3-lekciya
Тема: Sızıqlı algebralıq teńlemeleriniń sistemaların iteraciyalıq usılları menen
sheshiw.
Joba:
1.Sızıqlı algebralıq teńlemeleriniń sistemaların iteraciyalıq usılları menen sheshiw.
2.Iteraciyalıq processlerdiń tiykarǵı túrleri. Stacionar hám stacionar emes
iteraciyalıq usıllar.
3.Yakobi hám Zeydeldiń iteraciyalıq usılları
1.Sızıqlı algebralıq teńlemeleriniń sistemaların iteraciyalıq usılları menen
sheshiw
Sızıqlı allgebralıń teńlemeleriniń sistemalardı esaplaw praktikasında keń
qollanılatuǵın geypara iteraciyalıq usılların qaraymız. Bul usıllar ulıwma jaǵdayda,
hátte esaplaw qáteligi joq bolǵanda da, shekli sandaǵı iteraciyalardı orınlaw arqalı
teńlemelerdiń berilgen sistemasınıń x*  ( x1* , x2* ,..., xn* ) dál sheshimin tabıwǵa
múmkinshilik bermeydi. Olardıń járdeminde tek
lim x ( k )  x*
k 
qásiyetine iye bolǵan, vektorlardıń bazı bir sheksiz x ( k ) , k  0,1,2,... izbe izligi ǵana
jasaladı. Bunıń ushın dáslep sistemanıń sheshimine baslanǵısh juwıqlasıw bolǵan
x 0  ( x10 , x20 ,..., xn0 ) vektorı qanday da bir usıl menen anıqlanadı yamasa erkli túrde
saylap alınadı. Bunnan soń iteraciya dep atalatuǵın bazi bir algoritmnen paydalanıp,
esaplawlardıń bir toparı orınlanadı. Nátiyjede berilgen sistemanıń sheshimine kelesi
juwıqlasıw bolǵan
x1  ( x11 , x12 ,..., x1n ) vektorı anıqlanadı. sistemanıń sheshimi
berilgen dállik penen tabılǵansha iteraciyalar dawam ettiriledi. Iteraciyalar usıldı
qollanǵanda,
sistemanıń
sheshimine
tek
shekli
sandaǵı
x ( k ) , k  0,1,2,...
juwıqlasıwları ǵana esaplanadı hám onıń sheshimi esabında x n  ( x1n , x2n ,..., xnn )
vektorı qabıl etiledi.
2.Iteraciyalıq processlerdiń tiykarǵı túrleri. Stacionar hám stacionar emes
iteraciyalıq usıllar.
Meyli
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 , 
a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 , 

. . . . ... . . . ... ., 
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn . 
(1)
sızıqlı sisteması berilgen bolsın. Bunda det A  0
Tómendegi matricalardı kiritiw arqalı
 a11 a12 ... a1n 
 x1 
b1 , 
a



b , 
a
...
a
x
21
22
2
n
2
,x    , b   2 
A
 . . .

 ..., 
. 


 
 
bn 
 xn 
 an1 an 2 ... ann 
(1) sistemasın matricalıq teńlemeler sisteması túrinde jazamız:
Ax  b .
(1 )
(1) sistemanıń diagonalllıq koefficientleri
aii  0
dep uyǵaramız hám (1)sistemanıń 1-shi teńlemesin x1 , ekinshi teńlemesin - x2
hám n -shi teńlemesin xn ge qarata sheshemiz.
Nátiyjede (1) sistemasına ekvivalent bolǵan sistemasına iye bolamız:
x1  1  12 x2  13 x3 ...  1n xn ,


x2   2   21 x1   23 x3 ...   2 n xn ,


. . . . ... . . . ... . ...,

xn   n   n1 x1   n 2 x2  ...  an ,n1 xn1 
bunda
i 
bj
ii
, ij  
ij
aii
(2)
egerde i  j bolsa hám  ij  0 , egerde i  j bolsa.
Tómendegi matricalardı kiritip
11

   21
 .

 n1
12 ... 1n 
 22 ...  2 n 
 1 
 
hám    2 

 .
. .

 
 n 2 ...  nn 
n 
(2) sistemasın oǵan teń kúshli bolǵan matricalıq formada jazıwǵa boladı:
x    x .
( 2 )
Sonda (1) sistemasınıń sheshimi x* vektorına izbe iz juwıqlasıwlar bolǵan
x ( k ) , k  0,1,2,... vektorların, tómendegi rekkurentli formula boyınsha jasawǵa
boladı:
x ( k 1)      x ( k ) , k  0,1,2,...
(3)
Bunda sheshimge baslanǵısh x (0)  ( x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ) juwıqlasıwı, ulıwma jaǵdayda
erkli túrde saylap alınadı. Bul formula menen anıqlanǵan iteraciyalıq process
statsionar iteraciyalıq usıl dep ataladı («stacionar» ataması latınnıń «stationarius»
degen sózinen alınǵan bolıp, bizińshe «ózgermeytuǵın», «turaqlı» mánislerin
ańlatadı).
Ulıwma jaǵdayda (1) sistemasın (2) kórinisine, kóp túrli usıllar menen keltirip
jazıwǵa boladı. Máseleń, ayrıqsha emes C ( det C  0 ) matricasınıń járdeminde
bunday túrlendiriwdi tómendegishe iske asırıwǵa boladı:
x  x  C (b  A  x) .
Bunda   E  C  A,   C  b hám (3) iteraciyalıq formulası tómendegi kóriniste
jazıladı:
x ( k 1)  x ( k )  C (b  A  x ( k ) ), k  0,1,2,... .
Egerde bunday túrlendiriwler iteraciyalıq processtiń hár bir adımında hár qıylı
jańa C matricaları menen iske asırılsa, onda tómendegi iteraciyalıq usılǵa iye
bolamız:
x ( k 1)  x ( k )  C ( k ) (b  A  x ( k ) ), k  0,1,2,...
yamasa
(4)
x ( k 1)   ( k )   ( k )  x ( k ) , k  0,1,2,...
Bunda  ( k )  E  C ( k ) A,
(5)
 ( k )  C ( k )b, k  0,1,2,... boladı. Sonda (3) stacionar
iteraciyalıq usıldan ózgeshe,
(4) yamasa (5) formulası menen anıqlanǵan
iteraciyalıq process stacionar emes iteraciyalıq usıl dep ataladı.
Usılayınsha jasalǵan (4) hám (5) kórinisindegi stacionar emes iteraciyalıq
usıllar mınaday qásiyetine iye boladı: (1) sistemasınıń dál sheshimi x* vektorı (4),
(5) kórinisindegi hár bir iteraciyalıq processtiń qozǵalmaytuǵın noqatı boladı.
Haqıyqatında da, egerde (4) hám (5) de sheshimge baslanǵısh juwıqlasıw x (0)
vektorı esabında (1) sistemanıń dál sheshimi x* vektorı alınsa, onda (4) hám (5)
formulası menen anıqlanǵan barlıq juwıqlasıwlar da usı x* vektorına teń boladı.
Ekinshi jaqtan, x* vektorı qozǵalmaytuǵın noqatı bolatuǵın (1) sistemasın
sheshiwdiń hár qanday iteraciyalıq formulası (4) yamasa (5) túrinde kórsetiledi.
3.Yakobi hám Zeydeldiń iteraciyalıq usılları
3.1. Yakobi iteraciyalıq usılı.
Meyli (1) sistemasın sheshiw máselesin
qaraymız. A matricası ayrıqsha emes matrica( det A  0 ) dep uyǵaramız. Bul
sistemanıń sheshimi x*  A1  b vektorı bar hám ol tek birew ǵana boladı. Dáslepki
berilgen sistema qanday da bir usıl menen (2) kórinisine keltirilgen hám (1)
sistemasınıń sheshimine baslanǵısh juwıqlasıw x (0) vektorı saylap alınǵan bolsın.
Kóbinese x (0) juwıqlasıwı esabında   (1, 2 , ... n ) vektorı alınadı, biraq ulıwma
jaǵdayda x (0) vektorı erkli saylap alınadı.
Sonda (3) formulası menen anıqlanǵan iteraciyalıq process ápiwayı
iteraciyalar yamasa Yakobi usılı dep ataladı. Bul (3) iteraciyalıq process sızıqlı
bolǵanlıqtan, sistemanıń x ( k ) , k  0,1,2,... izbe iz juwıqlasıwların barlıq waqıtta
jasawǵa boladı. Egerde vektorlardıń bul izbe izligi jıynaqlı bolsa, onda onıń shegi
barlıq waqıtta (1) sistemasınıń sheshimi boladı. Haqıyqatında da,
lim x ( k )  x*
k 
bolǵanlıqtan, (3) teńliginde k   umtılǵanda
lim x ( k 1)      lim x ( k ) yamasa x*     x*
k 
k 
boladı. Bul joqarıdaǵı tastıyqlawdıń durıslıǵın dálilleydi.
Endi ápiwayı iteraciyalar usılı menen anıqlanǵan juwıqlasıwlardıń
formulaların ashıp jazamız:


n

xi( k 1)  i   ij x (jk ) , 
j 1

 ii  0, i  1, n; k  0,1,...
xi(0)  i ,
Ápiwayı iteraciyalar izbe-izliginiń jıynaqlı bolıwnıń jetkilikli
( 3 )
shártlerin
dálillewsiz keltiremiz.
1-teorema. Egerde (2) túrlendirilgen sisteması ushın tómende keltirilgen
shártlerdiń eń keminde birewi orınlansa:
n
1)

j 1
ij
 1, i  1, n
ij
 1, j  1, n
yamasa
n
2)

i 1
onda (3) iteraciyalıq processi, baskanǵısh juwıqlasıwdı saylap alıwdan ǵárezsiz,
berilgen sistemanıń jalǵız bir sheshimine jıynaqlı boladı.
Saldar. Berilgen (1) sisteması ushın
n
a x
j 1
ij
j
 bi ,
i  1, n
ápiwayı iteraciyalar usılı jıynaqlı boladı, egerde
aii   aij , i  1, n ,
(6)
j i
teńsizligi orınlatuǵın bolsa, yaǵnıy sistemanıń hár bir teńlemesindegi diagonal
koefficientleriniń moduli, onıń qalǵan barlıq koefficientleriniń modulleriniń
qosındısınan úlken bolsa.
3.2. Zeydel iteraciyalıq usılı.
Ápiwayı iteraciyalar usılı SATS lardı
sheshiwdiń tolıq adımlı stacionar iteraciyalıq usıllarınıń toparına tiyisli boladı. Endi
bunday sistemalardı sheshiwdiń bir adımlı stacionar iteraciyalıq usıllarına tiyisli
bolǵan Zeydel usılın qaraymız.
Meyli ayrıqsha emes matricalı( det A  0 )
A x  b
(7)
sisteması berilgen bolsın. Bul sistema qanday da bir usıl menen iteraciyalıq usıldı
qollanıwǵa qolaylı
x     x
(8)
kórinisine yamasa koordinataları boyınsha
n
xi  i  ij x j , i  1, n
(9)
j 1
keltirilgen dep uyǵaramız.
Zeydel usılı ápiwayı iteraciya usılınıń bazı bir ózgertirilgen túri bolıp
esaplanadı. Bunda x ( k 1) vektorınıń kelesi koordinatların esaplaǵanda, bul vektordıń
onıń aldında esaplanılǵan koordinatların sol waqıtta paydalanıwǵa tiykarlanǵan.
Meyli, x (0)  ( x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ) - (8), (9) sistemalardıń baslanǵısh juwıqlasıw
bolsın. Sonda Zeydel usılında sheshimge izbe iz juwıqlasıwlar tómendegishe
anıqlanadı.
Sheshimge birinshi juwıqlasıwdıń birinshi koordinatası ápiwayı iteraciya
usılılındaǵı sıyaqlı esaplanadı:
n
 ( k 1)
x



1 j x (jk ) ;

1
 1
j 1

n
 ( k 1)
( k 1)
(k )
 x2   2   2 j x1   2 j x j ;
j 2

.......................................................,

i 1
n
 x ( k 1)     x ( k 1)   x ( k ) ;


i
ij j
ij j
 i
j 1
j i

.........................................................,
n 1

 xn( k 1)   n   nj x (jk 1)   nn xn( k ) , k  0,1,2,...

j 1