Parametrga bog’liq integrallar
Reja:
1.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING BOSHLANG’ICH
TUSHUNCHALARI.
2.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING FUNKSIONAL
XOSSALARI.
3.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING UMUMIY XOLI.
4. XULOSA.
ANNOTATSIYA
Bizga f ( x1, x 2 ,...x m ) funksiya biror M (M  R m ) to’lamda berilgan bo’lsin . Bu
funksiyaning bitta x k k  (1,2,..., m) o’xgaruvchisidan boshqa barcha
o’zgaruvchilarini o’zgarmas deb hisoblasak,u holda f ( x1 , x2 ,.....xm ) funksiya
bitta
x k o’zgaruvchiga bog’liq bo’gan funksiyaga aylanadi. Uning shu o’zgaruvchi
bo’yicha integrali , ravshanki
x1 , x2 ,..., xk 1 , xk 1 ,..., xm larga bog’liq bo’ladi.
Bunday integrallar parametrga bog’liq integrallar tushunchasiga olib keladi.
Soddalik uchun ikki o’zgaruvchili f (x,y) funksiyaning bitta o’zgaruvchi
bo’yicha integralini o’rganamiz.
F ( x, y )
funksiya R 2 fazodagi biror
M  {( x, y)  R 2 : a  x  b, y  E  R}
to’plamda berilgan bo’lsin. Y o’zgaruvchining E ( E  R) to’plamdan olingan har
bir tayinlangan qiymatida F ( x, y ) funksiya x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b]
oraliqda integrallanuvchi, ya’ni
b
 f ( x, y)dx
a
integral mavjud bo’lsin. Ravshanki, bu integral y o’zgaruvchining E to’plamdan
olingan qiymatiga bog’liq bo’ladi:
b
Ф( y)   f ( x, y)dx
(1)
a
Odatda (1) integral parametrga bog’liq integral deb ataladi, y o’zgaruvchi esa
parametr deyiladi.
Parametrga bog’liq integrallarda, f ( x, y ) funksiyaning funksional xossalariga
(limiti, uzluksizligi, diferensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hakazo)
ko’ra Ф (y) funksiyaning tegishli funksional xossalari o’rganiladi
1. PARAMETRGA BOG’LIQ
INTEGRALNING
BOSHLANG’ICH
TUSHUNCHASI.
Bizga f ( x1, x 2 ,...x m ) funksiya biror M (M  R m ) to’lamda berilgan bo’lsin . Bu
funksiyaning bitta x k k  (1,2,..., m) o’xgaruvchisidan boshqa barcha
o’zgaruvchilarini o’zgarmas deb hisoblasak,u holda f ( x1 , x2 ,.....xm ) funksiya
bitta
x k o’zgaruvchiga bog’liq bo’gan funksiyaga aylanadi. Uning shu o’zgaruvchi
bo’yicha integrali , ravshanki
x1 , x2 ,..., xk 1 , xk 1 ,..., xm larga bog’liq bo’ladi.
Bunday integrallar parametrga bog’liq integrallar tushunchasiga olib keladi.
Soddalik uchun ikki o’zgaruvchili f (x,y) funksiyaning bitta o’zgaruvchi
bo’yicha integralini o’rganamiz.
F ( x, y )
funksiya R 2 fazodagi biror
M  {( x, y)  R 2 : a  x  b, y  E  R}
to’plamda berilgan bo’lsin. Y o’zgaruvchining E ( E  R) to’plamdan olingan har
bir tayinlangan qiymatida F ( x, y ) funksiya x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b]
oraliqda integrallanuvchi, ya’ni
b
 f ( x, y)dx
a
integral mavjud bo’lsin. Ravshanki, bu integral y o’zgaruvchining E to’plamdan
olingan qiymatiga bog’liq bo’ladi:
b
Ф( y)   f ( x, y)dx
(1)
a
Odatda (1) integral parametrga bog’liq integral deb ataladi, y o’zgaruvchi esa
parametr deyiladi.
Parametrga bog’liq integrallarda, f ( x, y ) funksiyaning funksional xossalariga
(limiti, uzluksizligi, diferensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hakazo)
ko’ra Ф (y) funksiyaning tegishli funksional xossalari o’rganiladi. Bunday
xossalarni o’rganishda
f ( x, y )
funksiyaning y o’zgaruvchisi bo’yicha limiti
va unga intilishi xarakteri muhim rol o’ynaydi.
Limit funksiya. Tekis yaqinlashish. Limit funksiyaning uzluksizligi.
F ( x, y )
funksiya M  {( x, y)  R 2 : a  x  b, y  E  R} to’plamda berilgan , y 0
esa E ( E  R) to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
X o’zgaruvchining [a,b] oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida
f ( x, y )
faqat y ninggina funksiyasiga aylanadi. Agar y  y0 da bu
funksiyaning limiti mavjud bo’lsa, ravshanki, y limit x o’zgaruvchining
[a,b] oraliqdan olingan qiymatiga bog’liq bo’ladi:
lim f ( x, y)   ( x, y
y  y0
0
)   ( x)
1-Ta’rif: Agar   0 olinganda ham, x  [a, b] uchun shunday
   ( , x)  0
topilsaki
| y  y0 | <  tengsizlikni qanaotlantiruvchi y  E
uchun | f ( x, y )   ( x) | < 
bo’lsa, u holda  (x ) funksiya f ( x, y ) funksiyaning y  y0 dagi limit
funksiyasi deyiladi.
F ( x, y ) funksiya

M  {( x, y)  R 2 ; x  [a, b], y  E} to’plamda berilgan bo’lib,
esa E to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
2-Ta’rif: Agar   0 olinganda ham x  [a, b] uchun shunday
  ( , x)  0
topilsaki, | y | > 
tengsizlikni qanoatlantiruvchi y  E uchun
| f ( x, y )   ( x ) | < 
bo’lsa, u holda  (x ) funksiya f ( x, y ) funksiyaning y   dagi limit
funksiyasi deyiladi.
Misollar: 1. Ushbu
f ( x, y )  x sin y
funksiyani D  {( x, y)  R 2 : 0  x  1, y  R} to’plamda qaraylik. y 
limit funksiya x ekanligini ko’rsatamiz.
Agar   0 ga ko’ra,    deb olinsa, unda

2
dagi
| y  y0 |=| y 

2
|
tengsizlikni qanoatlantiruvchi y  R va x  [0,1]
uchun
| f ( x, y )   ( x) |  | x sin y  x |  | x || sin y  1|  | x || sin y  sin
y
=| x || 2 sin
2

2 cos
y

2
|

2 |  | y   | <
2
2
bo’ladi. Demak, y 

2
da f ( x, y )  x sin y funksiyaning limit funksiyasi
 ( x)  lim f ( x, y)  lim x sin y  x
y

y
2

2
bo’ladi.
3-Ta’rif: M to’plamda berilgan
f ( x, y )
funksiyaning y  y0 dagi limit
bo’lsin.   0 olinganda ham shunday    ( )  0
funksiyasi  (x )
topilsaki, | y  y0 |   tengsizlikni qanoatlantiruvchi y  E va
x  [ a, b]
uchun
| f ( x, y )   ( x ) |  
bo’lsa,
f ( x, y )
funksiya o’z limit funksiyasi  (x ) ga [a,b] da tekis
yaqinlashadi deyiladi.
Aks holda yaqinlashish notekis deyiladi.
4-Ta’rif: M to’plamda berilgan
f ( x, y )
funksiyaning y  y0 dagi limit
funksiyasi  (x ) bo’lsin.   0 olinganda ham shunday  0  0 , x0 
[ a, b]
va | y1  y0 |   tengsizlikni qanoatlantiruvchi y1  E
topilsaki, ushbu
| f ( x0 , y1 )   ( x0 ) |   0
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda
yaqinlashadi deyiladi.
f ( x, y )
funksiya  (x ) ga notekis
2 Parametrga bog’liq integrallar
f ( x, y )
funksiya
M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  R  R }
to’plamda berilgan bo’lib, o’zgaruvchining E to’plamdan olingan har
bir tayin qiymatida
f ( x, y )  x
o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b]
oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Ya’ni y ni o’zgarmas deb
hisoblanganda
b
 f ( x, y)dx
a
integral mavjud bo’lsin. Ravshanki bu integralning qiymati olingan y
ga (parametrga) bog’liq bo’ladi:
b
Ф( y)   f ( x, y)dx
(1)
a
Misol: Ushbu f ( x, y )  x sin y funksiyaning x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b]
dagi integrali (bu yerda y=0)
b

a
1
cos ay  cos by
f ( x, y)dx   sin xydx   sin xyd ( xy) 
ya
y
a
b
b
bo’lib, E  R /{0} to’plamda berilgan
Ф( y ) 
1
(cos ay  cos by )
y
funksiyadan iboratdir.
Ushbu paragrafda parametrga bog’liq (1) integralning ( Ф( y )  funksiyaning )
funksional xossalarini o’rganamiz.
1. Integral belgisi ostida limitga o’tish.
F ( x, y )
funksiya
M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  E  R} to’plamda berilgan bo’lib, y 0 nuqta E
to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
1-Teorema: f(x,y) funksiya y ning E to’plamdan olingan har bir tayin
qiymatida x ning funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lsin. Agar
f(x,y) funksiya y  y0 da  (x ) limit funksiyaga ega bo’lsa va unga tekis
yaqinlashsa, u holda
b
lim 
y  y0 a
b
f ( x, y)dx    ( x)dx
(2)
a
bo’ladi.
Isbot: Shartga ko’ra f ( x, y ) funksiya y  y0 da  (x ) limit funksiyaga ega
va unga tekis yaqinlashadi. Demak   0 olinganda ham, shunday
   ( )  0 topiladiki, | y  y 0 |   ni qanoatlantiruvchi y  E va x  [a, b]
uchun
| f ( x, y )   ( x ) | 

ba
bo’ladi.
Ikkinchi tomondan f ( x, y ) funksiyaning uzluksizligi to’g’risidagi teoremaga
asosan  (x ) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo’ladi. Demak bu
b
  ( x)dx
funksiyaning integrali
mavjud.
a
Natijada
b
b
b
a
a
a
|  f ( x, y)dx    ( x)dx |   | f ( x, y )   ( x) | dx 
b
lim 
y  y0 a

b
b  a a
dx   bo’lib, undan
b
f ( x, y)dx    ( x)dx
a
ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
(4) munosabatni quyidagicha
b
lim 
y  y0 a
b
f ( x, y)dx   [lim f ( x, y)]dx
a
y  y0
ham yozish mumkin. Bu esa integral belgisi ostida limitga o’tish
mumkinligini ko’rsatadi.
Misol: Biz M  {( x, y)  R 2 : x  [0,1], y  [0,1]} to’plamda berilgan
f ( x, y ) x sin y
funksiyaning y  0 da  ( x)  0 limit funksiyaga tekis yaqinlashishini
ko’rgan edik:
lim x sin y  0
y 0
Berilgan funksiya y o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida x
o’zgaruvchining [0,1] oraliqdagi uzluksiz funksiyasi ekanligi ravshan.
Demak (1) teoremaga ko’ra
1
1
1
y 0 0
y 0 0
0
lim  f ( x, y)dx  lim  x sin ydx   [lim x sin y]dx  0
bo’ladi.
2. Integralning parametr bo’yicha uzluksizligi.
2-Teorema: Agar f (x,y) funksiya
M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  [c, d ]}
to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda
b
Ф( y)   f ( x, y)dx
a
funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo’ladi.
Isbot: Ihtiyoriy y0  [c, d ] nuqtani olaylik. Shartga ko’ra f ( x, y ) funksiya M
to’plamda (to’g’ri to’rtburchakda) uzluksiz. Kantor teoremasiga ko’ra bu
funksiya M to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi. Unda   0 olinganda ham,
shunday    ( )  0 topiladiki,
 (( x, y), ( x, y0 ))  | y  y 0 |  
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ( x, y)  M , ( x, y0 )  M uchun
| f ( x, y)  f ( x, y0 ) |  
bo’ladi. Bu esa f ( x, y ) funksiyaning y  y0 da f ( x, y0 ) limit funksiyag
tekis yaqinlashishini bildiradi. U holda (1) teoremaga asosan
b
b
b
lim Ф( y)  lim  f ( x, y)dx   [lim f ( x, y)]dx   f ( x, y0 )dx  Ф( y0 )
y  y0
y  y0 a
a
y  y0
(y 0  [c, d ])
a
bo’ladi. Demak, Ф (Y ) funksiya y 0 nuqtada uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi.
3.Intefralni parametr bo’yicha differensiallash.
3-Teorema: f ( x, y ) funksiya
M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  [c, d ]}
to’plamda berilgan va y o’zgaruvchining [c,d] oraliqdan olingan har bir
tayin qiymatida x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda
uzluksiz bo’lsin. Agar f ( x, y ) funksiya M to’plamda f y' ( x, y) hususiy
hosilaga ega bo’lib, y uzluksiz bo’lsa, u holda Ф (Y ) funksiya ham [c,d]
oraliqda Ф ' ( y ) hosilaga ega va ushbu
b
Ф ( y)   f y' ( x, y)dx
'
(3)
a
munosabat o’rinlidir.
Isbot: Shartga ko’ra f ( x, y ) funksiya x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b] oraliqda
uzluksiz. Binobarin
b
Ф( y)   f ( x, y)dx
a
integral mavjud.
Endi y0  [c, d ] nuqtani olib, unga shunday y orttirma beraylikki,
y 0  y  [c, d ] bo’lsin. Ф (Y ) funksiyani y 0 nuqtadagi orttirmasini topib,
ushbu
Ф( y0  y)  Ф( y0 ) b f ( x, y 0  y)  f ( x, y0 )

dx
y
y
a
tenglikni hosil qilamiz. Lagranj teoremasi ga ko’ra (uni qo’llay olishimiz
teorema shartlari bilan ta’minlangan)
f ( x, y 0  y )  f ( x, y 0 )
 f y' ( x, y 0  y )
y
bo’ladi, bunda 0    1
Natijada
b
b
Ф( y0  y)  Ф( y0 ) b '
  f y ( x, y0  y)dx   f y' ( x, y0 )dx   [ f y' ( x, y0  y)  f y' ( x, y0 )]dx
y
a
a
a
bo’lib, undan esa
|
b
b
Ф( y0  y)  Ф( y0 ) b '
  f y ( x, y0 )dx |   | f y' ( x, y0  y)  f y' ( x, y0 ) | dx    ( f y' y )dx 
y
a
a
a
 ( f y' y)(b  a)
(4)
bo’lishini topamiz, bunda ( f y' y)  f y' ( x, y) funksiyaning uzluksizlik moduli.
Modomiki
f y' ( x, y) funksiya M to’plamda uzluksiz ekan, unda Kantor
teoremasiga ko’ra bu funksiya shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi. U
holda yuqorida keltirilgan teoremaga asosan
lim  ( f
y 0
'
y
, y )  0
bo’ladi.
(4) munosabotdan
Ф( y0  y) b '
  f y ( x, y0 )dx
lim
y
y o
a
bo’lishi kelib chiqadi.Demak,
b
Ф ' ( y0 )   f y' ( x, y0 )dx
a
y 0 nuqta
[c,d] oraliqda ixtiyoriy. Teorema isbot bo’ldi.
(3) munosabatni quyidagicha ham yozish
b
mumkin:
b
d
d
f ( x, y)dx   f ( x, y)dx

dy a
dy
a
Bu esa differensiallash amalini integral belgisi ostiga o’tkazish
mumkinligini ko’rsatadi.
4.Integralni parametr bo’yicha integrallash.
f ( x, y )
funksiya M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  [c, d ]} to’plamda berilgan va
shu to’plamda uzluksiz bo’lsin.U holda 2-teoremaga ko’ra
b
Ф( y)   f ( x, y)dx
a
funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo’ladi.Bu funksiya [c,d] oraliq bo’yicha
integrali mavjud.
Demak, f ( x, y ) funksiya M to’plamda uzluksiz bo’lsa, uholda parametrga
bog’liq integralni parametr bo’yicha [c,d] oraliqda integrallash mumkin:
b
d b
a
c a
 Ф( y)dy   [ f ( x, y)dx]dy
Bu tenglikning o’ng tomoni f ( x, y ) funksiyani avval x o’zgaruvchi
bo’yicha [a,b] oraliqda integrallab ,so’ng natijani [c,d] oraliqda
integrallanadi
Ba’zan f ( x, y ) funksiya M to’plamda uzluksiz bo’lgan halda bu
fuksiyiyani avval y o’zgaruvchi bo’yicha [c,d] oraliqda integrallab,so’ng
hosil x o’zgaruvchining funksiyasini [a,b] oraliqda integrallash qulay
bo’ladi natijada ushbu
d b
b d
c a
a c
 [ f ( x, y)dx]dy,  [ f ( x, y])dx
integrallar hosil bo’ladi.
4-Teorema: Agar f(x,y) funksiya M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  [c, d ]}
to’plamda uzluksiz bo’lsa, uholda
d b
b d
c a
a c
 [ f ( x, y)dx]dy   [ f ( x, y)dy]dx
bo’ladi.
Isbot: t  [c, d ] nuqtani olib, quyidagi
t
b
b
t
 (t )   [ f ( x, y)dx]dy, (t )   [ f ( x, y)dy]dx
c a
a c
integralni qaraylik.  (t ), (t ) hosilalarini hisoblaymiz.
b
Ф( y)   f ( x, y)dx
a
funksiyani [c,d] oraliqda uzluksiz bo’lganligi sababli quyidagicha bo’ladi:
t
 ' (t )  (  Ф( y)dy) t'  f ( x, t )
c
bo’ladi.
f ( x, y )
funksiya M to’plamda uzluksizligidan
(5)
t
(  f ( x, y)dy) t'  f ( x, t )
c
bo’ladi.Demak,
t
 f ( x, y)dy
funksiyaning M  {( x, t )  R 2 : x  [a, b], t  [c, d ]
c
to’plamdagi t bo’yicha xususiy hosilasi
f ( x, t ) ga teng va
demak
,uzluksiz.U holda 5-teoremaga muofiq
b
t
b
t
b
a c
a
 ' (t )  (  [  f ( x, y)dy]dx) t'   [ f ( x, y)dy]t' dx   f ( x, t )dx
a c
(6)
bo’ladi.
(5) va (6) munosabatdan
b
 (t )   (t )   f ( x, t )dx
'
'
a
bo’lishi kelib chiqadi.Demak,
 (t )   (t )  c (c-cont)
Biroq t  c bo’lganda  (c)   (c)  0 bo’lib, Undan c  0 bo’lishini topamiz
Demak,  (t )   (t ) bo’ladi. Xususan, t  d bo’lganda  (d )   (d ) bo’lib, u
teoremani isbotlaydi.
3.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING UMUMIY XOLI.
f ( x, y )
funksiya
M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  [c, d ]} to’plamda berilgan. y
o’zgaruvchining [c,d] oraliqda olingan har bir tayin qimatida f ( x, y )
funksiya x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda
integrallanuvchi bo’lsin.
x   ( y ), x   ( y )
funksiyaning har biri [c,d] da berilgan va y  [c, d ]
uchun
a   ( y)   ( y)  b
bo’lsin.
Ravshanki, ushbu
 ( y)
 f ( x, y)dx
 ( y)
(7)
integral mavjud, y o’zgaruvchiga bog’liqdir:
 ( y)
F ( y) 
 f ( x, y)dx
(8)
 ( y)
haqiqqtdan ham (7) da  ( y )  a,  ( y )  b, ( y  [c, d ]) bo’lganda (8) integral
(1) ko’rinishdagi integralga aylanadi.
 ( y)
F ( y) 
 f ( x, y)dx
 ( y)
integralning xossalarini o’rganamiz.
5-Teorema. f ( x, y ) funksiya M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  [c, d ]} to’plamda
uzluksiz ,  ( y )va ( y ) funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz va ular (7)
shartni qanoatlantirsin. U holda
 ( y)
F ( y) 
f ( x, y )dx


( y)
funksiya ham [c,d] oraliqda uzluksiz.
Isbot. y0  [c, d ] nuqtani olib unga shunday y (y  0) orttirma beraylikki,
y 0  y  [c, d ] bo’lsin. U holda
F ( y 0  y )  F ( y 0 ) 
 ( y0  y )

f ( x, y 0  y )dx 
 ( y0  y )
 ( y0  y )


 ( y0 )

f ( x, y 0 )dy 
 ( y0 )
f ( x, y 0  y )dx 
( y0 )
 [ f ( x, y
0
 y )  f ( x, y 0 )]dx 
 ( y0 )
 ( y0  y )
f ( x, y


 ( y0 )
0
 y )dx
(8)
( y0 )
bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomonini qo’shiluvchilarini baholaymiz.
f ( x, y ) funksiya
M to’plamda uzluksiz , demak, Kantor teoremasiga
asosan, tekis uzluksiz bo’ladi. U holda y  0 da f ( x, y0  y) funksiya o’z
limit funksiya f ( x, y0 ) ga tekis yaqinlashadi .1-teoremaga ko’ra
 ( y0 )
lim  [ f ( x, y

y 0
( y0 )
0
 y )dx  f ( x, y 0 )]dx 
 ( y0 )
 lim [ f ( x, y
 ( y0 ) y 0
0
 y )dx  f ( x, y 0 )]dx 0 (9)
bo’ladi.
(8) munosabatdagi
 ( y0  y )

f ( x, y 0  y )dx,
 ( y0 )
 ( y0  y )
 f ( x, y
0
 y )dx
 ( y0 )
integrallar uchun quyidagi bahoga egamiz:
 ( y0  y )
|
 f ( x, y
0
 y )dx | M |  ( y 0  y )   ( y 0 ) |,
 ( y0 )
 ( y0  y )
|
f ( x, y


0
 y )dx | M |  ( y 0  y )   ( y 0 ) | , (10)
( y0 )
bunda M  sup(| f ( x, y) | (( x, y)  M )
Shartga ko’ra  ( y ),  ( y ) funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz. Demak,
lim [ ( y
y 0
 y )   ( y 0 )]  0
0
lim [ ( y
y 0
0
 y)   ( y 0 )]  0
(11)
Yuqoridagi (9), (10), (11) munosabatlarni e’tiborga olib, (8) tenglikda
y  0
da limitga o’tsak, unda
lim [ F ( y
y 0
0
 y )  F ( y 0 )]  0
bo’lishi kelib chiqadi. Demak, F ( y ) funksiya y0  [c, d ] da uzluksiz.
Teorema isbot bo’ldi.
6-Teorema. f ( x, y ) funksiya M  {( x, y)  R 2 : x  [a, b], y  [c, d ]} to’plamda
uzluksiz, f y' ( x, y) hususiy hosilaga ega va u uzluksiz,  ( y ),  ( y ) funksiyalar
esa  ' ( y),  ' ( y) hosilalarga ega hamda ular (7) shartni qanoatlantirsin. U
holda
 ( y)
F ( y) 
 f ( x, y)dx
 ( y)
funksiya [c,d] oraliqda F ' ( y ) hosilaga ega va
 ( y)
F ' ( y) 
f

'
y
( x, y )dx   ' ( y )  f (  ( y ), y )   ' ( y )  f ( ( y ), y )
( y)
bo’ladi.
Isbot. y0  [c, d ] nuqtani olib unga shunday y orttirma beraylikki
y 0  y  [c, d ] bo’lsin.
(8) munosabatdan foydalanib quyidagini topamiz.
(y )
0
F ( y 0  y )  F ( y 0 )
f ( x, y 0  y )  f ( x, y 0 )
1
 
dx 

y
y
y
 ( y0 )

y  0
1

y
 ( y0  y )
f ( x, y


0
 y)dx
 ( y0  y )
 f ( x, y
0
 y )dx 
 ( y0 )
(12)
( y0 )
f ( y 0  y )  f ( y 0 )
y
da
funksiya o’z limit funksiyasi f y' ( x, y0 ) ga [a,b] oraliqda tekis
yaqinlashadi.Unda
 ( y0 )
lim 

y 0
( y0 )
(y )
0
f ( x, y 0  y )  f ( x, y 0 )
dx   f y' ( x, y 0 )dx
y
 ( y0 )
(13)
integrallarga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llab , ushbu
 ( y0  y )
 f ( x, y

0
 y )dx  f ( x ' , y 0  y )[  ( y 0  y )   ( y 0 )],
( y0 )
 ( y0  y )
 f ( x, y

0
 y )dx  f ( x '' , y 0  y )[ ( y 0  y )   ( y 0 )],
( y0 )
tengliklarni hosil qilamiz, bunda x ' nuqta  ( y0 ),  ( y0  y) nuqtalar orasida
x ''
esa  ( y0 ),  ( y0  y) nuqtalar orasida joylashgan. f ( x, y ) funksiyaning M
to’plamda uzluksizligini,  ( y ) va  ( y ) funksiyalarning esa [c,d] oraliqda
hosilaga ega bo’lishini e’tiborga olsak, u holda
lim 
y 0
1

y
 ( y0  y )


y 0
 0
( y0 )
'
lim f ( x , y
f ( x, y 0  y )dx  lim [ f ( x ' , y 0  y ) 
0
 y)  lim
y 0
 ( y0  y)   ( y0 )
y
 ( y 0  y   ( y 0 ))
y
 f (  ( y0 ), y0 )   ' ( y0 ),
]
1


lim
y 0 y
 ( y0  y )
 f ( x, y

0
 y )dx  lim [ f ( x '' , y 0  y ) 
 0
( y0 )
''
lim f ( x , y
y 0
0
 y)  lim
 ( y 0  y   ( y 0 ))
 ( y0  y)   ( y0 )
y
y 0
y
 f ( ( y0 ), y0 )   ' ( y0 ).
]
(14)
ekanligi kelib chiqadi.
Yuqoridagi (12) munosabatda, y  0 da limitga o’tib, (13) va (14)
tengliklarni e’tiborga olib ushbuni topamiz.
(y )
0
F ( y 0  y )  F ( y 0 )

f y' ( x, y 0 )dx  f (  ( y 0 )   ' ( y 0 )  f ( ( y 0 ), y 0 )   ' ( y 0 ).
lim

y
y 0
 ( y0 )
Demak,
F ( y0 ) 
'
 ( y0 )
f

'
y
( x, y 0 )dx  f (  ( y 0 ), y 0 )   ' ( y 0 )  f ( ( y 0 ), y 0 )   ' ( y 0 ).
( y0 )
Modomiki, y 0 nuqta nuqta [c,d] oraliqdagi ihtiyoriy nuqta ekan, u holda
y  [c, d ]
F ( y) 
'
uchun
 ( y0 )
f

'
y
( x, y )dx  f (  ( y ), y )   ' ( y )  f ( ( y ), y )   ' ( y ).
( y0 )
bo’lishi ravshandir. Bu esa teoremani isbotlaydi.
4.XULOSA.
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, biz ko’p o’zgaruvchili
funksiyalar va ularni diferensial hisobini batafsil o’rganganmiz. Endi
bunday funksiyalarning integral hisobi bilan shug’ullanamiz. SHuni aytish
kerakki, ko’p o’zgaruvchili funksiyalarga nisbatan integral tushunchasi
turlicha bo’ladi.
Mazkur mavzu ko’p o’zgaruvchili funksiyaning bitta o’zgaruvchisi
bo’yicha integrali bilan tanishdik va uni o’rgandik.
Parametrga bog’liq integrallarda , f ( x, y ) funksiyaning limiti,
uzluksizligi, differensiallanuvchiligi , integrallanuvchiligi, va boshqa
funksional xossalariga ko’ra Ф( y ) funksiyaning tegishli funksional xossalari
o’rganildi .Bunday xossalarni o’rganishda limiti va unga intilishi xarakteri
muhim rol o’ynaydi.
Parametrga bog’liq integrallarni parametr bo’yicha integralidan
foydalanib, ushbu
1
A
0
xb  x a
dx(0  a  b)
ln x
integralni hisoblaymiz.
Ravshanki, ( x  0)
b
y
 x dy 
a
xb  xa
ln x
bo’ladi.Demak
xb  xa
A
dx   dx  x y dy
ln x
0
0
a
1
1
b
Integral ostidagi f ( x, y)  x y funksiya M  {( x, y)  R 2 : x  [0,1], y  [a, b]}
To’plamda uzluksizdir.U holda
b
1
a
0
A   dy  x y dx
bo’ladi.Ammo
1
x
0
y
dx 
1
y 1
bo’lganligidan
1
A
0
1
b 1
dy  ln
y 1
a 1
bo’ladi.Demak
xb  x a1
b 1
0 ln x dx  ln a  1
1
Foydalanilgan adabiy
otlar.
1. Matematik analiz. 2-qism. T.Azlarov, H.Mansurov.
“O’zbekiston” nashriyoti.1993-yil.
2. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami.
A.Sadullayev, X.Mansurov ,G. Xudayberganov,
A.Borisov,R.G’ulomov. Toshkent. “O’zbekiston” nashriyoti
1995-yil.
2-qism.