ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМА УЧУН ЧЕГАРАВИЙ
МАСАЛА ЕЧИМИНИНГ МАВЖУДЛИГИ ВА ЯГОНАЛИГИ
М.М.Рахимова
ФарДУ
Ушбу мақолада каср тартибли дифференциал ва интеграл
операторлар
қатнашган
иккинчи тартибли
интегро-дифференциал
тенглама учун чегаравий масала ўрганилган.
Масала.
y  x   a D0x y  x   b  x  y  x   c  x  D0x1 y  x  
w  x  y  x   0,
x   0,1
(1)
тенгламанинг 0,1 оралиқда узлуксиз ва
y  0  k1 ,
y 1  k2
(2)
чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин, бу ерда
 ,  , a, k1 , k2 – берилган ҳақиқий сонлар бўлиб, 0   ,   1, a  0;
b  x  , c  x  , w  x  лар эса
0,1
оралиқда аниқланган берилган узлуксиз

функциялар бўлиб, c  x   0, x 0,1 ; D0 x – каср тартибли дифференциал
 1
оператор, D0 x – каср тартибли интеграл оператор [1,2]:
x
x
1
d
1


 1
D0 x y  x  
 x  t  y  t  dt , D0 x y  x  
 x  t  y t  dt .


 1    dx 0
 1    0

(3)
(3) тенгликлардан фойдаланиб (1) интегро-дифференциал тенгламани
қуйидагича ёзишимиз мумкин:
y  x  
x
a
d

 x  t  y  t  dt  b  x  y  x  

 1    dx 0
c  x x


 x  t  y  t  dt  w  x  y  x   0 .

 1    0
Дастлаб қўйилган масала ечимининг ягоналигини текширамиз.
(4)
1-теорема. Агар b  x  , c  x   C1  0,1, a  0, c 1  0, c  x   0,
1 2 b  x   w x   0, x 0,1
шартлар бажарилса, қўйилган масала
биттадан ортиқ ечимга эга бўлмайди.
Исбот. Фараз қилайлик, берилган масала y1  x  ва y2  x  ечимларга
эга
бўлсин.
У
ҳолда
бу
функцияларнинг
айирмасидан
иборат
y  x   y1  x   y2  x  функция (1) тенгламани ва қуйидаги шартларни
қаноатлантиради:
y  0  0,
y 1  0 .
{(1),(5)} масаланинг ечимини топиш
(5)
y  x  га
учун (4) тенгликни
кўпайтирамиз ва x бўйича 0,1 сегментда интеграллаймиз. Сўнгра ҳосил
бўлган
тенгликдаги
y  x 
ва
y  x 
ҳосилалар
иштирок
этган
интегралларни бўлаклаб ва (5) шартларни ҳисобга олсак,
1
  y  x  dx 
2
0
1

1
d x

a


y
t
dt
x

t





 y  x  dx 
 1    0  dx 0

x
1
1

c
x
y
x
dx
y  t  dt   1 2  b  x   w  x   y 2  x  dx  0
x

t








 1    0
0
0
(6)
тенгликка эга бўламиз. (6) ифодадаги иккинчи интегрални 1 билан
белгилайлик. 1 даги x бўйича интегрални бўлаклаб ва
x  t


1

  1 cos  x  t   d ,

    cos   2  0
x
f  x 
m
x

1 d 
f  t  dt 
  f  t  dt 
2 dx  m

2
формулалардан [1] фойдаланиб, 1 ни ушбу кўринишда ёзишимиз мумкин:
1  
a
2    1    cos  2 


0
x

d 

d 
  cos  t  y  t  dt  
dx  0
0


 1
1
2
x

   sin  t  y  t  dt 
0

2

 dx .

x бўйича интегрални бўлаклаб, қуйидаги ифодага эга бўламиз:
1  

a
2    1    cos  2 

 1
0
1

   sin  t  y  t  dt 
0

2
2
 1

  cos  t  y  t  dt  
 0


 d .

(6) тенгликнинг учинчи интегрални 2 билан белгилаб, юқоридаги
ҳисоблашларни бажарсак, қуйидаги ифода ҳосил бўлади:
2 
1

2     1    cos   2 
1

   sin  t  y  t  dt 
0

2

0
2

 1


d c 1   cos  t  y  t  dt  
 0


 1
2
2
 1
 x
 x
  

   c  x    cos  t  y  t  dt     sin  t  y  t  dt   dx  .
 0
 0
 0
  

    0,  1     0, cos  2   0,      0,  1     0, cos   2   0,
a  0, c 1  0, c  x   0 тенгсизликларга асосан охирги ифодадан 1  0 ва
2  0 эканлиги келиб чиқади. 1  0, 2  0 ва 1 2  b  x   w  x   0, x  0,1
тенгсизликларни
эътиборга
олсак,
(6)
тенгликдан
y  x   0 ,
яъни
y  x   const , x 0,1 деган хулосага келамиз. Бундан эса (5) шартларга
асосан
y  x   0 , x  0,1 , яъни y1  x   y2  x  , x  0,1 эканлиги келиб
чиқади. 1-теорема исботланди.
2-теорема. Агар 1-теорема шартлари бажарилса, қўйилган масала
ягона ечимга эга бўлади.
Исбот. (1) тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиб олайлик:
y  x   f  x  , x   0,1
бу ерда f  x   a D0x y  x   b  x  y  x   c  x  D0x1 y  x   w  x  y  x  .
(7)
У ҳолда (7) тенглама учун 0,1 оралиқда қўйилган икки нуқтали чегаравий
масала учун Гильберт теоремасига асосан [2]
1
y  x   k1 1  x   k2 x   G  x, t  f  t  dt , x   0,1
(8)
0
тенглик ўринли бўлади, бу ерда
 x  t  1 , x  t ;
G  x, t   
  x  1 t , x  t.
(8) тенгликда f  x  функция ўрнига унинг ифодасини қўямиз. Сўнгра
ҳосил бўлган тенгликда D0t y  t  ва y  t  иштирок этган интегралларни
бўлаклаймиз ва c  t  функция иштирок этган ҳадда интеграллаш тартибини
ўзгартирамиз. Натижада, баъзи соддалаштиришлардан сўнг
1
y  x    M  x, t  y  t  dt  q  x  , x  0,1
(9)
0
кўринишдаги тенгликка эга бўламиз, бу ерда
q  x   k1 1  x   k2 x 
k1aGt  x,1
,
2   
aG  x,11  t 
M  x, t   t
 G  x, t  b  t  t 
1      2   

1
1


c  z  G  x, z  z  t  dz  G  x, t  w  t  .

 1    t
(9) – y  x  номаълум функцияга нисбатан иккинчи тур Фредгольм
интеграл тенгламаси бўлиб [3], у қўйилган масалага эквивалентдир.
Шунинг учун бу интеграл тенглама ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги
қўйилган масала ечимининг ягоналигидан, яъни 1-теоремадан келиб
чиқади [3].
(9) интеграл тенгламанинг ечими C  0,1  C 2  0,1 синфга тегишли
бўлишини кўрсатиш қийин эмас. 2-теорема исботланди.