0 ‘ZBEKIST0N RESPUBLIKASI OLIY VA 0 ‘RTA
MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ISLOM KARIMOV NOMIDAGI
TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNTVERSITETI
J.U. SEVINOV
AVTOMATIK
BOSHQARISH NAZARIYASI
О ‘zbekiston Respublikasi Oliy va о ‘rta maxsus ta ’lim
vazirligining muvofiqlashtiruvchi Kengashi tomonidan
о ‘quv qo 'llanma sifatida tavsiya etilgan
TOSHKENT-2017
UO‘K: 681.5.011 (075.8)
К В К 32.965
S-38
S-38
Sevinov J.U. Avtomatik boshqarish nazariyasi. 0 ‘quv qo‘llanma.
—Т.: «Fan va texnologiya» 2017,248 b.
ISBN 978-9943-11-551-4
0 ‘quv qo'llanma oliy o'quv yurtlarining 5311000 - «Texnologik jarayonlar va ishlab
chiqarishni avtomatlashtirish va bosliqarisb» (kimyo, neft-kimyo va oziq-ovqat sanoati) ta’lim
vo‘nalishi hamda unga turdosh bakalavr ta’lim yo‘nalishlari talabalari uchun mo‘Ijallangan.
0 ‘quv qoilanmada avtomatik boshqarish nazariyasining asosiy tushuncha va ta’riflari,
avtomatik boshqarish tizimlarining matematik ifodalash usullari, chiziqli avtomatik boshqarish
tizimlarining turg'unligini tahlili, chiziqli tizimlarning rostlash sifatini baholash, chiziqli
avtomatik boshqarish tizimlarining sintezlash, shuningdek, nochiziqli avtomatik boshqarish
tizimlari haqida qisqacha ma’lumotlar keltirilgan. Keltirilgan nazariy materiallar misollar
yordamida yoritilgan, mustaqil tayyorlanish uchun esa nazorat savollari va testlar flova qilingan.
***
В учебном пособии изложены основные понятия и определения теории автоматиче­
ского управления, методы математического описания автоматических систем управления,
анализа устойчивости линейных систем автоматического управления, оценки качества ре­
гулирования линейных систем, синтеза линейных систем автоматического управления, а
также в краткой форме описываются нелинейные системы автоматического управления.
Представленные материалы иллюстрируются примерами, контрольными вопросами и со­
провождаются тестовыми задачами для самостоятельной подготовки.
***
The tutorial presents the basic concepts and definitions of automatic control theory, the
mathematical description o f the methods o f automatic control systems, stability analysis o f linear
automatic control systems, assess the quality o f regulation o f linear systems, synthesis o f linear
automatic control systems, as well as briefly describes the nonlinear automatic control system.
The materials are illustrated by examples, control issues and are accompanied by test tasks for
self-training.
Taqrizchilar:
X.Z.Igamberdiyev -
TDTU «Boshqarishda axborot texnologiyalari» kafedrasi
professori, texnika fanlari doktori;
M.A.IsmaiIov
TATU huzuridagi dasluriy rnahsulotlar va apparat «dasturiy majmualar yaratish» Markazining bosh ilmiy xodimi,
texnika fanlari doktori, professor.
-
ISBN 978-9943-11-551-4
© «Fan va texnologiya» nashriyoti, 2017.
KIRISH
Respublikada chuqur bilimga hamda yuqori saviyaga ega boigan yosh
kadrlami tayyorlash va bu kadrlar yordamida ilm-fan, ishlab chiqarishdagi
dolzarb masalalami yechish, yangi natijalarga erishish ishlari jadal olib
borilmoqda. Kadrlar tayyorlash milliy dasturi “Ta’lim to‘g‘risida”gi
0 ‘zbekiston Respublikasi qonunining qoidalariga muvofiq holda boiib,
milliy tajribaning tahlili va ta’lim tizimidagi jahon miqyosidagi yutuqlar
asosida tayyorlangan. Albatta, kadrlami zamon talabi darajasida tayyorlashda fanlardan yaratilgan darslik va o‘quv qoilanmalar muhim ahamiyat
kasb etadi. Bugungi kunda talabalarga har bir fandan nazariy bilimlami
amaliyotga tatbiq etishni mukammal o‘rgata oladigan o‘quv qoilanmalaming mavjudligi muhim masalalardan biridir.
Avtomatik boshqarish nazariyasi - fani nisbatan yaqinda vujudga
kelgan boisada, inson ishtirokisiz ishlovchi alohida qurilmalar qadimdan m aium boigan.
Yevropa sanoatida XVIII asming oxirida sodir boigan birinchi
keskin burilish natijasida vujudga kelgan rostlagichlar (1765-yilda
I.I.PoIzunov bug‘ mashinasi qozonidagi suv sathini rostlagichi, 1784yilda J.Uatt bug‘ mashinasi valining aylanish tezligi rostlagichi) tashqi
muhit ta’siri ostida ishlovchi texnik qurilmalaming ishini stabillashga
moijallangan edi. Eng samarali usul manfiy teskari bogianishdan
foydalanish edi, XIX asrda poluintuitiv kiritildi va kerakli hisobkitoblarsiz bu doim ham kerakli samarani bera olmasdi. Manfiy teskari
bogianishli rostlagichlami qoilashda ko‘pincha taxmin qilingan afzalliklar o‘miga kutilmagan texnik hodisalarga: noturg‘unlik va yangi
harakatlar paydo boiishiga duch kelishar edi. Bu hodisalarni tadqiq etish uchun mos usullar talab qilinardi, bu usullar g‘ayrioddiy
xususiyatlarni nafaqat tushuntirib berishi, balki rostlagichlar tavsifining
umumiy qonuniyatlarini qarab chiqishga imkon berishi lozim edi. Ularning asoslari XIX asming oxirlarida ingliz matematik-mexanigi
D.Maksvellning (1866 y.) hamda rus mexanigi LA.Vishnegradskiyning
(1876, 1877 yy.) «rostlagichlar haqida»gi birinchi asarlarida bayon etib
berildi. Yangi nazariyalarning jadal rivojlanishi elektrotexnik tizimlar,
xususan elektromashinalar va radioavtomatika tizimlarining paydo
boiishi bilan boshlandi. Shu paytgacha, elektr mashinaning tezligini
3
rostlash tizimi avtomatik boshqarishning klassik namunasi hisoblanib
keldi. Keyinchalik ma’lum boidiki, avtomatik boshqaruv nazariyasining
usullari mexanika, energetika, radio- va elektrotexnikada, ya’ni teskari
aloqani qoilash mumkin boigan hamma sohadagi turli fizik tabiatli
obyektlaming ishlashini txishuntirib berishi mumkin ekan. Barcha usullami bir vazifa birlashtirib turadi: o‘tish jarayonlaridagi kerakli aniqlikni*
va qanoatlantiruvchi sifatni ta’minlab berish. Shunday qilib, avtomatik
boshqaruv nazariyasi, mohiyatiga ko‘ra, manfiy teskari bogianishli tizimlardagi jarayonlar nazariyasi hisoblanadi. Ayni vaqtda, avtomatik
boshqaruv nazariyasi o‘zining tahliliy apparati bilan ilmiy langa
aylangan.
Texnologik jarayonlar va ishlab chiqarishni avtomatlashtirish masalalariga avtomatik boshqarishni qoilash texnologik jarayonlami avto­
matik boshqarish tizimlari yordamida amalga oshiriladi. Ularda texno­
logik jarayon va texnologik obyekt holati zamonaviy EHMlardan foydalanilgan holda tahlil qilinadi. Shulardan ko‘rinadiki, avtomatik boshqa­
rish insonlar tomonidan amalga oshiriladi, boshqaruv tizimming texnik
vositalari, shu jumladan, EHMlar boshqaruv yechimlarini ishlab chiqish
va qoilash ning murakkab jarayonida inson imkoniyatlarini ko‘p marta
oshiruvchi qudratli vosita sanaladi. EHMlar asosidagi zamonaviy avto­
matik boshqaruv tizimi hozirgi davr ishlab chiqarish atnaliyotida keng
qoilanilmoqda.
Avtomatik boshqaruv nazariyasining o‘rganish predmeti teskari
bogianishli avtomatik tizimlami konstruksiyalash, ulaming xossalari,
hisoblash usullari hisoblanadi. Fan va texnikaning hozirgi taraqqiyotida
modellarni tuzish uchun odatda, makroolam fxzikasi va mexanikasining
asosiy qonunlari shakllangan, ya’ni differensial tenglamalar apparatidan
foydalaniladi. Shunday ekan, avtomatik boshqaruv nazariyasining
predmeti avtomatik tizim modelining xossalari hisoblanadi, bu xossalar
differensial tenglamalar hamda ularning turli o‘zgartirishlari va
interpretatsiyalari ko'rinishida ifodalanadi.
4
I BOB. AVTOMATIK BOSHQARISH NAZARIYASINING
UMUMIY XUSUSIYATLARI VA TUSHUNCHALARI
Tayanch so ‘zlar va iboralar: kibemetika, texnik kibemetika,
rostlagich, rostlash qurilmasi, boshqarish obyekti, boshqarish tizimi,
boshqaruv ta’siri, g'alayon, chiqish koordinatalari, boshqarish algoritmi,
avtomatik boshqarish, funksional sxema, strukturaviy sxema, prinsipial
sxema, ochiq boshqarish prinsipi, g‘alayon bo‘yicha boshqarish prinsipi,
teskari aloqa yoki og‘ish prinsipi, avtomatik boshqarish tizimlarining
sinflanishi, chiziqli tizim.
1.1. Avtomatik boshqarish nazariyasining
asosiy tushnncha va ta’riflari
Avtomatik boshqarish nazariyasi (ABN) boshqarish to‘g‘risida ilmiy
ta’lim beruvchi ilmiy fanlar qatoriga kiradi. ABN - bu avtomatik
boshqarish tizimi (ABT)da kechuvchi axborot jarayonlari predmetini
o‘rganuvchi ilmiy fandir.
ABN turli fizik tabiatli ABT ning o‘ziga xos umumiy qonuniyatini
va bu qonuniyat asosida yuqori sifatli boshqarish tizimlarini qurish
prinsiplarini ishlab chiqadi [1-7].
ABNda boshqarish prinsiplarini o‘rganish orqali tizimning fizik va
konstruktiv xususivatlardan abstraktlashtiriladi va real tizimning o‘miga
matematik modeli adekvat bo‘lgan tizim ko‘riladi. ABNda asosiy
tadqiqot usuli matematik modellashtirish hisoblanadi. Undan tashqari
ABNning uslubiyot asoslarini quyidagilar tashkil etadi [4,5]:
- odatdagi differensial tenglamalar nazariyasi;
- operatsion hisoblash;
-- garmonik tahlil;
- vektor-matritsali algebra.
1.1.1. Boshqa texnikaviy fanlar bilan o‘zaro aloqasi
ABN boshqarish tizimlari elementlarining ishlash nazariyasi
(datchik, registr) bilan birgalikda avtomatikani tashkil etadi. Avtomatika
texnik obyektlami boshqarish to‘g‘risidagi fan bo‘lib, texnik
5
kibemetikaning bir boiagi hisoblanadi. Shuningdek avtomatika texnik
obyektiami boshqarish uchun kerak boigan axborotlar va ularni qayta
ishlash bilan shug‘ullanuvchi - axborotlar nazariyasi va ABN fanlariga
boiinadi [4,5,8].
Kibemetika - murakkab tizimlar (texnik obyektlar, texnologik
jarayonlar, jonli organizmlar, jamoalar, tashkilotlar va h.k.) ni optimal
boshqarish to‘g‘risidagi fan.
Texnik kibemetika (yoki avtomatik boshqarish nazariyasi) —
kibemetikaning g‘oya va usullari yordamida texnik tizimlami
o‘rganuvchi fan sohasi.- Texnik obyektiami boshqarishning asosiy
vazifasi - jarayonga qo'yilgan talablami bajarilishida ayni sharoitda
boshqarish algoritmlarini topish va amalga oshirishdir.
1.1.2. Tarixiy ma’lumotlar
Sanoatda qoilanilishi mumkin boigan eng birinchi avtomatik
rostlagich rus mexanigi Ll.Polzunov tomonidan (1765 y.) yaratilgan
[4,8-12]. Bu qurilma bug‘ mashinasi qozonidagi suv sathi balandligini
inson ishtirokisiz bir me’yorda ushlab turishga moijallangan qurilma
edi (l.l-rasm ). Ma’lumki, qozondagi suv miqdori uning bug'ga
aylanishi va sarfi sababli kamayadi, natijada undagi bug1 bosimi ham
kamayadi. Bu o‘z navbatida bug‘ mashinasining yomon ishlashiga,
uning tezligi o‘zgarib turishiga sabab boiadi. Shu sababli bug1
qozonidagi suv sathi balandligi va bug‘ mashinasining aylanish tezligini
saqlab turish o ‘sha davming eng muhim muammolaridan hisoblanardi.
Qozondagi 1 chiquvchi suvning sarfi
Q? oshganda suv sathi ho balandgpsis-*—1Qt
likdan kamayadi. Richak 4 ga
Ji 3 4
mahkamlangan to‘siq 3 qalqovuch 2
-----X V -*
pasayishi hisobiga ochiladi va
f
qozonga tushayotgan suv hajmi Q\
n_r~; lL
h h0
oshadi. Suvning sathi h oshganda
Qi Ч~ ~ ---- ^—У
qalqovuch 2 ko'tariladi hamda bu
o‘z navbatida qozonga tushayotgan 1- 1-rasm. Pohunov rostlagichi
suv hajmi Q\ ni to'siq 3 orqali
kamaytiradi. Polzunov yaratgan texnik vosita (rostlagich) tufayli, odam
qozondagi suv sathi balandligini nazorat qilish, agar undagi suv sathi
oldindan belgilab qo'yilgan suv sathi balandligidan kamaysa - suv
6
quyib, ortib ketganda esa qozonga suv kelishini to'xtatish jarayonini
boshqarib turish funksiyasini bajarishdan ozod boidi.
1784-yida ingliz mexanigi Jems Uatt ikkinchi muammoni hal qildi bug‘ mashinasi valining aylanish teziigini rostlay oladigan avtomatik
qurilma - rostlagichni yaratdi (1.2-rasm) [4,11,12]. Valning aylanish
soni o'zgarsa, markazdan qochma kuchlarning ta’siri ostida yuklar 1 o‘z
holatini o‘zgartiradi hamda rostlash organi 2 joyini o‘zgartirish hisobiga
bug' uzatilishi o‘zgaradi. Bu o'z navbatida valning aylanishlar soniga
bog‘Iangan, faqat dastlabkiga teskari yo'nalishda.
Bu ikki texnik qurilma yordamida o‘sha vaqtdagi texnologik mashinalarning ishonchli va o'zgarmas tezlikda ishlashi birmuncha ta’minlangan. Polzunov va Uattlaming rostlagichlarida avtomatik rostlash tizimlarining asosiy elementlari sifatida obyekt - bug' qozoni va bug'
mashinasini, rostlash qurilmasi - rostlovchi qopqoqli po'kak va
markazdan qochma uzatgichlami ko'rishimiz mumkin.
Avtomatik boshqarish nazariyasining asoschisi 1876-yilda «Bevosita
ta’sir qiluvchi rostlagichlar» to'g'risidagi ilmiy ishni chop ettirgan rus
olimi va muhandisi l.A.Vishnegradskiy hisoblanadi [11,12]. Ushbu
ishda u rostlash obyekti va rostlagichni yagona rostlash tizimda ekanligini va shuning uchun rostlagich va boshqarish obyektidan o'tuvchi
jarayon o'zaro aloqada bo'Iadi va birgalikda ko'rib chiqilishi shart
ekanligini birinchi bo'lib isbotlab berdi.
0 ‘sha vaqtlarda ushbu yo'nalishda Maksvell ham ishlagan.
Keyinchalik mashhur rus olimlari A.M.Lyapunov va N.E.Jukovskiylar
avtomatik boshqariladigan mashina va mexanizmlarda kechayotgan
jarayonlaming matematik nazariyasi asoslarini yaratgan.
7
Zamonaviy avtomatik boshqarish nazariyasining rivoji XX chi
asming 20-30-yillarida Minorskiy, Naykvist, Xazenlaming maqoialarini
paydo bo'lishi bilan boshlandi. Nazariy ishlar muhandislar uchun klassik
usullardan foydalanib avtomatik rostlash tizimlarini kundalik loyihalash
imkonini yaratdi [4,6,12-15].
So‘nggi vaqtlarda klassik usullar o‘zining mukammalligiga erishganda
tadqiqot ishlari optimal usullami ishlab chiqish yo‘nalishiga qaratilgan edi.
A.S.Pontiyagin o‘zining «maksimum prinsipi» ni ishlab chiqqan bo‘lsa,
R.Bellman va R.Kalmaniar «Avtomatlashtirilgan boshqarishning optimal I>k
prinsiplari» ni yaratganlar. Ushbu fanning rivojiga o‘zbekistonlik
olimlardan N.R.Yusupbekov, M.M.Komilov, T.F.Bekmuratov, X.Z.Egamberdiyevlar o‘zlarining ilmiy natijalari bilan hissalarini qo‘shganlar.
1.1.3. Asosiy tushuncha va ta’riflar
Boshqariluvchi obyekt va avtomatik boshqarish qurilmasi (rostlagich) birgalikda hamda ularni o‘zaro ta’siri - avtomatik boshqarish tizi­
mi deyiladi.
ABT - bu shunday tizimki, unda boshqarilish vazifasi avtomatik
bajariladi, ya’ni inson ishtirokisiz.
Avtomatlashtirilgan boshqarish tizimi — bu tizimda boshqarish
vazifasini bir qismi avtomatik boshqarish qurilmasida bajariladi, bir
qismi (ayniqsa, muhim va murakkab qismi)ni esa inson bajaradi.
Qurilma (tizim)ning ishlash algoritmi —bu qurilma (tizim)da texnik
jarayonni to‘g‘ri bajarilishi haqida yetakchi buyruqlar majmui.
Boshqarish obyekti (BO) - texnik jarayonni amalga oshiruvchi va
ishlash algoritmini amalga oshirish uchun maxsus tashkil etilgan tashqi
ta’sirga muhtoj qurilma (qurilmalar majmui), mosiama yoki jarayon.
Boshqarish obyekti - zaruriy holatni ta’minnlashi kerak (1.3-rasm).
x =u + f
f
__A _
BO
1.3-rasm. Boshqarish obyekti.
ABNda boshqarish obyekti istalgan texnik obyekt, texnologik
jarayon, shuningdek, sodda ABT boiishi mumkin.
Istalgan obyekt tashqi muhitning obyektga ta’siri, rostlagichli
boshqarish signalining ta’siri, obyektning o‘zidajarayonlami belgilovchi
kattaliklar qatorida tavsiflanadi.
Та ’s ir deb tashqaridan obyektga ta’sir etuvchi kattaliklarga aytiladi
(1.3-rasm). Ta’sirlaming ikki turi mavjud:
1. Boshqaruv ta ’siri «(boshqaruv signali, boshqaruvchi kirish
kattaligi) - bu boshqaruvchi qurilma tomonidan ishlab chiqiluvchi (yoki
inson tomonidan beriluvchi) ta’sir.
2. G ‘alayon f - boshqarish tizimiga bogiiq boimagan obyektga
ta’sir. G‘alayon yuklamaga - bu tizimning ishlashiga bog‘liq boigan
tashqi ta’sir va xalaqitga - obyektda qo‘shimcha ko‘rinishda bogiiq
boigan zararli tashqi ta’sirlarga boiinadi.
Ta’sirlar uch jihatdan quyidagilarga boiinadi: energetik (energiyani
o‘zgartirish va uzatish), metabolik (kattalikning shakli va tarkibini
o'zgartirish), axborot - energetik va metabolik hosil boigan har bir
ta’sirlar bir vaqtni o‘zida axborot boiadi.
Boshqarish obyektining ishlashini tavsiflovchi o‘zgaruvchilarga chiqish kattaliklari у (bular barchasi fizik kattaliklar) deyiladi. Ba’zida
ularni tizimning chiqish koordinatalari deb nomlanadi (1.3-rasm).
Boshqarish algoritmi - bu ishlash algoritmlarmi amalga oshirish
maqsadida obyektdagi tashqi ta’sirlar tavsifini aniqlovchi buyruqlar
majmui.
Avtomatik boshqarish - bu boshqarish algoritmiga muvofiq ta’sirlami amalga oshirish jarayoni.
Avtomatik boshqarish qurilmasi (ABQ) - boshqarish algoritmi bilan
muvofiq kelishda ta’sirlami amalga oshiruvchi qurilma. '
Boshqarish qurilmasining ishlash algoritmi - bu mavjud boshqarish
algoritmi.
ABTda jarayonlarni o‘rganishda muhim jihatlardan biri bu axborotdir. Bu jarayonlar signal o‘zgartirgich!ar hisoblanadi.
Signal - bu muayyan fizik kattaliklarni o‘zgarishi.
Obyektning o‘zida o‘zgarishlarni tavsiflovchi kattaliklarga ichki
kattalik yoki obyekt holati deyiladi.
Ular ichidan obyekt holatini tavsiflovchi va atayin o‘zgartiriluvchi,
yoki doimiy ushlab turiluvchi - boshqarish kattaligini alohida keltirish
mumkin.
9
Kundalik hayotimizda biz har xil jarayonlami boshqarishga duch
kelamiz. Masalan, korxona faoliyatini, harbiy operatsiyalami, transport
vositalarini va hokazo. U yoki bu jarayonni oldiga qo‘yilgan maqsad sari
yo‘naltirishga boshqarish deyiladi.
Har qanday jarayonni boshqarish quyidagi to‘rtta bosqichdan iborat.
Buni sxematik tarzda quyidagicha ifodalash mumkin (1,4-rasm):
1.4-rasm. Boshqarish bosqichlari:
I - boshqarish maqsadi; П - boshqarish to‘g ‘risida axborot; III - taqqoslash, tahlil
etish va qaror qabul qilish; IV - qabul qilingan xabami bajarish.
Boshqarish jarayonini hamma bosqichlarini bajarilishini ta’minlaydigan texnik vositalar to‘plamiga boshqarish tizimi deyiladi.
1.2. Avtomatik boshqarish tizimlarning sxemalari
ABTda quyidagi sxemalardan foydalaniladi:
1.
Funbional sxema - bu sxema tizimning qanday elementdan
tashkil topganini bildiradi. Unda har bir elementga mos ravishda shu
elementning nomi yoki u bajaradigan funksiyasining nomi keltiriladi.
Oddiy avtomatik boshqarish tizimlarining funksional sxemasiga
misol qilib, kirish va chiqish kattaligi bitta bo‘lgan bir o‘lchamli tizimni
keltiramiz (1.5-rasm).
Bu yerda x(t) - kirish signali; y(t) - chiqish (rostlanuvchi yoki
boshqariluvchi) kattalik; xb(t) - boshqariluvchi kattalikning berilgan
qiymati; Ax^xb(iyyib(t) - boshqariluvchi kattalikning berilgan
qiymatdan chetlashishi yoki og‘ishi; F(l) - qo‘zg‘atuvchi signal yoki
ta’sir; jtb(0 - asosiy teskari bogianish signali; yo(t) - mahalliy teskari
bogianish signali; x, - boshqaruvchi, rostlovchi kattalik yoki signal.
1
- topshiriq beruvchi element. Boshqarish maqsadiga muvoflq
keladigan boshqarish signallarini tashkil etish uchun moijallangan.
2, 2' - taqqosiovchi yoki solishtiruvchi element. Bunda bir necha
signal mutlaq (absolyut) qiymati bo‘yicha solishtiriladi.
3, 4 — kuchaytiruvchi va o‘zgartiruvchi element. Bu boshqarish
maqsadiga muvofiq signallami kuchaytirish va o‘zgartirish uchun
moijallangan.
1.5-rasm. Bir о ‘Ichamli oddiyABTfunksional sxemasi.
5 - ijro etuvchi element. Bu boshqarish maqsadiga muvofiq
boshqaruv obyektiga ta’sir etuvchi signalni tashkil etish uchun
moijallangan.
6 - boshqarish obyekti. Bu boshqarish maqsadiga muvofiq, o‘z
holatini o‘zgartirishi kerak boigan har qanday fizik tabiatli jarayonlar,
qurilmalar va hokazolar boiishi mumkin.
7 - mahalliy teskari bogiangan element yoki korrektlovchi qurilma.
Bu tizimning dinamik xususiyatini yaxshilash uchun ishlatiladi.
8 - asosiy teskari bogianish elementi yoki axborot datchiklari
deyiladi. Bu tizimda boiayotgan jarayonlar to‘g‘risida teskari bogia­
nish zanjiri orqali ma’lumot olish uchun moijallangan ( 1.6-rasm).
1.6-rasm. Bir о ‘Ichamli oddiyABT soddalashtirilgan funksional
sxemasi
11
2.
Strukturaviy sxema (model) - bu sxema tizimning matematik
modelini bildiradi. Bunda har bir elementga mos ravishda algebraik,
differensial, integral tenglamasi yoki qandaydir uzatish funksiyasi
keltiriladi (1.7-rasm).
1.7-rasm. Strukturaviy sxema.
3.
Prinsipial sxema — bu sxema funksional sxemani kengaytirilgan
ko‘rinishi bo‘lib, bunda har bir elementni kengaytirib ko‘rsatiladi.
l.l~misoL 0 ‘zgarmas tok generatorining kuchlanishini avtomatik
boshqarish tizimining prinsipial sxemasi 1.8-rasmda keltirilgan bo‘!ib,
bu yerda EMK - elektr mashina kuchaytirgich; BChi; B O 12 - EMK ning
boshqarish chulg‘amlari; G - o‘zgarmas tok generatori; QCh generatorning qo‘zg‘atuvchi chulg‘ami; Ryu - yuklama; ug - boshqa­
riluvchi, rostlanuvchi kattalik; u* - teskari bog‘lanish signali; Аи--=щ-щь
- rostlanuvchi kattalikni berilgan qiymatdan og‘ishi; щ - rostlanuvchi
kattalikning berilgan qiymati; щ - rostlovchi, boshqaruvchi signal.
1.8-rasm. 0 ‘zgarmas tok generatorining kuchlanishini avtomatik
boshqarish tizimining prinsipial sxemasi.
12
Tizimning ishlash prinsipi quyidagicha:
Tizimning maqsadi generator kuchlanishini ug - o‘zgarmas holda
tutib turish. Buning uchun иь kuchlanish olinadi, uning qiymati
rostlanuvchi kattalik ug kuchlanish bilan bir xil qilib olinadi, chunki
generator nominal kuchlanish u gn0m ishlab chiqarganda Д и=иь-ш=>0
bo‘lishi kerak. Yuklama Ryu o‘zgarishi bilan generator kuchlanishi ug
ham o‘zgaradi, buning natijasida teskari bogianish kuchlanishi ш ham
o'zgarib Au=ub—utb kuchlanish hosil bo‘ladi. Agar Аи=иь—ии, ishorasi
musbat (+) boisa, ya’ni rostlanuvchi kattalik ug o‘z nominal qiymati
Ugnom dan kichik boisa, unda Ди signal EMKning ikkinchi boshqarish
chulg‘amida ВСЬг dagi magnit oqimiga mos yo‘nalgan oqim hosil qiladi. Buning natijasida BChi va ВСЬг chulg'amlardagi magnit oqimlari
qo‘shilib EMKning boshqaruvchi kattaligi uy ko‘tarilishiga olib keladi.
EMK esa generatoming qo‘zg‘atuvchi chulg‘amiga QCh qo‘zg‘atuvchi
rolini o‘taydi va oxir oqibatda generator kuchlanishi ug nominal qiymat
Ugnom ga teng boiadi. Agar Ди = щ - m manfiy ishoraga ega boisa, unda
EMKning BChi va BCh2 chulg‘amlaridagi magnit oqimlari qaramaqarshi yo‘nalgan boiib, EMKning ishlab chiqargan kuchlanishi uy
kamayishiga olib keladi.
Endi bu tizim boshqarish tizimi ekanligini isbotlaymiz. Buning
uchun boshqarishga muvofiq keluvchi 4 bosqichlami aniqlaymiz (1.9rasm).
I - Mg = const boiishi kerak;
II-M tb^var o‘zgarishi;
III - Аи= иъ-utb hosil boiishi;
IV - kuchaytirgich va EMK yordamida amalga oshiriladi.
Ill
IV
1.9-rasm.
Ko'rilayotgan tizimning ishlash prinsipiga ko‘ra, uning funksional
sxemasini tuzamiz ( 1.10-rasm).
-К 2 >
Ди
Uy
EMK
KE
IE
К
a
BO
uo
RiC <
Ro
1.10~rasm. Funksional sxema:
KE - kuchaytiruvchi element, IE - ijro elementi, К - kuchaytirgich.
1.2-misol. Eng ko‘p tarqalgan avtomatik tizimlardan biri - mustaqil
qo'zg‘atishli doimiy tok dvigatelining aylanish tezligini stabillash tizimidir. Uning ishlash maqsadi - valga «yuklanish» berilganda dvigatelning berilgan tezligini ushlab turishdan iborat. 0 ‘xshash tipdagi tizimlar,
masalan, metall kesish dastgohlarida foydalaniladi va bunda metalining
kesish chuqurligiga bog'liq bo‘lgan holda berilgan aylanish tezligini
ushlab turish lozim. 1.11-rasmda bunday tizimlami amalga oshirishning
soddalashgan sxemasi keltirilgan.
Bu yerda quyidagi belgilashlar kiritilgan: СЦ, — tizimga berilgan
ta’siming topshiriq qiymati (berilgan kuchlanish); OK —kirish va chi­
qish elektr zanjirlarini moslashtirish uchun operatsion kuchaytirgich; A 14
berilgan kuchlanish va taxogenerator kuchlanishlari o‘rtasidagi farq; QK
- kichik quw atli A sigiialni yuqori kuchlanish (dvigatel yakoridagi
kuchlanish) ga o'zgartirib berish uchun quwat kuchaytirgichi; D elektr dvigatel; / - elektr dvigatel zanjiridagi tok; R, L - yakor zanjiridagi qarshilik va induktivlik; Uya - elektr dvigatel yakori
chulg‘amidagi kuchlanish; C/q0’z - qo‘zg‘atuvchi kuchlanish; TG taxogenerator (elektr kuchlanishli kichik quwatli generator), dvigatel
aylanish tezligini datchigi sifatida foydalaniladi; U t g - taxogenerator
kuchlanishi; Myu—yuklanish momenti.
■ Ushbu tizimda manfiy teskari bog‘lanish tashkil qilingan va u quyi­
dagicha:
A = Utop ~ Utc, •
Agar Mya oshsa, C/tg pasayib (tushib) ketadi va Uya oshib ketib,
dvigatelda kuchlanish oshib ketganda dvigatel aylanishlarini «ushlab turish» imkonini beradi. Agar Myu kamayib ketsa, dvigatelning aylanish
tezligini juda ko‘p miqdorda oshirish imkonini bera olmaydigan teskari
jarayon yuz beradi.
Ushbu sinf misolini tavsiflashda dinamik tizimlarni tavsiflash uchun
foydalaniladigan o‘zgaruvchilar: kirish - Ut0P, chiqish - C/tg, g'alayon Myu, holat - 1, C/ya, parametrlar - L ,R kiritilgan.
13-m isol Endi maishiy texnika sohasidagi hammaga m aium sovutgich haroratini stabillash tizimini ko‘rib chiqamiz. Har bir sovutgichda
kameradagi massaning o‘zgarishi va mahsulotlar harorati o‘zgarganda
yoki eshik ochilganda haroratni stabillashdan iborat maqsadni amalga
oshiruvchi sodda avtomatik rostlash tizimi qoilaniladi. 1.12-rasmda
sovutgich haroratni rostlash tizimining soddalashtirilgan sxemasi kel­
tirilgan.
sxemasi.
15
Bu yerda C/ber - berilgan haroratga mos keluvchi signal; HD —harorat
datchiki; QK - boshqarish qurilmasi sifatida qoilaniladigan releli
xarakteristikali quvvat kuchaytirgichi, u sovuq agentni kameralaming
quvurlari orqali «haydovchi» boiib, sovitish agregati (SA) ni qo‘shadi
yoki ajratadi.
Sovutgichlarda operatsion kuchaytirgichlar ishlatilmaydi; berilgan va
haqiqiy haroratlami solishtirish bevosita amalga oshiriladi. Sxemada
ushbu amal mos element bilan ko‘rsatilgan.
Tizim quyidagicha ishlaydi: agar eshik ochilib, kameraga issiq
mahsulotlammg bir qancha massasi quyilsa, unda kamerada harorat
tezda oshib ketadi va berilgan (quyi) hamda oshib ketgan haqiqiy harorat
o‘rtasidagi A farq oshib ketadi va rele xarakteristikali QK qo‘shiladi
hamda sovutish agregati ishlay boshlaydi. Bir qancha vaqtdan so‘ng A
farq boshlangich qiymatdan kichik boiadi va rele QKni ajratib
yuboradi. Bunday tizim faqat «bir tomon» sovutishga ishlaydi. Ushbu
jarayonni quyidagi kattaliklar tavsiflaydi: kirish - f/ber, chiqish - harorat
datchigidan chiquvchi kuchlanish; holat — kamera ichidagi harorat,
xalaqit - qo‘yilgan mahsulotdagi issiqlik miqdori.
1.3. Boshqarishning fundamental prinsiplari
Tizimni boshqarishning statik va dinamik xususiyatlarini bilgan
holda, tizimning matematik modelini qurish va aniq ta’sirlarda shu tiz­
imning berilgan ishlash ketma-ketligini ta’minlab beruvchi boshqarish
ketma-ketligini topish mumkin. G‘alayonlantiruvchi ta’sirlar oldindan
notanish tarzda o‘zgarishi sababli model har doim haqiqiy tizimning
xususiyatlarini yaqindan tasvirlab bera olmaydi. Shu sababli tizimning
topilgan boshqarish ketma-ketligida o‘zini tutishi istalgan tizimdan farq
qiladi. Tizimni o'zini tutishini talab qilingan darajaga yaqinlashtirish
uchun boshqarish algoritmi nafaqat tizimning xususiyatlari va ishlash
algoritmlarini, balki tizimni haqiqiy ishlashi bilan bogiiq boiishi kerak
[14-18].
ABTlari asosida boshqarishning ayrim umumiy shartlari yotadi.
Hozirgi vaqtda texnikada boshqarishning 3 ta asosiy prinsiplari
aniqlangan va ulardan foydalanilmoqda. Ular quyidagilardir: ochiq
boshqarish prinsipi, kompensatsiya prinsipi va teskari aloqa yoki og‘ish
prinsipi.
Ochiq boshqarish prinsipi. Bu prinsipning ma’nosi shundan
iboratki, boshqarish ketma-ketligi faqatgina berilgan ishlash ketma-
ketligi asosida ishlab chiqiladi va boshqa omillar - g‘alayonlar yoki
jarayonning chiqish kattaliklari bilan nazorat qilinmaydi. Tizimning
umumiy funksional sxemasi 1.13-rasmda keltirilgan.
1.13-rasm. Ochiq boshqarish prinsipi
Ishlash ketma-ketligi topshirig‘i *„(/) ni maxsus texnik qurilma dastur topshiriq beruvchisi tomonidan ishlab chiqilgani kabi, oldindan,
tizim loyihalanayotgan vaqtda bajarilishi va undan keyin boshqarish
qurilmasini (2) tuzatayotganda bevosita qoilanilishi mumkin. So‘nggi
holatda sxemada blok 1 yo‘q. Ikkala holatda ham sxema strelkalar bilan
ko‘rsatilgani kabi asosiy ta’sirlar kirish elementlaridan chiqish
eiementlariga (3) uzatiladigan ochiq zanjir ko‘rinishga ega. Ochiq
tizimiarida и va xo yaqinligi faqatgina hamma elementlaridan kuzatiladigan fizik qonuniyatlaridan tanlash va tuzish bilan ta’mmlanadi.
Odatiy kamchiliklariga qaramay, bu prinsip juda keng qo‘llaniladi.
Ochiq zanjirlarda qo‘llaniladigan barcha elementlar istalgan tizim
tarkibiga kirganligi, bu prinsip shunchalik sodda bo‘Iib tushunilganligi
sababli uni har doim ham asosiy prinsiplardan biri kabi ajratmaslik im­
konini beradi. Bunga ochiq zanjirlarni qurishning umumiy qonunlarini
ajratish ham kiradi. Tuzuvchiga foydali boigan asosiy qoidalar sezilarli
darajada mustaqil qurilmalaming xususiyatlari bilan bogiiq va asbobsozlik hamda mashinasozlikning amaliy kurslarida maxsus oiganiladi.
Yuqorida ta’kidlab o‘tilgan operatsiyalar qo‘shish, ajratish va qayta
qo‘shish ko‘p hollarda har qaysisi ochiq zanjirda boshqarish elementi
sifatda qaralishi mumkin boigan turli mantiqiy elementlar va ulaming
to‘plamlari (uzgich, rele, VA, YOKI, EMAS elementlari va boshqalar)
yordamida amalga oshirilishi mumkin.
Bu elementlaming boshqa turi sifatida dasturiy elementni ishga tushiruvchi qurilmalar va dasturiy elementlaming o‘zidan tashkil topgan
dastur datchiklari qaralishi mumkin.
Elementlaming keyingi turi chiziqli o‘zgartirgichlar hisoblanadi.
Bunday o‘zgartirgichlarning biri fizik kattalikni boshqa foydalanishga
qulay boigan kattalikka almashtirishni amalga oshiradi. Boshqa bir turi
17
kuchaytirgichlaming kirish va chiqishida son qiymati har xil boigan bir
xil fizik kattaliklarga ega. Shuningdek, nochiziqli funksional o‘zgartirgichlardan ham foydalaniladi.
Agar g‘alayonlantiruvchi ta’sirlar ochiq zanjirda topshirilgan
aniqlikda ishlash ketma-ketligini ta’minlab bermaydigan darajada yirik.
boisa, aniqlikni oshirish maqsadida ayrim hollarda ta’simi oichab,
oichash natijalariga ko‘ra ishlash algoritmini chetlanishga chiqishiga
sabab boiayotgan g‘alayonlami kompensatsiyalash maqsadida zanjir
tarkibiga tahrirlovchi elementlarni kiritish mumkin. Boshqarishning
bunday prinsipmi - kompensatsiyalash (g‘alayon bo‘yicha boshqarish)
prinsipi deyiladi.
Rostlanayotgan kattalikning chetlanishi faqatgina boshqaruvchi и
ta’sirigagina emas, balki g‘alayonlantiruvchi ta’sir/ ga bogiiq boigani
uchun, ya’ni y =F ,(u „ f) , boshqarishni y = F2\ f ) shunday tanlash mumkinki, o‘rnatilgan tartibda chetlanish boimasin, ya’ni Ay =
)--=().
Bu prinsipning funksional sxemasi 1.14-rasmda ko‘rsatilgan. Harorat
o‘zgarganda mayatnik uzunligini bir xilda ushlab turishni ta’minlab
beruvchi xronometr mayatnigidagi turli issiqlik kengayish koeffitsiyentiga ega bimetallik stetjenlar tizimi bilan tushuntirsh mumkin (1.15rasm). Agar generator eg = kwv elektr yurituvchi kuchi <pv ga chiziqli
bogiiq boisa, unda topshirilgan kuchlanish uGni bir xilda ushlab turish
uchun generator elektr yurituvchi kuchini o‘zgartirish lozim.
4 <----- ■ /
1.14-rasm. Kompensatsiyalash (g'alayon bo ‘y icha boshqarish) prinsipi
Ев
1.15-rasm. Bimetallik sterjenlar tizimi
18
1940-yilda G.V.Shipanov boshqarilayotgan kattaliklami g'alayon
ta’sirlardan invariantlikka erishish prinsipini taklif qildi. Shipanov
kompensatsiyani ta’sirlardan oichamasdan, rostlagichni kompensatsiyaga mos tanlab bunga erishmoqchi edi. U bu tanlashni qanoatlantiruvchi
matematik shartlarni oldi, lekin bu shartlami fizikaviy jihatdan amalga
oshirishda qiyinchiliklarga uchradi.
Teskari aloqa yoki og‘ish prinsipi. Tizimni shunday qurish ham
mumkinki, ishlash ketma-ketligining aniqligi g‘alayonlami oichamasdan ham ta’minlansin. 1.16-rasmda korrektlovchi qurilmalar boshqarish
ketma-ketligiga 1-13-rasmda keltirilgan koordinatalaming qiymati
bo‘yicha kiritilgan. Bu maqsadda tizim tuzilishiga у ni o‘lchashga
mo‘ljallangan va boshqarish qurilmasiga korrektlovchi ta’sirlami ishlab
chiqarishga mo‘ljallangan elementlami oluvchi qo‘shimcha aloqalarni
kiritish mumkin. G‘z ichiga sxema berk zanjir ko‘rinishiga ega va shu
narsa bu prinsipga nom berishda ustuvor poydevor boiib xizmat qiladi.
Kiritilgan qo‘shimcha zanjir teskari aloqa zanjiri deb ataladi, bunga asos
boiib esa ta’sirlami qo‘shimcha aloqa orqali qarama-qarshi boshqarish
obyektiga uzatilishi sanaladi.
U2
--------
4
—
1.16-rasm. Teskari aloqa yoki og‘ish prinsipi
1.16-rasmda tasvirlangan sxemada umumiy holdagi berk tizim
tasvirlangan. Shu sxema asosida ko‘pgina o‘zgartiruvchi va hisoblabyechuvchi elementlar quriladi. Boshqarishda esa berk tizimning xususiy
ko‘rinishi keng tarqalgan. Bu sxemalarda boshqarish ketma-ketligi
korreksiyasi bevosita у kattalik qiymatlariga binoan amalga oshiriladi,
ulaming qiymatlaridan chetlanishi bo‘yicha esa, ishlash ketma-ketligi xo
aniqlanadi, ya’ni Ди = и ,-и г.
Teskari aloqa bilan turli ko‘rinishli boshqarishni amalga oshiruvchi
sxema 1.17,a - rasmda keltirilgan: + element boshqarish ketma-ketligini
topshiradi, solishtirish elementi summator esa у ni xo dan keltirib
chiqaradi, ya’ni chetlanish yoki xatolik deb ataluvchi &x kattalikni ishlab
chiqadi.
19
1.17-rasm, Teskari aloqa bilan turli ко ‘rinishli boshqarishni
amalga oshiruvchi sxemalar.
Ko‘p hollarda funksiya boshqaruvchi ta’sirlarni ishlab chiqishi emas,
balki uning vaqt bo‘yicha hosila va integralini ishlab chiqishi maqsadga
muvofiq boiadi:
M= i ?(Ax1,Ar2....jAx....)_
( 1.1)
0
F funksiya дх funksiya bilan bir xil ishorali boim asligi va uning
«kamayuvchisi» bo‘lmasligi kerak. Boshqa argumentlarga nisbatan
uning qiymati tahlil natijalarida aniqlanadi.
Aytib o‘tilgan F funksiyaga boigan shartlarga ko‘ra chetlanish
funksiyasidagi boshqarish rostlash deb ataladi. Bu holatda boshqaruvchi
qurilmalar avtomatik rostlagich deb nomlanadi. Obyekt 3 va rostlagich 2
(1.17,&-rasm) avtomatik rostlash tizimi (ART) deb atalib, berk tizimni
tashkil etadi. Boshqarish ta’siri и ni ishlab chiqarayotgan rostlagich
boshqarish ketma-ketligi ( 1.1) ifodaga mos ravishda obyekt chiqishiga
nisbatan manfiy aloqani paydo qiladi. Rostlagich orqali paydo boiadigan teskari aloqa asosiy teskari aloqa deb ataladi. Bundan tashqari,
rostlagich ichida boshqa mahalliy teskari aloqa mavjud boiishi mumkin.
1.4. Avtomatik boshqarish tizimiarining sinflanishi
ABTlari asosiy sinfiy belgilarga ko‘ra quyidagi turlarga boiinadi:
1. Tizim va boshqarish obyekti haqidagi axborotga bogiiq holda.
2. Tizimning ichki dinamik xususiyatlariga asoslangan holda.
1. Tizim va boshqarish obyekti haqidagi axborotga bog‘liq holda.
Birlamchi manbasi tajribaga asoslangan holda tekshiriiayotgan
obyekt to‘g‘risidagi har qanday ma’lumotlar majmuasiga axborot
deyiladi.
Axborot kerakli boshlang ‘ich axborot va ishchi axborotlarga
bo‘linadi. Kerakli boshlang‘ich axborot to iiq va notoiiq boiadi (1.18rasm).
Tashqi ta’sir o‘zgarishiga moslashish xususiyatiga ega boigan
tizimlami o ‘z ini-o‘z i avtomatik tarzda sozlovchi yoki adaptiv tizimlar
deyiladi. Bunday tizimlarda kerakli boshlangich axborot notoiiq
1.18-rasm. Tizim va boshqarish obyekti haqidagi axborotga bog‘tiq
holda sinflanisht
Kerakli boshlangich axborot toiiq boigan tizimlar oddiy tizimlar
deb ataladi va ular ishlash rejimi bo'yicha quyidagi turlarga boiinadi
(vaqt bo‘yicha topshiriq ta’sirining o‘zgarish tavsifiga bogiiq holda):
a)
Stabillovchi avtomatik rostlash tizimlari (stabillashtirish tizimi).
Bunda rostlanuvchi kattalikning qiymati doimiy boiadi. Bu tizimlarda
avtomatik rostlagichlaming vazifasi rostlanuvchi kattalikning muayyan,
mutlaqo doimiy qiymati da saqlash va texnologik jarayonni stabillashdir.
Bu holda texnologik reglament talablariga ko‘ra rostlanuvchi
kattalikning qiymati doimiy boiadi (1.19-rasm)
x(t) « xm(t) = const.
1.19-rasm. Stabillashgan avtomatik
boshqarish tizimL
21
1.20-rasm. Programmali
avtomatik tizim.
b) Programmali avtomatik rostlash tizimlari. Programmali avtomatik
rostlash tizimlarida oldindan m aium boigan qonunga ko‘ra
o'zgaradigan qiymatli rostlanuvchi kattalik mavjud boiadi. Bu
tizimlarda rostlanuvchi kattalikning belgilangan qiymati rostlagich topshirigi orqali m aium qonun bo‘yicha ishlab chiqariladi. Bunda ishlash
algoritmi boshqariladigan kattalik oldindan berilgan vaqt funksiyasiga
ftj) mos ravishda o‘zgaradi ( 1.20-rasm):
d)
Kuzatuvchi avtomatik rostlash tizimlari. Bu tizimlarda boshqarilayotgan kattalikning berilgan qiymati juda keng chegarada ixtiyoriy
qonun bo‘yicha o‘zgarishi mumkin ( 1.21-rasm), masalan, radiolakator
antenna
1.21-rasm. Kuzatuvchi avtomatik tizim.
Kuzatuvchi tizimlardan odatda fazoda obyektiami joylashtirishda
masofadan turib boshqarish uchun foydalaniladi.
2. Tizimning ichki dinamik xususiyatiga asoslangan turlari
Bunday tizimlar quyidagi turlarga boiinadi:
a) chiziqli va nochiziqli tizimlar;
b) statsionar va nostatsionar tizimlar;
d) uzluksiz va uzlukli (diskret) tizimlar;
e) to‘plangan va taqsimlangan parametrli tizimlar;
j) bir konturli va ko‘p konturli tizimlar.
g) bir oicham li va ko‘p oichamli tizimlar va h.k.
Ustlash (superpozitsiya) usulini qoilash mumkin boigan tizimlar
chiziqli tizimlar deyiladi. Chiziqli tizimlarda chiqishdagi kattalikning
o‘zgarishi kirishdagi kattalikning o‘zgarishiga proporsional holatda
o‘zgaradi.
Tarkibida hech boimaganda bitta nochiziqli element yoki nochiziqli
tenglamasi boigan tizimlarga nochiziqli tizimlar deyiladi.
22
Agar tizim elementlarining parametrlari vaqt mobaynida o'zgarmasa,
bunday tizimlarga statsionar tizim deyiladi.
Parametrlar vaqtga bog‘liq boimagan tizimlarga nostatsionar tizim
deb aytiladi.
ABTlarining bareha zvenolari vaqt bo‘yicha uzluksiz kirish signaliga
mos ravishda chiqish signallari ham uzluksiz boisa, bunday tizimlami
uzluksiz tizimlar deyiladi ( 1,22-rasm).
1.22-rasm. Uzluksiz tizim.
Uzlukli yoki diskret tizimlar deb - tarkibida hech boimaganda bitta
zveno diskret (yoki impulsli) chiqish signaliga ega bo‘lgan ABTlarga
aytiladi (1.23-rasm).
F(t)
1>
IE
x(t)
7)
Ax
,
j.
ABQ
BO
y{t)
Ул(0
1.23-rasm. Uzlukli yoki diskret tizim: IE - impulsli element.
Agar tizim elementlarining xossalari boshqarish obyektining fazoviy
koordinatalariga bog‘liq holda o‘zgarsa, taqsimlangan, fazoviy koordinatalarga bogiiq boim asa to ‘p langanparametrli tizimlar deyiladi.
Bir konturli tizimlar deb tarkibida faqat bitta asosiy teskari
bogianishi mavjud bo‘lgan ABTlarga aytiladi.
Ко ‘p konturli tizimlar deb tarkibida faqat bitta asosiy teskari
bogianishdan tashqari mahalliy teskari bog‘lanishlari ham mavjud
boigan ABTlarga aytiladi.
Tarkibida bitta boshqaruvchi va bitta boshqariluvchi kattalikka ega
boigan ABTlarga bir о ‘Ichamli tizimlar deyiladi. Yoki boshqacha qilib
aytganda, bitta kirish va bitta chiqish parametriga ega boigan ABTlarga
bir о ‘Ichamli tizimlar deyiladi.
23
Nazorat va muhokama savollari
1. ABN qanday fanlar qatoriga kiradi?
2. ABNning uslubiyot asoslarini nimalar tashkil etadi?
3.Sanoatda qo‘llanilishi mumkin boigan eng birinchi avtomatik
rostlagichlar qachon va kimlar tomonidan yaratilgan?
4.Ushbu fanni rivojlanishiga o‘zlarini hissalarini qo‘shgan Yevropa
va o‘zbekistonlik olimlardan kimlarni bilasiz?
5. Avtomatik va avtomatlashtirilgan boshqarish tizimlarini tushunti­
ring va ular orasidagi farqni ayting.
6. Avtomatik boshqarish tizimi deb nimaga aytiladi?
7.Ta’sir, g‘alayon, signal, obyekt, qurilma kabi iboralami tushun­
tiring.
8. Avtomatik boshqarish tizimlarida qanday sxemalardan foydala­
niladi va ularni tushuntiring?
9. Boshqarishning fundamental prinsiplariga qanday boshqarish
prinsiplari kiradi?
10. Kompensatsiyalash (g‘alayon bo‘yicha boshqarish) prinsipi bilan
teskari aloqa (og‘ish) prinsiplari orasida qanday farq bor? Ochiq
boshqarish prinsipi bilan-chi?
11. Avtomatik boshqarish tizimlar asosiy sinfiy belgilariga ko‘ra
qanday turlarga boiinadi?
12. Oddiy va adaptiv tizim deb nimaga aytiladi?
13. Oddiy tizimlarning ishlash rejimi bo'yicha topshiriq ta’sirining
o'zgarish tavsifiga bogiiq holda qanday turlarga bo iish mumkin?
14. Tizimning ichki dinamik xususiyatiga asoslangan turlarini aytib
bering.
24
Test savollari
1.Birinchi sanoat rostlagichi nechanchi yilda va kim tomonidan
kashf qilingan?
A) 1765-yil ms mexanigi Ll.Polzunov tomonidan.
B) 1784-yil ingliz mexanigi J.Uatt tomonidan.
D) 1876-yil ms olimi va muhandisi A.LVishnegradskiy tomonidan.
E) 1866-yil ingliz matematik-mexanigi D.Maksvell tomonidan.
2.Bug‘ mashinasi vafining aylanish tezligini rostlovchi avtomatik
qurilma kim tomonidan va qachon yarafflgan?
A) Rus mexanigi Ll.Polzunov tomonidan 1765-yilda.
B) Ingliz mexanigi J.Uatt tomonidan 1784-yilda.
D) Rus olimi va muhandisi A.I.Vishnegradskiy tomonidan 1876yilda.
E) Ingliz matematik-mexanigi D.Maksvell tomonidan 1866-yilda.
3. Rostlagichlar tavsifining umumiy qonuniyatiari, ya’ni “rostla­
gichlar haqida”gi birinchi asar kimlar tomonidan bayon etilgan?
A) D.Maksvell va A.I.Vishnegradskiylar.
B) A.M.Lyapunov va N.EJukovskiylar.
D) R.Bellman va R.Kalmanlar.
E) I.I.PoIzunov va J.Uattlar.
4.“Maksimum prinsipi” kim tomonidan ishlab chiqilgan?
A) A.S.Pontryagin.
B) A.I.Vishnegradskiy.
C) R.Bellman.
D) A.M.Lyapunov.
5. Avtomatik boshqarish tizimi deb qanday tizimlarga aytiiadi?
A) Inson ishtirokisiz asosiy jarayonni amalga oshiradigan.
B) Boshqarish obyektini nazorat qilish vazifasini bajaradigan.
D) Mashina va inson orasida boshqarish funksiyasi teng boiingan.
E) Sifatli boshqarishni amalga oshirish.
6.Adaptiv tizim deb nimaga aytiiadi?
A)
Tashqi ta’sir o'zgarishiga moslashish xususiyatiga ega boigan
tizimlami.
25
В) Kerakli boshlang‘ich axborot to‘liq boigan tizimlarni.
D) Boshqarilayotgan kattalikning berilgan qiymati juda keng chegarada ixtiyoriy qonun bo‘yicha o‘zgaruvchi tizimlarni.
E) Oldindan m aium boigan qonunga ko'ra o‘zgaradigan tizimlarni.
7.Kuzatuvchi avtomatik rostlash tizimi deb nimaga aytiladi?
A) Tashqi ta’sir o‘zgarishiga moslashish xususiyatiga ega boigan
tizimlarni.
B) Kerakli boshlang‘ich axborot to iiq boigan tizimlarni.
D) Boshqarilayotgan kattalikning berilgan qiymati juda keng chegarada ixtiyoriy qonun bo‘yicha o‘zgaruvchi tizimlarni.
E) Oldindan m aium boigan qonunga ko‘ra o‘zgaradigan tizimlarni.
8. Chiziqli tizimi deb nimaga aytiladi?
A) Ustlash (superpozitsiya) usulini qoilash mumkin boigan tizim­
larga.
B) Kerakli boshlang‘ich axborot to‘liq boigan tizimga.
D) Tarkibida bitta boshqaruvchi va bitta boshqariluvchi kattalikka
ega boigan tizimga.
E) Tizim elementlarining parametrlari vaqt mobaynida o‘zgarmaydigan tizimga.
9. Statsionar tizimi deb nimaga aytiladi?
A) Tizim elementlarining parametrlari vaqt mobaynida o'zgarmasa.
B) Kerakli boshlangich axborot to iiq boisa.
D) Boshqarilayotgan kattalikning berilgan qiymati juda keng chegarada ixtiyoriy qonun bo‘yicha o‘zgarsa.
E) Oldindan m aium bo‘lgan qonunga ko‘ra o‘zgarsa.
10. Bir o‘Ichamli tizim deb nimaga aytiladi?
A) Ustlash (superpozitsiya) usulini qoilash mumkin boigan tizim­
larga.
B) Kerakli boshlangich axborot to iiq boigan tizimga.
D) Tarkibida bitta boshqaruvchi va bitta boshqariluvchi kattalikka
ega boigan tizimga yoki bitta kirish va bitta chiqish parametriga ega
boigan tizim.
E) Tizim elementlarining parametrlari vaqt mobaynida o‘zgarmaydigan tizimga.
26
11. Qaysi tizimda rostlanuvchi kattalik o‘zgarmas qiymatda
saqlanadi?
A) Kuzatuvchi.
B) Dasturli.
D) Rostlash.
E) Adaptiv.
12. Og‘ish va g‘alayonli ta’sirlar bo‘yicha boshqarish prinsipi
qanday tizimda tadbiq qilinadi?
A) Kombinirlashgan.
B) G‘alayonli ta’sirlar bo‘yicha.
D) Berk.
E) Ochiq.
13. Yumshoq (gibkiy) teskari bogianish nima?
A) Muvozanat rejimdagi tizimning teskari bogianishi.
B) Signallar yig‘indisini hosil qilishda ishlatiladigan teskari bogianish.
D) Dinamik rejimdagi tizimning teskari bogianishi.
E) Signallar ayirmasini hosil qilishda ishlatiladigan teskari bogianish.
27
II BOB. AVTOMATIK BOSHQARISH TIZIMLARINING
MATEMATIK IFODASI
Tayanch so ‘zlar va iboralar: statik tenglama, dinamik tenglama,
statik va dinamik modellar, chiziqlantirish, o'rtacha qiymatini olish usu­
li, kichik og‘ish usuli, tipik kirish signallari, pog‘ona!i signal, impulsli
signal, garmonik signal, Laplas almashtirishi, uzatish funksiyasi, vaqt
xarakteristikalari, o‘tkinchi xarakteristika, impulsli o‘tkirichi xarakteris­
tika, chastotaviy xarakteristikalar, amplituda-fazali xarakteristika,
logarifmik chastotaviy xarakteristikalar, elementar zvenolar, kuchaytiruvchi (proporsional) zveno, birinchi tartibli inersial (aperiodik) zveno,
integrallovchi zveno, differensiallovchi zveno, tebranuvchi zveno,
tezlatuvchi zveno, kechikuvchi zveno, stukturali sxemalar, vektrmatritsali shakl, Koshi tenglamasi, fazo holati, holat о‘zgaruvchilari
sxemalari, dasturlash usullari, o‘tish matrisasi.
Matematikaning til va usullarini joriy etish bilan ABTni hisoblash va
loyihalash masalalarini samarali yechimi hamda tizimda sodir
bo‘ladigan jarayonlami chuqur tahlil etish imkoni bo‘ladi. Shuningdek,
ABTlarini tadqiq etish yoki loyihalashda birinchi navbatda butun tizimn­
ing elementlarining matematik tenglamasi (matematik modeli) tuzib
olinadi [11, 14, 20].
Matematik tenglamani tuzish quyidagi bajariladigan ish tartibi
ketma-ketligidan iborat:
- dastlabki farazni qabul qilish;
- kirish va chiqish o‘zgaruvchilarini tanlash;
- har bir o'zgaruvchi uchun sanash tizimini tanlash;
- energiya yoki kattalikning o‘zgartirish qonuniyatini matematik
shaklda aks ettirilgan fizik usullarini joriy etish.
So‘nggi vaqtlarda boshqarish nazariyasida tizimning odatdagidek
differensial tenglamalardan ko‘ra uzatish xossasi shaklida ifodalangan
tenglamalari keng tarqalgan.
2.1. Statik va dinamik modellar
Avtomatik rostlash tizimlarining statik va dinamik xossalari tizimdagi tarkibiy elementlaming tavsiflari orqali aniqlanadi.
Element yoki tizimning statik tavsifi deb o‘matilgan rejimda
jarayonning chiqish va kirish parametrlari nisbatiga aytiiadi. Ushbu
nisbat analitik yoki grafoanalitik usul bilan ifodalanadi va hisoblash yoki
tajriba usullari bilan aniqlanadi [14,18].
Umumiy holda zveno va tizimlar ixtiyoriy tartibdagi nochiziqli
differensial tenglamalar bilan ifodalanadi.
M
’
x(t)
Tizim
A t)
2.1-rasm. Tizim yoki zveno.
ABTlari statik (barqaror) rejimda ishlaganda:
- obyektga kiruvchi modda yoki energiya miqdori, undan chiqadigan
modda yoki energiya miqdoriga teng boiishi kerak, x(t) y(t) ;
- rostlanuvchi yoki boshqaruvchi parametr vaqt davomida o‘zgarmas
boiishi kerak, ya’ni y(t) = const;
- ABTning rostlash organi harakatsiz turishi kerak.
Statik rejimda kirish kattaligi bilan chiqish kattaligi graflk
ko‘rinishda yoki m aium algebraik tenglama ko‘rinishida berilishi
mumkin. Agar chiqish kattaligi kirish kattaligi bilan chiziqli bogiangan
boisa, shu bogianishni ifodalovchi tenglama to'g'ri chiziqli tenglama
deyiladi, ya’ni y ~ a + y x , y - b x (2.2-rasm). Tizimning turg‘un holatini
ifodalovchi tenglamaga statik tenglama deyiladi.
Tizimning asosiy ish rejimi bu dinamik rejim hisoblanadi. Chunki bu
rejimda tizimga har xil signallar ta’sir etib, tizim harakatda boiadi va bu
harakat differensial tenglama orqali ifodalanadi.
2.2-rasm. To‘g ‘ri chiziqlixarakteristikalar.
29
2.3-rasm. Tizimning dinamik xarakteristikasi
Tizimning dinamik holatini, ya’ni o‘tkinchi jarayon holatini
ifodalovchi tenglamaga dinamik tenglamadeyiladi.
Demak, dinamik rejimni ifoda etuvchi differensial tenglama shu
holatning o'zini, harakat tezligini hamda harakatning tezlanishini ifoda
etadi.
F (y ,y ,y ,x ,x ) +f = 0,
(2.1)
bunda, x , f - kirish kattaligi; у - chiqish kattaligi, y ,x - vaqt bo‘yicha
birinchi tartibli hosilasi, у - vaqt bo‘yicha ikkinchi tartibli hosilasi. (2.1)
tenglama dinamik rejimning tenglamasi deyiladi.
Statik rejimda esa, j=const; jc=const boiadi. Unda (2.1) tenglama
quyidagi ko‘rinishda bo'ladi
F (y, 0;0; x;0) +/ = 0.
(2.2)
(2.2)
tenglama statik (o‘rnatilgan) rejimni ifoda etadi va statik
tenglama deyiladi.
Statik xarakteristika — bu statik rejimda (vaqt bo‘yicha doimiy x
ta’siri va / g‘alayonlar hamda boshqariluvchi kattalik quyidagicha
bogiangan Y = F (x ,f)) chiqish kattaligini kirish kattaligiga bogiiqligi.
2.2. Chiziqlantirish
Real sharoitlarda ABTlarni elementlari egri chiziqli xarakterga ega
boiganligi, ya’ni elementlardagi jarayonlar nochiziqli differensial
tenglama bilan ifodalanganligi uchun ularni tahlil qilish qiyinchilik
tug‘diradi. Nochiziqli differensial tenglamalarning umumiy yechimi
bo‘lmaganligi sababli bu elementlaming xarakteristikalarini chiziqli
30
differensial tenglamalar bilan almashtiriladi. Nochiziqli differensial
tenglamani chiziqli differensial tenglama bilan almashtirish chiziqlantirish deyiladi [14,15]. Aniqlik biroz pasayganligiga qaramay, chiziqlantirilgan modellar sodda va mukammal usullar orqali tizimni tahlil
qilishga imkon beradi.
Chiziqlantirishda ko‘pincha quyidagi usullardan foydalaniladi:
- o‘rtacha qiymatni olish usuli;
- kichik og‘ish yoki urinma o‘tkazish usuli.
*
1. Agar egri chiziqli xarakteristika 2.4a-rasm ko‘rinishda bo‘lsa,
o 'rtacha qiymatni olish usuli qo‘llaniladi.
2.4-rasm. О ‘rtacha qiymatni olish usuli (a) va kichik og‘ish yoki
urinma o ‘tkazish usuli (b) tavsiflarL
2.
Kichik og‘ish usuli. Bu usulda elementning statik xarakteristikasi
y = fi x ) kirish signalining ma’lum xo qiymatida Teylor qatoriga
yoyiladi (2.46-rasm).
*
d 2y , 2 d*y з
v — Vn н----- Ax и
—Ax -f----- r-Ax
...
0 dx
dx1
dx3
Agar Ax-»Q ikkinchi va uchinchi tartibli tenglamalar nolga teng
bo‘lib, tenglama
dy
ko‘rinishda bo‘lib qoladi, u holda
31
dy
&У =У -У о = -г А х -, Ay = a -A x .
dx
Chiziqlantirishning bu usullarini qo‘lIash shartlari: birinchidan,
chiziqlantirish faqat kichik og'ishlar uchun qo‘IIaniladi, ya’ni chiziqlantirish natijasida olingan natijalar tizimdagi shunday rejimlarda '
tadqiqotga yaqin bo'lishi kerakki, kirishdagi holat kattaliklari o‘matilgan
qiymatdan yetarli darajada kichik og‘ishga ega bo‘lishi kerak. Qisqacha
qilib aytganda Ax,Ay - juda kichik bo‘lishi kerak; ikkinchidan, chiziqlan­
tirish faqat uzluksiz differensiallanuvchi (ya’ni у = f(x) - funksiya
uzluksiz funksiya bo‘lgan) nochiziqlilarga qo‘llanilishi mumkin.
2.3. Avtomatik boshqarish tizimlarining asosiy (tipik)
kirish signallari
Avtomatik tizimlar va ularning elementlarini tajribaviy va nazariy
tadqiq etishda standart signallar, ya’ni tipik kirish signallaridan
foydalaniladi. Bu signallar oddiy matematik funks iyalar bilan
ifodalanadi va tizimga tatbiq etishni osonlashtiradi [4,14].
Tizimda borayotgan jarayonni o‘rganish uchun uni ifoda etuvchi
differensial tenglamaning yechimini yoki bu tenglamani qandaydir yo‘l
bilan topish kerak bo'ladi. Buning uchun kirish signali vaqtga bog‘liq
bo‘lishi shart. ABTlarida x{t) va f(t) signallarini kirish signallari
deyiladi, y(t) ni chiqish signali yoki kirish signalidan olingan reaksiya
deb ataladi (2.5-rasm).
A t)
>■
x(t)
Zveno yoki
tizim
A ‘)
2.5-rasm. Zveno yoki tizim.
Tizimning dinamik xususiyatlarini aniqlashtirishda quyidagi tipik
kirish signallardan foydalaniladi:
P og‘onali signal yoki pog'onali funksiya. Ushbu ta’sir juda tez
(oniy) noldan bir necha qiymatga o‘sadi va shu qiymatda doimiy qoladi.
Matematik ifodasi quyidagicha: x(t) = A ■1(0.
32
Pog‘onali signal quyidagi fonksiya bilan ifodalanadi:
о. agar t < 0;
a0, agar t> 0.
Tizimni tahlil qilish va hisoblashda kirish signalini a0 = l deb
foydalanish qulay hisoblanadi. Unda ushbu signalni birlik pog'onali
signal deb ataymiz va i(i) belgilaymiz.
Pog‘onali signaldan tizimlarni stabillashtirishda sinov va hisoblash
signallari sifatida ko‘p foydalaniladi. Ushbu signalning xarakteristikalari
quyidagi 2.6a-rasmda keltirilgan.
a)
x{f)
1(0
2.6-rasm. Birlik p o g ‘onali signal (a) va undan olingan o ‘tish (b)
xarakteristikasi.
Misol sifatida o‘zgarmas tokni ulashni keltirish mumkin.
Pog‘onali signalning Laplas tasviri quyidagicha boiadi:
L{A-l(t)} = A—
P'
Tizimga yoki zvenoning pog‘onali signaldan olingan reaksiyasiga
о ‘tkinchi xarakteristika deb ataladi va h(t) bilan belgilanadi (2.6&-rasm).
Impulsli signal (funksiya). Ushbu signal to‘g‘ri burchak shaklidagi
birlik impulslarni o‘zida aks ettirgan boiib, yetarli darajada baland va
davomivligi juda kichik. Bunday signallarning yuzasi ao ga teng boiadi.
Boshqacha qilib aytganda amplitudasi 0 da со ga teng boiib, davomiyligi cheksiz kichik boigan funksiya.
Avtomatik tizimlarni matematik tahlil qilishda
S(t) =
0, agar 1Ф0;
°o, agar t = 0,
33
bu yerda J S(t)dt - 1, tenglama bilan ifodalanadigan delta-funksiya deb
0
nomlanuvchi birlikpog‘onali impuls signallardan foydalaniladi. Ushbu
signalning xarakteristikalari quyidagi 2.7-rasmda keltirilgan.
a)
S(t)
2.7-rasm. Impulsli signal (a) va undan olingan impulsli о ‘tkinchi
(vazn) (b) xarakteristikasi
Impulsli signalning Laplas tasviri birga teng, ya’ni L {S(t)}-1.
Tizim yoki zvenoning birlik impulsli funksiyadan olingan reaksiyaga
impulsli о ‘tkinchi xarakteristika yoki vazn funksiyasi deyiladi va ®(0
bilan belgilanadi (2.7£>-rasm).
Garmonik (sinusoidal) signal (funksiya).
Bu signal haqiqiy yoki kompleks ko‘rinishda bo'lishi mumkin
x (f) = At (<n)sin(firt + %(«));
x(t) - At (m) cos(at + q>k(a)).
x(t) = 4 (®)[cos(e*+%) +js'm(a)t+(pk)]=Ak(w)e''"'+w) - kompleks ko‘rinishi.
bu yerda, Ak(a>) - kirish signallarining amplitudasi; <pk(m) - kirish
signalining fazasi; a - chastotasi, a>=— \ T —davr, T =~
(2.8-rasm).
2.8-rasm. Garmonik signal (a) va undan olingan chastotaviy
xarakteristika.
34
Bir
oicham li
chiziqli
statsionar
tizimning
kirishiga
x(t) = Ак(®)елм+п<а,)] signal ta’siri berilganda uning chiqishidagi
majburiy tebranishlari kirish signalining tebranishlari chastotasiga teng
chastota bilan tebranish hosil qiladi. Lekin chiqish tebranishlari
amplitudasi Ach(a>) va fazasi (р,л (т) kirish tebranishlari amplitudasi va
fazasi dan farqli boigan garmonik qonun bo‘yicha o‘zgaradi.
Tizim yoki zvenoning garmonik signaldan olingan reaksiyasiga
chastotaviy xarakteristika deyiladi.
Kuzatuvchi va dasturiy tizimlar uchun ko‘pincha quyidagi chiziqli
tipik signallardan foydalaniladi:
x(t) = \ ( t ) a j , (0 < t < -oo),
bu yerda ax koeffitsiyent x(t) signalning o‘sish tezligini tavsiflaydi.
2.4. Laplas almashtirishi va uning xossalari
Chiziqli differensial tenglamalami yechimini olish maqsadida
samarali va bevosita yetakchi boigan tatbiqiy matematik tahlilning
operatsion hisoblash usullaridan foydalaniladi.
Laplas almashtirishi haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyani (shu jumladan
vaqt funksiyasi) kompleks o‘zgaruvchili funksiyaga o‘zgartiriladi.
Laplas almashtirishi differensial va integral tenglamalar o‘miga
algebraik tenglamalardan foydalanishga imkon beradi, ya’ni
differensiallash va integrallash operatsiyalari ko‘paytirish va boiish
operatsiyalari bilan almashtiriladi [18,20]. Bundan tashqari, differensial
tenglamalarning operator shaklida yozilishi vaqt sohasidan chastota
sohasiga- o‘tishni yengillashtiradi. Avtomatik rostlash tizimlarini
hisoblashda esa chastotaviy usullardan keng foydalaniladi.
Quyidagi integral yordamida haqiqiy o‘zgaruvchi <ф> ga ega boigan
fit) funksiyasini kompleks o‘zgaruvchi «р» ga ega boigan F{p)
funksiyaga almashtirishga Laplas almashtirishi deyiladi
F(p) = L{f(t)} = ) f ( t ) e - p,dp,
0
bu yerda f{t) - original, F(p) -tasvir, p - kompleks o‘zgaruvchi.
Chiziqlilik xossasi.
35
4 Ш + / 2(')} = ^ (/0 + ^ { р ),
L{kf(t)} = kF(p).
Originalni differensiallash va integrallash xossasi.
L { r \ t )} - p 'FXp ) - Ё р '-'Г 'Ч О ),
»=l
P
bu yerda
-x P
■
= J ... J f(t){dt)‘.
Laplas teskari almashtirishi.
1
a + /00
■&7TJa-/w
bu yerda Lrx - Laplas teskari almashtirishi.
2.1-jadval
fit) ning originali
F(p) ning tasviri
fit) ning originali
1
КО
COS(Dt
P
1
t
1
(я -1 )!
P2
n\
t"
e
te
sin cot
1 .
—sn cot
a
r
1
ch cot
p +a
1
F(p) ning tasviri
P
p 2 + со2
1
P"
1
p 2 + CO2
P
p 1 + 0 )1
0)
(p + a )2
CO
р 2 + 0 )г
36
e
sin cot
e
cos cot
(p + cc) + O)
p +a
(p + a ) 2 + at2
Differensial yoki integral tenglama! ami operatsion hisoblash yor­
damida yechishdan maqsad - algoritmi moddiy o‘zgaruvchi funksiyani
kompleks o‘zgaruvchili funksiyaga almashtirish, kompleks o‘zgaruvchili
sohada yechimlami izlash va nihoyat teskari, ya’ni topilgan yechimni
kompleks o‘zgaruvchili sohadan moddiy o‘zgaruvchili sohaga almashtirishdan iborat.
Amalda ishni osonlashtirish maqsadida har safar Laplas almashtirish
operatsiyasini bajarmay, ko‘p uchraydigan fiinksiyalaming tasvir va
originallari hisoblangan jadvaldan foydalanish ancha qulay (2.1-jadval).
Keltirilgan jadvaldan teskari tartibda, ya’ni ma’lum F(p) tasvir
bo‘yicha tegishli f ( t ) originalni topish uchun foydalanish ham mumkin.
2.5. Uzatish funksiyasi
ABTlami kirish va chiqish kattaliklari orasida o‘zaro o‘rnatilgan
aloqasini quyidagi differensial tenglama ko‘rinishida ifodalash mumkin:
(2.3)
+ ... + bmx(t) + cJ(t),
bu yerda x(t), / (t) - elementning kirish kattaliklari; y(t) - element­
ning chiqish kattaligi; a,, bt - tenglamaning koeffitsiyentlari.
(2.3)
tenglamani operator formada yozishimiz mumkin. Ushbu formada yozish uchun differensiallash operatsiyasini o‘miga qisqartirilgan
d
shartli belgilash kiritamiz: — - p. Mos ravishda £-chi tartibli hosila
dt
dk
—t- - p k belgilanadi. Unda (2.3) tenglamani quyidagi ko‘rinishda
dt
yozishimiz mumkin [12,14,18]:
a0p"y{t) + alp"-'y{t) +...+ any(t) =
(2.4)
= b„p"x(t) + b:pm'x(t) +... + b:x(i) + cj{t)
yoki
(a0p" + a y ' +...+ aJy(t) =
= 0>ap" + b y - ' +... + b j x ( t ) + c j ( t ) .
(2.5) tenglamaga quyidagicha belgilash kiritamiz:
(2.5)
D ( p ) = a ap " + а ,р Г ' + ... + a n.
(2.6)
(2.6)
tenglama chiqish kattaligining differensiallash operatori xususiy
yoki xarakteristik operator deb nomlanadi. Elementning xususiy
harakati, ya’ni tashqi ta’sirlar bo'lmagandagi harakati ko‘phadni tavsiflagani uchun uni shartli nomlanadi [12,18].
к , (p) = b0p m+ blP'-' +... + bm, K 2(p) = c0.
(2.7)
(2.7)
tenglama kirish kattaligining differensiallash operatorlari kirish,
g'alayon operatorlari deb nomlanadi.
Unda (2.5) tenglama quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
D(p)y(t) = K :(p)x(t) + K 2(p ) f ( t ).
(2.8)
Differensial tenglamani boshqacha tatbiq qilingan formada yozish
Laplas almashtirishini qo‘llashga asoslangan. Differensial tenglamaga
Laplas almashtirishini qo‘llashda tashqi ta’sir bo‘lgunga qadar tizim
tinch holatda deb hisoblanadi va barcha boshlang‘ich shartlar nolga teng
bo‘ladi,
(,aBp " + a jT л +... + an)y(p) = (60p" + bxp m-x+... + b j x ( p ) .
Uzatish funksiyasi W(p) deb - boshlang‘ich shartlari nol bo'lganida
chiqish signalining Laplas tasvirini kirish signalining Laplas tasviri
signali nisbatiga aytiiadi.
W (p) = y (E l
= b»P" + b 'Pm~' + - + b - i P + b.
X(P)
a„P“+ a,P"~‘ + - + a„->P+ «
(2.9)
yoki
bu yerda K(p) = b„p" + blp""' +... + bm_xp + bm- m darajali ko‘phad;
D(p) = a0p" + atp +... + an ip + au -n darajali ko'phad.
Odatdagi differensial tenglamalar bilan yoziluvchi real elementlar
uchun (2.9) tenglama suratidagi ko‘phad darajasi maxrajidagi ko'phad
darajasidan kichik yoki teng bo‘lishi kerak, ya’ni m < n shart bajarilishi
kerak. Uzatish funksiyasining barcha koeffitsiyentlari - element
parametrlarini tavsiflovchi haqiqiy sonlardir.
38
Tartibi yuqori boimagan (n<3) uzatish funksiyasi bilan yoziluvchi
elementlar uchun standart formada uzatish funksiyasini yozish qabul qilingan. Shuning uchun uzatish funksiyasi shunday yoziladiki,
maxrajining erkin hadlari an birga teng boisin [12,18,20]. Suratining
erkin hadlari bm uzatish koeffitsiyentiga teng bo‘ladi va uni qovusdan
tashqariga chiqaziladi
,V(P),
buyerdat l
+ «, P'" + - + a„-,P +1
.
a„
Uzatish funksiyasi bir necha kompleks o'zgaruvchi p = a ± j f }
funksiya hisoblanadi. 0 ‘zgaruvchi piling qiymatlari uzatish funksiyasi
nolga aylansa, nollari deyiladi, cheksizga aylansa uzatish funksiyasining
qutblari deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, uzatish funksiyasining
sur’at ildizlari uzatish funksiyasining nollari, maxraj ildizlari esa uzatish
funksiyasining qutblari deyiladi.
(2.9)
tenglamaga muvofiq zveno yoki tizimning chiqish signalini
quyidagicha yozish mumkin:
У(р) = W(p)- x ( p ).
(2.10)
Endi zveno yoki tizimning uzatish W(p) funksiyasi bilan о ‘tkinchi
funksiyasi h(l) hamda impulsli o‘tkinchi funksiyasi a{f) orasidagi
bog‘lanishni ko‘rib chiqamiz (2.9-rasm).
Щр)
At)
2.9-rasm.
a) Agar kirish signali x(t) = Ш) bo‘lsa, unda uning Laplas tasviri
x(t) = - boiadi. (2.10) formulaga muvofiq chiqish signalining Laplas
P
tasviri y ( p ) - W ( p ) - —ga teng boiadi. Bundan originalga o‘tsak
P
y(t) = h(t) = L ' \ w ( p ) ■- j boiadi.
39
Demak, o‘tkinchi funksiya h(t) bilan uzatish funksiyasi W(p) bir
ma’noli bog‘langan ekan.
b)
Agar x(t) = S(t) bo‘lsa, unda x(p) ~ 1 bo‘ladi. (2.10) formulaga
muvofiq chiqish signalining Laplas tasviri y(p) = W{p) boMib, uning
originali
impulsli
o‘tkinchi
funksiyasi
bo!ladi,
ya’ni.
y{t) = co(t) = L ' { W {p %
Demak, impulsli o‘tkinchi funksiya ait) uzatish funksiyasining
originali ekan.
Endi uzatish funksiyasining mohiyatini aniq misolda ko‘rib chiqamiz
[21-23].
2.1-misol. RC zanjiri berilgan bo‘lsin (2.10-rasm). Ushbu zanjirining
uzatish funksiyasi iv(p) ni toping.
Yechish:
R
=
Ucb
и
U S p ) =~ ' ,
pC
PC
1
2.10-rasm.
fV(p) = Uc"^ ~ p C ~
1
и Лр)
R + \_ R C p + 1
pC
' —9
Tp+ 1
bu yerda, T = RC - vaqt doimiyligi.
2.2-misol. RC zanjiri berilgan boisin (2.11-rasm). Ushbu zanjiming
uzatish fimksiyasi W(p)ni toping.
r
Yechish:
I
ut
'
R Uch
и к{р) = ^ - + ъ
PL
U J p ) = R-
2.11-rasm.
_ Udl(p) =
R
USP)
1 +R
pC
=
RCp
l + RCp
^
Tp
l + Tp’
bu yerda, T = R C —vaqt doimiyligi.
2.3-misoh у + 2 у + З у = 4x + 5x chiziqli tenglamani uzatish
funksiyasi ko‘rinishida ifodalang va uni M a t la b muhitida kiriting
hamda nol-qutb formasida modelini quring.
Yechish: Yuqoridagi chiziqli tenglamani operator ko‘rinishida
quyidagicha yozish mumkin:
( p 2+ 2 p + 3)y = (4p + 5)x
yoki D(p)y = K(p)u
bu yerda x(t) - kirish signali, y(t) - chiqish signali, p = — dt
differensiallash operatori, D(p) = p 2 + 2p + 3 va K ( p ) - 4 p + 5 operator polinomiar.
Yuqorida keltirilgan (1.11) tenglamadan zvenoning uzatish funk­
siyasi
^ (p ) = _ j£ ± 5 _
p 2+2p + 3
ga teng.
MATLAB muhitida uzatish funksiyasi s kompleks o‘zgaruvchidan
ikki ko‘phad (polinomiar) munosabatlari ko'rinishida kiritiladi [30,31].
Polinomiar darajasi kamayish bo‘yicha yozilgan massiv koeffitsiyentlari
kabi saqlanadi, ya’ni
_, .
4s + 5
F(s) = - - ---------- .
s 2+2s + 3
Unda uzatish funksiyasi MATLAB muhitida quyidagi ko‘rinishda
kiritiladi:
» n = [4 5]
n=
4
5
» d = [1 2 3]
d=
1.0000
2.000
3.000
» f = tf ( n, d )
Transfer function:
4s+5
sA2 + 2 s + 3
yoki birdaniga, surat va maxraj lari dastlab qurilmasdan:
41
» f = tf ( [4 5], [12 3 J );
Xotirada uzatish funksiyasi tavsiflovchi tf obyekt sinf! yaratiladi.
Buyruq oxiridagi nuqtali vergul natijani ekranga ko‘rsatadi.
«Nol-qutb» formasida uzatish funksiyasi modelni oson qurish mumkin.
» f_zpk = zpk(f)
Zero/pole/gain:
4 (s+1.25)
(sA2 + 2 s + 3)
Ushbu funksiya s = -1.25 nuqtada bitta nol hamda s = -1 + 1.4142/
nuqtalarda ikkita qutbga ega.
2.6. Avtom atik boshqarish tizimlarning vaqt xarakteristikalari
Elementlaming dinamik xossalarini yanada yaqqol aks ettirishda
ulaming o‘tkinchi funksiyasi (xarakteristikasi)dan foydalaniladi.
О ‘tkinchi funksiya h(t) deb boshlangich
shartlar nolga teng boiganda kirishiga bir­
lik pog‘onali signal berilganda vaqt bo‘yicha chiqish kattaligi y(i) ning o‘zgarishiga
aytiladi (2.12-rasm).
x(t) = l(/),
y(t)=h(t).
0 ‘tkinchi funksiya gafik (unda uni
xarakteristika
xarakteristika deyiladi) ko‘rinishda yoki
(funksiya).
formula ko‘rinishida berilgan boiishi
mumkin. 0 ‘tkinchi funksiya h(t), istalgan
bir xil boim agan differensial tenglama kabi ikkita tashkil etuvchiga ega
boiadi: majburiy hm{t) va erkin he(t). 0 ‘tkinchi jarayonning majburiy
tashkil etuvchisi o‘zida dastlabki tenglamaning qisman yechimini aks ettiradi. Pog‘onali signalda majburiy tashkil etuvchilar statik elementlar
uchun bevosita differensial tenglama (hosilasi nol boigan) da topish
mumkin boigan chiqish kattaliklarining o‘matilgan qiymatlariga teng
boiadi.
42
К 0) = уМ = а
Erkin tashkil etuvchi quyidagi ko'rinishda (bir xil ildizlar mavjud
boimaganda) mos bir jinsli differensial tenglama yechimlari kabi
topilishi mumkin:
K(t) = ± C te*,
bu yerda At - xarakteristik tenglama ildizlari; Ct - boshlang‘ich shartga
bog‘liq boigan doimiy integrallash.
Xarakteristik tenglama - muayyan differensial tenglamaga mos
keluvchi, ushbu differensial tenglamaning chap qismi tartibi va koef­
fitsiyentlari bilan daraja va koeffitsiyentlari mos keluvchi algebraik
tenglamani o‘zida aks ettiruvchi tenglamadir.
dt
d t-
"
0 dtm
' dt"'1
differensial tenglama uchun xarakteristik tenglama quyidagi ko'rinishda
boiadi
a0A + a f l 1+ ••■+ an —0,
bu yerda, X - xarakteristik tenglamaning yechimi (ildizi) hisoblanib,
kompleks son.
Impulsli о ‘tkinchi funksiya (vazn funksiyasi) w(t) deb boshlangich
shartlar nolga teng boiganda kirishiga delta-funksiya berilgandan so‘ng
vujudga keladigan chiqish kattaligi >>(0 ning o'zgarishiga aytiladi (2.13rasm).
Impulsli o‘tkinchi funksiya о‘tkinchi
funksiya h(t) dan olingan hosilaga teng
[18,20,25]:
о ‘tkinchi xarakteristika
va aksincha, o‘tkinchi funksiya impulsli
o‘tkinchi funksiyadan olingan integralga
teng:
аипк^ а>-
й(<)=Ы '><О
43
О ‘tkinchi xarakteristika hit) va impulsli о‘tkinchi xarakteristikalar
vaqt xarakteristikalari deyiladi.
ABTning o‘tkinchi va vazn funksiyalari to‘g‘risida bilimga ega
bo‘lib, boshlang‘ich shartlar nolga teng boiganda ixtiyoriy kirish
ta’sirlarida tizimning reaksiyasini quyidagi formula yordamida aniqlash
mumkin:
y (t) = h(t)x(0) + j hit - r)x (r)dr,
0
/
J
y(t) = h(0)x(t) + w(t 0
t ) x ( t ) cI t
.
Ko‘rib o‘tilgan ikki formulalar Dyuamel integral! yoki svyortka
integrali variantida bo‘lib, ular o‘zaro oson olinadi. Real inersion
zvenolar uchun chiqishdagi reaksiya doimo kirish ta’siridan ortda
qoladi, ya’ni h(0) = 0.
2.7. Avtomatik boshqarish tizimlarining
chastotaviy xarakteristikalari
Chiziqli statsionar tizimlami tasvirlashda chastotali xarakteristikalar
juda muhim rol o‘ynaydi. Chastotaviy xarakteristikalar elementlaming
uzatish xususiyatlari bilan ifodalanadi. Elementning chastotaviy
xarakterisikalarini bilgan holda istalgan chastotalardagi garmonik
ta’sirlarda, shuningdek turli chastotalardagi garmonik ta’sirlar
yig‘indisida uning reaksiyasini aniqlashimiz mumkin [14,15,18,23].
ABN va amaliyotida chastotaviy xarakteritikalardan keng foydalaniladi.
Uzatish funksiyasining ta’rifiga ko‘ra
i r (p ) = Z<£>. Ь-Р ' +
? .~ +ь~ Р ± К .
x(p) a0p" + ayp~* +... + a _,p + a.
(2.11)
Uzatish funksiyasi W(p) dan p = jo ) bilan almashtirish orqali
W (Jco) funksiya olinadi va uni chastotaviy uzatish funksiyasi deyiladi
W<Ja,) = b^
ao( » " + a, O'®)'" +... + a
44
^
+K .
(у®) + a
(2.12)
Chastotaviy uzatish funksiyasi W(jco) chastota deb ataluvchi
haqiqiy o‘zgaruvchi «©» ga bog‘3iq boigan kompleks funksiyadir.
W( jco) = U( cd) + jV(co) - algebraik ko‘rinishi;
W(jco) - A(ca)elvi‘°' - darajali ko‘rinishi;
W(jco) = A(a>) cos <p(co) + jA(co) sin <p(co) - trigonometrik ko‘rinishi,
bu yerda, U(a>) - haqiqiy qism; V(co) - mavhum qism; A(co) amplituda; tp(co) - faza.
A((o) = л ] и 2(со) + V 1(со); cp(co) = arctg
U( cq)
. .
Kompleks tekisligida W(ja>) funksiyasini ОС vektor orqali ifodalash
mumkin. Bu vektorning uzunligi chastotali uzatish funksiyasining
amplitudasi «A»ga vektorning haqiqiy musbat o‘q bilan hosil qilgan
burchagi fazasi «<pt>ga teng boiadi (2.14-rasm).
2.14-rasm. Amplituda-fazali xarakteristika.
Chastota noldan eheksiz (0<ю<аэ) oraliqda o‘zgarganda oc vektor­
ning kompleks tekisligida chizgan egri chizigiga amplituda-fazali
xarakteristika (AFX) deyiladi yoki boshqacha qilib aytganda AFX deb
kompleks tekisligida chastotaning o‘zgarishiga qarab amplituda va
fazaning o'zgarishiga aytish mumkin (2.14-rasm).
Chastotali uzatish funksiyasining amplitudasi chiqish signalining
amplitudasini kirish signalining amplitudasiga nisbatan necha marotaba
kattaligini ko‘rsatadi. Chastotali uzatish funksiyasining moduli
amplitudani beradi, ya’ni A(co) = \W(jco)\ = 4 * ^ ; chastotali uzatish
At (co)
45
funksiyasining argumenti chiqish va kirish signallari orasidagi burchak
siljishini ko‘rsatadi, ya’ni (p(a>) = arg W(jo)) (2.15-rasm).
i
■y(0
%=0
2.15-rasm. Faza chastotaviy xarakteristika.
bu yerda A(a>) = 4 ^ — ; <p(co) = (pch —(p, bo‘ladi.
4 0 )
Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda barcha chastotaviy xarakteristikalaming ifodasi va qisqartmalarini keltirib o‘tamiz:
W(ja>) - amplituda fazaviy xaraketistika (AFX);
U(a>) - haqiqiy chastotaviy xarakteristika (HChX);
V(co) —mavhum chastotaviy xarakteristika (MChX);
A(co) - amplituda chastotaviy xarakteristika (AChX);
(р{ю) - faza chastotaviy xarakteristika (FChX).
Bu xarakteristikalaming hammasi oddiy chiziqli masshtabda chiziladi.
2.8. Logarifmik chastota xarakteristikalar
Tizimning chastotaviy xarakteristikasining darajali
W(Ja>) = A(a))eir<">ni logarifmlaymiz [14,20,24]:
In W(j(o) = In Д<у) + j(p(co)
yoki
tenglamasi
Ig y o v » ) . 1пД‘° ) + М ‘° >.
2,3
(2.13)
(2.13) ifodaning - haqiqiy qismi chastota funksiyasi modulining
logarifmiga, mavhum qismi esa chastota funksiyasining argumentiga
teng boigan logarifmik amplituda-faza chastota xarakteristikasining
ifodasidir. Bu xarakteristikani ikkita mustaqil - logarifmik amplituda
chastota (LAChX) va faza chastotaviy xarakteristika (LFChX) larga
bo‘lish mumkin.
Tizim yoki zvenoning logarifmik amplituda-ehastota xarakteristikasi
chastota o‘zgarishiga bogiiq boigan chastota fimksiyasidagi modul
logarifmining o‘zgarishini aniqlaydi, ya’ni amplitudaning lgo) ga nisba­
tan chiziigan grafigiga logarifmik amplituda-chastotaviy xarakteristika
(LAChX) deyiladi.__
Logarifmik masshtabda qurilib, chastota o‘zgarishiga bogiiq boigan
faza o‘zgarishini aniqlovchi xarakteristika logarifmik faza-chastotaviy
xarakteristikasi deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, <p(a>)ni Igcoga
nisbatan chiziigan grafigiga logarifmik fazo-chastotaviy xarakteristika
(LFChX) deyiladi.
eJrM davriy funksiya boigani uchun, In W(Jco) ko‘p qiymatli
funksiyadan iborat. Shuning uchun biz keyinchalik (2.13) ifodada
logarifmning asosiy ma’nosini nazarda tutamiz. Logarifmik xarak­
teristika va oichov birliklari akustika nazariyasidan olingan.
LAChX ni qurayotganda ordinatalar o‘qiga modul logarifmi, abssissa o‘qiga esa chastota logarifmini qo‘yamiz. LAChX ni qurganda
In A(ai) o‘rniga quyidagi funksiya ko‘riladi:
U p ) = 20 lg| W(jm) | = 201g A(a>) = /(lg ® ).
(2.14)
(2.14) ifoda tizimning chiqish ampiitudasini kirish amplitudasiga
nisbatini aniqlab, kirish signali orqali kuchlanish darajasini tasvirlaydi.
L{a) ning oichov birligi - desibel. Bir desibel amplitudaning л/То marta
o‘zgarishiga to‘g‘ri keladi. Chastotalaming oichov birligi - oktava va
dekada.
Agar ikki ca,, a>2 chastotalarning qiymati bir-biridan ikki marta farq
qilsa, ulaming farqi bir oktavaga teng boiadi:
o)J&2=2
yoki log(&>, /й)2) = log, 2 = 1 oktava.
47
Agar ikki &>,, a>2 chastotalarning qiymati bir-biridan 10 martaga farq
qilsa, ulaming farqi 1 dekadaga teng bo‘ladi:
g>Jco2 =10
yoki IgCft», / со,,) = IglO = 1 dekada.
Chastotaning dekada birligidagi qiymatini topish uchun shu
chastotaning o‘nlik logarifmini aniqlash kerak.
Demak, lgsning o‘lchov birligi «dekada», bir dekada chastotaning
o‘n marta oshishini bildiradi (2.16-rasm).
Dekada
0,01
^
1
0,1
^
10
100
1000
rad
10000
o ,----
—J----------- 1----------- 1------------ 1-----------1------------1----------- H -
2
-
1
0
1
2
3
4
lgffl, dsfe
2.16 - rasm. Chastotaning dekada birligidagi masshtabi.
G.Bode ko‘pincha birgina LAChX ni qurish bilan kifoyalanish
mumkinligini ko‘rsatadi, chunki faza xarakteristikadan amplituda va
amplituda xarakteristikadan faza xarakteristikalarini aniqlash mumkin.
Agar tizimlarning LAChX va LFChX lari o‘rtasida bir qiymatli
bogianish mavjud bo‘lsa, bunday tizimlar minimal fazali tizim deyiladi.
Ko‘p tizim va zvenolar uchun logarifmik xarakteristikalar oktavaga
desibel va dekadaga desibel birligida ifodalanadigan, turli og‘ishlarga
ega boigan to‘g‘ri chiziqdan iborat. (2.14) ifodadagi chastota
funksiyasining modulini logarifmlashda ko‘paytma va bo‘linmalar.
yig‘indi va ayirmalar bilan almashtiriladi, bu esa tahlil qilinayotgan
ifodalami soddalashtiradi.
Logarifmik chastota xarakteristikalari chiziqli va chiziqli boMrnagan
avtomatik rostlash tizimlarini amalda hisoblashda keng foydalaniladi.
2.9. Elementar zvenolar va ularning xarakteristikalari
Boshqarish nuqtayi nazaridan avtomatik tizimlar va ularning tarkibiy
zvenolari o‘zlarining statik va dinamik xarakteristikalariga ko‘ra
sinflanadi. Bunday sinfiy chiqish va kirish kattaliklarining turg‘unlash48
magan rejimda vaqt funks iyasidagi bog‘lanishiga asoslangan. Tadqiq qilinayotgan avtomatik tizimlarning dinamik xarakteristikalari oldindan
ma’lum bo‘Igan va bir-biri bilan bog‘langan elementar (yoki tipik)
zvenolar shaklida keltiriladi. Quyidagi uchta talabni qanoatlantiradigan
zveno shartli ravishda elementar zveno deyiladi: 1) zvenoning diffe­
rensial tenglamasi ikkinchi tartibdan yuqori bo‘lmasligi shart; 2) zveno
detektorlash qobiliyatiga ega bo‘lib, signallarni bir yo‘nalishda kirishdan chiqishga tomon o‘tkazishi kerak; 3) zvenoga boshqa zvenolar
ulanganda, u o‘zining dinamik xususiyatlarini o‘zgartirmasligi lozim
[3,20,23].
Avtomatik boshqarish tizimlarining zvenolari har xil fizikaviy
tabiatga, ishlash prinsipiga, konstruktiv formaga hamda sxemalarga
bo‘linishi mumkin. Lekin bu zvenolaming dinamik xususiyatlarini
o‘rganishda, tadqiq qilishda uning chiqishidagi hamda kirishidagi
kattaliklami bog‘lovchi tenglama muhim rol o‘ynaydi. Elementar
zvenolaming xarakteristikalarini tahlil qilish uchun standart shaklda
yozilgan dinamik tenglamalar ishlatiladi.
Matematik ifodasi differensial tenglama bilan ifodalanadigan
zvenolarga dinamik zveno deyiladi. Tipik dinamik zveno deb, tartibi
ikkidan yuqori bo‘lmagan differensial tenglama bilan ifodalanadigan
zvenolarga aytiiadi. Ularga asosan quyidagi zvenolar kiradi [3,20,23]:
1. Kuchaytiruvchi (proporsional, inersiyasiz) zveno.
2.Birinchi tartibli inersial (aperiodik) zveno.
3.Integrallovchi zveno.
4. Differensiallovchi zveno.
5.Tebranuvchi zveno.
6. Tezlatuvchi zveno.
7. Kechikuvchi zveno.
Quyida shu zvenolaming vaqt hamda chastotali xarateristikalarini
ko‘rib chiqamiz.
1.
Kuchaytiruvchi (proporsional, inersiyasiz) zveno. Agar zveno
tizimga kechikish va boshqa xatolar kiritmay faqat kirishga berilgan
signalning masshtabini o‘zgartirsa, bu zveno kuchaytiruvchi (propor­
sional, inersiyasiz) zveno deyiladi. U statikaning algebraik tenglamasi
orqali ifodalanadi:
У = Кх,
bu yerda, у - zvenoning chiqish kattaligi; К - zvenoning kuchaytirish
koeffitsiyenti; x - zvenoning kirish kattaligi.
49
Kuchaytiruvchi
ifodalanadi:
zveno
dinamikasining tenglamasi
quyidagicha
y(t) = K-x(t).
(2.15)
Bunday zvenoning chiqishidagi kattalik kirishidagi kattalikka
nisbatan proporsional ravishda o'zgaradi.
Bu zvenoga elektron kuchaytirgich, potensiometr, taxogenerator kabi
elementlar misol b o ia oladi (2.17-rasm.)
UMy)
-U&y
Ш.Х)
UMy)
a)
b)
2.17-rasm. Elektron kuchaytirgich (a); potensiometr (b);
taxogenerator (d), bu yerda «ы» o ‘qning aylanish tezligi
(2.15) tenglamaga Laplas almashtirishlarini kiritamiz
y ( p ) = K -x ( p) ,
bundan
W{p) = ^
x(p)
= K.
Shunday qilib, proporsional zvenoning uzatish funksiyasi kuchay­
tirish koeffitsiyenti «К» ga teng boiadi.
Uzatish funksiyasi orqali zveno yoki tizimning vaqt xarakteristi­
kalarini aniqlash mumkin
h(t) = L - ' { W ( P ) ~ ^ = r ’j t f l j . = К ■1 (0 .
50
2.18-rasm. Vaqt xarakteristikasi
Chastotaviy uzatish funksiyasini aniqlash uchun uzatish funksiyasi
W(p) da «р» ni «ja»> bilan almashtiriladi
W(jco) = K; A(co) = K; <p(co) = 0,
L{co) - 20'lg A(a>) = 20 lg К .
Kuchaytiruvchi zveno berilgan signallarga faza siljishlarini kiritmaydi va barcha chastotali signallami ravon o‘tkazadi. AFX ning
gadografi (2.19-rasm) kompleks teksligidagi haqiqiy o‘qda boshlang‘ich
koordinatalardan К masofaga kechikkan nuqta bilan ifodalanadi.
Zvenoning A( oj) amplituda-chastota xarakteristikasi - chastotalar
o‘qidan A(a>) = К miqdorga kechikkan to‘g‘ri chiziqdir.
jV (m )
<p(a>)
A(co)
AFX
AChX
L{a)
LAChX
FChX
201g К
2.19-rasm. Amplituda-fazali (a); amplituda-chastotali (b); fazachastotali (d); logarifmik amplituda chastotali (e) xarakteristikalar.
51
(р(о:>) = 0 faza-chastota xarakteristika faza siljishlarning yo'qligini
bildiradi. Amplituda, chastotaning cheksizlikka intilgan har bir qiymatida istalgan real kuchaytiruvchi zvenoning kuchaytirish koeffitsiyenti
nolgacha kamayib ketadi.
Ushbu zvenoning fazasi minimal qiymatga ega yoki nolga teng,
ya’ni minimal fazalidir. Kuchaytirish koeffitsiyenti К chiziqli zveno
uchun doimiy, chiziqli bo‘lmagan zveno uchun esa o ‘zgaruvchandir.
2.
Birinchi tartibli inersial (aperiodik) zveno. Ushbu zvenoning chi­
qish va kirish kattaliklarim bog'Iovchi tenglama birinchi tartibli dif­
ferensial tenglamadan iborat:
T
^ + y(t) = K x ( t )
(2.16)
at
bu yerda, К —zvenoning kuchaytirish koeffitsiyenti; T - zvenoning vaqt
doimiysi.
RC, RL - zanjirlari, o‘zgarmas tok generatori va dvigatellari bu
zvenoga misol bo‘la oladi (2.20-rasm).
*----- EH}
U,(x)
ф----------a)
f ----- 1
QCh
Uq(x)
i
Ф
2.20-rasm. RC zanjiri (a); LR zanjiri (b); o ‘zarmas
tok generatori (d); o ‘zgarmas tok dvigateli (e).
(2.16)
tenglamaga Laplas o‘zgartirishmi kiritib, bu zvenoning uzatish
funksiyasini aniqlaymiz
(Tp + l ) - y ( p ) = Kx(p),
bundan
52
Щр)
у ( р)
К
х(р)
Тр + 1
Inersial zvenoning o‘tkinchi funksiyasi
вд =г №
1 }=г '{ ^ . 1 }=к о - о в д ,
eksponenta qonuni bo‘yicha o‘zgaradi (2.21-rasm). Impulsli o‘tkinchi
funksiyani quyidagicha aniqlash mumkin (2.21,Z>-rasm)
a>(t) = h \t) = Г 1\W[p)\ - L" j - £ - } = - ^ 1(0.
[l + pT \ p
2.21-rasm. О ‘tkinchi xarakteristika (a); impulsli o ‘tkinchi
xarakteristika (b).
Zvenoning chastotali uzatish funksiyasini hamda uning chastotali
xarakteristikalarini aniqlash uchun uzatish funksiyasi W(p) da «/;»ni
«jco» bilan almashtirish kerak (2.22-rasm).
J
1+jaT
(1 +jcoT)(] -jo)T)
К
.
KwT
.
.
--------------------- j ----------------= U ( a ) + jV (c o );
(1 + o !T 2) J Q + c o 2T 2)
U(a>) = -—
- haqiqiy qism; V(a>) = - 7 ^ —7 ~ mavhum qism
\ + co2T 2
\ + co T l
2.22-rasm. Amplituda-fazali xarakteristika (a); amplitudachastotali va faza-chastotali xarakteristika (b).
A(co) = 4U{co) + V \ a ) =
К
2
(l + r v ) !
к 2т2®2
K^fi+iF
(l+ rv )!
(p\co)л - arctg ~rF(o)
~■ =
1+ r
к
Vl + a»jr ' ’
-isT®
-------- = - arctgcoT;
,
a:
t/ ( ® )
Zvenoning logarifmik amplituda chastotali xarakteristikasi (LAChX)
quyidagi ifoda yordamida aniqlanadi:
К
L{o>) = 20 lg A(co) = 20 lg r
= 20 lg .ST- 20 lg V1+ co2T 2
_V1 CO T
Bu zvenoning asimptotik LAChXni
201g К,
0<fi><l yoki 0 <g> < — bo'lganda,
Lfro) =
201gX-201g<a7,> озТ > 1 yoki
bo'lganda,
tenglama bilan ifodalanadi.
1
Shunday qilib, chastotaning 0<а><-^ oralig‘idagi qiymatlarida K=)
bo‘lganda L(a>) xarakteristikasi abssissa o‘qi bilan mos tushadi, chunki
L( g>) = 201gl = 0. Agar К ^ ! bo‘Isa, unda shu chastota oralig‘ida L(a>)
xarakteristikasi 201gjК balandlikda abssissa o‘qiga parallel bo‘lgan
54
to‘g‘ri chiziq bo‘ladi. a)T >1 yoki
g>>
— bo‘lganda La(w>) = -201go>r
ga teng bocladi (2.23-rasm).
Ц<у), db
40
20
[
201gK J
0,1
0,01
-20
1
10
\
(oT = 1,
100
\ N
X
L(co) = 0db;
® r = I0, L(o)) = - 2 0 db;
\<m
-20 db/dek
coT = 100, L(co) = -40 db.
4
-40
-20 db/dek
2.23-rasm. Logarifmik amplituda chastotali xarakteristika,
Shunday qilib, inersial zvenoning LAChX si tutash chastota со = ^
yoki coT = 1 gacha hech qanday o‘zgarishsiz qoladi va shu chastotadan
keyin -20 db/dek og‘ish bo‘yicha o‘zgaradi.
Haqiqiy LAChX L(co) asimptotik L J oj) xarakteristikadan
birmuncha farq qiladi va bu farq faqat tutash chastota ® = ~7 yoki
фТ
= 1 da eng katta qiymatga ega boiib, u taxminan -3,03 db ga teng,
ya’ni
L(o)) = 1(1) - -2 0 lg
1
л/1+ a r
-201g
-3,03 db.
л/ 2
:
Amaliyotda LAChX ni aniq ko‘rish talab qilinmaydi. Shuning uchun
uni ikkita bir-biri bilan tutashgan to‘g‘ri chiziq ko‘rinishida quriladi.
Logarifmik faza-chastotali xarakteristika <p(co) = —arctgcoT ifoda'
yordamida aniqlanadi (2.24-rasm).
55
соТ - 0 ,
= 1,
оуТ
Ф(со) = О”;
<р(<у) = -4 5 ”;
йаГ = со, <р(в>) = -90°.
2.24-гasm. Logarifmik faza-chastotali xarakteristika.
Tutash со =■— yoki coT = 1 chastotada <р(ю) = -arctgl = - 45*ga teng
bo‘lib, shu chastotaga nisbatan LFChX ning simmetriyaligi uning o‘ziga
xos xarakterli fazilati hisoblanadi.
3.
Integrallovchi zveH0.|Chiqish kattaligi kirish kattaligiga bog‘liq
bo‘lmagan, ; lekin chiqish koordinata o‘zgarishining tezligi zveno
kirishidagi signalga proporsional bo‘lgan zveno integrallovchi zveno
deyiladi. Bu zveno tavsifi quyidagicha:
(2.17)
bu yerda К — zvenoning kuchaytirish koeffitsiyenti va uning vaqt
doimiysi nisbatiga teng zvenoning tarqalish tezligi.
(2.17) ifodani integrallab o‘tish jarayoni tenglamasini hosil qilamiz
/
y(t) = K\x(t)d.t,
(2.18)
(2.18)
ifodadan chiqish kattaligi kirish kattaligining integraliga
proporsional ekanligi kelib chiqadi. (2.18) tenglamani Laplas bo‘yicha
tasviri quyidagi ko‘rinishga ega:
y(p) = ~ x ( p ) ,
P
zvenoning uzatish fiinksiyasi
56
Bu zvenoni yana astatik zveno deb ham yuritiladi.
Integral zvenoning 0‘tkinchi funksiyasi
h(t) = L~l\ W ( p ) I
P
=K-t-\{t)
va impulsli o‘tkinchi funksiyasi (vazn funksiyasi)
®(t) = h'(t) - К
2.25b-rasmda keltirilgan.
к
b)
2.25-rasm. О *tkinchixarakteristika (a); impulsli 0 ‘tkinchi
xarakteristika (b).
Integral zvenoning chastotali uzatish funksiyasi
. л К
К -;§
W ( jm ) = — = — e
jo ) со
(2.19)
К
boiib, unda A(co') = ------amplituda-chastota funksiyasi; <p(a>) =
со
faza-chastota funksiyasi (2.26-rasm).
b)
AChX
d)
FChX
CO
4
0
2.26-rasm. Amplituda-fazali (a); amplituda-chastotali (b);
faza-chastotali (d) xarakteristikalar.
57
2
-
Zvenoning AFX si (2.19) ifodaga muvofiq kompleks tekisligining
manfiy mavhum o‘qi bilan mos tushadi va chastota 0 < a>< °o boiganda
koordinata o‘qi boshiga tomon yo‘nalgan boiadi.
Logarifmik amplituda-chastota xarakteristikasi Цол) = 20 lg A(a>) =
= 201g— = 201g^-201g© ifoda yordamida aniqlanadi (2.27-rasm).
со
L(o) = 0 db;
L(a>) = —20 db;
® = 10,
0 = 100, L(co) = -40 db;
о = 0,1, L(co) = 20 db;
со = 0,01, L(co) 40 db.
to = l,
2.27- rasm. Logarifmik faza-chastotali xarakteristika.
Demak, bu zvenoning L(a>) xarakteristikasi koordinatalari ®= i va
20 lgЛС boigan nuqtadan o‘tgan og‘ma to‘g‘ri chiziq boiib, chastota bir
dekadaga ko‘payganda L(a>) ordinatasi 20 db ga kamayadi. Shuning
uchun L(a>) xarakteristikasining ogishi -20 db/dek (minus 20 detsebel
bir dekadaga deb o‘qiladi).
4.
Differensiallovchi zveno. Chiqish kattaligi kirish parametrlarining
o‘zgarish tezligiga proporsional boigan zveno differensiallovchi zveno
deyiladi. Bu ideal differensiallovchi zvenoning xususiyatlari
r, dx
~ d t’
( 2 ' 2 0 )
tenglama bilan ifodalanadi. Bunda К - uzatish koeffitsiyenti. Unga
elektr sigim , induktivlik, taxogenerator (agar kirish kattaliga o‘qning
aylanish tezligi emas, burchak burilishi boisa) misol b o ia oladi.
(2.20)
tenglamani Laplas bo‘yicha o‘zgartirib, zvenoning uzatish
funksiyasini aniqlaymiz
Щ р) = У ^1 = Kp.
x(p)
58
-
(2.21)
Bunda o‘tkinchi h(t) va impulsli o‘tkinchi oj(t) funksiyalami
aniqlaymiz
h(t) = L''\W(}J ) 1^ = lA {Kp •l | = K-S(t),
a>(t) - h \t) = К ■S'(t).
(2.21)
funksiyasini
ifodada «р» ni <</«»> bilan almashtirib chastotali uzatish
W(ja>) = K - jo) = K - m 1,
hamda chastotali xarakteristikalarini aniqlaymiz (2.28-rasm). Unda
Л(а>) = К а - amplituda chastotali funksiya; <p(co) =
7t
f;V7-a chastotali
funksiya; L(co) = 20 lg A{oi) = 20 Ig К + 20 Ig a - logarifmik-amplituda
chastota funksiyasi.
<p(m)
A FX
FChX
U(a>)
0
2.28-rasm. Amplituda-fazali (a); amplituda-chastotali (b); fazachastotali (d); logarifmik amplituda chastotali (e) xarakteristikalar.
Shunday qilib, bu zvenoning AFX si kompleks tekisligining musbat
mavhum o‘qi bilan mos tushib, chastota 0 < со < °o o‘zgarganda
59
yuqoriga qarab yo‘naladi. LAChXsi esa koordinatalari a>=1 va
L(a>) = 2Q\gK bo‘Igan nuqtadan o‘tgan to‘g‘ri chiziqdir. Shuning uchun
Цел) xarakteristikasining og‘ishi +20db/dek (plyus 20 detsebel bir
dekadaga deb o‘qiladi).
Real differensiallovchi zvenolar dinamikasining umumiy tenglamasi
quyidagicha
T — +v =K — .
(2.22)
dt '
dt
(2.22) tenglamani Laplas .bo‘yicha o‘zgartirib, zvenoning uzatish
funksiyasini aniqlaymiz
1+ Tp
Real differensiallovchi zvenoning uzatish funksiyasidan ko‘rinib turibdiki, real holatda idel integrallovchi zvenoni aperiodik zveno bilan
birgalikda amalga oshirilar ekan.
5.
Tebranuvchi zveno. Ushbu zvenoning chiqish va kirish kattaliklari o‘rtasidagi bog‘lanish ikkinchi tartibli differensial tenglama orqali
ifodalanadi:
T 1^ r + 2 £ T ^ + y(t) = K-x(t),
at
dt
(2.23)
bu yerda 0 < £ < 1 oralig‘idagi qiymatga ega boiib, so‘nish darajasi
(koeffitsiyenti) deyiladi. Elektr tebranuvchi zanjir, elastik mexanik tizim
bu zvenoga misol b o ia oladi.
(2.23) tenglamani Laplas almashtirishi orqali o'zgartirib
( Т гр г + 2£Tp + l) y ( p ) = K x ( p ) ,
zvenoning uzatish funksiyasi aniqlanadi
W(p) = У ф -= - т т ^ -------- •
x(p) Т гр г +2£Гр + 1
<2-24)
Chastotali uzatish funksiyasini aniqlash uchun (2.24) ifodada «/»> ni
«jco» bilan almashtiramiz.
К
_
*■[(!-<02:Г)-7й>2£Г|
T X jw y + 2 £ j a T + 1
TT, ,
1(1 - m2r ) + _/а>2£Г][(1 - w2T j -
К ( \ - а гТ г)
. .
и (со) —------- ■■■ -------- -———
(
i
-
©
T
2) 2 +
4 e
w
.
- haqiqiy qism;
4 4
r
60
3
4
V(a>y.
IKfyaT
(1 - ю2Г 2)2 + 4^ 2су2Г 2
Д со)= ^[/(о))+ У г(а>) = —
К
jil-atFY+AgafF
(p(a) = arctg
U(w)
mavhum qism;
- amplituda-chastota funksiyasi;
- -arclg—^ ^ — faza-chastota funksiyasi.
1- ю гТ 1
2.29-rasmda tebranuvchi zvenoning chastotali xarakteristikalari kel­
tirilgan.
2.29-rasm. a) amplituda fazali; b) amplituda chastotali va faza
chastotali xarakteristikalar.
Bu zvenolaming LAChX si ko‘rilayotganda quyidagi asimptotik
tenglamadan foydalaniladi:
20 lg K,
(oT <1 yoki g><y
bo'lganda;
20 lg К - 40 lg (oT, coT > 1 yoki & > — ho' lg anda.
tutash chastota m = — gacha bu zvenoning LAChX si abssissa o‘qi bilan
mos tushadi, undan keyin -40 db/dek og‘ishga ega bo‘ladi.
Tebranuvchi zvenoning LAFX si (p{d) = - a r c t g - ^ ^ ~ ga teng
1- co2Tz
bo‘iib, bu xarakteristikaning 0° dan -180 ° gacha o‘zgaradi (2.30-rasm).
61
фТ
= 0;
<р(р) = 0
фТ
= 0;
<р(а) = -9 0 °
фТ
= оо;
^(<») = - ;г
2.30-rasm. Logarifmik amplituda chastotali xarakteristika.
Tebranuvchi zvenoning o'tkinchi funksiyasi
h(t)
=ГЧ •- \ =ZT'i-—
----!1=A
"
1 w
pj
1 Г р 2+ 2 ф 7 ’+ 1 p r
1- ----------e ■sin(pi + )
/гг>2
bu yerda, a = —; p - ^— — ; <po= a/vtfg - — — ; impulsli о ‘tkinchi
T
T
d
К ( а г + В2Л
(vazn) xarakteristikasi -»(/) = A'(0 =
sin Д ga teng.
2.31-rasmda tebranuvchi zvenoning vaqt xarakteristikalari keltirilgan.
2.31-rasm. a) о ‘tkinchi xarakteristika; b) impulsli о ‘tkinchi (vazn)
xarakteristika.
Tebranuvchi zvenoning o‘tish jarayoni egri chizig‘ining so‘nish
koeffitsiyenti £ ning qiymatiga bog‘liq. Agar £>1 bo‘Isa, o‘tish jarayoni
nodavriy jarayon xususiyatlariga ega, agar £ noldan 1 gacha o‘zgarsa,
o‘tish jarayofiining xarakteri tebranma so‘nuvchi boiadi. Bulami
hisobga olib, tebranuvchi zvenoning uzatish funksiyasi W(p) dan so‘nish
koeffitsiyenti <ф> ning qiymatiga qarab quyidagi ikkita tipik bo‘lmagan
zvenolarning uzatish funksiyasini olish mumkin:
a) Kon.serva.tiv zveno (£ = 0). Uzatish funksiyasi
W (P ):
К
\ + p 2T 1
Chastotali xarakteristikalari quyidagicha ifodalanadi (2,32-rasm).
К
W( ja>) = ------ — - amplituda faza chastotali funksiyasi;
1 -й )2Г
К
•amplituda chastotali funksiya;
A(jco) =
1- а>гТ г
0;
a ) < Y bo'lgandci;
faza chastotali funksiya;
9 (a )
—n\ о ) > ^ bo'\ganda.
L(m) = 20 lg A(co) - 2Q\gK - 401g©r - logarifmik amplituda chas­
totali funksiya.
Konservativ zvenoning o‘tkinchi funksiyasi h(t) = K{\~cose>/y, ®,=—
bo‘lib, amplitudasi «АГ» ga teng boigan
chastotali so‘nuvchi
boimagan garmonik tebranishlami ifodalaydi (2.32J-rasm).
Д»)
JV(m)
w
b) 201gK
Z
U {a)
2.32-rasm. a) AFX; b) LAChX va LFChX; d) o ‘tkinchi
xarakteristika.
63
b)
Ikkinchi tartibli inersial zveno ( f > I). Bunda xarakteristik
tenglamaning ildizlari faqat haqiqiy qismga ega boiadi va bu zvenoni
ketma-ket ulangan ikkita birinchi tartibli inersial (aperiodik) zveno
sifatida ko‘rsatish mumkin, ya’ni
W (p ) = K
(l+ pT ja+ pT j
bunda T, ,
+
6. Tezlatuvchi zveno. Bu zveno quyidagi tenglama bilan ifodalanadi:
, dx
dt
y ( f ) = K x(t) + T
(2.25)
Uni proporsional va differensiallagich zvenolarning parallel ulanishi
yordamida hosil qilish mumkin.
(2.25) tenglamaning Laplas tasviri
y i P ) = K \ x ( p ) + T p x (p )]
orqali bu zvenoning uzatish funksiyasi aniqlanadi:
Щ р) = ^
= К(1 + р Т ) .
x(p)
Chastotali uzatish funksiyasi
W(Jco) = K (\ + j a T ) = K + jKcoT
ko‘rinishga ega.
Bunda
A(co) = \W(jco)\ = к 4 \ Т ( о Л у
- AChX;
<p(a>) = arctg—- 0-- = arctgmT
U(a?)
20 lg К,
k(°>)
0 < со < — bo' lg anda,
T
20 lg К + 20 lg coT, со > L bo' lg anda.
- FChX;
Bu xarakteristikalar 2.33-rasmda keltirilgan.
- LAChX.
2.3
3-rasm. a) AFX; b) LChX; d) LFChX
Vaqt xarakteristikalari h(t) va co(t) quyidagi ifodalar bilan aniqlanadi.
A(0 = L '^ K (\ + p T ) •i j := K B• 1(0 + KTS(t);
© (0 = h \t) = K[T8(t) + S (t)\
Differensiallagich zvenolar kabi tezlatgich zvenolami ideal ko‘rinishda amalga oshirish mumkin emas, chunki real qurilmalarda, tizimlar
tarkibida kichik parametrga ega bo‘lgan inersialliklar albatta boiadi.
Ular uzatish funksiyasi W(p) ning maxrajidagi polinomlar orqali
xarakterlanadi. Odatda W(p) maxrajidagi polinomlaming tartibi uning
suratidagi polinomlar tartibidan ancha yuqori boiadi.
7.
Kechikuvchi zveno. Umumiy holda, agar faza bo‘yicha siljish shu
zveno uchun mumkin boigan ortib ketsa, zveno nominal fazali
hisoblanadi. Bunday zvenolar qatoriga sof kechikish zvenosi kiradi. Bu
zvenoning mohiyati shundan iboratki, u o‘zining s o f yoki transport
kechikish vaqti deb ataladigan doimiy т kechikish bilan kirish signalini
xatosiz takrorlaydi. Zvenoning xususiyati y(f) = x(t - r) tenglama bilan
ta’riflanadi. Bu tenglamaning operator shakli quyidagicha
y (p ) = e p,x(p).
Zvenoning uzatish funksiyasi yuqoridagi tenglamadan kelib chiqadi:
W(p) = e
Zvenoning amplituda-faza xarakteristikasi:
W(ja >) = e~J" = cos сот- j sin сот.
Ko'rilayotgan zvenoning o‘tish xarakteristikasi va impuisli o‘tish
xarakteristikasi quyidagicha
65
h(t) = l ( t - r ) ,
Amplituda va faza chastota xarakteristikalari esa quyidagicha:
A(a>) = j c o s 2 ( e > r ) + s i n : (& > rj = 1,
(pip) = arctg s^n eo?__ - arcfgf—
= arctg(- tgar) = -ю г . (2.26)
cos сот
vcos сотJ
Ko‘rinib turibdiki, logarifmik amplituda chastota xarakteristikasi
L(co) =-- 20 lg A(co) = 20 lg 1 = 0,
abssissa o‘qiga mos bo‘lib, faza esa (2.26) tenglamaga muvofiq ю
chastota o‘sish bilan cheksiz oshib boradi. 2.34-rasmda sof kechikish
zvenosining xarakteristikalari keltirilgan.
Ф .4(6))
a ) hit)
J) L(co)
1
Lp>)=o
7
“ ?
x
t
o
w
lga>
2.34-rasm. Sof kechikuvchi zvenosining xarakteristikalari
2.10. Statsionar chiziqli tizimlarning strukturali sxeinalari
Avtomatik boshqarish tizimlari matematik modelining ulangan
zvenolar ko‘rinishidagi grafik tasviriga strukturali sxema deyiladi.
Strukturali sxemada zvenolar shartli ravishda to‘g‘ri to‘rtburchak
shaklida ifodalanadi. Unda chiqish va kirish kattaliklari hamda zveno­
ning uzatish funksiyasi W(p) ko'rsatiladi (2.35-rasm).
66
2.35-rasm. Strukturali sxema.
Strukturali sxema tizim tarkibidagi zvenolaming o‘zaro bog'lanishni
hamda tizimdan signallaming o‘tishi va o‘zgarishini yaqqol tasvirlanganligi sababii amaliyotda ABT lami tadqiq qilishda hamda
ioyihalashtirishda juda keng qoilaniladi [14,15,20].
Tizimlami tadqiq etishda ko‘p hollarda struktur sxemalarni
o‘zgartirishga to‘g‘ri keladi.
a) ketma-ket ulangan zvenolar.
Zvenolar ketma-ket ulangan taqdirda oldingi zvenoning chiqishidagi
kattalik keyingi zvenoning kirishidagi kattalik rolini o‘taydi (2.36-rasm).
2.36-rasm. Ketma-ket ulangan zvenolaming strukturali sxemasi
Zvenolaming uzatish funksiyasi W,(p) ma’lum bo‘lsin.
bogianishning uzatish funksiyasi W(p) ni aniqlash talab etiladi.
Shu
y(p) = W(p) ■y j p )
уЛ
р
^^КЛ
р
)- y „ J p )
(2.27)
y 1(p) = W1( p) - yi(p)
у Лр ) = Щ р ) - х(р )
(2.27)
tenglamalar tizimida oraliqdagi o‘zgaruvchilarni yo‘qotib,
quyidagi ifoda olinadi:
У(Р) ^Щр)-Щ(р). .. Wn(p) ■x(p ),
67
bundan
w ( p ) = - - ~ \ = Щ( р ) - Щ р ) - wn(p)
x(p)
yoki
W (p ) = ^ \ = t[W,(p)X( p)
м
(2,28) '
Shunday qilib, zvenolari ketma-ket ulangan bog‘lanishning (ya’ni
ochiq zanjirli tizimning) uzatish funksiyasi ayrim zvenolar uzatish
funksiyasining ko‘paytmasiga teng b o iar ekan.
b) zvenolam ing p a ra llel ulanishi.
Bu holda hamma «я» ta zvenolaming kirishiga bitta signal ta'sir
etadi, chiqish signallari esa qo‘shiladi (2.37-rasm).
2.37-rasm. Ketma-ket ulangan zvenolaming strukturali sxemasi
yip ) = уХр ) + уХр ) + —+ уХр )>
у Хр ) ^
у
С2-29)
Щ р ) - х( р )
Х р ) = Щ
р
) - х (р ) I
(-2 3 Q-J
yXp) = wX p > x(p) .
(2.30) tenglamani (2.29) tenglamaga qo‘yamiz va quyidagi ifodani
olamiz:
y ( p ) = [WX p ) + W X p ) + ... + W, ( p ) ] ■X ( p ) ,
68
bundan
W(p) = ^
= Wl(p) + W1(p) + ... + WXp) = ±W,(p)x(p)
м
(2.31)
Shunday qilib, zvenolar parallel ulangan bog‘lanishning uzatish
funksiyasi undagi zvenolar uzatish funksiyalarining yig‘indisiga teng
bo iar ekan.
d) zvenolaming teskari bogianish zanjiri orqali ulanishi.
Bunday bogianishning strukturali sxemasi 2.38-rasmda keltirilgan.
2.38-rasm. Teskari bog‘lanish zanjiri orqali ulangan zvenolaming
strukturali sxemasi.
Teskari
bog‘lanish manfiy va musbat boiadi. Agarda
boisa, manfiy teskari bogianish aks holda musbat
teskari bogianish deyiladi.
Tizimni fikran, solishtiruvchi elementdan oldin ajratib, ochiq tizimni
hosil qilamiz. Bunda ikkita ketma-ket ulangan zvenolaming bogianishi
hosil boiadi. Shuning uchun ochiq tizimning uzatish funksiyasi
e (p ) = x ( p ) —y tb( p )
y(p) = W(p)-e(p),
(2.32)
e(p) = x(p)±ylt(p).
(2.33)
(2.33) tenglamani berk tizimning ulanish tenglamasi deyiladi.
уА р ) - К
Х
р ) - у ( р )-
(2.34)
(2.34) tenglamani oldin (2.33) ga keyin esa (2.32) tenglamaga
qo‘yib, berk tizimning uzatish funksiyasi aniqlanadi.
y ( p ) = Wt ( p)[x(p ) + Wib( p ) ■y ( p ) \
y(p) = [1±W, (p)Wib(p)} = WT(p) ■x(P),
69
ф
( / 0
=
т
=
х(р)
=
т
1± W , ( p ) W J p )
(2.35)
,
\±W {p)
bu yerda W(p) = Wt(p) ■Wib(p) - ochiq tizimning uzatish funksiyasi.
Ochiq tizimga birlik manfiy teskari bogianish kiritilganda berk tiz­
imning uzatish funksiyasi (2.35) formulaga muvofiq quyidagi
ko‘rinishga ega bo‘ladi (2.39-rasm).
Ф(р)
Мр)
>^ ) e{p)
W(p)
1± W ( p )
W(p)
yip)
2.39-rasm. Birlik manfiy teskari bogHanish zvenolaming
strukturali sxemasi.
e) summatorni ко ‘chirish.
y 2=WlW2x + W J = W2[Wlx + f ] ,
y 2 = WJV2x + W2f - W2[Wrx + / ]
= w ; ' w tw j + w j v 2x = w t \ f + w , x \ .
70
f) tugunni ко ‘chirish.
yt =w ,x,
yl =w lw1w;'x = w!x
y , = W lX.
2.4 - m isol
2.40-rasmda keltirilgan strukturali sxemadan tizimning umumiy uza­
tish fimksiyasini aniqlang.
2.40-rasm. Tizimning strukturali sxemasi.
Yechish: Dastlab tipik ulangan zvenolaming uzatish funksiyalarini
aniqlaymiz: parallel ulangan zvenolaming uzatish funksiyasi
w i( p ) = w x p ) + w 2( p ) ,
ketma-ket ulangan zvenolaming uzatish funksiyasi
W1(p) = Wi(p)W3(p).
Kiritilgan belgilashlarni hisobga olib, tizimning tuzilishini 2.41rasmda ko‘rsatilgan ko'rinishga keltirish mumkin.
^ -* 0 т (р )
|<-
2.41-гasm. Ekvivalent tizimning strukturali sxem asi
Strukturali o‘zgartirishlardan foydalanib, tizimning umumiy uzatish
funksivasini yozamiz
W(p) =
Щ р)
l + W2( p ) W 4(p)
Wt(p) va W2(p) laming o‘rniga qiymatlarini qo‘yib, quyidagiga ega
bo‘lamiz:
№ ,(p ) + W2(p)}WXp)
W(p) =
i +[ w ,( p ) + w ,( p ) ] w ,( p W A p )'
2.5 - misoL
Boshqarish tizimining ko‘pkonturli strukturali sxemasi berilgan
(2.42-rasm). Struktur o‘zgartirish qoidalari bo‘yicha tizimning
strukturali sxemasini soddalashtiring va uzatish funksiyasini aniqlang.
2.42-rasm. Tizimning strukturali sxemasi.
Yechish: 1) Sxemani soddalashtirish usullaridan foydalanib,
summator yoki tugunni elementlararo shunday ko‘chirish kerakki, qisqa
yo‘l bilan uni soddalashtirish mumkin bo‘lsin. Buning uchun bir nechta
variant mavjud:
a)
summator 1 ni W\(p) zveno orqali signal yo‘naiishi bo'yicha
ko‘chirish (2.43a-rasm);
72
b) summator 2 ni W\(p) zveno orqali signalga teskari yo'nalish
bo‘yicha ko'chirish (2.43g-rasm);
d) tugun 3 ni W3(p) zveno orqali signal yo‘nalishi bo‘yicha
ko‘chirish (2.43h-rasm), bunda tugun 4 bilan tugun 3 bir-birini qoplaydi;
e) tugun 4 ni Wz(p) zveno orqali signalga teskari yo‘nalish bo‘yicha
ko‘chirish (2.43i-rasm).
Istalgan holatda biz manfiy bir-birini kesib o‘tmaydigan bogianishli
ko‘pkonturli sxemani olamiz. So‘ngra 2.43,a-f-rasmda ko‘rsatilgan kabi
teskari aloqaning ichki konturidan boshlab soddalashtirib boramiz.
Tizimning uzatish funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
W ( p ) _ П р ) __________ ^X p WX p W X p )_________
* ( p ) Т+^Х р Ш р ЖСр ) + fv2(p)w:i(p)fv/p)'
21
Щр)
m(p)
m < p )
<-------
- W
4 p )
y2(p)
Wlip)
i +ir^pWiipW^P)
-Ws(p)
У6>)
—>■
-*[ m(p)
- Щ
р )
b)
I
W
w2(p W }(p )
W,(p)
m
i +w,(p W2(p W A p )
[
1
-Wsip)
d)
ДР)
Wi(p)
-j
J
'
y (p)
U
a)
X(p)
4
m(p)
■ \
i v _
(2.36)
^ i (p W A p )
l +Wl(p)W2(p)W4(p)+lV2(p)W3(p)W5(p)
Y(P)
X(p)
i +w^pw^pw^p)+w^pWzipWsW
У(Р)
------->
f)
g)
2.4 3-rasm.
2.11. Ochiq tizimning chastotaviy xarakteristikalari
Ochiq tizimning chastotali xarakteristikasi W(ja>), ya’ni AFX si
rostlash jarayonining turg‘unlik holatini tekshirishda juda muhiin rol
o‘ynaydi.
Agarda har bir zvenoning uzatish funksiyasi W,(p) ma’lum bo‘lsa,
unda har doim ochiq tizimning chastotali xarakteristikalarini hisoblash
mumkin bo‘ladi, chunki
Щ р) = т ( р ) -
74
(2.37)
Ochiq tizimning AFX sini qurishda ayrim zvenolaming amplitudachastotali xarakteristikalari ko‘paytirilib, faza-chastotali xarakteristi­
kalari esa qo‘shiladi [4,17,26].
W (jco) = Wi(jco) ■W2( j со) ■... -Wn(j со) =
[ А 1( ю
) - А
2 ( а
>
-
-
А
( <
»
) У
М ' >+ы ’ *
=
n
/=1
4
( ®
) ' e
“ * (* >'
( 2
J 8
)
Agarda har bir zvenoning AFX W(jco) si berilgan boisa, unda ochiq
tizimning AFX sini W(ja>) ni qurish uchun har bir aniqlangan chastota
uchun \W:(jco'f. vektorlar modullarini ko‘paytirish va hosil bo‘lgan
vektomi
ф(р)) = фХ®) + фг(®) + ••■+ (р„(а )
(2.39)
burchak ostida yo‘naltirish kerak.
Yuqorida aytilganlami misollarda ko‘rib chiqamiz [21,27].
2.6 - misol. Ketma-ket ulangan ikki zvenoning uzatish funksiyasi
berilgan bo‘lsin (2.44-rasm.)
x(p)
Wi(p)
yip)
---
VXp)
2.44-rasm. Ketma-ket ulangan ikkita zvenoning strukturali sxemasi.
i+рЪ
p
Bunda ochiq tizimning uzatish funksiyasi
W(P) = WXp )-WX p )
К
p (l + pT,)
chastotali uzatish funksiyasi esa W(joS) = W (jco) ■W, (jco) = -
К
(1 + j w T l) j a :
bo‘ladi.
Inersial zvenoning AFX W^jo)) si va ideal integrallovchi zvenoning
AFX W2(jco) sitiing grafigi ma’Ium. Shuning uchun bu zvenolaming
75
AFX si chizib olinadi hamda har bir belgilangan chastota uchun bu
zvenolaming amplitudalarini ko‘paytirib, q>^(o}) +
v) = <p(a>) yoki
<p(<a) = -90° - (p^(оз) burchak ostida yo‘naltiriladi (2.45-rasm).
2.45-rasm. Amplituda fazali xarakteristika.
Masalan, «, chastotaga to‘g‘ri kelgan nuqta uchun inersial zvenoning
amplitudasi
ga fazasi esa
ga, integrallovchi zvenoning
amplitudasi A2(o),) ga fazasi esa o‘zgarmas <рг(й)) = - 90’ ga teng
bo'ladi.
(2,38) ifodaga muvofiq bu chastota uchun А(со])=А\(а>1)-Аг(со\)
bo‘lib, bu amplitudani {»(<»i)=-900+(-^i(eoi)) burchak ostida yo‘naltiriladi. Har bir belgilangan chastota uchun yuqoridagi tadbirlar
qaytariladi va umumiy AFX chiziladi.
2.12. Ko‘p oicham li elementlarni vektor-matritsa shaklida
ifodalash
Zamonaviy boshqarish tizimlarida bir necha kirish va bir necha chiqish o‘zgaruvchili elementlar ko‘plab uchraydi. Bunday elementlarni
ko‘p oicham li deyiladi.
Ko‘p oicham li elementlar eng avval boshqarish obyektining o‘zida
hisoblanadi.
Ko‘p o‘lchamli boshqarish tizimining boshqa qismida boiishi ham
mumkin, masalan, mikrokompyuterlar ko‘rinishidagi murakkab bosh­
qarish qurilmalarining ko‘pkanalli generatorlar bajarilishi vazifasida.
Chiqish o‘zgaruvchilari odatda qoida bo‘yicha oichashlar
uzatiladigan real fizik kattaliklar boiadi. Biroq chiqish o'zaruvchisi
sifatida bir necha abstrakt o‘zgaruvchilar boiishi mumkin, masalan, real
chiqish o‘zgaruvchisining hosilasi aniq fizik ma’noga ega emas, hattoki
bitta kirish va bitta chiqishli elementlarda ham, ko‘p oichamli sifatida
qarashimiz mumkin [20,26].
Istalgan chiziqli ko‘p oichamli element uzatish xossasining
matematik ifodasini asosan ikki ko‘rinishda ifodalash mumkin [6,9]:
1) real kirish va chiqish o‘zgaruvchilari (kirish-chiqish (KCh)
usulida ifodalash) uchun ifodalangan, ko‘rilayotgan dinamik xarakteris­
tika (differencial tenglama, vaqt, uzatish va chastotaviy funksiyalar)
yordamida;
2) abstrakt chiqish o‘zgaruvchisi uchun ifodalangan Koshi shaklidagi
differensial tenglamalar yordamida.
2.13. Avtomatik boshqarish tizimini “kirish-chiqish” usulida
ifodalash
Ko‘p oichamli obyekt m kirish o‘zgaruvchi va n chiqish o‘zgaruvchilariga ega boisin (2.46-rasm).
Уi
x2
X*
У> у
лъ
y"
*
»
2.46-rasm. K o ‘p o'lchamliobyekt.
77
Umumiy holda har bir kirish o‘zgaruvchilari har bir chiqish
o‘zgaruvchilari bilan bog‘langan. Agar barcha kanallar xt —y, bo‘yicha
o‘zaro aloqa chiziqli (chiziqlantirilgan) bo' lsa, u holda umumiy holda
elementlarni quyidagi tizim ko‘rinishida ifodalash mumkin:
Z
MA ( p ) y , ( 0 = 1Ж*
4=1 (p K (0>* = 1>2- « .
bu yerda Da(p), K.k(p ) - kirish va chiqishning differensial operatorlari.
Vektor tenglama ko‘rinishida esa
D{p)Y(t) —K ( p ) X ( t ) ,
bu yerda
7 =
-
У,
V
\ ,x =
kirish va chiqish o‘zgaruvchilari vektori
D(p),K(p) - operator matrisalari Dil(p),Kik(p).
.Л .
Y,
w ,t
\\
f/
Xi
у
Wii
2.47-rasm. Ko‘p o‘lchamli obyektni kirish-chiqish usulida
ifodalangan sxemasi
78
Agar boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lsa, unda Laplas bo‘yicha
tasviri
D(p)Y(p) = K ( p ) X ( p ) .
Endi elementning uzatish funksiyasi matritsasini (uzatish matritsasini) aniqlash mumkin:
K X p)
'K (p)
W(p)
- D~' (p)K (p) .
w ap)
w„ ( p )
Ushbu matrisaning elementlari o‘zida alohida kanallar xt - y ,
bo‘yicha uzatish ftmksiyasini Wlt(p) aks ettiradi. Agar D(p) diagonal
bo‘Isa, unda W№(p) uzatish funksiyasini aniqlashdan foydalanib oson
topiladi:
K (P)
V,/"
xA p )
dAp)
Unda tizimni vektorli operator tenglamasi yordamida ifodalash
mumkin
Y(p) = W(p) X(p )
va boshlang‘ich sxemani boshqasi bilan almashtiriladi (2.47-rasm):
2.14. Avtomatik boshqarish tizimini fazo holatida ifodalash
Ma’lum topshiriq ta’sirlari orqali tizimning o‘zini tutishini
bashoratlashga imkon beruvchi obyekt to‘g‘risidagi minimal axborot
ABTning holati deyiladi.
ABN nuqtayi nazardan obyekt o‘zida qora qutini aks ettiradi.
Vaqtning istalgan momentida obyekt holatini
Xj X,
7>’i uchta vektorli fazo aniqlaydi:
---- Уп
1) Kirishdagi vektorli fazo R =
79
obyektdagi
(umumiy holda —boshqaruvchi, xalaqit va yuklama) kirish ta ’sirlarini
aniqlaydi.
kirish ta’sirida tizimning
2) Ichki holat vektorli fazo X
reaksiyasini aniqlaydi.
У,
3) Chiqishdagi vektorli fazo Y ■
chiqish o‘zgaruvchilarini
Уш
aniqlaydi.
Ushbu vektorlar yig‘indisi tizimning holatini (fazo holatini)
aniqlaydi.
Uzluksiz chiziqli tizim uchun obyektning dinamika va statikasi
quyidagi vektorli tenglama ko'rinishida ifodalaniladi [6,9,11]:
dX{t)
dt
A' X(t) + B ’R(t)
7 (0 = C'X (t ) + D'R(t),
bu yerda A' - ABTning koeffitsiyentlar matritsasi; B ‘ - ABTning
boshqarish
(kirishdagi)
matritsasi
(g‘alayon
ko‘rilmaydi);
A * = [a , J w , В * =
- obyektning konstruktiv parametrlariga bog‘liq bo‘lgan doimiy koeffitsiyentlar matritsalari; C* ABTning kuzatish (chiqishdagi) matritsasi; D ’ - ABTning aylanib
o‘tish matritsasi.
C' =
D' - \d :j]я - obyekt chiqishida kirish ta’siri va holat
o‘zgaruvchilariga inersiyasiz ta’sirini tavsiflovchi doimiy koeffitsiyentli
matritsalar.
Ushbu ifoda ABTni har tomonlama aks ettirish imkonini beradi:
- birinchi tenglama ABTni dinamikasini ifodalaydi va holat
tenglamasi deyiladi.
- ikkinchi tenglama ABTni statikasini ifodalaydi va chiqish
(kuzatish) tenglamasi deyiladi. Bu tenglamalar chiqish (kuzatiluvchi)
o‘zgaruvchili holat o‘zgaruvchilari va kirish ta’sirlarini bogMaydi.
(2.40)
tenglama ko‘rinishida holat o‘zgaruvchilari yordamida
ifodalangan obyekt modeli quyidagi algoritmik sxemaga mos keladi:
Jto
X
В
■+©—
“'
Т
I
I— _
.7
A
2.48-rasm. Obyekt modelining algoritmik sxemasi
X va X dan tarkib topgan zvenoda o‘zaro quyidagi amal bajariladi:
X = -IX ,
P
bu yerda — - integrallash operatori, I - birlik matritsa.
P
Holat va chiqish tenglamalaridan ko‘p o'lchamli chiziqli obyekt
statikasi matritsali tenglamasini quyidagicha olish mumkin:
Y = K rR,
bu yerda K R = D ‘ - C ' ( A ' ) 'B' - obyektning uzatish koeffitsiyentlari
matritsasi.
Amaliyotda kirish vektori va ichki holatni birgalikda birlashtirilsa
qulay bo‘ladi:
Г R(t) ]
V~I
- umumlashtirilgan vektor holati.
Shunday qilib, tenglamalar tizimini olamiz:
dX(t)
A-V(t),
dt
Unda (2.40) tizimni quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin:
0
0
A=
■koeffitsiyentlar matritsasi;
S ’ A' _
С = P ' C*] - chiqish matritsasi.
81
Fazo holatida tizimlami grafik ko‘rinishi sifatida л,с matritsalarni
oson olishga imkon beruvchi holat o‘zgaruvchiiari sxemalarining
maxsus strukturali sxemalari taklif etiladi.
2.15. Holat o‘zgaruvchilari sxemalari
Holat o‘zgaruvchilari sxemalari quyidagi asosiy element!ardan tash­
kil topgan:
1. Holat o‘zgaruvchilari sxemalari asosida birlik integrator yotadi:
Vdx(t )
---dt -
2) f a
-
—
dt
x(t)
P
2.
Holat o‘zgaruvchilari sxemalarining keyingi asosiy elementi
proporsional (inersiyasiz) zveno hisoblanadi:
_
*
к
,
— *•
3. Summator.
Holat o‘zgaravchilari sxemalari obyektning uzatish funksiyasi bo‘yicha quriladi. Holat sxemasini qurishning uch usuli mavjud:
- bevosita dasturlashtirish (bazali) usuli;
- parallel dasturlashtirish usuli;
- ketma-ket dasturlashtirish usuli.
Bevosita dasturlashtirish (bazali) usu li ABTning ifodasi uzatish
funksiyasi ko‘rinishida berilgan bo‘lsin:
wt \
boPm+ b ,p ‘"~l +
- +
6 , ,Р + Ь„
W(p ) = -------------- --------------------- , bu yerda n=m.
a0p" + a lP- + ... + a
Holat о ‘z garuvchilari sxemalarini bazali usulda qurish algoritmi
I.
О ‘zgartirilgan uzatish funksiyasini olamiz: berilgan surat va
maxrajlami eng yuqori darajali p ga bo'iamiz, shuningdek ao koeffitsiyentga ham. Agar m> n bo‘lmasa, holat o‘zgauvchilari sxemalarini
qurib bo'lmaydi.
82
b„
bx
b
„t|
b
W(p) = a° a°_________ ________ao
\ + a, p ' + ... + а "-'-р-"« + a" p~n
W{p) _= Y { P ) => Y{p) = W(p)-R(p\
R(p)
Y{p) = E ( p { b~ + p~' + ... + ^
— p--"+
r!+l + ~ p ~
i a0 «о
«о
a()
E(p) = -
R(p)
l +.5
^ .p 4 + ...-
=
, bu yerda E(p)-xatolik.
>
a„
” "P
a,.
- £ ( / ? ) - l р “’ - - - - -
j? 0 ) -= - p " .
«о
a0
2.
к birlik integratordan ketma-ket zanjir quramiz, bu yerda, k o‘zgartirilgan uzatish funksiyasi suratitvingp darajali maksimal moduli.
E(p)
3.
0 ‘zgartirilgan uzatish funksiyasining surati to‘g‘ri aloqa
tarmog‘ini qurishga imkon beradi. Har bir (г-chi) integrator mos
ravishda koeffitsiyent ( - L)ga ko‘paytiriladi, so'ngra olingan signallar
ao
yig‘iladi. Agar koeffitsiyent ( —) = 0 boisa, unda mos ravishda
signallar qatnashmaydi.
0 ‘zgartirilgan uzatish funksiyasining
qo‘shiluvchi suratlari soni chiqish signalini hosil qiluvchi signallar
soniga teng boiadi.
—
koeffitsiyent xatolik signaliga mos boiadi. Agar m < n boisa,
unda xatolik signaliga muvofiq koeffitsiyent nolga teng boiadi.
83
4.
0 4zgartirilgan uzatish funksiyasining maxraji teskari aloqa
(analogik) liniyalarini qurishga imkon beradi. (+) belgili maxraj koeffitsiyentlari manfiy teskari aloqaga mos keladi va aksincha. Maxrajda bir
boTishi shart, lekin u holat о‘zgaruvchilari sxemalarida aks etmaydi.
2 .7-misol. Quyidagi uzatish funksiyasini ko‘rib chiqamiz:
um
ga o‘zgartiramiz. Berilganlar bo‘yicha sxema quramiz
Holat o‘zgaruvchilarining ushbu sxema bo‘yicha tenglamalar
tizimini tuzamiz. Kengaytirilgan vektomi ko‘ramiz:
, chiqish vektori - Y = [y,].
V=
r(t ) - birlik pog‘onali funksiya bersak, unda tenglamalar tizimi
quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
dr
dt
cbc,
= 0;
dt
dx1
dt
:*3;
dx,
т,+тг
dt
ТГ Тг
,
------ r ---------------x
1
ТГ Тг ;
+ v
------------
\
y(t) uchun tenglama tuzamiz: y{f) -
TT
x
'
r
Matritsa koeffitsiyentlarini aniqlaymiz:
TT
X,
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Chiqishda matritsa: С ■ 0
*2
x,
0
0
1
1
TT
1И г
т
11 +т
' 12
ТТ
J Iх 2
о 0
Ya’ni, agar matritsali ko‘rinishda yozadigan bo‘lsak, imda quyidagi
tenglamaga ega bo‘lamiz:
Y(t) = C ■V(t).
Ketma-ket va parallel dasturlashtirish usuli. Ushbu holatda berilgan
strukturali sxema bog‘langan zvenolar ko‘rinishida yoki oddiy zvenolar
85
uzatish funksiyalarining ko‘paytmasi (yoki yig‘indisi) ko‘rinishida
boiadi. Bunda holat o‘zgamvchisi sxemasi zvenolaming har biri
(tayanch usullar) uchun holat o‘zgaruvchilari sxemasini ketma-ket
qurish y o ii bilan olinadi.
2.8-misol:
W{ p) =
p(T, p+W2p+i)
=k P -
p* _+ . Г,
T .-T , I t L p * - T , - T ,
!+I p.
Holat sxemasi quyidagi ko‘rinishda boiadi:
Tenglamalar sistemasini tuzamiz:
Гdr
= 0;
dt
dxt
-k r\
dt
dx2
jV 1 - T
dt
dx,
-------—
т
т
dt
T.
r -------X
'
T
3>
y = x, + x2 +X,.
Unda A matritsa koeffitsiyentlari quyidagi ko'rinishda boiadi:
86
С matritsa esa quyidagiga teng: c = [o 1 l 1].
2.16. «Kirish-chiqish» va fazo holati usuli ifodalarining
o‘zaro aloqasi
Kirish-chiqish usulida ifodalagan tenglama berilgan bo‘lsin
dX{t) _
A'X(t) + B'R(t),
dt
'
Y(t) = C’X(t) + D'R(t).
Boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lganda W(p) = —
R(p)
(2.41) ifodaga muvofiq:
(2.41)
unda
pX ( p ) = A'X(p) + B'R(p),
( p i - A’) X (p ) = B'R(p),
X(p) = (pI-A T B 'R (p).
Y(p )ni o‘miga quysak [9,11]:
Y (p) = C ( p i - A’) 1B'R(p) + D'B(p) =>
= IV(p) = С ( p i - A T B' + D'-
R(p)
Bundan ko‘rinib turibdiki, matritsalar aniqlovchisi ( p i - A ' ) ' 1 - tizimning xarakteristik tenglamasi hisoblanadi
2.9-misol.
Agar holat o ‘zgaruvchilari sxemasi quyidagi ko‘rinishda boisa,
uzatish funksiyasini oling:
iff)
A*= [0],B*=[1],
C*=[l],
D*=[l],
W ( p ) = C* ( p i - A ' ) 1 -B' + D ' = 0 И М 1 + щ = 1 + 1 = £ ± 1
2.17. 0 ‘tish matritsasi. 0 ‘tish matritsasini olishning
analitik uslubi
ABT ifodasi berilgan boisin:
dV(t)
,
A - V (f),
at
Y(t) = C V ( t ).
(2.42)
Ushbu tenglamalar sistemasining yechimini topish kerak.
Ushbu sistemani yechish uchun (2.42) tenglamaga Laplas to‘g‘ri
almashtirishini qoilaymiz, boshlangich shartlar nolga teng boim asligini ham hisobga olgan holda (tadqiq qilayotganda biz odatda
boshlangich shartlar nolga teng deb hisoblaymiz, aslida esa boshqacha
boiishi ham mumkin) [9,11]:
dV(t)
= A-V(t),
dt
p V ( p ) - V ( 0 ) = A-V (p ) -> p V ( p ) - A - V ( p ) = V( 0).
Guruhlashtiramiz:
( p I - A ) - V ( p ) = V( 0),
(2.43)
bu yerda ( p i - A ) kvadrat matritsa; l - birlik matritsa.
(2.43) tenglamaning chap tarafini (pi-A) teskari matritsasiga
ko‘paytirarniz:
¥ ( р) = ( р 1 - А У Г ( 0 ) ,
У( р) = Ф(р)У( 0),
o‘tish matritsasining tasviri.
Laplas teskari almashtirishini qo‘llab, quyidagini olamiz:
Ф (р ) -
У(О = г { ( р 1 - л У ' } - У ( 0 ) .
ф(0
Shunday qilib, tenglama yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
V(t) = Q>(t)V(0),
bu yerda, Ф(/) - o‘tish (kengaytirilgan) matritsasi, Ф(/) = L ' {(pi - A)~'}.
Ushbu tenglamani tahlil qilib, agar bizga boshlang‘ich shartlar
ma’lum bo‘lsa (ular odatda ma’lum), unda tizim o‘zini tutishi, istalgan t
vaqtda o‘zgaruvchilar qiymati to‘g‘risida hammasini bilish uchun o‘tish
matritsasini topish kerak bo‘ladi.
Bu matrisanv uch usulda olish mumkin, birinchisi - analitik - biz
yuqorida ko‘rib chiqqan - <p(t) = L ' {(p/ - A )~'} ni aniqlashda matritsani
olish algoritmi.
2.10-misol:
Aperiodik zvenoni ко‘rib chiqamiz - W ( p ) = -
k
p + 1
x y(t)
"T
= 0;
T= 1,
0
0
k
-1
= kr —x:
F(t) ni topamiz:
pi:
p
0
0
P.
;
(pI-A ) =
P
0
-к
p +1
; Д = р ( р + 1); { p i - A ) T =
89
0
p +\
=
> + 1 o'
; {pj- д у
к p
-I
1
[р ! -
‘
P + I 01 =
p { p + \) |_ к
pj
p(p +
1
О
&(l-e~') e"'
0
1
1) p + l_
■Laplas jadvali bo‘yicha qiymatlar.
2.18. Holat o‘zgaruvchiIari sxemasi bo‘yicha o‘tish
matritsalari tasvirini olish
0 ‘tish matritsasi quyidagi ko‘rinishda desak
fl
fa
f
fn
12
- fn-l
fin
/„
Ф(0 =
V(t)=0(t).V(O>
. /.I
f,2
/.M
Лч.
/.
umumlashgan vektorning /-chi tashkil etuvchisini quyidagicha yozish
mumkin:
v, CO = f , v , (0 ) + / ; 2v2(0 ) + . . . + f tv . (0 ) + . . . + f v X 0 ) .
Ushbu tenglamada '
,
».(0) = С
boiishi mumkin:
Agar boshlang‘ich shartlar v (0) = 1 boisa, unda bu integratoming
j chi kirishiga birlik impuls berilganligini bildiradi (delta funksiyaning
integrali birlik funksiyani beradi) va unda umumlashgan vektorning i chi
tashkil etuvchisini tenglamasi quyidagi ko‘rinishda boiadi:
v,(e) = f„,
90
ya’ni integratoming mos i chi kirishlari birlik impulsga reaksiyasi
hisoblanadi va bu reaksiya F(f) o‘tish matritsasining f t] elementi
hisoblanadi.
F(t) o‘tish matritsasining f elementi boshlang‘ich shartlar nolga
teng bo‘lganday-chi o'zgaruvchiga birlik impuls berilgan /-chi reaksiya
kabi holat o‘zgaruvchilar sxemasi bo‘yicha aniqlanadi. Birlik impulsga
reaksiya - bu vazn - w(t) funksiyasini aniqlaydi/
Vazn funksiyasi va uzatish funksiyalarini orasidagi aloqani hisobga
olgan holda /-chi integratoming kirishi va /-chi integratoming chiqishlari
orasidagi uzatish funksiyani o‘zida aks ettirgan F(t) o‘tish matritsasining
f elementlaridan olamiz.
J
Holat о ‘zgaruvchilari sxemasi bo ‘y icha F(r) matritsani olish algoritmi quyidagicha [9,11]:
1) Tizim kirishiga birlik pog‘onali signal berilishini hisobga olgan
holda tizim kirishiga qo‘shimcha integratomi chizib olamiz.
2) So‘ngra holat o'zgaruvchilari sxemasi bo‘yicha V(t) umumlash­
gan vektorda o‘zgaruvchilami tartiblaymiz.
3) Mos ravishda tanlangan tartib bilan chiqish integratorlarini
nomerlaymiz.
4) Meyson formulasidan foydalanib, F(r) matritsa elementlarini
olamiz.
5) Matritsa elementlarini olishda integrator ko‘rsatkichi yo‘nalishida,
ya’ni chapdan o‘ngga faqat asosiy kalan bo‘yicha axborotlar uzatish
qobiliyati kabi aniqlanadigan tizimning detektirlik xossasini hisobga
olamiz.
Qatorga yoyish orqali о ‘tish matritsasini olish quyidagicha:
Buning uchun (2.41) differensial tenglamaning yechimi aniqlanadi.
ij
V(t) = e V (0),
Ф(t) =
~ t ^ r - = 1 + f r At)
i-o И
м i\
Hozirgi vaqtgacha hisoblash:
(At)"'
{At)
(.v - l)l
s!
91
< £.
0 ‘tish matritsasini olishning bunday usuli kompyuterda oson amalga
oshiriladi va shuning uchun hozirgi vaqtgacha ko‘p foydalaniladi.
Nazorat va muhokama savollari
1. Statik va dinamik modellami tushuntiring.
2. Chiziqlantirish deb nimaga aytiladi va qanday usullari mavjud?
3. Avtomatik boshqarish tizimlarida foydalanadigan qanday asosiy
(tipik) kirish signallarini bilasiz?
4 .0 ‘tkinchi xarakteristika deb nimaga aytiladi?
5. Impulsli signal (funksiya) ni tushuntiring.
6. Impulsli o‘tkinchi xarakteristika yoki vazn funksiyasi deb nimaga
aytiladi va u qanday belgilanadi?
7. Garmonik signal (funksiya) to‘g‘risida tushuncha bering.
8. Laplas almashtirishi deb nimaga aytiladi va uning qanday xossalari
mavjud?
9. Uzatish funksiyasi deb nimaga aytiladi?
10. Uzatish funksiyasining nollari va qutblarini tushuntirib bering va
ularga misollar keltiring.
11. Avtomatik boshqarish tizimlarining vaqt xarakteristikalariga
nimalar kiradi?
12. Avtomatik boshqarish tizimlarining qanday chastotaviy
xarakteristikalarini bilasiz?
13. Logarifmik amplituda va faza chastotaviy xarakteristikalami
tushuntirib bering hamda ular qanday masshtabda quriladi?
14. Tipik dinamik zvenolar deb nimaga aytiladi va ularga qanday
zvenolar kiradi?
15. Birinchi tartibli inersial (aperiodik) zvenoga misollar keltiring va
differensial tenglamasi, uzatish funksiyasi hamda chastotaviy xarakteris­
tikalarini tushuntirib bering.
16. Integrallovchi va differensiallovchi zvenolaming vaqt va
chastotaviy xarakteristikalarini quring.
17. Tebranuvchi zvenoning dempfirlash (so‘nish, tebranishni
kamaytirish) koeffitsiyentini tushuntiring.
18. Tebranuvchi zvenoning xususiy chastotasi deganda nimani
tushunasiz?
19. Tebranuvchi zvenoning doimiy vaqti bilan xususiy chastotasi
qanday bogiangan?
92
20. Kechikuvchi zvenoning vaqt va chastotaviy xarakteristikalarini
tushuntiring.
21. Strukturali sxema deb nimaga aytiladi.
22. Ketma-ket va parallel ulangan zvenolarning umumiy uzatish
funksiyasi qanday aniqlanadi?
23. Zvenolar teskari bogManish zanjiri orqali ulanganda uzatish
funksiyasi qanday topiladi?
24. Tugun va summatomi elementlararo ko‘chirish qoidasini
tushuntiring.
25. Fazoviy holatda modelni tushuntiring?
26. «Nol - qutb» ko'rinishidagi modelni tushuntiring?
27. Ko‘p o‘lchamli elementlarni vektor-matritsa shaklida qanday
ifodalanadi?
28. Istalgan ko‘p o‘Ichamli element uzatish xossasining matematik
ifodasini qanday ko‘rinishlarda ifodalash mumkin?
29. Holat o‘zgaruvchilari sxemalari qanday quriladi va qanaqa usul­
lari mavjud?
30. Holat о‘zgaruvchilari sxemalarini bazali usulda qurish algoritmini tushuntiring.
31. «Kirish-chiqish» va fazo holati usuli ifodalarining o‘zaro aloqasi.
32.‘O‘tish matritsasi va uni olishning analitik uslubini tushuntiring.
33. Holat о‘zgaruvchilari sxemasi bo‘yicha matritsani olish algorit­
mi qanday amalga oshiriladi?
34. Qatorga yoyish orqali o‘tish matritsasini qanday olinadi?
93
T est savollari
1. Uzatish funksiyasi deb nimaga aytiladi?
A) Chiqish kattaligining kirish kattaligiga nisbati kuchaytirish
koeffitsiyenti.
B) Boshlang‘ich shartlar nolga teng bo‘lganda chiqish kattaligining.
Laplas tasvirini kirish kattaligining Laplas tasviriga nisbati
(munosabati).
C) Chiqish kattalik Laplas tasviri.
D) Chiqish va kirish kattaliklari Laplas tasvirlari ko‘paytmasi.
2.Ushbu h(t) = K ^ \ - e Tj o‘tish funksiyasi qaysi dinamik zvenoga
tegishli?
A) Tebranuvchi.
C) Differensial.
B) Aperiodik.
D) Integral.
3. Ushbu h(t) = K t o‘tish funksiyasi qaysi dinamik zvenoga
tegishli?
A) Differensial.
B) Kechikuvchi.
C) Integral.
D) Aperiodik.
К
4. W (p ) = —-— -
tegishli?
A) Differensial.
C) Integral.
uzatish funksiyasi qaysi dinamik zvenoga
B) Kechikuvchi.
D) Aperiodik.
5. Qaysi o'tish funksiyasi kechikishli zvenoga ega?
A) A(0 = !('-*■).
В )Л (0 = 1(0С) hit) = K T (t - t ) .
D) hit) = ~ ( t - r).
6. L( w) ——20db / dek ko‘rinishdagi LAChX ga qaysi zveno
tegishli?
A) Tebranuvchi.
B) Integrallovchi.
C) Aperiodik.
D) Kechikuvchi.
7. Ushbu FChX (pip) = -a rcig (o )T ) qaysi zvenoga tegishli?
A) Aperiodik.
B) Tebranuvchi.
C) Integrallovchi.
D) Differensiallovchi.
8. Ushbu FChX <р(й>) = —90 qaysi zvenoga tegishli?
A) Aperiodik.
B) Tebranuvchi.
C) Integrallovchi.
D) Differensiallovchi.
9. Ketma-ket ulangan zvenolarga xos ifodani toping.
A)WX p ) + W2(p ) + ....
в ) W l(p)-jr2(p):...
С) W(p)/(1 + W(p)).
D) W(p)l(\ -W( p)) ,
10. Parallel ulangan zvenolarga xos ifodani toping.
A) Wl(p) + W2(p)+....
B) W,(p)-W2(p):...
C) W(p)K\ + W(p)).
D) W(p)/(\-W{p)).
11. Manfiy teskari aloqali bogianishga xos ifodani toping.
A) Wt(p) + W2(p) + ....
B) w x p ) - w 2( p )-....
C) W{p)/( 1+ W(p)).
D) W(p)l(\ - W(p)).
12. Berk tizimiga xos uzatish funksiyasi ifodasini toping.
A) ( w x p W 1(p ) ) ^ H w Xp W X p )')b ) ( w x p ) + w x p ) )/ w x p W z(p )+~~
C) (wx p ) + w x p ))Xi + (WXp ) + w x p ))D) (WXp ) + w x p ) ) ^ + ( W X p W X p ))13. Tizimning o‘tish funksiyasi h(t) qaysi ifoda bilan aniqlanadi?
A)L-XW(p)}.
В)L-'{W{p)lp}.
C) L'{W(t)}.
D) L'{W(jco)}.
14. 0 ‘tish h(t) va vazn co(t) funksiyalarini o‘zaro bog‘liqligini
ko‘rsatuvchi ifodani toping.
A) h(t) = J o)(t)dt .
B) h(t) = tco(t).
C) h(t) = & ( t ) / t .
t D) h(t) = dco(t)!d t.
95
15. Qaysi atamada holat bo‘shlig‘i usulida boshqarish obyektining tavsifi ishlab chiqiladi?
A) «Kirish-holat-chiqish».
B) «Kirish-chiqish».
C) «Kirish-holat».
D) «Holat-chiqish».
16. Tizimning co(t) vaznli funksiyasi qaysi ifoda yordamida
aniqlanadi?
A) L'{W(p)}.
B) L-{W(p)/p}.
C) L'{W(t)}.
D) L'{W(ja>)}.
17. Ushbu h(t) —S{t) o‘tish funksiyasi qaysi dinamik zvenoga
tegishli?
A) Differensiallovchi.
B) Kechikuvchi.
C) Integrallovchi.
D) Aperiodik.
К
1
18. Ushbu (o(t)~ —e T vaznli funksiyasi qaysi dinamik zvenoga
tegishli?
A) Differensiallovchi.
C) Integrallovchi.
19. L(w) = -4 0 db/dek
zvenoga tegishli?
A) Aperiodik.
C) Differensiallovchi.
B) Kechikuvchi.
D) Aperiodik.
ko‘rinishIi
LAChX
qaysi
dinamik
B) Integrallovchi.
D) Tebranuvchi.
20. Ushbu W(p) = K(\ + pT) uzatish funksiyasi qaysi dinamik
zvenoga tegishli?
A) Tezlatuvchi (jadallash).
B) Kechikuvchi.
C) Integrallovchi.
D) Aperiodik.
21. Qaysi o‘tish funksiyasi kechikuvchi zvenoga tegishli?
A) h(t) = S(t - z ) .
B) h{t) = S{t).
C) h(t) = KTS{t - r ) .
D) h(f) = j S ( t - r ) .
96
22. (р((о) = 90" FChX qaysi dinamik zvenoga tegishli?
A) Tebranuvchi.
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Kuchaytiruvchi.
23. Qaysi uzatish funksiyasi jadallaslitiruvchi (tezlatuvchi)
zvenoga qarashli?
A) W(p) = К(1+рГ).
B) W(p) = К /(1 + PT ) .
C) W(p) = K T ( l + p T ) .
D) W(p) = КТ /(1+ p D •
24. h(t) = !(V- t ) o‘tish funksiyasi qaysi dinamik zvenoni tavsiflaydi?
A) Integrallovchi.
B) Aperiodik.
C) Differensiallovchi.
D) Kechikuvchi zveno.
25. W(p) = K(l +p T)
zvenoni ko‘rsating?
A )y=Kx.
C)y=K.
uzatish funksiyali statik tavsifga ega
Ъ)у=К/х.
D) y-x.
26. Quyida keltirilgan tenglamalardan qaysi biri i(<) birlik
pog‘onali funksiyadan olingan hosilani tavsiflaydi?
A) S(t).
B) KTS(t).
С) K/TS(t).
I)) S(t).
27. Tizimning statik xarakteristikasi nima?
A) Muvozanat rejimdagi kirish va chiqish signallari orasidagi
bogManish.
B) Kirish va chiqish signallari orasidagi bog‘lanish.
C) Tizimning birlik pog‘onali signalga reaksiyasi.
D) Tizimning impulsli signalga reaksiyasi.
28. Tizimning dinamik xarakteristikasi nima?
A) Kirish va chiqish signallari orasidagi bog‘lanish.
B) О‘tkinchi holat rejimidagi kirish va chiqish signallari orasidagi
bog‘lanish.
C) Garmonik signal reaksiyasi.
D) Tizimning impulsli signal reaksiyasi.
97
29. Qaysi uzatish funksiyasi tebranuvchi zvenoga tegishli?
A) W( p) = k * p .
В) W ( p ) = - £ — .
p T +1
С) W(p) = -----— ------- D) Щ р ) = к .
р 2Т2+ 2<§?Т+ 1
30. Qaysi uzatish funksiyasi differensiallovchi zvenoga tegishli?
A) W ( p ) = ~ .
P
В) W {p) = - ± — .
pT + 1
С) W ( p ) = k * p .
D) W ( p ) =
р гТ +2&T+X
31. Qaysi uzatish funksiyasi integrallovchi zvenoga tegishli?
A) W ( p ) = - ^ — .
p T +1
с ) W ( p ) = k.
В) W ( p ) = ~ .
p
D) W(p) = k * p .
32. Qaysi uzatish funksiyasi inersial zvenoga tegishli?
A) W ( p ) = - £ — .
pT + 1
В ) W ( p ) = k.
C ) W(p) = --------*---------------------- D ) W ( p ) = - .
р гТ г +2& T + l
p
33. Qaysi uzatish funksiyasi proporsional zvenoga tegishli?
A ) W ( p ) = ----- ----- --------- .
В) W ( p ) = k * p .
C)W (p) = ^ —
pT + 1
V ) W { p ) = k.
p 2T2+ 2 ф Т + 1
34. Quyidagi rasmda keltirilgan AFX qaysi zvenoga tegishli?
jn<o)
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
T
.,
.
C)
Differensiallovchi.
---------- •--------- >-0{<&)
к
'
D) Aperiodik.
35. Quyidagi rasmda keltirilgan AChX qaysi zvenoga tegishli?
A(a>)
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
36. Quyidagi rasmda keltirilgan FChX qaysi zvenoga tegishli?
<p(v)
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
37. Quyidagi rasmda keltirilgan LAChX qaysi zvenoga tegishli?
Д®)
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
2ЩК
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
38.
Quyidagi rasmda keltirilgan o‘tkinchi va impulsli o‘tkinchi
xarakteristika qaysi zvenoga tegishli?
A) Kuchaytiruvchi
(proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
39. Quyidagi rasmda keltirilgan AFX qaysi zvenoga tegishli?
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
99
40. Quyidagi rasmda keltirilgan LAChX va LFChX qaysi
zvenoga tegishli?
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
41. L(o>) = 20lgЛг—20 lgVl + co2T 1
zvenoning LAChX aniqlanadi?
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
C) Differensiallovchi.
ifoda
yordamida
qaysi
B) Integrallovchi.
D) Aperiodik.
42. Quyidagi rasmda keltirilgan o‘tkinchi va impulsli o‘tkinchi
xarakteristika qaysi zvenoga tegishli?
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
43. Quyidagi rasmda keltirilgan AFX qaysi zvenoga tegishli?
®=*
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
l ‘
о
44. Quyidagi rasmda keltirilgan AChX qaysi zvenoga tegishli?
-A{&)
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
—-------^
D) Aperiodik.
100
45. Quyidagi rasmda keltirilgan FChX qaysi zvenoga tegishli?
„a
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
■'-**>
46. Quyidagi rasmda keltirilgan AFX qaysi zvenoga tegishli?
JV(B)
A)
Kuchaytiruvchi (proporsional).
‘к
B) Integrallovchi.
]
C) Differensiallovchi.
v (w\
D) Aperiodik.
a=0
47. Quyidagi rasmda keltirilgan AChX qaysi zvenoga tegishli?
■ .4 { a )
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
03
—>
48. Quyidagi rasmda keltirilgan FChX qaysi zvenoga tegishli?
_________A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
--------------- ►
&
D) Aperiodik.
49. Quyidagi rasmda keltirilgan LAChX qaysi zvenoga tegishli?
L io i) , dt
y '
40
/
/
/
ft
20
& >(s'
/
_____ У
0 .0 1
10
И
lO t li•tdlX
MG
A) Kuchaytiruvchi (proporsional).
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
'1
/
/
/
________
■+я
101
50. Quyidagi rasmda keltirilgan AFX qaysi zvenoga tegishli?
A) Tebranuvchi.
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
51.
Quyidagi rasm da keltirilgan o‘tkinchi xarakteristika qaysi
zvenoga tegishli?
A) Tebranuvchi.
B) Integrallovchi.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
52. Quyidagi rasm da keltirilgan AFX qaysi zvenoga tegishli?
jVion
A) Tebranuvchi.
B) Konservativ.
C) Differensiallovchi.
U(e>\
D) Aperiodik.
53.
tegishli?
205 gK
Quyidagi
rasm da
keltirilgan
LAFChX
qaysi
zvenoga
A) Tebranuvchi.
B) Konservativ.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
54. Quyidagi rasmda keltirilgan AFX qaysi zvenoga tegishli?
АЛ'(®)
A) Tezlatuvchi (jadallovchi).
B) Konservativ.
К
«---- ►
С) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
102
55. Quyidagi rasm da keltirilgan LAChX qaysi zvenoga tegishli?
40
U.OJ), db
/
/
A) Tezlatuvchi (jadallovchi).
B) Konservativ.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
CoT
56. Quyidagi rasm da keltirilgan LFChX qaysi zvenoga tegishli?
A) Tezlatuvchi (jadallovchi).
B) Konservativ.
C) Differensiallovchi.
D) Aperiodik.
57. Ushbu zanjirning uzatish funksiyasi qaysi zvenoga tegishli
R
-C Z Z b
' m
A) Kuchaytiruvchi (proporsional)
B) Konservativ
C) Differensiallovchi
D) Aperiodik
58.
Ushbu sxemaning umumiy uzatish funksiyasi to‘g‘ri keltiril­
gan javobni tanlang.
K(p) k-
A)
С)
(w, ( p ) + W , { p ) ) + W, ( p )
{w ap )+ w a p )W a p )
-B) W ( p ) =
i +(^Ap)*-wap)PapWAp)
1+ (wAp) +wAp))+wapWAp)
W(p) =--М ( р)+№Лр№Лр) . D) w(P) = №<j>W,(p))+wAp)
1 + (Ж , i p ) + W2 (p)}V, (p )
1 + (Wt ( p W 2(p))+ W, (p )
103
59.
Ushbu sxemaning umumiy uzatish funksiyasi to‘g‘ri keltiril­
gan javobni tanlang.
10
5p+l
t _
1
A>PF(p) = ------,_(Хя + |)-------p(5p + l)(p + l) + 10
в ) W(P) = ------ --------------
C) W(p) =-------------------
D) щ р) = -------1(1--------
p ( 5 p + \ ) ( p + \) + \
p(5p + l X p +l ) + t -
p(5p + l)(p + l)
60. Birlik pog‘onali signal yoki pog‘onali funksiya ifodasi to‘g‘ri
keltirilgan javobni toping..
A) x(t) - A -1(f), A = const, \(t) - 11 °sar 1г
[0 agar t < 0.
B) x(t) = A ■S(t), A = const, S(t) = {
[0
а^аГ t
agar 1Ф0.
C ) x(t) = ^4t(®)sin(urf + pt(®)), x(f) = At (оУ)со&(аП + <pt (ft))).
D) A(eo) = ^U2(a) + V \oj).
61. Impulsli signal (funksiya) ifodasi to‘g‘ri keltirilgan javobni
aniqlang.
A) x(t) = A-l (t ), A = const, цл = I1 agar *- °*
[0 agar t< 0.
B) x(t) = A S (t), A —const, S(t) =
{ °°
[0
aga’
agar
1 " ° ‘t Ф
0.
C) x{t) = At {(u)sm(a)t + <pt {to)), x (t) = Ai (m)cas(an + <pt(co)).
D) A(a>) = лjU \a ) + V2(a)).
62. Tizim yoki zvenoning garmonik signaldan olingan reaksiyasiga qanday xarakteristika deyiladi.
A) Chastotaviy.
В) О‘tkinchi.
C) Impulsli о‘tkinchi.
D) Amplituda fazali.
63. Chastota noldan cheksiz oraliqda o‘zgarganda oc vektor­
ning kompleks tekisligida chizgan egri chizig‘iga nima deyiladi?
A) Amplituda-fazali xarakteristika (AFX).
B) Amplituda-chastotali xarakteristika (AChX).
104
C) Mavhum-chastotali xarakteristika (MChX).
D) Haqiqiy-chastotali xarakteristika (XChX).
64. Chastotali uzatish funksiyasining argumenti nimani ko‘rsatadi?
A) Chiqish va kirish signallari orasidagi burchak siljishini.
B) Chiqish signalining amplitudasini kirish signalining amplitudasiga nisbatan necha marotaba kattaligini.
C) Chastotali uzatish funksiyasining modulini.
D) Chastotaning o‘zgarishiga qarab amplituda va fazaning
o‘zgarishini. ■
65. lg<y qanday oichov birligida o‘Ichanadi?
A) Dekada.
B) Desibel.
C) Santimetr.
D) Millimetr.
66. Bir dekada chastotani necha m arta oshishini bildiradi?
A) 10.
B) 100.
C) 1000.
D) 10000.
67. L(a>) qanday o‘lchov birligida o‘lchanadi?
A) Dekada.
B) Desibell.
C) Santimetr.
D) Millimetr.
68. Bir desibel necha bellga teng?
A ) 1-bell.
B) 10 bell.
C) 100 bell.
D) -—-bell.
10
'
100
69. y ( t ) - u ( t ~ T ), bu yerda r - doimiy kattalik (miqdor) bo‘lib,
nima deyiladi?
A) Kechikish vaqti.
B) Doimiy vaqt.
C) 0 ‘sish vaqti.
D) 0 ‘tkinchi jarayon vaqti.
70. Kechikuvchi zvenoning uzatish funksiyasi to‘g‘ri keltirilgan
javobni toping.
A )WM(p) = e ' \
B ) K A P) = e,rС) W ^ { p ) = e"\
D) W „ ( p ) = e"'.
105
71. Tipik ta ’sir S(t)ga teng bo‘Igan reaksiya qanday nomlanadi?
A) Vazn funksiyasi.
B) 0 ‘tish funksiyasi.
G) Uzatish funksiyasi.
D) Chastotaviy funksiya.
72. T urg‘un rejim da garm onik ta ’sirga bo‘Igan reaksiya nima
deb nomlanadi?
A) Chastotaviy funksiya.
B) 0 ‘tish funksiyasi.
C) Uzatish funksiyasi.
D) Impulsli funksiya.
73. l/s 2 ni Laplas bo‘yicha tas-viri quyida keltirilgan qaysi tipik
ta’sirga mos keladi?
A )t.
B) 5 (0 .
C) sin (0 .
D) 1(0.
74. —-— zveno qanday nomlanadi?
2s+ 1
A) Aperiodik.
B) Astatik.
C) Proporsional.
D) Tebranuvchi.
75. — -— zveno qanday nomlanadi?
2s1+1
A) Konservativ.
B) Astatik.
C) Proporsional.
D) Tebranuvchi.
76. Differensiallovchi zvenoning AFChXsi qanday ko'rinishda
bo‘ladi?
A) To‘g‘ri chiziq.
B) Ellips.
C) Uchburchak.
D) Ko‘pburchak.
77. Integrallovchi zvenoning
bo'Iadi?
A) To‘g‘ri chiziq.
C) Uchburchak.
AFChXsi
qanday
ko‘rinishda
B) Ellips.
D) Ko‘pburchak.
78. Quyidagi sh artlar qay biri bajarilganda zveno konservativ
deb ataladi?
A)<? = 0.
B )0 < £ < 1 .
C ) # = l.
D )< f> l.
106
79. Agar barcha chastotalarda noldan cheksizgacha A(a>) = 1
bo‘lsa, unda zveno qanday nomlanadi?
A) Kechikuvchi.
B) Integrallovchi.
C) Differensial.
D) Proporsionallovchi.
80. Qaysi ibora tipik dinamik zveno talablariga javob bermaydi?
A) Zvenoning kuchaytirish koeffitsiyenti - musbat.
B) Zveno bitta erkin o‘zgaruvchi bilan aniqlanadi.
C) Zveno boshqa zvenolarga ulanganda o‘z tavsiflarini
o‘zgartirmaydi.
D) Zveno ikkinchi tartibdan yuqori bo‘lmagan differensial tenglama
bilan ifodalanadi.
81. Agar aperiodik (inersion) zvenoning vaqt doimiysi ^ni
nolgacha kamaytirilsa, u qanday zvenoga aylanadi?
A) Proporsional zvenoga.
B) Integrallovchi zvenoga.
C) Differensiallovchi zvenoga.
D) Tebranuvchi zvenoga.
82. Uzatish funksiyasining nollari deganda nimani tushunasiz?
A) Surat ildizlari.
B) Maxraj ildizlari.
C) O'tkmchi funksiya hosilasi.
D) Vazn funksiyasi.
83. Uzatish funksiyasining qutblari deganda nimani tushunasiz?
A) Surat ildizlari.
B) Maxraj ildizlari.
C) О‘tkinchi funksiya hosilasi.
D) Vazn funksiyasi.
I ll BOB. C H IZIQ LI AVTOMATIK BOSHQARISH
TIZIM LARINING TURG‘UNLIGI
Tayanch so ‘zlar va iboralar: turg'unlik, A.M.Lyapunov teoremasi,
turg‘unlik shartlari, turg‘unlik mezonlari, turg‘unlikning algebraik
mezonlari, Raus mezoni, Gurvis mezoni,. Lenar-Shipar mezoni, Neymark mezoni, turg‘unlikning chastotaviy mezonlari, Argumentlar prinsipi, Mixaylov mezoni, Naykvist mezoni, turg‘unlikning logarifmik
mezoni, D - bo‘linish usuli.
3.1. T urg‘im fikto‘g‘risida tushunclia
ABTlarni ishlash qobiliyatiga qo‘yilgan talab, ularning turli xil
tashqi qo‘zg‘atuvchi ta’siriga nosezgir bo‘lishidir.
Agarda tizim turg‘un bo isa, unda u tashqi qo‘zg‘atuvchi ta’sirlarga
bardosh bera oladi va o'zining muvozanat holatidan chiqarilganda yana
m aium aniqlikda dastlabki holatiga qaytib keladi. Agarda tizim
noturg‘un boisa, unda u tashqi qo‘zg‘atuvchi ta’sir natijasida muvo­
zanat holati atrofida cheksiz katta amplitudaga ega boigan tebranishlar
hosil qiladi yoki muvozanat holatidan cheksiz uzoqlashadi [4,20,26].
Agarda har qanday cheklangan kirish kattaligining absolyut
qiymatida chiqish kattaligi ham cheklangan qiymatga ega boisa, bunday
tizim turg'un deb yuritiladi (3.1a-rasm).
3 .1-rasm. a ~ turg‘un holat; b - noturg‘un holat, d ~ neytral holat
108
3.2. Chiziqli avtomatik boshqarish tizimining turg‘unlik
sharoitlari. A.M.Lyapunov teoremasi
Tizirnniiig turg‘unligini tahlil qilishda A.M.Lyapunov tomonidan
yaratilgan usullarga asoslanadi. Chiziqli yoki chiziqlantirilgan tizim
uchun turg‘unliknmg zarur va yetarli sharti sifatida birinchi yaqinlashish
tenglamasi uchun tuzilgan xarakteristik tenglama ildizlari (qutblari) ning
haqiqiy qismini manfiy ishorasi xizmat qiladi [10,14,26].
Kirish kattaligi x(t) va chiqish kattaligi y(0 bo‘lgan tizimni ko‘rib
chiqamiz (3.2-rasm).
x(t)
Щр)
3.2-rasm.
Tizimning differensil tenglamasini umumiy ko‘rinishda quyidagicha
yozish mumkin:
' .j
"
.i
/
^ Г - ' ■'
a0^
о d t „ + al. ~d ^
r i+ . . . + a y ( t ) Y b „0^
d
f,
+ bxd
, d- ^
r _,+ . . . + b „x(t).
(3.1)
Tizimning turg‘un yoki noturg‘unligini ko‘rish uchun (3.1) tengla­
maning yechimini aniqlash kerak boiadi.
№
= y.(t) + y.(t),
(3-2)
bu yerda y m(t) - (3.1) tenglamaning xususiy yechimi boiib (majburiy
tashkil etuvchi), tizimda muvozanat rejimini ifodalaydi; y e(t) - (3.1)
tenglamaning o‘ng tomoni nolga teng boigandagi umumiy yechimi
bo‘lib (erkin tashkil etuvchisi), u tenglamaning o‘tkinchi rejimini
ifodalaydi.
t-^co bo‘lganda y e(t) -> 0
(3.3)
boMishi tizimning turg'unligini ifodalaydi.
Agar (3.3) shart bajarilsa, unda tizim turg‘un bo‘ladi. (3.1) tengla­
maning o‘tkinchi (erkin) tashkil etuvchisi y e(t)
tenglamaning yechimini ifodalaydi.
Bu tenglamadan ko‘rinib turibdiki, uning yechimi (3.1) tenglamaning
o‘ng tomonidagi 6/ koeffitsiyentga va x(t) funksiyaning o‘zgarish
xarakteriga bo g iiq emas ekan. (3.3) shartga ko‘ra, tizimning turg‘unligi
yoki noturg‘unligi koeffitsiyentlar b, va kirish kattaligi x(t) funksiyaga
bogiiq emas ekan [8,18,20,26].
Demak, tizimning turg‘unligi uning ichki xususiyati boiib, unga
ta’sir etuvchi signallarga bogiiq emas.
(3.4) tenglamaning yechimini aniqlash uchun xarakteristik tengla­
mani olamiz:
a0p" + alPnl +... + ав = 0 ,
(3.5)
bu yerda pi, рг, ..., p a —(3.5) xarakteristik tenglamaning ildizlari boiib,
ular har xil boisin, unda (3.4) tenglamaning yechimini quyidagi
ko‘rinishda ko‘rsatish mumkin:
(3.6)
bu yerda Si - tizimga qo‘yilgan boshlangich shartlar bo‘yicha
aniqlanadigan ixtiyoriy o‘zgarmas son.
Shunday qilib, chiziqli tizimning turg‘unligini xarakteristik
tenglamaning ildizlari aniqlar ekan. Ildizlar esa haqiqiy, kompleks va
mavhum boiishi mumkin.
Chiziqli tizim uzatish funksiyasi W(p) ning hamma qutblari haqiqiy
qismining manfiy ishoraga ega boiishi uning turg‘un boiishining zarur
va yetarli sharti hisoblanadi.
Uzatish funksiyasining maxrajidagi polinom ildizlarini uzatish
funksiyasining qutblari, suratidagi polinom ildizlarini esa uzatish
funksiyasining nollari deyiladi.
Ochiq tizim uchun
Ochiq tizim uzatish funksiyasining xarakteristik tenglamasi Q(p)=0
ning ildizlari haqiqiy qismining manfiy boiishi ochiq tizimning turg'un
boiishining yetarli va zaruriy shartidir.
Berk tizim uchun
P[P)
n p).
w ip) _
i + w ( P)
Q(P)
Pip)
Д(р).
1+ П р )
Q(p) + P(p)
A(P)
Qip)
(3.8)
А( р ) = 1+ W(р) = 0 - berk tizimning xarakteristik tenglamasi.
Berk tizim xarakteristik tenglamasi A(p}=0 ildizlari haqiqiy qismining
manfiy bo‘lishi uning turg'un boiishining yetarli va zaruriy shartidir.
Turg‘unlikning bu sharti A.M.Lyapunov tomonidan nochiziqli
tizimlarning chiziqlantirilgan tenglamalari uchun isbotlandi va
qoilanildi. Quyida bu teoremani isbotsiz keltiramiz [14,20,25]:
1-teorema: Agar chiziqlantirilgan tizim xarakteristik tenglamasi
hamma ildizlarining haqiqiy qismi manfiy boisa, unda real tizim ham
turg‘un boiadi, ya’ni juda kichik nochiziqli hadlari tizimning turg‘unlik
Holatiga ta’sir ko‘rsata olmaydi (3.3-rasm).
2-teorema: Agarda chiziqlantirilgan tizim xarakteristik tenglamasining birorta ildizi musbat haqiqiy qismga ega boisa, unda real tizim
noturg'un boiadi, ya’ni juda kichik nochiziqli hadlari tizimni turg‘un
qila olmaydi (3.3-rasm).
3-teorema: Agar chiziqlantirilgan tizim xarakteristik tenglamasining
ildizlari mavhum yoki nolga teng boisa, unda real tizim turg‘unlik
chegarasida boiadi, bunda juda kichik nochiziqli hadlar o‘tkinchi
jarayon ko'rimshini tubdan o‘zgartirib yuborishi hamda real tizimni
turg'un yoki no turg'un holatga keltirishi mumkin (3.3-rasm).
> +Im
Turg‘unlik
sohasi
**
*
Notiirg1unlik
sohasi
I
___ —*______ *
*
-
- -•»
*
*
\
*
Turg'unlik
chegarasi
3.3-rasm. Xarakteristik tenglama ildizlarining kompleks tekisligida
joylashishL
Shunday qilib, tizim turg'unligini tadqiq etish uning xarakteristik
tenglamasi ildizlarining ishorasini aniqlashdan, ya’ni xarakteristik
tenglama ildizlarini kompleks tekisligida mavhum o'qqa nisbatan
qanday joylashganligini aniqlashdan iborat ekan.
Ш
Kompleks tekisligida xarakteristik tenglama ildizlarining mavhum
o'qqa nisbatan joylashganligini aniqlaydigan qoidalarga turg‘unlik
mezonlari deyiladi.
^ Tizimning turg‘unlik masalalarini yechishda quyidagi turg‘unlik
mezonlari dan foydalaniladi:
1) Turg‘unlikning algebraik mezonlari:
a) Raus mezoni;
b) Gurvis mezoni;
d) Lenar-Shipar mezoni;
e)-Neymark mezoni.
2) Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari:
a) Mixaylov mezoni;
b) Naykvist mezoni;
d) Turg‘unlikning logarifmik mezoni;
e) D - bo'linish usuli.
3.3. Turg‘unlikning algebraik mezonlari.
Raus turg‘unlik mezoni
Tizimning turg‘unligi xarakteristik tenglamalarning ildizlarini
hisobga olmasdan turib aniqlaydigan qoidalarga algebraik mezonlar
deyiladi. Turg‘unlikning algebraik mezoni xarakteristik tenglamaning
koeffitsiyentlari orqali tizimning turg‘unligi haqida fikr yuritish imkonini beradi [8,20,25]. Turg'unlikning algebraik mezonidan Raus va Gurvis
mezonlari eng ko‘p qo‘llaniladi. Xarakteristik tenglama quyidagi
ko‘rinishda berilgan boisin:
(3.9)
Xarakteristik tenglamaning hamma koeffitsiyentlarini
boiishi tizimning turg‘un boiishi uchun zaruriy shartdir
a0 > 0, a, > 0, ..., an > 0.
musbat
(3.10)
Raus va Gurvis mezonlari matematik jihatdan ekvivalentdir.
Rausning turg‘ unlik mezoni 1887-yil ingliz matematigi E.Raus
tomonidan taklif qilingan. Bu mezonni quyidagi jadval orqali tushuntirish mumkin.
112
3.1-jadval
Ustun
n
kpef-ti i qator
%
°\
2
«0= С п
&2= C21
2
Я]=С 12
О3—С22
a s=C32
3
Si3=a2-r3a3
s23=‘a4-r3as
взз-аъ-гзап
4
s !4 ^a 1-r4a23
S24~aa-r4в зз
S 3 4 = d T r4 (l4 3
5
515= ^23-^5^24
■f2S—C33-^sS34
S 35= C 4 3 -f5S 44
i
S l / = C 2,i-2 -n S 2 ,/-l
“ 12
d
и
«■
r
ан-2
3
1
1
^ —С з.М -^Х i- 1 S3J
4
^-4,/-2“^*0 4 , i-l
3.1-jadvalning
birinchi
qatoriga
xarakteristik
tenglama
koeffitsiyentlari indeksi oshib borish tartibida juft indeksli ao, сц, щ, ae,
ikkinchi qatoriga esa toq indeksli a\, аз, as, an, ■■■ koeffitsiyentlar
joylashtiriladi.
Jadvalning qolgan har bir koeffitsiyentlari quyidagicha topiladi
[20,25]:
C»A+U-2
(3.11)
bu yerda
ri = W cw
(3.12)
(3.11) va (3.12) tenglamalarda n - indeks jadvaldagi ustunni
nomerini i - indeksi esa qator nomerini bildiradi.
Raus jadvalini qatorlar soni xarakteristik tenglamasi darajasi n+ 1 ga
teng.
Raus jadvalini toidirgandan so‘ng u tizim turg‘un yoki noturg‘unligini aniqlash mumkin. Raus turg‘unlik mezoni quyidagicha ifodalanadi: ABT turg‘un boiishi uchun Raus jadvalining birinchi ustuni koef­
fitsiyentlari bir xil ishorali boiishi, ya’ni a > o boiganda
c„ = a0 > 0; cn = a, > 0;
a >tl > 0,
(3.13)
shart yetarlidir.
Agar birinchi ustun koeffitsiyentlarining hammasi musbat boimasa,
tizim noturg‘un boiadi hamda xarakteristik tenglamaning o‘ng ildizlar
soni Raus jadvali birinchi ustunidagi ishoralar o‘zgarish soniga teng.
113
^ . Л Л'- с'у 1
Xarakteristik tenglama koeffitsiyentlarining son qiymati berilgan bo‘lsa,
Raus mezonidan foydalanish juda oson.
3.1-misol. Xarakteristik polinomi
D(p) = 0,104p7 +0,33p6 + 5,5p5 +I5,5p* + 25p3+ 2 5 p 2 +19,7p + 9,5
£
w*
I <
ъ 1
boigan tizimning Raus mezoni bo‘yicha turgijnligini baholang.
Yechish: Raus mezoni bo‘yicha hisoblashda 3.2-jadval ko‘rinishida
ifodalash qulaydir.
3.2-jadva
C
t2~C
2]
ao=cu
С
Ц
=С
з
1
С1б—
£41
Parametrlar
a\=C\2
ay=c22
а-г^Сц
<Я5=С32
S33=S4i-riS42
S43=0
Sn-Su-riS72
r\ = cll/c12
S23=S31-nS32
&|4=0
r2 ~cn!cn
Sn—S22-f2S2i
5'34=542-^2543
S15“.V23“^3^24
«25=533-^34
Л'15=54з-Гз,У44
S45=0
...
Berilgan tizim uchun Raus jadvali 3.3-jadval ko‘rinishiga ega bo‘ladi
D(p) = 0Д04 p + 0,33 p + 5,5p 5+15,5 p + 25 р ъ+ 25 p 2 + 19,7 p + 9,5
3.3-jadva
ao=0,104
«2=5,5
a4=25
06=19,7
ai= 0 ,3 3
аз=15,5
a5=25
<37=9,5
ry=0,315
0,6
17,1
16,7
0
r2=0,55
6,0
15,8
9,5
0
r;,=0,l
15,52
15,75
0
0
r*=0,386
9,7
9,5
0
0
/-5=1,6
0,55
0
0
0
r 6=0
9,5
0
0
0
Parametrlar
Toidirilgan Raus jadvalining (3.3-jadval) birinchi ustun koefflisiyentlari musbat bo‘lgani uchun tizim turg‘undir.
114
3.4. Gurvis tu rg ^ n lik mezoni
Bu mezon 1895-yilda nemis matematigi Gurvis tomonidan taklif
qilingan.
Xarakteristik tenglama quyidagi ko‘rinishda berilgan boisin:
D(p ) = a0p" + atp"' + a 2p ”~2 +... + anlp + an = 0.
(3.14)
Gurvis turg‘unlik mezoniga muvofiq xarakteristik tenglamaning
koeffitsiyentlaridan Gurvisning bosh aniqlovchisi tuziladi. Bunda ao > 0
bo‘lib, aniqlovchilari quyidagi qoidalarga asosan hisoblash kerak
[8,20,23]:
1) koeffitsiyentlami bosh diagonal bo‘yicha «a/» dan to «ай»
gacha o‘sish tartibi bilan yozib chiqiladi;
2) bosh diagonalga nisbatan qatorlaming pastga tomon indekslari
kamayuvchi, yuqoriga tomon indekslari o‘sib boruvchi koeffitsiyentlar
bilan to‘ldiriIadi;
3) indekslari noldan kichik hamda «и» dan katta boigan
koeffitsiyentlar o‘miga nollar yoziladi;
4) Gurvis aniqlovchisining yuqori tartibi xarakteristik tenglamaning
darajasiga teng boiadi;
5) Gurvis aniqlovchisining oxirgi tartibi An = an- An_, ga tengdir.
. ..
0
.
0
■.
0
а.
.
0
0
•
ап
аг
Я,
a0
аг
«4
0
о,
а5
0
ао
•
:
О
О
а7
a,
0
Gurvis mezonining ta ’rifi:
Agarda a0 > 0 boiib, Gurvisning hamma aniqlovchilari noldan katta
boisa, u holda tizim turg'un boiadi, ya’ni a0 > 0 boiganda A, > 0 ;
A, > 0; A, > 0 • • ■A„ > 0 boiishi kerak. A„ = a„ • A„_, boiishi Gurvis
aniqlovchisining tuzilish strukturasidan kelib chiqadi. Shunga ko‘ra,
agar An = an■A u = 0 boisa, tizim turg‘unlik chegarasida boiadi. Bu
115
tenglik esa ikki holda, ya’ni an= 0 yoki Ал, = 0 boiganda bajarilishi
mumkin.
Agarda a, = 0 bo‘lsa, unda tekshiriiayotgan tizim turg‘unlik
holatining aperiodik chegarasida boiadi (ya’ni xarakteristik
tenglamaning bitta ildizi nolga teng boiadi).
Agarda Anl = 0 boisa, unda tekshiriiayotgan tizim turg‘unlik
holatining tebranma chegarasida boiadi (ya’ni xarakteristik tenglama
juft mavhum ildizga ega boiadi).
Endi n - l,2,3,4ga teng boigan tenglamalar bilan ifodalangan
tizimlar uchun Gurvis mezonining shartlarini ko‘rib chiqamiz.
a) n = 1, a0p + a, = 0.
Bunda a0 > 0 ; A, = a, > 0 turg‘unlik sharti boiadi. Demak, birinchi
tartibli tizimlar turg‘un boiishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsiyentlarining musbat boiishi yetarlidir.
b) n = 2, a0p 2 + atp + a, = 0.
Bunda turg'unlik shartlari quyidagicha boiadi:
ao=0; A ,= < j,> 0; A2 = a, • аг > 0; Аг =
a, 01
! = ala1 - a 00 = ala1 > 0.
an a,
Demak, ikkinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan tizimlarning
turg'un boiishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsiyentlarining
musbat boiishi yetarli shart hisoblanadi.
d) n - 3 , a0p 3 + atp 2 + a2p + a, = 0
Turg‘unlikning zaruriy shartlari:
ao>0; At = a t > 0; Аг
a„
a.
= а,а2 - a 0a} > 0; A3 = a, •A2 > 0.
Shunday qilib, uchinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan tizim
turg‘un bo‘lishi uchun xarakteristik tenglama koelTitsiyentlarining
musbat boiishi yetarli boimay, bunda (a.a. - a 0a}) > 0 tengsizlikning
bajarilishi zarur shart hisoblanadi.
e) n - 4, a„p 4 + a .p ’ + агр г + a,p2 + at = 0
Turg‘unlik shartlari:
116
ао>0; А, = а, > 0; А2
а,
а,
а,
а аг - а0а3 > 0;
а3 0
А =
=а,а2я3+ 0 + 0 - 0 - а0а3 - а,2а„ = а,(а,а7- а0а3) - а,3а4> 0
0
о,
а,
Л4 = а 4 ■А,.
3
To‘rtinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan tizimlar turg‘un
boiishi uchun xarakteristik tenglama koeffitsiyentlarinmg musbat
boiishidan tashqari yana ikki (a.a1 - a„a,) > 0, а3(а,а2- a0a }) - а,2а4 > 0
shartlar bajarilishi kerak.
Xarakteristik tenglamaning darajasi «и» ortgan sari yuqoridagi kabi
bajarilishi kerak boigan shartlar ham ko‘payib boradi. Shuning uchun
turg‘unlikning Gurvis mezonining n<4 boigan tizimlar uchun qoilash
maqsadga muvogcj boiadi.
q,
3.2-misoI. 12p ’ + 1Op2 + 8/? +10 = 0 xarakteristik tenglama berilgan
boisa, Gurvis mezoni bo‘yicha turg‘unlikka tekshiring.
Yechish:
Bu yerda
at>= 12>0,
аг=8>0,
аз=10>0,
аз=Ю>0.
Demak, Gurvis mezonining yetarli sharti bajarilgan. Endi zaruriy
shartini aniqlaymiz. Buning uchun A2 va A3 lami aniqlaymiz
a,
a,
a„
a,
= ахаг - а 0а5= 1 0 - 8 - 1 2 i0 = -40 <0.
Noldan kichik boiganligi sababli tizim noturg‘un boiadi. 0 ‘z
navbatida
A3 = 0,- Д2 = 10-f~40j = -4 0 0 < 0
boiadi.
3.3-misoL ОД/?4 + 6 p ’ + 4 p 2 + p + 4 = 0 xarakteristik tenglama
berilgan boisa, Gurvis mezoni bo‘yicha turgimlikka tekshiring.
Yechish:
Bu yerda
ао=0,1>0,
щ=6>0,
аг=4>0,
<яз=1>0,
а4=4>0.
Gurvis mezonining yetarli sharti bajarilgan. Endi zarur shartini
aniqlaymiz. Buning uchun Л2, A, va A4 larni aniqlaymiz:
A2 = а,а2- a0a} = 6 •4 - 0.1 •1= 23.9 > 0;
117
Д 3 = а3(ata2 - а0а 3) - а]аА= 1•23,9 - 6г ■4 = 23,9 -144 = -120,1 < 0.
А„ = й4А3 = 4 - (-120.1) = -480,4 < 0.
Gurvis mezonining zaruriy sharti bajarilmaganligi sababli berilgan
xarakteristik tenglma noturg‘un.
3.4-misol.
3 p s + 10p* + 5 p 3 - 7p 2 + p + 100 = 0
xarakteristik •
tenglama berilgan boisa, Gurvis mezoni bc‘yicha turg‘unlikka tekshiring.
Yechish:
Bu yerda
ao = 3 > 0,
a\ = 10 > 0,
02 = 5 > 0,
аз = -7 < 0 ,
йГ4= 1 > 0,
Д5= 100 > 0.
<яз = -7 manfiy ishorali boiganligi sababli Gurvis mezonining yetarli
sharti bajarilmayapti. Shuning uchun berilgan ushbu xarakteristik
tenglama noturg‘undir.
3.5. Lenar-Shipar turg‘imlik mezoni
Bu mezon 1919-yil P.Lenar va R.Shipar tomonidan taklif qilingan.
Xarakteristik tenglama berilgan boisin
D (p ) = a y + a y 1+... + a. = 0,
(3.16)
bu xarakteristik tenglamada n ning qiymatlari katta boiganda Gurvis
mezonining o'm iga Lenar-Shiparning turg‘unlik mezonini qoilash
ancha qulaydir.
Xarakteristik tenglamaning hamma koeffitsiyentlari musbat b o i­
ganda А^Аз,... toq indeksli aniqlovchilar musbat ekanligi va Gurvisning
A2,A4,... juft indeksli aniqlovchilari ham musbat va aksincha ekanligi
isbotlangan.
Shuning uchun turg‘unlikning zarur sharti bajarilgan holda, ya’ni
xarakteristik- tenglamaning hamma koeffitsiyentlari musbat boiganda
turg‘unlik sharti Gurvis koeffitsiyentlari orasida
a „ a 2, a 3, a 4, a 5
hamma juft indeksli yoki hamma toq indeksli aniqlovchilar musbat
boiishi zarur va yetarlidir.
118
Tizim turg‘un boiishi uchun quyidagi tengsizlik bajarilishi zarur va
yetariidir:
aQ> 0, at > 0, .... a, > 0,
Д, > 0, Aj > 0, Д5 > 0 yoki Д2 > 0, Д4 > 0, A6 > 0
boiganda
Д0>0, А, > 0 , Д 2>0,
A„>0.
Turg'unlikning Gurvis mezoniga nisbatan Lenar-Shipar mezonida
kamroq sonli aniqlovchilar topiladi.
3.6. Turg‘un!ikning chastotaviy mezonlari.
Argumentlar prinsipi
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari avtomatik tizimlarning
chastotaviy xarakteristikalari ko‘rinishiga qarab ulaming turg‘unlik
holatlarini tekshirish imkonini beradi [8,14,20].
L Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari grafoanalitik mezon boiib,
tizimlarning turg'unligini tekshirishda juda keng qoilaniladi. Chunki bu
mezonlar yordamida yuqori darajali avtomatik tizimlarning turg‘unlik
holatini tekshirish ancha oson hamda ular sodda geometrik tasvirga
egadir [20,25]. J
Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari asosida kompleks o‘zgaruvchi
funksiya nazariyasidan maium boigan argumentlar prinsipi yotadi.
Quyida argumentlar prinsipining qisqacha bayonini keltiramiz
D(p ) = a0p" + atp"-' +... + a = 0.
(3.17)
«и» - darajali polinom berilgan boisin. Bu polinomni Bezu
teoremasiga asosan quyidagicha ifodalash mumkin
Dip) =
P-
pX p
- pj(p -
- P.),
(3-18)
bu yerda r\, гг,
r„ - D(p)~ 0 xarakteristik tenglamaning ildizlari.
«/■» kompleks tekisligida har qaysi ildizni koordinata o‘qi boshidan
«r,» nuqtagacha oikazilgan vektor orqali ifodalash mumkin (3.4-rasm).
119
3.4-rasm.
Bu vektorning uzunligi kompleks sonning p l = a i + jcoi ning moduli
\p, |ga shu vektorning musbat haqiqiy o‘q bilan hosil qilgan burchagi
esa p. kompleks sonining argumentiga yoki fazasi ( p - pjga. teng
boiadi. ( p ~ p,) miqdoming geometrik o‘mi p. nuqtadan ixtiyoriy «n>
nuqtasiga oikazilgan vektor orqali ifodalanadi. Xususiy holda p = jco
boiganda (3.18) ifodani
D(ja>) = a0(ja>- p x)(jco - p 2)(jco - p j . . . ( j & - p j
(3.19)
ko‘rinishida ifodalash mumkin. (3.19) ifodaning geometrik tasviri 3.5rasmda keltirilgan.
3.5 -rasm.
D{jco) vektorning moduli (Jco- p.) elementar vektorning va ao koeffitsiyentining ko'pa^masiga
|Z>(7 « )| = a9\ j a > - p \-1jco - p 21•|jco - p , f•... ■\jco - p n\ ■...
(3.20)
argumenti esa elementar vektorlar argumentining yigindisiga teng
boiadi
arg D{j&) = £ arg (ja> - p ) .
/=1
(3,21)
Chastota -к><со< 00 o‘zgarganda D ( j a ) vektor argumentining
o‘zgarishi
A arg D(joj) = E A arg (/'&>- p t)
(3.22)
ga teng bo‘ladi.
(3.22) ifodaga ko‘ra D(ja >) vektor argumentining o‘zgarishini
hisoblash uchun ( j c o - p ,) vektorlar argumenti o‘zgarishining
yig‘indisini hisoblash zarur. Argumentning bu o‘zgarishi esa p, ildizning
kompleks tekisligining qaysi tomonida joylashganligiga bog‘liq.
1.
pi ildiz kompleks tekisligining chap tomonida joylashgan bo‘lsin
(3.6a-rasm).
00 < <y < 00 o‘zgarganda (j c o - p .) vektoming uchi mavhum o‘q
bo‘yicha pastdan yuqoriga soat strelkasiga teskari (qarshi) yo’nalishda
180° burchakka buriladi, ya’ni
A arg ( j ( o - p l) = ± z .
(3.23)
+jm
ja>
a)
3.6-rasm.
2.
pi ildiz kompleks tekisligining o‘ng tomonida joylashgan bo'lsin
(3.66-rasm).
Bu holda yuqoridagi kabi fikr yuritganimizda (jco - />) vektori
chastota - со < a> < 00 o‘zgarganda soat strelkasi yo‘nalishi bo'yicha
(manfiy) -тс burchakka buriladi, ya’ni
A arg (jc o - р . ) = - ж .
121
(3.24)
D( p) = 0 tenglamaning «/» ildizlari kompleks tekisligining o‘ng
tomonida, (n - l ) ta ildizlari chap tomonida joylashgan deb faraz qilaylik. Unda (3.23) va (3.24) ifodalarga asoslanib, D (ja )) vektor argumentining o‘zgarishi
A arg D(ja>) ~ {n ~ 1)ж ~ 1л: - {n - 21)л:
(3.25)
—о ьклхво
ga teng boiishini ko‘ramiz.
(3.25)
tenglik argumentlar prinsipining ifodasini bildiradi va uni
quyidagicha ta’riflash mumkin.
Chastota -oo<<a<oo o‘zgarganda D{ja>) vektori argumentining
o‘zgarishi chap va o‘ng ildizlar ayirmasining «я» soniga
ko‘paytirilganiga teng bo‘ladi.
Agarda 0 < eo < n / 2 o‘zgarsa, unda
A arg D(jco) = ( n - 2 1 ) о<в<«
2
(3.26)
boHadi.
3.7. T urg‘unUkning Mixaylov mezoni
Mixaylovning turg‘unlik mezoni o‘zining mohiyati jihatdan argu­
mentlar prinsipining geometrik tasviridir.
D ( p ) - a 0p " + a lp"~'+... + ai:= 0
(3.27)
xarakteristik tenglama berilgan bo‘lsin. Bu yerda D( p ) polinomni
xarakteristik polinom deb ataladi.
Tizim turg‘un boiishi uchun (3.27) xarakteristik tenglamaning
hamma ildizlari kompleks tekisligining chap yarim tekisligida joylashishi, ya’ni o‘ng ildizlar soni 1 = 0 boiishi kerak. U holda argumentlar
prinsipiga muvofiq A arg D ( j a ) ) = n — yoki A arg D{jco) = nn shart
0< <«
2
-'x x e x c o
bajarilishi kerak [8,20,25].
Chastota —oo<«y<oo o‘zgarganda D(jco) vektorning kompleks
tekisligidagi geometrik o‘miga Mixaylov gadografi deyiladi.
jj
o
122
D(jca) = a j j o j y + a l(jo))"' + ... + a = U(co) + j V (со),
bunda U(a>) - (an - anгсо2 + ansco' -. . . ) haqiqiy qism bo‘lib,
chastotaga nisbatan juft funksiyadir, ya’ni U(co) = U(~a>).
Mavhum qism esa chastotaga nisbatan toq funksiya bo'ladi.
V(со) = ©(«„_, + ап_}в>г ~
u
+ ...),
V(-co) = -V(6)).
Shunday qilib,
D(co) - U ( со) - j V (со)
bo‘ladi.
Mixaylov mezonirting ta ’rifi:
Agar chastota 0 < ® < oo o‘zgarganda Mixaylov gadografi haqiqiy
musbat o‘qdan boshlab koordinata boshi atroflda musbat (soat
strelkasiga qarshi) yo‘nalishda w r/2 burchakka burilsa, u holda tizim
turg‘un bo‘ladi (bu yerda «л» xarakteristik tenglamaning darajasi)
[8,20,28].
3.7a-rasmda turg‘unlik shartlari uchun Mixaylov gadograflarining
ko‘rinishlari keltirilgan.
3.7-rasm. a) tizimning turg'unlik shartlari; b) tizimning
noturg‘unlik shartlari; d) tizimning turg‘unlik chegaralarishartlari
uchun Mixaylov gadograflarining ko‘rinishlarL
Mixaylov gadografi tahlil etilganda, unda quyidagi natija kelib
chiqadi.
Mixaylov gadografi koordinata tekisligida kvadratlami ketma-ket
kesib o‘tganda, u haqiqiy va mavhum o‘qlarni birin-ketin kesib o‘tadi.
123
Mixaylov gadograf! haqiqiy o‘qni kesib o‘tganda, uning mavhum
funksiyasi V(a>) nolga aylanadi, mavhum o‘qni kesib o‘tganda esa
Mixaylovning haqiqiy funksiyasi U(co) nolga aylanadi. .
Shuning uchun gadografning haqiqiy va mavhum o‘qlarni kesib
o‘tgan nuqtalaridagi chastotaning qiymati U(a>) — 0 (a), V(co) = 0 (b)
tenglamalarinmg ildizlari boiishi kerak. Ushbu funksiyalaming grafigi '
3.8-rasmda keltirilgan.
3.8-rasrn. Gadografning haqiqiy va mavhum о ‘qlarni kesib о ‘tgan
nuqtalaridagi ко ‘rinish grafigi.
Bu egri chiziqlaming abssissa o‘qi bilan kesishgan nuqtalari (a) va
(b) tenglamalaming ildizlarini bildiradi.
Agar coo, со2, 0)4,... (b) tenglamaning ildizlari oo\, соз,
esa (a)
tenglamaning ildizlari boiib, shu bilan birga a>o<co2 < m va co\ < m <
cos boisa, unda tizim turg‘un boiishi uchun g>o < coi < 002 < о>з < ®4 <
cos tengsizlik bajarilishi kerak.
3.5-misoL 2 p 3 + 6 p 2 + I 0 p + 15 = 0 xarakteristik tenglama berilgan
boisin. Mixaylov mezoni yordamida tizimning turg‘unligini tekshiring.
Yechish: Buning uchun xarakteristik tenglamada «/;» ni «jco» bilan
almashtiramiz va haqiqiy hamda mavhum qismlarga ajratamiz.
2(jco)3 + 6(ja>y + 1 0(jco) + 15 = 0,
f/(©) = 1 5 - 6 ® 2; V(co) = co(lO~2co2)
a)ft? = 0 b o i s a
U(co) = 15;
F(0) = 0;
b)U(co) = 0;
15 -б со 1 = 0
со2 = 15/6 = 2.5;
= л/2!5(10 - 2 • 2.5) = V 2J’■5 = 7;
d)V(a>) = 0;
(1 0 -2 ® 2) = 2 a)2 =5;
Щл/ t ) = 1 5 - 6 - 5 = -15.
124
Shu qiymatiar asosida Mixaylov gadografini quramiz (3.9-rasm).
3.9-rasm.
Mixaylov gadografi uchta chorakni ketma-ket kesib o‘tyapti, ya’ni I,
II va III choraklarni. Shuningdek, xarakteristik tenglamaning darajasi
ham и=3 teng. Ko'rinib turibdiki, tizim Mixaylov mezonidagi shartlarini
qanoatlantirgani uchun u turg‘undir.
3.6-misol. р ъ+ 4 p 2+ 10p + 40 - 0 xarakteristik tenglama berilgan
bo'lsin. Mixaylov mezoni yordamida tizimning turg‘unligini tekshiring.
Yechish: Buning uchun xarakteristik tenglamada «р» ni <</cw» bilan
almashtiramiz va haqiqiy hamda mavhum qismlarga ajratamiz.
(j© )3 + 4 ( j w ) 2 + 10J& + 40 = 0,
u(m) = 4 0 - 4 ® 2;
v(a>) = co(I0~2a>2),
а) m = 0,
u(0 ) = 40
v(0 ) = 0 ,
б)м(®) = 0,
40 —4фг - 0,
ю2 = 10.
v(4&) = л/Ш(10-10) = 0.
3.10-rasmda keltirilgan gadogi'afdan
ko'rinib turibdiki, tizim turg‘unlik
chegarasida.
125
3.8. Naykvist turg‘unlik mezoni
Turg‘unlikning Naykvist mezoni ochiq tizimning amplituda faza
xarakteristikasi (AFX) bo‘yicha berk tizimning turg‘unligini tekshirish
imkoniyatini beradi. Ochiq tizimning AFXsini esa ham analitik ham
tajriba yo‘li bilan olish mumkin.
Turg‘unlikning ushbu mezoni aniq fizik ma’noga ega boiib, ochiq
tizimning statsionar chastotali xususiyatlarini berk tizimning
nostatsionar xususiyatlari bilan bogiaydi [14,23,26].
Ochiq tizimning uzatish funksiyasi W(p) = — berilgan boisin. Bu
Q(P)
yerda Q (p) = 0 - ochiq tizimning xarakteristik tenglamasi. Berk
tizimning uzatish funksiyasi:
P(P)
Ф(/,) = _5!£L = J2(eL- =__ PM__ ,
1+W (p)
l + P(p)
Q(P)
A (p) = 1 + W (p) = 1 +
Q(p) + P(p)
= 9LP} ± 1 ( P \.
Q( p )
(3.28)
Qip)
Berk tizimning xarakteristik tenglamasi:
Q (p) + P (p ) - berk tizimning xaraktestik polinomini ifodalaydi.
Q (p) - polinom «и» darajaga ega;
P (p ) - polinom «m» darajaga ega.
Tizimni ishga tushirish uchun doimo m < n boiishi kerak. Shuning
uchun 0 { p ) + P (p ) polinom «и» darajaga ega boiadi.
Ochiq tizimning o‘zi turg‘un va noturg‘un hollarda boiishi mumkin.
Biz mana shu ikki holatda berk tizimning turg'unligini tekshirib
ko‘ramiz.
a) Ochiq tizim turg‘un holatda.
Xarakteristik tenglamaning o‘ng ildizlari soni 1 = 0. Argumentlar
prinsipiga asosan ochiq tizim xarakteristik tenglamasi argumentining
o‘zgarishi:
Д arg Q(jco) = и ^ ■
в<л<«
2.
Endi berk tizim turg'un boiishini talab etamiz. Unda quyidagi tenglikbajarilishi lozim:
126
(3.29)
д arg[Q(ja>) + P(j<o)\ = n*~
(3.28) ifodaga muvofiq berk tizimning xarakteristik tenglamasining
argument o‘zgarishi:
Aarg A (ja) = Aarg\Q{j<a) + P(j&)] - Aarg Q {ja) =
9« a « n
0«»<so
2
2
= 0 . (3.30)
Shunday qilib, berk tizim.turg‘un bo'lishi uchun chastota 0 < со < °o
o‘zgarganda A (joj) vektorining koordinata o‘qi atrofidagi burchak
burilishi (argument o'zgarishi) nolga teng bo‘lishi kerak yoki chastota
0 < < ад o‘zgarganda berk tizim AFXsi A(J(o) koordinata boshini,
ya’ni (0 ; 0 ) nuqtani o‘z ichiga olmasligi kerak.
A(jco) = 1 + W(ja>) gadografining ko‘rinishi 3.11-rasmda keltirilgan.
3.11-rasm. 1 - berk tizim turg'un; I I - berk tizim noturg‘un.
Lekin tizimning AFX A(jm ) = \ + W (jo)) si ochiq tizimning AFX
W (jo)) sidan «+ 1 » ga farq qiladi.
Shuning uchun yuqorida keltirilgan Naykvist mezonining ta’rifini
ochiq tizimning AFX W(Jco) ga tatbiq etganimizda Naykvist mezonini
quyidagicha ta’riflash mumkin:
Berk tizim turg‘un bo'lishi uchun ochiq tizimning AFX W(jco)si
chastota 0 < © < oo о ‘zgarganda (-1; JO) kritik nuqtani о 'z ichiga
olmasaligi kerak (3.12-rasm).
127
'!
3.12-rasm. I - berk tizim turg‘un; II - berk tizim noturg‘un.
b) Ochiq tizim noturgUin.
Bunda ochiq tizim xarakteristik tenglamasi «/» o ‘ng ildizga ega,
ya’ni 1 фо, unda argumentlar prinsipiga muvofiq
(3.31)
A w g Q U to ) = ( n - 2 l ) ~
0<ЛКОО
2
b o ia d i.
Agar tizimning turg‘un boiishi talab etilsa, unda quyidagi shart
bajarilishi kerak:
Aargf<2(/©) + P (J o ))\ = п Л--
(3.32)
2
(Ко<я>
U holda A(jco) = 1+ W(jco) vektorining argument o‘zgarishi
AargA {jm ) = A arg[Q (Jei>)+P(Ja)]-A argQ (ja) = n ^ - ( n ~ 2 l ) — = 1ж (3.33)
0<a><®
0<o«x>
О са х »
2
2
boiadi. Ya’ni A(jco) vektorning koordinata o‘qining boshi atrofidagi
summar burchak burilishi turg‘un berk tizim uchun «fe» ga teng boiishi
lozim.
Bundan Naykvist mezonining quyidagi ta’rifi kelib chiqadi:
Berk tizim turg'un b o ‘lishi uchun chastota 0<<a<° o o'zgarganda
ochiq tizimning AFX W {jco)si kritik nuqta (-1; j0)n i 1/2 marta o ‘z
ichiga olishi kerak; bunda I - ochiq tizim xarakteristik tenglamasining
o‘ng ildizlar soni (3.13-rasm).
128
3.13-rasm.
W(jco) gadografi (-1; /0) nuqtani bir marta o‘z ichiga olyapti.
Shuning uchun bunda ochiq tizimning o‘ng ildizlar soni 1 = 2, chunki
//2 = 1 => 1 = 2. Demak ochiq tizimning o‘ng ildizlar soni 1 = 2 bo‘lsa,
berk tizim ham noturg‘un bo‘ladi.
Amaliy masalalami yechishda Ya.Z.Sipkin taklif etgan «o‘tish
qoidasini» qo‘llash maqsadga muvofiqdir.
W (jo)) xarakteristikani o‘tishi deganda shu xarakteristikaning
kompleks tekisligida manfiy haqiqiy o‘qni (- 1 ; jO) nuqtaning chap
tomonini, ya’ni [ - < * ; - 1] kesmani chastota 0 < a x o o o‘zgarganda
pastdan yuqoriga kesib o‘tsa, musbat o‘tish yuqoridan pastga kesib
o‘tsa, manfiy o‘tish deyiladi (3.14-rasm).
3.14-rasm.
Yuqorida aytilganlami e’tiborga olgan holda Naykvist mezonini
quyidagicha ta’rifiash mumkin:
Berk tizim turg‘un bo'lishi uchun ochiq tizimning AFXsining
chastota 0 < <y < oo о ‘zgarganda [- oo; - 1] kesma orqali musbat va man129
f iy o'tishlarning ayirmasi l/2 g a teng bo'lishi kerak. Bunda I - ochiq
tizim xarakteristik tenglamasining o ‘ng ildizlar soni.
Agar ochiq tizimning AFXsi a>- 0 bo‘lganda [—со; —l] kesmada
boshlansa yoki a -o o bo‘lganda shu kesmada tugasa, unda bunday
o‘tishni yarim o ‘tish deyiladi (3.15-rasm).
Statik ochiq tizimning W (jca) xarakteristikalari chastota o‘zgarganda yopiq kontur hosil qiladi.
Ideal integrallagich zvenosi bo‘Igan astatik ochiq tizimlarning
W(jco) xarakteristikalari chastota 0 < да < да o‘zgarganda yopiq kontur
hosil qilmaydi.
d) astatik tizim ucbun Naykvist mezonini qo‘llash.
Astatik tizimning AFX
(3.34)
(jto ) Q(j(o)
ko'rinishga ega boiib , berk kontur hosil qilmaydi.
Bunday tizimlar uchun ochiq tizimning xarakteristik tenglamasi nol
ildizga ega bo‘lib, quyidagi ko‘rinishda yozilishi mumkin.
Q( p ) =
p
'Q,Xp )>
(3 -3 5 )
bu yerda, у - astatizm darajasi, ya’ni tizimdagi ideal integral zvenolar
soni; Q (p) - nol ildizga ega bo‘lmagan polinom.
Astatik tizimlarning AFXsi (3 .3 2 ) ifodaga ko'ra оз = 0 bo‘!ganda oo
boMadi. Shxming uchun kritik (-1; jO) nuqtani «kontur ichida» yoki
«kontur tashqarisida» ekanligini aniqlash qiyinlashadi, ya’ni W(ja>)
130
xarakteristikasi (- 1 ; jO) kritik nuqtani o‘z ichiga olishi yoki olmasligini
aytish mumkin boim ay qoladi. 0 ‘z navbatida berk tizimning turg‘unlik
masalalarini yechish qiyinlashadi.
Tizim tarkibidagi ideal integrallovchi zvenolar chastota 0<co<<x>
7t
o'zgarganda - v — burchak o‘zgarishini beradi. Bunda v - ketma-ket
ulangan ideal integrallovchi zvenolar soni.
Shuning uchun Д arg A ( jсо) ni hisoblash uchun W(ja>) gadografi
cheksiz katta radiusga ega bo‘lgan aylananing yoyi bilan musbat haqiqiy
yarim o‘qqa qadar to'Idiriladi (1=0 yoki juft son boiganda). Unda
Naykvist mezonini quyidagicha ta’riflash mumkin:
Agar ochiq tizimning « °o» radiusga ega bo ‘Igan aylananing yoyi
bilan to ‘Idirilgan ochiq tizimning W(jco) xarakteristikasi chastota
0 < со < 00 о ‘z garganda kritik (-1; y'O) nuqtani //2 marta о ‘z ichiga
olsa, berk astatik tizim turg'un bo'ladi. Bunda I - ochiq tizim
xarakteristik tenglamasining o‘ng ildizlar soni.
<D
k Im
----^
_y yg
/ a>=oo
a
co~0
Re
У
3.16-rasm. a) v= l berk tizim noturg'un; b) v= l berk tizim turg‘un;
d) v=2 berk tizim turg'un; e) v=2 berk tizim noturg‘un.
131
3.16-rasmda ochiq tizim turg‘un bo‘lgan (/ = 0) holda berk tizimning turg‘unligini aniqlashga misollar keltirilgan.
3.16-rasmda keltirilgan gadograflardan ko‘rinib turibdiki, agar tizim
turg‘un bo‘lsa, u holda kritik (-1; jO) nuqta « 00 » radiusga ega bo‘Igan
aylananing yoyi bilan to‘ldirilgan ochiq tizim AFX sining tashqarisida
yotadi. Agar bu nuqta shu xarakteristikaning ichida bo'lsa, unda tizim
noturg‘un bo‘Iadi,
Agar ochiq tizim turg‘un bo‘lsa, (/ = 0), unda AFX manfiy haqiqiy
yarim o‘qni [ - 00; - l ] kesmada kesib o‘tadi yoki bu kesmani juft marta
kesib o‘tadi. Agar [-00 ; - 1 ] kesmani kesib o‘tishlar soni toq bo‘lsa, unda
berk tizim noturg‘un bo‘ladi.
Ochiq tizim yoki uning tarkibidagi birorta zvenoning tenglamasi
noma’lum boisa-yu, lekin ochiq tizimning W(jco) AFX si tajriba yo‘li
bilan olingan bo'lsa, unda bunday tizimning turg‘unligini tekshirish
uchun faqatgina Naykvist mezonini qo‘liash mumkin. Bu esa Naykvist
turg‘unlik mezonining boshqa turg‘unlik mezonlaridan afzalligini
ko‘rsatadi. Bundan tashqari kechikuvchi tizimlaming turg‘unligini tekshirishda faqatgina Naykvist mezonini qo‘llash mumkin.
3.9.
Logarifmik chastotaviy xarakteristika bo‘yicha
turg‘unlikning tahlili (Turg‘unlikning logarifmik mezoni)
Muhandislik amaliyotida ABT laming turg‘unligini tahlil etishda
ochiq tizimning logarifmik chastotaviy xarakteristikasi (LChX) dan
keng foydalaniladi. Chunki ochiq tizimning asimptotik LAChXsini
qurish AFXni qurishdan ancha oson va qulaydir [17,23].
Tizimning turg‘unligi ochiq tizim W(ja>) AFXsining [ - 00 ;-1]
kesmada manfiy haqiqiy yarim o‘qni kesib o‘tishlar soni bilan
bog'liqdir. Shuning uchun ochiq tizimning AFXsi W( joi) bilan LChXsi
orasidagi bogiiqlikni aniqlab olamiz.
Ochiq tizimning AFXsi W(ja>) manfiy haqiqiy o‘qni kesib o‘tganda,
LFChX - л(21 + I) chiziqlarning birini kesib o'tadi. / = 0,1,2,3,... tiz­
imning turg‘unligi nuqtayi nazaridan olganda, bu o‘tishlar soni kritik
(-1; j 0) nuqtaning o‘ng tomonida, \W(jco)\ < 1 AFX ning moduli birdan
kichik
bo‘lganda,
ya’ni
LAChX
ordihatalari
manfiy
L(co) - 2 0 lg |^ ( /®)| < 0 bo‘lganda sodir etilsa, unda bu o‘tishlar tizimn­
ing turg‘unligiga hech qanday xavf tug‘dirmaydi.
132
Shu sababli L(co) = 20lg\lV(ja))\ < 0 bo‘lagi tizimning turg‘unligini
tekshirilayotganda unchalik ahamiyat kasb etmaydi.
W (jco) xarakteristikaning [ - 00; - 1] kesma orqali musbat o‘tishiga
(pastdan yuqoriga) LFChX ning L(co) > 0 bo‘lagida - л {21 +1) to‘g‘ri
chiziqni yuqoridan pastga (musbat o‘tish) kesib o‘tishi W (ja >)
xarakteristikaning [- 00 ; - 1] kesma orqali manfiy o‘tishiga (yuqoridan
pastga) LFChX ning L(co') > 0 bo‘lagida -яг(2/ + 1) to‘g‘ri chiziqni
pastdan yuqoriga (manfiy) o‘tishi to‘g‘ri keladi.
Yuqorida aytilganlami hisobga olib, turg‘unlikning logarifmik
mezonini quyidagicha ta’riflash mumkin:
Agar ochiq tizimning LFChX L(a>) > 0 bo‘lagida - ж{21 +1) to‘g‘ri
chizig'idan o‘tgan musbat va manfiy o'tishlari ayirmasi Ij2 ga teng
boisa, berk tizim turg‘un bo‘ladi. Bunda I - ochiq tizim xarakteristik
tenglamasining o‘ng ildizlari soni.
3.17-rasmda ochiq tizim turg‘un bo‘lgan holda, berk tizim turg‘un
yoki noturg‘un holatlariga to‘g‘ri keladigan logarifmik xarakteristikalaridan misollar keltirilgan.
Berk tizimning turg‘unligini tekshirish LAChX ning musbat
ordinatasiga to‘g‘ri kelgan bo‘lagida tekshirilgan, rasmda u shtrixlangan
chiziq bilan ko‘rsatilgan. Logarifmik xarakteristikalar bilan birga ularga
mos tushadigan ochiq tizimning AFX W(jcd) xarakteristikalari ham kel­
tirilgan.
W {j(o ) xarakteristikasining radiusi birga teng bo‘lgan aylana bilan
kesishiga LAChX ning abssissa o‘qi bilan kesishi to‘g‘ri keladi va bu
chastotani kesish chastotasi deyiladi va aKbilan belgilanadi.
W (jco) xarakteristikasining manfiy haqiqiy o‘q bilan kesishgan
nuqtasiga LFChX ning n to‘g‘ri chizig‘ini kesib o‘tishi to‘g‘ri keladi va
bu chastotani (Dy o‘tish chastotasi deyiladi.
Agar ochiq tizim turg‘un (1=2) bo‘lsa, unda berk tizim turg‘un
bo‘lishi uchun o)r< o)y sharti bajarilishi kerak. Aks holda berk tizim
noturg‘un bo‘ladi.
3.17a,ci-rasmlarda keltirilgan xarakteristikalar berk tizimning turg‘un
holatiga to‘g‘ri keladi, 3.! 7/),e-rasmlarda keltirilgan xarakteristikalar esa
berk tizimning noturg‘un holatiga to‘g‘ri keladi.
3.17-rasm. Ochiq tizim turg‘un b o ‘lgan holda, berk tizim turg‘un
(a,d) yo k i noturg‘un (b,e) holatlariga to ‘g ‘ri keladigatt logarifmik
xarakteristikalar.
134
3.10. Tizim parametrlari tekisligida turg‘unlik doirasini qurish.
D - boMinish usuli
ABT larni hisoblashda va loyihalashda uning ayrim parametrlarini
tizim turg'unligiga ta’sirini tekshirish kerak bo‘lib qoladi.
Bunday masalani yechishda turg‘unlik sohalarini qurish, ya'ni tizim
turg‘un bo'lishi uchun parametr qiymatlarini shunday sohasini aniqlash
zarur boMadi [14,20].
Tizim a) nol ildizga a„=0;
b) juft mavhum ildizga;
d)
oo ildizga ao=0
ega bo'lganda turg'unlik chegarasida bo'ladi.
Turg‘unlik sohalari bir parametr tekisligida va ikki parametr tekis­
ligida quriladi.
Parametrlar tekisligida ildizlarning tartibda joylashishiga qarab
sohalarga ajratuvchi egri chiziqlar to‘plamiga parametrlar tekisligining
D-bo ‘linishi deyiladi.
Ayrim hollarda qandaydir k parametmi tizimning turg'unligiga
bo‘lgan ta’sirini aniqlash zarur boMib qoladi.
Masalan: shu к parametr xarakteristik tenglamaning ichiga chiziqli
kirgan bo'lsin, ya’ni
A (p) = P (p) + kQ (p),
p = ja> almashtirishdan so‘ng D-bo‘linish chegarasini
A(ja>) = P(jco) + kQ(jo)) = 0
ko‘rinishga keltirish mumkin.
Bundan к =
Q(J oj)
= x(co) + jy(a >),
x(co) - к parametrga nisbatan yozilgan xarakteristik tenglamaning haqi­
qiy qismi; y(co) - e s a mavhum qismi boiadi.
D - bo'linish chegarasini qurayotganda uni faqat chastotaning
musbat qiymatlari uchun qurish yetarlidir, ya’ni 0 < со < oo. Undan key in
esa chastotaning manfiy qiymatlariga to‘g‘ri keladigan uchastkasini
haqiqiy o‘qqa nisbatan simmetrik ravishda chizib qo'yish mumkin.
Chastota 0 < со < oo o‘zgarganda P tekisligida pastdan yuqori tomon
135
chap yarim tekisligi (ya’ni turg'unlik sohasi) mavhum o‘qning chap
tomonida bo‘ladi. Shuning uchun o‘qning chap tomonini shtrixlaymiz.
Mavhum o ‘q bo‘yicha bunday harakatga к tekisligidagi D - bo‘linish
chegarasining chastota - со < со < +00 gacha o‘zgarganidagi chap
tomonini shtrixlash to‘g‘ri keladi (3.18-rasm).
f Ж®)
3.18-rasm.
Agar к tekisligida D - bo‘Iinish chegarasini shtrixlash yo‘nalishiga
qarab kesib o‘tilsa, unda (P tekisligida) ildizlar tekisligida bitta ildiz
o‘ng yarim tekisligidan chap yarim tekisligiga o‘tgan bo‘ladi (3.18rasmdagi 2 nuqta).
0 ‘zgamvchi parametr к haqiqiy son bo‘lgani uchun hosil boigan
turg‘unlik sohasidan turg‘unlik kesmasi ajratib olinadi. Ya’ni haqiqiy
o‘qdagi turg‘unlik sohasida yotgan AB kesma ajratib olinadi. Demak,
AB kesmaga to‘g‘ri keladigan v parametming har qaysi qiymatida tizim
turg‘un bo‘ladi.
3.11. Kechikishli va irratsional zvenoli tizimlarning turg‘unligi
Avtomatik boshqarish tizimlari kirish kattaligi u(t) va chiqish
kattaligi v(t) larining o'rtasidagi bogiiqlik quyidagi ko‘rinishga ega
bo‘lganzvenolardantuzilishi mumkin [20,26]:
y {t) = u ( t - r ) ,
(3.36)
bu yerda, r - doimiy kattalik (miqdor) bo‘lib, kechikish vaqti deyiladi.
Bunday zvenolar kechikuvchi zvenolar deb ataladi va ular kirish
136
kattaligining o‘zgarishini yo‘qotishlarsiz (buzilishlarsiz), Sekin bir
qancha r kechikish vaqti bilan amalga oshiradi.
Kechikuvchi zvenolarning uzatish funksiyasi
(3.37)
WM (p ) = eb)
3.19-rasm.
Sof kechikish zvenolami ko‘pincha materiallar bir nuqtadan
boshqasiga tasmali transporterlar orqali ko‘chiruvchi texnologik
jarayonlarda; magnitli zaxira tizimlarida va boshqa tizimlarda uchratish
mumkin.
Tarkibida hech bo‘lmaganda bitta kechikuvchi zveno bo‘igan
avtomatik boshqaruv tizimlari kechikuvchi tizimlar deyiladi. Kechikishli
tizimlardagi jarayonlar differensial-ayirma tenglamalar yordamida tavsiflanadi.
Bitta kechikuvchi zvenodan tashkil topgan bir konturli avtomatik
boshqaruv tizimining strukturaviy sxemasi, agar kechikuvchi zveno
to‘g‘ri zanjirda bo‘lsa, 3.19,a-rasmdagidek keltiriladi, agar kechikuvchi
zveno teskari zanjirda bo‘lsa, 3.19,6-rasmdagidek keltiriladi.
Kechikishli boshqarish tizimining uzatish funksiyasi quyidagiga
teng:
W,(P) = K J P W ( P ) =
bu yerda W ( p ) =
Q (p)
(3-38)
- kechikishi hisobga olinmagan ochiq tizimning
o‘zida/? operatorning ratsional-kasrli funksiyasini namoyon etuvchi uza­
tish funksiyasi.
Agar kechikuvchi zveno to‘g‘ri zanjirda bo‘Isa, unda berk tizimning
uzatish funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
w (p)
=
1+ Wt (p)
—
Q{p) + R ( p ) e p'
= A M
Dt (p)
(з 3 9 )
Agar ushbu kechikuvchi zveno teskari aloqa zanjirida boisa, unda
yopiq tizimning uzatish funksiyasi quyidagicha boiadi:
r
(p )=
^
1+ W '(p)
= ____ m ____ = m e l .
Q (p ) + R(p)e-"
D r(p )
(3.40)
(3.39) va (3.40) lardan ko‘rinib turibdiki, kechikuvchi zvenoning
ulanish joyiga bogiiq boimagan holda kechikishli tizimning xarakteris­
tik tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Dt (p ) = Q (p ) + R (p )e-'r =
0
.
(3.41)
Bu xarakteristik tenglama tarkibida e~pT borligi uchun u polinom
hisoblanmaydi va p operatorning transsendent funksiyasi deyiladi hamda
odatdagi algebraik tenglama! ardan farq qilgan holda cheksiz ildizlar
to'plamiga ega boiadi [14,20].
Doimiy kechikishli chiziqli tizim turg‘un boiishi uchun (3.41)
tenglamaning barcha ildizlari chap ildizlar boiishi zaruriy va etarlidir.
(3.41) tenglamaning ildizlarini topish mushkul, shutting uchun
kechikishli tizimning turg‘unligini tadqiq qilishda turg'unlik
mezonlaridan foydalaniladi.
Kechikishli berk tizimning turg‘unligi haqidagi xulosa kechikishli
ochiq tizim AFX si Wt (Ja>) ni (-1; jfO) nuqtaga nisbatan tadqiq
qilinishiga asoslanib amalga oshiriladi. Kechikishli tizimlar uchun
Naykvist turg'unlik mezonining ifodalanishi ratsional-kasrli uzatish
fonksiyasiga ega oddiy tizimlar uchun ifodalanishiga o‘xshashdir.
Kechikishli ochiq tizimning chastotali uzatish funksiyasi Wr (jco) ni
(3.38) tenglamadan p —> jco bilan almashtirib hosil qilinadi:
Wt (jco) = W (jd )e ~J" = A(co)e 'Жт>е
= A(co)e ~м ” ,
(3.42)
bu yerda W(jco) = U(co) + jV(a> ) - kechikish hisobga olinmagan ochiq
tizimning AFX
si;
A(a>) = tyV(ja>)\ = ■Jui (a>) + V z(co)
-
AChX;
<p(co) = a r c t g ^ - - FChX;
U(a>)
cpt (со)
cp(co) -сот
kechikishli ochiq tizimning FChX si.
138
(3.43)
(3.42)
va (3.43) lardan ko‘rinib turibdiki, kechikuvchi zvenoning
mavjudligi ochiq tizimning AFX si moduli A(co) ni o‘zgartirmaydi,
faqatgina chastota proporsional ravishda proporsional koeffitsiyenti
kechikish vaqti r hisoblanuvchi manfiy сот fazoviy siijish hosil qiladi
[20,23]
Kechikishi bo‘lmagan ochiq tizimning AFX si W(jco) ni bilgan
holda kechikishli berk tizimning AFX si Wt (ja>) ni oson qurish mum­
kin. Buning uchun W(jYo) AFX ning modul vektori A(co) ni soat
strelkasi yo‘nalishi bo‘yicha ca r burchakka burish kerak. Q chastotani
oshishi bilan сот burchak tez oshib boradi, A(a>) esa odatda kamayadi,
shuning uchun ham kechikishli berk tizimlarning AFX si WT(ja >)
koordinata boshini o‘rab oluvchi spiral ko‘rinishiga ega bo‘ladi (3 .2 0 rasm). AFXning «o‘rab olish» da o r fazaviy siljishning borligi,
umuman aytganda, turg‘unlikni yomonlashtiradi, chunki AFX kritik
nuqta (-1; jO) ga yaqinlashib keladi. Biroq ba’zida W{jco) AFX ning
murakkab formasiga kechikish doimiysini kiritish turg‘unlik shartlarini
yaxshilashi mumkin.
Kechikish vaqti r ni keng chegaralarda o‘zgartirib, uning shunday
qiymatini topish mumkinki, bunda berk tizim turg‘unlik chegarasiga
tushib qoladi. Bunday hollarda Wr(ja>) xarakteristika (-1; jO) nuqta
orqali o‘tadi.
3.20-rasm.
3.21-rasm.
Kechikish vaqti ткр va unga mos keluvchi chastota qiymati co^ kritik
deb ataladi.
Agar W {ja >) gadografning birlik radiusli aylana bilan bir nechta
nuqtalarda kesishishga ega bo‘lsa, masalan, 0 lcp, a)Up va coixp (3 .2 1 -
rasm) larda, unda tizim bir qancha kritik chastotaviy kechikish
vaqtlariga ega boiadi:
^ = <?(®u,)/£V; t 2„ = p(a>2J / a > ^ ; r J4, = < ? ( « > „ „ ) / ,
chunki minimal kechikish vaqti
= r l>p. Tizim г < г 1кр da,
shuningdek, т1ур < t < т3ч> da turg‘un boiadi. Tizim т1кр <т <т1кр da,
shuningdek, т < тЪкр larda noturg‘un boiadi.
Tizimning noturg‘unlik va turg‘unlik uchastkalari т ning uzluksiz
o‘zgarishida (shuningdek, tizimning boshqa parametrlarida • ham)
almashish holati doimiy kechikishli ko‘pgina tizimlarning xarakterli
xususiyati hisoblanadi. Odatda, tezkorlik va aniqlikni oshirish
maqsadida tizimlarning kechikish vaqti x ni kechiktirishga intiladi,
shuning uchun ham turg‘unlik mezonlari faqatgina minimal kechikish
vaqtlari uchun ifodalanadi.
Agar kechikish vaqti x minimal kritik kechikish vaqti
dan
kichik boisa, avtomatik boshqaruv tizimi turg‘un boiadi:
N azorat va m uhokam a savollari
1. ABTning turg‘unligi deganda nimani tushunasiz?
2. Chiziqli ABTning turg‘unligini yetarli va zaruriy shartlarini
tushuntiring.
3. Chiziqli ABTning turg'unligi to‘g‘risidagi Lyapunov teoremasini
ayting?
4. Turg‘unlik mezonlari deb nimaga aytiladi?
5.Turg‘unlikning algebraik mezonlariga qanday mezonlar kiradi?
6 .Tug‘unlikning Raus va Gurvis mezonlarini afzalliklari va kamchiliklari to‘g‘risida aytib bering.
7. Gurvis aniqlovchisi (detirminanti) qanday qoidalarga asosan
aniqlanadi?
8 . Gurvis mezonining ta’rifini aytib bering.
9.Lenar-Shipar turg‘unlik mezoni qachon va kim tomonidan taklif
qilingan?
10. Turg‘unlikning chastotaviy mezonini imkoniyatlari va qoilanilishi to‘g‘risida nimalar deya olasiz?
11. Argumentlar prinsipini tushuntirib bering.
140
12. Mixaylov gadografi qanday tartibda quriladi.
13. Mixaylov mezonining ta’rifini aytib bering.
14. Naykvist mezonining qanday imkoniyatlari mavjud?
15. Ochiq tizim turg‘un bo‘lgan holatda berk tizim turg‘un bo‘lishi
uchun Naykvist mezoniga asosan qanday shart bajarilishi kerak?
16. Ochiq tizim noturg‘un bo'lgan holatda berk tizim turg‘un
bo‘lishi uchun Naykvist mezoniga asosan qanday shart bajarilishi kerak?
17. Ya.Z.Sipkin taklif etgan «o‘tish qoidasi»ni tushuntirib bering.
18. Astatik tizim uchun Naykvist mezoni qanday qo‘llaniladi?
19. Turg‘unlikning logarifimik mezonini tushuntirib bering.
20. D-bo‘Iinishi deb nimaga aytiiadi?
21. Kechikuvchi tizimlar deb nimaga aytiiadi? Kechikishli va
irratsional zvenoli tizimlarning turg‘uniigi to‘g‘risida tushuncha bering.
141
Test savollari
1.Agar tizimning xarakteristik
tekisligining chap yarim tekisligida
qaysi holatda bo‘ladi?
A) Turg‘unlik chegarasida.
C) Turg‘un.
tenglamasini ildizlari kompleks
joylashgan bo‘lsa, uzluksiz tizim
B) Noturg‘un.
D) Shartlar yetarli emas.
2.Agar tizimning xarakteristik tenglamasini ildizlari kompleks
tekisligining chap va o‘ng yarim tekisliklarida joylashgan bo‘lsa,
tizim qaysi holatda bo‘ladi?
A) Tizim noturg‘un.
B) Tizim turg‘un.
C) Tizim neytral.
D) Shartlar yetarli emas.
3.Agar tizimning xarakteristik tenglamasini ildizlari kompleks
tekisligining chap yarim tekisligida va mavhum o‘qida joylashgan
bo‘lsa, tizim qaysi holatda bo'ladi?
A) Turg‘unlik chegarasida.
B) Tizim turg'un.
C) Tizim neytral.
D) Shartlar yetarli emas.
4. Uzatish funksiyasi W (p) = K/(\ + Ttp)(\ + T2p) bo‘lgan tizimning
turg‘unligini aniqlang.
A) Noturg‘un.
B) Turg‘un.
C) Turg‘unlik chegarasida.
D) MaTumotlar yetarli emas.
5.Uzatish funksiyasi W(p) = K(l + T2p ) i _p(l + I^ )(l + 7!,p) bo‘lgan
tizimning turg'unligini aniqlang.
A) Noturg‘un.
B) Turg'un.
C) Turg‘unlik chegarasida.
D) Ma’lumotlar yetarli emas.
6.Xarakteristik tenglamasi 5p3 + 4 р г + 2 p + l = 0 bo‘lgan tiz­
imning turg‘unligini aniqlang.
A) Noturgcun.
B) Turg'un.
C) Turg‘unlik chegarasida.
D) Ma’lumotlar yetarli emas.
7.Xarakteristik tenglamasi 5p~ +Ap2 + /> + 4 = 0 bo‘lgan tizimn­
ing turg‘unligini aniqlang.
A) Noturg‘un.
B) Turg'un.
C) Turg‘unlik chegarasida.
D) Ma’lumotlar yetarli emas.
142
8.Xarakteristik tenglamasi 3 p s +Юр4+ 5p3-7р2+ р +Ю0 = 0 boigan
tizimning turg‘unligini aniqlang.
A) Noturg‘un.
B) Turg‘un.
C) Turg‘unlik chegarasida.
D) Ma’lumotlar yetarli emas.
9. Agar Mixaylov gadograf! ® chastotaning noldan cheksizlikkacha o‘zgarishida soat strelkasiga teskari koordinatali tekisligining
kvadrantini ketma-ket aylanib chiqsa, uchinchi tartibli tizim
turg‘un boMadimi?
A) Turg‘unlik chegarasida.
B) Noturg'un.
C) Turg‘un.
D) Ma’lumotlar yetarli emas.
10. Quyida keltirilgan javoblarning qaysi birida turg‘unlikning
Mixaylov mezoni haqida to‘g‘ri fikr yuritilgan?
A) Mixaylovning turg‘unlik mezoni o‘zining mohiyati jihatdan ar­
gumentlar prinsipining geometrik tasviridir.
B) Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari asosida kompleks
o‘zgaruvchi funksiya nazariyasidan ma’lum bo‘lgan argumentlar prinsipi yotadi.
C) Tizimning turg‘unligi xarakteristik tenglamalaming ildizlarini
hisobga olmasdan turib aniqlaydigan qoidalar turg‘unlikning Mixaylov
mezonini bildiradi.
D) Chastota -c o < ® < o o o‘zgarganda D(jco ) vektori argumentining o‘zgarishi chap va o‘ng ildizlar ayirmasining «я» soniga ko‘paytirilganiga teng bo‘ladi.
11. Ochiq tizimning AFX bo‘yicha berk tizimning turg‘unligini
tahlil masalasi ko‘rilmoqda. Quyida keltirilganlardan turg‘unlik
mezonlarining qaysi biri ushbu masalani yechadi?
A) Naykvistning turg‘unlik mezoni.
B) Mixaylovning turg‘unlik mezoni.
C) Mixaylovning turg‘unlik mezoni.
D) D-bo‘lish usuli.
12. Ochiq tizimning AFX (-1; j 0) koordinatali nuqtani musbat
yo‘nalishda ikki marta aylanadi, uning xarakteristik tenglamasi esa
to‘rtta o‘ng yecbimlarga ega. Berk tizim turg‘unmi?
A) Turg‘unlik chegarasida topiladi. B) Neytral.
C) Turg‘un.
D) Noturg'un.
143
13.
Ochiq tizimning AFX (-l;y'0) koordinatali nuqtani musbat
yo‘nalishda bir yarim marta aylanadi. Ochiq tizimning xarakteris­
tik tenglamasinmg qanday sonli o‘ng yechimlarda berk tizim
turg‘un bo4Iadi?
A) Uch.
B) To‘rt.
C) Olti.
D) Nol.
14.
Agar Mixaylov gadografi a> chastotaning noldan cheksizIikkacha o‘zgarishida soat strelkasiga teskari koordinatali tekis­
ligining beshta kvadrantini ketma-ket aylanib chiqsa, to‘rtinchi
tartibli tizim turg‘un bo‘ladimi?
A) Shartlar yetarli emas.
B) Turg‘unlik chegarasida.
C) Noturg‘un.
D) Turg‘un.
15. Avtomatik boshqarish tizimining turg‘unligi nima?
A) Tizimni tashqi ta’sirlardan so‘ng muvozanat holatiga yana qaytish
qobiliyati.
B) Tizimni boshlang‘ich holatiga qaytish qobiliyati.
C) Tizimning dinamik xususiyatlarini hisobga olish qobiliyati.
D) Tizimning statik xususiyatlarini hisobga olish qobiliyati.
16. Turg‘unlikning Gurvis mezoni shartini ko‘rsating.
A) Xarakteristik tenglamaning koeffitsiyentlari noldan katta bo‘lishi
kerak.
B) Hech bo‘lmaganda bitta aniqlovchi noldan katta boiishi kerak.
C) Matritsaning diagonal elementlari noldan katta bo'lishi kerak.
D) Agar xarakteristik tenglamaning barcha tartibli koeffitsiyentlari
va aniqlovchilari noldan katta bo‘lsa.
17. Tizimning xarakteristik tenglamasi nima?
A) Tizimning dinamikasini aniqlovchi ildizlari.
B) Laplas o‘zgartirishini differensial tenglamalarga qo‘llanilishi.
C) Tizimning harakat xarakteristikasini aniqlovchi ildizlari.
D) Tizimning statikasini aniqlovchi ildizlari.
18. Agar ochiq tizim o‘ng yechimlarga ega bo‘lmasa, qaysi
holatda berk tizim turg‘un bo'ladi?
A) Agar ochiq tizimning AFX si (-1 jO) kritik nuqtani qamrab olmasa.
B) Agar ochiq tizimning AFX si (-1 jO) kritik nuqtani qamrab olsa.
144
C) Agar yopiq tizimning AFX si (-1 ,j 0) kritik nuqtani qamrab olmasa.
D) Ochiq tizimning AFX si (-1 jO) kritik nuqtani n marta qamrab
olmasa.
19.
Rasmda keltirilgan Mixaylov gadografiga qarab tizimning
turg‘unligi to‘g‘risida qanday fikr yuritishimiz mumkin?
A) Turg‘un.
B) Noturg‘un.
C) Turg‘unlik chegarasida.
D) Ma’lumotlar yetarli emas.
20. Turg‘unlik sharti to‘g‘ri keltirilgan javob variantini toping
A) t -» oo bo‘lganda y e(t) -> 0.
B) t —» ад bo‘lganda y m(t) -* 0.
C) t -» oo bo‘lganda y ,X t),ym(t)
0D) t —> oo bo‘lganda y .,(t),y m(t) -> 1.
21. Qaysi javobda A.M.Lyapunov tomonidan nochiziqli tizim­
larning chiziqlantirilgan tenglamalari uchun turg‘unlikning 1teoremasi to‘g‘ri keltirilgan?
A) Agar chiziqlantirilgan tizim xarakteristik tenglamasi hamma
ildizlarining haqiqiy qismi manfiy bo‘lsa, unda real tizim ham turg'un
bo‘ladi.
B) Agar chiziqlantirilgan tizim xarakteristik tenglamasi hamma
ildizlarining haqiqiy qismi musbat bo‘lsa, unda real tizim ham turg‘un
bo‘ladi.
C) Agar chiziqlantirilgan tizim xarakteristik tenglamasi hamma
ildizlarining mavhum qismi musbat bo‘lsa, unda real tizim ham turg‘un
bo‘ladi.
D) Agar chiziqlantirilgan tizim xarakteristik tenglamasi hamma
ildizlarining mavhum qismi manfiy bo‘lsa, unda real tizim ham turg‘un
bo‘ladi.
22. Turg‘unlikning algebraik mezonlari qaysi javobda to‘g‘ri
keltirilgan?
A) Gurvis mezoni, Rauss mezoni.
145
B) Gurvis mezoni, Mixaylov mezoni.
C) Naykvist mezoni, Rauss mezoni.
D) Mixaylov mezoni, Naykvist mezoni.
23. Turg‘unlikning chastotaviy mezonlari qaysi javobda to‘g‘ri keltirilgan?
A) Gurvis mezoni, Rauss mezoni.
B) Gurvis mezoni, Mixaylov mezoni.
C) Naykvist mezoni, Rauss mezoni.
D) Mixaylov mezoni, Naykvist mezoni.
24. Tizimning turg‘unligi xarakteristik tenglamalarning ildizlarini bisobga olmasdan turib aniqlaydigan qoidalar turg‘unlikning
qanday mezonlari deyiladi?
A) Algebraik.
B) Chastoraviy.
C) Logarifmik.
D) Ma’lumot yetarli emas.
25. Turg‘unlikning algebraik mezoni xarakteristik tenglamaning
... orqali tizimning turg‘unligi haqida fikr yuritish imkonini beradi.
A) Koeffitsiyentlari.
B) O'zgaruvchilari.
C) Operatorlari.
D) Ildizlari.
26. Xarakteristik tenglamaning hamma koeffitsiyentlarini musbat
bo‘lishi tizimning turg‘un bo‘lishi uchun qanday shart hisoblanadi.
A) Zaruriy shart.
B) Yetarli shart.
C) Zaruriy va yetarli shart.
D) Hech qanday shart hisoblanmaydi.
27. Rauss jadvalini to‘ldirish uchun qanday ifodadan foydalanamiz?
A) c..,, = C„H,_2 -r,c .+u_„ n-ustun, /-qator.
B) с v, = c„_iM - г с а_1М, и-ustun, /-qator.
C) c„, = c„+2.,-, - r,cH^ , , и-ustun, /-qator.
D) ctJ = c „t2.,_2 - r c „+2 j_3, и-ustun, /-qator.
146
28. Gurvis turg‘unlik mezonining zaruriy va yetarli sharti to‘g‘ri
keltirilgan javobni taniang.
A) и-tartibli chiziqli tizimning turg'un bo'lishi uchun berilgan tizimning
xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlardan tashkil topgan n ta
aniqlovchilar musbat bo‘lishi zarur va yetarli.
B) и-tartibli chiziqli tizimning turg'un bo'lishi uchun berilgan tizimning
xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlardan tashkil topgan n ta
aniqlovchilar manfiy bo'lishi zarur va yetarli.
C) и-tartibli chiziqli tizimning turg'un bo'lishi uchun berilgan tizimning
xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlar musbat bo'lishi zarur va yetarli.
D) и-tartibli chiziqli tizimning turg'un bo'lishi uchun berilgan tizimning
xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlar manfiy bo'lishi zarur va yetarli.
29. Gurvis aniqlovchisi (determinant) ning oxirgi tartibi
teng.
A) A„ = am■A„_,.
B) A„ = a •An_2.
C) An = a ti - Anl.
D) A_ = a 7 •ДлЧ.
n im a g a
30. Turg‘unlikning Iogarifmik mezonining to‘g‘ri tarifi keltiril­
gan javobni toping.
A) Agar ochiq tizim turg'un bo'lsa, unda berk tizim turg'un bo'lishi
uchun a>t < COo. (kesishish va o'tish chastotalari) sharti bajarilishi kerak. Aks
holda berk tizim noturg'un bo'ladi.
B) Agar ochiq tizim turg'un bo'lsa, unda berk tizim turg'un bo'lishi
uchun cok > &o. (kesishish va o'tish chastotalari) sharti bajarilishi kerak. Aks
holda berk tizim noturg'un bo'ladi.
C) и-tartibli chiziqli tizimning turg'un bo'lishi uchun berilgan tizimning
xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlardan tashkil topgan n ta
aniqlovchilar musbat bo'lishi zarur va yetarli.
D) и-tartibli chiziqli tizimning turg'un bo'lishi uchun berilgan tizimning
xarakteristik tenglamasida koeffitsiyentlar manfiy bo'lishi zarur va yetarli.
31. Parametrlar tekisligida ildizlarning tartibda joylashishiga
qarab sohalarga ajratuvchi egri chiziqlar to‘plamiga qanday
bo‘linish deyiladi.
A) Parametrlar tekisligining D-bo'linishi.
B) Parametrlar tekisligining S-bo'linishi.
C) Bir parametr va ikki parametrlar tekisligi.
D) Ikki parametrlar tekisligi.
147
32. D-bo‘linish chegarasini qarayotganda uni faqat chastotaning
qanday qiymatlari uchun qurish yetarlidir?
A) Musbat ya’ni о <m<». ■
B) Manfiy ya’ni да < со < 0.
C) Musbat va manfiy ya’ni oo < © < oo.
D) Ma’lumotlar yetarli emas.
33. Tarkibida bech bo‘lmaganda bitta kechikuvchi zveno bo‘lgan
avtomatik boshqarish tizimlari qanday tizimlar deyiladi?
A) Kechikuvchi.
B) Optimal.
C) Adaptiv.
D) Suboptimal.
34. Agar kechikish vaqti x minimal kritik kechikish vaqti t Kpmjn
dan kichik (ya’ni
bo‘lsa, avtomatik boshqaruv tizimi
qanday bo‘ladi?
A) Turg‘un.
C) Turg'unlik chegarasida.
B) Noturg‘un.
D) Bunday boiishi mumkin emas.
148
IV BOB. AVTOMATIK BOSHQARISH TIZIMLARINING
SIFAT KO‘RSATKICHLARINI TADQIQ QILISH
Tayanch so ‘zlar va iboralar: sifat ko‘rsatkichlari, bevosita va bilvosita usullar, rostlash sifatini baholash, o‘tish jarayonining sifat
ko‘rsatkichlari, rostlanish vaqti, o‘tarostlash, so‘nish dekrementi, oshish
vaqti, haholashning ildiz usuli, baholashning-chastota usuli.
4.1. Umumiy tushunchalar
Avtomatik boshqarish tizimlarining sifat ko‘rsatkichlari boshqarish
obyektining o:zi qanday bo‘lsa, shunday boshqaruvchi qurilmani, ya’ni
butun boshqarish tizimining xususiyatlari orqali aniqlanadi. Sonli
o‘lchagichlarga ega bo‘lgan va tashkil etuvchilar xossalarining ushbu
majmui boshqarish tizimlarining sifat ко ‘rsatkichlari deyiladi.
Avtomatik tizimlarning sifati istalgan texnologik qurilma qanday
bo‘lsa, shunday umumiy qabul qiligan, butun tizim, uning o‘lchamlari,
ishonchliligi, chidamliligi va boshqa ko‘rsatkichlari orqali baholanadi.
Ushbu umumtexnikaviy ko‘rsatkichlar yig‘indisi keng ma’noda
boshqarish tizimi sifatini tavsiflaydi [2 ,8 ,2 0 ].
ABN va avtomatlashtirish amaliyotida «tizimning sifati», «bosh­
qarish sifati» terminlari qoida bo‘yicha tor ma’noda faqat tizimlarning
statik va dinamik xossalarida ko!rib chiqiladi. Bu xossalar o‘rnatilgan va
o‘tish rejimlarda berilgan darajada boshqariluvchi kattaliklar (obyektning chiqish kattaliklari) ni ushlab turish aniqligini qayta aniqlash, ya’ni
boshqarish jarayonini samaradorligini ta’minlash imkonini beradi.
Faqat statik va dinamik xossalami qamrab olgan ABT sifatining tor
ma’nodagi bunday tushunchasi uchun «boshqarish sifati» termini
qo‘llaniladi. Miqdoriy shaklda ifodalangan tizimning o‘zini xossasi esa
boshqarishning sifat ко ‘rsatkichlari deyiladi.
0 ‘tkinchi jarayonning aniqligini va rostlash bir tekisligini xarakterlovchi sifat ko‘rsatkichlarga o‘tkinchi jarayon tezkorligi (o‘tkinchi
jarayon vaqti), tebranishlar soni (o‘tkinchi jarayonning tebranishlar soni)
hamda o‘tarostlash kiradi.
0 ‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglama bilan
ifodalangan tizim berilgan bo'lsin.
149
лip)
Ф)
Wip)
у(р)
Мр)
4.1-rasm.
Kirish kattaligi x(if) o‘zgarganda tizimning chiqishidagi
kattalikni o‘zgarishini quyidagicha ifodalash mumkin
J< 0 = y. ( 0 + У«(0 »
y(t)
(4-1)
bunda, y (t) - tizimni ifoda etuvchi tenglamaning umumiy yechimi;
y e(t) - shu yechimning erkin tashkil etuvchisi.
Agar y e{t) karra ildizga ega boimasa, unda
У.(.0 = ±С ,е*>
bunda, C. - tizimning parametrlari va bosh!ang‘ich shartlarga bogiiq
boigan o‘zgarmas son; p t - berk tizimning xarakteristik tenglamasi,
A (p) = 0 ildizlaridir.
y m(t) - kirish signali x(/)ning o‘zgarishiga bogiiq boigan o'tkinchi
jarayonni qaror rejimini ifodalovchi majburiy tashkil etuvchidir.
(4.1)
tenglamadan ko‘rinib turibdiki, oikinchi jarayonning sifatini
uning yX t) va y m(t) tashkil etuvchilari yordamida aniqlash mumkin
ekan. Shu nuqtayi nazardan qaraganda rostlash jarayonining sifatini
aniqlash yoki baholash ikki guruhga boiinadi:
Birinchi guruh - erkin tashkil etuvchi y e(t) hisoblanib, o‘tkinchi
jarayonni ifodalovchi sifat ko‘rsatkichi.
Ikkinchi guruh - tizimning aniqligini belgilovchi o‘tkinchi jarayon­
ning majburiy tashkil etuvchisini y j t ) xarakterlovchi sifat ko‘rsatkichlari.
Boshqarish sifatini tahlili uchun baholashning bevosita va bilvosita
usullaridan foydalanish mumkin.
О‘tkinchi jarayon egri chizigi bo‘yicha aniqlangan sifat ko‘rsatkichlarini tizimning sifatini bevosita baholash usuli deyiladi.
150
0 ‘tkinchi jarayon egri chizig‘ini tajriba hamda nazariy yo‘l bilan
olish mumkin. Ayrim hollarda yuqori tartibli tizimlar uchun o‘tkinchi
jarayon egri chizig‘ini aniqlash ancha qiyinchilik tug‘diradi, Bunday
hollarda o‘tkinchi jarayon egri chizig‘ini aniqlamasdan turib shu
jarayonning sifatini baholashga to‘g‘ri keladi. 0 ‘tkinchi jarayon egri
chizig‘ini aniqlamasdan turib, shu jarayonning sifatini baholashga imkon
beruvchi usul sifat ko'rsatkichlarini baholashning bilvosita usuli deyiladi
[8,23]. Sifat ko'rsatkichning bilvosita usullariga quyidagilar kiradi:
so'nish usuli; integral usuli; chastotaviy usul.
• Sifat ko‘rsatkichining o'ziga xos turkumiga integral baholash kiradi.
Ushbu baholashda bevosita tizimning o‘tish funksiyasi bo'yicha yoki
tizimning uzatish funksiyasi koeffitsiyentlari bo‘yicha hisoblanadi.
4.2. Barqaror rejimda rostlash sifatini baholash
Quyidagi blok-sxemani ko‘rib chiqamiz (4.2-rasm):
MO
4.2-rasm.
Bu yerda xatolik bo‘yicha uzatish funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:
y ib( 0 = W (p )-s(t),
s(i) = g(t) - у a{t) = g (0 - w ( p )s (0 .
<
0 [(1
+^ ))]= я (0 -
Tasvirga o‘tamiz
s(p )^ + W (p )]= g (p ),
bu yerda, W ^ p ) - xatolik bo‘yicha uzatish funksiyasi.
151
Agar g (t),0 < t <co oraliqda difterensiallovchi boisa, tizimning
xatoligi s ( t ) ni quyidagicha ifodalash mumkin.
s (t) = C0g (t ) + Clg '(J) +
+ ••■+ % g'-'Xt) •
ml
2!
(4.2)
Bu yerda Со, С/, C^, ..., Cm - xatolik koeffitsiyentlari deb ataladi.
Xatolik koeffitsiyenti xatolik bo‘yicha uzatish funksiyasi asosida
quyidagi formula bilan aniqlanadi:
C0 =Hm W „ ( p ) ;
c , = i ™ ^ ( p ) - c 0t
C a = lta ^ J p )-C ,-C ,p l
C- =
~ Co~ Cxp - . . . - C ^ p ~ ' l
Bu yerda Co — statik xatolik koeffitsiyenti, Ci - tezlik bo‘yicha
xatolik koeffitsiyenti, С2 - tezlanish bo‘yicha xatolik koeffitsiyenti
deyiladi.
Agar kirish signali g(0=l(/) boisa, C„ = \imlV^(p),Ct =C 2 = ...=C =0
boiadi.
Agar kirish signali g(t)=t boisa,
C„ = lim ^„(p),C, =
C.],
C2= ...= C„= 0
va
hokazo
boiadi.
Statik tizim larda Co koeffitsiyenti noldan farqli.
1 - tartibli astatizmli tizimlarda C0 = 0; С, Ф 0.
2 - tartibli astatizmli tizimlarda C0 = 0; C, = 0; C2 * 0.
Integral zvenolaming soni oshishi bilan tizimning aniqligi oshadi,
lekin bu holda tizimning turg‘unligi jiddiy ravishda kamayadi.
Nisbatan sekin o'zgaruvchi ta’sirlarda odatda xatoliklar koef­
fitsiyenti usuli qoilaniladi.
4.3. P og‘anali signal ta’siri orqali o ‘tish jarayonning
sifat ko‘rsatkichlari
Tizimning pog‘onali signaldan olgan reaksiyasiga o‘tkinchi funksiya
deyiladi. Tizimning o‘tkinchi xarakteristikasi bo‘yieha quyidagi sifat
ko‘rsatkichlarini aniqlash mumkin (4.3-rasm):
4.3-rasm. 0 ‘tkinchi xarakteristika.
1)
Rostlanish vaqti yoki o‘tkinchi jarayon vaqti - tr. Bu rostlanuvchi
qiymat o‘zining qaror qiymatiga ma’lum 4 darajada aniq bo‘lishi kerak,
ya’ni
bu yerda A - tizim tezkorligini ifodalovchi
A = (2 -- 5)%h^r bo‘ladi).
2 ) 0 ‘ta rostlash (yoki maksimal rostlash) - a ,%
qiymat
(odatda
h -h
£7 = ^ ---- —-1 0 0 %.
hV*
0 ‘tkinchi xarakteristikani qaror qiymatdan qanchaga o‘zgarganligini
(og‘ganligini) bildiradi.
3) Tebranishlar soni - //. h(t) xarakteristikani tebranishlar soni
odatda ju < (I -r 2 ) gacha, ayrim hollarda ju < ( 3-^4) gacha bo'lishi
mumkin.
«
153
4) Oshish vaqti - to, bu h(t) xarakteristikani h qiymatining
birinchi uchrashgan nuqtasidir.
5) Maksimal vaqt . h(t ) xarakteristikaning maksimal qiymatga
erishishga ketgan vaqt.
2 7t
2тг
6 ) Tebranish chastotasi (davri) —со = — yoki T = — .
7) So‘nish dekrementi - %, buning fizik ma’nosi o‘tkinchi
xarakteristikaning so‘nish tezligini bildiradi
Pog‘onali signalda tizim uchta ko‘rinishda bo‘lishi mumkin:
1 ) monoton jarayon;
2 ) aperiodik jarayon;
3) tebranuvchi jarayon.
4.4-rasm.
0
‘tkinchi xarakteristika h(t)m nazariy tomondan topadigan bo‘lsak,
h(t) = L '
ifoda orqali amalga oshiramiz. O'tish funksiyasini
bevosita qurish uchun ABT uzatish funksiyasining qutblarini bilish
zarur. ABT uzatish funksiyasining tartibi yuqori bo‘lganda uning qutb­
larini aniqlash ancha qiyin. ABT sifatini baholovchi bilvosita usullarga
chastota usullari (sifat to‘g‘risida chastota xarateristikalari bo‘yicha
hukm chiqarish) va muhandislik amaliyotida kamdan-kam qo‘llanuvchi
ildiz usullari (sifat to‘g‘risida ABT uzatish funksiyasi qutblari) taalluqlidir.
154
4.4. R ostlash sifatini baholashning ildiz usullari
Bu usul xarakteristik tenglamaning chegaralarini aniqlashga va o‘tish
jarayonining sifati bilan ko‘rsatilgan chegaralar orasidagi bog‘liqlikni
aniqlashga asoslangan.
Bu usul o‘tish jarayonining tebranuvchanligini va rostlash vaqtini
yetarli darajada tez aniqlashga imkon beradi [14,20,26].
Quyidagi tenglamani ko‘rib chiqamiz:
CoP"
+ С У 1+... + Cn= 0.
Agar o‘zgaruvchi x rostlanuvchi kattalik bo‘lsa, quyidagi tenglama
bilan ifodalanadi:
x(t)= 'ZA,ep/,
i=1
bu yerda, p t -
e(t) = Cag(t) + Clg\ t ) +
2!
+ ... + C~ g {’"(t)
ml
-
xarakteristik tenglamani ifodalaydi, /-1,2,3,.. .n - ildizlar.
Rostlash vaqti tr ichida o‘zgaruvchi xltr=\lm bo‘lganda o‘zining
boshlang‘ich qiymatiga tenglik shartini yozish talab qilinadi.
Bu yerda m birorta butun musbat son, m - ko‘pincha 20 ga teng qilib
olinadi, shunda I/от=1/20=5% boMadi.
Bu holda xarakteristik tenglama turg‘unlik shartlarmigina qanoatlantirib qolmaydi.
4.5-rasm. Tizimning o'tish grafigL
155
Bu tenglamaning ildizlari mavhum o‘qdan a - kattaligjdan kichik
masofada boim asligi kerak.
a - kattaligi tTva l/m lar bilan quyidagicha bogiangan:
l/m = e a' .
Bu ifodani logarifmlaymiz - \nnv=-atr, a
In m
Shunday qilib, mavhum o‘q bilan unga yaqin joylashgan ildizlar
orasidagi masofa
rostlash vaqtidan katta boim asligi zarur.
^г
Tekshirish uchun yangi o‘zgaruvchi kiritamiz: z = p + ^ -~ va quyidagi
^r
shart bajarilishini ко‘rib chiqamiz: 1 lm = e ~ a t .
Yangi o‘zgaruvchi z - uchun mavhum o‘q P - tekisligida
In»*/ kattalikda chapga surilgan boiadi, u holda xarakteristik
tenglama quyidagi ko‘rinishda boiadi:
CoO
Г+
+ ... + Cn = 0 .
(4.3)
Oxirgi tenglamadagi har bir ayirmaning darajasi darajali qatorga
yoyilishi mumkin:
In/я'
„. In m n(n - 1) „2[ In m ’
-----+ - 1----- -z ' —
К у
l21
' l- '
\nm
и (и - 1)(и~ 2 )_z In m
-----+ ... + ( - 1)"
3!
I t /
z ’ -r n
(4.4)
Agar (4.3) - tenglama uchun (4.4) - qatorga yoyish shartini hisobga
olgan holda turg‘unlik sharti bajarilsa, tizimning rostlash vaqti tr dan
katta boimaydi.
Bu usulning geometrik shakli 4.6-rasmda keltirilgan.
cos (p kattaligi tizimning so‘nish koeffitsiyenti deyiladi. Bu kattalik
qancha kichik boisa, tizim shunchalik tebranishlarga moyil boiadi. a
kattaligi esa turg‘unlik darajasini aniqlaydi.
156
4.6-rasm.
4.5. O'tish jarayoni sifatining integral baholari
Bu usul asosida ideal tizimga nisbatan real tizimlarda o‘tayotgan
o‘tish jarayonining chetlanishini tavsiflovchi integral ko‘rsatkichlar
yotadi.
Ideallashtirilgan o‘tish jarayoni sifatida pog‘onali yoki eksponensial
o‘tish jarayonlari olinadi.
Integral ko‘rsatkichlar yoki integral baholash rostlanayotgan
kattaliklaming berilgan qiymatidan olingan xususiy integralni aniqlaydi
[11,20,23],
Quyidagi 3 ta integral baholash ko‘p qo‘llaniladi:
J, = J x d t,
0
J i = °\xld t ,
0
J 3 = {[x2 + t 2 (x' У \ i t ,
0
bu yerda x=x(t) - rostlanayotgan kattalikning berilgan qiymatdan
chetlanish funksiyasi; x - vaqt o‘lchoviga ega bo‘lgan kattalik.
Quyida keltirilgan integral baholashni tahlil qilamiz:
0 ‘tish jarayoni monoton xarakterga ega bo‘lganda, J/ baholash
qo‘llaniladi (4.7a-rasm). Ji - qanchalik kichik bo‘lsa, jarayon shuncha
yaxshi bo‘ladi.
Ji baholash tebranma o‘tish jarayonlari uchun qo‘llanilsa, noto‘g‘ri
natija beradi (4.7Z)-rasm).
Tebranma o‘tish jarayonlarining sifatini baholash uchun./? baholashdan foydalanish kerak (4.7<i-rasm).
157
4:7-r asm.
J 2 ni qoilashda juda ham ehtiyot bo‘lish kerak, chunki aniq doimiy
vaqtli o ‘tish jarayonlariga nisbatan kuchli tebranma o‘tish jarayonlari
hollari bo‘lishi mumkin, u holda sifatni J 2 orqali ifodalash mumkinJ 2 o‘tish jarayonining ravonligini aks ettirmaydi, shuning uchun J 2
baholashda o‘tish jarayonining ravon o‘tishini hisobga oluvchi ba’zi bir
parametrlami qo‘shish zarurati tug‘iladi. J3 baholash o'tish jarayonining
ravon o‘tishini hisobga oladi.
J3 baholashga muvofiq ideallashtirilgan o‘tish jarayoni qilib
pog‘onali funksiya emas, balki eksponensial funksiya olinadi.
4.6. Rostlash sifatini baholashning chastota usullari
Avtomatik tizimlarning sifatini tahlil qilishda bu usul keng qo‘llaniladi.
Bizga o‘ng va nol qutblari bo‘lmagan tizimning uzatish funksiyasi
W(p) berilgan bo‘lsin. Bu tizimning vazn funksiyasini aniqlash uchun
Furening teskari almashtirishidan foydalanish mumkin
a>{t)=
J W(jm)e,a'do>- —
-J W
2 ж -»
2n —
»
cos at + sin cot)dm■
(4.5)- tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
158
(4-5)
I
м5
1
.
(4-6)
•
a)(t ) = — j R o W ( j m ) c o s a ) td a ) ------ \ J aW(ja))sino)tdco,
71 о
7t о
t< 0 boiganda, vazn funksiyasi nolga teng boiishini va sin©/ toq
funksiya ekanligini hisobga olib, (4.6) tenglamani quyidagicha yozish
mumkin:
J
J
co(t) = — Re W(jco) cos cotdm + — Jmsin cotdm = 0 •
71 о
(4.7)
7t о
(4.5) - tenglamadan
(4.8)
ReW (jco) cos cot = - J mW(jco)sin cot.
(4.5) va (4.8) - tenglamalar asosida quyidagini yozishimiz mumkin:
2
“
co(t) = —J Re W (jco) cos cotdco
71 о
(4.9)
*
co(t) = — J J W (jco) sin cotdco
2
71 о
Agar tizimning kirishiga birlik pog‘onali funksiya ta’sir qilayotgan
boisa, o‘tish funksiyasi h(t) ni quyidagicha ifodalash mumkin [23,26]:
2
'
h(t) - J co(t)dt = } —jReW (jco) cos cotdco
71 о
A = 2 j P W r i n « <(iOi(4_10)
Жо
CD
bu yerda P(co) - tutash tizimning haqiqiy chastota tavsifi.
(4.10) - tenglama avtomatik tizimlarning sifat tahlilida asos qilib
olinadi. (4.10) - tenglama asosida o‘tish jarayonini qurishning trapetsiya
usuli yoki V.V.Solodovnikovning h funksiya usulini ko‘rib chiqamiz.
Bu usulga asosan boshlang‘ich haqiqiy chastota tavsifi tipik
trapetsiya]arga bo‘linadi va Solodovnikovning h - funksiya jadvali
bo‘yicha har bir trapetsiya uchun o‘tish jarayoni quriladi va tipik o‘tish
funksiyalarini algebraik qo‘shish y o ii bilan izlanayotgan o‘tish jarayoni
hosil qilinadi.
Faraz qilamiz, tutash tizimning haqiqiy chastota tavsifi 4.8-rasm kabi
berilgan.
159
Р(0)
■ (Od
(Во
4.8-rasm.
bu yerda m - tizimning o‘tkazish yo‘li, a)d - tizimning bir tekis
o‘tkazish yo‘li.
0 ‘tish funksiyasi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi.
2iP .sin a> t T 2 °? a -b . ,
h(t) = —j —-------- da) + —J ------ -sin tdco.
n 0
03
n vd
03
Oxirgi tenglamada a va b ni quyidagicha aniqlash mumkin:
ft).
a = P (0 )— ^ — = P(0)
-<xs
1
ft)0 - а»,
1- A
o)
й)
Qabul qilingan belgilashni hisobga olib, P(0)=1 uchun oxirgi ifodani
integrallaymiz
% 1- A
s ir -A s ir +
COS T —COS T
bu yerda
•tsm&t ■
si т- j ------- аоз
о 03
-
integral smus
T=O30 t
Oxirgi ifoda birlik trapetsiya uchun o ‘tish funksiyasini tasvirlaydi va
u vaqtga nisbatan o‘lchamsizdir. Quyidagi tenglamalar orqali oichamli
vaqt va modulga o‘tish mumkin:
160
й( 0 = В Д - Д О ) ;
t=~ .
Haqiqiy chastota tavsifming va ularga mos keladigan o‘tish jarayonining asosiy xossalarini ко‘rib chiqamiz:
1) Chiziqli xossasi: agar haqiqiy chastota tavsifini yig‘indi holda
ifodalash mumkin boisa, u holda
Р(со) = ^ Р (& )
, _
2%PX<0) .
, Г
h, ( 0 = —J—-----sm cotdm
Л
0
о
(4Л1)
CO
‘tish jarayonini ham yigindi holda ifodalash mumkin:
K t)-= ±/=IR X t)-
(4.12)
2) Ordinata o‘qi bo‘yicha P(co) va h(J) masshtabining mos kelishi. Agar
P(to) ni doimiy ko‘paytuvchi a ga ko‘paytirilsa, h(t) ning mos qiymatlari
ham a ko'paytuvchiga ko‘payadi.
3) P(oj) va h(t) ning abssissa o‘qi bo‘yicha masshtablarining mos
kelishi.
Agar argument со chastota tavsifming mos ifodasi doimiy songa
ko‘paytirilsa, u holda argument o‘tish jarayoniga mos keladigan ifodada
shu songa boiinadi (4.9a,fr-rasm).
4.9-rasm.
161
4) Haqiqiy chastota tavsifming boshlang‘ich qiymati o‘tish tavsifining oxirgi qiymatiga teng:
lim
e»-+Q
= lim x(t) = lim h (t).
a i—* 0
a)->oo
Mavhum chastota tavsifining boshlang'ich qiymati
S(0)=0.
5) Haqiqiy chastota tavsifming oxirgi qiymati o‘tish tavsifi originalining boshlang‘ich qiymatiga teng:
lim P(0) = limxf/) = lim h (t).
6 ) Tizim o‘tish tavsifining o‘ta rostlanishi 18% dan oshmasligi uchun
(cr<18%) haqiqiy chastota tavsifi chastotaning musbat o‘sib
bormaydigan funksiyasi bo‘iishi kerak, ya’ni
0
da — ^ < 0
da
bo‘lishi kerak
7) 0 ‘tish jarayonining monoton bo‘lish sharti (4.11-rasm)
4.11-rasm.
P(a >) > 0 da
dP
dca
< 0.
0 ‘tish jarayoni monoton xarakterga ega bo'lishi uchun, unga mos
keladigan haqiqiy chastota tavsifi musbat va chastotaning funksiyasi
162
bo'lishi hamda uning hosilasi manfiy va absolyut qiymati kamayib
boruvchi bo'lishi kerak, ya’ni
P(co) > 0,
dP(a>)
<0 .
d(o
8)
O'tish jarayonining o'ta rostlanishini eng katta qiymatini haqiqiy
chastota tavsifming maksimumi bo'yicha topish
^ = [U
8/L
- P ( 0 )y/»(0 ),
bu yerda Pmx - P(a>) ning maksimal qiymati, P(Q)-P(a>) ning boshlang'ich qiymati.
9) Agar haqiqiy chastota tavsifi trapetsiya ko'rinishiga yaqin bo'lsa, uni
chastotalar doirasi а>2 va nishablik koeffitsiyenti % = — orqali ap0 ,
proksimatsiya qilish mumkin.
4.13-rasm.
163
Bunda — < t r — agar Pfco) maksimumga ega bo‘lsa, — < / . —
co2 r <x>2
ю г
ф г
bo‘ladi.
Nazorat va muhokama savollari
1. Avtomatik boshqarish tizimlarining sifat ko‘rsatkichlarini bevosta
baholash usulini tushuntirib bering.
2. Sifat ko‘rsatkichlarini baholashning bilvosita usulini deb nimaga
aytiladi?
3.Barqaror rejimda rostlash sifatini baholashda xatolik bo‘yicha uza­
tish funksiyasi qanday aniqlanadi?
4. Xatolik bo‘yicha uzatish funksiyasi asosida xatolik koeffitsiyentlari qaysi formula orqali hisoblanadi?
5. Qanday ta’sirlada xatolik koeffitsiyenlari usulini qoilash
maqsadga muvofiq?
6 . 0 ‘tkinchi xarakteristika bo‘yicha tizimning qanday sifat ko‘rsatkichlarini aniqlash mumkin?
7. Rostlash sifatini baholashning ildiz usuli qaysi chegaralar orasidagi
bogiiqlikni aniqlashga asoslangan?
8 . Rostlash sifatini baholashning ildiz usulida so‘nish koeffitsiyenti
nimaga bog‘liq?
9.0 ‘tish jarayoni sifatining integral baholash usuli asosida nima
yotadi?
10. Eng ko‘p qoilaniladigan integral baholash usuli ifodalarini keltiring.
11. Rostlash sifatini baholashning chastota usulida haqiqiy chastota
tavsifi va ularga mos keladigan o‘tish jarayonining asosiy xossalarini
tushuntirib bering.
12. Rostlash sifatini baholashning chastota usulining afcalligi va
qo‘llanilishi to‘g‘risida nimalar deyish mumkin?
Test savollari
1.0 ‘tarostlash qiymati qaysi xususiyatni ko‘rsatadi?
A) 0 ‘tish vaqti.
B) Maksimal dinamik xatolik.
C) Sezuvchanlik.
D) Asllik.
2 . 0 ‘tkinchi jarayon vaqti qaysi xususiyatni ko‘rsatadi?
A) Doimiy vaqt.
B) Statik holati.
C) Sezuvchanlik.
D) Asllik.
3. Tizimning statik xatoligi asosan qaysi parametrga bog‘liq?
A) Vaqt doimiysi.
B) Kuchaytirish koeffitsiyenti,
C) Kechikish vaqti.
D) Vaqt doimiysi va kuchaytirish koeffitsiyenti.
4.0 ‘tarostlash qiymati qaysi ifoda bilau hisoblanadi?
A) h j K .
В) h j h m .
Q (/»„ - К )/Л_ ■
D)
. 100%.
5.Boshqarish tizimining tezligini oshirish usulini ko‘rsating.
A) Tizim tarkibiga integrallovchi zveno kiritish orqali.
B) Tizim tarkibiga kuchaytiruvchi zveno kiritish orqali.
C) Tizim tarkibiga korrektlovchi zveno kiritish orqali.
D) Tizim tarkibiga differensiallovchi zveno kiritish orqali.
6.Boshqarish tizimining aniqligini oshirish usulini ko‘rsating.
A) Tizim tarkibiga differensiallovchi zveno kiritish orqali.
B) Tizim tarkibiga integrallovchi zveno kiritish orqali.
C) Tizim tarkibiga kuchaytiruvchi zveno kiritish orqali.
D) Tizim tarkibiga korrektlovchi zveno kiritish orqali.
7 .0 ‘tkinchi jarayon egri chizig‘i bo‘yicha aniqlangan sifat ko‘rsatkichlarini tizimning sifatini baholashning qanday usuli deyiladi?
A) Bevosita.
B) Bilvosita.
C) Xatolik koeffitsiyentlar.
D) Chastotaviy.
165
8.Ayrim hollarda yuqori ta'rtibli tizimlar uchun o‘tkinchi jara­
yon egri chizig‘ini aniqlash ancha qiyinchilik tug‘diradi. Shunday
hollarda o‘tkinehi jarayon egri chizig‘ini aniqlamasdan turib shu
jarayonning sifatini baholashga imkon beruvchi usulni sifat ko‘rsatkichlarini baholashning qanday usuli deyiladi?
A) Bevosita.
B) Bilvosita.
C) Xatolik koeffitsiyentlar.
D) Chastotaviy.
9.Barqaror rejimda rostlash sifatini baholashda xatolik koeffitsiyentlari qanday ifoda yordamida aniqlanadi?
A ) Cn =ШпЛ[Ф J P ) ~ C . - C , p - . J C ^ ]•
'
p
B ) c j =limJr K ( p ) - C , - C , p ] -
C ) с . = ь ^ ф» - сл-
10. Pog‘onaIi signallar ta’siri orqali o‘tish jarayonining sifatini
baholashda so‘nish dekrementi qanday topiladi?
-h
h№ —hijar
A) x =
100 %•1 0 0 %\h —h*
К
C)
2
=
h.
D)^ =
•100 %-
•
100%
-
11. Rostlash sifatini baholashning iidizli usullari nimaga asoslangan?
A) Xarakteristik tenglamaning chegaraiarini aniqlashga va o‘tish
jarayonining sifati bilan ko‘rsatilgan chegaralar orasidagi bogiiqlikni
aniqlashga asoslangan.
B) Xarakteristik tenglamaning chegaraiarini aniqlashga asoslangan.
C) 0 ‘tish jarayonining sifati bilan ko‘rsatilgan chegaralar orasidagi
bogiiqlikni aniqlashga.
D) Bu usul o‘tish jarayonining tebranuvchanligini va rostlash vaqtini
yetarli darajada tez aniqlashga imkon beradi.
166
12.
Rostlash sifatini baholashning ildizli usullarini аГ/Jilllgl
(qanday imkon beradi)?
A) Xarakteristik tenglamaning chegaralarini aniqlashga va o'tish
jarayonining sifati bilan ko‘rsatilgan chegaralar orasidagi bog‘Iiqlikni
aniqlashga asoslangan.
B) Xarakteristik tenglamaning chegaralarini aniqlashga asoslangan.
C) 0 ‘tish jarayonining sifati bilan ko‘rsatilgan chegaralar orasidagi
bog‘Iiqlikni aniqlashga.
D) Bu usul o‘tish jarayonining tebranuvchanligini va rostlash vaqtini
yetarli darajada tez aniqlashga imkon beradi.
167
V BOB. CHIZIQLI AVTOMATIK BOSHQARISH
TIZIMLARINI SINTEZLASH
Tayanch s o ‘zlar va iboralar: sintezlash, logarifmik-chastotaviy
xarakteristika, zaruriy uzatish koeffitsiyenti, kesishish chastotasi, so‘nish
chastotasi, amlituda bo'yicha zaxira, faza bo‘yicha zaxira, korreksiyalovchi qurilma, korreksiyalangan tizim, barqarorlashtiruvchi nomogramma, o‘rta chastotali asimptota.
5.1. Sintezlash masalasining qo‘Uanilishi
ABTni sintezlash deganda uning struktura sxemasini va aiohida
zvenolarning parametrlari qiymatini shunday tanlash tushuniladiki,
bunda barqarorlashgan tartibda berilgan aniqlik va o‘tish jarayonlarining
maqbul xarakteristikasi ta’minlanadi.
Hozirgi vaqtda sintezlash masalasiga nisbatan ikki xil fikr mavjud.
Birinchidan, sintezlash variatsion masala kabi talqin etilib, ABT
shunday quriladiki, berilgan ishlash sharoitlarida xatolikning nazariy
minimumi ta’minlanadi. Ikkinchidan, sintezlash muhandislik masalasi
kabi talqin etilib, ABT shunday quriladiki, unga quyilgan texnik talablar
ta’minlanadi. Muhandislik sintezlashda ABT dagi istalgan dinamik
sifatlarni ta’minlash maqsadida uning biror o‘zgarmaydigan qismiga
qo‘shilishi lozim bo‘lgan korreksiyalovchi vositalarning ko‘rinishi va
parametrlar aniqlanadi [8,14,20].
Avtomatik boshqarish tizimini muhandislik sintezlarida, birinchidan,
istalgan aniqlikni va ikkinchidan, o‘tish jarayonlarining maqbul
xarakterlarini ta’minlashi lozim.
Birinchi masalaning yechilishi ko‘p hollarda tizimning istalgan
umumiy kuchaytirish koeffitsiyentini va zarur boiganda tizim aniqligini
oshiruvchi korreksiyalovchi vositalar ko‘rinishini aniqlashga keltiriladi.
Qiymatlami parametrlarning katta bo‘lmagan soniga nisbatan o‘matilishi zarurligi natijasida yechim nisbatan sodda boiadi. Eng oddiy
holda tizmining faqat umumiy kuchaytirish koeffitsiyentini topish zarur.
Ikkinchi masalaning yechilishi - o‘tish jarayonlarining maqbul
xarakterini ta’minlash - katta sonli parametrlarning variatsiyalanishi va
tizimni dempferlash masalasi yechimining ko‘p ma’noligi natijasida
deyarli har doim qiyinroq bo‘ladi. Shuning uchun mavjud muhandislik
usullari faqat ikkinchi masalani yechish bilan chegaralanadi.
168
5.2. Logarifmik chastota xarakteristikalari
usuli yordamida sintezlash
ABTni sintezlashda uning asosiy elementlari (boshqarish obyekti,
datchiklar, ijro qurilmalari) berilgan deb hisoblanadi va uni shunday
korrelatsiyalash lozimki, tizimning istalgan sifati (berilgan aniqligi,
tezkorligi, barqarorligi) ta’minlansin.
Sintezlash masalasining yechimi umuman olganda bir ma’noli,
chunki berilgan sifat ko‘rsatkichlarini qanoatlantiruvchl bir ma’noli,
ammo turli korreksiyaga ega bo'lgan ABT larni yaratish mumkin. ABT
ni shunday loyihalash lozimki, korreksiyalovchi qurilmalar (KQ) oddiy
bo‘Iishi, korreksiya esa oddiygina amalga oshirilishi lozim.
Hozirgi vaqtda logarifinik xarakteristikalardan foydalanib korrek­
siyalash usullari eng ko‘p tarqalgan bo‘lib, minimal-fazaviy tizimlar
uchun faqat LAChX ni qo‘llashkifoyadir (5.1-rasm).
5.1-rasm. ABTni korreksiyalash.
Texnik topshiriq asosida korreksiyalangan tizim LAChX Lt(o)
quriladi. Shu bilan birga dastlabki tizim ma’lum xarakteristikalar
bo‘yicha LD(a>) quriladi. Ikkala LAChX ni taqqoslash asosida hamda
keyingi texnik amalga oshirishning soddaligi nuqtayi nazaridan
korreksiya sxemasi (ketma-ket, teskari bog‘lanishli, kombinatsiyalashgan) tanlanadi. Undan keyin korreksiyalovchi qurilma LAChXsi
Lkq(<y) topiladi va tanlanadi. Turli korreksiya sxemalari va mos KQ lar­
ni ko‘rib, ulardan eng yaxshisi tanlanadi.
Texnik topshiriqda tizimga quyidagi shartlar qo‘yiladi [8 ]:
1)
aniqlik sharti: a) y0t maksimal amplituda va со, chastotali y 0 topshiruvchi garmonik ta’sirning (odatda kuzatuvchi tizimlar uchun) yoki
169
y 0l maksimal tezlik va y 0sh tezlanishlarga ega bo'lgan ixtiyoriy ta’sirlaming tizimda ishlanishidagi joiz xatolik,
b)
tizimning astatizm tartibi v yoki statik ba’zan kinetik xatolikka
yo‘l qo‘yilmasligi:
2 ) tezkorlik shartlari: sakrama (pog‘onali) ta’sirni ishlanishdagi
rostlash vaqti t s yoki tizimning kesilish chastotasi &K;
3) barqarorlik ко 'lami sharti: faza bo'yicha Aq> va modul bo‘yicha
AL ko‘lam, yoki pog‘onali ta’simi ishlashdagi joiz ortiqcha rostlash h,
yoki tebranish koeffitsiyenti M m (odatda kuzatuvchi tizimlar uchun).
5.3. Texnik topshiriq bo‘yicha LAChX ni qurish
Amalda barcha sifatli ABT lar chastota xarakteristikalarda namunaviy xususiyatlarga yoki na’munaviy LAChX larga ega. Namunaviy
LAChX lar uchun ulaming parametrlari va texnik topsbiriqlardagi
parametrlar orasida bir ma’noli bog‘lanishni barqarorlashtiruvchi
nomogrammalar hisoblangan. Korreksiya qilingan LAChX qurish past
chastotali sohadan boshlanadi [8,23].
1.
Past chastotaiar sohasida tizimning aniq ishlash shartidan
koordinatalari nazorat nuqta К ning holati aniqlanadi, bu yerda com- topshiruvchi ta’siming maksimal chastotasi
L„ = i(ffl ) = 20 lg Wk( j v , ) - 20 Ig
(5.1)
bu yerda, Lm- shu chastotadagi kuchaytirish koeffitsiyenti (db).
ABT aniqligini garmonik signalning tiklanishi bo‘yicha osongina
baholash mumkin. Agar texnik topshiriq bo‘yicha tiklash uchun eng
qiyin bo'lgan topshiruvchi ta’sir quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsa:
yo( 0 = 3'o.-sma).i,
ABT xatoligi amplitudasi quyidagicha aniqlanadi:
(5.2)
170
chunki ish chastotasi diapazonida odatda WJjco) > l , e m< epiz shartidan
(5.1) ni olamiz. Agar texnik topshiriqda topshiruvchi ta’siming
maksimal tezligi y 0m va maksimal tezlanishi y 0m berilgan boisa, uni
quyidagi chastota va amplitudaga ega boigan ekvivalent garmonik
ko‘rinishga keltirish mumkin:
=Уо.(у*.У''>у<ш = .К Х Ю ~ 1К nuqta orqali Lk(со) kirishi mumkin boimagan taqiqlangan zonani
aniqlovchi ikkita asimptota o‘tkaziladi (5.2-rasm). Birinchi asimptota
(co<a>m uchun) ( - v - 2 0 ) db/dek og‘ish bilan o‘tkaziladi, bu yerda v texnik topshiriqda berilgan tizim astatizmi tartibi. Ikkinchi asimptota
(со > соm) uchun ogish bilan o‘tkaziladi. Agar v kattalik berilmagan
boisa, ammo texnik topshiriqda statik
yoki kinetik ekm xatolikning
mumkinligi yoki yo‘qligi shartlari izohlangan boisa, v kattalik quyidagi
sxema bo‘yicha tanlanadi:
esi it- 0 —>• v = 0 ;
elh 5 t0 -> v = l;
est = 0 , еш = 0 -> v > 2 .
Shuni aytish lozimki, ABT narxi va murakkabligi odatda astatizm
tartibi oshishi bilan oshadi. Korreksiyalangan tizim LAChX si [ft> > cDm]
chastotagacha kuchaytirish kaskadlarining minimal soni bilan
kifoyalanish uchun odatda joiz soha chegarasi bo‘yicha o‘tkaziladi.
2.
0 ‘rtacha chastotalar sohasida [a>2,a),] istalgan tezkorlikni
ta’minlagan holda o)t nuqta orqali (-2 0 ) db/dek og‘ish bilan asimptota
o‘tkaziladi (5.2-rasm). cd. nuqta texnik topshiriqda beriladi yoki berilgan
rostlash vaqti kattaligi ’oo‘yicha topiladi:
=24-4.
h
171
5.2-rasm. Korreksiyalangan tizimning logarifmik ampUtuda
chastota xarakteristikalarini qurish.
Minimal fazaviy tizimlar uchun LAChX ning bunday og‘ishi
kesmalar uzunligini tegishli ravishda tanlanganda ABT
barqarorligini ta’minlaydi. Bu kesmalar qanchalik uzun bo‘lsa, faza
bo‘yicha zaxira shunchalik katta va tebranish shuncha kichik bo‘ladi
(tizimning kuchliroq dempferlanishi). Odatda, bu chegaralar uzunligini
<ot dan ikki tomonga qarab ( 0 ,2 - 0 ,9) dek ga teng qilib olinadi.
Agar tebranish ko‘rsatkichi Mk berilgan bo‘lsa (odatda kuzatuvchi
tizimlar uchun), taqriban quyidagilami topish mumkin:
^
M -1
~~rz— ;
M
M +1
£ <ok fz •
M
(5.5)
Mm= 1,1-1,3 kattalik juda yaxshi dempferlangan tizimga mos keladi;
ko‘pgina kuzatuvchi tizimlar uchun Mm <1,8 kattalik joizdir.
3. LAChX ning past chastotali kesmasi bilan o‘rtacha chastotali
([©,,й>2] diapazondagi) kesmani taqiqlangan zonaga tushmaydigan qilib
(-40) db/dek yoki (-60) db/dek og‘ish bilan asimptota o ‘tkaziladi.
4. Yuqori chastotalar sohasida (a> > co3 da) Lt (co) iloji boricha hd(m)
og'ishi bilan o‘tkaziladi. LAChX ning bu qismini odatda L = -3 0 db
qiymatgacha quriladi.
172
5.
Nomogram malar va texnik topshiriq bo'yicha сог, a>t, <ni qiymatlari
aniqlanadi.
Keyin korreksiya sxemasini tanlashga o‘tiladi. Shuni aytish lozimki,
agar kesilish chastotasi &\ topshiruvchi ta’sir maksimal chastotasidan
. ikkidan ortiq tartibga katta bo‘lsa, korreksiya masalasi nisbatan
osonlashadi. Trakselga binoan korreksiya masalasini
L(®m) < 3 3 /7 fdb] b o isa oddiy deb, agar Ц й \) > 3 3 -n (db),
(bu yerda n = lg— ) b o isa murakkab deb hisoblash mumkin.
atш
5.4. ABT korreksiyasining ketma-ket sxemasi
Ketma-ket korreksiyalash sxemasida (5.3-rasm) KQ tizimda boshqa
elementlar bilan injenerlik nuqtayi nazaridan mumkin boigan joyda
ketma-ket ulanadi.
Wk( p) = Wd(p)-W l4(p).
Shuning uchun
Ll {a ) = Ld(a>yLt,(a>\
bundan KQ ning qidirilayotgan LAChX si quyidagicha topiladi:
A?(®) = 4 ( ® ) - 4 ( ® ) Berilgan tizim
Korreksiyalangan tizim
5.3-rasm. ABTni ketma-ket korreksiyalash,
173
(5-6)
Agar korreksiyaning ketma-ket sxemasi tanlangan bo‘lsa KQ
LAChXsi (5.6) ga binoan juda oson topiladi. Agar KQ passiv KQ - zanjir ko'rinishida elektr zanjirda ishlashi shart bo‘lsa, uning parametrlarini
hisoblash uncha qiyinchilik tug‘dirmaydi. Agar dastlabki ABTda elektr
elementlar bo‘lmasa Ltq(o ) bo‘yicha KQ uzatish funksiyasi topiladi va
KQ munosib elementlardan yig‘iladi.
5.1-misoL Kuzatuvchi tizimning struktura sxemasi 5.4-rasmda kel­
tirilgan. Tizimning chastota xarakteristikasi quyidagicha:
Wd( j a ) = ------------- -------------- ,
jco(i +jo)T l)(l + jo)T 2)
bu yerda k = k0 •£, - k2 = 0,4; 7^=0,0625 sek; T2=0,25 sek.
1.
Korreksiya usuliga binoan Ld( oj),<рй(m) ni quramiz (5.5-rasm).
La(m) quyidagi tartibda quriladi:
a) tutash chastotalarni topamiz T2"' = 4 c~\ T~l = 16 c~x;
b) (со = l c ' \ Ld(Y) = 201g£ = —8 db) koordinatali nuqtadan T2'
chastotagacha (-2 0 ) db/dek og‘ish bilan asimptota o‘tkazamiz; keyin
(-40) db/dek og‘ish bilan T,' chastotagacha asimptota o‘tkazamiz; keyin
(-60) db/dek og‘ish bilan quyidagini quramiz.
ФА®) =
71
~ arctga>Tx- arctgaTy
Y
5.4-rasm, Kuzatuvchi tizimning struktura sxem asi
2.
Texnik topshiriq bo‘yicha Lk(&>)ni quramiz. Texnik topshiriqda
quyidagilar ko‘rsatilgan:
a) topshiruvchi garmonik ta’siming maksimal chastotasi
a>m = 0,05 sek~l
174
va mumkin boigan nisbiy xatolik
< 0 ,1 %; tizim astatizmi v = 1 ;
У»,,
b) rostlash vaqti t\ < 3 c.
Texnik topshiriqqa asosan nazorat nuqta koordinatalarini topamiz
a>m = 0,05 sek1, La = 20 lg 1000 = 60 db.
Taqiqlangan zonani quramiz. Korreksiyalangan tizim kesilish
7t
chastotasini topamiz o t = 4 — = 4 c "1 va (-20) db/dek og‘ish bilan
asimptota o‘tkazamiz. '[©2 ,a>J, [a>t ,©}] = 0 ,6 kesmalami shunday
tanlaymizki, bunda <a, = 16 c "1 va eo2 = 1,0 c A boisin.
Past chastotali asimptotani o‘rta chastotali asimptota bilan
tutashtirishni (-40) db/dek og‘ish bilan amalga oshiramiz (5.5-rasm, a).
Yuqori chastotali asimptotani Ld(cw) dagidek (-60) db/dek ogish bilan
o‘tkazamiz.
R'i ci
r^ ^ H h
R1
Ci
[— 11-
П
Ri
X
x
T
X
b)
5.5-rastn. Logarifmik chastotaviy xarakteristika (a)
va korrektlovchi zanjirlar (b,d).
175
3. Ketma-ket korreksiyalash sxemasini tanlaymiz. (5.6) dan Lki(ty)ni
topamiz. Bunday KQ ni RC - zanjir ko‘rinishida (5.5-rasm, b) va
kuchaytirish koeffitsiyenti 1 0 0 ga teng boigan kuchaytirgichni amalga
oshirish yetarlicha oson boisa-da, KQ ni (5.5-rasm, d) Ltq (&») bo'yicha
amalga oshirish undan ham osonligini ko‘rish qiyin emas. Ltq(co) ni olish.
uchun Lt (о)© > «a, chastotalarda oldin (-40) db/dek og‘ish bilan, keyin esa
(-60) db/dek og‘ish bilan (5.5-rasm, a dagi shtrix-punktir) chiziq o‘tishi
lozim. Shu variantni va unga mos KQ tanlab elektron kuchaytirgich tanlay­
miz.
4. KQ parametrlarini hisoblaymiz. L щ(со) bo‘yicha quyidagini
topamiz:
W (. ) = U » J 00(1+ M 'X 1 + K )
k"
U\(p>
( 1 + M , )(1 + M I)
bu yerda cox = 0,08 c ' ; co2 = 1 c~'; a)t = 4 c ‘; o \ = 50,0 c \
Korreksiyalovchi qurilmalar jadvalidan kuchaytirgichsiz uzatish
funksiyalari uchun nazariy y o i bilan aniqlangan (analitik) ifodani
topamiz:
JT ( p ) (l + pR.C.X1, + pR }C 2)
R A £ \ c 2p 7 + ^ , ^ ( 1 + R1R;')R1c j + V
Uzatish funksiyalarini solishtirib quyidagini topamiz:
R,C, = ©~‘ = 1 c; R2C2 = a> ' = 0,25 c;
RtR2C lC2 = co2 (o;' = 0,25 c2.
R lCl + R1C1 + R 1CI = <
+
= 12,52 c.
Uchinchi tenglama oldingi ikki tenglamani bir-biriga ko‘paytirib
olingan. Shunday qilib, to‘rtta noma’lumni topish uchun uchta tenglamaga egamiz, shuning uchun KQ ning bitta parametrini ixtiyoriy tanlab
olish mumkin. Lampaning to‘r qarshiligi kattaligi cheklanganligi sababli
(i?to‘r < 0,5 Mom); R\=Q,5 Mom deb tanlaymiz. Unda C, = R, ' • G)~' = 2
mkF. Oxirgi tenglamadan i?2=5,63 Mom ni olamiz. Unda C 2= 0 , 4 5 mkF.
Shuni aytish lozimki, tanlangan KQ o‘zgarmas tok zanjirlari uchun
korreksiyalovchi qurilmadir, shuningdek, masalan L d(a>) si xuddi
shunday o‘zgaruvchan tokli kuzatuvchi tizimni korreksiyalash uchun
sxemasi boshqacha boigan (ko‘prikli RC - zanjir asosida) o‘zgaruvchan
tokli KQ talab qilingan b o iar edi.
176
5.5. Teskari bog‘lanish yordamida korreksiyalash
Teskari bog‘lanishli korreksiyalash sxemasida (5.6-rasm, a) KQ tizimga tizimning Wqam(p) uzatish funksiyali qismini qamrab olish bilan kiritiladi. Manfiy korrektirlovchi teskari bog‘lanish qamrab olingan
qismning tizim xarakteristikasiga ta’sirini kamaytirish sababli,
xarakteristikalarning barqarorligi kichik bo‘lgan elementlami (elektron
kuchaytirgichlar, kollektorli dvigatellar va sh.o‘.) teskari bogianish
orqali qamrab olishga intiladi [8,14,23].
Korreksiyalashni qat’iy va moslanuvchan teskari bog‘lanish orqali
amalga oshirish mumkin. Qat’iy teskari bogianish (QTB) o‘tish va bir
qator tartibda ta’sir qilsa, moslanuvchan teskari bog‘lanish (MTB) faqat
o‘tish tartibida ta’sir etadi (5.6-rasm, b).
Manfiy QTB da tizim qamrab olingan jismning statik ko‘chaytirish
koeffitsiyenti kamayadi. Natijada korreksiyalangan tizim xatoligi ortadi.
Shuning uchun amalda MTB yordamida korreksiyalash keng tarqaldi.
Berilgan tizim
a)
U
r ---------- --- ------------------------------------------- «0
b)
5.6-rasm. Teskari bog‘lanishli korreksiyalash sxemasi.
Il l
KQ ni topish usulini ko‘raylik. Korreksiya sxemasidan (5.6-rasm, a)
quyidagini olamiz:
w k{p ) = Щ р ) т
,
1+wtmip)wtlip)
w t (p ) =
W Ap)
i +wim(pWt,Cp)
Oxirgi ifoda LAChX dan foydalanishga noqulay. Ammo agar
chastotaning biror oralig‘ida quyidagini ta’minlash talab etilsa,
Wk(ja>) = Wd(jco),
'
(5.7)
agar quyidagi shart bajarilsa,
УокЛ
Ц«.(®) +М®)<0-
(5-8>
Chastota boshqa oralig‘ida
yoki
(a>) +
>0
(5.9)
bo‘lsa,
(5. 10)
boiadi.
Shunday qilib, haqiqatan ham, yuqoridagi ma’lum shartlarda
korreksiyalangan tizim xarakteristikalari tizimning qamrab olingan
qismiga bogiiq boim aydi [8,23]. (5.10) dan Ltq(со) ni topishga harakat
qilamiz.
(®) + A, (fi>) = 0 dagi со', cd"
chastotalar, ya’ni (5.8) yoki (5.9) bajariladigan chastotalar oralig‘ining
chegaralari teskari bogianishli korreksiyadagi tutash chastotalar deb
ataladi. Lt4 (t») ni quyidagi tartibda qurish qulay [8,20]:
1. Dastlabki tizim (LAChX) Ld(со) si quriladi.
2. Texnik topshiriq bo‘yicha korreksiyalangan tizim LAChX si
quriladi.
178
. ( 5 . 1 0 ) ga mos holda, ya’ni [©',©"] biror chastota oralig‘i uchun
(5.9) shartidan jamlangan LAChX topiladi:
3
L e (©) = LqJ o ) ) + Lkq(co)~-Lt {o)).
4. Texnik imkoniyatlar va xarakteristikalarning beqarorligi asosida
tizimdagi qamrab olinuvchi qism belgilanadi.
5. [ a \ o f ] chastotalar oralig‘i uchun
Ltq(o>) = Lj : (a ))-L qaii(co)
topiladi.
6. Lkr(&>) bo‘yicha KQ tanlanadi. Agar uni amalga oshirish qiyin
bo‘lsa, tizimda qamrab olinuvchi qismning boshqa varianti tanlanadi.
5.2-misol.
Hisoblash uchun berilgan:
a) strukturaviy sxemasi
5.7- rasrn.
b) elementlaming uzatish koeffitsiyentlari:
Ki=30;
К з-3,0 grad/s;
d) elementlaming vaqt doimiyligi:
Ti=0,05 s;
Г2=0,35 s;
d) kirish signalining o‘zgarish tezligi:
v = — = 30 grad/s;
dl
e) sintez qilinayotgan sistemaga talablar:
- tezlik xatoligi s < 0,25 grad/s;
- o'tarostlash qiymati 5 < 23 %;
- o‘tkinchi jarayon vaqti ta.< 0 ,6 s.
Berilgan aniqlik asosida sistemaning va oldingi kuchaytirgichning
zaruriy uzatish koeffitsiyentlarini aniqlaymiz.
179
Sistemaning zaruriy uzatish koeffitsiyenti К г berilgan strukturaviy
sxema uchun quyidagi formula bo‘yicha topiladi [22,27]:
К
Statik sistemalar uchun:
(5.11)
Kx>
bunda, x - kirish ta’sir miqdori, ея—statik xatolik qiymati. Berilgan son
qiymatlarini qo‘yib, r 2> m s ni topamiz.
Kuchaytirish elementming uzatish koeffitsiyenti quyidagicha topiladi:
K' =
W
=
^
<5,2)
Son qiymatlarni qo‘yib, A\=l,33 ni topamiz.
Sistemaning uzatish funksiyalarini topish.
Berilgan sistemaning uzatish funksiyalari quyidagi formula!ardan
topiladi:
К (p ) = П Щр ) = -p (T lp + l)(T1p + 1)
W (p ) = — A ? ) = _________ К _________
‘ "
l + W .ip) p W p + l X ^ p + V + K ’
(5 I3)
(5
14)
bu yerda К = К, K 2 K3.
Berilgan sistemaning logarifmik chastota xarakteristikasini qurish.
Berilgan sistema ketma-ket ulangan tipik dinamik zvenolardan
tashkil topgan. Berilgan ochiq sistemaning LAChXsi Lbn(at)
quyidagicha chiziladi: Koordinatalari ® = 1 va 201g/v =201gl20 = 41,6 db
nuqtadan -20 db/dek og‘ma!ikda a>2 —1/71 chastotagacha to‘g‘ri chiziq
o‘tkazamiz. Keyin a>i dan w, = l/'Г, gacha д » ) ning og‘maligi -40
180
db/dek, a>] dan boshlab -60 db/dek boiadi. Sistemaning LFChXsi tp(m)
alohida zvenolarning <p(m) lari yigindisiga teng boiadi:
Фьп(0J) - -90° - arctga>Tx- arctgwT2.
(5.15)
Chastota a> ga 0 dan ® gacha qiymatlar berib, <phn(m) ni hisoblaymiz
(5.1-jadval).
5.1-jadval
Chastotani 0 dan oo gacha o‘zgarganda (ры(а>) ning qiymatlari
Chastota, со
ft. О ), grad
Chastota, to
Ф
, 8 rad
Chastota, со
<pja>), grad
0,10
-92,3
2,51
- 138,5
63,10
- 249,9
0,16
-93,6
3,98
- 155,6
100,00
-257,1
0,25
-95,7
6,31
-173,2
158,49
-261,9
0,40
-99,1
10,00
- 190,7
251,19
- 264,9
0,63
-104,3
15,85
- 208,2
398,11
- 266,8
1,00
-112,2
25,12
- 225,1
630,96
- 268,0
1,58
- 123,6
39,81
-239,3
1000
- 268,8
Turg'unlik logarifmik mezoniga binoan sistema noturg‘undir, chunki
<ош>шт, bu yerda: a a t wSB berilgan sistemaning kesishish va so‘nish
chastotalari (5.8 -rasm).
Zaruriy sistemaning LAChX va LFChXsini qurish.
Ochiq sistemaning zaruriy logarifmik xarakteristkalari loyihalashtirilayotgan sistemaga qo‘yilgan quyidagi talablar orqali quriladi: kerakli
kuchaytirish koeffitsiyenti, sistemaning astatizmi darajasi, o‘tkinchi
jarayon vaqti, o‘ta rostlash qiymati.
LAChX ning past chastotali qismi ochiq sistemaning kuchaytirish
koeffitsiyenti va astatizmi r darajasi bilan aniqlanadi. Bu qism
og‘maligi - 2 0 db/dek ga teng boiib, ordinatasi IQlgK va abssissasi
аз= 1 nuqtadan o‘tadi, bunda: ^-astatizm tartibi, A'-sistemaning kerakli
kuchaytirish koeffitsiyenti. Korrektlovchi element sodda boiishligi
uchun bu qism iloji boricha berilgan sistema LAChXsi bilan ustma-ust
tushishi kerak [8,23,27].
mplitudaviy xarakteristikaning o‘rta chastotali qismi eng ahamiyatga ega qismidir, chunki sistemaning o‘tkinchi jarayon sifati asosan
shu qism xarakteri bilan aniqlanadi. Kesishish chastotasi 0)b da
LAChXning og‘maligi -20 db/dek boiishi shart. Kesishish chastotasi
181
o‘tkinchi jarayon vaqti f0‘ va o‘ta rostlash qiymati 5 bilan aniqlanadi:
5.8-rasm. Berilgan va zaruriy sistemaning logarifmik xarakteristkalarL
к т -А
6)b > — , bunda a0 koeffitsiyent 5 ga asosan tanlanadi (5.9-rasm).
А(р
AL
60
30
9
40
20
L
20
10
S,%
20
5.9-rasm. L 2 va ай ning sga
30
40
5.10-rasm. aL va&tp ning Sga
bog‘liqIik grafiklarL
bog‘liqlik grafiklarL
Zaruriy LAChXning o‘rta qismi chap va o‘ng tomonlarga modul
bo‘yicha L\ va L2 ga yetguncha davom ettiriladi. L\ va £ 2 qiymatlar s ga
bogiiq holda topiladi (5.9-rasm). L\ va I 2 ga mos keluvchi chastotalarni
g>2z va юзг orqali belgilaymiz. Shuni hisobga olish kerakki, agar со2Za>3z va a>kz-a>3z intervallar qancha katta boisa, s ning qiymati shuncha
kichik boiadi. LAChX ning o‘rta qismi past chastotali qism bilan
og‘maligi -40 db/dek -60 db/dek boigan kesma orqali tutashtiriladi.
LAChX ning yuqori chastotali qismi sistemaning dinamikasiga ta’sir
ko‘rsatmaydi, shuning uchun bu qismni ixtiyoriy ravishda olish mumkin.
Bu qismni qurishda korrektlovchi qurilmaning soddaroq boiishiga
intilish lozim.
Zaruriy LAChXni qurish tartibi:
Qo‘yi!gan talablar (K2, S , /0‘, Lbn(®)): I -» Wt (p ) -> -> <pz (a>)
-> AL,Atp -» sifatni baholash.
Qurilayotgan misol uchun 0) _ a.7r = 2^8 ’3^1 4 - . l5
, n) nuqtadan
b
t„
0,6
"
’
-2 0 db/dek og‘malikda to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. cojz va &>3Zchastotalarni
L\ va L2 asosida topamiz (<y=23% da grafikdan Li=L2=12^15 db) Lz
ning boshqa qismlarini chizish 5.8-rasmda ko‘rsatilgan. Lz(co) ga asosan
uzatish funksiyasini yozamiz:
K(Tlzp + 1)
(5.16)
W 't p) = p (T up + i x r „ p + i )
Zaruriy sistemaning LFChXsi quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:
cpt {c°) = “ 90° - arctgTuo>+ arctgT2za) - arctgT^co
(5.17)
183
5.2-jadval
Chastota 0 dan oo gacha o‘zgarganda <pz(m) ning qiym atlari
Chastota, со
grad
Chastota, ш
<рАш), grad
Chastota, w
<Pt ( o j ) , grad
0,10
-107,3
2,51
-130,9
63,10
-146,2
0,16
-115,9
3,98
-122,5
100,00
-156,8
0,25
-126,2
6,31
-116,5
158,49
-164,8
0,40
-136,0
10,00
-114,5
251,19
-170,3
0,63
1,00
-142,3 -143,3
15,85
25,12
-117,0 -123,8
398,11 163026
-173,8 -176,1
1,58
-138,9
39,81
-134,3
1000,00
-177,6
Д (со) va q>z (со) larga asosan amplituda va faza bo‘yicha imkoniyatlar
va A<p ni topamiz; a L=oo, A<p=65° Grafikdan anlqlanishicha (5.10rasm) berilgan S <23% bajarilishi uchun 4L>19db, Acp>55° bo‘lishi
kerak. Demak, qurilgan LJ^o)) sisteraaga qo‘yilgan talablami qanoatlantiradi.
LChXlar asosida korrektlovchi qurilmani qurish [8,10,27].
Parallel korreksiyani hisoblash tartibi:
1. Berilgan sistema LAChXsi Lbn(a>) quriladi.
2. Sistemaga qo‘yilgan talablar asosida zaruriy sistema LAChXsi
quriladi.
3. Qurilgan LAChX larga binoan ularga mos keluvchi LFChX lar
quriladi.
4. Korrektlovchi qurilmaning uianish joyi belgilanadi va qurilma
parallel ulangan qismi LAChXsi chiziladi.
5. Parallel ulangan korrektlovchi qurilma LAChXsi topiladi:
aL
I , (co) = Lh„(co) - L(co) - L J oj).
(5.18)
6 . Topiigan Lpl(m) ga asosan eng sodda korrektlovchi qurilma
sxemasi tanlanadi.
Korrektlovchi qurilma ketma-ket ulanganda uning LAChXsi (4 va 5
punktlar o‘miga) quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
(5Л9)
Qaysi xil korreksiyani tanlash berilgan sistema xususiyatlari va unga
qo‘yilgan talablarga bog'liq. Ba’zan aralash korreksiya ham qo!llanadi.
Ko‘rsatiIayotgan misol uchun korrektlovchi elementni uzatish
funksiyasi Wo,a(p ) = K , /( pTx + 1) bo‘lgan zvenoga parallel ulayiniz.
Lt (c o )^ L A m )-L J c o ).
184
1 - 6 punktlami bajarib va o‘zgarmas tok korrektlovchi zvenolari
jadvallaridan korrektlovchi element LAChXsi va sxemasini topamiz.
WAp).
G„ (Tup + 1)(Г 2zp + 1)
(Г2^ + 1)(Т > + 1)
(5.20)
Bu korrektlovchi qurilmani ikkita korrektlovchi tipik zvenolami,
ya’ni differensiallovchi va integrallovchi zvenolami ketma-ket ulab
hosil qilish mumkin (5.11-rasm). Rezistorlar va kondensatorlar qiymati
jadvallarda berilgan formulalar va LAChXdan topilgan quyidagi
kattaliklar orqali topiladi: T\z=3,5 s; 72 = 0 ,3 5 s; 7з?=0,022 s; ^= 0 ,4 1 s.
c2
Ri
1R>
_ L c2
5.11-rasm. Korrektlovchi qurilmaning sxemasi.
Noma’lum tenglamalar soni tenglamalar sonidan ko‘p bo‘lgan taqdirda
ba’zi elementlar (rezistor va kondensatorlar) parametrlari ixtiyoriy berilishi
mumkin. Korrektlovchi zvenolar o‘zaro ketma-ket ulanganda ulaming
kirish va chiqish qarshiliklaiini moslashtirishga ahamiyat berish zarur.
Buning uchun ular oralig‘iga moslovchi qurilma qo‘yiladi yoki Zichiq<<:
Z2kir (10-50 marta) shart bajarilishiga erishish lozim.
Agar tanlangan korrektlovchi qurilma hisoblanganidan farq qilsa,
unda sxemaga ulangan korrektlovchi qurilma hisobga olingan holda
korrektlangan sxemani uzatish funksiyasi Wb (p ) topiladi. Ko‘rilayotgan
misolda Wtt(p) = Wi ( p ), shuning uchun keyingi hisoblarda W^(p) ni
ishlatish mumkin. Korrektlangan sistemaning strukturaviy sxemasi
(5.12-rasm) da berilgan.
185
К
F(TjHr\)
yw
0(Г,др + 1Х'Г,_,/>+ !)
( 7 > + 1ХГггр + 1)
5.12-rasm. Korrektlangan sistemaning strukturaviy sxemasi.
5.13-rasm. MatLAB dasturida korrektlangan sistemaning strukturaviy
sxemasL
О ‘tkinchi jarayonni EHMda hisoblash.
‘tkinchi jarayonni har xil usullar yordamida hisoblash mumkin.
Kurs ishida korrektlangan sistema o‘tkinchi jarayonini EHMda
hisoblash uchun sistemani M atLAB amaliy dasturi orqali ifodalaymiz
[29-33]. Strukturaga qiymatlarni kiritib (5.13-rasm), o‘tkinchi jaryon
h(t) xarakteristikasini olamiz.
0 ‘tkinchi jarayon grafigi 5.14-rasmda ko‘rsatilgan.
0
186
5.14-rasm. Korrektlangan sistemaning birlikpog‘onali kirish
ta’siridagi o ‘tkinchijarayoni grafigl
Grafikdan o‘ta rostlash qiymatini va o‘tkinchi jarayon vaqti 4-=0,43
s ni topamiz.
S = hm^ ~ ht° • 100% =
К
° ■100% = 10%
1,0
Korrektlangan sistemaning bu qiymatlari loyihalanayotgan sistemaga
qo‘yilgan talablami qanoatlantiradi. Aks holda zaruriy sistema LAChXsi
qaytadan qurilib, yangi korrektlovchi qurilma topilishi lozim.
5.6. Korreksiyalash usullarini qiyosiy baholash
Ketma-ket korreksiyalashning afzalligi uni amalga oshirishdagi
soddaligi va ayniqsa KQ ni RC - zanjiri ko‘rinishida bo‘lishidadir.
Ammo bunday korreksiyalashning imkoniyatlari nisbatan katta emas: bu
usul odatda dastlabki tizim barqarorlikka yaqin yoki barqaror boiganida, ammo o‘tish jarayonlarining sifati yomonligida (ortiqcha tebranishli,
kichik tezkorli) qo‘lianiladi. Bu hollarda faza bo‘yicha ilgarilashni
187
beruvchi turli RC - zanjirlar (differensiallovchi bo‘g‘inlar) keng qo‘llaniladi. Ammo qator hollarda ular yuqori chastotali xalaqitlaming
ta’sirini ta’kidlaydi. Undan tashqari, dastlabki tizim xarakteristikalarining beqarorligida ketma-ket korreksiyalash samarasiz.
Manfiy teskari bog‘lanish orqali korreksiyalash, aksincha, tizim
xarakteristikalarining dastlabki tizimdagi qamrab olingan qismi xarakteristikalarining barqarorligiga bog‘liqligini kamaytiradi. Bu usulning
kamchiligi sifatida KQ lami amalga oshirishdagi nisbatan murakkablikni
ko‘rsatish mumkin. Bunday korreksiyani amalga oshirish uchun katta
datchiklar zarur. Bunday datchiklar qo‘pol va qimmat bo‘ladi.
Nazorat va mnhokama savollari
1. ABTni sintezlash deganda nimani tushunasiz?
2. Sintezlash masalasiga nisbatan qanday fikrlar mavjud?
3. Korreksiyalangan tizim LAChXsi nimaga asosan quriladi?
4.Texnik topshiriqda tizimga qanday shartiar qo‘yiladi?
5.Texnik topshiriq bo‘yicha LAChX nechta sohaga ajratiladi?
6.Zaruriy LFChXsi qanday quriladi?
7.LAChXda kesishish chastotasi qanday hisoblanadi?
8.LChXlar asosida korrektlovchi qurilma qanday quriladi?
9. ABT korreksiyasining ketma-ket sxemasini tushuntiring?
10. Teskari bog‘lanish yordamida korreksiyalash qanday amalga
oshiriladi?
188
Test savollari
1. Korrektlovchi qurilma avtomatik rostlash tizimiga turli tarzda
kiritilishi mumkin. Korrektlovchi qurilmani tizimga ketma-ket
ulananganda qanday qurilma deb ataladi?
A) Ketma-ket korrektlovchi.
B) Parallel korrektlovchi.
C) Ketma-ket va parallel korrektlovchi.
D) Aralash korrektlovchi.
2. Korrektlovchi qurilma avtomatik rostlash tizimiga turli tarzda
kiritilishi mumkin. Korrektlovchi qurilmani tizimga parallel ulanganda qanday qurilma deb ataladi?
A) Ketma-ket korrektlovchi.
B) Parallel korrektlovchi.
C) Ketma-ket va parallel korrektlovchi.
D) Aralash korrektlovchi.
3. Quyidagi rasmda korrektlovchi qurilma avtomatik rostlash
tizimiga qanday tarzda kiritilgan?
A) Ketma-ket.
B) Parallel.
C) Ketma-ket va parallel.
D) Aralash.
4.
Quyidagi rasmda korrektlovchi qurilma avtomatik rostlash
tizimiga qanday tarzda kiritilgan?
A) Ketma-ket.
C) Ketma-ket va parallel.
B) Parallel.
D) Aralash.
189
5. Korrektlovchi qurilma avtomatik rostlash tizimiga parallel
kiritilganda ushbu qism qanday nomlanadi?
A) 0 ‘rab olingan.
B) Zaruriy.
C) Berilgan.
D) Kesishgan.
6.Chiziqli ARTni sintez qilishda zaruriy LAChXni qurishdan asosiy maqsad nima?
A) Amplituda va faza bo‘yicha zaxiralarni aniqlash.
B) 0 ‘tish jarayoni vaqtini aniqlash.
C) O ‘tarostlashni aniqlash.
D) Xatolik koeffitsiyentini aniqlash.
7.0chiq tizimning zaruriy logarifmik xarakteristikalari loyihalanayotgan tizimga quyilgan qanday talablar orqali quriladi?
A) Kerakli kuchaytirish koeffitsiyenti, tizimning astatizm darajasi,
o‘tkinchi jarayon vaqti va o‘tarostlash qiymati.
B) Kerakli kuchaytirish koeffitsiyenti, tizimning astatizm darajasi.
C) 0 ‘tkinchi jarayon vaqti va o‘tarostlash qiymati.
D) Kerakli kuchaytirish koeffitsiyenti va o‘tarostlash qiymati.
8.0chiq tizimning zaruriy logarifmik xarakteristikalari loyihalanayotganda LAChXning past chastotali qismi nimalar orqali
aniqlanadi?
A) Ochiq tizimning kuchaytirish koeffitsiyenti va astatizm darajasi.
B) Ochiq tizimning о‘tkinchi jarayon vaqti va o‘tarostlash qiymati.
C) Ochiq tizimning kuchaytirish koeffitsiyenti va o‘tarostlash qiymati.
D) Ochiq tizimning astatizm darajasi va o‘tarostlash qiymati.
9. Zaruriy tizimning LAChXsi qurilayotganda kesishish chastotasi qanday aniqlanadi?
A) 0 ‘tkinchi jarayon vaqti va o‘tarostlash qiymati.
B) Kuchaytirish koeffitsiyenti va o‘tarostlash qiymati.
C) Astatizm darajasi va o‘tarostlash qiymati.
D) Kuchaytirish koeffitsiyenti va astatizm darajasi.
10. Zaruriy LAFChXni qurish tartibi to‘g‘ri keltirilgan javobni
aniqlang.
A) Qo'yilgan talablar (Kz, s , t0‘, Lbn(o))): lz -> Wz (p) -> (p.. (&)
AL, A<p -> sifatini baholash.
190
B) Qo‘yilgan talablar (Kz, s , 4% Lbn((o)):
w_ (p) -> cpz(со)
-> AL,Acp ->■ sifatini baholash.
C) Qo‘yilgan talablar (K~, s , /„•, Ььп(ю)): Lz -» AL,Ap -> sifatini
baholash.
D) Qo‘yilgan talablar (K:, s , t0\ Un(co)): Lz -> Wt (p)
(pz(со) ->
sifatini baholash.
11.
Parallel ulangan korrektlovchi qurilma LAChXsini topish
ifodasi to‘g‘ri keltirilgan javobni aniqlang.
A)
(со) = (m) - L (w) - L , (со).
B)
(a ) = L.m(« ) - L (a>) + L , (®).
C) Lpt (a>) —Ь1ш(со) + L. (со) + Lo,c(со).
D) Lpk(со) = (®) + L (©) - i „ ( 0 ).
191
VI BOB. NOCHIZIQLI AVTOMATIK BOSHQARISH
TIZIMLAR
Tayanch so‘zlar va ihoralar: nochiziqli avtomatik tizim, nochiziqli
element, avtotebranish, statik xarakteristika, fazaviy fazo usuli, fazoviy
trayektoriyalar, fazoviy portret, Lyapimov usuli, mutlaq turg‘unlik,
• garmonik balans usuli, Popov mezoni.
6.1. Nochiziqli tizimlarning xususiyatlari
Real tizimlarning elementlari o‘zining konstruksiyasiga nisbatan
nochiziqlidir va ulaming statik xarakteristikalari kirish signallarming
chegaralangan qiymatlaridagina chiziqli xarakterga egadir.
Nochiziqlilikning hosil bo'lish sabablariga quyidagilar kiradi:
to‘yinish (nasisheniya); quriq sirpanish; qismlar orasidagi bo‘shliqlar;
sezmaslik zonalarining mavjudligi; turli xil lyuftlar va hokazo.
Nochiziqli avtomatik tizimlar deb tarkibida oddiy differensial
tenglamalar bilan yoziluvchi zvenolardan tashqari hech bo‘lmaganda
bitta nochiziqli xarakteristikaga ega bo‘lgan zvenoli tizimlarga aytiladi.
Tizimlarda uchraydigan nochiziqlilar chiziqlantirish mumkin bo‘lgan
va mumkin bo‘lmaganlarga bo'linadi. Shunindek, nochiziqlilar tekis
xarakteristikali (uzluksiz) (6.1-rasm,d) va uzlukliga (6.1-rasm,e,f,g)
ajratish mumkin.
S)
e)
>y
X
8
•y
X
J 31
6.1-rasm. Nochiziqli elementlarning xarakteristikalari.
192
Nochiziqlilar shunindek, bir qiymatli (6.1-rasm) va ko‘p qiymatHlarga (6.2-rasm) boiinishi mumkin.
b)
6.2-rasm. Ko‘p qiymatlinochiziqlielementlarning
xarakteristikalarL
Nochiziqli tizimlar asosan ikkiga bo‘linadi:
1) Statik xarakteristikaiar ko'rinishidagi nochiziqlilik.
2) Differensial tenglamalar orqali ifodalangan nichiziqlilik.
Nochiziqlilik tizimga tabiatan xos bo‘lishi mumkin va ko‘p hollarda
u tizimning xarakteristikasini yomonlashtiradi. Bunday ~hollarda
nochiqiiiikning ta’sirini kamaytiriladi. Shu bilan bir qatorda tizimning
tarkibiga unga zaruriy xususiyatlarni berish uchun sun’iy ravishda
nochiziqlilar kiritiladi.
Nochiziqli avtomatik tizimlar quyidagi xususiyatlarga ega
[6,16,19,26]:
1. Nochiziqli tizimlarda superpozitsiya usulinj qollash mumkin
emas, chunki nochiziqli elementning parametrlari kirish signallarini
qiymatiga bog‘liqdir.
2. Komutativlik prinsipini qo‘Hash mumkin emas, ya’ni chiziqli va
nochiziqli elementlami o‘rnini almashtirib bo‘lmaydi.
3. Laplas va Fure almashtirishlarini qollab bo‘lmaydi, chunki.
nochiziqli elementning xarakteristikasi uzluklidir.
4. Nochiziqli tizimlaming turg‘unligi murakkab xarakteristikaga ega.
Ularda bir necha muvozanat va turg‘un holatlar hamda avtotebranishlar
rejimi hosil bo'lishi mumkin.
Nochiziqli tizimlardagi jarayonlarda chiziqli tizimlarda uchramaydigan bir qator jiddiy alohidaliklar bor. Bu muhim alohidaliklar sababli
nochiziqli avtomatik boshqarish tizimlar turg‘unligi to‘g‘risidagi masala
ham murakkablashadi.
Tizimning turg‘unligiga struktura va parametrlaridan tashqari
boshlang‘ich shartlar ham katta ta’sir ko‘rsatadi. Barqaror jarayonlar193
ning yangi ko‘rinishi - avtotebranishlar boiishi mumkin. Avtotebranish
bu so‘nmas tebranish. Tebranma tizimga tashqi qarshilik kuchi ta’sir
etsa, tebranish so‘nadi, ya’ni uning tebranish amplitudasi (energiyasi)
vaqt o‘tishi bilan kamayadi. Tebranishni so‘ndirmaslik uchun tebranma
tizimni energiya bilan ta’minlab turiladi. Bunday tizim avtotebranma
tizim deyiladi. Avtotebranish nazariyasi A.A.Andropov va boshqa
olimlar tomonidan ishlab chiqilgan. Avtotebranishga quyidagilar misol
bo‘la oladi: mayatnikning o‘zgarmas tebranishi, spiral prujina energiyasi
hisobiga yoki ko‘tarilgan yuk energiyasi hisobiga ishlaydigan soatlar,
akkumulator
batareyasining
energiyasi
hisobiga
ishlaydigan
radiouzatgich, elektr qo‘ng‘iroq, pnevmatik bolg‘a, generator lampadagi
elektr tebranishlar va boshqalar.
Umumiy holda nochiziqli tizimlarda chiziqli tizimlardagidek
turg‘unlik sohasi yoki noturg‘unlik sohasi ikki xil ko'rinishda emas,
balki nisbatan ko'proq:
1) Kichik qiymatlardagi turg‘unlik. Bunda kirish signali juda kichik
o‘zgarganda tizim turg‘un qoladi.
2) Katta qiymatlardagi turg‘unlik. Bunda kirish signali katta, lekin
chegaralangan qiymatlaridagi turg‘unligiga aytiladi.
3) To‘la turg‘unlik. Bunda kirish signalining qiymati cheksiz katta
boMishi mumkin.
Nochiziqli tizimlarning turg‘unligi uning strukturasiga, parmetrlariga, o ‘zgaruvchilarining boshlang‘ich holatining qiymatiga va kirish
signaliga bog‘liq bo‘ladi.
6.2. Nochiziqli tizimlarning statik xarakteristikalari
Tizimning xususiyatlari ulaming statik va dinamik xarakteristikalari
orqali ifodalanadi.
Statik xarakteristika deb tizimning muvozanat holatida uning kirish
va chiqish signallari orasidagi munosabatga aytiladi.
Statik xarakteristikalar tenglama, jadval yoki grafik shakllarda
berilishi mumkin. Nochiziqli tizimlarning statik xarakteristikalari uning
tarkibiga kiruvchi elementning statik xarakteristikalariga va ulanish
qoidalariga bog‘liq bo‘ladi.
Statik xarakteristikalari grafik shaklda berilgan bo‘lsin.
1. Elementlar ketma-ket ulangan bo‘lsin (6.3-rasm).
194
,
Xk
Xи
>
г,
,
. К
Х ек!
Xeh2
Xch2
ХкЗ
f
X d i3
~
.
Xch
6.3-rasm. Elementlaming statik xarakteristikalarini ketma-ket
idanishi.
Tizimning statik xarakteristikasini topish uchun to‘g‘ri chiziqli
koordinatalar tizimidan foydalanamiz (6.4-rasm):
6.4-rasm. Statik xarakteristika.
Agar 2 ta statik xarakteristika ketma-ket berilgan bo‘lsa, K=1 ya’ni
uchinchi chorakdan 45° li burchak ostida o‘tkazib yuboriladi.
2.Tizimning elementlari parallel ulangan bo‘lsin (6.5-rasm).
t
X tl
к
f
/
x* I
---------
/
Xch2
/
Xk2
.... ^
>
6.5-rasm. Elementlaming statik xarakteristikalarini parallel
ulanishL
195
Tizimning statik xarakteristikasini topish uchun grafikni qo‘shish
orqali umumiy grafik chiqariladi (6.6-rasm).
6.6-rasm. Statik xarakteristika.
3. Tizimning elementlari teskari aloqa orqali ulangan bo‘lsa
6.7-rasm. Elementlarning statik xarakteristikalarini
teskari aloqa orqali ulanishL
Tizimning statik xarakteristikasini topish uchun grafikni qo‘shish
orqali umumiy grafik chiqariladi (6.8-rasm).
6.8-rasm. Statik xarakteristika.
196
6.3. Fazaviy fazo usuli
Tizimlaming tarkibida nochiziqli elementning bo‘lishi lining
dinamikasini nochiziqli differensial tenglama orqali yozilishiga olib
keladi. Bu esa bunday tizimlami tekshirish masalasini murakkablashtiradi. Chunki nochiziqli differensial tenglamalarni yechishning yagona
usuli mavjud emas. Hozirda nochiziqli tizimlarni tekshirishning turli xil
analitik va grafoanalitik usullari mavjuddir. Eng ko‘p qo‘llanilayotganlari quyidagilar [11,23]:
- fazaviy fazo usuli;
- garmonik chiziqlantirish usuli;
- chastotaviy usullar;
- raqamli modellashtirish usullari.
Fazaviy fazo usuli.
Fazaviy fazo - koordinatalari qiymati ko‘rilayotgan tizim holatini
to‘Ia-to‘kis aniqlovchi fazodir. Ikkinchi tartibli differensial tenglama
orqali tavsiflanuvchi tizimni tadqiq qilganda fazaviy fazo fazaviy
tekislikka o‘zgaradi.
Bu usul umumiy va samarador usul bo‘lib, jarayon haqida yaqqol
geometrik tasvirlash imkonini beradi. U jarayonni, ya’ni tizimning
harakatini fazoda tasvirlashga asoslangandir. Bu yerda faza jarayonning
ayrim bosqichlari yoki qismlari deb tushuniladi.
Umumiy holda nochiziqli tizimning dinamikasini quyidagieha yozish
mumkin:
dx d 2x1
d"xn
Ф(х,,х2,.. ., х „ ; ^ , - —^
, . . g, f ) = 0.
(6.1)
dt dt
dt
(6.1) tenglamani birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimi
shaklida tasvirlab oiish mumkin
^ =ФХх„хг ,...,xn, g , f )
dt
dx2
= <P1(xl,x2,...,xn, g , f )
~dt
(6 .2 )
dx
^ = 0 ii(xn x2,...,xit, g , f )
dt
bu yerda xi, Х2,
x„ - vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchi, ya’ni izlanayotgan
vaqt funksiyalaridir (xi rostlanuvchi kattalik deyishimiz mumkin va xi,
197
xn yordamchi o'zgaruvchilar); g va. f - boshqariluvchi (topshiriq
beruvchi) va tashqi ta ’sir (qo‘zg‘atuvchi) ta’sirlar.
Tenglamalar tizimini yechish uchun boshlang‘ich shartlar ma’lum
bo‘lishi kerak. Faraz qilaylik differensial tenglamaning tartibi n=2 ga
teng bo‘lsin. t=t0 vaqtda o‘zgaruvchilar ma’lum qiymatlarga ega bo‘lsin:
jc, = x[, x2 - x [ . Bu qiymatlami to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimida
belgilab olishimiz mumkin (6.9-rasm). I = t, vaqtda o‘zgaruvchilar
ma’lum qiymatga ega boiadi. Bu yerda M nuqta tasvirlovchi nuqta
deyiladi.
Tasvirlovchi nuqta vaqt davomida harakatda bo‘ladi. Qaralayotgan
to‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimi fazalar fazosi deyiladi.
Tasvirlovchi nuqta qoldirgan iz esa^fazalar trayektoriyasi deyiladi.
Tizimning harakatini bunday tasvirlaganimizda vaqt o‘zgaruvchisi
ishtirok etmaydi. Bu esa fazalar fazosi o‘tkinchi jarayonini miqdorini
emas, balki sifatinigina aniqlash imkonini beradi.
6.9-rasm. Mtasvirlovchinuqtanifaza tekisligidagi trayektoriyasi.
Odatda fazalar fazosi koordinatalar o‘qlariga rostlanuvchi
kattalikning qiymati emas, balki uni turg'un qiymatdan farqi qo‘yiladi.
Shuning uchun turli boshlang'ich qiymatlarda turlicha fazalar
trayektoriyasi hosil bo‘ladi.
Ma’lumki tizimning turg‘un holatida rostlanuvchi kattalik berilgan
qiymatga teng bo‘ladi. Uning hosilasi ham «0»ga teng bo‘ladi. Bu esa
koordinata boshi tizimning turg'un holatiga mos kelishini ko‘rsatadi.
Fazalar trayektoriyasini qurish uchun tizimning dinamikasini ifodalovchi
tenglamadan o'zgaruvchi vaqt olib tashlanadi, ya’ni
198
(6.3)
(6.3) tenglamadan quyidagini hosil qilamiz:
dx _ Ф(х,7 )
dy
x
(6.4)
(6.4)
tenglama fazalar trayektoriyasining tenglamasi deyiladi.
Fazalar trayektoriyasini qurish vaqtida quyidagi qoidalarga amal qilish
kerak:
1. Yuqori yarira tekislikda fazalar trayektoriyasi chapdan o‘ngga
yo‘naltirilgan bo‘ladi.
2. Pastki yarim tekislikda o‘ngdan chapga yo‘nalgan bo‘ladi. Chunki
>’<0.
3. Fazalar trayektoriyasi abssissa o‘qini to‘g‘ri burchak ostida kesib
o‘tadi, chunki у ~ 0.
4. Bitta tizimning fazalar trayektoriyasi turli boshlang‘ich
qiymatlarda bir-birini kesib o‘tmaydi.
6.10-rasm. Faza tekisligL
Fazaviy portret hamda vaqt funksiyasida koordinatalar o‘zgarishini
aks ettiruvchi nuqtalarga misollar 6.11-rasmda keltirilgan.
Ushbu usulning avzalligi turli boshlang‘ich shartlardagi o‘tkinchi
jarayonning shaklini yagona fazalar portretida ifodalash mumkin.
Kamchiligi esa 3 va undan ortiq tartibli tizimni tadqiq qilish murakkabdir.
Bu usul yordamida quyidagi masalalarni yechish mumkin:
199
1.Tizimning mumkin bo‘lgan ishlash rejimlarini aniqlash;
2.Tizimning turg‘unligi haqida va uning chegaraviy qiyinatlari
to‘g‘risida xulosa chiqarish;
3. Avtotebranish va uning parametrlarini aniqlash;
4.Boshlang‘ich shartlar sohalarini aniqlash;
5.Tizimning sifat ko‘rsatkichlarini aniqlash, ya’ni tebranishlar soni,
maksimal og‘ish va h.k.
6,11-rasm. Faza tekisligi
Shunday qilib, fazaviy fazo dinamik jarayonlaming geometrik
shaklini tasvirlaydi. Bu geometrik tasvirlashda faqat koordinatalar
qatnashadi, vaqt esa qatnashmaydi.
6.4. Oddiy chiziqli tizim uchun fazoviy trayektoriyalar
Ba’zi bir tizimning o'tish jarayoni ikkinchi tartibli tenglama bilan
ifodalansin [11,23] :
------ ь а ,---- t-a,x = 0.
(6-5)
d t2
'd t
2
Bu tenglamani birinchi tartibli differensial tenglamalar orqali
ifodalash mumkin
200
(6.6)
belgilash kiritib, (6.5) tenglamani quyidagicha yozamiz.
dy
(6.7)
O'zgaruvchi vaqtni yo‘qotish maqsadida (6.7) ni (6.6) ga bo‘lib (x va
иф 0):
dy
— Cl,
dx
d.
X
(6.8)
У
hosil qilamiz.
(6.8)
tenglamaning yechimi integral egri chiziqlar oilasini ifodalaydi
va turli boshlang‘ich shartlarda turlicha ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bu egri
chiziqlar oilasining hamma to‘plami har xil fazo trayektoriyalarini
ifodalaydi.
(6.5)
tenglama p 2 + axp + a2 = 0 xarakteristik tenglama orqali
ifodalanadi va u
ildizlariga mos keladi. Bunda 6 ta holat boiishi mumkin:
1) ildizlar mavhum, ya’ni ct\ = 0, a2 > 0 (chiziqli tizim turg‘unlik
chegarasida);
2) kompleks ildizlar manfiy haqiqiy qismga ega, ya’ni
af < 4a2, a, > 0, a2 > 0 (chiziqli tizim turg‘un);
3) kompleks ildizlar musbat haqiqiy qismga ega, ya’ni
a,2 < 4a2, ax< 0, a2 > 0 ( chiziqli tizim noturg‘un);
4) ildizlar haqiqiy manfiy, ya’ni a\ > 4 a2,a, >0, a2 > 0 (chiziqli
tizim turg'un);
5) ildizlar haqiqiy musbat, ya’ni af > Aa2, at < 0, a2 > 0 (chiziqli
tizim noturg‘un);
6) ildizlar haqiqiy va cti < 0 da har xil ishoraga ega (chiziqli tizim
noturg‘un).
Ko‘rib chiqilgan har bir hoi uchun fazoviy trayektoriyalar chizamiz:
1)
Ildizlar mavhum, ya’ni a\ = 0, a2 > 0 (6.12-rasm). Bunda differensial tenglamaning yechimi so'nmas tebranishni beradi.
201
dx
i—
x = Asin(a>t + /3), y = — = a>Aco$(a)t + /3), a>= ^a2 ,
dt
Ikkinchi tartibli tizimning fazo trayektoriyasi va undagi o‘tish
jarayoni (£=0).
6.12-rasm. Tizim tnrg‘unlik chegarasida.
2)
Kompleks ildizlar manfiy haqiqiy qismga ega, ya’ni
af < 4a2, a, >0, a2 > 0(6.13-rasm).
Ikkinchi tartibli tizimning 0<£<l bo‘lganda fazo trayektoriyasi va
o‘tish jarayoni
6.13-rasm. Tizim turg‘un.
3)
Kompleks ildizlar m usbat haqiqiy qismga ega, ya’ni
af < 4a2, a, < 0,a 2 > 0(tizim noturg‘un) (6.14-rasm).
Ikkinchi tartibli tizimning -1<§<0 bo'lganda fazo trayektoriyasi va
o‘tish jarayoni
202
i
а)
y= px
b)
Mo(.Jcoj'W'N,
3) t
->- t
Vж"
6.14-rasm. Tizim noturg‘un.
4)
Ildizlar haqiqiy manfiy, ya’ni af >4a2, a, > о, a2 > 0 (chiziqli tizim
turg‘un) (6.15-rasm).
Ikkinchi tartibli tizimning §>0 bo‘lganda fazo trayektoriyasi va o‘tish
jarayoni
6.15-rasm. Tizim turg ‘im.
5)
Ildizlar haqiqiy musbat, ya’ni a,2 > 4 a 2, a, < 0 , a 2 >o (chiziqli tizim
noturg‘un) (6.16-rasm).
Ikkinchi tartibli tizimning £<-1 bo‘lganda fazo trayektoriyasi ya
o'tish jarayoni
203
6.16-rasm. Tizim noturg‘un.
6)
Ildizlar haqiqiy va аг < 0 da har xil ishoraga ega (chiziqli tizim
noturg‘un).
Ikkinchi tartibli tizimning £>1 bo‘lganda fazo trayektoriyasi va o‘tish
jarayoni
6.17-rasm. Tizim noturg‘un.
204
6.1-masala. To‘yinish chegay=F\x)
ralari 6.18-rasmda keltirilgan
statik xarakteristikali nochiziqli
element uchun kompleks garmonik uzatish koeffitsiyenti ./(A)
ni aniqlang.
Yechish: A > a , bo‘lganda
x = Asinco.t sinusoidal kirish signali uchun chiqishdagi y = F (x )
signalning
grafigini
quramiz
(6.19-rasm). Nochiliqlilik bir
6.18-rasm.
qiymatli kompleks uzatish koeffitsiyentidan iborat faqat haqiqiy qism
J(A) = q(A) = B, / A.
Fure qatori va 6.19-rasmdagi tavsifdan koeffitsiyent uchun
formulalardan foydalanib, nochiziqli element chiqishidagi birinchi
garmonika sinus tashkil etuvchisidan в, amplitudani aniqlaymiz
iy^F(x)
Jt
ct^A st-ny
fisirrft'
n
6.19-rasm.
/
1¥
4 r
Bl = —J F{Asmij/)smy/dif/ = — Jfc4sin2iffdy/ + \bsmy/dy/
Ж о
■4
w 1 .
kA -------sin 2w
2 4
n
bu yerda
Jt
4 (kA
kA
— sin 2<p+ bcos<p
Д 21
- Ajcos ц/1'
(6.9)
(6.10)
205
6.19-rasmni inobatga olgan holda
a
sin cp = —; tp = arcsm
cosp^l-j?.
(6 . 11)
Nochiziqli element parametri a va chiqishdagi signal amplitudasi A
ni ikkilamchi sinus burchak deb belgilab olamiz:
sin2$> = Ismcpcoscp =
A
.
(6.12)
(6.10)-(6.12) ifodalardan foydalanib, (6.9) tenglikni quyidagicha
yozish mumkin:
kA
. a ka
a2
a1 ] 2k A arcsin —+ 11arcsm--------.11------ + kaJl A
4 A1
2
A
2
4
A2
V
A2
j n
n
Nochiziqli elementning kompleks garmonik uzatish koeffitsiyenti
quyidagicha:
.a
a I---------, a ГЛ
arcsin - + - J 1 ---- ;
v
A AV A j
f
6.2-masala. Garmonik tebranishi x ~ A sin cot qonuniyat bo‘yicha
o‘zgaruvchi nuqta uchun fazoviy portretni quring.
Yechish: Fazoviy portretni qurish uchun x koordinatalaridan
hosilani aniqlaymiz
tix.
— = Аса cos cat.
dt
(6.13)
dx
Fazoviy trayektoriya tenglamasini olish uchun x va — tenglamadan
dt
d b c
t vaqtni olib tashlaymiz. — ni у bilan beligilab, (6.13) tenglamam
dt
kvadratga oshiramiz
206
у 2 = А1со1cos1cot.
(6.14)
Xuddi shunaqa л: tenglamani kvadratga oshirib, со1 ga ko‘paytiramiz
tv1x l = А2а>г sin2cot.
(6.15)
(6.14) va (6.15) tenglamaning o‘ng va chap tomonlarini qo‘shib,
quyidagiga ega bo‘lamiz:
(6.16)
(6.16)
tenglama fazoviy trayektoriyani aks ettiruvchi tenglama
hisoblanadi. 6.20-rasmda vaqt funksiyasida x koordinatalar o‘zgarishini
dx
aks ettiruvchi nuqtalar va у = — tezlik hamda fazoviy portret keltirilgan.
dt
Fazoviy portret o‘zida ellipislar oilasini aks ettiradi.
6.20-rasm.
6.5. Lyapunov usuli asosida nochiziqli tizimlarning
turg‘unligi tahlili
Faraz qilamiz, nochiziqli tizimning hamma o‘zgaruvchiIari uchun
o‘tish jarayoni chetlanishlari ularning barqaror jarayonlarining
qiymatlariga nisbatan differensial tenglamalari berilgan. U holda n tartibli chiziqli tizim uchun quyidagi tenglamalar tizimini yozishimiz
mumkin [4,10,11]:
207
(6.17)
dt
- г = х Лх„ х2,-,х„)
X l, Х г,
X n - nochiziqlaming har qanday ko‘rinishini o‘zida
muj assamlashtirgan va har doim quyidagi
Х „ Х г, . . . , Х т= 0
shartlarni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyalar.
Tahlil qilish uchun quyidagi tushunchani kiritamiz, bu yerda va
keyinchalik ko‘p o‘zgaruvchili funksiya sifatida n o‘lchovli Evklid
fazosini ko‘rib chiqamiz
V = V(xt, x
Evklid fazosi deb xossasi absolyut geometriya aksiomalari va
Evklidning parallel to‘g‘ri chiziqlar haqidagi (postulati) aksiomasi bilan
ta’rif qilinadigan fazoga aytiladi.
Ta’rif: v —funksiya ba’zi bir sohada, agar u shu sohaning har bir
nuqtalarida boshlang‘ich koordinata atrofida bir xil ishorali bo‘lib qolsa
va faqat koordinata boshidan boshqa yerda nolga aylansa, uning ishorasi
aniqlangan deyiladi.
Agar v - funksiya bir xil ishorani saqlab qolsa va faqat koordinata
boshidagina emas, balki shu sohaning boshqa nuqtalarida ham nolga
aylanishi mumkin bo‘lsa, uni doimiy ishorali deyiladi.
Agar v - funksiya berilgan sohada boshlang‘ich koordinata atrofida
har xil ishoraga ega boisa, u o‘zgaruvchi ishorali deyiladi.
n = 2 va v = x f + x l bo‘lsin. xt = x 2 = 0 boiganda v=o va har qanday
x„x2 - larda k > o bo‘ladi, ya’ni v ishorasi aniqlangan musbat funksiya
bo‘ladi.
Shunga o'xshab, har qanday n uchun funksiya v = xf +xj +x] +...+^
ishorasi aniqlangan musbat funksiya boiadi.
208
v = -(x?+x12+...+xt)
ko‘rinishdagi
funksiya,
ishorasi
aniqlangan
manfiy funksiya bo‘ladi.
Endi n=3 bo‘lgan holda quyidagi funksiyani ko‘rib chiqamiz:
V - xf + х2г + x%
Bu funksiya endi ishorasi aniqlangan emas, balki doimiy ishorali
bo‘ladi. Chunki u xi, x2, x3 - laming har qanday qiymatlarida musbat
bo‘Iib qoladi, lekin nafaqat xj, X2, хз =0 bo‘lganda 0 ga aylanib qolmay,
balki xi, x2—0 bo‘lgan holda x3 ning har qanday qiymatlarida ham
doimiy ishorali musbat bo‘ladi.
V-х+х ko‘rinishdagi funksiyani ko‘rib chiqamiz. Bu funksiyaning
ishorasi o‘zgaruvchandir, chunki x=-x to‘g‘ri chiziqning o'ng tekisligida
hamma nuqtalar uchun u musbat va shu to‘g‘ri chiziqning chap tekisligidagi hamma nuqtalar uchun manfxydir.
Lyapunov funksiyasi va uning vaqt bo‘yicha hosilasi tushunchasini
kiritamiz [11].
Har qanday funksiya
V = V(xi, x2, хз,
xn)
xi
= X2 - ... = xn = 0 bo Uganda aynan nolga aylanadigan bo‘lsa va
unda xi, X2, x n kattaliklari tizimning o'tish o‘zgaruvchilarga nisbatan
olingan bo‘lsa va (6.17) - tenglama bu tizim uchun quyidagicha
yozilishi mumkin bo‘lsa:
Xi=xi(t), X2=x2(t), ..., X„=x„(t) uni Lyapimov funksiyasi deyiladi.
Lyapunov funksiyasidan vaqt bo‘yicha hosila quyidagicha bo‘ladi:
dV _ dV dx,
dt dx, dt
dV dx2 |
dx2 dt
| dV dxn
dxn dt
— larni qiymatini
dt
dV
8x„
209
X i, Хг,
X» - lardan (6.17) - tizimning o‘ng qismlari bo‘lib,
berilgan funksiyasidan xi, %2,
x „ - lardan chetlanishlarini ko‘rsaladi.
Shunday qilib, Lyapunov funksiyasining vaqt bo‘yicha hosilasi ham
V - funksiyasiga o‘xshab, ba’zi bir chetlanishlaming funksiyasi bo‘ladi:
~ - = W (xl,x2,...,x J .
at
Lyapunov funksiyasining hosilasiga yuqorida ko‘rsatib o‘tilgan
ishorasi aniqlangan, doimiy ishorali va o‘zgaruvchan ishorali tushunchalarni qo‘llash mumkin.
Nochiziqli tizimlarning turg‘unligi to ^ risid ag i Lyapunov teoremasini isbotsiz keltiramiz.
Teorema: Agar (6.17) - tenglama shaklida berilgan n —chi tartibli
tizimlarda shunday ishorasi aniqlangan V(xi, X2, ■■■, Хц) Lyapunov
funksiyasini tanlab olish mumkin bo‘lsa, uning vaqt bo‘yicha hosilasi
W(xi, X2, ..., Xn) ham ishorasi aniqlangan bo‘ladi, lekin V(xi, X2,
xn) da ishorasi teskari ishorali bo‘lsa, u holda bunday tizim turg‘un bo‘ladi.
W - funksiyaning ishorasi aniq bo‘lganda tizim asimtotik turg‘un
bo‘ladi.
Yuqoridagi teorema turg'unlikning faqat yetarli shartini berishi va
nochiziqli tizim turg‘unlik sohasidan tashqari bir qator alohida sohalarga
ega bo‘lishi mumkinligidan, nochiziqli tizimlarning nochiziqligini
aniqlashda alohida zarurat kelib chiqadi.
Nochiziqli tizimlarning noturg‘unligini aniqlashda Lyapunovning
quyidagi teoremasidan foydalaniladi.
Agar (6.17) tenglama shaklida berilgan и-chi tartibli tenglamalar tizimining W(x;, хг, ■■■, xn) hosilasi Lyapunovning biror V(xi, x2,
xn)
funksiyasida ishorasi aniqlangan bo‘lib, V - funksiyaning o‘zi birorta
soha koordinata boshiga kelib qo‘shilsa, uning ishorasi hosila W ishorasi
bilan bir xil bo‘lib, tizim noturg‘un bo‘ladi.
6.6. V.M.Popovning mutlaq t« rg ‘unlik mezoni
Bir ma’noli nochiziqliklami o‘z ichiga olgan nochiziqli tizimlarning
turg‘unligini o‘rganishda ko‘pincha rumin olimi V.M.Popov tomonidan
tadqiq qilingan turg‘unlikning chastota mezonidan foydalaniladi. Birorta
noziqli tizim o‘zida bir ma’noli nochiziqlikka ega bo‘lsin
210
y = F( x) ,
(6.18)
tizimning chiziqli qismi ham quyidagi tenglama bilan ifodalansin,
Q( p ) = - R ( p ) y ,
(6.19)
6.21-rasm.
Bu yerda Q(p) va R(p) quyidagi ko‘phadlargateng [11,23]:
Q ( P ) = а0р л + a y ' +... + an_xp + an,
Щ P ) = K Pm+ hPm~l + - + b«-iP + bm’
bu yerda m < n.
у =F(x) nochiziqlilik ixtiyoriy ko‘rinishda boiib, berilgan arctgk
burchak chegarasidan chiqmasin.
Shunday qilib, nochiziqlilik quyidagi shartni qanoatlantiradi:
0 < F (x )< k x .
Q(P) = o ning hamma ildizlari manfiy haqiqiy qismli yoki ulardan
tashqari ikkitadan ortiq bo‘lmagan nol ildizlariga ega. Boshqacha qilib
aytganda an=0 yoki a„ -■ a„.i = 0.
V,M. Popov turg‘unlik mezonining ta’rifini isbotsiz keltiramiz.
Nochiziqli tizimning turg‘unligini aniqlash uchun shunday chekli
haqiqiy son h - ni tanlab olish kerakki, unda hamma af>0 bo'lganda
quyidagi tengsizlik bajarilsin:
Re(\ + jcoh)W( ja)) + —> 0,
к
bu yerda, w(ja>) - chiziqli tizimning AFX si.
211
(6.20)
Teoremaning boshqacha ta’rifidan qulay geometrik izohlanadigan
chastota xarakteristikasining ko‘rinishini o‘zgartirish bilan bog‘liq.
0 ‘zgaruvchan ko‘rinishli chastotaviy xarakteristika w’tjm) quyida­
gicha aniqlanadi:
i f (со) —Re W '( jco) = Re W ( jco),
1
V*(co) = Im W*(j(o) - 6)T0 Im W(ja>), j
(6.21)
To = 1 sek normalovchi ko‘paytiruvchi.
Analogik W(jm) qachonki Q (p) va R(P) tenglamalarda darajalar farqi
n-m > 1 bo‘lganda w'(jm) grafigi 6.22,a-rasm ko‘rinishga ega bo'ladi.
Agarda darajalar farqi n-m =1 bo'lsa, u holda w'(je>) grafik oxiri
mavhum o‘qning koordinata boshidan pastda bo‘ladi (6.22,b-rasm).
(6.20) tengsizlikning chap qismini quyidagicha o‘zgartiramiz:
Re(l + jo)h )W ( ja>)+—= R eW ( ja>)-G)hImW(jca) + —> 0 .
к
к
(6.22)
Unda, w'ijoi)~-U’(ro)+jv'Uo) va (6.21) chi munosabatlardan
foydalanib, (6.22) tengsizikni barcha &>0 da o‘zgartiramiz:
U '(cq)- — V* ( cd ) + - ^ U ’(co) - h^vym) + - > 0.
T0
к
к
(6.23)
U*(cD)-h0V,(co)+ —> 0 boiganda w’(jco) tekisligida to‘g‘ri
к
chiziqni ifodalaydi. Bundan V.M.Popov teoremasining geometrik izohi
kelib chiqadi: nochiziqli tizimning turg'unligini aniqlash uchun w'(jco)
212
tekisligida shunday to ‘g ‘ri chiziqni tanlab olish kerakki, и
nuqtasidan o'tganda w’(jto) egri chizig ‘i bu chiziqning o ‘ng tomonida
yotsin.
6.23-rasm. a v a b hollarda tizim mutlaq turg‘un; d v a e hollarda
tizim noturg‘un.
Tizimning chiziqli qismini va nochiziqli zvenoning uzatish
koeffitsiyenti k = KhK shartli ravishda nochiziqli zvenoga kiritilgan.
Agar nochiziqli zveno xarakteristikasi (0Д) sektorda joylashgan bo‘lsa,
л -ning qanday qiymatlarida tizim mutlaq turg‘un bo‘lishini aniqlang.
Boshlang‘ich ma’lumotlar: tizim chiziqli qismining doimiy vaqtlari
71=0,5 sek, Тг=0,2 sek 7з=0,1 sek.
6.3-masala. Nochiziqli avtomatik tizimning struktura sxemasi
6.25,a-rasmda keltirilgan.
Yechish: Tizim chiziqli qismining chastotali uzatish funksiyasni
quyidagi ko‘rinishga ega;
WUm) = -----------------------------
(1 + у<эГ, )(1 + jtoT2)(1 + ja T j ) ’
213
IJL
((, 24"»
l
'
F ix)
1
(Пр + Ш р +КТзр +ц
6.24-rasm.
Uning haqiqiy va mavhum qismlari mos ravishda quyidagiga teng
(6.25)
U (o > ) = R e W ( j a > ) = -
( 1 + й>27;2Х 1 + ^ 2 ?Х1 + ®2Г32) ’
-m(Tt+T,+r,)+«>yi;r2n
(6.26)
u'(ja>) va v'(jm) ga ba’zi funksiyalar kiritamiz:
1 -а 1а ? г +т&+тгт3)
{ / » - \<zW{ja) - (i + e ^ 2 ^ + o/T2)() + ф2Тг}>
(6.27)
i/V w
(6.28)
i тгг'-л
- ^ 1(T,+T7+T,)Ho>%T1T3)
V ( ® ) - ® I m J F C / ® ) - (1 + й , 2Г 2Х1+й)27, 2Х1+й> 2Гз2) •
(6.27)
va
(6.28)
tengliklar
bo‘yicha
V* ( r a )- f [ U ( со)]
xarakteristikani quramiz (6.25-rasm)
1
va
- J o bo‘yicha Popov to‘g‘ri
к " )
chizig‘ini shunday oHkazamizki,
bunda qurilgan xarakteristika bu
chiziqdan o‘ng tomonda yotsin. 6.25—« 0 ,0 8 . Shuning
к
uchun tizim 0 < k <12,5 sektorda
yotuvchi hamma nochiziqli xarakteristikalar uchun mutlaq turg‘undir,
shu jumladan 6.25-rasmda ko‘rsatilgan rele tipli xarakteristika ham
turg‘un.
V‘(a>)
йИ1 1)%
Ы
rasmga binoan
6.25-rasm..
Shunday qilib, berk nochiziqli tizimning mutlaq turg‘unligining
yetarli sharti ochiq holda к uzatish koeffitsiyentiga ega boigan tutash
chiziqli tizimning zaruriy va yetarli sharti bajarilishiga keltirilyapti.
6.7. Garmonik balans usuli
Bu usul dinamikasi ikki va undan yuqori tartibli nochiziqli difFerensial tenglama bilan yoziluvchi tizimlami tekshirish, nochiziqli tizimlami majburiy harakatini taqriban tahlil qilish, tizimining turg‘unligini
mavjud boiadigan avtotebranishlarni parametrlarini aniqlash imkonini
beradi [4,11,23]. Tizim tarkibida nochiziqli element boisin.
m
6.26-rasm.
Bu elementning kirishiga sinusoidal signal berilsa, uning chiqishida
davriy signal hosil boiadi (6.27-rasm).
A, *
у = F ( asincol) = — + ^ ( A nsin cot + Bncos cat) ,
2 «=1
215
bu yerda
Д, = — f F(asincot)sinatdt',
2л J
л = — f F(asinat)dt \
гп \
i 2?
Bn = — F(asinat)cosmtdtlit 0
Qaralayotgan tizim ixtiyoriy strukturaga ega bo‘Isin. Lekin uning
tarkibida bir donagina nochiziqli element bo‘lsin. U holda sistemani
strukturasini quydagicha tasvirlab olish mumkin (6.28-rasm).
Agarda chiziqli qismning uzatish funksiyasi maxrajining darajasi
suratining darajasiga nisbatan katta bo‘lsa, chiziqli qism yuqori
chastotali signallami so‘ndiradi (6.29-rasm).
У
X
Chiziqli qism
NE
6.29-rasm.
6.28-rasm.
{A (P )T
W (p )- j s i w -
\W(ja>)\» \W(jnco)\, n = 2,3,...
Chiziqli qismning bu xossasi filtrli xossasi deyiladi.
у = Al sin o)t + Лг sin cat +... + 5, cos cat + B2cos cat +...
у - Al sincot + Bxcoscot,
1
.
.
x
1 dx
1 dx . . . .
.
bu yerda sincot ——, соcos c a t- ------=> cos c o t-----------deb quyidagi
a
adt
acadt
tenglamani hosil qilamiz
y = -A,X x + -B,L dx
a
coa dt
Bu tenglama nochiziqli elementning differensial tenglamasi deyiladi.
216
А
В
Quyidagi belgilashni kiritib q (a ) = ~ , q'(a) = -± p x , p -> jco
a
a
y —q( a)x + jq '( a)x, K N(a ) = q( a) + jq '( a ) .
Nochiziqli elementning uzatish funksiyasi deb chiqish signalining
birinchi garmonikasi amplitudasini kirish signalining amplitudasi
nisbatiga aytiladi. Agarda nochiziqli element bir qiymatli boisa g'(a) = o
bo'ladi.
Nochiziqli elementning AFXsini qurish uchun quyidagi formuladan
foydalaniladi:
ZN(a ) = - — 1— .
K N(a )
Avtotebranishni aniqlash usullari.
Nochiziqli tizimlami tekshirishda birinchi navbatda quydagi
savollarga j a vob berish kerak [8,11 ]:
1. Tizimda avtotebranish mavjudmi?
2. Mavjud avtotebranish turg‘unmi?
3. Avtotebranishning parametrlari qanday?
Bu savollarga javob berish uchun avtotebranishni aniqlash zarur
bo‘ladi. Aniqlashning 2 usuli mavjud:
1. Analitik usul.
2. Chastotaviy usul (Goldfarb usuli).
1.
Analitik usul Ushbu usuldan foydalanishda tizimning strukturasi
quyidagi ko‘rinishga keltirib olinadi (6.30-rasm).
Bunda chiziqli qismning ko‘rinishi quyidagiga ega
IГ ( Р )
= Ш
B (p )
Berk tizimning uzatish funksiyasi topiladi
—
J
Щ
6.30-rasm.
217
—
WB{p) = ------------- ^ ----------.
tKyJ \ + W ( p ) - K N(A)
Berk tizimning xarakteristik tenglamasini nolga tenglaymiz
l + W (p )-K „ (A ) = 0,
B ( p ) + A( p ) l q ( A ) + j q'( A )j = 0.
p -> jco bilan almashtirib xarakteristik tenglamaning, haqiqiy va
mavhum qismlar topiladi. Haqiqiy va mavhum qismlar amplituda A va
chastota a> ga bog‘liq munosabat ko‘rinishda bo‘ladi, ya’ni
X(A,a>) + jY(A,a>) = 0.
Ulami nolga tenglab, tenglamalar tizimini hosil qilamiz:
[X (A ,to) = 0,
[Y(A,ro) = 0.
Agarda tenglamalar tizimini yechimi haqiqiy va musbat qiymatga
ega bo‘lsa, tizimda avtotebranish mavjud bo‘ladi.
2.
Goldfrarb usuli. Bu usul uncha murakkab bo‘lmagan tizimlar
uchun qo‘llanilib chiziqli qism filtrlil xususiyatiga ega bo‘lishi kerak.
Bunda tizim ikki qismga ajratib olinadi: chiziqli va nochiziqli.
Avtotebranishni topish algoritmi quyidagidan iborat:
1. Chiziqli qismning AFXsi quriladi.
2. Nochiziqli elementning teskari uzatish funksiyasi topiladi
218
l
i
ZM) = - К ц(А)
ч(А) +
jq '(A )
'
3.
Amplitudani 0 dan <» gacha o‘zgartirib nochiziqli elementning
teskari AFXsi quriladi.
Popov mezoni: Agarda ikkala AFX o‘zaro kesishsa tizimda o‘zaro
avtotebranish mavjuddir.
Avtotebranishni turg‘un yoki noturg'unligini aniqlash uchun
quyidagidan foydalaniladi:
Agarda amplitude 0 dan » ga o‘zgarganda nochiziqli elementning
AFXsi chiziqli qismning AFXsining konturiga kirsa shu nuqtada
noturg‘un avtotebranish mavjud. Konturdan chiqadigan nutada turg‘un
avtotebranish mavjud.
6.4-masala. Agar chiziqli qism parametrlari £=0,82 sek'1,
Г]=Г2=0,05 sek va nochiziqli zveno (b=0,25, c=110) statistik xarakteristikasi 6.32-rasmdagi kabi bo‘lsa, 6.33-rasmda keltirilgan struktur
sxemali nochiziqli tizimning turg‘unligini tadqiq qiling.
AT
-b
11
p(T:p + w 2p + i )
с
0
b
J
r,
6 ‘32-rasm. Statik xarakteristika.
6.33-rasm. Strukturali sxema.
Yechish: Tizimning chiziqli qism Wch(ja>) amplituda-faza chastotaviy xarakteristikasi va garmonik chiziqlantirilgan nochiziqli zveno
- Z ( a ) ~ -------— ning gadografiii quramiz.
WN(a )
Strukturali sxemaga asosan tizimning chiziqli qism chastotaviy uz­
atish funksiyasi
Wch(jco) = -------------------- -------- ,
jc o ( U r jo j) ( \^ r 2jco)'
uning moduli
219
К ш Л = — i — ■а w J (l + T ,W ) ( l + T?a)
.
va fazasi
ф(со) = -90" - arctgcol] —arctga>T2
ni yozishimiz mumkin.
Son qiymatlarini quyib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
( j(o)\ = —
----- —
co^l(I+ 0,00025a2)
ф(со) = -90° - larctgO, 05 со.
0 < аз < со o‘zgartirib, tizimning chiziqli qism AFXsi
(6.34-rasm).
(6.29)
(6.30)
quramiz
6.34-rasm. Chiziqli qism va nochiziqli zvenoning
chastotaviy xarakteristikasL
Nochiziqli zvenoning garmonik chiziqlantirilgan uzatish funksiyasi
quyidagicha:
WN(a ) = q (a ) = ^ \ 1 - ^ , a>b.
7 ta \
a
Bundan
1
жа2
1
WN(a )
Ac
Nochiziqli zvenoning son qiymatlarini qo'ygandan so‘ng quyidagiga
ega bo‘lmiz:
-Z (a).
220
- г ( а ) = - жа
1
440 J a 2 _ 0,0625
(6.31)
a ning qiymatini a - b ~ 0,25 dan да gacha o‘zgartirib, nochiziqli
zveno - Z ( a ) ning gadografini quramiz (6.34-rasm). Ushbu holda bu
gadograf musbat haqiqiy yarim o‘q bilan ustma-ust tushadi va ikki
o‘ramli bo‘ladi. -z(a) funksiya modulining minimal qiymati
a = b-Jl « 0,352 ga teng boiganda
I
,I
nb ;r-0.25 „
\Z(a)\ . = — = ---------«0,0036
1
■mm 2c 2-110
ga erishadi.
Wch( jw ) va -Z ( a ) laming gadograflari ikki nuqtada kesishadi. Bu
W Jja>) = - - ± r - = - Z ( a )
W Ja)
tenglama 3-rasmga asosan (Q = 20 sek~x, A, =0,257, A, =2,86) ikkita
davriy yechim
x = A, sinQt
(6.35)
x = A1sinQt
ga ega boiadi.
Davriy yechim turg‘un boiishi uchun tizimning chiziqli qism wch(jm)
AFX si kichik amplitudaga mos keluvchi - z(a) gadograf qismini o‘rab
oldi. Shuning uchun, (6.35) tenglamaning birinchi yechimi noturg‘un
hisoblanadi, ikkinchi yechimi esa turg‘undir. Shunday qilib, tizimda
amplitudasi A= 2,86 va chastotasi а = 2 < Ь е Г \ * = 2,86sin20( boigan
avtotebranish hosil bo‘ldi.
Nazorat va muhokama savollari
1.Nochiziqli tizim deb nimaga aytiladi?
2.Nochiziqlilikning hosil boiish sabablariga nimalar kiradi?
3.Nochiziqli tizimlarning sinflanishi.
4. Nochiziqli avtomatik tizimlar qanday xususiyatlarga ega?
5.Qanday tizmlar avtotebranma tizim deyiladi?
221
6. Statik xarakteristika deb nimaga aytiladi?
7.Elementlarining statik xarakteristikalari grafik shaklda berilgan
tizimning umumiy statik xarakteristikasini topish qanday amalga
oshiriladi?
8.Nochiziqli tizimlarni turg'unligini tekshirishning qanday usullari
mavjud?
9.Fazalar trayektoriyasini qurish vaqtida qanday qoidalarga anial
qilinadi?
10. Fazaviy fazo usulining avzallik va kamchiliklarini tushuntirib
bering.
ll.O d d iy chiziqli tizim uchun fazoviy trayektoriyalar qanday
quriladi?
12. Nochiziqli tizimlarning turg‘unligi to‘g‘risida Lyapunov
teoremasini tushuntirib bering.
13.V.M.Popov mezoni nima uchun mutlaq turg‘unlik mezoni deb
yuritiladi?
14. V.M.Popov turg‘unlik mezonini isbotsiz keltirmg.
15. Avtotebranishni aniqlashning qanday usullari mavjud?
222
Test savollari
1. Garmonik chiziqlashtirish usuli orqali o‘rganilayotgan nochi­
ziqli sistemalar tartibi chegaralanadimi?
A) Yo‘q.
B) Ha.
C) Ma’lumotlar yetarli emas.
D) Kanal xatoligi bo‘yicha uzatish koeffitsiyenti kattaligi.
2. Qanday avtokorrelatsion funksiya tasodifiy jarayonlarda oq
shovqin tipida bo‘ladi?
A) Pog‘onasimon funksiya ko‘rinishida.
B) Trapetsiyasimon funksiya ko'rinishida.
C) Delta-fimksiya ko‘rinishida.
D) Qo‘ng'iroqsimon funksiya ko‘rinishida.
3.Turg‘un tizimda:
A) Vaqtning cheksiz oshishi natijasida erkin kuzatuvchi tashkil
etuvchi majburiy harakatga mos keladi.
B) Vaqtning cheksiz oshishi natijasida majburiy tashkil etuvchi
nolga intiladi.
C) Istalgan kiruvchi ta’sir natijasida majburiy tashkil etuvchi
cheklangan bo‘ladi.
D) Vaqtning cheksiz oshishi natijasida erkin tashkil etuvchi nolga
intiladi.
4. Qanday nochiziqli dinamik tizim mutlaq turg‘un deb nomlanadi?
A) Nochiziqli 1ikning muayyan sinfi ichidagi istalgan xarakterdagi
nochiziqlik "butun holatda" turg‘undir.
B) "Kichik holatda" turg‘imdir.
C) "Katta holatda" turg'undir.
D) "Butun holatda" turg‘undir.
5.Dinamik tizim harakati ko‘rinishining qanday xususiyati Lya­
punov bo‘yicha turg‘unlik hisoblanadi?
A) Garmonik tashqi ta’sirlar orqali majburiy.
B) Pog‘onali tashqi ta’sirlar orqali majburiy.
C) Boshlang'ich og‘ish nol bo‘lishi orqali erkin.
D) Impulsli tashqi ta’sirlar orqali majburiy.
223
6. Faqat koordinata boshida nolga aylanadigan, qolgan koordinatalarda bitta belgini saqlaydigan va dinamik tizim fazo holatining
qaralayotgan barcha sohalarida uzluksiz funksiya qanday nomlanadi?
A) Doimiy belgili.
B) Aniqlangan belgili.
C) 0 ‘zgaruvchan belgili.
D) Aniqlanmagan belgili.
7. Qanday dinamik tizim "butun holatda" torg‘un deyiladi?
A) "Kichik" boshlang‘ich og‘ishlarda turg‘un.
B) "Kichik" boshlang‘ich og‘ishlarda asimptotik turg‘un.
C) Istalgan boshlang‘ich og‘ishlarda turg‘un.
D) "Katta" boshlang'ich og‘ishlarda turg‘un.
8. Faqat koordinata boshida nolga aylanadigan, qolgan koordinatalarda bitta belgini saqlaydigan va dinamik tizim fazo holatining
qaralayotgan barcba sohalarida uzluksiz funksiya qanday nomlanadi?
A) Doimiy belgili.
B) Aniqlangan belgili.
C) 0 ‘zgaruvchan belgili.
D) Aniqlanmagan belgili.
9. Qaralayotgan sohada bitta belgini saqlamaydigan uzluksiz
funksiyalar qanday nomlanadi?
A) Doimiy belgili.
B) Aniqlangan belgili.
C) 0 ‘zgaruvchan belgili.
D) Aniqlanmagan belgili.
10. Lyapunov funksiyasi va uning vaqt bo‘yicha hosilasiga qan­
day cheklanishlar quyilganda turg‘unlik to‘g‘risida Lyapunov mezoni bilan mos keladi?
A) Lyapunov funksiyasi va uning vaqt bo‘yicha hosilasi aniqlangan
belgili, belgisi bo‘yicha qarama-qarshi bo' lishi kerak.
B) Lyapunov funksiyasi - aniqlangan belgili; uning vaqt bo‘yicha
hosilasi - doimiy belgili, qarama-qarshi belgili.
224
C) Lyapunov funksiyasidan vaqt bo‘yicha hosilasi - aniqlangan
belgili; Lyapunov funksiyasining belgisi Lyapunov funksiyasining vaqt
bo‘yicha hosilasi belgisi bilan mos tushadi.
D) Lyapunov funksiyasi va uning vaqt bo‘yicha hosilasi doimiy
belgili, belgisi bo‘yicha qarama-qarshi bo‘lishi kerak.
11. Geometrik nuqtayi nazardan tuzilgan dinamik tizimlar
harakat tenglamasining kuchida Lyapunov funksiyasining vaqt
bo‘yicha hosilasi o‘zida nimani aks ettiradi?
• A) Fazoviy vektor tezligini.
B) Lyapunov funksiyasi gradiyentini.
C) Fazoviy vektor tezligida Lyapunov funksiyasi gradiyentining
skalyar hosilasini.
D) Fazoviy vektor tezligida Lyapunov funksiyasi gradiyentining
vektor hosilasini.
12. Nochiziqli ABTning turg‘unlik shartida nochiziqlilikning
o‘zini parametrlari chiqmagan holat nimani anglatadi?
A) Ushbu shart butun turg‘unlik sharti hisoblanadi.
B) Ushbu shart asimptotik turg‘unlik sharti hisoblanadi.
C) Ushbu shart mutlaq turg‘unlik sharti hisoblanadi.
D) Ushbu shart asimptotik boMmagan turg‘unlik sharti hisoblanadi.
13. Dinamik tizimlarning qanday fazasi fazoviy faza deyiladi?
A) Holat o‘zgaruvchilari fazasi.
B) Tashqi ta’sirlar fazasi,
C) Parametrlar fazasi.
D) Rostlash o‘zgaruvchilari fazasi.
14. Fazoviy fazada nochiziqli dinamik tizimlarning muvozanat
holati koordinatalari qanday aniqlanadi?
A) Muvozanat holati doimo bitta va koordinata boshida joylashadi.
B) Tizim harakati differensial tenglamasi o‘ng qismi funksiyasini
nolga tenglashtirib.
C) Differensial tenglamaning umumiy yechimi asosida olib.
D) Turli bosh!ang‘ich shartlar orqali differensial tenglamani sonli
integrirlash asosida olib.
225
GLOSSARIY
A vtom atik boshqarish nazariyasi - bu avtomatik boshqarish tizimi
(ABT)da kechuvchi axborot jarayonlari predmetini o‘rganuvchi ilmiy
fandir.
K ibernetika - murakkab tizimlar (texnik obyektlar, texnologik
jarayon!ar, jonli organizmlar, jamoalar, tashkilotlar va h.k.) ni optimal
boshqarish to‘g‘risidagi fan.
Avtom atik boshqarish tizimi - bu shunday tizirnki, unda
boshqarilish vazifasi avtomatik bajariladi, ya’ni inson ishtirokisiz.
Boshqariluvchi obyekt va avtomatik boshqarish qurilmasi (rostlagich)
birgalikda hamda ulami o‘zaro ta’siri - avtomatik boshqarish tizimi
deyiladi.
Avtom atik boshqarish qurilm asi - boshqarish algoritmi bilan
muvofiq kelishda ta’sirlami amalga oshiruvchi qurilma.
Avtomatlashtirilgan boshqarish tizimi - bu tizimda boshqarish
vazifasini bir qismi avtomatik boshqarish qurilmasida bajariladi, bir
qismi (ayniqsa muhim va murakkab qismi)ni esa inson bajaradi.
Boshqarish obyekti - texnik jarayonni amalga oshiruvchi va ishlash
algoritmini amalga oshirish uchun maxsus tashkil etilgan tashqi ta’sirga
muhtoj qurilma (qurilmalar majmui), moslama yoki jarayon.
Boshqarish algoritmi - bu ishlash algoritmlarini amalga oshirish
maqsadida obyektdagi tashqi ta’sirlar tavsifini aniqlovchi buyruqlar
majmui.
Funksional sxema - bu sxema tizimning qanday elementdan tashkil
topganini bildiradi. Unda har bir elementga mos ravishda shu element­
ning nomi yoki u bajaradigan funksiyasining nomi keltiriladi.
Strukturaviy sxema (model) - bu sxema tizimning matematik
modelini bildiradi. Bunda har bir elementga mos ravishda algebraik,
differensial, integral tenglamasi yoki qandaydir uzatish funksiyasi kel­
tiriladi.
Prinsipial sxema - bu sxema funksional sxemani kengaytirilgan
ko‘rinishi bo‘Iib, bunda har bir elemental kengaytirib ko‘rsatiladi.
226
Axborot - birlamchi manbasi tajribaga asoslangan holda tekshirilayotgan obyekt tolg‘risidagi har qanday ma’lumotlar majmuasi.
Chiziqli tizim - ustlash (superpozitsiya) usulini qo‘llash mumkin
bo‘lgan tizimlar.
Nochiziqli tizim - tarkibida hech bo‘lmaganda bitta nochiziqli
element yoki nochiziqli tenglamasi bo‘lgan tizim.
Statsionar tizim - elementlarining parametrlari vaqt mobaynida
o‘zgarmaydigan tizimlar.
Nostatsionar tizim - parametrlari vaqtga bog‘liq bo‘lmagan tizimlar.
Uzluksiz tizim - ABTlarining barcha zvenolari vaqt bo‘yicha
uzluksiz kirish signaliga mos ravishda chiqish signallari ham uzluksiz
bo'lgan tizim.
Uzlukli yoki diskret tizimlar deb - tarkibida hech boimaganda
bitta zveno diskret (yoki impulsli) chiqish signaliga ega bo'Igan
ABTlarga aytiiadi.
Taqsimlangan parametrli tizimlar — elementlarining xossalari
boshqarish obyektining fazoviy koordinatalariga bogiiq holda
o‘zgargan tizimlar.
To‘pIangan parametrli tizimlar - elementlarining xossalari
boshqarish obyektining fazoviy koordinatalarga bog‘liq bo‘lmagan tiz­
imlar.
Bir konturli tizimlar - tarkibida faqat bitta asosiy teskari
bog‘lanishi mavjud bo‘lgan ABTlar.
Ko‘p konturli tizimlar deb - tarkibida faqat bitta asosiy teskari
bogManishdan tashqari mahalliy teskari bog‘lanishlari ham mavjud
boigan ABTlarga aytiiadi.
Bir o‘lchamli tizimlar — tarkibida bitta boshqaruvchi va bitta
boshqariluvchi kattalikka ega boMgan ABTlar yoki boshqacha qilib
aytganda, bitta kirish va bitta chiqish parametriga ega bo‘lgan ABTlar.
Chiziqlantirish - nochiziqli differensial tenglamani chiziqli dif­
ferensial tenglama bilan almashtirish.
0 ‘tkinchi xarakteristika - tizimga yoki zvenoning pog‘onali
signaldan olingan reaksiyasi.
227
Impulsli o‘tkinchi xarakteristika (vazn funksiyasi) - tizim yoki
zvenoning birlik impulsli funksiyadan olingan reyaksiyasi.
Chastotaviy xarakteristika - tizim yoki zvenoning garmonik
signaldan olingan reaksiyasi.
Laplas alm ashtirishi — haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyani (shu
jumladan vaqt funksiyasi) kompleks o'zgaruvchili funksiyaga
o‘zgartirish.
Uzatish funksiyasi - boshlang‘ich shartlar nolga teng boiganida
chiqish signalining Laplas tasvirini kirish signalining Laplas tasviri
signali nisbatiga aytiladi.
Tipik dinam ik zveno —tartibi ikkidan yuqori bo‘lmagan differensial
tenglama bilan ifodalanadigan zvenolar.
228
TEST SAVOLLARIJAYOBI
1-bob
1
A
2
В
3
A
4
A
5
A
6
A
7
С
8
A
10
С
9
A
11
С
12
A
13
С
2-bob
1
A
16
A
31
В
46
С
61
В
76
A
2
В
17
A
32
A
47
С
62
A
77
A
3
С
18
D
33
D
48
С
63
A
78
A
4
D
19
D
34
A
49
С
64
A
79
A
5
A
20
A
35
A
50
A
65
A
80
A
6
С
21
A
36
A
51
A
66
A
81
A
7
A
22
С
37
A
52
В
67
В
82
A
8
С
23
A
38
D
53
В
68
A
83
В
9
В
24
D
39
D
54
A
69
A
10
A
25
A
40
D
55
A
70
A
11
С
26
A
41
D
56
A
71
A
12
A
27
A
42
D
57
D
72
A
13
В
28
В
43
В
58
A
73
A
14
A
29
С
44
В
59
A
74
A
15
A
30
С
45
В
60
A
75
A
3
A
18
A
33
A
4
В
19
A
34
A
5
С
20
A
6
В
21
A
7
A
22
A
8
A
23
D
9
С
24
A
10
A
25
A
11
A
26
A
12
С
27
A
13
A
28
A
14
D
29
A
15
A
30
A
3-bob
1
С
16
D
31
A
2
A
17
С
32
A
4-bob
1 1 2
3
В
В T" A
4
D
5
D
6
В
7
A
8
В
10
A
9
A
11
A
12
D
5-bob
1
A
2
В
3
A
4
Г в
4
A
5
D
5
A
6
A
7
A
8
A
9
A
11
A
10
A
6-bob
1
A
2
c
3
D
6
В
7
В
8
В
9
С
10
А
11
С
12
С
13
А
14
А
15
А
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1.Norman S. Nise. Control Systems Engineering.New York, John.
Wiley, 7 edition, 2015. - 944 p.
2. Yusupbekov N.R., Muxamedov B.E., G‘uIomov Sh.M. Texnologik
jarayonlami boshqarish tizimlari. - Toshkent. « 0 ‘qituvchi»: 1997,704 b.
3.Unbehauen, H. Control Engineering. 3 Vols. Braunschweig, F.
Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft. German. 2001. - 1273 p.
4.Ротач В.Я. Теория автоматического управления. - М.: Изд-во
МЭИ, 2004, 400 с.
5.Benjamin С. Kuo , Farid Golnaraghi. Automatic Control Systems.
New York, John Wiley; 8 edition. 2002. - 624 p.
6. Методы классической и современной теории автоматического
управления / Под ред. К.А.Пупкова. ТОМ 1-4. - М.: МГТУ им. Ба­
умана, 2004.
7.Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering. Pearson Higher Ed
USA. 5 edition. 2009. -912 p.
8.Miraxmedov D.A. Avtomatik boshqarish nazariyasi [Oliy o‘quv
yurtlari uchun darslik]. -Т.: 0 ‘zbekiston, 1993. -287 b.
9. Richard C. Dorf, Robert H. Bisho. Modem Control Systems. Pear­
son Higher Ed USA; 12 edition, 2010. -1104 p.
10. Automation Control - Theory and Practice. Edited by A.D.Rodic,
Tech, 2009. - 360 p.
П.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматическо­
го управления. -СПб.: Профессия, 2004. -752 с.
230
12.Потапенко Е.М., Казурова А.Е., Основы теории автоматиче­
ского управления. - Запороже: ЭН'ГУ, 2007.
13.Texnologik jarayonlarni avtomatlashtirish asoslari: 0 ‘quv qo‘Ilanma. 1,2-qism. Yusupbekov N.R, Igamberdiyev X.Z., Malikov A.V. —
Toshkent: ToshDTlJ, 2007.
14. Андрющенко В.А. Теория систем автоматического управле­
ния: Учеб. пособие. - JL: СЗПИ, 1990. -252 с.
15. Бурьян Ю.А. и др. Теория автоматического упрвления: линей­
ные системы. Учебное пособие. -Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. -76 с.
16. Власов К.П. Теория автоматического управления (особые,
дискретные и нелинейные системы) / К.П.Власов, М.К.Аникин. СПб.: Санкт-Петербургский горный институт, 2006. -99 с.
17. Власов К.П. Теория автоматического управления. Учебное
пособие. -X .: Изд-во Гуманитарный центр, 2007. -526 с.
18. К.Ю.Поляков.Теория автоматического управления. Част1. СПб., 2008. -80с,
19. К.Ю.Поляков. Теория автоматического управления. Част П. СПб., 2009. -59 с.
20. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Ли­
нейные системы. - СПб: Питер, 2005. -333 с.
21. Клавдиев А.А. Теория автоматического управления в при­
мерах и задачах. 4.1. Учеб. пособие. -СПб.: СЗТУ, 2005. -74 с.
22. Клавдиев
А.А.
Теория автоматического управления в
примерах и задачах. 4.2: Моделирование линейных непрерывных
систем автоматики. Учебное пособие. -СПб: СЗТУ, 2005.-81 с.
231
23. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Учеб. посо­
бие для студентов вузов. -М .: Физматлит, 2003. -287 с.
24. Туманов М.П. Теория управления. Теория линейных систем
автоматического управления. Учеб. пособие. - М.: МГИЭМ, 2005. 82 с.
25. Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Линейные системы авто­
матического регулирования. Учебное пособие. -Томбов: Изд-во
ТГТУ, 2001. -264 с.
26. Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Основы теории автома­
тического управления. Учебное пособие. -Томбов: Изд-во ТГТУ,
2004.-352 с.
27. Сборник задач по теории автоматического управления. Учебно-методическое пособие для студентов технических специальностей
/ Сост. В. А. Бороденко. - Павлодар : Кереку, 2009. -112 с.
28. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных
задач: очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в
МАТЛАБ. 2010. -336с.
29. Grewal M.S., Andrews А.Р. Kalman Filtering: Theory and Prac­
tice Using MATLAB. Second Edition. New York e.a.: Wiley, 2001. 401 pp.
30. Бозиев C.H. MATLAB 2006a в примерах. - М.: РГУ нефти и
газа им. И.М. Губкина, 2006. -150 с.
31. Дьяконов В.П. MATLAB 6. Учебный курс. - СПб.: Питер,
2001.-592 с.
32. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширния
MATLAB. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. -480 с.
232
MUNDARIJA
Kirish.................................................................................... ..........................
3
I BOB. AVTOMATIK BOSHQARISH NAZARIYASINING
UMUMIY XUSUSIYATLARI VA TUSHUNCHALARI
1.1.
Avtomatik boshqarish nazariyasining asosiy tushunchavata’riflari....
5
1.1.1. Boshqa texnikaviy fanlar bilan o‘zaro aloqasi.......................................
5
1.1.2. Tarixiy ma’lumotlar..................................................................................
6
1.1.3. Asosiy tushuncha va ta’riflar..................................................................
8
1.2.
Avtomatik boshqarish tizimlarning sxemalari......................... .............
10
1.3.
Boshqarishning fundamental prinsiplari..................................................
16
1.4.
Avtomatik boshqarish tizimlarining smflanishi.................... ................
20
Nazorat va muhokama savollari................................. ............................
24
Test savollari............................................................... .............................
25
II BOB. AVTOMATIK BOSHQARISH TIZIMLARINING
MATEMATIKIFODASI
2.1.
Statik va dinamik modellar......................................................................
28
2.2.
Chiziqlantirish..........................................................................................
30
2.3.
Avtomatik boshqarish tizimlarining asosiy (tipik) kirish signallari.....
32
2.4.
Laplas almashtirishi va uning xossalari.................................................
35
2.5.
Uzatish funksiyasi....................................................................................
37
2.6.
Avtomatik boshqarish tizimlarning vaqt xarakteristikalari...................
42
2.7.
Avtomatik boshqarish tizimlarining chastotaviy xarakteristikalari.......
44
2.8.
Logarifmik chastota xarakteristikalar......................................................
46
2.9.
Elementar zvenolar va ulaming xarakteristikalari.................................
48
2.10. Statsionar chiziqli tizimlarning strukturali sxemalari .............................
66
233
2.11. Ochiq tizimning chastotaviy xarakteristikalari.................................
....74
2.12. Ko‘p o‘lchamli elementlami vektor-matritsali shaklda ifodalash
...77
2.13. Avtomatik boshqarish tizimini “kirish-chiqish” usulida ifodalash
.... 77
2.14. Avtomatik boshqarish tizimini fazo holatida ifodalash
....79
2.15. Holat o‘zgaruvchilari sxemalari.........................................................
...82
2.16. «Kirish-chiqish» va fazo holati usuli ifodalarining o‘zaro aloqasi
.... 87
2.17. 0 ‘tish matritsasi. 0 ‘tish matritsasini olishning analitik uslubi
....88
2.18. Holat o‘zgauvchilari sxemasi bo‘yichao'tish matritsalari tasvirini olish
90
Nazorat va muhokama savollari................................................................ ...92
Test savollari............................................................................................... ... 94
HI BOB. CHIZIQLI AVTOMATIK BOSHQARISH
TIZIMLARINING TURG‘UNLIGI
3.1.
Turg‘unlik to‘g ‘risida tushuncha......................................................
..108
3.2.
Chiziqli avtomatik boshqarish tizimining turg'unlik sharoitlarr.
A.M,Lyapunov teoremasi
... 109
3.3.
Turg‘unlikning algebraik mezonlari. Raus turg'unlik m ezoni
..112
3.4.
Gurvis turg'unlik m ezoni.................................. .
...115
3.5.
Lenar-Shipar turg‘unlik m ezoni
..118
3.6.
Turg‘imlikning chastotaviy mezonlari. Argumentlar prinsipi
..119
3.7.
Turg‘unlikning Mixaylov m ezoni
..122
3.8.
Naykvist turg‘unlik m ezoni
..126
3.9.
Logarifmik chastotaviy xarakteristika bo‘yicha turg‘unlikning tahlili
(Turg'unlikning logarifmik m ezoni).................... .
132
3.10. Tizim parametrlari tekisligida turg'unlik doirasini qurish. D - bo‘linish
usuli........................................................................................................ 135
3.11. Kechikishli va irratsional zvenoli tizimlarning turg‘ unligi
... 136
Nazorat va muhokama savollari................................................................ ..140
Test savollari.............................................................................. -................. 142
234
IV BOB. CHIZIQLI AVTOMATIK BOSHQARISH
TIZIMLARINING SIFAT KO'RSATKICIILARINI
TADQIQ QILISH
Umumiy tushunchalar.......................................... .................................... .149
Barqaror rejimda rostlash sifatini baholash............................................ ..151
Pog‘anaIi signal ta’siri orqali o‘tishjarayonning sifatko‘rsatkichlari... 153
Rostlash sifatini baholashning ildiz usullari........................................... .. 155
0 ‘tish jarayoni sifatining integral baholari...............................................157
Rostlash sifatini baholashning chastota usullari.................................... ...158
Nazorat va muhokama savollari............................................................. ..164
Test savollari........................ ......................................................................165
V BOB. CHIZIQLI AVTOMATIK BOSHQARISH
TIZIMLARINISINTEZLASH
Sintezlash masalasining qo‘llanilishi........................................................ 168
Logarifmik chastota xarakteristikalari usuli yordamida sintezlash...... ...169
Texnik topshiriq bo‘yicha LAChX ni qurish......................................... .. 170
ABT korreksiyasining ketma-ket sxemasi................................................ 173
Teskari bog‘lanish yordamida korreksiyalash..........................................177
Korreksiyalash usullarini qiyosiy baholash............................................ ..187
Nazorat va muhokama savollari ................................ ............................. ..188
Test savollari...............................................................................................189
VI BOB. NOCHIZIQLI AVTOMATIK
BOSHQARISH TIZIMLAR
Nochiziqli tizimlarning xususiyatlari........................................................192
Nochiziqli tizimlarning statik xarakteristikalari..................................... .194
Fazaviy fazo usuli.................................................................................... ..197
Oddiy chiziqli tizim uchun fazoviy trayektoriyalar.................................200
Lyapunov usuli asosida nochiziqli tizimlarning turg‘unligi tahlili...... ...207
235
6.6.
V.M.Popovning mutlaq turg'unlik mezoni............................................. .. 210
6.7.
Garmonik balans usuli................................................................................ ..215
Nazorat va muhokama savollari.............................................................. ...221
Testsavollari........................... ................................................................. ... 223
Glossariy................................................................................................ .226
Test savollari javobi..........................................................................................229
Foydalanilgan adabiyotlar................................. .................. ...........................230
236
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
..3
ГЛАВА I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
1.1.
Основные понятия и определения теории автоматического
управления
...5
1.1.1. Взаимосвязь с другими техническими науками
..5
1.1.2. Историческая справка
....6
1.1.3. Основные понятия и определения.......
....8
1.2.
Схемы систем автоматического управления
... 10
1.3.
Фундаментальные принципы управления
.....16
1.4.
Классификация систем автоматического управления .
... 20
Контрольные вопросы...........................................................................24
Тестовые вопросы........................................... .......................................25
ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
2.1.
Динамические и статические модели
... 28
2.2.
Линеаризация
.. 30
2.3.
Типовые входные сигналы систем автоматического управления
2.4.
Преобразование Лапласа и его свойства
... 35
2.5.
Передаточные функции
...37
2.6.
Временные характеристики систем автоматического управления 42
2.7.
Частотные характеристики систем автоматического управления
2.8.
Логарифмические частотные характеристики
... 46
2.9.
Элементарные звенья и их характеристики
....48
237
32
44
2.10. Структурные схемы стационарных линейных систем...................
66
2.11. Частотные характеристики разомкнутых систем.............................
74
2.12. Векторно-матричная форма описания многомерных элементов
систем автоматического управления......................................... ........
77
2.13. Описание системы автоматического управления в виде «входвыход» ........................................ ......................... ..................................
77
2.14. Описание системы автоматического управления методом про­
странства состояния.............................. ...............................................
79
2.15. Схемы переменных состояний.............................................................
82
2.16. Связь мезвду описанием “вход-выход” и методом пространства
состояния..................................................................................................
87
2.17. Матрица перехода. Аналитический способ получения матрицы
перехода................. .................... ...................................................... .
88
2.18. Получение изображения матрицы перехода по схеме перемен­
ных состояния.........................................................................................
90
Контрольные вопросы......................................................................... .
92
Тестовые вопросы.................................................................................
94
ГЛАВА Ш. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
3.1.
Понятие устойчивости..................................
3.2.
Условия
устойчивости
линейных
систем
... 108
автоматического
управления. Теорема А.М. Ляпунова
3.3.
3.4.
.... 109
Алгебраические критерии устойчивости. Критерий устойчиво­
сти Рауса
... 112
Критерий устойчивости Гурвица
...115
3.5.
Критерий устойчивости Льенара-Шипара
...118
3.6.
Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента
...119
3.7.
Критерий устойчивости Михайлова
... 122
3.8.
Критерий устойчивости Найквиста...................................... .
..126
3.9.
Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характе­
ристикам .
..132
238
3.10. Построение областей устойчивости в плоскости параметров си­
стемы. Понятие о D - разбиении
135
3.11. Устойчивость систем с запаздыванием и систем с иррациональ­
ными звеньями
..136
Контрольные вопросы........................................................................... 140
Тестовые вопросы.......... .................................................................... ... 142
ГЛАВА 1У.МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
РЕГУЛИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.1.
Общие положения
...149
4.2.
Оценка качества регулирования в установившемся режиме
.. 151
4.3.
Оценка качества переходного процесса при воздействии ступен­
чатой функции
.. 153
4.4.
Корневые методы оценки качества регулирования
.. 155
4.5.
Интегральные оценки качества переходных процессов
...157
4.6.
Частотные методы оценки качества регулирования............... .........158
Контрольные вопросы...........................................................................164
Тестовые вопросы........................................................................ ..........165
ГЛАВА V. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
5.1.
5.2.
Общие положения
168
Синтез систем автоматического управления с помощи логариф­
мических частотных характеристик...................................................169
5.3.
Построение логарифмических частотных характеристик по тех­
ническим заданиям
5.4.
...170
Последовательные схемы коррекции систем автоматического
управления
..173
5.5.
Коррекция систем автоматического управления с обратной связью 177
5.6.
Сравнительные оценки методы коррекции
.. 187
Контрольные вопросы........................................................................ ...188
239
189
Тестовые вопросы
ГЛАВА VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
6.1.
Особенности нелинейных систем
192
6.2.
Статические характеристики нелинейных систем
6.3.
Метод фазового пространства
...197
6.4.
Фазовые траектории для обыкновенных линейных систем
....200
6.5.
Анализ устойчивости нелинейных систем на основе метода Ля­
пунова
... 207
6.6.
Критерий абсолютной устойчивости В.М Лопова
...210
6.7.
Метод гармонического баланса........................ .
... 215
... 194
Контрольные вопросы........................................................................... .. 221
Тестовые вопросы.....................................................................................223
Глоссарий
: 226
Ответы на тестовые вопросы
...229
Литература......................................... .
.230
240
TABLE OF CONTENTS
Introduction...........................
3
Chapter I. GENERAL FEATURES AND CONCEPTS
OF AUTOMATIC CONTROL THEORY
1.1.
Basic concepts and definitions o f automatic control theory
5
1.1.1. The relationship with other technical sciences
5
1.1.2. Historical reference
6
1.1.3. Basic concepts and definitions
8
1.2.
Schemes o f automatic control systems
10
1.3.
Fundamental principles of control
16
1.4.
Classification o f automatic control systems
20
Control questions...................... ............................................................
24
Test questions........................................................................................
25
CHAPTER II. MATHEMATICAL DESCRIPTION
OF AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS
2.1.
Dynamic and static m odels
28
2.2.
linearization
30
2.3.
Typical input signals o f automatic control systems
32
2.4.
Laplace transform and its properties.................................. .
35
2.5.
Transfer functions
37
2.6.
Temporal characteristics of automatic control systems
42
2.7.
The frequency characteristics of automatic control systems...............
44
2.8.
The logarithmic frequency characteristics of automatic control sys­
tems
46
241
2.9.
Elementary units and their characteristics
...48
2.10. Block diagrams o f stationary linear system s
...66
2.11. The frequency characteristics o f open system s........................................ 74
2.12. Vector-matrix form describing multidimensional elements o f auto­
matic control system s
77
2.13. Description o f the automatic control system in the form o f "inputoutput"
...77
2.14. Description of the automatic control system by the state space
... 79
2.15. Schemes o f variable states
... 82
2.16. Connectivity between the description o f "input-output" and the meth­
od o f state space................... ....................................... ..
...87
2.17. The transition matrix. Analytical method for producing the transition
matrix............................................................. :......................
...88
2.18. Imaging transition matrix scheme o f state variables.......
90
Control questions.................................................................................... ... 92
Test questions.................................... ......................................................... 94
CHAPTER III. STABILITY OF LINEAR AUTOMATIC
CONTROL SYSTEM
3.1.
The concept o f sustainability....................................................... ...............108
3.2.
Terms stability o f linear automatic control systems. Theorem
Lyapunov................... .
109
3.3.
Algebraic stability criteria. Routh stability criterion
..112
3.4.
Hurwitz stability criterion......................................... ....................
...115
3.5.
Stability criterion o f Lienard-Shepherd
...118
3.6.
Frequency stability criteria. The principle argument
...119
3.7.
Mikhailov stability criterion
..122
3.8.
Nyquist stability criterion...........................................................
..126
3.9.
Stability analysis o f logarithmic frequency characteristics
... 132
3.10. Building stability regions in the plane o f the system parameters. The
concept o f the D - partition
...135
3.11. Stability delay systems and systems with irrational links
.. 136
Control questions................................................................... ................ ....140
242
142
Test questions
CHAPTER IV. METHODS FOR ASSESSING THE QUALITY
CONTROL OF LINEAR SYSTEMS
4.1.
General....................................................................................................
149
4.2.
Evaluation o f the quality o f regulation in the steady state..................
151
4.3.
Evaluation of the quality o f the transition process under the influence
o f a step function...................................................................................
4.4.
153
Root methods for evaluating the quality o f regulation......................... 155
157
4.5.
Integral evaluation o f the quality of transients.....................................
4.6.
Frequency methods for evaluating the quality of regulation................ 158
Control questions...................................................................................
164
Test questions. ......................................................................................... 165
CHAPTER V. SYNTHESIS OF LINEAR AUTOMATIC
CONTROL SYSTEM
5.1.
General....................................................................................................
5.2.
Synthesis o f automatic control systems using a logarithmic frequency
characteristics.........................................................................................
5.3.
168
169
Construction o f logarithmic frequency characteristics on the perfor­
mance specifications........................................................................
170
5.4.
Successive correction circuit o f automatic control systems................
173
5.5.
Correction o f automatic control systems with feedback......................
177
5.6.
Comparative evaluation o f methods o f correction..............................
187
Control questions..................................................................................
188
Test questions........................................................................................
189
CHAPTER VI. NONLINEAR AUTOMATIC
CONTROL SYSTEM
6.1.
Features o f non-linear systems.............................................................
192
6.2.
The static characteristics of non-linear systems..................................
194
6.3.
The method of phase space...................................................................
197
243
6.4.
The phase trajectories for ordinary linear systems...............................
200
6.5.
Stability analysis o f nonlinear systems based on Lyapunov method ..
207
6.6.
Popov's criterion for absolute stability ...................................................
210
6.7.
Harmonic Balance Method......................................................................
215
Control questions.....................................................................................
221
Test questions..........................................................................................
223
Glossary..........................................................................................................
226
Answers to questions test.............................................................................
229
The literature..........................................:........................................................ 230
244
QAYDLAR UCHUN
QAYDLAR UCHUN
246
SEVINOV JASUR USMONOVICH
AVTOMATIK
BOSHQARISH NAZARIYASI
0 ‘quv qo‘Uanma
Toshkent - «Fan va texnologiya» - 2017
Muharrir:
Texnik muharrir:
Musavvir:
Musahhih:
Dizayin va kompyuterda
sahifalovchi:
M.Hayitova
A.Moydinov
D.Azizov
N.Hasanova
A.Moydinov
E-niail: tipografiyacnt@maiI.ru Tel: 245-57-63, 245-61-61.
Nashr.lits. A I№ 149,14.08.09. Bosishga ruxsat etildi: 09.08.2017.
Bichim i 60x84 4u,. «Time* Uz» garniturasi. Ofset bosma usulida bosildi.
Sliartli bosma tabog‘i 15,0. Nashriyot bosma tabog‘i 15,5.
Tira.ji 300. Buyurtma №128.