2-§. Munosabatlar. Binar munosabatlar. Ekvivalentlik munosabati.
Tartiblangan to‘plamlar.
2.1-ta’rif. A to‘plamning B to‘plamga R munosabati deb A  B
to‘g‘ri ko‘paytmaning R  A  B qism to‘plamiga aytiladi. Munosabatlar
quyidagicha ifodalanadi:
aRb , agar  a, b  R  A  B .
(Bu ta‘ririf binar munosabatlar uchun, ya‘ni ikkita to‘plam
orasidagi munosabat)
2.2-ta’rif. Agar
A=B bo‘lsa, u holda R munosabat A
to‘plamdagi munosabat deyiladi.
A to‘plamdagi turli munosabatlar orasida quyidagi munosabatlar
ahamiyatli:
 umumiylik munosabati: U  A  B
 to‘ldirish munosabati: R  U \ R
 teskari munosabat: { a, b : b, a  R}
 ayniyat: I  { a, a : a  A}
2.3-ta’rif.
va
munosabatlarning
R  A B
R  BC
1
2
kompozitsiyasi deb
munosabatiga
R R  A  C  { a, c : b  B : aR b, bR c}
1 2
1
2
aytiladi.
A to‘plamdagi munosabatlar kompozitsiyasi deb A to‘plamdagi
munosabatlarga aytiladi.
2.4-ta’rif. A to‘plamidagi R munosabatlar darajasi uning o‘ziga
bo‘lgan kompositsiyasiga R n  R...R
n ... marta
Nolinchi va birinchi darajali munosabatlar darajasini kiritish orqali
quyidagi ta‘rifga ega bo‘lamiz:
R  I , R1  R, R 2  R R, ... , R n  R n  1R
Agar <a,b> juftlik biror bir n quvvatli A to‘plamdagi R
munosabatlar darajasiga taaluqli bo‘lsa, u holda bu juftlik n-1 dan yuqori
bo‘lmagan R darajaga ham ham taaluqli bo‘ladi.
 i n 1 i
2
( R  A , | A | n) 
R 
R
i 1
i 1
To‘plamda munosabatlar xususiyatlari:
A to‘plamda R munosobat
ga teng bo‘lsin.
To‘plamda munosabatlar asosiy xususiyatlarini qarab chiqamiz.
Agar a  A a, a  R bo‘lsa, R refleksiv xususiyatga ega;
Agar a  A a, a  R bo‘lsa, R antirefleksiv xususiyatga ega;
Agar a  a, b  R  b, a  R bo‘lsa, R simmetrik xususiyatga
ega;
Agar a , b  A ( a, b  R  b, a  R)  a  b antisimmetrik
xususiyatiga ega;
Agar a , b, c  A ( a, b  R  b, c  R)  a, c  R tranzitivlik
xususiyatiga ega;
Agar a , b  A ( a, b  R) yoki (  b, a  R) bo‘lsa, to‘liq (yoki
chiziqli) bo‘ladi.
A to‘plamda R munosobat R  A2 ko‘rinishda bo‘lsin. U holda,
R refleksiv
IR
RI 
R antirefleksiv 
R simmetrik

R  R1
R antisimmetrik 
R  R1  I
R tranzitiv
R RR

R to‘liq
R  I  R 1  U bo‘ladi.

Funksiyalar. Funksiya matematikaning asosiy tushunchalaridan
biri bo‘lib, A to‘plamni B to‘plamga bir qiymatli akslantiruvchi
munosabatni ifodalab, f : A  B ko‘rinishda yoziladi.
2.5-ta’rif: f – munosabat A to‘plam bilan B to‘plam o‘rtasidagi
( a, b  a  f ,  a, c  f )  b  c,
ko‘rinishdagi munosabat bo‘lsin, u holda bunday munosabatga funksiya
deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
f
f : A  B yoki A  B
Agar  a, b  f bo‘lsa, u holda b  f (a) bo‘ladi, a funksiya
argumenti deb, b esa funksiya qiymati deb ataladi.
2.6-ta’rif: Agar b  f (a1 ) va b  f (a2 ) ekanligidan a1  a2 kelib
chiqsa, u holda
f : A  B funksiya in‘yektiv deyiladi.
2.7-ta’rif: Agar b  B, a  A munosabatlaridan b  f (a) kelib
chiqsa, u holda
f : A  B funksiya syub‘yektiv deyiladi.
2.8-ta’rif: Agar f : A  B funksiya bir vaqtning o‘zida ham
in‘yektiv, ham syur‘yektiv bo‘lsa, u holda, funksiya biyektiv yoki o‘zaro
bir qiymatli deyiladi,
Bir vaqtning o‘zida refliksivlik, simmetriklik va tranzitivlik
shartlari bajariladigan munosabatga ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Agar R ekvivalentlik munosabatida  a, b  R bajarilsa, quyidagi
belgilash ishlatiladi:
a b.
2.9-ta’rif: R – A to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. A
to‘plamning a elementi bilan R munosabatda bo‘lgan to‘plamga,
a  A elementning ekvivalentlik sinfi deyiladi:
[a]  {b | a  b}
Bunda quyidagi munosabatlar bajarilishi lozim:
a  A[a ]   ,
a  b  [a]  [b] ,
a  b  [a]  [b]   .
2.10-ta’rif: Birlashmasi A to‘plamga teng bo‘lgan, A ning o‘zaro
kesishmaydigan qism to‘plamlariga, to‘plamni bo‘laklash deyiladi.
  {Bi }iI , A to‘plam qism to‘plamlarining biror to‘plami
bo‘lsin. , A ni bo‘laklash deyiladi, agarda  uchun quyidagi xossa o‘rinli
bo‘lsa:
Bi  B j   bunda i  j, Bi  A.
iI
Faktor to’plam. A to‘plamning, R ekvivalentlik munosabatiga
nisbatan ekvivalentlik munosabatlar to‘plami faktorto‘plam deyiladi va
A / R ko‘rinishda belgilanadi.
Faktorto‘plam, A to‘plamning barcha qism to‘plamalari
to‘plamining qism to‘plami hisoblanadi: A: A / R  2 A
2.1-misol. Z butun sonlar to‘plami uchun quyidagi R munosabatni
o‘rnatamiz:
aRb, agarda a-b, 5 ga qoldiqsiz bo‘linsa.
Ushbu munosabat ekvivalentlik munosbatidir, chunki, bunda
refleksivlik, simmetriklik, va tranzitivlik munosabatlari qoldiqli bo‘lish
amalining xossalaridan kelib chiqadi.
Z ning Z/R faktor to‘plami quyidagi 5 ta ekvivalentlik sinfidan
iborat bo‘ladi:
Z / R  {[0],[1],[2],[3],[4]}
Tartiblash munosabati. Tartiblash munosabati matematika,
informatika va kundalik hayotda keng qo‘llaniladi. U yoki bu
ob‘ektlalarni tartiblash tez-tez uchrab turadigan hodisa.
Matemtikada, maksimum, minimum, funksiya monotonligi
tushunchalarining asosini munosabat belgilaydi.
Informatikada, barcha saralash, qidirish va boshqa algoritmlar
tartiblash munosabatiga tayanadi.
2.11-ta’rif:
Antisimmetrik tranzitv munosabat tatiblash
munosabati deyiladi.
2.12-ta’rif: Refleksiv tartiblash munosabati noqat‘iy tatiblash
munosabati
deyiladi.
2.13-ta’rif: Antirefleksiv tartiblash munosabati qat‘iy tatiblash
munosabati
deyiladi.
2.14-ta’rif: Agar tartiblash munosabati to‘liq bo‘lsa, u to‘liq yoki
chiziqli tartiblash deyiladi, aks holda qisman tartiblash deyiladi.
Agar R – tartiblash munosabati bo‘lsa, u holda aRb quyidagilarni
bildiradi:
a  b qat‘iy tartib;
a  b noqat‘iy tartib;
a  b umumiy holda.
2.15-ta’rif: A to‘plamning a elementi tartiblash munosabiga nisbatan
minimal element deyiladi, agarda unga nisbatan kichik element mavjud
bo‘lmasa:
b  A :(b  a, b a)
2.16-ta’rif:
A va B tartiblangan to‘plamalar bo‘lsin. Agarda
a1 , a2  A uchun a1  a2 dan f (a1 )  f (a2 ) kelib chiqsa, f : A  B
funksiya monoton deyiladi.
2.17-ta’rif: Agarda a1 , a2  A uchun a1  a2 dan f (a1 )  f (a2 )
kelib chiqsa, f : A  B funksiya qat‘iy monoton deyiladi.
2.2-misol: А={1,2,3,4} to‘plamda R={<x; y>: x > y} munosabat
mavjud bo‘lsin. R ning qiymatlari va aniqlanish sohasini toping. R 1 R ;
R  R munosabatlarni matrisalar usulida aniqlang. Munosabatlarning
xossalarini keltiring.
Yechimi: Dastlab А to‘plamning
R: R = {<2, 1>, <3, 1>, <3, 2>, <4, 1>, <4, 2>, <4, 3>} munosabatga
tegishli barcha elementlari tartiblangan juftliklarini hosil qilamiz.
Munosabatning aniqlanish sohasi DR={2,3,4}, qiymatlari sohasi
ER = {1,2,3}.
R 1 ={<у; х>: <x; y>  R }={<x; y>: y>x}={<x; y>: x<y}.
R ={<х; у>: <x; y>  R }={<x; y>: x  y}.
R, R -1; R va R  R munosabatlarning matrisalari quyida keltirilgan:
0

1
|| R || 
1

1

1

0
|| R || 
0

0

0 0 0
0


0 0 0
0
1
||
R
||

0
1 0 0 ;


0
1 1 0 

1 1 1
0


1 1 1
0
|| R  R || 

;
0 1 1
1




0 0 1
1
1 1 1

0 1 1
0 0 1 ;

0 0 0 
0 0 0

0 0 0
.
0 0 0

1 0 0 
R munosabat || R  R || kompoiztsiyasining rij elemuntlarini aniqlashni
bir nechta misolda tushuntiramiz:
r11  0  0  0 1  0 1  0 1  0 ;
r12  0  0  0  0  0 1  0 1  0 ;
r13  0  0  0  0  0  0  0 1  0 ;
r14  0  0  0  0  0  0  0  0  0 ;
r21  1  0  0  1  0  1  0  1  0 ;
R munosabat antirefliksiv hisoblanadi, sababi istalgan x R
element uchun x>x shart bajarilmaydi.
R munosabat nosemmitrik, sababi istalgan x, y А elementlar
uchun, x>y ekanligidan y>x kelib chiqmaydi.
R antisimmetrik hamda tranzitiv xususiyatga ega sababi istalgan x,
y, z А elementlar uchun: agar x>y va y>z bo‘lsa, demak x>z.
2.3-misol: N  N to‘plamda :<х, у> : <u, v>  x + v = y + u
munosabatni aniqlaymiz, bu yerda N–natural sonlar to‘plamidir. –
munosabatning bu to‘plamda ekvivalentlik munosabati ekanligini
isbotlang.
Yechimi:  munosabat refleksiv hisoblanadi, chunki <х,у><х,у>
ekanligidan х + у = у + х tenglik o‘rinli.
Endi  munosabatning simmetrikligini isbotlaymiz. Buning uchun
agar <х, у>  <u, v> bo‘lsa, u holda <u, v>  <х, у> ekanligini isbotlash
lozim. Haqiqatdan, agar x + v = y + u bo‘lsa, u holda u + y = v + x
tenglik o‘rinlidir.
 munosabatning tranzitivligini isbotlash uchun agar <х, у>  <z,
t> va <z, t>  <u, v> bo‘lsa, u holda <х, у>  <u, v> ekanligini
isbotlash zarur va yetarli. Bu quyidagi shartga tengkuchlidir:
 x  t  y  z,
 xv  yu.

z

v

t

u

Sistemadagi
tenlamalarni
qo‘shish
yo‘li
bilan
x  t  z  v  y  z  t  u ga ega bo‘lamiz. Tenglikni soddalashtirsak
x  v  y  u ga ega bo‘lamiz. Bu esa  munosabatning tranzitivligini
isbotlaydi.
 munosabatning refleksiv, simmetrik va tranzitivligi uning
ekvivalent munosabat ekanligini bildiradi.
A  1,2,3 to‘plamda
R   1,1 , 1,3 , 2,2 , 3,1 , 3,3 
2.4-misol:
munosabat ekvivalentlikni ifodalashini isbotlang. Ko'rsatilgan
ekvivalentlikni qaysi bo'lim belgilaydi?
Yechimi: R to‘plamda <1,1>, <2,2>, <3,3> jufliklarni mavjudligi
uning refliksivligini bildiradi.
R munosabat simmetrik. Unga teskari bo‘lgan R munosabatni
1
topib olamiz: R   1,1 , 1,3 , 2,2 , 3,1 , 3,3 .
R  R 1 simmetriklik shartidir.
2
Endi R 2  R -tranzitivlik shartini tekshiramiz. R   1,1 , 2,2 , 3,3 ,
ekanligidan, R 2  R . Shunday qilib, A  1,2,3 to‘plamda R–munosabat
ekvivalentlikdir.
Berilgan ekvivalentlikka mos bo‘laklashni aniqlash uchun 1,2,3
elementlardan tuzilgan ekvivalentlik sinfini aniqlaymiz:
1  x : 1, x R   1,3 ;
2  x : 2, x   R   2;
3  x : 3, x  R   1,3.
Izlanayotgan bo‘laklash quyidagi ko‘rinishga ega: 1,3, 2.
2.5-misol: Ispan, Fransuz, va Nemis tillarini o‘rganayotgan 100 ta
talabadan o‘tkazigan so‘rovnoma natijalari o'quv kurslarida o‘qiydigan
talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: ispan – 28, Nemis –
30, французский – 42, ispan va Nemis – 8, ispan va fransuz – 10,
Nemis va fransuz – 5, har uchchala tilga ham o‘rganayotgan talabalar –3
nafarni tashkil etdi.
а) Qancha talaba birorta ham kursga qatnashmagan?
б) Qancha talaba faqat fransuz tilini o‘rgangan?
1
в) Fransuz tili bilan shug‘ullanmasdan, faqat Nemis tili bilan
shug‘ullanadigan talaba soni qancha?
Yechimi. Eyler-Venn diagrammasi aylanalarini Ispan, Fransuz, va
Nemis tillarini o‘rganayotgan talabalar to‘plami shaklida tasvirlab
olamiz. Hosil bo‘lgan sakkizta sohani masala shartida berilgan
ma‘lumotlar bilan to‘ldiramiz. Natijalarni oxiridan boshlang‘ichiga
qarab to‘ldirib boramiz.
U
I
8-3=5
28-3-7-5=13
N
30-3-2-5=20
3
10-3=7
5-3=2
F
42-3-2-7=30
100-(13+20+30+2+7+5+3)=20
Natijada quyidagi yechimlarga ega bo‘lamiz:
а) 20, b) 30, v) 25.
2.6-misol: Ispan, Fransuz, va Nemis tillarini o‘rganayotgan 100
talabadan o‘tkazigan so‘rovnoma natijalari o'quv kurslarida o‘qiydigan
talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: faqat Nemis tili – 18,
Nemis tilini o‘rganayotgan, ammo ispan tilinini o‘rganmayotgan – 23,
Nemis va fransuz – 8, Nemis – 26, fransuz – 48, fransuz va ispan – 8,
hech bir tilni o‘rganmayotgan talabalar soni – 24 nafarni tashkil etdi.
а) Qancha talaba ispan tilini o‘rganayapti?
b) Qancha talaba faqat Nemis va ispan tilini o‘rganayapti?
v) Qancha talaba Nemis va ispan tilini o‘rganayapti?
g) Qancha talaba fransuz tilini ham ispan tilini ham o‘rganmagan?
Yechimi.
U
I
26-18-3-5=0
76-(35+5+3+
+5+0+18)=
=10
N
18
8-5=3
8-3=5
23-18=5
F
48-5-3-5=35
24
Quyidagi natijalarga ega bo‘lamiz:
a) 10+5+3=18, b) 0, v) 3, g) 35+5=40.
Mustaqil bajarish uchun muammoli masala va topshiriqlar
1. Agar A, B   va ( A  B)  ( B  A)  (C  D) , bo‘lsa,
A BC  D
ekanligini isbotlang.
̅ o‘rinli ?
2. Qanda binary munosabatlar uchun
3.
A va B –mos ravishda m va n elementli chekli to‘plamalar
bo‘lsin.
a) A va B to‘plamlar elementlariga nisbatan qancha binar munosabat
mavjud?
b) A dan B ga qancha funksiya mavjud?
c) A dan B ga qancha in‘yektiv funksiya mavjud?
d) m va n larning qanday qiymatida A va B o‘rtasida o‘zaro bir
qiymatli moslik mavjud?
4. Ixtiyoriy f funksiya uchun,
o‘rinli
ekanligini isbotlang.
5. R = I A (ayniylik munosabati) munosaabat bajarilgandagina A
to‘plamda R munosabat bir vaqtda ekvivalentlik va qisman tartblash munosabati
bo‘lishini isbotlang.
6. N va NxN to‘plamlarda
munosabatlarni aniqlaymiz. Bu
munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo‘lishini isbotlang.
a)
b)
7. A–tekislikdagi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami bo‘lsin.
Quyidagi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo‘ladimi:
а) to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi;
б) to‘g‘ri chiziqlarning perpendilulyarligi?
8. Haqiqiy sonlar to‘plamida R munosabat quyidgicha aniqlangan:
- ratsional son.
R – ekvivalentlik munosabati ekanligini isbotlang.
9. R ekvivalentlik munosabati bo‘lsa, u holda R -1 ham
ekvivalentlik munosabati bo‘lishini isbotlang.
10. R munosabat X da qisman (to‘liq) tartiblash munosabati
bo‘lib,
bo‘lsa,
ham A da qisman (to‘liq) tartiblash munosabat
bo‘lishini isbotlang.
11. Ixtiyoriy chekli to‘plamni tartiblash mumkinligini isbotlang.
12. RА munosabat A to‘plamda, RВ munosabat B to‘plamda qisman
tatiblash munosabati bo‘lsin.
 a1 , b1  R  a2 , b2  (a1RAa2 , b1RBb2 )
R munosabat, AxB da qisman tatiblash munosabati bo‘lishini
isbotlang.
13. Quyida keltirilgan munosabatlardan qaysilari noto‘g‘ri
keltirilgan va xatosini tushuntirib bering.
a) x {2, a, x},
b) 3 {1,{2,3},4},
c) x {1,sin x} ,
d) {x, y} {a,{x, y}, b},
e) {a}  a ,
f) A { A} ,
g) A  { A},
h) a  {a} .
14. Turli tillarini o‘rganayotgan 100 talabadan o‘tkazigan
so‘rovnoma natijalari bo‘yicha hisobotda inspektor o'quv kurslarida
o‘qiydigan talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: , har
uchchala tilga ham o‘rganayotgan talabalar – 5, Nemis va ispan – 10,
fransuz va ispan – 8, Nemis va fransuz – 20, ispan – 30, Nemis – 23,
fransuz – 50 nafarni tashkil etdi. Hisobotni tayyorlagan inspektorno
ishdan bo‘shtiahdi. Nima sababdan?
15. Quyidagi juftlarning qaysi biri uchun A  B , B  A , A  B
munosabatlardan biri o'rnatiladi?
a) A  {a, b, c, d } , B  {a, c, d } ;
b) A  , B  ;
c) A  , B  {a, b, c} , B  {b, c, a} ?
20. R: x, y ni qoldiqsiz bo‘ladi munosabati bo‘lsa, |R| ni aniqlang.
Bunda, xA; yB bo‘lib. A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
16. R: A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} to‘plam
o‘rtasidagi
x < y; xA; yB munosabatni belgilasa, |R| ni aniqlang.
17. A = {a, b, c}; B = {b, c, d, e}to‘plamalar berilgan. Agar,
P=A∩B; Q=AUB bo‘lsa, |PQ| ni aniqlang.
18. A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Agar R, a A —
toq son; b B munosabarni ifodalasa, |a R b| aniqlang.
19. A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Agar R, a Atub son, b АUB-toq yoki tub son munosabarni ifodalasa, |a R b|
aniqlang.
20. a A; bB, A={1,2, 3,4,5}; B={3,4,5,6,7,8,9,10} bo‘lsa, a-b=2
munosabat elementi bo‘ladigan barcha juftliklar nomerini ko‘rsating.
21. a A; bB, A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
bo‘lsa,
2a – b = 0 munosabat elementi bo‘ladigan barcha juftliklar nomerini
ko‘rsating.
22. A o‘nlik raqamlar to‘plami. R–ikki xonali o‘nlik sonlar bo‘lib,
x > y; x, yA; munosabat bo‘lib. bunda, x-katta razryad raqami, y kichik
razryad raqami. |R| ni aniqlang.