Anno accademico 2019-2020
Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Meccanica
Analisi Matematica 1
Prova scritta intermedia del 3 dicembre 2019
Versione A
Cognome e Nome:
Numero di matricola:
Gli esercizi devono essere svolti sui protocolli consegnati insieme a questo testo. Su
ogni foglio devono essere riportati cognome e nome del candidato e tutti i fogli devono
essere riconsegnati, insieme al testo debitamente compilato.
Giustificare in modo chiaro e sintetico ogni risposta.
Non verranno valutate le risposte prive di giustificazione.
Parte I
Svolgere solo tre tra gli esercizi da 1 a 4 (saranno valutati solo tre esercizi).
Esercizio 1 [4 punti]
Analizzare continuità e derivabilità della funzione:
$ 2
& ex `a ´ b
xą0
f pxq “
x
%
sinpπ xq
xď0
al variare dei parametri reali a e b.
Esercizio 2 [4 punti]
Analizzare la presenza di asintoti verticali, orizzontali o obliqui per la funzione
ˆ
˙
?
1
gpxq “ x2 ´ x ¨ exp
.
x2 ´ 4
Esercizio 3 [3 punti]
Determinare la retta r tangente al grafico di f pxq “ |x ´ 2| pcospx2 ´ xqq2 nel punto di
ascissa x0 “ 1.
ˆ 2 ˙
x
Determinare, se esistono, rette tangenti al grafico di gpxq “ ln
parallele ad r.
x´1
1
Esercizio 4 [3 punti]
Determinare estremi assoluti e relativi della funzione
hpxq “ arctanplnp2x ´ x3 qq
nell’intervallo r´5, 5s X domphq.
Parte II
Svolgere il seguente esercizio:
Esercizio 5 [6 punti]
Data la funzione:
gpxq “ 1 ´ 2e´x x2
(a) determinarne il dominio e i limiti agli estremi di g;
(b) determinare gli intervalli di monotonia e gli estremi assoluti e relativi di g;
(c) disegnare un grafico qualitativo per g.
Utilizzare il risultato precedente per determinare un grafico qualitativo della funzione:
1
f pxq “ 2e´x ´
x
procedendo nello stesso modo (dominio, limiti, monotonia ed estremi assoluti e relativi).
2