O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
QORAQALPOG’ISTON RESPUBLIKASI
BERDAQ NOMIDAGI QORAQALPOQ DAVLAT
UNIVERSITETI
MATEMATIKA fakulteti
AMALIY MATEMATIKA kafedrasi
3G-guruh talabasi
Sherimbetova Sevaraning sonli usullar fanidan
“ Oddiy differensial tenglamalarni Adamsning ekstrapolyatsion
usuli bilan yechish ” mavzusida
MUSTAQIL ISHI
Bajardi:
S.Sherimbetova
Qabul qildi:
S.Xolmuratova
NUKUS-2023
Reja:
I.
II.
KIRISH
ASOSIY QISM
1. Oddiy differensial tenglama haqida
2. Adamsning metodlari
3. Adamsning ekstrapolyatsion metodi
III. XULOSA
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
KIRISH
Hayotimizdagi har qanday masala, har qanday jarayon, har
faoliyat ularga ixtisoslashgan rolini bajaradigan tegishli qoidalar,
ko’rsatmalar bilan tartibga solinadi. Binobarin, differensial
tenglamalar uni tadqiq etish va tahlil qilish uni vakolatli qo’llash
va tayyorlash, shuningdek bajaruvchining samarali ishlashi
uchun eng yaxshi tizimni yaratish uchun zarurdir.
XX asrning 80-60-yillarida ilm bilan texnikaning jadal
rivojlanishiga bog’liq oldin yechilmagan juda ham murakkab
bo’lgan matematik masalalarini yechish paydo bo’ldi.
Fizikaning va elektrotexnikaning jadal rivojlanishiga
bog’liq matematikaning qo’liga tez, jadal hisoblovchi EHMlar
berildi. Ularning yordamida avval yechish mumkin bo’lmagan
murakkab masalalarni yechish mumkin bo’ldi. Lekin bunday
masalalarni yechishning yangi, qulay, natijali usullarni yaratish
masalasi kelib chiqdi. Shu sababli XX asrning o’rtasida har xil
murakkab matematik masalalarning yechimlarini sonli natijaga
olib keladigan va bu masalalar uchun EHMlardan natijali
foydalanishning yo’llarini o’rgatadigan mtematikaning yangi
sohasi shakllanadi. Matematikaning bu sohasi hisoblash
matematikasi yoki sonli usullar deb yuritila boshlanadi.
Oddiy differensial tenglamalar haqida
tushuncha
Oddiy differensial tenglamalar deb, noma’lum funksiyalar,
ularning turli tartibli hosilalari va erkli o’zgaruvchilar ishtirok
etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda noma’lum funksiya i orqali
belgilangan bo’lib, birinchi ikkitasida i bitta erkli o’zgaruvchi t
ga, keyingilarda esa mos ravishda x, t va x, y, z erkli
o’zgaruvchilarga bog’liqdir. Differensial tenglama nazariyasi
XVII asr oxirida differensial va integral hisobning paydo
bo’lishi bilan bir vaqtta rivojlana boshlagan. Differensial
tenglama matematikada, ayniqsa uning tatbiqlarida juda katta
ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va
boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish oddiy
differensial tenglamani yechishga olib keladi.
Ikkinchi xususiy hosilali differensial tenglama bu
tenglamaning oddiy differensial tenglamadan farqi muhim
xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari
to’plami, ya’ni “umumiy yechimi” ixtiyoriy o’zgarmaslarga
emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog’liq bo’ladi. Umuman bu
ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga
teng. Ularning erkli o’zgaruvchilar soni esa izlanayotgan yechim
o’zgaruvchilari sonidan bitta kam bo’ladi. Bir noma’lumli
birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamani yechish oddiy
differensial tenglamasining sistemasini yechishga olib keladi.
Tartibi birdan yuqori bo’lgan xususiy hosilali differensial
tenglama nazariyasida Koshi masalasi bir qatorda turli
chegaraviy masalalar tekshiriladi. Koshi masalasining
qo’shimcha shartlari boshlang’ich shartlar ham deb yuritiladi.
Agar qo’shimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa,
ya’ni erkli o’zgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda
bunday masala chegaraviy masala deb yuritiladi. Bunday
masalaning qo’shimcha shartlari chegaraviy shartlar deb
yuritiladi.
Xususan, n=1 bo’lganda gap faqat Koshi masalasi haqida
ketadi.
Koshi masalasining qo’yilishiga misollar keltiraylik:
1) 11Equation Section (Next) y`= x
2) y``= y`+ x y , y(1)= 1 , y`(1)= 0
3
y
2
, y(1)= 2;
3
Bunday masalalarini analitik usullar bilan faqatgina maxsus
turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin.
Adamsning metodalari haqida
Adamsning interpolyatsion va ekstrapolyatsion metodlari
mavjud bo’lib. Shundan Adamsning interpolyatsion metodida
yechimning taqribiy qiymatini y gacha aniqlangan deb
yechimning taqribiy qiymatini
n
y n+ 1 ≅ y ( x n+1)
ni topish masalasi qaraladi.Yechimning
aniqlash uchun
x n+1
nuqtadagi qiymatini
y( x
xn +1
n+1
(1)
¿= y ( x n ) + ∫ y ( x ) dx
xn
formuladan foydalanamiz, lekin y`(x) ni [ x , x ] oraliqda
interpolyatsiyalash uchun jadvalning boshlang’ich qismidagi
uning qiymatlari va x nuqtadagi qiymatini ham ishtirok
ettiramiz, ya’ni interpolyatsiyalash usuli o’z ma’nosini saqlashni
ta’minlaymiz.
n
n+1
n+1
y`= f(x,y) (2)
y( x ¿= y (3)
0
0
Faraz qilaylik (2) va (3) Koshi masalasining yechimlari
x
,x
…x
aniqlangan bo’lsin. (1) formulada x= x + uh
almashtirish o’tkazsak, u quyidagi
n−k+1
n−k+2
n +1
y( x
n+1
0
n+1
¿= y n+ h ∫ y ( x0 +uh ) du
−1
ko’rinishga keladi va y x + uh
ni Nyutonning ikkinchi
interpolyatsion ko’phadiga almashtiramiz, ya’ni
n
y ' ( x n+ uh )= y ' ( x n+1 ) +
…+
bu yerda
u ( u+1 ) 2
u
∆ y ' (x¿ ¿ n)+
∆ y ' (x n−1 )¿ +…
1!
2!
u(u+1) k '
∆ y ( x n−k+1 ) +r k (u)
k!
(4)
r n ( u )=hk+1
u ( u+1 )∗(u+ k ) k+ 2
y (ε )
( k +1 ) !
x n−k+1 < ε=ε ( u )< x n +1 ;−1 ≤u ≤ 0
u holda
y ( x n+1 )= y ( x n ) +¿
1
1 2 '
1 3 '
'
'
k
+h y ( x n+1 )− ∆ y ( x n )− ∆ y ( x n−1) − ∆ y ( x n−2 ) +…+C k ∆ y ' (x n−k+1 ) + Rk
2
12
24
[
]
(5)
Bu yerda
0
C k =∫
−1
u ( u+1 ) …(u+ k−1)
du
k!
0
Rk =h
k +2
∫
−1
u ( u+1 ) … (u+ k ) ( k+2 )
y (ε) du
( k +1 ) !
(5) da qoldiq hadni tashlab yuborsak,
1
1 2 '
1 3 '
19 4 '
3 5 '
'
'
k '
y n+ 1= y n +h y n+1− ∆ y n − ∆ y n−1− ∆ y n−2−
∆ y n−3−
∆ y n −4−…+ Ck ∆ y n−k+ 2
2
12
24
720
160
[
(6)
ko’rinishga ega va Adams interpolyatsion
nomlanuvchi algoritmga ega bo’lamiz.
metodi
deb
Adams interpolyatsion metodini ham birinchi tartibli oddiy
differensial tenglamalar sistemasiga qo’yilgan Koshi masalasini
yechishda hech qanday qiyinchiliksiz qo’llash mumkin.
]
Adamsning ekstrapolyatsion metodi
Faraz qilaylik, (2) va (3) Koshi masalasining yechimi k+1 ta
[ x , x ¿oraliqdan chapda yotgan x , x , … , x nuqtalarda ma’lum
bo’lsin. U holda y`(x) ning ham bu nuqtalardagi qiymatlari
ma’lum bo’ladi.
n
n+1
n−k
x n+1
y ( x n+1 )= y ( x n ) + ∫ y ' ( x ) dx
xn
(8) da
x=x n +uh
n−k +1
k
(7)
almashtirish bajarsak, u
1
y ( x n+1 )= y n+ h∫ y ' ( xn +uh) du
0
(8)
ko’rinishda bo’ladi. y ( x + uh) funksiyani uning k+1 ta
qiymatlaridan foydalanib, Nyutonning ikkinchi interpolyatsion
ko’phadi bilan ekstrapolyatsion o’tkazamiz, ya’ni
'
n
'
'
y ( x n +uh ) = y ( x n ) +
u( u+1) 2 '
u ( u+1 ) … ( u+ k−1 ) k '
u
'
∆ y ( x n−1) +
∆ y ( x n−2 ) +…
∆ y ( x n−k ) +r k
1!
2!
k!
bu yerda
r n ( u )=hk+2
u ( u+1 )∗(u +k ) k+ 2
y (ε)
( k +1 ) !
x n−k <ε =ε ( u ) < x n+1 ; 0 ≤u ≤ 1
(8) ni (9) ga qo’yib integrallash amalini bajarsak,
(9)
y n+ 1= y ( xn ) + ¿
1
5
3
+h y ' ( x n ) + ∆ y ' ( x n−1 ) + ∆ 2 y ' ( x n−2 ) + ∆3 y ' ( x n−3 ) +…+C k ∆k y ' (x n−k ) + Rk
2
12
8
[
]
(10)
ga ega bo’lamiz. Bunda
0
C k =∫
−1
1
1
Rk =h∫ r k (u ) du=h k+2∫
0
0
u ( u+1 ) …(u+ k)
du
k!
(11)
u ( u+1 ) … ( u+k ) (k+ 2)
y (ε )du
( k +1 ) !
ning ifodasidagi integralda u ( u+1 ) … ( u+k ) [0,1] da ishora saqlaydi,
demak, o’rta qiymat haqidagi teoremaga asosan va y (x) ni
uzluksiz deb, qoldiq hadni
Rk
k +2
Rk =hk +2 C k+1 y (k +2) ( ε ) , x n−2 ≤ ε ≤ x n+1 (12)
ko’rinishda baholash mumkin. Uni baholasak
|R k|≤ hk +2 C k+2 max| y ( k+2 )(x )|
[ x0, X ]
(13)
ga ega bo’lamiz. Agar h> 0 yetarlicha kichik bo’lib, Koshi
masalasining yechimi esa (k+2) tartibli uzluksiz hosilaga ega
bo’lsa, R =o ( h( ) ) kattalikni e’tiborga olmasak ham bo’ladi. (10)
da R ni tashlab yuborsak, Adams ekstrapolyatsion metodi deb
nomlanuvchi
k+2
k
k
1
5 2
3 3
251 4
95 5
19087 6
5275
y n+ 1= y n +h y 'n + ∆ y ' n−1 + ∆ y n−2+ ∆ y ' n−3 +
∆ y ' n−4 +
∆ y ' n −5 +
∆ y ' n−6+
∆
2
12
8
720
288
60480
17280
[
(14)
formulaga ega bo’lamiz.
(14) formuladan yuqori tartibli chekli ayirma x
nuqtada
hisoblanganligi uchun hisoblash jarayonini n = k dan boshlash
x ,x ,…,x
mumkin, ya’ni
nuqtalardagi yechimning
qiymatlarini ( jadvalning boshlang’ich qismi ) topilgan bo’lishi
taqozo etadi.
n−k
0
1
k
(14) da k=0 desak, hisoblashning eng sodda, ya’ni
jadvalning boshlang’ich qismini qurish talab etilmaydigan
y n+ 1= y n +hf ( x n , y n)
(15)
qoida hosil bo’ladi. Buni Eyler metodi deyiladi. Uning oddiy
geometric ma’nosidan uni siniq chiziqlar metodi deb ham
aytiladi. (15) qoidaning xatoligi h tartibga egaligi (13) dan
ko’rinib turibdi va uning aniqligi amcha past.
2
Eyler metodidan aniqligi yuqori bo’lgan va (14)
ko’rinishga ega bo’lgan boshqa formulalar jadvalining
boshlang’ich qismi
larni qurish talab etiladi. Adams ekstrapolyatsion
metodining xatoligi bahosida noma’lum yechimning yuqori
tartibli hosilasi modulning maksimumi qatnashishi uning
amaliyotda qo’llash imkonini kamaytiradi. Amaliyotda k va h
larni tanlashda quyidagiga amal qilinadi.
y0 , y1 , … yk
Hisoblashlarda qatnashuvchi eng so’nggi chekli ayirma
tanlangan aniqlik chegarasida o’zgarmas bo’lishiga erishish
kerak. Buni quyidagicha izohlash mumkin: (14) formulada
birinchi tashlab yuboriladigan had berilgan aniqlikdagi
hisoblash natijasiga ta’sir qilmasligi kerak.
k ning o’sishi bilan (14) formula hadlarining moduli
bo’yicha kamayishi h<1 bo’lganda, asosan chekli ayirmalar
modulining kamayuvchanligi evaziga bo’ladi, ya’ni
k
k
∆ y ' n−k =o ( h ) .
Adams ekstrapolyatsion metodini birinchi tartibli oddiy
differensial tenglamalar sistemasiga qo’yilgan Koshi masalasini
yechishga qiyinchiliksiz qo’llash mumkin. Buni quyidagi
masalada ko’rsatamiz:
{
'
y =f ( x , y , z ) , y ( x 0 )= y 0 ,
'
z =g ( x , y , z ) , z ( x0 ) =z 0 .
Bitta tenglama holidagiga o’xshash ko’rinishda y(x) va
z(x) funksiyalar uchun (10) formula tipidagi tenglikni yozish
mumkin:
1
y ( x n+1 )= y ( x n ) +h y ' ( x n ) + ∆ y ' ( x n−1 ) +…+C k ∆ k y ' (x n−k ) + Rk
2
[
]
]
1
z ( xn +1 )=z ( x n ) +h z ' ( x n ) + ∆ z ' ( x n−1 ) +…+ Ck ∆ k z '( x n−k ) + R1k
2
[
Rk , R1k
larni e’tiborga olmasak, bulardan (14) ga o’xshash
1
k
y n+ 1= y ( xn ) + h y ' n + ∆ y ' n−1 +…+C k ∆ y ' n−k
2
[
[
1
z n+1= z ( x n ) +h z ' n + ∆ z ' n−1 +…+C k ∆k z ' n−k
2
],
].
hisoblash formulasiga ega bo’lamiz.
Agar biz yuqoridagi (6) formula bo’yicha hisoblash
jarayoni to’g’ridan-to’g’ri o’tkazilmaydi, chunki u
(16)
ko’rinishidagi tenglamalardir, bu yerda
ko’rinishga ega bo’lib,
funksiya
argumentlariga nisbatan ma’lum funksiyalardir. (16) tenglama
iteratsiya metodi bilan yechiladi, chunki u iteratsiya metodini
qo’llashdagi kanonik ko’rinishga ega. Agar
yechimning
ma’lum bir atrofida uzluksiz bo’lsa, u holda boshlang’ich
yaqinlashish yaxshi tanlangan bo’lsa yetarlicha kichik h uchun
iteratsion jarayonning yaqinlashishi ta’minlash mumkin. Odatda,
h shunday tanlanadiki, berilgan aniqlikka erishish uchun bitta
yoki ikkita iteratsiya yetarli bo’lishi kerak. Shuni alohida
ta’kidlaymizki, boshlang’ich yaqinlashish deb, (10) formula
bilan topilgan qiymat maqsadga muvofiqdir. Amaliyotda
Adamsning (6) va (10) formulalari hisoblash jarayonida ketmaket navbati bilan ishlatiladi. Shuning uchun (6) va (10)
formulalar predikator-korrektor deb ham ataladi.
Ko’pincha hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun (6) va
(10) formulalarda ishtirok etuvchi chekli chekli ayirmalar
funksiyaning qiymatlari orqali ifodasiga almshtiriladi va k ning
berilgan qiymatlarida Adams ekstrapolyatsion va interpolyatsion
formulalari mos ravishda quyidagi ko’rinishda bo’ladi:\
Yechimning
nuqtadagi qiymatini topishda undan
farqli va bittadan ko’p bo’lgan nuqtadagi yechimning qiymatlari
ishtirokida topiladigan metodlar ko’p qiymatli metodlar deyiladi.
Xususan, Adams metodlari ko’p qadamli metodlardir.
Xulosa
Hоzirgi vaqtda ilm fan muammоlarini hal qilishda
matеmatik mоdеllashtirish asоsida hisоblash tехnоlоgayalaridan
ko’p fоydalanilmоqda. Bunda albatda Sоnli usullar fanini
o’rganish muhim ahamiyatga ega. Ushbu kurs talabalarni
matеmatik masalalarni kоmpyutеr yordamida yеchishda
qo’llaniladigan hisоblash algоritmlarini ishlab chiqishga
o’rgatishga bag’ishlanadi. Matеmatik mоdеllashtirish va
kоmpyutеr da dasturlash bоsqichlari оrasida jоylashgan Sоnli
usullar matеmatika bo’yicha malakali mutaхassis tayyorlashda
muhim ahamiyatga ega.
Xulosa o’rnida shuni ta’kidlash lozimki, ta’limning barcha
sohalarida hayotimizga kirib kelayotgan yangi kompyuter
texnologiyalaridan foydalanib, ta’lim sifati va samarasini
oshirish hamda takomillashtirilish zarur. Ta’lim jarayonida yangi
kompyuter texnologiyalaridan foydalanilishi o’qituvchi va
o’quvchi faoliyati uchun ta’lim jarayonini jadallashtirishga
yordam beruvchi psixologogik-pedagogik ishlanmalar, ta’lim
g’oyalarini rivojlantiruvchi butkul yangi imkoniyatlarni beradi,
bu esa ta’limda yangi uslub va tashkiliy shakllar yuzaga
kelishiga hamda ularni tezkor ta’lim jarayoniga joriy etish
imkonini beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Mirziyoev Sh.M. Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy
javobgarlik – har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi
bo’lishi kerak. Mamlakatimizni 2016 yilda ijtimoiy-iqtisodiy
rivojlantirishning asosiy yakunlari va 2017 yilga mo’ljallangan
iqtisodiy dasturning eng muhim ustuvor yo’nalishlariga
bag’ishlangan
Vazirlar
Mahkamasining
kengaytirilgan
majlisidagi ma’ruza,2017 yil 14 yanvar’ –Toshkent,
O’zbekiston, 2017. -104b.
2. Исроилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1-2 қисм. Тошкент:
Ўқитувчи. 2008 й.
3. Kahaner D., Mowler K., Nash S. Raqamli usullar va dasturiy
ta'minot (ingliz tilidan tarjima qilingan) .. - Ed. ikkinchidan,
stereotip .. - M . : Mir, 2001. - 575 b. - ISBN 5-03-003392-0 .
4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. –М.: Наука,
1989.
5. Smith G.D. Numerical Solution of Partial Differentsial
Equations: finite difference methods 3rd ed. – Oxford University
Press, 1986. 350 p.
6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. –М.:
Физматгиз, т. 1,изд.3, 1966, т.2 -1962.
7. Boltachev G.Sh. Issiqlik fizikasidagi sonli usullar. Ma'ruza kursi
8. N.S. Baxvalov, N.P. Jidkov, G.M. Kobelkov. Raqamli usullar.
9. 3-nashr, Moskva. BINOM, Bilimlar laboratoriyasi, 2004, 636 b.
10. N.N. Kalitkin, E.A. Alshina. Raqamli usullar: 2 ta kitobda.
Kitob.
Internet saytlar
1.
http://www.intuir.ru
2.
http://ziyonet.uz
3.
http://www.mathcad.com
4.
http://exponenta.ru
5.
http://www.maplesoft.com