Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 08-guruh talabasi Ibrohimova Mahliyoxon
Bakirjon qizining
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi
18.08-guruh talabasi
Ibrohimova Mahliyoxon Bakirjon qizining
“Interpolyatsiya masalasining qo’yilishi. Lagranj interpolyatsion formulasi, uning
xatoligini baholash” mavzusidagi
KURS ISHI
Raxbar: A.Axmedov
Farg’ona 2021
MUNDARIJA
MUNDARIJA 2
KIRISH 3
I.BOB. INTERPOLYATSIYA HAQIDA UMUMIY MA’LUMOTLAR.
INTERPOLYATSIYA MASALASININING QO’YILISHI. 5
I.1.Interpolyatsion masalaning qo’yilishi. 5
I.2.Chiziqli interpolyatsiya. 6
I.3.Nyutonning interpolyatsion formulasi. 10
I.4.Kvadratik (parabolik) interpolyatsiyalash 12
II.BOB. LAGRANJ INTERPOLYATSION FORMULASI. LAGRANJ
INTERPOLYATSION FORMULASI XATOLIGINI BAXOLASH 15
2.1.Lagranj interpolyatsion ko‘phadi. 15
2.2.Lagranj koeffitsientlarni hisoblash 19
2.3.Interpolyatsiya formulalari xatoliklarni baholash. 21
2.5.Lagranj usulini C# tilidagi ifodasi. 25
2.6.Nyuton usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish. 27
27
2.7.Nyuton usulini C# dasturlash tilidagi ifodasi. 28
XULOSA 30
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ROYXATI. 31
Foydalanilgan internet saytlari 31
KIRISH
Hisoblash usullari amaliyotda uchraydigan masalalarni taqribiy yechish bilan shug’ullanadi.
Ma’lumki tabiiy fanlar hamda texnika fanlarida uchraydigan ko’pgina masalalar chiziqsiz
differensial tenglamalarga keltiriladi, ya’ni ularning analitik yechimini topish nihoyatda
murakkab masala, shu sababli taqribiy yechish usullaridan foydalanish ko’proq samara beradi.
Hisoblash usullari zamonaviy matematikaning ajralmas bir qismi xisoblanadi. Hisoblash usullari
ko’pgina amaliyoy masalalarini yechishda, ayniqsa, modellarni differensial tenglamalar
terminida ifodalanadigan jarayon, jarayonlarni tanqid qilishning ajralmas qismi ekanligi ma’lum.
Bunday modellarni samarali tadbiq qilish u yoki bu hisoblash algoritmlarini tanlash va
kompyuterda dasturlash usullari bilan bevosita bog’liq.
IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematik olimi Muhammad ibn Muso al – Xorazmiy
hisoblash matematika fanini yaratishga katta hissa qo’shgan. Chet el olimlaridan Nyuton, Eyler,
Lobachevsky, Gauss kabilar ham bu fanni yaratishga ulkan hissa qo’shganlar. Matematikada
tipik matematik masalalarining yechimlarni yetarlicha aniqlikda hisoblash imkonini beruvchi
metodlar yaratishga va shu maqsadda hozirgi zamon hisoblash vositalaridan foydalanish
yo’llarini ishlab chiqishga bag’ishlangan soha hisoblash matematikasi deyiladi. Fanning maqsadi
funksional fazolarda to’plamlarni va ularda aniqlangan operatorlarni yaqinlashtirish hamda
hozirgi zamon hisoblash mashinalari qo’llanadigan sharoitda masalalarni yechish uchun oqilona
va tejashlar algoritm va metodlar ishlab chiqishdan iborat.
Vavilon olimlarining asosiy faoliyati matematik jadvallar tuzishdan iborat bo’lgan. Shu
jadvallardan bizgacha yetib kelgaplaridan biri miloddan 2000 yil avval tuzilgan bo’lib, unda 1
dan 60 gacha bo’lgan sonlarning kvadratlari keltirilgan. Miloddan avvalgi 747-yilda tuzilgan
boshqa bir jadvalda Oy va Quyoshning tutilish vaqtlari keltirilgan. Qadimgi misrliklar ham faol
hisobchilar bo’lganlar. Ular murakkab - (alikvota yoki Misr kasrlari deb ataluvchi) kasrlarni
surati birga teng bo’lgan oddiy kasrlar yig’indisi shaklida ifodalovchi jadvallar tuzishgan va
chiziqli bo’lmagan algebraik tenglamalarni yechish uchun vatarlar usulini yaratishgan.
Diofant III asrda aniqmas tenglamalarni yechishdan tashqari kvadrat tenglamalarni sonli yechish
usulini yaratgan. IX asrda yashagan buyuk o’zbek matematigi Muhammad ibn Muso alXorazmiy hisoblash metodlarini yaratishga katta hissa qo’shgan.
Kurs ishining maqsadi: Interpolyatsiya masalasining qo’yilishini o’rganish, Lagranj
interpolyatsion formulasini o’rganish, Lagranj interpolyatsion formulasi xatoligini baxolash va
olingan bilimlarni mustahkamlab amaliyotda qo’llay bilish.
Kurs ishining dolzarbligi: Kurs ishining dolzarbligi shundaki bu kurs ishi Interpolyatsiya
masalasining qoyilishini o’rganib uni zamonaviy EHM dasturlar yordamida hisoblash
imkoniyatini beradi.
i. BOB. INTERPOLYATSIYA HAQIDA UMUMIY
MA’LUMOTLAR. INTERPOLYATSIYA
MASALASININING QO’YILISHI.
1. Interpolyatsion masalaning qo’yilishi.
Interpolyatsiya - (lot. inter – orasida va polio –tekislayman) degan ma’noni anglatadi.
Matematikada — bir necha nuqtada berilgan funksiya qiymatlaridan shu nuqtalar orasidagi
nuqtalarda funksiyaning taqribiy qiymatini topish. Interpolyatsiyadan farqli ravishda
ekstrapolyatsiyada funksiyaning taqribiy qiymati berilgan nuqtalardan tashqaridagi nuqtalarda
topiladi;
Statistikada — voqealar qatorining oraliq hadlari taxmin qiymatlarini matematik usulda hisoblab
topish; qatorning nomaʼlum qiymatlarini topish. Qatorning nomaʼlum qiymatlari qatorning
maʼlum hadlari orqali hisoblab topiladi yoki miqdori aniq boʻlgan boshqa hadlar bilan oʻzaro
bogʻliqligi asosida aniqlanadi.
Aytaylik
oraliqda x argumentning
– n+1 ta turli xil qiymatlari berilgan boʻlib, ushbu
nuqtalarda biror bir y=f(x) funksiyaning mos qiymatlari berilgan boʻlsin.
(1)
yaʼni f(x) funksiya ( f(x) ni aslida qandayligini bilmaymiz) jadval koʻrinishda berilgan boʻlsin.
Tarif: Jadval qiymatlari asosida x va y oʻzgaruvchilar orasidagi funksional bogʻlanish koʻrinishi
y=F(x) ni aniqlash masalasiga approksimatsiya masalasi deyiladi.
Masalaning bunday umumiy qo‘yilishi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi aytib o‘tilgan
nuqtalar orqali cheksiz ko‘p egri chiziq o‘tkazish mumkin ,yoki umuman yechimga ega
bo’lmasligi mumkin. Biroq,agar ixtiyoriy F(x) funksiya o‘rniga quyidagi shartlarni
qanotlantiruvchi n – darajali
komponent izlansa bu masala bir qiymatli bo‘lib qoladi.
Hosil qilingan interpolyatsiya funksiyalari odatda berilgan f(x) funksiyaning x argumentini
interpolyatsiya tugunlaridan farqli qiymatlardagi qiymatlarini taqribiy hisoblash uchun
qo‘llaniladi.Bunday amal f(x) funksiyani interpolyatsiya
bo‘lganda va ekstoropolyatsialash bo’lganda deb ataladi.
Approksimatsiya masalasida ikkita muammo mavjud:
1.
Funksiya koʻrinishini tanlash.
2.
Topilgan funksiyani jadval qiymatlariga muvofiqlashtirish yoki yaqinligini taʼminlash.
2. Chiziqli interpolyatsiya.
Tarif:
– nuqtalarga interpolyatsiya tugunlari, topilishi kerak boʻlgan F(x) funksiyaga –
interpolyatsiyalovchi funksiya deyiladi.
Geometrik nuqtai nazardan shunaqangi y=F(x) egri chiziqni topish lozimki, bu chiziq berilgan
nuqtalardan oʻtishi lozim, yaʼni interpolyatsiya nuqtalarida asl biz bilmaydigan f(x) funksiya
bilan ustma-ust tushishi kerak.
(2)
Masalaning bunday qoʻyilishida masala cheksiz koʻp yechimga yoki umuman yechimga ega
boʻlmasligi mumkin. Lekin ixtiyoriy F(x) funksiyani oʻrniga, tartibi n dan oshmaydigan (2)
shartni qanoatlantiruvchi:
– koʻphad qidirilsa, ushbu masala yagona yechimga ega boʻladi.
– koʻphad funksiyalar
ichida hisoblash, differensiallash, integrallash nuqtai nazardan eng qulay funksiya hisoblanadi.
Bunday qilishga yana bir sabab:
Veyershtrass teoremasi: Har qanday uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyani darajali qator
bilan istalgancha aniqlikda almashtirish mumkin.
Ikkinchi muammoni hal qilish uchun esa, koʻphad jadvalda berilgan (n+1) ta nuqtalardan
oʻtishini talab qilamiz. Umumiy holda
(3)
boʻlsa, u holda
shartlar bajarilishini talab qilamiz.
(4)
Ushbu sistema
– (n+1) ta nomaʼlumli (n+1) ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi boʻlib,
uning determinanti:
ekanligi isbotlangan. Demak (4) Sistema yechimi mavjud va yagona.
Ushbu sistemani yechib,
– nomaʼlumlarni topib, ularni (3) formulaga qoʻysak, izlanayotgan
approksimatsiyalovchi koʻphadni topgan boʻlamiz.
Taʼrif : Berilgan jadval asosida (3) koʻphadni topish masalasiga interpolyatsiya masalasi
deyiladi, koʻphadning oʻziga interpolyatsion koʻphad deyiladi.
Taʼrif: Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan
qiymat
uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga interpolyatsiya masalasi
deyiladi.
Taʼrif: Interpolyatsion koʻphad yordamida interpolyatsiya tugunlaridan farqli boʻlgan
qiymat
uchun f(x) funksiyaning taqribiy qiymatini hisoblash masalasiga ekstropolyatsiya masalasi
deyiladi.
M isol.
Agar tajriba kuzatuvlari soni yetarli boʻlsa, interpolyatsion koʻphadni bogʻlanishning matematik
modeli sifatida qabul qilish mumkin.
boʻladi deb aytish mumkin.
Muammo shundaki kuzatuvlar soni ortib borgan sari nazariy jihatdan xatolik kamayib boradi,
lekin (4) sistema tartibi ham ortib, uni yechish ham qiyinlashadi. Masalan n=10 boʻlganda 11 ta
nomaʼlumli 11 ta tenglamalar sistemasini yechishga toʻgʻri keladi.
3. Nyutonning interpolyatsion formulasi.
Nyutonning birínchi interpolyatsion formulasi jadvalning boshida va ikkinchi formulasi esa
jadvalning oxirida interpolyatsiyalash uchun mo'ljallangan. Nyutonning ikkinchi interpolyatsion
formulasini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiyaning n+1 ta qiymati ma’lum bolsín,ya’ni argumentning n= 1 x 0,
x1,x2,...xn qiymatlarida funksiyaning qiymatlari y0,y1, ...yn bo`lsin.
Tugunlar orasidagi masofa h o'zgarmas bo’lsin. Quyidagi ko'rinishdagi interpolyatsion ko'phadni
quramiz:
(1)
Bunda qatnashayotgan a0, a1 .... an noma’lum koeffitsientlarni topishni x=xn bo’lgan holdan
boshlash kerak. So'ngra argumentga xn-1,xn-2, ... qiymatlar berib, qolgan koeffitsientlar
aniqlanadi.
Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasida ko‘rilgan mulohazalarni (1) formula uchun ham
qo'llasak, u holda noma’lum koeffitsientlar a1, a2 , ....an larni topish uchun quyidagilarni hosil
qilamiz:
Topilgan koeffitsientlarning qiymatlarini (12) formulaga qo‘ysak,
(2)
ko'rinishdagi Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi kelib chiqadi. Bu formulada q={xxn)/h belgilash kiritsak,
(3)
hosil bo'ladi. Ba’zan bu formulani orqaga qarab interpolyatsiyalash formulasi ham deyiladi. (3)
formuladan [a, b] kesmaning oxirgi nuqtalarida foydalanish qulayroqdir.
Nyutonning ikkinchi interpotyatsion formulasining qoldiq hadini baholash formulasi
quyidagicha boladi:
bu yerda q=(x-xn)/h,ϵ [x0, xn].
Agar funktsiyaning analitik ko'rinishi ma’lum bo'lmasa, u holda chekli ayirmalar tuzilib,
deb olinadi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi uchun xatolik
formulasi
bo`ladi.
4. Kvadratik (parabolik) interpolyatsiyalash
Kvadratik interpolyatsiyada interpolyatsion ko‘phad sifatida [xi–1, xi+1][а, b] oraliqdan
olingan kvadrat uchhad qaraladi:
, (6)
Bunda ai, bi, ci koeffitsiyentlarni aniqlash uchun tenglamalar sistemasi tuziladi, masalan:
(7)
Hisoblash algoritmi yuqoridagi mavzuga o‘xshash, biroq (5) munosabat o‘rniga (7) sistemani
yechish maqsadida (6) munosabatdan foydalaniladi. Ravshanki, uchun 3 ta eng yaqin nuqtalar
olinadi. Usulning grafik tasviri quyidagicha:
Interpolyatsiya tugunlaridan tashqarida nazariy xatolikni topish formulasi:
Misol. Jadval bilan berilgan funksiya qiymatini x=0,4 bo‘lgan hol uchun kvadratik
interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:
Yechilishi: (6) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:
koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (7) ga ko’ra tenglamalar sistemasini tuzish kerak. Buning
uchun nuqtaga eng yaqin bo‘lgan 3 ta nuqtani tanlaymiz:
;;
;;
va mos tenglamalarni hosil qilamiz:
Tenglamalar sistemasini matritsaviy ko‘rinishda yozib olamiz:
teskari matritsani hisoblab topamiz:
Matritsalarni ko‘paytirib, a, b, c koeffitsiyentlarni aniqlaymiz:
Natijada izlangan funksiya ko‘rinishini olamiz: y = 7,5x2 – 2x + 0,125. Endi x = 0,4 qiymat
uchun hosil bo‘lgan kvadratik funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz. Natija y = 0,525 ga teng.
II.BOB. LAGRANJ INTERPOLYATSION FORMULASI.
LAGRANJ INTERPOLYATSION FORMULASI
XATOLIGINI BAXOLASH
1. Lagranj interpolyatsion ko‘phadi.
Interpolyatsion koʻphad tuzishning original yoʻlini Lagranj taklif qildi. Lagranj har bir
interpolyalash tuguni
uchun alohida koʻphad tuzishni taklif qildi.
– larning har biri n-darajali koʻphad, u holda (5) ham n-darajali koʻphad boʻladi.
har birini
– larni
shartlarni bajaradigan qilib tanlanadi.
- ildizlari
– boʻlgan n-darajali koʻphad boʻladi. Tushunarliki koʻphad
Koʻrinishda bolib, bu yerda A-qandaydir konstanta. Shartga koʻra
bundan A-konstantani aniqlaymiz:
boʻladi agar i=j boʻlganda,
u holda tengmas oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi:
Xususiy hollarda ushbu formula quyidagi koʻrinishlarni oladi:
n=1 boʻlganda ikkita nuqtaga ega boʻlamiz , u holda
koʻrinishni oladi.
n=2 boʻlganda uchta nuqtaga ega boʻlamiz
Misol.
, u holda
funksiya uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadi tuzilsin:
va
funksiyalar grafiklari turlicha boʻlsada, lekin aynan [0;0.5] oraliqda bu funksiyalar birbiriga juda ham yaqinlashadi.
Interpolyatsion koʻphadning qoldiq hadi yoki xatoligi
Boʻlib, shartga koʻra
tugunlarda
boʻladi. Shuning uchun
nuqta [a;b] oraliqdan olingan nomaʼlum nuqta boʻlgani uchun, ushbu formula xatolikni faqat
baholash imkonini beradi. Roll teoremasiga koʻra
hosilalar chegaralangan boʻlsa, n ortgan
sari xatolik nolga intilib boradi. [a;b] oraliqdagi joriy nuqtada interpolyatsiya xatoligini
baholaymiz:
Bunda
Butun [a;b] oraliq boʻyicha xatolik bahosi
Yuqorida koʻrib chiqilgan misol uchun xatolik baholarini olamiz:
u holda
nuqtadagi xatolik:
ni tashkil qilsa, butun [0;0.5] oraliq boʻyicha maksimal xatolik:
ni tashkil qiladi.
Eslatma: Agar f(x) haqida tugun nuqtalardagi qiymatlaridan boshqa narsa maʼlum boʻlmasa, u
holda
haqida foydali mulohazalar qilishning iloji yoʻq.
Lagranj interpolyatsion koʻphadi koeffitsiyentlarini hisoblashda quyidagicha sxemadan
foydalansa boʻladi:
…
…
…
…
1-qator elementlari
koʻpaytmasini
…
2-qator elementlari
koʻpaytmasini
…
…
…
…
…
…
n-qator elementlari
koʻpaytmasini
bosh dioganaldagi elementlar koʻpaytmasini
kabi belgilasak, Lagranj interpolyatsion koʻphadini quyidagicha
koʻrinishda ham yozish mumkin.
Agar - nuqtalar teng oraliqlar boʻyicha joylashgan boʻlsa, u holda belgilashlar kiritib, Lagranj
interpolyatsion koʻphadini hisoblashni soddalashtirish mumkin.
, u holda
belgilash bilan t oʻzgaruvchiga oʻtsak
larni eʼtiborga olsak, teng oraliqlar uchun
koʻrinishni oladi:
Lagranj interpolyatsion koʻphadi quyidagicha
Teng oraliqlar uchun Lagranj interpolyatsion koʻphadining qulayligi
umuman qatnashmaydi, sodda va universaldir.
2. Lagranj koeffitsientlarni hisoblash
Bunda belgilash kiritamiz:
Hisobini tuzamiz:
Bu yerda deb xisoblab, quyidagiga ega bo’lamiz:
larning qiymatlari
formuladagi lar oldidagi koeffisientlar Lagranj koeffisientlari deb ataladi va quyidagich
belgilanildi :
Bunda Lagranjning formulasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi :
Lagranj formulalarni qo‘llash uchun ayirmalar jadvalini tuzamiz:
0
0
1
2
3
i
n
...
...
.....
....
.....
....
...
...
...
...
...
....
....
....
....
...
...
....
0
1
2
3
...
i
...
n
Jadvaldagi lar mos ravishda satrlar ko’paytmasi.
ostiga chizilgan diognal ko‘paytmasi
Demak
va koeffsientlari topiladi.
Demak,
,
Bu yerda – jadvalning oxirgi ustunlari yig‘indisi.Shunday qilib,
6 – misol.f(x) funksiyaning qiymatlari jadvalda berilgan\
X
81
85
87
88
89
90
Y
0,12346
0,11765
0,011494
0,011364
0,011236
0,011111
81
2
-4
-6
-7
-8
-9
-36287
0,12346
-0,34026*
85
4
-1
-2
-3
-4
-5
-480
0,11765
-0,2451*
87
6
2
-3
-1
-2
-3
216
0,011494
-0,53219*
88
7
3
1
-4
-1
-2
-168
0,011364
-0,67642*
89
8
4
2
1
-5
-1
320
0,011236
-0,35112*
90
9
5
3
2
1
-6
-1620
0,011111
-0,68582*
3. Interpolyatsiya formulalari xatoliklarni baholash.
Biz x0,x1,x2, … ,xn nuqtalarda berilgan y0,y1,y2, … ,yn qiymatlarni qabul qiluvchi ( bunda y0
= f(x0),y1 = f(x1), … ,yn = f(xn). f(x) funksiya uchun Lagranjning Ln(x) interpolyatsiya
ko‘phadi tuzildi.Tuzilgan ko‘phad qolgan nuqtalarda f(x) funksiyasini hosil qiladi, yani
Rn(x)=f(x)-Ln(x ) qoldiq had qanchalik katta.
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi:
Teorema: Agar y=f(x) funksiya o‘zining (n+1) tartibi ((n+1) tartiblisi ham) barcha hosillari bilan
birga uzluksiz bo‘lsa,u holda Lagranjning qoldiq hadi quyidagiga teng bo‘ladi.
Bu yerda f – x0 va x nuqtalar orasida joylashgan nuqta.
Agar (x0 – x) kesmada M – yuza (fn+1(x)) deb belgilasak,u holda Lagranjning interpolyatsiya
formulasini ifodasini absolyut qiymati uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
Agar interpolyatsiya tugunlari teng masofalarda joylashgan va bunda bo‘lsa,u holda (1.12)
formulada deb faraz qilib,Nyutonning birinchi formulasini qoldiq hadiga ega bo‘lamiz
Bu yerda
Shunga o‘xshash (1.13) formulada deb faraz qilib Nyutonning 2 – formulasini
qoldiq hadiga ega bo’lamiz.
Isbotlash mumkin agar inyerpolyatsiyakashda interpolyatsiyalash tugunlari x ning zarur
qiymatlari atrofida yetarlicha zich joylashtirilsa,u holda interpolyatsiya formulasidan olingan
qiymatlar,jadval malumotlar necha xonaga ega bo‘lsa shuncha xona birligida aniqlikga ega
bo‘ladi.
4.
Lagranj usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish.
5. Lagranj usulini C# tilidagi ifodasi.
#include
#include
#include int main()
{
float x1[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y1[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float x,l,p; short int i,j; clrscr();
cout<<"Interpolyatsilanuvchi son, x="; cin>>x; l=0;
for (i=0; i<=5; i+=1)
{ p=1; for (j=0; j<=5; j+=1)
{ if (i!=j) p=p*(x-x1[j])/(x1[i]-x1[j]);
}
l=l+p*y1[i];
} cout.precision(5);
cout<<"Lagranj usulida Interpolyatsilangan son y="<
getch();
}
Dasturning tanijasi:
6. Nyuton usuli algoritmini blok – sxema ko’rinish.
7. Nyuton usulini C# dasturlash tilidagi ifodasi.
#include
#include
void main()
{
float x0[6]= {0.68, 0.73, 0.80, 0.88, 0.93, 0.99},
y0[6]= {0.80866, 0.89492, 1.02964, 1.20966, 1.34087, 1.52386};
float x,l,p;
short int i,j,n,k;
clrscr();
cout<<"Interpolyatsilanuvchi son, x=";
cin>>x;
l=y0[0];
p=1;
n=5;
for (k=1; k<=n; k+=1)
{
p=p*(x-x0[k-1]);
for (i=0; i<=n-k; i+=1)
{
y0[i]=(y0[i+1]-y0[i])/(x0[i+k]-x0[i+k]-x0[i]);
}
l=l+p*y0[0];
} cout.precision(5);
cout<<"Interpolyatsilangan son N="<
getch();
}
Dasturning natijasi:
XULOSA
Ushbu kurs ishimda men ko‘phadlarni interpolyatsiya usulida yechishning Lagranj va Nyuton
usullarni o‘rgandim va amaliy ko‘nikmalarga ega bo‘ldim.
Berilgan qiymatlardagi ko‘phadlarni C# tilidan (interpolyatsiyani Lagranj usuli) natijalarim
ko‘phadlarni ayni shu oraliqda chiqqan natijasiga taqriban teng chiqdi. Lagranj va Nyuon
usullari to‘g‘ri keltirib chiqarilganiga guvoh bo‘ldim. Yana shuni takidlab o‘tish kerakki Lagranj
usulida chiqarilgan yechim Nyuton usulida chiqarilgan yechimdan aniqroq bo‘ldi, chunki
Lagranj usulida ko‘phadlarni interpolyatsion tugunlari oralig‘i funksiya qiymatini aniqligiga
katta tasir qilmaydi.
Demak bizga samaraliroq bo‘lgan Lagranj usulida keng ravishda dasturda qo‘llasak o‘zni talab
darajasida oqlay oladi. Nyuton usuli esa o‘zaro teng oraliqdagi ko‘phadlarni hisoblashda yaxshi
foydasini beradi.
C# ancha murakkab va ko‘p vaqt oladigan hisob ishlarini bajarishda mo‘ljallangan
tarkiblashtirilgan dasturlar tuzishda imkon beradi. Yana bir avzalligi shundan iboratki
foydalanuvchi xatolikga yo‘l qo‘ymasligi uchun yoki xato yechib qo‘ygan bo‘lsa , tez tuzatib
olish uchun dasturda ishlatilgan o‘zgaruvchilar oldindan qaysi turga mansubligi belgilab
qo‘yilgan bo‘ladi.Shu bilan birga dasturning barcha elementlari haqida ma‘lumot tavsiflash
bo‘limida mujasamlashganbo‘ladi operatorlar esa imkon darajasda kamaytirilgandir.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ROYXATI.
1.
Claudi Canuto, Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer, I-part, 2008, IIpart, 2010.
2.
W. W. L Chen “Linear algebra ” London, Chapter 1-12, 1983, 2008.
3.
W. W. L Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004, 2013.
4.
W. W. L Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-10, 1983, 2008.
5.
Jo‘rayev T., Sadullatev A., Xudoyberganov G., Mansurov X., Vorisov A. “Oliy
matemetatika asoslari” Toshkent, “O‘qituvchi”.
6.
Soatov Y.U., “Oliy matematika” T., “O‘qituvchi”, 1995, 1-5 qismlar.
7.
N.M.Jabborov, E.«Oliy matematika». 1-2 qism. Qarshi, 2010.
8.
Latipov X.R., Tadjiyev Sh. “Analitik geometriya va chiziqli algebra” Toshkent,
“O‘zbekiston”, 1995.
9.
Narmanov A. Y. Analitik geometriya. Toshkent, 2008.
10.
Fayziev YU.E., Saydamatov E.M., Buvayev Q.T., Qo‘chqorov “Analitik geometriya va
chiziqli algebra”. Toshkent, “Turon-Iqbol” 2017.
11.
Azlarov T., Mansurov X. “Matematik analiz” Toshkent, “O‘qituvchi”, 1-qism, 1989.
12.
Latipov X.R., Tadjiyev Sh. “Analitik geometriya va chiziqli algebradan masalalar
yechish bo‘yicha qo‘llanma” Toshkent, “Fan” 1999.
Foydalanilgan internet saytlari
1.
www.Ziyonet.uz
2.
www.tuit.uz
3.
www.Math.uz
4.
www.bilim.uz
http://hozir.org