-ε^)/ε^將使曲線的梯度減少，如同 TN 晶包內的情況。 39 5.2.1 無外加電壓下(Field Off)的 STN-LCD 的穿透特性：我們現在來討論 STN-LCD 的穿透特性。如同 TN-LCD，STN-LCD 亦有不同的操作模式：常亮或常暗的狀況。由於在很短距離扭轉很快，偏振態波導的情況不再符合，因此檢偏板與偏極板的軸向不再只是平行或垂直兩種模式而已。事實上，入射面的偏極板之穿透軸方向將不再平行或垂直於晶包內局部的分子指向。定性來說，有兩個正交模態將被入射線偏極化光而激發產生。這兩個模態將在晶包內產生干涉效應進而產生亮區或暗區。我們可以用第四章所得到的廣義液晶顯示器晶包的穿透率來說明未加電壓下 STN-LCD 的穿透特性。我們考慮如下圖所示的 STN-LCD 結構：一片 STN-LC 晶包夾在兩片偏極板中。我們假設分子扭轉方向為右旋，局部分子指向與偏極板的夾角分別是α 及β。假如在整個晶包內有均勻的傾角(無傾角或傾角很小)，則我們可用第四章的式子來表示其穿透率。首先我們先把傾角的幾何關係寫成： Φ ent = α , Φ exit = φ + β 其中，φ為晶包的總扭轉角。注意：此時兩偏極板之間的夾角為： Φ exit − Φ ent = φ + β − α 用這些新的偏極板之傾角定義，我們可以得到其穿透率表示式為： 40 φ ⎫ ⎧ 2 2 ( ) ( ) cos sin sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 X X α β β α α β − − + − ⎪⎪ 2X 1 ⎪⎪ T= ⎨ 2 ⎬ 2 ⎪ 2 ⎛ sin X ⎞ ⎪ −φ ⎜ ⎟ cos 2α cos 2 β ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ X ⎠ with Γ2 X = φ + = φ 1+ u2 , 4 Γ 2π d ( n e (θ ) − no ), u = Γ= λ 2φ 2 if θ = 0 → n e (θ ) = n e 1 cos 2 θ sin 2 θ if θ ≠ 0 → 2 = + n e (θ ) n e2 no2 另一種穿透率表示式為： ⎧ ⎧ ⎫⎫ cos 2 X cos 2α cos 2 β 1⎪ 2 ⎪ ⎪⎪ T = ⎨cos (α + β ) − ⎨ ⎡ φ ⎤ ⎬⎬ ⎤⎡ φ tan X − tan 2α ⎥ ⎢ tan X + tan 2 β ⎥ 2⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ X ⎦ ⎪⎭ ⎪⎭ ⎦⎣ X ⎩ l 穿透率與波長的關係圖： 41 在線性偏極化光下操作時，偏極板所需之角度： 42 外加電壓操作時，傾角及扭轉角再空間之分佈：外加電壓操作時，STN-LCD 穿透率與波長之關係圖： 43 外加電壓操作時，STN-LC 中間層傾角與電壓之關係圖： 44 視角： 45 5.3. 間列式液晶顯示器模式 (N-LCD) (Nematic Liquid Crystal Display Mode) TN-LCD v.s. N-LCD E n E E z n E z N-LCD TN-LCD ‧ TN-LCD：由於其分子扭轉導致顯示器左右(上下)觀看為非對稱的，此特性使得視角不易用雙軸相位補償片補償增加視角，因為分子指向分佈複雜。 ‧ N-LCD：利用其分子指向加電壓亦會改變，故也可作為顯示器之應用。用其在未加電壓時(Field-Off)，分子指向與光前進方向對應關係，可分類成： ¾ 均勻平行對準晶包(Homogeneously Parallel Aligned Cell) ¾ 均勻垂直對準晶包(Homogeneously Vertically Aligned Cell) ¾ 彎曲對準晶包 (Bended-aligned Cell) 均勻平行對準晶包(Homogeneously Parallel Aligned Cell)： a ‧分子排列關係為典型的單軸雙折射材料組成 a-plate。 ‧加電壓分子指向改變來控制相位延遲。依外加電場與分子指向對應關係，可分類成下列兩種情況： 46 垂直轉換模式(Vertically switching) 電場平行於液晶層 (pre-titled angle θ0 ≥ 0)E-wave O-wave Field-OFF (without applied field): ‧O-wave : Eopt ^ director (c-axis) à no indep. of Eapp ‧ E-wave : Eopt // director or Eopt. n=cosθ0 1 cos2 θ 0 sin 2 θ 0 → 2 = + ne (θ 0 ) ne2 no2 Field-ON (with applied field): ‧O-wave : Eopt ^ director (c-axis) à no indep. of Eapp ‧E-wave : Eopt // director or Eopt. n=cos[θ0+θ(V)] à ne(θ) dep. of Eapp → 1 cos2 θ sin 2 θ = + ne2 (θ ) ne2 no2 θ=θ(V) Phase shift: ‧ O-wave : φo=(2π/λ)nod ‧ E-wave : φe=(2π/λ)ne(θ)d= (2π/λ)ne(θ(V))d 47 Example : N-LCD with crossed polarizer pair a Γ= 2π λ ( ne − no )d Field-OFF (without applied field): ⎡ V// ⎤ 1 ⎡1⎤ ⎢V ⎥ = ⎢ ⎥ 2 ⎣ 0⎦ ⎣ ⊥⎦ Γ ⎡ cos V' ⎡ ⎤ 1 ⎢ 2 Ö ⎢ // ⎥ = ⎢ V' 2 ⎢ − i sin Γ ⎣ ⊥⎦ 2 ⎣ Γ⎤ Γ ⎤ ⎡ − i sin ⎥ ⎡1⎤ 1 ⎢ cos ⎥ 2 2 = ⎢ ⎥ Γ ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ 2 ⎢ − i sin Γ ⎥ cos ⎥ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ Γ 1 crossed polarizers： T = sin 2 2 2 當常亮模式時，要求：T=1 @ Γ=π, 3π, 5π, … 通常取Γ=π時，在大角度觀看會有較好的特性。 Field-ON (with applied field): Γ= 2π λ ∫ [ne (θ ( z ) ) − no ]dz with 1 cos 2 θ ( z ) sin 2 θ ( z ) = + n e2 (θ ( z )) n e2 no2 其中，θ為傾角，要注意的是：θ=θ(z)。在 V 很大時，所有分子均轉向電場方向，液晶板變成 c-plate，故不引起相位差，光的偏振態不旋轉，所以在正交偏極板下，穿透率為零，故定性來說此 LCD 可以作為可以電控制的雙折射模式 (electrically controlled birefringence mode)。又，穿透率為： 48 1 Γ T = sin 2 2 2 T=0 @ Γ=2π, 4π, 6π, …可為常暗(NB)模式時。通常取Γ=2π時，在大角度觀看會有較好的特性。其顯示器的亮態為：選取適當的電壓使得積分所得的總相位延遲亮為π 的奇數倍。這種操作較不實際，原因是(1)要提供相位延遲量 2π時，液晶板的厚度會增加變厚，這 LCD 較不好；(2)加電壓需準確的到相位延遲量為π，不然加如此較大的電壓會有漏光。 Example : N-LCD with parallel polarizers for NB-LCD Γ= Field-OFF (without applied field): ⎡ V// ⎤ 1 ⎡1⎤ ⎢V ⎥ = ⎢ ⎥ 2 ⎣ 0⎦ ⎣ ⊥⎦ Γ ⎡ cos ⎡ V' // ⎤ 1 ⎢ 2 ⎢ ⎢ V' ⎥ = 2 ⎢ − i sin Γ ⎣ ⊥⎦ ⎣ 2 Γ⎤ Γ ⎤ ⎡ − i sin ⎥ ⎡1⎤ 1 ⎢ cos ⎥ 2 2 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ Γ 2 ⎢ − i sin Γ ⎥ cos ⎥ ⎣0⎦ ⎣ 2 ⎦ 2⎦ 1 Γ parallel polarizers： T = cos 2 2 2 當常暗模式時，要求：T=0 @ Γ=π, 3π, 5π, … 49 2π λ ( ne − no )d 通常取Γ=π時，在大角度觀看會有較好的特性。 Field-ON (with applied field): 2π Γ= ∫ [n e (θ ( z ) ) − no ]dz λ 在 V 很大時，所有分子均轉向電場方向，液晶板變成 c-plate，在平行偏極板下，穿透率為最大。電場擾動分子排列特性(Electrodistortion)：彈性能量密度: U EL 1 ⎛ dθ ⎞ = ( k1 cos 2 θ + k 3 sin 2 θ )⎜ ⎟ 2 ⎝ dz ⎠ 2 靜電能量密度: U EM 1 D2z 1 D2z = − 2 2 2 ε // sin θ + ε ⊥ cos θ 2 ε ⊥ 按附錄 B 之結果，晶包分子要重新指向分佈，需要外加電場大於門檻電壓 (Threshold Voltage)為： Vc1 = E c1 d = π k1 ε // − ε ⊥ 50 θ(z) @ different applied voltage： θ(z) @ different applied voltage à T(V) 當θ=θ(z, v)時，N-LCD 的穿透率會發生變化，下列正交偏極板中的常亮模式來說明之： V=0 : Γ = 2π λ (n e − n o )d ≈ ( 2n + 1)π ≈ 3π 1 Γ 1 T = sin 2 = = maximum 2 2 2 V=0 : Γ = 2π λ ∫ (n e ( z, V ) − no )dz V ↑, Γ ↓, T ↓ Γ 1 T = sin 2 ≠ maximum 2 2 51 sin 2 Γ 2 T 1 0 4π 2π 3π Vth 4π Γ π V 2π Τ(V) @ different color： 52 常亮模式(Normally White, NW mode) @ TN-LCD： TN 晶包中的液晶材料具有Δnd=0.48μm (ugreen=31/2) •電場平行於液晶層表面(In-plane switching, IPS) Field-OFF for NB mode N-LCD: LC 晶包表面配向層使液晶分子朝 45o 平行排列。當未加電壓時，入射光的偏振態平行分子長軸，故為 e-wave，光的偏振態不變，正交偏極板供給常暗模式。 53 Field-ON: 當加電壓時，分子將朝向電場排列，而 LC 晶包表面配向層又要使液晶分子朝 45o 平行排列，故靜電力與彈性力平衡使液晶分子在晶包內隨 z-軸增加而扭轉角(twist angle)變化，i.e. φ(z)。除了表面產生的預傾角(pre-tilt angle)，此種 IPS 模式將無傾角產生，因為電場平行於表面配向層。實際上，要使用 Jones 矩陣法則，並將加電壓下分子扭轉的晶包平均分成相同厚度的 N 等分(N>20 層)，在計算可得真正的穿透關係，但很複雜。先考慮外加電場很強時，分子幾乎都朝向電場方向排列，而忽略表面附近的分子扭轉角，則在此近似下，IPS N-LCD 之穿透率為： 1 Γ T = sin 2 2Δφsin 2 2 2 其中，Δφ為以偏極板穿透軸為參考，分子的扭轉角度，所以當 V=0 時，Δφ =0 造成穿透率為零。外加電壓下，Δφ =45o，則 T=0.5 @ Γ=π, 3π, 5π, …故為常暗(NB)模式。若將檢偏板之穿透軸轉 90o，變成平行偏振板對，則此 N-LCD 由常暗模式變成常亮模式。 • 54 電場擾動分子排列特性(Electrodistortion@IPS)：彈性能量密度: U EL 1 ⎛ dφ ⎞ = k2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ dz ⎠ 2 靜電能量密度: ( ) 1 1 U EM = ε ⊥ E 2 − ε // sin 2 φ + ε ⊥ cos 2 φ E 2 2 2 根據附錄 C，結果顯示：晶包分子要重新指向分佈，需要外加電場所造成之轉向電壓大於門檻電壓(Threshold Voltage)為： E c1 d = π k2 k2 πw ⇒ Vth = E c1 w = ε // − ε ⊥ d ε // − ε ⊥ 其中，d 為液晶晶包厚度；w 為電極間距；Vth 為門檻電壓。 φ(z) @ different applied voltage： ‧ 扭轉角φ(z)隨著外加電壓增加而增加的遞增函數。 ‧ φ(z)對於中間層 z=d/2 處，為對稱函數。 ‧ 較大電壓時(VR=3.19V)，對整個晶包而言，Δφ約為 45o。 55 T(V) @ different color： T(V)隨著外加電壓增加而增加的遞增函數，因為Δφ亦為遞增函數。在此，我們選擇晶包厚度為對應綠光之相位延遲量為π，且液晶分子在未加電壓時，傾角為 45o。邊界條件使得靠近旁邊的分子不轉，故穿透率不到 50%，對波長較敏感。均勻垂直對準晶包(Vertically Aligned Cell)： c 56 ‧未加電壓時，分子排列關係為典型的單軸雙折射材料組成 c-plate。 ‧通常加電壓方向為垂直光前進方向，讓分子指向改變來控制相位延遲，因此亦為電控制雙折射模式。 Field-OFF (without applied field): ‧ S-wave : Eopt ^ director à ns=no ‧ P-wave : Eopt ^ director à np=no Field-ON (with applied field): ‧ O-wave : Eopt ^ director (c-axis) à no indep. of Eapp ‧ E-wave : Eopt // director or Eopt. n=cos[θ(z, V)] à ne(θ) dep. of Eapp 1 cos 2 θ sin 2 θ → 2 = + n e (θ ) n e2 n o2 θ=θ(z, V) 57 N-LCD with crossed polarizer pair for NB mode Γ=0 ⎡ V// ⎤ 1 ⎡1⎤ ⎢V ⎥ = ⎢ ⎥ 2 ⎣ 0⎦ ⎣ ⊥⎦ Γ ⎡ cos V' ⎢ ⎡ // ⎤ 1 2 ⎢ V' ⎥ = 2 ⎢ Γ ⎣ ⊥⎦ ⎢ − i sin ⎣ 2 Γ⎤ Γ ⎤ ⎡ − i sin ⎥ ⎡1⎤ cos ⎢ 1 2 2 ⎥ = ⎢ ⎥ Γ ⎥⎢ ⎥ 2 ⎢ − i sin Γ ⎥ cos ⎥ ⎣0⎦ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ Γ 1 crossed polarizers： T = sin 2 2 2 • Field-OFF (without applied field): 未加電壓時， Γ=0，所以穿透率為零，故為常暗模式。最大亮態要求：T=1/2 @ Γ=π, 3π, 5π, … • Field-ON (with applied field): 加電壓時，液晶分子開始順向電場排列，產生傾角分佈θ(z)，所以穿透率增加，為亮態。 2π 1 cos 2 θ ( z ) sin 2 θ ( z ) [n (θ ( z ) ) − no ]dz with 2 Γ= = + λ ∫ e n e (θ ( z )) n e2 no2 彎曲對準晶包(Bend-aligned Cell)： 58 ‧未加電壓時，分子排列關係為從下表面到上表面共變化傾角 180o，而無扭轉角變化，故又稱為 Pi cell。 ‧若加電壓方向為光前進方向，讓分子指向改變來控制相位延遲，當電壓加得很大時，晶包變成典型的單軸雙折射材料組成 c-plate。 Field-OFF for NW mode N-LCD: 當未加電壓時，分子受到 LC 晶包表面配向層影響使液晶分子彎曲排列，i.e. θ(z)。故，要使用 Jones 矩陣法則，並將晶包平均分成相同厚度的 N 等分(N>20 層)，在計算可得真正的穿透關係。正向入射時，穿透率為： Γ 1 T = sin 2 2 2 2π 1 cos 2 θ ( z ) sin 2 θ ( z ) [n (θ ( z ) ) − no ]dz with 2 Γ= = + λ ∫ e n e (θ ( z )) n e2 no2 當常亮模式時，適當選擇晶包厚度，要求：T=1 @ Γ=π, 3π, 5π, …π的奇數倍。通常取Γ=π時，在大角度觀看會有較好的特性。 Field-ON for NW mode N-LCD: 59 ‧Pi cell 在加電壓時，會讓分子指向趨向垂直於晶包表面，當電壓加得很大時，晶包變成典型的單軸雙折射材料組成的 c-plate。所以穿透光兩分量無相位延遲量，故在正交偏振板對中，LCD 穿透率為零。 60 Pi cell 的觀看視角對稱特性(Symmetry properties of Pi cell)： Pi cell 在未加電壓時，分子指向在晶包內彎曲 180o 排列，使得晶包的相位延遲量在垂直觀看時為對稱分佈，因其分子排列為 yz-平面彎曲。假設如圖所示，我們把晶包一分為二，則前半晶包的相位延遲剛好會被第二塊晶包的相位延遲量補償，如下： Γ = Γ1 + Γ2 , with Γ1 = 2π λ 2π Γ2 = λ d /2 ∫0 [n e (θ ) − n o ]dz d ∫d / 2 [n e (θ ) − no ]dz 但是，分子指向在晶包內彎曲排列的對稱性，使得： Γ1 (θ v ) = Γ2 ( −θ v ) 故得垂直觀看的相位延遲對稱性，如下： Γ(θ v ) = Γ( −θ v ) 要強調的是：加電壓時，晶包會幾乎變成 c-plate，分子會倒向光前進方向排列，故其觀看對稱性仍然存在。 61 5.5. 反射式液晶顯示器(Reflective Liquid Crystal Display) Reflective-LCDs v.s. Transmissive LCDs LCD Mirror LCD ‧ T-LCD：入射光穿過 LC 晶包一次，藉由前後的偏振板及檢偏板來控制不同電壓下光的穿透率，形成顯示器。 ‧ R-LCD：藉由 LC 晶包後方放置的鏡子，讓入射光穿過晶包兩次回到入射面，通常只需一片偏振板即可控制光的反射率，形成顯示器；但亦因此失掉某些自由度，必須經過特殊設計其反射狀態。但是，本章中所有用於穿透式 LCD 的分析方法均適用於反射式 LCDs。正向入射下反射式 TN-LCD 的反射特性(Field OFF)： ‧分子排列關係為廣義的 TN-LC 型式，其扭轉角為φ。 ‧入射端放置一個偏極化的分光鏡，產生正向入射的偏極化光，可同時分析反射(R)或穿透(T)特性。 62 以廣義 TN-LCD 的分析方法，將偏極板之穿透軸對應到入射及出射面的分子指向座標，可得如下圖右的對應關係：對應(x, y)座標，可得入射及反射的光波偏極態 Jones 向量必須為： ⎛V x ⎞ ⎛ cosθ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟, V θ sin y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛V ' x ⎞ ⎛ cosθ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ V ' sin θ y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ~ 故得反射率以 M 矩陣的對稱順序調換矩陣 M 來表示，可寫為： R= 1 ~ V '⋅MMV 2 2 ~ ⎛M with M = ⎜⎜ 11 ⎝ M 12 M 21 ⎞ ⎟ M 22 ⎟⎠ 而由 TN-LC 的 M 矩陣可得： ⎛ cos φ M = ⎜⎜ ⎝ sin φ Γ sin X ⎛ − sin φ ⎞⎜ cos X − i 2 X ⎟⎜ sin X cos φ ⎟⎠⎜ −φ ⎜ X ⎝ sin X X Γ sin X cos X + i 2 X 可得 R 為： R= 1 2 A + iB 2 sin 2 X Γ 2 sin 2 X − 4 X2 X2 φ sin X ⎤ Γ sin X ⎡ θ θ + X B= cos 2 cos sin 2 X ⎥⎦ X ⎢⎣ A = cos 2 X + φ 2 63 φ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 進一步化簡，得 R 為： 2 2 ⎧⎡ ⎫ Γ 2 sin 2 X ⎤ 2 2 sin X ⎪ ⎢cos X + φ ⎪ − ⎥ 4 X2 ⎦ X2 ⎪ 1 ⎪⎣ R= ⎨ ⎬ 2 2⎪ φ sin X ⎤ ⎤ ⎪ ⎡ Γ sin X ⎡ ⎪+ ⎢ ⎢cos 2θ cos X + sin 2θ X ⎥⎦ ⎥ ⎪ ⎦ ⎭ ⎩ ⎣ X ⎣ 以下列 Maugiun 參數化簡，得 R 為： X = φ 1 + u2 , u = Γ πΔnd = 2φ φλ 2 ⎧⎡ ⎫ ⎤ 1 − u2 2 2 ⎪ ⎢cos X + ⎪ sin X ⎥ 1 + u2 ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ⎣ ⎦ ⇒R= ⎨ 2⎬ 2⎪ 2 ⎡ ⎤ sin 2θ sin X ⎪ 2 cos 2θ cos X sin X + ⎥ ⎪ ⎪ + 4u ⎢ 1 + u2 ⎪⎩ 1 + u2 ⎣ ⎦ ⎪⎭ 能量守恆的觀點：T=1/2-R。而從上式可得，當φ與 u 固定時，R 為θ的週期性函數，藉由將 R 對θ微分，可得下列對應之最大及最小反射率：最大反射率: dR = 0 ⇒ when dθ θ =θ max tan 2θ max = → Rmax = tan X 1 + u2 1 2 最大反射率發生在偏振板的傾角適當選取滿足上式的情況。最小反射率: dR 1 + u2 = 0 ⇒ when tan 2θ min = − dθ θ =θ min tan X ⎤ 1⎡ 1 − u2 2 R min = ⎢cos 2 X + sin X ⎥ 2⎣ 1 + u2 ⎦ u2 + 1 ⇒ when tan X = ± 2 , R min = 0 u −1 1 + u2 ∴ tan 2θ min = − = m u2 −1 tan X 64 2 ‧最小反射率發生在偏振板的傾角及 Maugiun 參數兩者適當選取同時滿足上式的情況。 ‧兩者角度關係為： θmax-θmin=45o。換言之，當我們將偏振板角度旋轉 45 度時，可將最大換成最小，或者相反。 •常暗反射狀態操作(Normally Black Reflection, NBR, operation) i.e. Rmin=0 àTmax=0.5 u2 + 1 tan X = ± 2 and tan 2θ = m u 2 − 1 u −1 只有當 u >1，上式才會成立 àNBR 操作需在 u >1。通常我們會先給定φ值，即可由上式左求出 u；再由上式右求出θ值；即可得到對應的 NBR 操作條件。可以證明：當上式成立時，代表線性入射光穿過 LC 晶包一次後，所得到的光波為圓偏振態光。換言之，此時 LC 晶包就像四分之波長板。下表說明 NBR 操作模式的對應值： 65 45o TN - LCD → Δnd λ = 0.29, θ = −15.26 o ∴ λ = 0.55nm → Δnd = 0.16μm Δnd or = 0.68, θ = 34.29 o λ ∴ λ = 0.55nm → Δnd = 0.37 μm u2 + 1 tan X = ± 2 and tan 2θ = m u 2 − 1 u −1 下圖說明 NBR 操作模式的對應值： φ = 0 o TN - LCD ⇒ u → ∞ Γ π π ∴ = π π , 3 , 5 , 7 ,L 2 4 4 4 4 θ = 45 o 此時，NBR 操作模式對應 LC 晶包變成 45o 傾角的四分之波長板。當晶包厚度很薄時，則 u< 1。NBR 操作模式只有發生在： tan 2θ min 1 + u2 =− tan X •常亮反射操作(Normally White Reflection, NWR, operation) 66 i.e. Rmin=0.5 àTmax=0 大部分的反射式 TN-LCD 操作在 NBR 的模式。當晶包上電壓加得很大時，所有液晶分子均轉向電場方向，晶包變成垂直對準型式，成為 c-plate，故光偏極方向不轉，單一的偏振板造成 R=0.5。對穿透式的 LCD 則可以用兩片正交或平行的偏振板，控制成為 NW 或 NB 模式，這是反射式與穿透式 LCD 最大不同的地方。但此時反射式 LCD 對應的 T=0.5-R，為 NWT 的模式，故這種操作模式，單一的偏極化分光鏡將對應穿透方向的正交偏極板對，故加電壓時，T=0。對 NER 模式操作時，通常要求 TN-LC 晶包夠厚，形成半波長板。此時當θ=45o，光穿透一次時，光波電場會轉到 45o 處，而再反射通過 LC 晶包時，光波電場會轉回原偏振方向，被偏極分光鏡反射，造成 R=0.5。當加電壓時，晶包漸變成垂直對準型式，相位延遲量變小，若晶包變成四分之一波長板時，則反射率變成 0，為暗狀態。這個操作方式有兩種方法可達成：由反射率的式子，可得： 2 2 2 2 ⎫ ⎧⎡ ⎤ sin sin Γ X X ⎪ ⎪ ⎢cos 2 X + φ 2 − ⎥ 4 X2 ⎦ 1 ⎪⎣ X2 ⎪ 1 = X = nπ → R = ⎨ 2⎬ 2 ⎪ ⎡ Γ sin X ⎡ φ sin X ⎤ ⎤ ⎪ 2 + + cos 2 cos sin 2 θ θ X ⎪ ⎢ X ⎢ X ⎥⎦ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎣ ⎩ ⎣ 由反射率的微分，可得： tan X dR = 0 ⇒ when tan 2θ max = dθ θ =θ max 1 + u2 1 → R max = 2 67 正向入射下反射式 TN-LCD 的反射特性(Field ON)： θ(z), φ(z) ‧加電壓下，分子排列的扭轉角φ及傾角θ均為 z-軸函數。 ‧要求其反射(或穿透)特性，則如同穿透式 LCD 一樣，先求扭轉角φ(z)及傾角θ(z)，再將其晶包分成20−100層的波長板，以數值方法求其 Jones 矩陣，即可得到反射特性。反射率 v.s. 波長@不同電壓 for 45o TN-LC with λ=0.55μm ‧未加電壓下，非設計波長均有些微漏光。 ‧加電壓時，藍光部分會先到反射率為零再增加。其他可見光的部份之反射率均隨電壓增加而增加。 ‧當電壓加得很大時，晶包變成垂直對準，所有波長之反射率均相同。正向入射下反射式 TN-LCD 的穿透特性(Field ON)： 68 反射率 v.s. 電壓@不同波長斜向入射下反射式 TN-LCD 的反射特性：現考慮斜向入射(θ, φ)下反射式 TN-LCD 的反射特性，分成兩種情況考慮：兩片偏振板： ~ Q M m = M (θ , φ + π ) ∴ R(θ , φ ) = T (θ , φ )T (θ , φ + π ) 單片偏振板： ~ Q M m = M (θ , φ + π ) r ~ r2 ∴ R(θ , φ ) = V ⋅ M (θ , φ + π ) M (θ , φ )V 69 •Note: for NW TN - LCD : T (θ , φ ) = T (θ , φ − π ) for Reflective TN - LCD : R(θ , φ ) = R(θ , φ + π ) 70 5.6. 投射式液晶顯示器(Projection Liquid Crystal Display) Projection Reflective TN-LCDs ‧ 理論上，各種 LC 晶包均能形成投射式顯示器系統，只要有適當的分色分光鏡、光學成像系統等等，就可以利用顯示板作為影像投射的顯示器。 ‧ 圖中所示，為利用三片反射式 LCDs 顯示板作為三個原色的影像顯示之投射式顯示器。其優點在於避免單片顯示器色彩濾波片造成 2/3 光強度的損失。 ‧ 投射式與直觀式顯示器的不同在於其有屏幕散射光，故通常對顯示器只需接近正向入射的情況，所以大部分用菱鏡分光鏡來製作偏極板，可增加亮度。 ‧ 因為使用相同的偏振板架構，所以三片顯示板的 LC 晶包厚度必須對其對應的顏色波長來設計其厚度，才能達到最佳之效果，通常選擇 RGB 之波長為：0.65, 0.55, 0.45 μm。 ‧ 舉例來說：對 45o TN-LC 形成的系統，當操作在 NWT(T=0.5, R=0)模式下，我們需要偏極板傾角為-15.26o 及 u=1.16，對應 RGB 顯示板的厚度分別為Δnd=0.19, 0.16, 0.13 μm。 ‧對 90o TN-LC 形成的系統，當操作在 NWT(T=0.5, R=0)模式下，我們需要偏極板傾角為-32o 及 u=2.35，對應 RGB 顯示板的厚度分別為Δnd=0.765, 71 0.647, 0.53 μm。 Projection Transmissive TN-LCDs ‧圖中所示，為利用三片穿透式 LCDs 顯示板作為三個原色的影像顯示之投射式顯示器。 ‧顯示板可改用菱鏡分光鏡來製作偏極板增加亮度。 ‧同理，因為使用相同的偏振板架構，所以三片顯示板的 LC 晶包厚度必須對其對應的顏色波長來設計其厚度，才能達到最佳之效果。 72 5.7. 其他型式液晶顯示器(Other Liquid Crystal Display) Ferroelectric-LCD (鐵電式液晶顯示器) Ec = π 2 k2 4 Pp 2 ‧鐵電式液晶顯示器是利用 smetic 液晶相來製作顯示器。而此種液晶相會包含數層液晶分子，但是層與層的間距通常小於分子的長度，所以分子指向(n)會相對於層的法線方向(k)傾斜排列。廣義來說，只要分子指向有相同的θ傾角，則層與層能保持固定的間距，所以各層當中分子指向的φ角為亂排，只要位於θ傾角的圓錐上(如圖)。 ‧若各層的φ角亦為固定方向，則鐵電液晶晶包必為二軸旋轉對稱，對稱旋轉軸在 nxk 之方向。這個對稱性使得分子排列-n 與 n 指向有相同的機率，形成所謂的 smetic C 相。 ‧通常鐵電式液晶都有橫方向的永久性電雙矩，意即其電雙矩方向不是沿著分子指向，但二軸旋轉對稱使得各層橫向的靜電雙矩為零。 ‧當摻入旋轉性分子時，此液晶相會沿著 k 方向形成螺旋狀結構，破壞對稱性，形成所謂的 smetic C*相。旋轉的間距通常為層距的數千倍，會造成各層間有一個淨電雙矩，此電雙矩垂直於對稱軸之方向 ‧當電場加到大於 Ec 值時，旋轉排列會被打亂，樣品會被電場極化，呈現分子極化(Polarization)。這會造成分子指向垂直於電場方向均勻排列。電場反向時，分子極化亦反向，所以讓分子指向從(θ, φ)變成(θ, φ+π)，換言之，分子會以電場方向為旋轉軸轉動 2θ角。 ‧若晶包的厚度夠薄時，表面的配向層足夠強以抑制旋轉排列時，液晶晶 73 包會形成均勻排列，我們即可利用上述電場導致分子旋轉現象製作顯示器。操作原理： Γ 1 T = sin 2 4θ sin 2 2 2 74 六、液晶顯示器的驅動、色彩及特性 Addressing, Colors and Properties of LCDs 6.0. 簡介第五章中，我們僅以單一的液晶晶包的操作原理來分析液晶在顯示器的應用原理。但是，若要作為顯示器來顯示資訊，則必須有二維陣列分佈的點，換言之，必須以電極來組成二維陣列點，分別控制各點的操作，形成畫面圖案，稱之為定址控制(address) 。特別是對具有高解析度的大量資訊顯示應用(如：電視、電腦螢幕)，我們需要一個二維陣列的液晶像素點(如：水平及垂直解析度為 MxN 個點)。每一個畫素點皆含有一個微小液晶晶包，可以用電極獨立來調制產生光的開與關。理論上，這樣的控制方法需要 MxN 個電接點，但是較實際工程的作法，電的定址控制是利用所謂的多工掃描技術來達成，因為可以將電極的數目減少到 M+N 個就夠了。現在，顯示器畫素之定址控制的技術主要有兩種，分別是被動多工定址(Multiplexed addressing)及主動矩陣定址(active matrix addressing)。這一章，我們將討論這兩種定址技術，以及相關的顯示器特性。資料線信號電極掃描電極 6.1. 多工顯示器被動矩陣顯示法掃描線顯示電極主動式矩陣位置驅動的技術多工掃描的結果使得我們不可能獨立去調變每一個液晶晶包上所加的電壓，而不影響相鄰的液晶晶包上的電壓，此現象稱之為串音干擾(cross talk)。造成的結果是：每一個晶包上加的等效開(ON-state)與關(OFF-state) 之電壓之差異不能很大，這將嚴重限制液晶晶包在顯示器應用時的對比。這一小節，我們先來討論串音干擾的效應。如上圖所示，我們考慮二維陣列之 MxN 個液晶畫素被 N 列(Y 方向)與 M 行 (X 方向)電極驅動的情形。在多工定址驅動時，Y 方向的電極每個時刻均只能有一列電極被加上正電壓 Vs，且從第一列開始加起。若 Vs 加在第一列時，第一列的 M 個畫素將可以被調制成開或關的狀態，取決於每個畫素上的電壓狀態。若假設 Vd 或-Vd 的電壓透過 X 方向的電極可以加到畫素上(這裡我們取 Vd 為正值)，則在被選取的某一列上，畫素上瞬間的電壓降有兩種狀態： ON − state : V = Vs − ( −Vd ) OFF − state : V = Vs − ( −Vd ) 所以，當-Vd 的負電壓被加到第 m 行，且 Vs 的正電壓被加到第 n 列時，將供給 Vs +Vd 的電壓橫跨在液晶晶包上。這將讓第(m, n)個畫素產生 ON 的狀態。另一方面，此時其他畫素也會感受到電壓。包括：其他未選取列上的畫素會有±Vd 的電壓降，與被選取列上，OFF 狀態畫素會有 Vs -Vd 的電壓降。我們知道：液晶並不會在加電壓的瞬間就馬上反應，因為其分子指向重新 1 排列需要一段時間，因此，實際的分子指向將與外加電壓的均方根平均值 (root mean square, rms)有關。而在每一次多工的循環形成一個畫面的總時間 T 內，每一列只有在 T/N 的時間內被選取到，故 ON 與 OFF 狀態的均方根電壓為： 1 N −1 (Vs + Vd ) 2 + (Vd ) 2 N N 1 N −1 = (Vs − Vd )2 + (Vd )2 N N 2 VON = 2 VOFF 上兩式相減或相加，我們分別得到： 4VdVs 2 2 = VON − VOFF N 2 2 VON + VOFF = 2Vd2 + 2 2 Vs N 從上左式，我們得到：當 N 很大時，ON 及 OFF 狀態的均方根電壓差會趨近於零，這就是此種驅動方式的顯示器會有較差對比度的原因。而我們亦可從這些關係中，當給定所需想要的均方根電壓 VON 及 VOFF 時，找到最佳化的 N 值，如下，藉由上兩式來消去 Vs 項，可得： N = 8Vd2 2 2 VON + VOFF 16Vd4 − 2 2 2 2 (VON − VOFF )2 (VON − VOFF )2 要找到最佳化的 N 值，可將上式對 Vd 微分且式中均方根電壓 VON 及 VOFF 為常數，可得下列關係： Vd = 2 (V 2 + VOFF )2 1 2 2 VON + VOFF ⇒ N max = ON 2 2 2 (VON )2 − VOFF 上式代表多工驅動最大列數 Nmax 將受到所需的均方根電壓 VON 及 VOFF 限制。而上式可重寫為： VON = VOFF N max + 1 N max − 1 所以我們可以看到：當 Nmax 很大時，均方根電壓的比值(又稱為選擇比率,selection ratio)將會趨近於 1，這導致顯示器對比度變得很差。這個方程式是由 Alt 與 Pleshko 兩位科學家在 1974 年導出，被稱為“iron law of multiplexing”。對 1<< Nmax 時，此式可被近似成： 2 VON 1 = 1+ VOFF N max 對列數 Nmax=400 時，選擇比率將只有 1.05，也就是說：ON 狀態的均方根電壓只有比 OFF 狀態的電壓多 5%而已，下圖為比率與 N 變化之關係圖。 Vd/Vs 的比例關係通常稱之為“偏壓比例”(bias ratio)，在最佳化的驅動模式下，此偏壓比例為： 2 V 2 + VOFF 4Vd V s 2 2 = VON − VOFF = ON N N ⎫ N 2 2 (VON )⎪ V ⇒ Vd V s = + VOFF ⎪ d 4 = ⎬ 1 Vs 2 2 ⎪ Vd = VON + VOFF ⎪⎭ 2 1 N max Example 6.1.：考慮一個顯示器有解析度 600x400 畫素，則在 VOFF 電壓為 2.0V 的情況下， VOFF =2.10V，而 Vs =29.0V 且 Vd =1.45V。我們可以看到即使偏壓差的很大，兩個均方根電壓還是相差不多。對實際液晶顯示器的操作時，這兩個電壓都與門檻電壓有關，如下： VOFF ≤ Vth , VOFF ≥ Vth + Δ 上式中，門檻電壓 Vth 定義為要讓液晶分子指向轉向重排所需最小的電壓，而Δ則為過度變化所需的電壓降。從操作的觀點來看，我們可以定義元件參數為： P≡ Δ Vth 3 換言之，這個參數將可度量元件的電光擾動特性曲線的非線性，而且這個參數可以完全表示出元件可用的最大掃描線及相對的電壓，如下： P≡ Δ ≤ Vth 1 N max 要改善元件參數常用一種所謂的“雙掃描(dual scan)”的技術。在其中，顯示器的上半欄的驅動器提供上半 N/2 掃描列電壓降(Vd 或-Vd)；而下半欄的驅動器則提供下半 N/2 掃描列電壓，如此將可改善偏壓比例或減少元件參數 2 倍。 4 6.2. 主動矩陣顯示器多工掃描的的定址技術，當解析度較高時，會導致顯示器的對比度變得很差。雖然利用 STN-LC 的晶包可大幅度改善對比度即使解析度較高時，但是其對液晶晶包的功能亦會產生許多嚴重的限制，包括：響應時間、視角、灰階穩定度...等等。這些問題都可以用主動矩陣定址技術來消除，我們可以用下表來簡單的比較兩種晶包功能上的差異。隨著製程技術的進步，現在可以瞭解到：對高品質、大畫面、高資訊內容量、以及具色彩灰階的顯示器，都將可用主動矩陣定址技術來提供最終的解決方案。這一小節，我們來討論此種驅動方式。 6.2.1 TFT 的操作原理通常主動式矩陣液晶顯示器(active-matrix liquid crystal display, AM-LCD)是由一個二維陣列(矩陣)的電路組成定址驅動電路，以獨立提供個別畫素驅動所需的電定址信號。顯示器上行與列的信號載線(bus line)相交點定義為一個畫素，而此 AM 電路在每一個畫素點組件上均具有一個主動元件，此主動元件在典型的 AM-LCD 稱之為薄膜電晶體(Thin film transistor, TFT)。簡單的矩陣電路在每個畫素上整合一個電晶體及一個電容，以提供定址驅動所需電壓。電荷將被儲存在電容內以維持電極兩端有穩定的電壓降，此電壓信號將藉由電晶體隔離開來，不影響其他畫素，並在其他畫素被同時驅動時保持穩定。因此，顯示器對比度將不會受到前述的 Alt-Pleshko 效應限制。接下來，讓我們概述 AM-LCD 的操作原理，特別針對 TFT-LCD 顯示器。參考下圖，我們考慮一個彩色的 TFT-LCD，其在偏極板對之間的結構組成包含了：以玻璃為基板的 TFT 矩陣電路、彩色濾波玻璃板、以及液晶晶包 5 層...等結構，顯示器上 TFT 矩陣電路之行與列的信號載線(bus line)相交點即定義為一個畫素，如下簡圖所示的 TFT 矩陣電路就可用於提供主動矩陣定址驅動 LCD。畫素的細部構造簡圖如下。我們可以看到每一個畫素都具有一個 TFT 及一個 LC 電容器，其電容器的電極是由 TFT 矩陣電路上 ITO 透明輸出端電極，以及以在上玻璃基板(含有彩色濾波片的那一塊)內面的 ITO 透明電極來組成，而電容內的絕緣層則為液晶。 6 剖面圖從畫素的剖面圖，我們可以看到上玻璃基板含有畫素的彩色濾波片及暗矩陣，其被穿透保護層(passivation layer)包覆，然後才是 ITO 共同電極，其下再度上一層 polyimide 高分子配向層。暗矩陣的目的在擋住畫素電極間的直接穿透漏光，以提高顯示畫面品質，而且也可保護半導體層不受外界光照之影響，其通常會像半導體的光電導一樣而影響 TFT 的電導率。我們也可以看到晶包的厚度是藉由透明的墊片球(或纖維)來保持均勻。下圖為典型的無結晶性矽(amorphous silicon)TFT-LCD 之畫素結構俯視圖。我們可以看到，實際上有用的光穿透區域僅佔畫素面積的一部份而已，其他為實際需要的部分，包含：驅動電路、儲存電容、掃描及信號線。操作的原理如下述：同樣的，每次都只驅動一列晶包，當定址在其中一列(藉由掃描線或電閘線驅動)驅動時，正電壓脈衝被加在其掃描線上，而讓此列上所有電晶體導通，脈衝信號寬度為 T/N，其 N 為列的數目，T 為掃描總畫面所需時間。電晶體扮演的角色就像開關而決定是否要由畫素相對的欄 7 線(信號線或源線)，來將電荷充電到 LC 電容上。當驅動其他列時，此列掃描線上將提供一個負電壓以關上此列上的所有電晶體不導通，以保持電容在整個畫面掃描時間 T 內，仍維持在原有充電狀態，直到下一掃描週期此獵被驅動為止。假如晶包內是充滿 TN-LC 材料，則通常會以交流電壓(AC) 來驅動液晶畫素，這可利用在交錯畫面時切換信號電壓的極性來達成。下圖所示例子為閘線及源線上的驅動電壓信號，以及每個畫素在相對時間內的電壓波形。時序上 TFT-LCD 的操作將可分成四個步驟(如下圖)： ‧在時序 1 時，奇數畫面的驅動時間內(圖中為在尾端)，正電壓脈衝寬度為 T/N 被加在閘極線 VG 上來打開導通 TFT。因此，當信號線上有正電壓 VSD=VON 時，LC 畫素的 ITO 電極會被充電，其電壓將從時序 1 的 Vp=-0.9VON 變到時序 2 的 Vp=0.9VON。 ‧在時序 2 時，閘極線 VG 上的電壓會變成負電壓以關閉 TFT，同時信號線上電壓 VSD 從 VON 變成-VON。因此，從時序 2 到時序 3，時間距為 (N-1)T/N 之間， LC 畫素的電壓將維持在大約 0.9VON，因為此時畫素是被隔離於信號線。 ‧在時序 3 時(另一個掃描畫面)，TFT 再藉加寬度為 T/N 正電壓脈衝打開導通， LC 畫素現在將看到負的源端到汲端的電壓 VSD=-VON。因此，畫素電即將被充電(實際上是放電)，電壓在 T/N 的時間內，由時序 3 的 Vp=0.9VON 變到時序 4 的 Vp=-0.9VON。 8 ‧在時序 4 時，閘極線 VG 上的電壓會變成負電壓關閉 TFT，同時信號線上電壓 VSD 從-VON 變成 VON。基本上，顯示器的控制就是這 4 個步驟在時序上不斷依序重複。我們可以看到實際上在(N-1)T/N 的未掃描時間內，LC 畫素的電壓並不會維持一個常數，原因是液晶晶包仍會輕微的漏電，此是由於液晶材料仍有非常小的殘餘電導性所致。我們也可以看到 LC 晶包上的畫素電壓 Vp 在畫素保持 ON 狀態時，實際上是隨時間不斷改變的，這是因為要維持 TN-LC 晶包內的疇穩定，所以液晶的指向將與畫素電壓 Vp 的均方根值有關。要關上液晶畫素，只要簡單的在信號線上源端到汲端的電壓設為零(VSD=0)即可讓電容放電移去電荷，而使畫素電壓變成 0 (Vp=0) 。 AM-LCD 中的 TFT 元件之工作方式就像一個金屬-氧化-半導體的場效電晶體(metal-oxide-semiconductor field effect transistor)。典型 MOSFET 結構如下圖所示，其位於兩歐姆接點 ( 汲極與源極 ) 間，有一個導電通道 (n-type semiconductor)，通道的寬度可藉由修正接點(閘極)上的電信號來控制，因此這個電壓將控制汲極與源極間電流的大小，金屬的閘極通常以氧化絕緣層來隔離於半導體導電通道，這個氧化絕緣層可讓閘極電流幾乎為零。當適當的電壓加上時，會感應產生 n-type 的導電通道，而此時假如源極與汲極間有加電壓 VSD，則電流 ISD 將會從源極流向汲極。 9 而且，此電流 ISD 的大小將由閘極上的電壓來控制。而導電通道在閘極加上負電壓，將會完全被關閉，汲極與源極不導通，電流為零。這個特性通常就被實際的用在 AM-LCD 的操作上。 TFT 用的 MOSFET 之電流與電壓特性可以被寫成： I SD = I SD = Wμ CG L Wμ CG 2L V ⎞ ⎛ VSD ⎜VG − VT − SD ⎟, when VSD < (VG − VT ) 2 ⎠ ⎝ (VG − VT )2 , when VSD > (VG − VT ) 其中： W=通道寬度 L=通道長度 μ=半導體之等效電導率 CG=閘極之單位面積的電容係數 VSD=源極與汲極間電壓 VG=閘極電壓 ISD=源極與汲極間電流 VT=TFT 的門檻電壓 10 TFT 用的 MOSFET 之中，只有當閘極電壓超過門檻電壓時，導電通道才會感應產生。我們可以發現：TFT 元件在 VSD<(VG-VT)的電壓範圍內為歐姆區域，在此區域內電流與電壓成正比關係；而且，我們也可以發現：當 VSD>(VG-VT)的範圍，電流 ISD 的大小將與 VSD 電壓無關，這現象通常稱之 pinchoff 或飽和區域，此電流為飽和電流。現在讓我們討論 AM-LCD 操作所需的 MOSFET 之特性。當 TFT 導通，對 LC 電容充電時，充電電流 ION 在充電期間 T/N 必須滿足下列的關係式： 2 K1CLCVON < T I ON N 其中： K1=工程操作參數 CLC=LC 電容器的電容 VON= LC 電容器的 ON 電壓 N=顯示器的掃描線數 T=掃描一個畫面所需時間對於雙穩態(bilevel)操作，如數字及圖形顯示等應用，畫素電壓的要求並不嚴格，因為只要電壓大於 LC 元件的 ON 電壓，就可接受。工程參數 K1 可以是從 1 到 10 的任何數，以表示在面板上 TFT 的不均勻性，或充電時間內電流 ION 為不均勻性。對 6.25inx6.25in 且解析度為 1024x1024 畫素的顯示器面板，若我們取 K1=5，電流 ISD 必須大於 1.09x10-6A；對於灰階操作顯示器，電容響應時間常數(RC)必須小於充電時間的 1/3，以維持電壓差異在 5%以下，此時我們應取 K1=10，而電流 ISD 必須大於 2.18x10-6A 。當 LC 畫素在 OFF 的階段時，TFT 則被關上在 OFF 的狀態，所以要求 TFT 在 OFF 狀態的漏電流必須夠小到不至於讓 LC 電容內儲存電荷六掉而影響畫面的操作。漏電流的來源主要是熱離子化電場以及殘餘的熱導電荷所致。對於雙穏態的顯示器，將存在兩種分離的條件：對於 OFF 的畫素，漏電流所造成畫素上的電壓不能超過會讓液晶分子轉向的門檻電壓而啟動畫素；對於 ON 的畫素，漏電流亦不能使電壓降低到會讓畫素產生部分 ON 11 或 OFF 的狀態。對於典型的液晶顯示器，這個電壓改變量ΔV 大約為 1.5V。所以，TFT 的 OFF 電流(漏電流)的要求為： IOFF T < K2CLC ΔV 上式中，T 為畫面時間，K2 為另一個工程操作參數，以表示整個面板上 TFT 特性的不均勻性，或溫度所造成漏電流的不均勻變化。如對典型的 a-Si TFT 而言，當溫度從 20oC 變到 70oC 時，OFF 電流會增加 10 倍，對解析度為 1024x1024 畫素的顯示器面板，若我們取 K1=0.1、ΔV=1.5V 時，電流 IOFF 必須小於 3.28x10-12A；對於灰階操作顯示器，ΔV 必須小於最小灰階(如： 16 階的 0.08V)，電流 IOFF 必須小於 0.175pA。另外，LC 電容內的電荷亦會透過液晶材料很小的殘餘電導所導致的 RC 放電而漏電(i.e.電阻 R 不是無窮大)。若 LC 電容上的操作電壓的均方根值之誤差要小於 5%，則 LC 元件的 RC 放電時間常數必須是畫面定址掃描時間的 10 倍。如：對 16-ms 的畫面掃描時間， RC 震盪放電時間常數必須是 160ms。而若同時要考慮到升高溫度下還要能維持晶包的功能，室溫下的 RC 放電時間常數會是 1 sec 。典型的 TN-LC 液晶材料之電阻率大約為 1011 到 1012Ω.cm，而實際的 TN-LC 液晶晶包之電阻率將會受到配向層 polyimide 材料、摩擦材料、或摩擦後的清潔步驟及封裝的高分子膠而影響。很重要的是：在處理這些面時，都必須非常小心且需要練習，才能確保 LCD 有最佳的功能。為了減少超低 TFT 的 OFF 狀態之漏電流 IOFF 嚴苛要求及 LC 電容的 RC 時間常數，可以在每個畫素上並聯加上一個儲存電容，這將可加大畫素的電容係數 CLC，以提高漏電流的上限值，並可增加元件的 RC 時間常數，這個儲存電容可以是簡單的接地電容，或者接到輸出端 ITO 電極及對應的掃描線之間，但是額外增加的電容將增加製程時的複雜度，也可能降低生產的良率。另外，儲存電容易會增加畫素實際的面積，導致較小的透光窗口。對於普通或低解析度(<200 line per inch)的 LCD，儲存電容可加可不加，但是掃描線大於 500lines/inch 高解析度的 LCD，儲存電容變成必要的元件。而在利用多晶矽(polysilicon)之 AM-LCD 的技術，藉由串聯一個以上共閘極 12 的 TFT，可以有效降低漏電電流。實際上，在 TFT 電路中有許多寄生的電容係數，包括：CGD=由閘極及汲極電極相交而來， CGP=由閘極的信號線與輸出端 ITO 電極所形成...等等項目，下圖表示所有的寄生電容。對大部分的 LCD 的 TFT，CGP<<CGD，因此，在掃描一條線，掃描線的電壓從 VON 降低 VOFF 時。將會產生一個負的電壓落差(如下圖)： ΔVP = ΔVG CGD CLC + CGD 其中，電壓ΔVG=VON-VOFF。電壓落差ΔVP 將會引起畫面晃動的問題，並減低灰階調制的功能，但很不幸的，這個電壓落差不能藉由簡單的背面電極的電壓落差來補償，原因有(1).CGD 在整個畫面內的 TFT 上並非均勻的； (2).CLC 與外加在 LC 晶包上的電壓有關，因為此材料的借電係數為各向異性。然而，電壓落差ΔVP 將可藉由各畫素上額外再加的儲存電容 CST 來減低，因此可發展一個適當的電壓補償機制來讓液晶晶包上的驅動電壓波形 13 變成對稱的。有興趣可以看參考資料(T. Yanagisawa, K. Kasahara, and M. Kajimura, Proc. Jpn. Display’86, 192 ,1986)。當然還有其他寄生電容，像是：源極與汲極電容係數、資料線間的電容係數、ITO 畫素電極。這些電容若耦合到資料線將導致灰階操作電壓的誤差。當然，電驅動技術的發展可以有效降低誤差，其實有許多參考資料都曾敘述這個問題。 6.2.2 陣列的製程現在 AM-LCD 中常用非晶矽(amorphous silicon, a-Si)、多晶矽(polycrystalline silicon, poly-Si)、以及硒化鎘(cadmium selenide, CdSe)三種材料，每種材料都有其獨特的製程步驟。舉例來說，CdSe TFT 的技術發展之歷史最長，雖然 CdSe TFT 已經有完整的必要特性來驅動矩陣電路以及周邊電路，但是大尺寸高解析度的彩色顯示器還未展示出來；另一方面，a-Si TFT 是最普遍的且廣泛研發的材料，其原因可能是它具有較低的 OFF 電流以及足夠的 ON 電流特性，並且因其與半導體電子元件 Si-MOS 的材料相同故可方便的用其以良好發展的製作技術及製程設備；poly-Si TFT 是最近為了未來 AM-LCD 而積極研究的材料，藉著使用 poly-Si 材料特性，周邊的驅動電路將可與 TFT 電路整合在同樣的基板上，除外，poly-Si 能提供較大的電子(或電洞)的遷移率(mobility)，可達到 300 cm2/V.s，高移動率可讓 poly-Si TFT 中的電晶體更小(畫素密度能更高)以及更小的儲存電容，因此可比同樣驅動電路及畫素面積的 a-Si TFT-LCD 有更大的開口透光比。而單晶矽(crystalline-Silicon, c-Si) 材料線也正在研發中以適用於未來的應用，高解析度(>2000dpi)及電子移動率將是此種材料重要的特性。下表總結了上述三種材料的特性比較： 14 TFT 的結構在顯示器應用中，目前有兩種 TFT 的結構最常被使用，如下圖。其一被稱為底部閘極(反向交錯)結構，在此結構，閘極至於下方，而源極與汲極的電極位於半導體基材的頂端，此種結構最常用於 a-Si TFT 陣列中；其二則為上部閘極(共平面)結構，此結構中，閘極被置於最上方，而所有的電極(閘極、源極、汲極)均置於與半導體基材同一平面上此種結構常被用於多晶矽材料的 TFT 陣列。而兩種結構均見於 CdSe 材料的 TFT 陣列中。 TFT 的種類 a-Si FTF: 早期(1970 年代)發展 a-Si 太陽能電池的先進之矽製程技術對 a-Si TFT 的發展有極大的貢獻，當時累積的有關磊晶及材料電特性之許多知識後來都被用在 TFT-LCD 的應用。鑒於材料本質高電阻的特性，a-Si TFT 在 AM-LCD 顯示器應用極為成功，雖然在製程過程上有快速的發展，但最主要還是可以分成兩種形式：形式 A 與 B。對 TFT-LCD 而言，基板必須薄且透明的，而且受力變形點必須比最大操作溫度高至少 100oC 以上，耐鹼性且毫無結構的缺陷的，如：Corning 公司的 7095 號玻璃。基板必須能夠承受 TFT-LCD 的製程過程(具有不同的溫度、壓力、化學環境)，而無明顯的化學傷害、收縮、或者熱不吻合，以提供製程的保證。閘極的材料通常是導體金屬，如：Ti, Ti-Mo, Ta, 及 Mo-Ta 等，通常以直流磁控管濺鍍的方式沉積長成，其中 Ta 及 Mo-Ta 兩種閘被廣泛使用的材料，其可用陽極電鍍的 15 方法產生無孔洞的閘極絕緣層。下面我們將以底部閘極的結構來討論上述兩種製程過程： A 形式的製程過程： 1.沉積閘極金屬的圖案作為閘極圖形。 2.在同一個真空腔內，利用電漿加強化學氣像沉積法(PECVD)，沉積一個三明治結構：SiNx(閘極絕緣層)、i-a-Si (半導體層)、及 n+ a-Si 層(源極及汲極)。 3.蝕刻 n+ a-Si 及 i-a-Si 層成為許多島型，作為個別的 TFT 元件。 4.沉積並製作源極、汲極與 ITO 電極的圖像。 5.以源極至汲極的電極為光罩，來蝕刻 n+ a-Si 層以形成 TFT 的導電通道。 6.蝕刻(計時或微分) n+ a-Si 層將原本的 i-a-Si 層顯現出來。 7.沉積薄薄的保護層。 B 形式的製程過程： 1.沉積閘極金屬的圖案作為閘極圖形。 2.在同一個真空腔內，利用相同的電漿加強化學氣像沉積法(PECVD)，沉積一個三明治結構：SiNx(閘極絕緣層)、i-a-Si (半導體層)、及 SiNx 層(保護)。 3.蝕刻頂部的 SiNx 及 i-a-Si 層成為許多島型，作為個別的 TFT 元件。 4.蝕刻頂部的 SiNx 以顯露 i-a-Si 層表面作為源極及汲極的區域。 5.按順序沉積薄的 n+ a-Si 層以及源極、汲極金屬(Cr, Mo, Cr-Al, Ti)。 6.蝕刻並製作源極至汲極的電極之圖案。 7.以濺鍍法來沉積薄的 ITO 層。 8.蝕刻形成 LC 輸出端電極。 16 我們可以看到：A 過程只需要 4 道光罩，而 B 過程卻需要 5 道光罩。然而， A 過程中的過程六蝕刻頂部的 n+ a-Si 層不易控制，結果使得 i-a-Si 層無法降低到數百埃的厚度來產生最小的光致電導特性。因此，A 形式製程的 TFT 之光電流一般均比 B 形式的光電流大，而因為保護層不是在與成長 i-a-Si 層同一個真空腔內沉積，TFT 的(OFF 狀態)漏電流一般也比 B 形式的大。而 B 形式過程在沉積 n+ a-Si 層(步驟 5)需要很小心的清潔介面，以確保 TFT 的電極為歐姆接點，則將可達到 ON/OFF 電流比大於 106 及漂移率 0.3-1 cm2/V.s 的特性。 poly-Si FTF: poly-Si TFT 的製作過程一般可依照最佳化過程溫度及基板大小分成兩種不同的過程。第一種過程將製作出高操作溫度(HT)的元件，適用於高解析度的顯示板及投影電視，其過程溫度在 900oC 以上；第二種過程則製作出低操作溫度(LT)的元件，並用來處理較大玻璃基板(40cm 以上)，其操作溫度在 600oC 以下。目前，LT 過程是發展的主要著眼點，因為較便宜。而對於元件的結構，還是分成上部閘極及底部閘極兩種結構；以低壓化學氣像沉積法沉積的矽薄膜來製作具有自我對準離子植入架構上部閘極結構，為 MOS 晶圓廠最普遍的技術；而底部閘極結構，則使用晶體化的 PECVD a-Si:H 當作主動材料，是目前 a-Si TFT-LCD 廠較為偏好的結構，因為與大面積 a-Si TFT 技術較能配合。Poly-Si 層則典型是將低壓化學氣像沉積的非晶矽，以 600oC 的溫度來造成固像結晶形成的，而基板則可採用石英或高硬度玻璃，取決於要利用熱成長氧化層或沉積低溫氧化層來當作閘極的絕緣層而定。如前述，上部閘極結構較常用於 poly-Si TFT 應用，我們列出低溫製程的步驟如下： 1.在硬玻璃基板上，沉積 150nm 厚的三價磷摻雜之 poly-Si 層(以 a-Si 固像結晶形成) 。 17 2.沉積並製作源極、汲極與 ITO 電極的圖案。 3.以 LPCVD 的方法在 600oC 沉積一層很薄(25nm)的未摻雜 poly-Si 層。 4.蝕刻形成 TFT 元件。 5.沉積 ITO 層。 6.蝕刻產生 ITO 資料線及畫素的 ITO 輸出電極。 7.以熱 CVD 技術沉積閘極的絕緣層(150nm 厚的 SiO2)。 8.濺鍍並製作閘極電極圖案。高溫的 poly-Si TFT 製作過程，閘極的絕緣層是利用 1000oC 的熱成長形成，且源極與汲極的植入成長則是用自我對準離子植入技術製作。自我對準的閘極過程之優點在於可讓閘極到汲極的電極重合度最小，在自我對準的過程中，poly-Si 層是沉積並用來製成島型圖案，以符合 TFT 所需。然後，依序沉積一層 SiO2 及一層 poly-Si，此堆積則再蝕刻形成每一個 poly-Si 小島的兩端，蝕刻後顯漏的 poly-Si 面積上再以離子植入將 poly-Si 轉換成 n+摻雜之 poly-Si 。離子佈值的摻雜步驟將製作閘極、源極及汲極，當頂層的 poly-Si 作為閘極電極時。除外，頂部的 poly-Si 層(閘極)以及下方的 SiO2 層可當作光罩來定義 TFT 之源極及汲極的區域，因此達成自我對準的過程，再沉積另一層 SiO2 層後，透過孔洞蝕刻，沉積 Al 並圖案化形成源極及汲極的歐姆接點電極，最後再濺鍍 ITO 並蝕刻形成輸出電極。下圖為結構：如前述，poly-Si 材料提供將驅動電路及周邊電路整合的可能性，另一個優點是：它可用雷射熱退火的方法來將 a-Si 薄膜轉變成 poly-Si 薄膜，利用雷射輔助的轉換技術，可在同一片基板上同時處理 a-Si 及 poly-Si 兩種材料， 18 其中，a-Si 可作為主動矩陣元件，poly-Si 則作為驅動電路。此整合可以大量的減少 TFT 顯示器所需的連接線而將顯示器精緻化且增加顯示器的可靠度。而 poly-Si 的高電子(或電洞)漂移率則可提供較高速的掃描定址。根據前述，源極-汲極電流 ISD 正比於電子漂移率μ，藉由較大的電流，LC 電容的充電時間就減少，將導致欄驅動能有較高操作頻率之可能性。 CdSe TFT: CdSe 材料的優點在於低溫的處理材料，並具有相當高的電子漂移率 (150cm2/V.s) ，在全光石版印刷術之 CdSe 製程反向交錯結構的過程中，所有的薄膜層均採用剝離式(liftoff)過程來形成圖案，除了 ITO 層外，它是用蝕刻的方法來形成圖案。過程如下： 1.濺鍍沉積閘極金屬 Ni，並形成閘極所需圖案。 2.濺鍍形成閘極所需絕緣層(Al2O3)。 3.沉積 TFT 所需之 CdSe，並形成圖案。 4.沉積並 In-Au 形成源極及汲極電極。 5.沉積保護薄膜層。 6.製作 ITO 電極。 CdSe TFT 具有大於 1μA 的充電(ON)電流，以及小於 1pA 的漏(OFF)電流，而 CdSe TFT 製程其中一個潛在之優點是可能可以將行與列的驅動電路與矩陣電路整合。 6.2.3 晶包的組合現在讓我們討論如何組合成 TFT LCD 的顯示平板。如前述，顯示器平板主要是兩片玻璃平板夾注意晶材料而形成的三明治結構，其中一片玻璃板包含了 TFT 矩陣，另一片則含有濾波片及共同電極。在組合前，每片玻璃的內面均鍍上一層厚度大約為數百到千埃的 polyimide 高分子層，此層再經預先設定的方向摩擦以製作配向層，對準液晶分子指向。然後，在光濾波片那一片玻璃上的四周貼上或印上一圈很窄的環氧基樹脂條，但是留下一個很小的開口，同時在 TFT 玻璃平板上亦均勻的噴灑纖維玻璃墊片或塑膠小 19 球，以維持夾層厚度的均勻性(4-10μm)，而厚度均勻性亦可利用在每一個 TFT 陣列上的點，排上一個染色過的 polyimide 小柱來維持。我們可以注意到，此 polyimide 小柱不但可以提供厚度均勻性，亦可利用它來擋住不必要的漏光。最後這兩片玻璃再小心對準每一個濾波片及相對的 TFT 矩陣下，將之黏合組合在一起。另外，兩玻璃片的方向必須適當取向以形成所需的 TN-LC 結構。再經過壓平及紫外光聚合後，將組合的空腔以真空灌入 LC 材料，再以快速 epoxy 封住缺口。組合完液晶晶包後，最後的步驟就是連接到外部的組件，意即：將塑膠偏振片薄膜以預先設計的穿透軸對準液晶分子指向的方向貼到上下兩面，最後液晶晶包再組合到電路板或硬基板上，以與積體電路技術製作的驅動及周邊電路連接。我們要強調的是：上面幾節我們討論有關幾種 TFT 結構、不同的材料與製程(a-Si, poly-Si, CdSe TFT)、以及晶包的組合，這些討論均只是我們想要呈現的只是最基本的原理，而實際上製程技術、元件結構、以及組合技術發展的非常快速。要從事此項研究，很重要的是隨時需注意這些領域的最新發展，包括新材料及新製程技術。 20 6.3. TFT LCD 的光學透光特性顯示器上的許多元件，如：TFT 電路、掃描及信號線、偏極板、透明電極、以及其他元件都會影響顯示器亮度或光的穿透度。在彩色顯示器中，濾波片更是大量減少顯示器的亮度，因為濾波片會吸收光。此小節，我們來討論每一個元件導致的光能量損耗。 6.3.1 偏振片非偏振光遇到理想的偏振板亦會有 50%的光損耗。而實際的顯示器中用的是薄板偏振片，大部分市售的偏振板是將偏振材料(HN22, HN23, HN38S, HN42HE)夾在兩片薄的光光學品質之玻璃板中，形成三明治結構。這些偏振材料通常是由受拉力的變形的 PVA(poly vinyl alcohol)薄膜摻入高濃度的碘染料組成，LCD 用的偏極板典型的在可見光區段之穿透率大約是 45%或更少，舉例來說：Polaroid 公司出產的 HN42HE 材料對非偏極化光的穿透率大約為 42%左右，而此與理想偏振片 8%的差別在於偏極片本身的吸收。對顯示器應用，偏極板是被黏在液晶晶包玻璃基板的最外層。第一片偏極板之 3dB 的能量損耗是非常浪費而不想要的。而使用薄板型偏極板，50%的能量是被偏極板本身吸收掉的，不可能再重新使用此損耗的能量。然而，若使用偏極分光鏡(PBS)，50%的能量是被反射到視場以外，此反射的能量是可以光學技術回收使用，這樣可以改善光學的穿透度，很不幸的是一般的偏極分光鏡體積不小不適用於平面顯示器，然而對投影是顯示器，這些偏極分光鏡是很重要能有效改善光學的穿透度，下圖說明一個如何利用偏極分光鏡作為顯示器應用的例子。用 CLC 偏振板之顯示器構造： 21 6.3.2 彩色濾光片下表顯示顯示器中最主要的光損耗來自於濾波片。故如何產生不吸收的彩色濾光片將光回收利用，會是設計上考慮光穿透度的一個重點。現在已有許多不同形式的彩色率波片被研發出來，包括：染色凝膠、染色 polyimide 高分子、有色墨水，而染色凝膠是目前彩色濾波片最廣泛使用的材料。目前產生濾波片畫素的方法為光學石版印刷術，首先，在玻璃基板上鍍上一層可接受染色的基本薄膜層 (2-3μm 厚 ) ，其材料可以是：黏膠 (glue)、凝膠(gelatin)、PVA、polyimide…等材料，然後將基板鍍上一層光阻劑，以光罩曝光造成選擇區域打開，基板沾入紅色染料溶液中，開口接受染料染成紅色，再將光阻移去完成紅色濾波片，重複上述步驟分別換成綠色及藍色染料，即可完成綠光及藍光，得到三原色濾波片。最後染料基層再鍍上保護層最後染料基層再鍍上保護層(polyimide)，將液晶分子與濾波片層隔絕開來，並提供平整的面來沈積 ITO 透明電極。另一種準確印製 RGB 墨水染料的的方法，能較有效率並避免光學石版印刷術。一般來說，要能夠顯示所有的顏色之全彩顯示器，需要紅藍綠三色濾波片，假如光波的能量在三個頻譜區段均相同分佈，則很明顯的每個濾波器只能穿透三分之一的光波能量。換言之，假如濾波片是以吸收光的方法來產生色光，每個濾波片將吸收掉三分之二的光能量，而且濾波片的穿透頻譜範圍通常很寬，以犧牲色純度來換取較高亮度。實際上，彩色濾波片的頻譜 22 穿透響應曲線像是一個鐘型，其中心位於它們相對的色彩，其正好符合 RGB 加強背光源的峰值。因此，彩色濾波片的穿透通常會小於三分之一的光能量，這就說明了為什麼典型的濾波片之穿透率大約只有 25%。目前有兩種方法可改善光強度，分別是：繞射光柵及干涉濾波片的方法。基本原理說明如下：用干涉式濾波片來改善：干涉濾波片通常是利用多層薄膜干涉的方法來製作，它可被設計來穿透 RGB 頻譜中特定的顏色，並且將其他位於穿透帶之外的光波反射回去，所以沒有吸收光能量，被反射的光波則可重複回收使用。用光柵分光濾波片來改善：在此結構中，通常在背光源與 LC 晶包間放上一個反射鏡與光柵組合的濾波器，其光柵開口的範圍只佔三分之一的區域，因此三分之一的入射光會被光柵繞射分光成 RGB 三道光束照在三個對應的畫素上，三分之一的開口透光範圍是要確定光柵能將三色光分開來，而其他光波則反射回去經背光源後的反射鏡回收使用。 23 6.4. LCD 的色彩特性從最基本的觀點來看，任何有顏色的光源均可用它的頻譜分佈來描述，實驗上很容易就可用繞射光柵式或菱鏡式的頻譜分析儀來得到其頻譜分佈。但是，人類的眼睛的工作方式並不像頻譜分析儀，一般相信人的眼睛內有三種不同色素細胞(RGB)，能吸收不同波段的光波，如：R 色素細胞在紅光波段吸收很強；G 色素細胞在綠光波段吸收很強； B 色素細胞在藍光波段吸收很強。因此，當光線入射到眼睛時，我們感受到的色彩，是由於三個不同組的色素細胞之混合吸收量而來的，所以人眼的彩色視覺機制，將可能會造成不同頻譜分佈的光波，卻讓人有相同顏色的感覺。除外，任何顏色均可用三種顏色組成(紅藍綠三原色)，而且讓與顏色有關的基本法則，可以用數學形式來描述。前面章節的討論建議 TN-LC 晶包可以用來調制光穿透率，在黑白顯示器中，晶包穿透特性必須對顏色不敏感，這可讓晶包的 Maugiun 參數操作在 u>>1 的範圍內，而對彩色顯示器，最簡單的做法就是讓黑白顯示器結合彩色濾波片，讓每個畫素使用三個波段濾波器(紅藍綠)，再控制三個子畫素的的穿透強度，我們即可得到不同的顏色，而色光混合的結果讓我們可以產生各種有興趣的顏色。在大部分的液晶顯示器中，每個資訊畫素均含有三個含有濾波器的子畫素組成，人眼的色彩認知是由每個畫素的三種色彩混成所造成的，若假設每個子畫素的穿透率分別為 t1, t2, t3，而且三個顏色的濾波片之穿透頻譜響應為 f1 (λ), f2 (λ), f3 (λ)，則每個畫素的等效穿透頻譜響應為： T ( λ ) = t1 f1 ( λ ) + t2 f 2 ( λ ) + t3 f 3 ( λ ) 這裡我們假設穿透率 t1, t2, t3 對波長變化不敏感，嚴格來說， t1, t2, t3 為波長的函數，然而，考慮到濾波片的話，其穿透頻譜響應才 f1 (λ), f2 (λ), f3 (λ)是決定畫素穿透響應 T(λ)的主因。在彩色顯示器中，t1, t2, t3 可藉由加在每個子畫素上的電壓而獨立控制。只要得到 T(λ)的話，就可以計算畫素穿透的顏色之色品座標(chromaticity 24 coordinate)。接下來，我們將討論色品座標的計算與顏色的混合。色品座標的計算：要計算色品座標(x, y)，則必須先得到三角刺激值(X, Y, Z)，其定義如下： X = k ∫ S (λ )T (λ ) x (λ )dλ Y = k ∫ S (λ )T (λ ) y (λ )dλ Z = k ∫ S (λ )T (λ ) z (λ )dλ 其中， x (λ ), y (λ ), z (λ ) 稱之為顏色匹配函數(color matching function)；S(λ)為光源的頻譜分佈；T(λ)為上式所描述資訊畫素的穿透頻譜響應；k 為歸一化常數，定義為： k= 100 ∫ S (λ ) y (λ )dλ 當一個完美的穿透系統具有 T(λ)=1 時，這樣 k 的定義讓刺激 Y 值等於 100。 10 度視角的顏色匹配函數可寫成 x10 (λ ), y10 (λ ), z10 (λ ) ，其可製表如下所示，或畫成下圖的關係圖。這是 CIE 1964 年標準顏色度量觀察所用的標準。使用這個顏色匹配函數則可計算相對的 X10, Y10, Z10。而 CIE 1931 年標準顏色度量觀察所用的顏色匹配函數一般被寫成 x (λ ), y (λ ), z (λ ) ，這個函數是對視角 1-4 度所設定的。 25 顏色匹配函數(CIE 1964)：顏色匹配函數(CIE 1931)： 26 顏色匹配函數與三角刺激值： 27 28 任何給定色光的色品座標，可以寫成： x= X , X +Y + Z x10 = X 10 X 10 + Y10 + Z10 y= Y , X +Y + Z y10 = Y10 X 10 + Y10 + Z10 每個色光均可表示成色品座標系上的一個點(x, y)，下圖中的曲線代表色品座標戲中所有可見光(380nm~780nm)範圍內的單色光之座標點的連線。 29 30 31 6.4.1 色光的相加與 CIE 1976 顏色空間(L* u* v*) 若(x1, y1)代表第一個子畫素的濾波片之顏色給出的色品座標；(x2, y2) 代表第二個子畫素的濾波片之顏色給出的色品座標；而(x3, y3)代表第三個子畫素的濾波片之顏色給出的色品座標。而且，(X1, Y1, Z1), (X2, Y2, Z2), (X3, Y3, Z3)分別代表三個子畫素對應的三角刺激值。所以，整個畫素對應的三角刺激值可以寫成： X = t1 X 1 + t2 X 2 + t3 X 3 Y = t1Y1 + t2Y2 + t3Y3 Z = t1Z1 + t2 Z 2 + t3Z 3 其中， t1, t2, t3 分別為每個子畫素的穿透率。從上式結果我們可以看到，最後的三角刺激值相當於個別的三角刺激值之權重和，將此代入上上式就可算出整個畫素的色光對應之色品座標值，假如穿透率 t1, t2, t3 可以獨立由 0 變化到 1，則在(x1, y1), (x2, y2) 與(x3, y3)所畫成的三角形內所有的色光均可調制得到。若在暗狀態產生漏光，將使得穿透率不為零。此時，彩色 LCD 顯示器將無法得到三角形內某些色光，特別是接近三角形角落及邊緣的顏色。在 1976 年，CIE 協會建議 CIE L* u* v*的格式來處理用在照明及彩色電視工業之色光的相加混合。同樣的標準沿用到 LCD 顯示器，若給定(x, y)為畫素每個灰階的色品座標，我們可以計算得到(u', v')如下： u' = 4x , − 2 x + 12 y + 3 v' = 9y − 2 x + 12 y + 3 CIE 1976 的直角座標系包含了三個軸分別是 L*的亮度尺標；u*的紅-綠尺標，以及 v*的黃-藍尺標，分別定義為： L* = 1163 Y Y0 u* = 13L * (u'−u'0 ) v* = 13L * ( v '−v '0 ) 其中，u', v', Y 與 u'0, v'0, Y0，分別為在某些適合之參考畫面下(如：選擇的白色背景下)，畫素的色品座標(u', v')與流明。 32 為了研究 LCD 顯示器的色彩與視角的關係， u', v', Y 為畫素在測量時的色品座標(u', v')與流明，而 u'0, v'0, Y0 則為在背光為正向入射下的色品座標(u', v') 與流明。 CIE 1976 色彩空間的極座標表示法包含 Suv(飽和度)、Cuv(色彩濃度)、以及 Huv(色調) 等座標，計算式如下： S uv = 13 (u'−u ' 0 ) 2 + ( v '−v ' 0 ) 2 C uv = u * 2 + v * 2 v* H uv = tan −1 u* 為了定量的比較一組分別具有(L*2 u*2 v*2)與(L*1 u*1 v*1)之樣品的差異性，我們在 CIE 1976 (L* u* v*)色彩空間定義下列的參數： Color difference : ΔE = ( L*2 − L*1 ) 2 + (u 2* − u1* ) 2 + ( v 2* − v1* ) 2 Chromaticity difference : Δ uv = (u 2* − u1* ) 2 + ( v 2* − v1* ) 2 2 2 2 Chroma difference : ΔC uv = u 2* + v 2* − u1* + v1* Hue angle difference : ΔH uv = tan −1 2 * v 2* −1 v1 − tan u 2* u1* 為了研究 LCD 顯示器的色彩與視角的關係，u*2, v*2, Y2 為畫素在測量時的色品座標(u*, v*)與流明，而 u*1, v*1, Y1 則為在背光為正向入射下的色品座標(u*, v*) 與流明。 33 1960 CIE uv Chromaticity Diagram 1971 CIE uv Chromaticity Diagram 34 6.A. 視覺所謂視覺，主要為明暗、物體之形狀以及顏色三者的綜合知覺，此外眼睛能看到物體的移動，也能看到物體深度的感覺。這些都與照明機制有關，要能充分發揮照明的機能，瞭解視覺機構非常重要。眼睛的構造眼睛為眼球與式神經所構成，其構造的剖面圖如下所示。眼球直徑約 21~25mm 的球體，常與照像機機構比較。水晶體為透鏡作用，其厚度以毛樣體來調節，改變焦距讓影像成像到相當於底片的綱膜上。虹彩為收縮機構，按照外界的明亮變化瞳孔面積而調節進入眼睛的光。網膜在眼球底，厚度約為 1/3mm 的透明膜，此種網膜的外層密佈一億個以上的細胞。視細胞有錐狀體及環狀體兩種，以其形狀命名。錐狀體在明亮時作用，產生明亮度與色感，環狀體在暗的地方作用，不感覺色，只感覺明暗。又中間的明亮度兩種皆作用。網膜的內層由視細胞與聯絡的神經纖維組成，這些多數的神經纖維集合於網膜的一個地方，形成粗神經纖維束，由網膜向外出發，為視神經。此出口部分無視細胞，無法看到物體變成盲點。網膜中心部視線一致的附近稱之為黃斑部。更其中心點相當凹進去(中心凹入)附近的視細胞為密集的錐狀體，越到周圍錐狀體越少，環狀體增加。由左右的眼球發出一條的視神經在頭蓋內互相交叉，形成乙條視索，與大腦後頸葉的腦細胞群連絡，故網膜如碰到光，視細胞中的物質發生光化學反應，此種反應變成信號經過視神經而送到腦，產生視覺。 35 36

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