CHIEREGATO MARCO
INDICE
LA SQUADRATURA …………………………………………………………Pag. 3
TIPI DI LINEE E NORME DI SCRITTURA………………………………. Pag. 5
LEGGI FONDAMENTALI DEL DISEGNO……………………………… Pag. 12
IL PUNTO E LA LINEA……………………………………………………. Pag. 13
TAVOLA N ° 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE ………………………Pag. 14
GLI ANGOLI ………………………………………………………………. Pag. 16
LUOGHI GEOMETRICI ………………………………………………….. Pag. 17
TAVOLA N ° 2 COSTRUZIONI GEOMETRICHE ………………………Pag. 18
IL TRIANGOLO ……………………………………………………………. Pag. 20
I QUADRILATERI …………………………………………………………. Pag. 21
TAVOLA N ° 3 POLIGONI REGOLARI DI LATO DATO………………Pag. 22
TAVOLA N ° 4 TRIANGOLI ……………………………………………….Pag. 24
TAVOLA N ° 5 QUADRILATERI ………………………………………… Pag. 26
TAVOLA N ° 6 QUADRILATERI ………………………………………… Pag. 28
TAVOLA N ° 7 POLIGONI REGOLARI ………………………………… Pag. 30
LA CIRCONFERENZA ……………………………………………………. Pag. 32
TANGENZE E RACCORDI ………………………………………………. Pag. 33
TAVOLA N ° 8 TANGENZE ……………………………………………… Pag. 34
TAVOLA N ° 9 TANGENZE ………………………………………………. Pag. 36
TAVOLA N ° 10 RACCORDI ……………………………………………. Pag. 38
TAVOLA N ° 11 RACCORDI ……………………………………………. Pag. 40
TAVOLA N ° 12 TANGENZE E RACCORDI……………………………. Pag. 42
TAVOLA N ° 13 TANGENZE E RACCORDI …………………………… Pag. 44
TAVOLA N ° 14 TANGENZE E RACCORDI …………………………… Pag. 46
CURVE POLICENTRICHE PIANE ……………………………………… Pag. 48
TAVOLA N ° 15 CURVE POLICENTRICHE PIANE E LA SPIRALE DI
ARCHIMEDE ………………………………………………………………. Pag. 48
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CURVE FONDAMENTALI ………………………………………………..Pag. 50
TAVOLA N ° 16 ELLISSE …………………………………………………Pag. 54
TAVOLA N ° 17 PARABOLE …………………………………………… Pag. 56
TAVOLA N ° 18 IPERBOLE ………………………………………………Pag. 58
TAVOLA N ° 19 LA SPIRALE DI’ ARCHIMEDE ………………………Pag. 60
TAVOLA N ° 20 LAVORO DI’ GRUPPO ……………………………….. Pag. 62
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LA SQUADRATURA
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TIPI DI LINEE E NORME DI SCRITTURA
Le linee rappresentano gli elementi fondamentali di un disegno tecnico. In un disegno le linee
si distinguono in base a due attributi: il tipo e lo spessore. I tipi e gli spessori di linea che è
possibile utilizzare sono stabiliti dalla normativa. Le norme che soprassiedono al tracciamento
delle linee costituiscono le regole di rappresentazione. Di solito in un disegno ad una linea di
determinato spessore e tipo si associa un significato specifico. Ad esempio il tipo e lo spessore
varieranno in relazione al fatto che la linea rappresenti, a seconda dei casi, uno spigolo in
vista, uno spigolo nascosto, una quota e così via. Come ad un determinato spessore e tipo di
linea si associ un particolare significato è stabilito dalle regole di applicazione.
Le regole di applicazione possono variare in relazione al settore tecnico cui il disegno si
riferisce. Quindi una linea di uguale tipo e spessore potrebbe avere diverso significato in due
disegni relativi a due contesti tecnici differenti.
La normativa sulle linee è stata recentemente modificata. In Italia, fino al 1/4/2002 era in
vigore la norma UNI 3968 la quale, dalla data indicata, è stata sostituita dalla EN ISO 12820. La differenza sostanziale è che la prima rappresenta un normativa di rappresentazione
ed applicazione, la seconda è soltanto una normativa di rappresentazione. Sebbene la UNI
3968 sia stata ritirata, è comunque opportuno conoscerla, in quanto gran parte dei disegni
tecnici civili ed industriali, nonché, ovviamente, lo storico esistente, fa riferimento ad essa.
La grossezza di una linea (in pratica il suo spessore) è rappresentato dalla dimensione
trasversale della linea. In un disegno è possibile utilizzare soltanto 2 grossezze, pertanto, in
base allo spessore, le linee si dividono in grosse e fini. In un disegno il rapporto tra la
dimensione trasversale delle linee grosse e la dimensione trasversale delle linee fini non deve
essere inferiore a 2. La dimensione trasversale (in mm) delle linee grosse e fini deve essere
scelta tra i valori della seguente serie:
0.18 0.25 0.35 0.50 0.70 1.0 1.4 2.0
I tipi di linea considerati dalla norma sono di seguito elencati. Ciascun tipo è associato ad una
lettera, pertanto, quando, ad esempio, si dirà “linea tipo A”, si intenderà linea continua grossa.
Si noti che le linee cosiddette miste debbono intendersi come linee tratto lungo-tratto breve, e
non come linee tratto-punto.
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La normativa stabilisce in maniera dettagliata i campi di applicazione dei vari tipi di linea,
come mostrato nel prospetto che segue.
NOTA: sebbene le linee tipo C e D, siano tra loro intercambiabili, in uno stesso disegno deve
essere utilizzato un solo tipo di linea.
Se si sovrappongono due o più linee di tipo differente viene dato il seguente ordine di
priorità:
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Esempi di applicazione di linea continua grossa
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LEGGI FONDAMENTALI DEL DISEGNO
1.
2.
3.
4.
Per un punto passano infinite rette
Una retta contiene infiniti punti
Due punti determinano una retta
Due rette determinano un punto
I punti si indicano con lettere maiuscole e se è un punto generico si indica con la lettera P
Le rette si indicano con lettere minuscole e se è una retta generica si indica con la lettera “r” .
Se un disegno si vuole indicare tutta la lunghezza del segmento si scrivono le due lettere dei
due punti che lo compongono e poi si mette una linea sopra di esse .
Una retta può essere spezzata se è composta da diversi segmenti.
Una retta può essere orizzontale o verticale dopo aver determinato l’orientamento del foglio
Una retta può essere parallela e non parallela.
Due rette si dicono convergenti quando convergono in un punto ben preciso invece si dicono
divergenti quando partono da un punto ben preciso e si divergono in direzioni ben diverse
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IL PUNTO E LA LINEA
Come in tutte le discipline scientifiche anche nella
geometria si adotta una terminologia specifica,
finalizzata a definire con precisione tutto ciò che si
vuole trattare. Si riportano pertanto in queste
schede le principali definizioni geometriche.
Due rette sono parallele se, pur appartenendo allo
stesso piano non hanno punti in comune, ossia non
si incontrano,
Enti o elementi geometrici
Sono i punti, le linee, i piani, le figure piane e
solide dotate di determinate caratteristiche.
Figura geometrica
È un insieme di elementi geometrici.
Punto
È l'ente geometrico più semplice; esso è privo di
dimensioni serve a definire una posizione, univoca
(una e una soltanto) nello spazio o dove si
incontrano due rette complanari non parallele o a
costituire l'elemento separatore di due linee
contigue. Si indica con una lettera maiuscola
dell'alfabeto latino (A, B, C, ecc.).
perpendicolari se si incontrano formando angoli
retti, incidenti se hanno un punto in comune,
coincidenti se hanno tutti i punti in comune.
Definiamo orizzontale una linea retta parallela a
una immaginaria linea di orizzonte, verticale la
linea retta perpendicolare a questa, oblique tutte le
rette inclinate.
Le rette e le linee in genere sono indicate con una
lettera minuscola dell'alfabeto latino (a, b, c, ...)
Linea
È l'entità geometrica definita dall’insieme delle
posizioni successive di un punto in movimento; ha
come unica dimensione la lunghezza.
Semiretta
È una parte di retta che inizia un punto detto
origine. Un punto P di una retta la divide in due
semirette con origine in P.
Segmento
Porzione di retta limitata da due punti detti estremi
Linea spezzata
È una linea formata da segmenti consecutivi
Linea curva
È una linea in cui nessuna parte di essa è un
segmento di retta
Linea retta
È definita da una serie infinita di punti allineati
secondo un'unica direzione.
Linea mista
È una linea formata da linee spezzate e curve. Oltre
a queste definizioni fondamentali, la linea può
essere definita a molteplici modi in base al suo
andamento, al suo spessore ecc.
Superficie
È Ia parte visibile di un corpo; essa può essere
piana o curva a seconda della forma del corpo. La
misura di grandezza della superficie è l'area.
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Tavola n ° 1
1) Disegnare l’asse di un segmento AB
Si dice asse di un segmento la perpendicolare ad esso condotta per il suo punto di mezzo. Si centri in A e in B
con raggi uguali tra loro e maggiori della metà del segmento ( più grandi possibili), si determinino i punti C e
D che congiunti definiscono l’asse cercato
2) Perpendicolare ad una retta per il suo punto medio
Si centri in C e con raggio più grande possibile, si descriva una semicirconferenza che determina sul segmento
dato AB i punti 1 e 2, si centri in 1 e in 2 e con un medesimo raggio a piacere, più grande possibile, si
determini il punto D, la retta CD è la perpendicolare cercata.
3) Perpendicolare ad una retta da un punto P fuori da essa
Si centri in C con raggio più grande possibile, si descriva l’arco 1-2, si centri in 1 e 2 con raggi uguali tra loro
e si determini il punto D. La retta CD è la perpendicolare cercata.
4 – 5 – 6 ) Dividere il segmento AB in un numero qualsiasi di parti
Sfruttando il teorema di Talete si conduca da un estremo A una retta qualunque AB( per il n ° 4-5) o AE (per
il n ° 6) e su questa a partire da A si riportano tanti segmenti consecutivi uguali ad un segmento arbitrario,
quante sono le parti in cui si vuole dividere il segmento dato.
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GLI ANGOLI
Si intende per angolo ciascuna delle due parti di
piano delimitate da due semirette che hanno
l'origine in comune. Si chiamano lati le due
semirette, vertice l'origine comune. Gli angoli si
misurano in gradi sessagesimali. La misura di un
angolo si indica con il termine ampiezza (ad
esempio ampiezza 90°) e lo strumento di misura
degli angoli è il goniometro.
Rispetto alla sua ampiezza l'angolo può essere di
diversi tipi:
Retto: se ha ampiezza 90°;
Acuto: se l'ampiezza è minore di 90°;
Ottuso: se l'ampiezza è maggiore di 90°;
Piatto: se i suoi lati sono uno sul prolungamento
dell'altro; esso ha ampiezza 180°;
Giro: quando i lati coincidono; l'ampiezza è di
360°;
Rispetto alla loro posizione gli angoli possono
essere :
• consecutivi: quando hanno un vertice e un
lato in comune
• adiacenti: quando hanno un vertice e un
lato in comune e gli altri due lati sono sulla
stessa retta;
• opposti al vertice: quando hanno un vertice
in comune e lati sono rispettivamente il
prolungamento dei medesimi oltre il
vertice.
Rispetto alla loro somma gli angoli possono essere
. complementari: quando la loro somma è 90°;
. supplementari: quando la loro somma è 180°
•
•
convesso : quando l'ampiezza è minore di
180° (in questo caso l'angolo non contiene
il prolungamento dei suoi lati);
concavo: quando l'ampiezza è maggiore di
180° (in questo caso l'angolo contiene il
prolungamento dei suoi lati).
Definiamo infine bisettrice la semiretta che
partendo dal vertice divide l'angolo in due parti
uguali.
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LUOGHI GEOMETRICI
Si dice luogo geometrico o luogo l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono
di una proprietà comune.
SONO LUOGHI GEOMETRICI:
L’asse di un segmento, la bisettrice di un angolo, la circonferenza, l’iperbole, la
parabola, l’ellisse, le altezze di un triangolo equilatero, le diagonali di un rombo, ecc…
ASSE DI UN SEGMENTO
Si definisce asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento stesso e passante
per il suo punto medio.
L’asse di un segmento è un luogo geometrico perchè tutti i sui punti godono della stessa
proprietà di essere equidistanti dagli estremi del segmento.
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Tavola n ° 2
1) Bisettrice di un angolo
Si centri nel vertice V con raggio ad arbitrio e si descriva l’arco 1-2, si centri in 1 e in 2 e si descriva il punto
3. Congiungendo il punto 3 con il punto V si troverà la bisettrice cercata.
2) Trisezione dell’angolo retto
Dato l’angolo retto con vertice V, si centri in V e con raggio a piacere, si tracci un arco che determina sui lati
dell’angolo retto i punti 1 e 2. Si centri in 1 e in 2 con lo stesso raggio V2 e si determinano sull’arco tracciato
i punti 3 e 4. L’angolo retto V21 risulta quindi diviso in tre parti uguali.
3) Somma di due angoli dati
Si tracci un segmento AB, si tracci un angolo puntando in A con apertura arbitraria e si determina il punto 1,
si punti in 1 con apertura 1-2 (nella figura in alto) e si determini il punto 2, si punti in 2 con apertura 3-4 e si
determini il punto 3
4) Differenza di due angoli dati
Si tracci il segmento AB, si punti in A = alla qualsiasi precedente e si tracci un arco determinando il punto 1;
si centri in 1 con apertura 1-2 (nella figura in alto) e si determini il punto 2; si centri in 2 con apertura 3-4 e si
determini il punto 3. Si congiunge 2 e 3 con A. La figura degli angoli cercata è delimitata dai punti A-1-3.
5) Parallela ad una retta a distanza data
Si determinano a piacere i punti 1 e 2 sulla retta r e si innalzano da questi le rispettive perpendicolari. Si
centra in 1 e 2 con apertura di compasso uguale alla distanza D e si trovino i punti 3 e 4 per i quali passa la
parallela richiesta.
6) Parallela ad una retta passante per un punto P
Si congiunge il punto 1, preso a piacere sulla retta r, con il punto P.
Si centra in 1 con apertura di compasso 1P e si interseca la retta r nel punto 2.
Con la stessa apertura si centra in P e si traccia un arco passante per il punto 1
Si centra in 1 con apertura P2 e si interseca sull’ultimo arco tracciato il punto 3.
La parallela richiesta passa per i punti P e 3.
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IL TRIANGOLO
Il triangolo è il poligono più semplice: ha tre lati,
tre angoli tre vertici e la somma degli angoli è
sempre 180°.
Rispetto ai lati il triangolo può essere:
- equilatero: quando tutti i lati sono uguali;
- isoscele: quando due lati sono uguali;
- scaleno: quando i tre lati sono diversi fra loro;
- mistilineo: quando uno o più lati sono curvi
- altezza: la perpendicolare per il vertice al lato
opposto;
- asse: la perpendicolare per il punto medio di un
lato;
- baricentro: il punto d'incontro delle tre mediane;
- ortocentro: il punto d'incontro delle tre altezze;
- circocentro: il punto d'incontro dei tre assi; esso è
anche il centro del cerchio circoscritto al triangolo;
- incentro: il punto d'incontro delle tre bisettrici;
esso è anche il centro del cerchio inscritto nel
triangolo.
QUADRANGOLI
I quadrangoli o quadrilateri sono poligoni a quattro
lati e si distinguono in parallelogrammi, tripezi,
quadrilateri generici.
Rispetto agli angoli il triangolo può essere:
- acutangolo: se tutti gli angoli sono acuti;
- ottusangolo: se ha un angolo ottuso;
- rettangolo: se ha un angolo retto; in questo caso i
due lati formano l'angolo retto prendono il nome di
cateti e l'altro ipotenusa.
Parallelogrammi
Hanno i lati opposti paralleli e gli angoli opposti
uguali
Appartengono a questa famiglia:
• il quadrato, parallelogrammo con quattro
angoli retti e quattro lati uguali;
• il rettangolo, parallelogrammo con quattro
angoli retti e diagonali uguali che si
incontrano nei loro punti medi;
- il rombo (o losanga), parallelogrammo con le
diagonali che sono le bisettrici degli angoli e si
incontrano nei loro punti medi.
Trapezi
Hanno due lati paralleli. Appartengono a questa
famiglia:
- il trapezio rettangolo, che ha due angoli retti;
- il trapezio isoscele, che ha due lati uguali;
Definiamo inoltre :
- mediana: il segmento che unisce un vertice con il
punto medio del lato opposto;
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I QUADRILATERI
Si dice poligono la parte di piano limitata da una
linea spezzata semplice chiusa.
I poligoni sono individuati, in base al numero degli
angoli o dei lati, in:
•
TRIANGOLO O TRILATERO (3 LATI)
•
QUADRANGOLO
QUADRILATERO ( 4 LATI )
O
Gli altri poligoni sono individuati dalla dicitura
poligono di (13, 14, 16,17,18, 19,21...) lati.
I vertici del poligono sono individuati da lettere
maiuscole dell'alfabeto latino (A, B, C, ...).
Gli elementi del poligono sono:
- lato: ognuno dei segmenti della spezzata che
individua il poligono;
- perimetro: la serie dei segmenti della spezzata
del poligono;
- vertice: il punto d'incontro di due lati
consecutivi;
- diagonali: i segmenti che uniscono due vertici
non consecutivi.
Chiamiamo convesso il poligono che non è
intercettato dal prolungamento dei suoi lati,
concavo il caso contrario; equilatero il poligono
che ha tutti i lati uguali, equiangolo il poligono
che ha tutti gli angoli uguali, equivalenti i poligoni
che hanno la stessa area.
pentagono (5 lati)
esagono (6 lati)
ettagono (7 lati)
ottagono (8 lati)
ennagono (9 lati)
decagono (10 lati)
endecagono (11 lati)
dodecagono (12 lati)
pentadecagono (15 lati)
icosagono (20 lati)
I poligoni regolari sono poligoni con i lati e gli
angoli uguali.
Nei poligoni regolari si dice:
- centro: il punto interno al perimetro che è
equidistante dai lati e dai vertici;
- apotema: il segmento che va dal centro al punto
medio di un lato.
Un poligono regolare si di ce circoscritto a una
circonferenza quando i suoi lati sono tutti tangenti
alla medesima inscritto in una circonferenza
quando i suoi vertici sono contenuti su di essa. I
poligoni regolari possono sempre essere circoscritti
o inscritti rispetto a una circonferenza.
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Tavola n ° 3
1) Pentagono regolare dato il lato
Si centra in A e B, estremi di un segmento AB di lunghezza uguale al lato del pentagono, con apertura di
compasso uguale ad AB si tracciano due archi di circonferenza che si intersecano nel punto 1.
Dal punto 1 si traccia l’asse del segmento AB ( la perpendicolare al segmento ) la cui intersezione con il
segmento stesso ne individua il punto medio M.
Dal punto A si innalza un perpendicolare ad AB fino a incontrare nel punto 2 l’arco tracciato in precedenza
con centro in A e raggio AB .
Si centra in M con apertura uguale ad M2 e si traccia un arco di circonferenza che interseca il prolungamento
del segmento AB nel punto 3 .
Si centra in B con apertura uguale a B3 e si traccia un arco di circonferenza che interseca l’arco tracciato con
centro in A e raggio AB nel punto E che interseca l’asse di AB nel punto D .
Si centra in D con apertura uguale al lato del pentagono e si traccia un arco di circonferenza che interseca
l’arco tracciato con centro in B e raggio AB nel punto C .
Sono così definiti i cinque vertici A, B, C, D, E, del pentagono richiesto.
2) Esagono regolare dato il lato
Si centra in A e B estremi di un segmento AB di lunghezza uguale al lato dell’esagono, con apertura di
compasso uguale ad AB e si tracciano due archi di circonferenza che si intersecano nel punto O, centro del
cerchio circoscritto all’esagono richiesto.
3) Disegnare un poligono con un numero qualunque di lati (es. 13)
Si disegni il segmento AB, si centra in A e B con apertura = ad AB e ci descrivano due archi che vanno a
determinare il punto 1. Si tracci il segmento 1B e lo si divida in sei parti uguali e si porti da 1 a O un numero
di divisioni pari al numero di lati del poligono da ottenere meno sei, per esempio tredici
lati
13 – 6 = 7. O è il centro del poligono cercato.
4) Pentagono inscritto in una circonferenza
Si tracciano i diametri perpendicolari 1-2 e 3-4, si centri in 5, punto medio di 1Oe con raggio 5-3 si descriva l’
arco 3-6, AB = 3-6 è la corda sottesa cinque volte nella circonferenza data.
5) Esagono inscritto in una circonferenza
Si tracci li diametro FC, si centri in F e C con apertura uguale al raggio della circonferenza e si descrivano gli
archi che si intersecano con la circonferenza nei punti AE – BD.
Congiungendo i punti ABCDEF si ottiene l’esagono cercato.
6) Numero qualunque di lati (es. 13) inscritti in una circonferenza
Si descriva il diametro 1-2 e lo si divida in tante parti quante sono i lati del poligono (es. 13). Si centri in 1 e 2
e con raggio uguale al diametro si descriva il punto C. Si unisca il punto C con il punto 3 e lo si prolunghi fin
sulla circonferenza determinando il punto B. Il segmento AB è il lato del poligono che riportato n ° volte sulla
circonferenza descrive il poligono cercato.
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Tavola n ° 4
1) Triangolo equilatero dato il lato
Si tracci il segmento AB uguale al lato l e centrando in A e B con raggio uguale ad l si tracciano due archi che
si incontrano nel punto C, terzo vertice del triangolo cercato.
2) Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza data
Si traccia un dimetro che interseca la circonferenza nei punti A e B. Si centra in A e in B con apertura di
compasso uguale al raggio della circonferenza e si traccia un arco che interseca la circonferenza nei punti C e
D. Congiungendo il punto B con C e D si ottiene il triangolo richiesto.
3) Triangolo rettangolo dati l’ipotenusa e un cateto
Si traccia una semicirconferenza di diametro A-B uguale all’ipotenusa a . Si centra in A con apertura di
compasso uguale alla lunghezza del cateto noto c e si traccia un arco che interseca la circonferenza in un
punto C. Congiungendo il punto C con A e con B si ottiene il triangolo richiesto.
4) Triangolo rettangolo dati i cateti
Si costruisce l’angolo retto con vertice A. Si riportano sui lati, a partire da A, le misure h e b dei cateti
ottenendo i punti B e C. Congiungendo il punto B con C si ottiene il triangolo richiesto.
5) Triangolo isoscele dati la base e il lato obliquo
Si centra in A e in B, estremi del segmento AB di lunghezza uguale alla base del triangolo, con apertura di
compasso uguale alla lunghezza del lato obliquo l e si tracciano gli archi che si intersecano in C.
Congiungendo il punto C con A e B si ottiene il triangolo richiesto.
6) Triangolo scaleno dati i lati
Si centra negli estremi del segmento AB uguale a un lato, in A con apertura di compasso uguale alla
lunghezza del secondo lato l e in B con apertura di compasso uguale alla lunghezza del terzo lato l’e si
tracciano due archi di circonferenza che si intersecano in C individuando il triangolo richiesto.
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Tavola n ° 5
1) Quadrato di lato dato
Sull’estremo A di un segmento AB, di lunghezza l uguale a quella del lato del quadrato, si innalza una
perpendicolare al segmento con uno dei metodi descritti. Si centra in A con apertura di compasso uguale a l e
si traccia un arco di circonferenza che interseca nel punto D la perpendicolare ad AB uscente da A. Si centri in
D e in B con la stessa apertura e si tracciano due archi di circonferenza la cui intersezione individua il punto
C. Sono così definiti i quattro vertici A, B, C, D del quadrato richiesto.
2) Quadrato data la diagonale
Sull’estremo A di una semiretta r si innalza una perpendicolare alla semiretta stessa con uno dei metodi
descritti. Si costruisce la bisettrice dell’angolo retto in A e si riporta su di essa a partire da A la lunghezza d
della diagonale individuando il punto C. Si costruisce la perpendicolare alla semiretta r passante per C in
modo da trovare il punto B. Si centra in A con apertura di compasso AB e si riporta sulla perpendicolare alla
semiretta r uscente da A il segmento AB individuando il punto D. Sono così definiti i quattro vertici A,B,C,D,
del quadrato richiesto.
3) Rettangolo date la base e l’altezza
Si tracci un segmento AB = b, da B si conduca la perpendicolare ad AB e su di essa si porti un segmento BC
uguale ad h dal cui estremo C si centri per descrivere un arco di raggio b che, intersecando un arco di raggio h
e di centro A, determina il quarto vertice D del triangolo cercato.
4) Rettangolo date la base e la diagonale
Sull’estremo A di un segmento AB, di lunghezza b uguale alla base, si innalza una perpendicolare al
segmento. Si centra in B con apertura di compasso uguale alla lunghezza d della diagonale e si traccia un arco
che interseca in D la perpendicolare uscente da A. Si centra in D con apertura uguale a b e in B con apertura
uguale a AD e si tracciano due archi di circonferenza la cui intersezione individua il punto C. Sono così
definiti i quattro vertici A,B,C,D del rettangolo richiesto.
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Tavola n ° 6
1) Rombo dati il lato e un angolo
Con vertice nell’estrema A di un segmento AB, di lunghezza uguale al lato del rombo, si costruisce un angolo
uguale a quello disegnato α. Si centra in A con apertura di compasso uguale ad AB e si traccia un arco di
circonferenza che intercetta il lato dell’angolo nel punto D. Si centra in B e in D con apertura uguale lato del
rombo e si tracciano degli archi di circonferenza che si intersecano nel punto C. Sono così definiti i quattro
vertici A,B,C,D del rombo richiesto.
2) Rombo date le diagonali
Si tracci il segmento AC = d ’ e se ne conduca l’asse sul quale si porti simmetricamente ad O la diagonale DB
= d. ABCD è il rombo cercato.
3) Trapezio isoscele dati la base maggiore, il lato obliquo e l’angolo alla base
Si costruiscono due angoli, uguali a quello assegnato α, agli estremi A e B di un segmento AB di lunghezza
uguale alla base maggiore del trapezio. Si riporta la lunghezza del lato obliquo sul prolungamento dei lati dei
due angoli dividendo i punti C e D. Sono così definiti i quattro vertici A,B,C,D del trapezio richiesto.
4) Trapezio isoscele date le basi e l’altezza
Si innalza la perpendicolare per il punto medio M di un segmento AB di lunghezza uguale alla base maggiore
del trapezio. Si riporta sulla perpendicolare, a partire da M, l’altezza del trapezio trovando il punto H. Si
traccia la parallela ad AB passante per H . Si centra in H con aperture di compasso uguale alla metà della
base minore del trapezio e si riporta questa distanza sulla parallela ad AB individuando i punti C e D. Sono
così definiti i quattro vertici A,B,C,D del trapezio richiesto.
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Tavola n ° 7
Regola generale per la costruzione dei poligoni regolari dato il lato
Si centra in A e B, estremi di un segmento AB di lunghezza uguale al lato del poligono, con apertura di
compasso uguale ad AB e si tracciano due archi di circonferenza che si intersecano nel punto O, centro della
circonferenza di raggio uguale ad AB passante per e per B; il punto O costituisce il punto di partenza per la
costruzione dei poligoni. Si divide il raggio OO’, appartenente all’asse del segmento AB, in sei parti uguali
ottenendo i punti da 6 (coincidente con O) a 12 (coincidente con O’) che sono i centri delle circonferenze
circoscritte ai poligoni di corrispondente numero di lati. Per ottenere il poligono voluto è ora sufficiente
riportare la misura del lato sulla circonferenza, individuando i vertici. Proseguendo nella divisione in parti
uguali dell’asse di AB al di sopra del punto O’ si ottengono i centri dei poligoni regolari con più di dodici lati.
Il centro 5 della circonferenza circoscritta al pentagono si ottiene riportando il segmento O5 al di sotto di O.
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
LA CIRCONFERENZA
Si definisce circonferenza la linea costituita dai
punti di un piano equidistanti da un punto fisso
detto centro, cerchio Ia superficie interna della
figura geometrica individuata dalla circonferenza.
Inoltre ricordiamo le seguenti definizioni :
Raggio: ciascun segmento che unisce il centro con
un punto della circonferenza.
Arco: tratto di
circonferenza
individuato da due
punti
che
ne
costituiscono
gli
estremi. Si indica
con i punti estremi e
una piccola curva,
su
questi;
ad
esempio
l'arco
individuato
dai
punti A e B si
indica, AB . Semicirconferenza: arco uguale a
metà circonferenza.
Corda: segmento che unisce due punti della
circonferenza individuando nel contempo un arco;
la corda si dice sottesa all'arco e l'arco, a sua volta,
sottende la corda.
Saetta o freccia: segmento perpendicolare alla
corda che unisce il punto medio di questa alla
circonferenza.
Diametro: corda che passa per il centro, uguale a
due volte il raggio.
Semicerchio: ognuna delle due parti in cui il
cerchio resta diviso dal suo diametro.
Segmento circolare a una base: ciascuna delle
due parti di un cerchio diviso da una corda.
Segmento circolare a due basi: parte del cerchio
compresa fra due corde.
Segmento o settore circolare: parte di cerchio
delimitata da due raggi e dall'arco fra questi
compreso; può essere convesso o concavo.
Quadrante: parte di cerchio delimitata da due
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raggi fra loro perpendicolari (due diametri
perpendicolari dividono il cerchio in quattro
quadranti).
Crona circolare: parte di cerchio compresa fra due
circonferenze concentriche (cioè che hanno Io
stesso centro).
Tangente : retta che ha un punto di contatto con Ia
circonferenza ed è perpendicolare al raggio che
congiunge il punto di contatto con il centro
Secante: retta che incontra la circonferenza in due
punti.
Le circonferenze concentriche sono due o più
circonferenze aventi il centro in comune, sono
invece eccentriche quando non hanno in comune il
centro e sono una interna all'altra.
Le circonferenze sono tangenti se hanno un sol
punto in comune: tangenti interne se tutti i punti di
una circonferenza sono interni all'altra e hanno un
punto in comune; tangenti esterne se le due
circonferenze sono una esterna all'altra e hanno un
punto di contatto in comune. Due circonferenze
sono secanti quando hanno in comune due punti;
esterne quando non hanno alcun punto in comune.
CHIEREGATO MARCO
TANGENZE E RACCORDI
• Due circonferenze sono tangenti in un punto
quando hanno in quel punto la stessa retta normale
e quindi la stessa retta tangente.
• Due curve si raccordano in un punto P quando in
qual punto cambia il loro raggio di curvatura ma si
mantiene costante la tangente e la normale
fig 4
fig 3
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CHIEREGATO MARCO
Tavola n ° 8
1) Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto P
Si tracci la circonferenza di raggio dato e il corrispondente raggio prolungandolo esternamente alla
circonferenza per determinare il punto P.
Si costruisca la perpendicolare sul punto, P e si congiungano i due punti trovati.
2) Circonferenza tangente a una retta e passante per un punto esterno alla retta
Si unisce il punto A, estremo della retta r con il punto di tangenza P. Si costruisce l’asse del segmento AP. Si
traccia la perpendicolare alla retta r passante per P. L’asse del segmento AP interseca la perpendicolare alla
retta r nel punto O che è il centro della circonferenza di raggio OP e passante per A.
3) Circonferenza tangente ad una circonferenza e passante per un punto A esterno a
essa.
Si unisce il punto A esterno alla circonferenza di centro O con il punto di tangenza P. Si costruisce l’asse del
segmento AP. L’asse del segmento AP interseca la retta passante per O e per P nel punto O’, che è il centro
della circonferenza tangente a quella di centro O e passante per A.
4) Rette tangenti a una circonferenza e passanti per un punto P esterno a essa
Si unisce O con P e si costruisce l’asse del segmento OP che ne individua il punto medio M.
Si centra in M con apertura di compasso uguale a OM e si traccia un arco di circonferenza che interseca la
circonferenza nei punti 1 e 2 che sono i punti di tangenza (le congiungenti P1 e P2 formano un angolo di 90°
con rispettivamente O1 e O2).
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Tavola n ° 9
1) Circonferenza passante per tre punti A,B,C non allineati
Si costruiscono gli assi del segmento AB e BC, ottenuti congiungendo a due a due i punti A,B e C. Il punto O,
intersezione tra i due assi, è il centro della circonferenza richiesta.
2) Circonferenza inscritta in un triangolo
E’ sufficiente tracciare le bisettrici di due angoli: il loro punto di intersezione O è il centro della circonferenza
richiesta e il raggio O1 si ottiene tracciando la perpendicolare, passante per O, a un lato.
3) Tangenti comuni a due circonferenze che si intersecano in un punto esterno alla
congiungente dei raggi
Si congiungono i centri O e O’ delle due circonferenze. Si traccia una circonferenza concentrica a quella di
raggio maggiore e di diametro uguale alla differenza dei due raggi. Si procede come nella costruzione (tavola
n ° 8 es. 4) tracciando, a partire da O’, le tangenti alla nuova circonferenza passanti per i punti 2 e 3. Si
prolungano i raggi uscenti da O e passanti per 2 e 3 determinando sulla circonferenza maggiore i punti 4 e 5.
Si tracciano, da 4 e da 5, le parallele alle tangenti O’2 e O’3 individuando i punti 6 e 7 sulla circonferenza
minore. Le rette passanti per i punti 4 e 6, e per 5 e 7 sono le tangenti richieste.
4) Costruzione di tre o più circonferenze inscritte in una circonferenza e tangenti fra loro
La costruzione è di tipo generale e vale per tutti i casi. Si suddivide la circonferenza in tante parti quante sono
le circonferenze da inscrivere. Si traccia la bisettrice di un angolo al centro formato dai raggi passanti per due
punti di suddivisione consecutivi 1 e 2, che determina i punto V sulla tangente alla circonferenza passante per
1. Si traccia la bisettrice dell’angolo in V che incontra in O’ il raggio O1. Si centra in O con apertura di
compasso OO’ e si traccia una circonferenza che interseca tutti i raggi, O1,O2,…..,O8, individuando così i
centri delle circonferenze tra loro tangenti e inscritte nella circonferenza di centro O. I punti di tangenza fra le
circonferenze sono dati dalle congiungenti dei rispettivi centri. E’ possibile, infine, tracciare una circonferenza
interna tangente a tutte le circonferenze inscritte.
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Tavola n ° 10
1) Raccordo di due semirette perpendicolari fra loro
Si centra in V con apertura di compasso a piacere e si traccia un arco di circonferenza che incontra le rette nei
punti 1 e 2.
Si centra in 1 e in 2 con la stessa apertura e si tracciano due archi che si intersecano in O.
Il punto O è il centro dell’arco di raccordo.
Le congiungenti O1 e O2 sono perpendicolari alle rette s’ e s
2) Raccordo di due semirette formanti un angolo acuto, dato il punto P di raccordo posto
su uno dei lati
Si prolungano le semirette fino a trovare il loro punto di intersezione V.
Si centra in V con apertura di compasso uguale a VP e si traccia un arco di circonferenza che interseca il
secondo lato nel punto 1.
Si traccia la bisettrice dell’angolo con vertice in V.
Si innalza a partire dal punto 1, una perpendicolare della retta s’che incontra la bisettrice nel punto O.
Il punto O è il centro dell’arco di raccordo.
3) Raccordo di due semirette formanti un angolo ottuso, dato il punto P di raccordo
posto su uno dei lati
Si prolungano le semirette trovando il loro punto di intersezione V.
Si centra in V con apertura di compasso uguale a VP e si traccia un arco di circonferenza che interseca il
secondo lato nel punto 1.
Si traccia la perpendicolare alla retta s passante per il punto P e la perpendicolare alla retta s’ passante per il
punto 1: le due perpendicolari si intersecano nel punto O.
Il punto O è il centro dell’arco di raccordo.
4) Raccordo di due rette divergenti, dato il punto P di raccordo posto su una di esse.
Si tracciano due rette, parallele alle rette date a e b, interne a esse e a una stessa distanza, arbitraria da esse.
Le parallele alle rette a e b si intersecano nel punto V.
Si costruisce la bisettrice dell’angolo formato dalle parallele alle rette a e b.
Si traccia la parallela alla retta a passante per il punto P che interseca la bisettrice nel punto O.
Dal punto O si traccia la perpendicolare alla retta b individuando su questa il secondo punto di raccordo P’.
Il punto O è il centro dell’ arco di raccordo.
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Tavola n ° 11
1) Raccordo tra due rette convergenti, dato il raggio r dell’arco di raccordo
Si tracciano due rette, parallele alle rette date a e b, interne a esse e a una distanza da esse uguale al raggio r
dell’arco di raccordo.
Si traccia la perpendicolare alla retta a passante per O punto di intersezione delle parallele alle rette a e b,
individuando il punto di raccordo A.
Si traccia la perpendicolare alla retta b passante per O individuando il punto di raccordo B.
Si centra in O con apertura di compasso uguale a OA e si traccia l’arco di raccordo.
2) Raccordo di un arco di circonferenza di centro O e raggio r e di una sua corda con un
arco di raggio r’
Si centra in O con apertura di compasso uguale a r - r’ e si traccia un arco concentrico a quello dato che
interseca nel punto O’ la parallela alla corda data, tracciata alla distanza r dalla stessa.
La congiungente OO’ interseca l’arco dato nel punto 1 di raccordo.
Si traccia la perpendicolare alla corda data passante per O’ che interseca la corda stessa nel punto 2 di
raccordo.
Il punto O’ è il centro dell’arco di raccordo.
3) Raccordo con arco di circonferenza di raggio dato r, di due circonferenze di raggi r1 e
r2, con centro O1 e O2 e tra loro esterne.
Primo caso
L’arco di raccordo appartiene a una circonferenza tangente esternamente alla circonferenza data.
Il raggio dell’arco di raccordo deve essere uguale o maggiore della semidistanza fra le due circonferenze.
Si traccia da O1, centro della circonferenza di raggio r1, un arco di circonferenza di raggio uguale a r1 + r2.
I due archi si intersecano nel punto O centro dell’arco di raccordo. Unendo O con O1 e O2 si trovano i punti di
tangenza A e B dell’arco con le circonferenze.
4) Raccordo con arco di circonferenza di raggio dato r, di due circonferenze di raggi r1 e
r2, con centro O1 e O2 e tra loro esterne.
Secondo caso
L’arco di raccordo appartiene a una circonferenza che contiene le circonferenze date.
Il raggio di raccordo r deve essere uguale o maggiore alla metà del segmento O1 O2 + r1+ r2.
Si traccia da O1, centro della circonferenza di raggio r1, un arco di circonferenza di raggio uguale a r1 - r2.
Si ripete l’operazione tracciando da O2, centro della circonferenza di raggio r2, con un arco di circonferenza di
raggio uguale a r- r2.
I due archi si intersecano nel punto O centro dell’arco di raccordo. Unendo O con O1 e O2 si trovano
i punti di tangenza A e B dell’arco con le circonferenze.
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Tavola n ° 12
1) Tracciare la tangente ad una circonferenza dato il suo punto P
Si tracci la circonferenza di raggio dato e il corrispondente raggio prolungandolo esternamente alla
circonferenza per determinare il punto P.
Si costruisca la perpendicolare sul punto, P e si congiungano i due punti trovati.
2) Tracciare le circonferenze di raggio dato r tangenti ad una retta dato in un suo punto
P
Si tracci una retta e su un punto qualsiasi di essa si costruisca una perpendicolare su ambedue i lati. Si centri
in O con apertura uguale al raggio dato e si descriva l’arco che individua il centro della circonferenza nei
punti 1 e 2.
Si centri in 1 e in 2 con raggio dato e si descrivano le circonferenze.
3) Tracciare la tangente ad una circonferenza data ad un punto P esterno
Si unisce O con P e si costruisce l’asse del segmento OP che ne individua il punto medio M.
Si centra in M con apertura di compasso uguale a OM e si tracci un arco di circonferenza che interseca la
circonferenza nei punti 1 e 2 che sono i punti di tangenza.
4-5-6) Trasformare i raccordo gli esercizi precedenti
Si applica la stessa costruzione che è stata usata negli esercizi 1-2-3 ma ingrossando un raccordo a piacere.
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Tavola n ° 13
1) Tangenti esterne a due circonferenze di raggio dato
Si centri in O2 e si descriva una circonferenza di raggio uguale alla differenza dei raggi delle circonferenze
date.
Si centri in C, punto medio di O1O2 e con raggio CO2 si determinino i punti D, E , le rette O2D e O2E
incontreranno la circonferenza maggiore nei punti di contatto F e G. Le parallele per O1 alle O2D e O2E
determineranno sulla circonferenza minore i punti di contatto, H,I.
Le rette FH e IG sono le tangenti cercate.
2) Tangenti interne di due circonferenze di raggio dato
Si centri in O2 e si descriva una circonferenza di raggio uguale alla somma dei raggi delle circonferenze date,
questa interseca l’arco di centro C e raggio CO2 nei punti L e M.
Le rette O2L ed O2M incontreranno la circonferenza maggiore nei punti di contatto N e P.
Le parallele per O1 alle O2L alle O2M incontreranno sulla circonferenza minore i punti di contatto Q e R. Le
rette NQ e PR sono le Tangenti interne cercate.
3-4) Trasformare in raccordo gli esercizi precedenti
Si applica la stessa costruzione che è stata usata negli esercizi 1-2 ma ingrossando uno o più raccordi a
piacere.
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Tavola n ° 14
1) Circonferenza di raggio dato r tangente a due rette assegnate
Si traccino le due rette assegnate, e su ognuna di esse si descrivano due perpendicolari da ambedue le parti a
distanza arbitraria l’una dall’altra.
Si centri nel punto sulla retta, in cui essa si è incontrata con la perpendicolare e con apertura di raggio dato si
descriva un arco sulle perpendicolari individuando i punti 1 e 2 nella prima perpendicolare e i punti 3 e 4 nella
seconda perpendicolare.
Si congiungano i punti (1-3) - (1’-3’) e i punti (2-4) - (2’- 4’) in modo che intersecandosi si trovino i centri
delle circonferenze a distanza data.
Si descriva la perpendicolare da ugni centro delle circonferenze a entrambe le rette assegnate in modo da
individuare i due punti di tangenza di ogni circonferenza.
2) Circonferenza di raggio dato r tangente ad una retta e a due circonferenze assegnate
Si descriva la prima circonferenza di raggio dato e la retta a distanza arbitraria.
Si centri in O con apertura uguale alla somma della prima e della seconda circonferenza e si descriva un arco
di circonferenza.
Si descrivano due perpendicolari sulla retta a distanza arbitraria l’una dall’altra e centrando nel punto in cui si
intersecano con la retta si descrivano i punti 1 e 2.
Congiungendo i punti 1 e 2 si trovano i centri delle due circonferenze sull’arco prima descritto.
3-4) Trasformare in raccordo gli esercizi precedenti
Si applica la stessa costruzione che è stata usata negli esercizi 1-2 ma ingrossando uno o più raccordi a
piacere.
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CURVE POLICENTRICHE PIANE
Tavola n ° 15
1) Costruzione di un ovale dato l’asse minore AB
Si tracci l’asse del segmento AB e centrando in O, punto medio di AB, con raggio OA si determinano i punti
C e D sull’asse maggiore. Si centri in A e in B con raggio AB e si tracciano due archi che incontrano le rette
AC, AD, BC e BD nei punti di raccordo E, F, G, H . Centrando in C e D, con raggio CE, si completi l’ovale
raccordando i due archi precedenti.
2) Costruzione di un ovale dato l’asse maggiore
Si divida l’asse AB in tre parti uguali, nei punti di divisione C, D si descrivano due circonferenze di raggio
AC che si incontrano nei punti E, F, si uniscono E ed F con C e con D e si determinano i punti di raccordo G,
H, I, L; si centri in E ed F con raggio EG e si completi l’ovale raccordando le due prime circonferenze
tracciate.
3) Costruzione di un ovale dato l’asse maggiore
Si divida l’asse AB in quattro pari uguali e centrando nei punti di divisione C, E si descrivano due
circonferenze di raggio AC e due archi di circonferenza di raggio CE che si incontrano nei punti F, G; si
uniscono F,G con C ed E e si determinano i punti di raccordo H, I, L, M. Centrando in F e in G, con raggio
FH, si completi l’ovale raccordando le due circonferenze prima tracciate.
4) Costruire l’ovale dati i due assi AB e CD .
Si tracciano i segmenti AB e CD perpendicolari fra loro e tagliantisi nel punto medio O.
Si centri in O con e con raggio OA si determini il punto E sulla retta CD.
Centrando in C con raggio CE si determini il punto F sul segmento BC. Si tracci l’asse del segmento BF che
incontra le AB e CD nei punti G ed H; si determinino i loro simmetrici L ed I rispetto ad O e centrando in H
ed I con raggio CH si traccino due archi che incontrano le rette HG, HL, IL, ed IG nei punti di raccordo N, M,
Q e P. Si completi l’ovale raccordando i due archi tracciati con altri due di centro G ed L.
5) Disegnare la spirale di Archimede dato il passo p
Tracciato il segmento OA uguale al passo p si descriva la circonferenza di raggio OA e la si divida assieme al
suo raggio in uno stesso numero di parti uguali che si numerano come i figura; tracciate per i punti di
divisione della circonferenza delle semirette uscenti da O, si descrivano gli archi concentrici di centro O
passanti per i punti di divisione di OA fino ad incontrare le corrispondenti semirette in punti della spirale
cercata. Per prolungare la spirale si portino da ciascun punto precedentemente trovato, sul relativo raggio, dei
segmenti uguali al passo p
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CURVE FONDAMENTALI
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Tavola n ° 16
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Tavola n ° 17
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Tavola n ° 18
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Tavola n ° 19
1) Disegnare la spirale di Archimede dato il passo p
Tracciato il segmento OA uguale al passo p si descriva la circonferenza di raggio OA e la si divida assieme al
suo raggio in uno stesso numero di parti uguali che si numerano come i figura; tracciate per i punti di
divisione della circonferenza delle semirette uscenti da O, si descrivano gli archi concentrici di centro O
passanti per i punti di divisione di OA fino ad incontrare le corrispondenti semirette in punti della spirale
cercata. Per prolungare la spirale si portino da ciascun punto precedentemente trovato, sul relativo raggio, dei
segmenti uguali al passo p
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LA SPIRALE DI ARCHIMEDE
Disegnare la spirale di Archimede dato il passo p
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CHIEREGATO MARCO
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LE PROIEZIONI ORTOGONALI
La rappresentazione grafica degli oggetti viene effettuata mediante l’uso dei sistemi di
rappresentazione codificati.
Questi sistemi utilizzano le cosiddette tecniche delle proiezioni, le quali consentono di mettere
in relazione gli elementi di un oggetto posto nello spazio (spigoli, superfici) ed i
corrispondenti elementi geometrici che li rappresentano su di un foglio da disegno.
Per la rappresentazione di un organo in meccanica si ricorre nella tecnica al metodo delle
proiezioni ortogonali, raramente si ricorre alla rappresentazione in prospettiva in parallelo. La
rappresentazione del pezzo in oggetto si effettua con un numero di proiezioni minimo, ma
sufficiente per definire completamente la sua forma. E’ opportuno orientare in pezzo in modo
che la sua vista principale lo presenti nella sua normale posizione di lavoro.
In generale il numero di proiezioni necessarie non supera le tre principali: vista principale o
sul piano verticale (P.V.), la vista dall’alto o sul piano orizzontale (P.O.) e la vista laterale o
vista da sinistra (P.L.).
Qualora occorrono altre viste, queste possono raggiungere il numero di sei, che corrisponde al
numero di piani fondamentali di proiezione disposti come le facce di un cubo che racchiude il
pezzo da rappresentare. Altre proiezioni su piani diversi dalle precedenti si chiamano viste
ausiliarie.
Le principali tecniche di proiezione sono costituite dalla proiezione centrale (o conica) e da
quella parallela.
CHIEREGATO MARCO
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PROIEZIONE CENTRALE
Nella proiezione centrale vengono considerati i seguenti elementi:
1. Un centro di proiezione
2. Un piano di proiezione
3. Un oggetto disposto tra il centro ed il piano di proiezione
Ogni punto che rappresenta l’oggetto, sul piano di proiezione, è definito dalla prosecuzione
del raggio proiettante che parte dal centro di proiezione e passa per il punto fisico
corrispondente dell’oggetto reale .
La forma dell’immagine dell’oggetto (vista) riportata sul piano di proiezione è quella che si
presenta ad uno spettatore che osserva l’oggetto dal centro di proiezione.
Questo tipo di rappresentazione è utilizzato nelle proiezioni prospettiche.
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PROIEZIONE PARALLELA
Nella proiezione parallela ci si pone nelle stesse condizioni della proiezione centrale, ponendo
però il centro di proiezione a una distanza molto elevata dall’oggetto il osservazione.
I raggi proiettati possono essere considerati paralleli ( come se il centro di proiezione fosse
posizionato il un punto posto ad una distanza infinita).
In tal caso l’immagine che si realizza è quella vista da un osservatore molto lontano
dall’oggetto considerato. I sistemi di rappresentazione che si avvalgono di questo di questo
metodo sono le proiezioni ortogonali ed assonometriche .
METODO DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI
Le proiezioni ortogonali sviluppate da matematico francese Gaspard Monge (1746- 1818),
hanno le scopo di rappresentare un oggetto reale mediante una o più immagini, con la tecnica
delle proiezione parallela.
Dette immagini si ottengono proiettando, una per volta, sul piano di rappresentazione, le facce
dell’oggetto viste da un punto posto a distanza infinita.
Ciascuna faccia viene riprodotta in grandezza reale (salvo rappresentazione in scala) e senza
alterazione della forma, da raggi paralleli tra di loro e perpendicolari al piano di proiezione.
Pertanto le 6 facce di un oggetto tridimensionale, potranno essere proiettate sulle 6 facce,
piani di proiezione, di un cubo che lo contiene, detto cubo delle proiezioni.
I piani principali del cubo delle proiezioni sono detti piani coordinati o diedro principale e le
loro intersezioni definiscono gli assi x, y, z e l’origine O.
I piani individuati dagli assi xz, xy, yz, costituiscono rispettivamente il piano verticale (PV), il
piano orizzontale (PO) ed il piano laterale (PL). L’asse x viene anche chiamato linea di terra
(LT).
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Le proiezioni ortogonali ottenute sui piani vengono definite viste. Le viste necessarie alla
descrizione completa di un oggetto dipendono dalla complessità dello stesso (normalmente
bastano 2 o 3 viste). La rappresentazione delle viste può essere effettuata con tre metodi:
• Metodo E (Europeo)
• Metodo A (Americano)
• Metodo delle facce
Metodo E (Europeo)
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Con questo sistema si rappresentano le proiezioni ortogonali secondo il cosiddetto metodo
EUROPEO. Il simbolo grafico con cui viene indicato nei disegni è costituito dalle
proiezioni ortogonali di un tronco di cono.
Nella figura qui sotto si illustra la costruzione delle proiezioni ortogonali di un oggetto sulle
tre facce del diedro principale delle proiezione, ottenuta con questo metodo. Le tre
proiezioni principali così ottenute, sono normalmente sufficienti ad esprimere
completamente la forma di un oggetto.
Le 6 proiezioni che si possono ricavare sulle sei facce del cubo delle proiezioni sono
rappresentate, con la loro denominazione.
Le viste nelle proiezioni ortogonali, nel sistema Europeo assumono le seguenti denominazioni:
A = vista anteriore o vista principale
B = vista dall’alto
C = vista da sinistra
D = vista da destra
E = vista dal basso
F = vista posteriore
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Metodo A (Americano)
Il sistema di proiezione ortogonale secondo il metodo AMERICANO, ipotizza il cubo delle
proiezioni formato da pareti a specchio, sulle quali si vengono a riflettere le facce adiacenti
dell’oggetto; perciò la vista da sinistra si dispone a sinistra e non a destra come avviene nel
sistema Europeo, e così per tutte le altre viste si dispongono esattamente all’opposto di ciò
che avviene nel sistema Europeo come viene rappresentato in figura.
Le viste nelle proiezioni ortogonali, nel sistema Americano, assumono le seguenti
denominazioni:
A = vista anteriore o vista principale
B = vista dal basso
C = vista da destra
D = vista da sinistra
E = vista dall’alto
F = vista posteriore
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Metodo delle facce
Questo terzo metodo, partendo sempre dalla vista principale, ribalta le altre viste, identificate da una freccia e
da una lettera, in una posizione qualsiasi. La freccia indica direzione e verso di osservazione.
Le viste non ruotate devono essere contrassegnate con una lettera maiuscola posta al di sopra o al di sotto di
esse. La lettera è quella in prossimità della freccia.
LINEE IN VISTA E LINEE NASCOSTE
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PROIEZIONE ORTOGONALE DI UN PUNTO
Per proiezione ortogonale di un punto p su di un piano, α, si intende il punto P1, traccia della
perpendicolare condotta dal punto P al piano α .
La perpendicolare PP1 si dice raggio proiettante e il piano α, piano di proiezione.
A questo punto possiamo affermare che : il punto nello spazio, definito mediante le distanze a,
b, c, dai-piani coordinati è determinato dalle ,sue proiezioni ortogonali P1, P2, P3, sui piani
coordinati. Infatti, date le proiezioni, il punto rimane individuato come l'intersezione dei tre
raggi proiettanti per P1, P2, P3. Vediamo ora come mediante le proiezioni ortogonali possiamo
rappresentare su di un piano i punti dello spazio, in particolare il punto P, individuato dalle sue
tre proiezioni P1, P2, P3. Allo scopo, ruotiamo (ribaltiamo) di 90° i piani β e γ rispettivamente
intorno all'asse x e all'asse z in maniera che nell'unico piano in cui verranno a coincidere α, β,
γ cadano le proiezioni P1, P2, P3, di P . Con queste semplici operazioni si ha la possibilità di
rappresentare su di un piano un punto dello spazio e di risalire alla sua esatta posizione nello
spazio.
Per semplicità rappresenteremo nello spazio i piani di proiezione mediante le loro rette
d'intersezione x, y, z Corrispondentemente nel foglio da disegno tali piani di vista anteriore,
vista dall'alto e di vista da sinistra saranno rappresentati mediante i quadranti I, II, III,
delimitati rispettivamente dalle semirette: Ox Oz, Ox Oy2, Oz Oy3 .
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Tavola n°20
1. Rappresentare un punto comunque disposto nello spazio
Le 1unghezze dei segmenti P1C, P2C, e P3E2 sono rispettivamente le distanze del punto P dai
piani di vista dall'alto, anteriore e da sinistra. I segmenti OE2, ed OE3, sono uguali in quanto
sono rispettivamente le viste dall'alto e da sinistra del segmento OE.
2. Rappresentare un punto P appartenente a O, P1, P2, P3
Un punto P appartiene con le sue proiezioni quando le sue rispettive coordinate sono uguali a
zero.
3. Rappresentare un punto P appartenente a X
Un punto P appartiene a X quando le sue proiezioni P1 e P2 sono uguali a zero mentre P3 è
diverso da zero e a sua volta non coincide con P.
4. Rappresentare un punto P che appartiene a Z
Un punto P appartiene Z quando le sue proiezioni P1 e P3 sono uguali a zero e coincidono con
esso mentre P2 è diverso da zero e a sua volta coincide con P.
5. Rappresentate un punto P che appartiene a y3
Un punto P appartiene a y3 quando le sue proiezioni P2 e P3 sono uguali a zero e coincidono
con esso mentre P1 è diverso da zero e a sua volta coincide con P.
6. Rappresentare un punto appartenente al piano di vista principale o anteriore
I1 punto obiettivo P coincide con a sua vista anteriore P1 . Le viste dall'alto e da sinistra sono i
punti P1, e P2, appartenenti rispettivamente alle semirette Ox e Oz poiché la distanza del punto
obiettivo dal piano di vista anteriore è nulla.
I segmenti PP2 e PP3 sono rispettivamente le distanze del punto P dai piani di vista dall'alto e
da sinistra.
CHIEREGATO MARCO
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7. Rappresentare un punto appartenente al piano di vista dall'alto
Il punto obiettivo P coincide con la sua vista d"all'alto P2. Le viste anteriore e da sinistra sono i
punti P1, e P3, appartenenti rispettivamente alle semirette Ox e Oy3, poiché la distanza del
punto obiettivo dal piano di vista dell'alto è nulla. I segmenti PP1, e OP1, sono rispettivamente
le distanze del punto P dai piani di vista anteriore e da sinistra.
8. Rappresentare un punto appartenente al piano di vista da sinistra.
Il punto obiettivo P coincide con la sua vista da sinistra P3. Le viste anteriore e dall'alto sono i
punti P1 e P2, appartenenti rispettivamente alle semirette Oz e Oy2 poiché la distanza dal
punto obiettivo dal piano di vista da sinistra è nulla. I segmenti PP1 e OP1 sono
rispettivamente le distanze del punto P dai piani di vista anteriore e dall'alto.
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
PROIEZIONE ORTOGONALE DI UN SEGMENTO
Le proiezioni di un segmento sui piani fondamentali sono in generale tre segmenti che si
ottengono congiungendo su ogni piano la coppa di punti distinti ottenuta come proiezione
degli estremi del segmento obiettivo. Uno di questi segmenti di proiezione può ridursi in
particolare a un punto quando in questo punto coincidono le proiezioni degli estremi del
segmento obiettivo, ossia quando il segmento obiettivo è perpendicolare al piano di
proiezione.
Tavola n°21
1. Rappresentare un segmento AB comunque disposto nello spazio.
Le viste anteriore, dall'alto e da sinistra sono costituite da tre segmenti A1B1, A2B2, A3B3
raccorciati rispetto alla lunghezza del segmento obiettivo AB . Per ottenere la lunghezza reale
del segmento si procede nel seguente modo: si ruota un segmento di proiezione, ad esempio
A2B2, attorno ad un suo estremo per esempio A2 affinché risulti nella posizione A2(B)2,
parallelo ad un piano di proiezione, ad esempio al piano di vista anteriore, dal punto (B)2 si
conduca la proiettante verticale fino ad incontrare in (B)1 la proiettante orizzontale B1B3; la
lunghezza A1(B)1, è quella del segmento obiettivo AB .
2. Rappresentare un segmento AB perpendicolare al piano di vista da sinistra
Le viste anteriore e dall'alto sono costituite rispettivamente dai segmenti A1B2 e A2B2
entrambi paralleli alla linea di terra e di lunghezza uguale a quella del segmento obiettivo. La
vista da sinistra è costituita dal punto A3 coincide con B3.
CHIEREGATO MARCO
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3. Rappresentare un segmento AB parallelo al piano di vista anteriore ed obliquo
rispetto agli altri due .
La vista anteriore è costituita dal segmento A1B1, obliquo rispetto alla linea di terra x e di
lunghezza uguale al segmento obiettivo AB . Le viste dall'alto e da sinistra sono costituite
rispettivamente dai segmenti A2B2 e A3B, paralleli alle semirette Ox e Oz ed entrambi minori
del segmento obiettivo.
4. Rappresentare un segmento AB parallelo al piano di vista dall'alto ed obliquo rispetto
agli altri due .
La vista dall'alto è costituita dal segmento A2B2 di lunghezza uguale al segmento obiettivo AB
ed obliquo rispetto alla linea di terra Ox. La vista anteriore A1B1 e quella da sinistra A3B3 sono
entrambe più corti del segmento obiettivo e parallele alla linea di terra Ox.
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
PROIEZIONE ORTOGONALE DI TETTE
Data una retta r nello spazio, si dicono tracce della retta i punti d'intersezione della retta con i
piani di proiezione. Le proiezioni della retta r sui piani fondamentali sono in generale tre rette
che si ottengono congiungendo su ogni piano le proiezioni, relative a quel piano. In particolare
la proiezione su uno dei piani fondamentali si riduce a un punto, quando la retta obiettiva è
perpendicolare a quel piano di proiezione.
Tavola n°22
1. Rappresentare una retta r comunque disposta nello spazio.
I punti Sr e Tr , siano rispettivamente le tracce della retta obiettiva r sui piani di vista dall'alto e
da sinistra. Proiettando tali tracce sui piani fondamentali si definiscono le tre rette r1,r2, r3,
proiezioni della retta data.
2. Rappresentare una retta r parallela al piano di vista dall'alto ed inclinata rispetto agli
altri due.
I punti Rr e Tr , siano rispettivamente le tracce della retta obiettiva sui piani di vista anteriore e
da sinistra. Operando come nel caso precedente si ottengono le tre rette di proiezione r1, r2, r4.
Si osservi che le rette r1 ed r3 sono coincidenti e parallele alla linea di terra, questo perchè la
retta obiettiva è parallela al piano di vista dall'alto.
CHIEREGATO MARCO
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3. Rappresentare una retta r parallela al piano di vista da sinistra ed inclinata rispetto
agli altri due .
Proiettando detta retta r sui tre piani fondamentali si ottengono sulle viste anteriore e dall’alto
due rette r1, r2 coincidenti e parallele rispettivamente alle semirette Oz e Oy aventi da queste
,una distanza uguale alla lunghezza del segmento ORr2 corrispondente alla distanza della retta
r dal piano di vista da sinistra.
4. Rappresentare una retta r perpendicolare al piano di vista anteriore .
Il punto Rr , è l'unica traccia della retta obiettiva r. Proiettando detta retta r sui piani
fondamentali si ottengono sui piani di vista dall'alto e da sinistra le rette r2 ed r3 parallele
rispettivamente alle semirette Oy2 e Oy3 e aventi da queste una distanza uguale alle lunghezze
dei segmenti ORr2, ORr3, corrispondenti alle distanze della retta r dai piani di vista da sinistra
e vista dall'alto. Nella vista anteriore r si riduce al punto Rr coincidente con Rr1.
CHIEREGATO MARCO
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5. Rappresentare una retta r perpendicolare al piano di vista dall'alto.
Il punto Sr è l'unica traccia della retta obiettiva r. Proiettando detta retta r sui piani
fondamentali si ottengono sui piani di vista anteriore e da sinistra le rette r1 ed r3 parallele alla
linea verticale Oz e aventi da questa una distanza rispettivamente uguale alla lunghezza dei
segmenti OSr1 OSr3 corrispondenti alle distanze della retta r dai piani di vista da sinistra e
anteriore. Sul piano di vista dall'alto la retta r, si riduce al punto Sr coincidente con Sr2.
6. Rappresentare una retta r perpendicolare al piano di vista da sinistra .
Il punto Tr è l'unica traccia di r. Proiettiamo la retta data sui piani fondamentali. Sul piano di
vista anteriore e su quello di vista dall'alto si ottengono le rette r1 e r2 parallele alla linea di
terra e aventi da questa una distanza rispettivamente uguale alla lunghezza dei segmenti OTr1
e OTr2 corrispondenti alle distanze della retta r dai piani di vista dall'alto e di vista anteriore.
Sul piano di vista da sinistra la retta r, si riduce al punto Tr coincidente con Tr3.
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
PROIEZIONE ORTOGONALE DI PIANI
Rappresentazione di un piano dato un piano nello spazio si dicono tracce del piano le sue rette
d'intersezione con i tre piani fondamentali; un piano in proiezione ortogonali si rappresenta
mediante le sue tracce che sono rα , sα , tα
Tavola n°23
1) Rappresentare un piano α comunque disposto nello spazio.
Le tracce rα, sα, tα sono inclinate rispetto alle semirette Ox, Oy, Oz. L'inclinazione del piano
obiettivo rispetto ai tre piani fondamentali si ottiene mediante la seguente costruzione
geometrica. Siano D, E, F i piedi delle perpendicolari condotte da O rispettivamente alle
tracce rα, sα, tα.
a) L'inclinazione del piano obiettivo rispetto al piano di vista anteriore è data dall'angolo in D
del triangolo rettangolo avente per cateti i segmenti OD ed OC2.
b) L'inclinazione del piano obiettivo rispetto al piano di vista dall'alto è data dall'angolo in E
del triangolo rettangolo avente per cateti i segmenti OA ed OE .
c) L'inclinazione del piano obiettivo rispetto al piano di vista da sinistra è data dall'angolo in F
del triangolo rettangolo avente per cateti i segmenti OF ed OB.
2) Rappresentare un piano α parallelo al piano di vista anteriore.
La traccia s, di vista dall'alto è parallela alla linea di terra Ox. La distanza OM2 della traccia
sα dalla linea di terra Ox rappresenta la distanza del piano obiettivo dal piano di vista
anteriore. La traccia tα di vista da sinistra è parallela alla Oz.
CHIEREGATO MARCO
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3) Rappresentare un piano α parallelo al piano di vista da sinistra
Le tracce rα e sα, rispettivamente di vista anteriore e di vista dall'alto, sono coincidenti e
parallele alla semiretta Oz dalla quale distano di OM|, la cui lunghezza è pari alla distanza del
piano obiettivo dal piano di vista da sinistra.
4) Rappresentare un piano α parallelo al piano di vista dall'alto.
Le tracce rα e tα, rispettivamente di vista anteriore e di vista da sinistra, sono coincidenti e
parallele alla semiretta Ox dalla quale distano di OM la cui lunghezza è pari alla distanza del
piano obiettivo da quello di vista dall'alto.
5) Rappresentare un piano α perpendicolare al piano di vista anteriore ed obliquo
rispetto agli altri due.
Le tracce sα e tα di vista dall'alto e di vista da sinistra, sono rispettivamente parallele alle
semirette Oy2 e Oy3. La, traccia sul piano di vista anteriore è obliqua rispetto alle semirette
Ox e Oz.
6) Rappresentare un piano α perpendicolare al piano di vista da sinistra e obliquo
rispetto agli altri due.
Le tracce rα ed sα rispettivamente di vista anteriore e di vista dall'alto, sono parallele alla
semiretta Ox traccia tα sul profilo è obliqua rispetto alle semirette Oz e Oy3.
CHIEREGATO MARCO
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RIBALTAMENTO DEI PIANI
In generale nelle proiezioni ortogonali non si possono valutare le vere dimensioni di una
figura giacente in un qualsiasi piano, o la vera grandezza di un angolo, poiché le proiezioni
della figura sui tre piani fondamentali risultano deformate. Per ottenere la grandezza reale di
una figura appartenente ad un piano basta ribaltare il piano su uno dei piani fondamentali di
proiezione.
Ribaltare un piano generico su uno dei tre fondamentali di proiezione, significa far ruotare il il
piano generico attorno alla, sua traccia relativa a quel piano fondamentale, fino a farlo
combaciare con questo.
Insieme al piano ruotano tutte le figure che gli appartengo per cui queste,dopo il ribaltamento,
vengono ad assumere forma e dimensioni uguali a quelle della figura obiettiva Indichiamo i
ribaltamenti con la stessa denominazione che hanno gli elementi obiettivi, ma racchiusa tra
parentesi, esempio (P) rappresenterà il ribaltamento del punto P.
CONDIZIONI DI APPARTENENZA
Condizioni di appartenenza di un punto P ad una retta r
Un punto appartiene ad una retta r quando le sue proiezioni appartengono alle
proiezioni della retta.
Condizioni di appartenenza di una retta r ad un piano α
Una retta appartiene ad un piano α quando le tracce della retta r appartengono alle
corrispondenti tracce del piano α .
Condizioni di appartenenza di una punto P ad un piano α .
Un punto P appartiene ad un piano α quando sia possibile considerare una retta S per P
ed appartenente ad α . Devono essere quindi verificate le condizioni di appartenenza tra
punto e retta e piano
CHIEREGATO MARCO
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Tavola n°24
1) Da un punto P condurre una retta r comunque orientata
Dalle viste anteriori P1 e dall'alto P2 di P, si conducano a piacere le due viste anteriori r1, e
dall'alto r2 di r. Si determinino le tracce Rr ed Sr di r. La vista di sinistra può servire da
verifica.
2) Per un punto P condurre una retta parallela al piano di vista dall’alto.
Da P2, si conduca a piacere la vista dall'alto r2 di r. Le r1, ed r3, saranno ovviamente parallele
ad x .
3) Per una retta r condurre un piano α comunque disposto.
Dalla traccia Rr di r si conduca a piacere la traccia rα di α . La congiungente il punto
d’incontro di rα con x e la traccia Sr di r rappresenterà la traccia di sα di α . La traccia tα è
nota con le solite relazioni.
CHIEREGATO MARCO
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4) Per una retta r condurre un piano α perpendicolare al piano di vista anteriore.
Le tracce sα e tα di α saranno parallele rispettivamente a y2 e y3, la traccia rα coinciderà con
r1.
5) Per un punto P tracciare un piano α .
Si consideri ad esempio una retta α parallela al piano di vista dall'alto. Le proiezioni a1 e a3
di α saranno coincidenti e parallele ad x passanti per P1 e P3. Le tracce di α : Rα e Tα fissate a
piacere determinano la proiezione α2 passante per P2. Scelte a piacere le tracce di rα e tα di α,
la traccia sα dovrà essere parallela ad a2.
6) Per un punto p tracciare un piano a parallelo al piano di vista dall'alto.
Le tracce rα e tα saranno coincidenti, passanti per P1 e P3 e parallele ad x .
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
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CONDIZIONI DI PARALLELISMO
Condizioni di parallelismo tra due rette: R e S
Due rette sono parallele quando le loro proiezioni omonime sono parallele.
Condizioni di parallelismo tra due piani: α e β
Due piani sono paralleli quando sono parallele le loro tracce omonime
Condizioni di parallelismo tra una retta r e un piano α .
Una retta è parallela ad un piano quando per questa è possibile condurre un pian o
parallelo al primo
CHIEREGATO MARCO
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Tavola n ° 25
1) Tracciare una retta r parallela ad un'altra retta data a
Tracciata una proiezione, ad esempio r1 di r parallela ad a1 fissata la traccia Rr sono
determinate le altre due proiezioni r2 ed r3 parallele rispettivamente ad a2 ed a3.
2) Tracciare un piano β parallelo ad un piano dato α .
Basterà tracciare le tracce di β parallele alle tracce di α .
3) Tracciare una retta r parallela ad un piano dato α
Si tracci un piano β parallelo ad α e qualsiasi retta come r appartenente al piano β sarà
parallela ad α .
4) Per un punto R di una retta r tracciare una retta s .
CHIEREGATO MARCO
88
Da R1 si conduca a piacere la proiezione s1 di s. Fissata la traccia Rs di s si determini s2
uscente dal piede della perpendicolare su x condotta da Rs e passante per R2. La traccia S2, è
nota per le solite linee di richiamo.
5) Per un punto R di r condurre una retta s orizzontale
Le proiezioni s1 ed s3 di S sono coincidenti , parallele ad x e passanti per P1 e P3 . Fissata a
piacere una traccia , ad esempio Rs, la seconda proiezione s2 è data dalla congiungente Rs2 con
R2 da cui rimane infine determinata l’altra traccia Ts di s
6) Tracciare un piano α parallelo alla retta r
Si consideri un piano β appartenente ad r. Ogni piano come α parallelo a β sarà parallelo alla
retta r.
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
90
RAPPRESENTAZIONE DI FIGURE PIANE
Per rappresentare nel foglio da disegno una qualsiasi figura piana limitata, posta nello spazio,
basta determinare le proiezioni del suo contorno sul piani fondamentali. Così che il contorno è
una spezzata basta considerare le proiezioni dei suoi vertici che congiunte mediante segmenti
di retta, determinano su ogni piano fondamentale le cercate proiezioni del contorno.
Nel caso che il contorno sia una linea curva si proietta un certo numero, il più grande
possibile, dei suoi punti; unendo su ogni piano fondamentale le proiezioni dei vari punti con
una linea continua si ottengono le proiezioni della curva contorno, cioè della figura piana.
La rappresentazione dei solidi geometrici costituisce la base fondamentale per il disegno di
organi meccanici, poiché questi per le normali lavorazioni con cui vengono costruiti, risultano
generalmente composti da un insieme di solidi geometrici elementari. Consideriamo un solido
qualunque opaco, posto di fronte ad un punto dato, che potremo pensare come una sorgente
luminosa e puntiforme.
Le infinite rette o meglio gli infiniti raggi luminosi uscenti dalla sorgente possono essere,
rispetto al solido fissato nello spazio, secanti, tangenti, esterni.
1. Sono secanti quelli che incontrano il solido e che quindi vengono interrotti da questo.
2. Sono tangenti quelli che sfiorano il solido e nel loro insieme costituiscono una superficie
conica detta proiettrice o d'ombra.
3. Sono esterni quelli che non incontrano il solido e che proseguono quindi indefinitamente
senza essere interrotti.
Chiamasi contorno apparente
del solido dal punto o centro di
proiezione P, il luogo dei punti
di contatto dei raggi tangenti al
solido. I1 luogo di questi punti
determina una linea detta anche
contorno
d'ombra.
Infatti,
pensato il punto P come una
sorgente luminosa puntiforme,
il
contorno
apparente
rappresenta
la
linea
di
separazione fra la regione
illuminata e quella in ombra del
solido dato. Consideriamo un
piano α posto, rispetto al
solido, della parte opposta a P e
proiettiamo su di esso, dal
punto P, il contorno apparente del solido dato. La proiezione sarà, una linea, che chiameremo
contorno apparente riportato oppure contorno d'ombra riportato, linea che risulta
dall'intersezione del cono proiettante col piano α di proiezione e che sarà quindi diversa a
seconda dell'orientamento di α. Allontanando il punto P fino all'infinito, i raggi proiettati
diventano tutti paralleli e il cono di proiezione diventa un cilindro (a generatrici parallele) e, se
in particolare il piano di proiezione è perpendicolare alla direzione comune dei raggi
CHIEREGATO MARCO
91
proiettanti, si otterrà su di esso la proiezione ortogonale del contorno apparente del solido.
Questo sarà il metodo che seguiremo per rappresentare i solidi in proiezioni ortogonali. Cioè
per rappresentare un solido basterà proiettare, ortogonalmente sui tre piani fondamentali, i tre
contorni apparenti che risulteranno definiti sul solido portando il centro di proiezione all’
infinito e in direzione normale ai piani di proiezione. Se il solido ha degli spigoli, questi
verranno pure proiettati sui piani fondamentali cosicché le loro proiezioni assieme ai contorni
apparenti riportati costituiranno le proiezioni del solido. D'ora in poi, come già si è detto in
precedenza, intenderemo le proiezioni sempre ortogonali.
Tavola n ° 26
1) Rappresentare un rettangolo ABCD con un lato parallelo al piano di vista dall’alto ed
appartenente ad un piano α perpendicolare al piano di vista da sinistra ed obliquo
rispetto agli altri due.
2) Rappresentare un esagono regolare ABCDEF appartenente ad un piano α
perpendicolare al piano di vista anteriore ed obliquo rispetto agli altri due.
Si ribalti il piano dell'esagono sul piano di vista anteriore nel modo già visto. Dovendo
rappresentare l'esagono sul suo piano, basta disegnarlo nella regione di piano limitata dalle
rette rα (sα) orientato, ad esempio, con un lato AB parallelo al piano di vista dall’alto e quindi
(A)(B) parallelo a (sα). Mandando dai vertici dell'esagono le parallele a (sα) si determinino
sulla rα i punti B1 ≡ A1; C1≡ F1; D1≡ E1 data la particolare disposizione dell'esagono. Il
segmento A1E1, rappresenta la vista anteriore dell’esagono. Per determinare la vista dall'alto
A2B2C2D2F2 si mandino da (A), (B), (C), (D),(E), (F) le parallele a rα fino ad incontrare la (sα),
si proseguano tali linee con archi di circonferenza di centro G fino ad incontrare la sα e si
proseguano ulteriormente con rette parallele alla Ox fino ad incontrare le corrispondenti linee
di richiamo parallele alla Oz e uscenti dalle viste anteriori dei vertici. Congiungendo questi
punti con segmenti consecutivi, otteniamo un esagono irregolare che rappresenta la vista
dall’alto di quello obiettivo. La vista da sinistra si ricava facilmente dalle altre due proiezioni.
3) Rappresentare una piramide regolare a base esagonale con la base genericamente
orientata sul piano di vista dall'alto.
Per ottenere lo sviluppo laterale si tracci un arco di circonferenza con raggio uguale allo
spigolo laterale, ricavabile dal profilo, e si sottendano a detto arco sei corde consecutive e
uguali ai lati della base della piramide, quindi si congiungano gli estremi di dette corde con il
centro. Si completi lo sviluppo aggiungendo a quello laterale l’esagono di base.
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
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SEZIONARE UN SOLIDO
Sezionare un solido significa tagliarlo con delle superficie in un certo numero di parti. Si
chiama sezione di un solido, relativa ad una o più superficie di, sezione la figura luogo dei
punti comuni al solido e alle corrispondenti superficie sezionatici. Se la superficie tagliante o
sezionante un piano, come di solito avviene, la sezione del solida, che è una figura piana, si
chiama sezione piana. Per convenzione nel disegno tecnico, una volta effettuata la sezione si
asporta una delle parti del solido tagliato e si rappresenta la seconda parte indicando la sezione
con tratteggio parallelo, equidistante ,sottile e inclinato a 45° rispetto agli assi principali della
sezione. Generalmente in pratica la sezione dei solidi ha lo scopo di mettere in evidenza la
forma e struttura interna dell'oggetto che si rappresenta.
Per rappresentare in modo chiaro è semplice una sezione piana è fondamentale il saper
orientare, rispetto ai piani di proiezione, il solido sezionato; ossia, tenendo conto della
posizione del piano di sezione rispetto al solido, occorre disporre quest' ultimo in maniera che
la sezione possa essere proiettata o ribaltata, sui piani fondamentali, nel più semplice e chiaro
dei modi.
Di solito i metodi possibili per determinare la sezione piana di un solido sono diversi; la
pratica consiglierà caso per caso il più semplice. La determinazione di una sezione piana
consiste, nel determinare il suo contorno o linea di sezione. La linea di sezione è la linea
secondo la quale si tagliano il piano sezionatore e la superficie del solido, detta linea viene
definita mediante in sufficiente numero di suoi punti i quali vengono individuati coi due
metodi principali seguenti:
1 metodo.
Il metodo generale è quello dell’impiego di piani ausiliari. Consideriamo un piano (ausiliario)
che tagli il solido sezionato e i piano sezionatore: il piano ausiliario determinerà sulla
superficie del solido una linea di sezione che sarà costituita da una o più curve piane e
determinerà sul piano sezionatore, come linea di sezione, una retta.
Gli eventuali punti comuni alle linee di sezione determinate dal piano ausiliario
rispettivamente, sulla superficie del solido e sul piano sezionatore, saranno punti del contorno
della sezione cercata.
Infatti, i punti comuni alle linee di sezione suddette, appartengono contemporaneamente al
piano sezionatore e alla superficie del solido sezionato, sono pure punti della linea di sezione,
ossia del contorno della sezione cercata. Ogni piano ausiliario in generale potrà definire un
limitato numero di punti della linea di sezione quindi si dovrà ricorrere all'impiego, di un
numero di piani ausiliari tale da ottenere, un numero sufficiente di punti della linea di sezione,
onde poterla tracciare con facilità. L'efficacia di questo metodo è subordinata all'opportuna
scelta dei piani ausiliari; questi infatti dovranno avere posizioni tali da interessare la regione in
cui avviene la sezione e tali da determinare con la superficie del solido una linea di sezione
che sia di immediato rilievo, per esempio il contorno di un poligono o una circonferenza.
CHIEREGATO MARCO
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2 metodo
Molte volte per rappresentare la sezione piana di un solido non occorre introdurre i piani
ausiliari. Così pei esempio se il solido è un poliedro, i punti d'intersezione fra piano di taglio e
spigoli del solido sono vertici del poligono che rappresenta la sezione, cercata quindi
congiungendo sui piani fondamentali le proiezioni di tali vertici si ottengono le proiezioni
della sezione obiettiva.
Se fra le tre proiezioni della sezione non ne esiste una che sia uguale alla sezione obiettiva,
ossia se il piano di taglio non è parallelo ad uno dei piani fondamentali di proiezione, si ottiene
la sezione nella forma ideale ribaltando il piano di taglio, e con esso la sezione, su uno dei
piani fondamentali.
Quando si effettua la sezione di un solido con un piano, si presenta il piano di taglio mediante
le tracce rα, sα, tα, indicate con la a tratto e punto con linee estreme ingrossate, e poiché la sua
esistenza materiale obbligherebbe a vedere tratteggiata una o tutte; le proiezioni del solido da
esso coperto, praticamente lo si suppone trasparente. Un'altra convenzione è quella di
immaginare asportata la parte di solido compresa fra il piano di taglio e l'osservatore, al più
tale porzione di solido può essere tratteggiata per poter risalire al forma originaria del solido.
CHIEREGATO MARCO
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CHIEREGATO MARCO
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SEZIONI PIANE DI UN CONO
Le sezioni di un cono circolare sono figure piane delimitate da curve di specie diversa a
seconda della posizione del piano ai sezione relativa al cono. La fig. a fianco rappresenta la
vista anteriore di un cono il cui asse sia parallelo al foglio (piano di vista anteriore) e le rette
tratteggiate con linea e punto con estremi rinforzati rappresentano le tracce dei piani
sezionanti perpendicolari al piano di vista anteriore. L'angolo φ si chiama apertura del cono.
Su ciascuna traccia, è indicata la figura esatta della sezione che il relativo pano determina sul
cono. Ciascuna di tali figure è stata ottenuta mediante una traslazione lungo il proprio asse ed
un ribaltamento attorno al medesimo sul piano parallelo a quello di proiezione.
1.
Se il piano passa per il vertice e
forma con l'asse del cono un angolo
maggiore di φ la sezione è un punto (il
vertice del cono).
2.
Se il piano passa per il vertice e
forma con l'asse del cono un angolo
uguale a φ, la sezione è un segmento di
retta (la generatrice di tangenza).
3.
Se il piano passa per il vertice e
forma con l'asse del cono un angolo
minore di φ, la sezione è un triangolo.
4.
Se il piano non passa per il vertice
ed è perpendicolare all'asse del cono, la
sezione è un cerchio.
5.
Se il piano non passa per il vertice
e forma con l'asse del cono un angolo
maggiore di φ, la sezione è un'ellisse.
6.
Se il piano non passa per il vertice
e forma con l'asse del cono un angolo
uguale a φ la sezione ha per contorno un
arco di parabola chiuso da un segmento
di retta. Detta sezione si chiama
segmento parabolico.
7.
Se il piano non passa per il vertice
e forma con l'asse del cono un angolo
minore di φ la sezione è un arco di
iperbole chiuso da un segmento di retta.
Detta sezione si chiama segmento
iperbolico.
Nelle successive tavole rappresenteremo
dettagliatamente tutti i casi sopra
considerati eccetto i primi due poiché non presentano interesse alcuno riducendosi le relative
sezioni a un punto e ad un segmento.
CHIEREGATO MARCO
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Tavola n ° 28
1.
Rappresentare e sviluppare un cono circolare retto con la base sul piano di vista
dall’alto e sezionato con un piano α perpendicolare al piano di vista anteriore, passante
per il vertice del cono e formante con l'asse del cono un angolo minore di quello della sua
apertura.
La sezione è un triangolo isoscele avente il vertice coincidente col vertice del cono, come lati
uguali due lati del cono comuni al piano sezionatore e come base la corda comune al cerchio
di base e alla traccia sα del piano (essendo la base sul piano di vista dall’alto). Lo sviluppo
laterale è un settore di cerchio che si ottiene tracciando un arco di lunghezza uguale a quella
dell'arco residuo di base e di raggio uguale all'apotema del cono. Lo sviluppo si completa col
residuo segmento circolare di base e col triangolo di sezione la cui grandezza reale si ottiene
ribaltando il piano sezionatore sul piano di vista anteriore. La superficie laterale è stata tagliata
lungo il lato AV .
2.
Rappresentare e sviluppare un cono circolare retto con la base sul piano di vista
dall'alto e sezionato con un piano α perpendicolare all'asse del cono e non passante per il
vertice .
La sezione è un cerchio ed è di immediata
identificazione. Lo sviluppo laterale è un settore di
corona circolare i cui archi hanno lunghezze
rispettivamente uguali alle circonferenze di base il
raggio maggiore è uguale al lato o apotema del
cono, quello minore è uguale al lato del cono
asportato. Lo sviluppo totale si ottiene aggiungendo
a quello laterale i due cerchi di base.
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Tavola n ° 29
Rappresentare e sviluppare un cono circolare retto con la base sul piano di vista dall’alto
e sezionato, da un piano α perpendicolare al piano di vista anteriore, formante con l'asse
del cono un angolo maggiore di quello della sua apertura e non passante per il suo
vertice.
La linea di sezione è un'ellisse i cui punti si possono determinare seguendo entrambi i metodi
descritti. Scegliamo ad esempio il secondo. Si consideri un certo numero di generatrici del
cono, che per comodità assumeremo tali da passare per punti equidistanti dalla circonferenza
di base.
Le intersezioni di dette generatrici col piano sezionatore saranno punti della linea di sezione
cercata. La figura reale della sezione si otterrà ribaltando il piano sezionatore sul piano di vista
anteriore.
Tracciato lo sviluppo del cono intero e delle generatrici che sono servite a determinare la
sezione conica; si tolga a partire dal vertice V su ciascuna generatrice un segmento pari alla
porzione di quella generatrice che appartiene al solido asportato dopo la sezione. Si
congiungano con una linea curva e continua gli estremi dei segmenti asportati dallo sviluppo
del cono intero ottenendo così lo sviluppo laterale. Si completi lo sviluppo con l'aggiunta del
cerchio di base e della sezione ellittica reale ottenuta dal ribaltamento effettuato. La superficie
laterale è stata tagliata lungo la generatrice VA .
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Tavola n ° 30
Rappresentare e sviluppare un cono circolare retto con la base sul piano di vista dall'alto
e sezionato con un piano α perpendicolare al piano di vista anteriore, formante con l'asse
del cono un angolo uguale a quello della sua apertura e non passante per il vertice.
La sezione che si ottiene è un segmento parabolico il cui contorno o linea di sezione si può
ottenere con entrambi i metodi noti, ma è consigliabile in questo caso, per ragioni pratiche di
esecuzione, seguire il primo metodo. Consideriamo un certo numero di piani ;ausiliari
paralleli la piano di vista dall'alto e per ciascuno si operi come segue per quello β di tracce rβ
e tβ. Il piano β taglia la superficie laterale del cono secondo una circonferenza di diametro
A1B1, parallela al piano di vista dall'alto, ed il piano sezionatore secondo una retta
perpendicolare al piano di vista anteriore e di proiezione su questo: H1≡: K1; H2 e K2 sono le
viste dall'alto dei due punti della linea di sezione che si ottengono dall’intersezione fra le viste
dall'alto della circonferenza e della retta determinante dal piano ausiliario β. La vista da
sinistra si ottiene col metodo ormai noto dalla determinazione della terza protezione di un
punto conosciute le altre due. La forma esatta della sezione obiettiva si ricava col solito
ribaltamento del piano sezionatore sul piano di vista anteriore.
Tracciato lo sviluppo laterale del cono intero si determini la posizione sullo sviluppo a dei
punti della parabola definiti mediante i piani ausiliari considerati, operando come segue per i
punti H e K. Si supponga di tagliare la superficie laterale del cono lungo la generatrice
passante per A. Si descriva sul settore circolare, sviluppo del cono, un arco concentrico
all'arco del settore e di raggio VA ≡ V1A1, si tolga dagli estremi di questo un arco della
lunghezza dell’arco A2H2 ≡ A2K2 determinando la posizione sullo sviluppo dei putti H e K;
congiungendo con una linea curva i punti come H e K; si ottiene lo sviluppo della linea di si
ottiene lo sviluppo della linea di sezione.
Si completi lo sviluppo con l'aggiunta del cerchio di base e del segmento parabolico di sezione
(dal ribaltamento).
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Tavola n ° 31
Rappresentare e sviluppare un cono circolare tetto con la base sul piano di vista dall’alto
e sezionato, con un piano parallelo al piano di vista da sinistra e non passante per il
vertice.
La sezione che si ottiene è un segmento iperbolico il cui contorno si può ottenere con entrambi
i metodi noti, ma è consigliabile, in questo caso per ragioni pratiche di esecuzione seguire il
primo metodo. Sia per la rappresentazione che per lo sviluppo si proceda in modo analogo al
caso precedente. La superficie laterale è stata tagliata lungo la generatrice VA. La grandezza
reale della sezione è uguale a quella della sua vista da sinistra.
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COMPENETRAZIONE DEI SOLIDI E SVILUPPI
Generalità:
È frequente nella costruzione di organi di macchine il caso in cui un solido penetri in un altro
e di conseguenza le superficie dei due solidi si
intersechino secondo una o più curve dette linee di
intersezione. Nella costruzione dell’organo di
macchina le linee di intersezione, in generale,
risultano automaticamente dal processo lavorativo.
Esempio: la punta di una matita prismatica si può
interpretare come l’intersezione di un cono
(temperamatite rotante), con un cilindro (mina) e con un prisma esagonale (legno portamina).
Rappresentazione di solidi compenetranti
Il problema che ora ci poniamo è quello di rappresentare solidi compenetranti, cioè di
provvedere a rappresentare la linea di intersezione delle loro superficie.
Non è possibile dare una regola generale per la risoluzione di questi problemi perché possono
essere diverse le soluzioni e la scelta della più conveniente varia da caso a caso a seconda del
tipo e della posizione reciproca dei solidi compenetranti.
Solitamente le curve di intersezione si tracciano per punti, si determina cioè un numero
sufficiente di punti appartenenti contemporaneamente ad entrambe le superficie dei solidi
compenetranti, indi si uniscono tali punti con segmenti curve ecc. a seconda dei casi.
Esamineremo ora tre metodi semplici per tracciare la linea d'intersezione di due solidi
compenetranti.
1 metodo (metodo delle generatrici)
Si determinano dei punti della linea di intersezione come punti d’incontro di una linea
appartenente alla superficie di uno dei solidi con la superficie dell'altro. Questo metodo è
applicabile quanto almeno uno dei solidi compenetranti è cilindrico o prismatico.
2 metodo (metodo dei piani ausiliari)
Ci si serve di piani ausiliari i quali taglieranno le superficie dei due solidi secondo curve
piane, i cui punti comuni appartengono alla linea d’intersezione cercata. Questo metodo è
generale poiché risolve teoricamente tutti i problemi d’intersezione dei solidi, però è
consigliato nei casi in cui i piani ausiliari, opportunamente orientati intersecano le superficie
dei solidi secondo curve semplici come circonferenze e spezzate. Per esempio nel caso in cui i
due solidi compenetranti siano di rivoluzione ad assi paralleli sarà opportuno l'impiego di
piani perpendicolari agli assi, che intersecheranno le superfici dei solidi secondo circonferenze
(paralleli) i cui punti comuni saranno punti della linea d'intersezione cercata. In particolare se
gli assi dei due solidi di rivoluzione sono coincidenti, le eventuali curve d'intersezione sono
delle circonferenze: i paralleli comuni alle superficie dei solidi.
3 metodo (metodo delle sfere ausiliarie)
Ci si serve di sfere ausiliarie che hanno il medesimo compito dei piani del metodo precedente.
Questo metodo è particolarmente ,adatto nel caso in cui i solidi compenetranti siano solidi di
rivoluzione ad assi concorrenti. In questo caso si impegnano sfere ausiliarie concentriche, con
centro nel punto di concorrenza degli assi dei solidi.
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Una sfera ausiliaria così posta intersecherà entrambe le superficie dei solidi in un certo
numero di circonferenze (paralleli); punti comuni saranno punti della linea d'intersezione
cercata. Si noti che questo sistema permette di effettuare immediatamente la proiezione
dell’intersezione su un piano parallelo agli assi dei solidi, senza l'ausilio delle altre proiezioni.
Tavola n ° 32
Rappresentare un prisma regolare pentagonale compenetrato con un prisma regolare
esagonale, con assi incidenti e rispettivamente perpendicolari ai piani di vista dall’alto e
da sinistra.
Applichiamo il 1 metodo. Si determinano i punti d'intersezione degli spigoli del prisma
esagonale con la superficie laterale di quello pentagonale operando per ciascuno come segue
per lo spigolo AB . Le viste dall’alto di tali intersezioni sono date dai punti C2, D2, mentre le
viste anteriori saranno date dalle intersezioni con A1B1( vista anteriore dello spigolo AB) delle
linee di richiamo verticali condotte per C2 e D2 . I punti come sopra per tutti gli spigoli
saranno i vertici della o delle spezzate che costituiscono la linea o le linee di intersezione
cercate . La vista da sinistra si ottiene con il procedimento già noto per la determinazione della
terza proiezione di un punto note le altre due.
Gli sviluppi dei prismi compenetrati si ottengono tracciando sui loro sviluppi totali gli sviluppi
delle spezzate d’intersezione. Le superficie laterali del prisma esagonale e di quello
pentagonale sono state tagliate rispettivamente lungo gli spigoli EF e GH.
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Tavola n ° 33
Rappresentare un cono circolare retto con la base sul piano di vista dall’alto
compenetrato con un prisma regolare a base quadrata. Gli assi sui due, solidi sono
incidenti e quello del prisma perpendicolare al piano di vista da sinistra.
Applichiamo il 2 metodo. Si consideri un piano ausiliario parallelo al piano di vista dall'alto e
di tracce rα e tα.
Questo piano seziona il cono secondo un cerchio di diametro A3B3 e il prisma secondo un
rettangolo di vista dall'alto C2D2E2F2. I punti G2, H2, I2, L2 comuni alle viste dall’lato del
cerchio e del rettangolo sopraddetti sono viste dall’alto di punti della linea d’intersezione
cercata.
La vista anteriore di tali punti e data dall'intersezione della traccia rα, con linee di richiamo
verticali condotte dalle viste dall’alto.
Rispetto la suddetta costruzione con un numero sufficiente di piani paralleli ad α parecchi
punti che raccordati come si vede nella tavola danno la linea di intersezione cercata.
Tale linea è costituita da quattro archi di ellissi poiché si può pensare generata dalle sezioni
del cono con quattro piani (le facce laterali del prisma) inclinati, ciascuno, rispetto all'asse del
cono di un angolo maggiore dell’apertura del medesimo.
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Tavola n ° 34
Rappresentare due coni circolari retti compenetranti, con assi concorrenti,
perpendicolari tra loro e perpendicolari rispettivamente ai piani di vista dall’alto e da
sinistra.
Applichiamo il 3 metodo. Si consideri una sfera ausiliaria di centro C, punto di concorrenza
degli assi dei solidi.
Tale sfera seziona il cono ad asse perpendicolare alla pianta, secondo i cerchi di prospetto
A1B1 e D1F1, ed il cono ad asse perpendicolare al profilo secondo i cerchi di prospetto F1G1, e
H1I1. I punti d'intersezione delle viste anteriori delle circonferenze dei cerchi suddetti sono
viste anteriori di punti della curva d'intersezione cercata. Le viste dall'alto dei punti trovati si
ottengono come intersezione fra le viste dall’alto delle circonferenze di vista anteriore A1B1,
D1E1 e le linee di richiamo verticali passanti per le viste anteriori dei punti suddetti. Le viste
da sinistra si ottengono col metodo già noto.
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RAPPRESENTAZIONE IN PROSPETTIVA PARALLELA
La rappresentazione di un oggetto in proiezioni ortogonali ne definisce con precisione tutti gli
elementi geometrici ed è perciò universalmente adottata nella tecnica per il progetto o rilievo
di organi meccanici.
Questa rappresentazione richiede però una certa pratica ed un sensibile sforzo mentale per
poter immaginare la forma dell’oggetto rappresentato, in quanto essa va ricercata nella
combinazione simultanea di diverse proiezioni.
Esiste invece una rappresentazione dell’oggetto, detta prospettiva, che ha lo scopo di
presentare all'occhio dell'osservatore, mediante una sola figura piana, l'oggetto, detta
prospettiva che ha lo scopo di presentare all’occhio dell’osservatore, mediante una sola figura,
l’oggetto nello spazio, in maniera tale che guardando il disegno si abbia sensazione che si
avrebbe guardando direttamente l'oggetto.
La rappresentazione prospettiva si ottiene proiettando l’oggetto da un punto sopra un piano
che in pratica coincide col foglio da disegno. Il punto da cui si proietta si chiama centro di
vista e il piano su cui si proietta si dice piano prospettico.
Si hanno due specie di prospettive:
a) Prospettiva centrale in cui il centro di vista è proprio, cioè a distanza finita dall'oggetto da
proiettare.
Una prospettiva centrale è per esempio quella realizzata da una macchina fotografica, infatti in
essa molto schematicamente si possono riconoscere: il centro di vista nell'obiettivo e il piano
prospettico nella lastra o pellicola impressionabile.
b) Prospettiva parallela in cui il centro di vista è improprio, ossia a distanza infinita
dall'oggetto da proiettare, per cui i raggi proiettanti risultano tutti paralleli, fra loro.
Ci occupiamo solo della prospettiva, parallela essendo la più comoda a costruirsi, è l'unica che
può trovare qualche applicazione nella tecnica del disegno di macchine.
CHIEREGATO MARCO
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CLASSIFICAZIONE
PROSPETTIVA CAVALIERA
ASSONOMETRIA
ISOMETRICA O MONOMETRICA
DIMETRICA
Illustriamo Ia costruzione per ricavare la prospettiva cavaliera P' del punto P note che siano le
sue proiezioni ortogonali P1, P2, P3.
Date le proiezioni P1, P2, P3 dal punto P, si conduca dal punto Px la parallela a y’ e su questa
si porti il segmento, P’xP2; il punto P’2 rappresenta la prospettiva cavaliera della vista
dall’alto del punto P. Pertanto da P’2 in direzione parallela a Z la quota di P è uguale al
segmento P1Px si avrà il punto P’ prospettiva cavaliera di P
Come si vede la vista da sinistra P3 non interviene nella costruzione ma serve solo come
verifica per capire se la costruzione
precedentemente fatta è giusta.
Tavola n ° 35
1. Rappresentare un punto p assonometria cavaliera
2. Rappresentare una retta r assonometria cavaliera
3. Rappresentare un piano α assonometria cavaliera
4. Rappresentare un segmento AB assonometria cavaliera
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CHIEREGATO MARCO
Tavola n ° 36
1) Rappresentare un cubo con facce parallele ai piani di proiezione e appoggiato sul
piano di vista dall'alto.
2) Rappresentare una piramide regolare pentagonale e con la base appoggiata sul piano
di vista dall'alto.
3) Rappresentare un cilindro retto con base appoggiata sul piano di vista dall'alto
4) Rappresentare un cono retto con base appoggiata sul piano di vista dall’alto.
CHIEREGATO MARCO
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COSTRUZIONE DELLA ASSONOMETRIA ISOMETRICA
O MONOMETRICA
Nella assonometria monometrica si accentua l’efficacia spaziale della rappresentazione,
esaltando però le dimensioni di profondità. Questa assonometria presenta il vantaggio di avere
un’unica scala su tre assi e la grande facilità di impostazione degli angoli di 30°.
Anche qui è opportuno disporre il pezzo da rappresentare in assonometria monometrica nello
stesso modo come verrebbe razionalmente disposto per la sua rappresentazione in proiezione
ortogonale.
CHIEREGATO MARCO
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Illustriamo ora la costruzione per ricavare l’assonometria P’ del punto P note le sue proiezioni
ortogonali P1, P2, P3.
Si conduca da Pz le parallele a x’ e y’ e su queste si riportino i segmenti PzP’1 e PzP’3
rispettivamente uguali a PzP1 e a PzP3 ad esempio mediante archi di centro Pz e raggi
rispettivamente PzP1 e PzP3.
Tracciando da P’1 e P’3, le parallele rispettivamente a y’ e a x queste si incontrano in P’ che è
l’assonometria del punto P cercata.
CHIEREGATO MARCO
118
LA QUOTATURA DEGLI OGGETTI
I criteri che disciplinano la quotatura dei disegni tecnici sono dettati dall’UNI e sono raccolte
nelle tabelle 3973-3974-3975.
Si riportino le definizioni degli enti più significativi:
1)
LA LINEA DI’ MISURA :
• E’ quella linea che individua una dimensione dell’oggetto, definito dal valore numerico
della quota.
• Non può mai essere sostituita da un asse di simmetria o da una linea di contorno.
• La lunghezza delle linee di misura non corrisponde al valore numerico della quota
quando è interrotta e quando il disegno è fuori scala o in scala ridotta o ingrandita.
2)
LA LINEA DI’ RIFERIMENTO :
• E’ quella che collega una dimensione dell’oggetto con gli estremi della linea di misura,
oltrepassandola leggermente.
• Essa può essere sostituita da una linea di contorno o da un asse di simmetria.
3)
LE LINEE DI’ MISURA E DI’ RIFERIMENTO
• Devono essere eseguite con linee continue fini (tipo B)
CHIEREGATO MARCO
119
4) LE FRECCE:
• Caratterizzano l’intersezione tra le linee di misura e quelle di riferimento.
• Esse possono essere aperte o chiuse, quest’ultime piene o vuote, oppure sostituite da
brevi tratti inclinati di 45° rispetto alle linee di misura, o da una circonferenza avente
diametro di circa 3 mm se intersezione stessa indica una origine, o da punti.
• In uno stesso disegno, i contrassegni di estremità (frecce, punti, trattini), devono essere
tra loro coerenti.
• A seconda dello spazio disponibile, le frecce possono essere disegnate all’interno o
all’esterno delle linee di riferimento. In quest’ultimo caso la linea di misura viene
prolungata oltre la linea di riferimento.
• La grandezza delle frecce e dei contrassegni di estremità deve essere proporzionata al
disegno e garantire la chiarezza nella produzione e nella microfilmatura.
CASI PARTICOLARI
Quando sia utile alla chiarezza del
disegno le linee di misura si possono
tracciare
inclinate
piuttosto
che
perpendicolari alle linee di riferimento.
Nel caso di smussi e raccordi il riferimento per la quota si
determina prolungando le linee di contorno.
Nel caso di pezzi simmetrici le linee di misura devono
proseguire fino a sorpassare l’asse di simmetria che delimita
l’interruzione.
Se un oggetto è rappresentato in semivista ed in
semisezione le quote relative alle parti esterne si
indicano nella semivista, quelle relative alle parti
interne nella semisezione.
CHIEREGATO MARCO
120
NORME PER IL TRACCIAMENTO DELLE LINNE
DI’ MISURA E DI’ RIFERIMENTO
1. Le linee di misura devono essere poste possibilmente all’esterno del pezzo,
opportunamente distanziate dal suo contorno e tra di loro (minimo 8 mm), senza intersecarsi
con altre linee del disegno.
2. Disporre le linee di misura in modo ordinato, dalle minori vicine al pezzo, a quelle
maggiori progressivamente più lontane, dislocandone per gruppi omogenei: quelle relative al
profilo esterno da una parte e quelle relative alle lavorazioni interne dall’altra.
3. Le linee di misura devono essere sempre parallele alla dimensione a cui si riferiscono; nel
caso di angoli, saranno degli archi di circonferenza, aventi centro nell’intersezione delle
generatrici.
4. Le linee di misura nei pezzi simmetrici, quando sono numerose, possono essere interrotte e
messe sfalsate, per facilitare l’identificazione dell’ente omogeneo a cui si riferisce ciascuna
quota.
5. Le linee di costruzione concorrenti per la quotatura di spigoli fittizi e le linee di riferimento
vanno prolungate oltre il loro punto di intersezione.
6. Le linee di misura e di riferimento sono di norma perpendicolari tra di loro. Quando la
chiarezza lo richiede, le linee di riferimento possono essere inclinate, mantenendosi parallele
tra di loro.
7. Le linee di misura devono essere tracciate interamente, anche se si riferiscono ad elementi
rappresentati con interruzioni
8. Anche le linee di riferimento, per quanto è possibile, non devono intersecare altre linee del
disegno o di misura.
CHIEREGATO MARCO
121
NORME PER LA SCRITTURA DELLE QUOTE
I numeri che rappresentano le quote, devono essere scritti con caratteri unificati, sopra le linee
di misura con dimensioni tali da garantire la leggibilità, la riproducibilità e la microfilmatura e
in ogni caso mai più piccole di 2mm.
Per quanto riguarda la loro disposizione, sono previsti due criteri che verranno esposti qui in
seguito.
A. I numeri delle quote sono disposte sempre parallelamente, al di sopra della linea di
misura, in modo che siano letti dalla base e dal lato destro del disegno.
Le quote di angoli possono essere anche disposte orizzontalmente, all’esterno della
linea di misura.
Evitare di mettere delle quote all’interno dell’angolo α
B. I numeri delle quote sono disposti in modo che siano letti sempre e solo dalla base del
disegno e inseriti nelle linee di misura verticale od oblique nelle loro interruzioni
mediane.
Questo criterio di disposizione delle quote facilita la loro lettura senza richiedere
orientamenti diversi del foglio.
CHIEREGATO MARCO
122
SISTEMI DI’ QUOTATURA
I pezzi meccanici si differenziano per la loro forma geometrica e per il tipo di lavorazione
necessaria ad ottenerli.
Questi sono i due fattori da tenere in considerazione per la scelta del sistema di quotatura.
La tabella UNI 3974, prevede infatti i seguenti sistemi di quotatura
A. Quotatura in serie (o in catena)
B. Quotatura in parallelo
C. Quotatura a quote sovrapposte
D. Quotatura combinata
E. Quotatura in coordinate
A - Quotatura i serie
Con
questo
sistema
di
quotatura, ogni quota viene
assegnata rispetto alla vicina,
senza nessun piano o punto di
riferimento privilegiato
Viene applicato quando hanno
importanza le singole distanze
successive tra gli elementi e la
somma degli errori costruttivi
parziali non compromette la
funzionalità del pezzo.
B - Quotatura in parallelo
Con questo sistema di quotatura
tutte le quote, lunga una stessa
direzione, vanno riferite ad un
origine comune, fissata su un
punto o su un piano significativo
del pezzo.
Si applica quando hanno
importanza le rispettive distanze
dei vari elementi dall’unico
riferimento scelto e non si vuole
che si accumulino gli errori
costruttivi.
Il sistema di quotatura in
parallelo è indicata quando la
tracciatura, l’esecuzione e il controllo dei pezzi vengono fatti con macchine automatiche.
CHIEREGATO MARCO
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C – Quotatura a quote sovrapposte
Questo sistema è una derivazione semplificata della quotatura in parallelo e usa un’unica linea
di misura, che assegna la quota “0” all’elemento di origine.
Viene applicato solo quando manca lo spazio per la quotatura in parallelo che perciò è da
preferire, perché più chiara.
L’origine viene evidenziata con un cerchietto e i corrispondenza dell’elemento da quotare va
posta l’unica freccia ed il valore della quota, che può essere messo:
• sopra la linea di misura
• sul prolungamento della linea di riferimento.
D – Quotatura combinata
E’ il sistema di quotatura più usato. Esso soddisfa, meglio gli altri sistemi, tutte le esigenze
costruttive che sui disegni tecnici hanno bisogno contemporaneamente di più elementi di
riferimento; alcune quote risultano disposte in parallelo ed alcune in serie, da più punti di
origine.
CHIEREGATO MARCO
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D – Quotatura combinata
Questo sistema è alternativo al sistema di quotatura a questo sovrapposte, con ulteriore
semplificazione che le quote vengono raggruppate in un’apposita tabella.
• E1 – Quotatura in coordinate cartesiane
Vengono evidenziati l’origine, la direzione degli assi e numerati gli elementi da
quotare.
Questo sistema viene utilizzato per la quota di pezzi eseguiti con macchine utensili a
controllo numerico.
• E2 – Quotatura in coordinate polari
Vengono evidenziati l’origine, la partenza e il verso di misura degli angoli.
Questo sistema viene utilizzato per la quotatura di profili di camme con punteria a
contatto diretto.
• E3 – Quotatura in coordinate polari con ruolo di misura
Vengono evidenziati l’origine, la partenza, il verso di misura degli angoli e il diametro
del rullo.
Questo sistema viene utilizzato per la quotatura di profili di camme con punteria dotata
di rullo di contatto.
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CONVENZIONI PARTICOLARI
Acquisite le regole generali e visti i vari sistemi di quotatura usati nei disegni tecnici, vengono
presentate qui di seguito delle convenzioni particolari da applicare in casi specifici.
a) Nella figura qui sotto sono riportate le modalità di quotatura di angoli, archi e corde
b) La quotatura di un diametro deve essere preceduta dal simbolo “ø”, se questo non
appare già chiaro dal disegno. Nella quotatura di più diametri, rappresentati su un
piano perpendicolare al loro asse, non si possono usare più di due linee di misura che
si intersecano.
c) La quota di un raggio di
raccordo, viene preceduta dal
simbolo “R”. Quella di una
sfera dai simboli “Sø” se
esprime il diametro e “SR” se
esprime il raggio.
CHIEREGATO MARCO
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d) La quota di elementi a sezione quadrata, viene preceduta dal simbolo “□” se questo
non appare già chiaro dal disegno.
e) La quotatura degli smussi a 45° si fa con una sola quota parallela all’asse per pezzi
rotondi o alle generatrici per pezzi prismatici. Negli altri casi occorre quotare
separatamente il valore dello smusso e la sua inclinazione.
f) Particolari piccoli, difficilmente quotabili direttamente su pezzi (gole di scarico,
scanalature, ecc.), possono essere contrassegnati da un cerchio, identificati da una
lettera, riportati in scala ingrandita (es. 5:1) in vicinanza e ivi richiamati e quotati.
CHIEREGATO MARCO
127
g) La quotatura degli elementi ripetuti equidistanti, può essere semplificata, purché venga
garantita la chiarezza e la univocità di interpretazione.
h) Elementi diversi, disposti sullo stesso disegno, possono essere richiamati con lettere di
identificazione.
i) La quota delle filettature si esegue sempre
sul diametro esterno.
CHIEREGATO MARCO
128
l) Porzioni di superfici che devono subire particolari lavorazioni o trattamenti termici.
m) I complessivi rappresentano il disegno d’insieme di più pezzi formanti un dispositivo,
un attrezzatura o una macchina.
Normalmente i complessivi non vengono quotati ma riportano la numerazione per la
identificazione dei singoli particolari e una tabella che ne specifica il nome, il materiale e
gli eventuali trattamenti termici. La quotatura viene effettuata nei disegni particolari.
Tuttavia, qualora si ritenesse opportuno quotare dei pezzi semplici, direttamente sul
complessivo, le quote devono essere raggruppate il più possibile, in gruppi omogenei e
distinti.
n) La quotatura di pezzi rappresentati in assonometria segue le stesse regole delle
proiezioni ortogonali, con la precisazione che tutte le linee di misura e di riferimento
sono sempre parallele agli assi assonometrici.
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129
o) Pezzi con parti lunghe accorciate
nella rappresentazione del disegno, o
parti
fuori
scala,
hanno
le
corrispondenti
quote
reali
sottolineate,per indicare che la misura
della quota non corrisponde alla
grandezza della dimensione. Le quote
non vanno sottolineate quando il
disegno viene eseguito tutto in scala
ridotta o ingrandita.
p) Profili regolari individuati mediante centri e raggi di curvatura, vengono quotati
dando la posizione dei centri e il valore dei rispettivi raggi, con linee di misura
spezzate, se il centro, troppo lontano viene rappresentato in posizione ravvicinata. La
quota che si indica sui raggi è sempre quella reale.
q) I profili irregolari vengono quotati mediante l’indicazione delle coordinate di un
determinato numero di punti, usando il metodo della quotatura progressiva
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r) I profilati unificati si quotano indicando nell’ordine il simbolo del profilato,le misure
che identificano la sua sezione e la sua lunghezza.
s) Le strutture di carpenteria metallica, rappresentate in modo schematico, possono
essere quotate indicando direttamente sulle aste la distanza fra i nodi.