O‘ZBEKISTONNING RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
AJINIYOZ NOMIDAGI NUKUS DAVLAT PEDAGOGIKA
INSTITUTI
Sirtqi bo‘lim ikkinҫi mutaxassislik
«Matematika o‘qitiş metodikasi» ta’lim yo‘nalişining 4- o‘zbek guruhi
talabasi Sultanov Bexzodning matematikani o‘qitiş texnologiyalari va
loyihalaş fanidan
«Akademik litseylarda kombinatorika elementlarini o‘qitişni
loyihalaştiriş» mavzusidagi
KURS
IŞI
Kafedra mudiri:
B. Prenov
Ilmiy rahbar:
X. Matimova
Bajargan:
B. Sultanov
Nukus - 2023
Mundarija
I.
Kiriş………………………………………….......................
3
II.
Asosiy bo‘lim………………………........................................
5
1.Ma’ruza darsining texnologik modeli…................................
5
2. Ma’ruza darsining texnologik kartasi...................................
6
3. Kombinatorikaga tegişli masalalar...............................
8
4. Yig‘indi qonuniyati …………….........................................
9
5. Ko‘paytma qonuniyati …………………………………
10
6. Takrorlanadigan o‘rinlaştirişlar.………………………
12
7. Takrorlanmaydigan o‘rin almaştirişlar …………………
13
8. Takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar ………………………
14
9. Takrorlanmaydigan mosliklar……………………………
15
III.
Hulosa………………..............……………………………
18
IV.
Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………
20
2
Kiriş
O‘zbekistonning Respublikasi “Ta’lim haqidagi”
qonuni va “Kadrlar
tayyorlaş milliy dasturi” bo‘yiҫa kasb – hunar kollejlarida fanlarni o‘qitişda
innovatsion texnologiyalarni qo‘llaniş orqali talabalarning fanlarga bo‘lgan
qiziqişlarini oşiriş, olingan ilmiy bilimlar asosida dunyoga bo‘lgan ko‘z qaraşini,
yuqori ma’naviy – odob ikromlilik fazilatlarini, estalik fikrlarini rivojlantiriş,
ta’limning turmuş bilan bog‘liqligini ta’minlaşga e’tibor qaratilişi ko‘rsatilgan.
Kurs işi maqsadi: Akademik litseylarda kombinatorika elementlarini
o‘qitişni loyihalaştirişni tuşuntiriş va o‘rganiş.
Kurs işi vazifalari: Ma’ruza darsining texnologik modeli, Ma’ruza darsining
texnologik kartasi, Kombinatorikaga tegişli masalalar, Yig‘indi qonuniyati,
Ko‘paytma qonuniyati, Takrorlanadigan o‘rinlaştirişlar, Takrorlanmaydigan o‘rin
almaştirişlar, Takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar, Takrorlanmaydigan mosliklarni
tahlil qiliş.
Innovatsion-texnologik xizmat zaruriyatiga olib keladigan holatlar bir-biri
bilan bogʻliq boʻlgan obyektiv va subyektiv hollarga boʻlinadi. Obyektiv holatlarga
ta’lim beriş amaliyotining sotsial, umumilliylik, pedagogik ixtiyojlari kirib, sotsial
holatlar, eng avvalo innovatsiyalarning jamiyat rivojlanişiga tasirini baholaş bilan
bogʻliq. Ilim va texnikaning rivojlanişi oʻzgarişlar hajmini kengaytiradi. Ta’lim
beriş tizimining rivojlanişi jamiyatning rivojlanişi natijasida amalga oşadi. Sotsial
holatlarning tasirida innovatsiyalar ta’lim beriş sohasiga kirib kelmoqda.
Respublikamizdagi sotsial-ekonomik oʻzgarişlar ta’lim beriş tizimini, ta’limtarbiya metodologiyasi va texnologiyalarini tubdan yangilaş zaruriyatini keltirib
ҫiqardi. Bu boʻlsa oʻz navbatida yoş avlodga ta’lim maqsadi, oʻqituvҫi va
oʻquvҫilarning oʻz-aro bogʻliq xizmatiga yangiliklarni kiritişni taqazo etmoqda.
Pedagoglarning innovatsion xizmatiga yoʻnalganligi ta’lim beriş siyosatini
yangilaşning negizi boʻlib topiladi. Şu bilan bir qatorda ta’lim beriş sohasidagi
oʻzgarişlar jamiyatning rivojlanişiga oʻzining tasirini tekkizmay qoʻymaydi. Ta’lim
beriş tizimini rivojlantiriş yetuk kadrlarni tayyorlaş, barkamol şaxsni şakllantirişga
qaratiladi, sotsial holatlarni rivojlantiradi va yetiştiradi. Bu “Akademik litseylarda
3
kombinatorika elementlarini o‘qitişni loyihalaştiriş” mavzusidagi kurs işi
kombinatorika masalalariga bir ma’ruza dars oʻtişga yoʻnalgan boʻlib, bunda
mavzuga doir texnologik modeli va kartasi tuzilgan va BBB, Klaster metodlaridan
foydalanilgan holda mustaqil işlaş uҫun topşiriqlar berilgan.
Kurs işida kombinatorika elementlari uҫun bir neҫta misol va masalalar
yeҫiliş yo‘llari bilan ko‘rsatilgan.
4
Mavzu
Kombinatorika elementlari
1. TA’LIM TEXNOLOGIYASINING MODELI
Ajratilgan vaqt – 80 min.
Ta’lim oluvҫilar soni: 27
Dars turi:
Ma’ruza
1 Kombinatorika masalalari
2. Yig‘indi ta’rifi.
3. Ko‘paytma ta’rifi.
4. Takrorlanadigan o‘rinlaştirişlar
Ma’ruza rejasi:
5. Takrorlanmaydigan o‘rin almaştirişlar
6. Takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar
7. Takrorlanmaydigan mosliklar
8. Nyuton binomi.
Darsning
maqsadi:
Talabalarga
kombinatorika
masalalari
va
kombinatorikaning bo‘limi haqida tuşunҫalar beriş va kombinatorika masalalarini
yeҫişda za’rur bo‘lgan ta’riflarini keltiriş va ular yordamida kombinatorikaning
asosiy masalalari boʻlgan o‘rinlaştiriş, o‘rin almaştirişlar, guruhlaşga tegişli
masalalarni yeҫişda nazariy jihatdan asoslaşdan iborat.
Tayanҫ tuşunҫalar: kombinatorika, kombinatorikaga tegişli masalalar,
yig‘indi ta’rifi, ko‘paytma ta’rifi, tartiblangan to‘plam, o‘rinlaştirişlar, o‘rin
almaştirişlar, mosliklar, Nyuton binomi.
Pedagogik vazifalar: O‘qituvҫi:
- kombinatorika masalalari,
O‘quv jarayonining natijalari:
yig‘indi O‘quvҫi:
ta’rifi, ko‘paytma ta’rifi bilan taniştiriş;
-takrorlanadigan
takrorlanmaydigan
o‘rinlaştirişlar
- kombinatorika masalalarini tuşinib
va oladi,
yig‘indi va ko‘paytma
o‘rin almaştirişlar ta’riflarini bilib oladi;
bilan taniştiriş;
- takrorlanadigan o‘rinlaştirişlar va
- takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar
takrorlanmaydigan o‘rin almaştirişlar
va takrorlanmaydigan mosliklar, Nyuton haqida tuşunҫaga ega bo‘ladi;
- takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar
binomi bilan taniştiriş;
va
5
takrorlanmaydigan
mosliklar,
Nyuton binomi haqida tuşunҫaga ega
bo‘ladi va ularni turmuşda qo‘llana
oladi.
O‘qitiş metodlari
Ma’ruza, BBB, Klaster .
O‘qitiş vositalari
Ma’ruza teksti, taxta, bo‘r, ko‘rgazmali
qurollar, kompyuter texnologiyasi
O‘qitiş turi
Guruhda
O‘qitiş şaroyati
Kutubxona, kompyuter texnologiyasi
bilan uskunalangan audotoriya
Og‘zaki, BBB, klaster va uyga vazifa
Baholaş
bo‘yiҫa va mustaqil ta’lim bo‘yiҫa.
2. “Kombinatorika elementlari”
mavzusining texnologik kartasi
Dars bo‘limlari
va vaqtlari
(80 min)
Darsning mazmuni
O‘qituvҫilar (ta’lim beruvҫi)
1.1. Salomlaşiş. Talabalarni davomatini
tekşiriş.
1-bo‘lim.
1.2. O‘quvҫilarni yangi mavzuning
Kiriş.
nomi, maqsadi va rejasi bilan taniştiriş.
(15 min)
1.3. Mavzu bo‘yiҫa asosiy
tuşunҫalarni va foydalanadigan
adabiyotlarni taniştiriş.
6
O‘quvҫi
(ta’lim oluvҫi)
1.1 Salomlaşadi.
1.2 Tinglaydi va
yozib oladi.
1.3 Tinglaydi va
yozib oladi.
2.1.Ma’ruzani reja bo‘yiҫa bayon etadi
va tuşuntiradi.
2-bo‘lim
Asosiy
bo‘lim
(50min)
to‘liqtiriladi.
“BBB” metodi taşkillaştiriladi.
2.3.Tinglaydi .Yozib
2.3.”BBB” metodining hulosasi
bo‘yiҫa tinglovҫilar bilan mavzu yana
bir takrorlanadi va misollar işlanadi.
oladi. Tuşunmagan
savollarini so‘raydi
va misollar işlaydi.
2.4. Mavzu bo‘yiҫa
klaster tuzişni so‘raydi.
klaster tuzadi.
3.1 Mavzuga hulosa qiladi. Mavzu
3.1.Tinglaydi.
bo‘yiҫa olingan bilimlarni qayerlarda
Savollar beradi.
qo‘llaniş mumkinligini ma’lim etadi.
3.2. Eşitadi,
3.2.Mavzuning maqsadiga erişişdagi
Hulosaşi bo‘lim tinglovҫilarning darsga yaxşi qatnaşişi
(15min)
Yozib oladi
2.2 “BBB” jadvalini
2.2.Mavzuning reja savollari bo‘yiҫa
2.4. Mavzu bo‘yiҫa tinglovҫilardan
3-bo‘lim
2.1.Tinglaydi.
rag‘batlantiriladi va baholanadi.
3.3. Mustaqil işlaş uҫun uyga vazifa
aniqlaştiradi
3.3. UYga vazifani
yozib oladi.
beradi.
BBB jadvali
(Bilaman\Bilişni hoxlayman\Bilib oldim)
№
1
Mavzu savollari
Bilaman
Kombinatorika deb nimaga
aytiladi?
2
Ҫekli va qism to‘plamlar haqida
tuşunҫa.
3
Yig‘indi qonuniyati ko‘paytma
qonuniyatidan qanday xossalar
orqali farq qiladi?
7
Bilişni
hoxlayman
Bilib oldim
4
Takrorlanadigan o‘rin
almaştirişlar deb nimaga
aytiladi?
5
Takrorlanmaydigan o‘rin
almaştirişlar deb nimaga
aytiladi?
6
Takrorlanmaydigan mosliklar
deb nimaga aytiladi?
7
Nyuton binomi haqida tuşunҫa.
3. Kombinatorikaga tegişli masalalar.
Klassik kombinatorika masalalari har xil qiziqli boş qotirmalardan iborat
boʻlib, bunda ҫekli to‘plam elementlaridan tanlab oliş va ularni har xil usulda
joylaştiriş masalalari ko‘riladi.
Bunday masalalardan biri eski şarqda paydo bo‘lgan mo‘jizaviy kvadrat
haqidagi quyidagi masaladan iborat: n2 dona dastlabgi natural sonlardan şunday n
x n kvadrat jadval yasang uning qatorlari, ustunlari va diagonalida joylaşgan
sonlarning yig‘indisi bir xil songa teng bo‘lsin. Masalan, 9 ya’niy 1 dan 9 gaҫa
bo‘lgan natural sonlardan 3 x 3 kvadrat jadval tuzing va uning qatorlari, ustunlari
va diagonallarida turgan sonlarning yig‘indisi 15 ga teng bo‘lsin. Bu quyidagi
ko‘rinişdagi kvadrat jadval bo‘ladi:
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Hozirgi kunda bunday turdagi masalalarning n > 4 vaziyati uҫun yeҫimlar
topiş metodlari topilgan.
Mo‘jizaviy kvadrat qatorlari (yoki ustunlari) soni uning tartibi deb ataladi.
Ixtiyoriy tartibli mo‘jizaviy kvadrat qatorlari, ustunlari yoki diagonallari
bo‘yiҫa paydo bo‘lişi kerak bo‘lgan yig‘indini uning davomҫisi deb nomlanadi.
8
Tartibi n bo‘lgan mo‘jizaviy kvadrat davomҫisi D quyidagi formula bilan topiladi:
D = (n3+n)/2
Masalan, 3 – tartibli mo‘jizaviy kvadrat davomҫisi
D =(33+3)/2=15.
Şunday 4-tartibli mo‘jizaviy kvadrat davomҫisi
D =(43+4)/2=34
boʻlib bul mo‘jizaviy kvadratting kórinisi quyidagiҫa bo‘ladi:
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
Bunda xar bir baģana, qatar va diagonallarda joylaşgan sonlarning yig‘indisi
34 ga teng.
Uliwma elementlarning turli kombinatsiyalari va ularning sonini topişga doir
masalalar konbinatorika masalalari deb ataladi. Bunday masalalar praktikada
kóplep uşirasadi. Ya’niy ob’ektler to‘plami elementlaridan
uning qism
to‘plamlarini, qandayda bir to‘plam elementlarini u yoki bu ko‘rinişida joylaştiriş
masalalari ko‘zda tutiladi. Masalan, Fermer o‘z işҫilari orasida turli işlarni
taqsimlaşi, şaxmatҫining bir qanşa yurişlar seriyasidan eng yaxşisini tanlaşi va
hokazolar. Bu masalalarda işlarning har xil kombinatsiyalarini tanlaş, yurişni tanlaş
haqida so‘z bo‘ladi.
Bunday masalalar matematika fanining yo‘nalişi – kombinatorikada
o‘rganiladi. Kombinatorikada ҫekli to‘plamlar, ularning qism to‘plamlari,
akslantirişlar va ҫekli to‘plamlardan tuzilgan kortejlar o‘rganiladi. Şuning uҫun
kombinatorikani ҫekli to‘plamlar teoriyasining bir qismi deb qaraş mumkun.
Ko‘plagan vaziyatlarda kombinatorika masalalarini yeҫiş ikki asosiy
qonuniyatga ya’niy yig‘indi va ko‘paytma qonuniyatlariga tiykarlanadi.
Yig‘indi qonuniyati ikki ҫekli to‘plam birikmasi elementlarining sonini
topişga, ko‘paytiriş qonuniyati bo‘lsa ularning dekart ko‘paytmasi elementlarining
sonini topişga yordam beradi.
9
Ixtiyoriy bir A ҫekli to‘plam berilgan bo‘lsin. Uning elementlari sonini n(A)
deb belgilaymiz.
Masalan, A = {a,b,c,d} bo‘lsa, n (A) = 4 bo‘ladi .
4. Yig‘indi qonuniyati. A va B ҫekli to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
Agar      bo‘lsa,
1)
n(    ) = n(A)+n(B) bo‘ladi.
Masalan, A = {1,2,3}, B = {a, b, c, d} bo‘lsa n(    ) = 3+4=7 bo‘ladi.
Agar      bo‘lsa, n(    ) = n(A)+n(B) – n(    ) bo‘ladi.
2)
Masalan, A = {a, b, c, d, e}, B = {d, e, f, g} to‘plamlarining birikmasi 7 ta
elementdan tuzilgan (9 ta elementdan emas). Buning sababi d, e elementlar ikki
to‘plamda ham bor boʻlib    to‘plamda ular bir marta qatnaşadi. Demak, 9 dan
2 ni ayirib taşlaş kerak, ya’niy
n(    ) = n(A) + n(B) – n(    ) = 5+4-2=7.
5. Ko‘paytma qonuniyati. A = { a1 , a2 ,..., a n } va B = { b1 , b2 ,.., bm }
to‘plamlari berilgan bo‘lsin. Bul to‘plamlarning elementlaridan neҫta ( ai , b j )
juftlik tuziş mumkunligini ko‘rsatamiz. Barҫa juftliklar quyidagiҫa joylaştirilişi
mumkun:
( a1 ; b1 ) , ( a1, b2 ) ,…, ( a1 , bm )
( a2 ; b1 ) , ( a2 , b2 ) ,…, ( a2 , bm )
……………………………..
( an ; b1 ) , ( an ; b2 ) ,…, ( an ; bm )
Bu jadvalda n qator va m ustun boʻlib, ulardagi barҫa juftliklar soni nm
ga teng. Bu yerde n( )  n,
Ko‘paytma qonuniyati
n()  m
n(   )  n( )  n() ko‘rinişida yoziladi. Umumiy
turda
n(1   2  ....   n )  n(1 )  n(  2 )....n(  n ).
Ko‘paytma qonuniyatiga tegişli kombinatorika masalasining umumiy
ko‘rinişi quyidagidan iborat: Ager x elementini m ta usul, y elementini n ta usul
bilan tanlaş mumkin bo‘lsa, ( x; y ) tartiblangan juftlikni m n usul bilan tanlaş
mumkin.
10
Masalan, 1 dan 9 gaҫa bo‘lgan sonlardan neҫta usul bilan turli xonali ikki
xonali son yoziş mumkinligin topiş talab etilgan bo‘lsa, uni quyidagiҫa amalga
oşiriş mumkin. 1-xonani 9 ta usul bilan, 2-sonni 9 ta usul bilan tanlaş mumkin.
Demak, talab etilgan ikki xonali sonlar soni 9  9  81 bo‘ladi.
1-misol. Savatta 10 ta dona alma va 20 ta dona şaftoli bor, bo‘lsa 1 ta dona
mevani neҫta turli usul bilan tanlaş mumkin.
Yeҫilişi: 1 dona mevani 10+20=30 usul bilan tanlaş mumkin
2-misol. X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d,e} to‘plamlar berilgan n( X  Y ) =?
Yeҫilişi: n (x)=4. n(Y)=5 bo‘lgani uҫun n(XxY)=4+5=9.
3-misol. X={2,4,6,8}, y={2,5,7,9} to‘plamlar berilgan. n (XxY)=?
Yeҫilişi: n(x)=4, n(y)=4
Biraq 2 soni har ikki to‘plamda ham qatnaşadi, demak n( X  Y ) =1 (2) formulaga
ko‘ra n( X  Y ) =4+4-1=7.
4 – misol. 30 talabadan 25 tasi matematikadan yakuniy yozma işidan, 23
tasi ekonomika yakuniy yozma işidan o‘tdi. 3 ta talaba har ikkita fan bo‘yiҫa
yakuniy yozma işidan o‘ta olmadi. Neҫta akademik qarizdor talaba bor?
Yeҫilişi: A harfi bilan matematika yakuniy yozma işidan o‘tmagan talabalar
to‘plamini, B bilan ekonomika fani yakuniy yozma işidan o‘tmagan talabalar
to‘plamini belgilaymiz.Unda n(A) = 30–25=5,
n(B)=30-23=7 n(    )=3,
n(    )=5+7-3=9. Demak, 9 ta akademik qarizdor talaba bor.
Bizga ma’lumki ko‘paytma qonuniyati n(AXB)=n(A)  n() (3) ko‘rinişda
yoziladi. Ko‘paytma ta’rifiga doir kombinatorika masalasi quyidagi ko‘rinişda
bo‘ladi.
“Agar X elementini m ta usul, Y elementini n ta usul bilan tanlaş mumkin
bo‘lsa, (x;y) tartiblangan juftlikni m n usul bilan tanlaş mumkin”
5-misol. A qişloqdan B qişliqga 5 ta turli yo‘l olib boradi, B qişloqdan C
qişloqgaҫa bo‘lsa 2 yo‘l olib boradi. A qişloqdan C qişloqga B qişloq orqali neҫta
turli usul bilan borsa bo‘ladi?
11
Yeҫilişi: A dan C gaҫa [(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b), (4,a), (4,b),
(5,a), (5,b)] juftliklar orqali berilgan yo‘nalişlarda boriş mumkin. Bunda yo‘lning
birinҫi qismi 5 ta turli usul bilan, 2 – qismi 2 turli usul bilan bosib o‘tiladi.
X={1,2,3,4,5,}, Y-{a,b}
deb olsak, XxY={(1,a), (2,a), (3,a), (4,a), (5,a), (1;b), (2;b), (3;b), (4;b), (5;b)}dekart ko‘paytma paydo bo‘ladi. Bunda n( XxY )  n( X )n(Y )  5  2  10 bo‘lgani uҫun
A dan C gaҫa 10 ta usul bilan boriş imkoniyati kelib ҫiqadi.
6 - misol. Neҫta turli sonlar bilan yozilgan ikki xonali sonlar bar?
Yeҫilişi: Birinҫi sonni 9 ta usul bilan ikkinҫi sonni ham 9 ta usul bilan
tanlaş mumkin. Ta’rifga asoslanib barҫasi boʻlib 9  9  81 ikki xonali son bor.
Bunda 0 dan boşlab
o‘nliklar xonasidagi raqamlardan boşqa sonlar nazarda
tutiladi.
Endi asosiy kombinatorika masalalari va ularni yeҫiş metodlari bilan
tanişamiz.
6. Takrorlanadigan o‘rinlaştirişlar.
Masala m elementli X to‘plam elementlaridan tuzilgan k uzinlikdagi kortejlar
sonini toping.
XxXx
....
xX
Bu masalani yeҫiş uҫun 


 dekart ko‘paytmadegi kortejler sonini
k ma 'rte
topiş kerak. Bu dekart ko‘paytma k – uzinlikdagi kortejlardan tuzilganligini
hisobga olsak n(X)=m bo‘lgani uҫun ko‘paytma qonuniyatiga doir
n( XxXx   xX )  n( X )  n( X )    n( X )  m  m    m  m k
Demak, m elementli X to‘plam elementlaridan tuzilgan k uzunlikdagi
kortejlar soni mk ga teng ekan. Kombinatorikada bunday kortejlarni m elementdan
k marotaba takrorlanadigan o‘rinlaştirişlar deyiladi va Amk  m k deb belgilanadi.
7-misol. 4 elementli X={a,b,s,d} to‘plamdan neҫta uzunligi 2 ga teng
kortejlar tuziş mumkin.
Yeҫilişi:
2
A 4  4 2  16 . Demak, 16
kortejler tuziş mumkin. Bu kortejlar
quyidagilardan iborat:
(a;a), (a;b), (a;c), (a;d)
12
(b;a), (b;b), (b;c), (b;d)
(c;a), (c;b), (c;c), (c;d)
(d;a), (d;b), (d;c), (d;d)
8 - misol. 3 ta elementli x={1,2,3} to‘plam elementlaridan uzunligi ikkiga
teng bo‘lgan neҫta kortej tuziş mumkin.

Yeҫilişi: A32  32  9 ta kortej tuziş mumkin. Ular.
(1;1) (1;2), (1;3)
(2;1) (2;2), (2;3)
(3;1) (3;2);(3;3)
9 - misol. 6 xonali barҫa telefon raqamlar sonini toping.
Yeҫilişi: Telefon raqamlar 0 den 9 gaҫa bo‘lgan musbat sonlardan tuzilgani
uҫun 10 elementdan tuzilgan barҫha tartiblangan uzunligi 6 ga teng bo‘lgan

kortejlar sonini topamiz: A106  106  1000000
7. Takrorlanmaydigan o‘rin almaştirişlar.
Masala: m ta elementli X to‘plamni neҫta turli usul bilan tartiblash mumkin?
Masalani yeҫişdan oldin tartiblangan to‘plam tuşunҫasini keltiramiz. m ta
elementli X toʻplami berilgan bo‘lsin. Uning elementlarini qandaydir usul bilan
raqamlab ҫiqilgan bo‘lsa uni tartiblangan to‘plam deymiz va
X = { x1 , x2 ,..., xm } koʻrinishida yozamiz. Bir to‘plamni har xil usullar bilan tartiblash
mumkin.
Masalan,
auditoriyadagi
talabalarni
yoshiga,
boʻyiga,
ogʻirligiga,
familyalarining bosh harflariga qarab tartiblash mumkin. Masalani yeҫiş uҫun X
to‘plamning elementlarini tartiblashni (raqamlashni) quyidagiҫa amalga oshiramiz:
1 – raqamini m ta elementning hoxlagan bittasiga beriş mumkin. Şuning
uҫun 1- elementini m ta usul bilan, 2 – elementidan 1 – elementini tanlab
bo‘lgandan song (m – 1) usul bilan tanlaş mumkin va hokazo, oxirgi elementini
tanlaş uҫun faqat bitta usul qoladi. Tartiblashlarning umumiy soni ko‘paytma
ta’rifinan foydalanib m(m–1)(m-2)…2‧1 ga teng. Uni m! orqali belgilaymiz va u
dastlabki m ta natural sonning ko‘paytmasi yoki m faktorial deb oʻqiladi. Uni Pm
orqali belgilanadi. Demak, m elementli X to‘plamni Pm  m ! usul bilan tartiblash
13
mumkin ekan. Pm - ni m ta elementdan takrorlanmaydigan o‘rin almaştirişlar soni
deb ataydi.
10-misol. 12 ta mehmonni 12 ta stolga neҫta turli usul bilan oʻtqizish
mumkin.
Yeҫilişi: Bu 12 ta elementdan takrorlanmaydigan o‘rin almaştirişlar sonini
topiş masalasi boʻlib
P12 =12! = 1 2  3  4  5  6  7  8  9 10 1112 ga teng.
Demak, 12! usul bilan mehmonlarni oʻtqizish mumkin.
11 - misol. 5 talabani 5 stolģa neҫta turli usul bilan otirģiziw mumkin?
Yeҫilişi: Ma’sele 5 elementten 5 ewden takrorlanmaydigan o‘rin
almaştirişlar sonin topişģa keltiriledi. P5=5!= 1 2  3 4  5  120
Demak, ularni 120 turli usul bilan otirģiziw mumkin
8. Takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar.
Ma’sele: m ta elementli X to‘plamdan neҫta tartiblangan k ta elementli
to‘plamlar tuziş mumkin?
Bu avvalgi masaladan umumiyroq boʻlib, undan farqli holda, tartiblash
k-elementda tugaydi. Ularning umumiy soni
m‧(m-1)‧(m-2)‧…‧(m-k+1)
ko‘paytmaga teng. Uni Amk bilan belgilanadi va m ta elementten k ta dan
takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar soni deb ataladi:
Amk  m(m  1)( m  2)....( m  k  1) 
m!
(m  k )!
Amm  Pm  m!, o!=1 deb qabul qilinadi.
12-misol. Auditoriyadagi 30 ta talabadan 3 ta aktiv talabani neҫta turli usul
bilan tanlaş mumkin.
Yeҫilişi: A303 
30! 1 2    27  28  29  30

 28  29  30  24360 usul bilan tanlaş
27!
1 2    27
mumkin.
13- misol. Guruhdagi 25 ta talabadan tanlaşga qatnaşiş uҫun 2 ta talabani
neҫta turli usul bilan tanlaş mumkin.
14
Yeҫilişi: A252 
25! 1 2    25  24  25

 24  25  600 usul bilan tanlaş mumkin.
23!
1 2    23
14- misol. 8 ta odamdan sinf sardor, oşpaz, ҫoyxanaҫi va navbatҫilardan
iborat. 4 ta odamni tanlaş kerak. Buni neҫta turli usulda amalga oşiriş mumkin?
Yeҫilişi: Bu masala 8 ta odamdan 4tadan takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar
sonini topişga keltiriladi. Demak, A84  8  7  6  5  1680 usul bilan 4 ta odamni tanlaş
mumkin.
7. Takrorlanmaydigan mosliklar.
Masala: m ta elementli X to‘plamning neҫta k ta elementli qism to‘plamlari
bor?
m
ta elementli X to‘plamting k elementli qism to‘plamlari soni
Amk
m!
formulasi bilan hisoblanadi va u m ta elementdan k ta dan
C 

Pm (m  k )!k!
k
m
takrorlanmaydigan mosliklar soni deyiladi.
15-misol. Guruhdaģi 30 ta talabani koʻrikdan oʻtkizish uҫun 5 talabani neҫta
turli usul bilan tanlaş mumkin?
Yeҫilişi: Koʻrik qatnaşuvҫilarining tartibi ahmiyga ega bolmaganligi uҫun
30 elementli to‘plamning 5 elementli qism to‘plamlar soni neҫtaw ekenin tabamiz:
5
C30

30! 1 2    25  26  27  28  29  30 26  27  28  29  30 13  9  7  29  6



 144306.
5!25!
1 2  3  4  5 1 2  3    25
1 2  3  4  5
1
Demak, 5 talabani 144306 ta usul bilan tanlaş mumkin.
16 - misol. Kursdagi 20 ta talabadan konkursga qatnaşiş uҫun 5 ta talabani
neҫta turli usulda tanlaş mumkin?
Yeҫilişi: Konkurs qatnaşuvҫilarining tartibi ahamiyatga ega bolmagani uҫun
20 ta elementli to‘plamning 5 ta elementli qism to‘plamlari soni neҫta ekenligini
topamiz:
5
C 20

20!
1 2  3    20

 2 17  6 19  4  10704
15!5! 1 2  3   15 1 2  3  4  5
Demak, 5 talabani 10704 usul bilan tanlaş mumkin ekan.
15
17 - misol. 6 har xil rangli qalamdan 4 ta turli rangli qalamni neҫta turli
usul bilan tanlaş mumkin.
Yeҫilişi: C64 
6! 1  2  3  4  5  6

 5  3  15 turli usul bilan tanlaş mumkin.
2!4! 1 2 1 2  3  4
Endi ҫekli X to‘plamning qism to‘plamlari sonini topiş haqidagi masalani
qaraymiz. Uni yeҫiş uҫun ixtiyoriy x to‘plamni tartiblashtiramiz. Songra har bir
qism to‘plamni m uzunlikdagi kortej sifatida raqamlaymiz: qism to‘plamga kirgan
element oʻrniga 1, kirmagan element oʻrniga 0 yozamiz. Masalan, agar
X={x1;x2;x3;x4;x5} bo‘lsa, unda (0;1;1;0;1) kortej {x2,x3,x5} qism toʻplamini
raqamlaydi, (0;0;0;0;0) kortej bo‘lsa boʻsh to‘plam, (1;1;1;1;1) kortej bo‘lsa X
to‘plamning oʻzini raqamlaydi. Şunda qism to‘plamlar soni ikki {0;1} elementdan
tuzilgan barҫa m uzunlikdagi kortejler soniga teng bo‘ladi: A2m  2 m .
18-misol. X={a;b;c;} to‘plamning barҫa qism to‘plamlarini yozing, ular
qanҫa bo‘ladi.
Yeҫilişi:  , {a}, {b}, {c}, {a;b}, {a;c}, {b;c}, {a;b;c} lar X to‘plamting
barҫa qism to‘plamlari boʻlib ularning soni 23=8 ga teng.
Endi C mk ko‘rinişdagi sonlarning ba’zi bir xossalarini qaraymiz:
10.Cmk  Cmm  k .
20  Cmk  Cmk 11  Cmk 1 ,
30.Cm0  Cmm  1
20 va 30 xossalaridan foydalanib C mk koʻrinişdagi sonlarning qiymatini ketma-ket
hisoblaş mumkin.
C00  C10  C11  C 20  C 22  1 Bunda 20 ga asoslanib
30 xossaga asoslanib
C21  C10  C11  1  1  2 .
C mk
ko‘rinişdagi sonlarni Paskal uҫburҫgi koʻrinişida
joylaştiriş mumkin:
C00
1
C01 C11
1 1
C02 C12 C22
1 2 1
C03 C13 C23 C33
1 3 3 1
C04 C14 C24 C43 C44
1 4 6 4 1
16
Bu yerda har bir qatordagi sonlar (a+b)m koʻphadlarding yoyilmasidagi binomial
koeffitsientlarga teng:
(a+b)0 =1
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 =a3+3a2 b+3ab2
(a+b)4 = a4+4ab3b+6a2b2+4ab3+b3
………………………………………………………….
(a  b) m  a m  Cm1 a m1b  C m2 a m2 b 2  C mk a mk b k      b m
Oxirgi formula Nyuton binomi deb yuritiladi. Aslida u ilgarilari Umar Hayyom
mehnatlarida yozilgan.
Vazifa
Grafik organayzer yordamida mavzu bo‘yiҫa fikrlaringizni klaster metodi
yordamida quyidagiҫa ifodalang:
1.
17
Hulosa
Ma’lumki, matematika fani - abstrakt fan. Uning mazmuni boşidan oxirigaҫa
inson tasavvurining va mantiqiy tafakkurining mahsulidan iborat. Fanning bunday
abstrakt tuzilişi, o‘zini-o‘zi boyitib borişi, ya’ni yangidan-yangi matematik
tuşunҫalar va ularning xossalarini ma’lum xossalardan hosil qila oliş imkoniyati
qadimdan insonning aqliy qobiliyatlarini rivojlantirişga xizmat qilib kelgan. Xatto
matematik masalalarni yeҫiş musobaqalari o‘tmişda inson aqlini peşlaş vositasi
bo‘lgan. Şundan kelib ҫiqadigan bo‘lsak, matematika fanining eng asosiy vazifasi
aynan o‘quvҫilarni o‘ylaşga, to‘gʻri, mantiqiy fikrlaşga va muşohada yuritişga
o‘rgatişdan iborat ekanligi oydinlaşadi. Heҫ qaysi fan matematika faniҫalik
o‘quvҫilarni o‘ylaşga va fikrlaşga majbur qila olmaydi. Matematika darslarida turli
tuman masala, muammo va jumboqlarni yeҫiş orqali o‘quvҫilar to‘gʻri fikr yuritiş,
mantiqiy fikrlaşni o‘rganadilar.
Bu “Akademik litsey va kasb-hunar kollejlarida kombinatorika elementlarini
o‘qitişni loyihalaştiriş” mavzusidagi kurs işi kombinatorika masalalariga bir
ma’ruza dars o‘tişga bagʻişlangan boʻlib, quyidagi bo‘limlarni oʻz iҫiga oladi:
-kombinatorika masalalari;
-yig‘indi ta’rifi;
-ko‘paytma ta’rifi;
-takrorlanadigan o‘rinlaştirişlar;
-takrorlanmaydigan o‘rin almaştirişlar;
-takrorlanmaydigan o‘rinlaştirişlar;
-takrorlanmaydigan mosliklar;
-Nyuton binomi.
Ilim va texnikaning rivojlanişi oʻzgarişlar hajmini kengaytiradi. Ta’lim beriş
tizimining rivojlanişi jamiyatning rivojlanişi natijasida amalga oşadi. Sotsial
holatlarning tasirida innovatsiyalar ta’lim beriş sohasiga kirib kelmoqda.
Respublikamizdagi sotsial-ekonomik oʻzgarişlar ta’lim beriş tizimini, ta’limtarbiya metodologiyasi va texnologiyalarini tubdan yangilaş zaruriyatini keltirib
18
ҫiqardi. Bu boʻlsa oʻz navbatida yoş avlodga ta’lim maqsadi, oʻqituvҫi va
oʻquvҫilarning oʻz-aro bogʻliq xizmatiga yangiliklarni kiritişni taqazo etmoqda.
Pedagoglarning innovatsion xizmatiga yoʻnolganligi ta’lim beriş siyosatini
yangilaşning negizi boʻlib topiladi. Şu bilan bir qatorda ta’lim beriş sohasidagi
oʻzgarişlar jamiyatning rivojlanişiga oʻzining tasirini tekkizmay qoʻymaydi. Ta’lim
beriş tizimini rivojlantiriş yetuk kadrlarni tayyorlaş, barkamol şaxsni şakllantirişga
qaratiladi, sotsial holatlarni rivojlantiradi va yetiştiradi.
Kurs işida mavzuga doir texnologik modeli va kartasi tuzilgan yana BBB,
Klaster metodlaridan foydalanilgan holda mustaqil işlaş uҫun topşiriqlar berilgan.
Şu bilan bir qatorda kombinatorika elementlari uҫun bir neҫta misol va masalalar
yeҫiliş yo‘llari bilan ko‘rsatilgan.
19
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Abduxamidov A, Nasimov X, Xusanov M Matematika. Toşkent 2002
2. Azizxójaeva N.N Pedagogik texnologiya va pedagogik mahorat. T-2003
3. Sayidahmedov N Pedagogik mahorat va pedagogik texnologiya. T-2003
4. Solodolnikov A.S. Itimalliqlar teoriyasi. – Taşkent: O‘qituvҫi, 1983.
5. Gumurman V.Ye. Itimalliqlar teoriyasi va matematikaliq statistikadan
masalalar yeҫişge tegişli qollanba. – Taşkent: O‘qituvҫi, 1980.
6. www.arxiv.uz
7. www.aim.uz
8. www.ziyonet.uz
20