OPTIMASI NONLINIER DENGAN FUNGSI KENDALA PERTIDAKSAMAAN
Fungsi Objektif
f(X) = x12 + x22 + x32 + 40x1 + 20x2 - 3000
Variabel Desain
X = {x1, x2, x3}
Fungsi Kendala
x1 – 50 ≥ 0
x1 + x2 – 100 ≥ 0
x1 + x2 + x3 -150 ≥ 0
1. Syarat dapat diselesaiakan
n=3
m=3
m≤n
2. Persamaan Lagrange
L(X,λ) = x12 + x22 + x32 + 40x1 + 20x2 – 3000 + λ1(x1 – 50) + λ2(x1 + x2 – 100) + λ3(x1 + x2 +
x3 -150)
3. Syarat perlu
L( X ,  )
=0
x1
2 x1 + 40 + 1 + 2 + 3 = 0
L( X ,  )
=0
x2
2 x2 + 20 + 2 + 3 = 0
L( X ,  )
=0
x3
2 x3 + 3 = 0
atau
1(x1 - 50) = 0
2(x1 + x2 - 100) = 0
3(x1 + x2+ x3 - 150) = 0
atau
x1 – 50 ≥ 0
x1 + x2 – 100 ≥ 0
x1 + x2 + x3 -150 ≥ 0
atau
1  0,
2  0,
3  0
4. Ambil persamaan yang mudah diselesaikan
1(x1 - 50) = 0
1 = 0 atau x1 = 50
5. Jika 1 = 0, maka syarat perlu yang pertama menjadi :
1
1
x1 = − 2 − 3 − 20
2
2
1
1
x2 = − 2 − 3 − 10
2
2
1
x3 = − 3
2
Substitusi ke persamaan syarat perlu yang kedua
1
1
 1
2
2
 2
2 ( −2 − 3 − 130 ) = 0
1
2
1
1
 1
2
2
 2
3


3  −2 − 3 − 180  = 0
2


1
2


2  − 2 − 3 − 20 − 2 − 3 − 10 − 100  = 0
1
2


3  − 2 − 3 − 20 − 2 − 3 − 10 − 3 − 150  = 0
Terdapat 4 penyelesaian persamaan
(i )2 = 0
(ii ) − 2 − 3 − 130 = 0
(iii )3 = 0
3
(iv) − 2 − 3 − 180 = 0
2
Sehingga terdapat 4 kombinasi penyelesaian
a. Persamaan (i) dan (iii)
(i )2 = 0
(iii )3 = 0
x1 = −20
x2 = −10
x3 = 0
melanggar x1 – 50 ≥ 0
b. Persamaan (i) dan (iv)
(i )2 = 0
3
(iv) − 2 − 3 − 180 = 0
2
3 = −120
x1 = 40
x2 = 50
x3 = 60
melanggar x1 – 50 ≥ 0
c. Persamaan (ii) dan (iii)
(iii)3 = 0
(ii) − 2 − 3 − 130 = 0
2 = −130
x1 = 45
x2 = 55
x3 = 0
melanggar x1 – 50 ≥ 0
d. Persamaan (ii) dan (iv)
(ii ) − 2 − 3 = 130
3
(iv) − 2 − 3 = 180
2
1
3 = −50
2
3 = −100
2 = −30
x1 = 45
x2 = 55
x3 = 50
melanggar x1 – 50 ≥ 0
6. Jika x1 = 50, maka syarat perlu yang pertama menjadi :
2 x3 + 3 = 0
3 = −2 x3
2 x2 + 20 + 2 + 3 = 0
2 = −2 x2 + 2 x3 − 20
2 x1 + 40 + 1 + 2 + 3 = 0
2(50) + 40 + 1 − 2 x2 + 2 x3 − 20 − 2 x3 = 0
1 = 2 x2 − 120
Substitusi ke persamaan syarat perlu yang kedua
2 ( x1 + x2 − 100) = 0
(−2 x2 + 2 x3 − 20)( x1 + x2 − 100) = 0
(−2 x2 + 2 x3 − 20)( x2 − 50) = 0
3 ( x1 + x2 + x3 − 150) = 0
(−2 x3 )(50 + x2 + x3 − 150) = 0
(−2 x3 )( x2 + x3 − 100) = 0
Terdapat 4 penyelesaian persamaan
(i ) − 2 x2 + 2 x3 − 20 = 0
(ii ) x2 − 50 = 0
(iii ) − 2 x3 = 0
(iv) x2 + x3 − 100 = 0
a. Persamaan (i) dan (iii)
(iii) x3 = 0
(i) − 2 x2 + 0 − 20 = 0
x2 = −10
melanggar x1 + x2 – 100 ≥ 0
b. Persamaan (i) dan (iv)
(iv) x2 + x3 = 100
(i ) − x2 + x3 = 10
x3 = 55
x2 = 45
melanggar x1 + x2 – 100 ≥ 0
c. Persamaan (ii) dan (iii)
(ii ) x2 = 50
(iii ) x3 = 0
melanggar x1 + x2 + x3 -150 ≥ 0
d. Persamaan (ii) dan (iv)
(ii) x2 = 50
(iv)50 + x3 = 100
x3 = 50
memenuhi semua fungsi kendala
7. Titik optimumnya
x1* = 50
x2 * = 50
x3 * = 50
Fungsi kendala (λ)
3 = −2 x3 = −100
2 = −2 x2 + 2 x3 − 20 = −20
1 = 2 x2 − 120 = −20