Lucrare individuală
la disciplina
Statistica Computațională
Problema nr. 1
Tema: Principalele repar.ții discrete și con.nue. Implementarea în limbajul R.
1) Repar.ția binomială
O variabilă aleatorie X având repar2ție binomială se notează 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) unde 𝑛 – numărul
de probe, iar 𝑝 – probabilitatea de apariție a evenimentelor (rezultatelor).
Sarcină: Se aruncă zarul de 23 ori. Fix X, numărul de apariții ale feței 6. Să se calculeze:
• 𝑃(𝑋 = 2), 𝑃(𝑋 ≥ 3), 𝑃(3 < 𝑋 < 5), 𝑃(𝑋 ≤ 8)
• 𝑚! – media lui 𝑋
•
•
•
"
𝜎 # – dispersia (variația) lui 𝑋
Deviația standard a lui 𝑋
Reprezentați grafic distribuția cu ajutorul funcției plotDist
Rezolvare:
• 𝑃(𝑋 = 2).
𝑃(𝑋 = 2) = 𝑝! (2) =
•
𝑃(𝑋 ≥ 3)
•
𝑃(3 < 𝑋 < 5)
"
𝐶"$
1 " 5 "$%"
6 9 6 9
≈ 0.1527608
6
6
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝐹! (2) ≈ 0.7627076
𝑃(3 < 𝑋 < 5) = 𝑃(𝑋 = 4) =
•
𝑃(𝑋 ≤ 8)
•
𝑚! - mediana lui 𝑋
&
𝐶"$
6
1 & 5 "$%&
9 6 9
≈ 0.2138651
6
6
𝑃(𝑋 ≤ 8) = 𝐹! (8) ≈ 0.9913978
𝑚! = 𝑛𝑝 = 23 ∙
1
5
= 3
6
6
"
•
𝜎 # – dispersia (varianța) lui 𝑋
2
1
1
7
𝜎 = npq = 23 ∙ ∙ 61 − 9 = 3
≈ 3.19444
𝑋
6
6
36
•
Deviația standard a lui 𝑋
1
1
𝜎 = F𝑛𝑝𝑞 = H23 ∙ ∙ 61 − 9 ≈ 1.787301
6
6
•
Reprezentați grafic cu ajutorul funcției plotDist
2) Repar.ția Poisson
Variabila aleatorie X este reprezentată Poisson de parametru 𝜆 (𝜆 > 0), dacă are masa de
probabilitate
𝜆' 𝑒 %(
(𝑘)
𝑝!
=
,𝑘 ∈ 𝑁
𝑘!
𝜆 – parametru a variabilei aleatoare 𝑋
Sarcina: Fie X repar2zată Poisson de parametru 𝜆 = 23.
Să se calculeze:
• 𝑃(𝑋 = 2)
• 𝑃(𝑋 ≥ 3)
• 𝑚! – media lui 𝑋
"
• 𝜎 # – dispersia (variația) lui 𝑋
Rezolvare:
• 𝑃(𝑋 = 2).
𝑃(𝑋 = 2) = 𝑝! (2) =
•
23" 𝑒 %& 529 𝑒 %&
=
≈ 2.714267𝑒 − 08
2!
2
𝑃(𝑋 ≥ 3)
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 𝐹! = 1
•
•
𝑚! - mediana lui 𝑋
𝑚! = 𝜆 = 23
"
𝜎 # – dispersia (varianța) lui 𝑋
𝜎
2
= 𝜆 = 23
𝑋
3) Repar.ția uniformă
O variabilă aleatore con2nuă X are repar2ția pe intervalul [a, b], dacă este egal probabil să ia
orice valoare di acest interval.
Sarcina: Fie variabila X repar2zată uniform pe intervalul [0, 29].
Să se calculeze:
• 𝑃(𝑋 = 4)
• 𝑓! (4)
• 𝑃(𝑋 ≥ 10)
• 𝑃(10 < 𝑋 ≤ 20)
• Mediana și dispersia lui 𝑋
• Generați un set de 100 de date aleatorii pe intervalul dat și afișați datele generate cu
ajutorul unei histograme.
Rezolvare:
• 𝑃(𝑋 = 4) = 0, deoarece X este con2nua.
•
𝑓! (4)
𝑓! (4) =
1
1
=
≈ 0.03448276
29 − 0 29
•
𝑃(𝑋 ≥ 10)
𝑃(𝑋 ≥ 10) = 1 − 𝑃(𝑋 < 10) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 10) − 𝑃(𝑋 = 10) = 1 − 𝐹! (10)
10 − 0
10
=1−
=
≈ 0.6551724
29 − 0
29
•
𝑃(10 < 𝑋 ≤ 20)
𝑃(10 < 𝑋 ≤ 20) = 𝐹! (20) − 𝐹! (10) =
•
Mediana și dispersia lui 𝑋
𝑚! =
𝜎
•
20 − 0 10 − 0
20 10
−
=
−
≈ 0.344827
29 − 0 29 − 0
29 29
𝑎+𝑏
0 + 29
=
= 14,5
2
2
2
(𝑏 − 𝑎)"
(29 − 𝑎)"
=
=
≈ 70, ,83333
𝑋
12
12
Generați un set de 100 de date aleatorii pe intervalul dat și afișați datele generate cu
ajutorul unei histograme.
4) Repar.ția Gaussiană (normală)
O variabilă aleatoare X are repar2ția Gaussiană sau normală, dacă are densitatea de forma
1
(𝑥 − 𝑚)"
𝑓! (𝑥) =
𝑒𝑥𝑝 W−
X,
−∞ < 𝑥 < ∞
2𝜎 "
𝜎√2𝜋
Unde 𝑚 și 𝜎 sunt 2 parametri, cu 𝜎 > 0
Sarcina: Fie 𝑋 ~ 𝑁(3, 9)
• Să se calculeze: 𝑃(−2 < 𝑋 ≤ 7)
• Afișați graficul și colorați aria −2 < 𝑋 ≤ 7
•
𝑃(−2 < 𝑋 ≤ 7)
𝑃(−2 < 𝑋 ≤ 7) = 𝐹! (7) − 𝐹! (−2) = 0.8609984
•
Afișați graficul și colorați aria −2 < 𝑋 ≤ 7
5) Repar.ția lognormală
Fie 𝑋~𝑁(𝑚! , 𝜎!" )
Variabila aleatoare 𝑌 = 𝑒 # are repar2ție lognormală.
Sarcină: Fie Y repar2zată lognormal cu 𝑋 = 𝑙𝑛𝑌 ~ 𝑁(4, 2)
• 𝑓) (2)
• 𝑃(𝑌 ≥ 4)
• 𝑃(4 < 𝑌 < 6)
• 𝑃(𝑋 ≤ 8)
• Media lui 𝑌
• Dispersia lui
Rezolvare:
•
𝑓) (2) ≈ 0.02542195
•
𝑃(𝑋 ≥ 4)
•
𝑃(4 < 𝑌 < 6)
•
𝑃(𝑌 ≤ 8)
•
𝑚) - mediana lui 𝑌
𝑃(𝑌 ≥ 4) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 4) = 1 − 𝐹) (4) ≈ 0.9043686
𝑃(4 < 𝑌 < 6) = 𝐹) (6) − 𝐹) (4) ≈ 0.03913913
𝑃(𝑌 ≤ 8) = 𝐹) (8) ≈ 0.1684574
𝜎 " 𝑙𝑛𝑌
𝜎"𝑥
2
𝑚) = 𝜃) 𝑒𝑥𝑝 ]
^ = 𝑒𝑥𝑝(𝑚! ) exp ]
^ = exp 64 + 9 = exp (5)
2
2
2
•
"
𝜎 * – dispersia lui 𝑌
𝜎
2
"
= 𝑚!" 'exp (𝜎#$!
) − 1/ = exp(10) [exp(1) − 1] = exp(11) − exp(10) = 47847,68
𝑌
Concluzie
In uram efectuării lucrări de laborator am făcut cunoș2nță cu principalele 2puri de repar2ție:
- Repar2ția binomială
- Repar2ția Poisson
- Repar2ția uniformă
- Repar2ția Gaussiană (normală)
- Repar2ția lognormală