Introduction à l’évaluation et couverture des options
Antoine Conze
Hiram Finance
antoine.conze@gmail.com
Master 2 IMSA - Année 2017-2018
Table des matières
1 Marchés et produits financiers
3
1.1
Actifs sous-jacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Les actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Les obligations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Les obligations zéro coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
La courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6
Le compte d’épargne au taux court . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.7
Comparaison entre obligation zéro coupon et compte d’épargne au taux court . . . . .
5
1.8
Prendre une position sur le cours d’un actif : achat financé et vente à découvert . . . .
5
1.9
Les contrats à terme (forwards et futures) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.10 Les options d’achat et de vente (calls et puts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.11 Produits dérivés plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.12 Portefeuille autofinançant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Introduction à l’évaluation et la couverture des options
9
2.1
Prix et couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Absence d’opportunité d’arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Application directe de l’absence d’opportunité d’arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Un modèle simple : le modèle binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5
Rappels sur le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.6
Le modèle de Black, Scholes et Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3 Marchés complets, représentation martingale et probabilité risque neutre
20
3.1
Formalisme en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2
Marché complet et résultat fondamental de l’évaluation des actifs contingents . . . . .
21
3.3
Application : Black, Scholes et Merton revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4
Changement de numéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.5
Quelques mots sur le cas incomplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1
Electroniccopy
copy available
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Electronic
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4 Autour de la formule de Black & Scholes
25
4.1
Taux court non constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2
Dividendes discrets proportionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.3
Options sur change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.4
Options sur commodités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5 Options américaines
26
5.1
Cadre binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Cadre continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
6 Options barrières
28
7 Volatilité locale et volatilité stochastique
30
7.1
Volatilité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
7.2
Volatilité stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
8 Méthodes numériques
33
8.1
Méthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
8.2
Méthodes de discrétisation des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2
Electroniccopy
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1
1.1
Marchés et produits financiers
Actifs sous-jacents
On appelle actifs sous-jacents les instruments financiers de base qui servent de support aux options
ou produits dérivés. Les actifs sous-jacents les plus courants sont :
— les actions ;
— les devises (le change, ou FX pour foreign exchange) ;
— les matières premières (commodités) ;
— les taux d’intérêts (obligations, swaps, etc.).
Les salles de marché sont typiquement organisées en divisions selon cette classification des instruments. Pour l’essentiel on va parler d’options sur actions. On verra ultérieurement dans le cours que les
modèles de valorisation d’options sur actions peuvent facilement se transposer aux options sur change
et sur commodités. Les modèles d’options sur instruments de taux d’intérêts sont plus complexes et
nous ne les aborderons pas ici.
1.2
Les actions
Une action est un titre de propriété d’une part d’une société. Une action verse le plus souvent des
dividendes. Les actions sont échangées à la bourse. A noter que les achats / ventes en bourse sont
typiquement sujets à une règle de règlement / livraison en différé, t + 2 jours sur la plupart des places :
— 1 action reçue
— montant St payé
achat d’une action, prix St
-
t
t+2
Dans les modèles présentés, et la plupart du temps dans la littérature, on fait comme si le règlement
/ livraison était immédiat (règle t + 0).
1.3
Les obligations
Les obligations sont des créances négociables, tels que les emprunts d’état. Une fois émises (marché
primaire) elles s’échangent sur le marché secondaire comme les actions. Typiquement une obligation
verse un coupon périodique et rembourse le principal à maturité.
achat prix Bt
coupon
coupon
1+coupon
t
t1
tN −1
tN
-
1.4
Les obligations zéro coupon
Les obligations dites zéro coupon, qui ne versent pas de coupon mais remboursent juste le principal
à maturité, interviennent fréquemment en finance quantitative. Le prix Bt (T ) d’une obligation zéro
coupon de maturité T > t (remboursement de 1 à maturité) représente la valeur en t d’un flux de 1
en T , et fait ainsi office de facteur d’actualisation. Notons que BT (T ) = 1.
3
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Emprunter à t un montant M sous forme d’obligation zéro coupon pour remboursement à maturité
T revient donc à vendre une quantité M/Bt (T ) d’obligation zéro coupon. De même, prêter à t un
montant M sous forme d’obligation zéro coupon pour remboursement à maturité T revient à acheter
une quantité M/Bt (T ) d’obligation zéro coupon.
Pour terminer, on a souvent recours à la notation
Bt (T ) = e−Yt (T )(T −t)
où T − t est la maturité résiduelle et Yt (T ) est le taux d’intérêt (convention continue).
1.5
La courbe des taux
On appelle courbe des taux (parfois gamme des taux) la courbe des taux d’intérêts par maturité.
Dans le cas de taux d’obligations zéro coupon calculés selon la convention continue 1 il s’agit de la
courbe des Yt (T ) = − ln(Bt (T ))/(T − t) fonction de la maturité T .
On appelle taux instantané ou taux court la limite
rt = lim Yt (T ).
T →t
D’autres conventions de calcul des taux existent, en particulier pour les obligations à coupon
périodique. La figure 1 montre un exemple de courbe des taux pour les OAT (obligations du trésor
français).
Figure 1 – Courbe des taux OAT au 20 septembre 2011 (source Bloomberg)
1.6
Le compte d’épargne au taux court
Supposons que l’on dispose de 1 euro à la date t, que l’on veut placer au taux court ru sur chaque
période infinitésimale [u, u+du] en reconduisant ce placement jusqu’à une date T > t. Soit Vu la valeur
1. La convention continue est simple à manipuler mathématiquement et intervient donc fréquemment dans la modélisation, mais elle n’est pas utilisée sur les marchés.
4
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à u du placement, Vt = 1. Le placement rapporte le taux ru sur la période [u, u + du] donc
Vu+du = Vu (1 + ru du)
ou encore
dVu = Vu+du − Vu = Vu ru du
donc
VT = e
RT
t
ru du
.
En pratique il n’existe évidement pas de produit financier permettant un placement sur une période
infinitésimale. Néanmoins le placement au jour le jour s’en approche et constitue la base de la gestion
de la trésorerie d’une banque.
Emprunter un montant
M au taux court pour remboursement à maturité T conduit donc à remRT
r
u
bourser le montant M e t du à T , qui représente le montant emprunté plus les intérêts capitalisés.
De même prêterR un montant M au taux court pour remboursement à maturité T conduit à recevoir
T
le montant M e t ru du à T , qui représente le montant prêté plus les intérêts capitalisés.
1.7
Comparaison entre obligation zéro coupon et compte d’épargne au taux court
Supposons que l’on dispose de 1 euro à la date t que l’on souhaite placer soit en obligation zéro
coupon de maturité T , soit en compte d’épargne au taux court jusqu’à cette même date T .
1. cas du placement en zéro coupon :
— à t son prix est Bt (T ), pour 1 euro on en achète une quantité 1/Bt (T ) ;
— à T son prix est BT (T ) = 1, le placement vaut VT1 = (1/Bt (T )) × BT (T ) = 1/Bt (T ) ;
2. cas du placement au compte d’épargne :
— à t on place 1 euro ;
RT
— à T le placement vaut VT2 = e t ru du à T ;
Dans le premier cas le placement est sans risque car sa valeur VT1 à T est connue dès la date t.
Dans le deuxième cas la valeur VT2 à T n’est pas connue à t car {ru } est un processus stochastique.
Notons que si l’on suppose que {ru } est déterministe - par exemple constant comme dans le modèle
de Black & Scholes que l’on étudiera plus loin - alors VT2 est connu dès la date t. Sous l’hypothèse
d’absence d’opportunité d’arbitrage que l’on verra également plus loin, les deux placements qui sont
sans risque doivent rapporter la même chose, et on a alors VT2 = VT1 , soit encore dans le cas constant
r = Yt (T ) .
1.8
Prendre une position sur le cours d’un actif : achat financé et vente à découvert
Soit un actif (par exemple une action) de prix à t noté St . Soient deux dates t0 et t1 > t0 .
Position à la hausse - achat financé considérons l’opération suivante :
— à t0 :
— on emprunte un montant de cash égal à St0 , au taux court ;
— on achète dans le marché une quantité 1 de l’actif à son prix St0 ;
— à t1 :
— on vend l’actif dans le marché à son prix St1
— on rembourse St0 e
R t1
t0
ru du
(cash emprunté et intérêts capitalisés).
A t1 notre profil de gain / perte (en anglais PnL pour Profit and Losses) est St1 − St0 e
— si St1 > St0 e
— si St1 < St0 e
R t1
ru du
, on a effectué un gain sur l’opération ;
R t1
ru du
, on a effectué une perte sur l’opération.
t0
t0
5
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R t1
t0
ru du
.
On a ainsi pris une position à la hausse sur le cours (le prix) de l’actif : on gagne lorsque le cours
R t1
en t1 de l’actif est plus haut que St0 e t0 ru du , on perd si le cours final est plus bas. On parle aussi de
position longue (en anglais « long position »).
Alternativement on peut emprunter le cash sous forme d’emprunt zéro-coupon : le remboursement
en t1 est alors
Bt (t1 )
St0
St0 × 1
=
Bt0 (t1 )
Bt0 (t1 )
et le profil de gain / perte est St1 − St0 /Bt0 (t1 ).
Position à la baisse - vente à découvert
on veut à présent prendre une position
symétrique de la
R
t1
précédente, c’est à dire qui nous fasse gagner si le cours en t1 est plus bas que St0 e t0 ru du , et qui nous
fasse perdre sinon. Pour cela on doit passer par la vente à découvert (appelée en anglais « short
sale ») : celle ci consiste à emprunter le titre qu’on ne possède pas et à le vendre pour par la suite le
racheter dans le marché et le rendre à son propriétaire. Concrètement :
— à t0 :
— on emprunte une quantité 1 de l’actif auprès de quelqu’un (une banque, etc.) qui le possède,
puis on le vend dans le marché à son prix St0 ;
— et on place le montant en cash de la vente St0 au taux court ;
— à t1 :
— on rachète dans le marché une quantité 1 de l’actif à son prix St1 que l’on rend au prêteur
du titre ;
R
— et le cash résultant du placement au taux court est St0 e
R t1
A t1 notre profil de gain / perte est donc St0 e
— si St1 < St0 e
R t1
ru du
R t1
ru du
t0
t0
ru du
t1
t0
ru du
.
− St1 . A présent,
, on a effectué un gain sur l’opération ;
— si St1 > St0 e t0
, on a effectué une perte sur l’opération.
On a ainsi pris une position
à la baisse sur le cours de l’actif : on gagne lorsque le cours en t1 de l’actif
R
t1
est plus bas que St0 e t0 ru du , on perd si le cours final est plus haut. On parle aussi de position courte
(en anglais « short position »).
Alternativement, comme pour l’achat financé, on peut placer le cash en zéro coupon. Le profil de
gain / perte est alors St0 /Bt0 (t1 ) − St1 .
Comme on le verra plus loin la possibilité de vente à découvert est cruciale pour la valorisation des
options. En effet c’est elle qui nous permet de construire mathématiquement des portefeuilles d’actifs
dans lesquels les quantités d’actifs peuvent être soit positives (positions à la hausse) soit négatives
(positions à la baisse).
En pratique la plupart des marchés d’actions autorisent la vente à découvert, mais des restrictions
peuvent être mises en place par les autorités en cas de risque spéculatif à la baisse.
1.9
Les contrats à terme (forwards et futures)
Les contrats à terme sont les produits dérivés les plus simples. Il s’agit de contrats négociés à une
date donnée et portant sur le règlement / livraison d’un sous jacent à une date ultérieure. D’abord
développés sur les marchés de matières premières, en particulier agricoles, ils portent aujourd’hui sur
toute sortes de sous-jacents y compris les actions. Dans le cas d’un contrat forward de maturité T
et de prix Ft (T ) à t, il n’y a aucun flux jusqu’à T , date à laquelle est échangée le sous-jacent contre
un montant Ft (T ).
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— sous-jacent reçu ;
— montant Ft (T ) payé.
Prix forward Ft (T )
-
t
T
Notons que techniquement, du fait du règlement / livraison différé, les achats / ventes en bourse
sont des contrats forward avec par exemple T = t + 3. Cependant lorsque l’on parle de contrats à
terme on a généralement en tête des maturités plus longues.
Analyse du gain / perte (en anglais PnL pour Profit and Losses) : le gain / perte pour l’acheteur
du contrat est ST − Ft . Autrement dit,
— si ST > Ft (T ) l’acheteur fait un gain ;
— si ST < Ft (T ) l’acheteur fait une perte.
Et bien sur symétriquement pour le vendeur. Les applications du contrat à terme sont :
— la couverture (hedge en anglais) : par exemple un industriel européen qui compte vendre dans
le futur sa production aux États Unis et craint une baisse du dollar par rapport à l’euro peut
dès a présent rentrer dans un contrat forward de devises dans lequel il vend à terme des dollars
en euro, à un prix connu aujourd’hui ;
— et aussi bien sur la spéculation : un contrat à terme permet à un agent de parier (à la hausse
ou à la baisse) sur l’évolution future du cours d’un sous-jacent.
On notera au passage que la spéculation des uns peut être utile à la couverture des autres. En effet la
contrepartie de notre industriel sera peut être un spéculateur qui parie sur une hausse du dollar contre
l’euro. L’industriel a transféré son risque vers le spéculateur.
En pratique les contrats de type futures sont plus courant que les contrats de type forwards, la
différence étant que les futures sont soumis à un mécanisme d’appel de marges qui permet de supprimer
le risque de contrepartie (le risque que l’une des parties ne remplisse pas ses obligations de paiement).
1.10
Les options d’achat et de vente (calls et puts)
Les options d’achat et de vente sont les produits dérivés (également appelés actifs contingents)
de payoffs non linéaires 2 les plus simples et les plus courants. Une option est un contrat entre deux
parties, la contrepartie acheteuse de l’option et la contrepartie vendeuse de l’option.
Une option d’achat (call) donne le droit (mais pas l’obligation) à la contrepartie acheteuse
d’acheter à la contrepartie vendeuse l’actif sous-jacent (e.g. une action) à la date d’échéance à un prix
convenu à l’avance (le prix d’exercice, ou strike). Notons T la date d’échéance, K le prix d’exercice,
et ST le cours du sous-jacent à l’échéance. Le payoff à T pour l’acheteur est (ST − K)+ . En effet, à T
— si ST > K l’acheteur a intérêt à exercer l’option puisque il paye K et reçoit le sous-jacent qu’il
peut revendre ST , faisant ainsi un profit ST − K ;
— si ST ≤ K l’acheteur n’a pas intérêt à exercer l’option puisque il payerait le sous-jacent plus
cher que son cours de marché.
Pour obtenir ce droit, l’acheteur achète au départ l’option, pour un montant appelé la prime.
— si ST > K, sous-jacent reçu, K payé ;
— si ST ≤ K, rien
⇒ Payoff = (ST − K)+
Prime payée
-
t
T
2. au sens où le payoff n’est pas une fonction affine du sous-jacent, contrairement aux contrats à terme.
7
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Une option de vente (put) donne le droit (mais pas l’obligation) à la contrepartie acheteuse de
vendre à la contrepartie vendeuse l’actif sous-jacent à la date d’échéance à un prix convenu à l’avance.
Avec les mêmes notations que précédemment le payoff à T pour l’acheteur est (K − ST )+ .
— si ST < K, sous-jacent vendu, K reçu ;
— si ST ≥ K, rien
⇒ Payoff = (K − ST )+
Prime payée
-
t
T
Lorsque le droit n’est exerçable qu’à maturité T l’option est dite européenne. Lorsque le droit est
exerçable à toute date jusqu’à et y compris la maturité l’option est dite américaine. Dans certains
cas le paiement en cash du payoff sera préféré à la livraison physique du sous-jacent. On parle alors
d’option à cash settlement.
On peut voir les options comme des contrats d’assurance sur le sous-jacent : l’assurance de pouvoir
l’acheter dans le futur à un prix maximum dans le cas de l’option d’achat, l’assurance de pouvoir le
vendre à un prix minimum dans le cas de l’option de vente. La différence avec l’activité d’assurance
traditionnelle est que celle ci gère le risque par diversification, alors que comme on le verra plus loin,
les banques procèdent à une couverture des produits dérivés qu’elles émettent.
1.11
Produits dérivés plus complexes
Toutes sortes de formule de payoffs existent. Beaucoup ne dépendent pas que de la valeur du sousjacent à la date d’exercice mais de tout l’historique des prix depuis l’émission de l’option. On citera
entre autres
— les options asiatiques : payoff du type (moyennet∈[0,T ] St − K)+ ;
— les options lookback : payoff du type (maxt∈[0,T ] St − K)+ ;
— les options barrière : payoff du type (ST − K)+ 1maxt∈[0,T ] St <H ;
1.12
Portefeuille autofinançant
On appelle portefeuille autofinançant (ou stratégie autofinançante) la valeur d’une stratégie
dynamique d’investissement (achat / vente du sous-jacent, prêts ou emprunts) dont la valeur n’est pas
modifiée par l’ajout ou le retrait de cash jusqu’à la maturité. Cette notion interviendra plus loin de
manière cruciale dans la définition de la couverture d’un produit dérivé.
Exemple : on dispose d’un montant initial v0 = 10. A t = 0 on veut acheter une action qui vaut 100.
On emprunte donc 90 à un taux de 5%. A t = 1 l’action vaut 110, et l’on doit à présent 90×1.05 = 94.5
au prêteur. le portefeuille vaut alors v1 = 110−94.5 = 15.5. On veut alors acheter une deuxième action,
on emprunte donc 110 de plus (toujours à un taux de 5%). A t = 2 l’action vaut 112, et l’on doit
(94.5 + 110) × 1.05 = 214.725. Le portefeuille vaut alors v2 = 2 × 112 − 214.725 = 9.275. On peut
alors liquider le portefeuille, pour un montant égal à v2 . Ce portefeuille est autofinançant. En effet
le cash emprunté (plus les intérêts accrus) est toujours comptabilisé comme montant dû jusqu’à la
liquidation.
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2
2.1
Introduction à l’évaluation et la couverture des options
Prix et couverture
L’idée fondamentale est la suivante : supposons que l’on puisse constituer un portefeuille autofinançant qui reproduise le payoff de l’option à maturité. On appelle un tel portefeuille une couverture
de l’option. Supposons de plus que le coût (la valeur initiale) de cette couverture est unique. Alors la
valeur de l’option est égale au coût de la couverture.
2.2
Absence d’opportunité d’arbitrage
La formulation de l’absence d’opportunité d’arbitrage est la suivante : il n’existe pas de portefeuille
autofinançant de valeur initiale zéro et de valeur finale positive et non identiquement nulle. Autrement
dit il n’est pas possible de gagner de l’argent à coup sur à partir d’un investissement nul.
Dans une formulation alternative sous forme d’unicité des prix (on montre que les deux formulations sont équivalentes, voir par exemple les travaux de Harrison et Kreps [HK79] ou Harrison et
Pliska [HP81]), on dit que il y a absence d’opportunité d’arbitrage lorsque que deux portefeuilles
autofinançants aient la même valeur terminale entraine qu’ils aient la même valeur initiale.
Dans la modélisation financière, et en particulier lorsque elle traite de produits dérivés, l’hypothèse
d’absence d’opportunité d’arbitrage sur le marché considéré est couramment retenue. Cette hypothèse
se justifie par le fait que dans un marché liquide, si une opportunité d’arbitrage existe, des agents (des
« arbitragistes ») vont profiter de cette possibilité, ce qui va très rapidement faire décaler les prix à
un niveau où l’opportunité d’arbitrage disparait.
Exemple : T > 0 et il existe deux actifs de prix A1t et A2t à t tels que A10 < A20 et que on soit assuré
que A1T = A2T . Alors les « arbitragistes » achètent le premier actif et vendent le second, réalisant ainsi
un profit immédiat pour un risque nul. Ceci entraine une forte demande à l’achat pour le premier et
à la vente pour le second, ce qui fait monter le premier et baisser le second jusqu’à ce que les prix
s’équilibrent.
2.3
Application directe de l’absence d’opportunité d’arbitrage
Pour souligner l’importance de l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage, on va obtenir grâce
à cette hypothèse et sans référence à aucun modèle des relations entre prix dans quelques cas simples.
Prix d’un forward. Soit St le cours d’un sous-jacent qui ne verse pas de dividendes et Ft (T ) le prix
d’un contrat forward de maturité T sur ce sous-jacent. On considère les deux stratégies suivantes :
1. — on entre dans un contrat forward en t ; en t aucun payement, cette stratégie ne nécessite
donc aucun montant initial, et a une valeur initiale nulle ;
— en T la valeur de cette stratégie est son payoff ST − Ft (T ) ;
2. — achat en t d’une unité du sous-jacent, prix unitaire St , et vente de Ft (T ) zéro coupon, prix
unitaire Bt (T ) ; cette stratégie a comme valeur initiale St − Ft (T )Bt (T ), qui est le montant
initial requis ;
— en T la valeur de cette stratégie est ST − Ft (T )BT (T ) = ST − Ft (T ).
Les deux stratégies ont la même valeur en T et ce quel que soit le cours du sous-jacent ST . Par absence
d’opportunité d’arbitrage elles doivent avoir la même valeur en t, donc
Ft (T ) =
St
.
Bt (T )
9
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Relation de parité Call-Put. Considérons un call et un put (européens) de prix respectivement
ct et pt , toujours sur un sous-jacent qui ne verse pas de dividendes. On considère les deux stratégies :
1. — en t achat d’un call et vente d’un put, valeur ct − pt ;
— en T payoff (ST − K)+ − (K − ST )+ = ST − K ;
2. — en t achat d’une unité du sous-jacent, prix unitaire St , et vente de K zéro coupon, prix
unitaire Bt (T ) ; cette stratégie a comme valeur initiale St − KBt (T ), qui est le montant
initial requis ;
— en T la valeur de cette stratégie est ST − KBT (T ) = ST − K.
On en déduit puisque les deux stratégies ont la même valeur en T que
ct − pt = St − KBt (T ).
En particulier lorsque K = St /Bt (T ) = Ft (T ) (les options sont alors dites à la monnaie forward)
on a ct = pt . Lorsque K < Ft (T ) (call dans la monnaie forward et put en dehors de la monnaie
forward) on a ct > pt , et inversement lorsque K > Ft (T ).
2.4
Un modèle simple : le modèle binomial
On aborde à présent l’évaluation des actifs contingents avec un modèle très illustratif, le modèle
binomial. On considère un modèle à une période et deux états du monde pour décrire l’évolution du
sous-jacent. A t = 0 le prix du sous-jacent est S0 . A t = T le prix ST peut prendre deux valeurs, une
valeur à la hausse (up) STU = S0 U avec une probabilité p, et une valeur à la baisse (down) STD = S0 D
avec une probabilité 1−p où 0 < D < U et 0 < p < 1 sont des données du modèle. On note B0 = B0 (T )
la valeur en t = 0 du zéro coupon de maturité T .
S U = S0 U
T
p
S0 H
HH1 − p
HH
H STD = S0 D
-
t=0
t=T
Implications de l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage. Remarquons que l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage impose la restriction D < 1/B0 < U . En effet, si 1/B0 ≤
D < U , la stratégie achat du sous-jacent financé par une vente de zéro coupon (valeur initiale 0) a
comme valeur terminale S0 U − S0 /B0 > 0 dans l’état up et S0 D − S0 /B0 ≥ 0 dans l’état down et
l’hypothèse est contredite. De même, si D < U ≤ 1/B0 , la stratégie vente à découvert et achat de zéro
coupon avec le produit de la vente (valeur initiale 0) a comme valeur terminale S0 /B0 − S0 U ≥ 0 dans
l’état up et S0 /B0 − S0 D > 0 dans l’état down ce qui de nouveau contredit l’hypothèse.
Couverture. On considère une option de payoff f (ST ) en T . On recherche une stratégie de couverture donnant lieu à un portefeuille autofinançant qui reproduise le payoff dans les deux états du
monde en T . Soit ϕ la quantité d’actions et ψ la quantité de zéro-coupon dans le portefeuille . La
valeur initiale du portefeuille est v0 = ϕS0 + ψB0 . La valeur finale est vT = ϕST + ψ. Pour que l’option
soit couverte dans les deux états du monde en T il faut que
ϕSTU + ψ = f (STU )
ϕSTD + ψ = f (STD )
10
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(1)
formant un système de deux équations à deux inconnues, qui a pour solution
ϕ =
ψ =
f (S0 U ) − f (S0 D)
S0 (U − D)
U f (S0 D) − Df (S0 U )
.
U −D
On note que selon que f (S0 U ) > f (S0 D) ou f (S0 U ) < f (S0 D), la quantité d’actions ϕ peut être
positive ou négative, ce dernier cas correspondant à une vente à découvert, d’où la nécessité de l’hypothèse d’un marché dans lequel on peut « shorter ». On obtient alors comme prix de l’option, égale
par absence d’arbitrage à la valeur initiale du portefeuille de couverture
1/B0 − D
U − 1/B0
f (S0 U ) +
f (S0 D)
v0 = B0
U −D
U −D
= B0 [p∗ f (S0 U ) + (1 − p∗ )f (S0 D)]
avec
1/B0 − D
.
U −D
On voit alors que le prix de l’option s’écrit comme l’espérance actualisée de son payoff, espérance
calculée avec une nouvelle probabilité p∗ , différente de la probabilité « historique » 3 . En effet on a
0 < p∗ < 1, donc p∗ s’interprète bien comme une probabilité. On l’appelle la probabilité risque
neutre. Pourquoi risque neutre ? On vérifie facilement que
p∗ =
S0 = B0 [p∗ S0 U + (1 − p∗ )S0 D] ,
ce qui signifie que St /Bt (T ) est une martingale sous p∗ . En termes financiers, sous la probabilité
risque neutre, le rendement espéré du sous-jacent risqué est égal au taux d’intérêt sans risque sur la
période (le taux du zéro-coupon). Remarquons d’ailleurs que le prix actualisé de l’option vt /Bt (T ) (en
posant vT = f (ST )) est par construction également une martingale sous p∗ .
On touche ici au résultat fondamental de la finance quantitative, que l’on verra dans un cadre
plus général dans la section 3 : sous hypothèses de complétude du marché, pour valoriser un produit
dérivé, on se place sous la probabilité risque neutre et on calcule l’espérance actualisée de son payoff.
Qu’entend-on par complétude ? brièvement, car on discutera de ce concept plus loin, il s’agit de la
possibilité de trouver une couverture à tout payoff. Supposons par exemple qu’au lieu de notre modèle
binomial on ait supposé non pas deux mais trois états du monde possibles en T . Alors (1) serait un
système de trois équation à deux inconnues, sans solution. On voit ainsi que cette notion de complétude
du marché relie la « dimension » du risque au nombre d’instruments sous-jacents disponibles pour la
couverture.
Extension du modèle binomial au cas de plusieurs périodes. On étend facilement le modèle
à une période à un modèle multipériodes. Il s’agit alors du modèle dit de Cox, Ross et Rubinstein
(CRR) développé par ses auteurs dans [CRR79]. Considérons le modèle dans lequel les noeuds de
l’arbre binomial se recombinent :
3. historique au sens où elle est généralement estimée sur un historique des prix du sous-jacent. On parle aussi de
probabilité subjective.
11
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S0 U U U
S0 U U HH
HH
S0 U
S DU U
∗
HH 0
p H
H
HH S0 DU
HH
S0 H
HH
∗
HH1 − p
HH
S DDU
H S0 D
HH
HH 0
HH
H
HHS0 DD
H
H
HH
HH S0 DDD
H
-
t=0
t = δt
t = 2δt
t = 3δt
avec δt = T /N pour un modèle à N périodes de maturité T . On note B = e−rδt le zéro coupon sur
une période, en supposant le taux r constant. On note (i, k) le noeud correspondant à la valeur du
cours Si,k = S0 U i Dk−i à la date kδt. On note vi,k la valeur de l’option en ce noeud. A maturité on a
bien sur
vi,N = f (Si,N ).
Supposons connues les valeurs de l’options vi,k+1 à la date (k + 1)δt. On applique le modèle à une
periode d’origine le noeud (i, k) et on obtient la récursion
vi,k = B[p∗ vi+1,k+1 + (1 − p∗ )vi,k+1 ].
(2)
Cette récursion conduit à la formule d’évaluation
v0 = e−rT
N
X
i=0
N!
p∗ i (1 − p∗ )N −i f (S0 U i DN −i ).
i!(N − i)!
(3)
Notons que cette méthode a consisté à emboiter des espérances conditionnelles en reculant dans le
temps. Il s’agit en fait de la version discrète de l’équation de Kolmogorov rétrograde. Alternativement
on peux procéder en avançant dans le temps, ce qui correspond à l’équation de Fokker-Planck. On
obtient alors facilement que la probabilité risque neutre d’arriver au noeud (i, N ) est
i ∗i
CN
p (1 − p∗ )N −i =
N!
p∗ i (1 − p∗ )N −i
i!(N − i)!
d’où de nouveau la formule (3) et le calcul de v0 comme espérance du payoff final sous la probabilité
risque neutre, sur lequel on reviendra dans le cadre général de la section 3. On remarque au passage
un point important : (2) se réécrit
vi,k e−kδt = p∗ vi+1,k+1 e−(k+1)δt + (1 − p∗ )vi,k+1 e−(k+1)δt ,
i.e. le prix actualisé de l’option {v.,k e−kδt } est une martingale sous p∗ .
Convergence. Pour finir notons que si l’on prend p =
U
1
= e(α− 2 σ
D = e
1
2
2 )δt+σ
(α− 21 σ 2 )δt−σ
et U et D de la forme
√
√
δt
δt
12
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alors E[(St+δt − St )/St ] ≈ αδt et var[(St+δt − St )/St ] ≈ σ 2 δt lorsque N → ∞, et le modèle binomial
converge vers le brownien géométrique sous-jacent au modèle de Black, Scholes et Merton qui sera
présenté dans la section 2.6 (convergence bien connue d’une marche aléatoire vers le mouvement
brownien).
2.5
Rappels sur le mouvement brownien
Le mouvement brownien (également appelé processus de Wiener) est un type de processus stochastique introduit par le botaniste Robert Brown [Bro28] en 1828 pour décrire le mouvement aléatoire
d’une particule dans un fluide et par Louis Bachelier [Bac00] en 1900 pour la finance. Il a ensuite été
étudié rigoureusement par Norbert Wiener [Wie23] en 1923. Pour un exposé en détail on pourra lire
le chapitre 3 de [LL97]. On se contentera ici de faire un bref rappel des notions couramment utilisées
en finance quantitative.
Soit T > 0 un horizon et {Wt } un mouvement brownien sur un espace de probabilité (Ω, F, P ).
Ses propriétés qui nous intéressent sont :
— {Wt } est un processus markovien à accroissements indépendants et stationnaires ;
— {Wt } une martingale : E[Wt |Fs ] = Ws , s < t ;
— Wt − Ws , s < t est indépendant de Fs et suit une loi normale, de moyenne 0 et de variance t − s.
Le résultat suivant nous sera très utile :
Théorème (Girsanov). Soit un mouvement brownien standard {Wt } sur un espace de probabilité
RT
(Ω, F, P ), W0 = 0, Ft = σ(Ws , s ≤ t). Soit {θt } un processus adapté, de carré intégrable i.e. 0 θt2 dt <
∞ p.s., et tel que
Rt
R
1 t 2
θ
dW
s
−
−
s
2
0 θs ds
Z =e 0
t
RT
2
soit une martingale sous P (c’est le cas dès que la condition de Novikov E[e 0 θt dt ] < ∞ est satisfaite,
et en particulier lorsque θt = θ est constant). Soit Q la mesure de probabilité définie par sa dérivée de
Rt
dQ
Radon 4
= ZT . Alors W̃t = Wt + 0 θs ds est un brownien standard sous Q.
dP
Un point important : le passage de la probabilité P à la probabilité Q modifie le terme de dérive
mais pas le terme de volatilité. En effet la dérive (le drift) de dW̃t est θs dt sous P et est nulle sous Q
(on a EP [dW̃t |Ft ] = θt dt et EQ [dW̃t |Ft ] = 0), tandis que la variance de dW̃t est dt à la fois sous P et
sous Q (on a varP [dW̃t |Ft ] = varQ [dW̃t |Ft ] = dt).
On appelle processus de diffusion un processus {Xt } satisfaisant à l’équation différentielle stochastique (EDS)
dXt = αt dt + σt dWt
R
où {αt } et {σt } sont adaptés à F et en imposant comme condition que (|αt | + σt2 )dt < ∞ p.s. Le
résultat suivant nous sera également très utile :
Lemme (Itô). Soit (x, t) → f (x, t) une fonction C 2 en x et C 1 en t. Alors
df (Xt , t) =
où hXit =
Rt
0
∂f
1 ∂2f
∂f
(Xt , t)dXt +
(Xt , t)dhXit +
(Xt , t)dt
2
∂x
2 ∂x
∂t
σs2 ds est la variation quadratique de {Xt }.
On peut retenir le lemme d’Itô en effectuant un développement limité à l’ordre 2 et en appliquant
la « table de multiplication d’Itô » :
dWt
dt
dWt
dt
0
dt
0
0
4. pour tout événement A on calcule Q(A) comme Q(A) = EP [ZT 1A ]. On en déduit en particulier que pour toute
variable aléatoire Y FT mesurable on a EQ [Y |Ft ] = EP [ZT Y |Ft ]/Zt .
13
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Cette règle se généralise d’ailleurs au cas multidimensionnel
dWti
dWtj
dt
dWti
dt
ρi,j dt
0
dWtj
ρi,j dt
dt
0
dt
0
0
0
où ρi,j est la corrélation entre dWti et dWtj .
Pour terminer cette section on parlera brièvement de l’équation de Kolmogorov. Soit {Xt } satisfaisant à
dXt = α(Xt , t)dt + σ(X, t)dWt
et U (X, t) = E[f (XT ) | Xt = X]. Alors U est solution de l’équation aux dérivées partielles dite de
Kolmogorov rétrograde
∂U
∂U
1
∂2U
(x, t) + α(x, t)
(x, t) + σ(x, t)2 2 (x, t) = 0
∂t
∂x
2
∂x
U (x, T ) = f (x).
Cette équation est très importante car elle fait le lien entre le calcul stochastique et les méthodes
d’analyse numérique (différences finies, etc.) couramment employées en finance quantitative.
2.6
Le modèle de Black, Scholes et Merton
Le modèle de Black & Scholes [BS73] et Merton [Mer73] est un modèle à temps continu qui
suppose que les rendements du sous-jacent suivent un mouvement brownien. Paru quelques mois
plus tard que celui de Black & Scholes, l’article de Merton est un peu plus général au sens où en
travaillant directement avec les prix forwards il ne nécessite pas l’hypothèse d’un taux court constant
ou déterministe. Ici on se restreindra à la formulation de Black & Scholes, qui pourra facilement être
généralisée en utilisant la méthodologie de la section 3.
Spécification du modèle. On considère un mouvement brownien standard {Wt } sur un espace
de probabilité (Ω, F, P ), W0 = 0, Ft = σ(Ws , s ≤ t), et on suppose que le cours du sous-jacent suit
l’équation différentielle stochastique (EDS)
dSt
= αdt + σdWt
St
(4)
où α est le terme de dérive (drift) et σ le terme de volatilité. En d’autres termes les rendements du
sous-jacent sont supposés indépendants et gaussiens de moyenne αdt et de variance σ 2 dt. L’application
directe du lemme d’Itô montre que L’EDS (4) a pour solution
1 2
St = S0 e(α − 2 σ )t + σWt .
Le processus {St } est un brownien géométrique. Les figures 2 et 3 montrent respectivement un exemple
d’historique de cours d’action et des exemples de trajectoires d’un brownien géométrique. On voit une
grande similarité entre les deux, avec le caveat que la modélisation par un brownien est peu capable de
rendre compte des grands mouvements (e.g. fin de l’été 2011 pour le cours de l’action) des cours. On
discutera plus loin des limites du modèle de Black, Scholes et Merton, et de son amélioration à travers
d’autres modèles. Il reste néanmoins incontournable et toujours couramment employé 5 , notamment
car il se prête très bien aux calculs.
5. Le consensus parmi les professionnels - analystes quantitatifs et traders - est que mieux vaut un modèle faux mais
simple, dont l’on comprend bien les limites, et de paramètres faciles à interpréter et « stresser », que un modèle complexe
de paramètres difficilement interprétables. Voir par exemple avec une touche qui se veut humoristique le « manifeste des
quants » [DW09].
14
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On suppose de plus que le taux d’intérêt court (taux d’intérêt portant sur une période t à t + dt)
r est constant, et que le sous-jacent verse un dividende continu de taux constant q. Enfin, on fait
l’hypothèse d’un marché liquide, sans coûts de transactions, sans opportunité d’arbitrage, et dans
lequel on peut vendre à découvert le sous-jacent.
Figure 2 – Cours de l’action PPR juillet et aout 2011 (source Bloomberg)
Approche par EDP et portefeuille de couverture. Soit une option européenne de payoff f (S)
à maturité T . On suppose qu’il existe un portefeuille autofinançant de valeur Vt = ϕt St + ψt , résultant
d’un montant initial V0 et d’une stratégie dynamique de couverture {(ϕt , ψt )} formant un processus
prévisible, où ϕt désigne la quantité d’action détenues (ou vendues à découvert selon le cas) et ψt la
quantité de cash prêtée ou
selon le cas. Pour la suite on supposera satisfaite la condition
R Tempruntée
2
technique d’intégrabilité 0 (ϕt St ) dt < ∞ p.s. La condition d’autofinancement s’écrit
dVt = ϕt (dSt + qSt dt) + ψt rdt.
(5)
En toutes lettres cela signifie que puisque il n’y a pas ajout ou retrait de cash dans le portefeuille,
la variation de sa valeur est due à la variation de valeur du sous-jacent, plus les dividendes reçus ou
payés, plus l’intérêt reçu ou payé sur le cash.
On suppose à présent que la valeur Vt peut s’écrire Vt = V (S, t), qui par absence d’arbitrage est le
prix de l’option puisque Vt est supposé être un portefeuille de couverture. Par le lemme d’Itô on a
dVt =
∂V
∂V
1
∂2V
(St , t)dt +
(St , t)dSt + σ 2 St2 2 (St , t)dt
∂t
∂S
2
∂S
(6)
Combinant (5) et (6), et puisque ψt = Vt − ϕt St , on obtient
∂V
1 2 2 ∂2V
∂V
(St , t) − ϕt dSt +
(St , t) − ϕt St (q − r) + σ St
(St , t) − rVt dt = 0.
∂S
∂t
2
∂S 2
Pour que cette équation soit satisfaite il nous faut annuler simultanément les termes en dSt et en dt,
ce qui conduit à
∂V
ϕt =
(St , t)
(7)
∂S
15
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Figure 3 – Exemples de trajectoires d’un brownien géométrique
180.00
160.00
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
et à l’équation aux dérivées partielles (EDP)
∂V
1
∂2V
∂V
(S, t) + (r − q)S
(S, t) + σ 2 S 2 2 (S, t) − rV (S, t) = 0
∂t
∂S
2
∂S
(8)
avec bien sur la condition terminale V (S, T ) = f (S).
L’équation (7) s’interprète comme la couverture en delta, ou delta hedging : pour couvrir
l’option, c’est à dire pour annuler le risque lié aux fluctuations du sous-jacent, il faut que le portefeuille
de couverture contienne à tout instant une quantité de sous-jacent égale à la sensibilité du prix de
l’option au cours de son sous-jacent.
Notons à présent un point essentiel : l’EDP (8), qui s’apparente à l’équation de Kolmogorov rétrograde mentionnée en 2.5, ne fait pas apparaitre le terme de dérive α, mais à la place le terme r − q.
En fait, tout se passe comme s’il on avait travaillé en supposant que le terme de dérive de {St } était
non pas α mais r − q, c’est à dire en se plaçant sous la probabilité risque neutre, notion dont on a déjà
parlé dans le cas du modèle binomial de la section 2.4. On reviendra plus rigoureusement sur cette
notion dans la section 3. L’important est de retenir que la couverture de l’option annule la tendance
du marché (le terme α de dérive du processus) et que le prix de l’option n’en dépend donc pas. Ceci
signifie qu’il n’est pas nécessaire de l’estimer pour spécifier le modèle quantitativement.
On voit par contre que le terme de volatilité σ, qui mesure l’amplitude des fluctuations du sousjacent, intervient dans l’EDP d’évaluation. L’estimation de σ est un problème crucial sur lequel on
reviendra plus loin.
1
Formule de Black & Scholes Posons à présent S(x, t) = S0 e(r−q− 2 σ
L’EDP (8) se ramène à l’équation de la chaleur
2 )t+σx
et Ṽ (x, t) = e−rt V (S(x, t), t).
∂ Ṽ
1 ∂ 2 Ṽ
(x, t) +
(x, t) = 0
∂t
2 ∂x2
avec comme condition terminale Ṽ (x, T ) = f˜(x) = e−rT f (S(x)). On sait des propriétés de l’équation
de la chaleur que la solution s’écrit comme intégrale de la densité gaussienne de moyenne x et d’écart
16
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type
√
T − t contre la condition terminale, soit
Z +∞
2
1 (u−x)
1
Ṽ (x, t) =
f˜(u) p
e− 2 T −t du.
2π(T − t)
−∞
Dans le cas d’un call de payoff f (S) = (S − K)+ on obtient après intégration la célèbre formule de
Black & Scholes pour le prix de l’option à t = 0
c = e−rT (F0 N (d1 ) − KN (d2 ))
(9)
où N (.) est la fonction de répartition de la loi normale et
F0 = S0 e(r−q)T
ln(F0 /K) + 21 σ 2 T
√
d1 =
σ T
√
d2 = d1 − σ T .
Dans le cas d’un put de payoff f (S) = (K − S)+ on obtient, avec les mêmes notations,
p = e−rT (KN (−d2 ) − F0 N (−d1 )) .
(10)
Notons au passage qu’on retrouve bien la relation de parité call-put.
Lien entre EDP et probabilité risque neutre. Considérons
Rt
R
1 t 2
θ
dW
s
−
−
s
2
0
0 θs ds
Zt = e
avec
α − (r − q)
,
σ
et soit P ∗ la mesure de probabilité définie par dP ∗ /dP = ZT . L’EDS (4) qui spécifie le modèle s’écrit
θ=
dSt
St
= αdt + σdWt
= (r − q)dt + σ(θdt + dWt )
= (r − q)dt + σdW̃t
et le théorème de Girsanov entraine que {W̃t } est un brownien standard sous P ∗ . Soit
V (S, t) = e−r(T −t) EP ∗ [f (ST )|St = S] .
En appliquant l’équation de Kolmogorov rétrograde à V (S, t)er(T −t) on obtient
∂V
1
∂2V
∂V
(S, t) + (r − q)
(S, t) + σ 2 S 2 2 (S, t) − rV (S, t) = 0
∂t
∂S
2
∂S
donc V (S, t) est bien solution de l’EDP d’évaluation (8). On retrouve alors facilement les formules
1 2
de Black & Scholes en calculant EP ∗ [f (ST )] à partir de ST = S0 e(r − q − 2 σ )T + σ W̃T et de la
distribution gaussienne de variance T de W̃T sous P ∗ .
P ∗ est est fait la probabilité risque neutre associée au numéraire ert . Cette notion sera étudiée en
détail à la section 3. On voit toutefois comment l’équation de Kolmogorov permet de faire le lien entre
approche probabiliste et approche par EDP.
17
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Volatilité historique et volatilité implicite. Comment estimer la volatilité σ ? Si on croit au
modèle, on doit estimer σ sur un historique de la série temporelle {St }, par exemple en calculant l’espérance des carrés des rendements quotidiens 6 σ 2 = E[ln(St+δt /St )2 ]/δt. On parle alors de volatilité
historique.
Mais pour beaucoup de sous-jacents il existe un marché d’options, pour un éventail de strikes K et
de maturités T . On dispose donc de prix de calls c(K, T ) et/ou de puts p(K, T ), sur la base desquels
on peut inverser la formule de Black & Scholes pour obtenir pour chaque (K, T ) la volatilité Σ(K, T )
qui lorsque elle sert de paramètre au modèle permet de retrouver le prix d’option correspondant. On
parle alors de la nappe de volatilité implicite. La figure 4 montre une telle nappe.
Figure 4 – Exemple de nappe de volatilité (source Bloomberg)
On observe sur cette nappe :
— une structure par terme : à K donné Σ(K, T ) n’est pas constante en T ;
— un phénomène dit de skew ou de de smile : à T donné la volatilité implicite a tendance à être
plus élevée pour les strikes bas (typique pour les actions) et exhibe donc une pente négative (le
skew). Parfois elle est plus élevée aux deux extrémités, exhibant ainsi de la convexité (le smile).
Pourquoi un tel phénomène ? parce que bien sur la modélisation log-normale proposée par le modèle est
trop simple, et notamment rend mal compte des « queues épaisses » de la distribution du sous-jacent
en sous estimant la probabilité de gros mouvements, en particulier à la baisse pour les actions.
Que faire alors ? On peut complexifier le modèle, par exemple en ajoutant des sauts sous forme
d’un processus de Poisson, comme dans Merton [Mer76] pour obtenir
dSt
= αdt + σdWt − ηdNt
St
où dNt est un processus de poisson d’intensité λ et les amplitudes de saut η sont aléatoires i.i.d., par
exemple de loi 1 moins une log normale. On peut aussi supposer la volatilité stochastique comme dans
6. cette technique fonctionne mieux que le calcul de la variance des rendements, lequel nécessite de calculer la moyenne
des rendements, terme très peu stationnaire en pratique.
18
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Heston [Hes93]
dSt
= αdt + σt dWt1
St
dσt2 = κ(θ − σt2 )dt + ξσt dWt2
avec une corrélation ρ = dhW 1 , W 2 it /dt. On peut également envisager des modèles basés sur des
familles de processus plus complexes, les processus de Levy. Mais ces modèles ont également leurs
limites, et posent souvent des problèmes de stabilité dans le temps des paramètres calibrés.
En pratique les traders choisissent le modèle qui semble le mieux adapté à la situation, par exemple
Black & Scholes pour les options européennes, mais en utilisant la volatilité implicite appropriée,
volatilité stochastique pour certaines exotiques dont la valeur dépend beaucoup de l’évolution de la
volatilité dans le futur, etc.
Grecques et gestion du risque. Soit V (S, t, σ, r) le prix d’une option tel que calculé par le modèle
de Black, Scholes et Merton. On appelle grecques les sensibilités du prix aux paramètres du modèle.
Les plus importantes sont
Delta
∂V
∂S
∂2V
Γ=
∂S 2
∂V
Θ=
∂t
∂V
∂σ
∂V
ρ=
.
∂r
= ∆=
Gamma
=
Theta
=
Vega
=
Rho
=
∆ est la sensibilité de l’option au cours du sous-jacent. C’est également le ratio de couverture. Γ
représente la convexité de l’option. Γ > 0 indique que le prix est convexe, Γ < 0 qu’il est concave (on
note que pour un call comme pour un put on a Γ > 0). Θ est appelé valeur temps. On emploie aussi
couramment le théta modifié ou modified theta, calculé comme
Modified theta = Θ∗ =
∂V
∂V
− rV + (r − q)S
.
∂t
∂S
L’EDP d’évaluation (8) peut alors s’écrire
1 2 2
σ S Γ + Θ∗ = 0.
2
(11)
En toutes lettres, on dit que le gamma et le théta (modifié) se compensent. Cette relation est importante
en terme de gestion des risques.
Considérons une option couverte à t. Le modèle fait l’hypothèse que la couverture est ajustée en
continu, mais en pratique le ou la trader ne fait des réajustements que après un certain intervalle de
temps δt (e.g. 1 jour). Le changement de valeur de l’option et de son portefeuille de couverture s’écrit
δv = V (S + δS, t + δt) − V (S, t) − (∆(δS + Sqδt) + (V (S, t) − ∆S)rδt)
2
1 2 2
δS
σ S Γ
+ Θ∗ δt + O(|δS|δt + |δS|3 + δt2 )
=
2
σS
Si le marché ne bouge pas, δS = 0 et donc δv ≈ Θ∗ δt. Le théta modifié représente donc le changement
de valeur si le temps passe sans que le marché ne bouge, d’où le terme de valeur temps. On parle aussi
19
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de « loyer » de l’option. Si le marché bouge on a δS de l’ordre de
mouvement brownien). On obtient donc au premier ordre en δt
2
1 2 2
δS
δv ≈ σ S Γ
+ Θ∗ δt
2
σS
√
δt (écart type des incréments du
et en appliquant (11)
1
δv ≈ σ 2 S 2 Γ
2
δS
σS
!
2
− δt .
On en déduit que :
— Position Gamma√positive : Γ > 0
— si |δS/S| > σ √δt (mouvement plus grand que un écart type) le trader gagne de l’argent ;
— si |δS/S| < σ δt (mouvement plus petit que un écart type) le trader perd de l’argent ;
— position Gamma√
négative : Γ < 0
— si |δS/S| > σ √δt (mouvement plus grand que un écart type) le trader perd de l’argent ;
— si |δS/S| < σ δt (mouvement plus petit que un écart type) le trader gagne de l’argent.
C’est pourquoi en terme de gestion des risques :
— les traders préfèrent les positions Γ > 0, qui ne perdent pas d’argent en cas de gros mouvement
(crise) ;
— et en conséquence quotent plus cher (avec une volatilité plus élevée) la vente d’options qui
résultent en une position Γ < 0.
3
Marchés complets, représentation martingale et probabilité risque
neutre
Après l’introduction du modèle de Black, Scholes et Merton, des mathématiciens et économistes
ont étendu et formalisé les notions probabilistes intervenant dans l’évaluation des produits dérivés, en
particulier la notion de probabilité risque neutre. Deux articles ont fondé la théorie, un premier dû
à J.M. Harrison et D. Kreps en 1979 pour le cas discret [HK79], et un deuxième en 1981 dû à J.M.
Harrison et S.R. Pliska pour l’extension en temps continu [HP81].
3.1
Formalisme en temps continu
On considère un horizon T , un marché formé de N + 1 actifs de prix {St = (St0 , St1 , ..., StN )}
constituant un processus stochastique en temps continu adapté, càdlàg, de composantes strictement
positives p.s., sur un espace de probabilité (Ω, F, P ) où Ft = σ(Ss , s ≤ t). On suppose que les actifs ne
versent pas de dividendes, et que {St0 } est une semimartingale. Il n’y a pas de coûts de transaction, les
actifs peuvent être achetés ou vendus sans restriction de quantité, et peuvent être vendus à découvert.
On sélectionne l’actif {St0 } comme numéraire et on note S̃ti = Sti /St0 les prix exprimés en numéraire.
Hypothèse (absence d’opportunité d’arbitrage). Il existe une mesure de probabilité P0∗ équivalente à
P telle que pour tout i ∈ {1, ..., N } le processus {S̃ti } soit une martingale de carré intégrable. P0∗ est
dite risque neutre pour le numéraire St0 .
On appelle stratégie autofinançante un processus {ϕt = (ϕ0t , ϕ1t , ..., ϕN
t )} prévisible tel que
Z T
EP0∗
(ϕit )2 dhS̃ i it < ∞ pour tout i ∈ {1, ..., N }
0
et vérifiant la condition d’autofinancement
Ṽt =
ϕ0t
+
N
X
i=1
ϕit S̃ti
=
ϕ00
+
N
X
i=1
ϕi0 S̃0i
+
Z tX
N
ϕis dS̃si p.s.
0 i=1
20
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On a en particulier que la valeur {Ṽt } en numéraire du portefeuille est une martingale de carré intégrable sous P0∗ , car s’écrivant comme une intégrale contre une martingale (voir par exemple [Pro04]
pour ce résultat ainsi que toutes les conditions techniques imposées ici). Pour la suite on notera
Ṽt = Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )t = Ṽ0 +
Z tX
N
ϕis dS̃si
0 i=1
la valeur en numéraire du portefeuille autofinançant. On obtient la valeur du portefeuille « en cash »
comme V (V0 , ϕ1 , ..., ϕN )t = St0 Ṽ (V0 /S00 , ϕ1 , ..., ϕN )t .
Justifions l’hypothèse. Supposons une stratégie autofinançante de valeur terminale positive et non
identiquement nulle, i.e. Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )T ≥ 0 p.s. et P (Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )T > 0) > 0. Alors puisque
{Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )t } est une martingale sous P0∗ on a
∗
h
i
dP0
1
N
1
N
˜
˜
Ṽ0 = EP0∗ Ṽ (V0 , ϕ , ..., ϕ )T = EP
Ṽ (V0 , ϕ , ..., ϕ )T > 0
dP
donc il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage (voir la section 2.2).
En fait il y a sous conditions équivalence entre l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage
et l’existence d’une probabilité risque neutre. Mais la preuve dans un cadre général que l’absence
d’opportunité d’arbitrage entraine l’existence d’une telle probabilité est complexe et nécessite des
conditions très techniques. On préfère donc se contenter d’en postuler l’existence, et de l’obtenir
lorsque on aborde un modèle concret (par exemple comme conséquence du théorème de Girsanov dans
le cas de processus de diffusion). Dans le cas discret, en temps et en espace, on se sert du théorème de
séparation des convexes (Hahn Banach) pour montrer que l’absence d’opportunité d’arbitrage entraı̂ne
que (S̃01 , ..., S̃0N ) s’écrit comme barycentre à poids positifs de (S̃t1 , ..., S̃tN ), d’où après normalisation des
poids l’obtention de P0∗ .
3.2
Marché complet et résultat fondamental de l’évaluation des actifs contingents
Considérons à présent un actif contingent de payoff X en T , et notons X̃ = X/ST0 la valeur du
payoff en numéraire. On dit que le marché est complet si pour toute variable aléatoire X̃ FT mesurable,
il existe une stratégie autofinançante satisfaisant la condition de couverture
Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )T = Ṽ0 +
Z
0
N
T X
ϕis dS̃si = X̃ p.s.
(12)
i=1
On parle ici de représentation martingale : tout payoff exprimé en numéraire, c’est à dire toute variable
aléatoire FT mesurable, s’écrit comme un montant initial plus l’intégrale d’un processus prévisible (la
stratégie autofinançante) contre les actifs exprimés en numéraire, lesquels sont des martingales sous
P0∗ .
Théorème (marché complet). Le marché est complet si et seulement si la probabilité risque neutre
P0∗ est unique.
On a alors comme conséquence directe de ce théorème le résultat suivant :
Théorème (résultat fondamental de l’évaluation des actifs contingents). Supposons le marché complet
et soit P0∗ la probabilité risque neutre pour le numéraire St0 . Soit un actif contingent de payoff X en
T , FT mesurable. Alors le prix de l’actif contingent vt en t est tel que {vt /St0 } est une martingale sous
P0∗ , et vt est donné par
X
|
F
vt = St0 EP0∗
t .
ST0
21
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En effet, soit X̃ = X/ST0 . Puisque le marché est complet il existe une stratégie autofinançante telle
que (12) soit satisfaite. Puisque la valeur du portefeuille en numéraire est une martingale sous P0∗ on
a
h
i
h
i
Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )t = EP0∗ Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )T | Ft = EP0∗ X̃ | Ft
qui donne ainsi le prix de l’actif contingent, égal par absence d’opportunité d’arbitrage à la valeur
(unique) de sa couverture.
On a ainsi une procédure d’évaluation valable pour n’importe quel modèle, sous réserve qu’il soit
complet : on sélectionne un numéraire, on travaille sous la probabilité risque neutre associée à ce
numéraire, et on calcule le prix de n’importe quelle option comme espérance de son payoff, les prix
étant exprimés en numéraire.
Revenons à présent à la démonstration du premier théorème. Supposons le marché complet et soit
deux probabilités risque neutre P0∗ et Q∗0 . Pour toute variable aléatoire X̃ FT mesurable il existe une
stratégie autofinançante satisfaisant la condition de couverture (12). Le portefeuille Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )t
est alors une martingale sous P0∗ et sous Q∗0 , donc
h
i
h
i
Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )0 = EP0∗ X̃ | Ft = EQ∗0 X̃ | Ft
pour tout X̃. On en déduit que P0∗ est identique à Q∗0 .
Prouver que l’unicité de P0∗ entraı̂ne la complétude du marché est plus compliqué et on ne le fera
pas ici. La preuve fait appel à un résultat de représentation martingale, que l’on trouvera par exemple
dans [Pro04], et qui permet de représenter n’importe quelle variable aléatoire X̃ comme une intégrale
contre la martingale (S̃t1 , ..., S̃tN ), autrement dit qu’il existe une stratégie autofinançante satisfaisant
la condition de couverture (12) et que le marché est donc complet.
3.3
Application : Black, Scholes et Merton revisité
On va à présent regarder comment les résultats précédents s’appliquent au modèle de Black, Scholes
et Merton. En reprenant les notations de la section 2.6, on a un taux court constant r et une action
de prix St qui suit
1 2
St = S0 e(α− 2 σ )dt+σWt
et a un taux de dividendes q. A partir du taux court on construit le « compte d’épargne au taux
court », qui vaut St0 = ert , et nous sert de numéraire. En ce qui concerne l’action, de manière à nous
ramener au cas sans dividendes, on construit le « compte titre à dividendes réinvestis » composé d’une
action au départ et dont les dividendes sont réinvestis en actions. Ce compte a pour valeur St1 = St eqt .
On a donc pour ce modèle
St0 = ert
1
2
St1 = S0 e(α+q− 2 σ )t+σWt
1 2
S1
S̃t1 = t0 = S0 e(α+q−r− 2 σ )t+σWt
St
Appliquons le théorème de Girsanov pour obtenir la probabilité risque neutre : Soit θ =
la probabilité définie par
1 2
dP ∗
= e−θWT − 2 θ T.
dP
Alors Wt∗ = θt + Wt est un brownien standard sous P ∗ , et
1
S̃t1 = S0 e− 2 σ
α+q−r
σ
et P ∗
2 t+σW ∗
t
est une martingale sous P ∗ , laquelle est donc bien une probabilité risque neutre pour {St0 }. Par ailleurs
un résultat de représentation martingale dans le cas brownien (voir de nouveau [Pro04], ou [KS91])
montre que le marché défini par le modèle est complet : toute variable aléatoire FT mesurable s’écrit
comme intégrale d’un processus prévisible contre {Wt∗ }, et donc contre {S̃t1 } puisque par le lemme
d’Itô dS̃t1 = S̃t1 σdWt∗ . On en déduit que P ∗ est l’unique probabilité risque neutre pour {St0 }.
22
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La formule de Black & Scholes en quelques lignes. On va ici, pour illustrer l’importance de
l’approche probabiliste, obtenir la formule de Black & Scholes en quelques lignes. On a
1
St = S0 e(r−q− 2 σ
2 )t+σW ∗
t
et d’après le résultat de l’évaluation des actifs contingents le prix du call se calcule comme
c = EP ∗ e−rT (ST − K)+ = EP ∗ e−rT ST 1ST >K − e−rT KP ∗ (ST > K).
On obtient
1 2
P (ST > K) = P
> ln(K/S0 ) − (r − q − σ )T = N (d2 )
2
−rT
avec les notations de la section 2.6. Reste à calculer EP ∗ e
ST 1ST >K . On remarque que puisque
e−(r−q)t St est une martingale sous P ∗ , le théorème de Girsanov s’applique et permet de définir Q∗
comme dQ∗ /dP ∗ = e−(r−q)T ST /S0 , sous laquelle Wt∗∗ = Wt∗ − σt est un brownien standard, avec
∗
∗
σWT∗
1
St = S0 e(r−q+ 2 σ
2 )t+σW ∗∗
t
.
On obtient donc
EP ∗ e−rT ST 1ST >K = EQ∗ e−qT S0 1ST >K = e−qT S0 Q∗ (ST > K) = e−qT S0 N (d1 )
et on retrouve la formule de Black & Scholes c = e−qT S0 N (d1 ) − e−rT KN (d2 ). En fait Q∗ est la
probabilité risque neutre lorsque on choisit {St1 } plutôt que {St0 } comme numéraire.
On obtient facilement le delta du call par la même approche, en dérivant sous l’espérance :
∆=
∂c
∂S0
∂
EP ∗ e−rT (ST − K)+
∂S0
∂
+
−rT
= EP ∗ e
(ST − K)
∂S0
∂ST
−rT
= EP ∗ e
1ST >K
∂S0
S
T
−rT
= EP ∗ e
1ST >K
S0
=
= e−qT Q∗ (ST > K) = e−qT N (d1 ).
3.4
Changement de numéraire
Précédemment on a choisit arbitrairement {St0 } comme numéraire et obtenu la probabilité risque
neutre associée P0∗ sous laquelle les {Sti /St0 } sont des martingales. Que se passe t’il si on sélectionne
un autre actif {Stj } comme numéraire ? Notons que
Zt =
Stj S00
St0 S0j
est une martingale strictement positive p.s. sous P0∗ avec Z0 = 1 et définit donc une nouvelle probabilité
Pj∗ comme dPj∗ /dP0∗ = ZT . On vérifie facilement que Pj∗ est risque neutre lorsque {Stj } est employé
comme numéraire : on a en effet pour tout i et s < t
"
#
"
#
0 i
Sti
Zt Sti
Ss St
Ss0 Ssi
Ssi
∗
∗
EPj∗
|F
=
E
|F
=
E
|F
=
=
.
s
s
s
P0
P0
Zs Stj
Stj
Ssj St0
Ssj Ss0
Ssj
On montre ensuite (mais on ne le fera pas ici) que Pj∗ est bien unique.
23
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On peut aussi choisir comme numéraire tout portefeuille de valeur strictement positive p.s. Soit
˜
Ṽ (V0 , ϕ1 , ..., ϕN )t la valeur en numéraire {St0 } d’un tel portefeuille et
V (V0 , ϕ1 , ..., ϕN )t = St0 Ṽ (V0 /S00 , ϕ1 , ..., ϕN )t
sa valeur en cash. La probabilité risque neutre par rapport à V (V0 , ϕ1 , ..., ϕN )t est obtenue comme
dPV∗
V (V0 , ϕ1 , ..., ϕN )T S00
Ṽ (V˜0 , ϕ1 , ..., ϕN )T
=
.
=
∗
dP0
V0
ST0
V˜0
L’intérêt du changement de numéraire est de travailler sous une probabilité qui simplifie les calculs,
comme on l’a fait pour obtenir le premier terme de la formule de Black & Scholes dans la section
précédente. Voici un autre exemple : on considère le modèle de type Black & Scholes bidimensionnel,
sans dividendes (on peut toujours ajouter les dividendes en procédant comme précédemment), sous la
probabilité historique
St0 = ert
1
2
1
1
2
2
St1 = S01 e(α1 − 2 σ1 )t+σ1 Wt
St2 = S02 e(α2 − 2 σ2 )t+σ2 Wt
avec corrélation ρ entre {Wt1 } et {Wt2 } (dhW 1 , W 2 it = ρdt). On veut calculer la valeur d’une option
d’échanger une action contre l’autre, de payoff (ST1 − ST2 )+ en T . Plaçons nous sous la probabilité P2∗
risque neutre pour {St2 }. La valeur de l’option se calcule comme
v = S02 EP2∗ (ST1 − ST2 )+ /ST2 = S02 EP2∗ (ST1 /ST2 − 1)+ .
p
1
2
2
1
2
On a St1 /St2 = (S01 /S02 )e(α1 −α2 − 2 (σ1 −σ2 ))t+σ1 Wt −σ2 Wt et σ1 Wt1 −σ2 Wt2 = σWt où σ = σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2
et {Wt } est un brownien standard sous la probabilité historique. {St1 /St2 } est une martingale sous P2∗
et une application du théorème de Girsanov (en version multidimensionnelle) nous donne St1 /St2 =
1 2
∗
e− 2 σ t+σWt où {Wt∗ } est brownien standard sous P2∗ . On obtient donc comme prix pour l’option
v = S01 N (d1 ) − S02 N (d2 )
avec
ln(S01 /S02 ) + 12 σ 2 T
√
σ T
√
= d1 − σ T .
d1 =
d2
3.5
Quelques mots sur le cas incomplet
Dans le cas incomplet il existe une probabilité risque neutre (pour le numéraire choisi) mais elle
n’est pas unique. On montre néanmoins (voir [FS86]) que, pour une probabilité risque neutre donnée,
le problème
2 1
N
˜
inf EP ∗ X̃ − Ṽ (V0 , ϕ , ..., ϕ )T
Ṽ0 ,{ϕt }
0
admet comme unique solution
Ṽ0
P0∗
dhS̃it ϕt
= ṽ0
P∗
= dhṽ, S̃it 0
h
i
où ṽt = EP0∗ X̃ | Ft est appelé le processus de valeur moyenne. Autrement dit, la meilleure couverture
au sens de la minimisation de la norme L2 sous P0∗ du résultat de la couverture est de procéder comme
dans le cas complet.
24
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4
Autour de la formule de Black & Scholes
On va voir dans cette section que la formule de Black & Scholes (9)-(10) peut s’appliquer dans un
cadre plus vaste que celui décrit en section 2.6.
4.1
Taux court non constant
Considérons une option européenne de maturité T . Supposons dans un premier temps que le sousjacent ne verse pas de dividendes. Soit Bt (T ) le zéro-coupon de maturité T . Soit Ft = St /Bt (T ) le prix
forward du sous-jacent (voir section 2.3). Sous la probabilité risque neutre PT∗ associée à {Bt (T )}, Ft
est une martingale. Si l’on suppose un brownien géométrique de volatilité σ pour Ft , on a donc avec
{Wt } un brownien standard sous cette probabilité.
1
Ft = F0 e− 2 σ
2 t+σW
t
.
On a BT (T ) = 1, donc FT = ST et le call vaut c = B0 (T )EPT∗ [(FT − K)+ ]. On obtient alors pour le
call et le put européens la formule de Black & Scholes (9)-(10) dans laquelle il suffit de remplacer erT
par B0 (T ), ou encore d’utiliser r = Y0 (T ) (voir notations de la section 1.5), avec la compréhension que
σ est la volatilité non pas du spot mais du forward. Spécifiquement :
c = B0 (T ) (F0 N (d1 ) − KN (d2 ))
(13)
pour le call européen et
p = B0 (T ) (KN (−d2 ) − F0 N (−d1 ))
(14)
√
√
pour le put européen, avec F0 = S0 /B0 (T ) et d1 = (ln(F0 /K) + 21 σ 2 T )/(σ T ), d2 = d1 − σ T .
Avec un taux de dividende non nul q on a comme prix forward Ft = St e−q(T −t) /Bt (T ) (voir le
« compte titre avec dividendes réinvestis » de la section 3.3) et le même calcul s’applique, d’où (13) et
(14) avec F0 = S0 e−qT /B0 (T )
Dans son article [Mer73], Merton avait déjà compris l’intérêt de travailler directement avec le
prix forward Ft plutôt que le prix spot St , ce qui lui évitait de supposer le taux court constant ou
déterministe.
Si on suppose que le taux courtR est non constant mais néanmoins déterministe, noté r(t), on a
T
par absence
d’arbitrage Bt (T ) = e− t r(u)du , tandis que la valeur du compte d’épargne au taux court
Rt
est e 0 r(u)du . Ces deux quantités sont déterministes et la probabilité risque neutre PT∗ associée au
zéro-coupon {Bt (T )} est identique à la probabilité risque neutre P ∗ associée au compte d’épargne.
4.2
Dividendes discrets proportionnels
En pratique les dividendes versés par une action ne sont pas continus mais discrets, e.g. trimestriels, annuels, etc. Soient ti la i-ème date de tombée de dividendes et di le montant du dividende
correspondant. Par absence d’arbitrage on doit avoir Sti = St− − di . Supposons que le montant est
i
proportionnel au prix de l’action juste avant le dividende, i.e. di = qi St− . Le « compte titre avec
i
dividendes réinvestis » s’écrit à présent
Y
Y
Y
St
(1 + di /Sti ) = St
(1 + qi /(1 − qi )) = St
(1/(1 − qi ))
ti ≤t
ti ≤t
ti ≤t
et le prix forward de l’action
Ft =
Y
(1 − qi )St /Bt (T ).
t<ti ≤T
On obtient donc de nouveau (13) et (14) avec
Y
F0 =
(1 − qi )S0 /B0 (T ).
0<ti ≤T
25
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4.3
Options sur change
La formule de Black & Scholes peut également s’appliquer aux calls et puts européens sur change.
Considérons deux devises, la devise domestique D et une devise étrangère E. Soit Xt le taux de change,
qui représente le prix de E en D. On veut obtenir le prix d’un call ou d’un put européen de maturité
T et de payoff (XT − K)+ (resp. (K − XT )+ ).
Soit BtD (T ) le zéro-coupon de maturité T dans la devise D, et BtE (T ) le zéro-coupon de maturité T
dans la devise E. On considère la stratégie qui consiste à acheter initialement la devise E en devise D
et à la placer en zéro-coupon BtE (T ). Cette stratégie est autofinançante et vaut Xt BtE (T ) à t. Son prix
forward Ft = Xt BtE (T )/BtD (T ) est donc une martingale sous la probabilité risque neutre PTD∗ associée
à {BtD (T )}, et on a bien sur FT = XT . En supposant de nouveau que le prix forward est un brownien
géométrique de volatilité σ, on obtient toujours la formule (13) et (14) avec F0 = X0 B0E (T )/B0D (T ).
Ce modèle, initialement développé et analysé comme le modèle de Black & Scholes en supposant des
taux d’intérêt constants, est connu sous le nom de modèle de Garman et Kohlhagen [GK83].
4.4
Options sur commodités
Considérons une commodité dont le prix est St et le coût de stockage est St cdt. Soit la stratégie
qui consiste à partir d’un montant S0 ecT investi en commodité, et à en revendre au cours du temps
une quantité cdt pour payer le coût de stockage. Cette stratégie est autofinançante et vaut St ec(T −t)
à t. Son prix forward Ft = St ec(T −t) /Bt (T ) est une martingale sous la probabilité risque neutre PT∗
associée à {Bt (T )}, et on a FT = ST . En supposant que le prix forward est un brownien géométrique
de volatilité σ, on obtient de nouveau (13) et (14) avec F0 = S0 ecT /B0 (T ).
En pratique, pour refléter la réalité du marché, on généralise la notion de coût de stockage à celle
de convenience yield, que l’on ne discutera pas ici.
5
Options américaines
Une option américaine est une option qui peut être exercée à tout moment par son détenteur et
non pas uniquement à maturité. Pour fixer les idées considérons un sous-jacent {St } et une option de
payoff Xt = f (St ) lorsque exercée à t.
5.1
Cadre binomial
On se place dans le cadre simple du modèle binomial présenté en section 2.4. On travaille sous
la probabilité risque neutre p∗ . Comme précédemment on note Si,k le cours du sous-jacent au noeud
(i, k) et vi,k la valeur de l’option en ce noeud, conditionnellement à ne pas avoir été exercée à une date
précédente.
Si,k
vi,k
f (Si,k )
Si+1,k+1
p∗ vi+1,k+1
H
HH1 − p∗
Si,k+1
H
HH v
i,k+1
-
k
k+1
26
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A maturité l’option vaut vi,N = f (Si,N ). On suppose les valeurs de l’option connues à la date k + 1.
Plaçons nous au nœud (i, k). Le détenteur de l’option a le choix entre
— exercer immédiatement, et recevoir f (Si,k ) ;
— ou conserver l’option une période de plus ; l’option est alors identique à une option européenne
de maturité tk+1 et de payoff vi,k+1 au noeud (i, k + 1) et vi+1,k+1 au noeud (i + 1, k + 1), et
vaut donc
B[p∗ vi+1,k+1 + (1 − p∗ )vi,k+1 ].
Il va donc choisir d’exercer au noeud (i, k) ssi
f (Si,k ) > B[p∗ vi+1,k+1 + (1 − p∗ )vi,k+1 ].
L’option vaut donc en ce noeud
vi,k = max (f (Si,k ), B[p∗ vi+1,k+1 + (1 − p∗ )vi,k+1 ]) .
(15)
Autrement dit on a modifié la récursion utilisée pour l’option européenne en lui appliquant un test
d’exercice anticipé. On obtient ainsi le calcul de la valeur de l’option à chaque noeud de l’arbre
binomial.
Rappelons que le prix actualisé de l’option européenne est une martingale sous p∗ . Que constate
t’on pour l’option américaine ? On a par construction
vi,k e−rkδt ≥ p∗ vi+1,k+1 e−r(k+1)δt + (1 − p∗ )vi,k+1 e−r(k+1)δt
i.e. le processus {v.,k e−rkδt } est une sur-martingale sous p∗ . On montre facilement que c’est en fait la
plus petite sur-martingale qui domine {f (S.,k )e−rkδt }. On l’appelle l’enveloppe de Snell de {f (S.,k )e−rkδt }.
5.2
Cadre continu
On se replace dans le cadre d’un marché complet en temps continu de la section 3. Pour rappel une
sur-martingale sous une probabilité P est un processus adapté {Yt } tel que Ys ≥ EP [Yt |Fs ], s ≤ t. Une
sous-martingale sous P est un processus adapté {Yt } tel que Ys ≤ EP [Yt |Fs ], s ≤ t. Un temps d’arrêt
est une variable aléatoire τ ≥ 0 telle que {τ ≤ t} ∈ Ft pour tout t ≥ 0. On note P0∗ la probabilité
risque neutre sous {St0 }.
Options bermudéennes. Avant d’aborder le problème des options américaines on s’intéresse aux
options bermudéennes (entre Europe et Amériques...), qui sont exerçables non pas à tout moment
mais à un ensemble de dates 0 < t1 < t2 < ... < tN = T . On applique le même raisonnement de
récursion que dans le cas binomial. Pour t ∈ [tN −1 , tN [ l’option,
conditionnellement
à ne pas avoir
été exercée auparavant, est européenne et vaut vt = St0 EP0∗ XtN /St0N | Ft . Supposons la valeur de
l’option connue pour t ≥ tk+1 . En tk+1 le détenteur a le choix entre exercer immédiatement ou conserver
l’option. Il applique donc le test d’exercice anticipé
max(Xtk+1 , vtk+1 )
ce qui conduit à la récursion pour t ∈ [tk , tk+1 [
h
i
vt = St0 EP0∗ max(Xtk+1 /St0k+1 , vtk+1 /St0k+1 ) | Ft .
De nouveau on voit que {vt /St0 } est une sur-martingale. Par construction c’est la plus petite surmartingale qui domine {Xtk /St0k } pour tout k.
27
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Options américaines.
On a le résultat suivant (voir par exemple [Kar88]) :
Théorème. Le prix à t de l’option américaine de payoff Xu à u et de maturité maximale T est
vt = St0 sup EP0∗ Xτ /Sτ0 | Ft
t≤τ ≤T
où le sup est sur tous les temps d’arrêt t ≤ τ ≤ T . {vt /St0 } est la plus petite sur-martingale (enveloppe
de Snell) qui domine {Xt /St0 }. On obtient alors le temps d’arrêt (exercice) optimal comme
τ ∗ = inf{t / vt = Xt }.
On en déduit immédiatement que :
Théorème. Si {vt /St0 } est une martingale, alors l’option est en fait européenne (τ ∗ = T ).
Ceci nous permet d’obtenir un résultat bien connu : considérons
un call américain sur une action
Rt
rs ds
0
0
le compte d’épargne au taux court,
sans dividendes, et choisissons comme numéraire St = e
qu’on se contentera de supposer positif 7 de telle sorte que St0 est croissant en t. Sous P0∗ on a que
{St1 /St0 } est une martingale, donc {St1 /St0 − K/St0 } est une sous-martingale. La fonction (.)+ est
convexe, donc par l’inégalité de Jensen Xt /St0 = (St1 /St0 − K/St0 )+ est une sous-martingale, donc son
enveloppe de Snell est une martingale et l’option est européenne. On a ainsi montré - sans référence à
un modèle spécifique - que le call américain est en fait européen.
St1
De même on obtient qu’un put américain modifié de payoff (KSt0 − St1 )+ est en fait européen.
6
Options barrières
Les options barrières sont des options qui s’activent ou se désactivent si le cours du sous-jacent
franchit une barrière. Dans l’exemple du call knock out, le payoff à maturité est un payoff de call,
mais il n’a lieu que si le cours de l’action n’a jamais franchi un niveau prédéterminé (la barrière). Si
le cours passe au dessus de la barrière le call est annulé (knocked out). Soit St le cours du sous-jacent
et Mt = maxu∈[0,t] Su . Le payoff du call knock out de maturité T s’écrit donc (ST − K)+ 1MT <H .
Les options barrières sont un exemple d’options dont le payoff dépend de l’historique du cours
du sous-jacent et pas seulement de son cours à maturité. Elles sont connues sous le nom d’options
dépendant de la trajectoire ou path dependent.
Le calcul des options barrières dans le cadre du modèle de Black & Scholes est l’occasion d’utiliser
quelques propriétés intéressantes du mouvement brownien ainsi que le théorème de Girsanov. On se
place directement sous la probabilité risque neutre pour le compte d’épargne sous laquelle on écrit
1
St = S0 e(r−q− 2 σ
2 )t+σW
t
= S0 eXt
avec {Wt } brownien standard, et
Mt = max Su = S0 eYt
u∈[0,t]
où Yt = maxu∈[0,t] Xu . On note µ = r − q − 21 σ 2 de sorte que Xt = µt + σWt . Pour calculer la valeur
de l’option comme espérance de son payoff on veut obtenir la distribution jointe de (XT , YT ).
Cas µ = 0 : le principe de réflexion. A partir du principe de réflexion (voir figure 5), on obtient
que lorsque µ = 0 la distribution jointe s’écrit
x − 2y
√
P (XT < x, YT > y) = P (XT > 2y − x) = N
σ T
7. Il est rare que les taux soient négatifs ! Par absence d’arbitrage cela est impossible dès lors que l’on peut conserver
du cash sans coût.
28
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Figure 5 – illustration du principe de réflexion
traj. 1
traj. 2
x
y
2y-x
où N (.) est la fonction de répartition de la loi normale. On obtient donc comme densité jointe
∂2
1 2(x − 2y) 1 − 12
√ e
−
P (XT < x, YT > y) = √
∂x∂y
σ2T
2π
σ T
x−2y
√
σ T
2
.
(16)
Cas µ 6= 0 : une application du théorème de Girsanov. On va appliquer le théorème de
Girsanov pour se ramener au cas µ = 0. Considérons en effet la probabilité Q définie par
µ
1 µ 2
dQ
= e− σ WT − 2 ( σ ) T .
dP
Sous Q on a que {Xt } a un drift nul, donc la densité jointe de (XT , YT ) sous Q est donnée par (16).
Sous P on a donc comme densité jointe
−
∂2
dP ∂ 2
P (XT < x, YT > y) = −
Q(XT < x, YT > y)
∂x∂y
dQ ∂x∂y
2
µ
µ 2
√
− 12 x−2y
−σ
x− 12 ( σ
T 1 2(x − 2y) 1
)
σ T
√
√ e
= −e
.
σ2T
2π
σ T
Après intégration on obtient
2µy
x − 2y − µT
√
P (XT < x, YT > y) = e σ 2 N (
)
σ T
ou encore
P (XT < x, YT < y) = N (
2µy
x − µt
x − 2y − µT
√ ) − e σ2 N (
√
).
σ T
σ T
En prenant x = y on a également
P (YT ≤ y) = N (
2µy
y − µT
−y − µT
√ ) − e σ2 N (
√
).
σ T
σ T
29
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Calcul de l’option. A partir de ces résultats on peut calculer toutes sortes d’option barrières.
Reprenons le call knock out. Son prix est
cKO = e−rT EP (ST − K)+ 1MT <H
= e−rT EP [ST 1ST >K,MT <H ] − e−rT KP (ST > K, MT < H).
On a immédiatement
P (ST > K, MT < H) = P (MT < H) − P (ST < K, MT < H)
= P (YT < ln(H/S0 )) − P (XT < ln(K/S0 ), YT < ln(H/S0 ))
√
√
= N (dK − σ T ) − N (dK − σ T )
1−2 r−q
σ2
r − q√
S0
r − q√
H
H
K
N (d − 2
+
T ) − N (2d − d − 2
T)
H
σ
σ
(17)
avec
dK
=
dH
=
ln(S0 /K) + (r − q)T + 21 σ 2 T
√
σ T
ln(S0 /H) + (r − q)T + 12 σ 2 T
√
.
σ T
Pour le calcul de EP [ST 1ST >K,MT <H ] on utilise de nouveau l’astuce du théorème de Girsanov :
i
h 1 2
EP [ST 1ST >K,MT <H ] = S0 e(r−q)T EP e− 2 σ T +σWT 1ST >K,MT <H
= S0 e(r−q)T EP̃ [1ST >K,MT <H ]
= S0 e(r−q)T P̃ (ST > K, MT < H)
1
2
où dP̃ /dP = e− 2 σ T +σWT . Sous P̃ on a que {Wt − σt} est un brownien standard, donc P̃ (ST >
K, MT < H) se calcule comme (17) en remplaçant le terme r − q par r − q + σ 2 . On obtient finalement
comme prix de l’option
√
√ cKO = e−qT S0 N (dK ) − N (dH ) − e−rT K N (dK − σ T ) − N (dH − σ T )
−1−2 r−q
√
√
σ2
r − q√
S0
r − q√
H
−qT
H
K
+e
S0
N (2d − d − 2
T − σ T ) − N (d − 2
T − σ T)
H
σ
σ
1−2 r−q
σ2
S0
r − q√
r − q√
−rT
−e
K
T ) − N (dH − 2
T)
N (2dH − dK − 2
H
σ
σ
On obtient de même d’autres formules pour toutes sortes d’options barrières ou sur extrémas. Pour
une revue complète voir par exemple Conze & Viswanathan [CV91].
7
Volatilité locale et volatilité stochastique
On a vu en section 2.6 que lorsque l’on dispose de prix de marché de calls et de puts européens
pour une gamme de strikes et maturités (K, T ), on constate que les volatilités implicites Σ(K, T ),
permettant de retrouver ces prix à partir du modèle de Black, Scholes et Merton, forment une nappe
non constante. Cela remet évidement en cause la validité du modèle, et a poussé à développer des
modèles plus cohérents avec les observations.
30
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7.1
Volatilité locale
On postule (en travaillant directement sous la probabilité neutre au risque pour le compte d’épargne
au taux court, supposé déterministe) comme dynamique pour le sous-jacent
dSt
= (r(t) − q)dt + σloc (St , t)dWt
St
(18)
où σloc (S, t) est appelé la volatilité locale.
Pour fixer les idées notons c(K, T ) le prix de marché observé du call européen de strike K et de
maturité T (si on dispose de prix de puts on peut toujours les transformer en prix de calls à partir de
la relation de parité call-put). On cherche une fonction σloc (S, t) telle que les prix de calls calculés à
partir du modèle (18) soient égaux à c(K, T ) pour tous les K et tous les T (on admet qu’on dispose
d’un continuum de tels prix, qui peuvent toujours être obtenus par interpolation à partir d’un nombre
fini de prix).
Théorème (Formule de Dupire [Dup94]). σloc (S, t) est donné par la formule de Dupire
∂c (K, T ) + (r(T ) − q)K ∂c (K, T ) + qc(K, T )
∂T
∂K
σloc (K, T ) =
1 2 ∂2c
2 K ∂K 2 (K, T )
2
(19)
Pour obtenir la formule de Dupire on applique le lemme d’Itô au payoff du call (ST − K)+ . Celui
ci n’étant dérivable deux fois que au sens des distributions, on utilise en fait une version du lemme
connue sous le nom de formule de Tanaka. On obtient
1
d(ST − K)+ = 1ST >K dST + δST =K ST2 σloc (ST , T )2 dT
2
et en passant à l’espérance
1
E[d(ST − K)+ ] = E[1ST >K ST ](r(T ) − q)dT + E[δST =K ST2 σloc (ST , T )2 ]dT
2
1
= E[1ST >K ST ](r(T ) − q)dT + E[δST =K ]K 2 σloc (K, T )2 dT
2
On a par ailleurs
c(K, T ) = e−
RT
0
r(u)du
E[(ST − K)+ ] = e−
RT
0
r(u)du
E[ST 1ST >K ] − e−
RT
0
r(u)du
KE[1ST >K ]
d’où
RT
∂c
(K, T ) = −e− 0 r(u)du E[1ST >K ]
∂K
RT
∂2c
(K, T ) = e− 0 r(u)du E[δST =K ]
2
∂K
et
RT
∂c
(K, T ) = −r(T )c(K, T ) + e− 0 r(u)du dE[(ST − K)+ ]/dT
∂T
= −r(T )c(K, T ) + e−
RT
0
r(u)du
E[d(ST − K)+ ]/dT.
On obtient alors
R
∂c
1
− 0T r(u)du
2
2
E[1ST >K ST ](r(T ) − q) + E[δST =K ]K σloc (K, T )
(K, T ) = −r(T )c(K, T ) + e
∂T
2
∂c
1
∂2c
= −r(T )c(K, T ) + (r(T ) − q) c(K, T ) −
(K, T ) + K 2 σloc (K, T )2
(K, T )
∂K
2
∂K 2
d’où la formule de Dupire.
31
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Condition d’absence d’opportunité d’arbitrage sur les prix de calls européens. La formule
de Dupire (19) ne peut se calculer que ssi son membre de droite est positif. Il s’agit en fait de la condition
que doit satisfaire
la nappe c(K, T ) pour qu’aucun arbitrage ne soit possible. Pour simplifier posons
R
−( 0T r(u)du−qT )
K̃ = Ke
et c̃ = ceqT . L’équation (19) devient
σloc (K, T )2 =
∂c̃
∂T
.
1 2 ∂ 2 c̃
K̃
2
∂ K̃ 2
On obtient donc comme condition suffisante :
— ∂c̃ ≥ 0 : le prix augmente avec la maturité ;
∂T
2
— et ∂ c̃2 > 0 : le prix est convexe en le strike.
∂ K̃
Volatilité locale à partir de la volatilité implicite. En pratique il est plus aisé de travailler à
partir de la nappe de volatilité implicite Σ(K, T ) que des prix de calls c(K, T ). Rappelons que Σ(K, T )
est la volatilité qu’il faut employer dans la formule de Black & Scholes pour retrouver le prix du call
c(K, T ). L’équation (19) se réécrit
Σ2 + 2T Σ ∂Σ + (r(T ) − q)K ∂Σ
∂T
∂K
.
(20)
σloc (K, T )2 =
√
√
2
(1 + d1 K ∂Σ T )2 + T ΣK 2 ( ∂ Σ2 − d1 T ( ∂Σ )2 )
∂K
∂K
∂K
Implémentation. Comme en pratique on ne dispose de prix de calls que pour un nombre limité
de strikes K = Ki et de maturités T = Tj , l’implémentation du modèle s’effectue généralement de la
manière suivante :
1. on inverse la formule de Black & Scholes pour les prix de calls de strikes Ki et de maturités Tj
de manière à obtenir une grille de volatilités implicites Σ(Ki , Tj ) ;
2. on applique une méthode d’interpolation aux Σ(Ki , Tj ) de manière à obtenir une nappe Σ(K, T ) ;
ou alternativement on postule une forme paramétrique pour Σ(K, T ), que l’on calibre au mieux
(moindres carrés) sur les Σ(Ki , Tj ). Dans les deux cas il convient de s’assurer que la condition
d’absence d’arbitrage sur les prix de calls reconstitués est vérifiée. Il existe toute une littérature
proposant des méthodes d’interpolation ou de paramétrisation appropriées, mais nous ne les
passerons pas en revue ici ;
3. on applique la formule de Dupire (20).
Limites du modèle à volatilité locale. Le modèle à volatilité locale est par construction cohérent
avec les prix observés de tous les calls européens (également appelés options vanilles) à une date
donnée. Il permet donc d’évaluer des options plus complexes dont les payoffs sont susceptibles de faire
intervenir plusieurs « niveaux de strikes » et de maturités.
Néanmoins le modèle se comporte assez pauvrement en terme de dynamique du skew/smile, c’est à
dire de l’évolution de la pente et de la convexité (dont on parlé dans le section 2.6) de la nappe lorsque
le cours du sous-jacent bouge. Cette notion est trop complexe pour que l’on en discute ici, mais elle
a entre autres conséquences de conduire à des prix trop peu conservateurs sur certaines options, en
particulier les options barrières ou les options à cliquet.
7.2
Volatilité stochastique
Les modèles à volatilité stochastique vont au delà du modèle à volatilité locale, en supposant que la
volatilité est un processus stochastique avec une dynamique propre. On postule (toujours en travaillant
directement sous la probabilité neutre au risque pour le compte d’épargne)
dSt
= (r(t) − q)dt + σt dWt
St
32
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(21)
où {σt } est un processus stochastique. Dans le cas du modèle de Heston [Hes93], la dynamique de la
variance instantanée (carré de la volatilité) est donnée par un processus de type retour à la moyenneracine carrée
dσt2 = κ(θ − σt2 )dt + ξσt dWtσ
(22)
où {W σ } est un deuxième brownien standard, avec une corrélation ρ entre les deux brownien, i.e.
dhWt , W σ it = ρdt. On admet que ces EDS ont une solution. Dans le cas du modèle de Heston il suffit
que 2κθ > ξ 2 (condition de Feller). Typiquement les paramètres de la dynamique de la volatilité sont
calibrés de manière à ce que le modèle reproduise au mieux les prix d’options observables.
Calls et puts européens avec le modèle de Heston. Le modèle de Heston est populaire car il
conduit à des formules semi-analytiques pour les prix de calls et puts européens, simples et rapides à
calculer, et donc se prêtant bien aux algorithmes de calibration. En substance, la fonction caractéristique E[eiu ln ST ] se calcule explicitement, et permet d’obtenir la densité de ln ST par transformée de
Fourier, à partir de laquelle on peut facilement calculer les prix d’options européennes. Une excellente
référence pour l’implémentation de ces formules est l’article de Kahl et Jäckel [KJ05].
Lien avec la volatilité locale. La formule de Itô-Tanaka que l’on a utilisé pour obtenir la formule
de Dupire dans le cadre de la volatilité locale s’applique aussi à la volatilité stochastique
1
d(ST − K)+ = 1ST >K dST + δST =K ST2 σT dT
2
et en passant à l’espérance
1
E[d(ST − K)+ ] = E[1ST >K ST ](r(T ) − q)dT + E[δST =K ST2 σT2 ]dT
2
1
= E[1ST >K ST ](r(T ) − q)dT + E[δST =K ]K 2 E[σT2 |ST = K]dT
2
On obtient alors
2
E[σT2 |ST = K] = σloc
(K, T )
(23)
où σloc (K, T ) est la volatilité locale de la section précédente. Cette équation est connue sous le nom
de théorie unifiée de la volatilité de Dupire (voir [Dup96]). Elle est très utile pour aider à la compréhension du lien entre prix d’options observés et dynamique de la volatilité, et sert en particulier à
l’implémentation de modèles mixtes volatilité stochastique-volatilité locale.
8
Méthodes numériques
Il y a trois grandes catégories de méthodes employées pour la résolution des modèles de valorisation
des produits dérivés :
1. les formules fermées ou analytiques ou semi-analytiques ;
2. les méthodes de Monte-Carlo ;
3. les méthodes de discrétisation des EDP telles que les différences finies.
Comme illustration prenons l’exemple du modèle de Black, Scholes et Merton. Pour les calls et les
puts européens on dispose de la formule de Black & Scholes, qui rentre dans la catégorie des formules
fermées, se calcule analytiquement et s’implémente simplement. Pour des options plus complexes pour
lesquelles il n’y a pas de formules fermées on peut recourir à une méthode de Monte-Carlo : on simule
des trajectoires du sous-jacent sous la probabilité risque neutre, et on calcule l’espérance du payoff
comme moyenne empirique sur les trajectoires simulées. Alternativement, on peut partir de l’EDP (8)
et lui appliquer une méthode de différences finies.
Les méthodes de Monte-Carlo et les méthodes de discrétisation des EDP sont des méthodes numériques. On va les présenter brièvement.
33
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8.1
Méthodes de Monte-Carlo
Sur les méthodes de Monte-Carlo appliquées à la finance quantitative on lira avec profit l’excellent
livre de Paul Glasserman [Gla04], qui couvre la totalité de ce dont on a besoin en pratique. On se
contentera donc ici d’introduire ces méthodes.
On a vu que le prix à l’origine d’une option européenne de payoff f (ST ) à T s’écrit
f (ST )
0
v0 = S0 EP0∗
.
ST0
Le principe de la méthode de Monte-Carlo est de calculer cette espérance par simulation de la variable
aléatoire ST . Pour fixer les idées on se place dans le cadre du modèle de Black, Scholes et Merton,
sous la probabilité risque neutre pour le compte d’épargne,
dSt
= (r − q)dt + σdWt
St
ou encore
1
St = Ss e(r−q− 2 σ
2 )(t−s)+σ(W
t −Ws )
,s < t
Options européennes. On veut calculer v0 = E[pT ] où pT = e−rT f (ST ). ST s’écrit
1
ST = S0 e(r−q− 2 σ
2 )T +σ
√
Tφ
où φ suit une loi normale N (0, 1) de moyenne 0 et écart type 1. On simule donc une suite pseudo
aléatoire φn , n = 1, ..., N de N (0, 1) indépendantes
(on va voir plus loin comment), à partir desquelles
√
(r−q− 21 σ 2 )T +σ T φn
on génère les ST,n = S0 e
et on calcule l’option comme moyenne empirique
N
1 X
ṽ0 =
pT,n où pT,n = e−rT f (ST,n ).
N
n=1
Options dépendant de la trajectoire. La méthode de Monte-Carlo est particulièrement appropriée au calcul d’options dépendant de la trajectoire (path dependent) telles que les options barrières
ou les options asiatiques. Considérons une option dont le payoff à T f (St1 , ..., StK ) est une fonction
de l’historique du cours à des dates 0 < t1 < ... < tK ≤ T . Si le payoff dépend en fait du continuum
des St on se ramène a un nombre fini de dates en discrétisant le temps. On veut à présent calculer
v0 = E[pT ] où pT = e−rT f (St1 , ..., StK ). Pour cela, notons que
1
Stk = Stk−1 e(r−q− 2 σ
√
2 )(t −t
k
k−1 )+σ tk −tk−1 φk
où les φk sont indépendantes de loi normale N (0, 1). On simule donc une suite pseudo aléatoire φk,n ,
k = 1, ..., K, n = 1, ..., N de N (0, 1) indépendantes, à partir desquelles on obtient les Stk ,n calculés
comme
√
1 2
Stk ,n = Stk−1 ,n e(r−q− 2 σ )(tk −tk−1 )+σ tk −tk−1 φk,n
puis on calcule l’option comme moyenne empirique
N
1 X
pT,n où pT,n = e−rT f (St1 ,n , ..., StK ,n ).
ṽ0 =
N
n=1
Simulation de la loi normale. De nombreux logiciels permettent de générer des suites de nombres
pseudo-aléatoires indépendants de loi normale. Alternativement si on ne dispose que d’un générateur
de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme sur [0, 1] on peut employer la méthode de la transformée
inverse, ou la méthode de Box-Muller.
34
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— Transformée inverse : on simule une variable U de loi uniforme sur [0, 1] et on calcule Z =
N −1 (U ) où N (.) est la fonction de répartition de la loi normale. On a en effet
P (Z ≤ z) = P (N −1 (U ) ≤ z) = P (U ≤ N (z)) = N (z).
— Box-Muller
p : elle consiste à transformerpu1 et u2 indépendants et de loi uniforme sur ]0, 1]
en x1 = −2 ln(u1 ) cos(2πu2 ) et x2 = −2 ln(u1 ) sin(2πu2 ) qui sont indépendants et de loi
normale N (0, 1).
On peut aussi utiliser une forme dite cartésienne de la méthode de Box-Muller, plus rapide à
calculer : on tire u et v indépendants et de loi uniforme sur [−1, 1] et on calcule z = u2 + v 2 . Si z > 1
ou z =p0 on rejette ce tirage p
et on tire de nouveaux u et v, jusqu’à ce que 0 < z ≤ 1, et on calcule
x1 = u −2 ln(z)/z et x2 = v −2 ln(z)/z qui sont indépendants et de loi normale N (0, 1).
Cas multidimensionnel. La méthode de Monte-Carlo se prête très bien au cas multidimensionnel.
Supposons une option sur plusieurs sous-jacents, dans le cadre d’un modèle de Black, Scholes et Merton
multidimensionnel de type
dSti
= (r − qi )dt + σi dWti
St
pour i = 1, ..., I, avec corrélations ρi,j , i.e. dhW i , W j it = ρi,j dt. Alors, en se replaçant
pour simplifier
√
(r−qi − 12 σi2 )T +σi T φi
i
i
dans le cas de l’option européenne, on veut simuler les ST = S0 e
où φ = (φ1 , ..., φI )
est une loi normale multidimensionnelle de moyenne zéro et de matrice de variance-covariance Σ avec
Σi,i = 1 et Σi,j = Σj,i = ρi,j pour i 6= j.
Pour générer une suite pseudo aléatoire φn = (φ1n , ..., φIn ) on procède de la manière suivante : On
applique une factorisation de Cholesky LLT = Σ où L est une matrice triangulaire inférieure. On
vérifie facilement que si φ = Lφ̃ avec φ̃ une loi normale multidimensionnelle de moyenne zéro et de
matrice de variance-covariance l’identité, alors φ a comme moyenne zéro et comme variance covariance
Σ. Il suffit alors de générer une suite φ̃in de nombres pseudo aléatoires indépendants de loi N (0, 1) pour
obtenir la suite (φ1n , ..., φIn ).
p
√
Convergence. En vertu de Central-limite, N (ṽ0 − v0 )/ var[pT ] converge en loi vers une N (0, 1).
On enpdéduit que
√ ṽ0 − v0 est approximativement de distribution Gaussienne de moyenne 0 et d’écart
type var[pT ]/ N . var[pT ] est estimé par
N
1 X 2
pT,n − ṽ02
N
n=1
d’où l’écart type de ṽ0 − v0 estimé par
v
u
u
t
!
N
√
1 X 2
pT,n − ṽ02 / N .
N
n=1
Amélioration de la convergence.
√ On sait du théorème central-limite que la convergence de la
méthode de Monte-Carlo est en 1/ N . Pour améliorer la précision on a généralement recours à la
technique de la trajectoire antithétique : Pour chaque trajectoire
1
Stk ,n = Stk−1 ,n−1 e(r−q− 2 σ
√
2 )(t −t
k
k−1 )+σ tk −tk−1 φk,n
on utilise aussi la trajectoire antithétique de même probabilité
1
StAk ,n = StAk−1 ,n−1 e(r−q− 2 σ
√
2 )(t −t
k
k−1 )−σ tk −tk−1 φk,n
.
Ceci permet de réduire la variance du résultat. On a aussi parfois recours à des méthodes plus générales
de réduction de la variance, consistant à utiliser l’existence de solutions analytiques pour des options
plus simples, qui servent à « contrôler » l’erreur de la valorisation par Monte-Carlo.
35
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Option américaines. La méthode de Monte-Carlo est mal adaptée aux options américaines. En
effet pour pouvoir appliquer la test d’exercice anticipé (c.f. (15) dans le cas binomial) il faudrait
disposer du prix de l’option dans le futur, ce qui nécessiterait de simuler en chaque point du futur
des sous trajectoires aux trajectoires existantes, et est irréalisable en pratique. Il existe des techniques
relativement pointues permettant de contourner ce problème, telle que la technique de stratification,
mais elles sont délicates à mettre en oeuvre. Autant que possible on préfère pour les options américaines
utiliser des méthodes de discrétisation, qui seront abordées dans la section suivante.
Quasi Monte-Carlo. On terminera cette section en mentionnant les méthodes de Quasi MonteCarlo. Celles ci consistent à remplacer les suites pseudo aléatoires par des suites quasi aléatoires
dites à discrépance faible (e.g. suites de Sobol), mieux distribuées dans l’espace et conduisant à une
convergence bien plus rapide en 1/N 1− .
8.2
Méthodes de discrétisation des EDP
Les méthodes de discrétisation consistent à discrétiser l’EDP de valorisation de type (8) en temps
et en espace de manière à la résoudre numériquement. L’intérêt de ces méthodes est que l’on dispose
alors du prix de l’option en tout point de temps et espace et pas seulement à l’origine comme dans le
cas d’une méthode de Monte-Carlo. Cela permet en particulier d’appliquer le test d’exercice anticipé
pour la valorisation des options américaines.
Le modèle binomial comme schéma de discrétisation. Considérons le modèle binomial de la
section 2.4, et choisissons
U
1
= e(r− 2 σ
D = e
2 )δt+σ
(r− 12 σ 2 )δt−σ
√
√
δt
δt
.
On note vi,k la valeur de l’option au noeud (Si,k = S0 U i Dk−i , tk = kδt), et on suppose que vi,k =
V (Si,k , tk ) où (S, t) → V (S, t) est une fonction C 2 en S et C 1 en t. Rappelons la récursion dans l’arbre
binomial
V (Si,k , tk ) = e−rδt [p∗ V (Si+1,k+1 , tk+1 ) + (1 − p∗ )V (Si,k+1 , tk+1 )]
= e−rδt [p∗ V (Si,k U, tk + δt) + (1 − p∗ )V (Si,k D, tk + δt)]
avec p∗ = (erδt − D)/(U − D). Effectuons un développement limité :
√
U = 1 + rδt + σ δt + O(δt3/2 )
√
D = 1 + rδt − σ δt + O(δt3/2 )
p∗ = 1/2 + O(δt3/2 )
d’où en notant S = Si,k et t = tk pour plus de lisibilité
V (S, t) = (1/2 + O(δt3/2 ))(1 − rδt + O(δt2 ))
√
√
V (S(1 + rδt + σ δt + O(δt3/2 )), t + δt) + V (S(1 + rδt − σ δt + O(δt3/2 )), t + δt)
= (1 − rδt)V (S, t) +
∂V
∂V
1
∂2V
(S, t)δt + rSδt
(S, t) + σ 2 S 2 δt 2 (S, t) + O(δt3/2 )
∂t
∂S
2
∂S
et donc
∂V
∂V
1
∂2V
(S, t) + rS
(S, t) + σ 2 S 2 2 (S, t) − rV (S, t) + O(δt1/2 ) = 0.
∂t
∂S
2
∂S
A la limite δt → 0 on retombe ainsi sur l’EDP de valorisation (8) du modèle de Black, Scholes
et Merton. Le modèle binomial s’interprète donc comme un schéma de discrétisation de l’EDP de
valorisation, et on peut montrer (on ne le fera pas ici) que les vi,k convergent bien vers la solution de
l’EDP. Ceci n’est pas surprenant puisque par convergence des marches aléatoires vers le mouvement
brownien on sait que le modèle binomial converge en loi vers le modèle de Black, Scholes et Merton.
36
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Différences finies. Pour simplifier on suppose r = 0 (on peut toujours s’y ramener en travaillant
avec e−rt V (S, t)), et on cherche à résoudre l’EDP
∂V
∂V
1
∂2V
(S, t) + µ(S, t)
(S, t) + σ(S, t)2 2 (S, t) = 0
∂t
∂S
2
∂S
(24)
avec la condition terminale V (S, T ) = f (S). L’idée est de discrétiser le temps et l’espace, avec un pas
d’espace δS et un pas de temps δt. Choisissons une borne inférieure L et une borne supérieure U pour
S, et δS = (U − L)/I, δt = T /K. Ceci conduit à une grille de la forme (Si = L + iδS, tk = kδt),
i = 0, ..., I, k = 0, ..., K. On va chercher une solution vi,k qui converge vers V (Si , tk ). On part bien sur
de la condition terminale vi,K = f (Si ). On va discrétiser l’EDP. Les dérivées sont approximées par
respectivement
∂V
(Si , tk ) =
∂t
∂V
(Si , tk ) =
∂S
∂2V
(Si , tk ) =
∂S 2
vi,k+1 − vi,k
δt
vi+1,k − vi−1,k
2δS
vi+1,k + vi−1,k − 2vi,k
δS 2
Différences finies explicites. On suppose connus les vi,k+1 pour tous les i = 0, ..., I. On remplace
dans (24) la dérivée en temps par son approximation, et les dérivées en espace par leur approximations
évaluées en k + 1. On obtient donc
vi,k+1 − vi,k
vi+1,k+1 − vi−1,k+1 1
vi+1,k+1 + vi−1,k+1 − 2vi,k+1
+ µ(Si , tk )
+ σ(Si , tk )2
=0
δt
2δS
2
δS 2
que l’on réarrange en
δt
1
δt
vi,k = −µ(Si , tk )
+ σ(Si , tk )2 2 vi−1,k+1
2δS 2
δS
δt
1
2 δt
2 δt
+ 1 − σ(Si , tk )
vi,k+1 + µ(Si , tk )
+ σ(Si , tk )
vi+1,k+1
δS 2
2δS 2
δS 2
(25)
On obtient ainsi un schéma de différences finies explicites : le terme vi,k se calcule explicitement à
partir des termes vj,k+1 pour j = i − 1, i, i + 1.
vi,k
r
r
r
((r
(((
(
(
(
r h
(
r
h
hhhh
hhhr
r
r
r
vi+1,k+1
vi,k+1
vi−1,k+1
-
k
k+1
Notons que (25) ne s’applique que pour 1 < i < I. Il faut ajouter des conditions au bord pour
le calcul de v0,k et vI,k . Selon la nature du problème on emploie souvent une condition de Dirichlet
de type V (L, t) = VL (ou V (U, t) = VU ) ou une condition de Neumann de type ∂V (L, t) = dL (ou
∂S
∂V (U, t) = d ). Par exemple pour un call européen on se convainc facilement que V (L, t) = 0 et
U
∂S
V (U, t) = U sont des conditions appropriées. Dans le cas de conditions de Dirichlet on obtient donc
les équations supplémentaires v0,k = VL et vI,k = VU , et dans le cas de conditions de Neumann on
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a (en approximant les dérivées premières en espace au bord par respectivement (v1,k − v0,k )/δS et
(vI,k − vI−1,k )/δS) v0,k = v1,k − dL δS et vI,k = vI−1,k + dU δS.
L’analyse numérique nous enseigne que sous condition (dite de stabilité) δt ≤ δS 2 /σ(S, t)2 pour
tout S et t, les vi,k convergent vers V (Si , tk ) où V (S, t) est la solution de notre EDP (24), avec une
convergence en O(δt, δS 2 ).
Notons
δt
1
δt
+ σ(Si , tk )2 2
2δS 2
δS
δt
1
2 δt
= µ(Si , tk )
+ σ(Si , tk )
.
2δS 2
δS 2
pi,k = −µ(Si , tk )
qi,k
Le schéma (25) devient
vi,k = pi,k vi−1,k+1 + (1 − pi,k − qi,k )vi,k+1 + qi,k vi+1,k+1 .
Supposons que
0 ≤ pi,k ≤ 1, 0 ≤ qi,k ≤ 1 et 0 ≤ pi,k + qi,k ≤ 1.
(26)
Alors on a ainsi construit une chaine de Markov {Xk } avec comme probabilités de transition P (Xk+1 =
i − 1|Xk = i) = pi,k , P (Xk+1 = i|Xk = i) = 1 − pi,k − qi,k et P (Xk+1 = i + 1|Xk = i) = qi,k , et on a
vi,k = E[vk+1 | Xk = i].
On retombe bien sur l’approche probabiliste de l’évaluation des actifs contingents, et notre schéma
de différences finies s’interprète comme une discrétisation du modèle probabiliste continu. Enfin, (26)
n’est satisfaite que ssi δt ≤ δS 2 /σ(Si , tk )2 pour tout i et k, et on retrouve bien notre condition de
convergence.
Différences finies implicites. La condition de stabilité δt ≤ δS 2 /σ(S, t)2 du schéma explicite est
en fait très contraignante, puisque pour augmenter le nombre de points de discrétisation en espace par
un facteur f il faut augmenter le nombre de points de discrétisation en temps par un facteur f 2 . On
préfère donc les schémas implicites, qui sont inconditionnellement stables. Pour se faire on évalue les
dérivées en espace non pas en k + 1 mais en k. Ceci conduit à
vi,k+1 − vi,k
vi+1,k − vi−1,k
vi+1,k + vi−1,k − 2vi,k
1
+ µ(Si , tk )
+ σ(Si , tk )2
=0
δt
2δS
2
δS 2
que l’on réarrange en
δt
1
2 δt
2 δt
1 + σ(Si , tk )
vi,k − −µ(Si , tk )
+ σ(Si , tk )
vi−1,k
δS 2
2δS 2
δS 2
δt
1
δt
− µ(Si , tk )
+ σ(Si , tk )2 2 vi+1,k = vi,k+1 .
2δS 2
δS
(27)
Le schéma est à présent implicite : On a un système linéaire de I équations à I inconnues (en tenant
compte des conditions aux bord, comme dans le cas explicite) qu’il faut résoudre.
vi+1,k
vi,k
vi−1,k
r
r
rhhh
r
hhh
h
h
h
r
(r
((((
r((((
r
r
r
vi,k+1
-
k
k+1
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Le système linéaire se résout en fait facilement car il est tridiagonal. L’analyse numérique nous enseigne
cette fois ci que ce schéma est inconditionnellement stable et que les vi,k convergent vers V (Si , tk ) en
O(δt, δS 2 ).
Notons que l’on peut de nouveau interpréter le schéma comme une chaı̂ne de Markov qui discrétise
le modèle probabiliste continu. En effet, l’inversion du système linéaire (27) conduit à
X
vi,k =
pi,j,k vj,k+1
j
et on peut vérifier que 0 ≤ pi,j,k ≤ 1 pour tout i, j et k (c’est de nouveau l’interprétation probabiliste
de la stabilité du schéma). Les pi,j,k s’interprètent alors bien comme les probabilités de transition d’une
chaine de Markov.
Schémas mixtes. On peut combiner les différences finies explicites et implicites en prenant un
schéma λ implicite et 1 − λ explicite. Cela revient à utiliser comme dérivées en espace
λ
vi+1,k − vi−1,k
vi+1,k+1 − vi−1,k+1
+ (1 − λ)
2δS
2δS
et
vi+1,k + vi−1,k − 2vi,k
vi+1,k+1 + vi−1,k+1 − 2vi,k+1
+ (1 − λ)
.
2
δS
δS 2
On doit de nouveau résoudre un système tridiagonal. Le schéma mixte est inconditionnellement stable
dès lors que λ ≥ 1/2. Lorsque λ = 1/2 on a un schéma de Crank–Nicolson. Celui ci a l’avantage d’être
inconditionnellement stable et de converger en O(δt2 , δS 2 ).
λ
Options américaines. Les schémas de différences finies décrits ci dessus se modifient aisément pour
la valorisation d’options américaines : soit f (S, t) le payoff de l’option en cas d’exercice à t. On calcule
les vi,k à partir des vi,k+1 comme précédemment, puis on applique la possibilité d’exercice anticipé en
remplaçant les vi,k par
max(vi,k , f (Si , tk )).
Changement de variable. Pour un meilleur conditionnement du système linéaire à résoudre on a
δt
intérêt à ce que les termes en σ(Si , tk )2 δS
2 soient du même ordre de grandeur. Pour ce faire on procède
souvent à un changement de variable visant à rendre σ constant en espace. Soit un changement de
variable x = x(S, t) satisfaisant à
∂x
σ(S, t)
= σ̃ constant.
∂S
Alors l’EDP (24) se ramène à une EDP de la forme
∂V
1 ∂2V
∂V
(x, t) + µ̃(x, t)
(x, t) + σ̃ 2 2 (x, t) = 0.
∂t
∂x
2 ∂x
En particulier dans le cas du brownien géométrique σ(S, t) = σS on utilise le changement de variable
x = ln(S).
Cas multidimensionnel. Les schémas implicites dans le cas de plusieurs dimensions ne conduisent
plus à des systèmes tridiagonaux. On a alors recours à une décomposition des opérateurs linéaires
qui forment le schéma. Une méthode populaire est la méthode dite ADI pour alternate direction
implicit. En pratique au delà de la dimension 3 la puissance de calcul et la mémoire requises sont trop
importantes, et on préfère les méthodes de Monte-Carlo.
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