Universidad Técnica
Federico Santa María
ELI-348
Análisis de sistemas de potencia III
Elementos primitivos
Área SEP
Flujos de potencia aplicado a SEP
El balance del flujo de potencia en una barra genérica ‘r’, se define como:
r
Pgr
Qgr
Qdem.r
Pr  ( Pgr  Pdem.r )
Qr  (Qgr  Qdem.r )
Pdem.r
Recordando las ecuaciones del flujo de potencia (forma rectangular):
N
N
Sr  Vr   Gir  jBir Vi    Gir  jBir VrVi e
*
i 1
N
  GirVrVi e
i 1
j  ri 
i 1
j  ir 
 jBirVrVi e
j  ri 
n
n

P
 Pr  Vr ·Vi · Gir ·cos  ri  Bir ·sin  ri    f ri

i 1
i 1
Sr  
n
n
Q  V ·V · G ·sin   B ·cos   
f Q ri


r
r i
ir
ri
ir
ri

i 1
i 1
n

*
 Pr  Vr ·Vi ·Yir ·cos ir   i   r 
 N


i 1
Sr  Vr   YirVi   
n
 i 1

Q   V ·V ·Y ·sen      

r i ir
ir
i
r
 r
i 1
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
2
Elementos primitivos: descripción analítica
ipq
q
epq
z pq,pq
p
v pq  epq  z pq, pq·i pq  z pq,rs ·irs  
vpq
v12   z12,12  z12, pq
   
 

v pq   z pq,12  z pq, pq
 
   


 i12 
e12 
  
 



 i pq 
e pq 



  
 
v   z  i   e 
v   e   z  i 
i    z  v    z  e
1
1
I pq
ipq p
q
y pq,pq
vpq
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
I pq  i pq  y pq, pq·v pq  y pq,rs ·vrs  
i   y  v  I
3
Elementos pasivos
ipq p
q
epq  I pq  0
vpq
i   y  v 
i   z  v 
1
y   z1
z  y 1
* Obs.: No hay conexiones específicas entre estos elementos
primitivos.
La potencia asociada con esta red de elementos primitivos es:
 
v i  p ó V I  S
t

ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III

t


4
Gráficos orientados y matriz de incidencia (aumentada)
n2
n1
e1
n4
* Considerar que el generador
en 4 tiene conectada una
reactancia.
e7
e6
e2
Elementos: e i
Nodos: ni
e5
n5
e4
n3
n0
7
1
e6
2
e5
e4
4
3
e2
e1
5
e3
0
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
n
0
1
2
3
4
5
1
1
-1
0
0
0
0
2
0
0
1
0
0
-1
3
1
0
0
0
-1
0
4
0
0
0
-1
1
0
5
0
0
1
-1
0
0
6
0
1
-1
0
0
0
7
0
0
1
0
-1
0
e
 Â
ˆ
A
  ·i   0
t
LKI
5
Ejemplo: matriz de incidencia (sin referencia) y elementos
sin acoplamiento
1
I B1
3
2
2
0.25
1
e3
e4
3
0.2
0.4
I B3
e1
I B2
0.1
e2
0
0
e
n
1
A
1
2
3
-1
-1
-1
4
1
A ·i 
t
2
3
n
e
1
-1
i1   2.5
 v1 
v 
i2  
10

· 2 
i3  
5  v3 
 
 
i4  
4  v4 
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
2
-1
2
3
1
1
3
4
e
B
-1
1
i1
I B1
i2
I B2
i3
I B3
1
-1
-1
i4
v1  0.4
 i1 
i 
v2  
0.1

· 2 
v3  
0.2
 i3 
 
 
v4  
0.25 i4 
i  y  v
v  z i
6
Potencia invariante y balance nodal
𝑝 = 𝑣𝑖𝑡 ∙ 𝑖 ∗ = 𝐸𝑏𝑡 ∙ 𝐼𝐵∗
𝑝 = 𝐸𝐵𝑡 ∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝑖 ∗ → 𝐴 ∙ 𝐸𝐵 = 𝑣 ⇒ 𝑣 𝑡 = 𝐸𝐵𝑡 ∙ 𝐴𝑡
𝐵𝑓
Balance nodal:
𝑖 = 𝑦ฑ
∙ 𝐴 ∙ 𝐸𝐵 /𝐴𝑡 ∙
𝐴𝑡 ∙ 𝑖 = 𝐴𝑡 ∙ 𝐵𝑓 ∙ 𝐸𝐵
𝑌𝑏
𝐼𝐵 = 𝑌𝐵 ∙ 𝐸𝐵
𝐼𝐵 = 𝐴𝑡 ∙ 𝑖
𝑖 = 𝑦 ∙ 𝐴 ∙ 𝐸𝐵
𝐼𝐵 = 𝐴𝑡 ∙ 𝐵𝑓 ∙ 𝐸𝑏
−1
−1 0 −1 1
0
𝑌𝐵 = 0
0
1 0 𝑦 −1
0 −1 0 −1
1
11.5 −5 −4
𝑌𝐵 = −5
5
0
−4
0 14
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
0
0
1
0
0
−1
0
−1
7
Árbol (ramas) y co-árbol (cuerdas)
e7
1
e6
e5
2
e4
cs
1
1
1
e
4
3
e2
2
B
5
e1
e3
2
5
6
1
5
1
6
1
7
3
4
7
1
1
1
1
1
-1
0
Matriz de incidencia de malla:
C 
t
e
1
2
5
6
7
3
4
3
-1
0
0
-1
-1
1
0
4
0
0
-1
0
1
0
1
n
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
Ct ·v   0
LKV
8
Ejemplo II
e4
e4
0.25
0.2
I M2
0.4
e3
0.1
e1
M
e
1
e2
e3
e3 e4
e
M
M1 M2
-1
1
t
C
2
0
-1
3
1
0
4
0
1
 I M 1  I M 2   i1 
 1 1 
 I
 i 
 0 1 I


M
1
M
2
   2
·
C ·I M   



 1 0   I M 2    I M 1  i3 

  



I
0 1

M1
 i4 
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
e1
I M1
C ·e
e2
1
2
3
4
M1 -1
0
1
0
M2
-1
0
1
1
e1
e2
e3
e4
árbol
co-árbol
M1
M2
e3 - e1
e4 + e1 - e2
v  z·i  e
C t ·v  C t ·z·i  C t ·e  C t ·z· C·I M   C t ·e
C t ·v  0  C t ·z·C·I M  EM
EM  Z M ·I M
M1
M2
 0.6 0.4 
ZM 

M2 0.4
0.75 

M1
9
Ejemplo SEP
G2
G1
G3
z=0,01+j0,1
b=j0,02
1
2
100+j20
SM=100
z=0,05+j0,2
b=j0,04
* Sin considerar la admitancia shunt => 𝐼𝐵 = 𝐴′ ∙ 𝑖
𝑖 = (𝑦) ∙ 𝐴 ∙ 𝐸𝐵 ⇒ 𝐼𝐵 = 𝐴𝑡 ∙ 𝐵𝑓 ∙ 𝐸𝑏 = 𝐵𝑏𝑢𝑠 ∙ 𝐸𝑏
𝑌𝑓𝑓
z=0,04+j0,3
b=j0,06
M
3
S =100
SM=100
100+j45
VB = 230 [kV]
SB = 100 [MVA]
𝐼𝐵 = 𝐴𝑓′ ∙ 𝑖𝑓 − 𝐴′𝑡 ∙ 𝑖𝑡
𝑖𝑓 =
𝑌𝑓𝑡
𝑏
𝑦+
∙ 𝐴𝑓 +(−𝑦)∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝐸𝐵
2
𝑌𝑓 =𝑌𝑓𝑓 ∙𝐴𝑓 +𝑌𝑓𝑡 ∙𝐴𝑡
−𝑌𝑓𝑓
−𝑌𝑓𝑡
ฏ ∙ 𝐴𝑓 − 𝑦 +
𝑖𝑡 = (𝑦)
𝑏
∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝐸𝐵
2
−𝑌𝑡 =𝑌𝑓𝑡 ∙𝐴𝑓 +𝑌𝑓𝑓 ∙𝐴𝑡
𝐼𝐵 = (𝐴𝑓′ ∙ 𝑌𝑓 + 𝐴′𝑡 ∙ 𝑌𝑡 ) ∙ 𝐸𝑏 = 𝑌𝑏𝑢𝑠 ∙ 𝐸𝑏
Ybus
 2,1666 -14,5769i -0,9901 + 9,9010i -1,1765 + 4,7059i 
  -0,9901 + 9,9010i 1,4268 -13,1361i -0,4367 + 3,2751i 


 -1,1765 + 4,7059i -0,4367 + 3,2751i 1,6132 - 7,9310i 
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
10
1) Ejemplo SEP 3-bus
G2
G1
G3
z=0,01+j0,1
b=j0,02
1
2
100+j20
SM=100
z=0,05+j0,2
b=j0,04
* Sin considerar la admitancia shunt => 𝐼𝐵 = 𝐴′ ∙ 𝑖
𝑖 = (𝑦) ∙ 𝐴 ∙ 𝐸𝐵 ⇒ 𝐼𝐵 = 𝐴𝑡 ∙ 𝐵𝑓 ∙ 𝐸𝑏 = 𝐵𝑏𝑢𝑠 ∙ 𝐸𝑏
𝑌𝑓𝑓
z=0,04+j0,3
b=j0,06
M
3
S =100
SM=100
100+j45
VB = 230 [kV]
SB = 100 [MVA]
𝐼𝐵 = 𝐴𝑓′ ∙ 𝑖𝑓 − 𝐴′𝑡 ∙ 𝑖𝑡
𝑖𝑓 =
𝑌𝑓𝑡
𝑏
𝑦+
∙ 𝐴𝑓 +(−𝑦)∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝐸𝐵
2
𝑌𝑓 =𝑌𝑓𝑓 ∙𝐴𝑓 +𝑌𝑓𝑡 ∙𝐴𝑡
−𝑌𝑓𝑓
−𝑌𝑓𝑡
ฏ ∙ 𝐴𝑓 − 𝑦 +
𝑖𝑡 = (𝑦)
𝑏
∙ 𝐴𝑡 ∙ 𝐸𝐵
2
−𝑌𝑡 =𝑌𝑓𝑡 ∙𝐴𝑓 +𝑌𝑓𝑓 ∙𝐴𝑡
𝐼𝐵 = (𝐴𝑓′ ∙ 𝑌𝑓 + 𝐴′𝑡 ∙ 𝑌𝑡 ) ∙ 𝐸𝑏 = 𝑌𝑏𝑢𝑠 ∙ 𝐸𝑏
Ybus
 2,1666 -14,5769i -0,9901 + 9,9010i -1,1765 + 4,7059i 
  -0,9901 + 9,9010i 1,4268 -13,1361i -0,4367 + 3,2751i 


 -1,1765 + 4,7059i -0,4367 + 3,2751i 1,6132 - 7,9310i 
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
11
2) Ejemplo SEP 2-bus (transformador regulante)
2
1
Libre
PQ
1
-1.6·j + 1.2 [s] 2
PV
-2·j [s] 3
V3=1.05
P3=0.8
-2·j [s] 3
1 / 1.2
2
-2.4·j [s]
3
1 / 1.2
0.05 [s]
-0.48·j [s]
1
2
0.4·j [s]
3
1 1.2  j·1.55 1.2  j·1.6
0 
Y  2  1.2  j·1.6 1.2  j·4.43 j·2.4 
3 
0
j·2.4
 j·2.0
ELI 348 – Análisis de sistemas de potencia III
12