TO’RTINCHI TARTIBLI BIR JINSLI BO’LMAGAN TENGLAMA
UCHUN ARALASH MASALA
M.S.Azizov, N.R. Omonboyeva
FarDU o’qituvchisi, FarDU talabasi
   x, t  : 0  x  p,0  t  T  sohada ushbu
uxxxx  utt   4u  f  x, t  ,
(1)
tenglama uchun quyidagi masalani qaraylik. Bu yerda  haqiqiy son.
A masala.  soha chegarasida (1) tenglamasining
u ( x,0)  1( x) , 0  x  p ,
ut ( x,0)  2 ( x) ,
(2)
0 x p
(3)
bоshlang‘ich shartlarni va
chegaraviy

u  0, t    1  t  , 0  t  T ,
(4)
u  p, t    2  t  , 0  t  T ,
(5)
u xx  0, t    3  t  , 0  t  T ,
(6)
uxx  p, t    4  t  ,
(7)
shartlarni

0t T
qanоatlantiruvchi
1  x   i  1,2 ,  j  t  
yechimi
tоpilsin.
Bu
yerda
 j  1,4 berilgan uzluksiz funksiyalar.
Masala yechimining mavjudligi. A - masala yechimini
u  x, t   v  x, t   w  x, t 
(8)
ko‘rinishda qidiramiz. Bu yerda v  x, t  -yangi no’malum funksiya, w  x, t 
yordamchi funksiya bo‘lib uning ko‘rinishi quyidagicha
x
p2
w  x, t    1  t    2  t   1  t   2  4  t    3  t  
p 8

2
 1  cos
p

 p2


2x 
x   2  4  t    3  t    cos x  1 

p
p
 2

(9)
(9) ni almashtirish yordamida A masala v  x, t  funksiyaga nisbatan quyidagi
A1 -masalaga keladi:
A1 -masala.
vxxxx  vtt   4v  f  x, t 
(10)
v( x,0)  3 ( x) , 0  x  p
(11)
vt ( x,0)  4 ( x), 0  x  p ,
(12)
tenglamaning
bоshlang‘ich shartlarni va
v  0, t   0,
0t T ,
(13)
v  p, t   0,
0 t T ,
(14)
vxx  0, t   0,
0t T ,
(15)
vxx  p, t   0,
0t T ,
(16)
chegaraviy shartlarni qanоatlantiruvchi yechimi tоpilsin.
Teorema. Agar
 
f  Cx2,0
,t  ,
f xxx  L2    ,
f x  0, t   f x  p, t   0 va
4
5
3   x   C  0, p  , 3   L2  0, p  funksiyalar
3  0   3  p   0, 3  0   3  p   0,
2
3
shuningdek, 4   x   C  0, p  , 4   x   L2  0, p  , funksiyalar va
4  0   4  p   0,
shartlarni qanoatlantirsa, u holda A1 -masalaning regulyar yechimi mavjud va u
(17) ko`rinishda bo‘ladi.
v  x, t  
2 
  ak cos
p k 1
bu yerda,

4

2 
k x
Tk  t  sin


p k 1
p
  4 t  bk sin

4
k x
  4 t  sin
p


(17)
p
2
k x
ak     3  x  cos
dx , bk 
p
p
 0
Tk  t  

t
1
4  4

p
1

4  4


4

 cos   t   
2
0
2
k x
 p   4  x  cos p dx ,
 0

  4  f n  d

fоrmulalar yordamida aniqlanadi.
Agar (17) ning ikki marta t bo`yicha, x bo`yicha to`rt marta hadlab
differensiyallash mumkin va u tekis yaqinlashuvchi bo`lsa,
u (10)-(16)
masalaning umumiy yechimi bo`ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Отарова Ж.А. Разрешимость и спектральные свойства краевых задач для
уравнений смешанного типа четвертого порядка. Ташкент: Диссертация,
2008. 30 c.
2. Азларов Т., Мансуров.H. Математик анализ. Тошкент: Uзбекистон, 1995.
428~б.
3.Салоҳиддинов
М.С.,
Насритдинов
Ғ.Н.
тенгламалар. Тошкент: Ўқитувчи, 1982. 151~б.
Оддий
дифференциал