工程力学
Engineering Mechanics
ISSN 1000-4750,CN 11-2595/O3
《工程力学》网络首发论文
题目：
斜拉桥面内多重内共振下索-梁-索耦合效应的数值研究
作者：
陈柯帆，李源，贺拴海，王康，卓鸿杰，宋一凡
收稿日期：
2022-08-20
网络首发日期：
2022-12-02
引用格式：
陈柯帆，李源，贺拴海，王康，卓鸿杰，宋一凡．斜拉桥面内多重内共振下
索-梁-索耦合效应的数值研究[J/OL]．工程力学.
https://kns.cnki.net/kcms/detail//11.2595.O3.20221201.1327.002.html
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网络首发时间：2022-12-02 08:56:34
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第 xx 卷第 xx 期
Vol.xx No.xx
20xx 年 xx
xxx.
月
工
20xx
程
ENGINEERING
力
学
MECHANICS
1
文章编号：1000-4750(xxxx)xx-0001-15
斜拉桥面内多重内共振下索-梁-索
耦合效应的数值研究
陈柯帆1，李
源1,2，贺拴海1,2，王
康1，卓鸿杰1，宋一凡1,2
(1. 长安大学公路学院，陕西，西安 710064；2. 长安大学 旧桥检测与加固技术交通行业重点实验室，陕西，西安 710064)
摘
要：斜拉桥相邻拉索间局部模态频率非常接近导致结构易发生多重内共振，振动时索-索间耦合效应通过主
梁传递或将影响结构动力特性而加剧拉索振动。针对此问题，该文考虑索-梁几何非线性，基于多点弹性支承主
梁的集中质量参数体系离散方法，建立了八索-变截面梁的斜拉桥面内整体动力学模型。通过有限差分法和
Galerkin 方法得到了动力学模型的振动方程组，采用特征值法求解其面内自由振动模态参数并对比了有限元计
算结果。运用 4 阶~5 阶 Runge-Kutta 方法对运动方程进行了数值仿真，结果表明：与不同阶竖向整体模态耦合
产生的斜拉索振动彼此间相互独立，能量转换仅发生在共振拉索与对应结构整体模态之间。当多根拉索同时与
结构某阶整体模态耦合并产生多重“1∶1”内共振时，索-梁-索耦合效应将影响拉索的动力特性。面内竖向第
7 阶整体模态下的索-梁-索耦合效应为激励作用，在此效应影响下，拉索的最大振幅接近单索内共振的 2 倍；此
激励效应与拉索间距呈反相关，而与拉索质量、锚固点对应的振型幅值呈正相关。
关键词：桥梁工程；内共振；数值仿真；模态耦合；索-梁-索耦合效应
中图分类号：U448.27
文献标志码：A
doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2022.08.0720
NUMERICAL ANALYSIS OF THE CABLE-BEAM-CABLE COUPLED
EFFECT UNDER THE IN-PLANE MULTIPLE INTERNAL RESONANCE IN
CABLE-STAYED BRIDGES
CHEN Ke-fan1 , LI Yuan1,2 , HE Shuan-hai1,2 , WANG Kang1 , ZHUO Hong-jie1 , SONG Yi-fan1,2
(1. School of Highway, Chang’an University, Xi’an, Shaanxi 710064, China;
2. Key Laboratory of Bridge Detection & Reinforcement Technology Ministry of Communications, Chang’an University, Xi’an, Shaanxi 710064, China)
Abstract: In cable-stayed bridges, the frequencies of adjacent cables’ local modes are close in value, resulting in
the high probability of multiple internal resonances in the vertical plane. During the resonance, the coupled effect
between cables transmitted by the beam, also named the coupled effect of cable-beam-cable, might intensify the
cable’s vibration by changing the dynamic properties of the structure. To investigate the mechanism, considering
the geometric non-linearity of the cable-beam, a dynamic model, with eight cables and a variable-section beam, is
established. The beam with multi-elastic supports in the model is reduced to a novel integrated dynamic system
composed of discrete parametric lumped-mass beam segments. The dynamic equations of the model are obtained
by the Galerkin method and amended by the difference methods. The modal properties of the model are solved by
the eigenfunctions and verified by the finite element method. Moreover, the dynamic equations were numerically
simulated by the 4th~5th-order Runge-Kutta method. The simulation results show that when the local modes of
收稿日期：2022-08-20；修改日期：2022-11-08
基金项目：国家自然科学基金项目(51978062)；陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2020JQ-377，2021JM-174，2022JQ-415)
通讯作者：李
源 (1988−)，男，陕西西安人，副教授，博士，主要从事桥梁结构损伤研究 (E-mail: liyuan@chd.edu.cn).
作者简介：陈柯帆 (1995−)，男，四川洪雅人，博士生，主要从事桥梁非线性动力学研究 (E-mail: kfchen@chd.edu.cn);
贺拴海 (1962−)，男，陕西洛川人，教授，博士，副校长，主要从事桥梁结构理论研究 (E-mail: heshai@chd.edu.cn);
王
康 (1997−)，男，陕西商洛人，硕士生，主要从事结构动力学研究 (E-mail: 2020221005@chd.edu.cn);
卓鸿杰 (1998−)，男，四川成都人，硕士生，主要从事桥梁结构理论研究 (E-mail: 2020221014@chd.edu.cn);
宋一凡 (1960−)，男，江苏徐州人，教授，博士，主要从事结构动力学研究 (E-mail: syf@chd.edu.cn).
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cables are ‘1∶1’ coupled with different global modes, the vibration of cables are independent of each other, and
the energy conversion only occurs between the resonant cable and the corresponding global mode. When multiple
cables are simultaneously coupled to the global mode of a certain order, the phenomenon of multiple internal
resonances can be observed in the model. The coupled effect of cable-beam-cable would affect the characteristics
of resonated cables during the multiple resonances. Particularly, the coupled effect is mainly the excitation effect
when coupled with the in-plane vertical global mode of the 7th-order. If the coupled effect was considered, the
vibration amplitude of the cable would be excited to nearly twice that of the single internal resonance.
Additionally, the coupled effect is inversely correlated with the distance between the cables and is positively
correlated with the cable mass and the amplitude corresponding to vibration mode at the anchored position.
Key words: bridge engineering; internal resonance; numerical simulation; coupled modes; coupled effect of
cable-beam-cable
斜拉索作为大跨径斜拉桥的主要承力构件，
动特性的影响；CAO 等[24] 通过建立主梁的分段函数，
与主梁、桥塔等构成的缆索体系结构整体柔度
将主梁依拉索等效为若干独立梁段并通过拉索锚固
大、刚度低，存在拉索的局部模态，亦存在结构
处的边界条件对不同子系统的振动方程进行求
的整体模态，具有复杂的非线性动力行为 。当外
解，得到了斜拉桥四索系统的常微分方程组；Guo 等[25]
荷载作用于桥梁结构上时，结构的整体模态运动
建立了双水平索-塔的动力学模型，研究了塔的扭
将通过拉索锚固端对其运动产生周期性的间接激
转效应对结构参数振动的动力行为影响；孙测世
励。若局部-整体模态频率满足一定比例关系 [2]，
等[26] 建立了带辅助索的长索振动模型，研究了减振方法。
微小的外激励也将引起结构发生剧烈内共振行为[3 − 4]。
当前，斜拉桥跨径越建越大，拉索也越来越长，
[1]
迄今已在多个国家实桥中监测到具有此特征的拉
且多为密索、对称布置。其中，相邻或对称的拉
索剧烈振动，为桥梁的安全运营带来了极大风险 。
索局部模态频率数值上相近，而短索和长索的局
[5]
、车桥耦合 等直接激励引起的全
部频率也可能同时与结构相邻两阶竖向振型满足
桥振动而言，间接激励作用下的斜拉桥内共振行
“1∶1”的比例关系。在这两种情况下，多根拉
为致振因素更多、更隐蔽，引起了国内外学者的
索的局部模态将同时与结构的整体模态耦合而产
广泛关注。传统依托有限元软件建立数值模型分
生多重“1∶1”内共振。此时共振的拉索将通过
析缆索结构的非线性振动问题具有较高局限性，需
桥面改变另一根拉索的动力特性，或将进一步加
要深度优化索单元及其数值分析方法[9 − 12] 以缓解
剧结构振动 [16 − 17, 27]。因此，研究此索-梁-索耦合
低效率问题。WARNITCHAI 等[13]、MACDONALD
效应对开展精细化分析并有效避振非常重要。然
等[14]、GATTULLI 等[15]、孙测世等[16 − 17]、吴庆雄
而除少量文献 [27] 外，目前几乎未见针对此耦合
等
效应的理论研究。现下仍存在着大量理论无法解
较风雨
[18]
[6 − 7]
[8]
先后进行了动力试验，观测到斜拉索局部模
态与结构整体模态耦合产生的丰富内共振行为，
释试验、试验无法指导设计现象，对于斜拉桥整体
其试验结果为建立更精细化斜拉桥整体动力学模
动力学建模理论与分析方法仍有待更深入的开展[28]。
型提供了重要参考。在理论研究方面，由于斜拉
为研究斜拉桥多重内共振下的索-梁-索耦合效
桥结构的复杂性，以及非线性动力学研究方法对
应变化规律，本文通过离散主梁参数质量体系建
于多自由度问题的局限性，现有学者只能基于不
立了新的斜拉桥面内整体动力学模型。该模型考
同研究目的，建立能够解释斜拉桥部分动力行为
虑了多索-梁的几何非线性、主梁变截面和变弯曲
产生机理的简化模型。其中，康厚军等
通过
刚度影响、拉索间振动影响作用，通过有限差分
建立主梁的传递矩阵，针对多索-梁结构[19]、悬索
法修正了斜拉桥面内运动模型的振动微分方程
结构 [20]、多索-拱 [21 − 22] 进行了深入的理论研究，
组，依托 4 阶~5 阶 Runge-Kutta 积分方法对方程
讨论了索力、二次项系数等参数对于结构共振特
组进行了数值仿真，讨论了在局部-整体模态耦合
性的影响；诸俊
发生多重“1∶1”内共振下的索-梁-索耦合效应问
[23]
[19 − 22]
通过回传射线矩阵法求解了双
索-梁的动力学模型的振动方程，分别研究了支点
题。本文提出的斜拉桥整体动力学模型更加精细，
变化位移作用、拉索损伤等因素对结构非线性振
研究结果可为斜拉桥设计提供参考。
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固点处附近的主梁单独设有横向连接，其截面参
斜拉桥面内整体动力学模型
数与主梁的其他截面不同。因此，定义 E1 和 I1 表
1.1 主梁集中质量参数体系与结构整体构型
示未与拉索相连的无索区梁段的弹性模量与竖向
为有效模拟具有分布质量的变截面主梁在多
弯曲惯性矩；E2 和 I2 表示有索区梁段的弹性模量
截面轴力、多点弹性支承作用下的动力行为，不
与竖向弯曲惯性矩。在此基础上，考虑斜拉桥塔
考虑主梁纵向运动对振动的影响，将主梁按等间
为刚性桥塔，将主跨为 120 m 的斜拉桥主梁按照
距离散为集中质量参数体系，如图 1 所示。
2 米 1 个节段 ( d = 2m ) 划分为 59 个独立梁段 (1≤
图 1 中各独立梁段两侧存在剪力与轴力作
j≤59, J=59)，从左至右依次编号并定义为 B1#~
用，可在离散参数体系中模拟连续主梁的弯曲刚
B59#，建立 8 索-变截面梁的动力学模型如图 2 所
度作用。在多数斜拉桥实际工程中，各斜拉索锚
示，各拉索锚固点坐标如表 1 所示。
Ci#
Ci#
E1, I1
无索区
无索区
有索区
E2, I2
连续主梁微元段
Fig. 1
主梁参数质量体系
图 1 主梁参数质量体系简化过程
The reduced process of the integrated dynamic system composed of lumped-mass beam segments
图3. 拉索微元段受力示意图
C4#
C1#
C5#
B59#
B1#
θ1
θ8
B12#
Fig. 2
C8#
图4. 有索区主梁微元段受力示意图
B24#
B36#
B48#
图 2 基于离散化主梁参数质量体系的斜拉桥面内整体动力学模型
The in-plane global vibration model of a cable-stayed bridge established based on the integrated dynamic system composed
of lumped-mass beam segments
Table 1
表 1 拉索锚固坐标
The anchored coordinate of cables
拉索编号/Ci#
锚固点坐标/xbj
梁段编号Bji#
C1#
24m
B12#
C2#
32m
B16#
C3#
40m
B20#
C4#
48m
B24#
C5#
72m
B36#
C6#
80m
B40#
C7#
88m
B44#
C8#
96m
B48#
义“Ci#”和“Bj#”分别表示第 i 根拉索和第 j 个
梁段；定义 xbj 表示主梁纵向坐标；θci 表示拉索与
主梁大里程方向夹角。
1.2
索、梁微元段受力分析
取图 2 中拉索的微元段受力示意图如图 3 所示。
yci
xci
Tin +
本文约定下标“c、b”分别代表索、梁的相
关参数；i 和 j 分别表示对拉索和梁段的计数，定
Tin
mciaci
Fig. 3
δTin
dsci
δsci
mci g
图 3 拉索微元段受力示意图
The force diagram of Ci# in the dynamic state
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上图中，Tin 表示为拉索微元段起始点处的切
向动索力，由式 (1) 定义； xci 表示拉索弦向坐
标；yci 表示拉索横向坐标；mci 表示 Ci#沿 xci 的单
位长度质量；aci 表示 Ci#在 yci 方向上的加速度；
g 表示重力加速度，本文中取 9.8 m/s2。假设拉索
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因此，拉索振动时，轴向拉力的单位动增量为：
dxci
hci = Eci Aci · εci ·
≈
dsci
(
)
(
)
∂Uci ∂vci ∂wci 1 ∂vci 2 dxci dxci 2
·
Eci Aci ·
+
·
+
(7)
∂xci ∂xci ∂xci 2 ∂xci
dsci ds0ci
质量沿轴向均匀分布 [27, 29 − 30]，根据拉索微元段在
上式中，Eci 和 Aci 分别表示 Ci#的弹性模量及横截
yci 方向的平衡关系，由达朗伯原理可得到拉索微
面积。将上式在 xci 方向积分，可得拉索振动的轴
元段的振动平衡方程[1, 9, 20, 29 − 30]：
∂ (wci + vci )
T in = (T ci + τci )
∂sci
向动拉力表达式为：
)
wL
Eci Aci (
hci ≈
hci · dxci
· Uci +
0
Lci
i
(1)
∂T in
∂vci
· dsci + mci dxci g cos θci = mci dxci aci + cci dxci
(2)
∂sci
∂t
上式中，sci 表示为 Ci#的动态弧长；Hci 和 Tci 分别
表示 Ci#在 xci 方向和切向的初始索力；hci 和 τci 分
别 表 示 Ci#在 xci 方 向 和 切 向 的 动 态 索 力 ；
wci(xci) 表示为拉索的静平衡线形；uci(xci,t) 表示拉
(8)
拉索振动时，其下端与 Bji#运动关联，因此其
边界条件为：
vci (0, t) = uci (0, t) = 0
(
)
uci (Li , t) = −vb j xb j , t sin θci = −Vb j · sin θci
(
)
vci (Li , t) = −vb j xb j , t cos θci = −Vb j cos θci
i
i
i
i
i
i
(9)
(10)
(11)
索 在 xci 方 向 的 振 动 位 移 ； vci(xci,t) 表 示 拉 索 在
上式中，vbj(xbj,t) 表示 Bj#的竖向位移表达式，按
yci 方 向 的 振 动 位 移 ； 定 义 Vci(t) 和 Vbj(t) 表 示 为
照本文的主梁集中质量参数体系简化方法，Bj#的
Ci#和 Bj#振动时与时间相关的形状变化因子。为
竖向位移即为 Vbj。将式 (9)~(11) 代入式 (5)~(8)，
方便表达，后将 uci(xci,t) 、vci(xci,t)、wci(xci) 简写
积分、化简后同式 (3)~(4) 代入式 (2)，消掉索力轴
为 uci、 vci、 wci； 将 Vci(t) 和 Vbj(t) 简 写 为 Vci 和
向平衡多项式，可得拉索振动方程：
Vbj。由于拉索的横向振动相对于整体而言仍属于
微小运动，且若仅考虑拉索的低阶振动模态，拉
索的横向与纵向振动模态间不存在相互作用 [31]，
因此忽略拉索的纵向惯性力作用，并将拉索轴向
与切向几何关系作如下简化[32]：
T ci
τci
dsci ds0ci
=
=
≈
Hci hci dxci dxci
wl
(ε0ci + εci ) · dxci =
εci =
0
w l d∆s
w l ∂U
ci
ci
· dxci +
· dxci
0 ∂xci
0 ds0ci
mci · v̈ci + cci · v̇ci −
[
]
wL
w L 1( )
′ ′
′ 2
−Vb j sin θci +
wci vci · dxci +
vci · dxci ·
0
0 2
(wci + vci ) − Hci · vci = 0
(12)
i
i
i
′′
′′
′′
上式中“′”表示对轴向坐标的偏导；“·”表示对
(3)
时间的偏导。为得到 Bj#的运动方程，取图 2 中有
索区梁段竖向运动的受力示意图如图 4 所示。
ci
ci
Hci+hci
ci
(4)
γb( ji−1, ji)
γb( ji, ji+1)
Mbji
上式中，Li 表示 Ci#上下锚固点在 xci 方向上的距
Nb( ji−1, ji)
离；Lci 表示 Ci#的静态长度，由式 (5) 定义； εci 表
示 为 平 均 动 应 变 ； ε0ci 表 示 为 初 始 平 均 动 应 变 ；
··
MbjiVbji
Uci 表示 Ci#在 xci 方向的伸长量； ∆sci 表示相对于
初始状态的弧长动增量。
w L ds ( ds )2
ci
0ci
Lci =
·
dxci ≈
0 dxci
dxci
( )2
w L ( ds )3
Dci
ci
dxci = Li · 1 + 8 ·
0
dxci
lci
Fig. 4
i
Fb( ji, ji+1)
Nb( ji, ji+1)
·
c· bjiVbji
图 4 有索区主梁微元段受力示意图
The force diagram of Bji# in the dynamic state
无索区梁段与有索区梁段的受力区别仅与索
i
上式中，Dci 表示为 Ci#中点处的垂度：
mci gLi 2
Dci =
· cos θci
8Hci
Fb( ji−1, ji)
(5)
(6)
力相关，根据狄拉克函数 δ 的性质，依据达朗伯
原理和图 4 对 Bj#进行受力分析：
− Mb j V̈b j − cb j V̇b j − Fb( j−1, j) + Fb( j, j+1) +
Nb( j−1, j) · γb( j−1, j) − Nb( j, j+1) · γb( j, j+1) +
(Hci + hci ) cos θci · δ ( j − ji ) = Mb j g
(13)
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5
上式中，γb(j−1, j) 表示 Bj−1#和 Bj#面内运动的转
特性，因此 EbjIbj 对 Bj−1#和 Bj+1#的振动皆有交
角；Fb(j−1, j) 与 Fb(j, j+1)，Nb(j−1, j) 与 Nb(j, j+1) 分别表
互的影响作用，如式 (23) 中的第 3 至 7 个多项式
示为 Bj#左右侧剪力与轴力。依据梁段间微元段左
所示。此外，对于不同结构体系的斜拉桥，需根
侧弯矩平衡可得：
据实际结构修正式 (21) 和 (22)，在求得新的 B1#
M b j − M b j−1
=
d
Eb j Ib j v′′b j (xb j , t) − Eb j−1 Ib j−1 v′′b j−1 (xb j−1 , t)
与 BJ#运动方程后可得该结构的面内整体运动方程。
Fb( j−1, j) =
d
1.3
(14)
上式中，为区分质量符号，取 M b j 表示为主梁在 Bj#
位置处的弯矩。假设分段足够密集，可采用差分法
对 Bj#处位移偏微分方程及几何关系进行简化[30, 32 − 33]：
[(
)
(
) ]
vb j (xb j , t)′′ ≈ Vb j+1 − Vb j /d − Vb j+1 − Vb j /d /d (15)
cos γb( j−1, j) ≈ 1
(16)
sin γb( j−1, j) ≈ γb( j−1, j)
(17)
Vb j − Vb j−1
γb( j−1, j) ≈ tan γb( j−1, j) =
(18)
d
无索区梁段左右侧轴力大小相等，方向相
反，如式 (19)；有索区梁段左右侧轴力差为该拉
索索力的水平分力，由于索力动拉力相对于整体
较小，主梁轴力仅考虑初始索力，如式 (20)。
Nb( j−1, j) = −Nb( j, j+1)
(19)
− Nb( j −1, j ) + Nb( j , j +1) = Hci cos θci
(20)
i
i
i
i
图 4 中主梁左右侧为简支端，其边界条件为：
Vbe− = Vbe+ = 0
(21)
M e− = M e+ = 0
(22)
斜拉桥面内整体动力学模型的运动方程
为便于找到斜拉桥的内共振形式，采用拖拽
法定义第 k 阶结构构件的模态表达式为[34]：
(k)
(k)
φc1 (xc1 )
vc1 (xc1 , t)
..
..
.
.
N
∑ φ (x )(k)
vc8 (xc8 , t)
c8 c8
vb1 (xb1 , t) =
0
k=1
..
..
.
.
vb59 (xb59 , t)
0
T
fc1 (xc1 )
..
.
N
∑
fc8 (xc8 )
(k) · Vb j
φb1 (xb1 )
k=1
..
.
(k)
φb59 (xb59 )
T
· Vci +
(24)
上式中，φci(xci)(k) 与 φbj(xbj)(k) 分别表示 Ci#与 Bj#在
第 k 阶整体模态下的振型表达式；fci(xci) 表示与梁
模态振型和结构几何边界条件相关的模态拖拽函
数，定义其基本形式为[32, 34]：
xci
fc1 (xc1 ) = − · cos θci
Li
(25)
采用三角函数形式作为拉索振型基函数[18, 29]，
上式中“e−、e+”分别表示主梁左右侧边界。假
如式 (26)；构造拉索面内横向一阶振动位移表达
设振动发生前系统处于平衡状态，消掉重力式
式如式 (27) [1, 9, 20, 29, 32]：
kπ xci
φci (xci )(k) = ψ(k)
ci sin
Li
后，将 (15)~(22) 代入式 (13) 可得 Bj#主梁振动方程：
Eb j−1 Ib j−1
Mb j V̈b j + cb j V̇b j +
· Vb j−2 −
d3 )
(
2Eb j−1 Ib j−1 + 2Eb j Ib j
· Vb j−1 +
d3
(
)
2Eb j−1 Ib j−1 + 4Eb j Ib j + 2Eb j+1 Ib j+1
· Vb j −
d3 )
(
2Eb j Ib j + 2Eb j+1 Ib j+1
Eb j+1 Ib j+1
· Vb j+1 −
· Vb j+2 +
3
d
d3
i−1
∑
2Vb j − Vb j+1 − Vb j−1
Hci cos θci ·
+
d
i=1
(
)
Vb j − Vb j+1
Hci cos θci ·
· δ( j − ji ) =
d
hci sin θci · δ( j − ji )
(1 < j < 59)
(23)
上式中，因假设主梁不同截面存在不同弯曲刚度
(26)
∑
xci
· cos θci · Vb j +
φci (xci )(k) · Vci
Li
k=1
N
vci (xci , t) = −
i
(27)
式中 ψci(k) 表示为 Ci#第 k 阶模态的振幅；选用拉
索高精度二次抛物线线形表达式为[20, 29]：
(
)
mci gLi 2 · cos θci xci xci 2
wci (xci ) =
− 2
2Hci
Li Li
(28)
由于张紧弦的自由振动，低阶基本模态占据
主要地位 [35]。为简化多余计算量，本文仅考虑拉
索的一阶局部模态，即取式 (27) 中 k=1，连同将
(25) 代入式 (12)，并应用 Galerkin 方法进行拉索
的 1 阶模态截断，整合式 (23) 后可以得到图 2 所
示系统的面内自由运动方程组：
工
6
程
学
构的模态参数：
V̈ci + Γci,1 · Vci + Γci,2 · V̈b j + Γci,3 · V̇ci + Γci,4 · V̇b j +
i
力
i
(k)
[ψ(k)
N , ωN ] = eig[TN ]
Γci,5 · Vci2 + Γci,6 · Vci 3 + Γci,7 · Vb j + Γci,8 · Vb2 j +
i
i
Γci,9 · Vb2 j Vci + Γci,10 · Vb j Vci = 0
i
(29)
i
i
i
上 式 中 ， ψ(k)
N 表 示 为 TN 前 k 阶 的 特 征 向 量 ， 由
(k)
ψ(k)
ci 和 ψb j 组成，亦表示为结构的前 k 阶振幅矩阵；
V̈b j + Γb j,1 · Vb j + Γb j,2 · V̇b j + Γb j,3 · Vb2 j + Γb j ,4 · Vci +
Γb j ,5 · Vci2 + Γb j,6 · A · Vb j + Γb j,7 · D · Vb j = 0
(30)
上式展开后为定义了结构面内运动的常系数
齐次微分方程组，其中加粗符号表示矩阵，各多
项式系数具体形式列于附录 1。式 (30) 中 A 为剪
力影响矩阵，表征了图 1 中离散化的主梁质点系
统振动时受到的来自于不同拉索的间接影响和主
梁弯曲刚度作用；D 为轴力影响矩阵，表征了主
梁质点系统振动时受到的不同索力水平分量影响。
此外，从整体动力方程看，在多重内共振发
生时， Ci#振动将影响 Bji#振动，而由于剪力和轴
力 作 用 ， Bji#的 振 动 将 影 响 Bji+1#， 进 而 影 响
Ci+1#，因此振动时索-索间的相互影响效应将通
过主梁的剪力、轴力效应进行传递，即式 (29) 和
ω(k)
N 表 示 为 TN 前 k 阶 的 特 征 值 ， 亦 为 结 构 的 前
k 阶固有振动频率列向量。将解得的第 k 阶 Γci,1 对
(k)
应的 ψ(k)
ci 和 ωN 代入式 (27)，即可解得在结构 Nk 阶
模态下对应的拉索的振动位移；而主梁作为离散
的质点系， ψ(k)
b j 对应了第 k 阶整体模态下各个梁段
的形状变化坐标 Vbj，以质点序号依次连接即为主
梁的第 Nk 阶模态振型。若将式 (27) 中拉索的模态
阶 次 放 到 N 阶 且 主 梁 无 穷 细 分 ， 则 TN 有 N 个
解，升序依次排列即为图 1 结构的第 1 阶至第
N 阶固有频率。而本文仅考虑了拉索的一阶频
率，则求解得到的 ω(k)
N 中仅包含有拉索的 1 阶固有
振动模态频率，其余为结构的面内竖向固有振动
模态频率。
(30) 反映了多重内共振下的索-梁-索耦合效应。
3
算例模态分析
面内振动模态的特征值解法
3.1
基础工况参数
2
基于式 (29) 和 (30) 行列式关系，构造系统的
固有振动特征根方程[36]：
TN · VN = 0
(36)
(31)
本文的基础工况 (简称 CC1) 算例参数参考自
西北地区一座三跨、双塔混凝土斜拉桥，定义的
主梁参数如表 2 所示；拉索参数如表 3 所示。
上式中，下标“N” 的参数表示结构面内固有振
Table 2
动模态参数，定义“Nk”表示结构面内第 k 阶固
表 2 主梁参数取值 (CC1)
The parameters of the main beam under CC1
位置
有振动模态参数，另定义 “Vk ”结构面内第 k 阶
µmbj /(kg/m)
Ebj /GPa
Ibj /m4
无索区
23650
28.0
0.41
竖向固有振动模态参数；TN 表示结构特征对角矩
有索区
86000
31.5
1.15
阵，由式 (32) 定义；VN 表示结构各构件形状变化
因子的对角矩阵，由式 (33) 定义：
[
]
Ωci
TN =
Ωb j
[
]
VN = Vci ; Vb j
(32)
(33)
上式中，Ωci 与 Ωbj 分别为拉索和主梁质点系的局
部模态特征对角矩阵，其对角元素 Ωci 与 Ωbj 分别
为 Ci#和 Bj#局部模态的振动频率：
Γc1,1
..
Ωci = Γci,1 =
.
Γc8,1
Ωb j = Γb j,1 + Γb j,6 · A + Γb j,7 · D
(34)
表 3 拉索参数取值 (CC1)
Table 3 The parameters of cables under CC1
编号
mci/ (kg/m)
Eci /GPa
Aci /cm2
Li /m
θci /rad
Γci,1/Hz
C1#
58.10
200
17.97
39.60
2.22
1.23
C2#
65.10
200
19.97
46.61
2.33
1.10
C3#
65.10
200
22.30
54.02
2.40
0.99
C4#
70.10
200
25.03
61.66
2.46
0.91
C5#
68.10
200
24.50
59.64
0.64
0.94
C6#
65.10
200
22.03
51.60
0.68
1.03
C7#
65.10
200
21.50
43.73
0.75
1.15
C8#
60.10
200
17.97
36.12
0.84
1.31
3.2
模态分析与验证
(35)
采用商业有限元软件 (MIDAS/CIVIL) 对上述
式 (32) 中的 TN 实际是关于系统固有振动频
结构建模，其中拉索用桁架单元模拟，初始索力
率 ωN 的超越方程，对 TN 进行特征值求解可得结
用桁架单元内力输入。主梁用梁单元模拟。两种
(k)
工
程
力
学
7
单元长度皆为 1 m。采用子空间迭代法对自重作用
法 (简称 FEM) 与本文方法 (简称 ASM) 得到的结
下的结构进行面内模态特征分析。汇总有限元方
构 N1~N5 阶模态振型如图 5 所示。
F
E
M
(i) N1
(ii) N2
(iii) N3
(iv) N4
(v) N5
(I) N1
(II) N2
(III) N3
(IV) N4
(V) N5
A
S
M
Fig. 5
图 5 两种方法得到的结构前五阶固有振动模态对比图
The natural modal shapes of the first-5 orders obtained by these two methods
如图 5 所示，本文方法计算得到的振型结果
C1#~C8#的振动响应图如图 6 所示。
与有限元计算结果较吻合。图 5 中，结构前三阶
图 6 中 可 以 清 晰 观 测 到 ， 在 CC1 工 况 条 件
模态的模态局部化参数 ΛB [16, 24, 37] 超过了 80%，是
下，无拉索产生明显的耦合内共振。引入系数 χci
结构的 V1~V3 阶整体模态。根据此汇总两种方法
表 4 结构前 10 阶竖向固有振动频率计算结果
Table 4 The vertical natural vibration modal properties of the
first-10 orders vertical modes
得到 V1~V10 阶整体模态频率值如表 4 所示。
对 比 表 4 中 两 种 方 法 得 到 的 结 构 V1~V10
阶模态频率计算结果，最大误差为 3.2%，平均
模态阶数
误差为 1.4%，进一步验证了本文方法适用性与准
计算结果(Hz)
FEM
ASM
Error (%)
V1
0.4888
0.4788
2.0
V2
0.6049
0.6162
1.9
V3
0.7889
0.7843
0.6
V4
1.2054
1.1897
1.3
V5
1.8413
1.8234
1.0
V6
2.5597
2.5358
0.9
V7
3.4689
3.4441
0.7
V8
4.4434
4.4299
0.3
0.001 s，在跨中 (B30#) 增加 0.1 m 的竖向初始挠
V9
5.5040
5.6103
1.9
度，不考虑结构阻尼作用，运行 200 s 后可以得到
V10
7.2778
7.0418
3.2
确度。
数值解析与讨论
4.1 竖向振型激励作用下的“拍”振现象
采用4~5 阶Runge-Kutta 方法，运用SIMULINK/
MATLAB 建立了数值仿真模型，计算基础步长为
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
CC1-C1#
0.02
0
−0.02
0.01
振动位移/m
CC1-C5#
CC1-C2#
CC1-C6#
0.01
0
−0.01
CC1-C3#
CC1-C7#
0.01
0
−0.01
0.01
0
0
−0.01
−0.01
0.02
CC1-C4#
CC1-C8#
0.01
0
0
−0.02
−0.01
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
运行时间/s
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
运行时间/s
图 6 CC1 工况下，各拉索位移响应图
Fig. 6 The vibration response of cables under CC1
振动位移/m
4
工
8
程
力
表 示 Ci#拉 索 局 部 频 率 (Ωci) 增 量 ， 由 式 (37) 定
0，此时 Ωc5 =ωV(3)，运行时长为 200 s。
义；κci(k) 表示 Ci#拉索局部频率与结构竖向第 k 阶
运用快速傅里叶变换方法 (简称为 FFT) 分别
模态频率 (ωci ) 的靠近程度，由式 (38) 定义
：
√
(37)
Ωci = Γci,1 + χci
|Ωci − ωV (k) |
,
k=1
ωV (k)
{
}
κ(k)
=
(38)
ci
|Ωci − ωV (k) | |Ωci − ωV (k−1) |
,
,k , 1
min
(k)
(k−1)
(k)
对 C3#和 C5#振动响应进行分析，各拉索振动响应
[24, 32]
ωV
学
图如图 7(a)~7(b) 所示，其频谱图如图 7(c)~7(d) 所示。
图 7(a) 和 7(b) 中，C3#和 C5#产生了鲜明的耦
合“拍”振，振动位移也远大于图 6 中响应曲线
数值。从对应 7(c) 和 7(d) 可以看到，C3#和 C5#此
ωV
时分别与竖向第 5 阶模态和竖向第 3 阶模态发生
了“Ωc3∶ωV(5)=1.82∶1.8233”、“Ωc5∶ωV(3)=0.795∶
改变 χci 即可调整 Ci#的局部模态频率值 (Ωci)
至与结构的第 k 阶整体模态频率满足“1∶1”比
0.7843”的“1∶1”内共振。研究表明 [38]，“拍”
值关系，使得 κci(k)=0。在 CC1 基础上，设定 2#工况：
频内共振的存在完全是由系统的非线性动力特性
决定的，其非线性项系数对内共振影响较大 [39]。
1) 2-1#工 况 (CC2-1)： 改 变 χc3 值 使 得 κc3(5)=
因此图 7 结果也进一步验证了本文提出的动力学
0，此时 Ωc3 =ωV(5)，运行时长为 200 s;
模型能有效模拟结构的非线性动力行为。
2) 2-2#工 况 (CC2-2)： 改 变 χc5 值 使 得 κc5 =
(3)
0.01
CC2-1-C5#&κc3(5)=0 0.02
CC2-1-C1#&κc3(5)=0
0
0
−0.01
CC2-1-C2#&κc3(5)=0
CC2-1-C6#&κc3(5)=0 0.01
0
−0.01
CC2-1-C3#&κc3(5)=0
CC2-1-C7#&κc3(5)=0 0.01
0
−0.01
0.050
0.025
0.
−0.025
−0.050
0
−0.01
0.02
CC2-1-C8#&κc3(5)=0 0.01
CC2-1-C4#&κc3(5)=0
0
0
−0.02
−0.01
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
运行时间/s
运行时间/s
(a) 当κc3(5)=0时，各拉索位移响应图(CC2-1)
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
0
−0.05
0.01
CC2-2-C2#&κc5(3)=0
CC2-2-C6#&κc5(3)=0 0.01
0
−0.01
CC2-2-C3#&κc5(3)=0
CC2-2-C7#&κc5(3)=0 0.01
0
−0.01
0.01
0
0
−0.01
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.01
0
−0.01
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
运行时间/s
运行时间/s
(b) 当κc5(3)=0时，各拉索位移响应图(CC2-2)
动/m
0.035
FFT-C3#&κc (5)=0
0.20
0.15
CC2-2-C8#&κc5(3)=0 0.01
CC2-2-C4#&κc5(3)=0
X 1.820
Y 0.198
0.030
0.025
动/m
振动位移/m
CC2-2-C5#&κc5(3)=0 0.05
CC2-2-C1#&κc5(3)=0
0.020
X 0.795
Y 0.031
FFT-C5#&κc5(3)=0
振动位移/m
振动位移/m
0.01
振动位移/m
−0.02
CC2-2-C4#&κc5 =0
0
−0.01
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
运行时间/s
运行时间/s
工
程
力
学
(b) 当κc5(3)=0时，各拉索位移响应图(CC2-2)
0
0.035
FFT-C3#&κc3(5)=0
0.20
振移位动/m
CC2-2-C8#&κc5 =0
0.030
X 1.820
Y 0.198
0.15
X 0.795
Y 0.031
0.025
振移位动/m
0.02
0
−0.02
−0.04
0.10
0.05
9
FFT-C5#&κc5(3)=0
0.020
0.015
0.010
0.005
0
1
2
3
4
频率/Hz
(c) 当κc3(5)=0时，C3#响应的FFT图
5
0
1
2
3
4
频率/Hz
(d) 当κc5(3)=0时，C5#响应的FFT图
5
图 7 CC2#工况条件下，拉索响应图与频谱图
Fig. 7 The response and spectrogram of cables under CC2#
4.2 与不同阶整体模态耦合时的索-梁-索耦合效应
研究表明
3#工况条件如下：
，外部激励施加于主梁产生的结
3#工况 (CC3)：在跨中处施加初始振幅 (V0B30#=
构面内整体模态，与该作用点处对应振型的振型
0.1 m，‘0’下标表示初始状态，下同)，分别改变
参与系数密切相关。若在跨中处施加初始振幅激
χc3、χc7 值使得 Ωc3= ωV(5) 且 Ωc7= ωV(3)。
[32]
励，由于该作用点处偶数阶振型的振型参与系数
通过比较图 8(a) 与 8(b)、8(c)，发现在 C3#和
为避免上述干扰，研究多索与不同阶竖向模态耦
条件后，两索各自产生了“拍”特性明显的内共
合 时 的 索 -梁 -索 耦 合 效 应 ， 基 于 CC2 工 况 设 置
振，各索的最大振幅约初始状态的 5 倍。由图 8(d)
CC3-C3#χc3=0&χc7=0
−0.01
CC3-C3#κc3(5)=0&χc7=0
CC3-C7#κc3(5)=0&χc7=0
−0.01
0
0.015
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(b) 仅Ωc3=ωV(5)，C3#和C7#的振动响应
CC3-C3#χc3=0&κc7(3)=0
0.005
CC3-C7#χc3=0&κc7(3)=0
−0.005
−0.015
0
0.050
0.025
0
−0.025
−0.050
0.01
0
0.06
0.03
0
−0.03
−0.06
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(c) 仅Ωc7=ωV(3)，C3#和C7#的振动响应
CC3-C3#κc3(5)=0&κc7(3)=0
0
振动位移/m
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(a) 原状态下，C3#和C7#的振动响应
振动位移/m
振动位移/m
振动位移/m
0.005
0.025
0
−0.025
−0.050
0.01
0
−0.01
0
振动位移/m
CC3-C7#χc3=0&χc7=0
0
CC3-C7#κc3(5)=0&κc7(3)=0
0.06
0.03
0
−0.03
−0.06
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(d) 当Ωc3=ωV(5)且Ωc7=ωV(3)，C3#和C7#的振动响应
图 8 CC3 工况条件下，C3#和 C7#的振动响应图
Fig. 8 The vibration response of C3# and C7# under CC3
振动位移/m
0.01
振动位移/m
C7#分别与 V5 和 V3 阶整体模态频率满足“1∶1”
振动位移/m
数值上为零，则无法激励主梁产生偶数阶模态。
工
10
程
力
学
可得，当系统中存在两拉索与不同阶整体模态耦
由图 10 可得，在两个子工况条件下，各拉索
合引发多重内共振时，两索同振下的振幅和
皆产生了剧烈的内共振。其中，ξci 的最大差值发
“拍”频周期与单索单振时基本一致。这表明在
生 在 C4#处 ， 但 仅 为 0.0047 m。 此 外 ， C4#在
多根拉索与不同阶的竖向模态耦合产生“1∶1”
CC4-1 和 CC4-2 下 的 时 程 曲 线 变 化 规 律 基 本 一
内共振时，仅存在共振索与结构对应竖向模态间
致，表明当多索同时与不同阶整体模态耦合产生
存在能量交换。为了验证这个推测，引入参数
内共振时，满足条件且共振的拉索仅与其对应阶
ξci 表示 Ci#的振幅最大值，选取 8 索锚固点处的整
次的结构整体模态发生能量转换作用，未满足共
体模态振型振幅 (MAGci ) 皆不为零的 V7 阶整体
振条件的拉索不参与内共振系统能量转换。
(k)
模态作为研究对象，V7 阶整体模态下各拉索锚固
点处振型振幅如图 9 所示。
B12#
MAGc6(7)
B16#
MAGc1(7)
B20#
B24# B36#
局部
放大后
0.8
B48#
ξci/m
水平线
CC4-1
CC4-2
0.9
B40#
0.7
0.9294
0.9247
0.6
图 9 V7 阶有索区梁段位置与其对应的 MAGci(7)
Fig. 9 The anchored position and its corresponding MAGci(7)
of the V7-order global mode
C4#
0.5
0.4
保留原 CC3 基础模型、参数取值、运行设置
C1# C2# C3# C4# C5# C6# C7# C8#
拉索编号
不变，设置 4#工况：
4-1#工况 (CC4-1)：依次改变 χc1~χc8 使得各拉
索将分别与 V7 阶模态耦合产生“1∶1”内共振。
此时系统中仍保留所有拉索参与系统内能量交换。
4-2#工况 (CC4-2)：在 CC4-1 基础上，将其他
拉索简化为竖向弹性支承[18]，确保 Ci#发生内共振
时，动力系统中仅余留 Ci#拉索且结构整体模态的
与同阶整体模态耦合时的索-梁-索耦合效应
为研究与同一阶整体模态耦合时的索-梁-索耦
合效应，基于 CC3 工况设置 5#工况条件如下：
5#工况 (CC5)：在跨中处施加初始振幅 (V0B30#=
0.005
CC5-C5#χc2=0&χc5=0
−0.01
−0.005
振动位移/m
−0.015
0.08
0.04
0
−0.04
−0.08
0
0.03
CC5-C5#κc2(3)=0&χc5=0
0.01
−0.01
0
−0.03
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(b) 仅κc2(3)=0，C2#和C5#的振动响应
0.08
CC5-C5#χc2=0&κc5(3)=0 0.04
0
−0.04
−0.08
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(c) 仅κc5(3)=0，C2#和C5#的振动响应
CC5-C2#χc2=0&κc5(3)=0
0.005
−0.005
振动位移/m
−0.03
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(a) 原状态下，C2#和C5#的振动响应
CC5-C2#κc2(3)=0&χc5=0
0.015
−0.015
0.01
0
CC5-C2#κc (3)=0&κc (3)=0
CC5-C5#κc (3)=0&κc (3)=0
−0.02
−0.04
−0.08
−0.06
运行时间/s
运行时间/s
振动位移/m
CC5-C2#χc2=0&χc5=0
振动位移/m
0.03
0.015
振动位移/m
汇总 C2#和 C5#振动响应如图 11 所示。
振动位移/m
汇总两子工况下的 ξci 如图 10 所示。
振动位移/m
4.3
0.1 m)，分别改变 χc2、 χc5 值使得 Ωc2=Ωc5= ωV(3)。
振型及频率未发生变化。
振动位移/m
图 10 在 CC4-1 和 CC4-2 中，各拉索的 ξci 变化折线图
Fig. 10 The variation trend of ξci under CC4-1 and CC4-2
CC5-C5#χc =0&κc (3)=0
−0.005
−0.04
−0.08
−0.015
运行时间/s
工
程
力
振动位移
振动位移
CC5-C2#χc =0&κc (3)=0
运行时间/s
学
11
0.08
0.04
0
−0.04
−0.08
0.06
CC5-C2#κc2(3)=0&κc5(3)=0
CC5-C5#κc2(3)=0&κc5(3)=0
0.02
−0.02
0
−0.06
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
运行时间/s
运行时间/s
(d) 当κc2(3)=κc5(3)=0，C2#和C5#的振动响应
振动位移/m
振动位移/m
(c) 仅κc (3)=0，C2#和C5#的振动响应
图 11 CC5 工况条件下，C2#与 C5#的振动响应图
Fig. 11 The vibration response of C2# and C5# under CC5
对比图 11(a)、11(b)、11(c) 和 11(d)，发现在
现多索同时与某一阶整体模态耦合产生多重“1∶1”
C2#和 C5#同 时 与 V3 阶 整 体 模 态 频 率 满 足
内共振现象，由于索-梁-索耦合效应有可能表现为
“1∶1”条件时，两索产生了“拍”特性明显的
是激励作用，激励产生的共振幅值或将达到单索
内共振，其最大振幅约是激励前的 6 倍。与 4.2 小
结构下的 2 倍。显然，这样条件下的设计是偏不
节中研究结果不同的是，当两索与同一阶整体模
安全的。然而，斜拉桥实际内共振行为非常丰
态耦合并产生多重内共振后，其共振特性发生了
富，索-梁-索耦合效应具体为激励或抑制作用，需
两点显著变化：①激励后的拉索最大振幅变小；
与对应结构整体模态进行数值分析后判定。
②“ 拍 ” 的 周 期 及 振 幅 等 特 性 发 生 变 化 。 结 合
μci(7)/%
4.2 节研究成果，可以解释文献 [27] 中的研究现
象，该研究中双斜拉索同时与代表了主梁的质量
块第 1 阶整体模态耦合产生多重内共振，所以一
根拉索的振动会通过桥面影响到另一根拉索的振
第 k 阶竖向振型激励作用下受到的多索效应被激
4.4
上式中，ξcis 表示系统中仅存在 Ci#共振时的
ξci；ξcim 表示同一系统中存在多索同振时的 ξci。显
然，当µci(k)>0 时，索-梁-索耦合效应体现为激励作
用；当µci <0 时，索-梁-索耦合效应体现为抑制作
(k)
用。为研究在不同阶结构竖向振型影响下的索-梁索耦合效应，基于 CC5 工况条件设置了 6#工况：
6#工况 (CC6)：通过改变 χci，使各个拉索分
C1
C3 C4 C5 C6 C7
依次加入共振的拉索编号
C8
图 12 CC6 工况下，多索同振时µci(k) 的变化曲线
Fig. 12 The variation trend of µci(k) under CC6 while
multi-cables are vibrating
时的索-梁-索耦合效应，引入µci(k) 表示 Ci#拉索在
(39)
κci(7)=0
κci(5)=0
κci(3)=0
C2
动特性。为进一步研究多索与同阶竖向模态耦合
励程度，由式 (39) 定义：
ξm − ξ s
μci (k) = ci s ci × 100%
ξci
200
150
100
50
0
−50
多索同振的激励与被激励效应影响性分析
为精细分析两索与同阶整体模态耦合时的激
励与被激励作用，同样选定频率数值较大的 V7 阶
整体模态在此作为研究对象。图 9 中， V7 阶整体
模态下各拉索锚固点处振型振幅满足关系式：
(7)
(7)
(7)
MAG(7)
c1 ≈ MAG c3 ≈ MAG c6 ≈ MAG c8
(40)
(7)
(7)
MAG(7)
c3 > MAG c2 ≈ MAG c7 >
(7)
MAGc4
≈ MAG(7)
c5
(41)
通过不重复地两两组合 Ci#拉索与 Cq#(q≠i) 拉
别与 V3、V5、V7 阶整体模态耦合发生“1∶1”
索并分别改变 χci 和 χcq，使得 Ωci≈Ωcq≈ωV(7)。此
内共振。需要说明的是，由于 C1#连接的 B12#在
时，µci(k) 曲线说明了共振时 Ci#被其他拉索激励效
第 5 阶竖向振型下该梁段振幅值为 0(MAGci(k)=0)，
应程度，展示了 Ci#的被激励效应；而 µcq(k) 曲线
所以略微调整拉索加入共振的顺序。汇总µci(k) 如
则说明了共振时 Ci#激励其他拉索的激励效应程
图 12 所示。
度，展示了 Ci#的激励效应。此外，考虑到系统内
图 12 可得，与 V7 阶整体模态耦合产生的索-
共振中拉索的共振强度与其总质量 (Mci) 息息相关[29]，
梁 -索 耦 合 效 应 主 要 体 现 为 激 励 作 用 ， 而 V3 和
改变 C2#、C6#拉索单位长度质量使得 C2#、C3#
V5 的耦合效应主要体现为抑制作用。工程中斜拉
和 C6#总质量一致。基于此变化设置了 7#工况：
桥大多为密索体系设计，相邻拉索参数变化不大
而导致其局部模态频率数值上非常接近，容易出
7-1#子工况 (CC7-1)：在 C1#、C3#、C6#、C8#
的 MAGci(7) 相同的情况下，变化 χc1、χc3、χc6、χc8，
工
12
程
力
学
使得此 4 索分别与另外 7 索同时与 V7 阶整体模态
小，同时由于 C6#和 C7#的总质量较 C2#和 C3#更
耦合产生的索-梁-索耦合效应。此时，i∈{1, 3, 6,
小 ， 因 此 在 同 等 条 件 下 ， C2#和 C3#的 µci(7) 和
8}，q∈[1, 8]。汇总µci(7)、µcq(7) 如图 13 所示。
µcq(7) 的值都略大于 C6#和 C7#。
κc3(7)=0
κc1(7)=0
(a)
40
20
0
20
20
μcq(7)/%
μcq(7)/%
20
0
C1# C3# C5# C7#
图 13 CC7-1 工况下， µci 、µcq 变化曲线
Fig. 13 The variation trend of µci(7) and µcq(7) under CC7-1
(7)
图 13 中µci(k)、µcq(k) 皆大于 0，再次验证了本
文 4.3 小节结论，即 V7 阶整体模态影响下的索-
C2# C4# C6# C8# — (Cq#)
40
60
(b)
(7)
κc7(7)=0 — (Ci#)
40
2
60
κc6(7)=0
0
C1# C2# C3# C4# C5# C6# C7# C8# — (Cq#)
40
κc3(7)=0
(a) (c)
60
μci(7)/%
60
μci(7)/%
κc2(7)=0
κc8(7)=0 — (Ci#)
κc6(7)=0
(b) (d)
图 14 CC7-2 工况下，µci(7)、µcq(7) 的变化曲线
Fig. 14 The variation trend of µci(7) and µcq(7) under CC7-2
5
结论
梁 -索 耦 合 效 应 表 现 为 激 励 作 用 。 从 图 13(a) 可
针对斜拉桥发生多重“1∶1”内共振时索-索
得，µc1(k) 与µc8(k) 整体高于µc3(k) 与µc6(k)，表明拉索
间耦合效应将通过主梁传递而改变结构动力特性
总质量越大，其被激励产生的振幅最大值越小，
的问题，本文考虑索-梁几何非线性，建立了新的
因此受到的共振激励作用越明显。此外，与
8 斜拉索-变截面梁的动力学模型，运用有限差分
C1#~C4#共 振 时 µc1 大 ， 而 与 C5#~C8#共 振 时
法及 Galerkin 方法得到了斜拉桥动力方程组，分
µc8 较大，说明索-梁-索耦合效应与同振拉索的间
析了在多重内共振影响下的索-梁-索耦合效应，得
距有关，其间距越小，激励作用越明显。图 13(b)
到以下结论：
(k)
(k)
中的µc3 与µc6 整体高于µc1 与µc8 ，表明拉索
(k)
(k)
(k)
(k)
(1) 通过对比有限元方法结果，验证了本文建
质量越大，对其他拉索产生的激励效应越显著。
立的动力模型及其特征值解法能较为准确计算结
总的来讲，图 13 反映了当 MAGci 相同时，质量
构固有振动模态参数，针对运动方程的数值仿真
越大的拉索受到的被激励效应越小，而产生的激
结果观察到某根拉索局部模态频率与竖向某一阶
励效应越大；共振拉索间距越短，被激励与激励
整体模态频率比值满足“1∶1”时引发的“拍”
效应都会更加显著。
的内共振现象，验证了本文模型的非线性动力特性。
(k)
为讨论 MAGci 值对索-梁-索耦合效应的影
(k)
响，基于 CC7-1 工况设置了 7-2#工况：
(2) 当多索与不同阶次整体竖向模态耦合而产
生的多重“1∶1”内共振时，发生共振的拉索振
7-2#工况 (CC7-2)：在 C2#、C3#、C6#质量相
同 且 皆 大 于 C7#的 情 况 下 ， 变 化 χc2、 χc3、 χc6、
χc7， 使得此 4 索分别与另外 7 索同时与 V7 阶整
动彼此相互独立，内共振下的系统能量交换仅发
生于共振拉索与其对应阶次的整体模态之间。
(3) 当多索与同一阶竖向整体模态耦合产生多
体 模 态 耦 合 产 生 的 索 -梁 -索 耦 合 效 应 。 此 时 ，
重内共振时，索-梁-索耦合效应将改变结构的振动
i∈{2, 3, 6, 7}，q∈[1, 8]。汇总µci 、µcq 如图 14
特性。其中面内竖向第 3 阶与第 5 阶整体模态下
所示。
的索-梁-索耦合效应为抑制作用，而第 7 阶为激励
(7)
(7)
对比图 14(a) 和图 14(b)，在拉索总质量相同
作用。当多索同时面内竖向第 7 阶整体模态耦合
时，MAGc2(k) 值较小，其激励效应更显著，而被
时，考虑了索-梁-索耦合效应的拉索最大幅值接近
激 励 效 应 更 微 弱 ； 相 同 的 结 论 在 图 14(c) 和 图
仅考虑单索内共振时的 2 倍。
14(d) 得到了更进一步的验证，由于 C7#对应振型
(4) 相 邻 间 距 越 小 的 索 -梁 -索 耦 合 效 应 越 显
振幅值较小，因此关于 C7#的µci 更大而µcq 更
著，其激励效应与拉索质量、振型对应幅值呈正
(7)
(7)
工
程
力
相关，而被激励效应与此两者呈反相关。
(5) 本文建立斜拉桥整体动力学模型更贴近工
[9]
程实际结构，基于数值仿真的研究结果首次揭示
了多重内共振下的索-梁-索耦合效应机理。下一步
的研究将在动力系统的精细化模拟研究、拉索的
高阶模态非线性共振分析等方面进行。
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程
力
学
15
111198.
附录：
式 (29) 与 式 (30) 中 ， V̈ci , Vci , V̈b ji , V̇ci , V̇b ji , Vb ji ,
Vb2 j ,
i
2,
Vci
Vci Vb ji ,
Vci Vb2 j ,
i
3 表示为相同形式的
Vci
量； V̈b j , Vb j , V̇b j , Vb2 j 表示为相同形式的
i
8 维列向
59 维列向量，为
避免赘述，仅取 V̈ci 和 V̈b j 如下所示：
V̈ci = {V̈c1 , V̈c2 , · · · , V̈ci , · · · , V̈c8 }T
V̈b j = {V̈b1 , V̈b2 , · · · , V̈b j , · · · , V̈b59 }T
(A1)
(A2)
Hci cos θci
· δ( j − ji )+
M b ji
(Eb j−1 Ib j−1 + 4Eb j Ib j + Eb j+1 Ib j+1 )/Mb j d3 , 1 < j < 59
(4Eb j Ib j + Eb j+1 Ib j+1 )/Mb j d3 , j = 1
(E
3
b j−1 Ib j−1 + 4E b j Ib j )/Mb j d , j = 59
(A15)
Γb j,2 =
此外， Γci,1 , Γci,2 , Γci,3 , Γci,4 , Γci,5 , Γci,6 , Γci,7 , Γci,8 ,
Γci,9 , Γci,10 与 Γb j,1 , Γb j,2 , Γb j,3 , Γb j,4 , Γb j,5 则分别表示为相
cb j
Mb j
Γb j,3 = −
Γ
c1,1
Γci,1 =
Γ
b1,1
Γb j,1 =
..
..
.
.
Γc8,1
Γb59,1
Γb j,4 = −
Hci π2 512Eci Aci Dci 2
+
Li 2 mci
Li 3 Lci mci π2
2 cos θci
Γci,2 = −
(A3)
(A4)
(A7)
(A8)
(A9)
Eci Aci π4
4Li 3 Lci mci
(A10)
32Eci Aci Dci sin θci
Li 2 Lci mci π
8Eci Aci Dci 8Eci Aci fci cos 2θci
Γci,8 = 3
+
Li Lci mci π
Li 3 Lci mci π
Γci,7 = −
Eci Aci π2
Eci Aci π2 cos 2θci
+
4Li 3 Lci mci
2Li 3 Lci mci
Eci Aci π2 sin θci
Γci,10 = −
Li 2 Lci mci
(A11)
(A12)
(A13)
(A14)
∑ 2Hci cos θci
Eci Aci sin2 θci
· δ( j − ji ) +
+
Mb j Lci
Mb j d
i=1
i−1
Γb j,1 =
i
(A18)
Γb j,5 = −
Eci Aci π2 sin θci
· δ( j − ji )
4Li Lci Mb j
(A19)
Γb j,6 =
1
Mb j d3
(A20)
Γb j,7 =
1
Mb j d
(A21)
式 (30) 中，A 和 D 是一个 59×59 的矩阵，与主梁边界
条件相关。本文中主梁左右侧边界为简支，在此条件下，
(A6)
π
Γci,9 =
16Eci Aci Dci sin θci
· δ( j − ji )
Li Lci π Mb j
i
(A5)
cci
Γci,3 = −
mci
2cci cos θci
Γci,4 = −
πmci
24Eci Aci Dci π
Γci,5 =
Li 3 Lci mci
Γci,6 =
(A17)
i
矩阵的各主元系数形式如下所示：
Γci,1 =
Eci Aci cos2 θci sin θci
· δ( j − ji )
2Li Lci Mb j
i
同形式下的 8 阶和 59 阶对角矩阵。为避免赘述，仅取
Γc,1 和 Γb,1 如下所示：
(A16)
为简化表达，定义 Pp 和 Pp,q 表达式为：
P p = Ebp Ibp
(A22)
P p,q = Ebp Ibp + Ebq Ibq
(A23)
剪力影响矩阵 A 形式为：
0
−2P1,2
P2
0
−2P j, j+1
P j+1
−2P1,2
..
..
.
.
0
A = P j−2 −2P j−1, j
..
..
.
.
0
−2P J−1,J
P J−1
−2P J−1,J
0
(A24)
轴力影响矩阵 D 形式如下所示：
0
0
. .
..
..
.
.
.
0
0
γ1
i−1
i
∑
∑
γ
0
γi
i
D =
i=2
i=2
..
..
.
.
I
∑
γi
i=1
上式中，γi=Hcicosθci。
. .
.
0
(A25)