a)
i
13.
z
b) i v) 1 g) -1
1 i
1 i
kompleks sonning modulini toping
a) 1 b) 0 v) 2 g)
14.
z  1  i 2007
a) 
v)

15.

4
b)
  n, n  0,  1,  2, 
z3  1
a) 1; 
v) 1; 
kompleks sonning argumentini toping
 2 n, n  0,  1,  2, 
4

1
2
g)

4

 2 n, n  0,  1,  2, 

4
tenglamaning barcha yechimlarini toping
1
3
1
3
i
;  i
2
2
2
2
 1; 
b)
3
1
1
3
i ;  i
2
2
2
2
g)
1
3
1
3
i
;  i
2
2
2
2
 1; 
1
3
3
1
i
; 
i
2
2
2
2
§ 2. Ketma-ketlikning limitik nuqtasi. Bolsano –Veyershtrass
teoremasi. Limitlar nazariyasining asosiy teoremalari. Koshi
kriteriyasi
2.1-ta’rif. Agar
 zn n1

ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlari
a  C nuqtaning ixtiyoriy   0 atrofi U (a)  z : z  a    da yotsa,
u holda a nuqtaga berilgan ketma-ketlikning limitik nuqtasi deyiladi.
2.1-misol.

n
n 
i
 zn n1  
2
1  n 1  n n1

(2.1)
ketma-ketlikning a  1 nuqta limitik nuqtasi ekanligini ko’rsating.
Yechish. a  1 limitik nuqta ekanligini ko’rsatish uchun avval
zn  a
2
ni baholaymiz:
35
n
n 2
1
n2
2
2
2
zn  a  (
 1)  (
) 


 2.
2
2
2 2
2
1 n
1 n
(1  n)
(1  n )
(1  n)
n
2
Bu yerdan,
zn  a 
2
, (n  1, 2,...)
n
(2.2)
tengsizlik hosil bo’ladi.
 2
 ixtiyoriy son va N  N     1 bo’lsin. U holda (2.2) dan
  
n  N uchun
z n a   kelib chiqadi. Bu tengsizlik (2.1) ketma-
ketlikning cheksiz ko’p z N 1 , z N 2 , ... hadlari a nuqtaning  atrofi
U  ( a ) da joylashishini ko’rsatadi. Demak, ta’rifga asosan a  1 berilgan
ketma-ketlikning limitik nuqtasi bo’ladi. Bu ketma-ketlikning limitik
nuqtasi yagona ekanligini, ya’ni a  1 dan boshqa limitik nuqtasi mavjud
emasligini ko’rsatish qiyin emas.
Haqiqatdan, faraz qilaylik (2.1) ketma-ketlikning a*  1
limitik
nuqtasi mavjud bo’lsin. a  1 nuqtaning ixtiyoriy kichik U  ( a ) atrofida
(2.1) ketma-ketlikning ma’lum N  N  nomerdan boshlab barcha
hadlari yotganligi sababli U  ( a ) atrofdan tashqarida yotgan hadlarining
soni
cheklitadir.
a*
nuqtaning
U (a) I U1 (a* )  
shartni
qanoatlantiruvchi atrofini qaraymiz (bu shartni qanoatlantiruvchi
U1 (a* ) atrof mavjud, chunki a  a* ). Hozirgi aytilganga ko’ra U1 (a* )
atrof (2.1) ketma-ketlikning faqat chekli sondagi hadlarinigina o’zida
saqlashi mumkin, bu esa a* limitik nuqta degan farazimizga ziddir.
36
Demak, (2.1) ketma-ketlikning a  1 dan farqli birorta ham limitik
nuqtasi mavjud emas.
2.2-misol.

n

 i (1) n 
 zn n1  
1  n
n1

(2.3)
ketma-ketlikning limitik nuqtalari a1  1  i va a2  1  i sonlardan
iborat ekanligini ko’rsating.
Yechish. a1  1  i va a2  1  i nuqtalar berilgan ketma-ketlikning
limitik nuqtalari ekanligini ko’rsatish uchun ikkita holni qaraymiz :
a) n  2m, m  1, 2, L bo’lsin. Bu holda
zn  (1  i)  (1 
2
bundan, zn  (1  i ) 
1
,
m
2m 2
1
1
1
) 


,
2m  1
(2m  1)2 4m2 m2
m  1, 2, L hosil bo’ladi. 2.1-misoldagi kabi
1
N  N     1 deb olsak, barcha m  N uchun
 
z2 m  1  i  
tengsizlik bajariladi. Bundan ko’rinadiki (2.3) ketma-ketlikning 2N
nomerdan boshlab barcha juft indeksli hadlari U  (1  i ) atrofda
joylashgan bo’ladi. Demak, a1  1  i nuqta berilgan ketma-ketlikning
limitik nuqtasidan iborat ekan.
b)
n  2m  1, m  1, 2, L
bo’lsin.
Bu
holda
xuddi
2.1-
misoldagidek (2.3) ketma-ketlikning 2 N  1 nomerdan boshlab barcha
toq indeksli hadlari U  (1  i) atrofda yotishini ko’rsatish mumkin.
Demak, a2  1  i nuqta berilgan ketma-ketlikning limitik nuqtasi
bo’ladi. 2.1-misolda ko’rsatilgani kabi (2.3) ketma-ketlikning boshqa
37
limitik nuqtalari mavjud emasligini ko’rsatish (mustaqil tarzda tekshirish
tavsiya etiladi) qiyin emas.
2.2-ta’rif. Agar  zn n1 ketma-ketlikning har bir hadini moduli biror

musbat sondan kichik bo’lsa, ya’ni shunday chekli M  0 son mavjud
bo’lib, barcha zn lar uchun
zn  M , n  1,2,...
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda
 zn n1

ketma-ketlik chegaralangan
deyiladi.
Bu tengsizlik geometrik jihatdan ketma-ketlikning barcha hadlari
markazi koordinata boshida bo’lgan
radiusli doira ichida
M
joylashganligini bildiradi.
2.1-misolda qaralgan ushbu

n
n 
i
 zn n1  
2
1  n 1  n n1

kompleks sonlar ketma-ketligi chegaralangan, chunki п  N ( N natural sonlar to’plami) uchun
2
zn
2
n
n
n 2
n 2
2n 2

i
(
) (
) 
 2,
1  n 1  n2
1 n
1  n2
(1  n) 2
ya’ni zn  2 bo’ladi.
2.3-misol.
Ushbu ketma-ketlikni

n

 i 1  (1) n  e2 n 
 zn n1  
1  n
n1

(2.4)
chegaralanganlikka tekshiring.
Yechish. (2.4) ketma-ketlik chegaralanmaganligini ko’rsatamiz.
Haqiqatdan,
38
2
zn
2
2
n
 n 
n 2 2n

 e ,

 i 1  (1)n  e2 n  

1

(

1)
 
1 n
1 n 
z2 m
2
4m 2

 4e 4 m  e 4 m , z2 m  e 2 m ,
2
(1  2m)
bu yerda m ixtiyoriy bo’lganligi sababli (2.4) ketma-ketlikning barcha
hadlarini markazi
nuqtada bo’lgan chekli radiusli aylana ichiga
0
joylashtirish mumkin emas. (2.4) ketma-ketlikning limitik nuqtasi a  1
ekanligini tekshirish oson. Buning uchun n  2m  1, m  1,2,L deb olib,
2.1, 2.2–misollardagidek mulohaza yuritish kerak bo’ladi. (2.4) ketmaketlikning boshqa limitik nuqtasi yo’qligini ko’rsating.
2.4-misol.
 zn n1  1  inn1


ketma-ketlikni chegaralanmagan va
limitik nuqtaga ega emasligini ko’rsating.
Yechish. Haqiqatdan chegaralanganlik ta’rifidan zn
2
 1  n 2 va
M  0 - bo’lmasin shunday n -natural son topiladiki, n  M tengsizlik
bajariladi. Shuning uchun
zn  1  n 2  n  M . Bundan esa, С
kompleks sonlar tekisligidan qanday nuqta olmaylik, uning ixtiyoriy
atrofida bu ketma-ketlikni ko’pi bilan chekli dona nuqtalarigina
saqlanishi mumkin.
2.3-ta’rif. Agar chegaralangan ketma-ketlik yagona limitik nuqtaga
ega bo’lsa, bu ketma-ketlikka yaqinlashuvchi deyiladi.
Demak,   0 son olinganda ham shunday natural n0  n0 ( ) son
topilsaki, barcha n  n0 sonlar uchun
zn  a  
39
( a  )
tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda  zn n1 ketma-ketlik a kompleks songa

yaqinlashadi deyiladi va
lim zn  a
n
yoki n   da zn  a kabi belgilanadi.
Boshqacha aytganda, agar lim | zn  a | 0 bo’lsa, a son bu
n
ketma - ketlikning limiti deyiladi.
2.5-misol. Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib,

n  in  1  i 
 zn n1  

n

n1

ketma-ketlikni a  1  i limitga ega ekanligini isbotlang.
Yechish. a)   0 - ixtiyoriy son bo’lsin. a  1  i nuqtaning
 -atrofini qaraymiz. Shunday
N  nomer
topiladiki,
n  N
da
qaralayotgan ketma-ketlikning barcha zn nuqtalari a  1  i nuqtaning
-
atrofida joylashishini ko’rsatish kerak; boshqacha aytganda,
zn  (1  i)  
(2.5)
tengsizlik bajariladi. Shunday qilib,
zn  (1  i) 
n  in  1  i
1 i
2
 (1  i) 

.
n
n
n
U holda (2.5) tengsizlik
2

n
ko’rinishga ega. N -
(2.6)
2
2
1
sonning butun qismi bo’lsin (agar
n
n
2
bo’lsa, u holda N  1 ). Bunda har bir n  N da n 
, haqiqatdan,

40
(2.6) va (2.5) tengsizliklar bajariladi. 1  i nuqtaning atrofini tanlash
ixtiyoriy-ligidan ko’rinadiki, 1  i son  zn n1 ketma-ketlikning limiti

bo’ladi.
2.4-ta’rif. Agar ketma-ketlik chegaralanmagan yoki bittadan ortiq
limitik nuqtaga ega bo’lsa, u holda u uzoqlashuvchi ketma-ketlik
deyiladi.
2.1-misoldagi ketma-ketlik yaqinlashuvchidir. (U chegaralangan
va yagona limitik nuqtaga ega).
2.2-misoldagi ketma-ketlik chegaralangan, lekin ikkita limit
nuqtaga ega. Ta’rifga asosan, bu ketma-ketlik uzoqlashuvchidir.
2.3- va 2.4- misollarda yaqinlashish haqida so’z ham bo’lishi
mumkin emas, chunki bu ketma-ketliklar chegaralanmagandir.
2.6-misol.
 zn n1 ,

bu yerda zn  a n ketma-ketlik a kompleks
parametrning qanday qiymatlarida yaqinlashishini aniqlang.
Yechish. a) Agar a  1 bo’lsa, u holda ixtiyoriy   0 sonni olib,
unga ko’ra n0 natural son quyidagicha
n0  n0 ( )  log a  


aniqlansa, ( a   tengsizlikni yechib topiladi:
n
a    log a a  log a   n  log a  ),
n
n
n
u holda, barcha n  n0 uchun zn  a   tengsizlik bajariladi. Bu esa
n
ta’rifga binoan zn  a tenglikdan lim zn  0 va lim zn  lim a n  0
n
kelib chiqadi.
41
n
n
b) Agar a  1 bo’lsa, u holda zn   va zn   , ya’ni ketmaketlik uzoqlashadi.
i
v) a  1 bo’lsin, u holda a  e ,   arg z va zn  a n  ei n . zn  1
zn  1 . n n1 ketma-ketlikning   0 bo’lganda limiti
ekanligidan lim
n

mavjud emas,   0 da lim n  0 . Oxirgi holatdan a  1 , zn  1, lim zn  1
n
n
. Ikkinchi holda zn  a n  ei n  cos n  i sin n ning haqiqiy va
mavhum qismlarining limiti mavjud emasligidan berilgan ketma-ketlikni
uzoqlashvchi ekanligini ko’rsatilishi quyidagi teorema orqali amalga
oshirilishi tavsiya etiladi.
Kompleks sonlar ketma-ketligining yaqinlashishi ikkita haqiqiy
sonlar ketma-ketligining yaqinlashishiga teng kuchidir.
2.1-teorema.  zn    xn  iyn n1 kompleks sonlar ketma-ketligi

a    i (a  C ) limitga ega bo’lishi uchun  xn n1 , va

 yn n1 haqiqiy

xn   , lim yn   bo’lishi
sonlar ketma-ketliklari limitga ega bo’lib, lim
n
n
zarur va yetarli.

 2n  5 4n  7 
i
2.7-misol. Ushbu  zn n1  

 3n  4 5n  2 n1

(n  1,2,...)
kompleks sonlar ketma-ketligining limitini toping.
Yechish. Ravshanki,
zn 
2n  5 4n  7
i
3n  4 5n  2
kompleks sonning haqiqiy qismi xn 
mavhum qismi esa yn 
4n  7
,
5n  2
(n  1,2,...)
2n  5
,
3n  4
(n  1,2,...) ,
(n  1,2,...) bo’ladi.
42
xn  lim
Agar lim
n
n
2n  5 2
  ,
3n  4 3
4n  7 4
 
n 5n  2
5
lim yn  lim
n
ekanini e’tiborga olsak, unda 2.1-teoremaga ko’ra berilgan kompleks
2
3
sonlar ketma-ketligining limiti a    i    i
4
5
ga teng bo’ladi:
2
4
 2n  5 4 n  7 
lim zn  lim 
i

a


i
.

n
n 3n  4
5n  2 
3
5

Ketma-ketlik limitining ta’rifida limitning qiymati qatnashadi.
Lekin har qanday (hatto yaqinlashuvchi ) ketma-ketlik uchun ham
limitning qiymatini topish hamma vaqt ham oson emas. Shu sababli
amalda ketma-ketlik yaqinlashishini limitning qiymati qatnashmaydigan
alomatni ham bilish zarurdir. Bu alomat Koshi kriteriyasidan iboratdir.
Koshi kriteriyasi.   0 son uchun shunday n0  n0 ( ) nomer topilib,
| zn0 m  zn 0 | 
lar uchun bajarilishi  zn n1 ketma
tengsizlik barcha m  1, 2, 3,L
ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun zarur va yetarlidir.
Bu alomatning ma’nosi barcha m  1, 2, 3, K lar uchun va n0   da
zn m  zn  0 dan iborat.
0
0
2.8-misol. Ushbu  zn n1 bu yerda zn 

a a2
a n m
,

K 
14 24
( n  m) 4
a 1
ketma-ketlikning yaqinlashishini isbotlang.
Yechish.
zn  m
m
 a

a
a n1
a nm
4
 zn 

K


a


K


 (n  1) 4
(n  1) 4
( n  m) 4
(n  m) 4 

n 1
n 1
a
1 a
1 a
a
1



 0 , n   , m  1, 2,K .
(n  1)4 (1  a ) (1  a ) (n  1)4 1  a
m
m
Demak, Koshi kriteriyasiga asosan bu ketma-ketlik yaqinlashuvchidir.
43
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar:
2.01. Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib, berilgan ketmaketliklarning ko’rsatilgan limitga ega ekanligini isbotlang.
n2  3i
3 in  n  1
1. zn 
; a  3  i . 2. zn  2
; a  1.
n  2i
1  ni
i
in2  2n2  1
in3  3
3. zn 
; a  2  i . 4. zn  3 ; a  .
2
2
2n  i
n i
2.02. Ushbu ketma-ketliklarning limitga (chekli yoki cheksiz) ega
ekanligini aniqlang va limiti mavjud bo’lsa uni toping. Kompleks
tekislikda ketma-ketlikning birinchi beshta hadini tasvirlang.
n
n
 ein 
i
i
1. zn    . 2. zn  i( 1) . 3. zn   2   . 4. zn  (1)n  .
n
n

 2 
n
2.03. a kompleks parametrning qanday qiymatlarida berilgan ketmaketlik yaqinlashadi:


 an 
 an 
n 
na
1.   . 2.  n1 . 3. 
. 4. 1  a 
n
1

a
n

n1
 n1
 an .
n1

2.04. Quyidagi ketma-ketliklarni yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang va
ularning limitini toping.
 an 
, a  1.
1. 
2n 
1

a


 an 
, a  1.
2. 
2n 
1

a


 a a2
an 
3.  4  4  ...  4  , a  1.
n 
1 2


4.  1  ei  ...  ein  , 0    2 .
1
n



n
 1

1  ei  ei 2  ...   1 ein  ,      .
 n

5. 
zn  A   bo’lsin.
2.05. lim
n
44
z1  z2  ...  zn
 A isbotlang.
n
n
lim
zn  A  ,lim n  B  .
2.06. lim
n
n
z1 n  z2 n1  ...  zn1
 AB isbotlang.
n
n
lim
 1  2  ...  n    bo’lsin.
2.07. 1 , 2 ,... musbat sonlar va lim
n
1 z1  2 z2  ...  n zn
 A tenglik kelib
n
1  2  ...  n
lim zn  A   tenglikdan lim
n
chiqishini isbotlang.
2.08. Ketma-ketliklarni yaqinlashishini isbotlang va ularni limitini
toping.
 1

n  1  nz   n  1 z 2  ...  z n  , z  1, z  1.

n 1

1. 
n
 1 

2n  1   2n  1 z 2   2n  3 z 4  ...   1 z 2 n   , z  1, z  i.

 2n  1 
2. 
 n n  k k 
z  , z  1, z  1.
3. 
n
 k 0

2.09.  -haqiqiy son bo’lsin.
 i 
lim 1    cos   i sin 
n
n

n
isbotlang.
Ko’rsatma. Modul va argument ketma-ketligini (butun 2
karralikkacha aniqlikda) limiti mavjudligini isbotlash va bu limitlarni
hisoblash kerak.
n
 z
1    e x  cos y  i sin y  isbotlang.
2.10. Re z  x,Im z  y bo’lsin. lim

n
 n
45