APUNTES SOBRE CONVERGENCIA
PUNTUAL Y CONVERGENCIA
UNIFORME DE SUCESIONES Y
SERIES DE FUNCIONES
Abel Fernández Infante
Departamento de Matemática General
Facultad de Ingeniería Industrial
Instituto Superior Politécnico José A. Echeverría
Septiembre/2004
Prólogo
La escritura de estos apuntes se debe a que el concepto de convergencia uniforme que está
contemplado en el programa de Matemática correspondiente a la carrera de Automática, no
aparece en la literatura autorizada en dicho programa. Si además, se tiene en cuenta que el
concepto de convergencia uniforme es muy útil en diversos cálculos de la Ingeniería, se
comprenderá que estas son suficientes razones para elaborar un material de apoyo al
proceso docente.
El contenido que se expone no es en modo alguno novedoso, por lo que los resultados que
se presentan son bien conocidos y aparecen en la bibliografía especializada. Generalmente,
en esta nos encontramos dos maneras de organización del tema que abordaremos. Una es
que se presentan los conceptos de convergencia puntual y uniforme, y se tratan las
sucesiones de funciones y las series de funciones de forma simultánea. En las consultas
bibliográficas realizadas, esta variante es la más difundida. La otra manera, trata primero la
convergencia puntual y uniforme de una sucesión de funciones, y posteriormente, hace el
tratamiento de las series de funciones. Con la primera variante de organización se gana
tiempo. No obstante, es opinión del autor que para estudiantes de Ingeniería es preferible
hacer primero el tratamiento de las sucesiones de funciones y posteriormente, realizar el de
las series de funciones. Aunque en la mayoría de los casos los resultados para estas últimas
sean puras repeticiones en el lenguaje de las sucesiones de las sumas parciales
correspondientes y es aquí la ventaja. De esta manera se pierde tiempo, pero esta aparente
pérdida se convierte en ganancia al no hacer traumático para los estudiantes la asimilación
de ambos conceptos. Es por esta razón, que el contenido se presenta de la forma siguiente:
 Se hace una introducción dirigida a motivar el estudio de la convergencia uniforme
a través de la presentación de un problema relacionado con un circuito RC.
 En el Capítulo I, se presentan el concepto de convergencia puntual y las
limitaciones de este tipo de convergencia. Se introduce el concepto de convergencia
uniforme y se abordan criterios de convergencia uniforme y criterios de no
convergencia uniforme, con el propósito de que los estudiantes hagan un mejor
estudio del tema. Posteriormente, se presta atención a las operaciones de paso al
límite término a término, integración término a término y derivación término a
término de una sucesión de funciones. Se ha tratado de que los ejemplos sean
simples para su asimilación y en algunos casos, se han presentado siguiendo el
análisis gráfico, numérico y analítico. AL final del Capítulo I se presentan algunos
ejercicios la mayoría de los cuales requieren del uso de un Asistente Matemático.
 En el Capítulo II, se presentan los conceptos de convergencia puntual y
convergencia uniforme para series de funciones. Aunque en el caso de las series,
estas presentan sus características específicas, los resultados del Capítulo I son
aplicables si en lugar de considerar una sucesión de funciones {f n }, consideramos
la sucesión de sumas parciales {Sn } de la serie que se analiza. Incluso, casi todas
las demostraciones que se consideran en el material se reducen a aplicar los
resultados del Capítulo I a la sucesión {Sn }. Es aquí donde el autor considera que
el haber tratado primero la convergencia puntual y uniforme de una sucesión de
funciones, aunque aparentemente requiere de más tiempo esto se revierte en
beneficio de los estudiantes puesto que estarán en mejores condiciones de asimilar
el contenido del Capítulo II.
2



La mayoría de las ideas de las demostraciones de los diferentes teoremas que se
presentan aparecen en los autores clásicos que abordan esta temática. En la página
94 aparece referenciada la bibliografía que recomienda el autor para aquellos que
deseen profundizar en dicho tema.
Los conceptos presentados en estos apuntes, encuentran aplicación por ejemplo, en
la teoría de las series de potencias. Por esto se ha escrito el Capítulo III, aunque
también esta teoría se puede estudiar por el libro de texto de la asignatura. Es
importante que los estudiantes le presten atención a la fórmula de CauchyHadamard para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias la
cual se expresa mediante el concepto de límite superior de una sucesión de números
reales. Pues, en la asignatura Matemática IV que estudia las funciones de variable
compleja encontrará dicha fórmula pero referida a las series de potencias complejas.
Por esto se incluyó un apéndice relativo al límite superior y límite inferior de una
sucesión de números reales.
A manera de investigación se orienta conocer sobre aquellos matemáticos cuyo
nombre llevan diferentes teoremas de los temas que se estudian.
Se introdujeron las siguientes notaciones algunas de las cuales no de uso frecuente y otras
no conoce el autor que hayan sido usadas:
 f  C[a, b] : Significa que f es una función continua en el intervalo [a, b].
 f  C[a, b] : Significa que f tiene derivada continua en el intervalo [a, b].
 f  R[a, b] : Significa que f es una función integrable según Riemann.

D(f n , f )(x) : Significa la diferencia f n (x) - f (x) .
Limp f n (x)  f (x), en WS: Significa que la sucesión de funciones {f n } tal que

f n : S  R, SR, (n=1, 2, 3, ) converge puntualmente a la función f en el
conjunto WS.
Limu f n (x)  f (x), en WS: Significa que la sucesión de funciones {f n } tal que

f n : S  R, SR, (n=1, 2, 3, ) converge uniformemente a la función f en el
conjunto WS.
a  W  : Significa que a es un punto de acumulación del conjunto WR.

n 
n 
Por último, estos apuntes pueden ser útiles no sólo para las carreras de Ingeniería, sino
también para instituciones donde se estudie el tema en cuestión.
El autor agradecerá los comentarios, críticas y sugerencias que le hagan llegar.
Autor: Abel Fernández Infante
Departamento de Matemática General
Facultad de Ingeniería Industrial
CUJAE
Septiembre/2004
3
Índice
Capítulo I
§ 1.1
§ 1.2
§ 1.3
§ 1.4
§ 1.5
§ 1.6
Capítulo II
§ 2.1
§ 2.2
§ 2.3
§ 2.4
§ 2.5
Capítulo III
§ 3.1
§ 3.2
§ 3.3
§ 3.4
§ 3.5
Sucesiones de funciones.
Introducción.
Convergencia puntual de una sucesión de funciones.
Limitaciones de la convergencia puntual.
Convergencia uniforme de una sucesión de funciones.
Criterios de convergencia uniforme.
Criterios de no convergencia uniforme.
Propiedades de las sucesiones uniformemente convergentes.
Resumen de definiciones y criterios mas importantes de sucesiones
de funciones.
Ejercicios propuestos: Sobre sucesiones de funciones.
Series de funciones.
Convergencia puntual de una serie de funciones.
Convergencia uniforme de una serie de funciones.
Algunos criterios de no convergencia uniforme.
Criterios de convergencia uniforme para series de funciones.
Propiedades de las series uniformemente convergentes.
Resumen de definiciones y criterios mas importantes de series de
funciones. (Tarea)
Ejercicios propuestos: Sobre series de funciones.
Series de potencias.
Series de potencias.
Propiedades de las funciones expresadas mediante series de
potencias.
Series de Taylor.
Desarrollo de funciones en series de Taylor.
Operaciones con series de potencias.
Ejercicios resueltos.
Conclusiones.
Ejercicios propuestos: Sobre series de potencias.
Respuestas a los ejercicios propuestos del capítulo I.
Respuestas a los ejercicios propuestos del capítulo II.
Respuestas a los ejercicios propuestos del capítulo III.
Autoexamen.
Bibliografía.
Apéndice.
Respuestas de las preguntas del autoexamen.
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5
7
11
13
16
19
22
31
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40
42
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91
93
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95
102
CAPÍTULO I
SUCESIONES DE FUNCIONES
Introducción.
En múltiples problemas de la ciencia y la técnica nos encontramos funciones “f” expresadas
a través de series de potencias. Es decir, series del tipo:
f(x) 

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
(a n  R , n  0, 1, 2,   ; x 0  R ).
Esta representación es válida para xWR, siendo W el conjunto de convergencia de la
serie. También, aparecen funciones “f” expresadas a través de series trigonométricas:

f(x) =  a n cos(nwx)  b n sen(nwx) , (wR+, anR, bnR, n=0, 1, 2, ).
n=0
Esta representación es válida para x  W, siendo W el conjunto de convergencia de la
serie.
En general, aparecen funciones “f” expresadas por series del tipo

f (x) 
 fn (x),
x  W  S.
n 0
En este caso {f n } es una sucesión de funciones tales que f n : S  R  R y W el conjunto
de convergencia.
A continuación presentamos un ejemplo de esta situación y le sugerimos al lector que
sustituya R, C, E0 y t0 por valores razonables y realice los cálculos correspondientes:
Problema. Supongamos que se tiene un circuito RC en serie formado por una resistencia
de R ohmios, conectada a un condensador de C faradios. Si la f.e.m. es constante y su valor
es E0 voltios y la carga del condensador en cada instante de tiempo viene dada por
t 



.
RC
q(t)  E 0C 1  e




Determine el valor de la carga en el instante de tiempo t = t 0 seg, así como el valor de la
corriente en el circuito para el instante t = t 0 seg. Se conoce que en el instante inicial t=0
el condensador está descargado.
Para resolver este problema tropezamos con una dificultad y es que la presencia de la
1
función trascendente eat , donde a = , nos impide realizar el cálculo que se exige.
RC
¿Qué hacer? ¿Será posible expresar esta función en una serie de potencias de la variable t?
En este caso somos afortunados y podemos obtener que
5


1n t n   E C  1n 1 t n , t  R.
q(t)  E 0C 1 
0
n
n


RC
n!


n 1 RC  n!
 n 0

O en forma no abreviada,
 t

t2
t3

q(t)  E 0C


  , t  R.
 RC 1! RC 2  2! RC 3  3!



Según las condiciones del problema la variable t puede restringirse a valores no negativos.
Ahora, se puede observar que la dificultad señalada no se presenta, pues, podremos
determinar el valor de la carga mediante la aproximación de “q” por un polinomio de grado
prefijado e incluso indicar el error cometido sin pasar mucho trabajo ya que para el instante
t = t 0 seg, se trata de una serie alternada. Sin embargo, para resolver la segunda parte del
problema, tropezamos con una dificultad y es que conociendo que la corriente se relaciona
con la carga del circuito mediante la ecuación
dq
i=
,
dt
¿es posible calcular la derivada de q en la expresión obtenida de la serie de potencias de t?
En otras palabras, es válida la expresión


n 1
n 1 n
1 t n 

dq d 
d  1 t 
  E 0C

?
  E 0C
n
n
dt dt 
dt



RC

n!
RC

n!



n 1 
n 1  


O mejor aún, si derivamos la función q respecto de t en la expresión
t 



,
RC
q(t)  E 0C 1  e




¿es válida la igualdad
t


n 1
n 1 n
1 t n 

dq E 0  RC ? d 
d  1 t 




i

e

E 0C
 E 0C
n
n
dt
R
dt 
dt



n 1 RC   n! 
n 1  RC   n! 







E 0C

n 1

1 n 1 nt n 1  E0
(RC)n n!
R

1n t n ?
 (RC)n n!
n 0
La regla de la derivada de una suma de funciones sabemos que es válida para un número
finito de sumandos, pero en general, dicha regla no sabemos si es válida para la derivada de
la expresión anterior. En el caso que nos ocupa, podemos afirmar que la igualdad es válida.
Pero, ¿cómo fundamentamos la validez? Para esto, se hace necesario el estudio de las
propiedades de las funciones que se expresan mediante series de potencias, así como el
tipo de convergencia que se utiliza. Nos proponemos realizar este estudio comenzando por
el concepto de convergencia puntual de una sucesión de funciones dada. Señalaremos las
insuficiencias de este concepto, introduciendo así el concepto de convergencia uniforme de
una sucesión de funciones. Estos conceptos constituirán la base que nos permitirá abordar
las propiedades relativas a las series de funciones las cuales como veremos presentan sus
métodos característicos.
6
§ 1.1. Convergencia puntual de una sucesión de funciones.
En este apartado estudiaremos las sucesiones cuyos términos son funciones, es decir, las
sucesiones f n , tales que f n : S  R  R. Está claro, que para cada x  S dicha sucesión
de funciones da lugar a una sucesión numérica
f n (x) , f n (x)  R, (n  1, 2, 3,  ) ,
siendo S un conjunto no vacío cualquiera. Además, esta sucesión puede ser convergente
para algunos x  S y divergente para otros x  S . En el caso de que converja, por el
teorema de unicidad del límite se tiene que este es único, dependiendo en general, del valor
de “x” dando lugar así a una función “f” tal que f : W  S  R.
Un ejemplo simple de esta situación es la sucesión de funciones
f n 
tal que
f n (x)  x n , (n  N), donde los términos de la sucesión son funciones definidas en el
1
conjunto S  R. Si tomamos x  entonces, la sucesión numérica:
2
 1 n 
   , (n=1, 2, 3, ∙∙∙),
2
  
converge a 0. Sin embargo, si tomamos x = 3 la sucesión numérica:
3 , (n=1, 2, 3, ∙∙∙),
n
es divergente.
Observar que el conjunto más amplio en que la sucesión dada converge es el conjunto
W=]-1,1]S. En el resto de los puntos la sucesión de funciones es divergente.
Precisaremos lo anterior en las definiciones siguientes y donde nos interesa que el conjunto
S sea diferente del conjunto vacío.
Definición 1. Sea F(S,) el conjunto de las funciones definidas en el conjunto SR con
valores en el conjunto R. Se denomina sucesión de funciones en el conjunto S a una
aplicación : R  F(S,R) tal que (n)=fn(x).
Notación: f n , x  S ó también se usará f n , f n :S  R, S  R.
En forma de esquema se tiene:
N 
F(S,R)
1  (1)=f1 (x)
2  (2)=f 2 (x)
 

n  (n)  f n (x)
 

Observe que el conjunto F(S,R) de las funciones definidas en el conjunto SR, es un
conjunto infinito y por consiguiente, contiene un conjunto numerable de funciones.
7
Definición 2. Sea la sucesión de funciones f n , f n : S  R , S  R. Se dice que la
sucesión f n  converge en el punto x=aS si la sucesión numérica f n (a) converge.
Si nos referimos a la convergencia puntual en el conjunto W se tiene la siguiente definición.
Definición 3. Sea la sucesión de funciones f n , f n : S  R , S  R. Se dice que la
sucesión f n  converge puntualmente a la función f en el conjunto WS,
f : W  R si para todo xW, la sucesión f n (x) converge a f(x).
Esta definición se puede expresar con ayuda del lenguaje    en la forma siguiente:
Definición 4. Sea la sucesión de funciones f n , f n : S  R , S  R. Se dice que la
sucesión f n  converge puntualmente a la función f en el conjunto WS,
f : W  R si para todo xW y todo    existe un número natural N  N  x  tal
que si n  N  x  se tiene que f n ( x )  f ( x )  . Notación: Limp f n (x) = f(x), x  W.
n 
Al conjunto WS para el cual la sucesión numérica {f n (x)} converge a f(x), xW, se le
denomina conjunto de convergencia de la sucesión f n  y a la función
f ( x )  Limp f n ( x ),
n 
se le denomina función límite de dicha sucesión. Observemos que puede presentarse el
caso en que W=. Por ejemplo, la sucesión de funciones f n  tal que
f n ( x )  (1) n x , x  S  2,3,
no converge en ningún subconjunto del conjunto S. Compruebe esto gráficamente.
Por esta razón consideraremos en lo sucesivo si no se indica otra cosa, que el conjunto
W.
Ejemplo.
1.
Determine el límite puntual de la sucesión de funciones f n  tal que
fn (x) 
x2
n2
, x  S  R.
 x 2 
Solución. No es difícil darse cuenta que la sucesión numérica   , es convergente
 n 2 
para cada x real y su límite es 0, cualquiera sea x. Esto se deduce del hecho de que la
1 
sucesión   es infinitesimal y la sucesión x 2 es estacionaria. Por tanto, la
 n2 
sucesión

8
 2 1 
x 2  ,
 n 
es infinitesimal. Así, la sucesión f n  converge puntualmente a la función nula, o
sea,
Limp f n ( x )  Limp
n 
x2
2
n  n
 0  f ( x ), S=R.
Vea la figura 1:
Fig. 1. Gráfica de los términos de la sucesión del ejemplo 1 para n=1, n=2 y n=3
Ejemplo.
2. Determine el límite puntual de la sucesión de funciones f n  tal que
f n ( x )  e  nx , x  S  R.
Solución. Analizaremos el límite puntual considerando tres casos:
 Si 0  x  , entonces,
Limp e nx  0  f (x).
n 
 Si x = 0, entonces f n (0)  1 (n=1, 2, ) y por tanto,
lim f n (0)  lim 1  1.
n 
n 
 Si - ¥ < x < 0, entonces, no existe el límite finito. Luego, la sucesión de
funciones f n  converge puntualmente a la función
0 si 0  x  
f (x)  
, en W  [0,[ S.
si x  0
1
Si analizamos el comportamiento de la sucesión de funciones del ejemplo 2, vemos que a
pesar de que las funciones
f n (x)  e nx , x  S  0,1, (n  1, 2, 3, )
son continuas, la función límite
9
0 si 0  x  1
f (x)  
,
si x  0
1
no es continua en S  0,1.
Vea la figura 2, donde se aprecia el comportamiento de esta sucesión de funciones para
n=1, 3 y 5. Observe como para x=0, fn(0)=1 para cualquier n natural y además, la
sucesión f n  es infinitesimal para 0 < x  1.
Fig. 2. Gráfica de los términos de la sucesión del ejemplo 2, para (n=1, 3, 5), xS=[0,1].
Ejemplo.
3. Determine el límite puntual de la sucesión de funciones f n  tal que
f n ( x )  nsen (nx )e  nx , x  S  [0,1].
Solución. Observe que si x=0, entonces, f n (0) = 0 para todo n. Por otra parte,
Limp ne  nx  0  f ( x ), x  S \ {0}.
n 
Además, existe M=1 tal que sen(nx)  1  M, (para todo n y para todo xS). Por
tanto, se sigue que
Limp nsen (nx )e  nx  0  f ( x ), x  W  S.
n 
A continuación se muestra la figura 3, en la cual aparecen las gráficas de los términos
correspondientes a los primeros números impares. El comportamiento geométrico de
esta sucesión de funciones nos permite afirmar que el límite puntual es la función
nula en el conjunto W=S. Analice con cuidado el comportamiento de la sucesión {fn}
alrededor de x=0. Realice pruebas con valores de x pequeños. Por ejemplo: x=0,1,
x=0,01, x=0,0001 y verifique que el límite de la sucesión dada es cero siempre. Sin
embargo, el comportamiento de esta sucesión de funciones difiere de la sucesión de
funciones del ejemplo 1. En este caso se observa que en la medida que n crece la
sucesión de los máximos de cada fn crece. Sobre este hecho volveremos después.
10
Fig. 3. Gráfica de los términos de la sucesión del ejemplo 3, para (n=1, 3, 5, 7), xS=[0,1].
§ 1.2. Limitaciones de la convergencia puntual.
El concepto de convergencia puntual presenta ciertas limitaciones que en este epígrafe nos
proponemos precisar.
1. La convergencia puntual no garantiza que la continuidad de las funciones que
conforman los términos de la sucesión sea trasmitida a la función límite. Más
precisamente, consideremos la sucesión de funciones del ejemplo 2 del epígrafe
anterior, es decir, {f n } tal que
f n (x) = e- nx , S = [0,1].
Observemos que las funciones f n son continuas en S para cada n natural, sin embargo,
como
0 si 0  x  1
Limp f n ( x )  f ( x )  
,
1 si x  0
n 
se obtiene que f no es continua en S. Observemos que si tomamos x=0  S , (xS), se
tiene que:


lim  lim e  nx   1.
n   x 0

Sin embargo,


lim Limp e  nx   lim f ( x )  0, 0  x  1.
x 0  n 
 x 0
Esto nos dice que la operación de paso al límite término a término en una sucesión de
funciones no siempre es válida. Así, en general no se cumple que:




lim Limp f n ( x )  lim Limp f n ( x ), a S .
n   x a
 x a  n 

2.
En general, dada una sucesión de funciones {f n } donde xS=[a,b], no siempre se
tiene que
11
lim
n 
b
b
a
a
f n (x)dx.
 fn (x)dx   Limp
n 
Consideremos a manera de ejemplo la sucesión de funciones que aparece en el ejemplo
3 del epígrafe anterior, es decir, la sucesión {f n } tal que
f n ( x )  nsen (nx )e  nx , x  S  [0,1].
Observemos que
Limp f n ( x )  Limp nsen (nx )e  nx  0  f ( x ), x  W  S.
n 
n 
Sin embargo,
1
1
 fn (x) dx   nsen(nx)e
0
 nx
dx 
0
1  n  cos(n) sen(n) 
e 

.
2
2 
 2
Luego,
1
1
 cos(n) sen(n)  1
lim  f n (x)dx  lim   e  n 

  .
2
2  2
n 
n   2

0
Por otra parte, está claro que
1
f n (x)dx  0.
 Limp
n 
0
3.
También, dada una sucesión de funciones {f n } no siempre se cumple que


d
f n ( x )  d Limp f n ( x ).
dx  n 
n  dx

Limp
Consideremos la sucesión de funciones {f n } tal que f n (x) =
1
sen(n 2 x), xS=[0, 1].
n
Observemos que
1
Limp f n ( x )  Limp sen (n 2 x )  0  f ( x ), x  S  [0,1].
n 
n  n
Por consiguiente,

d 
Limp f n ( x )  0, x  S  [0,1].
dx  n 

Sin embargo, como
d
f n (x )  d  1 sen (n 2 x )  n cos(n 2 x ), x  S  [0,1],
dx
dx  n

se tiene que
d
Limp f n ( x )  Limp n cos(n 2 x )  , x   / n 2  S, n  2, 3, 4, .
n  dx
n 
12
Por las limitaciones de la convergencia puntual señaladas anteriormente, nos vemos
necesitados del estudio de un tipo de convergencia que permita trasmitir la continuidad de
los términos de una sucesión de funciones a la función límite. Y que permita también, que
tanto la derivada como la integral conmuten con el límite. En el próximo epígrafe
estudiaremos el concepto de convergencia uniforme, el cual juega un rol muy importante en
la teoría de las series de funciones.
§ 1.3. Convergencia uniforme de una sucesión de funciones.
Definición 1. Sea la sucesión de funciones f n , tal que f n : S  R, S  R. Se dice
que la sucesión de funciones f n  converge uniformemente a f en el conjunto
W S, f : W  S  R, si para todo   0, existe un número natural N = N   tal que
para todo n  N   y para todo x  W, se tiene que f n ( x )  f ( x )  .
Notación: Limu f n (x) = f (x), en W.
n® ¥
En ocasiones denotaremos la expresión f n (x) - f (x) , por D(f n , f )(x). Es decir,
D(f n , f )(x) = f n (x) - f (x) .
Es importante notar la diferencia entre las definiciones de convergencia puntual, en la que
dados    y xW, existe un número natural que depende de  y x: N  N( x),
mientras que en la convergencia uniforme, dado    existe un número natural que sólo
depende de  : N = N   y este vale para todo x  W. Haciendo uso de los símbolos
lógicos se tiene que:
Limp f n (x)  f (x), en W     x  W N  N (, x)  N : n  n  N  f n (x)  f (x)    

n 
depende de  y x
Limu f n (x)  f (x), en W     N  N   N : x  W, n  n  N  f n (x)  f (x)    


n 
depende sólo de 
Interpretación geométrica de la convergencia uniforme.
Geométricamente, la convergencia uniforme de una sucesión de funciones f n  a una
función f en un conjunto W, significa que:
Para todo    es posible encontrar un número natural N = N   tal que para todo
ε.
n  N  
y
todo x  W se tiene que D(f n , f )(x) <
Es decir,
f (x)    f n (x)  f (x)   por lo que los términos de la sucesión f n (x) se encuentran en
una banda de ancho 2 centrada en (x, f (x)) : x  W. (Ver figura 4):
13
Fig. 4. Ilustración de la convergencia uniforme.
Ejemplo.
1. Sea la sucesión de funciones f n  tal que
x2
f n (x)  2 , x  S  0,1.
n
Demuestre que la sucesión f n  converge uniformemente a la función nula en el
conjunto W=S.
x2
Solución. Sabemos que Limp f n (x)  Limp 2  0  f (x), x  S  W  0,1.
n 
n  n
Verifiquemos que también esta sucesión converge uniformemente en W. Para esto
consideremos prefijado un número positivo  cualquiera, debemos encontrar un
número natural N que sólo depende de  tal que para todo n  N y para todo xW se
cumple que
D(fn ,f )(x) =
x2
n2
- 0=
2
x
n2
< .
Observemos que para todo xW=0,1, se tiene que
x2
x
2
1
D(fn ,f )(x)  2  0  2  2 .
n
n
n
Por tanto, para lograr lo que deseamos, basta con hacer
n>
1
1
n2
<  Pues, se tiene que
.

De esta forma, si tomamos el menor número natural
1
N=N()
.

Entonces, podemos lograr que para todo n  N( y cualquiera sea xW=0,1, se
cumple que
14
D(fn ,f )(x) =
x2
n2
- 0=
x
2
n2
< .
Por ejemplo, para todo xW=0,1, se satisface que:

N=N()
nN
1
2
2
n=2
n=3


1 1
 
p2 2
1 2
D(fn,f)(x)    
9 15
1
2
D(fn,f)(x) 
 
49 15

n=q
D(fn,f)(x) 
n=p
2
15
3
D(fn,f)(x)<
1 1
D(fn,f)(x)    
4 2
1 1
D(fn,f)(x)    
9 2

n=3
n=7
D(fn,f)(x) 
1
2
 
2
15
q
A continuación se muestra la gráfica para los primeros tres términos de la sucesión de
funciones y se observa que el resultado anterior es válido para =0.5 (figura 5):
Fig. 5. Gráfica de los términos de la sucesión {fn} tal que f n (x) 
15
x
n
2
2
, correspondientes a n=1, n=2 y n=3.
Para n=1, se aprecia que la gráfica de la función f1(x) no queda completamente encerrada
en la banda horizontal de ancho 2=1. Pero, a partir de n=2 todas las funciones fn quedan
encerradas en dicha banda.
Ejemplo.
2. Demuestre que la sucesión de funciones f n  tal que
f n (x)  nsen(nx)e  nx , x  S  0,1,
no converge uniformemente en W=S=[0,1].
Solución. Sea la sucesión de funciones f n  tal que
f n (x)  nsen(nx)e  nx , x  S  0,1.
Sabemos que el límite puntual es la función nula en W=S=0,1. Veamos que dicha
sucesión no converge uniformemente en W. Pues, cualquiera sea el número positivo 
prefijado, no es posible encontrar un número natural N que dependa sólo de , tal que,
a partir de N se logre hacer D(fn,f)(x) menor que . Si analizamos el comportamiento
de la sucesión de funciones en la fig. 2, podemos conjeturar que si tomamos la
sucesión de los máximos absolutos m(n) para cada n, la función D(fn,f)(x) en xm(n),
toma valores más grandes en la medida que n crece. También, no es difícil darse cuenta
que si tomamos como x(n)=/2nW, (n=2, 3, 4,π ∙∙∙),
/ 2)evemos que
ne
,
- π/2
D(fn,f)(x(n))= D(fn,f)(/2n)= nsen(
= - π/2
y esta toma valores muy grandes con tal de tomar n grande. En otra forma, podemos
indicar  positivo, tal que cualquiera sea N que tomemos, podemos encontrar nN y
tW tal que D(fn,f)(t)  . Consideremos =0.5, si tomamos N=1, podemos indicar
n=3>N y t=/6W, tal que:
-/2
-/2
D(fn,f)(t) =D(fn,f)( /6)=f3(/6)0=3sen(/2)e =3 e 0.6>0.5=.
-/2
(Aquí se tomó e 0.2079).
Observación. Una consecuencia inmediata de la definición de convergencia uniforme es
que si una sucesión de funciones f n  converge uniformemente a la función f en el
conjunto W, entonces esta sucesión también converge puntualmente en el conjunto W. El
recíproco no es cierto como muestra el ejemplo 2 de este epígrafe.
§ 1.4. Criterios de convergencia uniforme.
A continuación enunciaremos algunos criterios útiles para decidir si una sucesión de
funciones es convergente uniformemente en un conjunto o no.
Teorema 1. Criterio del supremo. Sea dada una sucesión de funciones f n ,
f n : S  R, S  R. Entonces, la sucesión f n  converge uniformemente a la función f
en WS, si y solo si
lim sup D(f n , f )(x)  0.
n  xW
16
Demostración. Supongamos que la sucesión f n , converge uniformemente en el conjunto
W, entonces por definición para todo   0, existe un número natural N = N   tal que

para todo n  N   y para todo x  W, se tiene que D(f n , f )(x)  . Luego,
2

sup D(f n , f )(x)   

xW
lim sup D(f n , f )(x)  0.
n  xW
En la dirección contraria, si lim sup D(f n , f )(x)  0, entonces, para todo   0, existe
n  xW
un número natural N = N   tal que para todo n  N  ,
Por tanto,
sup D(f n , f )(x)  
xW
Pero, esto significa que para todo x  W se cumple que D(fn,f)<. Es decir, la sucesión
f n  converge uniformemente a la función f en el conjunto W. ■
Ejemplo.
1. Demuestre que la sucesión de funciones {f n } tal que
f n (x)  e  nx , x  S  [0,1],
no converge uniformemente en WS=[0,1].
Solución. El límite puntual sabemos que es
0
Limp f n (x)  Limp e nx  f (x)  
1
n 
n 
si 0  x  1
.
si x  0
Luego,
e nx
D(f n , f )(x)  
 0
si 0  x  1
.
si x  0
Por tanto,
sup D(f n , f )(x) = 1.
xÎ W
Por el criterio del supremo, se deduce que la sucesión de funciones {f n } tal que
f n (x) = e- nx ,
no converge uniformemente en W.
Una consecuencia del teorema 1 de este epígrafe, también, nos permitirá verificar que dada
una sucesión de funciones f n , esta converge uniformemente, mediante la existencia de
cierta sucesión infinitesimal.
Teorema 2. Criterio de acotación mediante una sucesión infinitesimal. Sea dada una
sucesión de funciones f n , f n : S  R, S  R. Entonces, la sucesión f n  converge
uniformemente a la función f en WS, si y solo si existe una sucesión infinitesimal de
términos no negativos I n  y existe un número natural N tal que para todo n  N y todo
los xW, se cumple que D(fn,f)(x)  In.
17
Demostración. Supongamos que la sucesión f n  converge uniformemente a una función f
en el conjunto W, entonces por el criterio del supremo se tiene que
lim sup D(f n , f )(x)  0.
n  xW
Luego, podemos tomar la sucesión infinitesimal {I n } tal que
In  sup D(f n , f )(x),
xW
para todo n  N, donde N es cierto número natural. En los primeros N-1 términos, a la
sucesión {I n } podemos asignarle el valor 0. ¿Por qué esto es posible? Entonces la sucesión
{In } es infinitesimal y satisface las exigencias del teorema. Recíprocamente, si existe una
sucesión infinitesimal {I n } que satisface las condiciones del teorema, entonces como
D(f n , f )(x)  In , para todo n  N se cumple que sup D(f n , f )(x)  In .
xW
Por consiguiente,
lim sup D(f n , f )(x)  0.
n  xW
De esta forma y en virtud del criterio del supremo esto equivale a la convergencia uniforme
de la sucesión f n  en el conjunto W. ■
Ejemplo.
2.
Demuestre que la sucesión
f n 
x2
tal que f n (x) 
, x  S  [0,1], converge
n2
uniformemente en el conjunto WS.
Solución. Sabemos que el límite puntual de la sucesión f n  es
x2
Limp f n (x)  Limp
 0  f (x), x  W  S.
2
n 
n  n
Por tanto, como se cumple que
D(f n , f )(x)  D(f n , 0)(x) 
x2

1
 In ,
n2 n2
para todo xW y para todo n=1, 2, ∙∙∙; por el criterio de acotación mediante una
sucesión infinitesimal, se concluye que la sucesión dada converge uniformemente en
el conjunto W.
El criterio siguiente es conocido como criterio de Bolzano-Cauchy. Observe como en él
sólo intervienen relaciones entre los términos de la sucesión.
Teorema 3. Criterio de Bolzano–Cauchy. Sea la sucesión de funciones f n ,
f n : S  R, S  R. Para que f n  sea uniformemente convergente sobre el conjunto
WS, es necesario y suficiente que para cualquier    exista un número natural
N = N   tal que para todo n  N  , todo número entero p0 y todo punto xW se
cumple que D(f n  p , f n )(x)  
18
Demostración. La condición es suficiente. Fijando cualquier xW, se tiene que la
sucesión numérica {f n (x)}, n natural , satisface el Criterio de Cauchy para sucesiones
numéricas y por tanto, converge. Sea
lim f n (x)  f (x), (x  W).
n 
Por hipótesis, se puede afirmar que para cualquier    existe un número natural
N = N   tal que para todo número n  N  , todo número entero p0 y todo xW se
cumple que

D(f n  p , f n )(x)  
2
Como
lim f n  p (x)  f (x),
p
haciendo p   en la desigualdad anterior, para todo n  N y para todo xW se tiene que:

D(f n , f )(x)   
2
Por consiguiente,
Limu f n (x)  f (x), en W.
n 
La condición es necesaria. Supongamos que f n  converge uniformemente en W S,
entonces, de acuerdo con la definición de convergencia uniforme existe una función f tal
que para todo >0, existe un número natural N=N() tal que para todo nN y para todo
xW se tiene que

D(f n , f )(x)  
2
Por tanto, para todo n  N y para todo p  0, se cumple que
ε ε
D(fn + p, fn) (x)  D(fn + p, f) (x)+D(f, fn) (x) < + = ε, (para todo xW).
2 2
Con esto concluye la demostración del teorema. ■
§ 1.5. Criterios de no convergencia uniforme.
El siguiente resultado constituye la base para deducir el criterio de no convergencia
uniforme mediante la discontinuidad de la función límite. Nos interesan los casos en que las
funciones que intervienen en el teorema sean continuas en un punto de acumulación del
conjunto de W.
Teorema 1. Sea la sucesión de funciones f n  convergente uniformemente a la
función f en el conjunto W. Si cada término de esta sucesión es una función continua en
el punto aW, entonces la función f es continua en el punto a.
Demostración. Supongamos que la sucesión de funciones converge uniformemente a la
función f en el conjunto W. Sea    cualquiera, entonces, existe un número natural
N=N() tal que para todo n  N   se cumple que
19

D(f n , f )(x)  , (para todo x  W).
3
Como además, la función f N es continua en el punto “a”, existe un número =() tal que
para todo xa-,a+W se cumple que

f N (x)  f N (a)  .
3
Por tanto, teniendo en cuenta la desigualdad
f (x)  f (a)  f (x)  f N (x)   f N (x)  f N (a)   f N (a)  f (a) 
 D(f N , f )(x)  f N (x)  f N (a)  D(f N , f )(a)
  
     x  a  , a   W  ■
3 3 3
Observaciones:
1. Del teorema anterior se deduce que si la sucesión f n  converge uniformemente en el
conjunto W y cada término de la sucesión es continua en todo punto del conjunto W,
entonces, la función límite f es continua en el conjunto W.
2. La convergencia uniforme de una sucesión de funciones f n  es suficiente para la
continuidad de la función límite siempre que cada término de la sucesión sea una función
continua, pero no es necesaria. Una muestra de esto es el ejemplo 2 del epígrafe 1.2, donde
tanto los términos de la sucesión como la función límite son funciones continuas, sin
embargo, la sucesión de funciones no converge uniformemente.
3. El teorema anterior sirve para demostrar que una sucesión de funciones f n  no
converge uniformemente para el caso en que siendo todos los términos de la sucesión
funciones continuas, la función límite no lo es. Por esto enunciamos el siguiente teorema.
Teorema 2. Criterio de no convergencia uniforme mediante la discontinuidad de la
función límite de una sucesión de funciones. Sea f n  una sucesión de funciones tal
que f n : S  R, S  R. Supongamos que Limp f n (x)  f (x), x  W  S, y para cada n
n 
natural la función fn es continua en W. Si la función f es discontinua en el conjunto W,
entonces, la sucesión f n  no converge uniformemente en el conjunto W.
Demostración. Es una consecuencia inmediata de la observación 1.
Ejemplo.
1.
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)  e nx , x  S  0,1. Demuestre que
esta sucesión no converge uniformemente en W=0,1.
Solución. Sabemos que
si 0  x  1
0
Limp e nx  f (x)  
.
si x  0
1
n 
20
Como cada término de la sucesión f n  es continua en S=W y la función límite f es
discontinua en S=W, se deduce por el teorema 2 que la sucesión f n  no converge
uniformemente en el conjunto S=W=0,1.
Teorema 3. Criterio de no convergencia uniforme mediante la existencia de una
sucesión en el conjunto W. Sea dada una sucesión de funciones f n ,
f n : S  R, S  R. Entonces, la sucesión f n  no converge uniformemente a la
función f en WS si y solo si existe una sucesión
f n (x n )  f (x n ) no converge a 0.
x n ,
x n  W, tal que
Demostración. Se propone como ejercicio.
Ejemplo.
2.
Demuestre que la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)  x n ,
converge uniformemente en S=[0,1].
Solución. Primero, determinemos el límite puntual:
si 0  x  1
0
Limp f n (x)  f (x)  
.
si x  1
1
n 
x  S  0,1, no
Usemos el teorema 3 y consideremos la sucesión x n  tal que
3
x n  n   , x n  S.
4
Entonces, como
0 si 0  x  1
f (x)  
,
si x  1
1
se tiene que:
n
 3
3
fn(xn)-f(xn)= f n (x n )   n   .
4
 4
Por consiguiente, la sucesión f n  no puede ser convergente uniformemente en S.
Comentario:
1. La sucesión elegida no es única, por ejemplo, para nuestros propósitos sirve también la
 n 
sucesión n
 . Compruébelo! Observe que ambas sucesiones tienden a 1 para n
 n  1 
tendiendo a infinito, punto en que la función f no es continua.
2. Si S=[0,1[, tampoco la sucesión de funciones f n  converge uniformemente en el
conjunto S. Si aplicamos el criterio del supremo, vemos que
sup D(f n ,f)(x)  sup x n  0  1, (n  1, 2, ).
x[0,1[
x[0,1[
Luego, no se cumple que
21
lim sup D(f n , f )(x)  0.
n  x[0,1[
Por consiguiente la sucesión de funciones f n  no converge uniformemente en el conjunto
S.
§ 1.6. Propiedades de las sucesiones uniformemente convergente.
Teorema 1. Sean dos sucesiones de funciones f n  y g n  tales que
f n : S  R, g n : S  R, S  R. Si Limu f n (x)  f (x), Limu g n (x)  g(x), en W  S.
n 
n 
Entonces, se cumple que
Limu (af n  bg n )(x)  af (x)  bg(x), en W, siendo a  R y b  R.
n 
Demostración. Se propone como ejercicio y se sugieren dos vías:
i) Usar la definición para los casos siguientes:
 a=b=0.
 a ó b es no nulo.
ii) Usar el criterio de acotación mediante una sucesión infinitesimal.
Ejemplo.
1. Analizar la convergencia uniforme de la sucesión de funciones {h n } tal que
2x 2 + 3nsen(nx)
hn =
, xS=[0,1].
n2
Solución. La sucesión de funciones {h n } puede expresarse como
h n = a fn + b gn .
En este caso, a = 2, b = 3, f n (x) =
x2
n
2
Limp f n (x)  Limp
y g n (x) =
sen(nx)
. Entonces,
n
x2
 0  f (x), x  S,
n2
sen(nx)
Limp g n (x)  Limp
 0  g(x), x  S.
n
n 
n 
n 
n 
Ahora, analicemos la convergencia uniforme de las sucesiones de funciones {f n } y
{g n } en el conjunto S. Para ambas sucesiones es posible aplicar el criterio de
acotación mediante una sucesión infinitesimal. Así tendremos que:
D(f n , 0)(x) 
D(g n , 0)(x) 
x2
n
2

1
n2
 I n , para todo xS=[0,1] y para todo n;
sen(nx 1
  J n , para todo xS=[0,1] y para todo n.
n
n
22
Luego, como las sucesiones {In } y {J n } son sucesiones infinitesimales se tiene
por el criterio de acotación, que las sucesiones de funciones {f n } y {g n } convergen
uniformemente a la función nula en el conjunto S. Entonces, por el teorema anterior
la sucesión {h n } converge uniformemente a la función nula en el conjunto S.
Teorema 2. Sean Limu f n (x) = f(x), en W y h una función acotada en W. Entonces,
n 
Limu (hf n )(x)  h(x) f (x), en W.
n 
Demostración. Se propone como ejercicio y se sugiere usar el criterio de acotación
mediante una sucesión infinitesimal.
Ejemplo.
2.
Analice la convergencia uniforme de la sucesión de funciones g n  tal que
g n (x) =
e x cos(nx)
, xS=[0,1].
n
Solución. Consideremos la sucesión de funciones f n  tal que f n (x) =
cos(nx)
,
n
y sea también, la función h(x) = e x , x Î [0,1]. Se puede afirmar por el teorema de
acotación mediante una sucesión infinitesimal, que la sucesión de funciones f n 
es uniformemente convergente a la función nula en el conjunto S. Como además, la
función h es acotada en el conjunto S, pues,
h(x)  e  3  M.
Entonces, por el teorema anterior se tiene que la sucesión de funciones
converge uniformemente a la función nula en el conjunto S.
g n 
El siguiente teorema brinda condiciones suficientes que permiten la operación de paso al
límite término a término en una sucesión de funciones dada. Consideraremos el caso en
que el punto x = a W ¢, es un número real y donde WS es el conjunto donde la sucesión
de funciones f n  converge uniformemente. Es decir, x = a es un punto de acumulación
del conjunto W y a.
Teorema 3. Paso al límite término a término. Sea una sucesión de funciones f n  tal
que f n : S  R, S  R, n natural. . Si a  W  , WS, aR y además:
1. lim f n (x)=L n , para cada n.
x a
2. Limu f n (x) = f(x), en W.
n 
Entonces, existe el límite




lim L n  lim  lim f n (x)   lim  Limu f n (x)   lim f(x)=L.
n 
n   x  a
 x  a  n 
 x a
23
Demostración. Para demostrar que la sucesión {L n } es convergente a un número L
probaremos que es una sucesión de Cauchy. Como por hipótesis se tiene que la sucesión de
funciones f n  converge uniformemente a una función f en el conjunto W, podemos
afirmar por el criterio de acotación mediante una sucesión infinitesimal, que existe una
sucesión infinitesimal de términos positivos {I n } y existe un número natural N tal que para
todo n  N y todo los xW, se cumple que
D(fn, f) (x)  In.
Además, para todo entero p0 se tiene que
D(f n + p , f) (x)  In + p .
Como la sucesión {I n } es infinitesimal, entonces para cada >0 es posible encontrar un
número natural K tal que para todo número nK se cumple que:
ε
In < ,
4
ε
In+p < .
4
Por tanto, para todo número n  máx (N, K) se cumple:
D(f n + p , f n ) (x)  D(f n , f) (x) + D(f n + p , f) (x) <
Luego, tomando límite cuando x tiende hacia “a” se tiene que
ε ε ε
+ = .
4 4 2
ε.
ε

2
x a
Por consiguiente, la sucesión {L n } es una sucesión de Cauchy y podemos afirmar que
tiene límite L. Ahora mostraremos que este número L es el límite de la función f en el
punto “a”.
Prefijemos un número cualquiera positivo . Como la sucesión {L n } tiene límite L, existe
lim D(f n + p , f n )(x)= L n + p  Ln 
un número natural N tal que si nN entonces se cumple que
ε
Ln - L < .
3
Por hipótesis, la sucesión de funciones f n  converge uniformemente a una función f en el
conjunto W, por lo que existe un número natural K tal que para todo nK y para todo
xW, se cumple que
ε
D(fn, f) (x) < .
3
Como además,
lim f n (x)=L n ,
x a
si fijamos ahora un número natural n  máx(N, K) podemos afirmar que existe un número
positivo  tal que si 0 < x - a < , xW, entonces:
ε
.
3
De esta forma se tiene que existe un número positivo  tal que si 0 < x - a < , xW,
entonces
f n (x) - L n <
24
ε.
ε ε ε
f(x) - L  f(x) - f n (x)  f n (x) - L n  L n - L  + + =
3 3 3
■
Como se observa la tesis del teorema anterior nos dice que la sucesión numérica {L n } es
convergente a un número L y la función límite f, también tiene por límite al número L en el
punto x=a.
Un teorema similar es válido para el caso en que el punto “a” no es finito.
Ejemplo.
3.
1
1 + n 2 x 2 , siendo
n
el conjunto S=[-1, 1]. Analice si se satisfacen las hipótesis del teorema 3 de este
epígrafe.
1
Solución. La sucesión de funciones f n  tal que f n (x) =
1 + n 2 x 2 , converge
n
uniformemente a la función f(x) = x, (ver ejercicio 4). Si ahora, prefijamos
x = a  W  cualquiera, entonces se tiene que:
1
1
lim
1+n 2 x 2 
1+n 2a 2  L n .
n
x a n
Por tanto, la sucesión de funciones f n  satisface las hipótesis del teorema 3.
Luego, se obtiene que
1
1


lim  lim
1  n 2 x 2   lim
1  n 2a 2  a .
n
n   x  a n
n


Consideremos la sucesión de funciones f n  tal que f n (x) =
Además,
1


lim  lim
1  n 2 x 2   lim x  a .
x  a  n  n
 x a
De forma similar al teorema anterior, el siguiente teorema nos permitirá la integración
término a término de una sucesión de funciones dada. Una vez más la condición de la
convergencia uniforme de dicha sucesión de funciones, debe ser exigida en las hipótesis del
mismo. De esta forma las limitaciones de la convergencia puntual que no garantiza que
conmuten el límite con la integral, es superada.
Teorema 4. Integración término a término. Sea una sucesión de funciones f n  tal
que f n : a, b   R, n natural, f n  C a, b  y Limu f n (x) = f(x), en a, b . Entonces,
n 
x
si Fn (x)  f n (t)dt, x  a, b  y n natural, se cumple que:

a
a) f R[a, b].
x

b) Limu Fn (x)  F(x)  f (t)dt en a, b.
n 
a
25
Demostración. Por hipótesis, la función f n C[a,b] para cada n   , entonces,
apoyándonos en uno de los criterios de integrabilidad se tiene que f n R[a, b], n=1, 2, .
Además, como la sucesión f n  converge uniformemente a f en a, b , entonces, por la
observación 1 del teorema 1 del epígrafe 1.5 se puede afirmar que fC[a, b] y por
consiguiente, f R[a, b]. Esto demuestra la parte a).
Para demostrar la parte b), observemos que como por hipótesis la sucesión f n  converge
uniformemente a f en
a, b,
por el criterio de acotación mediante una sucesión
infinitesimal, existe una sucesión infinitesimal In  de términos no negativos y existe un
número natural N tal que para todo n  N y para todo t  a, b , se cumple que
D(fn, f) (t)  In.
Por tanto,
x
D(Fn , F)(x) 
 (fn (t)  f (t)) dt
a

x
x
a
a
 D(fn , f) (t) dt  In  dt  (b  a)In ,
para todo n  N y para todo x  a, b . Luego,
x

Limu Fn (x)  F(x)  f (t)dt en a, b. ■
n 
a
Un teorema similar es válido considerando que
b

Fn (x)  f (t)dt, x  [a, b], n   .
x
Ejemplo.
4.
1
1 + n 2 x 2 , siendo
n
el conjunto S=[-1,1]. Analice si se satisfacen las hipótesis del teorema 4 de este
epígrafe.
Solución. La sucesión de funciones f n  tal que
Consideremos la sucesión de funciones f n  tal que f n (x) =
1
1+ n 2x 2 ,
n
converge uniformemente a la función
f(x) = x,
(ver ejercicio 4).
Además, no es difícil darse cuenta que para cada n  N, f n  C 1,1. Luego,
f n (x) =
26
1
1
ln( n 2  1  n)
n2  1
2 2
1

n
x
dx


n
n
n2
1
Así, se obtiene:
lim
ln( n 2  1  n)
n 
n2
n2  1

 1.
n
Por otra parte,
1
1  n 2 x 2  x , x  S.
n  n
Limu
En este caso:
1
 x dx  1.
1
Resultado que era de esperar de acuerdo con el teorema.
El teorema 4 admite la siguiente versión para funciones integrables según Riemann, la cual
sólo enunciaremos, pues, su demostración rebasa los objetivos de este curso. Sin embargo,
es importante conocer que existen otros resultados que garantizan que “el límite de una
integral definida de cierta sucesión de funciones dada es igual a la integral definida del
límite de dicha sucesión de funciones”, sin exigir en las hipótesis la convergencia uniforme
para la sucesión de funciones que se analiza.
Teorema 5. Teorema de Arzelá. Sea la sucesión de funciones f n  tal que:
1.
f n 
es uniformemente acotada en el intervalo [a, b].
2. Limp f n (x)=f(x) en el intervalo [a, b].
n 
3. f n R[a, b] para cada n y fR[a, b].
Entonces,
b
b
b
a
a
a
lim  f n (x)dx=  lim f n (x)dx=  f(x)dx.
n 
n 
Investigar: ¿Quién fue Arzelá?
Ejemplo.
4.
Consideremos la sucesión de funciones f n  tal que
f n (x) = x n , x Î S = [0,1].
Analice si se satisfacen las exigencias del teorema de Arzelá.
Solución. Sabemos que la sucesión de funciones f n  converge puntualmente a la
función
si x  1
1
f (x)  
0 si 0  x  1.
27
Además, se cumple que f n C[0,1] para cada n, por consiguiente f n R[0,1] para
cada n. También, la función límite fR[0,1], por ser continua en el intervalo [0,1]
salvo en el punto x=1, donde presenta una discontinuidad finita.
Por último, observemos que la sucesión de funciones f n  es uniformemente acotada.
Es decir, existe una constante M=1, tal que para todo n y para cada xS, se tiene
que
x n  M  1.
Luego, la sucesión de funciones f n  satisface las condiciones del teorema de Arzelá.
Así, se tiene:
1
x n+1 1
1
n
lim x dx= lim
 lim
 0.
n  
n  n+1 0 n  n  1
0
Y,
1
 Limp x
n
0 n 
1
dx=  f(x) dx=0.
0
Observar que el teorema 4 no es aplicable, pues, la sucesión de funciones f n  no converge
uniformemente en el conjunto S.
Teorema 6. Derivación término a término. Sea f n  una sucesión de funciones tales
que f n : a, b   R, n natural, f n  C a, b . Si para c  a, b , la sucesión f n (c)
df (x)
 g(x) en a, b . Entonces,
converge y además, Limu n
n  dx
a) existe f : a, b   R, tal que Limu f n (x)  f (x) en a, b .
n 
df (x)
b)
 g(x) para todo x  a, b .
dx
Demostración. Demostremos primero la parte b) del teorema. Para esto consideremos la
función
x
f n (x) 

df n (t)
dt  A n ,
dt
a
donde A n  f n (a). Por hipótesis, para c  a, b , la sucesión f n (c) converge y por el
teorema 4 de la integración término a término se tiene que
c
c
df n (t)
lim
 g(t)dt.
dt
n 


a
a
Por lo tanto, se puede afirmar que la sucesión A n  converge a un número real A y por
consiguiente,
28
x
 x
df n (t)

lim f n (x)  lim
dt  A n   g(t)dt  A.


dt
n 
n  
 a
a
Es decir, la sucesión f n  converge y la función límite f es tal que


x

f (x)  g(t)dt  A.
a
En otras palabras,
Limp f n (x)  f (x), x  a, b .
n 
Ahora, como gC[a, b] ¿por qué?, en virtud del teorema fundamental del cálculo integral
es posible derivar la función f. Así,
f (x)  g(x), x  a, b .
Para demostrar la primera parte del teorema, como por hipótesis
df (x)
Limu n
 g(x) en a, b ,
n  dx
se puede utilizar el mismo razonamiento que aparece en la demostración de la parte b) del
teorema anterior. Para esto basta tener en cuenta que
x
 df (t)

f n (x)-f(x) =   n -g(t) dt + (A n -A).

a  dt
Con esto se completa la demostración del teorema. ■
Ejemplo.
6.
Consideremos la sucesión de funciones
f n 
tal que f n (x) =
x2
n2
Analice si se satisfacen las hipótesis del teorema 6 de este epígrafe.
Solución. Para cada n, se cumple que
df n (x) 2x
=
 C[0, 1].
dx
n2
, xS=[0, 1].
Es decir, para cada número natural n se tiene que la función f n (x) =
x2
, tiene
n2
derivada continua en S por tratarse de una función polinomial, las cuales tienen
derivadas continuas de todos los órdenes en . En particular, en el conjunto S.
Además, no es difícil darse cuenta que
df (x)
2x
Limu n
 lim
 0  g(x), x  S=[0, 1].
n  n 2
n  dx
Para esto basta aplicar el criterio de acotación mediante una sucesión infinitesimal.
¡Verifíquelo! Por último, si prefijamos un valor cualquiera c[0, 1] entonces, es
 c2 
obvio que la sucesión numérica f n (c)    es convergente por ser
 n 2 
29
infinitesimal. Por tanto, quedan satisfechas las condiciones del teorema 6. Así, se
obtiene que:
df n (x)
2x
d 
x2 
lim
 lim
0
 lim
 , x  S=[0, 1].
dx  n  n 2 
n  dx
n  n 2
30
RESUMEN DE DEFINICIONES Y CRITERIOS MÁS
IMPORTANTES PARA SUCESIONES DE FUNCIONES
Definición
Convergencia
puntual
de una sucesión de
funciones.
Enunciados
Sea la sucesión f n , con f n : S  R, S  R. Se dice que f n 
converge puntualmente a la función f en el conjunto W S,
f : W  S  R, si para todo xW y todo   0 , existe un número
natural N = N  x  tal que si
n  N   se cumple
que
f n ( x )  f ( x )  .
Convergencia
uniforme
de una sucesión de
funciones.
Sucesión
uniformemente
acotada.
Sea la sucesión f n , con f n : S  R, S  R. Se dice que f n 
converge uniformemente a la función f en el conjunto W S,
f : W  S  R, si para todo   0 , existe un número natural
N = N   tal que para todo n  N   y todo xW se cumple
que f n ( x )  f ( x )  .
Sea la sucesión f n , con f n : S  R, S  R. Se dice que f n 
está uniformemente acotada en WS, si existe una constante
K>0 tal que para todo xW y para todo n natural se tiene que
f n ( x )  M. A este número M se le denomina cota uniforme
para f n .
Criterios de
convergencia
Criterio
del
supremo.
Criterio de
convergencia uniforme
mediante
la existencia de una
sucesión
infinitesimal.
Criterio de
Bolzano–Cauchy.
Enunciados
f n  converge uniformemente a f en WS,
f n : S  R, S  R. si y solo si sup f n ( x )  f ( x )  0
n
xW
f n  converge uniformemente a f en WS,
f n : S  R, S  R. si y solo si existe una sucesión h n  de
números reales tal que h n  0 y para todo xW
n
f n ( x )  f ( x )  h n , para todo n   .
f n  converge uniformemente en WS,
f n : S  R, S  R. si y solo si para cualquier    exista
un número natural N = N   tal que para todo n  N  ,
todo número entero p0 y todo punto xW se cumple que
D(f n  p , f n )(x)  
31
Criterios de no
convergencia
Criterio de no
convergencia uniforme
mediante la
discontinuidad de la
función límite de una
sucesión de funciones.
Criterio de no
convergencia uniforme
mediante la existencia
de una sucesión en el
conjunto W.
Enunciados
Sea f n  una sucesión de funciones tal que
f n : S  R, S  R. Supongamos que
Limp f n (x)  f (x), x  W  S, y para cada n natural la
n 
función fn es continua en W. Si la función f es discontinua en
el conjunto W, entonces, la sucesión f n  no converge
uniformemente en el conjunto W.
f n  converge uniformemente a f en WS,
f n : S  R, S  R. si y solo si existe una sucesión h n  de
números reales tal que h n  0 y para todo xW
n
f n ( x )  f ( x )  h n , para todo n natural.
32
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO I:
SOBRE SUCESIONES DE FUNCIONES
1. Señale verdadero o falso marcando V o F según corresponda:
a) Sea la sucesión de funciones f n  tal que Limu f n (x)=f(x), en el conjunto S.
n 
Entonces, si ST se tiene que Limu f n (x)=f(x) en el conjunto T.
n 
f n 
b) Sea la sucesión de funciones
tal que Limu f n (x)=f(x), en el conjunto S.
n 
Entonces, si TS se tiene que Limu f n (x)=f(x), en el conjunto T.
n 
c) Sea la sucesión de funciones f n  tal que Limu f n (x)=f(x), en el conjunto S y
n 
además, Limu f n (x)=f(x), en el conjunto T. Entonces, Limu f n (x)=f(x), en el
n 
n 
conjunto ST.
d) Sea la sucesión de funciones
f n 
tal que Limp f n (x)=f(x), en el conjunto S.
n 
Entonces, si para todo n la función f n C(S) se tiene que fC(S).
e) Sea la sucesión de funciones f n  tal que Limp f n (x)=f(x), en [a, b]. Entonces, se
n 
cumple que lim
n 
2.
b
b
a
a
 fn (x) dx   f (x) dx.
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=nx 2 (1 - x) n , x  S  [0,1].
a) Represente gráficamente los términos de la sucesión correspondiente a n=1, 2, 3 y
4. Haga un ajuste de escala que le permita una mejor visualización.
b) Conjeture que el límite puntual es la función nula en el conjunto S.
c) Determine el máximo absoluto m n de la función D(fn, 0)(x) para cada n, xS.
Muestre que la sucesión In  tal que In =D(f n ,f)(m n ) es infinitesimal. ¿Qué se
puede decir de la convergencia uniforme de la sucesión de funciones f n  en el
conjunto S?
3.
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=
4x
, x  S  [0,1].
2 + nx 2
a) Represente gráficamente los términos de la sucesión correspondiente a n=3, 4, 5 y 6.
b) Verifique que su límite puntual es la función nula en el conjunto S.
c) Considere  = 0.5 y dibuje la banda horizontal limitada por las rectas y = 
y
y = . Compruebe que a partir de n=9 todos los términos de la sucesión dada se
encuentran en la banda considerada para todo xS.
d) Determine el máximo absoluto m n de la función D(fn, 0)(x) para cada n, xS.
Muestre que la sucesión In  tal que In =D(f n ,f)(m n ) es infinitesimal. ¿Qué se
puede decir de la convergencia uniforme de la sucesión de funciones f n  en el
conjunto S?
33
4.
1
1 + n 2 x 2 , x  S  R.
n
a) Represente gráficamente los términos de la sucesión correspondiente a n=1, 2, 3 y 4.
b) Verifique que su límite puntual es la función f(x) = x , xS.
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=
c) Considere  = 0.4 y dibuje la banda limitada por las rectas y  x +  y y  x - ,
(x  0) y las rectas y  -x -  y y  -x + , (x  0). Compruebe que a partir de
n=3 todos los términos de la sucesión dada se encuentran en la banda considerada
para todo xS.
1
d) Use el criterio del supremo y muestre que sup D(f n ,f)(x)= . ¿Qué se puede decir
n
xS
de la convergencia uniforme de la sucesión de funciones
5.
6.
7.
8.
f n  en el conjunto S?
 x n 0  x  1/2

Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=  1
(x  S  [0,1]).
 n 1/2  x  1
2
a) Verifique que su límite puntal es la función nula en el conjunto S.
b) Use adecuadamente el criterio de acotación mediante una sucesión infinitesimal y
demuestre que la sucesión f n  converge uniformemente en el conjunto S.
e-nx
, x  S  [0,1].
x+n
a) Represente gráficamente los términos de la sucesión correspondiente a n=1, 2, 3 y 4.
b) Verifique que su límite puntual es la función nula en el conjunto S.
c) Construya una sucesión numérica infinitesimal de términos positivos que le permita
asegurar la convergencia uniforme de la sucesión de funciones f n . (La
representación en el inciso a) nos sugiere qué sucesión proponer).
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=n(x 2n-1 - x 2n ), x  S  [0,1].
a) Represente gráficamente los términos de la sucesión correspondiente a n=1, 2, 3 y 4.
Haga un ajuste de escala que le permita una mejor visualización.
b) Verifique que el límite puntual es la función nula en el conjunto S.
c) Use adecuadamente el teorema 3 del epígrafe 1.5 y demuestre que la sucesión de
funciones f n  no converge uniformemente en el conjunto S. (El comportamiento
geométrico de la sucesión de funciones nos sugiere qué sucesión numérica tomar.
Recuerde que esta sucesión no es única. Esfuércese en indicar varias sucesiones que
le permitan resolver el problema).
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=
nx 2
, x  S  R.
1 + nx 2
a) Represente gráficamente los términos de la sucesión correspondiente a n=100, 1000,
10000, 100000. Haga un ajuste de escala que le permita una mejor visualización.
34
b) Conjeture el límite puntual de la sucesión de funciones f n .
c) Demuestre que la sucesión de funciones f n  no converge uniformemente en el
conjunto S.
d) Demuestre que la sucesión de funciones f n  converge uniformemente en el
conjunto W = [a, +[  S, a>0.
9.
x2
Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=
, x  S  R.
n2 + x2
a) Represente gráficamente los términos de la sucesión correspondiente a n=5, 10, 20
y 40.
b) Conjeture el límite puntual de la sucesión de funciones f n .
c) Demuestre que la sucesión de funciones
f n  no converge uniformemente en S.
n
(Tome la sucesión x(n)=e ).
d) Demuestre que la convergencia es uniforme en cualquier intervalo de la forma [-a, a]
(a>0).
10. Investigar la convergencia uniforme de la sucesión de funciones
f n (x) =
f n 
tal que
nx
, x[0, 1].
x+n+4
11. Determine para qué valores del parámetro p la sucesión de funciones f n  tal que
f n (x) = n p xe-nx , (n=1, 2,  ) converge uniformemente en el conjunto S=[0, 1].
2
12. Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x) = nxe-nx , xS=[0, 1].
a) Demuestre que la sucesión
b) Verifique que
1
f n  no converge uniformemente en el conjunto S.
1
f n (x)dx  lim  f n (x)dx.
0 nlim

n  0
35
CAPÍTULO II
SERIE DE FUNCIONES
Introducción.
Es de esperar que las insuficiencias de la convergencia puntual estudiadas para sucesiones
de funciones, se presenten en las series. Veamos el siguiente caso:
Ejemplo.
1. Verifique que la serie de funciones


f n (x), f n (x) 
n 0
x4
1  x 
4
n
, x  R, (n  0, 1, 2, 3, ),
tiene por suma una función discontinua en R, a pesar de que cada término de la serie
es continua en .
Solución. Haciendo un análisis por casos tenemos:
 Caso 1. Sea x = 0. Entonces, la serie converge y tiene por suma f  0.
 Caso 2. Sea x  0. Entonces, la serie converge ya que se corresponde con
1
una serie geométrica de razón r 
 1, x  R \ 0, multiplicada por
1 x4
x 4 . Por consiguiente, para x  0 la suma de la serie es dada por la función
x4
 1  x 4.
 1 
1 

1  x4 
Es decir, la serie converge para cada x. Sin embargo, cada término de la serie es
una función continua, pero la función límite
si x  0
 0
f (x)  
,
4
1  x si x  0
no es continua en x=0. Lo anterior significa que la convergencia puntual no preserva
la continuidad.
f(x) 
lim lim Sn (x)  lim lim Sn (x), donde
x  x 0 n 
n  x  x 0
n
Sn (x) 
f k (x), n  1, 2, 3,  ,
k 1
es la sucesión de sumas parciales de la serie para cada x.
En general no se cumple que:

36
Ejercicio. Haga un análisis del comportamiento geométrico del ejemplo 1 apoyado en un
Asistente Matemático y verifique el resultado obtenido anteriormente. Para esto represente
gráficamente la función límite y las funciones Sn(x) para n=0, 10, 100, 1000 y 10000.
Análogamente a como se procedió con las sucesiones de funciones, introduciremos a
continuación el concepto de serie uniformemente convergente, pero antes precisaremos el
concepto de convergencia puntual de una serie de funciones.
§ 2.1. Convergencia puntual de una serie de funciones.
Supongamos que se tiene la serie de funciones

 fn (x), fn : S  R  R, fn (x)  R,
n  1, 2, 3, .
n 1
Se denomina suma parcial de orden n de la serie anterior, a la suma finita
Sn (x) 
n
 f k (x), n  1, 2, , para cada xS.
k 1

Definición 1. Sea la serie de funciones
 fn (x) , tal que
f n : S  R, SR y sea
n 1

f : W  R  R. Se dice que la serie
 fn (x) converge puntualmente a la función
n 1
f en el conjunto WS, si la sucesión de sumas parciales Sn , Sn (x) 
n
 fk (x),
k 1
converge

puntualmente
 fn (x)=f(x),
n=1
a
la
función
f
en
el
conjunto
W.
Notación:
puntualmente en W, ó LimpSn (x)=f(x), x  W.
n 
Ejemplos.
1.
Sea la serie geométrica de las funciones potenciales f n (x) = x n-1, (n 1, 2, ),
xS=:
1 +x + x 2 + x 3 +  + x n-1 + .
Verifique que la serie geométrica converge puntualmente en el conjunto W=]-1, 1[.
Solución. La sucesión de sumas parciales es
2
3
Sn (x) =1 + x + x + x + + x
n-1
1 - xn

, (x  1).
1-x
Luego,
LimpSn (x) 
n 
1
si x  1.
1 x
37
Por otra parte, la sucesión de sumas parciales no converge para cada x tal que x  1.
Así, se obtiene que el conjunto de convergencia puntual de la serie de funciones
potenciales es W=]-1, 1[.
2.
Muestre que la serie de funciones

 nsen(nx)enx  (n 1)sen (n 1)x e(n 1)x , x  S  [0,1],
n 1
converge puntualmente en S.
Solución. Sea la sucesión de funciones
f n (x) = nsen(nx)e- nx - (n - 1)sen ((n - 1)x )e- (n- 1)x .
Entonces, la sucesión de sumas parciales Sn  es Sn (x) = nsen(nx)e- nx .
Pero, sabemos que
LimpSn (x)  Limp nsen(nx)e  nx  f (x)  0.
n 
n 
Pues, sen(nx) está acotada para cada x y para cada n=1, 2,  . Además, la sucesión
n
de funciones
converge puntualmente a la función nula en S=]0,1].
enx
§ 2.2. Convergencia uniforme de una serie de funciones.
El concepto de convergencia uniforme de una serie de funciones que abordaremos a
continuación, es el mismo que el tratado en el epígrafe 1.3 del capítulo I, sólo que ahora la
sucesión de funciones objeto de estudio es la sucesión de sumas parciales {Sn } asociada a
la serie.

Definición 2. Sea la serie
 fn (x) , tal que fn : S  R  R,
y sea f : W  R  R. Se
n 1

dice que la serie
 fn (x)
converge uniformemente a la función f en el conjunto
n 1
WS, si la sucesión de sumas parciales
Sn ,
n
Sn (x) 
 fk (x),
converge
k 1
uniformemente a la función f en el conjunto W. Notación:

 fn (x) = f(x),
n=1
uniformemente en W, ó Limu Sn (x) = f(x), x  W.
n 
Está claro que de la definición 2 se deduce que si Limu Sn (x)=f(x), x  W. Entonces,
n 
LimpSn (x)=f(x), x  W.
n 
38
Luego, la función f representa la suma de la serie

 fn (x) .
n 1
Ejemplo.
1.
Sea la serie geométrica:
1 + x + x 2 + x 3 +  + x n-1 + .
Verifique que la serie geométrica converge uniformemente en el conjunto W=[-a, a]
tal que 0<a<1.
Solución. Sabemos que la serie geométrica de las funciones potenciales
f n (x)  x n 1 , (n), converge puntualmente en el intervalo abierto ]-1,1[ a la
función
1
.
f(x) =
1-x
Para demostrar que la serie converge uniformemente en W, observemos que si la
sucesión de sumas parciales {Sn } es dada por
Sn (x) =1 + x + x 2 + x 3 + + x n-1 
1 - xn
, (x  1).
1-x
Entonces, se tiene que
n
D(Sn ,f)(x) 
x
1
1 - xn


.
1-x 1 - x
1-x
Ahora, para todo x tal que x  a  1 se tiene que
D(Sn ,f)(x) 
x
n
1-x

an
 In , (para todo xW).
1-a
Teniendo en cuenta que la sucesión In  es infinitesimal para 0<a<1, podemos
afirmar en virtud del criterio de acotación mediante una sucesión infinitesimal, que la
sucesión de sumas parciales {Sn } converge uniformemente a la función f en el
conjunto W. Esto significa que la serie geométrica de funciones potenciales converge
uniformemente en W=[-a, a], 0<a<1.
Observemos que la serie no converge uniformemente en el conjunto [0,1[.
2.
Muestre que la serie de funciones

 nsen(nx)enx  (n 1)sen (n 1)x e(n 1)x , x  S  [0,1],
n 1
no converge uniformemente en S.
Solución. Sabemos que esta serie converge puntualmente a la función nula en el
conjunto S. Pues, la sucesión de sumas parciales Sn es, Sn (x) = nsen(nx)e- nx .
Pero, según el ejemplo 2 del epígrafe 1.3 del Capítulo I esta sucesión no converge
uniformemente en S. Luego, la serie dada no converge uniformemente en el conjunto
S.
39
§ 2.3. Algunos criterios de no convergencia uniforme.
Un resultado que pudiera ser útil en determinados casos se obtiene como consecuencia del
siguiente teorema.

Teorema 1. Sea la serie
 fn (x),
f n :S  R, S  R, uniformemente convergente a la
n=1
función f en el conjunto W S. Entonces, Limu f n (x)=f(x)=0, en el conjunto W.
n 
Demostración. Sea la sucesión de funciones f n  tal que f n (x)=Sn (x)-Sn-1 (x), S0 (x)=0,
(n=1, 2, ). Entonces, por el teorema 1 del epígrafe 1.6 del Capítulo I, se deduce que la
sucesión f n  converge uniformemente a la función nula sobre el conjunto W. ■
Del teorema anterior se deduce el siguiente criterio de no convergencia uniforme:
Teorema 2. Criterio de no convergencia uniforme para series mediante el límite

uniforme del término general. Sea la serie de funciones
 fn (x),
n=1
f n :S  R, S  R,
tal que la sucesión de funciones f n  no converge uniformemente a la función nula en el

 fn (x), no converge uniformemente en el conjunto
conjunto WS. Entonces, la serie
n=1
W.

Demostración. Supongamos lo contrario. Es decir, la serie de funciones
 fn (x),
n=1
converge uniformemente en el conjunto WS. Entonces, en virtud del teorema 1 de este
epígrafe se tiene que Limu f n (x) = f(x)=0 en el conjunto W, lo cual es una contradicción
n 
evidente con la hipótesis. ■
Ejemplo.
1.
Use el criterio del límite uniforme del término general de una serie de funciones y

compruebe que la serie
 xn ,
x  S  [0,1[, no converge uniformemente en el
n=0
conjunto S.
Solución. Sabemos que la sucesión de funciones {f n } tal que f n (x)=x n , x  S=[0,1[;
converge puntualmente a la función nula, pero no converge uniformemente en el
conjunto S (ver el comentario al ejemplo 2 del epígrafe 1.5, Capítulo I). Por tanto, por
el criterio de no convergencia uniforme para series mediante el límite uniforme del
término general se sigue que la serie de funciones

 xn ,
x  S  [0,1[,
n=0
no converge uniformemente en el conjunto S.
40
Ejemplo.
2.
Use el criterio del límite uniforme del término general de una serie de funciones y

compruebe que la serie
xn
 n! , x  S=R, no converge uniformemente en S.
n=0
Solución. Observemos que la sucesión de funciones f n  tal que
xn
,
n!
no converge uniformemente a la función nula en S=R. Basta considerar
x n  n n  n!
y aplicar el criterio de no convergencia uniforme mediante la existencia de una
sucesión numérica en el conjunto W (teorema 3, del epígrafe 1.5 del capítulo I). Por
tanto, por el teorema anterior la serie dada no converge uniformemente en el conjunto
S.
f n (x) =

Investigar. Proponga dos ejemplos de serie de funciones
 fn (x),
tal que
n=0
Limp f n (x)=f(x)=0, en un conjunto W, pero que la serie no converja uniformemente en el
n 
conjunto W.
Teorema 3. Supongamos que Limu Sn (x)=f(x), en WS, siendo Sn  la sucesión de
n 

sumas parciales asociada a la serie de funciones
 fn (x),
n=1
f n :S  R, S  R, Si para
cada n, la función f n es continua en el punto x = a W . Entonces, la función f es
continua en el punto x = a.
Demostración. Es consecuencia del teorema 1, epígrafe 1.5 del Capítulo I y se propone
como ejercicio.
Observación. Si la sucesión de sumas parciales
Sn  converge uniformemente en W y
cada f n es continua en el conjunto W. Entonces, la función f es continua en W.
Una consecuencia de este teorema es el siguiente, que es el análogo para series del teorema
2 del epígrafe 1.5 del capítulo I.
Teorema 4. Criterio de no convergencia uniforme para series mediante la
discontinuidad de la función límite. Supongamos que LimpSn (x)=f(x), en WS,
n 
siendo Sn  la sucesión de sumas parciales asociada a la serie de funciones

 fn (x),
n=1
f n :S  R, S  R, Si para cada n la función f n C(W). Entonces, si la función f es
discontinua en el conjunto W, la sucesión de sumas parciales Sn  no converge
uniformemente en el conjunto W.
41
Demostración. Es consecuencia del teorema 2, epígrafe 1.5 del Capítulo I y se propone
como ejercicio.
Ejercicio. Muestre que la serie de funciones


x4
n 0
1  x 
4
n
, xS=R,
no converge uniformemente en el conjunto S.
§ 2.4. Criterios de convergencia uniforme para series de funciones.
A continuación enunciaremos varios criterios que nos pueden ser útiles para afirmar la
convergencia uniforme de una serie en un conjunto W. Comenzaremos diciendo que los
criterios estudiados en el epígrafe 1.4 del Capítulo I tienen su versión para series de
funciones a través de la sucesión de sumas parciales de la serie de funciones dada.
Omitiremos aquí los análogos de los criterios 1 y 2 del epígrafe 1.3, y dejamos al lector
para que enuncie y demuestre los mismos. Sin embargo, por su utilidad de valor teórico
enunciaremos para series de funciones la versión del criterio “Teorema 3, Criterio de
Bolzano-Cauchy del epígrafe 1.3 del Capítulo I”. Además, estudiaremos otros criterios de
convergencia uniforme para series de funciones que son característicos de estas y que son
muy útiles en la práctica.
Teorema 1. Condición uniforme de Bolzano-Cauchy para series de funciones. Una

condición necesaria y suficiente para que la serie de funciones
 fn (x),
n=1
f n :S  R, S  R, converja uniformemente a en el conjunto W es que para todo 0
existe N=N() tal que para todo nN, para todo número entero p0 y para todo xW,
se tiene que f n (x) +  + f n+p (x) 
n+p
 fk (x)  .
k=n
Demostración. Se propone como ejercicio.
Se sugiere que haga uso de la condición uniforme de Bolzano-Cauchy para sucesiones de
funciones (consulte el teorema 3 del epígrafe 1.3 del Capítulo I).
Investigar: ¿Quién fue Bolzano? ¿Quién fue Cauchy?
Un resultado muy útil en la práctica es el Criterio M de Weierstrass. En general, este
criterio es de fácil aplicación y se reduce al análisis de la convergencia de cierta serie
numérica con términos no negativos. Además, como veremos no sólo extraemos
información de la convergencia uniforme de la serie de funciones que se analiza sino
también, se extrae información sobre la convergencia absoluta de esta serie.
42

Teorema 2. Criterio M de Weierstrass. Sea la serie de funciones
 fn (x),
n=1
f n :S  R, S  R, Supongamos que existe una sucesión de números reales no negativos
M n  tal que
f n (x)  M n , para todo xWS, n=1, 2,  y la serie numérica

 fn (x),
converge. Entonces, la serie

 Mn
n=1
converge absolutamente y también,
n=1
uniformemente sobre el conjunto W.
Demostración. Sea >0 cualquiera, pero fijo. Debemos encontrar N tal que para todo
nN, para todo número entero p0 y para todo xW se cumple que
n+p
 fk (x)  .
k=n
Pero, por hipótesis, existe una sucesión de números reales no negativos M n  tal que
f n (x)  M n , para todo xWS, n=1, 2, . Además, la serie numérica

 Mn
converge,
n=1
por tanto, de acuerdo con el criterio de Cauchy para series numéricas se tiene que para todo
0 existe un número N tal que para todo nN y para todo número entero p0, se
n+p
cumple que
 Mk
 . Luego, se puede afirmar que existe N tal que para todo nN,
k=n
para todo número entero p0 y para todo xW, se cumple que
n+p
n+p
k=n
k=n
 fk (x) 

f k (x) 
n+p
n+p
k=n
k=n
 Mk 
 Mk
 .
Esto significa que la serie converge uniformemente sobre el conjunto W.

La convergencia absoluta de la serie
 fn (x),
en el conjunto W es consecuencia del
n=1
criterio de comparación y de la condición 1 del teorema. ■
Investigar: ¿Quién fue Weierstrass?
Ejemplo.
1.
Muestre que la serie de funciones

xn
 n2 ,
xW=[-1,1], converge uniformemente en
n 1
el conjunto W.
Solución. Para esta serie existe una sucesión de números reales no negativos M n 
tal que
43
Mn =
1
n2
,
satisface:
1. f n (x) 
xn
n
2
 Mn =
1
n2
, para todo xW, n=1, 2, .

2. La serie numérica
 Mn 
n=1

1
 n2
converge.
n=1

Entonces, por el criterio M de Weierstrass la serie

xn
n=1 n
2
, converge absolutamente y
también, uniformemente sobre el conjunto W.
Ejercicio. Analice si la serie de funciones del ejemplo 1 converge uniformemente en el
conjunto T=[-r, r], r > 1.
Ejemplo.
2.

Muestre que la serie de funciones

n 1
xn
,
n!
xS=[-r, r], donde r>0 cualquiera,
converge uniformemente en el conjunto W=S.
Solución. Sabemos que esta serie no converge uniformemente en el conjunto R. Sin
embargo, veremos que converge uniformemente en W. Observe que no es posible
aplicar el criterio M de Weierstrass, ya que la potencia x n , xR, no está acotada en
xn rn

 M n , (n = 0, 1, ).
R. Pero, en el intervalo W=[r, -r], (r > 0), se tiene que
n! n!

Como la serie numérica de términos positivos

n 0
Mn 

rn
 n! , converge, se deduce
n 0
por el criterio de Weierstrass la convergencia uniforme de la serie dada en W.
El siguiente criterio de convergencia uniforme para series de funciones recuerda el criterio
de Leibniz para series numéricas alternadas. Así, tendremos la versión siguiente:

Teorema 3. Criterio uniforme de Leibniz. Sea la serie de funciones
 (-1)n+1fn (x),
n=1
f n :S  R, S  R, Supongamos que se tiene:
1. f n  es positiva y satisface la desigualdad f n (x)  f n 1 (x) , para todo número n.
2. Limu f n (x)  f (x)  0, en WS.
n 
Entonces, la serie

 (-1)n+1fn (x), converge uniformemente en WS.
n=1
44
Demostración. Lo primero que debemos observar es que para cada xW S la serie

 (-1)n+1fn (x), satisface
las hipótesis del criterio de Leibniz para series numéricas
n=1
alternadas. Por tanto, la serie dada converge puntualmente a una función f en el conjunto
W S. Además, por el mismo criterio se deduce que
D(Sn ,f )(x)<f n+1 (x), (para todo xW).
Por la hipótesis 2 del teorema, podemos afirmar en virtud del criterio de acotación mediante
una sucesión infinitesimal, que existe una sucesión infinitesimal In  de términos no
negativos y existe un número natural N tal que para todo n  N y todo xW, se cumple
que D(f n 1, 0)  I n . Por consiguiente,
D(Sn ,f )(x)<I n .

Pero esto significa que la serie
 (-1)n+1fn (x), converge uniformemente en WS. ■
n=1
Investigar: ¿Quién fue Leibniz?
Ejemplo.
3. Analizar la convergencia uniforme de la serie

1
 (1)n 1 x 4 + n 4 , x  S=[0, 1].
n=1
Solución. La sucesión de funciones f n  tal que
1
f n (x) 
(x  S=[0, 1]) ,
x4 + n4
satisface para todo xS y para todo número n:
a) es positiva
b) es decreciente, pues,
x 4 + (n + 1)4  x 4 + n 4 ,
por lo que:
f n (x)  f n+1 (x).
c) Limu f n (x)=f(x)=0, en el conjunto S. Pues, existen una sucesión infinitesimal
n 
In ,
1
,
n4
de términos no negativos y un número natural N tal que para todo n  N y todo xS, se
cumple que
D(f n ,0)(x)  In .
Por consiguiente, por el criterio uniforme de Leibniz la serie dada converge
uniformemente en S.
In =
Como podemos apreciar en el criterio de Leibniz el término general de la serie tiene la
forma de producto de dos sucesiones de funciones g n  y h n  tales que:
g n (x)=(-1)n+1 , h n (x)=f n (x),
45
para todo número natural n. Además, observemos que la sucesión
sucesión de sumas Sn (x) 
g n 
es tal que la
n
 (-1)k+1,
está acotada para todo número natural n y para todo
k=1
x. En otras palabras, está uniformemente acotada. Surge la pregunta:
¿Es válido un resultado más general que el criterio de Leibniz, si sustituimos la sucesión
g n  por una sucesión cualquiera cuyas sumas finitas sean uniformemente acotadas? La
respuesta es afirmativa y constituye el criterio de Dirichlet, el cual sólo enunciaremos. La
demostración de este teorema puede consultarse en cualquier texto que aborde el tema.

Teorema 4. Criterio de Dirichlet. Sea dada la serie de funciones
 g n (x)h n (x),
n=1
g n :S  R, h n : S  R, SR, n=1, 2, . Supongamos que se cumple:
1. La sucesión h n (x) es tal que h n  0, para cada xS y cada n.
2. La sucesión h n es tal que h n+1 (x)  h n (x), para cada xS y cada n.
3. Limu h n (x)  0, en el conjunto S.
n 
4. La sucesión de sumas parciales Tn (x) 
n

k=1
k=1
 g k (x) de la serie  g k (x) , está acotada
uniformemente en el conjunto S.

Entonces, la serie
 g n (x)h n (x), converge uniformemente en el conjunto S.
n=1
Investigar: ¿Quién fue Dirichlet?
Otro resultado que también se refiere al producto de dos sucesiones en el término general
de una serie, es el criterio de Abel que también enunciamos y no realizaremos la
demostración.

Teorema 5. Criterio de Abel.
Sea dada la serie de funciones
 g n (x)h n (x),
n=1
g n :S  R, h n : S  R, SR, n=1, 2, . Supongamos que se cumple:
1. La sucesión h n  está uniformemente acotada en S.
2. La sucesión h n es tal que h n+1 (x)  h n (x), para cada xS y cada n.

3. La serie
 g n (x),
n 1
Entonces, la serie
g n : S  R, converge uniformemente en el conjunto S.

 g n (x)h n (x), converge uniformemente en el conjunto S.
n=1
La demostración del teorema de Abel se puede encontrar también en cualquier libro que
estudie este tema.
46
Investigar: ¿Quién fue Abel?
Para ilustrar estos teoremas consideramos el siguiente ejemplo.
Ejemplo.

4. Analice la convergencia uniforme de la serie de funciones
 x n enx , en el conjunto
n 1
S=[a, b] tal que 0<a<b<1.
Solución. Nos apoyaremos en el criterio de Dirichlet. Consideremos que las sucesiones
{g n } y {h n } son:
g n (x) = e- nx , xS,
h n (x) = x n , xS.
No es difícil darse cuenta que la sucesión {h n } satisface las hipótesis del criterio de
Dirichlet. ¡Verifíquelo! Ahora, mostraremos que la sucesión de sumas parciales {Tn }
tal que
Tn (x) 
n
 ekx ,
k 1
es uniformemente acotada en S. Observemos que si
0 < a  x  b < 1.
Entonces, se tiene que:
1  ea  e x  e b ,
ea  1  e x  1  eb  1.
Por tanto, de aquí se deduce que
ex
ex  1

eb
ea  1
, x[a,b].
Ahora, como
Tn 
n
 ekx
 e x
k 1
 
1  e x
1  e x
n

1
ex  1

 
e x
n
ex  1
2
= M, x[a,b], n.
e - 1
Por consiguiente, se satisfacen las hipótesis del criterio de Dirichlet y se puede afirmar
que la serie de funciones que se analiza es uniformemente convergente.
a
Ejercicio.
Verifique que el criterio de Abel es aplicable también a la serie del ejemplo anterior.
47
§ 2.5. Propiedades de las series uniformemente convergentes.

Teorema 1. Sean las series
 fn (x) y
n=1

 g n (x),
n 1
uniformemente convergentes en el
conjunto S. Entonces, para cualesquiera R y R, la serie

 αf n (x)+βg n (x) ,
n=1
converge uniformemente en el conjunto S.
Demostración. La demostración se obtiene como consecuencia del teorema 1 del epígrafe
1.6, Capítulo I. Compruebe esto.
Ejemplo.

1.
 x n (1)n x 2n 1 
Verifique que la serie de funciones   3 

, es uniformemente
 n!
(2n  1)! 
n 0 
convergente en el conjunto S=[-r, r], donde r es un número positivo cualquiera.

xn
, converge
n!
n=1
uniformemente en el conjunto S (ver ejemplo 2 del epígrafe 2.4). Comprobemos que la
Solución. Sabemos que la serie de funciones
 fn (x), donde fn (x) =
(- 1)n x 2n + 1
, también converge
(2n + 1)!
n 1
uniformemente en el conjunto S. Para esto nos apoyaremos en el criterio M de
Weierstrass. Observemos que

serie de funciones
 g n (x), tal que g n (x) =
r 2n 1
f n (x) 
 M n , x[-r, r].
(2n  1)!
Utilizando ahora, el criterio de D’Alembert o del cociente para series numéricas se tiene
que:
M n 1
r 2n  3 (2n  1)!
r2
 lim

 lim
 0  L  1.
n  M n
n  (2n  3)! r 2n 1
n  (2n  2)(2n  3)
lim

Por lo que, la serie numérica
 Mn
converge y por el teorema 1 se deduce que la
n 0
serie de funciones dada converge uniformemente en el conjunto S.

Teorema 2. Sea la serie
 fn (x)
uniformemente convergente en el conjunto S y la
n=1
función h : S  R, está acotada en S. Entonces, la serie

 h(x)fn (x),
converge
n=1
uniformemente en el conjunto S.
Demostración. La demostración se obtiene como consecuencia del teorema 2 del epígrafe
1.6 del Capítulo I. Se propone como ejercicio.
48
Los siguientes tres teoremas son importantes porque permiten las operaciones de paso al
límite, derivación e integración término a término en una serie de funciones siempre que se
exija la convergencia uniforme en las hipótesis.
Teorema 3. Paso al límite término a término en una serie. Sean f n :S  R, S  R,
n. Supongamos que a W , aR y además:
1. lim f n ( x )  L n , para cada n.
x a
2. Limu Sn ( x )  f ( x ), en WS, donde {Sn } es la sucesión de sumas parciales de la
n 

serie
 fn .
n 1

Entonces, si {Tn } es la sucesión de sumas parciales de la serie numérica  L n , se
n 1
cumple que




lim Tn  lim  lim Sn (x)   lim  lim Sn (x)   lim f(x) = L.
n 
n   x  a
 x  a  n 
 x a
Demostración. Es una consecuencia del teorema 3 del epígrafe 1.6, Capítulo I. Compruebe
esto.
Sabemos que la integral de una suma de funciones integrables, es integrable. Pero, si se
trata de una suma infinita ya no podemos apoyarnos en ese resultado. El resultado que
estudiaremos es muy útil, pues permite resolver mediante el desarrollo en series el cálculo
de integrales de funciones integrables no mediante funciones elementales.
Teorema 4. Integración término a término de una serie. Sea la sucesión de funciones
f n  tal que para cada n la función f n  C[a, b]. Si Limu Sn (x)=f(x), x[a, b]
n 
donde {Sn } es la sucesión de sumas parciales de la serie

 fn (x).
n 1
Entonces,
1. f  R[a, b].
 x
2. La serie
  fn (t)dt
n=1 a
converge uniformemente en [a, b] y además,
x
x 
 x
a
a n=1
n=1 a
 f(t)dt    f n (t)dt    f n (t)dt, a  x  b.
Demostración. Sea la sucesión {Tn } tal que
n x
x
k=1 a
a
Tn (x)=   f k (t)dt=  Sn (t)dt, x  [a,b], n  N.
49
De acuerdo con el teorema 4 del epígrafe 1.6, Capítulo I, se deduce la tesis del teorema.
Compruébelo. ■
El teorema sigue siendo válido si se sustituye la condición de que f n  C[a, b], para cada
n, por la más débil f n  R[a, b].
Otro resultado muy útil en la práctica es el siguiente relativo a la derivación término a
término.
Teorema 5. Derivación término a término de una serie. Sea la sucesión de funciones
 df (x)
n

f
tal
que
para
cada
n
la
función
f

C
[a,
b].
Si
la
serie
de
funciones
 n
 dx
n
n=1

converge uniformemente a la función g en el intervalo [a, b] y la serie
 fn (x)
n=1
converge en un punto x = c[a, b], entonces, se cumple que:
1. Existe una función f: [a, b] R tal que

 fn (x) = f(x)
uniformemente en [a, b].
n=1
2. Para todo x[a, b] la función suma f  C[a, b] y además,
g(x)=
  df n (x)
df(x) d  

f
(x)
 n    dx .
dx
dx  n=1
 n=1
Demostración. Es consecuencia del teorema 5 del epígrafe 1.6 del capítulo I. Se propone
como ejercicio.
Este teorema se puede extender a funciones derivables en el intervalo [a, b], sin exigir que
la derivada de la función fn, para cada n, sea continua en [a, b].
50
RESUMEN DE DEFINICIONES Y CRITERIOS MÁS
IMPORTANTES PARA SERIES DE FUNCIONES
Tarea: El lector debe realizar a modo de tarea un resumen similar al de sucesiones de
funciones el cual le resultará de mucha utilidad.
51
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO II:
SOBRE SERIES DE FUNCIONES
1. Investigar la convergencia uniforme de las series de funciones:

a)
sen nx

n=1

b)
n4
, (x  S  R).
π]).
 e-2n sen 3nx,
n=1

c)
 (x n+1-x n ),
n=1

d)
e)
(x  S  [0,1]).
π, 2π]).
 1
  n x +
n=1

(x  S  [0, 2
4cosnx 
 , (x  S  [
n2 1 
nx
 1+n 2 x 2 , (x  S  [1,1]).
n=1

2.
Investigar la convergencia uniforme de la serie de funciones
1
 (1)n x+n ,
n=1
xS=]0,+[.
3.
Sea f (x) 


sen nx
, xR. Verifique que es posible derivar término a término.
4
n
n=1
Justifique su respuesta.
4.
Demuestre que la función f (x) 
5.
Determine el límite lim

6.
x  0


(1)n n+x
2
2
n=1 n  x
es continua en el conjunto S=[0, +[.
1
 5n n x . Justifique los pasos realizados.
n=1
Demuestre que la función zeta de Riemann ζ(x) 

1
 nx
es continua para todo
n=1
xS=[a, +[, a>1.
7.
Sea
f (x) 

 2x 
 arctan  n 2 . Analice si la derivada de f puede obtenerse derivando
n=1
término a término, para todo xS=R.
52


cosnx
8.
Sea f (x) 
9.
Demuestre que si la serie numérica
. Analice si la integral de f se puede obtener integrando término
3
n
n=1
a término en el intervalo [0, /2]. En caso afirmativo determine una expresión para la
integral.

 an
converge. Entonces, la serie de Dirichlet
n=1

a
 nnx
converge uniformemente para todo x  0.
n=1
53
CAPÍTULO III
SERIES DE POTENCIAS
En este capítulo estudiaremos las denominadas series de potencias, las cuales constituyen
uno de los tipos de series más importantes en la teoría de las series de funciones. En la
práctica las series de potencias se presentan con frecuencia por su utilidad, la cual podemos
decir que está dada por las propiedades que poseen análogas a las de los polinomios. Uno
de los objetivos que perseguimos en este capítulo es aplicar los resultados estudiados
relativos a la convergencia uniforme, así como estudiar diferentes técnicas para el
desarrollo de funciones en series de potencias.
§ 3.1. Series de potencias.
Definición 1. Serie de potencias. Se denomina serie de potencias a una serie de
funciones del tipo

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
donde a n y x0 son números reales dados y x es una variable real. Los números
a n , n=0, 1, 2, , se denominan coeficientes de la serie de potencias.
Un caso particular importante de series de potencias es cuando x0=0. Pues, en la práctica se
presentan muchas series con estas características.
Una pregunta que nos hacemos es la siguiente: Dada una serie de potencias ¿cuál es su
dominio de convergencia? Es decir, ¿cuáles valores de x hacen que la serie de potencias
sea convergente? Lo primero que debemos observar es que toda serie de potencias
converge en el punto x=x0. Por tanto, el dominio de convergencia de una serie de potencias
es diferente del vacío. Para responder la pregunta, veamos los siguientes resultados
comenzando con el primer teorema de Abel.
Teorema 1. Primer teorema de Abel. Supongamos que la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
converge para x = t x 0 . Entonces, la serie converge absolutamente para todo x tal
que x - x 0 < t - x 0 .
Demostración. Por hipótesis, la serie de potencias converge para x=t x 0 . Entonces,
podemos afirmar que el límite del término general de la serie en el punto x=t, es una
sucesión infinitesimal. Es decir,
lim a n (t  x 0 )n  0.
n 
54
{
}
De aquí se deduce que la sucesión a n (t-x 0 )n , es una sucesión acotada. Por lo que existe
una constante positiva K tal que
a n (t  x 0 ) n  K, n  0, 1, 2, .
Por tanto,
n
a n (x  x 0 )  a n (t  x 0 )
n
x  x0
t  x0
n
n
x  x0
K
.
t  x0
Ahora, para todo x tal que
x - x0 < t - x0 ,
se tiene que haciendo
r=
x - x0
t - x0
< 1,
la serie

 Kr n ,
n 0
converge, por ser una serie geométrica de razón menor que 1 y constante K. De esta forma
se obtiene por el criterio de comparación, que la serie

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
converge. Esto significa que la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
converge absolutamente para todo x tal que x - x 0 < t - x 0 . ■
Una consecuencia de este teorema es el siguiente corolario.
Corolario 1. Supongamos que la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
diverge para x = t. Entonces, la serie de potencias diverge para todo x tal que
x - x0 > t - x0 .
Demostración. Supongamos lo contrario. Es decir, la serie de potencias converge para
cierto x=u tal que
u - x0 > t - x0 .
Entonces, por el primer teorema de Abel la serie de potencias converge para todo x tal que
u - x0 > x - x0 .
En particular, converge para x=t lo cual es una contradicción con la hipótesis. Por
consiguiente, la suposición es falsa. ■
55
El siguiente resultado afirma que dada una serie de potencias cualquiera, sólo se pueden
presentar tres posibilidades en cuanto a la convergencia de la serie:
 la serie de potencias sólo converge en el punto x=x0.
 la serie converge absolutamente en cualquier punto xR.
 la serie converge absolutamente en cierto intervalo abierto finito, (xR).
Teorema 2. Supongamos que se tiene una serie de potencias cualquiera

 a n (x  x 0 )n .
n 0
Entonces, existe R, 0  R  + tal que:
1. Si 0<R<+, la serie converge absolutamente para x-x 0 <R y diverge para
x-x 0 >R.
2. Si R=0 la serie diverge para todo xx0.
3. Si R=+, la serie converge absolutamente para todo x real.
Demostración. La demostración es una consecuencia del teorema de Abel, el axioma y la
definición de supremo. Para esto definimos a J como el conjunto de los números no
negativos t-x 0 , t real, tales que la serie de potencias

 a n (t-x 0 )n ,
n=0
converge. Observemos que el conjunto J, pues, si t=x0 la serie de potencias converge. En
este caso, t-x 0 = 0. Se presentan dos alternativas para el conjunto J:

J está acotado. Entonces, por el axioma del supremo el conjunto J tiene como cota
superior mínima “supJ” a un número real. Precisamente este número real es el
número R a que se refiere el teorema. Por tanto, debemos verificar que R=supJ.
Pueden ocurrir dos casos, que R=0 ó también, que 0<R<+.
Consideremos que 0<R<+ y x real tal que x-x 0 <R. Entonces, de acuerdo con
la definición de supremo, podemos afirmar que existe t real tal que t-x 0  J y
x-x 0 < t-x 0 <R.
Pero, si t-x 0  J entonces la serie de potencias

 a n (t-x 0 )n ,
n=0
converge y según el primer teorema de Abel, la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
converge absolutamente para x real tal que x-x 0 <R.
Sea 0<R<+ y x real tal que x-x 0 >R.
Sea t tal que
R< t-x 0 < x-x 0 .
56
Entonces, por la definición del conjunto J se puede afirmar que t-x 0  J y por
tanto, la serie de potencias

 a n (t-x 0 )n ,
n=0
diverge en el punto t que se analiza. Por consiguiente, la serie de potencias

 a n (x-x 0 )n ,
n=0
diverge para x real tal que x-x 0 >R, debido al corolario del primer teorema de
Abel. Esto prueba 1.
Consideremos que R=0 y x es un número real cualquiera, tal que xx0. En este caso,
x-x 0 > 0 y por tanto, x-x 0  J.
Luego, se deduce que la serie de potencias

 a n (x-x 0 )n ,
n=0

diverge para todo xx0. Esto prueba 2.
J no está acotado. En este caso, cualquiera sea x real existe t real tal que
x-x 0 < t-x 0 con t-x 0  J. Luego, por el primer teorema de Abel la serie

 a n (x-x 0 )n ,
n=0
converge absolutamente para todo x real. Esto prueba 3. ■
Los resultados anteriores sugieren la definición siguiente:
Definición 2. Radio de convergencia e intervalo de convergencia. Supongamos que
se tiene la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n .
n 0
Si R es determinado según el teorema anterior, a R se le denomina radio de
convergencia de la serie de potencias dada. Además, al intervalo abierto
]x0-R,x0+R[, 0<R+, (x0 es un número real fijo) ,
se le denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias.
Observemos que:
1. El intervalo de convergencia se ha definido sólo cuando R es un número real
positivo ó R=+. En dicho intervalo, la convergencia es puntual y absoluta.
2. La notación usada en la definición anterior para el intervalo de convergencia en
el caso R=+ y x0 real, significa x0-R=- y x0+R=+. O sea, el intervalo de
convergencia ]-,+[.
3. En los puntos extremos del intervalo de convergencia x=x0-R y x=x0+R, la
serie de potencias puede ser convergente o no.
Una de las series de potencias más importantes en las matemáticas y en las aplicaciones es
la serie geométrica, la cual recordaremos en el siguiente ejemplo y que el lector debe
57
aprender a manipular para utilizarla en los llamados desarrollos de funciones que
estudiaremos más adelante.
Ejemplo.

1. Sea la serie de potencias
 x n . Determine el radio de convergencia y el intervalo de
n 0
convergencia.
Solución. En este caso x0=0. Sabemos que la sucesión de sumas parciales
asociada a la serie de potencias dada, satisface:
Sn  1  x  x 2    x n 1 
{Sn }
1 xn
, x  1.
1 x
De aquí, se obtiene que
1 xn
1

,
1 x
n 
n  1  x
si x < 1. Además, para x > 1 la serie de potencias diverge. Luego, como la serie de
lim Sn  lim
potencias converge para x < 1 y diverge para x > 1 , entonces se deduce que el radio
de convergencia de la serie geométrica es R=1 y el intervalo de convergencia es el
intervalo abierto ]-1,1[.
Es importante tener presente, que en los extremos del intervalo de convergencia de una
serie de potencias puede ocurrir que la serie de potencias converja en ambos extremos, que
converja en uno de los extremos ó que no converja en ninguno de los extremos. Por esto se
impone un análisis adicional. En el caso de la serie de potencias del ejemplo anterior no es
difícil darse cuenta que la serie diverge en ambos extremos, es decir, diverge en el punto
x=1 y en el punto x=-1. En la serie que acabamos de analizar, el dominio de convergencia
coincide con el intervalo de convergencia de la serie. En general esto no es así.
Aprovechamos el ejemplo para recordar que esta serie no converge uniformemente en el
intervalo [0,1[. (Ver el ejemplo correspondiente al teorema 3 del epígrafe 1.5 del capítulo
I). Luego, no converge uniformemente en el intervalo ]-1,1[.
Estamos en condiciones de responder la pregunta formulada al inicio sobre el dominio de
convergencia de una serie de potencias. De acuerdo con los teoremas y definiciones
anteriores, podemos decir que el dominio de convergencia S, de la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
puede ser:
 uno de los conjuntos siguientes:
S=]x0-R,x0+R[, S=[x0-R,x0+R[, S=]x0-R,x0+R], S=[x0-R,x0+R],
si el número positivo R es el radio de convergencia de la serie de potencias.
 el conjunto
S=]-,+[,
si R=+, es el radio de convergencia de la serie de potencias.
 el conjunto
S={x0},
58
si R=0, es el radio de convergencia de la serie de potencias.
Para la serie geométrica ha sido fácil determinar el radio de convergencia, ya que es posible
encontrar una fórmula para la sucesión de sumas parciales. Esto en general, como se conoce
no es posible y por tanto, surge una pregunta: ¿Cómo determinar el radio de
convergencia de una serie de potencias?
Veamos algunos ejemplos de series de potencias donde se muestra que es posible usar los
criterios del cociente o de la raíz.
Ejemplo.
2. Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie de potencias:

a)
xn
 n 1
n 0

b)


(x  1) n
c)
(1)n x 2n 1
 (2n  1)!
n 0

d)
 2n
2 n
x
n
n
n 0
n 0
Solución de a). Observemos que si x=0, entonces la serie de potencias converge en este
punto. En general, las series de potencias convergen en su centro. Si x0 y usamos el
criterio del cociente se tiene:
x n 1
n 1
lim n  2  lim
x  x  L 1.
n
n  x
n  n  2
n 1
Por tanto, la serie tiene radio de convergencia R=1 y converge absolutamente en el
intervalo ]-1, 1[. ¿Es convergente en los extremos del intervalo?
Si x=1, obtenemos la serie numérica


1
1
 n 1 =  n ,
n 0
n 1
la cual como sabemos es divergente.
Si x=-1, obtenemos la serie numérica


(1)n
(1)n -1
 n 1   n ,
n 0
n 1
la cual por el criterio de Leibniz es una serie alternada convergente. Luego, el dominio
de convergencia de la serie es S=[-1,1[.
Solución de b). Si usamos el criterio de la raíz se tiene:
lim n
n 
(x  1)n
nn
 lim
n 
x 1
n
 0  L  1.
Por tanto, la serie tiene radio de convergencia R=+ y converge absolutamente para
todo x real. O sea, S es el conjunto de los números reales.
Solución de c). Si x0 y usamos el criterio del cociente se tiene:
59
(1)n 1 x 2(n 1) 1
(2(n  1)  1)!
lim
2
x
(2n  1)! 2
 lim
x  lim
 0  L  1.
n  (2n  3)!
n  (2n  2)(2n  3)
(1)n x 2n 1
(2n  1)!
Por tanto, la serie converge absolutamente para todo x real y el radio de convergencia
es R=+. Es decir, S es el conjunto de los números reales.
n 
Solución de d). Si usamos el criterio de la raíz se tiene:
2
 0 si x  0
lim n 2n x n  lim 2n x  
.
n 
n 
 si x  0
Por tanto, se deduce que la serie converge sólo en el punto x=0 y en este caso el radio
de convergencia es R=0. Así que S={0}.
No es difícil darse cuenta que el radio de convergencia de la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
se puede determinar usando la fórmula
an
,
n  a n 1
siempre que este límite exista finito o no. ¿Por qué? Porque:
 Si R es un número real positivo tal que x  x 0 < R y usamos el criterio del
R  lim
cociente, se tiene que para xx0:
a n+1 (x  x 0 )n+1
lim
n 
a n (x  x 0 ) n
x  x0
a n+1

 1.
R
n  a n
 x  x 0 lim
Luego, la serie converge absolutamente para todo x tal que x  x 0 < R .

Si R es un número real positivo tal que x  x 0 > R .Entonces, se tiene que
lim
a n+1 (x  x 0 )n+1
n 
a n (x  x 0 )n
x  x0
a n+1

 1.
R
n  a n
 x  x 0 lim
Luego, la serie diverge para todo x tal que x  x 0 > R .

Si prefijamos x real cualquiera, pero diferente de x0, y R=+ se tiene que
lim
a n+1 (x  x 0 )n+1
lim
a n+1 (x  x 0 )n+1
a n (x  x 0 )n
Por tanto, la serie converge absolutamente para todo x real.
Si R=0 y xx0, entonces se tiene que
n 

a n+1
 x  x 0  0  0  1.
n  a n
 x  x 0 lim
n 
a n (x  x 0 ) n
a n+1
 x  x 0    .
n  a n
 x  x 0 lim
Por tanto, la serie diverge para todo xx0.
60
Por esto, podemos afirmar que el radio de convergencia R se puede determinar por la
fórmula
an
R  lim
,
n  a n 1
si existe el límite anterior finito o no. Sin embargo, este límite puede no existir ni finito ni
infinito. A continuación presentamos un ejemplo de esa situación.
Ejemplo.
3. Sea la serie de potencias

 an xn ,
n=0
1
an  
5
si n=2k+1, k=0, 1, 2, 
.
si n=2k, k=0, 1, 2, 
an
.
n  a n 1
Solución. De acuerdo con la definición de los coeficientes de la serie se tiene que
a 2n
5
lim
 lim  5 ,
n  a 2n 1
n  1
y
a
1 1
lim 2n 1  lim  .
n  a 2n  2
n  5 5
Verifique que no existe el límite lim
Esto nos dice, que no existe el límite
an
.
n  a n 1
lim
Cuando esto ocurre se puede recurrir al criterio de la raíz. Comprobemos que
lim n a n  1.
n 
El radio de convergencia R se puede determinar por la fórmula
1
R
.
lim n a n
n 
Observemos que si n=2k, k=0, 1, 2, . Entonces,
lim n a n  lim 2k 5  1.
n 
k 
Además, si n=2k+1, k=0, 1, 2, . Entonces,
lim n a n  lim 2k 1 1  1.
n 
k 
Por consiguiente,
R=1.
Sin embargo, puede ocurrir que no exista el límite
lim n a n .
n 
Por ejemplo, sea la serie de potencias
61

 xn
4
.
n 0
En este caso:
1 si k  n 4
ak  
(n  0, 1, 2, ).
0 si k  n 4
Entonces, se tiene que
4
 Si k=n ,
4
lim k a k  lim n a n
k 

n 
4
4
 lim n 1  1.
n 
4
Si kn ,
lim k a k  lim k 0  0.
k 
k 
Por lo que no se puede usar el criterio de la raíz.
Así, se tiene el siguiente teorema que damos sin demostración, y que nos brinda la
manera de determinar el radio de convergencia en el caso general. Sugerimos que
consulte el apéndice para el límite superior y el límite inferior de una sucesión de números
reales.
Teorema 3. Teorema de Cauchy-Hadamard. Supongamos que R es el radio de

 a n (x  x 0 )n
convergencia de la serie de potencias
___
y
n 0
R=
L  lim n a n . Entonces,
n 
1
(R=0 si L=+ y R=+ si L=0).
L
Si ahora retomamos el ejemplo previo al teorema, vemos que
___
L  lim n a n  1.
n 
Por tanto, de esto se deduce que R=1.
Aunque hemos dado una fórmula general para el radio de convergencia de una serie de
potencias, no debe olvidarse que con frecuencia es posible determinar dicho radio usando el
criterio del cociente o el criterio de la raíz. Se recomienda consultar en el apéndice los
teoremas 4, 7 y el corolario correspondiente a este teorema.
Para investigar. ¿Quién fue Hadamard?
§ 3.2. Propiedades de las funciones expresadas mediante series de
potencias.
El siguiente teorema nos afirma que toda serie de potencias con radio de convergencia
positivo converge uniformemente en el interior de su intervalo de convergencia. Es decir, la
convergencia uniforme es válida en todo intervalo cerrado y acotado contenido en el
intervalo de convergencia. Por tanto, de acuerdo a lo estudiado en el capítulo II las
62
propiedades de las funciones que conforman los términos de la serie se trasmiten a la
función suma.
Teorema 1. Supongamos que R>0 es el radio de convergencia de la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n . Entonces, esta serie converge uniformemente para todo x tal que
n 0
x  x 0  r,
donde r>0 es cualquier número tal que r<R.
Demostración. Sean R>0, el radio de convergencia de la serie de potencias y r real, tal que
0<r<R. Entonces, para todo x tal que
x 0 -r  x  x 0  r,
se cumple que
a n (x-x 0 ) n  a n r n , (n  0, 1, 2, ).
Como x=x0 + r pertenece al intervalo de convergencia, entonces la serie numérica


n 0
anrn
converge absolutamente por el teorema de Abel. Luego, de acuerdo con el criterio M de
Weierstrass se deduce que la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n
n 0
converge uniformemente para todo x tal que x  x 0  r. ■
Cuando una función f es expresada a través de una serie de potencias
f (x) 

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
para todo x tal que x - x 0 < R . Se acostumbra a decir que se tiene un desarrollo de la
función f en serie de potencias para todo x tal que x - x 0 < R ó en un entorno de x=x0.
Otra forma en que los autores se refieren a los desarrollos de funciones en series de
potencias, es diciendo que la serie de potencias representa a la función f para todo x tal
que x - x 0 < R.
Teorema 2. Supongamos que R>0 es el radio de convergencia de la serie de

potencias
 a n (x  x 0 )
n
. Entonces, la función f (x) 
n 0

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
para todo x tal que x - x 0 < R.
Demostración. Por el teorema 1 sabemos que la serie de potencias
63
es continua

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
converge uniformemente para todo x tal que x  x 0  r, r<R, donde R>0 es el radio de
convergencia de la serie. Como los términos de la serie
f n (x) = a n (x-x 0 ) n  C([x 0 -r,x 0 +r]), (n=0, 1, 2,  , r<R),
se deduce por la observación del teorema 3, epígrafe 2.3 del capítulo II que la función suma
fC(]x0-R,x0+R[).
Pues, r<R es un número cualquiera. ■
Ya sabemos que una serie de potencias puede ser convergente o divergente en los extremos
del intervalo de convergencia. Por otra parte, en el teorema anterior vimos que la función
suma f es continua para todo punto en el intervalo de convergencia de la serie de potencias.
El siguiente teorema, afirma que si una serie de potencias tiene como radio de convergencia
a un número positivo R y la serie converge en el punto x=x0+R, entonces la función suma f
es continua en el intervalo [x0,x0+R].
Teorema 3. Segundo teorema de Abel. Supongamos que la serie de potencias

 a n (x  x 0 )n
tiene radio de convergencia a un número positivo R. Si la serie
n 0
converge para x=x0+R, entonces:
a) la serie converge uniformemente en el intervalo [x0, x0+ R].
b) f es continua en el intervalo [x0, x0+R].
c)
lim
x  (x 0 + R)
-
f(x) 

 a n R n  f (x 0 + R).
n=0
Demostración. Para demostrar el inciso a) nos apoyaremos en el teorema 5, epígrafe 2.4
del Capítulo II. Es decir, en el criterio de Abel para la convergencia uniforme de series de
funciones. Para esto observemos que

 a n (x-x 0 )n 
n=0

n
 x-x 
 a n R n  R 0  .
n=0
Sea xS=[x0, x0+ R]. Entonces, la sucesión h n  tal que
n
 x-x 0 
hn  
 , (n=1, 2, 3, ),
 R 
es uniformemente acotada en S. Pues,
n
 x-x 0 
0
  1 , (para cada xS y cada n).
 R 
Además, la sucesión h n  es decreciente para cada xS y cada n. Por otra parte, la
serie

 g n (x) 
n 0

 anRn ,
n 0
64
es una serie numérica convergente por hipótesis. Por lo tanto, también es uniformemente
convergente. Luego, la serie


n  x-x 0 
a
R

a n (x-x 0 )n ,


n
 R 


n=0
n=0
n=0
converge uniformemente en el conjunto S por el criterio de Abel.
 g n (x)h n (x) 

n
La parte b) es consecuencia de la observación del teorema 3, epígrafe 2.3 del capítulo II. Es
decir, como los términos de la serie de potencias son funciones continuas en el conjunto S
se tiene que la función suma es continua en el conjunto S.
La parte c) es consecuencia de la parte b). Como la función f es continua en el intervalo
cerrado [x0, x0+ R], lo es lateralmente en el punto x=x0+R. ■
Teorema 4. Integración término a término en una serie de potencias. Supongamos
que R>0 es el radio de convergencia de la serie de potencias f (x) 

 a n (x  x 0 )n .
n 0
Entonces, para todo x tal que x - x 0 < R, se cumple que
 x

(x-x 0 )n+1
 
n 
n
0 a n (t-x 0 ) dt   n=
0  a n (t-x 0 ) dt= n=
0 a n n  1 .
 f(t)dt  x  n=
x0
x
0
0
Además, esta serie tiene también a R como radio de convergencia.
x
x
Demostración. Sean las series de potencias
A:


n 0
n=0
 a n (x  x 0 )n , B:  a n

(x-x 0 )n
(x-x 0 )n+1
y C:  a n
.
n 1
n 1
n=0
Entonces, las series de potencias B y C tienen el mismo radio de convergencia, pues la serie
C es la serie B multiplicada por x-x0 que no depende de n. Basta con verificar que las
series A y B tiene el mismo radio de convergencia. Por hipótesis
___
1
lim n a n  L  .
R
n 
Como
lim n 1/(n  1)  1,
n 
entonces se tiene que:



n k a n k 
existe una subsucesión 
 de la sucesión
 nk 1 


 a n 
n
 tal que
 n  1 
___
a nk
a
1 nk
lim n n  lim n k
 lim n k
a nk 
n k  1 k  n k  1
n  n  1 k 
65
lim n k
k 
1 nk
a nk
nk 1
lim n k
k 

___
 lim n k a n k  lim n a n .
k 
1
nk 1
{
k 
} de la sucesión { a } tal que
existe una subsucesión n k a n k
n
___
lim n a n  lim n k a n k  lim n k
n 
k 
k 
n
1
lim n k a n k 
n k  1 k 
___
a
1
a n k  lim n n .
nk 1
k 
n  n  1
Luego, de las desigualdades obtenidas se obtiene que
lim n k
___
___
a
1
lim n n  lim n a n  L  .
R
n  n  1 n 
Por tanto, las series A y B tienen el mismo radio de convergencia.
La integración término a término es consecuencia del teorema 1 de este epígrafe, de que las
funciones que forman los términos de la serie son continuas y del teorema 4, epígrafe 2.5
del capítulo II. ■
Teorema 5. Derivación término a término en una serie de potencias. Supongamos

que R>0 es el radio de convergencia de la serie de potencias
 a n (x  x 0 )n . Entonces,
n 0
para todo x tal que x - x 0 < R se tiene que

  d
d  
n
n

a n (x  x 0 )   na n (x  x 0 ) n 1.
  a n (x  x 0 )   


dx  n  0
n 1
 n  0 dx
Además, esta serie tiene también a R como radio de convergencia.
Demostración. Sean las series:

A:
 a n (x-x 0 )n y B:
n=0

na n (x-x 0 ) n-1.

n=1
Entonces, como
lim n-1 n  1,
n 
usando un razonamiento similar al de la demostración del teorema anterior se deduce que
___
___
___
n 
n 
n 
lim n 1 n a n  lim n 1 n n 1 a n  lim n a n  L.
Por consiguiente, las series A y B tienen los mismos radios de convergencia R.
Consideremos r tal que 0<r<R. La sucesión de funciones f n  tal que
f n (x)=a n (x-x 0 ) n ,
para cada n=0, 1, 2, , satisface que
66
f n  C [x 0 -r, x 0 +r].
Además, por el teorema 1 de este epígrafe la serie de potencias B converge uniformemente
en el intervalo [x0-r,x0+r] y la serie de potencias A converge en c=x0[x0-r,x0+r]. Entonces,
por el teorema 5, epígrafe 2.5 del capítulo II, la serie A se puede derivar término a término
y además, se tiene que

  d
d  
n
a (x  x ) n    na (x  x ) n 1. ■
  a n (x  x 0 )   
n
0
n
0

dx  n  0
 n  0 dx 
n 1
§ 3.3. Series de Taylor.
Supongamos que

f (x) 
 a n (x  x 0 )n ,
n 0
para todo x tal que x - x 0 < R , donde R es el radio de convergencia de la serie. Entonces,
por el teorema anterior se deduce que la serie es infinitamente derivable en el intervalo
abierto ]x0 - R, x0 + R[. Además, si derivamos k veces en ambos miembros de la igualdad,
se tiene que
f (k) (x 0 )  k!a k , k  0, 1, 2, .
En otra forma,
ak 
f (k) (x 0 )
, k  0, 1, 2, .
k!
En resumen, la representación de la función f mediante una serie de potencias en el
intervalo de convergencia ]x0 - R, x0 + R[, es única y además, se tiene:
f (x 0 )
f (x 0 )
f (n) (x 0 )
f (x)  f (x 0 ) 
(x  x 0 ) 
(x  x 0 ) 2   
(x  x 0 ) n  .
1!
2!
n!
En forma abreviada, se tiene que:
f (x) 

f (k) (x 0 )
 k! (x  x 0 )k .
k 0
Por esto se introduce la siguiente definición:
Definición 1. Serie de Taylor. Supongamos que la función f está definida en cierta
vecindad del punto x0 y tiene derivadas de todos los órdenes en este punto. Entonces, la
Enserie
el caso particular, que x =0, la serie se denomina serie de Maclaurin.
0
 (k)
f (x 0 )
k
Investigar. ¿Quién fue Taylor? ¿Quién fue Maclaurin? (x  x 0 ) ,
k!
k 0

se denomina serie de Taylor generada por la función f en el punto x0.
Observemos que, si la serie de potencias
67
f (x) 

 a n (x  x 0 )n ,
n 0
tiene radio de convergencia R>0. Entonces, se tiene que la serie de potencias es la serie
de Taylor de la función f en el punto x=x0.
Acabamos de ver que si una función f es representable en serie de potencias de x-x0.
Entonces, es infinitamente derivable en cierta vecindad del punto x0 y además, en esta
vecindad es igual a la suma de su serie de Taylor. Surge la siguiente pregunta: Si una
función f es infinitamente derivable en un punto x=x0, ¿es representable por su serie
de Taylor en x=x0? La respuesta es negativa. Existen funciones que muestran que esto es
así. Por ejemplo, los autores acostumbran a señalar la siguiente:
 1
 2
f (x)  e x
si x  0
 0
si x  0.

Para esto, se demuestra usando inducción que si x0=0, entonces, se tiene que
f (n) (0)  0, n  0, 1, 2, .
Por tanto, todos los términos de la serie de Taylor de la función f en el punto x0=0 son
nulos. Por consiguiente, también es nula la suma para todo x, pero esta es diferente de f.
La pregunta de interés que debemos responder ahora es, ¿bajo cuáles condiciones la serie
de Taylor generada por la función f en el punto x=x0 converge a f? Para responder esta
pregunta recordemos la fórmula de Taylor con término del resto Rn(x) en la forma de
Lagrange y en la forma de Cauchy:
Supongamos que la función f es n+1 veces derivable en cierta vecindad del punto x0: V(x0).
Entonces, para todo xV(x0) existe un punto c entre x y x0 tal que
f (x) 

f (k) (x 0 )
 k! (x  x 0 )k  R n (x).
k 0
n
Resto en la forma de Lagrange:
f (n+1) (c)
R n (x) =
(x-x 0 ) n+1,
(n+1)!
ó también, como c está entre x0 y x se puede afirmar que existe ]0,1[ tal que
c-x0=(x-x0). Es decir, c=x0+(x-x0) se tiene que
f (n+1) (x 0 + x  x 0 ))
(x-x 0 ) n+1, 0<  .
(n+1)!
Resto en la forma de Cauchy:
f (n+1) (x 0 + (x  x 0 ))
R n (x) =
(1  )n (x  x 0 )n+1, 0< < 1.
n!
R n (x) =

Es importante recordar que, en general  depende de x y de n. Además, el número ]0,1[
en la forma de Lagrange es diferente al de la forma de Cauchy.
68
Observemos ahora, que si la función f es infinitamente derivable en cierta vecindad de x0.
Entonces, de acuerdo con la fórmula anterior para que la serie de Taylor converja hacia
la función f es necesario y suficiente que lim R n (x)  0.
n 
Teóricamente, esto responde la pregunta formulada antes. Sin embargo, dado que en la
fórmula de Taylor no se tiene información del punto c, a no ser que está entre x y x0 el
cálculo del límite anterior se hace complejo en general. Una manera más aconsejable de
abordar este problema lo brinda el siguiente teorema, el cual nos da una condición
suficiente para representar una función a través de su serie de Taylor.
Teorema 1. Sea f una función infinitamente derivable en todo punto del intervalo
]x0 - r, x0 + r[, r>0. Si, existe una constante M>0 tal que
f (n) (x)  M,
para todo n=0, 1, 2,  y para todo x]x0 - r, x0 + r[. Entonces,

f (n) (x 0 )(x-x 0 )n
,

n!
n 0
f(x) 
para todo x]x0 - r, x0 + r[.
Demostración. Mostremos que
lim R n (x)  0, donde Rn(x) es el término del resto en la
n 
fórmula de Lagrange. De acuerdo con las hipótesis se tiene que
n 1
x-x 0
f (n+1) (c)
R n (x) 
(x-x 0 )n 1  M
,
(n  1)!
(n+1)!
donde c está entre x0 y x. Ahora, si “x” está prefijado y
lim M
n 
x-x 0
n 1
(n+1)!
 0, x]x0 - r, x0 + r[.
Entonces, se deduce que
lim R n (x)  0.
n 
Luego, de aquí se tiene la tesis del teorema. Para demostrar que este límite es cero, basta
con observar que la serie

qn
 n! , q real,
n=0
es absolutamente convergente. Compruébelo! Por lo que su término general tiende a cero
de donde se deduce que
x-x 0
n 1
 0,
(n+1)!
pues, M es constante. De aquí, se deduce que
lim R n (x)  0. ■
lim M
n 
n 
69
§ 3.4. Desarrollo de funciones en series de Taylor.
Ahora, nos interesa saber ¿cómo determinar el desarrollo en serie de Taylor de una función
dada? Presentaremos algunos desarrollos de las funciones elementales que se presentan con
más frecuencia.
Ejemplo.
1. Sea f (x) = e x . Sabemos que si x0=0, entonces
f (n) (x) = e x ,
para todo x y para todo n=0, 1, 2, . Como f (n) (0)  1, n  0, 1, 2, , se tiene
x x2
xn
e =1+ +

+R n (x),
1! 2!
n!
x
ec
x n+1,
(n+1)!
donde Rn(x) es el resto en la forma de Lagrange de f(x)=ex en x0=0 y c es un número
entre x y 0.
Consideremos el intervalo ]-r, r[, r>0 cualquiera. Es posible escribir para cualquiera sea
x]-r, r[ y para todo n=0, 1, 2, :
R n (x) =
f (n) (x)  e x  er  M.
Por tanto, si consideramos x0=0 se satisfacen las condiciones del teorema 1 de este
epígrafe. Luego, la función f tiene desarrollo de Taylor sobre cualquier intervalo finito
y se deduce de esto que lo tiene también, en todo el conjunto R. Dado que
f (n) (0)  1, n  0, 1, 2, , se tiene que
ex 

xn
 n! , x  R.
n 0
Ejemplo.
2. Sea f(x)=senx. Sabemos que si x0=0, entonces: π/2),
f (x)=cosx=sen(x+1  π/2),
f (x)=-senx=sen(x+2 
    
f (n) (x)=sen(x+n
  /2), n=0, 1, 2, .
π/2)
En este caso, f (n) (0)=sen(n 
se tiene que: si n=2k, f (n) (0)=0 y si n=2k+1,
f (n) (0) = (- 1)k . Como f (n) (x)  1  M, para todo xR y n=0, 1, 2, . En virtud del
teorema 1 de este epígrafe se obtiene que
senx=x-
x3
(-1)n x 2n+1

  , x  R.
3!
(2n+1!)
En forma abreviada
senx 

(1)n x 2n+1
 (2n+1)! , x  R.
n=0
70
Realizando un razonamiento análogo para la función f(x)=cosx con x0=0, se obtiene el
desarrollo siguiente:
cos x 

(-1)n x 2n
 (2n)! , x  R.
n=0
3. Sea f(x)  (1  x)m , m  R  Entonces,
f (x)  m(1  x)m-1, f (0)=m,
f (x)=m(m-1)(1+x)m-2 , f (0)  m(m-1),
     
m-n
(n)
f (n) (x)  m(m-1)(m-2)  (m-n+1)(1+x) , f (0)=m(m-1)(m-2)  (m-n+1).
Luego,
m
m(m-1) 2
m(m-1)(m-2)  (m-n+1) n
(1+x)m  1+ x+
x 
x  R n (x),
1!
2!
n!
donde Rn(x) es el resto en la forma de Lagrange de f(x)=(1+x)m, x0=0. La aplicación del
teorema 1 para esta función es más complicado que en los casos analizados. Pues, si 0x<1
el resto en la forma de Lagrange es dado por
m(m  1)  (m  n) n+1
R n (x) 
x (1  c)m  (n+1) , 0  c  x.
(n  1)!
En este caso
m(m  1)  (m  n)
1
R n (x) 
.
(n  1)!
(1  c)n+1 m
De aquí se deduce que
lim R n (x)  0.
n 
Sin embargo, para -1<x<0 como x<c<0 se tiene que
lim (1  c)m  (n+1)  .
n 
En este caso no se puede aplicar el resto en la forma de Lagrange. Entonces, si usamos el
resto en la forma de θx)
Cauchy con x0=0 se
tiene (m-n)
m(m-1)
f (n+1) (

R n (x) 
x n+1 (1  )n 
(1  x)m  n (1  n x n+1, 0    
n!
n!
Luego, si -1<x<0, entonces -<x<0 y por consiguiente, 1-<1+x<1. Por tanto,
R n (x) 
n
 1  


1

x 


m(m-1)  (m-n) n+1
x
n!

tiende a cero ( n  ), pues -1<x<0 tiende a cero (n  )
(1  x m


 0, (n  ).
constante respecto a n
En resumen, para -1<x<1, se cumple que
lim R n (x)  0.
n 
Por lo que el desarrollo en serie de Taylor de la función f(x)=(1+x)m, x0=0 es dada por
m
m(m-1) 2
m(m-1)  (m-(n-1)) n
(1+x)m =1+ x+
x 
x  ,  1  x  1.
1!
2!
n!
71
En forma abreviada
 m
 
(1  x)m  1    x n , x  1.
n
n 1  
Observemos que el radio de convergencia de esta serie de potencias se puede determinar
por la regla del cociente:
m(m  1) (m  n) x n 1
A n 1
n!
lim
 lim


(n  1)!
n  A n
n 
m(m  1) (m  (n  1)) x n
mn x
 x  L, ( x  0).
n 1
De aquí se deduce que si L<1, entonces la serie de potencias converge para x < 1.
lim
n 
En resumen,
 m
 
(1+x)m  1    x n , x  1,
n
n 1  
donde
m
 m  m(m-1)(m-2)  (m-(n-1))
, n  1.
   1,   
n!
0
n
La serie obtenida se denomina serie del binomio.
Otro método a usar es el siguiente. Buscaremos una expresión para la función suma h(x).
O sea,
 m
 
h(x)  1    x n , x  1.
n
n 1  
Aplicando el teorema de la derivación término a término se tiene que

 m  n-1  m(m-1)  (m-(n-1)) n-1

h (x)   n  x  
x , x  1.
n
(n-1)!
n 1  
n 1
Observemos que
xh (x) 

m(m-1)  (m-(n-1)) n
x .
(n-1)!
n=1

Si sumamos esta expresión con la anterior se tiene
(1+x)h (x) 

m(m-1)  (m-(n-1)) n-1  m(m-1)  (m-(n-1)) n
x 
x ,

(n-1)!
(n-1)!
n=1
n=1
(1+x)h (x)  m 

m(m-1)  (m-(n-1)) n-1  m(m-1)  (m-(n-1)) n
x 
x ,

(n-1)!
(n-1)!
n=2
n=1

m(m-1)  (m-n) n  m(m-1)  (m-(n-1)) n
x 
x ,
n!
(n-1)!
n=1
n=1
(1+x)h (x)  m  
72

m(m-1)  (m-n)  1
1  n
 +
x ,
(n-1)!
n
m-n


n=1
(1+x)h (x)  m  

m(m-1)  (m-(n-1)) n
x  mh(x).
n!
n=1
(1+x)h (x)  m  m 
Es decir, hemos obtenido que
(1+x)h(x)=mh(x), x <1.
O lo que es lo mismo
(1+x)h(x)-mh(x)=0, x <1.
Esto sugiere definir la función H(x)=
Pues, entonces H(x)=
h(x)
(1+x)m
, x < 1.
(1+x)m h (x)-m(1+x)m-1h(x)
=0, x  1.
(1+x)2m
Pero, entonces la función H es constante en el intervalo ]-1,1[ y como H(0)=h(0)=1, se
sigue al fin que h(x)=(1+x)m, x < 1.
Por tanto, nuevamente obtenemos que
 m
 
(1+x)m  1    x n , x  1,
n
n 1  
donde
m
 m  m(m-1)(m-2)  (m-(n-1))
, n  1.
   1,   
n!
0
n
§ 3.5. Operaciones con series de potencias.
En este epígrafe veremos que una técnica para desarrollar funciones en series de potencias
es realizando las operaciones aritméticas con las series de potencias que representan a las
funciones elementales que con frecuencia se presentan en la práctica. Tales operaciones las
formalizaremos en el siguiente teorema que sólo enunciaremos.


n=0
n=0
Teorema 1. Sean las funciones f(x)=  a n (x-x 0 )n y g(x)=  b n (x-x 0 ) n con radios de
convergencia R y r, respectivamente. Entonces,

a) cf(x)=  ca n (x-x 0 )n , c real, x x 0  R  x 0  R
n=0

b) f(x)+g(x)=  (a n + b n )(x-x 0 )n , x  ]x 0 - min(R,r),x 0 + min(R,r)[.
n=0

c) f(x)  g(x)=  cn (x-x 0 )n , cn 
n=0
f(x) 
d)
=  cn (x-x 0 )n , cn 
g(x) n=0
n
 a k bn-k , x  ]x 0 - min(R,r),x 0 + min(R,r)[.
k=0
n
an

 bk cn-k
k=1
b0
, b0  0, x  V x 0 ).
73
Observación. El teorema anterior nos dice que las igualdades en los incisos a), b) y c) están
dadas en el intervalo que se indica. Sin embargo, se debe tener en cuenta que el radio de
convergencia de la serie resultante en los casos b) y c) puede resultar mayor que R y r. Para
la igualdad en el inciso d) sólo se indica la validez en cierta vecindad x0, ya que en este
caso el radio de convergencia de la serie resultante puede ser menor que R y r.
Una aplicación de este teorema es obtener los desarrollos de las funciones hiperbólicas
f(x)=senhx y g(x)=cosh, los cuales veremos en el próximo ejemplo.
Ejemplo.
1. Obtener el desarrollo en serie de potencias de la función f(x)=senhx.
Solución. Sabemos que si f(x)=ex, entonces
ex 

xn
 n! , x  R.
n 0
Si en esta fórmula sustituimos x por –x tendremos
e x 

(1)n x n
 n! , x  R.
n 0
Si ahora usamos los incisos a) y b) del teorema anterior se tiene que
e x  e x 

(1  (1)n )x n
, x  R.

n!
n 0
Usando nuevamente el inciso a) para c=1/2 y observando que los términos
correspondientes a n par se anulan, se obtiene que
senh(x) 

e x  e x
x 2n 1
 
, x  R.
2
(2n

1)!
n 0
Análogamente, se obtiene que

x 2n
cosh(x)  
, x  R.
(2n)!
n=0
2. Determine los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo en serie de potencias de
la función f(x)  e x  senx, x 0  0.
Solución. Sabemos que

xn
(1)n x 2n+1
e  
, (x  R) y senx  
, x  R.
n!
(2n+1)!
n 0
n=0
x

Entonces, aplicando el inciso c) del teorema anterior y teniendo en cuenta que:
si n es par
 0
1

a n = , b n   (-1)n
,
n!
si n es impar

 n!
obtenemos que:
c0 =a 0 b0 =0, c1  a 0 b1  a1b0  1, c2 =a 0 b 2  a1b1  a 2 b0  1,
1
c3 =a 0 b3  a1b 2  a 2 b1  a 3b0  , c4 =a 0 b 4  a1b3  a 2 b 2  a 3b1  a 4 b0  0,
3
74
c5 =a 0 b5  a1b 4  a 2 b3  a 3b 2  a 4 b1  a 5b0  
1
.
30
Luego,
1
1
e x  senx = x+x 2 + x 3 - x 5 , xR.
3
30
3. Determinar los tres primeros términos del desarrollo en serie de potencias de la función
senx
f(x)=
, x 0 = 0.
ex
Solución. Sean
si n es par
 0
1

a n   (-1)n
, bn = .
n!
si n es impar

 n!
Entonces, del inciso d) del teorema anterior se tiene que
a
a b c
a  (b1c1  b 2c0 )
c0 = 0  0, c1  1 1 0  1, c2  2
 1,
b0
b0
b0
a  (b1c2  b 2c1  b3c0 ) 1
c3  3
 .
b0
3
Luego,
senx
1
 x  x 2  x 3 , xR.
x
3
e
-x
Otra alternativa es usar el inciso c) del teorema para la función f(x)=sen(x)e en x0=0.
Ejercicios resueltos.
Aquí veremos algunos ejercicios donde se aplican las diferentes técnicas estudiadas para
desarrollar funciones en series de potencias, los cuales son muy útiles en la práctica.
¿Cuáles son las técnicas?
1. Operaciones aritméticas con series de potencias (teorema 1, epígrafe 3.4).
2. Integración término a término (teorema 4, epígrafe 3.2).
3. Derivación término a término (teorema 5, epígrafe 3.2).
4. Series de Taylor (uso del teorema 1, epígrafe 3.3, uso de la fórmula de Taylor con
resto en la forma de Lagrange o en la forma de Cauchy).
5. Sustitución de variable.
6. Combinaciones de las anteriores.
Recordemos que disponemos de los siguientes desarrollos:

1
  x n , x  1.
1  x n 0

Serie geométrica:

Serie de la función exponencial: e x 

Serie de la función seno: senx 


xn
 n! , (x  R).
n 0
(1)n x 2n+1
 (2n+1)! , x  R.
n=0
75

(-1)n x 2n
 (2n)! , x  R.
n=0

Serie de la función coseno: cos x 

Serie de la función seno hiperbólico: senh(x) 

Serie de la función coseno hiperbólico: cosh(x) 

 m
 
Serie del binomio: (1+x)m  1    x n , x  1.
n
n 1  

x 2n 1
 (2n  1)!, x  R.
n 0

x 2n
 (2n)!, x  R.
n=0
Ejercicio.
1. Obtener el desarrollo en potencias de x de las funciones:
1
a) f(x)=
.
1+x
b) f (x) = ln(1 + x).
Solución. a) En el desarrollo de la serie geométrica consideremos la sustitución x=-t.
Entonces, como
x = - t = t < 1,
se tiene que


1
  (-t)n   (-1)n t n .
1  ( t) n=0
n=0
Es decir,

1
  (1)n t n , t  1.
1  t n=0
Por consiguiente, el desarrollo en potencias de x de la función f es:
f(x) =

1
=  (1)n x n , x  1.
1  x n=0
b) Ahora podemos usar el desarrollo obtenido. Pues, como se cumple que
1
 1  x dx  ln(1  x)  C,
esto nos dice que podemos encontrar el desarrollo de la función bajo el signo de la integral
en potencias de x. Pero, ¿es posible la integración término a término? Sí, pues, de
acuerdo con el teorema 4, epígrafe 3.2, la serie se puede integrar término a término:
x
x
x
x
x
x
0
0
0
0
0
0
1
2
3
n n
 1  t dt   1dt   tdt   t dt   t dt     (1) t dt  .
Por tanto,
x
x
t2
ln(1  t)  t 
2
0
0
x
0
t3

3
x
t4

4
0
x
0
76
(1)n t n 1

n 1
x
 .
0
En forma abreviada se tiene
ln(1  x) 

 (1)n
n=0
x n+1
, x  1.
n 1
Si consideramos x=1, el criterio de Leibniz para series numéricas demuestra que la serie
anterior es convergente. Entonces, si aplicamos el segundo teorema de Abel (teorema 3 de
epígrafe 3.2), obtenemos que

(1)n
1 1 1
ln 2  
 1     .
n 1
2 3 4
n=0
Debemos señalar que es posible aplicar la técnica de la serie de Taylor para obtener el
desarrollo de la función f(x)=ln(1+x). Pues,
1
f (x) 
, f (0)  1,
1 x
1
f (x)  
, f (0)  1,
1  x 2
2
f (0) 
, f (0)  2,
(1  x)3

f (n) (x) 
(1)n 1 (n  1)!
n
, f (n) (0)  (  1) n 1 (n  1)!, n  1.
(1  x)
Luego, el desarrollo de Taylor de la función f es

(1)n 1 n
 n x.
n 1
Si usamos el criterio del cociente para x0, vemos que
A n+1
(-1)n x n+1
n
n
lim
 lim

 lim
x  x  L.
n
n
n+1
n  A n
n 
n  n+1
(-1) x
Por tanto, la serie de Taylor de la función f converge si x < 1. Y además, por el criterio de
Leibniz converge para x=1. Veamos que la serie de Taylor de f converge a f para todo x tal
que - 1 < x £ 1. Como el resto de Lagrange de la función f es
f (n+1) (c) n+1
(- 1)n (n)!
(- 1)n
x
=
x n+1 =
x n+1,
n+1
n+1
(n+1)!
(n + 1)!(1 + c)
(n + 1)(1 + c)
donde c es un número entre x y x0=0. Verifiquemos que si 0  x 1, entonces
lim R n (x)  0.
R n (x)=
n 
Para esto, observemos que si 0  x 1 se obtiene que
R n (x) =
(1)n
(n  1)(1  c)
n+1
x n+1 
De aquí se deduce que
lim R n (x)  0.
n 
77
1
.
n 1
Si -1<x<0, entonces como 0<<1 se tiene que -<x<0. Luego, 1-<1+x<1. Es decir,
1- 
< 1.
 x
Por lo que si usamos el resto en la forma de Cauchy se tiene que
R n (x) 
(1)n n!
(1  x)n+1n!
x
n+1
n
(1    (1)
n
x n+1
1 
x

n
 1  



x  
 1

 0.
tiende a cero, n  tiende a cero, n 
En resumen, el desarrollo en serie de Taylor de la función f(x)=ln(1+x) con x0=0 es:
ln(1  x) 

 (1)
n x
n+1
n 1
n=0
, x  1.
Ejercicio.
2.
x2
+
y2
= 1.
a 2 b2
Solución. Sabemos que si C es un arco suave y simple, con parametrización dada por
Determine la longitud de una elipse que tiene por ecuación

r(t)  x(t)i  y(t) j en el intervalo [,], la longitud de C se determina por la fórmula
β
L= 
x(t)  + y(t) 
2
2
dt.
α
En el caso que nos ocupa, podemos considerar la cuarta parte de la elipse y plantear
que:
 /2
L=4
2
2
 -asent  + bcost)  dt,
x(t)=acost, y(t)=bsent, 0  t  /2.
0
Por tanto, si 0<a<b se tiene que:
 /2
L=4
 -asent  + bcost) 
2
2
 /2
dt=4b

1  d 2sen 2 tdt, d 2 =
b2 - a 2
.
b2
La integral anterior no se puede obtener mediante funciones elementales y en este caso
una alternativa de solución es usar un desarrollo en serie y que esta permita la
integración término a término. Así, se usa el desarrollo de la función f (x) = 1 + x. Es
0
0
decir, f (x) = (1 + x)1/ 2 . Se sabe que
f (x) 

m
  n  xn ,
n 0 

x < 1,
donde,
 m  m(m  1)(m  2)  (m  (n  1))
.
 
n!
n
Considerando d 2 < 1, se tiene que 0 £ d 2 s en 2 t £ d 2 < 1. Luego, si m=1/2 se puede
escribir:
1  d2sen 2t 
1/ 2




n
1 / 2 
2
2

d
sen
t
.

n 
n 0 

78
Entonces, por el teorema 4 del epígrafe 3.2 esta serie se puede integrar término a
término. Luego, si 0  t  /2 se sigue que
 /2

L=4b
0


2
2
  -d sen t

n=0 0  n 
2
n 2n  1/2 
4b  1 d
n=0
  /2  1/2 
1  d sen tdt=4b 
2
 dt=
n
 /2
2n
   sen tdt.
n
  0
Sea Kn la integral
Kn 
 /2

sen 2n tdt.
0
Es conocida la fórmula de recurrencia
1
n 1
n
n 1
n 2
 sen tdt   n (sent) cos t  n  (sent) dt, n  2.
Por tanto, de acuerdo con esta fórmula se sigue que
K 2n 
 /2

sen 2n tdt=-
0
1
2n
 /2
(sent)2n-1 cos t

0
2n-1 K
.
2n 2n-2
Luego, se obtienen las cadenas de igualdades:
2n-1
K 2n 
K
,
2n 2n-2
2n-3
K 2n-2 
K
,
2n-2 2n-4

3
I4  I2 ,
4
I2 
Por tanto,
K 2n 
 /2
0
1 
sen 2 tdt=  .
2 2
1  3  5 (2n  1) 
 .
2  4  6  2n
2
Así, se tiene que
 
 1/ 2  1  3  5 (2k  1)  
L  4b    (1) k d 2k  
.
 k  2  4  6  2k 2 
 2 k 1
Es decir,


1  1  1
 1

  1   2    (k  1)  1  3  5 (2k  1)  
 
2 2  2
 2


L  4b    (1) k d 2k 
k!
2  4  6  2k 2 
 2 k 1


 
1  3  5 (2k  3) 1  3  5 (2k  1)  
L  4b    d 2k

2  4  6  2k 2 
2k k!
 2 k 1
79
2


d 2k  1  3  5 (2k  1)  
L  2b 1  

 .
 k 1 2k  1  2  4  6  2k  
Por ejemplo:
 Si a=b, es decir, d=0, entonces se tiene una circunferencia y en este caso se deduce
del resultado que acabamos de obtener, la fórmula conocida de la longitud de una
circunferencia de radio a:
L=2a.

Si b=1, d=1/2, 3.14159292 y k=3, se tiene que:
  1 2 1  1  2  1  4 1  1  3  2  1 6 1  1  3  5  2 
L  2 1             
     
  5.87016229
  2  1  2   2  3  2  4   2  5  2  4  6  

Si se desea obtener un mejor resultado considere más términos de la serie. En la
tabla que aparece más abajo se ilustra esto para los números n=2, 3, 4 y 5.
Además, es posible obtener una cota del error para la serie obtenida. En resumen,
obtenemos la fórmula aproximada:
2
n

d 2k  1  3  5 (2k  1)  
L  A  2b 1  

 .
 k 1 2k  1  2  4  6  2k  
Vea la tabla siguiente, donde las aproximaciones aparecen con 9 dígitos:
n
2
n

d 2k  1  3  5 (2k  1)  
L  A  2b 1  

 
 k 1 2k  1  2  4  6  2k  
2
3
4
5
5.87207872
5.87016229
5.86989946
5.86985789
Debe tenerse en cuenta que la integral que planteamos al inicio puede determinarse
aplicando métodos numéricos y es aconsejable comparar los resultados obtenidos por uno y
otro método.
Ejercicio.
3. Compruebe que se puede derivar término a término en la serie dada en la introducción
del Capítulo I:

q(t)  E 0C 
(1)n 1 t n
n
n 1 (RC)  n!
, t  R.
Solución. Estamos en condiciones de fundamentar las interrogantes de la introducción
del Capítulo I. Lo primero que debemos justificar es que la función
80
t 


q(t)  E 0C 1  e RC  ,




puede representarse mediante una serie de potencias de t. Para esto usamos el desarrollo
de la función exponencial. Es decir,
ex 

xn
 n! , x  R
n=0
t
, perteneciente al conjunto de los números reales se obtiene que
RC


n
n 1

1 t n 
1 t n




q(t)  E 0C 1 
 E 0C
, t  .
n
n


RC
n!
RC
n!




n 1
 n 0

Por tanto, la función q se puede representar mediante una serie de potencias de t con
radio de convergencia R=+. Compruebe esto usando el criterio del cociente.
Haciendo x  


Ahora, basta aplicar el teorema 5 del epígrafe 3.3, el cual permite la derivación término
a término de una serie de potencias dada con radio de convergencia R>0. Por lo que
queda plenamente justificado que


dq(t) d 
(1) n 1 t n 
(1) n 1 nt n 1
  E 0C 
 E 0C 
,

n
n
dt
dt 
n 1 (RC)  n! 
n 1 (RC)  n!
E 0  (1)n t n
dq(t) E 0  (1) n 1 t n 1


, t  R.


dt
R n 1 (RC) n 1  (n  1)! R n  0 (RC) n  n!
O sea,
E 0  (1) n t n
dq(t) E 0  (1) n 1 t n 1


.


dt
R n 1 (RC) n 1  (n  1)! R n  0 (RC) n  n!
t 


Luego, se tiene que si q(t)  E 0C 1  e RC  . Entonces, es válida la igualdad




t
dq(t) E 0  RC E 0  (1) n t n
i(t) 

e

.

dt
R
R n  0 (RC)n  n!
Recuerde que en el interior del intervalo de convergencia de una serie de potencias
hay convergencia uniforme. Compruebe que la serie de potencias

q(t)  E 0C 
(1)n 1 t n
n
n 1 (RC)  n!
, t  R.
donde R, C y E0 son constantes, converge uniformemente en cualquier intervalo
cerrado [-r, r], r>0.
Ejercicio.
4. Determine el límite lim
ex  1  x
x2
Solución. Como se cumple que
x 0
, usando series de potencias.
81
ex 

xn
 n! , x  R.
n=0
Entonces, restando 1 + x en ambos miembros de la igualdad anterior y dividiendo por
x2, se obtiene que:
1 x x2
xn 2
 

  , xR\0.
2! 3! 4!
n!
x2
Si usamos el criterio del cociente se puede comprobar que la serie de potencias
converge en todo punto xR. ¡Compruébelo! Además, sabemos que la serie de
potencias converge uniformemente en cualquier conjunto W=[-r, r], con r>0
cualquiera. Verifique esto! Como cada término de la serie es una función continua en
W, se deduce por el teorema 2 del epígrafe 3.2 que la función f hacia la cual converge la
serie es una función continua en W. Luego, el valor de esta función en x=0 es el límite
que se exige. En este caso es 1/2.
ex  1  x

CONCLUSIONES
1. Las series de funciones uniformemente convergentes tienen un comportamiento
análogo a la suma finita de funciones, de aquí la importancia fundamental del
concepto “convergencia uniforme”.
2. La utilidad de las series de potencias consiste en las propiedades que posee análogas
a los polinomios.
3. La mayor parte de los resultados expuestos se extienden al universo de los números
complejos . En el caso particular de las series de potencias en :

 a n (z-z0 )n ,
n=0


donde z 0  C, a n  C, n  0, 1, 2,  , son números complejos dados. El radio de
convergencia R se determina por la fórmula de Cauchy-Hadamard, teniéndose los
siguientes casos:
Si R=0, la serie de potencias converge sólo en el punto z=z0.
Si R>0, la serie de potencias converge absolutamente para todo z tal que
z-z 0 < R.
Para 0<r<R, la serie de potencias converge uniformemente para todo z tal que
z-z 0  r  R.

Si R=+, entonces la serie de potencias converge absolutamente en todo punto
z.
Si el radio de convergencia R es un número real, el conjunto de puntos donde la
serie de potencias converge se denomina círculo de convergencia. En este caso se
pueden presentar diversas situaciones respecto a la convergencia de la serie en la
frontera del disco de convergencia: z tal que
z-z 0 = R.
4. Los principales resultados en el campo de los números complejos se pueden
consultar en el libro Teoría de las Funciones Analíticas, del autor A. Markushevich,
Tomo I, Editorial Mir, Moscú, 1970. Por ejemplo, aparecen en las páginas 296 y
82
364 las versiones al campo complejo de los teoremas primero y segundo de Abel.
Esta versión del segundo teorema de Abel en el campo de los números complejos
fue generalizada por el autor a las filas de la tabla de Padé y publicada con el título
“On the boundary behavior for rows of Pade approximants”, Proceedings of the 2nd
Internacional Conference on Approximation and Optimization in the Caribbean,
Havana, September 26-October 1, 1993. Peter Lang Series on Approximation and
Optimization. Vol 8, 1995, 243-255.
83
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO III:
SOBRE SERIES DE POTENCIAS Y DE TAYLOR
1. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

anxn
Sea la serie de potencias
convergente en el punto x = 1. Entonces, se puede
n 0
afirmar que la serie:
a) converge en el punto x = 2.
b) diverge en el punto x = 0.5.
c) converge absolutamente en el intervalo ]-1,1[.
2. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

Sea la serie de potencias
anxn
divergente en el punto x = 1. Entonces, se puede
n 0
afirmar que la serie:
a) converge en el punto 0.5.
b) converge en el punto x = 2.
c) diverge en el conjunto de puntos tales que x>1 ó x<-1.
3. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

Sea la serie de potencias
 n!x n . Entonces, la serie:
n 0
a) converge sólo en el punto x = 0.
b) converge para todo x.
c) converge absolutamente en el intervalo ]-r, r[, r>0.
4. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

Sea la serie de potencias

nx n
. Entonces, la serie:
n
2
n 1
a) converge en el intervalo ]-2,2].
b) converge en el intervalo [-2,2].
c) converge en el intervalo ]-2,2[.
5. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

Sea la serie de potencias

nx n
2
n 1 n  4
a) converge en el punto x = 2.
b) converge en el punto x = -1.
c) diverge para x=0.5.
. Entonces, la serie:
6. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

Sea la serie de potencias

xn
n
n 1 n3
. Entonces, el radio de convergencia de la serie es:
84
a) R = 3.
b) R = 1.
c) R = .
7. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

Sea la serie de potencias
2n x n
 n! . Entonces, el radio de convergencia de la serie es:
n 1
a) R = 0.
b) R = .
c) R = 1.
8. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

anxn y
i) Sean las series de potencias
n 0

 bn x n
cuyos radios de convergencia son
n 0
r = 2 y R = 4, respectivamente. Entonces, el radio de convergencia de la serie de

potencias
 a n  b n x n es:
n 0
a) 4.
b) 2.
c) 6.

ii) Si una serie de potencias
anxn
converge condicionalmente en x=3. Entonces, se
n 0
deduce que el radio de convergencia de la serie es:
a) menor que 3.
b) es igual a 3.
c) es mayor que 3.
9. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
Considere una función f infinitamente derivable en el intervalo ]x0 - r, x0 + r[. Entonces,
la serie de Taylor generada por la función f en el punto x = x0:
a) converge a la función f en el intervalo ]x0 - r, x0 + r[.
b) puede ser convergente a la función f sólo en el punto x = x0.
c) no converge a la función en ningún punto del intervalo ]x0 - r, x0 + r[.
10. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
Considere la función f infinitamente derivable en el intervalo ]x0 - r, x0 + r[ de forma
tal que f y su derivada de cualquier orden está acotada por cierta constante M > 0 para
todo x en el intervalo ]x0 - r, x0 + r[. Entonces, la serie de Taylor generada por la
función f en el punto x = x0:
a) converge a la función f en el intervalo ]x0 - r, x0 + r[.
b) no converge a la función f en el intervalo ]x0 - r, x0 + r[.
c) puede ser convergente a la función f sólo en el punto x = x0.
85
11. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

anxn
Sea la serie de potencias
con radio de convergencia R=2. Entonces, la serie
n 0

 na n x n -1
de potencias
tiene radio de convergencia:
n 1
a) menor que 2.
b) mayor que 2.
c) igual a 2.
12. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
Conociendo que
1
(1  x)
2

 (n  1)x n ,

x  1. Entonces, se puede obtener para cada
n 0
x]-1,1[ que:
1
a)
 1  3x  6x 2  10x 3  .
3
(1  x)
2
b)
 1 - 3x  6x 2  10x 3  .
3
(1  x)
1
c)
 1  3 x  6 x 2  10 x3  .
3
(1  x)
13. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

Sea la serie de potencias
anxn
con radio de convergencia R=1. Entonces, la serie
n 0

de potencias
a
 n n 1x n 1 tiene radio de convergencia:
n 0
a) igual que 1.
b) mayor que 1.
c) menor que 1.
14. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
Conociendo que
1
1 x
2


 (1)n x 2n ,
x  1. Entonces, se puede obtener para cada
n 0
x]-1,1[ que:
a) arctanx 
b) arctanx 
c) arctanx 

 (1)
n 1

n 1 x
 (1)
2n 1
2n  1
n 1 x
.
2n 1
(2n  1)!
n 1
 2n 1
.
x
 2n  1.
n 1
86
15. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:

La serie numérica
(1) n
 2n  1 suma:
n 0
a) .
b) /2.
c) /4.
16. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
Sea la función f(x)=sen x. Entonces, la serie de Taylor de f alrededor del punto x0=0 es:

a)
 (1) n
n 0

b)
x 2n 1
 (2n  1)!, x  R
n 0

c)
x 2n 1
, xR
(2n  1)!
 (1) n
n 0
x 2n 1
, xR
(2n  1)
17. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
Sea la función f(x)=cosx. Entonces, la serie de Taylor de f alrededor del punto x0=0
es:

x 2n
a) 
, x  R.
(2n)!
n 0

b)
 (1)
n x
 (1)
n x
n 0

c)
2n
, x  R.
(2n)!
2n
2n
n 0
, x  R.
18. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
x
Sea la función f(x) 
. Entonces, el desarrollo en serie de potencias de x es:
2
x 4

x 2n 1
a)  (1) n 1
, x ]  2, 2[.
22n
n 1

b)

x 2n 1
n 1 2

c)
2n
1+ 
, x ]  2, 2[.
x 2n 1
n 1 2
2n
, x ]  2, 2[.
19. Seleccione la respuesta correcta marcando con una X:
x
Sea la función f(x)=xe . Entonces, el desarrollo en serie de potencias de x es:
87

a)
xn
 (n - 1)!, x  R.
n 1

b)
 (1) n 1
xn
, x  R.
(n - 1)!
 (1) n 1
xn
, x  R.
n -1
n 1

c)
n 1
x
20. Represente en serie de potencias de x la función f(x) 
1  x 
23
. Determine el
intervalo de convergencia de la serie obtenida.
21. Sea f(x) 


cosmx
2
m 1 m
π
an 
. Determine los coeficientes
 f(x)cos(nx)dx,
π
π
bn 
 f(x)sen (nx) dx, n  1, 2, 3, .
π
Justifique los pasos realizados.
22. Represente en series de potencias de x las integrales de Fresnel:
x
x
0
0
2
2
 cos(t )dt,  sen(t )dt.
Justifique los pasos realizados.
x
23. Represente en series de potencias de x la función Φ(x) 
pasos realizados.
88
2
2
e  t dt. Justifique los

π0
RESPUESTAS
Ejercicios del Capítulo I.
1.
a) F b) V c) V d) F
e) F
2.
c) m n 
2
, m n  S, n=1, 2, .
n2
3.
d) m n 
2
, m n  S, n=2, 3, .
n
4.
d) Como
1
D(f n , f)(x)=
1+ n 2x 2 - x =
n
sup D(f n , f)(x)=
xS
5.
6.
1/ n 2
x 2 + 1/ n 2 + x
.
Se obtiene que
1
y por tanto Limu f n (x)= x , x  S.
n
n 
1
Observar que D(f n , f)(x) 
 In , x  S, n natural. Aquí f representa la función
2n
nula.
Observar que D(f n , f)(x) 
1
 In , x  S, n natural. Aquí f representa la función
n
nula.
7.
Una propuesta es la sucesión
{x n } tal que x n 
propuesta es la sucesión {y n } tal que y n 
8.
2n-1
, x n  S, n natural. Otra
2n
n
, y n  S, n natural.
n+1
1 si x  0
b) El límite puntual es la función f(x)= 
.
0
si
x=0

c) La sucesión de funciones {f n } no converge uniformemente en el conjunto S,
pues, cada función f n es continua en S. Sin embargo, f no lo es.
1
1
d) Observar que D(f n , f)(x)=

 In , x  S, n natural, a>0.
2
1+nx
1+na 2
10.
Usando el criterio de acotación mediante una sucesión infinitesimal de términos
positivos podemos obtener que la sucesión de funciones {f n } converge
uniformemente en S. Observar que D(f n , f)(x)=
Aquí la función límite puntual es f(x)=x.
89
x(x+4)
5

 In , x  S, n  N.
4+n+x 4+n
.
12.
La función límite puntual es la función nula para todo xS, cualquiera sea p. Como
1
D(f n , f)(x)=n p xe-nx , x  S, entonces D(f n , f)(x)  =n p e-nx (1-nx)=0  x n =  S.
n
1
Luego, sup D(f n , f)(x)= n p-1 . De aquí se deduce que lim sup D(f n , f)(x)=0 si
e
n  xS
xS
p<1. Por tanto, la sucesión de funciones converge uniformemente en S para p<1.
a) Use el criterio de no convergencia uniforme mediante la existencia de una
1
sucesión en el conjunto W=S. Por ejemplo, la sucesión {x n } tal que x n =
nos
n
conduce a la respuesta.
Ejercicios del Capítulo II.
1. a) La serie converge uniformemente en el conjunto S. Use el criterio M de
Weierstrass.
b) La serie converge uniformemente en el conjunto S. Use el criterio M de
Weierstrass.
d)
{ } no
La serie no converge uniformemente en el conjunto S. La sucesión x n
converge uniformemente a cero en el conjunto S.
e)
La serie converge uniformemente en el conjunto S. Use las propiedades de
las series uniformemente convergentes y el criterio M de Weierstrass.
f)
La serie no converge uniformemente en el conjunto S. La sucesión de
nx
funciones {f n } tal que f n (x) =
, xS=[-1, 1] no converge uniformemente
1+n 2 x 2
a cero.
2. Aplicando el criterio de Dirichlet se tiene que la serie converge uniformemente en el
1
conjunto S=]0, +[. Pues, Limp h n (x)  Limp
 0  f(x), x  S. Además, lo
n 
n  n+x
1
1
hace uniformemente en el conjunto S, ya que
< = In para todo xS y para
n+x n
todo n, siendo la sucesión {In } infinitesimal. Además, se cumple que la sucesión
n
de sumas parciales {Tn } es tal que Tn(x)=  (1)k  1 . Por tanto, se satisfacen las
k=1
hipótesis del criterio de Dirichlet.
3. Es posible derivar término a término, pues, la serie satisface las hipótesis del
teorema que permite la derivación término a término.
4. Aplicar el criterio de Abel
a la serie dada, pero escrita en la forma

2 
n
n
x (-1)
 x 2 +n 2  n 2  n  . Considerar la sucesión de funciones {h n } tal que
n 1


90
h n (x) 
n2
a cualquiera, y la serie de funciones
, x  [0,a],
x 2 +n 2

 
x (-1)n 
g
(x)


 n
  n 2  n . Comprobar que se satisfacen las hipótesis del criterio
n=1
n=1 

de Abel en el conjunto [0, a] con a cualquiera. Por tanto, se concluye que la serie
converge uniformemente en el conjunto [0, a] con a cualquiera. Como la sucesión
n 2  x (-1)n 
de funciones {f n } tal que f n (x) 
 +
 son continuas para todo x y
n 
x 2 +n 2  n 2
para todo n, entonces, se puede concluir que la función f es continua en el
conjunto [0, a] con a cualquiera. De aquí se deduce que f es continua en el conjunto
[0, +[.
5.
El límite es ¼. En este caso se debe chequear que se cumplen las hipótesis del
teorema del paso al límite en una serie de funciones. La convergencia uniforme de
la serie se puede obtener del criterio M de Weierstrass en el conjunto [0, +[.
6. Si x  a > 1, entonces la serie numérica

1
 na
converge y por el criterio de
n=1
Weierstrass, la serie dada converge uniformemente en el conjunto S=[a, +[. Como
1
es continua en el conjunto S para cada n, entonces se deduce por
f n (x) =
nx
teorema que la función ζ es continua en S.
7.
Se puede derivar término a término, ya que se satisfacen las hipótesis del teorema
de la derivación término a término en una serie de funciones.
8.
La integral de f se puede obtener integrando término a término y se obtiene la
expresión

π/2 cosnx
(1) n
dx=
.
4
0
n3
n 1 (2n  1)



9.
Por hipótesis, la serie

 g n (x) 
 an
n=1
n=1
converge uniformemente para todo x  0.
Además, la sucesión de funciones {h n } tal que h n (x) =
1
está uniformemente
nx
acotada por M=1 para todo x  0 y para todo n. Luego, por el criterio de Abel la
serie de Dirichlet converge uniformemente para todo x  0.
Ejercicios del Capítulo III.
1. c)
2. c)
3. a)
91
4. c)
5. b)
6. a)
7. b)
8. i) b) ii)b)
9. b)
10. a)
11. c)
12. a)
13. a)
14. a)
15. c)
16. a)
17. b)
18. a)
19. b)
3
15
35
20. x  x 3  x 5  x 7    , su intervalo de convergencia es ]-1, 1[.
2
8
16
21. Como la función f se representa por una serie uniformemente convergente. ¿Por
qué? Entonces, se puede escribir:
π  
π
 

cosmx cosnx 
1

.

an   
dx  
cosmx
cosnx
dx
2
2 




m
m 1 m  π

 π  m 1

Por tanto, dado que:
π
π si n  m
,
si n  m
 cos(mx) cos(nx) dx  0
π
se tiene que
an 
π
n2
, n  1, 2,    .
π
 sen(mx) cos(nx) dx  0,
π
se sigue que
b n  0, n  1, 2,    .
x
22.
2
 cos(t )dt 
0
x
2
 sen(t )dt 
0
23. Φ(x) 

(1) n x 4n 1
 (2n)!(4n  1) , x  R
n 0

(1) n x 4n 3
 (2n  1)!(4n  3) , x  R
n 0
2  (1) n 1 x 2n 1
, xR

π n 1(n - 1) ! (2n  1)
92
AUTOEXAMEN

xn
1.- Dada la serie de potencias 
.
n  0 n (n  1)
a) Determine el intervalo de convergencia de la serie.
b) Halle la función suma f(x).

2.- Sea la serie de funciones
 x(1  x)n 1.
n 1
a) Determine el dominio de convergencia de la serie.
b) Verifique que la serie de funciones no converge uniformemente en su dominio de
convergencia.
c) Analice si la serie dada puede integrarse término a término en su dominio de
convergencia.
3.- Considere las sucesiones de funciones {pn} y {qn} tales que
1
n 1
p n (x)  
(n  1  nx  (n  1)x 2  (n  2)x 3    x n ) , q n (x)  x 
.
n2
n2
a) Determine el límite puntual Limp f n (x), donde la sucesión de funciones {fn} es tal
n 
p (x)
que f n (x)  n .
q n (x)
b) ¿Para cuáles valores de x es válida la respuesta obtenida en el inciso a)?
c) Demuestre que la sucesión de funciones {fn} converge uniformemente en todo
intervalo cerrado y acotado [-r, r], donde 0 < r < 1.
93
BIBLIOGRAFIA
1. Apóstol, T. M., Análisis Matemático. Editorial Reverté. 1960.
2. Bartle, R. G., The Elements of Real Análisis. John Wiley & Sons, Inc.,
New York-London-Sydney. 1967.
3. Bugrov, Ya. S. y Nikolski, S. M., Matemáticas Superiores: Cálculo
Diferencial e Integral. Editorial Mir, Moscú. 1980.
4. Fernández, J. L. y de la Torre, G., Análisis Matemático, Tomo V.
Editorial Pueblo y Educación. 1984.
5. Ilín, V. y Pozniak, E., Fundamentos del Análisis Matemático, Tomo 3.
Editorial Mir, Moscú. 1980.
6. Kaplan, W., Advanced Calculus. Reading, Mass.: Addison-Wesley. 1952.
7. Kudriávtsev, L. D., Curso de Análisis Matemático, Tomo I. Editorial
Mir, Moscú. 1981.
8. Taylor, A. E., Advanced Calculus.
94
APÉNDICE
LÍMITE SUPERIOR Y LÍMITE INFERIOR
Supongamos que se tiene una sucesión de números reales {x n } . Puede ocurrir que:

si la sucesión {x n } está acotada, entonces por el teorema de Bolzano-Weierstrass
{ k } convergente a un número real L.
es posible extraer una subsucesión x n

si la sucesión {x n } no está acotada, entonces no se puede afirmar que esta sea una
sucesión infinita. Pero, se puede afirmar que contiene una subsucesión
{x n k }
infinita que tiende a L=  (a L=  ) según que la sucesión {x n } no esté acotada
superiormente (acotada inferiormente) respectivamente.
Esto permite definir lo que se entiende por límite superior y límite inferior de una sucesión
de números reales {x n } .
Definición 1. Sea {x n } una sucesión de números reales cualquiera.
Si {x n } está acotada superiormente. Entonces:
Se dice que el número real S es límite superior de la sucesión {x n } si se cumplen
las condiciones siguientes:
{ } de la sucesión {x n }, tal
1. Existe una subsucesión de números reales x n
k
que lim x n  S.
k  k
{ } de la sucesión {x n }, se
2. Cualquiera sea la subsucesión convergente x n
k
cumple que lim x n  S.
k  k
___
Notaciones: S  lim x n o S  lim sup x n .
n 
n 
Si no existe un número real S que satisfaga lo anterior para una sucesión de números
reales {x n } acotada superiormente, entonces por definición
___
lim x n  .
n 
Si {x n } no está acotada superiormente. Entonces, por definición
___
lim x n  .
n 
Tiene lugar el siguiente teorema.
95
Teorema 1. Sea {x n } una sucesión de números reales. Entonces,
___
lim x n  S  R si y solo si para todo    se cumple:
n 
S1. Existe N=N() tal que para todo nN se tiene que x n S   (O sea, a la derecha
de S+ hay un número finito de términos de la sucesión {x n } a lo sumo).
S2. Para todo número M existe un número N=N(M,) tal que N>M y x N S   (O
sea, a la derecha de S- hay un número infinito de términos de la sucesión {x n } ).
Demostración. Los interesados pueden concultar la demostración en el libro de L. D.
Kudriávtsev, Curso de Análisis Matemático, Tomo I. Editorial Mir, Moscú. 1981.
Análogamente, se introduce la definición de límite inferior.
Definición 3. Sea {x n } una sucesión de números reales cualquiera.
Si {x n } está acotada inferiormente. Entonces:
Se dice que el número I es límite inferior de la sucesión {x n } si se cumplen las
condiciones siguientes:
{ } de la sucesión {x n } tal que
1. Existe una subsucesión de números reales x n
k
lim x n  I.
k  k
{ k } de la sucesión {x n }, se cumple
2. Cualquiera sea la subsucesión convergente x n
que I  lim x n .
k  k
Notaciones: I  lim x n o I  lim inf x n .
n 
n 
Si no existe un número real I que satisfaga lo anterior para una sucesión de números
reales {x n } acotada inferiormente, entonces, por definición
lim x n  .
n 
Si la sucesión {x n } no está acotada inferiormente, entonces por definición
lim x n 
.
Un teorema similar al teorema 1 es válido para el límite
inferior.
n 
96
Teorema 2. Sea dada una sucesión de números reales {x n } . Entonces,
lim x n  I  R si y solo si para todo    se cumple:
n 
I1. Existe N=N() tal que para todo nN se tiene que I -   x n . (O sea, a la izquierda
de I- hay un número finito de términos de la sucesión {x n } a lo sumo).
I2. Para todo número K existe un número N=N(K,) tal que NK y x N I   (O sea,
a la izquierda de I +  hay un número infinito de términos de la sucesión {x n } a lo
sumo).
Ejemplos.
1. Sea la sucesión {x n } tal que x n = (- 1)n + 1 . Determine el límite superior y el límite
inferior de la sucesión {x n } .
Solución. La sucesión {x n } está acotada y es fácil ver que todas las subsucesiones
convergentes, convergen a 1 y a -1. Por tanto,
___
lim 1n 1  1 y lim 1n 1  1.
n 
n 
Observe que la sucesión {x n } no es convergente.
2. Sea la sucesión {x n } tal que x n = - n. Determine el límite superior y el límite inferior
de la sucesión {x n } .
Solución. La sucesión {x n } está acotada superiormente, pero, observe que no existe
ninguna subsucesión de la sucesión {x n } que converja a un número real S. En este
___
lim x n  . Por otra parte, la sucesión {x n } no está acotada inferiormente y
n 
por la definición 2, se deduce que lim x n  . Observe que el límite usual de la
n 
sucesión {x n } es -.
caso
3. Sea la sucesión {x n } tal que x n = (- 1)n n. Determine el límite superior y el límite
inferior de la sucesión {x n } .
Solución. La sucesión {x n } no está acotada superiormente y tampoco está acotada
___
inferiormente. Luego, lim x n   y lim x n  .
n 
n 
97
4.
 n
Sea la sucesión {x n } tal que x n  n sen 2 
 2
límite inferior de la sucesión {x n } .

 . Determine el límite superior y el

Solución. La sucesión {x n } es tal que x n  0 para todo número natural n y además,
está acotada inferiormente por 0 y no está acotada superiormente. Observe que existen
subsucesiones que tienden a  y subsucesiones que convergen a 0, por lo que
___
lim x n   y lim x n  0.
n 
n 
Algunos teoremas útiles son los siguientes:
Teorema 3. Sea dada una sucesión de números reales {x n } . Entonces,
lim x n  lim x n .
n 
n 
Teorema 4. Sea {x n } una sucesión de números reales {x n } . Entonces,
lim x n  L (LR o L=+ ó L=  ) si y sólo si lim x n  lim x n . En este caso,
n 
n 
n 
___
lim x n  lim x n  lim x n .
n 
n 
n 
Teorema 5. Sean las sucesiones de números reales {x n } y {y n } . Entonces:
___
___
a) Si A>0, lim Ax n  A lim x n y
lim Ax n  A lim x n .
n 
n 
n 
n 
___
___
b) Si A<0, lim Ax n  A lim x n y lim Ax n  A lim x n .
n 
n 
n 
n 
Teorema 6. Sean las sucesiones de números reales {x n } y {y n } . Entonces:
1. lim x n  lim y n  lim (x n  y n ).
n 
n 
n 
___
___
___
2. lim (x n  y n )  lim x n  lim y n .
n 
n 
n 
___
___
___
3. lim (x n  y n )  lim x n  lim y n , si x n  0, y n  0 para todo n.
n 
n 
n 
___
___
4. lim x n  lim y n , lim x n  lim y n , si x n  y n para todo n.
n 
n 
n 
n 
98
Teorema 7. Sea {x n } una sucesión de números reales tal que x n  0, para todo n.
Entonces,
___
___ x
x
lim n 1  lim n x n  lim n x n  lim n 1 .
n 
n  x n
n  x n
n 
Demostración. De acuerdo con el teorema 3 se tiene la desigualdad
___
lim n x n  lim n x n .
n 
n 
Por lo que demostraremos la desigualdad
___
___ x
lim n x n  lim n 1 .
n 
n  x n
___ x
Si lim n 1  . Entonces, la desigualdad es evidente. Por tanto, consideremos que
n  x n
___ x
lim n 1  L  R. Sea M un número cualquiera tal que M>L. Por el teorema 1 condición
n  x n
S1, se puede afirmar que para todo >0 existe un número N tal que para todo nN se
cumple que
xn 1
< L  
xn
Tomando =M-L se tiene que para todo nN:
xn 1
< M
xn
De aquí se tiene la cadena de desigualdades
x N+1  M  x N ,
x N+2  M  x N+1  M  M  x N  M 2 x N ,





m
x N+m  M  x N , m  1, 2, 3, .
Por tanto, si se extrae raíz de orden N+m en la desigualdad anterior se obtiene que
N+m
x N+m 
N+m
M m  N+m x N , m  1, 2, 3, .
Como
lim
m 
N+m
M m  N+m x N  M,
se deduce que
___
lim n x n  M.
n 
La cual nos permite afirmar que
99
___
lim n x n  L,
n 
puesto que M>L cualquiera.
Por consiguiente, queda demostrada la desigualdad
___
___ x
lim n x n  lim n 1 .
n 
n  x n
La desigualdad
x
lim n 1  lim n x n ,
n  x n
n 
se demuestra de forma análoga. Así, queda completa la demostración. ■
Una consecuencia del teorema anterior es el siguiente corolario.
Corolario. Sea {x n } una sucesión de números reales tal que x n  0, para todo n.
x
Supongamos que existe el límite lim n 1 . Entonces, existe también el límite
n  x n
x
lim n x n y además, lim n 1  lim n x n .
n 
n  x n
n 
Demostración. Si existe el límite
x
lim n 1 . Entonces, de acuerdo con el teorema 4 se
n  x n
tiene que
__ x
x
x
lim n 1  lim n 1  lim n 1 .
n  x n
n  x n
n  x n
De aquí y del teorema anterior se deduce que
___
x
lim n 1  lim n x n  lim n x n .
n  x n
n 
n 
Nuevamente por el teorema 4 y la igualdad anterior se obtiene que
___
x
lim n 1  lim n x n  lim n x n  lim n x n . ■
n  x n
n 
n 
n 
Aplicación del corolario. El corolario anterior permite el cálculo de algunos límites sin
mucha dificultad. Un ejemplo de esto es el límite notable:
nn
lim n
.
n  n!
Observemos que si {x n } es tal que x n =
nn
. Como,
n!
n
x n+1
(n+1)n+1 n!
 1
 lim

 lim 1    e.
n
n  x n
n  (n+1)! n n n  
lim
Entonces,
100
nn
n
lim n x n  lim n
 lim
 e.
n 
n  n!
n  n n!
101
1.
Respuestas de las preguntas del autoexamen.
a) El intervalo de convergencia es ]-1,1[.
b) Considere f(x) 
x2
2.

xn
 n(n  1) , x ]  1,1[. Determine el desarrollo de la función
n 1
df
(1  x)
y de aquí concluir que f(x) 
ln(1  x)  1.
dx
x
a) El dominio de convergencia de la serie es S=[0,2[.
1 si 0  x  2
b) La función suma de la serie es f(x)  
. La cual no es continua en
si x  0
0
el conjunto S. Por tanto, por el criterio de no convergencia uniforme para series
mediante la discontinuidad de la función límite se deduce que la serie dada no
converge uniformemente en el conjunto S.
c) Considere la sucesión de sumas parciales
Sn (x) 
n
 x(1  x)
k 1
k 1
1  (1  x) n
 x
 1  (1  x) n .
1  (1  x)
Entonces, se puede escribir:
x
x
0
0 k 1
 Sn (t)dt 
n
 t(1  t)k 1dt 

n x
x
k 1 0
0

k 1
n
 t(1  t) dt   [1  (1  t) ]dt.
Usando la integración por partes, se tiene que:
x
n 
n 

x
t(1  t) k x 1
x(1  x) k
1
k 



(1

t)
dt



(1  t) k 1  

 k 0 k 

0 
k
k(k  1)
 k 1
k 1
0
1  (kx  1)(1  x) k
(1  t) n 1 x
(1  x) n 1
1

t


x


.

0
k(k

1)
n

1
n

1
n

1
k 1
n
Es decir,
1  (kx  1)(1  x) k
(1  x) n 1
1

x


.

k(k

1)
n

1
n

1
k 1
n
Tomando límite en ambos miembros cuando n tiende a infinito se deduce que:

1  (kx  1)(1  x) k
 x.

k(k  1)
k 1
Observar que a este resultado se llega si consideramos:
x
 f(t)dt  x.
0
Por tanto, a pesar de que la serie dada no converge uniformemente en el conjunto
S=[0,2[. Es posible integrar término a término.
3. a) Primero que todo debe buscarse una expresión adecuada para fn(x). Posteriormente, el
límite puntual es fácil obtenerlo. La respuesta obtenida es válida para x]-1,1[.
102
n 1
 1. Esto
n  n  2
permite que para cualquier r tal que 0 < r < 1, es posible encontrar un numero natural
n 1
N tal que la sucesión x n 
 [ r, r]. Luego, x  x n  r  x n para todo x que
n2
pertenece al intervalo [-1,1]. El resto es fácil.
b) Para la demostración es importante tener en cuenta que lim
103