Bu bölümde, teslim süresinin sıfır olmadığı ve her bir teslim süresindeki talebin rastgele
olduğu durumlarda kullanılan EOQ'nun bir modifikasyonunu tartışacağız. Tüm talebin
bekletilebileceğini varsayarak başlıyoruz. Bölüm 15'te olduğu gibi, siparişlerin herhangi bir
zamanda verilebilmesi için sürekli bir gözden geçirme modeli varsayıyoruz ve
K = sipariş maliyeti
h = elde tutma maliyeti/birim/yıl
L = Her sipariş için L teslim süresi (kesin olarak bilindiği varsayılır)
q = her sipariş verildiğinde sipariş edilen miktar
Ayrıca aşağıdaki tanımlara da ihtiyacımız var:
D = yıllık talebi temsil eden, ortalaması E(D), varyansı var D ve standart sapması sD olan
rastgele değişken (sürekli olduğu varsayılır)
cB = Eksik olan her birim için katlanılan maliyet, stokların ne kadar sürede tamamlanacağına
bağlı değildir
OHI(t) t zamanında eldeki envanter (eldeki stok miktarı)
Şekil 3'ten OHI(1) = 100, OHI(0) = 200 ve OHI(6) = OHI(7) = 0 olduğunu görebiliriz.
Şekil 3'te 0≤ t ≤6 için B(t) = 0 ve B(7) = 100'dür. I(t), Bölüm 15'te kullanılan envanter
kavramıyla uyumludur; I(0) = 200 - 0 = 200, I(3) = 260 - 0 = 260 ve I(7) = 0 – 100= -100.
Yeniden sipariş noktası r = 100; envanter seviyesi r'ye düştüğünde q birim için sipariş verilir.
X teslim süresi boyunca talebi temsil eden rastgele değişken
X'in yoğunluk fonksiyonu f (x) ve sırasıyla E(X), var X ve sX ortalama, varyans ve standart
sapmaya sahip sürekli bir rastgele değişken olduğunu varsayıyoruz. Zamanın farklı
noktalarındaki taleplerin bağımsız olduğunu varsayarsak, rassal teslim süresi talebi X'in
aşağıdakileri sağladığı gösterilebilir
E(X)=LE(D), varX = L(varD), σx = σD √L
D normal dağılıma sahipse, X'in de normal dağılıma sahip olacağını varsayıyoruz. L teslim
süresinin, ortalaması E(L), varyansı var L ve standart sapması sL olan rastgele bir değişken (L
ile gösterilir) olduğunu varsayalım. Eğer teslim süresinin uzunluğu, teslim süresi boyunca
birim zamanda gerçekleşen talepten bağımsız ise, o zaman
E(X)=E(L)E(D) ve var X = E (L) (varD)+ E(D)2 (varL)
Yıllık beklenen toplam maliyeti (satın alma maliyeti hariç) en aza indirmek için q ve r
değerlerini seçmek istiyoruz. Optimum r ve q değerlerinin nasıl bulunabileceğini göstermeden
önce, envanterin zaman içinde nasıl geliştiğine dair bir örneğe bakacağız. q = 240 birimlik bir
siparişin 0 zamanında henüz geldiğini varsayalım. Ayrıca L=2 olduğunu varsayıyoruz. Şekil 3'te
q büyüklüğündeki siparişler O1 = 1 ve O2 = 5 zamanlarında verilmektedir. Bu siparişler sırasıyla
O1 + L = 3 ve O2 + L = 7 zamanlarında alınır. Bu siparişler sırasıyla O1 + L = 3 ve O2 + L = 7
zamanlarında alınır. Bir döngü, bir siparişin alındığı herhangi iki an arasındaki zaman aralığı
olarak tanımlanır. Şekil 3 iki tam döngü içermektedir: 0 zamanında siparişin gelmesinden O1
+ L = 3 zamanında siparişin gelmesinden önceki ana kadar olan döngü 1; ve O1 + L = 3
zamanında siparişin gelmesinden O2 + L = 7 zamanında siparişin gelmesinden önceki ana
kadar olan döngü 2. Döngü 1 sırasında, teslim süresi boyunca talep r'den azdır, bu nedenle
herhangi bir eksiklik meydana gelmez. Ancak 2. döngü sırasında, teslim süresi boyunca talep
r'yi aşıyor, dolayısıyla 6. zaman ile O2 + L = 7 zamanı arasında stok tükenmeleri meydana
geliyor. r'yi artırarak stoksuzluk sayısını azaltabileceğimiz açık olmalıdır. Ne yazık ki, artan r bizi
daha fazla envanter taşımaya zorlayacak ve dolayısıyla daha yüksek elde tutma maliyetlerine
yol açacaktır. Bu nedenle, r'nin optimal değeri, elde tutma ve stokta kalmama maliyetleri
arasındaki bir çeşit dengeyi temsil etmelidir.
Şimdi q ve r'nin optimal değerlerinin nasıl belirlenebileceğini göstereceğiz.
Yeniden Sipariş Noktasının Belirlenmesi: Geri Siparişli Durum
Tüm talebin eninde sonunda karşılanması gereken ve hiçbir satışın kaybedilmediği duruma
geri sipariş durumu denir ve bu durum için yıllık beklenen maliyeti en aza indiren yeniden
sipariş noktasının ve sipariş miktarının nasıl belirleneceğini gösteriyoruz. Her birimin aynı
fiyata satın alındığını varsayıyoruz, dolayısıyla satın alma maliyetleri sabittir. TC(q, r) = her
siparişin q birim için olması ve yeniden sipariş noktası r olduğunda verilmesi durumunda
ortaya çıkan beklenen yıllık maliyeti (satın alma maliyeti hariç) tanımlayın. Bu durumda TC(q,
r) = (beklenen yıllık elde tutma maliyeti) + (beklenen yıllık sipariş maliyeti) + (kıtlıklardan
dolayı beklenen yıllık maliyet). Optimum yeniden sipariş noktasını ve sipariş miktarını
belirlemek için, ortalama bekleyen sipariş sayısının eldeki ortalama stok düzeyine göre küçük
olduğunu varsayıyoruz. Çoğu durumda bu varsayım mantıklıdır çünkü kıtlıklar (eğer ortaya
çıkarsa) genellikle döngünün yalnızca küçük bir bölümünde meydana gelir. (Bu bölümün
sonundaki Problem 5'e bakın.) O zaman I(t) = OHI(t) - B(t) şunu verir:
I(t)'nin beklenen değeri ≈ OHI(t)'nin beklenen değeri
Artık beklenen yıllık elde tutma maliyetini tahmin edebiliriz. Beklenen yıllık elde bulundurma
maliyetinin h (eldeki stok düzeyinin beklenen değeri) olduğunu biliyoruz. Daha sonra (9)'dan,
beklenen yıllık elde tutma maliyetini h(I(t)'nin beklenen değeri) ile tahmin edebiliriz. Bölüm
3'te olduğu gibi, I(t)'nin beklenen değeri bir çevrim sırasında I(t)'nin beklenen değerine eşit
𝐵𝑖𝑟 ç𝑒𝑣𝑟𝑖𝑚 𝑠𝚤𝑟𝑎𝑠𝚤𝑛𝑑𝑎 𝐼(𝑡)′ 𝑛𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑘𝑙𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖
1
(𝑑ö𝑛𝑔ü 𝑏𝑎ş𝑙𝑎𝑛𝑔𝚤𝑐𝚤𝑛𝑑𝑎 𝐼(𝑡)′ 𝑛𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑘𝑙𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖)
2
+ (𝑏𝑖𝑟 ç𝑒𝑣𝑟𝑖𝑚𝑖𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑢𝑛𝑑𝑎 𝐼(𝑡)′𝑛𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑘𝑙𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖)]
Service levels in (Q, R) systems. We assume two types of service: Type 1 service is the
probability of not stocking out in the lead time and is represented by the symbol α . Type 2
service is the proportion of demands that are filled from stock (also known as the fill rate)
and is represented by the symbol β. Finding the optimal (Q, R) subject to a Type 1 service
objective is very easy. One merely finds R from F(R) = α and sets Q _ EOQ. Unfortunately,
what one generally means by service is the Type 2 criterion, and finding (Q, R) in that case is
more difficult. For Type 2 service, we only consider the normal distribution. The solution
requires using standardized loss tables, L(z), which are supplied in the back of the book. As
with the cost model, setting Q = EOQ and solving for R will usually give good results if one
does not want to bother with an iterative procedure.
Harvey’s Specialty Shop is a popular spot that specializes in international gourmet foods. One
of the items that Harvey sells is a popular mustard that he purchases from an English company.
The mustard costs Harvey $10 a jar and requires a six-month lead time for replenishment of
stock. Harvey uses a 20 percent annual interest rate to compute holding costs and estimates
that if a customer requests the mustard when he is out of stock, the loss-of-goodwill cost is
$25 a jar. Bookkeeping expenses for placing an order amount to about $50. During the sixmonth replenishment lead time, Harvey estimates that he sells an average of 100 jars, but
there is substantial variation from one six-month period to the next. He estimates that the
standard deviation of demand during each six-month period is 25. Assume that demand is
described by a normal distribution. How should Harvey control the replenishment of the
mustard?
The solution procedure requires iterating between Equations (1) and (2) until two successive
values of Q and R are (essentially) the same. The procedure is started by using Q0 _ EOQ (as
defined in Chapter 4). One then finds R0 from Equation (2). That value of R is used to compute
n(R), which is substituted into Equation (1) to find Q1, which is then substituted into Equation
(2) to find R1, and so on. Convergence generally occurs within two or three iterations. When
units are integral, the computations should be continued until successive values of both Q
and R are within a single unit of their previous values. When units are continuous, a
convergence requirement of less than one unit may be required depending upon the level of
accuracy desired. When the demand is normally distributed, n(R) is computed by using the
standardized loss function. The standardized loss function L(z) is defined as
∞
𝐿(𝑧) = ∫ (𝑡 − 𝑧)_(𝑡) 𝑑𝑡
𝑧
Yeniden sipariş noktasını r'den r +△'ye yükseltirsek, beklenen yıllık stoksuzluk maliyetleri
azalacaktır, çünkü teslim süresi talebinin en az r olduğu herhangi bir döngü sırasında, döngü
sırasındaki stoksuzluk sayısı △ birim azalacaktır. Başka bir deyişle, yeniden sipariş noktasının
r'den r + △'ye yükseltilmesi, tüm döngülerin P(X ≥ r) kesri boyunca stoksuzluk maliyetlerini cB
△ kadar azaltacaktır. Yılda ortalama E(D)/q döngü olduğundan, yeniden sipariş noktasının
r'den r + △'ye yükseltilmesi, beklenen yıllık stoksuzluk maliyetini şu kadar azaltacaktır.
r arttıkça, P(X ≥ r)'nin azaldığını, dolayısıyla r arttıkça, yeniden sipariş noktasının
artırılmasından kaynaklanan beklenen yıllık eksiklik maliyetindeki beklenen azalmanın
azalacağını gözlemleyin. Bu gözlem Şekil 4'ü çizmemizi sağlar.
Diyelim ki r < r*. Daha sonra Şekil 4, yeniden sipariş noktasını r'den r*'ye yükseltirsek, elde
bulundurma maliyetinden kaybettiğimizden daha fazlasını eksik kalma maliyetinden tasarruf
edebileceğimizi göstermektedir. Şimdi r > r* olduğunu varsayalım. Şekil 4, yeniden sipariş
noktasını r'den r*'ye düşürerek, artan eksiklik maliyetinden kaybettiğimizden daha fazlasını
elde tutma maliyetinden tasarruf edebileceğimizi göstermektedir. Böylece r*, kıtlık ve elde
tutma maliyetleri arasında en uygun dengeyi elde eder. Özetle, sipariş miktarının şu şekilde
tahmin edilebileceğini varsayarsak:
o zaman r* yeniden sipariş noktasını ve q* sipariş miktarını geri sipariş durumu için elde
ederiz:
Tip1 Servis Düzeyi
Bu durumda, teslim süresi içinde stokların tükenmemesi olasılığını belirleriz. Bu
olasılığı temsil etmek için α sembolünü kullanacağız. α'nın belirlenmesi R'nin
değerini tamamen belirlediğinden, R ve Q'nun hesaplanması ayrıştırılabilir. Tip 1
hizmet kısıtlamasına tabi optimum (Q, R) değerlerinin hesaplanması çok basittir. a)
F(R) = α denklemini sağlamak için R'yi belirleyin. b) Q = EOQ olarak ayarlayın α'yı
stoksuzluğun meydana gelmediği döngülerin oranı olarak yorumlayın. 1. Tip bir
hizmet hedefi, bir eksikliğin meydana gelmesinin zamanından veya miktarından
bağımsız olarak aynı sonucu doğurduğu durumlarda uygundur. Bir üretim hattının 1
birim ya da 100 birim eksik olsa da durdurulması buna bir örnektir. Ancak Tip 1
hizmet, çoğu uygulamada hizmetin yorumlanma şekli değildir. Genellikle yüzde 95
hizmet sağlamak istediğimizi söylediğimizde, sipariş döngülerinin yüzde 95'inde tüm
talepleri karşılamak değil, taleplerin yüzde 95'ini oluştuklarında karşılayabilmek
istediğimizi kastederiz. Ayrıca, farklı ürünler farklı döngü uzunluklarına sahip
olduğundan, bu ölçü farklı ürünler arasında tutarlı olmayacak ve doğru α seçimini
zorlaştıracaktır.
Tip2 Servis Düzeyi
Tip 2 hizmet, stoktan karşılanan taleplerin oranını ölçer. Bu oranı temsil etmek için β
sembolünü kullanacağız. Örnek 5.4'ün 5. bölümünde gördüğümüz gibi, n(R)/Q her
döngüde stoktan karşılanan taleplerin ortalama oranıdır. Dolayısıyla, n(R)/Q = 1 - β
kısıtının belirtilmesi ile sonuçlanır. Bu kısıt, hem Q hem de R'yi içerdiği için Tip 1
hizmetten kaynaklanan kısıttan daha karmaşıktır. EOQ'nun bu durumda optimal
olmamasına rağmen, genellikle oldukça iyi sonuçlar verdiği ortaya çıkmaktadır. Parti
büyüklüğünü tahmin etmek için EOQ'yu kullanırsak, n(R) = EOQ(1 - β) çözümünü
bulmak için R'yi buluruz.
Tip 1 hizmet seviyesi, stoktan tamamen tükenme olasılığını ifade eder. Yani,
bir ürün ya da hizmet stokta kalmadığında, o şey artık müşterilere sunulamaz.
Örneğin, bir restoranda en sevdiğin yemeğin tükenmesi durumunda o yemeği
alamazsın. Bu durumda, o şey tamamen kaybolur ve artık sunulamaz hale
gelir.
Tip 2 hizmet seviyesi ise stoktan karşılanma oranını ölçer. Yani, müşterilerin
istekleri stokta olan ürünlerle karşılanma olasılığını ifade eder. Örneğin,
kafenin genellikle istediğin kahveyi stokta bulundurması durumunda, senin
isteğin genellikle karşılanabilir olur. Burada, ürün veya hizmet genellikle
stokta bulunduğunda, müşterinin isteği karşılanabilir.
İkisi arasındaki temel fark, Tip 1'in tamamen tükenmeyi ölçerken, Tip 2'nin
stoktan karşılanma oranını ölçmesidir. Tip 1'de, bir şey stokta tamamen
tükenirse hizmet verilemez duruma gelirken, Tip 2'de ürün ya da hizmet
genellikle stokta bulunduğunda istek karşılanabilir olur.