第二章 金融时间序列的线性模型
金融科技教研室 齐安静
本章R代码
目录
2.1 平稳性
2.8 单位根非平稳性
2.2 相关系数和自相关系数
2.9 指数平滑
2.3 白噪声检验
2.10 季节模型
2.4 线性时间序列
2.11 带时间序列误差的回归模型
2.5 简单自回归模型
2.11 长记忆模型
2.6 简单移动平均模型
2.12 模型比较和平均
2.7 简单ARMA模型
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2
2.6 简单移动平均模型
2.6.1 移动平均模型的概念
理论上，AR模型也可以是无穷阶的：
由于参数是无穷个，这样的模型，我们是无法估计的。如果想让模型有意义，必须
对参数做某种限定。一种特殊的情形是：
其中，
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模型可以写成下面的形式
对于
，有
上式两端同乘以
，再加上(6.1)，得：
上式除了常数项外，是由两个扰动项的加权平均而得到的，这个模型被称为
模型。
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设
，可以得到
类似有
的一般形式：
模型为：
模型为：
的特征多项式
特征根都在单位圆外的条件称为MA模型的可逆条件。
MA模型的平稳性并不需要特征根的条件。
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2.6.2 MA模型的性质
以
和
为例讨论MA序列的性质，一般
序列类似讨论即可。
平稳性
MA模型总是弱平稳的
模型的期望和方差
，
的期望和方差
，
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自相关函数
对于
模型，有
,有
对于
所以，有
说明
推及
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的ACF在1阶以后是截尾的。
，则是ACF在 阶以后是截尾的。
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可逆性
对
模型，当
时，根据(6.1)式可得
这表明新息 可以用当前的观测 以及历史观测
的线性组合表
示，而且历史观测
所在时刻离 时刻越远，其作用越小。这种性质叫做模型的可
逆性。
即
与
可以互相线性表示，对任意𝑡 ∈ ℤ 成立。
MA模型的平稳性不需要可逆性条件，但是从理论讨论的角度，可逆的线性时间序列
更合理。
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2.6.3 MA模型定阶
可以利用自相关函数进行定阶。
对于
模型，会有
案例：CRSP等权指数月度收益率（1926-2008）
读入数据
d <- read_table(
"m-ibm3dx2608.txt",
col_types=cols(.default=col_double(),
date=col_date(format="%Y%m%d")))
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获取等权指数月度收益率数据
ibmind <- xts(as.matrix(d[,-1]), d$date) # d[,-1]是去除第一列的意思。
rm(d) #从内存删除数据d。
tclass(ibmind) <- "yearmon" #把时间设成年月形式。
ew <- ts(coredata(ibmind)[,"ewrtn"], start=c(1926,1), frequency=12)
head(ibmind)
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折线图
plot(ew, main="CRSP Equal Weighted Index Monthly Return")
abline(h=0, col="gray")
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ACF
forecast::Acf(ew, main="")
ACF在
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很大，在
和
也比较明显。 可以考虑拟合MA(3)或MA(9)。
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2.6.4 MA模型的估计
矩估计
求
根据
模型
中未知参数
的矩估计
模型自协方差函数的性质，有
解一元二次方程
得
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考虑
模型的可逆性条件：
，可得到未知参数的唯一解：
矩估计对样本量的要求比较高。因而在实践中，矩估计的精度不能很好的保证。
极大似然估计
有两种方法：条件极大似然估计和精确极大似然估计
区别：
条件极大似然：假定
，随后各期的扰动项可以递推得到，最后可
以得到 的表达式，将其带入正态分布密度函数中，就得到了条件似然函数。
精确极大似然，对于
时 不做假设，而是当作模型的附加参数一起估计。
大样本下，两者的结果近似。小样本下，精确极大似然估计更为精确。
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案例：CRSP等权指数月度收益率
用
进行估计
resm1 <- arima(ew, order=c(0,0,9)); resm1
[1] Call:
arima(x = ew, order = c(0, 0, 9))
Coefficients:
ma1
ma2
0.2144 0.0374
s.e. 0.0316 0.0321
ma3
-0.1203
0.0328
sigma^2 estimated as 0.005043:
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ma4
-0.0425
0.0336
ma5
0.0232
0.0319
ma6
-0.0302
0.0318
ma7
0.0482
0.0364
log likelihood = 1220.86,
ma8
-0.0276
0.0354
ma9
0.1350
0.0323
intercept
0.0122
0.0028
aic = -2419.72
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对残差做白噪声检验
Box.test(resm1$residuals, type="Ljung", lag=12, fitdf=9)
[1]
Box-Ljung test
data: resm1$residuals
X-squared = 6.0921, df = 3, p-value = 0.1072
结果不显著，检验结果支持所建立的模型。
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对模型精简
从结果的标准误差构造近似95%置信区间， 可以看出 在
不显著。 所以，可以用 arima() 函数的 fixed= 指定这些参数固定为0：
处
resm1b <- arima(ew, order=c(0,0,9),
fixed=c(NA,0,NA,0,0,0,0,0,NA,NA))
resm1b
[1] Call:
arima(x = ew, order = c(0, 0, 9), fixed = c(NA, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0, NA, NA))
Coefficients:
ma1 ma2
0.1909
0
s.e. 0.0293
0
ma3
-0.1199
0.0338
ma4
0
0
sigma^2 estimated as 0.005097:
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ma5
0
0
ma6
0
0
ma7
0
0
ma8
0
0
ma9
0.1227
0.0312
log likelihood = 1215.61,
intercept
0.0122
0.0027
aic = -2421.22
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补充
注意，R的 stats::arima() 函数的默认模型格式为
其中 对应于输出中的截距项intercept。 系数会输出为 ar1 , ……, arp , ma1 , ……,
maq , intercept 的次序， ar对应 ，ma对应 ， intercept 对应 。
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2.6.5 移动平均模型的预测
因为
序列在间隔超过 步以后就独立， 所以超前多步预测， 只能预测到
步， 从
步开始就只能用均值预测了。
模型预测
超前1步预测
超前2步预测
对于
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而言，均值回转只需要1个时间周期。
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模型预测
由此可得：
对于
而言，均值回转需要2个时间周期。
相应地，对于
而言，均值回转需要q个时间周期。
在R软件中， 用 stats::arima() 函数建模后， 对建模结果用 predict() 函数计算预
测值和对应的近似标准误差。
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案例：CRSP等权指数月度收益率
利用前986期数据进行建模，留下10期数据进行验证
resm1c <- arima(ew[1:986], order=c(0,0,9),
fixed=c(NA,0,NA,0,0,0,0,0,NA,NA))
resm1c
[1] Call:
arima(x = ew[1:986], order = c(0, 0, 9), fixed = c(NA, 0, NA, 0, 0, 0, 0, 0,
NA, NA))
Coefficients:
ma1 ma2
0.1844
0
s.e. 0.0295
0
ma3
-0.1206
0.0338
ma4
0
0
sigma^2 estimated as 0.005066:
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ma5
0
0
ma6
0
0
ma7
0
0
ma8
0
0
ma9
0.1218
0.0312
log likelihood = 1206.44,
intercept
0.0128
0.0027
aic = -2402.88
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预测
pred1c <- predict(resm1c, n.ahead=10, se.fit=TRUE)
tmp.tab <- cbind(Observed=round(c(ew[987:996]), 4),
Predicted=round(c(pred1c$pred), 4),
SE=round(c(pred1c$se), 4))
row.names(tmp.tab) <- sprintf("2008-%02d", 3:12)
tmp.tab
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Time
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Observed Predicted
SE
2008-03
-0.0260
0.0043
0.0712
2008-04
0.0312
0.0136
0.0724
2008-05
0.0322
0.0150
0.0724
2008-06
-0.0871
0.0145
0.0729
2008-07
-0.0010
0.0120
0.0729
2008-08
0.0141
0.0018
0.0729
2008-09
-0.1209
0.0122
0.0729
2008-10
-0.2060
0.0055
0.0729
2008-11
-0.1366
0.0085
0.0729
2008-12
0.0431
0.0128
0.0734
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因为次贷危机影响，实际收益率不如预测的那么好。 可以看出当
时候（模型
）预测等于序列均值。 超前多步预测的标准误差逐渐增加到等于序列的样本
标准差：
sd(c(ew[1:986]))
[1] 0.07368157
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2.6.6 AR和MA的小结
对
模型，ACF对定阶有意义，因为其 后截尾；
对
模型，PACF对定阶有意义，因为其 后截尾；
MA模型的序列不管系数如何总是平稳的， 实际上还是因果线性时间序列， 当特征
根都在单位圆外时是可逆的；
AR模型只有当特征根都在单位圆外时才有弱平稳解；
对AR和MA序列，超前多步预测趋于序列的均值， 预测均方误差趋于序列的方差。
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Thank You!
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