KHÓA PIMAX PLUS – PHẠM MINH TUẤN
Sưu tầm và biên soạn
MOÄT SOÁ ñaúng thöùc vaø Baát ñaúng thöùc
Phạm Minh Tuấn
HAY DUØNG TRONG KÌ THI THPT QUOÁC GIA
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 1000 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm có 24 trang, 20 câu
MỘT SỐ BĐT HAY DÙNG TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI (AM - GM)
Với a, b là các số thực không âm ta có:
a + b  2 ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
(
Tổng quát: Với a1 , a2 ,..., an n 
*
) là các số thực không âm ta có:
a1 + a2 + ... + an  n n a1 .a2 ...an
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ
Với a, b là các số thực bất kì và x, y là các số thực dương ta có:
a2 b2 ( a + b )
+ 
x y
x+y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
x y
2
(
Tổng quát: Với a1 , a2 ,..., an là các số thực bất kì và b1 , b2 ,..., bn n 
*
) là các số thực dương ta có:
an ( a1 + a2 + ... + an )
a12 a22
+ + ... + n 
b1 b2
bn
b1 + b2 + ... + bn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
a
a1 a2
= = ... = n
b1 b2
bn
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
Với a, b, x, y là các số thực bất kì ta có:
( ax + by )  ( a
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
x y
(
Tổng quát: Với a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn n 
*
2
+ b2
)( x
2
+ y2
)
) là các số thực bất kì ta có:
Nhóm Pi - Group Luyện Đề Thi Thử Nâng Cao ︵✿ρмт‿✿.
1
KHÓA PIMAX PLUS – PHẠM MINH TUẤN
(a b
1 1
(
)(
+ a2 b2 + ... + an bn )  a12 + a22 + ... + an2 b12 + b22 + ... + bn2
2
)
a
a1 a2
= = ... = n
b1 b2
bn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
BẤT ĐẲNG THỨC MINCOPXKI
Với a, b, x, y là các số thực bất kì ta có:
( a + b) + ( x + y )
2
a2 + x 2 + b2 + y 2 
a b
=
x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(
Tổng quát: Với a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn n 
*
2
) là các số thực bất kì ta có:
a12 + b12 + a22 + b22 + ... + an2 + bn2 
(a
+ a2 + ... + an ) + ( b1 + b2 + ... + bn )
2
1
2
a
a1 a2
= = ... = n
b1 b2
bn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER VỀ TÍCH PHÂN
Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên  a; b  ta có:
2
b
b
 b 2
2
  f ( x ) g ( x ) dx    f ( x ) dx. g ( x ) dx
a
a
 a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f ( x ) = kg ( x ) với k  \0
Tổng quát: Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên  a; b  . Với p, q  1 thỏa
1 1
+ = 1 ta có:
p q
1
b

a
1
b
p  b
q
p
q
f ( x ) g ( x ) dx    f ( x ) dx  .    g ( x ) dx 




a

a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực m, n không đồng thừ bằng 0 sao cho m f ( x ) = n g ( x )
p
q
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN
Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên  a; b  ta có:
✓ Nếu f ( x )  g ( x ) với mọi x   a; b  thì
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ f ( x ) = 0

a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ f ( x ) = g ( x )
✓ Nếu f ( x )  0 với mọi x   a; b  thì
b
b

b
f ( x ) dx   g ( x ) dx
a
f ( x ) dx  0 . Hệ quả:
a
b
 f ( x ) dx = 0  f ( x ) = 0
2
a
BẤT ĐẲNG THỨC TRỊ TUYỆT ĐỐI
Với x là các số thực bất kì ta có:
Nhóm Pi - Group Luyện Đề Thi Thử Nâng Cao ︵✿ρмт‿✿.
2
KHÓA PIMAX PLUS – PHẠM MINH TUẤN
✓
x 0
✓
x x
✓
x  −x
✓
x  a  −a  x  a
(a  0)
x  a
x a
(a  0)
 x  −a
Với a, b là các số thực bất kì ta có:
✓
a − b  a+b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b và ab  0
Với a, b là các số thực bất kì ta có:
a + b  a+b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  0
CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TRỊ TUYỆT ĐỐI
Với hai số thực a, b tùy ý
✓ Tính chất 1:
a2  b2  a  b
✓ Tính chất 2:
−b  a  b  a  b
✓ Tính chất 3:
a  b
a b

 a  −b
✓ Tính chất 4:
ab  a + b
✓ Tính chất 5:
a + b = a + b  ab  0
✓ Tính chất 6:
a  0
a + b =a+b 
b  0
✓ Tính chất 7:
a  0
a + b = a−b 
b  0
✓ Tính chất 8:
a − b = a − b  b (a − b)  0
BẤT ĐẲNG THỨC VECTOR
Lý thuyết
1.
Độ dài vector.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , vector x = ( x1 ; y1 ) có độ dài là:
x = x12 + y12
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxyz , vector x = ( x1 ; y1 ; z1 ) có độ dài là:
Nhóm Pi - Group Luyện Đề Thi Thử Nâng Cao ︵✿ρмт‿✿.
3
KHÓA PIMAX PLUS – PHẠM MINH TUẤN
x = x12 + y12 + z12
2.
Các phép toán vector biểu thị qua tọa độ.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , vector u = ( x1 ; y1 ) ; v = ( x2 ; y2 ) khi đó ta có:
u + v = ( x1 + x2 ; y1 + y2 )
u − v = ( x1 − x2 ; y1 − y2 )
ku = ( kx1 ; ky1 )
( )
u.v = u . v .cos u, v
u.v = x1 .x2 + y1 .y2
3.
Bất đẳng thức vector
✓ Cho hai vector a, b trong mặt phẳng hoặc không gian. Khi đó ta có:
a+b  a + b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
b  k 
*
+
: a = kb hoặc một trong hai vector bằng 0
✓ Cho hai vector a, b trong mặt phẳng hoặc không gian. Khi đó ta có:
a−b  a + b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
b  k 
*
−
: a = kb hoặc một trong hai vector bằng 0
✓ Cho hai vector a, b trong mặt phẳng hoặc không gian. Khi đó ta có:
a.b  a . b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
b  k 
*
+
: a = kb hoặc một trong hai vector bằng 0
✓ Cho hai vector a, b trong mặt phẳng hoặc không gian. Khi đó ta có:
− a . b  a.b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
b  k 
*
−
: a = kb hoặc một trong hai vector bằng 0
BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC
Cho các số phức z1 , z2 khi đó ta có:
z1 + z2  z1 + z2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 = kz2 , k  0
z1 − z2  z1 + z2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 = kz2 , k  0
z1 + z2  z1 − z2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 = kz2 , k  0
z1 − z2  z1 − z2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z1 = kz2 , k  0
Cho các số phức z , z1 , z2 khi đó ta có:
z + z1 + z + z2  z1 − z2
  z + z = k ( z + z ) + ( − z − z ) 
1
1
2 


k  , k  0;1
  z + z = k ( z + z ) + ( − z − z ) 
2
2
1


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  
  z + z2 = 0

  z + z1 = k ( z + z2 ) ( z + z2  0, k  , k  0 )
Cho các số phức z , z1 , z2 khi đó ta có:
(
Nhóm Pi - Group Luyện Đề Thi Thử Nâng Cao ︵✿ρмт‿✿.
)
4
KHÓA PIMAX PLUS – PHẠM MINH TUẤN
z + z1 − z + z2  z1 − z2
  z + z = k ( z + z ) + ( − z − z ) 
1
1
2 


k  , k  ( −; 0   1; + )
  z + z = k ( z + z ) + ( − z − z ) 
2
2
1


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  
  z + z2 = 0

  z + z1 = k ( z + z2 ) ( z + z2  0, k  , k  0 )
(
)
MỘT SỐ ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC
Mỗi số phức, ở khía cạnh đại số, là nghiệm tương ứng duy nhất một tam thức bậc hai monic hệ số thực
có biệt thức âm. Nếu z là nghiệm của f ( x ) = x 2 + ax + b với a, b  và  = a2 − 4b  0 thì nghiệm còn lại
sẽ gọi là liên hợp của nó. Tích hai nghiệm sẽ là b và là một số không âm. Căn bậc hai của b gọi là
module.
Ở khía cạnh hình học, mỗi số phức sẽ là cặp tọa độ của một vector, và độ lớn của vector đó chính là
module.
Module của số phức. Số phức liên hợp:
✓
z = a + bi ( a , b 
) thì module của z là
z = a2 + b2
✓ Số phức liên hợp của z là z = a − bi
z−z
z+z
, phần ảo của z là  =
2
2
4 n+ 3
= −1 , i
= −i với n 
✓ Phần thực của z là  =
✓ i 4 n = 1 , i 4 n +1 = i , i 4 n + 2
✓
z=z
✓
z1 + z 2 = z1 + z2
✓
z1 .z2 = z1 .z2
z  z
✓  1 = 1
 z2  z2
2
✓
z.z = z
✓
z = −z = z
✓
z1 .z2 = z1 . z2
✓
z1
z1
=
z2
z2
✓
z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
✓
z12 + z22 + z12 − z22
✓
z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3
✓
mz1 + nz2 = m2 z1 + n2 z2 + mn z1 z2 + z1 z2 với m, n 
2
2
2
2
1
2
2
2
2
(
= 2( z
✓
z + z1 + z + z2
✓
z1 + z1 =
4
+ z2
2
2
2
2
2
2
)
)
4
2
2
(
2

z1 + z2
z −z
= 2 z +
+ 1 2

2
2

2
2
2
)
và z1 , z2 

 với z , z1 , z2 


z2
z
z1 + 1 z2 với z , z1 , z2  \0
z1
z2
Nhóm Pi - Group Luyện Đề Thi Thử Nâng Cao ︵✿ρмт‿✿.
5
KHÓA PIMAX PLUS – PHẠM MINH TUẤN
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG GẶP
x2 + y 2
với x, y 
2
✓
xy 
✓
(x + y)
xy 
✓
x +y
3
✓
x +y
2
2
với x, y 
4
3
2
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
(x + y)

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
3
với mọi x + y  0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = −y
4
(x + y)

2
với x, y 
2
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
MỘT SỐ HẲNG ĐẲNG THỨC THIẾU HAY DÙNG TRONG ĐỊNH LÝ VIET
✓
✓
✓
✓
x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy
2
( x − y ) = ( x + y ) − 4xy
x + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y )
x + y = ( x + y ) − 2 xy  ( x + y )

 
2
3
3
5
5
2
3
2
3
− 3xy ( x + y )  − ( xy ) ( x + y )

Nhóm Pi - Group Luyện Đề Thi Thử Nâng Cao ︵✿ρмт‿✿.
2
6